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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA
ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM
www.matematicamonteiro.com
Disciplina: Matemática Elementar 2 Valor Total: 10,0
Prof.: Alessandro Monteiro
Aluno(a): GABARITO 01 – TANGENTE
1ª Prova Parcial Data: 20 de Outubro de 2017
Curso: Licenciatura em Matemática Período: 2017/2
Critérios de Avaliação:
Não é permitido fazer perguntas a respeito da resolução da prova ao professor.
O Aluno só poderá entregar a prova 60 minutos após o início da mesma.
Essa avaliação é individual e sem consulta.
Somente os espaços que sobram abaixo de cada questão e o verso desta folha poderão ser usados como rascunhos.
Todas as respostas devem ser colocadas à caneta na coluna 2 ao lado das perguntas.
É proibido o uso de aparelhos celulares ou similares.
Todo material do aluno é de uso individual, sendo proibido qualquer tipo de empréstimo.
QUESTÕES RESPOSTAS À CANETA
01. (vale 0,5 ponto cada item) Sobre a função
tangente: qual o domínio? qual a imagem? qual o
período? qual a paridade? ela é bijetiva? Esboce
seu gráfico. Reduza ao primeiro quadrante
tg 2017º. Justifique. (Use o espaço abaixo somente
para rascunhos. A resposta, clara e sucinta, deve
ser colocada na coluna ao lado)
Obs.: Use as definições das funções seno e cosseno.
i) Domínio ; ,2
x x k k
ii) Imagem
iii) Período
Justificativa:
,cos cos
sen x k senxtg x k tgx x
x k x
iv) Paridade: ( x ) ímpar ( ) par
Justificativa:
,cos cos
sen x senxtg x tgx x
x x
v) É bijetiva: ( ) sim ( x ) não
Justificativa:
Ela não é injetiva, pois
2 0tg tg
mas, 2 .
vi) tg 2017º = 37ºtg
Justificativa:
2017º 37º 11 180ºtg tg
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA
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vii) Gráfico:
02. (vale 2,5 pontos) Sendo 2 2
2 2z i ,
calcular o valor de 2 3 20231 z z z z .
Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A
solução clara e sucinta deve ser colocada na
coluna ao lado.
Prova: Como
2 21 cos
2 2 4 4z i i sen
então
2024 cos 506 506
1.
z i sen
Logo 2024
2 3 2023 11
1
1 10.
cos 14 4
zz z z z
z
i sen
03. (vale 2,0 pontos) Prove que
2 3 1cos cos cos
7 7 7 2
.
Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A
demonstração clara e sucinta deve ser colocada na
coluna ao lado.
Prova: Sendo
2 3 5 3cos cos cos cos cos cos
7 7 7 7 7 7
3 5cos cos cos
7 7 7
L
então
2 3 52 2 cos 2 cos
7 7 7 7 7 7
2 4 2 6 4
7 7 7 7 7
6
7
7
.7
sen L sen sen sen
sen sen sen sen sen
sen
sen
sen
Portanto, 17
22
7
senL
sen
.
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04. (vale 2,0 pontos) Seja z uma raiz da
função polinomial
1
1 1 0
n n
n nf x a x a x a x a
de coeficientes naa ,,0 reais.
a) Prove que z também é uma raiz de f ;
b) Se 1 2017 2018f i i , então qual o valor
de 1 ?f i Justifique.
Somente para quem não defendeu questões na
lousa!
a) Prova:
a)
Se
1
1 1 0 0n n
n nf z a z a z a z a
então
1
1 1 0
1
1 1 0
1
1 1 0
1
1 1 0
0
0.
