unisul resposta

7/21/2019 unisul resposta

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CLCULO II

PARA CONCLUIR O ESTUDO

Gostaramos de finalizar esta disciplina retomando a importnciados objetos matemticos que foram estudados no decorrer destetexto. Voc deve ter observado que muitas reas de conhecimentoforam contempladas envolvendo aplicaes geomtricas, fsicas edo contexto das Cincias Sociais Aplicadas.

Lembre-se de que voc construiu conhecimentos que sero apli-cados em situaes prticas nesta rea. Nem sempre a matemticaaparece de forma direta, mas ela que poder embasar a tomadade deciso de muitos gestores, independente da rea da atuao,

pois estamos diante de situaes problemas que exige a articula-o do pensamento lgico com situaes reais.

As exigncias do mercado profissional, atualmente, evidenciam anecessidade de um estudo continuado que no deve se encerrarcom o trmino desta disciplina. Sendo assim, importante quevoc tenha este material como uma fonte de consulta constante eque retome suas reflexes sempre que se deparar com a resoluo

de problemas.Para finalizar, esperamos que voc lembre sempre dos nossos per-sonagens SiSSi, Phil, Rec e a nossa representante feminina, aTeca, que esto acompanhando voc no estudo do Clculo Dife-rencial e Integral e foram criados para inspirar situaes tericasformais, histricas, recreativas e tecnolgicas nas quais a matem-tica se faz presente.

Uma boa caminhada para voc!


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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA

REFERNCIAS

ANTON, Howard. Clculo: um novo horizonte. Porto Alegre:Bookman, 2000.

FLEMMING, Diva Marlia; GONALVES, Mirian Buss. Cl-culo A. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

LEITHOLD, Louis. Matemtica aplicada economia e admi-nistrao. So Paulo: Harbra, 1988.

TAN, S. T. Matemtica aplicada Administrao e Economia.So Paulo: Pioneira, 2003.


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Elisa Flemming Luz doutora em Engenharia de Produopela Universidade Federal de Santa Catarina (), mestre emEngenharia Eltrica e graduada em Engenharia Eltrica, ambospela . Atuou como professora da Unisul de 1996 at agosto

de 2006 ministrando aulas em disciplinas na rea da Matemticapara os cursos de Engenharia e Matemtica. Ministra disciplinasem cursos de especializao presencial e a distncia. Desenvolveudiversas pesquisas no Ncleo de Estudos em Educao Matem-tica ( ) na rea de Educao Matemtica. Atual-mente professora do de Santa Catarina.

Christian Wagner mestre em Fsica-Matemtica pela

Universidade Federal de Santa Catarina () e bacharel emMatemtica e Computao Cientfica pela . Foi professorsubstituto na entre 2001 e 2003. Professor horista da Unisuldesde 2001; atualmente atua no Ncleo de Estudos em EducaoMatemtica (-) nas atividades de ensino e extensovoltadas para as dificuldades de aprendizagem da matemtica. Nocontexto da ps-graduao atua na especializao em educao

matemtica como autor e como professor. Recentemente, temparticipado dos programas de pesquisa institucional como pes-quisador e como orientador de iniciao cientfica.


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RESPOSTAS E COMENTRIOS DOS EXERCCIOS

Agora a Sua Vez e

Atividades de auto-avaliao

UNIDADE 1

Integrao

SEO 1 Primitivas e integrais indenidas

Agora a Sua Vez! (pgina 28)

(a) (5x3+2x 1)dx = + = + +

= + +

4 2

3

4 2

x x5 x dx 2 x dx dx 5 2 x C

4 25

x x x C4

(b)7(x 2 x )dx+ = + = + + = + +

32

312 2

87 8

32

x x 1 4x dx 2 x dx 2 C x x C

8 8 3

(c)x( x e )dx+ = + = + = + +

312 2x x x

2x dx e dx x dx e dx x e C

3

(d)x2

3e dxx

+ = + = + + x x2

dx 3 e dx 2 ln| x | 3e Cx


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262


SEO 2 Mtodo de Substituio


(a)

(5x3 2x + 3)8(15x2 2)dx

Fazendo u = 5x3 2x + 3 du = (15x2 2) dx

Assim, (5x3 2x + 3)8(15x2 2)dx = +

= + = +9 3 9

8 u (5x 2x 3)u du C C9 9

(b) (7x + 20)7dx

Fazendo u = 7x + 20 du = 7 dx ou =du

dx7

ento

(7x + 20)7dx = = = + = + +

87 7 8du 1 1 u 1u u du C (7x 20) C

7 7 7 8 56

(c) (x2+ 2x 3)4(x + 1)dx

Fazendo u = x2+ 2x 3 du = (2x + 2) dx ou =+

dudx

2(x 1) ento

(x2+ 2x 3)4(x + 1)dx = + = = ++= + +

5

4 4

2 5

du 1 1 uu (x 1) u du C

2(x 1) 2 2 5

1(x 2x 3) C

10

(d) 2 23 (x 1) x dx+Fazendo u = x2+ 1 du = 2x dx ou =

dudx

2x ento

2 23 (x 1) x dx+ = = = + = +

= + +

5

352

3 3

53

3 2

53

2

du 1 1 u 3u x u du C u C

2x 2 2 10

3(x 1) C

10

(e) 7e5x + 2dx

Fazendo u = 5x + 2 du = 5 dx ou =du

dx5

ento

7e5x + 2dx += = = + = + u u u 5x 2du 7 7 7

7 e e du e C e C5 5 5 5


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263

CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios

(f) x ln (x2+ 1) dx

Fazendo u = x2+ 1 du = 2x dx ou =du

dx2x

ento

x ln (x2+ 1) dx = = = +

= + + + +

2 2 2

du 1 1x ln u ln u du (u ln u u) C

2x 2 21 1(x 1) ln (x 1) (x 1) C

2 2

(g) 22x 1

dxx x 1

++

Fazendo u = x2+ x 1 du = (2x + 1) dx. Assim,

2

2x 1dx

x x 1

++ = = + = + +

2du ln|u| C ln| x x 1| Cu

(h)2

ln x dxx

+

= + = +

= + +

2 dx

dx ln x dx 2 ln x dxx x

2 ln| x | x ln x x C

(i)54 xx e dx

Fazendo u = x5 du = 5x4dx ou =4

dudx

5x ento

54 x

x e dx

= = = + = + 54 u u u x

4

du 1 1 1

x e e du e C e C5x 5 5 5

(j) 2 3x 2x 4 dx+Fazendo u = (2x3+ 4) du = 6x2dx ou = 2

dudx

6x ento

2 3x 2x 4 dx+ = = = + = +

= + +

3

231

2 2

32

2

2 32

3

du 1 1 1 u 2x u u du u du C u C

6x 6 6 6 18

1(2x 4) C

9


8/90

264


SEO 3 Mtodo de Integrao por Partes


(a)

x e4xdx

Fazendo u = x du = dx

dv = e4x = = + 4x 4 x1v e dx e C4

Assim usando u dv = uv v du , vem

= = + = + 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x1 1 1 1 1 1 1x e dx x e e dx xe e C xe e C4 4 4 4 4 4 16

(b) x ln 2x dx

Fazendo u = ln 2x = =2 1du dx dx2x x

dv = x dx = = +2xv x dx C

2

como u dv = uv v du , vem

= =

= + = +

2 2 2

2 2 22

x x 1 x 1x ln 2x dx (ln 2x) dx ln 2x x dx2 2 x 2 2

x 1 x x 1ln 2x C ln 2x x C2 2 2 2 4

(c) x ln x dx

Fazendo u = ln x = 1du dxx

dv = x dx = = = + = + 3

2 312 2

32

x 2v x dx x dx C x C3

Sabendo que u dv = uv v du , temos = =

= = +

= +

3 3 3 32 2 2 2

323 31

2 2 2

3 32 2

1

32

2 2 1 2 2x ln x dx (ln x) x x dx x ln x x x dx3 3 x 3 3

2 2 2 2 xx ln x x dx x ln x C3 3 3 3

2 4x ln x x c3 9

(d) x2exdx

Fazendo u = x2 du = 2x dx

dv = exdx v = exdx = ex+ C

Sabendo que u dv = uv v du , vemx2exdx = x2ex ex2x dx = x2ex 2xexdx.


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265


Observe que temos que aplicar novamente o mtodo na integral que apare-

ce na ltima linha.

Fazendo u = x du = dx

dv = ex

dx v = ex

dx = ex

+ c. Ento,

x2exdx = x2ex 2[xex exdx]= x2ex 2xex+ 2ex+ C

UNIDADE 1

Atividades de auto-avaliao (pgina 45)

1. F(x) =5

4

x4+ x3 4x + 7

F'(x) =5

44x3+ 3x2 4 = 5x3+ 3x2 4 = f(x)

2.a)4 2

4

x 3x xdx

x

+ +

+ +

+ + = + +

= + + = + +

= + + = + + + + +

= + + + = + + = +

4 2

4 4 4 2 3

2 3 2 3

2 1 3 12 3

1 2 21

2

x 3x x 3 1dx 1 dxx x x x x

3 dx dx dxdx dx dx 3x x x x

x xdx 3 x dx x dx x 3 C2 1 3 1

x x x 3 1x 3 C x 3x C x C1 2 2 x 2x

2.b) 3x

dxx

+= = = = + = + +

= + = + = +

1

21

2

32

32

5 311 5 2 233 2 23x x xdx x x dx x dx x dx C C5 3x 1

2 22 2 2x C C C3 3x 3x x

2.c)2

2

x 1dx

x

+

+

+ = + = + = +

= + + = + + = + +

2

22 2 2 2

2 1 1

x 1 1 dxdx 1 dx dx dx x dxx x x x

x x 1x C x C x C2 1 1 x


10/90

266


2.d)2

2

xdx

x 1+

Fazendo a diviso de polinmios, possvel reescrever = + +

2

2 2

x 11x 1 x 1

.

Assim, = = + + + 2

2 2 2x 1 dxdx 1 dx dxx 1 x 1 x 1

Usando a regra (17) para resolver+ 2

dxx 1

.

= + = ++ 2

dx 1 xdx x arc tg C x arc tg x C1 1x 1

2.e) cotg sen d

Usando a relao trigonomtrica =

coscotg

sen

,

a integral pode ser reescrita como:

= = = +

coscot g sen d sen d cos d sen Csen

2f) 2sen t

dtcos t

Usando as relaes trigonomtricas = sen tt g tcos t

e = 1sec tcos t

, tem-se:

= = = + sen t sen t 1dt dt tg t sec t dt sec t Ccos t cos t cos t cos t

3.a) 26x 2x 3 dx+

Usando substituio, temos: u = 2x2+ 3 du = 4x dx = dudx4x

= = = + = + = +

= + + = + + +

3

2 3 312 2 2

3 2

32

2 2 2

du 6 3 3 u 3 26x u u du u du C u C u C4x 4 2 2 2 3

(2x 3) C (2x 3) (2x 3) C

3.b) x x3e cos(3e ) dx

Usando substituio, temos: u = 3ex du = 3exdx = xdudx3e

= = + = + x xxdu3e cos u cos u du sen u C sen (3e ) C3e


11/90

267


3.c) cos x sen x dx

Usando substituio, temos: u = cos x du = sen x dx =

dudxsen x

+

= = + = + = + +

= + = +

32

32

1 312 2

du u u 2u sen x u du C C u Csen x 1 3 312 2

2 2(cos x) C cos x cos x C3 3

3.d)3ln x

dxx

Usando substituio, temos: u = ln x3 = =3 xdudu dx dxx 3

= = + = + 2 3 2u xdu 1 1 u 1u du C (ln x ) C

x 3 3 3 2 6

3.e) 22dt

t ln (2t)

Usando substituio, temos: u = ln (2t) = 1du dtt

dt = t du

= = = = + = + = +

1

22 2 2

2t du 2du du u 2 22 2 u du 2 C C C1 u ln (2t)t u u u

3.f) 22dx

x 3x 1 +

Inicialmente vamos completar os quadrados de x23x + 1:

2 22 2

2 22

3 9 3 9x x 3x x 3x x

2 4 2 4

2dx 2dx 2dx

x 3x 1 3 9 3 5

x 1 x2 4 2 4

= + =

= = + +

Fazendo substituio: = 3u x2

du = dx temos

2

2du5(u)4

Usando a regra (26) += + 2 2

du 1 u aln C2a u aa u

da tabela de integrais,

fazemos = = =2 5 5 5a a4 4 2

.


