Value Efficiency Analysis -menetelmä ja sovellusMat-2.4142 Optimointiopin seminaariKevät 2013

Esitelmä #6Tuomas Lahtinen

Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Sisältö

• Johdanto• Arvofunktio, mieluisin DMU• Arvojen huomioonotto tehokkuusanalyysissä: VEA-

menetelmä• VEA-menetelmän sovellus yliopisto-osastojen

tehokkuuden arvoinnissa

Johdanto• CCR- ja BCC-menetelmillä estimoidaan tehokkuusrintama (=mihin

pystytään) annetun DMU-joukon perusteella• CCR-menetelmässä oletetaan vakioskaalatuotot ja BCC-

menetelmässä ei• Menetelmissä DMU:n tehokkuus lasketaan suhteena: etäisyys

origosta/referenssipisteen etäisyys origosta• Selville saadaan myös kunkin DMU:n referenssijoukko, joka voi olla

hyödyllinen mahdollisia tehokkuusparannuksia mietittäessä• Tehokkuuslukujen käyttäminen DMU:iden ränkkäämiseen on

kuitenkin kyseenalaista. • Esim. a:n tehokkuus on 0.6, b:n tehokkuus on 0.4. Kuitenkin on

mahdollista, että DM preferoi b:n CCR-projektiota a:n CCR-projektioon huomattavasti: esim. ”vaihtaisin kaksi a:n CCR-projektiota yhteen b:n CCR-projektioon”.

Arvofunktio• Olkoon DMU j:n tuotokset ja panokset• Kompaktiuden vuoksi merkitään • Olkoon päätöksentekijän (DM) arvofunktio yli kaikkien

DMU:iden

Most preferred solution (MPS)

• Merkitään DEA-menetelmän tehokkuusrintaman ja koordinaattiakselien rajaamaa aluetta symbolilla T

• Huom. Alueen muotoon vaikuttaa DMU:iden lisäksi oletus skaalatuotoista (DEA vai BCC-malli)

• Olkoon päätöksentekijän kannalta mieluisin DMU (MPS), eli se DMU joka maksimoi arvofunktion alueen T sisällä: .

• voidaan määrittää esimerkiksi jollain interaktiivisella monitavoiteoptimointimenetelmällä, kuten Pareto-race (Korhonen ja Wallenius 1988)

Arvotehokkuus• Olkoon u* MPS. Piste u on arvotehokas, joss sille pätee .

Kuvassa olevan DMU a:n arvotehokkuus määräytyy vastauksena kysymykseen: kuinka paljon sen tuotoksia tulee skaalata, jotta päädytään pisteeseen, jonka arvo on sama, kuin MPS-pisteen.

Eli , joka toteuttaa ehdot

• Kuvasta voi huomata, että a:n ja b:n CCR-tehokkuudet ovat lähellä toisiaan, mutta arvotehokkuuksissa ero on suurempi

Approksimaatio arvotehokkuudeen määrittämiseksi• Jos arvofunktio tunnettaisiin, niin DMU:ille voisi suoraan laskea

arvot kuvaamaan niiden mieluisuutta• Käytännössä oletetaan, että v:tä, eikä sen u*-kautta kulkevaa

indifferenssikäyrää tunneta, oletetaan kuitenkin v pseudokonkaaviksi

• Arvotehokkuudenlaskentamallissa lasketaan ylärajat arvotehokkuuksille, käyttämällä tarkan arvofunktion sijaan käyvän alueen tangentteja kohdassa u*

CCR-DEA, 2 output, 1 input u* kahden todellisen DMU:n välissä

CCR-DEA, 2output, 1 input, u* = a

u*

• Alla olevissa kuvissa arvotehokkuuden määrittäminen, kun skaalatuottoja koskevat oletukset ovat BCC-mallin mukaiset

• Punaisen katkoviivan sisäänsä sulkevaa aluetta kutsutaan tangenttikartioksi

u*

CCR ja BCC kertaus• Olkoon X panosmatriisi ja Y tuotosmatriisi• DEA-malleissa tuotantomahdollisuusjoukon reuna on

joukko – CCR-DEA:ssa lambdat ovat ei-negatiivisia– BCC-mallissa lambdat lisäksi summautuvat yhdeksi

• CCR ja BCC duaaleissa yksikön o tehokkuus voidaan selvittää etsimällä skaalauskerrointa, jolla kyseisen yksikön projektio on tuotantomahdollisuusjoukon reunalla.

