UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMONFACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIACARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIALDEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS

IND 210PLANIFICACION Y CONTROL

DE LA PRODUCCION ICarrera de Ingeniería Industrial

Planificación y Gestión de ProducciónGabinete de

Gestión 2004

Alex D. Choque Flores

aleks2m@hotmail.com

PRONOSTICO DE PRONOSTICO DE SERIES TEMPORALESSERIES TEMPORALES

PROCESOS CON TENDENCIAUtilidad/Acción Caso 2

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

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0,40

0,50

0,60

0,70

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Trim

Uti

l/A

cció

n

Utilidad /Acción

Pronóstico

Procesos con Tendencia

TECNICAS DE PROYECCION

• Ajuste de Sipper

• Modelo de Holt

• Suavizamiento Exponencial Simple con Tendencia

• Regresión simple con tiempo

Los procesos con tendencia presentan incrementos ó decrementos sostenidos en el tiempo, también se necesita una gran cantidad de registros para comprobar si cumple un proceso de este tipo.

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100

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1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53

Técnica: Ajuste de Sippert yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 80

2 132 92 35 35 1225 28%

3 143 127 -24 24 576 23%

4 180 103 62 62 3844 38%

5 200 165 -33 33 1089 25%

6 168 132 -21 21 441 19%

7 212 111 63 63 3969 36%

8 254 174 -77 77 5929 79%

9 97 0,71 45 2439 35%Nuestro ejemplo: Demanda de atención de auto service en nuestro local de reparaciones 2PAC. En la tabla se tiene el registro de los últimos 8 meses.

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Técnica: Ajuste de Sippert yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 80

2 132 92 35 35 1225 28%

3 143 127 -24 24 576 23%

4 180 103 62 62 3844 38%

5 200 165 -33 33 1089 25%

6 168 132 -21 21 441 19%

7 212 111 63 63 3969 36%

8 254 174 -77 77 5929 79%

9 97 0,71 45 2439 35%En la técnica de Ajuste de Sipper, se divide la serie en dos partes, se calculan los promedios de cada parte y el promedio global

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Promedio I = 133.8 ubicado en t = 2.5Promedio II = 208.5 ubicado en t = 6.5Promedio G = 171.1 ubicado en t = 4.5

Técnica: Ajuste de Sippert yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 80

2 132 92 35 35 1225 28%

3 143 127 -24 24 576 23%

4 180 103 62 62 3844 38%

5 200 165 -33 33 1089 25%

6 168 132 -21 21 441 19%

7 212 111 63 63 3969 36%

8 254 174 -77 77 5929 79%

9 97 0,71 45 2439 35%Se calcula la tendencia de una recta imaginaria a través de la pendiente entre los puntos, ésta línea naranja es la serie de términos lineales X

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Promedio I = 133.8Promedio II = 208.5Promedio G = 171.1

7185256

81335208.

....

T

Técnica: Ajuste de Sipper

t yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 80

2 132 92 35 35 1225 28%

3 143 127 -24 24 576 23%

4 180 103 62 62 3844 38%

5 200 165 -33 33 1089 25%

6 168 132 -21 21 441 19%

7 212 111 63 63 3969 36%

8 254 174 -77 77 5929 79%

9 97 0,71 45 2439 35%Se calcula el último valor del término lineal X en t = 8, no es nada más que la proyección en la recta dibujada de los datos reales.

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300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tendencia = 18.7Valor X final = X8 = 171.1 + (8—4.5)*18.7X8 = 236.5

Técnica: Ajuste de Sipper

t yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 80

2 132 92 35 35 1225 28%

3 143 127 -24 24 576 23%

4 180 103 62 62 3844 38%

5 200 165 -33 33 1089 25%

6 168 132 -21 21 441 19%

7 212 111 63 63 3969 36%

8 254 174 -77 77 5929 79%

9 97 0,71 45 2439 35%Confiando siempre en éste dato, proyectamos la línea naranja esperando que esta proyección será el pronóstico de los datos reales

0

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300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ŷ 9 = X 9 = 236.5 + 1(18.7) = 255.2

ŷ10 = X10 = 236.5 + 2(18.7) = 273.9

ŷ11 = X11 = 236.5 + 3(18.7) = 292.6

Técnica: Ajuste de Sippert yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 80 105,7

2 132 124,4 35 35 1225 28%

3 143 143,1 -24 24 576 23%

4 180 161,8 62 62 3844 38%

5 200 180,5 -33 33 1089 25%

6 168 199,2 -21 21 441 19%

7 212 217,8 63 63 3969 36%

8 254 236,5 -77 77 5929 79%

9 97 0,71 45 2439 35%Los pronósticos en anteriores periodos se consigue fácilmente hallando todos los puntos de la línea naranja.

