UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA

CONTADURÍA PÚBLICA

DOSSIER

CONTADURÍA PÚBLICA

ÁLGEBRA SUPERIORPARALELOS: 1A1 - 1C1

DOCENTE: Ing. Cleto @lberto Vargas Patsi

2 – 2012

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ÍNDICE

PáginaExpresiones Algebraicas......................................................................... 1

Lógica matemática.................................................................................. 1

Teoría de conjuntos................................................................................. 14

Relaciones............................................................................................... 19

Funciones................................................................................................ 37

Análisis combinatorio............................................................................. 47

Teoría de matrices................................................................................... 55

Ecuaciones Determinantes...................................................................... 60

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TEMA 1EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1. Productos notables 1.2. Factorización1.3. Fracciones Algebraicas1.4. Máximo común divisor M.C.D. y Mínimo común Múltiplo m.c.m1.5. Simplificación de Fracciones1.6. Operaciones con fracciones algebraicas1.7. Ecuaciones Algebraicas1.8. Ecuaciones Lineales.1.9. Ecuaciones cuadráticas1.10. Sistema de Ecuaciones lineales.1.11. Problemas de Ecuaciones.1.12. Números Complejos1.13. Operaciones Fundamentales.1.14. Módulo y sus Propiedades.1.15. Forma Polar.1.16. Forma Exponencial.1.17. Teorema de D’Moivre

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

TÉRMINOS SEMEJANTESLos términos semejantes son aquellos que poseen la misma parte literal.Si tenemos 4x2y3 y 2x2y3

Notamos que en ambos monomios hay x2, también y3.Entonces estamos hablando de términos semejantes.No importara el orden de las letras en la parte literal, así, los monomios: 6a3b2c , cb2a3, también representan términos semejantes pues en ambos encontramos a3, b2 y c.

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOSEn un polinomio sumamos o restamos solo términos semejantes, lo demás queda igual.EjemploSea 5x2y+3xy2

y 3x3 -2x2y +xy2 -4y3

La suma será:5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +xy2 -4y3

Los términos que tienen x2y: 5x2y -2x2y = 3x2yy los que tienen xy2: 3xy2 +1xy2 = 4xy2Entonces nos queda 3x2y +4xy2 +3x3 -4y3 Si restamos (5x2y +3xy2 ) - (3x3 -2x2y +xy2 -4y3)

5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -xy2 +4y3 Nos queda: 7x2y +2xy2 +3x3 -4y3

MULTIPLICACION DE POLINOMIOSEn la multiplicación de polinomios multiplicaremos todos los términos entre ellos. Ejemplo: Dados dos polinomios, multiplicamos ambos términos:

5x2y +3xy2 3x3 -2x2y +xy2 -4y3

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Entonces: (5x2y +3xy2)(3x3 -2x2y +xy2 -4y3)

Multiplicamos el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio: (5x2y +3xy2)(3x3 -2x2y +xy2 -4y3)(5x2y)(3x3) = 15x5y

(5x2y)(-2x2y) = -10x4y2

(5x2y1)(+xy2) = 5x3y3

(5x2y)(-4y3) = -20x2y4

Hacemos lo mismo con el segundo término del primer polinomio:(5x2y +3xy2)(3x3 -2x2y +xy2 -4y3)(+3xy2)(3x3) = +9x4y2

(+3xy2)(-2x2y) = -6x3y3

(+3xy2)(+xy2) = +3x2y4

(+3xy2)(-4y3) = -12xy5

15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5

Sumamos y restamos términos semejantes:15x5y -10x 4 y 2 +5x3y3 -20x2y4 +9x 4 y 2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5

Simplificamos términos semejantes:Los que tienen x4y2: -10x4y2 +9x4y2 = -1x4y2

Los que tienen x3y3: +5x3y3 -6x3y3 = -1x3y3

Los que tienen x2y4: -20x2y4 +3x2y4 = -17x2y4

Entonces:Nos queda: 15x5y -1x4y2 -1x3y3 -17x2y4 -12xy5

Nota.- La parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los exponentes de las letras que se repiten.

DIVISION DE POLINOMIOSPara dividir dos polinomios se deberá tener en cuenta como paso fundamental ordenar en forma decreciente los términos. Analizaremos dos casos:a) División de un polinomio entre un monomio:Ejemplo: (4x2y -2xy2 + 8x3) ÷ 2xPrimero: 4x2y ÷ 2x = 2xyLuego: -2xy2 ÷ 2x = -1y2

Luego: 8x3 ÷ 2x = 4x2

Entonces tendremos: (4x2y -2xy2 + 8x3) ÷ 2x igual a:2xy -1y2 + 4x2

b) División de dos polinomios:Ejemplo: (x4 +4x3 +x2 -x) ÷ (x2 + x), x4 +4x3 +x2 -x1 ÷ x2 + x1

Primero: x4÷ x2 = x2 Luego: x2 (x2 + x) = x4 +x3 A la respuesta le cambiamos el signo: -x4 -x3 (esto se sumara o restara con el divisor)x4 +4x3 +x2 -x1 ÷ x2 + x1

-x4 -x3 x2

3x3 +x2 -x1 (seleccionamos el primer término de lo que va quedando y del divisor)Dividimos los términos seleccionados: 3x3÷ x2 = 3x (la respuesta será parte del cociente)Multiplicamos la respuesta por el divisor: 3x (x2 + x) = 3x3 +3x2 A la respuesta le cambiamos el signo: -3x3 -3x2 (esto se sumara o restara con el divisor)x4 +4x3 +x2 -x ÷ x2 + x

-x4 -x3 x2 +3x3x3 +x2 –x-3x3 -3x2

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-2x2 -x1 (seleccionamos el primer término de lo que va quedando y del divisor)Dividimos los términos seleccionados: -2x2÷ x2 = -2 (la respuesta será parte del cociente)Multiplicamos la respuesta por el divisor: -2 (x2 + x) = -2x2 -2x1 A la respuesta le cambiamos el signo: +2x2 +2x1 (esto se sumara o restara con el divisor)x4 +4x3 +x2 -x ÷ x2 + x

-x4 -x3 x2 +3x -2 (será el cociente o respuesta)3x3 +x2 –x-3x3 -3x2

-2x2 –x+2x2 +2xx (residuo)

POTENCIACION DE POLINOMIOSDefiniremos como: bn = b x b x b x b x.......................... x bEs decir multiplicaremos b n-vecesEjemplo: (3a3b + 5b3)2

Multiplicamos: (3a3b + 5b3)(3a3b + 5b3) Entonces:(3a3b + 5b3)(3a3b + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6

(3a3b + 5b3)(3a3b + 5b3) = 9a6b2 +30a3b4 +25b6

PRODUCTOS NOTABLESLos principales productos notables que verificaremos son:

Cuadrado de una suma:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Diremos que el cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo: (5x +7)2 = (5x)2 + 2(5x)(7) + (7)2

El cuadrado del primer término es: (5x)2 = 25x2

El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70xEl cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49Entonces tendremos: (5x +7)2 = 25x2 + 70x + 49

Cuadrado de la diferencia:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo: (5x -7)2 = (5x)2 - 2(5x)(7) + (7)2

El cuadrado del primer término es: (5x)2 = 25x2

El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70xEl cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49Entonces: (5x -7)2 = 25x2 - 70x + 49

Diferencia de Cuadrados:La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer

término menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplo: (4a +7y3)(4a -7y3) = (4a)2 - (7y3)2

El cuadrado del primer término es: (4a)2 = 16a2

El cuadrado del segundo término es: (7y3)2 = 49y6

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Entonces: (4a +7y3)(4a -7y3) = 16a2 - 49y6

Cubo de la suma:El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

Ejemplo: (2a + 4b)3 = (2a)3 +3(2a)2(4b) +3(2a)(4b)2 + (4b)3

El cubo del primer término es: (2a)3 = 8a3

El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(2a)2(4b) = 48a2bEl triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(2a)(4b)2 = 96ab2El cubo del segundo término es: (4b)3 = 64b3

Entonces: (2a + 4b)3 = 8a3 + 48a2b + 96ab2 + 64b3

Cubo de la diferencia:El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

Ejemplo: (4a - 2b)3 = (4a)3 -3(4a)2(2b) +3(4a)(2b)2 - (2b)3

El cubo del primer término es: (4a)3 = 64a3

El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(4a)2(2b) = 96a2bEl triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(4a)(2b)2 = 48ab2

El cubo del segundo término es: (2b)3 = 8b3

Entonces: (4a - 2b)3 = 64a3 - 96a2b + 48ab2 - 8b3

COCIENTES NOTABLESCaso: (an +bn) ÷ (a + b)En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número impar.Ejemplo: (x5 + y5) ÷ (x + y)Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x5-1 = x4

A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x3), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x3yPara los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.(x5 + y5) ÷ (x + y) = x4 -x3b + x2y2 -xy3 +y4

Caso: (an -bn) ÷ (a - b)En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un número par o impar.Ejemplo: (x6 - y6) ÷ (x - y)La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en la respuesta todos los términos se estarán sumando (es decir todos los signos serán más).

