UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

Introducción

Rafael Salas Abril de 2011

2

Referencia básica

Peter Lambert (2001), The distribution and redistribution of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press.

Nociones de bienestar (medidas de bienestar) y

políticas sociales.

3

Objetivos

Desigualdad, bienestar, pobreza, progresividad, redistribución

No solo importa la renta media, crecimiento medio

Comparar dos distribuciones:2 países1 país en dos periodos1 país antes y después de impuestos o gasto público

4

Índice

Introducción Medición de la desigualdad: metodología

Enfoque ordinal (parcial)

Índices de desigualdad Enfoque cardinal (completo)

Bienestar: enfoque parcial/completo Pobreza: enfoque parcial/completo

Desigualdad de oportunidades

5

Introducción

Bases de datos

Individual: Ej. Panel de hogares de la UE, Encuesta Presupuestos Familiares

Agrupada: Tabulada por intervalos

6

Introducción

Unidad de análisis:• hogar, individuo, unidad fiscal

• Definición nivel de vida: • renta, gasto, riqueza

• Escalas de equivalencias:• Escala OCDE: E=1+0.7(A-1)+0.5N• Escala Coulter et al. (1992) E=nθ, θ[0,1] Ej: θ=0,5• Escala Cutler (1992) E=(A+cN)θ, c, θ[0,1]• Deaton, Zaidi (2002) E=(A+c1N1+c2N2)θ c1,c2 θ[0,1] Ej: c1=0,5;c2=0,75

θ=0,9

N=número de niñosA=número de adultosn= número totalN1, menores de 6 años, N2, entre 6 y 14 años

7

Introducción

Representación de la distribución:

• F. densidad• F. de distribución

• Distribuciones discretas y contínuas

8

Introducción

Se supone que la distribución de la renta en una

población es una variable aleatoria, que se puede representar primariamente por una:

• F. densidad• F. de distribución

• Distribuciones discretas y contínuas. En trabajo empírico, discretas y en trabajo teórico, contínuas.

9

Introducción

Distribuciones discretas, con N hogares (o individuos) y

ordenados:

0 x1 x2 ··· xN

Frecuencias o densidad relativa:

NJ/N hogares en el intervalo J, [x, x+x]

10

F. densidad

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

500000 2500000 4500000 6500000 8500000 10500000

sin EE

EE 0.5

11

F. densidad y distribución:intervalos de renta; hogares acumulados, hogares; porcentaje de hogares

500000 24 24 0,012

1000000 238 214 0,107

1500000 489 251 0,1255

2000000 734 245 0,1225

2500000 972 238 0,119

3000000 1164 192 0,096

3500000 1315 151 0,0755

4000000 1467 152 0,076

4500000 1582 115 0,0575

5000000 1656 74 0,037

5500000 1731 75 0,0375

6000000 1793 62 0,031

6500000 1835 42 0,021

7000000 1862 27 0,0135

7500000 1893 31 0,0155

8000000 1918 25 0,0125

8500000 1939 21 0,0105

9000000 1950 11 0,0055

9500000 1961 11 0,0055

10000000 1970 9 0,0045

10500000 1977 7 0,0035

12

F. densidad y distribución θ=0.5:intervalos de renta; hogares acumulados, hogares; porcentaje de hogares

500000 23 23 0,0115

1000000 75 52 0,026

1500000 378 303 0,1515

2000000 682 304 0,152

2500000 962 280 0,14

3000000 1195 233 0,1165

3500000 1388 193 0,0965

4000000 1537 149 0,0745

4500000 1656 119 0,0595

5000000 1734 78 0,039

5500000 1803 69 0,0345

6000000 1845 42 0,021

6500000 1884 39 0,0195

7000000 1917 33 0,0165

7500000 1934 17 0,0085

8000000 1949 15 0,0075

8500000 1962 13 0,0065

9000000 1968 6 0,003

9500000 1976 8 0,004

10000000 1979 3 0,0015

10500000 1981 2 0,001

13

F. densidad

Distribuciones contínuas, para N muy grande:

Función de densidad relativa:

A lo que converge NJ/N hogares en el intervalo [x, x+x] cuando x tiende a cero. Se denomina f(x)dx y expresa la frecuencia o la probabilidad de que un hogar obtenga rentas en el entorno de x: [x, x+dx].

Nf(x)dx expresa el total de hogares con renta xNxf(x)dx expresa el total de renta de los hogares con renta x

14

F. densidad

Función de densidad relativa:

Si hacemos la integral de esas expresiones de 0 a infinito: calculamos esos valores para toda la población. Si hacemos la integral entre a y b, calculamos los valores respectivos para la población entre a y b.

