universidad peruana de ciencias aplicadas laureate international universities *
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UPC. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Laureate International Universities * TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112 EPE-SISTEMAS. Funciones reales de varias variables. Gráficas de algunas superficies. http://www.math.umn.edu/~rogness/quadrics/index.shtml. 3 2 1 -1 -2 -3. y. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Laureate International Universities*
TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112MA112
EPE-SISTEMASEPE-SISTEMAS
UPC
Funciones reales Funciones reales de de
varias variables varias variables
http://www.math.umn.edu/~rogness/quadrics/index.shtml
Gráficas de algunas superficies
Circunferencia
x2 + y2 = R2
ecuación:
RECORDAR:
Rx
3
2
1
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
Elipse 3
2
1
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3
a
b
12
2
2
2
by
axecuación:
Parábolas con vértice V(0,0)
y
x0
y2 = x
x
y
0
y2 = -x
0
y
x
y = x2
0
y = - x2
x
y
Funciones reales de dos variables
Sea D contenido en R2.
Una función f:D R (x,y) z=f (x,y)es una correspondencia que asocia a cada par (x,y) un único número real denotado por z=f (x,y)
DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) para el cual tiene sentido la regla que define a f.
Ejemplo 1: Determinar el dominio de:
22 9436),( yxyxf
Curvas de Nivel
Son aquellas curvas que se generan al hacer z = k.
k = cte. real
224),( yxyxf
Ejemplo: Determinar las curvas de nivel de:
22),( yxyxf
f(x,y)=4-x^2-y^2
f f f
g(x,y)=x^2 + y^2
g g g
),( yx
hyxf x
y)f(x,-y)h,f(x lim ),(
0h
DERIVADA PARCIAL RESPECTO X
Y
X
Z
http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/partialderivs.shtml
Interpretación geométrica de
derivada parcial
Ejemplo: Si 222 34x ),( yyxyxf
Entonces:
yxyxf
xyxyxf
y
x
23),(
68),(2
Otras notaciones z = f(x,y)
fff x x11 D D f x
z
x
f
fff y y22 D D f y
z
y
f
Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)
x
v
x
x )
u
vua
x
vu
x
u v
x
(uv) )
b
2x
uv
x
)v
x
vu
v
uc
x
u un
x ) 1-n
nud
xu
e x
) u
uee
xu
1
un x
)
ulf
Ejemplo: hallar fx y fy si
ln(xy) e ),( xyxf
y
eyxf
x
exyeyxf
x
y
xx
x
),(
)ln(),(
Derivadas parciales de segundo orden
2
2
2
2
11xxf x
z
x
f
x
f
xff xx
xy
z
xy
f
x
f
yff yx
22
12xyf
Derivadas parciales de segundo orden
yx
z
yx
f
y
f
xff
xy
22
21yxf
2
2
2
2
22yyf y
z
y
f
y
f
yff
yy
Ejemplo hallar
Si32 3 x ),( xyyyxf
. f ,f , yxxy yyxx fyf
292),( , 2),( yxyxfyyxf xyxx
292),( , 18),( yxyxfxyyxf yxyy
Teorema de Clairaut
Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .