un nou món creat del no res - uab barcelonamat.uab.es/~agusti/santalbertoral.pdfun nou món creat...
TRANSCRIPT
![Page 1: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/1.jpg)
Un nou món creat del no res
Un món on es pot quadrar el cercle!
17 novembre 2004, Sant Albert
Facultat de Ciencies UAB
AGUSTI REVENTOS
– p.1
![Page 2: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/2.jpg)
Euclides
– p.2
![Page 3: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/3.jpg)
Euclides∼ 300aC.
– p.3
![Page 4: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/4.jpg)
Escola d’Atenes.Raffaello 1510
– p.4
![Page 5: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/5.jpg)
Escola d’Atenes
1. Plató 2. Aristòtil 3. Sòcrates7. Zenó 11. Pitàgores 13. Heràclit
15. Euclides17. Ptolemeu 18. Autoretrat de Raphael
– p.5
![Page 6: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/6.jpg)
Euclidesamb un compàs
– p.6
![Page 7: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/7.jpg)
Els Elements
Pergamí grec. Segle IX. Vaticà. – p.7
![Page 8: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/8.jpg)
Els Elements
Abu Jafar Muh. b. al-Hasan Nasiraddin at-Tusi,1258 – p.8
![Page 9: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/9.jpg)
Els Elements
Primera edició impresa. Venecia1482 – p.9
![Page 10: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/10.jpg)
Els Elements
– p.10
![Page 11: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/11.jpg)
POSTULATS
1. Podem dibuixar línies rectes des de qualsevol punt aqualsevol punt.
2. Podem prolongar una línia recta finita contínuamenta una línia recta.
3. Podem descriure un cercle amb qualsevol centre idistància.
– p.11
![Page 12: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/12.jpg)
POSTULATS
4. Tots els angles rectes són iguals.
– p.12
![Page 13: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/13.jpg)
POSTULATS
5. Si una línia recta és tallada per dues línies rectes demanera que els angles interiors del mateix costatsumin menys de dos rectes, i si aquestes dues líniesrectes es prolonguen indefinidament, llavors estallen en el costat on estan aquests angles que sumenmenys de dos rectes.
– p.13
![Page 14: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/14.jpg)
CINQUE POSTULAT
Si α + β < π, r i s es tallen.
– p.14
![Page 15: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/15.jpg)
CINQUE POSTULAT
Ja s’han tallat.
– p.15
![Page 16: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/16.jpg)
Enunciats equivalents
1. Per un punt exterior a una recta hi passa una únicaparal.lela.
2. Tres punts no alineats determinen unacircumferència.
3. Existeixen triangles semblants.
4. Hi ha triangles d’àrea tan gran com vulguem.
5. Els angles d’un triangle sumen el mateix que dosangles rectes.
6. Les equidistants són rectes.
– p.16
![Page 17: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/17.jpg)
Negació del cinquè postulat
Donada una recta i un punt exterior, passen peraquest punt més d’una rectes que no tallen la rectadonada.
– p.17
![Page 18: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/18.jpg)
Construccions amb regle i compàs
– p.18
![Page 19: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/19.jpg)
Regle i compàs
– p.19
![Page 20: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/20.jpg)
Regle i compàs
Punt construït↔ Interseccióde rectes i/ocircumferències ja construïdes
– p.19
![Page 21: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/21.jpg)
Mediatriu
– p.20
![Page 22: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/22.jpg)
Rectangle auri
– p.21
![Page 23: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/23.jpg)
Rectangle auri
– p.22
![Page 24: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/24.jpg)
Rectangle auri
– p.23
![Page 25: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/25.jpg)
Rectangle auri
– p.24
![Page 26: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/26.jpg)
Rectangle auri
• BF/BC = Φ
– p.25
![Page 27: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/27.jpg)
Partenó
– p.26
![Page 28: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/28.jpg)
Partenó
– p.27
![Page 29: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/29.jpg)
Φ = 1, 618... Φ−1
= 0.618...
