tsa lab 3 analiza pe stare

8/19/2019 Tsa Lab 3 Analiza Pe Stare

1/26

Laborator 3. Analiza sistemelordescrise de realizări pe spaţiulstărilor

Introducere

Scopul acestui laborator este elaborarea, implementarea şi testarea procedurilor de analiză nu-merică a proprietăţilor sistemice fundamentale. Laboratorul este structurat ı̂n cinci seçtiuni.Prima secţiune este dedicată testării stabilităţii sistemelor. A doua secţiune prezintă modalităţide obţinere a realizărilor de stare pornind de la matricea de transfer şi reciproc. Secţiunea 3este dedicată testării proprietăţilor de controlabilitate şi observabilitate. Ultimele două secţiuniprezintă modalităţi de obţinere a realizărilor de ordin minim (minimale) şi a realizărilor bal-ansate. Laboratorul este dedicat exclusiv analizei sistemelor cu timp continuu.

3.1 Teste numerice de stabilitate a sistemelor liniare

A) Descriere teoretică

Stabilitatea unui sistem liniar S = (A,B,C,D) este o proprietate ce depinde numai de matriceade stare A. Mai precis, sistemul S este stabil dacă matricea de tranziţie Φ(t) asociată lui Asatisface condiţia Φ(t) → 0 când t → ∞. În cazul continuu matricea de tranziţie are expresia

Φ(t) = eAt, t ∈ R. Avem următoarea caracterizare.

Teorema 3.1 Sistemul cu timp continuu S = (A,B,C,D) (sau matricea de stare A) este stabil(ă) dac˘ a şi numai dac˘ a toate valorile proprii ale lui A au partea real˘ a strict negativ˘ a, i.e.,spectrul lui A este cont ̧inut ı̂n semiplanul stˆ ang deschis

Λ(A) ⊂ C −. (3.1)

B) Testare numerică

În această subsecţiune prezentăm două teste numerice de stabilitate a unei matrice: algoritmul QR şi o variantă modificată a testului Hurwitz, numită schema Routh .

Algoritmul QR fără acumularea transformărilor

Deoarece proprietatea de stabilitate vizează o anumită plasare a valorilor proprii, iar acestease calculează eficient utilizând algoritmul QR, obţinem următorul test de stabilitate pentru


2/26

2

sisteme liniare continue.

Algoritmul 3.1 (Dată o matrice pătrată A, algoritmul testează stabilitatea

acesteia).1. λ = eig(A) % Se calculează valorile proprii utilizând algoritmul QR

2. Se determină α = maxReλ(i).

3. Dacă α


3/26

3.2. REALIZABILITATE 3

Pentru testarea stabilităţii se poate utiliza algoritmul de eliminare gaussiană fără pivotarerelativ la matricea Hurwitz asociată polinomului caracteristic, ceea ce corespunde exact for-mulării propuse de Routh pentru criteriul ı̂n discuţie. Întrucât ı̂n absenţa unei strategii de

pivotare adecvate, algoritmul de eliminare gaussiană este numeric instabil (apariţ ia pivoţilornuli corespunde aşa-numitelor cazuri “critice” ale algoritmului Routh), ı̂n practică testarea sta-bilităţii polinomului caracteristic se face construind matricea companion şi aplicând algoritmul3.1. Importanţa criteriului Routh apare mai ales ı̂n metodele analitice ca de exemplu atuncicând trebuie găsiţi anumiţi parametri ai unui sistem sau ai unui regulator astfel ı̂ncat sistemulı̂n buclă ı̂nchisă să fie stabil.

Caz particular 1 : Dacă primul element al unei linii este zero, dar alte elemente din acealinie sunt nenule se ı̂nlocuieşte zeroul cu , se continuă raţionamentul şi apoi se interpreteazărezultatul presupunând că este un număr mic de acelaşi semn cu cel de deasupra.

Caz particular 2 : Dacă toate elementele unei linii sunt zero, atunci polinomul caracteristicare rădăcini simetrice faţă de originea planului complex (de exemplu două rădăcini pur imag-inare). Linia de zerouri va fi ı̂ntotdeauna asociată puterilor impare ale lui s. Linia de deasupra

liniei nule conţine coeficienţii polinomului auxiliar . Dacă notam acest polinom cu P (s), pentrua continua algoritmul se va ı̂nlocui linia de zerouri cu dP ds .

C) Sarcini de lucru

1. Să se scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de testare numericăa stabilităţii unui sistem liniar (i.e. a matricei de stare A a acesteia) şi să se testeze peexemple numerice semnificative (n > 5).

2. Conform teoremei lui Liapunov, matricea A a unui sistem continuu este stabilă dacă şinumai dacă oricare ar fi matricea Q = QT > 0 ecuaţia matriceală algebrică Liapunov

AT X + XA = − Q

are o soluţie X = X T > 0. Explicaţi de ce enunţul de mai sus (de mare valoare teoretică)nu conduce la un test de stabilitate numeric eficient ı̂n raport cu algoritmul 3.1.

3. Un polinom p(s) = a0sn + a1s

n−1 + . . . + an este stabil (sau ”hurwitzian”) dacă toaterădăcinile sale au partea reală strict negativă. Scrieţi algoritmul de testare a stabilităţiipolinomului p(s) utilizând criteriul Routh-Hurwitz (Vezi ANEXA). Implementaţi variantabazată pe algoritmul de eliminare gaussiană pentru matricea Hurwitz asociată polinomu-lui prin comparaţie cu testarea stabilităţii matricei companion şi testaţi pe următorulexemplu numeric

s5 + 2s4 + 4s3 + 8s2 + 5s + 10.

4. Arătaţi că două condiţii necesare (dar nu suficiente) de stabilitate sunt:

a) toţi coeficienţii polinomului caracteristic au acelaşi semn ;

b) toţi coeficienţii polinomului caracteristic sunt nenuli .

3.2 Realizări


Această secţiune este dedicată conversiei ı̂ntre cele mai importante două tipuri de modele:matrice de transfer şi realizare pe spaţiul stărilor.