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268


Multiplicando a integral por 1e aplicando a regra da tabela com = 5a2

+ = = = = +

+

+ + = + = + +

2 2 2 2

5u2du 2du 2du du 2 22 ln C5 5 5 5

5 5u u u u 2 u4 4 4 4 2 2

3 5 5 3x x2 22 2 2ln C ln C5 3 5 5 5 3x x

2 2 2

3.g) 22dr

3r 9r 9+ +

Antes de completar os quadrados, fazemos o coeficiente do termo 3r2ficar

igual a 1, dividindo numerador e denominador por 3:

=+ + + + 2 22dr

2 dr33(3r 9r 9) r 3r 3

3

Agora, completamos os quadrados de r2+ 3r + 3:

+ = + +

=

+ + + +

22

2 2

3 9r r 3r

2 42 dr 2 dr

3 33 9 3 3r 3 r

2 4 2 4

Fazendo a substituio temos:

= + =

=

++ +

+ + = + = + = +

2

2

3u r du dr

2

2 dr 2 du

33 33 3 ur 42 4

32 r

2 2 2u 4 4 2r 32arc tg C arc tg C arc tg C

3 3 3 3 3 3 3 3 3


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269


3.h)65 3x2x e dx

Usando substituio, temos: u = 3x6 du = 18x5dx =5

dudx18x

= = + = + 65 u u u 3x

5

du 2 1 1

2x e e du e C e C18 9 918x

3.i) 2cos x dx

(4 sen x)

Usando substituio, temos:

u = 4 sen x du = cos x dx =

dudxcos x

= = = = + = +

= +

1

22 2 2

cos x dx cos x du du u 1u du C C

cos x 1 u(4-sen x) u u1 C4 sen x

3.j)x 2

dxx 1

++

Usando substituio, temos: 2u x 2 u x 2 2u du dx= + = + =

+u 2u du

x 1. Mas, u2= x + 2 x = u2 2.

= +

2

2 2u 2u2u du du

u 2 1 u 1

Fazendo a diviso de polinmios, temos:

= + = + = +

+ + += = + = + + +

2

2 2 2 2

2

2u 2 2 dudu 2 du 2du du 2 du 2u 1 u 1 u 1 u 1

du 1 u 1 x 2 12 du 2 2u 2 ln C 2 x 2 ln C2 1 u 11 u x 2 1

4.a) ln (2 3x)dx

Usando integrao por partes, temos:

= =

= = = +

= = +

3u ln (2 3x) du dx2 3x

dv dx v dx x c

3 xln (2 3x)dx ln (2 3x) x x dx xln (2 3x) 3 dx2 3x 2 3x


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270


Para resolver a integralx dx

2 3x, basta usar substituio:

[ ]

[ ]

= = = =

= = = = = = +

= +

u 2 duu 2 3x du 3dx x dx3 3

u 2

x x du du 1 1 u 23dx du2 3x u 3 u 3 3 3 u1 u 2 1 du 1du du du 2 u 2ln|u| C9 u u 9 u 9

1 2 3x 2ln|2 3x | C9

ou

Voltando integral inicial:

( )

= +

= + +

= + +

= + +

= + +

xln (2 3x) dx xln (2 3x) 3 dx

2 3x

1xln (2 3x) 3 2 3x 2ln| 2 3x | C9

1xln (2 3x) (2 3x 2ln| 2 3x |) C3

2ln|2 3x |2 3xxln (2 3x) C3 3 3

2ln| 2 3x |2xln (2 3x) x C3 3

4.b) ln x dx

Usando integrao por partes,

= = = =

= = = +

= = = +

11 1 dx2 xu ln x du dx du dx du

2xx 2 x x

dv dx v dx x C

dx 1 1ln x dx ln x x x xln x dx xln x x C2x 2 2

. Assim,

4.c) xe2xdx

= =

= = = +2x 2x 2xu x du dx

1dv e dx v e dx e C2

= = = +

= + = +

2x 2x

2x 2x 2x 2x 2x

2x 2x2x

1 1 xe 1 xe 1 1xe dx x e e dx e dx e C2 2 2 2 2 2 2

xe 1 e 1e C x C

2 4 2 2


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271


4.d)35 xx e dx

u = x3 du = 3x2dx

= = 3 32 x 2 xdv x e dx v x e dx

Para resolver a integral de v, realiza-se a substituio u = x3 du = 3x2dx:

= = = = + = + 3 32 x 2 u u u x

2

du 1 1 1v x e dx x e e du e C e C.3 3 33x

Agora, aplicando a integrao por partes em35 xx e dx :

= = 3 3 3 3 3

35 x 3 x x 2 x 2 x1 1 xx e dx x e e 3x dx e x e dx

3 3 3

A integral

32 xx e dx j foi resolvida para determinar o valor de v. Assim, para

finalizar:

= + = +3

3 3 33 x

5 x x x 3x 1 ex e dx e e C (x 1) C3 3 3

4.e) x cos 3x dx

= =

= = = +

u x du dx

sen 3xdv cos 3x dx v cos 3x dx C

3

= =

= + = + +

sen 3x sen 3x x sen 3x 1x cos 3x dx x dx sen 3x dx

3 3 3 3x sen 3x 1 1 x sen 3x cos 3x( cos 3x) C C

3 3 3 3 9

4.f) 3t

t sen dt2

= =

= = = +

3 2u t du 3t dt

t t tdv sen dt v sen dt 2cos C2 2 2

=

= +

3 3 2

3 2

t t tt sen dt t 2cos 2cos 3t dt2 2 2

t t2t cos 6 t cos dt2 2

= =

= = = +

2u t du 2t dt

t t tdv cos dt v cos dt 2sen C2 2 2


16/90


17/90

273


exsen x dx + exsen x dx = excos x + exsen x

2exsen x dx = excos x + exsen x

2exsen x dx = + +

x xe cos x e sen x C2

4.i) 3 22x 4 x dx

= =

= = = +3

2

2

2 2 2

u 2x du 4x dx

1dv x 4 x dx v x 4 x dx (4 x ) C3

=

= + = + +

= +

3 32 2

32 3

2

32 5

2

3 52 2

3 2 2 2 2

2 22

2 22

2 2 2

1 12x 4 x dx 2x (4 x ) (4 x ) 4x dx3 3

2x (4 x ) 4

x(4 x ) dx3 32x (4 x ) 4 1 (4 x ) C

3 3 5

2x (4 x ) 4(4 x ) C3 15

4.j) x cos2x dx

= =

= = = + = + + 2 2

u x du dx

1 1 1 1dv cos x dx v cos x dx cos 2x dx x sen 2x C2 2 2 4

= + +

= + + +

= + + +

2

2 2

2

x 1 1 1x cos x dx x sen 2x x sen 2x dx2 4 2 4

x x 1 x 1 1sen 2x cos 2x C2 4 2 2 4 2

x x 1sen 2x cos 2x C4 4 8


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274


UNIDADE 2Integral Definida

SEO 1 Analisando reas

Agora a Sua Vez (pgina 58)

Usando o mtodo da exausto, calcule a rea da figura delimitada pela fun-

o y = x + 1, pelo eixo dos xe pelas retas x = 1e x = 5. Faa o grfico e ob-

serve que a rea pode ser calculada por geometria elementar. Confronte os

resultados obtidos.

Para calcular a rea delimitada, inicialmente, faa uma partio do intervalo

[1,5]em 4 subintervalos (veja a figura abaixo).

Forme os retngulos R1, R

2, R

3, R

4com base nessas parties e alturas f(1,5),

f(2,5), f(3,5), f(4,5)respectivamente.

Veja que: A1= rea de R

1= 1f(1,5) = 2,5.

A2= rea de R

2= 1f(2,5) = 3,5.

A3= rea de R

3= 1f(3,5) = 4,5.

A4= rea de R

4= 1f(4,5) = 5,5.

A rea a ser calculada ser aproximadamente igual a:

A = A1+ A

2+ A

3+ A

4

= 2,5 + 3,5 + 4,5 + 5,5

= 16 unidades de rea.

Observando a figura ao lado, po-

demos calcular a rea geometrica-

mente, observando que temos umtringulo e um retngulo.

O tringulo tem base 4e altura 4, portanto 8unidades de rea. O retngulo

tem base 4e altura 2, portanto 8unidades de rea. Assim, tm-se geometri-

camente 16unidades de rea


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275


SEO 2 Integral Denida


(a)

11 4 2

3 4 2

0 0x x 1(2x 2x 3)dx 2 2 3x 1 1 3 1 04 2 2

1 1 2 6 51 3

2 2 2

+ = + = +

+= + = =

(b)+

2

21

2xdx

x 1 Fazendo u = x2+ 1 du = 2x dx. Assim,

222

2 2 11

2x dx 2x dxdu 5ln|u| C ln| x 1| ln|5| ln| 2 | ln | |

x 1 u x 1 2= = + = + = =

+ + , Ento:

(c)14

10

( (x 5) 4)dx

. Assim,3

231

2 2

32

3 3 3 32 2 2 2

32

1414

10 10

(x 5) 2(x 5) dx 4 dx 4x C (x 5) 4x C

3

2( (x 5) 4)dx (x 5) 4x

3

2 2 2 2(14 5) 4 14 (10 5) 4 10 9 56 5 40

3 3 3 310 10

18 56 5 40 2 53 3

= + = +

=

= =

= + =

(d)0

x sen x dx

Resolvendo a integral indefinida por partes tem-se:

u = x du = dx

dv = sen x dx v = sen x dx = cos x + C

x sen x dx = x(cos x) (cos x) dx = xcos x + sen x +C . Assim,

00

x sen x dx x cos x sen x ( cos sen ) 0

= + = + =


20/90

276


SEO 3 Estudo de reas


Calcular a rea da regio delimitada por:

(a) y = x2+ 1; o eixo dos x; x = 1e x = 1.

Neste caso basta fazer:

+ = + = + + = + + + = + =

11 3 3 32

11

x 1 ( 1) 1 1 2 8(x 1)dx x 1 ( 1) 1 1 23 3 3 3 3 3 3


(b) y = x3+ 1 e y = 4x + 1.

A regio pode ser observada na figura 2.

Veja que os pontos de interseco so

(2,7)e (2,9).

Lembre-se de que estes pontos podem ser

encontrados algebricamente igualando asexpresses algbricas nas funes.

x3+ 1 = 4x + 1 ou

x3 4x = 0 x(x2 4) = 0

Assim, x = 0e x3 4x = 0ou x = 2. Figura 2

Como a regio tem, simetria pode-se calcular somente uma parte, otimizan-

do o trabalho algbrico. Tem-se:2 3

0A 2 [(4x 1) (x 1)]dx= + +

Veja que o dois antes da integral significa que j estamos duplicando os valo-

res, portanto, Aj a rea total. Ento,

2 22 4 4

2 3 2

00 0

42

x x xA 2 (4x x )dx 2 4 2 2x

2 4 4

2 162 2 2 2 0 2 8 2 4 8

4 4

= = =

= = = =

Caso voc tenha feito0 2

3 32 0A [(x 1) (4x 1)]dx [(4x 1) (x 1)]dx= + + + + + ,

chegaria ao mesmo resultado.