(x6 + y6) ÷ (x + y) = x5 +x4b + x3y2 +x2y3 +xy4+y5

Caso: (an -bn) ÷ (a + b)En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par.Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x4 - y4) ÷ (x + y)Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x4-1 = x3

A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x2), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x2yPara los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término

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(hasta que este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.(x4 - y4) ÷ (x + y) = x3 -x2b + xy2 -y3

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PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que se presentan con tanta

frecuencia que es posible efectuarlas de manera mecánica.

Primer producto notable.

Producto de binomios que tienen un termino idéntico (o común), es decir, expresiones como (x + a) (x + b).

Usamos la literal x en ambos binomios para indicar que se trata de un término común o idéntico.

Obtengamos el producto de (x + a) (x +b) efectuando la operación como se explico en la multiplicación de

polinomios.

x + a

x + b

______________________

x2 + ax

+ bx + ab

_______________________

x2 + ax + bx + ab

Observamos que ax y bx son términos semejantes que se pueden reducir a un solo termino, como de

indica.

ax +bx = (a +b)x

De manera que tenemos : (x +a)(x +b) = x2 + (a +b)x + ab

Segundo producto notable.

Producto de dos binomios iguales (x +a)(x +a), conocido como el cuadrado de un binomio : (x +a)2

Obtengamos el producto x + a

x + a _________

x2 + ax

+ ax + a 2 ____

x2 + ax + ax + a2

Como : ax + ax = (a + a)x = 2ax

Tenemos : (x + a)(x + a)= (x + a)2 = x2 +2ax + a2

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Tercer producto notable.

Producto de binomio del tipo (ax + b)(cx + d)cuando a, b, c y d son números enteros.

Obtengamos el producto : ax + b

cx + d .

acx2 + bcx

+ adx + bd .

acx2 + adx + bcx + bd

Como : adx + bcx = (ad + bc)x

Tenemos : (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

Cuarto producto notable.

Producto de binomio del tipo (x + a)(x - a), que se conocen como binomios conjugados.

Obtengamos el producto: x + a

x – a

______________________

x2 + ax

- ax – a2

______________________

x2 + 0x – a2

Tenemos que : (x + a)(x – a) = x2 – a2

Quinto producto notable.

Producto de tres binomios iguales del tipo (x + a), conocido como

cubo de un binomio o (x + a)3

En el segundo producto notable obtuvimos: (x + a)(x + a)=x2 + 2ax + a2

De manera que para obtener el producto de (x + a)(x + a)(x + a),

efectuamos la siguiente operación:

X2 + 2ax + a2

x + a

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__________________

x3 + 2ax2 + a2x

ax2 + 2a2x + a3

________________________

x3 + 3ax2 + 3a3x + a3

entonces : (x + a)(x + a)(x + a)= (x + a)3= x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

Sexto producto notable.

Multiplicación de expresiones del tipo (x + y)(x2 –xy + y2)

Obtengamos el producto: x2 - xy + y2

x + y

___________________

x3 - x2y + xy2

x2y - xy2 + y3

________________________

x3 + y3

es decir : (x + y)(x2 – xy + y2)= x3 + y3

Séptimo producto notable.

Multiplicación de expresiones del tipo (x – y)(x2 + xy + y2)

Obtengamos el producto: x2 + xy + y2

x - y

__________________

x3 + x2y + xy2

- x2y - xy2 - y3

_______________________ x3 - y3 Entonces: (x – y)(x2 + xy + y2)= x3 – y3

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FACTORIZACION

La Factorización es el procedimiento algebraico que nos permitirá escribir una fracción algebraica en forma de factores, si se factorizan polinomios, también se generan factores de polinomios. Si se encuentran polinomios que no pueden factorizarse a estos se les llamara factores primos, los cuales son los que se deben llegar a obtener. Para factorizar se pueden emplear varios métodos.Factor es cada una de las cantidades que se multiplican para formar un producto.

FACTOR COMUN MONOMIOEste método busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio. Este factor resultara ser un monomio, mismo que debemos encontrar.Dado un polinomio cualesquiera, lo primero que tendremos que hacer para hallar el Factor Común Monomio será encontrar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de la parte numérica de todos los términos.Dado el polinomio: 8x4 -4x2y + 16x5y2

Hallaremos el M.C.D. de la parte numérica: 8x4 -4x2y + 16x5y2

Entonces el M.C.D. de 8, 4 y 16 es: 4 Entonces en: 8x4 -4x2y + 16x5y2 x2 es factor común y de la parte numérica es 4.Entonces 4x2 es el factor común a la totalidad.Entonces el monomio encontrado dividirá a todos y cada uno de los términos del polinomio, así:8x4 ÷ 4x2 = 2x2

-4x2y ÷ 4x2 = -y

16x5y2 ÷ 4x2 = 4x3y2

ahora el polinomio: (2x2 -y +4x3y2)por el monomio nos da: 4x2(2x2 -y +4x3y2) que es lo que buscamos.

FACTOR COMUN POLINOMIO

En este caso también se busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio, pero ahora este factor será otro polinomio.

Ejemplo: sea el polinomio 5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)el polinomio (x -y) será el factor común.quedará del polinomio original: (5x2 + 3x +7)y tendremos: (x -y)(5x2 + 3x +7)

Otro ejemplo, sea: 5a2(3a +b) +(3a +b) 5a2(3a +b) +1(3a +b)

Entonces tenemos: (3a +b) (5a2 +1)

FACTORIZACION POR AGRUPACION DE TERMINOS

En la factorización por agrupación de términos hacemos una mezcla de las anteriores técnicas de factorización.Dado un polinomio cualesquiera formamos grupos de términos con características comunes (de preferencia de dos términos cada grupo) y a cada uno de estos grupos le sacaremos el Factor Común Monomio.

Ejemplo, sea: 5x4y + 3x2y -9xy -15xy2

reordenamos : 5x4y -15xy2+ 3x3y –9xy

tenemos: 5x4y -15xy2

y su Factor Común Monomio: 5xy (x3 -3y)

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tenemos también: 3x3y -9yy su Factor Común Monomio: 3y (x3 -3y)Entonces: 5x4y + 3x2y -9xy -15xy2 =

5xy (x3 -3y) +3y (x3 -3y)y como (x3 -3y) se repite.tendremos: (x3 -3y)(5xy +3y)

FACTORIZACION DE TRINOMIOS POR METODO DEL ASPA SIMPLE

El método del aspa simple, se emplea para trinomios (polinomios de tres términos) de la forma siguiente:Ax2n + Bxn + C o Ax2m + Bxmyn + Cy2n

* En ambos casos, A, B, C, m, n son números reales diferentes de cero (0). Ejemplo:

8x2 -2x –3 Tenemos un trinomio de la primera forma.

8x2 -2x –3Ahora jugaremos con los números. Se busca dos númerosque multiplicados den por resultado 8, y otros dos números que multiplicados den por resultado -3.

8x2 -2x –34x –32x 18x2 –3

Hemos escogido los números 4 y 2, de manera que (4x)(2x) = 8x2, además hemos escogido los números -3 y 1, de manera que (-3)(1) = -3

8x2 -2x –34x –32x 1

Ahora debemos verificar si cumplen una condición adicional. Para esto, primero debemos multiplicar en aspa los números Que ya tenemos, es decir, (4x)(1) y (2x)(-3)

8x2 -2x –34x -3 -6x2x 1 +4x8x2 -3 -2x

Una vez obtenidos los resultados parciales: (4x)(1) = 4x, y (2x)(-3) = -6x, procedemos a sumarlos o restarlos según corresponda y el resultado de esta operación deberá ser el término de primer grado, en este caso, -2x.

8x2 -2x –3(4x -3) -3x(2x 1) +1x8x2 -3 -2x

Como está cumpliendo con todas las condiciones, procedo a seleccionar los dos factores. Es decir, en este ejercicio en particular: 8x2 -2x -3 = (4x -3)(2x +1)

TEMA 2LÓGICA FORMAL

1. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA.

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La lógica y su historia Tradicionalmente se ha dicho que la lógica se ocupa del estudio del

razonamiento. Esto hoy en día puede considerarse desbordado por la enorme extensión y diversidad

que ha alcanzado esta disciplina, pero puede servirnos como primera aproximación a su contenido.

