1. : - -. ~ . .~ '. ,. ,.., . ~ I ~ .. -, ~ .. "..-'l." I ,"' " ..~~~ ~~l~ . .'.:L " ",. t~~~l~J~ "~. ~t~~t ~~~~ ~ ~~~~~t ~l~~,R. ~USTtR l. GIMtNtl. . . tDITORIAl RtVtRT, S,A .l' .

2. http://carlos2524.jimdo.com/ 3. http://carlos2524.jimdo.com/~ - - -- - 4. http://carlos2524.jimdo.com/ 5. http://carlos2524.jimdo.com/,R. ~USTtR l. GIMtNtlDepartamento de Matemtica AplicadaUniversitat Politecnica de ValenciaEDITORIAL REVERT, S.A.Barcelona-Bogot-Buenos Aires-Caracas-Mxico 6. http://carlos2524.jimdo.com/Propiedad de:EDITORIAL REVERT, S.A.Loreto, 13-15, Local B08029 BarcelonaReservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquiermedio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico,y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos, queda rigurosamenteprohibida, sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo lassanciones establecidas por las leyes.Edicin en espaol EDITORIAL REVERT, S.A., 1995Impreso en Espaa - Printed in Spain R. FUSTER, l. GIMNEZISBN - 84 - 291 - 5032 - 3Depsito Legal: B - 10558 - 1995Impreso por LlBERGRAF, S.L.Constitucin 19, interior (Can Batll)08014 BARCELONA 7. Prlogohttp://carlos2524.jimdo.com/Aunque es imposible ofrecer un curso que se adapte totalmente a losplanes de estudio de cada una de las carreras tcnicas, es evidente que lasecuaciones diferenciales ordinarias y la variable compleja, en mayor o menormedida, forman parte fundamental de los contenidos de las asignaturas dematemtica aplicada de todas ellas. Pretendemos que este texto sirva debase, apoyo o consulta, tanto al profesor como al estudiante de carreras deingeniera o ciencias que ya han cubierto al menos un primer curso de clculoy lgebra lineal.Nuestra intencin ha sido la de hacer un libro ameno, completo, pero 10ms conciso posible en cuanto a los contenidos: creemos que la mejor formade presentar un resultado -al menos en un libro de texto- no es casi nunca lams general. Tambin nos pemos propuesto mantener un razonable equilibrioentre el rigor y la intuicin, procurando desterrar el formalismo (rigor no esformalismo) que en muchas circunstancias slo les sirve a los estudiantespara oscurecer y hacer ininteligible aquello que era claro y perfectamentecompren si ble.Por otra parte, hemos intentado dar a nuestro texto una cierta originalidaden la presentacin de la materia, aunque somos conscientes de ladificultad de esta empresa en un tema tan bien conocido y sobre el que sehan escrito textos de gran calidad cientfica y pedaggica.Probablemente, la novedad ms aparente radica en una cierta violacinde la tradicin docente: que nosotros sepamos, tanto en las escuelas tcnicascomo en las facultades de ciencias o de matemticas, el estudio de lasecuaciones diferenciales ordinarias suele preceder al de la variable compleja.Esta tradicin est posiblemente justificada desde el punto de vista histricopero, a nuestro parecer, no 10 est desde una perspectiva didctica:por una parte, la teora de ecuaciones diferenciales presenta escollos difcilesde salvar sin el apoyo de la variable compleja (el primero de ellos puede serel tratamiento de las ecuaciones lineales con coeficientes analticos); por otrav 8. http://carlos2524.jimdo.com/VI Prlogoparte, es imposible fundamentar su estudio sin una cierta base de topologade espacios mtricos o de convergencia uniforme, 10 cual supone un grado deabstraccin considerablemente superior al que se requiere para una razonableintroduccin de la variable compleja (bsicamente, los prerrequisitos para talintroduccin consisten en un buen conocimiento del clculo infinitesimal deuna y dos variables reales).As pues, hemos alterado el orden clsico en la presentacin de la materia,desarrollando en primer lugar el estudio de las funciones de variablecompleja.De este modo, el texto constar de dos partes. La primera, la presente,constituye en s misma un curso de variable compleja.La segunda, en fase de preparacin, consistir en un curso de ecuacionesdiferenciales ordinarias complementado con temas relacionados con ellas y degran importancia en matemtica aplicada, como las ecuaciones en diferenciasy las transformadas de Lap1ace.Por razones de carcter didctico, este primer volumen se ha organizadoen tres bloques y dos apndices. El primero de estos bloques comienza conun captulo introductorio sobre las propiedades elementales de los nmeroscomplejos y contiene las propiedades acerca de sucesiones de nmeroscomplejos y de funciones complejas de variable compleja que pueden considerarsecomo la generalizacin lgica de las correspondientes propiedades enel contexto real.El segundo bloque constituye el cuerpo del texto y contiene los resultadosclsicos de la variable compleja. Hemos procurado ofrecer un tratamientomoderno, claro y elemental, evitando entrar en temas que podran resultarescabrosos para un alumno que toma su primer contacto con la teora. As,el lector no encontrar ninguna alusin a funciones multiformes (definimoscon precisin las determinaciones del logaritmo como distintas funcions uniformes)o a la topologa de los conjuntos simplemente conexos (a todos losefectos que nos incumben, el concepto de conjunto estrellado, perfectamenteclaro tanto intuitiva como analticamente, es suficiente).Finalmente, el tercer bloque se dedica al estudio de la convergencia uniformede sucesiones y series de funciones y de integrales paramtricas en elcampo complejo, finalizando con la aplicacin de los resultados obtenidos alestudio de las funciones r y f3 de Euler. Los dos apndices finales retomanel problema de la convergencia uniforme, ahora en el caso de la variable real.Su inclusin como tales apndices se justifica por varias razones. Por una 9. http://carlos2524.jimdo.com/Prlogo VIIparte, es obvio que los estudiantes a los que va dirigido el texto poseen distintosniveles de conocimiento del anlisis de una variable real y en concretono todos ellos han estudiado el problema de la convergencia uniforme (real).Por otra parte, nos parece muy interesante la comparacin de los resultadosen los dos casos (real y comp1ejo*). Finalmente, el conocimiento de las propiedadesbsicas de la convergencia uniforme (en variable real y compleja)va a ser imprescindible en la segunda parte de este libro.Un curso elemental de variable compleja podra estar constituido por losdos primeros bloques de este texto. Si se opta por el estudio de la convergenciauniforme, sugerimos la lectura previa al menos del primer apndice, yaque es aqu donde hemos intentado justificar las ideas intuitivas, dando porsentado en el captulo 11 que e11ector ya est familiarizado con el conceptode convergencia uniforme.En todo caso, si se ha de proseguir con el tratamiento de las ecuacionesdiferenciales es necesario, como ya se ha dicho, estudiar tambin el tercerbloque y los dos apndices.La estructura del texto (con la relativa salvedad de los dos apndicesfinales) es perfectamente lineal: cada captulo sucede de forma lgica al anteriory presupone ledos todos los que le preceden. Los captulos se dividenen secciones y ocasionalmente en subsecciones, con la intencin de hacer msaparente la estructura de la materia.Al final de cada uno de ellos el alumno encontrar una coleccin deejercicios y problemas, que van desde los ejercicios de clculo destinados ala consolidacin de las tcnicas estudiadas en el texto hasta los problemasque permiten a11ector interesado la profundizacin en la teora, pasando porotros problemas que se resuelven por aplicacin ms o menos directa de lateora o, que anticipan o sugieren el desarrollo posterior de la mismat . Losejercicios y problemas de cada captulo se clasifican, aproximadamente, enlas mismas secciones que ste.Tal vez la resolucin de algn problema puede presentar serias dificultades. En todo caso, no nos interesan los problemas difciles, S'no aquellos quetienen inters en s mismos, ya sea por los resultados que se obtienen o porlas tcnicas que se precisan para resolverlos.'Evidentemente, los autores pretenden convencer al lector de la excelencia de lavariable compleja.tHasta llegar al captulo 7 nos hemos dedicado a pers eguir a la funcin exponenciala travs de las sucesivas secciones de problemas. 10. lhttp://carlos2524.jimdo.com/VIII PrlogoEste texto es el resultado de un largo perodo de trabajo, costoso peromuy satisfactorio, porque nos ha obligado a estudiar en profundidad algunasobras, como las que citamos en la bibliografa, verdaderamente hermosas.Debemos, y lo hacemos con sumo placer, agradecer a nuestros compaerossus mltiples consejos y sugerencias (de todo tipo: cientficas, literarias oestticas). A editorial Revert que ha tenido la amabilidad de publicar estaobra. Y muy especialmente a nuestros amigos Antonio Marquina - que nosense variable compleja- y Josep H. Cans, Cristina Corral, Vicent delOlmo, Juan Carlos Ferrando y Josep Mas. Todos ellos han corregido errores,sugerido problemas y mejorado el texto en muchos aspectos.R.F. e I.G.VALENCIA, MAYO DE 1992 11. PrlogoNmeros complejos y funciones complejas1 Los nmeros complejos1.1. Los nmeros complejos: introduccin.1.2. Los nmeros complejos y el lgebra. .1.3. Los nmeros complejos y la geometra1.3.1. La forma polarEjercicios y problemas2 Sucesiones y series2.1. Sucesiones convergentes ... . ....... .2.2. Sucesiones divergentes y el punto del infinit.o2.3. Series de nmeros complejos.2.3.1. Series bilterasEjercicios y problemas3 Funciones complejas3.1. La topologa de ([: ..... . ...... .3.2. Funciones complejas de variable real .. .3.3. Funciones complejas de variable compleja3.4. El teorema fundamental del lgebraEjercicios y problemas . . . . . . . . . . .4 Funciones holomorfas4.1. La definicin de derivada .... . .4.2. Las condiciones de Cauchy-Riemann4.3. Propiedades de las derivadasEjercicios y problemas . . . . . . .IXIndicev335911162121232731323737384244475353545764http://carlos2524.jimdo.com/ 12. x In diceFunciones analticas5 La integral curvilnea5.1. Caminos ..... .5.2. La integral curvilnea. PrimitivasEjercicios y problemas . . . . . . . . .6 El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logartmicas6.1. El teorema de Cauchy-Goursat .... . .6.1.1. Conjuntos estrellados y primitivas6.2. Las funciones logartmicasEjercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . .7 Series de potencias. Funciones elementales7.1. Series de potencias complejas ...... .7.1.1. Derivacin de una serie de potencias7.2. Las funciones elementales .. .. . .7.2.1. La funcin . exponencial ... .7.2.2. Las funciones trigonomtricas7.2.3. Las funciones hip erblicas7.2.4. Potencias complejas7.3. Series de potencias bilterasEjercicios y problemas8 Funciones analticas8. 1. Funciones analticas ........ .8.1. 1. Indice de un camino cerrado.8.2. Funciones holomorfas en un abierto.8.2.1. La serie binmica ...... .8.3. Las consecuencias ..... . .... .8.3.1. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville .8.3.2. Principio de los ceros aislados8.3.3. Principio del mdulo mximo8.3.4. La regla de I'H6pitalEjercicios y problemas . . . . '. .9 Series de Laurent. El teorema de los residuos9.1. Serie de Laurent en un anillo . . . .9.2. Singularidades aisladas. Clasificacin9.3. El teorema de los residuosEjercicios y problemas7171788587879295101105106108113113116119119121123131132134139141145145147150151152157157165167173http://carlos2524.jimdo.com/ 13. Indice XI10 Aplicaciones del teorema de los residuos 17510.1.1. Integrales del tipo 1210.1. Clculo de integrales reales . . . . . . . 