21/90

277



(c) y = x2 1 ; y = 3x + 17 e y = 12

x 12

no intervalo [1,5].

A figura 3 apresenta a regio. Ob-

serve que esto caracterizadas duas

regies para estabelecer as inte-

grais. No se pode esquecer que

os pontos de interseco entre as

curvas so calculados fazendo-se a

igualdade entre as funes: Figura 3

y = x 2 1e y = 3x + 17, que implica em x2 1= 3x + 17ou

x2 3x 18 = 0. Usando a frmula da equao do segundo grau en-

contramos os pontos em que x = 3ou x = 6. Vamos usar x = 3.

y = x 2 1e y = 12

x 12

, que implica em x2 1= 12

x 12

ou

2x2 x 1 = 0. Usando a frmula da equao do segundo grau encon-

tramos 12

e 1. Vamos usar 12

.

y = 3x + 17 e y = 12 x 12 , que resulta x = 7.

Podemos escrever que:

unidades de rea.

1 232

7 3

1 1 1 1A (3x 17) x dx (x 1) x dx

2 2 2 2

475 143520 29,89

48 48

= + +

= + =


22/90

278


UNIDADE 2


1. Calcule as seguintes integrais definidas:

(a)

22 3 2 3 2 3 22

1 1

x x 2 2 1 1(5x 2x)dx 5 2 5 2 5 2

3 2 3 2 3 2

40 5 28 2 264 1 .

3 3 3 3 3

= =

= = =

(b)3

23 3 31

2 2 2 2

3

2

5 55 5

32 00 0 0

3

x 2 2x dx x dx x (5 0 )

3 3

2 2 2 105 5 5 5 5.3 3 3 3

= = = =

= = = =

(c)

11 3 3 3 3 32

1 1

(x 2) (1 2) ( 1 2) 3 1 1 26(x 2) dx 9 .

3 3 3 3 3 3 3

+ + ++ = = = = =

(d)

3 33 3 12

222 2 2

2dx (x 1) 22 (x 1) dx 2

(x 1) 1 (x 1)

2 2 2 2 1.(3 1) (2 1) 4 3 6

+ = + = =

+ +

= = + = + +

(e)1

1t t 1 0

00

e dt e e e e 1= = =

+ = + = +

= + = +

3 4

3211

32

3 3 4 43 32 2

3 33 3 33

3 42 30 0 0 0 0

3

3 3 4 42 2 3 3

x x( 2x x )dx 2 x dx x dx 2

3 0 3 0 92 2 2 6 34

(f)

= = = = + = +

22 2 1 2 21 2

00 0 0

dx (4 x)(4 x) dx 2 4 x 2 2 2 4 2 2 4

1 24 x(g)

(h)2

2

00

sen x dx cos x cos cos 0 12

= = + =


23/90

279


2. Calcule a rea da regio limitada pela parbola y = 4x x2e pelo eixo dos x.

A figura 4 mostra a regio solicitada.

Figura 4

4 44 2 32 2 3

00 0

2 3 2 3

x x 1rea (4x x )dx 4 2x x

2 3 31 1

2 4 4 2 0 03 3

64 96 64 3232 .

3 3 3

= =

=

= = =

3. Calcule a rea da regio delimitada por:

y = 1x

; y = 8x + 2 ; x = 0 e x = 1.

A figura 5 mostra a regio que foi dividida em duas partes: rea = A1+ A

2

Calculando-se:

1 41 4 2 1 421 0

0 0

2

11

142

1 4 1 4

xA (8x 2)dx 8 2x 4 x 2x2

1 1 1 2 34 2 4 .

4 4 16 4 4

1A dx ln| x | ln |1| ln | |

x

0 (ln |1| ln | 4 |) ln 4

= + = + = +

= + = + =

= = =

= =

Finalizando-se: A =34 + ln | 4 |

Figura 5


24/90

280


4. Calcule a rea delimitada pelas seguintes curvas:

a) y = x2 5x + 1 e y = x2 5x + 3

A figura 6 mostra a regio. Observe que os limites de integrao j esto vis-

veis. Mas, podem ser calculados algebricamente:

x2 5x + 1 = x2 5x + 3 2x2 2 = 0 x2= 1 x = 1

Temos:

unidades de rea.

11 1 32 2 2

1 1 1

3 3

xrea [( x 5x 3) (x 5x 1)]dx ( 2x 2)dx 2 2x

3

1 ( 1) 82 2 1 2 2 ( 1)

3 3 3

= + + = + = +

= + + =

Figura 6


25/90

281


b) y = (x + 4)(x 2) e y = 5x + 10

A figura 7 mostra a regio estabelecida. Observe que os limites de integrao no

esto completamente visualizados, assim importante fazer algebricamente.

Tem-se:

2

2

2

(x 4)(x 2) 5x 10

x 2x 8 5x 10 0

x 3x 18 0

( 3) ( 3) 4 1 ( 18)x

2

3 8x

1 3 9

2 2

+ = +

+ =

=

=

= =

Neste caso tem-se as

duas razes x1= 6e x

2= 3.

Assim, a rea calculada por: Figura 7

unidades de rea.

66 6 3 22 2

3 3 3

3 2 3 2

x xrea [(5x 10) (x 2x 8)]dx ( x 3x 18)]dx 3 18x

3 2

6 6 ( 3) ( 3)3 18 6 3 18 ( 3)

3 2 3 2243

2

= + + = + + = + +

= + + + +

=

5. Calcule a integral

0

cos x dx . Interprete geometricamente o resultado

obtido.

0

0

cos x dx sen x

sen sen 0 0

=

= =

Observando a figura 8 possvel jus-

tificar o valor obtido zero, pois tem-se

uma simetria nas regies e os valores

das integrais so de sinal contrrio.Figura 8


26/90

282


6. Observe a figura dada. Identifique as trs funes que esto representadas

graficamente:

y = (x 2)(x 4)x - funo polinomial do terceiro grau;

y = | 2x 8 | - funo modular;

y = 15 - funo constante.

Calcule a rea das regies A1, A

2e A

3.

Para identificar as funes observe que a funo polinomial corta o eixo dos

xnos pontos 2, 4e zeroque so as suas razes. A funo modular est repre-

sentada pelos segmentos que se encontram em um ponto anguloso, (4,0).

A funo assume o valor y = | 2x 8 | = 2x 8 direita do quatro e o valor

y = | 2x 8 | = 2x + 8a esquerda do quatro. A funo constante est repre-

sentada pela reta paralela ao eixo dos xque passa pelo valor y = 15.

Assim, temos:

4 53 2

1

0 4

43 2

2

0

53 2

3

4

35 211A [15 ( 2x 8)]dx [15 (x 6x 8x)]dx 44

4 4

A [( 2x 8) (x 6x 8x)]dx 16

21A [(x 6x 8x) (2x 8)]dx

4

= + + + = + =

= + + =

= + =

Figura 9


27/90

283


UNIDADE 3Tcnicas de Integrao

SEO 1 Integrao no contexto das funes trigonomtricas


Prove que cossec x dx = ln | cossec x cot x | + C .

2

cossec x(cossec x cot x)cossec x dx dx

cossec x cot x

cossec x cossec x cot xdx

cossec x cot x

=

=

Fazendo u = cossec x cot x, temos que du = cossec xcot x + cossec2x dx,

ou seja, du exatamente o numerador. Deste modo temos que:

du

cossec x dx ln|u| C ln| cossec x cot x | Cu

= = + = +


Calcule as seguintes integrais:

(a) cos4(2x)dx

Primeiramente fazemos u = 2xe ento du = 2dx, ou seja, du2

= dx. Assim,

aplicando a frmula de recorrncia temos:

(Aplicando recorrncia)

=

=

4 4

3 2

3 2

3

3

1cos (2x)dx cos u du2

1 1 3cos u sen u cos u du2 4 4

1 3cos u sen u cos u du8 81 3 1 1cos u sen u cos u sen u du8 8 2 2

1 3 3cos u sen u cos u sen u u C8 16 16

=

= +

= +

+ +

+ + +

Mas, como u = 2x, temos:

4 31 3 3

cos (2x)dx cos (2x) sen (2x) cos (2x) sen (2x) (2x) C8 16 16= + + +


28/90

284


(b) 3tg (ln x)

dxx

Fazendo a substituio u = ln x. Ento du =1x

dx. Portanto aplicando a fr-

mula de recorrncia temos:

3 3 2 2tg (ln x) 1 1dx tg u du tg u tg u du tg u ln| sec u| Cx 2 2

= = = +

Como u = ln x, temos:

3 2tg (ln x) 1dx tg (ln x) ln| sec (ln x)| Cx 2

= +


Calcule as integrais:

(a) sen5xcos4x dx

Como a potncia de seno impar, separamos um fator de sen x, portanto

temos:

sen5xcos4x dx =

sen4xsen xcos4x dx =

(sen2x)2sen xcos4x dx

Usando sen2x = 1 cos2x, temos:

sen5xcos4x dx = (1 cos2x)2cos4xsen x dx

Fazendo u = cos x. Ento du = sen x dx. Portanto,

sen5xcos4x dx = (1 u2)2u4(du) = (1 2u2+ u4)u4du

Ento,

5 95 4 7 5 7 9u 2 u 1 2 1sen x cos x dx u C cos x cos x cos x C

5 7 9 5 7 9 = + + = + +


29/90

285


(b) tg2xsec4x dx

Como a potncia de secante par, separamos um fator de sec2xe ento temos:

tg2xsec4x dx =

tg2xsec2xsec2x dx

Usando sec2x = 1 + tg2x, tem-se:

tg2xsec4x dx = tg2x(1 + tg2x)sec2x dx

Fazendo u = tg x. Ento du = sec2x dx, logo:

= + = + = + +

+ +

3 5

2 4 2 2 2 4

3 5

u utg x sec x dx u (1 u )du (u u )du C3 5

1 1tg x tg x C

3 5

e portanto,

=

(c) cossec2xcotg2x dx

Usando 1 + cot2x = cossec2x, ou seja, cot2x = cossec2x 1

cossec2xcotg2x dx= cossec2x(cossec2x 1) dx= (cossec4x cossec2x) dx= cossec4x dx cossec2x dx

Aplicando a frmula de recorrncia, obtemos:

cossec2xcotg2x dx= 13 cossec2xcotg x +

23 cossec

2x dx cossec2x dx

= 13

cossec2xcotg x 13 cossec

2x dx

= 13

cossec2xcotg x 13

(cotg x) +C

(d) cos (10x)cos (x) dx

Vamos usar a identidade cos acos b = 12

[cos (a b) + cos (a + b)] . Ento,

cos (10x)cos (x) dx= 12 [cos (10x x) + cos (10x + x)] dx

= 12 [cos (9x) + cos (11x)] dx

Fazendo u = 9xe v = 11x. Ento du = 9dxe dv = 11dx, ou seja,du dx9

= edv dx11

= , logo:


30/90

286


1 du 1 dvcos (10x) cos (x) dx cos u cos v2 9 2 111 1cos u du cos v dv

18 221 1

senu sen v C18 221 1sen(9x) sen(11x) C

18 22

= +

= +

= + +

= + +

SEO 2 Integrao por substituio Trigonomtrica


Calcule a integral 2

29 x dxx

O integrando tem um termo do tipo 2 2a u . Neste caso a2= 9, portanto

a = 3. Assim fazendo x = 3sen com 2

2

tem-se dx = 3cos d.