4/26

4

Conversia matrice de transfer - model de stare

Fie T (s) o p × m matrice raţională proprie dată de

T (s) = rij(s) pij(s) 1 ≤ i ≤ p1 ≤ j ≤ m

, grad( pij) ≥ grad(rij), ∀i,j,

ı̂n care rapoartele se consideră ireductibile. Deoarece raţionala este proprie avem că D :=T (∞) ∈ R p×m (finit). Problema realizabilităţii raţionalei proprii T (s) se reduce atunci la

problema realizabilităţii raţionalei strict proprii T (s) = T (s) − D, i.e., trebuie să găsim treimatrice (A,B,C ) astfel ı̂ncât T (s) = C (sI − A)−1B. Deoarece T (s) este strict proprie avem

T (s) = K 0 + K 1s + . . . + K k−1sk−1γ 0 + γ 1s + . . . + γ k−1sk−1 + sk

(3.4)

unde γ (s) := γ 0

+γ 1

+. . .+γ k−1

sk−1+sk este cel mai mic multiplu comun (monic) al numitorilor

tuturor elementelor raţionalei T (s), iar K i, i = 0, . . . , k − 1, sunt p × m matrice constante. Orealizare a lui T (s) este dată de

A =

Om I m

. . .

I m−γ 0I m −γ 1I m . . . −γ k−1I m

, B =

Om...

OmI m

, C = K 0 K 1 . . . K k−1 .(3.5)

Definiţia 3.1 Realizarea 3.5 este controlabil˘ a fiind numit˘ a realizarea standard controlabil˘ a a lui T (s).

ˆ In general , realizarea obţinută nu este ı̂ns˘ a observabil˘ a .

Definiţia 3.2 O realizare observabil˘ a (realizarea standard observabil˘ a) este

A =

O p −γ 0I pI p −γ 1I p

. . . ...

I p −γ k−1I p

, B =

K 0K 1

...K k−1

, C = O p . . . O p I p . (3.6)Această realizare nu este ı̂n general controlabilˆ a .

Observaţie: Pentru o matrice de transfer raţională de dimensiuni arbitrare nu se poatescrie direct o realizare simultan controlabilă şi observabilă bazată pe coeficienţii din (3.4).

Conversia model de stare - matrice de transfer

Conversia inversă, respectiv calculul matricei de transfer asociate unui model de stare dat, seface separat pentru fiecare pereche (uj , yi) de intrări şi ieşiri reducându-se natural la problemasimilară pentru un sistem SISO.

Fie sistemul SISO S = (A,B,C,D). Pentru a calcula funcţia de transfer, adică douăpolinoame p(s), N (s) astfel ı̂ncât


5/26

3.2. REALIZABILITATE 5

T (s) def = C (sI − A)

−1 B = N (s)

p (s) (3.7)

constatăm că funcţia de transfer a unui sistem cu reacţie unitară este

T 0 (s) = T (s)

1 + T (s) =

N (s)

p (s) + N (s) =

N (s)

p0 (s) (3.8)

unde p0 (s) = p (s) + N (s). Deci

N (s) = p0 (s) − p (s) . (3.9)

Problema s-a redus la a calcula p (s) şi p0 (s).

Dar p (s) este polinomul caracteristic al lui A adică

p (s) =n

i=1 (s − λi) , (3.10)unde λi sunt polii lui T (s), adică valorile proprii ale matricei A. Analog, p0 (s) este polinomulcaracteristic al matricei A0 a sistemului ı̂n circuit ı̂nchis, deci A0 = A − BC .


Algoritmul 3.2 (Un algoritm de calcul al funcţ iei de transfer T (s) este următorul:)

1. Se calculează valorile proprii λi ale matricei A utilizând algoritmul QR

2. Se formează A0 = A − BC

3. Se calculează valorile proprii λ0i ale matricei A0 utilizând algoritmul QR

4. Se calculează p (s) =n

i=1 (s − λi)5. Se calculează p0 (s) =

ni=1

(s − λ0i)

6. Se calculează N (s) = p0 (s) − p (s)

C) Sarcini de lucru

1. Fie un sistem liniar cu 2 intrări şi două ieşiri dat de următoarea matrice de transfer

H (s) =

1(s−1)2

1(s−1)(s+3)

−6(s−1)(s+3)2

s−2(s+3)2

Găsiţi o realizare pe stare a sistemului.

2. Fie un sistem liniar cu 2 intrări şi o ieşire dat prin reprezentarea pe stare (A,B,C,D).Să se găsească matricea de transfer asociată.

3. Scrieţi o realizare de stare S = (A,b,cT , 0) a funcţiei de transfer T (s) = N (s)/p(s) astfelı̂ncât R(A, b) = I . Idem, astfel ı̂ncât Q(cT , A) = I . În ce condiţii putem avea simultanR(A, b) = Q(cT , A) = I ?

4. Scrieţi un algoritm care calculează o realizare standard observabilă pentru un sistem SISO,respectiv MIMO.


6/26

6

3.3 Teste numerice de controlabilitate şi observabilitate asistemelor liniare


Un sistem liniar S = (A,B,C,D) este controlabil dacă orice tranziţie de stare dorită poatefi realizată prin alegerea adecvată a funcţiei de intrare. Controlabilitatea sistemului liniar S este o proprietate ce depinde numai de perechea (A, B). Avem următoarea caracterizare acontrolabilităţii unui sistem.

Teorema 3.3 Sistemul S = (A,B,C,D) (sau perechea (A, B)) este controlabil(ă) dac˘ a şi nu-mai dac˘ a

rangR = n, (3.11)

unde R = B AB . . . An−1B este matricea de controlabilitate.

Un sistem liniar S = (A,B,C,D) este observabil dacă starea iniţială este unic determinatăcunoscând funcţiile de intrare şi ieşire, obţinute e.g. prin măsurători efectuate la intrările şiieşirile lui S . Observabilitatea sistemului liniar S depinde numai de perechea (C, A).

Teorema 3.4 Sistemul S = (A,B,C,D) (sau perechea (C, A)) este observabil(ă) dac˘ a şi numai dacă

rang Q = n, (3.12)

unde Q =

C

CA...

CAn−1

este matricea de observabilitate.

Examinând ı̂n paralel relaţiile de mai sus, concludem că noţiunile de controlabilitate şiobservabilitate sunt duale , ı̂n sensul că ele corespund prin relaţiile

A ← AT , C ← BT .

În particular avem

Q(C, A) = RT (AT , C T ).