176" R(sent,cost)dt 1761+ 0010.1.3. Integrales del tipo :oo F(t) cos atdt : F(t) sen atdt 18210.1.4. Integrales de funciones con polos en el eje real . 18510.1.5. Integrales del tipo 1+0010.1.2. Integrales del tipo - 00 F(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . 178ta F(t)dt . . . 18910.2. Principio del argumento. Teorema de Rouch 192Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . .. 197Convergencia uniforme11 Sucesiones y series de funciones de variable compleja 20311.1. Convergencia puntual y uniforme . . . . . . 20311.1.1. El teorema de Morera . . . . . . . . 20511.1.2. Convergencia uniforme y derivacin 20611.2. Series de funciones 208Ejercicios y problemas . . . 21012 Integracin paramtrica 21512.1. Integrales paramtricas propias . . . . . . . . . 21512.2. Integrales paramtricas impropias. . . . . . . . 21912.2.1. Integrales impropias de primera especie 22012.2.2. Integrales paramtricas impropias de primera especie. 22112.2.3. Integrales paramt ricas impropias de segunda especie 22512.2.4. Integrales paramtricas impropias: caso general 227Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22813 Las funciones de Euler 23113.1. La funcin Gamma13.1.1. La funcin Gamma de variable real.13.1.2. Prolongacin analtica de Gamma13.2. La fun cin Beta ............ .13.3. Relacin entre las funciones (3 y r13.4. Aplicaciones de las funciones de Euler13.4.1. La frmula de Wallis ..13.4.2. La distribucin normal.Ejercicios y problemas . . . .231234238242246248248250251http://carlos2524.jimdo.com/ 14. http://carlos2524.jimdo.com/XII IndiceApndicesA Sucesiones y series de funciones real~s. Series de potencias 259A.l. Sucesiones de funciones . . .. . . . . . . . . . . . .... . 259A.l.l. Convergencia puntual y uniforme . . . . . . . . . . . 260A.1.2. Convergencia uniforme , continuidad e integrabilidad 264A.1.3. Convergencia uniforme y derivacin . .. .. ... . 266A.2. Series de funciones .. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267A.2.1. Criterios de convergencia uniforme para series de funciones 270A.3. Series de potenci'jg . . . . . . . . . . . 275A.3.1. Serie de Taylor de una funcin 280A.3.2. Teorema del lmite de Abel 284B ' Integrales paramtricas reales 287B.l. Integral paramtrica propia 288B.l.1. Extremos dependientes del parmetro 295B.2. Integral paramtrica impropia. . . . . . . . . 298B.2.1. Integrales paramtricas impropias de primera especie. 299B.2.2. Integrales paramtricas impropias de segunda especie 304B.2.3. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Lista de figuras 310Bibliografa 311Indice alfabtico 315 15. A Guillem i Claudia que han crescut amb aquest llibreI.G.http://carlos2524.jimdo.com/ 16. .. , ..http://carlos2524.jimdo.com/ 17. http://carlos2524.jimdo.com/Nmeros complejosy funciones complejas 18. http://carlos2524.jimdo.com/ 19. Captulo 1http://carlos2524.jimdo.com/Los nmeros complejosLos nmeros reales suelen introducirse, sea definindolos en formaaxiomtica, sea construyndolos a partir de los nmeros racionales,con el fin de asegurar la existencia de races cuadradas para todos losnmeros positivos, lo que resulta conveniente desde el punto de vistageomtrico, dado que el cuerpo de los nmeros racionales no es el idneopara medir longitudes. Ahora bien, los nmeros reales tambinresultan deficientes, al menos si adoptamos una postura algebrista, yaque, por ejemplo, no nos permiten extraer races cuadradas de nmerosnegativos. Como consecuencia de ello, sabemos que la ecuacinpolinmicaax2 + bx + c = Oslo puede resolverse (en lR) cuando b2 - 4ac 2: o. Para subsanar estadificultad, entre otras, se introducen los nmeros complejos.1.1. Los NMEROS COMPLEJOS: INTRODUCCINNuestro objetivo es ampliar el cuerpo lR de los nmeros reales de talmodo que obtengamos un conjunto de nmeros complejos, que representaremospor e, en el cual se puedan realizar las operaciones sumay producto y que stas tengan las mismas propiedades que en el casoreal: esto es, e deber ser un cuerpo conmutativo que contenga a lR.y queremos que en este cuerpo existan las races cuadradas de todoslos nmeros. El mtodo que vamos a seguir para ello es el de dar porsupuesto que dicho cuerpo existe y deducir as su estructura. 20. http://carlos2524.jimdo.com/4 Captulo 1: Los nmeros complejosDado que -1 no tiene raz cuadrada real, en e existir un nmero,que representaremos por i, que no es real y posee la propiedad siguiente:i 2 = -1. Como C es un cuerpo, debemos poder multiplicar ysumar i con todos los nmeros reales, de manera que expresiones comoa + bi debern tener sentido en C. En otras palabras, si a y b son dosn.meros reales, a + bi es un nmero complejo (ms tarde veremos cmono necesitaremos aadir ms nmeros al conjunto C).Consideremos entonces dos nmeros complejos de la forma a + bi yc + di Y veamos qu podemos decir sobre ellos.Es fundamental saber cundo a + bi = c + di: dado que C es uncuerpo conmutativo, aplicando las propiedades de esta estructura, tenemosquea + bi = c + dies equivalente aa - c = (d - b)i (1.1 )Ahora bien, si tuviramos b i= d, resultara: i = ~:::: ~, lo cual es imposibledado que i no es un nmero real. As pues, b = d Y entonces, de (1.1)se s~gue que a = c.Hemos, pues, obtenido as el primer resultado importante sobre losnmeros complejos:Sean a, b, c y d nmeros reales. Entonces, a + bi = c + di si y slosi a = c y b = d. *Volviendo a los dos nmeros a + bi Y e + di, pasemos a calcular susuma y su producto: teniendo en cuenta las propiedades conmutativay asociativa, obtenemos sin dificultad que(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)idonde podemos observar que se mantiene la estructura inicial de nmeroreal + nmero real xi; para el producto debemos trabajar un poco ms:*Si el lector considera que la anterior propiedad era evidente, le sugerimos queconsidere los nmeros racionales 1/2 y 3/6. 21. http://carlos2524.jimdo.com/Los nmeros complejos y el lgebra(a + bi)(c + di) ac + adi + hci + bdi2ac + (ad + bc)i - bd(ac - bd) + (ad + bc)i5Llegados a este punto, debemos observar una cuestin importante:la suma y el producto de dos nmeros de la forma a + bi son de laforma a + bi. Este detalle tampoco es una trivialidad, dado que nohemos supuesto todava que todos los nmeros complejos son de laforma a + bi. Sin duda, este es el momento apropiado, no slo parahacer tal suposicin, sino para convertirla en la definicin de C.1.2. Los NMEROS COMPLEJOS Y EL LGEBRADefinicin 1.1 Sea i un objeto cualquiera que no sea un nmero real.Un nmero complejo es cualquier expresin de la forma a + bi donda y b son nmeros reales. El conjunto de todos los nmeros complejosse representa por C, es decirC={a+bi a,b E IR}Se d,ice que dos nmeros complejos a + bi y c + di son iguales cuandoa = e y b = d.La suma y el producto de dos nmeros complejos se definen respectivamentepor(a + bi) + (e + di)(a + bi)(c + di)(a+c)+(b+d)i(ac - bd) + (ad + bc)iSe adoptan ' las siguientes convenciones con el fin de simplificar el usode los nmeros complejos:* Los nmeros complejos de la forma a + Oi se representan simplementepor a. Es evidente que forman un subconjunto de O.Buscamos un w = x + yi que verifique (x + yi)2 = a + bi, es decir,Si elevamos estas dos expresiones al cuadrado y las sumamos, obtenemost w y - w se representan conjuntamente como vz vz. Si x es un nmero realpositivo, entonces se representa como Fx la raz cuadrada positiva de x. Dado queen re no podemos hablar de nmeros positivos o negativos, no existe ninguna raznobj etiva para representar como vz a una u otra de las dos races cuadradas de z. 24. http://carlos2524.jimdo.com/8 Captulo 1: Los nmeros complejosluegoy puesto que X2 - y2 = a2X2 a + Ja2 + b22y2 - a +Ja2+b2es decir,[J a + J a2 J -a + J a2 + 2 + 2w= b+ b.] 2 2 z (1.2)y se comprueba fcilmente la primera parte del teorema. (Se deja comoejercicio para el lector la demostracin de los casos b < O Y b = O.)b) Dada la ecuacin ax2 + bx + e = O, multiplicando por 4a ysumando y restando convenientemente b2 , podemos escribirla como:(2ax + b)2 + 4ac - b2 = Ode donde, despejando x, obtenemos la frmula clsica para la ecuacinde segundo grado, que ahora sabemos que tiene solucin en ce paracualesquiera a, b, e nmeros reales o complejos. OEjemplo.- Calculemos las races cuadradas de z = 1 + i . Segn lafrmula (1.2)y'Z ~ [JI +2v'2 + J-I; v'2;]Como la frmula (1.2) no parece sencilla de memorizar, podemosrepetir el proceso utilizado en la demostracin para llegar hasta lasraces pedidas:(x + yi)2 = 1 + i ~ X2 - y2 + 2xyi = 1 + i~ X2 - y2 = 1, 2xy = 1~ x4 + y4 _ 2x2y2 = 1,4x2y2 = 1~ x4 + y4 + 2x2y2 = (X2 + y2)2 = 2~ X2 + y2 = V2 (-V2 no puede s er !) 25. Los nmeros complejos y la geometray como x2 - y2 = 1, entonces,X=Jl+2V2 y=J-l;V2y dado que 2xy = 1, x e y tienen el mismo signo, y se obtiene la mismasolucin".1.3. Los NMEROS COMPLEJOS Y LA GEOMETRALa suma de nmeros complejos y el producto de un nmero complejopor un nmero real dan a e estructura de espacio vectorial sobre ]R (dehecho, todo cuerpo es siempre espacio vectorial sobre sus subcuerpos,incluido l mismo). Adems, es absolutamente trivial que la aplicacine ]R2a + bi (a, b)es un isomorfismo de espacios vectoriales.eje utiaquiariobi ----e a + bi zII z+wIIII eje real1 a w a - bi-(a + bi).~Figura 1.1: Interpretacin geomtrica.Este isomorfismo nos; permitir trasladar muchas propiedades delplano eucldeo ]R2 a C. En primer lugar, podemos identificar el nmerotPosteriormente veremos mtodos ms rpidos para calcular races.9http://carlos2524.jimdo.com/ 26. http://carlos2524.jimdo.com/10 Captulo 1: Los nmeros complejoscomplejo a + bi con el punto (a, b) en un sistema plano de coordenadascartesianas rectangulares (vase en este sentido la figura 1.1) . Por estemotivo, el conjunto e suele llamarse tambin plano complejo (obsrvesela analoga con la expresin recta rea0.Llamaremos eje real y eje imaginario a los ejes de coordenadas horizontaly vertical respectivamente. Desde el punto de vista geomtrico,la suma se puede identificar con la suma de los vectores libres segnla clsica ley del paralelogramo. El opuesto viene tambin dado por elvector opuesto, es decir el simtrico del punto (a, b) respecto al origen.Por analoga con el plano eucldeo, se define el mdulo de un nmerocomplejo como sigue:Definicin 1.2 Dado z = a + bi E e definimos su mdulo como elnmero real positivo va2 + b2} que representaremos por 1 z l.Geomtricamente, 1 z 1 representa la longitud del vector (a, b) , de lacual conoce ya el lector muchas propiedades:1 z 1 ~ O Vz E e1 z 1 = O si y slo si z = O. 1 z + w 1 :::; 1 z 1 + 1 w 1 Vz, w E e (desigualdad triangular)1 az 1 = 1 a 11 z 1 Va E R Vz E e1 - z 1=1 z 1 Vz E e1 z - w 1 ~ 11 z 1 - 1 w 11 Vz, w E eOtras propiedades del indulo se enuncian en el prximo teorema. Esconveniente introducir previamente la definicin del conjugado de unnmero complejo.Definicin 1.3 El conjugado del nmero complejo z = a + bi se defin ecomo z = a - bi.El conjugado de z se representa grficamente por su simtrico respectoaJ eje real (ver figura 1.1 ). Sus propiedades se resumen a continuacinjunto con otras del mdulo: 27. http://carlos2524.jimdo.com/Los nmeros complejos y la geometra 11Teorema 1.4 Dados dos nmeros complejos z y w,a) 1 z 1 = 1 z 12b) zz = 1 Z 1c) si z =1= O entonces z-l z2 ;d) z + w = Z + w, z - w = Z - w, -w - we) zw = zw, 1 zw 1 = 1 z 11 w 1f) z = zg) 1 Z - l 1 = 1 z 1- Z-l = z-La demostracin se deja como ejercicio para el lector. O1.3.1. LA FORMA POLARCon el fin de dar un significado geomtrico al producto de nmf'Y'()~complejos, resulta conveniente introducir las coordenadas polares en dplano complejo (figura 1.2): sea z = a + bi un nmero complejo 11{)nulo de mdulo r y cuyo vector de posicin forma un ngulo a con }jidireccin positiva del eje real. Entonces, a = r cos a, b = r sen a y po!:lo tanto,z = r ( cqs a + i sen a) (1.3)La expresin 1.3 se denomina forma polar o trigonomtrica de z .Conocidos 1 z 1 y a, a partir de la expresin (1.3) podemos determinarel nmero z . Recprocamente, conocidos a y b, las partes real eimaginaria de z, podemos calcular su mdulo 1 z 1= J a2 + b2 , pero elngulo a no est unvocamente determinado por el sistemaa 1 z 1 cos ab 1 z 1 sen aya que dos nmeros reales tienen el mismo seno y el mismo cosenosiempre que difieran en un mltiplo entero de 211" (ver la figura 1.2).Este hecho resulta de extraordinaria importancia en el estudio de lasfunciones de variable compleja, por lo que vamos a tratarlo de formapreCIsa. 