Portanto, 29 x = 3cos . Ento,

2 2 2

2 2 2 2

2

3cos 3cos9 x cos (1 sen )dx d d dx 9sen sen sen

1d dsen

= = =

=

Como1cossec

sen =

, segue que:

22

2

9 x dx cossec d d cot Cx = = +

Necessitamos voltar para a varivel

x, perceba que devemos encontrar

cot e o prprio . Temos pela subs-

tituio inicial que x = 3sen , ou seja,

sen =x

3. No tringulo ao lado,

conseguimos:

29 xcotx = e xarcsen

3 =

. Logo,

2 2

2

9 x 9 x xdx cot C arc sen Cx 3x

= + = +


31/90

287



Calcule a integral2

2

xdx

x 4+

O termo 2x 4+ do tipo 2 2u a+ , com a2= 4e, portanto a = 2. Fazendo a

substituio x = 2tg . Ento dx = 2sec2 d.

Portanto, 2x 4+ = 2sec . Logo,

= = =

+

= = +

= + +

2 222 2

2

3

4 tg 2 secx dx d 4 tg sec d 4 (sec 1) sec d2 secx 4

1 14 sec d 4 sec d 4 sec tg sec d 4 sec d2 2

2 sec tg 2 ln| sec tg | C

Usando o tringulo retngulo da

figura ao lado, obtemos o valor da

tangente e da secante:xtg2

= e2x 4sec2

+ = . Assim,

= + ++

+ += + +

+ += + +

2

2

2 2

2 2

x dx 2 sec tg 2 ln| sec tg | Cx 4

x 4 x x x 42 2 ln C2 2 2 2

x x 4 x x 42 ln C2 2 2


Calcule3

2

xdx

x 9 .

O termo 2x 9 do tipo 2 2u a , com a2= 9e portanto a = 3.

Fazendo a substituio x = 3sec . Ento dx = 3tg sec de 2x 9 = 3tg .

Logo, 334

2

27sec 3tg secx dx d 27 sec d3tgx 9

= =


32/90

288


Usando recorrncia temos:3

2 2

2

x 1 2dx 27 sec tg sec d 9sec tg 18 tg C3 3x 9

2 = + = + +

Usamos o tringulo retngulo dafigura ao lado, para obter o valor da

tangente e da secante, assim temos:

2x 9tg3

= e xsec3

= .

Logo,23 2 2 2 2

2

2

x x x 9 x 9 x x 9dx 9 18 C 6 x 9 C3 3 3 3x 9

= + + = + +

SEO 3 Integrao de funes racionais por fraes parciais


Calcule as seguintes integrais:

(a)+

+ 22x 3 dx

x 9x 20

No h necessidade de dividir os polinmios. Temos Q(x) = x2 9x + 20que

tem razes x = 4e x = 5, logo Q(x) = x2 9x + 20 = (x 4)(x 5) . Assim temos:

2

2x 3 A B A(x 5) B(x 4)x 4 x 5 (x 4)(x 5)x 9x 20

+ + = + = +

Ou seja,

2x + 3 = A(x 5) + B(x 4)

Esta equao vlida para qualquer x, portanto temos:

Para x = 4obtemos, 11 = A(1), ento A = 11.

Para x = 5, obtemos 13 = B1, ento B = 13.

Logo,

2

2x 3 A B dx dxdx dx dx 11 13x 4 x 5 x 4 x 5x 9x 2011ln| x 4 | 13ln| x 5| C

+ = + = + +

= + +


33/90

289


(b) + +

+4 2

3 2

x 2x 4x 1dxx x x 1

Observe que necessitamos fazer a diviso da funo racional dada, pois o

grau do polinmio do numerador maior que o grau do polinmio do deno-

minador. Temos,

4 2

3 2 3 2

x 2x 4x 1 4xx 1x x x 1 x x x 1

+ + = + + + +

Portanto temos

4 2

3 2 3 2

x 2x 4x 1 4xdx (x 1)dx dxx x x 1 x x x 1

+ + = + + + +

A primeira integral do lado direito resolvida diretamente e a segunda inte-gral resolvemos por fraes parciais.

Necessitamos decompor o polinmio Q(x) = x3 x2 x + 1. Um das razes

x = 1, utilizando o mtodo do Briott-Rufini, obtemos a outra parte da decom-

posio que x2+ 2x + 1. Assim, Q(x) = x3 x2 x + 1 = (x + 1)(x2+ 2x + 1),

ou seja, a raiz x = 1se repete duas vezes, logo estamos no segundo caso na

decomposio de fraes parciais, isto ,

= + ++ + 3 2 2

4x A B Cx 1 x 1x x x 1 (x 1)

Encontremos os valores de A, B e C.

+ + + += + + =+ + +

2

3 2 2 2

4x A B C A(x 1) B(x 1)(x 1) C(x 1)x 1 x 1x x x 1 (x 1) (x 1)(x 1)

Ou seja,

4x = A(x 1)2+ B(x + 1)(x 1) + C(x + 1) que vlida para qualquer valor de x.

Ento,

Para x = 1obtemos 4 = A(2)2e ento A = 1

Para x = 1obtemos 4 = C2e ento C = 2.


34/90

290


Para obter o valor de B, vamos necessitar montar um sistema para A, Be C.

Temos,

4x = A(x2 2x + 1) + B(x2 1) + C(x + 1)

4x = (A + B)x2

+ (2A + C)x + A B + C, ou seja,+ =

+ =

+ =

A B 0

2A C 4

A B C 0

Usando a primeira equao A + B = 0e

como A = 1, obtemos B = 1.

Portanto ficamos com:

+ + = + + + +

= + + + ++

4 2

3 2 3 2

2

x 2x 4x 1 4xdx (x 1)dx dxx x x 1 x x x 1

1 dx 2(x 1)dx dx dxx 1 x 1 (x 1)

usando substituio nas trs ltimas integrais obtemos:

4 2 2

3 2

x 2x 4x 1 x 2dx x ln| x 1| ln| x 1| C2 x 1x x x 1

+ + = + + + + +


Calcule ++

2

3

2x x 4 dxx 4x

.

O polinmio Q(x) = x3+ 4xpode ser decomposto diretamente colocando x

em evidncia, ou seja, Q(x) = x(x2+ 4)e note que x2+ 4 irredutvel pois b2

4ac = 02 414 = 16 < 0, logo a decomposio em fraes parciais dado

por

2 2

3 2 2

2x x 4 A Bx C A(x 4) (Bx C)x

xx 4x x 4 x(x 4)

+ + + + += + =+ + +

Assim temos: 2x2 x + 4 = A(x2+ 4) + (Bx + C)x, vlida para qualquer x, logo

para x = 0obtemos 4 = A4e ento A = 1.

Para encontrar os outros valores necessitamos montar um sistema para A, Be C.

2x2 x + 4 = (A + B)x2+ Cx + 4A, ou seja,

A B 2

C 1

4A 4

+ =

= =

Diretamente temos C = 1e como

A = 1e A + B = 2, obtemos B = 1.


35/90

291


Assim temos,

2

3 2 2 2

2x x 4 1 x 1 1 x 1dx dx dx dx dx dxx xx 4x x 4 x 4 x 4

+ = + = + + + + +

A primeira e a terceira integral utilizamos diretamente a tabela, j a segundaintegral usamos a substituio u = x2+ 4. Ento,

22

3

2x x 4 1 1 xdx ln| x | ln| x 4 | arc tg C2 2 2x 4x

+ = + + + +


Calcule +3

2 2x dx(x 2).

O polinmio Q(x) = x2+ 2 irredutvel pois b2 4ac = 02 412 = 8 < 0e

repete-se duas vezes, logo escrevemos

2 2

2 2 2 2 2 2 2

x Ax B Cx D (Ax B)(x 2) Cx D(x 2) x 2 (x 2) (x 2)

+ + + + + += + =+ + + +

Ento, x3= (Ax + B)(x2+ 2) + Cx + D = Ax3+Bx2+ (2A + C)x + 2B + D, onde

por igualdade de polinmios temos: A = 1, B = 0, 2A + C = 0e 2B + D = 0.

Da equao 2A + C = 0e do fato de A = 1, temos que C = 2e da equao

2B + D = 0e do fato de B = 0, temos D = 0, assim obtemos:

2

2 2 2 2 2

x x 2xdx dx dx(x 2) x 2 (x 2)

= ++ + +

fazendo em ambas integrais do lado direito a substituio u = x2+ 2, temos:

22

2 2 2 2

x 1 du du 1 1 1 1dx ln|u| C ln| x 2 | C2 u 2 u 2(x 2) u x 2= = + + = + + ++ +


36/90

292


UNIDADE 3


1. Calcule as integrais indefinidas envolvendo funes trigonomtricas.

(a) 4 3 2

3

3

1 3sen x dx sen x cos x sen x dx4 41 3 1 1sen x cos x sen x cos x dx4 4 2 2

1 3 3sen x cos x sen x cos x x C4 8 8

= +

= + +

= + +

(b) tg5(3x) dx

Primeiramente, fazemos u = 3x. Ento du = 3dx, ou seja,dudx3

= . Logo, temos:

5 5 4 3

4 2

4 2

4 2

1 1 1tg (3x)dx tg u du tg u tg u du3 3 4

1 1 1tg u tg u tgu du12 3 2

1 1 1tg u tg u ln| sec u| C12 6 31 1 1tg (3x) tg (3x) ln| sec (3x)| C

12 6 3

= =

=

= + +

= + +

(c) 2xsec3(x2+2) dx

Fazemos a substituio u = x2+2. Ento du = 2x dx, logo:

3 2 3

2 2 2 2

1 12x sec (x 2)dx sec u du sec u tgu sec u du2 2

1 1sec u tgu ln| sec u tgu| C2 21 1sec (x 2) tg(x 2) ln| sec (x 2) tg(x 2)| C2 2

+ = = +

= + + +

= + + + + + + +

(d) cos6(3x) dx

Primeiramente fazemos a substituio u = 3x. Ento du = 3dx, ou seja,dudx3

= .

= = +

= + +

= + + +

6 6 5 4

5 3 2

5 3

1 1 1 5cos (3x)dx cos u du cos u senu cos u du3 3 6 6

1 5 1 3cos u senu cos u senu cos u du18 18 4 4

1 5 5 1 1cos u senu cos u senu cos u senu du18 72 24 2 2


37/90

293


= + +5 31 5 5cos (3x) sen (3x) cos (3x) sen (3x)18 72 48

+ +

= + + + +5 3

5cos (3x) sen(3x) (3x) C48

1 5 5 5xcos (3x) sen(3x) cos (3x) sen(3x) cos (3x) sen(3x) C18 72 48 16

(e)tg x

dxx

Fazendo1

2u x x= = . Ento1

21 1du x dx dx2 2 x

= = , ou seja, 12du dxx

= .

tg xdx tgu 2du 2 tgu du 2ln|sec u| C 2ln|sec x | C

x= = = + = +

(f) sen (2x + 3) dx

Fazendo u = 2x + 3. Ento du = 2 dx, isto ,

du

dx 2= . Logo,du 1 1 1sen(2x 3)dx senu senu du cos u C cos (2x 3) C2 2 2 2

+ = = = + = + +

(g) xcossec (x2 5) dx

Fazendo u = x2 5. Ento du = 2x dx, ou seja, duxdx2

= . Portanto,

. Ento,

2 2

2

2 2

dux cossec (x 5)dx cossec (x 5) x dx cossec u2

1cossecudu2

1x cossec (x 5)dx ln|cossec u cotgu| C21ln|cossec (x 5) cotg(x 5)| C2

= =

=

= +

= +

(h) sen cos (cos ) d

Fazendo u = cos . Ento du = sen d, ou seja, sen d = du. Portanto,

sen cos (cos ) d = cos (cos )sen d = cos u (du)= sen u + C = sen (cos ) + C

(i) 23 sen2xcos3x dx

Como a potncia de cosseno impar, separamos um fator de cos x, portanto

temos:

23 sen2xcos3x dx = 2

3 sen2xcos2xcos x dx


38/90

294


Usando cos2x = 1 sen2x, temos

23 sen2xcos3x dx = 2

3 sen2x(1 sen2x)cos x dx

Fazendo u = sen x. Ento du = cos x dx. Portanto,

3 52 3 2 2 2 4

3 5

2 2 2 2 u usen x cos x dx u (1 u )du (u u )du C3 3 3 3 3 5

2 2sen x sen x C9 15

= = = +

= +

(j) sen15(3x)cos (3x) dx

Fazendo u = sen (3x). Ento du = 3cos (3x) dx, ou seja,ducos(3x)dx3

= .