Un matemático competente distingue sin dificultad una demostración correcta de una incorrecta, o

mejor dicho, una demostración de otra cosa que aparenta serlo pero que no lo es. Sin embargo, no le

pregunten qué es lo que entiende por demostración, pues — a menos que además sepa lógica — no

sabrá responder, ni falta que le hace. El matemático se las arregla para reconocer la validez de un

argumento o sus defectos posibles de una forma improvisada pero, al menos en principio, de total

fiabilidad. No necesita para su tarea contar con un concepto preciso de demostración. Eso es en cambio

lo que ocupa al lógico: El matemático demuestra, el lógico estudia lo que hace el matemático cuando

demuestra.

Aquí se vuelve obligada la pregunta de hasta qué punto tiene esto interés y hasta qué punto es una

pérdida de tiempo. Hemos dicho que el matemático se las arregla solo sin necesidad de que nadie le

vigile los pasos, pero entonces, qué hace ahí el lógico? Posiblemente la mejor forma de justificar el

estudio de la lógica sea dar una visión, aunque breve, de las causas históricas que han dado a la lógica

actual tal grado de prosperidad. En el sentido más general de la palabra, el estudio de la lógica se

remonta al siglo IV a.C., cuando Aristóteles la puso a la cabeza de su sistema filosófico como materia

indispensable para cualquier otra ciencia. La lógica aristotélica era bastante rígida y estrecha de miras,

pero con todo pervivió casi inalterada, paralelamente al resto de su doctrina, hasta el siglo XVI. A

partir de aquí, mientras su física fue sustituida por la nueva física de Galileo y Newton, la lógica

simplemente fue ignorada. Se mantuvo, pero en manos de filósofos y en parte de los matemáticos con

inclinaciones filosóficas, aunque sin jugar ningún papel relevante en el desarrollo de las ciencias.

Leibniz le dio cierto impulso, pero sin abandonar una postura conservadora. A principios del siglo

XIX, los trabajos de Boole y algunos otros empezaron a relacionarla más directamente con la

matemática, pero sin obtener nada que la hiciera especialmente relevante (aunque los trabajos de Boole

cobraran importancia más tarde por motivos quizá distintos de los que él mismo tenía en mente).

Así pues, tenemos que, hasta mediados del siglo XIX, la lógica era poco más que una curiosidad que

interesaba a quienes sentían alguna inquietud por la filosofía de la matemática o del pensamiento en

general. La lógica como hoy la entendemos surgió básicamente con los trabajos de Frege y Peano. En

principio éstos eran, al igual que los anteriores, nuevos ensayos sobre el razonamiento, si bien más

complejos y ambiciosos. Lo que les dio importancia fue que no aparecieron como productos de mentes

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inquietas, sino como culminación del proceso de formalización que la matemática venía

experimentando desde los tiempos de Newton y Leibniz.

En efecto, el cálculo infinitesimal que éstos trazaron con tanta imaginación y que después desarrollaron

Cauchy, Gauss y otros, tuvo que ser precisado a medida que se manejaban conceptos más generales y

abstractos. Dedekind, Riemann, Weierstrass, fueron sistematizando la matemática hasta el punto de

dejarla construida esencialmente a partir de los números naturales y de las propiedades elementales

sobre los conjuntos. La obra de Frege y de Peano pretendía ser el último eslabón de esta cadena.

Trataron de dar reglas precisas que determinaran completamente la labor del matemático, explicitando

los puntos de partida que había que suponer así como los métodos usados para deducir nuevos

resultados a partir de ellos.

2. PROPOSICIONES.

La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una

representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el

mundo que nos rodea.

La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero

evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de

conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la

veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las

sentencias simples que la conforman.

Es una colección de Palabras, Números o Símbolos, de los cuales tiene sentido afirmar si es

Verdadero o Falso.

Todas las Proposiciones estarán asociados a un valor de Verdad, el cual puede ser Verdadero

(V) o Falso (F).

A las proposiciones que tienen un valor de Verdad conocido (V o F), se los llama

ENUNCIADOS.

Es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Por

ejemplo:

Hoy es Martes

Ayer llovió

Hace frío

Soy de Contaduría

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La lógica proposicional, Permite la asignación de un valor verdadero o falso para la sentencia

completa, no tiene facilidad para analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este

motivo, la representación de las sentencias del ejemplo como proposiciones, sería:

• Hoy_es_Viernes

• Ayer_llovió

• Hace_frío

• Soy_de_Contaduría

La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos más complejos. Por ejemplo:

hoy_es_Viernes y hace_frío.

También son proposiciones las siguientes colecciones de Palabras, Números o Símbolos:

p: Los libros son buenos amigos

q: los gatos ladran

r: Los hombres son mas inteligentes que las mujeres

s: 5 + (2) (4) = 13

t: (+) (-) = (+)

Se conoce como EL PRINCIPIO DEL TERCER EXCLUIDO, a aquel principio que sostiene que una

Proposición solo tiene dos opciones (es F o V), no existe una tercera alternativa.

NO son Proposiciones, estas otras Palabras, Números o Símbolos.

El perro de mi amigo

¡Hola cómo estás!

El blanco de las nubes sobre el azul del cielo

8+3-6

Tarzán

Bolívar juega

Ejemplo: indicar cuál de estas colecciones de Palabras Números o Símbolos constituyen una

proposición:

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No tiene sentido

El cielo es azulEl cielo es azul

Este perro es maloEste perro es malo

Por la sonrisa de una damaPor la sonrisa de una dama

Juan simpáticoJuan simpático

Juan es simpáticoJuan es simpático

Mi coche vuela por los airesMi coche vuela por los aires

La mariposa corre bajo el aguaLa mariposa corre bajo el agua

4 + 34 + 32 2 = (5) (4) – 14 + 2= (5) (4) – 14 + 2

(+) (+) > (-) (+)(+) (+) > (-) (+)

(p)(p)

(p)(p)

(np)(np)

(np)(np)

(p)(p)

(p)(p)

(p)(p)

(p)(p)

(p)(p)

Proposiciones compuestas.

CONECTIVO OPERACIÓN ASOCIADA SIGNIFICADO

~ Negación No; no es cierto que

^ Conjunción Y

v Disyunción inclusiva y/o; uno u otro o ambos

v Disyunción exclusiva uno u otro, pero no ambos

=> Condicional Si … entonces ..

<=> Bicondicional Si

Tabla de verdad.

Una tabla de verdad es un arreglo ordenado de las posibilidades del Valor de Verdad de las

Proposiciones Simples o Compuestas.

Las tablas de verdad permiten esquematizar en forma simple, las características del Valor de

Verdad de las Proposiciones.

Ejemplo:

P Q

V V

V F

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F V

F F

Equivalencia lógica.

Dos Proposiciones Compuestas poseen Equivalencia Lógica, si sus tablas de verdad son

IDÉNTICAS. La Equivalencia lógica entre las proposiciones: P, Q se expresa mediante:

El símbolo Ξ se lee “EQUIVALENTE”; verificándose: P Ξ Q, o también: Q Ξ P; donde P o Q

pueden ser proposiciones compuestas.

La negación.

La Negación de la proposición: P es la proposición: ~P Se obtiene anteponiéndo el Conectivo: ~ sobre:

P (~P se lee: “No P”; o también: “No es cierto que P”)

Ejemplos:

Una proposición y su respectiva negación es la siguiente:

P: Es bueno el deporte para la salud

~P: No es bueno el deporte para la salud

Anteponiendo el NO (~), a la proposición, se obtiene la Negación.

Una proposición puede negarse de diferentes maneras.

P: Son lindas las fiestas

~P: No son lindas las fiestas

~P: No es cierto que son lindas las fiestas

~P: es Falso que son lindas las fiestas

30

P ~ P

V F

F V

P Ξ Q

~P: Son feas las fiestas

Para la negación, el lenguaje común brinda diversos modos de expresión, que significan lo mismo.

Ejemplo de negación de proposiciones:

a) P: La Universidad es el templo de la ciencia ~P: La Universidad NO es el templo de

la ciencia

b) Q: Alejandro es alto ~P: Alejandro NO es alto

c) R: Juanita no es feliz ~R: Juanita es feliz

d) S: El deporte es salud ~S: Es deporte no es

salud

Una Reiterada Negación o doble negación, es equivalente a la Proposición Original.

La conjunción.