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
f z a z a z a z a
a z a z a z a
a z a z a z a
a z a z a z a
f z
b)
1 2017 2018f i i
Justificativa:
Seja z . Na demonstração acima percebemos que é válida a
identidade
.f z f z
Assim, fazendo-se
1z i
temos
1 2017 2018
2017 2018 .
f i i
i
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA
ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM
www.matematicamonteiro.com
Disciplina: Matemática Elementar 2 Valor Total: 10,0
Prof.: Alessandro Monteiro
Aluno(a): GABARITO 02 – COTANGENTE
1ª Prova Parcial Data: 20 de Outubro de 2017
Curso: Licenciatura em Matemática Período: 2017/2
Critérios de Avaliação:
Não é permitido fazer perguntas a respeito da resolução da prova ao professor.
O Aluno só poderá entregar a prova 60 minutos após o início da mesma.
Essa avaliação é individual e sem consulta.
Somente os espaços que sobram abaixo de cada questão e o verso desta folha poderão ser usados como rascunhos.
Todas as respostas devem ser colocadas à caneta na coluna 2 ao lado das perguntas.
É proibido o uso de aparelhos celulares ou similares.
Todo material do aluno é de uso individual, sendo proibido qualquer tipo de empréstimo.
QUESTÕES RESPOSTAS À CANETA
01. (vale 0,5 ponto cada item) Sobre a função
cotangente: qual o domínio? qual a imagem? qual
o período? qual a paridade? ela é bijetiva? Esboce
seu gráfico. Reduza ao primeiro quadrante
cotg2017º. Justifique. (Use o espaço abaixo
somente para rascunhos. A resposta, clara e
sucinta, deve ser colocada na coluna ao lado)
Obs.: Se precisar, use as definições das funções
seno e cosseno.
i) Domínio ; ,x x k k
ii) Imagem
iii) Período
Justificativa:
cos coscot cot ,
x k xg x k gx x
sen x k senx
iv) Paridade: ( x ) ímpar ( ) par
Justificativa:
cos cos,
s
x xcotg x cotgx x
en x senx
v) É bijetiva: ( ) sim ( x ) não
Justificativa:
Ela não é injetiva, pois
30
2 2cotg cotg
mas, 3
2 2
.
vi) cotg 2017º = 37ºcotg
Justificativa:
2017º 37º 11 180ºcotg cotg
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ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM
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vii) Gráfico:
02. (vale 2,5 pontos) Sendo 2 2
2 2z i ,
calcular o valor de 2 3 20231 z z z z .
Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A
solução clara e sucinta deve ser colocada na
coluna ao lado.
Prova: Como
2 21 cos
2 2 4 4z i i sen
então
2024 cos 506 506
1.
z i sen
Logo 2024
2 3 2023 11
1
1 10.
cos 14 4
zz z z z
z
i sen
03. (vale 2,0 pontos) Prove que
2 3 1cos cos cos
7 7 7 2
.
Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A
demonstração clara e sucinta deve ser colocada na
coluna ao lado.
Prova: Sendo
2 3 5 3cos cos cos cos cos cos
7 7 7 7 7 7
3 5cos cos cos
7 7 7
L
então
2 3 52 2 cos 2 cos
7 7 7 7 7 7
2 4 2 6 4
7 7 7 7 7
6
7
7
.7
sen L sen sen sen
sen sen sen sen sen
sen
sen
sen
Portanto, 17
22
7
senL
sen
.
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA
ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM
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04. (vale 2,0 pontos) Seja z uma raiz da
função polinomial
1
1 1 0
n n
n nf x a x a x a x a
de coeficientes naa ,,0 reais.
a) Prove que z também é uma raiz de f ;
b) Se 1 2017 2018f i i , então qual o valor
de 1 ?f i Justifique.
Somente para quem não defendeu questões na
lousa!
a) Prova:
a)
Se
1
1 1 0 0n n
n nf z a z a z a z a
então
1
1 1 0
1
1 1 0
1
1 1 0
1
1 1 0
0
0.