Ento,

1615 15 15 16du 1 1 u 1sen (3x) cos (3x) dx u u du C sen (3x) C

3 3 3 16 48 = = = + = +

(k) cotg3(2y + 1)cossec4(2y + 1) dy

Primeiramente para facilitar a notao, fazemos a substituio u = 2y + 1.

Ento du = 2dy, ou seja, dudy2

= .

cotg3(2y + 1)cossec4(2y + 1) dy =12 cotg

3ucossec4u du

Como a potncia da cotangente impar, separamos um fator de

cossec ucotg u, assim:

cotg3ucossec4u du = cotg2ucossec3ucotg ucossec u du

Usando cot2u = cossec2u 1, temos:

cotg3ucossec4u du = (cossec2u 1)cossec3ucotg ucossec u du

Fazendo z = cossec u. Ento dz = cossec ucotg u du,

ou seja, cossec ucotg u du = dz: Logo,

cotg3(2y + 1)cossec4(2y + 1) dy =

=12 (cossec

2u 1)cossec3ucotg ucossec u du

=12 (z

2 1)z3(dz) = 12 (z

5 z3)dz

= 112

z6+ 18

z4+ C = 112

cossec6u + 18

cossec4u + C

= 112

cossec6(2y + 1) +18

cossec4(2y + 1) + C


39/90

295


(l) sen (3x)cos (5x) dx

Usando a identidade sen acos b =12

[sen (a b) + sen (a + b)], para a = 3xe

b = 5x, temos:

sen (3x)cos (5x) dx = 12 [sen (3x 5x) + sen (3x + 5x)]dx=

12 [sen (2x) + sen (8x)]dx

Lembre-se da trigonometria que sen (x) = sen x, logo sen (2x) = sen 2x.

sen (3x)cos (5x) dx =12 [sen (2x) + sen (8x)]dx

= 12 sen (2x) dx +

12 sen (8x) dx.

Fazendo u = 2xe v = 8x.

Ento du = 2dxe dv = 8dx, ou seja, dx = du2

e dx = dv8

.

sen (3x)cos (5x) dx = 12 sen u

du2

+12 sen v

dv8

= 1

4sen u du +1

16 sen v dv, finalmente,

= 1

4(cos u) +

1

16(cos v) + C

=1

4cos (2x)

1

16cos (8x) + C

(m)2

2

sen x dxcos x

Temos que sen2x = 1 cos2x. Assim,

2 2 22

2 2 2 2

2

sen x 1 cos x 1 cos xdx dx dx (sec x 1)dxcos x cos x cos x cos x

sec x dx dx tg x x C

= = =

= = +

(n)

e2x

cossec

2

(e

2x

) dxFazendo u = e2x. Ento du = 2e2x, ou seja, e2x dx = du

2. Assim,

e2xcossec2(e2x) dx = cossec2(e2x)e2xdx = cossec2u du2=

12 cossec

2udu =12

(cotg u) + C =12

(cotg e2x) + C


40/90

296


(o) Mostre as frmulas de recorrncia par cosnx.

Primeiramente escrevemos a integral de cosnx, de outra maneira.

cosnx dx = cosn1xcos x dx

Fazendo:

u = cosn1x du = (n 1)cosn2x(sen x) dx = (n 1)cosn2xsen x dx

dv = cos x dx v = cos x dx = sen xAplicando a frmula de integrao por partes tem-se:

cosnx dx = cosn1xsen x sen x(n 1)cosn2xsen x dx= cosn1xsen x +(n 1) cosn2xsen2x dx

Usando sen2x = 1 cos2x= cosn1xsen x +(n 1) cosn2x(1 cos2x) dx= cosn1xsen x +(n 1) (cosn2x cosn2xcos2x) dx= cosn1xsen x +(n 1) (cosn2x cosnx) dx

Assim,

cosnx dx = cosn1xsen x +(n 1) cosn2x dx (n 1)cosnx dx

Agora somando (n 1)cosnx dxem ambos os lados da equao, obtemos:

(n 1)cosnx dx+ cosnx dx = cosn1xsen x + (n 1) cosn2x dx

ncosnx dx= cosn1xsen x + (n 1) cosn2x dxOu seja,

n n 1 n 21 n 1cos x dx cos x sen x cos x dxn n

+= +

2. Calcule as integrais:

(a)

2 2dx

x 4 x

O integrando tem um termo do tipo 2 2a u . Neste caso a2= 4, portanto

a = 2. Assim fazendo x = 2sen com 2

2

tem-se dx = 2cos d.

Portanto, 24 x = 2cos . Ento,

= = =

22 22 2

2cosdx 1 1 1d d cossec d4 44 sen 2cos senx 4 x


41/90

297


Assim,

2 2

dx 1 1dx ( cotg ) C cotg C.4 4x 4 x

= + = +

Necessitamos voltar para a varivel x, perceba que devemos encontrar cotg .

Temos pela substituio inicial que

x = 2sen , ou seja, sen =x

2.

No tringulo ao lado conseguimos:24 xcot

x = .

Logo,

2 2

2 2dx 1 4 x 4 xdx C C4 x 4xx 4 x = + = +

(b) 22 5 x dx

O integrando tem um termo do tipo 2 2a u . Neste caso a2= 5,

portanto a = 5 . Assim fazendo x = 5 sen com 2

2

tem-se

dx = 5 cos d. Portanto, 25 x = 5 cos . Ento,

2 22 5 x dx 2 5 cos 5 cos d 10 cos d = = Aplicando a frmula de recorrncia, temos:

2 1 12 5 x dx 10 cos sen d 5cos sen 5 C2 2

= + = + +

Necessitamos voltar para a varivel x, e devemos ento encontrar cos , sen

e o prprio .

Temos pela substituio inicial quex = 5 sen , ou seja,

xsen5

= e,

portanto,xarcsen5

=

.

No tringulo ao lado conseguimos:25 xcos

5

= .

Logo,

22 25 x x x x2 5 x dx 5 5arc sen C x 5 x 5arc sen C

5 5 5 5 = + + = + +


42/90


43/90

299


(d)2 2

dx

x x 25+

O termo 2x 25+ do tipo 2 2u a+ , com a2= 25e, portanto a = 5. Fazen-

do a substituio x = 5tg . Ento dx = 5sec2 d.

Portanto, 2x 25+ = 5sec2. Logo,

2

2

2 1cos

2 2 sen2 2cos

2

secdx 5sec 1 1d d d25 2525tg 5sec tgx x 25

cos1 d25 sen

= = = +

=

fazendo u = sen . Ento du = cos d. Assim,

22 2dx 1 du 1 1 1C C cossec C25 25u 25sen 25ux x 25 = = + = + = ++


figura ao lado obtemos o valor da

cossecante:

2x 25cossecx+ =

Logo,2

2 2

dx 1 1 x 25cossec C C25 25 xx x 25

+= + = ++

(e)4 2

dxx 2x 1+ +

Perceba que x4+ 2x2+ 1 = (x2+ 1)2. Ento,

4 2 2 2

dx dx

.x 2x 1 (x 1)=+ + + fazendo a substituio x = tg . Ento dx = sec2 d. Portanto, x2+ 1 = sec2.

Logo,

22

4 2 2 2 2

dx sec 1d d cos dx 2x 1 (sec ) sec

1 1cos sen C2 2

= = = + +

= + +


44/90

300


Necessitamos voltar para a varivel x, e devemos ento encontrar cos , sen

e o prprio .

Temos pela substituio inicial que

x = tg , logo = arctg (x). Pelo tri-

ngulo retngulo da figura ao lado

obtemos:

2

1cosx 1

=+

e2

xsenx 1

=+

Logo,

4 2 22 2

dx 1 1 x 1 1 x 1arc tg x C arc tg x C2 2 2 2x 2x 1 x 1x 1 x 1

= + + == + ++ + ++ +

(f)2

dx

x 36

O termo 2x 36 do tipo 2 2u a , com a2= 36e, portanto a = 6. Fazen-

do a substituio x = 6sec . Ento dx = 6tg sec de 2x 36 = 6tg .

Logo,

= = = + | +

2

6 tg secdx d sec d ln|sec tg C6 tgx 36

Usamos o tringulo retngulo da

figura ao lado para obter o valor da


e2x 36 xtg sec .6 6 = =

Logo,

2 2

2 2

dx x x 36 x x 36ln C ln C6 6 6x a

+ = + + = +

Usando a propriedade ln ab

= ln a ln b, temos.

2

2 2

dx ln|x x 36 | ln 6 Cx a

= + +

como ln 6 uma constante, ento ln 6 + C uma outra constante, digamos C1.

Ento, 2 12 2dx ln|x x 36 | Cx a= + +


45/90

301


(g) 122

dx(9x 1)

Primeiramente vamos arrumar o termo do denominador para ficar de acordo

com um dos casos estudados.

Note que 2 219x 1 9 x9

=

. Ento temos:

= = = =

32 32 2 3 2 3 2 31 19 9 2

dx dx dx 1 dx 1 dx27 27(9x 1) (9x 1) [9(x )] (x ) 1

x9

Fazendo a substituio x =13

sec . Ento dx =13

sec tg d.

Portanto, deste modo

2 1

x 9 =

1

3 tg Assim,

= = =

= = =

=

= +

3 32

3

1 13 cos

3 32 sen127 cos

2 2

3 3 3

3

sec tgdx 1 1 sec 1d d d

27 3 3tg tg(9x 1)

1 cos 1 (1 sen ) 1 1 1 1d d d d

3 3 3 3 sensen sen sen

1 1cossec d cossec d

3 3

1 1 1 1cossec cot cossec d cos

3 2 2 3

= |+

sec d

1 1cossec cot ln| cossec cot C6 6



cotangente e da cossecante, assim

temos:

e2 2

3xcot cossec .

9x 1 9x 1

1 = =

Logo,

1 1= | +

= | +

3 22 2 2 2 2

2 2

dx 1 3x 1 3xln| C6 6(9x 1) 9x 1 9x 1 9x 1 9x 11 x 1 3x 1ln| C2 69x 1 9x 1


46/90

302


(h)2

x 1 dxx 1

+

O termo 2x 1 do tipo 2 2u a , com a2= 1e, portanto a = 1. Fazendo a

substituio x = sec . Ento dx = tg sec de 2x 1 = tg . Logo,

+ )+ = = +

= + = + + | +

2

2

(sec 1)(tg secx 1 dx d (sec 1) sec dtgx 1

sec d sec d tg ln|sec tg C




e2tg x 1 sec x = =

Portanto,

2 2

2

x 1 dx x 1 ln| x x 1 Cx 1

+ = + + | +

(i)x

2x

e dxe 4+

O termo x 2(e ) 4+ do tipo 2 2u a+ , com a2= 4e, portanto a = 2. Fazen-do a substituio ex= 2tg . Ento derivando os dois lados da substituio

anterior, obtemos ex dx = 2sec2 d. Portanto, x 2(e ) 4+ = 2sec . Logo,

x 2

2x

e 2 secdx d sec d ln|sec tg | C2 sece 4

= = = + ++


figura ao lado obtemos o valor da

secante e da tangente:

ex 2xe e 4tg sec

2 2+ = =

Assim,

x 2x x2x x

2x

e e 4 edx ln C ln| e 4 e | C2 2e 4

+= + + = + + ++


47/90

303


(j) 24 x dx+

O termo 2x 4+ do tipo 2 2u a+ , com a2= 4e, portanto a = 2. Fazendo

a substituio x = 2tg . Ento dx = 2sec2 d. Portanto, 2x 4+ = 2sec .