La conjunción es verdadera sólo cuando ambas variables lo son y es falsa en los demás casos,

se lee (P ^ Q , se lee “P y Q”)

Se forma la CONJUNCIÓN a partir de proposiciones simples:

P: Juan juega

Q: Pedro estudia

31

P Q P ^ QV V VV F FF V FF F F

P Q P ^ Q1 1 11 0 00 1 00 0 0

~ (~P) ~ (~P) ΞΞ P P

P ^ Q “Juan juega y Pedro estudia”

P: El profesor es bueno

Q: Los alumnos son malos

P ^ Q “El profesor es bueno y los alumnos malos”

Disyunción inclusiva.

Esta proposición compuesta se obtiene combinando: P, Q mediante el conectivo v. (P v Q, se

lee “P o Q”)

La disyunción es verdadera en todos los casos menos cuando vale F y vale F.

P Q P v Q

V V VV F VF V VF F F

Ejemplos:

P v Q “Llueve o nieva”

P: Llueve

Q: Nieva

P v Q “Las aves vuelan o los peces caminan”

P: Las aves vuelan

Q: Los peces caminan

Disyunción exclusiva.

La disyunción exclusiva es verdadera cuando una variable es verdadera y la otra falsa, y es

falsa en los demás casos.

Se lee excluye a. Se entenderá: P v Q, como P o Q, pero no ambos a la vez.

32

P Q P v QV V FV F VF V VF F F

Ejemplos:

P v Q “O te quedas o te vas”

P: Te quedas

Q: Te vas

P v Q Cinco es un número par o impar

P: Cinco es un número par

Q: Cinco no es un número par

Ejemplos:

P v Q Dos es un número fraccionario o entero

P: Dos es un número fraccionario

Q: Dos no es un número entero

P es V, Q es F; por tanto es verdadera la DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.

V v F Ξ V

CONDICIONAL.

El condicional es verdadero en todos los casos menos cuando vale V y vale F.

Al CONDICIONAL se lo llama también IMPLICACIÓN; P=>Q que puede leerse como: P

implica Q o, P es suficiente para Q o, se lee P condiciona a Q.

P Q P => Q

V V V

V F F

F V V

F F V

33

Ejemplos:

P=>Q “Si estudias entonces aprendes”

P: Estudias

Q: Aprendes

P=>Q Si las aves vuelan entonces (2ª + 3ª = 5a)

P: Las aves vuelan

Q: (2ª + 3ª = 5a)

P es V, Q es V; por tanto es V el Condicional

34

35

EL RAZONAMIENTO O INFERENCIA.

Hasta aquí hemos considerado las proposiciones y sus conexiones. Ahora vamos a observar la relación

interna de las proposiciones y el modo de progresar en el conocimiento, obteniendo conclusiones a

partir de proposiciones ya conocidas. Es el razonamiento o inferencia.

Razonar es un proceso progresivo de la mente, que va de unas proposiciones ya conocidas llamadas

premisas a otra nueva llamada conclusión. La conclusión está en parte contenida en las premisas, de

modo que para que el razonamiento esté bien construido tiene que haber una relación de necesidad

entre las premisas y la conclusión. La conclusión se deriva necesariamente de las premisas. Por

ejemplo, cuando descargo un camión de muebles, extraigo éstos del interior, y es en ese momento

cuando puedo apreciarlos en su conjunto. Sacar conclusiones es derivarlas de las proposiciones

anteriores o premisas:

"Si estudio, aprendo. Es así que estudio, luego aprendo".

La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma sobre la base de las otras

proposiciones que nos dan los elementos de juicio o razones para aceptar la conclusión.

En el lenguaje formal la conclusión va precedida del símbolo que se lee "luego".

El razonamiento anterior se simboliza:

Un razonamiento bien construido puede ser falso en su contenido material, por ejemplo si digo:

"Todos los burros vuelan".

"Platero es un burro".

Luego "Platero vuela".

36

1. ( primera premisa )2. ( segunda premisa )

(conclusión)

El razonamiento es materialmente falso pero es válido lógicamente porque está bien construido. A la

lógica sólo le importa la validez formal.

Otro ejemplo descabellado puede ser:

"La tierra está formada de plastilina".

"Mi brazo forma parte de la tierra".

Luego "Mi brazo está formado de plastilina".

El razonamiento es lógica o formalmente verdadero porque la lógica busca que la conclusión se derive

necesariamente de las premisas, y no una verdad de hecho.

Puede darse el caso, sin embargo, de razonamientos que sean verdaderos materialmente y válidos

formalmente, por ejemplo:

"Quien no se presente a examen, suspenderá".

"Pepa no se ha presentado".

Luego "Pepa suspende".

En resumen, en lógica no interesa tanto la verdad o falsedad de las proposiciones, sino las relaciones

lógicas que existen entre ellas.

Un razonamiento es válido cuando la conclusión se deriva necesariamente de las premisas y es inválido

cuando la conclusión no se deriva de las premisas.

Ejemplos de razonamiento:

1.     2.     3.     4.    

También pueden escribirse: , ; , etc.

¿Cómo se puede saber si un razonamiento es o no válido sin necesidad de traducirlo al lenguaje

natural?

Podemos hacerlo mediante las tablas veritativas.

37

38

TEMA 3

TEORÍA DE CONJUNTOS.

2.1. Concepto.

Es la reunión, agrupación de una o varios elementos de la misma característica.

Notación. Todo conjunto se denota por letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas.

Ejemplo:

A={a,e,i,o,u}, se lee: Conjunto A y los elementos son a,e,i,o,u.

2.2. determinación de conjuntos.

a. Determinación por comprensión.Un conjunto esta determinado por comprensión cuando sus elementos están separados por una condición o propiedad; también denominada función proposicional.

Ejemplo: A={x / x es una vocal}, se lee: conjunto A de x, tal que x es una vocal.

b. Determinación por extensión.Un conjunto esta determinado por extensión, cuando sus elementos son listados uno a uno.

Ejemplo: Del ejemplo anterior A={a,e,i,o,u}

2.3. Clases de conjuntos.Los conjuntos se clasifican en: finitos e infinitos.

a. Finitos.Es aquel conjunto que tiene finitos elementos, donde sus elementos se pueden contar y tienen fin.

Ejemplo: B={x / 3 x 10, x N}

B= {3,4,5,6,7,8,9,10}

b. Infinitos.Es aquel conjunto cuyos elementos no se pueden contar y no tienen fin.

Ejemplo:

39

N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14...................}

2.4. Conjuntos Especiales.

a. Conjunto Unitario.Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo: T={x / 2x = 8}

T={3}

b. Conjunto Vacío.Es aquel conjunto que carece de elementos. , { }.

Ejemplo: M={x / x2+4=0, x Z}

2.5. Relación de Pertenencia. Se utiliza para relacionar un elemento con un conjunto.

Ejemplo: Sea B={2,4,6,8} Entonces

2B; 4B; 8B10B, se lee: 10 no pertenece a B.

2.6. Igualdad de Conjuntos.Un conjunto A es igual a B si y solo si todos los elementos de A están incluidos en B y todos los elementos de B están incluidos en A.

A=B(ABBA)

Propiedades.

a. Reflexiva. A = Ab. Transitiva. A = B B = C A = C.c. Simétrica. A = B B = A.

2.7. Inclusion de Conjuntos o sub conjuntos. .Un conjunto A está incluido en B si y solo si todos los elementos de A están en B. En símbolos.

A B x: x A x B.

40

Propiedades.

a. Reflexiva. A Ab. Transitiva. A B B C A C.c. A

Ej.: Si A={1,2,3} y B={1,2,3,4,5,6,7}Entonces A B.

En diagramas. B

2.8. Familia de Conjuntos.Es aquel conjunto cuyos elementos son otros conjuntos.

Ejemplo: A={{1},{2},{3,4}}

2.9 Conjunto Potencia. P(A).

El conjunto potencia de un conjunto A está dado por todos los subconjuntos posibles de formar con los elementos del conjunto dado.

El número de subconjuntos que pertenecen al conjunto potencia de A, se determina a través de la relación 2n, donde n representa el número de elementos del conjunto A. En general.

P(A)={x / x A} o x P(A) x A

Ejemplo: Sea B={2,3}, hallar P(B)

El conjunto potencia de B será:

= 22 = 4 subconjuntos.

P(B)={{2};{3};{2,3}; }

Donde {2} P(B) {2} B

41

A.

1. 2. 3.

2.2.

P(B) B

2.10. Operaciones con Conjuntos: Ver cuadro adjunto.

2.11. Cardinal de un Conjunto.

Se define como el número de elementos que tiene un conjunto.