ŷ t = X t = 236.5 – (8 – t)*(18.7)

Técnica: Ajuste de Sippert yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 80 105,7 -25,7 25,7 661,5 32,1%

2 132 124,4 7,6 7,6 57,7 5,8%

3 143 143,1 -0,1 0,1 0,0 0,1%

4 180 161,8 18,2 18,2 331,9 10,1%

5 200 180,5 19,5 19,5 381,5 9,8%

6 168 199,2 -31,2 31,2 970,7 18,5%

7 212 217,8 -5,8 5,8 34,1 2,8%

8 254 236,5 17,5 17,5 305,2 6,9%

9 97 0,0 15,7 342,8 10,8%

Ahora, el cálculo de errores es más fácil

Técnica: Modelo de Holtt yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 80 105,7 -25,7 25,7 661,5 32,1%

2 132 124,4 7,6 7,6 57,7 5,8%

3 143 143,1 -0,1 0,1 0,0 0,1%

4 180 161,8 18,2 18,2 331,9 10,1%

5 200 180,5 19,5 19,5 381,5 9,8%

6 168 199,2 -31,2 31,2 970,7 18,5%

7 212 217,8 -5,8 5,8 34,1 2,8%

8 254 236,5 17,5 17,5 305,2 6,9%

9 97 0,0 15,7 342,8 10,8%El modelo de Holt supone que tanto el término lineal X y el término de tendencia T no tienen que ser constantes, sino que pueden suavizarse mediante fórmulas de iteración sucesiva

Xt = αyt + (1—α)(Xt-1+Tt-1)

Tt = β (Xt—Xt-1) + (1—β) Tt-1

ŷ t+k = Xt +kTt

α es el coeficiente de suavizamiento lineal

β es el coeficiente de suavizamiento de tendencia

K es el número de periodos en el futuro

Técnica: Modelo de Holtt yt Xt Tt ŷt

1 80

2 132

3 143

4 180

5 200

6 168

7 212

8 254

9 97 0,0 15,7 342,8 10,8%Por lo tanto debemos crear dos nuevas columnas: una para el término lineal Xt y otro para el de Tendencia Tt, de ambos sale el pronóstico: ŷt+1 = Xt + Tt

Técnica: Modelo de Holtt yt Xt Tt ŷt

1 80 80 18.7

2 132

3 143

4 180

5 200

6 168

7 212

8 254

9 97 0,0 15,7 342,8 10,8%Al igual que en el Suavizamiento Exponencial Simple, requerimos valores inciales para X y T, utilizaremos X1 = y1 y T1 = Tendencia de Sipper = 18.7

Técnica: Modelo de Holtt yt Xt Tt ŷt

1 80 80 18,7

2 132 116,7 33,1

3 143 145,1 29,3

4 180 165,6 22,3

5 200 182,7 18,1

6 168 199,7 17,2

7 212 217,5 17,8

8 254 236,2 18,4

9 97 0,0 15,7 342,8 10,8%Se puede iterar mediante las fórmulas para hallar los demás valores de X y T, en este ejemplo utilizaremos α = 0.7 y β = 0.8

X2=0,7(132)+0,3(80+18,7)

T2=0,8(116,7-80)+0,2(18,7)

Técnica: Modelo de Holtt yt Xt Tt ŷt

1 80 80 18,7

2 132 116,7 33,1 98,7

3 143 145,1 29,3 149,8

4 180 165,6 22,3 174,4

5 200 182,7 18,1 187,8

6 168 199,7 17,2 200,8

7 212 217,5 17,8 216,9

8 254 236,2 18,4 235,3

9 97 0,0 254,6 342,8 10,8%El pronóstico de un periodo es la suma del término lineal del periodo anterior y la tendencia del anterior periodo.

ŷ3 = X2 + T2=116,7+33,1

Técnica: Modelo de Holtt yt Xt Tt ŷt

1 80 80 18,7

2 132 116,7 33,1 98,7

3 143 145,1 29,3 149,8

4 180 165,6 22,3 174,4

5 200 182,7 18,1 187,8

6 168 199,7 17,2 200,8

7 212 217,5 17,8 216,9

8 254 236,2 18,4 235,3

9 97 0,0 254,6 342,8 10,8%

Con esta información Usted puede verificar : Bias = +3.6 u., DMA = 16.3 u, DCM = 397.7 u2 y PAME = 9.8%

Parámetros:α = 0,7β = 0,8X1 = 80 (primer dato)T1 = 18,7 (x Sipper)

Técnica: Modelo de Holtt yt Xt Tt ŷt

1 80 80 18,7

2 132 116,7 33,1 98,7

3 143 145,1 29,3 149,8

4 180 165,6 22,3 174,4

5 200 182,7 18,1 187,8

6 168 199,7 17,2 200,8

7 212 217,5 17,8 216,9

8 254 236,2 18,4 235,3

9 97 0,0 254,6 342,8 10,8%

El pronóstico para los periodos siguientes es una proyección geométrica similar al de Sipper, con los últimos valores de X y T.