28. http://carlos2524.jimdo.com/12 Captulo 1: Los nlmeros complejosz za + 271"Mdulo y argumento de z Otro argumento de zFigura 1.2: Fo:ma polar de un nmero complejo.Definicin 1.4 Dado el nmero complejo no nulo z = a + bi, se llamaargumento de z al conjuntoArg z = {a E ~abcosa = r;T' sena = r;T}Cada elemento a E Arg z se dice que es un argumento de z. Puestoque en cada intervalo semiabierto de longitud 271" ~ x - 71", X + 7I"[) existeun nico elemento de Arg z, representaremos a ste por argx z. Sellama argumento principal de z al argumento que se encuentra en elintervalo [-71",71" L es decir al argo, que representaremos sencillamentepor arg z .Antes de seguir adelante con las propiedades del argumento, recalquemosque Arg z es un conjunto de nmeros reales (de forma quedos cualesquiera de ellos difieren en un mltiplo entero de 271") Y queargx z, arg z son elementos de aquel conjunto.Otra cuestin importante es que para el nmero O no tiene sentidoel concepto de argumento: desde el punto de vista geomtrico, el vectorTambin debemos sealar que esta notacin no est adoptada con carctergeneral, cosa que el estudiante deber tener en cuenta al consultar otros textos. 29. ',,..thttp://carlos2524.jimdo.com/Los nmeros complejos y la geometra 13de posicin se reduce a un punto, que no forma ningn ngulo con eleje real; desde el punto de vista analtico,o =1 O1 (cos a + isen a)se verificara para todo nmero real a.Ejemplo.- El nmero 1 + i, cuyo mdulo es V2, se escribe en formapolar comoh(cos a + isen a)'donde a es cualquier elemento del conjuntoArg(l + i) = {+ 2br k E Z}siendo su argumento principal .Como ejemplos simples, podemos ver que el argumento principalde los nmeros reales positivos es O y el de los negativos v-x, el delos imaginarios puros es ~ -~, segn que la parte imaginaria seapositiva o negativa respectivamente. La forma polar (1.3) de z sueleabreviarse escribiendo simplemente(1.4 )donde r =1 z 1y a E Arg z, de forma quere>= r~ ~ r = r' y a = (3 + Zkt: para algn k E Z.Ahora podemos entender el significado geomtrico del producto denmeros complejos: sean z = re> Y w = rp. Multiplicndolos obtene-mos:zw r (cos a + isen a) r' (cos (3 + isen (3)rr'[( coi;a cos (3 - sen asen (3) + i(cos asen (3 + sen a cos (3)]rr'[cos(a+(3) + isen(a+(3)] ,rre>+/3Es decir, para multiplicar dos nmeros complejos, debemos multi-plicarsus mdulos y aumentar los argumentos de uno de ellos en un 30. http://carlos2524.jimdo.com/14 Captulo 1: Los nmeros complejos argumento del otro. Geomtricamente, realizar en el plano una ho-moteciade centro el origen de coordenadas y razn I z I y un giro deamplitud un argumento de z. En particular, multiplicar por un nmeroreal positivo equivale a una homotecia y multiplicar por un complejode mdulo unidad equivale a un giro. (Figura 1.3.)zwf3Iwlzz Figura 1.3: Producto de dos nmeros complejos. La expresin del producto en forma polar tiene otras consecuencias importantes; por supuesto, permite sospechar las siguientes propieda-desdel argumento:Teorema 1.5 Sean z y w dos nmeros complejos no nulos. Entonces,Arg(zw) Argz + ArgwArg(z-l) -ArgzArgz -ArgzArg(z/w) Argz - ArgwEl lector debe encargarse de demostrar este teorema: tngase encuenta que se trata de igualdades entre conjuntos. OPor otro lado, es razonable pensar que la potenciacin y la extrac-cinde races deben simplificarse en forma polar. Efectivamente, si 31. http://carlos2524.jimdo.com/Los nmeros complejos y la geometrar(cosa + isena)r2(cos 2a + i sen 2a)15expresin que se conoce como frmula de De Moivre. Su consecuenciams importante es la que sigue.Teorema 1.6 Todo nmero complejo no nulo z = rOl tiene exactamenten races n-simas distintas, Wo, Wl, ... ,Wn-l , que vienen dadaspork = 0, 1, ... ,n - 1Demostracin.- Si aplicamos la frmula de De Moivre a la expresin delos Wk obtendremos( )n (l/ n )n Wk = r n a2k". = r 0I+ 2k1r = ZnCon lo que queda probado que todos los nmeros Wk son races n-simasde z .Veamos a continuacin que son todos distintos: supongamos queWk = Wj; esto significa quede dondea +2br::1m E Z /na + 2j7r--~ +2m7rn2k7r = 2j7r + 2mn7ro bien k - .j = mn, es decir, k - j es mltiplo de n . Pero ~ k,j ~ n - 1 =} - n + 1 ~ k - j ~ n - 1luego el nico mltiplo de n posible es k - j = o. En definitiva, k = j. 32. http://carlos2524.jimdo.com/16 Captulo J: Los nmeros complejosFinalmente, slo queda por probar que las Wk son las nicas racesn-simas de z: observemos que las races n-simas de z son las racesdel polinomio wn - z, que por ser de grado n tiene a lo sumo n racesdistintas. OEl smbolo yZ representa las n races n-simas de z.Ejemplo.- Vamos a calcular las races sextas de -l.1-11= 1, arg(-l) = -7f --t Wk = l Icos c, + isenO:k)donde, o:'k -- ---.6"-.+2k.".k = O, 1, 2, ... ,5 es decir,Wo cos -6""+ i sen -6"" Y3-i W22Wl cos ~ + i sen ~ y'3+i W3 Wl+ 2W2 cos 3.". i sen 3.". z 6 + 6cos 5.". i sen 5.". -Y3+i W3 W4 Wo6 + 6 2W4 cos 77r i sen 7.". 6 6 -z cos 9.". + isen 9.". -y'3-iW5W5 6 6 2Ntese que las races n-simas se sitan en una circunferencia decentro el origen de coordenadas y radio 1 z 1, formando los vrtices deun polgono regular de n lados.EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1.1 Determinar las partes real e imaginaria de los siguientes nmeros com-plejos:i, 1, 1+i, (l+i)(l-i), 2+i, e2, (a + bi)21 - zLos NMEROS COMPLEJOS Y EL LGEBRA1.2 Hallar las dos races cuadradas de 3 + 4i, 4 - 3i Y -i.1.3 Completar la demostracin del teorema 1.3.1.4 Hallar las races de los siguientes polinomios:a) Z2 + Z + 1 c)z2+(3-i)z-3i 33. http://carlos2524.jimdo.com/Ejercicios y problemas 171.5 a) Demostrar la frmula del binomio: para cualquier par de nmeroscomplejos a y b Y para cualquier natural n,b) Expresar en la forma a + bi el nmero complejo (1 + i)n.1.6 Consideremos el conjunto M de todas las matrices cuadradas de orden2 y coeficientes reales. Sea e el conjunto formado por las matrices de Mque tienen la forma ('::b !). Probar: a) e es un subespacio vectorialde M de dimensin 2. b) Todas las matrices de e son regulares. c) e,dotado de las operaciones matriciales de suma y producto, es un cuerpoconmutativo isomorfo a e. Qu matriz corresponde al nmero i a travsde este isomorfismo?1.7 Se llama cuerpo ordenado a un cuerpo conmutativo 1( sobre el que esposi ble definir una relacin de orden total (que se representa con el smbolohabitual ::;) compatible con las operaciones suma y producto, es decir:a) a ::; b '* a + c ::; b + c 't/a,b,c E J(b) a ::; b y O ::; c '* ac::; bc 't/a,b,c E J(R. Y Q son ejemplos de cuerpos ordenados. Probar que e no es un cuerpoordenado. Indicacin: probar que si lo fuera, entonces se verificara simultneamentei < O e i > o.Los NMEROS COMPLEJOS Y LA GEOMETRA1.8 Determinar el mdulo y todos los argumentos de los nmeros complejosdel ejercicio 1.1 y escribirlos en forma polar. Indicar, en cada caso, cul esel argumento principal.1.9 Probar que, 't/z E e, re(z) = ~ y im(z ) = z;z1.10 Describir geomtricamente, en cada uno de los apartados, el conjuntode nmeros que verifican las relaciones indicadas:a) Iz-11::;1c) 1 z - 1 12: 1e) 1 z - 11= 1g) 71" < arg z ::; 3;i) re( z ) > 5b) 1 z - 2 + 4i 1< 3d) 1 ::;1 z - 2 + 4i 1< 31) mx {I z - i 1, 1 z - 2 1} < 2h) mx {I z - i 1, 1 z - 2 I} < 1j) re(z) < im(z ) 34. http://carlos2524.jimdo.com/18 Captulo 1: Los nmeros complejos1.11 Para cada uno de los nmeros complejos z del ejercicio 1.1, hallar suconjugado z y su inverso z-l.1.12 Expresar analticamente la funcin arg(x + iy). Indicacin: la respuestano es arg( x + iy) = arctan ~.1.13 Qu condicin deben cumplir dos nmeros complejos z y w paraque la desigualdad triangular se convierta en igualdad, es decir, para que1 z + w 1=1 z 1 + 1 w I?1.14 Demostrar los teoremas 1.4 y 1.5.1.15 Qu condicin deben cumplir tres puntos del plano para encontrarsesobre una misma recta? Determinar entonces la ecuacin de dicha recta.1.16 Probar que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de lasdiagonales coincide con la suma de los cuadrados de los lados.1.17 Demostrar que, V

Ve > O 3no E N/n > no => I zn - Z 1< ePor otra parte, y dado que el nmero complejo x + yi tiene el mismomdulo que el vector (x, y), resulta que, para Zn = an + bni Y Z = a + bi,luego21 38. 22 Captulo 2: Sucesiones y seriesy, como consecuencia inmediata de lo que ya conocemos sobre sucesio-nesen JRn, que .es decir,lmzn = Z O / I Zn 1< M Vn E N* Si {zn } converge a z, todas sus subsucesiones convergen al mismoz.* Una sucesin es convergente si, y slo si, es de Cauchy*:VE; > O 3no E N / n, m ~ no =?I Zn - Zm 1< E;* Toda sucesin acotada t iene alguna subsucesin convergente (teo-remade Bolzano-Weierstrass).Diremos que un nmero Z es punto de acumulacin de la sucesin {zn }si existe alguna subsucesin de {zn} que converge a z. La propiedadanterior se puede expresar entonces diciendo que toda sucesin acotadatiene algn punto de acumulacin. Adems, toda sucesin convergentetiene un nico punto de acumulacin (su lmite) .tOtras propiedades simples de los lmites de sucesiones de nmeroscomplejos, que no pueden deducirse de (2 .1 ) puesto que en JR2 no estdefinido el producto, son las siguientes:'Lo cual se expresa diciendo que e es completo.t ... y el lector puede entretenerse buscando alguna otra relacin entre sucesionesy puntos de acumulacin.http://carlos2524.jimdo.com/ 39. http://carlos2524.jimdo.com/Sucesiones divergentes y el punto del infinitoTeorema 2.1 Si lm Zn = Z y lm Wn = w, entonces lm Zn Wn = zw.Adems, si W -1- O, lm wn -1 = w-1 T y por lo tanto, lm ~Wn = .W2 ..23La demostracin, que se realiza como en el caso real, se deja parael lector. ONtese que, puesto que IR e e, las sucesiones de nmeros realesson un caso particular de las sucesiones de nmeros complejos, siendoentonces las propiedades anteriores una extensin perfecta de las conocidaspara el caso real.2.2. SUCESIONES DIVERGENTES Y EL PUNTO DEL INFINITOSe dice que la sucesin {zn} diverge a infinito o que su lmite esinfinito, y se representa simblicamente por lmn -+oo Zn = 00, o simplementelm Zn = 00, si y slo si lm 1 Zn 1= oo. En definitiva,lm Zn = 00 {::=} Vk > O :Jno E N/n ~ no =} 1 Zn 1> kSi una sucesin diverge a infinito, entonces todas sus sub sucesionesdivergen a su vez a infinito, as que no tiene puntos de acumulacin.Por lo tanto, para sucesiones divergentes a infinito no se puede formularun resultado similar al teorema de Bolzano-Weierstrasst . De hecho, lasnicas sucesiones que no tienen puntos de acumulacin son las divergentesa infinito (as pues, el hecho de no tener puntos de acumulacincaracteriza en e las sucesiones divergentes a infinito).Si, por el contrario, imaginamos un punto del infinito hacia el cualconvergieran estas sucesiones, resultara que toda sucesin tendra algnpunto de acumulacin, lo cual es muy interesante desde el puntode vista de la topologa. Por ello vamos a ampliar el plano complejoaadindole dicho punto.Definicin 2.1 Sea 00 un objeto cualquiera que no sea un nmerocomplejo, al cual llamaremos el punto del infinito . Consideremos eltObsrvese que, evidentemente, estas sucesiones no estn acotadas. 