– p.28
![Page 30: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/30.jpg)
Home deVitrubi
– p.29
![Page 31: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/31.jpg)
Home deVitrubi
– p.30
![Page 32: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/32.jpg)
Marc Vitrubi Pol .lió
– p.31
![Page 33: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/33.jpg)
Pentàgon
– p.32
![Page 34: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/34.jpg)
Mitjana i extrema raó
El total és a la part gran com la gran és la petita.ACAB = AB
CB = Φ
– p.33
![Page 35: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/35.jpg)
Triangle auri
ACAB = Φ.
Construïm la mediatriu deBC.
– p.34
![Page 36: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/36.jpg)
Triangle auri
ACAB = Φ.
Tallem amb la circumferència de centreA i radi AC.
– p.35
![Page 37: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/37.jpg)
Triangle auri
El 4ACD és auri, ja queCD = BD = BA.
– p.36
![Page 38: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/38.jpg)
Pentàgon i raó àuria
4ACD = 72◦, 72◦, 36◦.
– p.37
![Page 39: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/39.jpg)
Pentàgon i raó àuria
4ACD = 72◦, 72◦, 36◦.
ACCD = Φ
– p.37
![Page 40: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/40.jpg)
Leda Atòmica. Dalí 1949
– p.38
![Page 41: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/41.jpg)
Leda Atòmica. Dalí 1949
– p.39
![Page 42: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/42.jpg)
Leda Atòmica. Dalí 1949
– p.40
![Page 43: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/43.jpg)
Polígons regulars
Quins polígons regulars es poden dibuixar amb reglei compàs?
El primer que no es pot dibuixar és l’eptàgon
Gauss, als disset anys, va construir el de17 costats
Es poden construir els de3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17, . . . costats
– p.41
![Page 44: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/44.jpg)
Polígons regulars
TEOREMA(Gauss1801) El polígon regular de ncostats es pot construir amb regle i compàs si inomés sin té una descomposició en factors primersde la forma
n = 2α(22α1
+ 1) · (22α2
+ 1) · · · (22αk + 1)
onα1, α2, ..., αk són enters diferents entre ells.
– p.42
![Page 45: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/45.jpg)
Polígons regulars
TEOREMA(Gauss1801) El polígon regular de ncostats es pot construir amb regle i compàs si inomés sin té una descomposició en factors primersde la forma
n = 2α(22α1
+ 1) · (22α2
+ 1) · · · (22αk + 1)
onα1, α2, ..., αk són enters diferents entre ells.
Primers deFermat(22a
+ 1): 3, 5, 17, 257, 65537, ..
– p.42
![Page 46: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/46.jpg)
Quadratura del cercle
– p.43
![Page 47: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/47.jpg)
Quadratura del cercle
– p.44
![Page 48: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/48.jpg)
Quadratura del cercle
Anaxagoras499 − 428 aC.
Aristofanesen fa burla aEls ocells,414 aC.
– p.45
![Page 49: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/49.jpg)
Quadratura del cercle
TEOREMA[P. L. Wantzel,1837] Els nombres realsconstruïbles amb regle i compàs són arrels depolinomis que tenen per coeficients nombresracionals.
– p.46
![Page 50: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/50.jpg)
Quadratura del cercle
TEOREMA[P. L. Wantzel,1837] Els nombres realsconstruïbles amb regle i compàs són arrels depolinomis que tenen per coeficients nombresracionals.
Exemple:a =√
2, a2 − 2 = 0.
– p.46
![Page 51: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/51.jpg)
Quadratura del cercle
TEOREMA[F. Lindemann,1882] El nombreπ no ésarrel de cap polinomi a coeficients racionals.
L. F. von Lindemann,1852 − 1939
– p.47
![Page 52: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/52.jpg)
Quadratura del cercle
Si poguéssim construir√
π (quadrar el cercle),podríem construirπ.