Pronósticos:ŷ9 = X8 + T8 = 254,6ŷ 10 = X8 + 2T8 = 273,1ŷ 11 = X8 + 3T8 = 291,5ŷ 12 = X8 + 4T8 = 309,9

Parámetros:α = 0,7β = 0,8X1 = 80 (primer dato)T1 = 18,7 (x Sipper)

Técnica: Modelo de Holtt yt Xt Tt ŷt

1 80 171,1 0

2 132 166,5 -0,9 171,1

3 143 163,3 -1,4 165,5

4 180 161,9 -1,4 161,9

5 200 162,5 -1,0 160,5

6 168 165,3 -0,2 161,5

7 212 170,3 0,8 165,0

8 254 177,7 2,1 171,1

9 97 0,0 179,8 342,8 10,8%

¿Que pasa si cambiamos los parámetros del modelo? Probemos con otros y encontraremos el siguiente pronóstico.

Parámetros:α = 0,1β = 0,2X1 = 171,1 (promedio)T1 = 0 (conservador)

Técnica: Modelo de Holtt yt Xt Tt ŷt

1 80 171,1 0

2 132 166,5 -0,9 171,1

3 143 163,3 -1,4 165,5

4 180 161,9 -1,4 161,9

5 200 162,5 -1,0 160,5

6 168 165,3 -0,2 161,5

7 212 170,3 0,8 165,0

8 254 177,7 2,1 171,1

9 97 0,0 179,8 342,8 10,8%

Los errores con estos nuevos parámetros son: Bias = +18.9 u., DAM = 36.5 u., DCM = 1862.7 u2., PAME = 19.1%, son peores resultados que los anteriores.

Pronósticos:ŷ9 = X8 + T8 = 179,8ŷ 10 = X8 + 2T8 = 181,9ŷ 11 = X8 + 3T8 = 184,1ŷ 12 = X8 + 4T8 = 186,2

Parámetros:α = 0,1β = 0,2X1 = 171,1 (promedio)T1 = 0 (conservador)

Técnica: Modelo de Holtt yt Xt Tt ŷt

1 80 171,1 0

2 132 166,5 -0,9 171,1

3 143 163,3 -1,4 165,5

4 180 161,9 -1,4 161,9

5 200 162,5 -1,0 160,5

6 168 165,3 -0,2 161,5

7 212 170,3 0,8 165,0

8 254 177,7 2,1 171,1

9 97 0,0 179,8 342,8 10,8%

Si por cada cambio de parámetros tenemos varios resultados diferentes, entonces ¿qué combinación de parámetros nos otorgaran errores fiables?

Pronósticos:ŷ9 = X8 + T8 = 179,8ŷ 10 = X8 + 2T8 = 181,9ŷ 11 = X8 + 3T8 = 184,1ŷ 12 = X8 + 4T8 = 186,2

Parámetros:α = 0,1β = 0,2X1 = 171,1 (promedio)T1 = 0 (conservador)

Técnica: Modelo de Holtt yt Xt Tt ŷt

1 80 80,0 18,7

2 132 115,0 28,0 98,7

3 143 143,1 28,1 143,0

4 180 165,2 24,7 171,1

5 200 183,9 21,2 189,9

6 168 201,4 19,1 205,2

7 212 218,8 18,1 220,4

8 254 236,7 18,0 236,9

9 97 0,0 254,7 342,8 10,8%

Esta es la razón por la cual es útil optimizar el modelo mediante el uso del SOLVER de Excel, observe los resultados encontrados.

Pronósticos:ŷ9 = X8 + T8 = 254,7ŷ 10 = X8 + 2T8 = 272,6ŷ 11 = X8 + 3T8 = 290,6ŷ 12 = X8 + 4T8 = 308,6

Parámetros:α = 0,63278β = 0,57456X1 = 80 (primer dato)T1 = 18.7 (x Sipper)

Bias = +3.4 u, DAM = 16.4 u

DCM = 433.7 u2

PAME = 9.72% (mínimo)

Técnica: Regresión Lineal con Tiempot yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 80

2 132 92 35 35 1225 28%

3 143 127 -24 24 576 23%

4 180 103 62 62 3844 38%

5 200 165 -33 33 1089 25%

6 168 132 -21 21 441 19%

7 212 111 63 63 3969 36%

8 254 174 -77 77 5929 79%

9 97 0,71 45 2439 35%Volvamos al problema original, al tener un comportamiento con tendencia ascendente y estable es tentador utilizar la regresión lineal.