În consecinţă, vom prezenta procedurile de calcul asociate controlabilităţii, rămânând ca celeasociate observabilităţii să rezulte “prin dualitate”.

Procedurile de testare a controlabilităţii unei perechi date (A, B) sunt de două tipuri:

a) Proceduri, numite ad-hoc elementare , care testează controlabilitatea perechii (A, B) uti-lizând direct definiţia 3.3. Aceste proceduri sunt, ı̂n general, neeficiente şi pot fi aplicate cusucces numai pentru perechi de dimensiuni mici.

b) Proceduri care utilizează transformări de asemănare pentru a aduce perechea iniţială(A, B) la o formă “simplă”, pe care proprietatea de controlabilitate să poată fi testată directprin inspecţie. Aceste proceduri, numite ı̂n continuare de transformare , sunt cele mai utilizate ı̂naplicaţii, ı̂n particular şi p entru că facilitează rezolvarea unor probleme de calcul conexe vizând,de exemplu, descompunerea controlabilă, testarea stabilizabilităţii, alocarea polilor etc. Ceamai eficientă procedură de transformare constă ı̂n aducerea perechii (A, B) la forma (superior)Hessenberg prin transformări de asemănare ortogonale.


7/26

3.3. CONTROLABILITATEA ŞI OBSERVABILITATEA 7


În această secţ iune prezentăm două clase de teste a proprietăţii de controlabilitate (şi de ob-

servabilitate prin dualizare): teste elementare de controlabilitate şi metode avansate de testare a controlabilit˘ at ̧ii bazate pe forma Hessenberg .

Teste elementare de controlabilitate

Din clasa procedurilor elementare face parte ı̂n primul rând procedura “directă”, bazată peconstrucţia matricei de controlabilitate R şi testarea condiţ iei de rang (3.11). Construcţiamatricei R se face recurent. Pentru a obţine relaţia de recurenţă fie

Rk = [B AB · · · Ak−1B].

Relaţiile care leagă doi termeni succesivi Rk şi Rk+1 rezultă din partiţiile

Rk+1def

= B ... AB A2B · · · AkB = B ... ARk , (3.13)respectiv

Rk+1def =

B AB · · · Ak−1B... AkB

=

Rk... Bk+1

, (3.14)

unde submatricea Bk+1 = AkB formată din ultimele m coloane ale lui Rk+1 rezultă ı̂n funcţ ie

de submatricea corespunzătoare Bk a lui Rk prin

Bk+1 = ABk, k ≥ 1, (3.15)

iar B1 = B .

Se constată imediat că procedura de construcţie a matricei R bazată pe relaţia (3.13) este

relativ neeconomică ı̂n raport cu cea bazată pe relaţia (3.14). Prima procedură necesită efec-tuarea produselor ARk cu Rk având mk coloane (k ≥ 1) ı̂n timp ce a doua implică efectuareaproduselor ABk cu Bk având numai m coloane. Mai mult, este clar că la fiecare pas k matriceaBk este disponibilă ı̂n Rk, mai precis

Bk = Rk( : , (k − 1)m + 1 : km). (3.16)

Din (3.16) rezultă că nu este necesară nici alocarea unui tablou suplimentar de lucru pentrumemorarea matricei curente Bk, nici calculul pe loc ı̂n B, conform schemei B ← AB, altermenilor şirului Bk, ceea ce ar implica distrugerea matricei iniţiale B. În final obţinemurmătoarea procedură de testare a controlabilităţii perechii (A, B).

Algoritmul 3.3 (Se testează controlabilitatea perechii (A, B) construind ma-

tricea de controlabilitate R).1. R( : , 1 : m) ← B1 = B

2. Pentru k = 2 : n

1. R( : , (k − 1)m + 1 : km) ← Bk = ABk−1

3. Se calculează r = rangR utilizând algoritmul DVS.

4. Dacă r = n atunci

1. Tipăreşte ”Perechea (A, B) este controlabilă.”altfel

Tipăreşte ”Perechea (A, B) nu este controlabilă.”


8/26

8

În ciuda simplităţii sale, algoritmul 3.3 nu este ı̂n general recomandabil ı̂ntrucât matriceaR poate avea un număr ridicat de coloane rezultând la pasul 3 un rang numeric eronat. Deexemplu, dacă m = 1 şi matricea B = b se reduce la o singură coloană atunci, conform relaţiei

(3.13), coloanele b, A b, . . . , Akb , . . . ale matricei (pătrate) R coincid cu vectorii obţinuţi aplicândmetoda puterii vectorului iniţial b1 = b. Prin urmare, dacă n 1, iar matricea A are o valoareproprie dominantă

|λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn|,

atunci ultimele coloane ale lui R sunt practic aliniate cu vectorul propriu x1 al lui A asociat cuλ1. Chiar dacă perechea (A, b) este controlabilă, matricea de controlabilitate R este numericaproape singulară, adică

cond(R) = σ1σn

1,

unde cond(R) este numărul de condiţionare la inversare al matricei R (̂ın raport cu normaspectrală) iar σi, i = 1 : n, sunt valorile singulare ale lui R ordonate astfel ı̂ncât σ1 ≥ σ2 ≥. . . ≥ σn. Fenomenul poartă numele de necontrolabilitate numerică a perechii (A, b) şi ı̂n generalnu poate fi evitat, indiferent de testul de rang utilizat la pasul 3 al algoritmului.

În afară de procedura directă, bazată pe testarea condiţ iei de rang, din grupul metodelorelementare fac parte o serie de proceduri derivate rezumate mai jos.

Propoziţia 3.1 Controlabilitatea perechii (A, B) este echivalent˘ a cu oricare dintre condit ̧iile

1. Nu exist˘ a nici un vector h = 0 astfel ı̂nc ̂at AT h = λh, λ ∈ C si BT h = 0.

2. rang

A − λI B

= n, ∀λ ∈ λ (A).

3. Oricare ar fi vectorul g ∈ Rm

cu proprietatea Bg = 0, exist˘ a o matrice F ∈ Rm×n

astfel ı̂nc ̂at perechea cu o singur˘ a intrare (A − BF,Bg) este controlabil˘ a.

În subsecţiunea C) Sarcini de lucru vom vedea că fiecare dintre aceste criterii are anumiteprobleme din punct de vedere numeric.

