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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS UEA ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM www.matematicamonteiro.com Disciplina: Matemática Elementar 2 Valor Total: 10,0 Prof.: Alessandro Monteiro Aluno(a): GABARITO 01 TANGENTE 1ª Prova Parcial Data: 20 de Outubro de 2017 Curso: Licenciatura em Matemática Período: 2017/2 Critérios de Avaliação: Não é permitido fazer perguntas a respeito da resolução da prova ao professor. O Aluno só poderá entregar a prova 60 minutos após o início da mesma. Essa avaliação é individual e sem consulta. Somente os espaços que sobram abaixo de cada questão e o verso desta folha poderão ser usados como rascunhos. Todas as respostas devem ser colocadas à caneta na coluna 2 ao lado das perguntas. É proibido o uso de aparelhos celulares ou similares. Todo material do aluno é de uso individual, sendo proibido qualquer tipo de empréstimo. QUESTÕES RESPOSTAS À CANETA 01. (vale 0,5 ponto cada item) Sobre a função tangente: qual o domínio? qual a imagem? qual o período? qual a paridade? ela é bijetiva? Esboce seu gráfico. Reduza ao primeiro quadrante tg 2017º. Justifique. (Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A resposta, clara e sucinta, deve ser colocada na coluna ao lado) Obs.: Use as definições das funções seno e cosseno. i) Domínio ; , 2 x x k k ii) Imagem iii) Período Justificativa: , cos cos sen x k senx tg x k tgx x x k x iv) Paridade: ( x ) ímpar ( ) par Justificativa: , cos cos sen x senx tg x tgx x x x v) É bijetiva: ( ) sim ( x ) não Justificativa: Ela não é injetiva, pois 2 0 tg tg mas, 2 . vi) tg 2017º = 37º tg Justificativa: 2017º 37º 11 180º tg tg

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA

ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM

www.matematicamonteiro.com

Disciplina: Matemática Elementar 2 Valor Total: 10,0

Prof.: Alessandro Monteiro

Aluno(a): GABARITO 01 – TANGENTE

1ª Prova Parcial Data: 20 de Outubro de 2017

Curso: Licenciatura em Matemática Período: 2017/2

Critérios de Avaliação:

Não é permitido fazer perguntas a respeito da resolução da prova ao professor.

O Aluno só poderá entregar a prova 60 minutos após o início da mesma.

Essa avaliação é individual e sem consulta.

Somente os espaços que sobram abaixo de cada questão e o verso desta folha poderão ser usados como rascunhos.

Todas as respostas devem ser colocadas à caneta na coluna 2 ao lado das perguntas.

É proibido o uso de aparelhos celulares ou similares.

Todo material do aluno é de uso individual, sendo proibido qualquer tipo de empréstimo.

QUESTÕES RESPOSTAS À CANETA

01. (vale 0,5 ponto cada item) Sobre a função

tangente: qual o domínio? qual a imagem? qual o

período? qual a paridade? ela é bijetiva? Esboce

seu gráfico. Reduza ao primeiro quadrante

tg 2017º. Justifique. (Use o espaço abaixo somente

para rascunhos. A resposta, clara e sucinta, deve

ser colocada na coluna ao lado)

Obs.: Use as definições das funções seno e cosseno.

i) Domínio ; ,2

x x k k

ii) Imagem

iii) Período

Justificativa:

,cos cos

sen x k senxtg x k tgx x

x k x

iv) Paridade: ( x ) ímpar ( ) par

Justificativa:

,cos cos

sen x senxtg x tgx x

x x

v) É bijetiva: ( ) sim ( x ) não

Justificativa:

Ela não é injetiva, pois

2 0tg tg

mas, 2 .

vi) tg 2017º = 37ºtg

Justificativa:

2017º 37º 11 180ºtg tg

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA

ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM

www.matematicamonteiro.com

vii) Gráfico:

02. (vale 2,5 pontos) Sendo 2 2

2 2z i ,

calcular o valor de 2 3 20231 z z z z .

Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A

solução clara e sucinta deve ser colocada na

coluna ao lado.

Prova: Como

2 21 cos

2 2 4 4z i i sen

então

2024 cos 506 506

1.

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2 3 2023 11

1

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03. (vale 2,0 pontos) Prove que

2 3 1cos cos cos

7 7 7 2

.

Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A

demonstração clara e sucinta deve ser colocada na

coluna ao lado.

Prova: Sendo

2 3 5 3cos cos cos cos cos cos

7 7 7 7 7 7

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então

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Portanto, 17

22

7

senL

sen

.

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ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS

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www.matematicamonteiro.com

04. (vale 2,0 pontos) Seja z uma raiz da

função polinomial

1

1 1 0

n n

n nf x a x a x a x a

de coeficientes naa ,,0 reais.

a) Prove que z também é uma raiz de f ;

b) Se 1 2017 2018f i i , então qual o valor

de 1 ?f i Justifique.

Somente para quem não defendeu questões na

lousa!

a) Prova:

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Se

1

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então

1

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Justificativa:

Seja z . Na demonstração acima percebemos que é válida a

identidade

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Assim, fazendo-se

1z i

temos

1 2017 2018

2017 2018 .

f i i

i

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA

ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM

www.matematicamonteiro.com

Disciplina: Matemática Elementar 2 Valor Total: 10,0

Prof.: Alessandro Monteiro

Aluno(a): GABARITO 02 – COTANGENTE

1ª Prova Parcial Data: 20 de Outubro de 2017

Curso: Licenciatura em Matemática Período: 2017/2

Critérios de Avaliação:

Não é permitido fazer perguntas a respeito da resolução da prova ao professor.

O Aluno só poderá entregar a prova 60 minutos após o início da mesma.

Essa avaliação é individual e sem consulta.

Somente os espaços que sobram abaixo de cada questão e o verso desta folha poderão ser usados como rascunhos.

Todas as respostas devem ser colocadas à caneta na coluna 2 ao lado das perguntas.

É proibido o uso de aparelhos celulares ou similares.

Todo material do aluno é de uso individual, sendo proibido qualquer tipo de empréstimo.

QUESTÕES RESPOSTAS À CANETA

01. (vale 0,5 ponto cada item) Sobre a função

cotangente: qual o domínio? qual a imagem? qual

o período? qual a paridade? ela é bijetiva? Esboce

seu gráfico. Reduza ao primeiro quadrante

cotg2017º. Justifique. (Use o espaço abaixo

somente para rascunhos. A resposta, clara e

sucinta, deve ser colocada na coluna ao lado)

Obs.: Se precisar, use as definições das funções

seno e cosseno.

i) Domínio ; ,x x k k

ii) Imagem

iii) Período

Justificativa:

cos coscot cot ,

x k xg x k gx x

sen x k senx

iv) Paridade: ( x ) ímpar ( ) par

Justificativa:

cos cos,

s

x xcotg x cotgx x

en x senx

v) É bijetiva: ( ) sim ( x ) não

Justificativa:

Ela não é injetiva, pois

30

2 2cotg cotg

mas, 3

2 2

.

vi) cotg 2017º = 37ºcotg

Justificativa:

2017º 37º 11 180ºcotg cotg

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA

ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM

www.matematicamonteiro.com

vii) Gráfico:

02. (vale 2,5 pontos) Sendo 2 2

2 2z i ,

calcular o valor de 2 3 20231 z z z z .

Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A

solução clara e sucinta deve ser colocada na

coluna ao lado.

Prova: Como

2 21 cos

2 2 4 4z i i sen

então

2024 cos 506 506

1.

z i sen

Logo 2024

2 3 2023 11

1

1 10.

cos 14 4

zz z z z

z

i sen

03. (vale 2,0 pontos) Prove que

2 3 1cos cos cos

7 7 7 2

.

Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A

demonstração clara e sucinta deve ser colocada na

coluna ao lado.

Prova: Sendo

2 3 5 3cos cos cos cos cos cos

7 7 7 7 7 7

3 5cos cos cos

7 7 7

L

então

2 3 52 2 cos 2 cos

7 7 7 7 7 7

2 4 2 6 4

7 7 7 7 7

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.7

sen L sen sen sen

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sen

sen

sen

Portanto, 17

22

7

senL

sen

.

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www.matematicamonteiro.com

04. (vale 2,0 pontos) Seja z uma raiz da

função polinomial

1

1 1 0

n n

n nf x a x a x a x a

de coeficientes naa ,,0 reais.

a) Prove que z também é uma raiz de f ;

b) Se 1 2017 2018f i i , então qual o valor

de 1 ?f i Justifique.