0

50

100

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250

300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modelo: ŷt = 79.357 + 20.393 t . R2 = 86.95%

Técnica: Regresión Lineal con Tiempot yt ŷt Tt ŷt

1 80 99,8

2 132 120,1

3 143 140,5

4 180 160,9

5 200 181,3

6 168 201,7

7 212 222,1

8 254 242,5

9 262,9 0,0 15,7 342,8 10,8%Con el modelo matemático es fácil pronosticar valores del pasado (llamado interpolación) incluso para periodos lejanos (interpolación), verifique B = 0!

Modelo: ŷt = 79.357 + 20.393 t

R2 = 86.95%

Técnica: Regresión Lineal con Tiempot yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 80 99,8

2 132 120,1 35 35 1225 28%

3 143 140,5 -24 24 576 23%

4 180 160,9 62 62 3844 38%

5 200 181,3 -33 33 1089 25%

6 168 201,7 -21 21 441 19%

7 212 222,1 63 63 3969 36%

8 254 242,5 -77 77 5929 79%

9 97 0,71 45 2439 35%Las predicciones entre el t=1 y t=8 se garantizan, con cierto nivel de confianza, pero los pronósticos fuera de rango son de desconfiar!!!

0

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200

250

300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modelo: ŷt = 79.357 + 20.393 t . R2 = 86.95%

Técnica: Regresión Lineal con Tiempot yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 75 99,8

2 158 120,1 35 35 1225 28%

3 173 140,5 -24 24 576 23%

4 210 160,9 62 62 3844 38%

5 215 181,3 -33 33 1089 25%

6 199 201,7 -21 21 441 19%

7 220 222,1 63 63 3969 36%

8 218 242,5 -77 77 5929 79%

9 97 0,71 45 2439 35%Otra consideración importante: en el nuevo ejemplo se observa una tendencia que no es lineal, el mejor ajuste es el logarítmico, pero ¿es de confiar?

Modelo lineal : ŷt = 108,8 + 16,595 t . R2 = 68,08%

Modelo logarítmico: ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t) . R2 = 88.94%

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250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Técnica: Regresión Lineal con Tiempot yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 75 99,8

2 158 120,1 35 35 1225 28%

3 173 140,5 -24 24 576 23%

4 210 160,9 62 62 3844 38%

5 215 181,3 -33 33 1089 25%

6 199 201,7 -21 21 441 19%

7 220 222,1 63 63 3969 36%

8 218 242,5 -77 77 5929 79%

9 97 0,71 45 2439 35%Este es un error común en las regresiones aplicadas: el modelo lineal establece un R2 = 68% y el logarítmico R2=89%, en el lineal establece que un 68% de la variabilidad del dato yt se explica por la variable t.

Modelo lineal : ŷt = 108,8 + 16,595 t . R2 = 68,08%

Modelo logarítmico: ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t) . R2 = 88.94%

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Técnica: Regresión Lineal con Tiempot yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 75 99,8

2 158 120,1 35 35 1225 28%

3 173 140,5 -24 24 576 23%

4 210 160,9 62 62 3844 38%

5 215 181,3 -33 33 1089 25%

6 199 201,7 -21 21 441 19%

7 220 222,1 63 63 3969 36%

8 218 242,5 -77 77 5929 79%

9 97 0,71 45 2439 35%Mientras que en el modelo logarítmico, se establece que un 89% de la variabilidad de yt se explica por la variable ln(t), ahora, ¿Esto es fácil de aplicar en la realidad? Por supuesto que no, el tiempo no se transforma.

Modelo lineal : ŷt = 108,8 + 16,595 t . R2 = 68,08%

Modelo logarítmico: ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t) . R2 = 88.94%

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Técnica: Regresión Lineal con Tiempot yt ŷt et |et| et2 |et|/yt

1 75 99,8

2 158 120,1 35 35 1225 28%

3 173 140,5 -24 24 576 23%

4 210 160,9 62 62 3844 38%

5 215 181,3 -33 33 1089 25%

6 199 201,7 -21 21 441 19%

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9 97 0,71 45 2439 35%Esta sencilla explicación demuestra porqué se debe enfatizar en el pronóstico mediante series temporales convencionales: el ajuste de Sipper, el Modelo de Holt ó el Suavizado exponencial con Tendencia entre otros.

Modelo lineal : ŷt = 108,8 + 16,595 t . R2 = 68,08%

Modelo logarítmico: ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t) . R2 = 88.94%

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