Logo,

2 2 3x 4 dx 2 sec sec d 4 sec d

1 14 sec tg sec d2 2

2 sec tg 2 ln|sec tg | C

+ = =

= +

= + + +

Com a substituio inicial x = 2tg ,

ou seja, tg =x

2

e usando o tringu-

lo retngulo da figura ao lado obte-

mos o valor da secante:

2x 4sec2

+ =

Assim,

2 22

2 2

x 4 x x 4 xx 4 dx 2 2 ln| | C2 2 2 2

1 x x 4 2 ln| x 4 x| C2

+ ++ = + + +

= + + + + +

3. Mostre que 2 22 2

du ln|u u a | Cu a

= + + ++

.

Fazemos a seguinte substituio u = atg . Ento du = asec2 d.

Assim 2 2u a+ = asec .

2

2 2du a sec d sec d ln|sec tg | Ca secu a= = = + ++

Na substituio u = atg , ou seja,utga

= , tem-se que u o cateto

oposto e a o cateto adjacente. J

a hipotenusa 2 2u a+ obtida por

meio do teorema de Pitgoras, ob-

serve a figura ao lado.


48/90

304


Assim2 2a useca+ = . Portanto,

2 2

2 2

du a u uln| | Ca au a

+= + ++

Aplicando a regra de logaritmos, discutidas nos exerccios anteriores, obtemos:

2 22 2

2 2

2 21

du a u uln| | C ln| a u u| ln a Ca au a

ln| a u u| C

+= + + = + + ++

= + + +

4. Calcule as seguintes integrais por decomposio em fraes parciais.

(a)2

2

x dxx x+

Note que podemos fazer uma simplificao:

2 2

2

x x xdx dx dx.x(x 1) x 1x x

= =+ ++

Fazendo a diviso de polinmios, pois o grau do numerador igual ao do

numerador, obtemos:

. Ento,

22

x 11x 1 x 1

x dxdx dx .x 1x x

= + +

= ++

A segunda integral resolve-se por uma substituio. Assim,

2

2

x dxdx dx x ln|x 1| C.x 1x x

= = +++

Esta integral no necessitou resolver usando fraes parciais diretamente,

pois com uma diviso j a simplificamos ao mximo. Mas se na integral origi-

nal, no tivssemos feito a simplificao de x, poderamos dividir tambm e

depois aplicar fraes parciais que chegaramos no mesmo resultado.

(b)2

2x 1 dx2x 3x 2

++

No h necessidade de dividir os polinmios. Mas note que o coeficiente do

termo de maior grau do denominador 2, portanto vamos dividir o numera-

do e o denominador por 2, logo:

12

2 2 32

x2x 1 dx dx2x 3x 2 x x 1

++ =+ +


49/90

305


Temos Q(x) = x2+32

x 1que tem razes x = 12

e x = 2,

logo Q(x) = x2+32

x 1 = (x 12)(x + 2). Assim temos:1 1

2 2

2 1 13 2 22

x A(x 2) B(x )A B

x x 2 (x )(x 2)x x 1

+ + + = + =

+ ++

Ou seja, x + 12

= A(x + 2) + B(x 12)Esta equao vlida para qualquer x, portanto temos:

Para x = 12

obtemos,12

+ 12

= 1A 22

+

, ento A =25

.

Para x = 2obtemos, 2 + 12

= 1B 22

, ento B =35

.

Logo,

2 12

2x 1 A Bdx dx dxx x 22x 3x 2

+ = + ++

Aplicando a substituio,

122 1

2

2x 1 2 dx 3 dx 2 3dx ln| x | ln|x 2| C5 x 5 x 2 5 52x 3x 2

+ = + = + + + ++

(c)4 3 2

x 2 dx

x 7x 18x 20x 8

+ +

Necessitamos decompor o polinmio Q(x) = x4 7x3+ 18x2 20x + 8. Uma

das razes x = 1, utilizando o mtodo de Briott-Rufini, obtemos a outra parte

da decomposio que x3 6x2+ 12x 8. Aplicando novamente Briott-Rufi-

ni na 2 parte da decomposio, sabendo que uma das razes x = 2, obter-

mos como outra decomposio x2 4x + 8. Resolvendo por Bhskara, temos

que as duas razes so x = 2e x = 2.

Assim, Q(x) = x4

7x3

+ 18x2

20x + 8 = (x 1)(x 2)(x 2)(x 2) , ou seja, araiz x = 2se repete 3vezes, logo estamos no segundo caso na decomposio

das fraes parciais, isto ,

4 3 2 2 3

x 2 A B C Dx 1 x 2x 7x 18x 20x 8 (x 2) (x 2)

= + + + + +

Encontraremos os valores de A, Be C.

3 2

4 3 2 3

x 2 A(x 2) B(x 1)(x 2) C(x 1)(x 2) D(x 1)

x 7x 18x 20x 8 (x 1)(x 2)

+ + + =

+ +


50/90


51/90


52/90

308


Usando diretamente a tabela para as duas primeiras integrais e substituio

na terceira, temos:

2

3 2

x 2 2dx 2 ln| x| ln|x 1| Cxx x

= +

(f)3

dx3x 6x+

Primeiramente deixemos o coeficiente do termo de maior grau do denomi-

nador igual a um, colocando 2em evidncia.

3 3

dx 1 dx22x 6x x 3x

=+ +

Agora Q(x) = x3

+ 3x = x(x2

+ 3)e note que x2

+ 3 irredutvel, poisb2 4ac = 02 413 = 12 < 0 , logo a decomposio em fraes parciais

dado por,

+ + + += + =+ + +

2

3 2 2

1 A Bx C A(x 3) (Bx C)xxx 3x x 3 x(x 3)

Temos ento, 1 = A(x2+3) + (Bx + C)xque vlido para todo x.

Assim,

para x = 0obtemos 1 = A3, ento A = 13

.

Para encontrar os outros valores necessitamos montar um sistema para A, Be C.

1 = (A + B)x2+Cx +3A, ou seja,

A B 0

C 0

3A 1

+ =

= =

Diretamente temos C = 0e com a primeira equao

A + B = 0e pelo fato de A =13

, temos B = 13

.

Assim temos,

= = + + + +

= = + +

1 23 3

3 3 2

2 2

xdx 1 dx 1 dx dx2 2 x2x 6x x 3x x 3

x dx x dx1 1 dx 2 1 dx 12 3 x 3 6 x 3x 3 x 3

Usando a substituio u = x2+ 3, temos:

= + ++

23

dx 1 1ln| x| ln|x 3| C6 62x 6x


53/90

309


(g) 2 2x 1 dx

(x 2x 3)

+ +

Perceba que o termo x2+ 2x + 3 irredutvel, pois

b2 4ac = 4 413 = 8 < 0, e ainda se repete duas vezes, ento temos o

quarto caso de decomposio em fraes parciais.

2

2 2 2 2 2 2 2

x 1 Ax B Cx D (Ax B)(x 2x 3) Cx D(x 2x 3) x 2x 3 (x 2x 3) (x 2x 3)

+ + + + + + += + =+ + + + + + + +

Ento,

x 1 = (Ax + B)(x2+ 2x + 3) + Cx + D

x 1 = Ax3+ (2A + B)x2+ (3A + 2B + C)x + 3B + D

Montando um sistema para A, B, Ce D, obtemos:

A 0

2A B 0

3A 2B C 1

3B D 1

= + =

+ + = + =

Da primeira e segunda equaes tiramos que A = 0e B = 0, com isso temos

C = 1e D = 1, ou seja, conclumos que a integral j est na sua forma redu-

zida, no tem como quebr-la em fraes parciais mais simples. Assim, deve-

mos resolv-la como a encontramos.

Primeiramente, vamos completar os quadrados.

Perceba que x2+ x + 2 = (x + 1)2+ 2. Logo,

2 2 2 2

x 1 x 1dx dx(x 2x 3) [(x 1) 2]

=+ + + +

Fazendo u = x + 1. Ento du = dx. Como u = x + 1, segue que x = u 1. Assim,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x 1 (u 1) 1 u 2 u dudx du du du2(x 2x 3) (u 2) (u 2) (u 2) (u 2)

= = =+ + + + + +

Para resolver2 2

u du(u 2)+ , usamos a substituio z = u

2+ 2e ento obtemos:

12 2 2

u 1du C(u 2) 2(u 2)

= ++ +


54/90

310


J para resolver 2 2du

(u 2)+ , recorremos a substituio trigonomtrica.

Fazemos u 2 tg= . Ento 2du 2 sec d= . Ento,

= = =+ +

=

= + = +

2 2

2 2 2 2 4 2

2

du 2 sec 2 sec 2 d

d d 4(u 2) (2 tg 2) 4 sec sec

2 cos d4

2 1 1 2cos sen (cos sen )4 2 2 8

(Aplicando recorrncia)

Agora necessitamos voltar a varivel u. Temos que u 2 tg= , ou seja,utg2

= e portantouarc tg2

=

.

Usando o tringulo retngulo ao

lado, obtemos o valor de:

e2 2

u 2sen cos .u 1 u 1

= =+ +

Logo,

2 2 2 2

22

du 2 2 u uarctg8(u 2) 2u 2 u 2

2 2 u uarctg C8 u 2 2

= + + + +

= + + +

Temos ento que:

2 2 2 2 2 2

2 2

x 1 u dudu 2(x 2x 3) (u 2) (u 2)

1 2 2 u u

arctg C82(u 2) u 2 2

= + + + +

= + + + +

Agora necessitamos retornar a varivel x, e temos que , assim:

2 2 2 2

x 1 1 1 x 1 2 x 1arctg C2 4(x 2x 3) 2(x 2x 3) x 2x 3 2

+ += + + + + + + +


55/90

311


(h)2

2 2

x x 2 dx(x 1) (x 1)

+ + +

Temos Q(x) = (x 1)2(x2+ 1), cuja raiz x = 1se repete duas vezes, enquanto

x2+ 1 irredutvel pois b2 4ac = 0 411 = 4 < 0 , logo a decomposio

em fraes parciais dado por,

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x x 2 A B Cx D A(x 1)(x 1) B(x 1) (Cx D)(x 1)x 1(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)

+ + + + + + + + = + + = + + +

Ento, x2+ x + 2 = A(x 1)2(x2+ 1) + B(x2+ 1) + (Cx + D)(x 1)2, que vlido

para todo x, assim,

Para x = 1obtemos 1 + 1 + 2 = B(1 + 1), ento B = 2.

Para encontrarmos os outros valores, precisamos montar um sistema para A,

B, Ce D.

x2+ x + 2 = x3(A + C) + x2(A 2C + B + D) + x(A + C 2D) A + B + D

A C 0

A B 2C D 1

A C 2D 1

A B D 2

+ = + + =

+ = + + =

Como pela primeira equao A = C, ento substituindo na terceira,

obtemos 2D = 1, ou seja, D = 12

. Agora pelo fato de D = 12

e B = 2,

da quarta equao tiramos que A = 12

. Como A = C, segue que C = 12

.