Somente para quem não defendeu questões na

lousa!

a) Prova:

a)

Se

1

1 1 0 0n n

n nf z a z a z a z a

então

1

1 1 0

1

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1 2017 2018f i i

Justificativa:

Seja z . Na demonstração acima percebemos que é válida a

identidade

.f z f z

Assim, fazendo-se

1z i

temos

1 2017 2018

2017 2018 .

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www.matematicamonteiro.com

Disciplina: Matemática Elementar 2 Valor Total: 10,0

Prof.: Alessandro Monteiro

Aluno(a): GABARITO 03 - SECANTE

1ª Prova Parcial Data: 20 de Outubro de 2017

Curso: Licenciatura em Matemática Período: 2017/2

Critérios de Avaliação:

Não é permitido fazer perguntas a respeito da resolução da prova ao professor.

O Aluno só poderá entregar a prova 60 minutos após o início da mesma.

Essa avaliação é individual e sem consulta.

Somente os espaços que sobram abaixo de cada questão e o verso desta folha poderão ser usados como rascunhos.

Todas as respostas devem ser colocadas à caneta na coluna 2 ao lado das perguntas.

É proibido o uso de aparelhos celulares ou similares.

Todo material do aluno é de uso individual, sendo proibido qualquer tipo de empréstimo.

QUESTÕES RESPOSTAS À CANETA

01. (vale 0,5 ponto cada item) Sobre a função

secante: qual o domínio? qual a imagem? qual o

período? qual a paridade? ela é bijetiva? Esboce

seu gráfico. Reduza ao primeiro quadrante

sec2170º . Justifique. (Use o espaço abaixo

somente para rascunhos. A resposta, clara e

sucinta, deve ser colocada na coluna ao lado)

Obs.: Se precisar, use as definições das funções

seno e cosseno.

i) Domínio ; ,2

x x k k

ii) Imagem , 1 1,

iii) Período 2

Justificativa:

1 1sec 2 sec ,

cos 2 cosx k x x

x k x

iv) Paridade: ( ) ímpar ( x ) par

Justificativa:

1 1

sec sec ,cos cos

x x xx x

v) É bijetiva: ( ) sim ( x ) não

Justificativa:

Ela não é injetiva, pois

sec 0 sec 2 1

mas, 0 2 .

vi) sec2170º = sec10º

Justificativa:

sec2170º sec 10º 6 360º

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA

ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM

www.matematicamonteiro.com

vii) Gráfico:

02. (vale 2,5 pontos) Sendo 2 2

2 2z i ,

calcular o valor de 2 3 20231 z z z z .

Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A

solução clara e sucinta deve ser colocada na

coluna ao lado.

Prova: Como

2 21 cos

2 2 4 4z i i sen

então

2024 cos 506 506

1.

z i sen

Logo 2024

2 3 2023 11

1

1 10.

cos 14 4

zz z z z

z

i sen

03. (vale 2,0 pontos) Prove que

2 3 1cos cos cos

7 7 7 2

.

Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A

demonstração clara e sucinta deve ser colocada na

coluna ao lado.

Prova: Sendo

2 3 5 3cos cos cos cos cos cos

7 7 7 7 7 7

3 5cos cos cos

7 7 7

L

então

2 3 52 2 cos 2 cos

7 7 7 7 7 7

2 4 2 6 4

7 7 7 7 7

6

7

7

.7

sen L sen sen sen

sen sen sen sen sen

sen

sen

sen

Portanto, 17

22

7

senL

sen

.

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ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM

www.matematicamonteiro.com

04. (vale 2,0 pontos) Seja z uma raiz da

função polinomial

1

1 1 0

n n

n nf x a x a x a x a

de coeficientes naa ,,0 reais.

a) Prove que z também é uma raiz de f ;

b) Se 1 2017 2018f i i , então qual o valor

de 1 ?f i Justifique.