40. http://carlos2524.jimdo.com/24 Captulo 2: Sucesiones y seriesconjunto C U{ oo} al que llamaremos plano ampliado y que represen-taremossimblicamente por C*. Las operaciones habituales de C seextienden al plano ampliado segn las siguientes frmulas:ooz zoo 0000 = 00 Vz -1 O00 + z z + 00 00 Vz E C00 - z z - 00 00 Vz E C z O Vz E C 0000 00 Vz E C z~ Vz -1 O o 00El mdulo del infinito se define como 1 00 1= +00 pero carece desentido hablar del argumento del punto del infinito, as como de lasoperaciones:00 00,00 O000, y00O La anterior extensin de C tiene diversas ventajas. En primer lu-gar,todas las propiedades enumeradas en el apartado 1 de este captulosiguen siendo vlidas mientras no involucren operaciones carentes desentido como por ejemplo 00 + oo. Por otra parte, como era nuestroprimer objetivo, en el plano ampliado no existe ninguna diferencia entrelas sucesiones convergentes a un nmero finito (un nmero complejo)y las que tienen lmite infinito (las divergentes a infinito), sucesionesestas ltimas que podemos decir que son convergentes en el plano am-pliado.Por ltimo, el teorema de Bolzano-Weierstrass, en el planoampliado se transforma en el siguiente: toda sucesin tiene algn puntode acumulacin.Por el contrario, el plano ampliado tiene otros inconvenientes. Elprincipal de ellos sera el de que, tal y como hemos definido las operacio-nesen C* ste no tiene estructura de cuerpo (ni ninguna otra estructuraalgebraica tpica), por lo que habremos de vigilar las operaciones querealizamos en l.Otra dificultad estriba en el aspecto geomtrico: si todos los n-meroscomplejos se representan o se corresponden con los puntos delplano, dnde representar el punto del infinito? Debera colocarse deforma que todas las sucesiones que se alejan indefinidamente del origen(o de cualquier otro punto) se acerquen al punto del infinito, lo cual, 41. http://carlos2524.jimdo.com/Sucesiones divergentes y el punto del infinito 25IlFigura 2.1 : Proyeccin estereogrfica.en la representacin anterior resulta imposible. Fue Riemann quien diouna respuesta satisfactoria a esta cuestin con lo que se conoce como laproyeccin estereogrfica y que no es otra cosa que uno de los mtodosutilizados en la confeccin de mapas, es decir, en la representacinplana de superficies esfricas. Veamos a continuacin cmo es estarepresentacin de C*.Consideremos en el espacio lR? un sistema rectangular de ejes coordenadose identifiquemos el plano XY con el plano complejo, de modoque el eje real sea el eje X y el imaginario el eje Y. Consideremospor otra parte la esfera centrada en el origen y de radio unidad. Lainterseccin de esta esfera con el plano XY (el ecuador de la esfera) esla circunferencia 1 z 1= 1. Los puntos N(O ,O, l) y S(O ,O,-l) corresponderana los polos norte y sur respectivamente (vase la figura 2.1).Si P es un punto genrico de la esfera, distinto de N, la recta N Pcorta el plano XY en un nico punto Z y, recprocament e, la rectaN Z, donde Z es un punto del plano XY, corta a la esfera en un nicopunto P de la esfera distinto de N. Es decir, al asociar al punto P dela esfera, el punto Z del plano XV, establecemos una correspondenciabiunvoca de la esfera sin el polo norte en el plano, a la que hemosllamado proyeccin estereogrfica (figura 2.1).De esta forma podemos representar todo el plano complejo sobre 42. http://carlos2524.jimdo.com/26 Captulo 2: Sucesiones y seriesla esfera sin el punto correspondiente al polo norte, punto este ltimodonde veremos que viene perfectamente representado el punto del infi-nito.Ntese que los nmeros complejos de mdulo 1 quedan represen-tadosen el ecuador, en el mismo punto sobre el que se encontraban.Los del interior de la circunferencia de mdulo uno, es decir, los demdulo menor que uno, quedan representados en el hemisferio sur ylos de mdulo mayor que uno, los de fuera de la circunferencia, quedanrepresentados en el hemisferio norte. As pues, conforme nos aleja-mosdel origen en el plano complejo, nos acercamos al polo norte en surepresentacin en la esfera.Para determinar analticamente esta correspondencia, consideremoslas coordenadas geogrficas de P, que son la latitud A y la longitud ..t(A EJ - 7r/2, 7r/2[, ..t E [-7r, 7r[ ).NN"-+~ 4 2 1 P/' ///1// A /.. O Izl zSi Po es la proyeccin de P sobre el plano complejo, entonces lalongitud ..t de P es el ngulo formado por el semieje real positivo y lasemirecta OPo. Por lo tanto, el argumento principal de z coincide con..t. y adems, se verifica 1 z 1= tan( + ~); es decir, la proyeccin este-reogrficade P, cuyas coordenadas geogrficas son (A, ..t), es el nmerocomplejo7r Atan( + "2)( cos ..t + isen ..t)Otras consideraciones geomtricas que se deducen de esta repre-sentacinanaltica seran, por ejemplo, que los paralelos de la esfera seproyectan sobre crculos concntricos y que los meridianos se proyectansobre las semirrectas que parten del origen. La longitud de P coincide 43. http://carlos2524.jimdo.com/Series de nmeros complejos 27con el argumento de z.La representacin en la esfera de una suceSlOn {zn} divergente ainfinito, convergera geomtricamente al polo norte. Analticamente sededuce el mismo hecho de que, si lm tan( + A2n) = +00 , entonceslm An = i, luego la latitud que deberemos asociar al punto del infinitoes 7r /2 (no pudiendo determinarse entonces su longitud)~.Con todo ello, hemos conseguido representar cada punto de e* porun nico punto de la esfera. As representado, el plano ampliado sueletambin llamarse esfera de Riemann.2.3. SERIES DE NMEROS COMPLEJOSSea {zn} ~= 1 una sucesin de nmeros complejos. Como en el casoreal, a partir de dicha sucesin formamos la serie L Zn, es decir, lasucesin {Sn} de sus sumas parciales,ny decimos que la serie L Zn es convergente si existe y es finito el lmitede sus sumas parciales, en cuyo caso a dicho lmite se le llama suma dela serie y se representa por00 n L Zn = lm Sn (= Ji.~ L Zk)n=l k=lEn otro caso se dice que la serie diverge.Es fcil comprobar que el conjunto de todas las series convergentes(en e) es un espacio vectorial sobre e, y que la aplicacin que asociaa cada serie su suma es lineal. Tambin se observa que una serie denmeros complejos es convergente si, y slo si, lo son las series de laspartes reales y la de las partes imaginarias de los trminos de la sucesin{zn} . (Tambin se deduce trivialmente de que la topologa de e no esotra que la de 1R2.)Si en un punto del meridiano terrestre 0 es medioda, entonces sobre el meridiano180 es medianoche. De qu da? Tiene esta pregunta alguna relacin conlos argumentos de los nmeros complejos?11 Se puede asociar alguna longitud al nmero complejo O? 44. http://carlos2524.jimdo.com/28 Captulo 2: Sucesiones y seriesOtra propiedad inmediata es la del papel irrelevante del trmino apartir del cual comienza la serie para determinar la convergencia, o no,de una serie, que conocemos para series reales y que en e se enunciade igual forma:= 00 L znconverge si, y slo si, 3p E N / L znconvergen=l n = pdebido a lo cual representaremos la serie, como ya hemos hecho antes,por I: Zn sin mencin al trmino desde el que sta empieza mientrasno haya ambigedades (el valor de la suma de la serie s depende deltrmino inicial).Teorema 2.2 (Condicin necesaria de convergencia) Si la serieI: Zn es convergente, entonces lm Zn = O.Demostracin .- Sea S la suma de la serie y sean Sn las sumas parciales,es decir, lm Sn = S.Como Zn = Sn - Sn -l , lm zn = S - S = O ODado que una sucesin es convergente si, y slo si, es de Cauchy,resulta queTeorema 2.3 (Condicin de Cauchy) La serie I: Zn es convergentesi, y slo s,p+qVE > O 3no E N / p > no y q E N====}I L Zn 1< E On = pSi se verifica que la serie I: 1 Zn 1 es convergente, decimos que laserie I: Zn es absolutamente convergente. Entonces, de la condicinde Cauchy y la desigualdad triangular se deduce que la convergenciaabsoluta de una serie implica la convergencia ordinaria .Teorema 2.4 (Criterio de la raz) Sea a = lm sup ~ , entoncesa) si a < 1 la serie I: Zn es absolutamente convergente 45. http://carlos2524.jimdo.com/Series de nmeros complejos 29b) si a > 1 la serie L Zn divergeDemostracin. - Supongamos a < 1 Y sea r / O :::; a < r < 1.Como lmsup ~ < r, ~ < r a partir de cierto no. Por lotanto,Vn:2 noPuesto que O < r < 1, la serie (geomtrica) L rn es convergente, y porel criterio de comparacin para series reales, L 1 Zn 1 es convergente.Supongamos ahora a > 1. Como lmsup 1 Zn 1> 1, existe unasubsucesin { Znk : k E N} de {zn } de modo que lmk-+ oo 1 Znk 1> 1 Ypor ello {zn } no puede converger a cero. OEjemplo.- La serie geomtrica L zn, con Z E C.a) Puesto que lmsup ~(a) si 1 Z 1< 1, la serie converge absolutamente y(b) si 1 Z 1> 1 la serie diverge.b) Si 1 Z 1= l ===} lm 1 zn 1= 1 ===} lm zn .:. O, luego tambindiverge.Para el nico caso convergente, 1 Z 1< 1, hallemos la suma L : = pZn:luego,En definitiva,Zp - OlmSn = ---1 - Z00 zP L zn = -n =p 1 - PVz / 1 z 1< 1El criterio del cociente para series se deduce del siguiente lema. 46. http://carlos2524.jimdo.com/30 Captulo 2: Sucesiones y seriesLema 2.1 Sea {an} una sucesin de nmeros positivos. Se verificanlas siguientes desigualdades:1, lmm. f -an+-l 1m = Zn~oo n--+oo n 49. http://carlos2524.jimdo.com/Ejercicios y problemas 332.5 a) Probar que, si lm Zn = z, entonces, lm I Zn 1=1 Z l. b) Es cierto quelm Zn = Z ===> lm argx Zn = argx z? c) Qu condicin deberan cumplir Z yx para que la respuesta al apartado anterior fuese afirmativa? d) Podemosasegurar que , si 11m 1 Zn 1= a y lm argx Zn =