– p.48
![Page 53: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/53.jpg)
Quadratura del cercle
Si poguéssim construir√
π (quadrar el cercle),podríem construirπ.
– p.48
![Page 54: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/54.jpg)
Quadratura del cercle
Si poguéssim construir√
π (quadrar el cercle),podríem construirπ.
Contradicció
– p.48
![Page 55: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/55.jpg)
Geometria Absoluta
– p.49
![Page 56: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/56.jpg)
Geometria Absoluta
G. Saccheri (1667-1733): Euclidesab omni naevovindicatus: sive conatus geometricus quostabiliuntur prima ipsa universae geometriaeprincipia.
J. H. Lambert (1728 − 1777): Theorie derParallellinien.
– p.50
![Page 57: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/57.jpg)
Geometria Absoluta
Saccheri Lambert
– p.51
![Page 58: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/58.jpg)
Geometria Absoluta
Saccherirebutjal’hostil hipòtesi de l’angle agutperquè obté resultatsque repugnen la natura de lalínia recta.
– p.52
![Page 59: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/59.jpg)
Geometria Absoluta
Saccherirebutjal’hostil hipòtesi de l’angle agutperquè obté resultatsque repugnen la natura de lalínia recta.
Lambertveu possible una geometria sense el cinquèpostulat:M’inclino a pensar que la hipòtesi del’angle agut és certa en alguna esfera de radiimaginari.
– p.52
![Page 60: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/60.jpg)
Geometria Absoluta
Saccherirebutjal’hostil hipòtesi de l’angle agutperquè obté resultatsque repugnen la natura de lalínia recta.
Lambertveu possible una geometria sense el cinquèpostulat:M’inclino a pensar que la hipòtesi del’angle agut és certa en alguna esfera de radiimaginari.
Taurinus(1794-1874) desenvolupa aquesta ideaarribant a l’angle de paral.lelisme.
– p.52
![Page 61: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/61.jpg)
Geometria esfèrica
– p.53
![Page 62: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/62.jpg)
Triangle esfèric
Menelaus d’Alexandria(70 − 130 dC.) defineixtriangle esfèric aSphaerica.
Un triangle esfèric és l’espai inclòs per arcs decercles màxims sobre la superfície de l’esfera [...]aquests arcs són sempre menors que un semicercle.
– p.54
![Page 63: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/63.jpg)
Àrea de l’esfera
Arquimedes: Àrea= 4πR2.
– p.55
![Page 64: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/64.jpg)
Àrea d’un fus
Àrea d’un fus esfèricFα = 2R2α.
– p.56
![Page 65: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/65.jpg)
Àrea d’un triangle
A partir de les àrees dels fusos es veu que
Àrea= R2(α + β + γ − π) = R2 · Excés
– p.57
![Page 66: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/66.jpg)
Longitud d’una circumferència
L = 2πρ = 2πR sin α = 2πR sinr
R.
Criteri per saber on vivim.– p.58
![Page 67: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/67.jpg)
Teorema dePitàgores
cosc
R= cos
a
R· cos b
R
– p.59
![Page 68: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/68.jpg)
R → ∞
– p.60
![Page 69: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/69.jpg)
Àrea del triangle
Àrea= R2(α + β + γ − π) = ∞ · 0.
– p.61
![Page 70: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/70.jpg)
Longitud de la circumferència
L = 2πR sinr
R∼ 2π r.
– p.62
![Page 71: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/71.jpg)
Teorema dePitàgores
cosa
R∼ 1 − a2
2R2
1 − c2
2R2∼ (1 − a2
2R2) · (1 − b2
2R2)
c2 = a2 + b2
– p.63
![Page 72: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/72.jpg)
Esfera Imaginària
– p.64
![Page 73: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/73.jpg)
Esfera imaginària
Formalment substituïmR perRi i recordem
cos ix = cosh x, sin ix = i sinh x.