Ejemplo:

Si A={l,m,n,o,p}

Entonces n(A)=5

2.11.1. Número de Elementos de A o B cuando A B = .

Si A={1,2,3}, B={4,5}

→AB=

Luego n(AB)=n(A)+n(B)

n(AB)=3+2

n(AB)=5

2.11.2. Número de Elementos de A o B .

A= (A-B)(AB)

n(A)=n(A-B)+n(AB)

por otro lado

(AB)=(A-B)B

n(AB)=n(A-B)+nB

n(AB)=n(A)-n(AB)+nB

n(AB)= n(A)+nB-n(AB)

Ejemplo: A={1,2,3,5,6} B={2,3,4,7,8,9}

n(AB)= n(A)+nB-n(AB)

42

n(AB)= 5+6-2=9

2.11.3. Número de Elementos de A o B o C cuando A B C .

n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AC)- n(BC)+n (ABC)- n(AB)

Demostración.

n(ABC)=n(AB)+n(C)-n[(AB)C]

n(ABC)=n(A)+n(B)-n(AB)+n(C)-n[(AC)(BC)]

n(ABC)=n(A)+n(B)-n(AB)+n(C)-[n(AC)+n(BC)-n(ABC)]

n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AC)- n(BC)+n (ABC)- n(AB)

Aplicaciones.

En una encuesta a 120 lectores sobre sus candidatos favoritos se determina que 66 electores tienen preferencia por el candidato A, 50 por el candidato B, 50 por el C, 27 por los candidatos A y C, 30 por A y B, , 21 por B y C; y 20 no tienen preferencia por ninguno de los tres candidatos. Se pide:

a. ¿Cuántos electores tienen preferencia por los tres electores?b. ¿Cuántos prefieren a los candidatos A o B pero no a C?c. ¿Cuántos prefieren a dos de los candidatos?

43

AB

C

20

x z

t

y

wu

v

x+y+z+u+v+w+t=100 1)

x+y+v+u= 66 2)

y+z+v+w=50 3)

t+u+v+w=50 4)

u+v=27 5)

y+v=30 6)

v+w=21 7)

Reemplazando 5 en 2

x+y+(u+v)=66

x+y+27=66

x+y=39 8)

Reemplazando 5 en 3

(y+v)+z+w=50

30+z+w=50

z+w=20 9)

Reemplazando 7 en 4

t+u+(v+w)=50

t+u+21=50

t+u=29 10)

Reemplazando 8,9,10 en 1

(x+y)+(z+w)+(u+t)+v=100

39+20+29+v=100

v=12 11)

Reemplazando 11 en 5

u+12=27

u=15 12)

Reemplazando 11 en 6

12+y=30

y=18 13)

Reemplazando 11 en 7

12+w=21

w=9 14)

Reemplazando 13 en 8

18+x=39

x=21 15)

Reemplazando 14 en 9

9+z=20

z=11 16)

Reemplazando 12 en 10

15+t=29

t=14 17)

44

Respuestas:

a. 12 prefieren a los tres electores.b. 50 prefieren a A o B pero no a C.c. 42 electores prefieren a dos candidatos.

TEMA 4RELACIONES

1. INTRODUCCIÓN

a) PAR ORDENADO.-

Llamaremos “par ordenado” de números reales a la expresión (a,b) donde a es llamada la primera componente y b es llamada la segunda componente.Ejemplo.- Son pares ordenados, (3,5), (-2,7), (etc).

b) IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.-

Los pares ordenados (a,b) y (c,d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, esto es:

Ejemplo.- Los pares ordenados (5,6) y (5,4) no son iguales sus segundas componentes son diferentes.

Luego diremos que dos pares ordenados son diferentes si una de sus componentes correspondientes son diferentes esto es:

y/o

Ejemplo.- Determinar el valor de x e y de tal manera que (5x+2y, -4) = (-1, 2x – y)

55

Solución

Para calcular el valor de x e y aplicamos el concepto de igualdad de pares ordenados:

5x + 2y = – 1 x = – 1(5x + 2y, 4) = (-1, 2x – y) 2x – y = – 4 y = 2

c) PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-

Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B.La notación del producto cartesiano de A y B: AxB. Simbólicamente el producto cartesiano se representa:

Nota: (a,b) A x B a A b B

Ejemplo.- Sean y Entonces:

También puede determinarse A x B mediante el método del “diagrama del árbol” el cual nos permite observar el conjunto de pares ordenados, este método consiste en disponer los elementos de A y B del modo siguiente:

A B A x B

2 (1,2)1

4 (1,4)

2 (3,2)

56

34 (3,4)

2 (5,2)5

4 (5,4)

OBSERVACIÓN.- Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces:

donde: n(A): es el número de elementos del conjunto A.

n(B): es el número de elementos del conjunto B.

n(A x B): es el número de elementos del conjunto A x B.

Ejemplo.- Si y entonces:

d) PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO

, no siempre se cumple x

Si ,

Si y

e) REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO CARTESIANO.-

En el producto cartesiano A x B, a cada uno de los conjuntos A y B lo representaremos sobre dos rectas perpendiculares, en donde los elementos del conjunto A se representa sobre el eje horizontal y los elementos del conjunto B se representan sobre el eje vertical, de tal manera que las líneas verticales que pasan por los elementos de A y las líneas horizontales que pasan por los elementos de B al interceptarse se obtienen los pares ordenados de A x B.

57

Ejemplos.-Si y entonces:

A los elementos del conjunto A lo representamos en el eje horizontal y a los elementos del conjunto B lo representaremos en el eje vertical.

OBSERVACIÓN

Como los conjuntos A y B son arbitrarios, entonces consideramos los siguientes casos:

1. Si A = B, el producto cartesiano denotaremos por A x B = A x A = A2

2. Si A = B = R entonces A x B = R x R = R2 este producto nos representa al plano cartesiano.

f) DIAGONAL DE UN CONJUNTO.-

Dado un conjunto , a la diagonal del producto cartesiano A x A denotaremos por IA y es definido por:

Ejemplo.- Si entonces:

Entonces:

g) EJERCICIOS DESARROLLADOS.-

1. Determinar los valores x e y, en cada caso:

a) (4, 2x – 10) = (x – 1, y + 2)

58

Solución

Mediante la igualdad de pares ordenados se tiene:

4 = x – 1 x = 5(4, 2x – 10) = (x – 1, y + 2)

2x – 10 = y + 2 y = –2

b) (y – 2, 2x + 1) = (x – 1, y + 2)

Solución

Mediante la igualdad de pares ordenados se tiene:

y – 2 = x – 1 x = 2(y – 2, 2x + 1) = (x – 1, y + 2)

2x + 1 = y + 2 y = 3

2. Dados los conjuntos ;

Hallar los siguientes conjuntos y graficar:

a) A x B b) B x C c) (A – C) x B

Solución

Tabulando los conjuntos dados se tiene:

, ,

a) A x B =

59

b) B x C =

c) A – C =

(A – C) x B =

3. , , Graficar Ax B, B x A

Solución

Como x – 3 < 7 x < 10

A x B =

B x A =

60

4. Para A y B subconjunto arbitrarios de R, geométricamente visualizar, como superficie, el producto cartesiano A x B en el espacio bidimensional R2, entonces:

5. Que parte del plano cartesiano se obtiene si se representa gráficamente los siguientes productos cartesianos.

a) b)

c) d)

Solución

a)

61

b)

c)

d)

2. RELACIONES BINARIAS

a) DEFINICIÓN.- Consideremos dos conjuntos A y B no vacíos, llamaremos relación binaria de A en B ó relación entre elementos de A y B a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B, esto es:

R es una relación de A en B

Ejemplo.- Sean y entonces

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de A a B:

, ,

62

Pero los siguientes conjuntos de pares ordenados no son relaciones de A en B.

, puesto que (1,2) A x B, (3,4) A x B

por lo tanto , A x B

Observación.-

1. Si A = B, entonces R es una relación en A ó, R es una relación entre elementos de A.

2. La definición 1.1 establece una comparación entre elementos de pares ordenados, motivo por el cual se le llama “relación binaria”.

3. Si R es una relación entre elementos de A y B, al conjunto A le llamaremos conjunto de partida y al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada.

4. Generalizando: una relación R, entre los elementos del conjunto de los números reales, está determinado por una función proposicional P(x,y); esto es:

5. Cuando el par ordenado (a,b) satisface a la función proposicional P(x,y) de la relación R, diremos que (a,b) R en caso contrario (a,b) R.

6. Si A tiene p elementos y B tiene q elementos entonces 2n relaciones entre A y B donde n = pq.

Ejemplos.-Si A= y y entonces

El número de relación que se obtendrá de A x B es 22x2 = 24 = 16 es decir: que se puede formar 16 relaciones:

63

, , , , , , ,

, , , , ,, ,

b) DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN BINARIA

Consideremos una relación R de A en B: es decir que

El dominio de la relación R denotado por DR es el conjunto definido por:

El rango de la relación R denotado por RR es el conjunto definido por:

Ejemplo.- Si entonces ,

OBSERVACIÓN.-

Para determinar el dominio de una relación, primero se despeja “y” enseguida se analiza los valores que pueden tomar “x” para que la variable “y” sea real.