Teste elementare de observabilitate

În general, dacă o procedură proc calculează un rezultat R = proc(A, B) privind controla-bilitatea perechii (A, B) atunci rezultatul dual Q, privind observabilitatea perechii (C, A), seobţine cu secvenţa

1. Rd = proc(AT , C T )

2. Q = RT d

De exemplu, dacă proc(A, B) este algoritmul 3.3, care produce matricea de controlabilitate Ra perechii (A, B), atunci secvenţa de mai sus produce matricea de observabilitate Q a perechii(C, A).

Forma Hessenberg controlabilă

Considerăm sistemul liniar S = (A,B,C,D) şi fie S̃ = ( Ã, B̃, C̃, D) un sistem asemenea cu S ,având matricele

Ã = T AT −1, B̃ = T B, C̃ = C T −1, (3.17)


9/26


unde T ∈ Rn×n este o matrice nesingulară arbitrară. Între matricele de controlabilitate şiobservabilitate asociate sistemelor S şi S̃ există următoarele relaţii

˜R = T R,

˜Q = QT

−1

. (3.18)

Rezultă că matricele R şi R̃ au acelaşi rang, deci perechile (A, B) şi ( Ã, B̃) sunt simultan con-trolabile sau necontrolabile. În mod similar, perechile (C, A) şi ( C̃, Ã) sunt simultan observabilesau neobservabile. Pe scurt, proprietăţile de controlabilitate şi observabilitate sunt invarianteı̂n raport cu transformările de asemănare.

Dacă ı̂n (3.17) presupunem că matricea T = U este ortogonală, deci sistemele S şi S̃ suntortogonal asemenea , i.e.,

Ã = U AU T , B̃ = U B, C̃ = C U T , (3.19)

cu U ortogonală, atunci relaţiile (3.18) devin

R̃ = U R, Q̃ = QU T . (3.20)

În cele ce urmează vom descrie procedurile de aducere a perechii (A, B) la o formă simplăutilizând transformările de asemănare ortogonală, cu scopul identificării invarianţilor (ortogonaliai) acestei perechi şi, ı̂n particular, al testării controlabilităţii acesteia. În consecinţă, vomconsidera o pereche (A, B) cu m intrări, nu neapărat controlabilă. Peste tot vom presupuneB = 0 şi vom nota

r def = rangR, r̄

def = n − r, (3.21)

unde evident r satisface inegalitatea 1 ≤ r ≤ n. Procedura de transformare are la bază următorulrezultat general.

Propoziţia 3.2 (Lema de deflaţie controlabilă). Oricare ar fi perechea (A, B) cu rangB =r1 > 0, exist˘ a o matrice ortogonal˘ a U 1 ∈ R

n×n astfel ı̂nc ̂at

A ← Ã = U 1AU T 1 =

A1 X G F

, B ← B̃ = U 1B =

H 10

(3.22)

unde matricea H 1 ∈ Rr1×m este epic˘ a, i.e. rangH 1 = r1. Mai mult, perechea (A, B) este

controlabil˘ a dac˘ a şi numai dac˘ a perechea redus˘ a (F, G), de ordin n − r1 < n, este controlabil˘ a.

Matricea U 1 se determină e.g. aplicând lui B procedura de descompunere a valorilor singulare(DVS). Avem

U 1BV =

Σ1 0

0 0

, (3.23)

unde U 1 şi V ∈ Rm×m sunt ortogonale iar Σ1 este diagonală de ordin r1 > 0 cu elementele

diagonale pozitive. Partiţionând V = [V 1 V 2], unde V 1 are r1 coloane, obţinem

B̃ = U 1B =

Σ1 0

0 0

V T 1V T 2

=

Σ1V

T 1

0

,

unde H 1 = Σ1V T 1 este evident epică de rang r1. După determinarea lui U 1 se aplică U 1 lui A,

i.e. se calculează Ã = U 1AU T 1 , şi ı̂n acord cu (3.22) se evidenţiază perechea redusă (F, G) de

ordin n − r1 cu r1 intrări. În ipoteza G = 0, perechii (F, G) cu rang G = r2 > 0 i se poateaplica din nou o transformare de tip (3.22). Se obţine

F ← F̃ = Ū 2F Ū T 2 =

A2 X Gnou F nou

, G ← G̃ = Ū 2G =

H 2

0


10/26

10

sau echivalent

A ← Ã = U 2AU T 2 =

A1 X X H 2

0

A2 X

Gnou F nou

,

B ← B̃ = U 2B =

H 100

,(3.24)

unde matricele Ū 2 precum şi

U 2 =

I r1 0

0 Ū 2

(3.25)

sunt ortogonale iar matricea H 2 este epică de rang r2. Forma finală a perechii (A, B), obţinutăprin aplicarea repetată a procedurii de deflaţie descrisă ı̂n propoziţia 3.2, se numeşte forma bloc-superior Hessenberg şi este definită prin

A ← Ã = U AU T = AR AR R̄0 AR̄

, B ← B̃ = U B = BR0 , (3.26)

ı̂n care perechea (AR, BR), de ordin r, se găseşte ı̂n forma bloc-superior Hessenberg controlabil˘ a

AR =

A1 X · · · X X H 2 A2 · · · X X

. . . . . .

......

. . . . . .

...H k Ak

, BR =

H 10......0

, (3.27)

unde toate blocurile H i ∈ Rri×ri−1 sunt epice, i.e.

rangH i = ri > 0, i = 1 : k, r0def = m. (3.28)

Evident avem

r =ki=1

ri ≤ n (3.29)

şi ı̂n virtutea condiţ iilor (3.28) perechea (AR, BR) din (3.26) este controlabilă. Mai mult,perechea iniţială (A, B) este controlabil˘ a dacă şi numai dacă r = n, i.e. ( Ã, B̃) = (AR, BR),şi ı̂n acest caz numărul k de blocuri din (3.27) coincide cu indicele de controlabilitate ν al lui(A, B).

Matricea ortogonală U ∈ Rn×n din (3.26) rezultă prin acumularea transformărilor parţiale,i.e.

U = U k · · · U 2U 1, (3.30)

ı̂n care U 1 se determină ca ı̂n demonstraţia lemei 3.2, U 2 are forma (3.25) etc. Subliniem că ı̂nvirtutea structurii lui U 2, premultiplicarea cu U 2 nu modifică primele r1 linii, iar postmultipli-carea cu U T 2 nu modifică primele r1 coloane ale matricei asupra căreia acţionează transformareacorespunzătoare. De asemenea, proprietăţi asemănătoare au toate matricele U i, i = 2 : k din(3.30).