– p.65
![Page 74: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/74.jpg)
Exponencial complexa
Fórmula d’Euler eix = cos x + i sin x
cosh x = ex+e−x
2, sinh x = ex−e−x
2
– p.66
![Page 75: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/75.jpg)
Àrea d’un triangle
Àrea = (Ri)2(α + β + γ − π)
= R2(π − (α + β + γ))
= R2 · Defecte
– p.67
![Page 76: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/76.jpg)
Longitud d’una circumferència
L = 2πRi sinr
Ri= 2πR sinh
r
R.
Criteri per saber on vivim.
– p.68
![Page 77: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/77.jpg)
Teorema dePitàgores
coshc
R= cosh
a
R· cosh b
R
– p.69
![Page 78: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/78.jpg)
Angle de paral.lelisme
cos α = sin β cosh aR
Si A → ∞, α → 0,
1 = sin β(a) cosha
R
• β(a) = 2 arctan e−a/R
– p.70
![Page 79: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/79.jpg)
C. F. Gauss
– p.71
![Page 80: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/80.jpg)
C. F. Gauss
– p.72
![Page 81: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/81.jpg)
Carta a F. W. Bolyai (1813)
Si es pogués demostrar l’existència d’un triangled’àrea tan gran com vulguem, aleshores es podriademostrar amb tot rigor la totalitat de la geometriaeuclidiana.Moltes persones prendrien aquestaproposició com un axioma, però jo no!
– p.73
![Page 82: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/82.jpg)
Carta a Taurinus (1824)
No és correcta la seva demostració de què la sumadels angles d’un triangle no pot ser inferior a dosrectes:aquest és el punt crític, el penya-segat on esprodueixen tots els naufragis.
– p.74
![Page 83: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/83.jpg)
Els Bolyai
– p.75
![Page 84: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/84.jpg)
Farkas i Janos Bolyai
Marosvásárhely– p.76
![Page 85: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/85.jpg)
Farkas Bolyai
TentamenJuventutem Studiosamin Elementa MatheseosPurae Introducendi.(1832)
– p.77
![Page 86: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/86.jpg)
Carta al seu fill, 1820
Per l’amor de Deu!Deixa les paral.lelestranquil.les, abjura d’elles com d’una xerradaindecent, et prendran (com a mi) el teu temps, lasalut, la tranquil.litat i la felicitat de la teva vida.
– p.78
![Page 87: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/87.jpg)
J. Bolyai
Palau de cultura de
Marosvásárhely
– p.79
![Page 88: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/88.jpg)
Carta de Janosa Farkas, 1823
He descobert coses tan superbes que jo mateix esticatònit, i significaria una vergonya eterna deixar-hoperdre per sempre; si vostè, apreciat pare, les veu,les reconeixerà; ara no puc dir més:
del no res he creat un mónnou i diferent.
– p.80
![Page 89: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/89.jpg)
J. Bolyai
– p.81
![Page 90: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/90.jpg)
Carta de Gaussa Farkas (1832)
Si començo dient que no el puc alabar, restaràsdesconcertat. No obstant no puc fer altra cosa:Sil’alabés, m’alabaria a mi mateix, ja que el totalcontingut del treball, el camí que segueix el teu fill iels resultats a que ha arribat, coincideixen quasicompletament amb les meves reflexions de fa trentao trenta-cinc anys.
– p.82
![Page 91: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/91.jpg)
Carta de Gaussa Gerling (1832)
He llegit aquests dies un petit treball d’un hongarès,sobre geometries no euclidianes, que conté totes lesmeves idees i resultats.
Tinc a aquest jove geòmetra com un dels més gransgenis.