Ento,

2 1 12 2

2 2 2 2

2 2 2

xx x 2 1 dx dx2 dx2 x 1(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)

1 dx dx 1 x 1 dx2 dx2 x 1 2 2(x 1) (x 1) (x 1)

+ + = + + + +

= + + + +

Nas trs primeiras integrais usamos o mtodo da substituio, j na quarta

integral usamos a tabela diretamente, portanto:

22

2 2

x x 2 1 2 1 1ln|x 1| ln| x 1| arctg (x) C2 x 1 4 2(x 1) (x 1)

+ + = + + + +


56/90

312


(i) 2 2dx

(x 1)(x 9)+ +

Note que o polinmio Q(x) = (x2+ 1)(x2+ 9)j est na forma fatorada e os

dois fatores so irredutveis, logo:

2 2

2 2 2 2 2 2

1 Ax B Cx D (Ax B)(x 9) (Cx D)(x 1)(x 1)(x 9) x 1 x 9 (x 1)(x 9)

+ + + + + + += + =+ + + + + +

Ento,

1 = (Ax + B)(x2+ 9) + (Cx + D)(x2+ 1)

1 = (A + C)x3+ (B + D)x2+ (9A + C)x + (9B + D)

Por igualdade de polinmios, temos o seguinte sistema:

A C 0

B D 0

9A C 0

9B D 1

+ = + =

+ = + =

Da segunda equao, tem-se B = De substituindo-a na quarta 9B + D = 1,

obtemos D = 18

, logo B = 18

. Da primeira equao tem-se A = Ce substi-

tuindo-a na terceira 9A + C = 0, obtemos C = 0. Logo A = 0.

Ento,

= +

+ + + + 1 1

8 82 2 2 2

dx dx dx(x 1)(x 9) x 1 x 9

Usando diretamente a tabela, obtemos:

2 2

dx 1 1 xarctg (x) arctg C8 24 3(x 1)(x 9)

= + + +

(j)3 2

3x x 2x 1dx

x 1+ + +

Efetuando a diviso de polinmio temos,

3 2 2

3 3

x x 2x 1 x 2x 2dx 1dx dxx 1 x 1

+ + + + += +

A primeira integral do lado direito resolvida diretamente e a segunda inte-

gral resolve-se por fraes parciais.


57/90

313


Tendo Q(x) = x3 1 = (x 1)(x2+ x + 1), percebemos que uma raiz x = 1,

enquanto x2+ x + 1 irredutvel, pois b2 4ac = 1 411 = 3 < 0 , logo a

decomposio em fraes parciais dado por,

2 2

3 2 2

x 2x 2 A Bx C A(x x 1) (Bx C)(x 1)x 1x 1 x x 1 (x 1)(x x 1)

+ + + + + + + = + = + + + +

Temos ento,

x2+ 2x + 2 = A(x2+ x + 1) + (Bx + C)(x 1) para qualquer valor de x.

Assim,

Para x = 1, temos 5 = A3e ento A = 53

Para encontrar os outros valores, montamos um sistema para A, Be C. Temos:

x2+ 2x + 2 = A(x2+ x + 1) + (Bx + C)(x 1)

x2+ 2x + 2 = (A + B)x2+ (A B + C)x + A C

Portanto, obtemos o sistema:

A B 1

A B C 2

A C 2

+ =

+ = =

Como A = 53

e A + B = 1e A C = 2, ento B = 23

e C = 13

. Logo temos:

3 2 2

3 3

5 2 13 3 3

2

2

x x 2x 1 x 2x 2dx dx dxx 1 x 1

xdx dx

x 1 x x 15 dx 1 2x 1dx dx3 x 1 3 x x 1

+ + + + += +

= + +

+ ++= +

+ +

A primeira integral resolve-se diretamente e a segunda por substituio. Noteque a terceira tambm resolve-se por substituio, pois fazendo u = x2+ x + 1,

temos du = (2x +1) dx. Logo,

3 2

3 2

2

x x 2x 1 5 dx 1 2x 1dx dx dx3 x 1 3x 1 x x 1

5 1x ln|x 1| ln|x x 1| C3 3

+ + + += + + +

= + + + +


58/90

314


UNIDADE 4Tpicos Especiais de Integrao

SEO 2 Integrais Imprprias


Verifique se possvel calcular a rea da regio abaixo da curva: y = 1x

, x 1?

Basta verificar se a integral1

1 dxx

+

existe.

Temos:

t t

t t t11 1

1 1dx lim dx lim ln x lim (ln t ln 1)x x

+

= = = =

Portanto, a integral no existe.

Agora a sua vez! (pgina 151)

Verifique se a integral2

dx(x 1)

+

existe ou converge.

A funo no est definida em x = 1. Assim vamos escrever1

2 2 21

dx dx dx(x 1) (x 1) (x 1)

+ +

= +

Mas

1 0 1

2 2 20

0 0 0

2 2t t ttt

1 t

2 2t 1 t 1

0 0

dx dx dx(x 1) (x 1) (x 1)

dx dx 1 1 1lim lim lim 1

x 1 0 1 t 1(x 1) (x 1)dx dx 1lim lim 1

t 1(x 1) (x 1)

= +

= = = =

= = = +

e

Basta que uma das integrais no exista para que se possa afirmar que a inte-

gral dada no existe.


59/90


60/90

316


Para valores de m inteiro positivo vamos ter uma integral imprpria, pois a

funo no est definida em x = 0. Ao fazer1 0 1

m m m2 2 0

dx dx dxx x x

= + . obser-vamos que ficamos diante das consideraes do Agora a Sua Vez anterior,

portanto valem as mesmas consideraes.

Voc poder fazer inmeras simulaes para refletir esse exerccio.

SEO 3 Integrais que envolvem expresses quadrticas


Calcular as seguintes integrais utilizando um recurso computacional:

(a)2

dx

x (4x x 3)+

(b)2

24

dx

x 6x 9 +


61/90

317


UNIDADE 4


1. Analise as seguintes integrais para diagnosticar a existncia de situaes

discutidas no contexto das integrais imprprias. Resolva, quando possvel.

(a)2 2

3 3

1 13 3

11 1

2 2 2t 0 t 0 t 03 3 30 t t

dx dx x 1 t 3lim lim lim .2x x+ + +

= = = =

(b)11 1 2 2

3 3t 0 t 0 t 0

t0 t

dx dx x 1 tlim lim lim .2 2 2x x+ + +

= = = =

(c)

44 4 1 1 1

2 2t 2 t 2 t 2

t2 t

dx dx (x 2) (4 2) (t 2)lim lim lim .1 1 1(x 2) (x 2)+ + +

= = = =

(d)

= = = = 0 0 0

x x x t

t t ttt

e dx 1 lim e dx lim e lim (1 e ) 1.. De fato,

(e) .

Temos

Analogamente . Logo,

0

2 2 20

0 0

2 t tt

2 20

dx dx dx1 x 1 x 1 x

dx lim arctg x lim ( arctg t) .2 21 x

dx dx .21 x 1 x

+ +

+ +

= ++ + +

= = = = +

= = + +

(f)

11 2 2 2

11

x 1 ( 1)(x 1) dx x 1 ( 1) 22 2 2

+ = + = + + =

2. Calcule as seguintes integrais utilizando um recurso computacional

(a)2

dx

x 2x 3+


62/90

318


(b)2

x 3 dxx 2x

+

+

(c)2

3

dx(x 1)(x 2)

+

(d)4

2 2

x 2x dx(x 4) (x 2)

+ +


63/90

319


UNIDADE 5Aplicaes Geomtricas

SEO 1 rea de regies planas


1. Calcule a rea da regio delimitada pela elipsex 2 cos t

y 3 sen t

=

=.

A rea do primeiro quadrante ser:

u.a.

02

0 0

0

1 1A 3 sen t 2 sen t dt 6 sen t dt 6 cos 2t dt2 2

1 1 1 3

3t 3 sen 2t 3 3 sen 2 3 0 3 sen 02 2 2 2 2 2

2 2

2

2

= = =

= = =

A rea total ser dada por34 62 = unidades de rea.

2. Calcule a rea da regio limitada pelas curvas 2x = t x = t 1

ey t y t 1

+

= = + .

A regio cuja rea ser calculada pode ser visualizada na figura 10:

Usando o caso II, teremos:

31

0 2

tt2

t t

A (t 1) 1dt t 1dt= +

Se xvaria entre 0e 1, ento:

Para x = 0 t0= x 1 = 0 1 = 1 ;

Para x = 1 t1= x 1 = 1 1 = 0 ;

Para

x = 0 t2= 0;Para x = 1 t

3= 1. Figura 10

u.a.0 10 1 2 3

2

1 01 0

t t 1 1 1A (t 1) dt t dt t 12 3 2 3 6

= + = + = =


64/90

320


3. Calcule a rea delimitada pela elipsex 2 cos t

y 4 sen t

=

=

que est acima da reta y = 2.

importante encontrar o ponto de interseco da reta com a elipse no pri-

meiro quadrante, para que possamos definir os limites de integrao:

2 = 4sen t ou1sen t t2 6

= =

Assim, a rea no primeiro quadrante ser:

6 2 2

2 6 6

2

6

2 1 1A (4 sen t) ( 2 sen t) dt 8 sen t dt 8 cos 2t dt2 2

4 3 34t 2 sen 2t3

= = = +

+= + =

u.a.

A rea total ser dada por = u.a.4 3 3 8 6 32

3 3 + + .


Calcule a rea da regio delimitada pelas seguintes curvas, representadas em

coordenadas polares.

1. r = 2 2 sen

A rea formada pela cardiide pode

ser visualizada na figura 11:

J que existe simetria em relao ao

eixo vertical, a rea ser escrita como

sendo: AT= 2A, sendo que

Figura 11

( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2

2

2

2 2

2

1 1A (2 2 sen ) d (4 8 sen 4 sen ) d2 2

2 d 4 sen d 2 sen d

1 12 4 cos 2 cos 2 d2 2

2 2 4 0 1 cos 2 d2 2

= = +

= +

= + +

= + +


65/90

321


2

2

1 sen 2 22 2 2

= + + = +

u.a.2 32 2

= + + =

2. r = sen (5)

Na figura 12 possvel visualizar esta

roscea e a rea que ser calculada.

Usando o intervalo , 02

,

vamos calcular a rea de uma das

cinco ptalas:Figura 12

u.a.

2 2

2

0 02 2

2

0

2

1 1A (sen 5 ) d sen 5 d2 2

u 5 du 5d

1 1 1 1 1 1 1 1A sen u du cos 2u du u sen 2u c10 10 2 2 10 2 2 2

5 1 1sen (10 ) c sen (10 )20 40 4 40

1 sen (10 )4 40 2 8

= =

= =

= = = +

= + =

= =

A rea total ser dada por55 A 5

8 8 = = unidades de rea.

SEO 2 Comprimento de arcos de curvas planas


1. Determine o comprimento de arco das seguintes curvas

(a) = 2x ln x

y2 4

no intervalo 2 x 4.

A derivada de yser dada por21 4x 1y ' x

4x 4x= = .

+ + += + = + =

24 4 42 4 2 4 2

2 22 2 2

4x 1 16x 8x 1 16x 8x 1s 1 dx 1 dx dx4x 16x 16x


66/90

322


+ += = = + = +

= + + = +

44 4 4 42 2 2 2

222 2 2 2

(4x 1) 4x 1 1 x 1dx dx x dx dx ln| x |4x 4x 2 416x

16 1 4 1 1ln 4 ln 2 6 ln 22 4 2 4 4

u.c.

(b) y = 4x 1entre os pontos A(1,3)e B(2,7).

= + = = = = 2 2

22

11 1

s 1 (4) dx 17 dx 17 x 17(2 1) 17 u.c.

2. Escreva a integral que representa o comprimento de arco das seguintes

curvas:

(a) y = ex 1de A(0,0)at B(2,e2 1).

2 2x 2 2x

0 0

s 1 (e ) dx 1 e dx= + = +

(b) y = sen xde x = 0at x = .

2 2

0 0s 1 (cos x) dx 1 cos x dx

= + = +


1. Determine o comprimento da parte da circunferncia=

=

x 10 cos t

y 10sen tque

est no primeiro quadrante.