Para determinar el rango de una relación se despeja “x”, enseguida se analiza los valores que puedan tomar “y” para que la variable “x” sea real.

Ejemplo.- Determinar el rango y dominio de la siguiente relación:

Solución

En primer lugar despejamos la variable “y” para obtener el dominio, es decir: x2+y2+10y-75 = 0, completando cuadrado

64

de donde

Ahora analizaremos los valores que pueda tomar x para que “y” sea número real es decir: de donde:

Ahora despejamos la variable “x” para obtener el rango, como entonces analizando los valores que puede tomar “y” para que x

sea número real se tiene: 75 – 10y – y2 0

donde c) PROPIEDADES DE LA RELACIÓN BINARIA.-

Las relaciones binarias gozan de las siguientes propiedades:

1. Propiedades Reflexiva.- Una relación R en A, diremos que es reflexiva si

(a,a) R para todo a R esto es:

R es reflexiva en A ,

2. Propiedad Simétrica.- Una relación R en A diremos que es simétrica si

(a,b) R implica que (b,a) R esto es:

R es simétrica

3. Propiedad Transitiva.- Una relación R en A, diremos que es transitiva

si:

(a,b) R implica que

,esto es:

R es transitiva

4. Propiedad Antisimétrica.- Una relación R en A, diremos que

es

antisimétrica si:

65

R es antisimétrica

5. Propiedad de Equivalencia.- Una relación R en A, diremos que es

de

de equivalencia si es: reflexiva, simétrica y

transitiva.

Ejemplo.- Si las relaciones en A.a) es reflexiva en A.

b) no es reflexiva en A por que falta (2,2).

Ejemplo.- Si , las relaciones en A.

a) es simétrica porque

b) no es simétrica porque falta (7,2).

Ejemplo.- Si las relaciones en A.

a) no es transitiva porque

Ejemplo.- Si la relación R en A dado por : es una relación de equivalencia

porque es reflexiva, simétrica y transitiva en A.

Ejemplo.- Sea Z = conjunto de los números enteros y la relación R definida sobre Z en es una relación de equivalencia. En efecto:

1. R es reflexiva porque: a- a = 0 = 0.3 es decir:

2. R es simétrica porque: Si a – b = m.3

66

3. R es simétrica porque: Si a – b = m.3 y b – c = m´.3 entonces

a – c = (a – b) + (b – c) = m.3 + m´.3

a – c = (m + m´)3 a – c = m.3,

es decir: Por lo tanto R es una relación de equivalencia.

d) DETERMINACIÓN DE UNA RELACIÓN BINARIA.

Teniendo en cuenta que una relación es un conjunto de pares ordenados, entonces a una relación determinaremos por extensión o por comprensión.

1ra. Por Extensión.-

Una relación queda determinada por extensión cuando se menciona cada uno de los pares ordenados de la relación.

Ejemplos.-

a) ,

b) Si y

Expresa por extensión cada una de las relaciones:

1

Solución

2

Solución

67

2da. Por Comprensión.-

Una relación queda determinada por comprensión cuando se da una propiedad que caracteriza a todos los pares ordenados que conforman la relación.

Ejemplo.-

a) Si A = Z conjunto de los números enteros la relación es una relación expresada por comprensión.

b) Si . Determinar por comprensión la relación.

SoluciónSe observa que la diferencia entre la primera componente y la segunda componente es dos unidades por lo tanto expresaremos por comprensión:

e) RELACIÓN INVERSA.-

Si es una relación de A en B; entonces la relación inversa de R lo denotaremos por y está definido por:

Ejemplo.- Si

Ejemplo.- Hallar la inversa de las siguientes relaciones.

a)Solución

Para determinar la inversa de una relación se despeja x, es decir: x = 12 – 3y

Luego se permuta x por y es decir: y = 12 – 3x

68

b)

Solución

Primeramente despejamos x de 3x + 4y = 5 es decir:

Ahora veremos como va variando y: como

Luego , por lo tanto al permutar x por y se tiene:

4.3. GRAFICA DE UNA RELACION DE R EN R.-

a) Definición.- Llamaremos gráfica de una relación de R en R al conjunto de puntos P(x,y) cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación, teniendo en cuenta que una relación puede estar expresada en una de las formas:

V V V V

b) Discusión de la Gráfica de una Relación.

Para trazar la gráfica de una relación dada por la ecuación E(x,y)=0, daremos el siguiente criterio.

1ra. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados.

- Intersección con el eje X: eje

Es decir: para hallar el punto P de intersección con el eje x se hace y=0 en la ecuación E(x,y)=0, ósea que se resuelve la ecuación E(0,y)=0.

- Intersección con el eje Y: eje

69

2da. Determinación de la simetría con respecto a los ejes coordenados.

- Simetría con respecto al eje X.

Existe simetría con respecto al eje X si se cumple E(x,y)=E(x,-y). Fig. (a)

- Simetría con respecto al eje Y.

Existe simetría con respecto al eje Y si se cumple E(x,y)=E(-x,y). Fig. (b)

- Simetría con respecto al origen.

Existe simetría con respecto al origen si se cumple E(x,y)=E(-x,-y). Fig. (c)

3ra. Determinación de la extensión de la curva.

Consiste en determinar el dominio y el rango de la relación.

4ta. Determinación de las Ecuaciones de las Asóntotas.

Traeremos solamente de las asíntotas verticales y horizontales.

- Asíntotas Verticales.- La recta x = a, es una asíntota vertical de la relación E(x,y)=0, si para cada (x,y) E(x,y), se tiene que para “y” bastante grande la distancia de “x” a “a” es decir es muy pequeño.

70

fig(A)fig(B)

fig(C)

Para calcular las asíntotas verticales se despeja la variable y de la ecuación.

E(x,y) = 0 es decir: de donde f y g son expresiones solamente de x,

entonces las asíntotas verticales se obtiene de la ecuación g(x) = 0, es decir haciendo el denominador igual a cero.

- Asíntotas Horizontales.- La recta y = b es una asíntota horizontal de la relación E(x,y) =0 si para cada (x,y) E(x,y) sé tiene que para “x” bastante grande la distancia de “y” a “b” es decir es muy pequeña.

Para calcular las asíntotas horizontales se despeja la variable x de la ecuación

E(x,y)=0, es decir: donde f y g son expresiones solamente de y,

entonces las asíntotas horizontales se obtiene de la ecuación g(y)=0 es decir haciendo el denominador igual a cero.

5ta. Tabulación.

Consiste en calcular un número determinado de pares ordenados a partir de la ecuación E(x,y) = 0.

6ta. Trazado de la curva.- Mapeo de los pares ordenados.

71

OBSERVACIÓN

1. Diremos que el par (a,b) pertenece a la relación E(x,y)=0 si y solo si E(a,b)=0.

Ejemplo.- Discutir y graficar la relación:

Solución

A la relación dada escribiremos en la forma:1° Intersección con los ejes coordenados:

- Con el eje X; hacemos, y = 0; R(x,0) = 0 – 0 – x = 0 x = 0- Con el eje Y; hacemos x = 0; R(0,y) = 0 – 2y – 0 = 0 y = 02° Simetrías:- Con respecto al eje X: R(x,y) = R (x, –y)

Pero x(-y) – 2(–y) – x xy – 2y, por lo tanto no existe simetría con el eje X.

- Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(–x,y)Pero xy – 2y – x (–x)( –y) – 2(–y) – (–x)

- Con respecto al origen: R(x,y) = R(–x,–y)Pero xy – 2y – x (–x)(–y) – 2(–y) – (–x), por lo tanto no existe simetría con el origen.

3° Extensión:

- Calculamos el dominio, para esto despejamos y es decir:

Luego

- Calculamos el rango, para esto despejamos x es decir:

Luego 4° Asíntotas:

- Asíntota Vertical: se despeja y: la ecuación de la asíntota vertical es x =

2.- Asíntota Horizontal: se despeja x:

, la ecuación de la asíntota horizontal es y = 1.

5° Tabulación:

72

TEMA 5

FUNCIONES

1. DEFINICIÓN.

Desde un punto de vista formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota

y satisface:

1.

2. Si

Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al

que se denomina imagen de a por f y que se denota en vez de .

Para la función f: A —> B , A es el dominio de f y B es el codominio de f.

El subconjunto de B formado por los elementos imágenes de todos los miembros de A, se llama

“imagen de f’, y se denota por I (f).