Expresan la proporción de hogares, el total de hogares y el total de renta entre a y b, respectivamente

b

adxxfN )(

b

adxxf )(

b

adxxxfN )(

15

F. densidad

Expresiones continuas:

NdxxfN

0)(

1)(0

dxxf

totalrentadxxxfN

0)(

0)( dxxxf

16

F. densidad

Expresiones continuas: Discretas:

NdxxfN

0)(

1)(0

dxxf

totalrentadxxxfN

0)(

0)( dxxxf

1)(1

N

iixf

NxfNN

ii

1

)(

N

iixN 1

1

totalrentaxN

ii

1

17

F. densidad

Expresión útil de la densidad relativa:

byaentrepoblaciónesadetotalrenta

dxxxfNb

a )(

18

F. distribución

Función de distribución: es el acumulado de la función

de densidad

indica la proporción de hogares con renta inferior o igual a x.

x

dttfxF0

)()(

x

xFxf

)(

)(

j

iij xfxF

1

)()(

19

F. distribución

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

500000 2500000 4500000 6500000 8500000 10500000

sin EE

EE 0.5

20

Expresiones

Mediana m:

Moda mo:

Varianza:

2

1)( mF

0

22 )()( dxxfx

0)(' mof

2/)1(

1

N

iixm

N

iixN 1

22 )(1

21

F. cuantílica

Función cuantílica: es la inversa de la función de

distribución

Donde p es el cuantil p correspondiente.

Gráficamente es la parada (desfile) de los enanos, Pen (1974).

10)(:inf)(1 ppxFxpF

22

Parada de los enanos

23

Bienestar

Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada:

W:R+R como:

donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava

0

)()( dxxfxuW

24

Bienestar

Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada:

W:R+R como: W:RN

+R como:

donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava

0

)()( dxxfxuW

N

i ixuN

W1

)(1

25

Bienestar

Funciones de Bienestar Social. Dependientes del

rango, Yaari 1987, 1988:

W:R+R como: :

donde w(p) es no negativo, no creciente y suman la unidad.

1

0

1 )()( dppFpwW

26

Bienestar

Funciones de Bienestar Social. Dependientes del

rango, Yaari 1987, 1988:

W:R+R como: : W:RN

+R como:

donde w(p) es no negativo, no creciente y suman la unidad.

1

0

1 )()( dppFpwW

N

iixNiwW

1

)/(

27

C. Lorenz

Curva de Lorenz. Partimos de la versión discreta p= j/N:

• El porcentaje del renta total que gana el cuantil p= j/N más

pobre.

N

x

x

xNjL

j

i i

N

i i

j

i i

1

1

1)/(

28

5

Persona j

1

2

3

4

15

35

45

0.50

0.75

1.00

5

20

55

100

0.05

0.20

0.55

1.00

0.25

Veámoslo con el ejemplo

Curva de Lorenz

j

i ix1N

jxF j )(jx

N

i i

j

i i

x

xNjL

1

1)/(

29

Proporción acumulada de renta

Proporción acumulada de ind.

5%

25%

20%

50%

Representamos esto...

75%

55%

A

B

30

Línea de igualdad

Proporción acumulada de renta

Proporción acumulada de indivi

En caso de máxima desigualdad...

Max desigualdad

31

Así pues, cualquier distribución de renta cuya curva de Lorenz esté más cercana a la diagonal ...

Es más igualitaria

Sin embargo tendremos dificultades para comparar dos distribuciones cuando...

Sus dos curvas de Lorenz se cortan

Curva de Lorenz

32

C. Lorenz

Partimos de la versión contínua p= F(x) Entonces

Gastwirth (1971) agregado de la f. cuantílica normalizada:

x

xx

dtttf

N

dtttfN

dtttfN

dtttfNpL

0

0

0

0 )()(

)(

)()(

10)(

)( 0

1

pduuF

pL

p

33

C. Lorenz

TEOREMA Pendiente de la curva de Lorenz L(p)=y/

DEMOSTRACIÓN

IMPLICACIONES: Entonces L(p) es creciente y convexa. La pendiente en el percentil de la media es 1. El índice de Schulz es:

))(()( FLFS

y

yf

yyf

dydp

dypdL

dp

pdL

)(

/)(

/

/)()(

34

Proporción acumulada de renta

Proporción acumulada de ind.

En términos contínuos...

A

B

S

35

C. Lorenz

Si la curva de Lorenz de una distribución A va por encima de la de una distribución B (AB):

Para todo conjunto de individuos más pobres p, en A reciben más proporción de renta total que en B (hay inequívocamente menos desigualdad) y para todo conjunto 1-p de individuos más ricos, en A reciben menos proporción de renta que en B (inequívocamente menos desigualdad).

