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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA CAPÍTULO IV Sistemas Triangulados ou Treliças 1 3 2 1 C Esquema (2) Esquema (1) SEMESTRE VERÃO 2004/2005 Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 1/14

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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA

CAPÍTULO IV

Sistemas Triangulados ou Treliças

1 3

2

1 C

Esquema (2) Esquema (1)

SEMESTRE VERÃO 2004/2005

Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 1/14

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Capitulo IV – Sistemas Triangulados ou Treliças

4.1 Definição

Sistemas Triangulados ou Treliças são sistemas constituídos por elementos indeformáveis

unidos entre si por articulações, consideradas perfeitas, e sujeitos apenas a cargas aplicadas nas

articulações (nós). Assim os elementos (barras) ficam exclusivamente sujeitos a esforços

normais, de tracção ou compressão.

Quando os elementos da estrutura estão essencialmente num único plano a treliça é designada

plana.

Montantes

Cordão Superior Diagonais

Cordão Inferior

Figura 1 – Cobertura de um pavilhão industrial

Cordão Inferior ⇒ conjunto de elementos que forma a parte inferior;

Cordão Superior ⇒ conjunto de elementos que forma a parte superior;

Montantes ⇒ barra verticais;

Diagonais ⇒ barras inclinadas.

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A definição apoia-se em simplificações, barras rígidas, nós serem rótulas e ausência de acções

ao longo das barras, que conduzem a uma teoria aproximada no estudo destes sistema, desde

que a estrutura esteja bem concebida, isto é, as barras sejam concorrentes num único ponto de

cada nó.

Figura 2 – Exemplo de uma treliça

4.2 Estaticidade da estrutura

4.2.1 Estaticidade Interior

O sistema rígido mais simples é constituído por três barras articuladas entre si. Se cada nó for

agregado ao sistema por intermédio de apenas duas barras obtém-se um sistema rígido, por isso

invariante (não varia a sua configuração geométrica) e estaticamente determinado. Uma treliça

formada deste modo é designada por treliça simples e é isostática. Sendo b o número de barras

e n o número de nós então o número total de barras é dado por b = 2n – 3 . Esta relação é uma

condição necessária para a estabilidade da treliça, porém não é condição suficiente, porque uma

ou mais das barras podem estar dispostas de tal modo que não contribuem para uma

configuração estável da treliça simples.

Se b > 2n – 3 existem mais barras que as necessárias para evitar o colapso o que sugere que a

treliça seja interiormente hiperestática e por isso estaticamente indeterminada. É no entanto

necessário analisar se a disposição das barras lhe permite manter uma configuração estável.

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Assim sendo, as barras que não são necessárias para manter a posição de equilíbrio da treliça

designam-se por redundantes e o seu número traduz o grau de hiperestaticidade interior,

hi=b– (2n-3).

Se b < 2n – 3 há uma deficiência de barras, por isso a treliça é designada de interiormente

hipoestática. O equilíbrio apenas é possível mediante certas condições que não sendo

verificadas levará o sistema ao colapso.

Na figura 3 a aplicação da expressão b = 2n-3 levaria à conclusão que o sistema é isostático, o

que é falso, porque é a combinação de um sistema hiperestático (a) com um hipoestático (b).

4.2.2 Estaticidade Exterior

A estaticidade exterior é calculada a partir das condições de apoio do sistema. Os apoios

restringem os graus de liberdade e por isso o número de incógnitas que surgem , a, são

calculadas a partir das equações de equilíbrio da estática, três no plano. SE os apoios estiverem

colocados por forma a impedir qualquer movimento do sistema como corpo rígido o grau de

hiperestaticidade exterior é então he = a -3.

Sistema hipoestático ⇒ a < 3

Sistema isostático ⇒ a = 3

Sistema hiperstático ⇒ a > 3

a b c

Figura 3

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4.2.3 Estaticidade Global

A estaticidade global é dada pela soma da estaticidade interior e exterior;

hg = hi + he = (b – 2n + 3) + (a – 3) = b + a – 2n

Em determinadas treliças, assim como noutros sistemas, é possível que a hiperestaticidade

exterior seja compensada com a hipostaticidade interior, resultando um sistema globalmente

isostático e estável.