Ejemplo:

Sean A ={l,2,3,4} y B ={a,b,c,d} y sea f— {(1, a), (2, b), (3, b), (4, c)}

Entonces f es una función, ya que ningún elemento de A aparece como primer elemento de dos

pares ordenados diferentes. Así, se tiene f(l)a f(2)=b f(3)b f(4)c

El diagrama correspondiente es:

73

X 0 1 3 4 -1 -2Y 0 -1 3 3 0.3 0.5

En algunos textos de matemática se reserva la palabra función para el caso en que el conjunto B es un conjunto numérico y se utiliza aplicación para el caso más general de conjuntos cualesquiera. Esta distinción no está generalizada y se trata, en todo caso, de una distinción informal y de uso discrecional.

El dominio de f es D (f) = A, el codominio de f es Cod (f ) = B y la imagen de f es I (f ) {a, b, c}.

Obsérvese que el elemento b E B aparece como segundo elemento de dos diferentes pares

ordenados de f Esto no causa conflicto con la definición de una función. Por tanto, dos elementos

diferentes de A pueden tener la misma imagen en B.

Ejemplo:

Sean A = {a,b,c,d} y B= {l,2,3} y sean las relaciones:

R {(a, 2), (b, 3), (c, 1)) y S = {(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 2), (d, 3)}

Entonces el diagrama correspondiente para cada relación es

2. DOMINIO, CONJUNTO DE LLEGADA E IMAGEN. El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para

los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los objetos que puede transformar. Se denota Dom f o D f.

74

Obsérvese que la condición de existencia de la definición de función garantiza que, si

es una función, entonces Df = A

El codominio de una función es el conjunto .

Obsérvese que algunos elementos del codominio pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. Puede haber algún tal que

El conjunto imagen , también llamado recorrido o rango, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se denota I m f o I f.

Por ejemplo, la función f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x², si bien tendrá como dominio a todos los reales, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real (de hecho, todos lo son).

Siempre es posible restringir tanto el conjunto dominio e imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, si se quiere restringir f(x) = x² para que sea biyectiva, es posible tomar una sola de las ramas de modo que el dominio restringido y el conjunto imagen tomen valores del intervalo[0,+∞).

3. CONJUNTO IMAGEN.

El conjunto imagen de una función matemática, también llamado codominio, rango o recorrido; es el conjunto de valores que puede llegar a tomar la función.

Una función es un aplicación de un espacio K a otro espacio K'. Esto quiere decir que la función devuelve un vector de K' para cada vector de K introducido.

Por tanto, imagen de una función, es el conjunto de vectores de K' que me puede devolver una función al introducir en ella un vector de K. El conjunto imagen será un subes pació de K'.

El "reciproco" del conjunto imagen seria el conjunto dominio o recorrido de una función, que es el conjunto de vectores de K tal que los puedo introducir en la función y esta me devuelve un vector de K'. El conjunto dominio será un subes pació de K.

DOMINIO

Sea f una función

El conjunto X es el dominio de definición de f. Llamamos dominio de definición de una función al conjunto de existencia de dicha función, es decir, los valores para los cuales la función está definida. El conjunto Y es el recorrido o imagen de f que es el conjunto de valores que se obtienen a partir del dominio de definición.

75

Dadas dos funciones f y g, de valores reales, con dominios A y B respectivamente entonces:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Dominio = A ∩ B 2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Dominio = A ∩ B 3. (f · g)(x) = f(x) · g(x) Dominio = A ∩ B 4. (f / g)(x) = f(x) / g(x) Dominio = {x A ∩ B g(x) ≠ 0} ∈ ∧

Algunos dominios de funciones reales de variable real:

El dominio de esta función es

El dominio de esta función es

El dominio de esta función es

El dominio de esta función es

4. CLASES DE FUNCIONES.

4.1 FUNCIÓN BIYECTIVA.

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Es decir, todos los elementos del conjunto de partida tienen una imagen distinta (por ser inyectiva) en el conjunto de llegada. Además, el recorrido es igual al conjunto de llegada (por ser sobreyectiva).

Por ejemplo, la función dada por f(x) = 6x + 9 es claramente biyectiva.

Una de demostrar biyectividad es posible establecer la biyectivida de una función probando:

f: A → B es inyectiva g: B → A es inyectiva

76

La función g no es necesariamente la inversa de f

4.2 FUNCIÓN INYECTIVA.

Una función (o más general un mapeo) es inyectiva (o uno es a uno) cuando las imágenes en el conjunto codominio del mapeo se corresponden con elementos diferentes del conjunto de partida. Es decir, no existe una misma imagen que tenga asociados elementos distintos del conjunto de dominio.

4.3 DEFINICIÓN FORMAL.

Sea una función. Diremos que f es inyectiva,

o lo que es lo mismo,

Equivalentemente, es inyectivo si la fibra de cada elemento del codominio tiene cardinalidad menor o igual a uno.

4.4 FUNCIÓN SOBREYECTIVA.

Una función es sobreyectiva (o suprayectiva, o epiyectiva, o suryectiva, o exhaustiva) cuando el recorrido cubre todo el conjunto de llegada. Es decir, todo elemento del conjunto de llegada (rango) es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida (dominio).

Si f es una función de X a Y y el contra dominio de f es Y, se dice que f es sobre Y, o una función suprayectiva respecto de Y.

DEFINICIÓN FORMAL

77

Sea la función Diremos que f es sobreyectiva,

Es decir, la imagen de f es igual al Rango o codominio de la función

El dominio y la imagen pueden tener una única variable, o bien varias. De acuerdo a dichas cantidades se le pueden dar diferentes nombres a la función

es una función escalar es un campo escalar es una función vectorial es un campo vectorial

Se debe notar que la presencia de varias variables no afecta los criterios ya definidos sobre lo que es una función y lo que es sólo una relación matemática . Dado un (a ,b) puede ocurrir que a = b, pero el elemento que pertenece al dominio y que debe tener una y sólo una imagen es (a ,b), no a o b en forma individual.

5. CONCEPTOS PARA UN VALOR REAL.

Para funciones tenemos:

Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.

Conjunto de negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.

Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas Función inyectiva : Si cada elemento del conjunto es imagen de un único elemento del

dominio. es inyectiva  ;

o lo que es lo mismo:

Función sobreyectiva: es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el

conjunto B (conjunto de llegada o codominio). es sobreyectiva

78

Función biyectiva: es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Sobreyectiva, no inyectiva Inyectiva, no sobreyectiva

Biyectiva No sobreyectiva, no inyectiva

6. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.

Dadas dos funciones y tales que la imagen de está contenida en el dominio de , se define la función composición como el conjunto de pares

, para todos los elementos de .

Dado conocemos , puesto que conocemos la función , y dado cualquier elemento de conocemos también , puesto que conocemos la función . Por tanto,

está definido para todo x. Luego cumple la condición de existencia que se exige a las funciones. También cumple la condición de unicidad, dado que para cada el valor de

es único, y para cada también lo es el de , por ser y funciones. La composición de funciones es asociativa:

79

Sin embargo, en general, la composición de funciones no es conmutativa. Dadas y , puede no tener ni siquiera sentido, porque “devuelve” elementos de , en

tanto que está definida en el dominio . Pero incluso en los casos en que dominios y codominios son compatibles (o son el mismo conjunto), nada garantiza que la composición de funciones sea

conmutativa. Por ejemplo, con funciones numéricas y ,

, en tanto que

6.1 FUNCIÓN IDENTIDAD.

Dado un conjunto , la función que asigna a cada de el mismo de se denomina función identidad o función unitaria.

Dada cualquier función , es claro que es igual a y que es también igual a , puesto que para todo y también

6.2 FUNCIÓN INVERSA.

Dada una función , se denomina función inversa o función recíproca de ,

a la función que cumple la siguiente condición:

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por

la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la

existencia de es que sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones

Existe función inversa de y es biyectiva

son lógicamente equivalentes.

80

El grupo de las funciones biyectivas

Considerando todas las funciones biyectivas , las conclusiones del apartado anterior pueden resumirse en:

1. Dadas tres funciones la operación de composición es asociativa:

2. tal que tenemos 3. Estas tres condiciones determinan un grupo. El conjunto de las funciones biyectivas

es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones y recibe el nombre de grupo simétrico de .

7. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas o entre conjuntos de números (

).

Funciones reales y funciones discretas Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real.

En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son sucesiones.

7.1 FUNCIONES ACOTADAS. Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) =

sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f(x)=|x| tiene por conjunto imagen

, por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

81

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y)

Funciones monótonas 1. La función f es estrictamente creciente en

2. f es estrictamente decreciente en

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

1. f es creciente en

2. f es decreciente en

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monotona.