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
f z a z a z a z a
a z a z a z a
a z a z a z a
a z a z a z a
f z
b)
1 2017 2018f i i
Justificativa:
Seja z . Na demonstração acima percebemos que é válida a
identidade
.f z f z
Assim, fazendo-se
1z i
temos
1 2017 2018
2017 2018 .
f i i
i
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Disciplina: Matemática Elementar 2 Valor Total: 10,0
Prof.: Alessandro Monteiro
Aluno(a): GABARITO 03 - SECANTE
1ª Prova Parcial Data: 20 de Outubro de 2017
Curso: Licenciatura em Matemática Período: 2017/2
Critérios de Avaliação:
Não é permitido fazer perguntas a respeito da resolução da prova ao professor.
O Aluno só poderá entregar a prova 60 minutos após o início da mesma.
Essa avaliação é individual e sem consulta.
Somente os espaços que sobram abaixo de cada questão e o verso desta folha poderão ser usados como rascunhos.
Todas as respostas devem ser colocadas à caneta na coluna 2 ao lado das perguntas.
É proibido o uso de aparelhos celulares ou similares.
Todo material do aluno é de uso individual, sendo proibido qualquer tipo de empréstimo.
QUESTÕES RESPOSTAS À CANETA
01. (vale 0,5 ponto cada item) Sobre a função
secante: qual o domínio? qual a imagem? qual o
período? qual a paridade? ela é bijetiva? Esboce
seu gráfico. Reduza ao primeiro quadrante
sec2170º . Justifique. (Use o espaço abaixo
somente para rascunhos. A resposta, clara e
sucinta, deve ser colocada na coluna ao lado)
Obs.: Se precisar, use as definições das funções
seno e cosseno.
i) Domínio ; ,2
x x k k
ii) Imagem , 1 1,
iii) Período 2
Justificativa:
1 1sec 2 sec ,
cos 2 cosx k x x
x k x
iv) Paridade: ( ) ímpar ( x ) par
Justificativa:
1 1
sec sec ,cos cos
x x xx x
v) É bijetiva: ( ) sim ( x ) não
Justificativa:
Ela não é injetiva, pois
sec 0 sec 2 1
mas, 0 2 .
vi) sec2170º = sec10º
Justificativa:
sec2170º sec 10º 6 360º
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vii) Gráfico:
02. (vale 2,5 pontos) Sendo 2 2
2 2z i ,
calcular o valor de 2 3 20231 z z z z .
Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A
solução clara e sucinta deve ser colocada na
coluna ao lado.
Prova: Como
2 21 cos
2 2 4 4z i i sen
então
2024 cos 506 506
1.
z i sen
Logo 2024
2 3 2023 11
1
1 10.
cos 14 4
zz z z z
z
i sen
03. (vale 2,0 pontos) Prove que
2 3 1cos cos cos
7 7 7 2
.
Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A
demonstração clara e sucinta deve ser colocada na
coluna ao lado.
Prova: Sendo
2 3 5 3cos cos cos cos cos cos
7 7 7 7 7 7
3 5cos cos cos
7 7 7
L
então
2 3 52 2 cos 2 cos
7 7 7 7 7 7
2 4 2 6 4
7 7 7 7 7
6
7
7
.7
sen L sen sen sen
sen sen sen sen sen
sen
sen
sen
Portanto, 17
22
7
senL
sen
.
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04. (vale 2,0 pontos) Seja z uma raiz da
função polinomial
1
1 1 0
n n
n nf x a x a x a x a
de coeficientes naa ,,0 reais.
a) Prove que z também é uma raiz de f ;
b) Se 1 2017 2018f i i , então qual o valor
de 1 ?f i Justifique.
Somente para quem não defendeu questões na
lousa!
a) Prova:
a)
Se
1
1 1 0 0n n
n nf z a z a z a z a
então
1
1 1 0
1
1 1 0
1
1 1 0
1
1 1 0
0
0.
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
f z a z a z a z a
a z a z a z a
a z a z a z a
a z a z a z a
f z
b)
1 2017 2018f i i
Justificativa:
Seja z . Na demonstração acima percebemos que é válida a
identidade
.f z f z
Assim, fazendo-se
1z i
temos
1 2017 2018
2017 2018 .
f i i
i
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM
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Disciplina: Matemática Elementar 2 Valor Total: 10,0
Prof.: Alessandro Monteiro
Aluno(a): GABARITO 04 – COSSECANTE
1ª Prova Parcial Data: 20 de Outubro de 2017
Curso: Licenciatura em Matemática Período: 2017/2
Critérios de Avaliação:
Não é permitido fazer perguntas a respeito da resolução da prova ao professor.