În concluzie, aducerea pe loc a perechii iniţ iale (A, B) la forma bloc-superior Hessenberg(3.26), (3.27) se face printr-o succesiune de transformări ortogonale de asemănare

A ← U iAU T i , B ← U iB, i = 1 : k. (3.31)


11/26


La etapa i = 1 se operează asupra perechii iniţiale (A, B) ca ı̂n propoziţia 3.2, iar la etapelei ≥ 2 se operează analog asupra perechii reduse corespunzătoare (F, G), conţinute ı̂n tabloulA. În particular, transformările U i, i ≥ 2 nu modifică forma lui B obţinută după prima etapă,

deci pentru i ≥ 2 relaţiile (3.36) se reduc la

A ← U iA, A ← AU T i . (3.32)

Pentru a descrie precis algoritmul astfel obţinut, introducem, următoarele proceduri, a cărorscriere explicită revine studenţilor (utilizând, la nevoie, funcţii MATLAB adecvate).

1. Procedura de reducere a lui B decrisă mai sus relativ la Propoziţia 3.2, vezi relaţiile(3.22) şi (3.23), având sintaxa

[ r1, U 1, H 1 ] = red(B).

(Amintim că la etapele i ≥ 2 procedura red se aplică unui bloc G, localizat ı̂n tabloul A).

2. Procedura de premultiplicare a unei matrice cu matricea de transformare curentă

A = mul1(U i, A).

3. Procedura de postmultiplicare a unei matrice cu matricea de transformare curentă

A = mul2(A, U i).

Acumularea transformărilor din 3.30 se face conform schemei

U ← U iU, i = 2 : k (3.33)

cu iniţializarea U = U 1.

Avem următorul algoritm

Algoritmul 3.4 (Dată perechea (A, B) de ordin n cu m intrări şi B = 0 algorit-mul construieşte forma bloc-superior Hessenberg (3.26), (3.27), (3.28) şi acumuleazătransformările. Perechea rezultată suprascrie pe cea iniţială).

1. k = 1

2. [r1, U 1, H 1] = red(B)

3. A = mul1(U 1, A), A = mul2(A, U 1)

4. U = U 1

5. rv = 0, r = r1

6. CONTINUĂ = ’da’

7. Cât timp CONTINUĂ = ’da’

1. ν = k2. Dacă r = n

atunci

1. CONTINUĂ = ’nu’

2. Tipăreşte ”Perechea (A, B) este controlabilă”

altfel

1. G = A(r + 1 : n, rv + 1 : r)

2. Dacă G = 0atunci

1. CONTINUĂ = ’nu’


12/26

12

altfel

1. k ← k + 1 % (etapa k , k ≥ 2)

2. [rk, U k, H k] = red(G)

3. A(r + 1 : n, r + 1 : n) =mul1(U k, A(r + 1 : n, r + 1 : n),A(1 : n, r + 1 : n) = mul2(A(1 : n, r + 1 : n), U k)

4. U (r + 1 : n, 1 : n) = mul1(U k, U (r + 1 : n, 1 : n))

5. rv = r, r ← r + rk

Având ı̂n vedere că numărul k al etapelor de reducere nu este apriori cunoscut, utiliz ămşi aici variabila binară CONTINUĂ cu semnificaţia cunoscută. În final, variabila r furnizeazărangul matricei de controlabilitate R a perechii date (A, B). În cazul r = n, i.e., dacă perechea(A, B) este controlabilă, algoritmul se opreşte la instrucţiunea 7.2. iar ν este indicele de con-trolabilitate. Din contră, dacă algoritmul se opreşte datorită faptului că blocul curent G estenul, atunci perechea (A, B) nu este controlabilă, iar perechea transformată ( Ã, B̃), furnizată de

algoritmul 3.4, are forma (3.26), ı̂n care r < n.

Forma Hessenberg observabilă

Pentru analiza proprietăţilor de observabilitate a unei perechi (C, A) de ordin n cu l ieşiri, l ≥ 1,se procedează prin dualitate. Prin aplicarea schemei de dualizare relativ la algoritmul 3.4, seobţine forma bloc-inferior Hessenberg a perechii (C, A), definită prin

A ← Ã = U AU T =

AQ 0AQ̄Q AQ̄

,

C ← C̃ = CU T =

C Q 0

,

(3.34)

ı̂n care perechea (C Q, AQ) de ordin q se află ı̂n forma bloc-inferior Hessenberg observabil˘ a

AQ =

A1 G2

X A2. . .

......

. . . . . .

X X · · · . . . Gk

X X · · · · · · Ak

, C Q =

G1 0 · · · 0

, (3.35)

unde toate blocurile Gi ∈ Rqi−1×qi sunt monice, i.e.

rangGi = q i > 0, i = 1 : k, q 0def = l. (3.36)

Evident avem

q =ki=1

q i ≤ n (3.37)

şi ı̂n virtutea condiţiilor (3.36) perechea (C Q, AQ) din (3.34) este observabilă. În plus, perechea

init ̧ial˘ a (C, A) este observabil˘ a dacă şi numai dacă q = n, i.e. ( C̃, Ã) = (C Q, AQ), şi ı̂n acestcaz numărul k de blocuri din (3.35) coincide cu indicele de observabilitate al lui (C, A).

În sfârşit, la fel ca ı̂n cazul controlabilităţii, matricea ortogonală U ∈ Rn×n din (3.34) rezultădin acumularea transformărilor parţiale, i.e. U = U k · · · U 2U 1.


13/26

3.4. REALIZ ̆ ARI MINIMALE 13

C) Sarcini de lucru

1. Se consideră următoarea pereche de matrice

A =

1

20 2. . .

. . .

20 1920 20

, b =

200......0

. (3.38)

a) testaţi controlabilitatea folosind criteriul C1 (rangul matricei de controlabilitate).Testaţi buna condiţionare a matricei de controlabilitate pe baza valorile singulare. Cese constată?

b) testaţi controlabilitatea folosind testul C2 pentru valoarea proprie 20 (cel mai rău caz).