Esta unanimidad no ocurre cuando se cortan las curvas de Lorenz.

]1,0[),()( ppLpL BA

36

C. Lorenz

El índice de Gini es:

o alternativamente

que coincide con 1-2B=2A del gráfico anterior

dppLpG )(21

0

1

0)(21 dppLG

37

I.Gini

2

1 1

2N

xx

G

N

j

N

iji

Si lo ordenamos de menor a mayor:

21

1

)12()12(

N

Nix

N

Ni

N

xG

N

iiN

i

i

Originalmente Gini 1914:

38

I.Gini

2

11

)2(

N

Nkkxk

Gi

i

jj

n

iii

Si agrupado: x1, k1 veces,…., xn, kn veces:

39

I. Gini

))(,(2

yFyCovG

NN

NxxxxG NNN 1)...32(2

12

121

Yitzhaki (1998) “More than a dozen alternative ways of spelling Gini”,

REI.

40

Otros índices descriptivos

N

xV

N

ii

1

2

2

Otra mediada de dispersión, la desviación media relativa:

Hemos hablado de la varianza:

N

xDMR

N

ii

1

41

Otros índices descriptivos

La DMR tiene interpretaciones gráficas:

Desfile de los enanos

Curva de Lorenz: equivale a 2S, S= coeficiente de Schulz

La desviación típica de los logaritmos:

2/1

1

2log

log

log

N

xN

ixi i

42

Ejercicio

Dibujar la curva de Lorenz para 2001 de los

hogares españoles y computar el índice de Gini.

43

C. Concentración

Partimos de la versión discreta p= j/N Entonces ordenamos T por la variable X (renta

antes de impuestos)

El porcentaje del impuesto total que paga el j/N porcentaje más pobre.

T

j

i i

N

i i

j

i iXT N

T

T

TNjL

1

1

1, )/(

44

C. Concentración

Partimos de la versión contínua p= j/N Entonces ordenamos T por la variable X (renta

antes de impuestos)

El porcentaje del impuesto total que paga el p porcentaje más pobre.

0 0, 0

0

( ) ( ) ( )( )

( )

y y

y

T X

N Tf x dx N Tf x dx Tf x dxL p

Nt tN Tf x dx

45

C. Concentración

No es la curva de Lorenz ni tiene sus

propiedades, aunque la curva de concentración coincide con la Lorenz en el caso:

Aunque genéricamente:

)/()/(, NjLNjL XXX

)/()/(, NjLNjL XXT

46

C. Concentración

Un impuesto es progresivo si:

Relación importante si hacemos Y=X-T y t=tipo medio:

)/()1()/()/( ,, NjLtNjtLNjL XYXTX

jNjLNjL XXT ),/()/(,

júnaNjLNjL XXT lg),/()/(,

47

C. Concentración

De otra forma:

Definimos el coeficiente de concentración de T:

)/()/()/()/( ,, NjLNjLNjLNjL XXTXXY

1

0 ,, )(21 dppLC XTXT

48

C. Concentración

Definimos el coeficiente de concentración de T y el de X-T

análogamente:

Entonces índice de progresividad de Kakwani:

Veremos su relación con el índice de redistribución:

1

0 ,, )(21 dppLC XTXT

XXT GCK ,

YX GG

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

Introducción

Rafael Salas Abril de 2011

50

Deigualdad versus PIB per capita

DESIGUALDAD versus PIB per capita

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000 45.000 50.000

PIB per capita

de

sig

ua

lda

d

Fuente:http://devdata.worldbank.org/wdi2005/Table1_1.htmhttp://devdata.worldbank.org/wdi2005/Table2_7.htm

51

Riqueza

• Share of top…• 1% 5% 10% Gini• USA 1983 35 56 0,79• France 1986 26 43 0,71• Denmark 1975 25 48 65• Germany 1983 23• Canada 1984 17 38 51 0,69• Australia1986 20 41 55• Italy 1987 13 32 45 0,6• Korea 1988 14 13 43 0,63• Ireland 1987 10 29 43• Japan 1984 25 0,52• Sweden 1985 16 37 53• Source: See Davies and Shorrocks (2000) p637

52

Consumo

Gini coefficient

Year Consumption Income

Albania 1996 0.252 0.392

Bulgaria 1995 0.274 0.392

Bangladesh 2000 0.334 0.392

Vietnam 1998 0.362 0.489

Nepal 1996 0.366 0.513

Morocco 1998 0.390 0.586

Nicaragua 1998 0.417 0.534

Thailand 2000 0.428 0.523Peru 1994 0.446 0.523

Panama 1997 0.468 0.621

Russia 1997 0.474 0.478

Brazil 1996 0.497 0.596