– p.83
![Page 92: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/92.jpg)
Carta de Farkas a Gauss, 1816
1. No tens pas una filla que pugui esdevenir(recíprocament) perillosa en aquesta època...? 2.Estàs sa i no ets pobre? Estàs satisfet i noreganyaire? I, principalment, és la teva donaexcepcional entre totes les dones? No és ella mésvariable que un penell. És imprevisible com el canvid’un baròmetre?...
– p.84
![Page 93: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/93.jpg)
Quadratura del cercle (hiperbòlic)
– p.85
![Page 94: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/94.jpg)
Angle de paral.lelisme
– p.86
![Page 95: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/95.jpg)
Angle de paral.lelisme
– p.87
![Page 96: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/96.jpg)
Angle de paral.lelisme
– p.88
![Page 97: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/97.jpg)
Angle de paral.lelisme
– p.89
![Page 98: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/98.jpg)
Segment de paral.lelisme
Tenim un angleα = BAM .
– p.90
![Page 99: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/99.jpg)
Segment de paral.lelisme
Tracem la paral.lela.
– p.91
![Page 100: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/100.jpg)
Segment de paral.lelisme
Tracem les perpendiculars.
– p.92
![Page 101: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/101.jpg)
Segment de paral.lelisme
Π(AL) = α.
– p.93
![Page 102: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/102.jpg)
Triangle d’àrea π/8
Àrea= π − (π2
+ π4
+ π8) = π/8.
– p.94
![Page 103: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/103.jpg)
Quadrat d’àrea π
Àrea= 8 π8
= π.
– p.95
![Page 104: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/104.jpg)
Quadrat d’àrea π
sin3π
8= cosh a · sin π
4cosh c = cosh a · cosh b
a és el catet d’un triangle rectangle d’hipotenusaΠ−1(π/4) i altre catetΠ−1(3π/8) i per tantconstruïble.
– p.96
![Page 105: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/105.jpg)
Cercled’àrea π
Àrea cercle= π(2 sinh r2)2 = π tan2 z.
z és el complementari de l’angle de paral.lelisme der/2.
– p.97
![Page 106: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/106.jpg)
Cercled’àrea π
Només hem de construirz = π/4 i r a partir deΠ(r/2) = π/4.
Això acaba la quadratura del cercle hiperbòlica, ambl’advertència de que no pas tot cercle hiperbòlic espot quadrar! Quins es poden?
– p.98
![Page 107: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/107.jpg)
Realitzem l’esfera imaginària
– p.99
![Page 108: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/108.jpg)
Problema
Trobar una superfície on la longitud de lescircumferències de radir sigui
L = 2π sinh r
– p.100
![Page 109: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/109.jpg)
Tractriu
Corba amb subtangent1.
y′ = − y√1−y2
– p.101
![Page 110: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/110.jpg)
Tractriu
Trajectòria d’un cos situat a(0, 1) en ser arrossegatdes de(0, 0) sobre l’eix de lesx > 0.
Proposat perPerrault, XVII. Resolt perHuygens.
– p.102
![Page 111: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/111.jpg)
Pseudoesfera.F. Minding 1840
– p.103
![Page 112: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/112.jpg)
Pseudoesfera
– p.104
![Page 113: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/113.jpg)
Pseudoesfera
– p.105
![Page 114: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/114.jpg)
Pseudoesfera
– p.106
![Page 115: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/115.jpg)
Pseudoesfera
Marosvásárhely– p.107
![Page 116: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/116.jpg)
Consistència de la geometriahiperbòlica
– p.108
![Page 117: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/117.jpg)
Disc dePoincaré
– p.109
![Page 118: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/118.jpg)
Disc dePoincaré
La distància entre els punts(0, 0) i (x, y) estàdonada per
d = ln1 + r
1 − r
(r2 = x2 + y2)
– p.110
![Page 119: Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat del no res Un món on es pot quadrar el cercle! 17 novembre 2004, Sant Albert Facultat](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041816/5e5b24c8166ac7793264d94d/html5/thumbnails/119.jpg)
Disc dePoincaré
– p.111