Somente para quem não defendeu questões na

lousa!

a) Prova:

a)

Se

1

1 1 0 0n n

n nf z a z a z a z a

então

1

1 1 0

1

1 1 0

1

1 1 0

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b)

1 2017 2018f i i

Justificativa:

Seja z . Na demonstração acima percebemos que é válida a

identidade

.f z f z

Assim, fazendo-se

1z i

temos

1 2017 2018

2017 2018 .

f i i

i

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA

ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM

www.matematicamonteiro.com

Disciplina: Matemática Elementar 2 Valor Total: 10,0

Prof.: Alessandro Monteiro

Aluno(a): GABARITO 04 – COSSECANTE

1ª Prova Parcial Data: 20 de Outubro de 2017

Curso: Licenciatura em Matemática Período: 2017/2

Critérios de Avaliação:

Não é permitido fazer perguntas a respeito da resolução da prova ao professor.

O Aluno só poderá entregar a prova 60 minutos após o início da mesma.

Essa avaliação é individual e sem consulta.

Somente os espaços que sobram abaixo de cada questão e o verso desta folha poderão ser usados como rascunhos.

Todas as respostas devem ser colocadas à caneta na coluna 2 ao lado das perguntas.

É proibido o uso de aparelhos celulares ou similares.

Todo material do aluno é de uso individual, sendo proibido qualquer tipo de empréstimo.

QUESTÕES RESPOSTAS À CANETA

01. (vale 0,5 ponto cada item) Sobre a função

secante: qual o domínio? qual a imagem? qual o

período? qual a paridade? ela é bijetiva? Esboce

seu gráfico. Reduza ao primeiro quadrante

c c2170ºs . Justifique. (Use o espaço abaixo

somente para rascunhos. A resposta, clara e

sucinta, deve ser colocada na coluna ao lado)

Obs.: Se precisar, use as definições das funções

seno e cosseno.

i) Domínio ; ,x x k k

ii) Imagem 1,1

iii) Período 2

Justificativa:

1 1c c 2 c c ,

2s x k s x x

sen x k senx

iv) Paridade: ( x ) ímpar ( ) par

Justificativa:

1 1

c c c c ,s

s x s x xen x senx

v) É bijetiva: ( ) sim ( x ) não

Justificativa:

Ela não é injetiva, pois

5c c c c 2

6 6s s

mas, 5

6 6

.

vi) c c2170ºs = c c10ºs

Justificativa:

c c2170º c c 10º 6 360ºs s

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA

ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM

www.matematicamonteiro.com

vii) Gráfico:

02. (vale 2,5 pontos) Sendo 2 2

2 2z i ,

calcular o valor de 2 3 20231 z z z z .

Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A

solução clara e sucinta deve ser colocada na

coluna ao lado.

Prova: Como

2 21 cos

2 2 4 4z i i sen

então

2024 cos 506 506

1.

z i sen

Logo 2024

2 3 2023 11

1

1 10.

cos 14 4

zz z z z

z

i sen

03. (vale 2,0 pontos) Prove que

2 3 1cos cos cos

7 7 7 2

.

Use o espaço abaixo somente para rascunhos. A

demonstração clara e sucinta deve ser colocada na

coluna ao lado.

Prova: Sendo

2 3 5 3cos cos cos cos cos cos

7 7 7 7 7 7

3 5cos cos cos

7 7 7

L

então

2 3 52 2 cos 2 cos

7 7 7 7 7 7

2 4 2 6 4

7 7 7 7 7

6

7

7

.7

sen L sen sen sen

sen sen sen sen sen

sen

sen

sen

Portanto, 17

22

7

senL

sen

.

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA

ESCOLA NORMAL SUPERIOR - ENS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DM

www.matematicamonteiro.com

04. (vale 2,0 pontos) Seja z uma raiz da

função polinomial

1

1 1 0

n n

n nf x a x a x a x a

de coeficientes naa ,,0 reais.

a) Prove que z também é uma raiz de f ;

b) Se 1 2017 2018f i i , então qual o valor

de 1 ?f i Justifique.

Somente para quem não defendeu questões na

lousa!

a) Prova:

a)

Se

1

1 1 0 0n n

n nf z a z a z a z a

então

1

1 1 0

1

1 1 0

1

1 1 0

1

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b)

1 2017 2018f i i

Justificativa:

Seja z . Na demonstração acima percebemos que é válida a

identidade

.f z f z

Assim, fazendo-se

1z i

temos

1 2017 2018

2017 2018 .

f i i

i