O Aluno só poderá entregar a prova 60 minutos após o início da mesma.
Essa avaliação é individual e sem consulta.
Somente os espaços que sobram abaixo de cada questão e o verso desta folha poderão ser usados como rascunhos.
Todas as respostas devem ser colocadas à caneta na coluna 2 ao lado das perguntas.
É proibido o uso de aparelhos celulares ou similares.
Todo material do aluno é de uso individual, sendo proibido qualquer tipo de empréstimo.
QUESTÕES RESPOSTAS À CANETA
01. (vale 0,5 ponto cada item) Sobre a função
secante: qual o domínio? qual a imagem? qual o
período? qual a paridade? ela é bijetiva? Esboce
seu gráfico. Reduza ao primeiro quadrante
c c2170ºs . Justifique. (Use o espaço abaixo
somente para rascunhos. A resposta, clara e
sucinta, deve ser colocada na coluna ao lado)
Obs.: Se precisar, use as definições das funções
seno e cosseno.
i) Domínio ; ,x x k k
ii) Imagem 1,1
iii) Período 2
Justificativa:
1 1c c 2 c c ,
2s x k s x x
sen x k senx
iv) Paridade: ( x ) ímpar ( ) par
Justificativa:
1 1
c c c c ,s
s x s x xen x senx
v) É bijetiva: ( ) sim ( x ) não
Justificativa:
Ela não é injetiva, pois
5c c c c 2
6 6s s
mas, 5
6 6
.
vi) c c2170ºs = c c10ºs
Justificativa:
c c2170º c c 10º 6 360ºs s
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA
ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM
www.matematicamonteiro.com
vii) Gráfico:
02. (vale 2,5 pontos) Sendo 2 2
2 2z i ,
calcular o valor de 2 3 20231 z z z z .
Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A
solução clara e sucinta deve ser colocada na
coluna ao lado.
Prova: Como
2 21 cos
2 2 4 4z i i sen
então
2024 cos 506 506
1.
z i sen
Logo 2024
2 3 2023 11
1
1 10.
cos 14 4
zz z z z
z
i sen
03. (vale 2,0 pontos) Prove que
2 3 1cos cos cos
7 7 7 2
.
Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A
demonstração clara e sucinta deve ser colocada na
coluna ao lado.
Prova: Sendo
2 3 5 3cos cos cos cos cos cos
7 7 7 7 7 7
3 5cos cos cos
7 7 7
L
então
2 3 52 2 cos 2 cos
7 7 7 7 7 7
2 4 2 6 4
7 7 7 7 7
6
7
7
.7
sen L sen sen sen
sen sen sen sen sen
sen
sen
sen
Portanto, 17
22
7
senL
sen
.
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA
ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM
www.matematicamonteiro.com
04. (vale 2,0 pontos) Seja z uma raiz da
função polinomial
1
1 1 0
n n
n nf x a x a x a x a
de coeficientes naa ,,0 reais.
a) Prove que z também é uma raiz de f ;
b) Se 1 2017 2018f i i , então qual o valor
de 1 ?f i Justifique.
Somente para quem não defendeu questões na
lousa!
a) Prova:
a)
Se
1
1 1 0 0n n
n nf z a z a z a z a
então
1
1 1 0
1
1 1 0
1
1 1 0
1
1 1 0
0
0.
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
f z a z a z a z a
a z a z a z a
a z a z a z a
a z a z a z a
f z
b)
1 2017 2018f i i
Justificativa:
Seja z . Na demonstração acima percebemos que é válida a
identidade
.f z f z
Assim, fazendo-se
1z i
temos
1 2017 2018
2017 2018 .
f i i
i