Obtineţi un rezultat corect? Ce puteţi spune despre acest test ı̂n comparaţie cu primul?

c) testaţi controlabilitatea folosind testul C2 ı̂n felul următor: perturbaţi matricea A ı̂n

poziţia (1,20) cu o valoare mică δ = 10−12; alegeţi un vector b̂ astfel ı̂ncât o valoareproprie, de exemplu λ = 1 să nu fie controlabilă, i.e. rank

Â − I | b̂

< 20. Ce

rezultate dă testul C2 aplicat valorilor proprii calculate ale matricei Â ?

d) faceţi o comparaţie ı̂ntre testele C2 şi C3 folosind b̂ = [0, 1, 1, . . . , 1]T şi Â matriceainiţială; aplicaţi o transformare ortogonală pe spaţiul stărilor perechii (A,b). Studiaţi

valorile proprii rezultate pentru Â + b̂f pentru un f oarecare şi numerele de condiţionareale

b̂ | Â − λiI

ı̂n valorile proprii calculate λi ale matricei Â.

2. Se vor scrie programele MATLAB pentru implementarea algoritmului de construcţie a

matricei de controlabilitate şi de testare elementară a controlabilităţii unei perechi (A, B).Se vor compara soluţia calculată cu programul propriu cu cel oferit de funcţia MATLABdisponibilă.

3. Se va scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de calcul al formeiHessenberg complete a unei perechi (A, B) a unui sistem cu mai multe intrări şi se vacompleta cu testarea controlabilităţii acestei perechi.

3.4 Calculul realizărilor minimale

A) Descriere teoretica

Principalul rezultat al teoriei realizării sistemelor liniare afirmă că orice sistem S = (A,B,C,D)este echivalent intrare-iȩsire, i.e. are aceeaşi matrice de transfer, cu un sistem de ordin minimS m = (Am, Bm, C m) care este simultan controlabil şi observabil. Mai mult, sistemul S m estedeterminat până la o transformare de asemănare şi, ı̂n esenţă, coincide cu partea simultancontrolabilă şi observabilă a sistemului dat S .

Definiţia 3.3 Un sistem S m = (Am, Bm, C m) controlabil şi observabil, echivalent intrare-ieşire cu S se numeşte realizare minimală a lui S .

Mai general, orice sistem S m = (Am, Bm, C m) controlabil şi observabil se numeşte minimal.


14/26

14


În consecinţă, o realizare minimală (i.e. de ordin minim) a unei matrice de transfer date T (s)

poate fi construită aplicând următoarea procedură.

Algoritmul 3.5 ( Construieşte o realizare minimală a matricei de transfer T (s)).

1. Se construieşte o realizare observabilă S = (A,B,C,D) a lui T (s), utilizândformele standard observabile, expuse ı̂n secţiunea 3.2.

2. Se construieşte descompunerea controlabilă

Ã = U AU T =

AR AR R̄

0 AR̄

, B̃ = U B =

BR

0

,

utilizând algoritmul 3.4 şi se aplică transformarea U matricei C , i.e.

C̃ = C U T = [ C R C R̄ ] .

3. Se reţine partea controlabilă S m = (AR, BR, C R) a tripletului transformat,unde

AR = Ã(1 : r, 1 : r), BR = B̃(1 : r, :)

este partea controlabilă a perechii (A, B) iar

C R = C̃ ( : , 1 : r).

C) Sarcini de lucru

1. Se va scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de calcul al uneirealizări minimale a unei perechi (A, b) a unui sistem cu o singură intrare şi o singurăieşire. Se va compara soluţia calculată cu programul propriu cu cea oferită de funcţiaMATLAB disponibilă. Se vor aborda cazurile ı̂n care transformarea de asemănare pestare este: a) inversabila; b) ortogonala.

2. Se va scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de calcul al uneirealizări minimale a unui sistem (A,B,C,D) cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri. Sevor aborda cazurile ı̂n care transformarea de asemănare pe stare este: a) inversabilă; b)ortogonală. Se va compara soluţia calculată cu programul propriu cu cea oferită de funcţiaMATLAB disponibilă.

3. Se vor analiza sursele funcţiilor MATLAB ctrb şi ctrbf şi minreal şi se vor identificametodele folosite.

3.5 Calculul realizărilor balansate

Principala proprietate a realizărilor balansate este că transformarea de asemănare se alege astfelı̂ncât gramienii de controlabilitate şi de observabilitate sunt egali cu o matrice diagonală cuelementele diagonale ı̂n ordine descrescătoare. Mărimile elementelor diagonale ale gramienilorreflectă contribuţia intrărilor vectorului de stare la ieşirea sistemului.


15/26

3.5. REALIZ ̆ ARI BALANSATE 15


Considerăm sistemul liniar S = (A,B,C,D). Vom presupune că sistemul S este stabil.

Definiţia 3.4 Se numeşte gramian de controlabilitate al sistemului S matricea simetric˘ a

Lc (t) :=

t 0

eA(t−τ )BBT eAT (t−τ )dτ. (3.39)

Dacă matricea A este asimptotic stabilă, atunci limita limt→∞

Lc (t) este finită, se notează cu

Lc şi este numită gramian de controlabilitate asimptotic .

Analog se defineşte şi gramianul de observabilitate.

Gramianul de controlabilitate Lc, respectiv gramianul de observabilitate Lo satisfac ecuaţiileLyapunov

ALc + LcAT + BBT = 0AT Lo + LoA + C

T C = 0 . (3.40)

Valorile singulare Hankel , σhi , ale sistemului S sunt radacinile patrate pozitive ale valorilorproprii λi ale produsului LcLo, deci

σhidef = [λi (LcLo)]

1/2 . (3.41)

Vom presupune ca ca σhi sunt ordonati descrescator.

Definiţia 3.5 Sistemul S se numeşte balansat dac˘ a ambii gramieni sunt egali cu matricea diagonal˘ a a valorilor singulare Hankel.

Vom presupune ı̂n continuare că sistemul S este controlabil şi observabil. Rezultă că putemscrie descompunerile Cholesky ale matricelor Lc si Lo

Lc = S T S, Lc > 0 (3.42)

şiLo = R

T R, Lo > 0. (3.43)

Valorile singulare Hankel se pot exprima ı̂n termenii matricelor S şi R. Astfel, dacă substi-tuim ı̂n (3.41) Lc şi Lo date de (3.42) şi (3.43), atunci mulţimea valorilor singulare Hankel estedată de

{σhi} =

λi

S T SRT R1/2

=

λi

RS T SRT 1/2

=

σi

SRT

(3.44)

unde

σi

SRT

este prin definiţie mulţimea valorilor singulare ale produsului S RT .

