v.a con

Aula de Exerccios - Variaveis Aleatorias Contnuas

Aula de Exerccios - Variaveis AleatoriasContnuas

Organizacao: Airton Kist Digitacao: Guilherme Ludwig


Introducao

Exemplo

Dada a funcao

f (x) =

{0 se x < 0

2e2x se x 0

(a) Mostre que esta e uma f.d.p.

(b) Calcule a probabilidade de X > 10.

Fonte: Morettin & Bussab, Estatstica Basica 5a edicao, pag 166.


Introducao

(a) Uma f.d.p. deve satisfazer as seguintes propriedades:

(i) f (x) 0 para todo x R.(ii)

f (x)dx = 1

Note que ex e positiva para qualquer x , e consequentemente2e2x . Resta mostrar que sua integral e 1. Mas sabemos aantiderivada de 2e2x :

2e2xdx = e2x


Introducao

(a) (cont.) Note que a funcao esta definida para x 0; parax < 0, ela e 0. Entao a integral e

f (x)dx =

0

0dx +

0

2e2xdx =

=[e2x]

0= lim

xe2x (e0) = 1

(b) A probabilidade e dada por:

P(X > 10) =

10

2e2xdx = limxe

2x (e210) = 1e20


Introducao

Exemplo

Uma variavel aleatoria X tem distribuicao triangular no intervalo[0, 1] se sua f.d.p. for dada por

f (x) =

0 se x < 0

Cx se 0 x 1/2C (1 x) se 1/2 x 1

0 se x > 1

(a) Qual valor deve ter a constante C?

(b) Faca o grafico de f (x).

(c) Determine P(X 1/2), P(X > 1/2) e P(1/4 X 3/4).Fonte: Morettin & Bussab, Estatstica Basica 5a edicao, pag 166.


Introducao

(a) Devemos escolher C de modo que f (x) satisfaca

(i) f (x) 0 para todo x R.(ii)

f (x)dx = 1

Por (i), temos que C > 0. Agora, para que C satisfaca (ii),devemos integrar f (x):

f (x)dx =

0

0dx +

1/20

Cxdx +

11/2

C (1x)dx +

10dx

= C

1/20

xdx+C

11/2

(1x)dx = C([

x2

2

]1/20

+

[x x

2

2

]11/2

)

= C

(1

8+ 1 1

2 1

2+

1

8

)= C 1

4 C deve ser igual a 4.


Introducao

(b) O grafico de f (x) e dado por:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

0.5

1.0

1.5

2.0f HxL


Introducao

(c) Para encontrarmos as probabilidades dos eventos, bastaintegrar nas regioes correspondentes:

P(X 1/2) = 1/2

0f (x)dx =

1/20

4xdx = 1/2

Note que P(X > 1/2) = 1 P(X 1/2) = 1 1/2 = 1/2.

P(1/4 X 3/4) = 3/4

1/4f (x)dx

=

1/21/4

4xdx +

3/41/2

4(1 x)dx = 34


Media, Variancia & Funcao de Distribuicao Acumulada

Exemplo

Calcule a esperanca, a variancia e a f.d.a. da variavel aleatoria Xcom a densidade triangular em [0, 1].Fonte: Morettin & Bussab, Estatstica Basica 5a edicao, pag 171.



Basta aplicar as definicoes de valor esperado e variancia:

E(X ) =

xf (x)dx =

1/20

4x2dx +

11/2

4x(1 x)dx

=

[4x3

3

]1/20

+

[2

3x2(3 2x)

]11/2

=1

2



Var(X ) =

(x E(X ))2f (x)dx =

1/20

4

(x 1

2

)2xdx +

11/2

4

(x 1

2

)2(1 x)dx =

[x4 4

3x3 +

1

2x2]1/2

0

+

[x4 + 8

3

3

52

x2 + x

]11/2

=1

24



Exemplo

Considere que a variavel aleatoria X tem f.d.p.

f (x) =

{3x2 se 1 x 0

0 caso contrario

(a) Se b for um numero que satisfaz 1 < b < 0, calculeP(X > b|X < b/2).

(b) Calcule E(X ) e Var(X ).




(a) Queremos P(X > b|X < b/2). Por definicao,

P(X > b|X < b/2) = P(X > b,X < b/2)P(X < b/2)

=P(b < X < b/2)

P(X < b/2)

onde o evento {X > b,X < b/2} = {X > b} {X < b/2},da a segunda igualdade. Basta agora encontrar asprobabilidades:

P(b < X < b/2) =

b/2b

3x2dx =[x3]b/2b

=b3

8 b3

P(X < b/2) =

b/21

3x2dx =[x3]b/21 = 1 +

b3

8



(a) (cont.) Note que b e negativo mas maior que -1, entao1 + b3/8 [0, 1]. Temos portanto:

P(X > b|X < b/2) = P(b < X < b/2)P(X < b/2)

=b3

8 b31 + b

3

8

(b) Aplicando a definicao:

E(X ) = 01

3x3dx =3

4

[x4]01 =

3

4

Var(X ) =

01

3

(x +

3

4

)2x2dx =

3

80



Exemplo

A demanda diaria de arroz num supermercado, em centenas dequilos, e uma v.a. com f.d.p.

f (x) =

0 se x < 0

2x/3 se 0 x < 1x/3 + 1 se 1 x < 3

0 se x > 3



Exemplo (cont.)

(a) Qual a probabilidade de se vender mais do que 150 kg, numdia escolhido ao acaso?

(b) Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?

(c) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada a`disposiocao dos clientes diariamente para que nao falte arrozem 95% dos dias?




(a) Basta integrar a funcao no intervalo adequado. Temos que150kg e 1,5 em centenas de quilos, logo o evento que nosinteressa e {X > 1,5}.

