Trend Models

• A trend model is

where  Timet is the time index.• In STATA, Timet is an integer sequence, normalized to be zero at first observation of 1960.

• Most common models– Linear Trend– Exponential Trend– Quadratic Trend– Trends with Changing SLope

)( tt TimegT =

Warning:Be skeptical of Trend Models

• While in some cases, trend forecasting can be useful.

• In many cases, it can be hazardous.

• We will examine some of the trend examples in Chapter 5 of Diebold’s text

• They did not forecast well out of sample.

• A constructive alternative is to forecast growth rates, as we did for consumption expenditure.

Example 1Labor Force Participation Rate

• From BLS

• Monthly, 1948‐2009, Seasonally adjusted

• Men and Women, ages 25+

• Percentage of population in labor force (employed plus unemployed divided by population)

• Diebold estimates on 1948‐1992

• We will estimate on 1948‐1992, forecast 1993‐2009

Women’s Labor Participation Rate1948‐1992

Men’s Labor Participation Rate1948‐1992

Linear Trend Model

• The labor force participation rates have been smoothly and linearly increasing (for women) and smoothly and linearly decreasing (for men) over 1948‐1992

• This suggests a linear trend

• In this model, β1 is the expected period‐to‐period change in the trend Tt

tt TimeT 10 ββ +=

Example 2Retail Sales, Current Dollars

• From Census Bureau

• Monthly, 1955‐2001, seasonally adjusted– This particular series discontinued after 2001

• Diebold estimates up to 1991

• We will forecast 1992‐current

Retail Sales1955‐1993

Quadratic Trends

• The retail sales series has been increasing smoothly over 1955‐1993, but not linearly.

• To model this we will use a quadratic trend2

210 ttt TimeTimeT βββ ++=

Example 3Transaction Volume, S&P Index

• From Yahoo Finance

• (Similar to NYSE series in Diebold)

• Weekly, 1950‐current

• Diebold estimates on 1955‐1993, forecasts 1994

• We will forecast 1994‐2001

Transaction Volume

Exponential Trend

• To model this we will use an exponential trend

• The exponential trend is linear after taking (natural) logarithms

• This is typically estimated by a linear model after taking logs of the variable to forecast 

tTimet eT 10 ββ +=

( ) tt TimeT 10ln ββ +=

Ln(Volume)

• In logarithms, trend is roughly linear.

Exponential Trends

• Most economic series which are growing (aggregate output, such as GDP, investment, consumption) are exponentially increasing– Percentage changes are stable in the long run

• These series cannot be fit by a linear trend

• We can fit a linear trend to their (natural) logarithm

Linear Models

• The linear and quadratic trends are both linear regression models of the form

or

where– x1t = Timet– x2t = Timet2

ttt xx 22110 βββμ ++=

tt x110 ββμ +=

Example 4Real GDP

• From BEA

• Quarterly, 1947‐2009

• We will estimate on 1947‐1990, forecast 1991‐2009

• Also use an exponential trend

Real GDP

Ln(Real GDP)

Linear Forecasting

• The goal is to forecast future observations given a linear function of observables

• In the case of trend estimation, these observables are functions of the time index

• In other cases, they will be other functions of the data

• In the model the forecast for  yt+h is  ŷt+h=b0+b1xt  where  b0and  b1 are estimates

tt x10 ββμ +=

Estimation

• How should we select  b0 and  b1 ?• The goal is to produce a forecast with low mean square error (MSE)

• The best linear forecast is the linear function  β0+β1xt  that minimizes the MSE

• We do not know the MSE, but we can estimate it by a sample average

( ) ( )2102ˆ thththt xyEyyE ββ −−=− +++

Sum of Squared Errors

• Sample estimate of mean square error is the sum of squared errors

• The best linear forecast is the linear function  β0+β1xt  that minimizes the MSE, or expected sum of squared errors.