Considerăm descompunerea valorilor singulare (DVS) a matricei S RT

SRT = U ΣV T , (3.45)

unde Σ este matricea diagonală a valorilor singulare Hankel. Fie T matricea definită de

T = S T U Σ−1/2. (3.46)


16/26

16

Se poate verifica imediat că inversa ei se poate exprima ca

T −1 = Σ−1/2V T R. (3.47)

Sistemul ( A, B, C, D) dat deA = T −1AT, B = T −1B, C = C T, D = D (3.48)

este o realizare balansată a sistemului (A,B,C,D).

Dacă Lc şi Lo sunt matricele gramian corespunzatoare sistemului ( A, B, C, D), ele se potexprima ı̂n funcţie de Lc şi Lo ı̂n forma

Lc = T −1LcT −T (3.49)Lo = T T LoT (3.50)

după cum se poate verifica imediat prin ı̂nlocuire directă ı̂n (3.40). Folosind (3.47) şi (3.42)obţinem din (3.49)

Lc = Σ−1/2V T R S T S RT V Σ−1/2 = Σiar din (3.50) folosind (3.46) şi (3.43)

Lo = Σ−1/2U T S RT RS T U Σ−1/2 = Σ.B) Testare numerică

În consecinţă, o realizare balansată (i.e. cu gramienii de controlabilitate si observabilitateegali si diagonali) a unei matrice de transfer date T (s) poate fi construită aplicând următoareaprocedură.

Algoritmul 3.6 ( Construieşte o realizare balansată a sistemului minimal stabil(A,B,C,D)).

1. Se calculează factorii Cholesky S şi R astfel ı̂ncât Lc = S T S , Lo = RT R

2. Se calculează DVS astfel ı̂ncât S RT = U ΣV T

3. Se calculeazâ T = S T U Σ−1/2, T −1 = Σ−1/2V T R.

C) Sarcini de lucru1. Care credeţi că ar putea fi o posibilă utilizare a realizărilor balansate? (ganditi-vă la o

posibilitate de a scrie realizări minimale)

Programe MATLAB disponibile

Construcţia matricei de controlabilitate R a perechii (A, B) se face cu funcţia ctrb, care im-plementează algoritmul 3.3, mai precis versiunea acestuia bazată pe formula (3.13). Pentruconstrucţia formei bloc-superior Hessenberg a unei perechi (A, B) este disponibilă funcţia ctrbf .Construcţia unei realizări minimale se poate face utilizând funcţia minreal.


17/26


Bibliografie

[1] Ionescu V., Varga A. Teoria sistemelor - Sinteza robust˘ a, metode numerice de calcul ,

Ed. All, Bucureşti 1994.

[2] Jora B., Popeea C., Barbulea S. Metode de Calcul Numeric ı̂n Automatic˘ a , Ed.Enciclopedică, Bucureşti 1996.

[3] Van Dooren P. Numerical Linear Algebra for Signals Systems and Control


18/26

18

ANEXA

Sectiunea 3.1 Problema 1.

function stabilitate(A)

lambda = eig(A);

alpha = max(lambda);

if (alpha < 0)

disp ’Sistemul este stabil’;

else

disp ’Sistemul este instabil’;

end

Sectiunea 3.1 Problema 3.

% Eliminare gaussiana pentru matricea A

function [A,rez] = gauss(A);

[n,n] = size(A);

rez = 0; %variabila care va indica prezenta unui pivot nul

for k = 1 : n-1,

if (A(k,k) == 0)

rez = k;

break; %daca am intalnit un pivot nul ies

end

for i = k+1 : n,

A(i,k) = A(i,k) / A(k,k);

end

for j = k+1 : n,

for i = k +1 : n,

A(i,j) = A(i,j) - A(i,k)*A(k,j);

end

end

end

% Aplicarea eliminarii gaussiene pentru matricea Hurwitz H

function [H,rez] = gauss Hurwitz(poli)

dim=size(poli);


19/26


coeff=dim(2);

% constructia matricei Hurwitz

H=zeros(coeff-1);

for i=1:coeff,

H(1+rem(i,2),ceil(i/2))=poli(i);

end

if (rem(coeff,2) =0)

H(1,ceil(coeff/2)) = 0;

end

for i = 3 : coeff-1

H(i,:) = [0 H(i-2,1:coeff-2)];

end

% eliminare gaussiana

[H,rez] = gauss(H);

if (rez > 0)

disp(’Am gasit un pivot nul’);

end

% Testarea valorilor proprii ale matricei companion

function [r,H,lambda]=companion(poli)

dim=size(poli);

coeff=dim(2);

for i = 2 : coeff

poli(i) = poli(i)/poli(1);

end

for i = 1 : coeff-1

r(i) = poli(coeff-i+1);

end

% matricea companion

H = [zeros(coeff-2,1) eye(coeff-2);-r];

lambda = eig(H);


20/26

20

Sectiunea 3.1 Problema 3.(varianta)

function RA=routh(poli,epsilon);

if (nargin


21/26


fprintf(’Caz special: Primul element este zero.’);

RA(i-1,1)=epsilon; %inlocuieste cu epsilon

end

%calculeaza elementele vectorului Routh

for j=1:index(i-2),

RA(i,j)=-det([RA(i-2,1) RA(i-2,j+1);

RA(i-1,1) RA(i-1,j+1)])/RA(i-1,1);

end

end

Sectiunea 3.2 Problema 1

H=tf([0 1],[0 1];[0 -6],[1 -2],[0 1 -2 1],[0 1 2 -3];[1 5 3 -9],[0 1 6 9]);

sys = ss(H);

A = sys.a

B = sys.b

C = sys.c

D = sys.d


A=[0 0 1 0;1 0 2 0;0 1 3 1;0 0 -21 5];B=[1 0;0 0;0 0;0 1];

C=[1 5 4 1];

D=[0 0];

[num1,den1] = ss2tf(A,B,C,D,1)

[num2,den2] = ss2tf(A,B,C,D,2)