No primeiro quadrante a variao de tser t 0,2

. Assim,

= + = +

= = = =

2 2

2

2

2 2 2 2

0 0

00

s ( 10 sen t) (10 cos t) dt 100(sen t cos t) dt

100 dt 10t 10 52

u.c.


67/90

323


2. Calcule o comprimento de arco da curva= +

=

x 3t 2

y t 1, t [0,3].

u.c.3 3

32 2

00 0

s (3) (1) dt 10 dt 10 t 3 10= + = = =

3. Calcule o comprimento da cardiide r = 2 + 2cos .

u.c.

2 2

0

2 2

0

2

0 0 0

0

s 2 ( sen ) (2 2 cos ) d

2 4 sen 4 8 cos 4 cos d

2 8 8 cos d 2 8 1 cos d 2 8 2 cos d2

2 8 2 2 sen 16 sen sen 0 162 2

= + +

= + + +

= + = + =

= = =

4. Determine a integral que representa o comprimento da curva r = 2 cos .

2 2 2 2

0 0

0

s 2 (sen ) (2 cos ) d 2 sen 4 4 cos cos d

2 4 4 cos d

= + = + +

=

SEO 3 Volume de slidos de revoluo


1. Determine o volume do slido gerado pela rotao de y = x , 0 x 4

em torno do eixo x.

= = = = 44 4 2

2

00 0

xV ( x ) dx x dx 82

u.v.


68/90

324


2. Calcule o volume do slido gerado pela regio Rque gira em torno do

eixo x, sendo que R: = +

=

2y x 1

y 3 x.

1 12 2 2 2 4 2

2 211 3 5

2 4 2

2 2

V [(3 x) (x 1) ] dx [(9 6x x ) (x 2x 1)] dx

x x(8 6x x x ) dx 8x 3x3 5

1 1 8 32 1178 3 16 123 5 3 5 5

= + = + + +

= =

= + + =

UNIDADE 5Atividades de auto-avaliao (pgina 204)

1. Calcule a rea da parte da elipse=

=

x 4 cos t

y 2sen tque est acima da reta y = 1.

importante encontrar o ponto de interseco da reta com a elipse no pri-

meiro quadrante, para que possamos definir os limites de integrao:

11 2 sen t sen t t2 6

= = =

Assim, a rea no primeiro quadrante ser:

u.a.

6 2 2

2 6 6

2

6

2 1 1A 2 sen t 4 sen t dt 8 sen t dt 8 cos 2t dt2 2

4 2 4 2 3 4 3 34t 2 sen 2t 4 2 sen2 6 6 3 2 3

= = =

+= = + = + =

A rea total ser dada por = u.a.4 3 3 8 6 32

3 3 + +

2. Calcule a rea da regio entre as curvas=

=

x 4 cos t

y 2sen te

=

=

x cos t

y sen t.

No primeiro quadrante teremos:

= =

= = =

2 2

2 2

2 2

0 02 2

0 0

2

00

A 2 sen t 4 sen t dt sen t sen t dt 8 sen t dt sen t dt

t 1 77 sen t dt 7 sen 2t

2 4 4

u.a.

A rea total ser data por u.a.74 74 =


69/90

325


3. Calcule a rea da regio limitada pela curva r = 2 cos .

2 2

0 0

0

1 1A (2 cos ) d (4 4 cos cos ) d2 2

1 1 1 94 4 sen sen 2 4 02 2 4 2 2 4

= = +

= + + = + =

u.a.

A rea total ser de = u.a.9 924 2

4. Calcule a rea da interseco das circunferncias r = 6cos e r = 6sen .

Na figura 13 possvel visualizar a

interseco das circunferncias:

Para definir os limites de integrao,

importante encontrar o ngulo em

que as duas circunferncias se inter-

ceptam no primeiro quadrante:

6 cos 6 sen cos sen

4

= =

= Figura 13

u.a.

4 4 4

4

2 2

0 0 0

0

1 36 1 1A (6 sen ) d sen d 18 cos 2 d2 2 2 2

1 1 9 1818 sen 2 18 sen2 4 8 4 2 4

= = =

= = =

A rea total ser = u.a.9 18 9( 2)2

4 2

5. Calcule o comprimento de arco da curva =

2

3xy

2do ponto x = 0at x = 1.

+ += + = + = =

= + =

= = = + = +

= = =

2 2 23 3 3

2 2 13 3 3

2 13 3

3 2 332 2

1 13 3

32

1 1 1 1

0 0 0 0

1

0

x 1 9x 1 9x 1s 1 dx 1 dx dx dx9 9x 9x 3x

u 9x 1 du 6x dx

u du 1 1 1s u du u C (9x 1)18 27 273x 6x

1 1 1 10 10 1(10 1) 10 1027 27 27 27

u.c.


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326


6. Encontre a integral que repre-

senta o comprimento total da curva = =

t

t

2

x e 1

y e, sendo 0 t 3.

+ += + = + = =

t t2 2

23 3 3 3t 2t t tt 2 2t

0 0 0 0

e e 4e e e 4e 1s (e ) dt e dt dt dt2 4 4 2

7. Calcule o comprimento do ardo da curva4

2

x 1y

8 4x= + no intervalo x [1,2].

+ + += + = =

+= = + =

= =

22 2 26 6 12 6 6 2

3 6 61 1 1

22 2 26 6 4

3 3 3 211 1 1

x 1 4x x 2x 1 (x 1)s 1 dx dx dx2x 4x 4x

(x 1) x 1 x 1dx dx dx 82x 2x 2x 4x

16 1 1 1 338 16 8 4 16

u.c.

8. Determine o comprimento de arco da curva r = 32, sendo

20,

3.

u.c.

2 2 23 3 3

32 323 23 32 2

2 2 2 2 4 2 2

0 0 0

2 22

0

s (6 ) (3 ) d 36 9 d 9 (4 ) d

3 2 4 (36 4 )(4 ) 4 4 82 3 9 27

= + = + = +

+ = + = + =

9. Encontre a integral que representa o comprimento total da curva

r = 2 3cos .

= +

= + +

=

2 2

0

2 2

0

0

s (3 sen ) (2 3 cos ) d

9 sen 4 12 cos 9 cos d

13 12 cos d


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327


10. Calcule o volume do slido gerado pela rotao da interseco de y = x2,

y = 0e x = 2em torno do eixo y.

u.v.

44 4 22 2

0 0 0

y 16V [(2) ( y ) ] dy (4 y) dy 4y 16

2 2V 8

= = = =

=

11. Calcule o volume da superfcie obtida pela rotao de y = 4 x ,1

4 x 4

em torno do eixo x.

= = = =

= =

11 1 44 4

44 4 22 x 1V (4 x ) dx 16x dx 16 8 16

2 16256 1 2558

16 2u.v.

12. Faa rotacionar a regio Rdefinida pela interseo de y = x3, x = 0e y = 8

em torno da reta y = 8. Encontre o volume do slido gerado.

u.v.

22 2 7 43 2 6 3

0 0 0

x 16xV (x 8) dx (x 16x 64) dx 64x7 4

128 57664 1287 7

= = + = +

= + =

13. Calcule o volume do slido de revoluo gerado pela rotao de y = 2x + 1,

y = 0e x = 1em torno da reta x = 1.

u.v.

323 3 2 3

0 0 0

y 1 (y 3) (y 3)V 1 dy dy

2 4 4 3

9.0 . 2712 12 4

= = =

= =


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328


UNIDADE 6Aplicaes Fsicas

SEO 1 Massa e centro de massa de um o


Encontrar a massa total e o centro de massa de uma barra de 10 cmde com-

primento, se a densidade linear da barra num ponto P, que dista x cmda

extremidade esquerda, (2x + 3) kg/cm.

Coloquemos a barra sobre o eixo x, fazendo com que a extremidade esquer-

da coincida com a origem. Ento,

Temos que a massa dada por:

10

2 10 20

0

m (2x 3) dx (x 3x)| (10 3 10) 0 130 kg.= + = + = + =

J o para o centro de massa, temos:

1010 102 3 2

00 0

3 2

1 1 1 2 3x x(2x 3) dx (2x 3x) dx x xm 130 130 3 2

1 2 3 1 1 200010 10 0 150 6, 28.130 3 2 130 130 3

= + = + = +

= + = + =

SEO 2 Trabalho


Uma partcula movida ao longo do eixo xpor uma fora que mede 21

xN

em um ponto a xmetros da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover apartcula de x = 1 at x = 5 metros.

O trabalho dado pela integral definida:

55

21 1

1 1 1 4W dx 1 0, 8 J.x 5 5x

= = = = =


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329


SEO 2 Presso


1. Uma chapa semicircular de 0,1 mde raio acha-se submersa verticalmente

num lquido, como mostra a figura 6.7. Determinar a fora exercida sobre umlado da chapa, sabendo-se que o lquido pesa 100 N por m3. Lembre-se que

a funo que determina uma circunferncia = 2 2y r x , sendo ro raio

da circunferncia.

Note que a chapa simtrica em

relao ao eixo y, portanto vamos

considerar a regio delimitada por

y = 0,1, y = 0, x = 0e2x 0, 01 y= . O nvel da gua con-

tm a reta y = 0.

Sabemos que a fora exercida dada

por:Figura 6.7 Placa circular de raio 0,1 metros

d

c

F p (l y)[f(y) g(y)] dy= , onde p = 100, l = 0(nvel da gua).

Devemos multiplicar a integral por 2, pois estamos considerando apenas a

regio da direita.

0 02 2

0,1 0,1

F 100 (0 y) 0, 01 y dy 200 y 0, 01 y dy

= =

Fazendo a substituio u = 0,01 y2. Ento du = 2y dy, ou seja,du y dy2

= .

Ento,

32 312 22

32

du 1 1 u 1y 0, 01 y dy u u du u C2 2 2 3

= = = = +

Portanto para a integral definida, temos:

3 32 2

02

0, 1

1 200F 200 (0, 01 y ) (0, 01) 0, 066 N.3 3

= = =


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330


UNIDADE 6


1. Usando = b

a

1x x (x) dxm

, mostre que o centro de massa de uma barra

homognea de comprimento lest no seu ponto mdio, isto ,+= b ax2

.

Considere a barra com extremidades nos pontos ae b.

Como a barra homognea, ento a barra tem densidade constante, ou seja,

(x) = k. Para calcular a massa, temos:

bba

a

m k dx kx | k(b a).= = =

Ento, para o centro de massa, temos:

b b 2b 2 2a

a a

1 1 1 x 1x xk dx k x dx | (b a )m k(b a) (b a) 2 2(b a)

= = = =

Decompondo: b2 a2= (b a)(b + a), logo:

1 b ax (b a)(b a)2(b a) 2

+= + =

, como queramos demonstrar.

2. Determinar o centro de massa de uma barra de 5 mde comprimento, sa-bendo que num ponto P, que dista 1 mde uma das extremidades, a densidade

1 kg/me que nos demais pontos ela dada por (1 + d) kg/m, onde d a

distncia at o ponto P. Neste caso, a densidade da barra dada pela funo:

=

= + =


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331


O centro de massa dado por:

= = +

= + = +

= = =

5 4 5

2720 0 4

4 5

2 3 3 2

0 4

1 1x x (x) dx x(5 x) dx x(x 3) dxm

2 5x x x 3 2 56 41x27 2 3 3 2 27 3 6

2 51 17 1, 89.27 2 9

3. Encontrar a massa total e o centro de massa de uma barra de 10 cmde

comprimento, se a densidade linear da barra num ponto P, que dista x cmda

extremidade esquerda, (2x + 5) kg/cm.

Suponha a barra sobre o eixo xe com a extremidade esquerda na origem.

Temos que a massa dada por:

102 10 2

0

0

m (2x 5) dx (x 5x)| (10 5 10) 0 150 kg.= + = + = + =

J o para o centro de massa, temo

unisul resposta

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