É o que se verifica na treliça representada na figura 4.

No entanto, se as ligações ao exterior estiverem inconrrectamente localizadas, resulta um

mecanismo, apesar de grau de hiperestaticidade exterior ser igual ao grau de hipostaticidade

interior.

Figura 4

Figura 5

F2

F1 R

F2

F1 R

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4.3 Classificação das treliças quanto à lei de formação

4.3.1 Treliças Simples

As treliças são formadas a partir de um triângulo base e por forma que cada novo nó seja

agregado através de duas barras. Estas são interiormente isostáticas, verificando-se a condição

b= 2n -3.

Figura 6 – Cobertura de uma habitação – Exemplo de uma treliça simples

4.3.2 Treliças Compostas

Resultam da associação de duas treliças simples por meio ou de três barras não paralelas nem

concorrentes num ponto (esquema 1), ou de um nó e uma barra que não concorra nesse nó

(esquema 2).

1

2

3 1

C

Esquema (1) Esquema (2)

Figura 7 – Treliças compostas

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Figura 8 – Poste de alta tensão – Exemplo de uma treliça composta

As ligações entre as duas treliças simples restringem os três graus de liberdade que cada uma

teria relativamente à outra. Se as treliças fossem ligadas entre si por um maior número de

barras do que o indicados nos dois exemplos anteriores obtinham-se treliças compostas

hiperestáticas em vez de isostáticas.

Apesar de não seguir o modo de formação anteriormente referido, para as treliças compostas,

também se classificam deste modo as treliças que resultam da substituição de algumas barras de

uma treliça simples por uma outra treliça simples. Na treliça do esquema (3), as barras

superiores foram substituídas por treliças secundárias simples obtendo-se o esquema (4).

Esquema (4) Esquema (3)

Figura 9 – Exemplos de treliças

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As vigas Gerber treliçadas são classificadas como treliças compostas.

Figura 11- Ponte BNSF RR Portland, Oregon – Exemplo de uma Viga Gerber treliçada

Figura 12 - Ponte Hawthorne Portland, Oregon – Exemplo de uma Viga Gerber treliçada

Figura 10 – Viga Gerber treliçada

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4.3.3 Treliças Complexas

Estas treliças embora satisfazendo a condição básica da isostaticidade interior b= 2n – 3, não se

identificam com as leis de formação das treliças simples ou compostas, por isso classificam-se

como complexas.

4.4 Determinação dos esforço

4.4.1 Considerações

Considera-se a treliça simples

apoio calculadas a partir das eq

A determinação dos esforços

analíticos, “Equilíbrio dos nós”

Cada uma das barras da treliç

compressão a força que a com

tracciona sai dos nós.

VA

HA 1

s

Figura 13 – Treliças complexa

9/14

s nas barras de treliças

sujeita ao carregamento indicado na figura, e com as reacções de

uações universais da Estática.

nas barras pode ser feita utilizando-se um dos dois métodos

ou “Ritter”.

a faz a ligação entre dois nós. Assim, se a barra está sujeita à

prime converge para os nós e, se está à tracção, a força que a

VB

4

5

6 2

3 7

8

P2 P3

P1

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4.4.2 Equilíbrio dos nós

A treliça encontra-se em equilíbrio, por isso todos os seus nós também o estão.

Este método consiste em isolarmos sucessivamente cada um dos nós, marcar as forças

exteriores, activas e reactivas, e os esforços normais das barras que nele concorrem. Os

esforços normais das barras serão assim determinados como forças que garantem o equilíbrio

do nó.

Assim, aplica-se a equação ∑ F=0 que garante o equilíbrio de forças concorrentes num ponto

material, à qual correspondem as equações de projecção ∑Fx=0 e ∑Fy=0, tendo o referencial

de eixos ortogonais Ox Oy uma qualquer orientação.

