uniform normal gamma &...
TRANSCRIPT
• Uniform
• Normal
• Gamma & Eksponensial
MA 4085 Pengantar Statistika 27 Februari 2013 Utriweni Mukhaiyar
• Distribusi kontinu yang paling sederhana
• Notasi: X ~ U (a,b)
• f.k.p:
2
[ ] = 2
( - )( )
12
b aE X
b aVar X
Rataan :
Variansi :
2
lainnya , 0
, 1
x
bxaab=f(x)
a b
f(x)
• Penting dipelajari
• Notasi: X ~ N ( , 2)
• f.k.p:
3
21
21( )
2
x
f x e
Karl Friedrich Gauss 1777-1855
rataan
Simpangan baku /standar deviasi
= 3.14159… e = 2.71828…
• N(0,1) disebut normal standar (baku)
, - < x <
- Banyak digunakan - Aproksimasi Binomial - Teorema limit pusat
4
Simetri terhadap
x =
Titik belok Titik belok
Modus tunggal
Total luas daerah di
bawah kurva =1
Peluang X di sekitar 1, 2,
dan 3 http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif
Kurva Normal
2
3
1 < 2 < 3
1
Kurva normal dengan
yang sama
Kurva normal dengan yang
sama
1 < 2 < 3
1 2 3
parameter lokasi
parameter skala
5
Pengaruh dan
1)( XP
XZ
m
s
-=
6
1
az
m
s
-=
0
2
bz
m
s
-=
P (z1 < Z < z2)
Z ~ N(0,1) X ~ N(,2)
P(a < X < b)
X ~ N(,2)
1. Cara langsung
2. Dengan tabel normal standar P (Z z)
21
21( )
2
xb
a
P a X b e dx
7
Sulit !!! Harus dihitung secara numerik
N(0,1)
XZ
• Misal Z ~ N(0,1) dan z R, -3,4 z 3,4
2 / 21
2( )
z
xP Z z e dx
8
P(Z z )
P(Z z) DITABELKAN untuk -3.4 z 3.4
9
P(Z 1,24 )
P(Z 1,24 )
P(0 Z 1,24 ) = P(Z 1,24 ) - P(Z < 0 )
= 0,8925 – 0,5 = 0,3925
P(Z 0 )
Hitung P (0 Z 1,24 )
10
Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam
11
Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan standar deviasi 40 jam.
http://www.nataliedee.com/101906/nightshift-at-the-factory-factory.jpg
http://ismailfahmi.org/wp/wp-content/uploads/2007/07/light-bulb.jpg
Misal X : umur bola lampu
X ~ N (800,402)
Dengan transformasi :
778 800 834 800(778 834)
40 40
( 0,55 0,85)
( 0,85) ( 0,55)
0,8023 0,2912
0,5111
P X P Z
P Z
P Z P Z
XZ
m
s
-=
12
Suatu pabrik dapat memproduksi voltmeter dengan kemampuan pengukuran tegangan, rataan 40 volt dan standar deviasi 2 volt. Misalkan tegangan tersebut berdistribusi normal.
13
Dari 1000 voltmeter yang diproduksi, berapa voltmeter yang tegangannya melebihi 43 volt?
Misal X : tegangan voltmeter
X ~ N (40, 4)
Dengan transformasi
43 40( 43)
2
( 1,5)
1 ( 1,5)
1 0,9332
0,0668
P X P Z
P Z
P Z
XZ
m
s
-=
14
Banyaknya voltmeter yang tegangannya lebih dari 43 volt adalah
1000 unit x 0,0668
66 unit
)1( pnp
15
Jika n maka B(n,p) N (,2)
dimana = np dan 2=np(1-p)
B (6;0,2) B (15;0,2)
Semakin besar n, binomial semakin dekat ke normal
Misal peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit demam berdarah adalah 0,4.
16
Bila diketahui ada 100 pasien demam berdarah, berapa peluangnya bahwa yang sembuh
a. tepat 30 orang
b. kurang dari 30 orang
http://www.bratachem.com/abate/images/demam.jpg
Misal X : banyaknya pasien yang sembuh
X ~ B(n,p) , n = 100 ; p = 0,4
Rataan: = np = 100 x 0,4 = 40
St.Dev: (1 ) 40 0,6 4,899np p
17
a. Peluang bahwa banyaknya pasien yang sembuh tepat 30 orang adalah:
( 30) (29,5 30,5)
29,5 40 30,5 40
4,899 4,899
( 2,14 1,94)
( 1,94) ( 2,14)
0,0262 0,0162
P X P X
P Z
P Z
P Z P Z
0,01
29,5 40( 30)
4,899
( 2,14)
0,0162
P X P Z
P Z
18
b. Peluang bahwa banyaknya pasien yang sembuh akan kurang dari 30 adalah:
19
• Notasi X ~ Gamma(,)
• f.k.p
• () disebut fungsi gamma
dimana (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika > 1
• E[X] = dan Var(X) = 2
• Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu
• Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial, khi kuadrat, Weibull, dan Erlang
0
1)( dyey y
1 /1,0
( )( )
0 , lainnya
0 dan 0
xx e xf x
x
Distribusi Gamma
20
• Keluarga distribusi gamma (1, 1/)
• Notasi: X ~ Exp ()
• f.k.p
,0( )
0 , lainnya
xe xf x
x
• E[X] = 1/
• Var(X) = 1/ 2
• Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan
Distribusi Eksponensial
Misalkan lama pembicaraan telepon dapat dimodelkan oleh distribusi eksponensial, dengan rataan 10 menit/orang.
21
Bila seseorang tiba-tiba mendahului anda di suatu telepon umum, carilah peluangnya bahwa anda harus menunggu:
a. lebih dari 10 menit
b. antara 10 sampai 20 menit
http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-murah-a.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/
Misalkan X : lama pembicaraan telepon Dik. X ~ exp(1/10) sehingga Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu menunggu . Jadi, a.
b.
1 /10
10( ) xf x e
22
10
/101
100
( 10) 1 ( 10)
1 1 0,368 0,632x
P X P X
e dx
20
1 /10
10
10
(10 20) 0,233 xP X e dx
Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.
Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.
Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
23