1L..J nO ,d) L: (27)ne) L: (i:)'2nf) L: z7n2.14 Demostrar que lm,J...; = O Y lm -.H-: = e.vn! vn!2.15 Determinar los valores de Z E ce para los que converge la seriey hallar la suma de la serie para todos ellos.CONVERGENCIA NO ABSOLUTA2.16 a) Sean {zn}~I Y {wn}~=l dos sucesiones de nmeros complejos. Ysea Zn la suma parcial n-sima de {zn}. Probar la jrm ula de suma ci nparcial de Abel:n nL ZkWk = Znw n+1 - L Zk(Wk+1 - Wk)k=l k=lb) Demostrar el criterio de Dirichlet: Si L: Zn tiene las sumas parcialesacotadas y {wn } es decreciente (por lo tanto real) y converge a O, entoncesL: Zn Wn es convergente.2.17 Estudiar el carcter de la serie'" (cos t + i sen t) n~ nO 1 a2n 1z-+ooluego::1M > O / g(z) > 1 ~n 1 Vz E re / 1 z 12: Mtomando ahora N = mx{M, 12 1 ~ I}, obtenemos, para 1 z 12: N,f(z) =1 zn 1g (z) 2: 2 aao 1 1 an 11n-2- =1 ao 1= f(O)es decir,f(O) ::; f(z) Vz E re / 1 z 12: N (3.1)Por otra parte, el conjunto J( = {z E re : 1 z 1::; N} es un compactoy f es continua en J(, luego f tiene un mnimo en J(, + es decir,::Izo E J( / f(zo) ::; f( z) Vz E re / 1 z 1::; N (3.2)De (3.1) y (3.2), y puesto que O E J(, se concluye que Zo es elmnimo, es decir,f ( zo) ::; f ( z ) Vz E e oTeorema 3.7 (Fundamental del lgebra) El polinomio p(z) tieneal menos una raz compleja.Demostracin.- Probaremos que, si Zo es el mnimo de f(z) =1 p(z) 1,entonces p(z~ = o. Para ello, consideremos la funcin q(z) = p(z + zo) .La funcin q( z) es tambin un polinomio de grado n y por tantoPara probar que p(zo) = O, probemos que q(O) = O, y puesto queq(O) = bo, veamos que bo = o. Supongamos que por el contrario bo i- O.Sea entonces m > O el primer ndice tal que bm i- O. El polinomio q( z )podr escribirse comot Porque la topologa de ([ es la de lP/? 62. http://carlos2524.jimdo.com/46 Captulo 3: Funciones complejasConsideremos la ecuacinque, como sabemos del captulo 1, tiene m races distintas. Sea a unade ellas (am = - t;) y consideremos la funcin h(z) = q(az):h(z) cnzn + Cn_1Zn-1 + .. . + bm( -f! )zm + bobo(1- zm) + zm(cm+lZ + Cm+2Z2 + ... + cnzn- m)Dado que11, m ( Cm+1Z + Cm+2Z 2 + ... + Cnz n- m) = O z-+oresulta queluego, si 1 z 1 < 8, se tiene que1 h(z) 1z - Zolm fe z) = lm {f(Z) - f( zo)} lm (z - zo) + f(zo)z --+zo Z--+zo Z - Zo z --+zo= 1'(zo)O + f(zo) = f( zo)luego f es continua en Zo. OTeorema 4.3 (Derivada de la suma) Si f y 9 son holomorfas enZo, entonces f + 9 es holomorfa en Zo. Adems,(f + g)'(zo) = 1'(zo) + g'(zo)Demostracin.-.lm (f + g)( z) - (f + g)( zo) = 1, fe z) + g(z) - f( zo) - g( zo)1m~~~~~~~~~z --+ zo z - Zo Z -+Zo Z - Zo= }i.~ {f(Z; =~ ;zo) + g( z; =~~ zo)}= 1'(zo) + g'( zo) OTeorema 4.4 (Derivada del producto) Si f y 9 son holomorfas enZo, entonces f 9 es holomorfa en Zo. Adems,(fg)'( zo) = 1'( zo)g( zo) + f( zo)g'(zo)Demostracin. -11, m fe z )g( z) - f( zo)g( zo) ~~~--~~~Z -+ZQ Z - Zo= lm f( z )g(z) - f( zo)g( z) + f(zo)g( z) - f(zo)g(zo)Z -+ZQ Z - Zo= }i.~ {g(z/(zl =~; zo) + f( zo)g( z; =~~ zo)}= g( zo)1'( zo) + f( zo)g'( zo)ya que 9 es continua en Zo. O 75. http://carlos2524.jimdo.com/Propiedades de las derivadas 59Teorema 4.5 (Derivada del cociente) Si f y 9 son holomorfas enZo y si g( zo) =1= O) entonces f / 9 es holomorfa en Zo. Adems)U / g)'( zo) = 1'(zo)g(zo)(- (z(zo)g'(zo)9 ZoDemostracin.- En virtud del teorema 4.4, basta con probar que 1/ 9es holomorfa y que(l/g)' = -g'( zo)g(ZO)2Dado que g( zo) =1= O Y que 9 es continua en Zo, para z bastanteprximo a Zo, g( z) =1= O, Y se puede calcular el cociente:1 1 9W - ~ g( zo) - g( z) = z - Zo g( z )g( zo)(z - zo)luegolm -'-.1.(- '-..:g/ ~)( ~z-)' --~( 1-'-..:g/ ~)- (' z-o~)l' {-(g(z) - g( zo)) } l' { 1 }z~~o z - Zo z~ g(z)g(zo), ) 1-g (zo g(zo))2 OEjemplo.- Sea p( z) una funcin polinmica. Combinando los teoremas4.3 y 4.4, se obtiene que p( z) es derivable en todo C. Sip( z) = aO+alz + ... +anznentoncesp' (z ) = al + 2a2z + ... + rwnzn- lEjemplo.- Sea f(z) = p( z)/q(z) una funcin racional (es decir, p yq son funciones polinmicas) . De lo demostrado hasta aqu se deduceque f( z) es holomorfa en todo e excepto en las races de q( z ).Teorema 4.6 (La regla de la cadena) Si 9 es holomorfa en Zo y sif es holomorfa en 100 = g( zo), entonces f o 9 es holomorfa en Zo.Adems)(f o g)'(zo) = 1'(wo)g'(zo) 76. http://carlos2524.jimdo.com/60 Captulo 4: Funciones holomorfasDemostracin. - Elijamos un > O cualquiera. Por la holomorfa de 9en Zo, tenemos que381 > O / O O, existe 83 , O < r, tal que1 z - Zo 1< 83 ~ O O. La circunferencia de centro Zoy radio R, que representaremos por C(zo, R), se define como el camino:[0,27rl --. et ----+ Zo + R( cos t + i sen t) 92. http://carlos2524.jimdo.com/76 Captulo 5: La integral curvilneaPoligonal abierta. Polgono.Figura 5.6: Caminos poligonales.o t 27('Figura 5.7: Circunferencia C(l , R) . 93. http://carlos2524.jimdo.com/Carninos 77Su longitud esr2~ r2~l(C(zo,R)) = Jo IR(-sent+icost)ldt = Jo Rdt=27rRcomo era de desear.Ejemplo.- El camino11: [0,7r] ---+ et ~ 11 (t) = Zo + R( cos 2t + i sen 2t)tiene el mismo rango que C(zo, R), aunque no sea el mismo camino.Por otra parte, el camino12: [0 ,27r] ---+ c t ~ 12 ( t) = Zo + R( sen t + i cos t)tambin recorre los mismos puntos que C(zo, R), pero, entre otras cosas,en sentido contrario. C(zo, R), 11 Y 12 definen la misma curva, y se diceque son distintas parametrizaeiones de la curva.Definicin 5.4 Sean 11 : [a, b] ---+ e y 12 : [e, d] ---+ e dos caminos.Diremos que 11 y 12 son parametrizaciones o caminos equivalentes siexiste una funcin u : [a, b] ---+ [e, d], derivable en la, b[, con derivadacontinua, de manera quea) u(t) > Vt E]a, b[b) u(a) = c, u(b) = de) 12(u(t)) = 11(t) Vt E [a, b]A la funcin u se le llama cambio de parmetro.El camino 11 del ejemplo es equivalente a C(zo, R); 12 no lo es.pero cambiando la condicin a) por a') u( t) < Vy E]a, b[, y laDefinicin 5.5 Con las mismas condiciones que en la definicin anterior,condicin b) por b') u( a) = d, u( b) = c, se dice que 11 y 12 son doscaminos opuestos o de sentido contrario.Tngase en cuenta que aunque dos caminos recorran el mismo rango,no por e.11o han de ser equivalentes u opuestos. Por ejemplo, el camino,: [0,47r] ---+ et ~ I(t) = zo+R(cost +isent) 94. 78I11(a)http://carlos2524.jimdo.com/Captulo 5: La integral curvilnea11 (b)12 (d)Figura 5.8: Caminos opuestos.no es equivalente a ninguno de los anteriores (recorre el rango dos veces).Se propone como ejercicio sencillo probar que la longitud de doscaminos, regulares a trozos, equivalentes u opuestos, es la misma.t5.2. LA INTEGRAL CURVILNEA. PRIMITIVASDefinicin 5.6 Sea I : [a, b] ----t e un camino regular a trozos, r surango y sea f : r ----t e una funcin. Se dice que f es integrable a lolargo de I si la funcin g, compleja de variable real, definida porg(t) = f((t)),'(t)es integrable-Riemann en [a , b]. En tal caso llamaremos integral curvilnea(o de lnea, o simplemente integral) de f a lo largo de I al valor dela integral J: g(t)dt , que representaremos por J, f(z)dz o simplementeJ, f Es decir,1, f = 1, f(z)dz = b f((t)),'(t)dtt Esta propiedad se suele expresar diciendo que la longitud de una curva es independientede la parametrizacin y de la orientacin. 95. c)d)http://carlos2524.jimdo.com/La integral curvilnea. Primitivas 79Una condicin suficiente para garantizar la integrabilidad de f a lolargo de 1 es que f sea continua., porque en tal ca.so 9 es continua atrozos.Ejemplo 1.- Vamos a calcular la integral 1z2dz, I(t) = e + it Vt E [O, 1J1,z2dz 101(t2 + it)2(2t + i)dt101(2t5 + 5it4- 4t3- it2)dt~(i-1)3Teorema 5.1 (Propiedades de la integral curvilnea)a) Sean f y 9 funciones integrables a lo largo del camino 1 y seana y /3 nmeros complejos. La funcin a] + /39 es integrable a lolargo de 1, Y adems1,a] + /39 = a 1,f + /3 1,gb) Si 1 = 11+ 12 Y f es integrable a lo largo de 11 y de 12, entoncesf es integrable a lo largo de 1, Y ademsjf=j l+]. f 1 11 12Si 11 Y 12son dos caminos equivalentes y f es integrable a lo largode 11, entonces f es integrable a lo largo de 12, y ademsj L= j f 12 11Si 11 Y 12 son dos caminos opuestos y f es integrable a lo largode 11, entonces f es integrable a lo largo de 12, y ademsj f - -j f12 11 96. http://carlos2524.jimdo.com/80 Captulo 5: La integral curvilneae) Si f est acotada sobre e! rango de un camino,(es decir) si 3M ~ O / 1 f((t)) 1::; M Vt) ) y es integrable a lolargo de! mismo camino) entonces1 1, f 1::; 1()MDemostracin.- a) se deduce de que(af + (3g)((t))'(t) = af((t))'(t) + (3g((t))'(t)b) Como, = ,1 + ,2,y de aplicar la linealidad de las integrales de Riemann.c) Puesto que ,1 y ,2 son equivalentes, existe un cambio de parmetroy se obtiene el resultado deseado.u, que cumple todas las condiciones para realizar un cambio devariable en la integral de Riemann. Por lo tanto, si ponemos u(t) = x,J: f(l(t))~(t)dt J: f(2(u(t)))~(u(t))u'(t)dt= Jcd f (2 ( X ) )~ ( x ) dxes decir,1,1 f - 1,2 fd) Por el mismo razonamiento que en c) se obtiene una frmulasimilar pero ahora la integral va de d a e, producindose as el cambiode signo.e)1 J,f 1 1 J: f((t))'(t)dt 1< J: 1 f((t))'(t) 1 dt J: 1 f((t)) 1I,'(t) 1 dt< M J: 1,' ( t) 1 dtMl() O 97. (a t 'bhttp://carlos2524.jimdo.com/La integral curvilnea. Primitivas')'( t),),(a)g')'(b) ~g(')'(a))Figura 5.9: Composicin g o ')'.81g(')'(b))Es inmediato comprobar que si ')' : [a, b] ~ e es un camino regulara trozos y g es una funcin holomorfa con derivada continua sobre elrango de ')', entonces g o ')' es a su vez un camino regular a trozos.Este hecho nos va a permitir enunciar un teorema de cambio devariable para integrales de lnea.Teorema 5.2 (Cambio de variable) Sea g una juncin derivablecon derivada continua sobre el rango del camino 1, y sea j una juncinintegrable a lo largo del camino g o ')'. Entoncesr j(z)dz = j j(g(w))g'(w)dw JW Y ')'Demostracin.- Utilizando simplemente la definicin de la integral curvilnea.obtenemos:1, j(z)dz = lb j(g o ')'(t))(g o ')')'(t)dt = lb j(gb(t)))g'b(t))')"(t)dtPor otra parte, j(g(w))g'(w) es integrable a lo largo de ')' si existela integral: lb j(g(')'(t)))g'(')'(t))')"(t)dtY en tal ca.so coincide con sta, luego ya est todo probado. O 98. http://carlos2524.jimdo.com/82 Captulo 5: La integral curvilneaEjemplo.- Una integral de Riemann de una funcin real de variablereal puede considerarse como una integral de lnea compleja:b f(t)dt = f(z)dzla l[a,b]Consideremos por ejemplo la integralfo21r (cos3 t + sen2 t + 1 )dthaciendo el cambio de variablez = cos t + i sen tEl segmento [0,211"] se convierte en la circunferencia C(O, 1),Z -1 cos t - i sen t ydz - sen t + i cos t = izdtluego:z + Z -1 = 2 cos t z - Z -1 = 2i sen tes decir,Z2 + 1 Z 2 - 1cost = --- y sent = - - -2z 2izcon lo que la integral (5.1) se transforma en[Z2+1]3 + [Z2:- 1] 2 + 1 1 2z 2,z d. ZC(O,l) . ZZ(5.1 )De este modo, una integral racional en senos y cosenos, sobre el intervalo[0,211"] se transforma en una racional en la circunferencia C(O, 1).Como veremos en el captulo 10, este tipo de integrales se calculan fcilmentehaciendo uso del teorema de los residuos.Definicin 5.7 Sean f y F dos funciones complejas definidas en unabierto A. Si F es holomorfa en A y F'(z) = f(z) Vz E A, diremosque F es una primitiva de f (en AJ. 99. http://carlos2524.jimdo.com/La integral curvilnea. Primitivas 83Teorema 5.3 (Regla de Barrow) Sea,: [a , b] ---t e un camino regulara trozos. Si f es integrable a lo largo de , y si F es una primitivade f en un abierto que contiene al rango de " entonces1, f(z)dz = F((b - F((aEn particular, si , es cerrado, la integral de f a lo largo de , es nula.Demostracin. -1, f(z)dz = b f(,(t),'(t)dt = b F'((t),'(t)dtLuego, por la regla de la cadena, tenemos1,f(z)dz = b(Fo,)'(t)dt = (Fo,)(b) - (Fo,)(a)aplicando la regla de Barrow a la ltima integral de Riemann. OEl teorema anterior tiene como consecuencia muy importante lsiguiente: supongamos que la funcin f es continua en el abierto Adonde, adems , admite una primitiva F; si ,1 y ,2 son dos caminosregulares a trozos cuyos rangos estn contenidos en A y si ademssus extremos coinciden (l(ad = '2(a2), 'l(b1 ) = 12(b2, entonceslas integrales de f a lo largo de uno y otro camino coinciden. Estapropiedad se expresa diciendo que la integral de f es independiente delcamino en A.Ahora bien , as como por el teorema fundamental del clculo se tieneque toda funcin continua en un abierto de lR admite una primitiva endicho abierto, en variable compleja esta propiedad no se verifica, comose comprueba en el siguiente ejemplo.Ejemplo 2.