7.2 FUNCIONES PERIODICAS.

Una función es periódica si se cumple: donde es el periodo.

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos

7.3 FUNCIONES CÓNCAVAS Y CONVEXAS.7.3.1 Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función.

Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente.

82

TEMA 7

DETERMINANTES.MacLaurin, en su "Treatise of Algebra", publicado en 1748, daba una regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales por determinantes. La solución que daba para y, en el sistema :

Dada la matriz de coeficientes del sistema:

Llamamos determinante de C a:

El numerador de la solución para y, es el determinante de la matriz que resulta de sustituir en la matriz de coeficientes, la columna correspondiente a la incógnita y por la columna de términos independientes.

La solución para x y para y, por determinentes sería:

En el caso de una sola ecuación con una sola incógnita, tenemos:

En el caso de tres ecuaciones con tres incógnitas, tenemos:

83

Y las soluciones por determinantes serán:

¿Cómo se calcula cada uno de estos determinantes? En el caso de determinantes de una fila por una columna, el determinante es igual al número con su signo. En el caso de determinantes de dos filas por dos columnas, ya lo hemos visto: es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

En el caso de tres filas por tres columnas:

Propiedades de los determinantes.

1º El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz transpuesta :

84

2º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.

3º si los elementos de una fila (columna) de una matriz se pueden descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las filas (columnas) excepto dicha fila (columna) cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los determinantes:

4º El determinante de un producto de dos matrices cuadradas coincide con el producto de los determinantes de ambas matrices:

5º Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas(columnas), su determinante cambia de signo. 6º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada son combinación lineal de las filas (columnas) restantes, es decir son el resultado de sumar los elementos de otras filas (columnas) multiplicadas por números reales, su determinante es cero. 7º Si a los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de otras filas (columnas), su determinante no varía. Menor complementario de un elemento El menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada es el determinante de la matriz que obtenemos al suprimir su fila y su columna. Lo representamos por Mij. Ejemplo: Hallar el menor complementario del elemento a23 en la matriz :

85

Adjunto de un elemento:

Es el menor complementario con signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de su número de fila y su número de columna. Lo representamos por Aij

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea: El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus adjuntos.

Esta propiedad nos permite resolver determinantes de cualquier orden, puesto que al desarrollar por una línea, los determinantes que tenemos que calcular son de orden menor en una unidad y así, siempre podremos llegar a un determinante de orden 3, que ya sabemos calcular. Para desarrollar por una línea es importante elegir la que más ceros tenga y utilizando la propiedad nº 7, hacer ceros todos los elementos de esa línea menos uno. Ejemplo:

Lo más cómodo es desarrollar por la 3ª columna, haciendo en ella todos los elementos cero, menos el segundo. Es importante recordar aquí, que si multiplicamos la línea a la que sumamos la combinación lineal de las demás por un número real, el determinante queda multiplicado por ese número.

Para hacer ceros, procedemos así:

El determinante de tres por tres que queda, sabemos como desarrollarlo. Se puede comprobar como haciendo ceros los elementos de una línea, sólo tenemos que calcular un determinante de tres por tres, los demás desaparecen al estar multiplicados por cero.

86

FILA COLUMNA

TEMA 7ARREGLOS BIDIMENSIONALES.

Es tipo de arreglo se puede considerar como un vector de vectores. Por lo tanto, un arreglo bidimensional o matriz es un conjunto de elementos, todos del mismo tipo, organizados de forma tal que para poder identificar a un elemento del grupo se necesita referenciar dos subíndices. Si se visualiza un arreglo unidimensional, se puede considerar como una fila de datos, un arreglo bidimensional es un grupo de filas, como se puede ver en la siguiente figura:

Col1 Col2 Col3 Col4 Col5

1. FORMA DE ACCESO A UN ELEMENTO ESPECÍFICO DEL ARREGLO.

Invocar el nombre del arreglo y especificar entre corchetes el número de casilla que ocupa el elemento en el arreglo.

Por ejemplo, si queremos accesar al elemento 19 de la matriz de la tercera columna primera fila, se invocaría de la siguiente manera: nombre_variable[1][3] el caso anterior M[1][3]=19. suponiendo que el nombre de la matriz es M.Cabe notar que solo la matriz global tienen el nombre M y los elementos de este se referencian mediante los subíndices correspondientes. Así se usa un identificador global de la estructura pero se puede acceder a cada elemento independientemente.

2. OPERACIONES CON MATRICES.

87

11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 5 19

23 34 40

45 56 70

Fila 1Fila 2Fila 3Fila 4Fila 5 Fila 6

Las operaciones que se pueden realizar con matrices durante el proceso de resolución de un problema o alguna actividad son:

AsignaciónLectura/escrituraSumaMultiplicaciónGeneración

88

Para i de 0 hasta N-1 hacerPara j de 0 hasta K-1 hacer Leer M[i][j]

Fin_para

Para i de 0 hasta N-1 hacerPara j de 0 hasta K-1 hacer Escribir M[i][j]

Fin_para

2.2 ASIGNACIÓN.

La instrucción para realizar la operación de asignación en matrices es la siguiente:

asigna el valor “expresión” al elemento i,j de la matriz M

Para la introducción de valores a una matriz, la mejor opción es utilizando estructuras repetitivas como para (for ), mientras ( while) y repetir hasta (repeat until).

2.3 LECTURA/ ESCRITURA DE DATOS.

Las instrucciones simples de lectura y escritura se representan como:

a) Lectura

Pseudocódigo

N es la dimensión de filas de la matrizK es la dimensión de columnas de la matriz

b) Escritura

Pseudocódigo

N es la dimensión de filas de la matrizK es la dimensión de columnas de la matriz

Las demás operaciones se explican más adelante.

M[i][j]expresión

TEMA 8

DETERMINANTES.MacLaurin, en su "Treatise of Algebra", publicado en 1748, daba una regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales por determinantes. La solución que daba para y, en el sistema :

Dada la matriz de coeficientes del sistema:

Llamamos determinante de C a:

El numerador de la solución para y, es el determinante de la matriz que resulta de sustituir en la matriz de coeficientes, la columna correspondiente a la incógnita y por la columna de términos independientes.

La solución para x y para y, por determinentes sería:

En el caso de una sola ecuación con una sola incógnita, tenemos:

En el caso de tres ecuaciones con tres incógnitas, tenemos:

Y las soluciones por determinantes serán:

¿Cómo se calcula cada uno de estos determinantes? En el caso de determinantes de una fila por una columna, el determinante es igual al número con su signo. En el caso de determinantes de dos filas por dos columnas, ya lo hemos visto: es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

En el caso de tres filas por tres columnas:

Propiedades de los determinantes.

1º El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz transpuesta :

2º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.

3º si los elementos de una fila (columna) de una matriz se pueden descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las filas (columnas) excepto dicha fila (columna) cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los determinantes:

4º El determinante de un producto de dos matrices cuadradas coincide con el producto de los determinantes de ambas matrices:

5º Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas(columnas), su determinante cambia de signo. 6º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada son combinación lineal de las filas (columnas) restantes, es decir son el resultado de sumar los elementos de otras filas (columnas) multiplicadas por números reales, su determinante es cero. 7º Si a los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de otras filas (columnas), su determinante no varía. Menor complementario de un elemento El menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada es el determinante de la matriz que obtenemos al suprimir su fila y su columna. Lo representamos por Mij. Ejemplo: Hallar el menor complementario del elemento a23 en la matriz :

Adjunto de un elemento:

Es el menor complementario con signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de su número de fila y su número de columna. Lo representamos por Aij

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea: El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus adjuntos.

Esta propiedad nos permite resolver determinantes de cualquier orden, puesto que al desarrollar por una línea, los determinantes que tenemos que calcular son de orden menor en una unidad y así, siempre podremos llegar a un determinante de orden 3, que ya sabemos calcular. Para desarrollar por una línea es importante elegir la que más ceros tenga y utilizando la propiedad nº 7, hacer ceros todos los elementos de esa línea menos uno. Ejemplo:

Lo más cómodo es desarrollar por la 3ª columna, haciendo en ella todos los elementos cero, menos el segundo. Es importante recordar aquí, que si multiplicamos la línea a la que sumamos la combinación lineal de las demás por un número real, el determinante queda multiplicado por ese número.

Para hacer ceros, procedemos así:

El determinante de tres por tres que queda, sabemos como desarrollarlo. Se puede comprobar como haciendo ceros los elementos de una línea, sólo tenemos que calcular un determinante de tres por tres, los demás desaparecen al estar multiplicados por cero.