• Our sample estimate of the best linear forecast is the linear function which minimizes the (sample) sum of squared errors.

• This is called the least‐squares estimator

( ) ( )∑=

+ −−=n

tthtn xy

nS

1

21010

1, ββββ

Least Squares

• The least‐squares estimates (b0,b1) are the values which minimize the sum of squared errors

• This produces estimates of the best linear predictor – the linear function  β0+β1xt  that minimizes the MSE

( ) ( )∑=

+ −−=n

tthtn xy

nS

1

21010

1, ββββ

Multiple Regressors

• There are multiple regressors

• For example, the quadratic trend

• The best linear predictor is the linear function  β0+β1x1t+β2x2t  that minimizes the MSE

2210 ttt TimeTimeT βββ ++=

ttt xx 22110 βββμ ++=

( ) ( )2221102ˆ tthththt xxyEyyE βββ −−−=− +++

Multiple Regression

• The sample estimate of the best linear predictor are the values (b0,b1,b2) which minimize the sum of squared errors

• In STATA, use the regress command

( ) ( )∑=

+ −−−=n

ttthtn xxy

nS

1

222110210

1,, ββββββ

Example 1Women’s Labor Force Participation Rate

Regression Estimation

In‐Sample Fit

Residuals

• Residuals are difference between data and fitted regression line

tht

thtt

TimebbyTye

10

ˆ−−=

−=

+

+

Residual Plot

In‐Sample Fit

• Compute with predict command• Fit looks good

Forecast

• Forecast is the linear function with estimated coefficients

• Compute with predict command

hThT TimebbT ++ += 10

Forecast Intervals

• Compute residuals

• Compute quantiles of residuals– These are constant over time

• Add to predicted values– Identical to constant mean case

tht

thtt

Timebbyye

10

ˆˆ−−=

−=

+

+ μ

Out‐of‐Sample Forecast

• Out of sample prediction might be too low.

Out‐of‐SampleWomen’s Labor Force Participation

• No: Prediction was way too high!

Men’s Labor Force Participation Rate

Estimation

In‐Sample Fit

Residuals

Forecast

• End of Sample looks worrying

Out‐of‐SampleMen’s Labor Force Participation

• Linear Trend Terrible

Example 2Retail Sales

Linear and Quadratic Trend

Linear and Quadratic Trend

Forecast

Residuals

Actual Values

Example 3: Volume

Estimating Logarithmic Trend

Fitted Trend

Residuals

Forecast

Out‐of‐Sample

Forecasting Levels from a Forecast of Logs

• Let  Yt be a series and yt=ln(Yt) its logarithm• Suppose the forecast for the log is a linear trend:  E(yt+h | Ωt) = Tt = β0+ β1 Timet

• Then a forecast for  Yt is  exp(Tt)• If [LT , UT] is a forecast interval for  yT+h• Then [exp(LT) , exp(UT)]  is a forecast interval for YT+h

• In other words, just take your point and interval forecasts, and apply the exponential function.– In STATA, use generate command

Forecast in Levels

Out‐of‐Sample

Example 4: Real GDP

Ln(Real GDP)

Estimation

Fitted Trend

Residuals

Forecast of ln(RGDP)

Forecast of RGDP (in levels)

Out‐of‐Sample

Problems with Pure Trend Forecasts

• Trend forecasts understate uncertainty• Actual uncertainty increases at long forecast horizons.

• Short‐term trend forecasts can be quite poor unless trend lined up correctly

• Long‐term trend forecasts are typically quite poor, as trends change over long time periods

• It is preferred to work with growth rates, and reconstruct levels from forecasted growth rates (more on this later).

Trend Models

• I hope I’ve convinced you to be skeptical of trend‐based forecasting.

• The problem is that there is no economic theory for constant trends, and “changes” in the trend function are not apparent before they occur.

• It is better to forecast growth rates, and build levels from growth.

Final Trend ForecastWorld Record – 100 meter sprint