- La funcin fe z ) = (z - at1 es continua (incluso derivable)en el abierto e - {a}. Si calculamos la integral de f en lacircunferencia e ( a, R): f(z)dz = 21r Rf(a+R(cost+isent(-sent+icost)dtJC(a,R) Jo 100. 84 Captulo 5: La integral curvilnea= 21r R( R. ) (- sen t + i cos t)dt Jo cos t + 2 sen t= fo2 1r idt= 21riluego f no tiene primitiva en ningn abierto que contenga a C(a, R) ,pues, segn el teorema anterior, al ser C(a, R) un camino cerrado, laintegral debera ser nula.Ejemplo.- La integral del ejemplo 1 se podra haber calculado simplementeusando la regla de Barrow: dado que z3/3 es una primitiva dez2, tenemos31 ')'(1) z311+i (1 + i)3 1, z2 dz = z3 ')'(0) = 3 o = 3(Utilizamos la notacin F( z) I~ = F(b) - F(a) como en el caso real.)___ __ Corolario 5.1 Si F Y G son dos primitivas de f en un abierto conexoA, entonces F - G es constante en A.Dem.ostracin.- Sea Zo E A. Puesto que A es abierto conexo, paracu~lquiet: z E A existir un camino regular a trozos, "(, que vaya de Zoa z, e:p.tlces1, f(w)dw = F( z) - F( zo) = G( z) - G( zo)l~~ego > ;:.:': . ':.:?: F(z) - G(z) = F(zo) - G(zo) = k Vz E A O:).http://carlos2524.jimdo.com/ 101. http://carlos2524.jimdo.com/Ejercicios y problemas 85EJERCICIOS Y PROBLEMASCAMINOS5.1 Describir geomtricamente los caminos:a) 'Y(t) = 1 + t2 + ti -1 ~ t ~ 1b) 'Y(t) = acost + ibsent O ~ t ~ 211", a,b > Oc) 'Y(t) = acost - ibsent O ~ t ~ 211", a,b > Od) 'Y(t) = t(cost + ibsent) O ~ t ~ 411"e) 'Y(t) = cosht + isenht -1 ~ t ~ 1f)'Y(t)=c+it -a~t~a5.2 a) Probar que la longitud del segmento [Zl,Z2] es 1 Z2 - Zl l. b) Cules la longitud de la poligonal [Zl, Z2, ... , zn]?5.3 Probar que dos caminos (regulares a trozos) equivalentes u opuestostienen la misma longitud.5.4 [Parametrizacin natural] Sea 'Y : [a, b] ---> e un camino regular atrozos y 1(1') su longitud. Considrese la funcins: [a, b] ---> [O, lb)]-+ s(t) = J: 1 'Y'(t) 1 dtProbar que s es un cambio de parmetro.LA INTEGRAL CURVILNEA. PRIMITIVAS5.5 Calcular la integral curvilnea i f(z)dz, siendo:a) fez) = z3b) fez) = re(z)c) fez) =1 t 1d) fez) = (z_la)ne) fez) = z~a1'( t) = t2 + it, O ~ t ~ 1'Y(t) = 2t + 2it, O ~ t ~ 1'Y(t) = t - it, -1 ~ t ~ 1'Y(t) = C(a, R), n":f 1'Y(t) = C(a, R)5.6 Completar los detalles en la demostracin del teorema 5.1.5.7 Sea R >1 a 1> O. a) Demostrar la desigualdadr dz < 211"RJC(O .R) z2 - a2 - R2- 1 a 12 102. http://carlos2524.jimdo.com/86 Captulo 5: La integral curvilneab) Demostrar quelm r dz = OR-++oo JC(Q,R) z2 - a25.8 Demostrar que si f(z) = ~~l donde P y Q son funciones polinmicasy el grado de Q supera al de P menos en dos unidades, entonceslm 1 f(z)dz = OR-++oo ,Rsiendo "IR cualquier arco de la circunferencia C(O, R).5.9 [Invariancia por traslacin] Sea "1 : [a, b] --+ e un camino regular atrozos y f una funcin integrable a lo largo de l' Dado a E e se define elcamino la mediante la frmula la(t) = I(t) + a. Demostrar que1, f (z)dz = 1,a f(z - a)dzINTEGRAL CURVILNEA REAL Y COMPLEJAEn este apartado suponemos al lector familiarizado con la integral curvilneade dos variables reales.5.10 Podemos identificar el camino I : [a, b] --+ e con la curva en R?'f : [a,b] --+ JR2 definida por 'f(t) = (re("((t)), im("((t))). Probar que, sif(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y),~ f(z)dz = hUdx - vdy + i h vdx + udy5.11 Demostrar que si U e e es un abierto simplemente conexo, I uncamino cerrado regular a trozos y f una funcin holomorfa en U con derivadacontinua en U, entonces~ f(z)dz = O5.12 Expresar mediante una integral curvilnea compleja el rea encerradapor el rango de un camino cerrad.o simple regular a trozos. 103. Captulo 6http://carlos2524.jimdo.com/El teorema de Cauchy-Goursat.Funciones logartmicasVimos en el captulo 5 (ejemplo 2) cmo, contrariamente al casoreal, una funcin continua en un abierto puede no tener primitiva. Elloes debido realmente al hecho de que la geometra plana es mucho msrica que la recta. En este captulo encontraremos una clase muy ampliade subconjuntos de e en los que toda funcin holomorfa admitir primitiva.Adems, del resultado central que obtendremos, se van a derivarla prctica totalidad de las propiedades de las funciones de variablecompleja. Terminaremos definiendo una funcin de variable complejade gran inters.6.1. EL TEOREMA DE CAUCHy-GOURSATNaturalmente, un tringulo es un polgono cerrado formado por tressegmentos (los lados del tringulo), es decir, el camino [Zl,Z2,Z3,Zll .En todo el apartado consideraremos el tringulo [Zl' Z2, Z3, zl l Y laregin cerrada T formada por ste y sus puntos interiores. El dimetrode Tes:D(T) = mx{1 Zl - Z2 1,1 Z3 - Zl 1, 1 Z2 - Z3 1}Si Z 12 , Z23 Y Z31 son los puntos medios de los lados del tringulo, seobserva inmediatamente que el tringulo inicial [ZlZ2, Z3, zll y los cuatrotringulos en que queda dividido (ver la figura 6.1) son todos ellos87 104. 88 Captulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logartmicasZ1 Z1Figura 6.1: Tringulos.semejantes y, adems, la longitud de cada uno de los cuatro tringuloses la mitad de la longitud del tringulo inicial, y lo mismo ocurre conlos dimetros respectivos.Teorema 6.1 (Teorema de Cauchy-Goursat para tringulos)Sea f holomorfa en T. Entonces r f(z)dz = O.J [Z l I Z2,Z3,Zl]Demostracin.- Si dividimos [Z1' Z2 , Z3, Z1] en cuatro subtringulos segnse indica en la figura 6.2 y llamamos ..yo al tringulo inicial y ,(1) ,,(2), ,(3) Y ,(4) a los cuatro subtringulos respectivamente, es inmediatoque4 J (k) f (z)dz = 1 f( z) dz (6.1)k=1 , 'oya que los lados j.nteriores de los , (k) se recorren dos veces , pero ensentidos opuestos.De (6.1), por la desigualdad triangular, se sigue queSea ,1 el tringulo que proporciona la mxima integral en (6.2), esdecir,(6.3)http://carlos2524.jimdo.com/ 105. El teorema de Ca.uchy-Goursat 89Figura 6.2: Subdivisiones.Si repetimos el mismo proceso dividiendo ahora 11 en cuatro subtringulos,obtendremos otro tringulo 12 de modo quey, por tanto,Por recurrencia, construimos la sucesin de tringulos {,n}Vn E N (6.4)Por otra parte, de acuerdo con las observaciones previas al teorema,si Tn es la regin formada por In Y su interior,(6.5)y(6.6)http://carlos2524.jimdo.com/ 106. http://carlos2524.jimdo.com/90 Captulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logartmicasDe (6 .5) se deduce que lII1n .... oo D(Tn ) = O. Por lo tanto, {Tn } es unasucesin contractiva de conjuntos compactos no vacos cuyo dimetrotiende a O: por el teorema de Cantor, la interseccin de todos ellos esun punto,00Puesto que f es holomorfa en zo, dado [ > O,38 > O / O < 1 z - Zo 1 < 8 ===? I f (z) - f (zo) - f' ( zo) I < [z - ZoElijamos p E N de modo que Tp est contenido en el crculo decentro Zo y radio 8. Entonces,1 z - Zo 1< Por otra parte, dado que 107. http://carlos2524.jimdo.com/El teorema de Cauchy-Goursatresulta que, por la regla de Barrow, (f( zo) + J'( zo)(z - zo))dz = OInluegolJ,n f( Z)dz l = lJ,n (f(z) - [f( zo) + J'(zo)( z - zo)])dz l< l(n) mx{lf(z) - [j( zo) + J'( zo)(z - zo)JI}z ETnes decir,Relacionando (6.7) Y (6.4) , obtenemos queluego r f( z )dz = O D 1,0In?. pIn?. p91(6.7)Rebajando un poco las hiptesis, podemos obtener una nueva versindel teorema 6.1 que nos resultar muy til.Corolario 6.1 Sea Zo E T. Si f es holomorfa en T - i zo} y continuaen T , entonces la integml de f a lo largo del tringulo [Zl ' Z2, Z3, zll escero.Demostracin.- Distinguiremos varios casos segn la posicin de Zo enT (ver figura 6.4).a) Zo es un vrtice de T (por ejemplo Zo = Zl).Podemos elegir dos puntos a y b en los segmentos [Zl ' z2l Y [Z3, zllrespectivamente, tan cercanos a Zo como queramos; Entonces 108. http://carlos2524.jimdo.com/92 Captulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logartmicasZo = Zlcaso a)Zlcaso b)Zlcaso c)Figura 6.4: Posibles posiciones de Zo.Puesto que a T2 y T3 se les puede aplicar el teorema 6.1, quedar f - r fJ[Zl ,Z2 ,Z3 ,Zl) J[ zl,a,b,z)Puesto que f es continua, es obvio que el lmite (cuando a y b tiendena zo) de esta ltima integral es 0, y se obtiene el resultado para estecaso.b) Zo est en un lado del tringulo (por ejemplo en [Zl' Z2]) 'Dividimos el tringulo en dos, de forma que ahora Zo es vrtice deambos tringulos, por lo que, aplicando el caso a), se vuelve a obtenerel resultado esperado.c) Zo es interior a T.Se divide T en tres tringulos a los que se puede aplicar el casoa). O6.1.1. CONJUNTOS ESTRELLADOS Y PRIMITIVASDefinicin 6.1 Sea A un subconjunto de C. Diremos que A es estrelladosi existe a E A de modo que el rango del segmento [a, zL paracualquier z de A, permanece dentro de A. Es decir,3a E A / (1 - t)a + tz E A Vt E [0,1] Vz E AEs evidente que todo conjunto convexo es estrellado. Un ejemplointeresante de conj unto no estrellado es e - {zo} , donde Zo es cualquier 109. http://carlos2524.jimdo.com/El teorema de Cauchy-Goursat 93Figura 6.5: Conjuntos estrellados.nmero complejo. Como vimos en el ejemplo 2 del captulo anterior, sobreeste tipo de conjuntos las funciones holomorfas no siempre admitenprimitiva.Lema 6.1 Sea A un abierto estrellado y f una funcin continua en A.Si para todo tringulo 'Y que, junto con su interior, est contenido enA se verifica queentonces f admite una primitiva en A.Demostracin.- Sea a E A el punto que verifica que el rango de [a , z]est contenido en A para todo z E A. Podemos entonces definir lafuncinF(z) = r f(u )du Vz E AJ[ a,z](6.8)Probaremos que F es holomorfa en A y que F'(z) = f( z) en A.Dado que A es abierto, fijado z E A, existir r > O de modo queel crculo de centro z y radio r est contenido en A. Entonces , por serA estrellado, para cualquier w de dicho crculo, el tringulo [a, z, w, a]est contenido, junto con su interior, en A. As pues,r f(u)du=OJ[a ,z,w,a]luegor f(u)du + r f(u)du + r f(u)du = OJ[a,z] J[z,w] J [w,a] 110. http://carlos2524.jimdo.com/94 Captulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. FUnciones logartmicas~::I z(!Aa!1Figura 6.6: F( z) = Ia ,z] f(u)du.de dondeF(z) - F(w) = ( f(u)duJ[w,z]La integral del segundo miembro de la expresin anterior se puedecalcular parametrizando el camino [w, z] como:luegou=w+t(z-w), du=(z -w)dtF(z) - F(w)F(z) - F(w)z - wla1f(w + t(z - w))(z - w)dtla1f(w + t(z - w))dtpor lo tanto1 F(Z: = ~(w) - f( z)1 = Ila1f(w + tez - w))dt - f( z)1= Ila1[J(w + tez - w)) - f( Z) ]dtl (6.9)Dado que f es continua en A, lmw-+zf(w + t(z - w)) = f( z ), ypara cualquier > O existir > O de manera que 0 1. Adems, segn se vio en el primer ejemplo del captulo2, esta serie diverge en todos los puntos de la frontera, 1 z 1= 1.Ejemplo.- La serie L znn! tiene radio de convergencia O, ya queluego slo converge para z = O.Ejemplo.- Las series L (z ~;t y L ~~ tienen radio de convergencia +00,ya que1, n~/1 -1' 11/(n + 1)! 