VEA-optimointimalli• VEA-malli voidaan ratkoa etsimällä skaalausta tuotoksille siten, että

ollaan tangenttikartion reunalla, tangenttikartion reunaan päästään käsiksi, kun mallissa osa painoista rajoittamattomia

• =0 ja slackit nollassa, jos kyseessä on VEA-tehokas yksikkö

𝑠 .𝑡 .𝒀 𝝀=(σ+1)𝐲+𝐬+¿¿

𝑿 𝝀=𝒙 −𝒔−

, 𝜆 𝑗≥0 , 𝑗𝑜𝑠 𝜆 𝑗

∗=0 , 𝑗=1 ,2 ,…,𝑛 vastaa MPS:ää

=1 (CCR:ssä ei tätä rajoitetta)

xC:lle 1

LaskuesimerkkiDMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 DMU6

Output 1 4 7 9 12 8

Input 3 3 5 7 11 10

0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Input

Out

put

5 = (14-12)/12 =

1/3

𝒔 .𝒕 .1 𝜆1+4 𝜆2+7 𝜆3+9 𝜆4+12 𝜆5+8 𝜆6=(σ+1 )12+s+¿ ¿

3 𝜆1+3 𝜆2+5 𝜆3+7𝜆4+11 𝜆5+10 𝜆6=11−𝑠−

, 𝜆1+𝜆2+𝜆3+𝜆4+𝜆5+𝜆6=1

𝜆1,4,5,6≥0

DMU5 tehokkuus:

𝜆2=−3 ,𝜆4=4

Sovellus: VEAn käyttö akateemisen tutkimuksen tehokkuusanalyysissä• Taustakysymys: Kuinka mitata akateemisen tutkimuksen

tehokkuutta?• Korhonen et al. (2001) paperissa tutkitaan kauppakorkeakoulun

osastojen tehokkuutta.• Lähestymistapa seuraavanlainen:

1. Muodostetaan mitattavat kriteerit ja mitta-asteikot2. Kerätään osastoja koskeva data, jonka avulla kriteerikohtaiset

pistemäärät voidaan laskea3. VEA-pisteiden lasku (MPS ratkaistaan Pareto-race menetelmällä)

1. Kriteeristön muodostaminen• Aikaisemmin HSE:llä ei ole ollut käytössä selkeitä rahoituksenjako

kriteereitä. Aiemmin mm. julkaisuja ei ränkätty foorumin perusteella• Tutkimuksen ensimmäinen vaihe oli mittareiden muodostaminen,

joilla kriteereissä pärjäämistä voitaisiin mitata• Yhdessä HSE:n edustajien kanssa ylätason kriteereitä identifoitiin

viisi, lisäksi etsittiin indikaattoreita, joilla kriteereissä pärjäämistä mitataan

Tutkimuksen laatuTutkimusaktiivisuus

Tutkimuksen vaikuttavuus

Aktiivisuus nuorien tieteentekijöiden koulutuksessa

Aktiivisuus tieteellisessä yhteisössä Quality-pisteet: w1*20 + w2*50 + w3*250

MPS:n etsiminen

VEA:n soveltaminen• Osastoille tehtiin tuotosorientoitunut (BCC ja

tangenttikartioprojektiot etsittiin skaalamalla tuotoksia) BCC ja VEA-analyysi

Yhteenveto• DEA-tehokkuuslukujen käyttäminen DMU:iden

ränkkäämiseen voi olla ongelmallista, sillä ne eivät huomioi päätöksentekijän mieltymyksiä

• VEA-menetelmässä päätöksentekijän preferenssit otetaan huomioon määrittämällä MPS ja laskemalla tehokkuusluvut projisoimalla DMU:t DEA-mallin tehokkuusrintaman sijaan MPS:ää vastaavalle ”tangenttikartiolle”

• Mutta miksi juuri VEA-menetelmä, eikä esimerkiksi päätösanalyysi?

Kiitos!

Viitteet:• Halme, M., Joro, T., Korhonen, P., Wallenius, J., 1999. A Value

Efficiency Approach to Incorporating Preference Information in Data Envelopment Analysis, Management Science 45/1, s. 103-115.

• Korhonen, P., Wallenius, J., 1988. A Pareto Race. Naval Research Logistics 35, 615-623.

• Korhonen, P., Tainio, R., Wallenius, J., 2001. Value effciency analysis of academic research, European Journal of Operational Research 130/1, s. 121-132.

Kotitehtävä 6

Perustele seuraava väite todeksi tai epätodeksi sanallisesti tai kuvan avulla tai kaavoin:

VEA-mallin tuottaman tehokkuusluvun (tehokkailla 0) ja vastaavan DEA-mallin tehokkuusluvun (tehokkailla 1) välillä pätee seuraava epäyhtälö