% Constructia realizarii standard observabile in cazul SISO

function [A o,B o,C o,D o] = obsv siso(num,den)

[n] = length(den);

[m] = length(num);

if (m > n)

disp (’functie improprie’);

else


22/26

22

if (m == n)

[q,r] = deconv(num,den);

D o = q;

num = r(2:length(r));

else

D o = 0;

end

A o(:,1) = -den(2:length(den))’

A o(1:n-2,2:n-1) = eye(n-2);

A o(n-1,2:n-1) = zeros(1,n-2);

B o = num’;

C o(1,1) = 1;

C o(1,2:n-1) = zeros(1,n-2);

end

% Constructia realizarii standard observabile in cazul MIMO

function [A,B,C,D] = obsv MIMO(T)

[p,m] = size(T)

[num,den] = tfdata(T(1,1),’v’);

% initializare cmmmc

f = den;for i = 1 : p,

for j = 1 :m,

[num,den] = tfdata(T(i,j),’v’);

f = deconv(conv(f,den),PolyGcd(f,den));

end

end

for i = 1 : p,

for j = 1 :m,

[num,den] = tfdata(T(i,j),’v’);

tmp = deconv(num,den);

D(i,j) = tmp(1);

[num1,den1] = tfdata(T(i,j)-D(i,j),’v’);

N(i,j) = tf(conv(deconv(f,den1),num1),1);

end

end

dim=size(f);


23/26


n=dim(2);

% constructia lui B

l=1;

while (l


24/26

24

end

g = p2;

function [q,v] = recast(p)

% impartirea elementelor unui vector prin cmmdc

v = norm(p,inf);

if abs(p) == 0; q = abs(p); v = 1; return; end;

if length(p) > 1;

for j = 1:length(p), v = gcd(v,p(j)); end;

end;

q = p/v;if p(1) = 0; q=q*sign(p(1)); end;


a)

A = diag([1:20]) + diag(ones(1,19),-1)*20;

b = [20;zeros(19,1)];

R = ctrb(A,b);

svd(R)

Obţinem următorul rezultat

ans =

2.6110e+28

2.1677e+28

...

4.0545e+047.8271e+01

2.0000e+01

care indică o matrice singulară.

b) Folosind C2 obţinem ca rang pentru valoarea proprie 20 (cel mai rău caz):

svd([A-20*eye(size(A)),b])

ans =


25/26


3.6313e+01

...

5.9214e+00

soluţie care este departe de a fi singulară.

Aceasta arată că testul bazat pe calculul rangului matricei de controlabilitate nu este ”deı̂ncredere”.

c) Şi testul C2 suferă de dificultăţi ı̂n cazul matricei date A. Dacă perturbăm A ı̂n poziţia(1, 20) cu o valoare δ = 10−12 atunci valorile proprii ı̂şi vor schimba prima şi/sau a doua cifrăseminificativă. Ca o consecinţă, testul C2 nu se va efectua folosind valorile proprii reale alematricei Â, ci unele puternic perturbate. Acest calcul este independent de vectorul b. Dacăluăm un vector b̂ astfel ı̂ncât o anume valoare proprie, de exmplu 1, nu este controlabilă, i.e.,

rank ˆA − I | ˆb < 20, ca de exemplu ˆb = [1e401e401e401e40zeros(1, 16)] atunci testulC2 aplicat valorii proprii calculate a lui Â va da rezultate complet eronate.A = diag([1:20]) + diag(ones(1,19),-1)*20;

A(1,20) = 1e-12;

b=[1e40 1e40 1e40 1e40 zeros(1,16)]’;

rank([A-eye(20) b])

vp = eig(A)

for i = 1 : length(vp),

rank([A-vp(i)*eye(20) b])

end

rank(ctrb(A,b))

d) Acelaşi lucru poate fi spus şi despre testul C3. Dacă ( Â, b̂) este necontrolabilă pentru

valoarea proprie λ = 1, atunci o reacţie f nu va putea muta valoarea proprie λ = 1 ı̂n Â + b̂f .Totuşi pentru că valorile proprii ale lui A (şi Â) sunt atât de sensibile este foarte puţin posibil

ca Â şi Â + b̂f să aibă o valoare proprie foarte apropiată de λ = 1.

Eigenvalues λi(A) Eigenvalues µi(A + b̂f ) K ( b; A − λiI )−.32985 ± j1.06242 .99999 .002.92191 ± j3.13716 −8.95872 ± j3.73260 .004

3.00339 ± j4.80414 −5.11682 ± j9.54329 .0075.40114 ± j6.17864 −.75203 ± j14.148167 .0128.43769 ± j7.24713 5.77659 ± j15.58436 .018

11.82747 ± j7.47463 11.42828 ± j14.28694 .02615.10917 ± j6.90721 13.03227 ± j12.90197 .03218.06886 ± j5.66313 18.59961 ± j14.34739 .04020.49720 ± j3.81950 23.94877 ± j11.80677 .05222.06287 ± j1.38948 28.45618 ± j8.45907 .064

32.68478


26/26

26

Tabelul a fost obţinut pentru testele C2 şi C3 folosind b̂ şi Â ca ı̂n enunţ. În loc de aperturba un element al matricei Â folosim o transformare ortogonală oarecare Q pe spaţiulstărilor asupra sistemului ( Â, b). Valorile proprii rezultate pentru Â + b̂f pentru un f oarecare

şi numerele de condiţionare ale b̂ | Â − λiI ı̂n valorile proprii calculate λi ale matricei Âsunt date ı̂n Tabelul 3.1. Precizia maşină folosită pentru test a fost ∼ 10−8.

A = diag([1:20]) + diag(ones(1,19),-1)*20;

b = [0 ones(1,19)]’;

T = orth(rand(20));

A = T*A*T’;

b = T*b;

eigs = eig(A+b*rand(1,20))

for i = 1:length(eigs)

rank([A-eigs(i)*eye(20) b])

svds = svd([b A-eigs(i)]);

k = svds(1)/svds(length(svds))

end

Când se folosesc ı̂n loc de λi

Â

, valorile corecte λi (A), testul C2 dă ca rezultat κ

b̂ | Â − λ1I

∼

10−18, care indică faptul că problemă o constituie sensibilitatea valorilor proprii.

tsa lab 3 analiza pe stare

Documents