1- 1' n! _ l' 1 _ 1m V 1/ n: - 1m / I - 1m ( ) I - 1m -- - O1 n . n + 1 . n + 1luego convergen en todo e.Llegados a este punto conviene comentar que es posible extender ae, sin ninguna dificultad, la teora de convergencia uniforme de sucesionesy series de funciones de variable real que el lector posiblementetA los efectos de series de potencias convendremos en que B(zo, +=) = e yB(zo,O) = {zo} .tNtese el significado del nombre de serie centrada en zo.Como haremos (ventajosamente) en el captulo 11. 124. http://carlos2524.jimdo.com/108 Captulo 7: Series de potencias. Funciones elementalesconoce~. En tal caso podramos demostrar que la convergencia de lasseries de potencias complejas es uniforme sobre los compactos interioresal crculo de convergencia y deducir de ello la continuidad y derivabilidadde las mismas. Sin embargo, nos limitaremos a probar, en estemomento, que las series de potencias pueden derivarse trmino a trminosin necesidad de aludir a la convergencia uniforme.7.1.1. DERIVACIN DE UNA SERIE DE POTENCIASTeorema 7.1 Supongamos que la serie L: an(z - zo)n tiene radio deconvergencia r > O.La funcin f definida en el crculo de convergencia B(zo, r) por00f(z) = L an(z - zo)nn=Oes derivable y su derivada es00f'(z) = L: nan(z - zo)n-l Vz E B(zo, r)n=lDerr{y;{racin.- En primer lugar se observa que las dos series de poten-.~ . , '1'G,las,.~ .'..:....: ..tienen el mismo radio de convergencia, ya que:lmsup 11 (n + l)an+1 I = lmsup v'+l" 11 an+1 I= lmsup 11 an+l I= lmsup~Dado Zl E B(zo, r), entonces, ambas series convergen y deberemosprobar que00f'(Zl) = L: nan(zl - zo)n-ln=lITSi no es as, puede consultar el apndice A. 125. http://carlos2524.jimdo.com/Series de potencias complejas 109es decir, si00g(z) = : nan(z - ZO)n-ln=len B(zo, r), entonces1, f(Zl) - f(w) ()1m = 9 zlw-+Z Zl - WPara ello, tomemos primero un rl < r tal que Zl E B(zo, rl)' ytomemos tambin un r2 < rl de forma que B(Zl,r2) e B(zO,rl)'Sea entonces w E B(Zl' r2):~ { (zl-zO)n _ (w-zo)n ( )n-l}_ () = L..- an - n Zl - Zo - *n=l Zl - WTeniendo en cuenta la frmula.:An _ Bn = (A - B )(An- 1 + An-2 B + ... + ABn-2 + Bn-l)n-l(A - B) : An-k Bkk=l 126. http://carlos2524.jimdo.com/110 Captulo 7: Series de potencias. Funciones elementalesobtenemos queEsta ltima expresin es la suma de una serie que vamos a dividiren una suma parcial ms su resto como sigue:an {};(ZI - zot-k(w - Zo)k - n(ZI - zot-I}~I an 1 {'f 1 ZI - Zo In-kl W - Zo Ik +n 1 ZI - Zo In-I}k=1~I an 1 {'f r~-kr; + nr~-I}k=1< 2n 1 an 1 r~ -Ipuesto que rl < r, nanr~-I converge absolutamente, luego 2n 1 an 1 r~-I converge, y, por el criterio de comparacin, (*) es unaserie convergente de forma que dado > O, existe no E N tal que(A partir de no el resto est acotado en mdulo.)Por otra parte, la suma parcial < 2: (7.2)es un polinomio (de la variable w) que podemos representar por p( w )tal que p(zo) = O, luego, por continuidad, lmw --+zQ p(w) = O, y, dado > O existe 8 > O (8 < r2 para que p( w) est definido) de manera que 1 w - Zo 1< 8 ~I p(w) 1< ? (7.3) 127. http://carlos2524.jimdo.com/Series de potencias complejas 111Finalmente, si 1 Z - w 1< 8, teniendo en cuenta (7.2) y (7.3), obtenemosquel.::......o.f(Z--.:...l)_-..:.......:.f(--,-w) ~ ( )n-ll - - L.J nan Zl - ZoZl - W n=l< lE an {E(Zl - zo)n-k(w - zo)k - n(Zl - zot-1}1+ n=~+1 an {E(Zl - zot-k(w - zo)k - n(Zl - zot-1}6 6 < "2+"2=6 OCorolario 7.1 Si el radio de convergencia de la serie de potenciasL~=o an(z - zo)n es r > O) entonces la funcin definida por la suma deesta serie es infinitamente derivable y su derivada de orden k (siempredefinida sobre el mismo crculo de convergencia) es00fk)(z) = L n(n - l) ... (n - k + l)an(z - zot- k on=kDe aqu se deduce que, puesto que fk)(zo) = k(k - l) ... lak = k!ak,n)(zo)an = , n = 0,1,2, ...n.(7.4)y de esta ltima expresin se deducirn importantes resultados en elprximo captulo; de momento observemos tan slo que si dos series depotencias centradas en un mismo Zo convergen a la misma funcin enun entorno de Zo) entonces sus trminos son idnticos o, dicho de otraforma, dos series distintas (centradas en zo) no pueden converger a lamisma funcin.Ejemplo.- Consideremos la serie de potenciasSu radio de convergencia es r =1lmsup :J1/n1, luego la seneconverge en la bola 1 z - 1 1 < 1. 128. http://carlos2524.jimdo.com/112 Captulo 7: Series de potencias. Funciones elementalesSea f( z) la funcin holomorfa definida mediante ella:1 z - I 1< ISu derivada es:j'( z) = f( -Ir -In (z - l)n-ln=l n00= ~) -lr - 1(z - l)n-ln=l00= L) -lr(z - l)nn=O00= E(l - z)nn=OEs decir, una serie geomtrica de razn 1 - z, con 1 1 - z 1 < 1, luegosu suma vale:j'(z) = 1 - (~ _ z) = ~Si recordamos del captulo anterior que sta es precisamente la derivada(en su dominio de definicin) de cualquier determinacin dellogaritmo, tendremos que, en particular para la determinacin principal,puesto que f( z) y log z tienen la misma derivada, ambas funcionesdifieren en una constante.Luegof( z) -log z = k 1 z - 1 1< 1Ahora bien, dado que f(l) = ao = y que log 1 = 0, entonces k = 0, yse concluye que la suma de la serie de potencias inicial es precisamentela determinacin principal del logaritmo complejo (en el dominio de laserie); en definitiva:E00 ( (z -l )n -lr - 1 = log zn=lnS1 1 z - 1 1< 1 (7 .5) 129. http://carlos2524.jimdo.com/Las funciones elementales 1137.2. LAS FUNCIONES ELEMENTALES7.2.1. LA FUNCIN EXPONENCIALComo hemos visto en un ejemplo anterior, la serie de potenciasL:~~ :~ tiene radio de convergencia +00, es decir, converge en todo C.La funcin definida por medio de esta serie se conoce con el nombre defuncin exponencial de variable compleja y se representa por exp z opor eZ, es decir,+00 z n .exp z = eZ = L , V z E Cn=O n.(7.6)Vamos a analizar las propiedades de esta funcin.Segn el teorema 7.1, es derivable en todo el plano complejo y suderivada es+00 zn- l +00 z nexp' z = L n-,- = L ,n=l n. n=O n.es decir,exp' z = expz Vz E C (7.7)De donde adems se deduce que todas las derivadas sucesivas deexp z coinciden con exp z.Para encontrar nuevas propiedades de exp z introducimos una funcinauxiliar: para cada w E C consideramos la funcinfw : C ---+ CZ -T fw(z ) = exp(w - z )exp z = ew- zezque es holomorfa en C y cuya derivada esluego f w(z) es constante.Ahora bien, exp z, para valores reales de z, es la funcin exponencialreal (pues coincide con el desarrollo en serie de Taylor de esta funcin);en particular, exp O = 1, y como f w (z) era una funcin constante,fw(z ) = fw(O) , se obtiene queVz,w E C 130. http://carlos2524.jimdo.com/114 Captulo 7: Series de potencias. Funciones elementalesPoniendo en esta ltima expresin z' = w-z, obtenemos la deseablefrmula:Vz,z' E e (7.8)Tomando ahora z' = - z, resulta que exp( - z) exp z = exp O = 1,luego( e Z) -l =e -z Vz E e (7.9)de donde, adems deducimos queVz E e (7.10)Hasta aqu hemos conseguido generalizar satisfactoriamente las propiedadesbsicas de la funcin exponencial real. A partir de este momentoobtendremos propiedades tal vez un poco sorprendentes. Trataremosde expresar la funcin exponencial en trminos de funcionesconocidas. Para ello, observamos que, si z = x + iy, entonces, deacuerdo con (7 .8),exp(x + iy) = expxexpiydonde exp x es la exponencial real y basta con estudiar la funcin exp iy.Utilizando directamente la definicin:e'Y =cos y + i sen y Vy E IR.como es conocido de series de potencias reales). Luegoexp( x + i y) = eX+iy = eX ( cos y + i sen y) Vx,yEIR. (7.11)El resto de propiedades que siguen son consecuencia inmediata de estaexpresin. 131. http://carlos2524.jimdo.com/Las funciones elementales 115Teorema 7.2 a) La funcin expz es peridica, con perodo 27ri . Msexactamente,eZ = eW {=::} 3k E Z / z - W = 2k7rib) 1 eZ 1= ere(z), im(z) E Argez. Luego, si 1 z 1= r =1- O ya E Argz,podemos escribir' /'z = reai = exp(1og r + ai)(expresin de z en forma exponencial)c) eZ E R {=::} im(z) = 2k7r para algn k ,E Zd) eZ es imaginario puro {=::} im(z) = 2k7r + ~ para algn k E Ze) exp( %i) = i, exp( 7ri) = - 1, exp( 3; i) = - i, exp(27ri) = eO = 1 OA partir de la forma exponencial, podemos expresar el prod ueto denmeros complejos como sigue.La frmula de De Moivre quedar comoY, finalmente, las races n-simas vienen expresadas por la frmulaa i nC a + 2 k7riz = re ===:;,wk=yreXp , k=O,1 , 2, . .. ,n-1nOtra consecuencia importante de las propiedades de la funcin exponenciales la siguiente. La circunferencia de centro z y radio r, esdecir, el conj unto{z + r(cost + isent): t E [O,27rJ}puede expresarse como{z + reit: t E [O,27rJ}y, en particular, los nmeros complejos de mdulo 1 son todos los de laforma 132. http://carlos2524.jimdo.com/116 Captulo 7: Series de potencias. Funciones elementalesNaturalmente, no podemos terminar este apartado sin estudiar enqu sentido continan siendo funciones inversas las funciones exp y log.En sentido estricto esto es imposible, dado que exp no es inyectiva.Tambin puede haber problemas con el hecho de que, del logaritmo,tenemos infinitas determinaciones.Teorema 7.3 Sea a E IR Y consideremos la determinacin del logaritmologa. Entoncesa) elogaz = z'o) loga eZ = zVz E e - {O}si a - 7r ~ im(z) < a + 7rDemostracin.- a) exp(loga z) = exp(ln 1 z 1 +i arga z)= exp(1n 1 z !) exp(i arga z) =1 z 1 exp(i arga(z)) = z .(z .:. O para que loga z est definido.)b) loga eZ = ln(1 eZ 1) + i arga eZ = ln(eX) + iy = x + iy = z, ya quey por hiptesis y E [a - 7r,a + 7r[, luego y = arga(z) OU na ltima propiedad deseable de eZ sera la de queEsta se verifica para z complejo y w E N , pero para el caso generalno podemos intentar ver si se cumple, ya que an no sabemos elevarun nmero complejo a otro.'7.2.2. LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICASPara definir las funciones trigonomtricas podramos, como en elcaso de la funcin exponencial, generalizar la expresin de estas funcionescomo serie de potencias. Sin embargo, la frmula (7.11) permitedefinirlas de una forma ms directa: puesto queeib cos b + i sen be -ib cos b - i sen b 133. http://carlos2524.jimdo.com/Las funcion es elementalessumando y restando ambas expresiones, obtenemos:luegoeib + e-ibeib _ e- ib2 cos b2i sen beib + e- ibcos b = 2 ' b _ e-ibsen b = 2i117Estas ltimas expresiones, conocidas como frmulas de Euler nossugieren definir las funciones trigonomtricas complejas como:cosz =2senz= ----2iVz E e (7.12)A partir de aqu, las restantes funciones trigonomtricas se definencomo en el caso real:sen ztan z = --,cos zcos zcotz = --,sen z1sec z = -cosz1csc z =-senzSI COS Z -:. Osi sen z -:. OY, a partir de (7.12), se obtienen inmediatamentea) Las deri vadas:cos' z = - sen z, sen' z = cos z Vz E eb) cos z y sen z son peridicas, con perodo 211':(7.13)cos(z + 211') = COS z, sen(z + 211') = sen z Vz E e (7.14)c) cos z es una funcin par y sen z una impar, es decir,cos( - z) = cos z, sen(- z) = -sen z Vz E e (7.15)Tambin es fcil demostrar las frmulas clsicas de la trigonometra. 134. http://carlos2524.jimdo.com/118 Captulo 7: Series de potencias. Funciones elementalesTeorema 7.4 Sean z, w E C. Se verifican las siguientes igualdades:a) cos2 z + sen2 z = 1b) cos (z + w) = cos z cos w - sen z sen wc) sen(z + w) = senz cos w + sen w cos zDemostracin.