Capítulo 10 Razonamiento espacial 37

Vocabularioaltura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

altura de un cono . . . . . . . . . . . . . 690

altura de una pirámide . . . . . . . . 689

altura inclinada de un cono recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

altura inclinada de una pirámide regular . . . . . . . . . . . 689

área total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

arista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

arista lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

cara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

cara lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

centro de una esfera . . . . . . . . . . 714

cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

cilindro oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . 681

cilindro recto . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

círculo máximo . . . . . . . . . . . . . . . 714

cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

cono oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

cono recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

dibujo en perspectiva . . . . . . . . . 662

dibujo isométrico . . . . . . . . . . . . . 662

dibujo ortográfico . . . . . . . . . . . . 661

eje de un cilindro . . . . . . . . . . . . . 681

eje de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . 690

esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

hemisferio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

pirámide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

pirámide regular . . . . . . . . . . . . . . 689

plantilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

poliedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670

prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

prisma oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . 680

prisma recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

punto de fuga . . . . . . . . . . . . . . . . 662

radio de una esfera . . . . . . . . . . . 714

sección transversal . . . . . . . . . . . 656

superficie lateral . . . . . . . . . . . . . . 681

vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

vértice de un cono . . . . . . . . . . . . 690

vértice de una pirámide . . . . . . . 689

volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.

1. Un(a) −−−−

? tiene, por lo menos, una cara lateral no rectangular.

2. Un nombre que se da a la intersección de una figura tridimensional y un plano es −−−−

? .

Clasifica cada figura. Identifica los vértices, las aristas y bases.

3. 4.

Describe la figura tridimensional que se puede formar con la plantilla dada.

5. 6.

■ Clasifica la figura. Identifica los vértices, las aristas y bases.

prisma pentagonal

vértices: A, B, C, D, E, F, G, H, J, K

aristas: −−

AB , −−

BC , −−

CD , −−

DE , −−

AE , −−

FG , −−−

GH , −−

HJ , −−

JK , −−

KF , −−

AF , −−

EK , −−

DJ , −−

CH , −−

BG

bases: ABCDE, FGHJK

■ Describe la figura tridimensional que se puede formar con la plantilla dada.

La plantilla forma un prisma rectangular.

10-1 Geometría de cuerpos geométricos (págs. 654–660)

EJERCICIOSE J E M P L O S

38 Guía de estudio: Repaso

Halla la cantidad de vértices, aristas y caras de cada poliedro. Usa tus resultados para verificar la fórmula de Euler.

13. 14.

Halla la distancia entre los puntos dados. Halla el punto medio del segmento con los extremos dados. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

15. (2, 6, 4

) y

(7, 1, 1

)

16. (0, 3, 0

) y

(5, 7, 8

)

17. (7, 2, 6

) y

(9, 1, 5

)

18. (6, 2, 8

) y

(2, 7, 4

)

■ Halla la cantidad de vértices, aristas y caras del poliedro dado. Usa tus resultados para verificar la fórmula de Euler.

V = 12, E = 18, F = 8

12 - 18 + 8 = 2

■ Halla la distancia entre los puntos (6, 3, 4) y (2, 7, 9) . Halla el punto medio del segmento con los extremos dados. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

distancia:

d = √

������������

(2 - 6) 2 + (7 - 3) 2 + (9 - 4) 2

= √

�

57 ≈ 7.5

punto medio:

M (

6 + 2

_ 2

, 3 + 7

_ 2

, 4 + 9

_ 2

)

M (4, 5, 6.5

)

10-3 Fórmulas en tres dimensiones (págs. 670–677)

EJERCICIOSE J E M P L O S

Usa la figura compuesta de cubos individuales para los Ejercicios del 7 al 10. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.

7. Dibuja las seis vistas ortográficas.

8. Dibuja una vista isométrica.

9. Dibuja el objeto en perspectiva de un punto.

10. Dibuja el objeto en perspectiva de dos puntos.

Determina si cada dibujo representa el objeto dado. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.

11. 12.

■ Dibuja las seisvistas ortográficas del objeto dado. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.

Superior: Inferior:

Frontal: Trasera:

Lado izquierdo: Lado derecho:

■ Dibuja una vista isométrica del objeto dado. Haz de cuenta que no hay cubos escondidos.

10-2 Representaciones de figuras tridimensionales (págs. 661–668)

EJERCICIOSE J E M P L O S

Capítulo 10 Razonamiento espacial 39

Halla el área lateral y el área total de cada prisma o cilindro recto. Redondea a la décima más cercana si es necesario.

19.

20. un cubo con lados con longitud de 5 pies

21. un prisma triangular equilátero con una altura de 7 m y longitudes de aristas de la base de 6 m

22. un prisma pentagonal regular con una altura de 8 cm y una longitud de aristas de la base de 4 cm

Halla el área lateral y el área total de cada cilindro o prisma recto.

■

L = Ph = 28 (10) = 280 pulg 2

S = Ph + 2B = 280 + 2 (49) = 378 pulg 2

■ un cilindro con un radio de 8 m y una altura de 12 m

L = 2πrh = 2π (8) (12) = 192π ≈ 603.2 m 2

S = L + 2B = 192π + 2π (8) 2 = 320π

≈ 1005.3 m 2

10-4 Área total de prismas y cilindros (págs. 680–687)

EJERCICIOSE J E M P L O S

Halla el área lateral y el área total de cada pirámide recta o cono recto.

23. una pirámide cuadrada con lados con longitud de 15 pies y una altura inclinada de 21 pies

24. un cono con un radio de 7 m y una altura de 24 m

25. un cono con un diámetro de 20 pulg y una altura inclinada de 15 pulg

Halla el área total de cada figura compuesta.