P(X > 1,5) =

31,5

1 x3

dx =

[x x

2

6

]31,5

= 0,375

(b) Seja X1,X2, . . . ,X30 os trinta dias, independentes eidenticamente distribuidos, entao

E

(30i=1

Xi

)=

30i=1

E (Xi )



(b) (cont.) Mas E (Xi ) e dada por:

E (Xi ) = 1

0

2

3x2dx +

31

x(

1 x3

)dx =

4

3

Da temos que

E

(30i=1

Xi

)= 30 4

3= 40

Portanto o supermercado vende, em media, 4 toneladas dearroz por mes.



(c) Queremos uma quantidade de arroz m que satisfacaP(X < m) = 0,95, isto e

m0 f (x) = 0,95

m0

f (x) =

1/3 10

2

3xdx +

m1

(1 x

3

)dx = 0,95

m1

(1 x

3

)dx =

37

60 m

2

6+ m 5

6=

37

60



(c) (cont.) vemos portanto que a quantidade m e uma das razesda equacao de segundo grau:

m2 6m + 8710

= 0

que tem solucoes 0,1 (3030) e 0,1 (30 +30), ouaproximadamente 2,45228 e 3,54772. Como a variavelaleatoria esta definida em x [0, 3] e e zero fora do intervalo,tomamos a primeira solucao, m = 2,45228.

Logo o supermercado precisa de aproximadamente 245kg dearroz para que nao falte arroz em 95% dos dias.



Exemplo

Suponha que X tenha f.d.p dada por

f (x) =

{0 se x < 0

2e2x se x 0Calcule E(X ) e Var(X ).Fonte: Morettin & Bussab, Estatstica Basica 5a edicao, pag 172.



Basta aplicar a definicao. Note que devemos utilizar integracao porpartes para determinar a antiderivada:

E(X ) =

xf (x)dx =

0

2xe2xdx

Tomando u = x e dv = 2e2xdx , temos du = dx e v = e2x , ea

02xe2xdx =

[xe2x]0

0e2xdx



Ou seja 0

2xe2xdx = limx xe

2x +

0e2xdx

Posto que limx xe2x e 0, temos

E(X ) =

02xe2xdx =

0

e2xdx =1

2

[e2x]0

=1

2



Para a variancia, novamente aplicamos a definicao:

Var(X ) =

(x E(X ))2f (x)dx =

0

(x 1

2

)22e2xdx

0

(x 1

2

)22e2xdx =

0

2x2e2x 2xe2x + 24

e2xdx

=

0

2x2e2xdx

=E(X )=1/2 0

2xe2xdx +

=1/4 0

1

2e2xdx



Queremos integrar =

0 2x2e2xdx por partes. Note que u = x2 e

dv = 2e2xdx , ento du = 2xdx e v = e2x , logo 0

2x2e2xdx =[x2e2x]

0

02xe2xdx

0

2x2e2xdx = limxx

2e2x + E(X ) =1

2

E portanto

Var(X ) =1

2 1

2+

1

4=

1

4=

1

22



Uma observacao: a variavel aleatoria X com densidadef (x) = ex , com > 0, e dita ter distribuicao exponencial comparametro . A notacao e X exp().

Se X exp(), entao

E(X ) =1

e Var(X ) =

1

2


Uma Aplicacao

Exemplo

Numa determinada localidade, a distribuicao de renda (emmilhares de reais) e uma v.a. X com f.d.p.

f (x) =

0 se x < 0

110 x +

110 se 0 x 2

340 x + 920 se 2 < x 60 se x > 6


Uma Aplicacao

Exemplo (cont.)

(a) Qual a renda media nessa localidade?

(b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de suarenda ser superior a $3.000,00?

(c) Qual a mediana da variavel?



Uma Aplicacao

(a) Aplicando a definicao de media:

E(X ) = 2

0x

(1

10x +

1

10

)dx +

62

x

(9

20 3

40x

)dx =

37

15

Ou seja, a renda media e de $2.466,66.

(b) Queremos P(X > 3), basta tomarmos a integral na regiaocorrespondente ao evento:

P(X > 3) =

63

(9

20 3

40x

)dx =

27

80= 0,3375


Uma Aplicacao

(c) A mediana de uma variavel aleatoria contnua e m, solucao daequacao m

f (x)dx = 0,5

Ou, considerando a funcao de distribuicao acumulada,m = F1(0,5). Note primeiro que P(X [0, 2]) e dada por

P(X [0, 2]) = 2

0

1

10x+

1

10dx =

[x2

20+

x

10

]20

=4

20+

2

10=

2

5


Uma Aplicacao

(c) (cont.) P(X [0, 2]) = 2/5 nos diz que F (x) nao acumulou0,5 ate 2; de fato, F (2) = 2/5. Entao a mediana esta nointervalo [2, 6]. Queremos portanto solucionar a equacao

2

5+

m2

(9

20 3

40x

)dx =

1

2[9x

20 3x

2

80

]m2

=1

2 2

5

3m2

80+

9m

20 18

20+

12

80 1

10= 0


Uma Aplicacao

(c) Temos finalmente que a mediana e a solucao factvel daequacao

3m2 + 36m 68 = 0Que tem razes m1 = 2/3(9

30) e m2 = 2/3(9 +

30), ou

aproximadamente 2,35 e 9,65, respectivamente. Como so aprimeira raiz esta no intervalo em que a densidade e diferentede zero, e de fato F (2,35) = 0,5 enquanto F (9,65) = 1,temos que

Mediana(X ) = 2,35

v.a con

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probabilidade de x

funcaof x

x satisfacai

definida para x

x 02e2x

x b2px b2

dada porf x

cx22120 x x22112