A sucessão de nós é feita de modo a que surjam apenas dois esforços (incógnitas) em cada

novo nó. É aconselhável, no caso da nossa sensibilidade estática não nos permitir antever a

natureza do esforço que sejam todos considerados à tracção, e assim, os sinais obtidos já serão

os sinais dos esforços actuantes: se for positivo (confirma o sentido arbitrado) indica tracção e

se for negativo indica compressão.

Exemplifica-se a seguir o equilíbrio do nó 1 e nó 3.

Nó 1

12 12

12 13 13

0 N 0 N

0 N cos 0 N

y A

x A

F sen V

F N H

θ

θ

= ⇒ + = ⇒

= ⇒ + + = ⇒

A primeira equação permite concluir que a barra 12 está sujeita a um esforço de compressão.

Nó 3

32 1 32

31 35 35

0 N 0 N

0 N 0 N

y

x

F P

F N

= ⇒ − = ⇒

= ⇒ + = ⇒

VA

HA 1

N12

N13 θ

P1

N31

3

N32

N35

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4.4.3 Método de Ritter

Consiste em cortar a treliça por uma secção, cortando apenas três barras, não devendo estas ser

paralelas nem concorrentes num ponto. Como a treliça está em equilíbrio, qualquer das partes

resultantes do corte ficam em equilíbrio, porque os esforços normais actuantes nas barras

cortadas as equilibram.

Cortando a treliça por essas barras através da secção SS’, nada se altera sob o ponto de vista

estático, desde que se substituam as barras cortadas pelos esforços normais nelas actuantes e

que são determinados como as forças que garantem o equilíbrio da parte cortada da treliça.

É indiferente analisar a parte esquerda [esquema (5)] ou a parte direita da treliça [esquema (6)].

Escolhe-se, aquela que conduzirá a um menor trabalho numérico na obtenção dos esforços

normais.

A determinação das incógnitas é a partir das equações universais da estática plana, devendo ser

escolhidas e usadas de uma ordem tal que permita a determinação directa de cada uma das

incógnitas. Assim são usadas três equações de momentos relativamente a três pontos não

colineares, sendo, cada um destes (pontos), a intersecção das linhas de acção de duas forças

incógnitas.

Esquema (5)

VA

HA 1

2

3

P1

5

4 N24

N25

N35

S

S’ VB

4

5

6

7

8

P3

N53

N52

N42

2

3

Esquema (6)

S

S’

P2

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Usando o esquema (5) temos que:

5 24

1 25

2 35

0

0

0

M N

M N

M N

= ⇒

= ⇒

= ⇒

As forças obtidas com sinal positivo confirmarão os sentidos arbitrados (sendo de tracção),

caso o sinal seja negativo são de compressão.

As secções de Ritter podem ter qualquer forma desde que sejam continuas e atravessem toda a

treliça.

Excepções

(1) Quando se deseja conhecer o esforço numa só barra não é condição obrigatória fazer o

corte apanhando apenas três barras. Efectivamente se as demais, em qualquer número, se

intersectarem num único ponto, escolhe-se a equação de momentos relativamente a esse

ponto, calculando-se directamente o esforço na barra em questão.

Pretendemos saber N24 5 0M⇒ =∑

Então 5 240 M N= ⇒∑

S’

VA

HA 1

2

3

P1

5

N54

N24 S

S’

N56

N57

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(2) Quando duas barras cortadas por uma secção de Ritter são paralelas é mais cómodo

utilizar duas equações de momentos e uma equação de projecção numa direcção, como

equações de equilíbrio da estática.

3 24

2 13

23

0

0

0y

M N

M N

F N

= ⇒

= ⇒

= ⇒

VA

HA

2

P1

5

4 6

3 1

VB

P2 S

S’

N23

N24

N13

VA

HA

2

1 3

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Exercício de Aplicação

Enunciado Figura

Para a estrutura apresentada: a) calcule os esforços nas barras b) confirme o esforço para a barra

EC.