26. 27.

Halla el área lateral y el área total de cada pirámide o cono recto.

■

El radio es 8m, por lo tanto, la altura inclinada es

√

����

8 2 + 15 2 = 17 m.

L = πr� = π (8) (17) = 136π m 2

S = πr� + π r 2 = 136π + (8) 2 π = 200π m 2

■ una pirámide hexagonal regular cuyas aristas de la base miden 8 pulg y cuya altura inclinada es 20 pulg.

L = 1 _ 2

P� = 1 _ 2

(48) (20) = 480 pulg 2

S = L + B = 480 + 1 _ 2

(4 √

�

3 ) (48) ≈ 646.3 pulg 2

10-5 Área total de pirámides y conos (págs. 689–696)

EJERCICIOSE J E M P L O S

Halla el volumen de cada prisma.

28. 29.■ Halla el volumen

del prisma.

V = Bh = (

1 _ 2

aP)

h

= 1 _ 2

(4 √

�

3 ) (48) (12)

= 1152 √

�

3 ≈ 1995.3 cm 3

10-6 Volumen de prismas y cilindros (págs. 697–704)

EJERCICIOSE J E M P L O S

40 Guía de estudio: Repaso

Halla el volumen de cada cilindro.

30. 31. ■ Halla el volumen del cilindro.

V = π r 2 h = π (6) 2 (14)

= 504π ≈ 1583.4 pies 3

■ Halla el volumen de la pirámide.

V = 1 _ 3

Bh = 1 _ 3

(8 · 3) (14)

= 112 pulg 3

■ Halla el volumen del cono.

V = 1 _ 3

π r 2 h = 1 _ 3

π (9) 2 (16)

= 432π pies 3 ≈ 1357.2 pies 3

10-7 Volumen de pirámides y conos (págs. 705–712)

EJERCICIOSE J E M P L O S

Halla el volumen de cada pirámide o cono.

32. una pirámide hexagonal con un área de base de 42 m 2 y una altura de 8 m

33. una pirámide triangular equilátera con aristas de base de 3 cm y una altura de 8 cm

34. un cono con un diámetro de 12 cm y una altura de 10 cm

35. un cono con un área de base de 16π pies 2 y una altura de 9 pies

Halla el volumen de cada figura compuesta.

36. 37.

Halla cada medida. Da tus respuestas en función de π.

38. el volumen de una esfera con un área total de 100 π m 2

39. el área total de una esfera con un volumen de 288π pulg 3

40. el diámetro de una esfera con un área total de 256π pies 2

Halla el área total y el volumen de cada figura compuesta.

41. 42.

■ Halla el volumen y el área total de la esfera. Da tus respuestasen función de π.

V = 4 _ 3

π r 3 = 4 _ 3

π (9) 3 = 972π m 2

S = 4π r 2 = 4π (9) 2 = 324π m 2

10-8 Esferas (págs. 714–721)

EJERCICIOSE J E M P L O

Respuestas, continuación

Respuestas: Capítulo 10 85

CAPÍTULO 10

Vocabulario

1. prisma oblicuo

2. sección transversal

10-1 Geometría de cuerpos geométricos

3. cono; vértice: M; aristas: ninguna; base: �L

4. pirámide rectangular; vértices: N, P, Q, R, S; aristas:

�

NP, �

NQ, �

NR, �

NS, �

PQ, �

QR, �

RS, �

SP; base:PQRS

5. cilindro

6. pirámide cuadrangular

Respuestas, continuación

86 Respuestas: Capítulo 10

10-2 Representaciones de figuras tridimensionales

7.

8.

9.

10.

11. sí

12. no

10-3 Fórmulas en tres dimensiones

13. V = 9; A = 16; C = 9; 9 - 16 + 9 = 2

14. V = 8; A = 12; C = 6; 8 - 12 + 6 = 2

15. d ≈ 7.7; M (4.5, 3.5, 2.5)

16. d ≈ 10.2; M (2.5, 5, 4)

17. d ≈ 2.4; M (8, 1.5, 5.5)

18. d ≈ 7.5; M (4, 4.5, 6)

Respuestas, continuación

Respuestas: Capítulo 10 87

10-4 Área total de prismas y cilindros

19. L ≈ 628.3 yd2; A ≈ 785.4 yd2

20. L = 100 pies2; A = 150 pies2

21. L = 126 m2; A ≈ 157.2 m2

22. L = 160 cm2; A ≈ 215.1 cm2

10-5 Área total de pirámides y conos

23. L = 630 pies2; A = 855 pies2

24. L = 175 π m2; A = 224 π m2

25. L = 150 π pulg2; A = 250 π pulg2

26. A = 800 pies2

27. A = 448 π m2

10-6 Volumen de prismas y cilindros

28. V = 1080 pies3

29. V ≈ 1651.7 cm3

Respuestas, continuación

88 Respuestas: Capítulo 10

30. V = 900 π pulg3

31. V = 45 π m3

10-7 Volumen de pirámides y conos

32. V = 112 m3

33. V ≈ 10.4 cm3

34. V = 120 π cm3

35. V = 48 π pies3

36. V = 512 π pies3

37. V ≈ 1533.3 cm3

10-8 Esferas

38. V = —

500 π ��

3 m3

39. A = 144 π pulg2

40. d = 16 pies

41. A ≈ 338.3 cm2; V ≈ 293.5 cm3

42. A ≈ 245.0 pies2; ≈ 84.8 pies3