- Son fcilmente deducibles de la propia definicin; veamos,como ejemplo, la primera:cos2 z +sen2 z = (z +2 e-iZ) 2 + ( eiZ-2Z.e-iZ) 2e2iz + e- 2iz + 2eo e2iz + e- 2iz _ 2eo-------------+-------------- 4 -44/4 = 1 OVamos ahora a obtener la expresin de las funciones trigonomtricasen forma de series de potencias:cos z =esto es,00 z2ncos Z = L:( -lt -()'n=O 2n .Anlogamente, para sen z,+00 z2n+lsen z = L: ( -1 t ( ) ,n=O 2n + 1 .Finalmente observemos que no todas las propiedades de las funcionessen y cos reales se pueden trasladar al campo complejo: lasfunciones complejas sen y cos no son acotadas. Para probar este hechobasta observar que si x es real, entoncese-X + eXcos xz = = cosh x2 135. http://carlos2524.jimdo.com/Las funciones elementales 119ye- X _ eXsen xz = 2i = i senh xy, por lo tanto, lmx-++oo cos xi = lmx-++oo sen xi = oo.7.2.3. LAS FUNCIONES HIPERBLICASLas funciones hiperblicas se definen, como se hace generalmente enel caso real, mediante las frmulaseZ + e- Zcoshz = 2 'eZ _ e- 'Zsenhz = - ---2Vz E ,una coleccin (probablemente infinita) de ellos. Aqu nos limitarem'"a estudiar cuntos valores distintos toma la potencia ZW y su relaci.Rcon potencias y races.En primer lugar, si w = n E N, es de desear que zn coincida con 1""vieja" frmula de zn = zz . . z (n factores). Para ello, escribiendo 2en forma polar:z = I z I exp( i argx z )con x cualquier real, por la frmula de De Moivre,zz z I z In exp(ni argx z)exp( 7L In z) exp( ni argx z)exp( n logx z) 136. http://carlos2524.jimdo.com/120 Captulo 7: Series de potencias. Funciones elementalessegn la definicin (7.17), luego zn coincide, para cualquier determinacindel logaritmo, con el producto de n factores iguales a z. Adems,ello significa que zn toma un nico valor.Tambin resulta evidente, segn (7.17), que si w = 0, el nico valorque toma ZW es l.Veamos ahora qu ocurre con exponentes enteros negativos: anlogamenteal caso anterior, es de esperar que z-n coincida con (l/zt;esta ltima expresin coincide a su vez, por lo probado arriba, con elproducto de n factores iguales a 1 I z, es decir,(~r =11 1zz zI ~ In exp (ni argA ~))exp( -n In z) exp( -ni argx z)exp( -n logx z)z-n Vx E IRluego, nuevamente, la definicin de zW, para z = -n, n E N, toma unnico valor y coincide con la clsica.Estudiemos el caso en que w es racional. Si w = pi q con p y q primosentre s, ZW debera dar la q-sima raz de zP, que, como sabemos, tieneexactamente q valores distintos, y esto es precisamente lo que ocurrecon ZW: Si j3 es un argumento de w, entonces todos los argumentos dew son de la forma O' = j3 + 2br, k E Z, y, por tanto,exp( w[ In I z I +iO' ]) exp( w[ In I z I +i(j3 + 2br) ])exp(w[ In I z I +ij3 + 2bri ]) -exp(w[ In I z I +ij3 ]) exp(~2ki7r)qcomo q no divide a p, exp(E2ki7r), al variar k en Z , toma exactamente qq valores distintos (para k = 0, 1,2, ... , q - 1, por ejemplo, y los demsse repiten), luego hay exactamente q argumentos de w que dan distintosvalores a zW; es decir,zp/q = {exp(~[ In I z I +ij3])exp ( ~2ki7r): k = 0, 1,2, ... ,q -1}q q 137. http://carlos2524.jimdo.com/Series de potencias bilterasdonde (3 es un argumento cualquiera de w.Por otra parte,zp/q exp(E[ In I z I +i(3 ])exp(E2ki7l')q qexp((ln I z I +i(3)E + (2ki7l' E))q qexp((ln I z I + i(3 + 2ki7l') E)qyI exp( (In I z I +i(3 + 2ki7l') p)V'zPque era lo que habamos anunciado.121Por ltimo, dejamos para el lector la comprobacin de que, si w noes racional, ZW toma infinitos valores distintos .Ejemplo.- Clculo de ii.ii = eiLogi = elnl+i(I+2br) = e -I+2br*En cuanto a' la derivada de las funciones potenciales, es claro que,fijada una determinacin del logaritmo, logx, la funcines derivable en e - {w: x + 7l' E Arg w} y su derivada es7.3. SERIES DE POTENCIAS BILTERASConsideremos una serie de la forma(7.18)n=-oo-De modo que ii es un conjunto iufinito de nmeros reales! Poniendo k = Oobtenemos la curiosa expresin ~ E ii. 138. http://carlos2524.jimdo.com/122 Captulo 7: Series de potencias. Funciones elementalesDe acuerdo con el captulo 2, diremos que es convergente si lo son lasdos series+00 +00 E an(z - zot y E a_n(z - zo)-nn=O n=lSi en la segunda de estas dos series ponemos wconvierte en(7.19)(z - ZO)-l , se(7 .20)que es una serie de potencias centrada en O, de forma que, si R es elradio de convergencia de la primera serie de (7.18),R= 1lmsup~y SIr=lmsup~entonces l/r es el radio de convergencia de (7.20).As pues, la condicin suficiente para que (7.18) sea convergente esque1 11 z - Zo 1 < R y < -1 Z - Zo 1 ro tambin1 Z - Zo 1 < R y 1 Z - Zo 1> r(luego ha de ser r < R o la serie no converger en ningn punto).De esta forma, la serie (7.18) converge en la corona circular o anilloA(zo;r, R) = {z E e: r 3. Adems, R = +00.Por lo tanto, la serie converge en el anilloA(2i; 0, +(0) = e - {2i}EJERCICIOS Y PROBLEMASSERIES DE POTENCIAS COMPLEJAS7.1 Hallar el radio de convergencia de las siguientes series de potencias: 140. 124 Captulo 7: Series de potencias. Funciones elementales+00 n +00 n +00 n +00a) L~ b) L~ c) L 2n zn d) L zn!n3n=l n n=l n=O n=O+00 +00 +00 +00 ,e) L z2n f) L(3+(-lttzn g) L nnzn h) L ~zn nnn=3 n=l n=l n=l+00 +00i) L 2n zn! j) L(n + Tn)znn=2 n=O7.2 Estudiar la convergencia de las siguientes senes de potencias en lafrontera de su crculo de convergenciat :7.3 Hallar el radio de convergencia de la serie L~~ anzn cuyos coeficientesson los nmeros de Fibonacci:7.4 Utilizar el criterio de Dirichlet (problema 2.16) para probar que, si lasucesin {an} es decreciente y converge a O y si el radio de convergencia deL anzn es 1, entonces esta serie converge en todos los puntos de la fronterade su crculo de convergencia excepto quizs en z = 1.DERIVACIN DE SERIES DE POTENCIAS7.5 Sumar las series+00 na) L ~n=l n7.6 Probar que, si la serie de potencias f( z) = L~~ an (z - zo)n tiene radiode convergencia no nulo, entonces existe una primitiva de f que tambinpuede expresarse como la suma de una serie de potencias.7.7 Sumar las seriest En algn caso, puede ser til el uso del Cri terio de Dirichlet (ver problema2.16).http://carlos2524.jimdo.com/ 141. http://carlos2524.jimdo.com/Ejerccos y problemas 125+00 +00 +00a) L nzn-l . b) L n(n - 1)zn-2 c) L n(n + 1)znn=l n=2 n=l7.8 Si el radio de convergencia de la serie f(z) = ~~ an(z - zo)n espositivo y al i:- O, probar que f es inyectiva en un entorno de Zo ..7.9 [Multiplicacin de series de potencias] Utilizando el teorema de Mertens(problema 2.19) probar que las series de potencias pueden multiplicarse trminoa trmino en el interior del mnimo crculo de convergencia, es decir,demostrar que sientonces+00f(z) = L an(z - zotn=O+00g(z) = L bn(z - zo)nn=O1 z - Zo 1< r1 z - Zo 1< rIz-zol+ oo (1 + *) n para todo z E C:7.21 Supongamos que f es derivable en el abierto conexo U (de lR o C) yquezo E U. Demostrar que si .entoncesj'(z) - cfez)f( zo)o Vz E UYofe z) = yo (z - zo) 143. http://carlos2524.jimdo.com/Ejercicios y problemas 127LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS7.22 Demostrar que las funciones trigonomtricas son holomorfas en todosu dominio y las derivadas soncos' z = -senzsen'z = cos ztan'z1 = -- = 1 + tan2 zcos? zsi cos z f:- O7.23 Concluir la demostracin del teorema 7.4.7.24 Demostrar que la identidadez+iw = eZ( cos w + isen w)es vlida Vz, w E C.7.25 Demostrar las siguientes identidades:cos(x + iy)sen(x + iy)I cos(x + iy) II sen(x + iy) Icos x cosh y - i sen x senh ysen x cosh y + icos x senh y= Jcos2 X + senh2 yJsen2 x + senh2 yLAS FUNCIONES HIPERBLICAS7.26 Demostrar las siguientes propiedades de las funciones hiperblicascosh y senh:a) cosh z = cos iz, senh z= -i sen iz Vz E Cb) son holomorfas en C y cosh' z = senh z, senh' z = cosh z Vz E Ce) son peridicas con perodq 27rid) cosh(-z) = coshz, senh(-z) = -senhz Vz E Ce) cosh 2 z - senh 2 z = 1 Vz E Cf) cosh(z + w) = cosh z cosh w + senh z senh w Vz, w E Cg) senh(z + w) = senh z cosh w + cosh z senh w Vz, w E C+00 z2n +00 z2n+lh) cosh z = L -()' senh z = L ( )' Vz E Cn=O 2n . n=O 2n + 1 . 144. http://carlos2524.jimdo.com/128 Captulo 7: Series de potencias. Funciones elementales7.27 La funcin tanh se define por medio de la frmulasenhztanh z = - -h- Vz E el cosh z ::J o cos za) Probar que tanh es holomorfa en todo su dominio y hallar su derivada.b) Probar que tanh z = -i tan izoPOTENCIAS COMPLEJAS7.28 Probar que, si w f/. IQ y z ::J O, entonces ZW toma infinitos valoresdistintos.7.29 Hallar las siguientes potencias complejas:.!p7.30 Es cierta alguna de las siguientes igualdades?a) z2w = (zw)2 = (z2)wb) az+w =azaw Cundo lo es cada una de ellas?PROBLEMAS DIVERSOS7.31 Para qu valores de z es real eZ, cos z , sen z , tan z , cosh z, senh z tanh z? E imaginario puro?7.32 Resolver las siguientes ecuaciones:a) eZ = 1 + i b) eZ = id) cos z = O e) sen z = Og) cos z + sen'z = 2 h) cos z + sen z = wj) cosh z = O k) senh z = Oc) ez =v'3+if) sen z = 1000i) sen z - cos z = i1) cos z = cosh z7.33 [Solucin trigonomtrica de la ecuacin de tercer grado]a) Probar que la ecuacin de tercer gradopuede reducirse a la formaw3 + pw + q = O 145. http://carlos2524.jimdo.com/Ejercicios y problemas 129mediante el cambio z = w - ~.b) Haciendo w = ks, buscar el k adecuado para transformar esta ltimaecuacin en4s3- 3s + , = O (7.22)c) Demostrar que 4 sen3 a - 3 sen a + sen 3a = O 'Va E ed) Concluir que una solucin de (7.22) es s = sen a si a verifica la igualdadsen 3a = , .7.34 Utilizar el mtodo del problema anterior para hallar alguna raz delpolinomio 146. http://carlos2524.jimdo.com/ 147. Captulo 8http://carlos2524.jimdo.com/Funciones analticasEs bien conocido que una funcin de variable real, f, puede serderivable en un intervalo abierto, 1, sin que por ello su derivada, 1', seaa su vez derivable (o ni tan slo continua) en l. Por ello se habla defunciones de clase en, es decir, derivables con continuidad hasta ordenn, o de clase eoo, derivables hasta cualquier orden. Cuando una funcines de clase eoo en 1, es tambin conocido que se puede obtener la seriede Taylor de f centrada en un punto del intervalo 1, pero incluso esposible que esta serie no converja, o, an convergiendo, que no lo hagaa la propia funcin que la engendra. El concepto de funcin analticaen un punto Xo viene ya desde las funciones de variable real y se asignaa aquellas funciones de clase eoo en un entorno de Xo cuya serie deTaylor converge a la propia funcin en algn entorno de Xo.Sorprendentemente veremos en este captulo que todas las funcionescomplejas holomorfas en un abierto U, son analticas en todos los puntosde U (donde la definicin de analiticidad ser la extensin natural delconcepto mencionado para funciones reales). Adems es de destacarque esta propiedad es una consecuencia casi inmediata! del teoremade Cauchy-Goursat ..De este modo queda considerablemente restringida la clase de lasfunciones holomorfas en conjuntos abiertos: solamente lo son aquellasque, localmente, coinciden con una serie de potencias.As, por ejemplo, la funcin -derivable en IR-f(t)131si t -::/: Osi t = O 148. http://carlos2524.jimdo.com/132 Captulo 8: Funciones analticasno admite ninguna extensin holomorfa en ningn entorno del origen.Veremos finalmente una serie de propiedades importantes de lasfunciones derivables de variable compleja que si no se verificaban en elcaso de derivabilidad real es precisamente debido a la diferencia que allexista entre derivabilidad y analiticidad en abiertos.8.1. FUNCIONES ANALTICASDefinicin 8.1 Una funcin f es a