vol-1 kt 1-1/maths-7...arun jyothi. s. research officer, scert venugopal c. asst. professor, govt....
TRANSCRIPT
KT 1-
1/Math
s-7(E) V
ol-1
The National AnthemJana-gana-mana adhinayaka, jaya he
Bharatha-bhagya-vidhata.Punjab-Sindh-Gujarat-Maratha
Dravida-Utkala-BangaVindhya-Himachala-Yamuna-Ganga
Uchchala-Jaladhi-tarangaTava subha name jage,Tava subha asisa mage,Gahe tava jaya gatha.
Jana-gana-mangala-dayaka jaya heBharatha-bhagya-vidhata.Jaya he, jaya he, jaya he,Jaya jaya jaya, jaya he!
PLEDGEIndia is my country. All Indians are my broth-ers and sisters.
I love my country, and I am proud of its richand varied heritage. I shall always strive tobe worthy of it.
I shall give respect to my parents, teachers andall elders and treat everyone with courtesy.
I pledge my devotion to my country and mypeople. In their well-being and prosperityalone lies my happiness.
State Council of Educational Research and Training (SCERT)Poojappura, Thiruvananthapuram 695012, Kerala
Website : www.scertkerala.gov.ine-mail : [email protected]
Phone : 0471 - 2341883, Fax : 0471 - 2341869Typesetting and Layout : SCERT
First Edition : 2014, Reprint : 2016Printed at : KBPS, Kakkanad, Kochi-30
© Department of Education, Government of Kerala
Dear children,
We’ve learned much math.
Let’s now move up higher
To the world of Arithmetic
Full of interesting numbers
And strange relations
To the new levels of Geometry
To understand the logic of Math
And to find the new things
Let’s move ahead with confidence.
Dr. P. A. FathimaDirectorSCERT
Anil Kumar M.K.H.S.A., S.K.M.J.H.S.S. Wayanad
Arunlal M.J.U.P.S.A, A. U. P. S. Aramangalam,Kozhikode
Kunhabdulla M.U.P.S.A, Muyippoth M.U.P.S. Kozhikode
K.G. Thulasidharan PillaiP.D. Teacher, G.H.S.S. Karukon, Kollam
Balagangadharan V.K.G.M.H.S.S. Calicut University Campus,Malappuram
Artist
Dhaneshan M.V., Karivellur, Kannur
Manikantan K.O.V.U.P.S.A. Pattiyamma,A.U.P.S. Kannur
Rajesh K.P.Lecturer, DIET, Kannur
R. RamanujamH.S.S.T., M.N.K. M.G.H.S.S., Pulapatta,Palakkad
Sunil Kumar V.P.H.S.A. Janatha H.S.S. Thembamood,Thiruvananthapuram
Experts
Dr. E. KrishnanProf.(Rtd) University College, Thiruvananthapuram
Dr. Vijaya Kumar A.Prof. Cochin University, Cochi
TEXTBOOK DEVELOPMENT TEAM
Academic Co-ordinator
Dr. Lidsonraj J. Research Officer, SCERT
ENGLISH VERSION
Dr. E. KrishnanProf.(Rtd) University College,Thiruvananthapuram
S. BinduAssociate Professor of English (Rtd)University College, Thiruvananthapuram
Academic Co-ordinator
Arun Jyothi. S. Research Officer, SCERT
Venugopal C.Asst. Professor, Govt. College
of Teacher Education, Thiruvananthapuram
State Council of Educational Research and Training (SCERT)
Vidya Bhavan, Thiruvananthapuram
Participants
1. Adding Angles..............................................7
2. Parallel Lines..............................................13
3. Unchanging Relations................................35
4. Repeated Multiplication............................49
5. Area of a Triangle ......................................67
6. Square and Square Root ...........................79
7. Speed Math ...............................................89
ContentsContentsContentsContentsContents
Certain icons are used in this textbookfor convenience
Computer Work
Additional Problems
Project
Self Assessment
1Adding Angles
8
Joining angles
Can you draw this angle?
A B
C
30o
Draw another angle on top like this:
How many angles at A now?
∠CAB = ............
∠DAC = ............
Do you see one more large angle?
How much is it?
∠DAB = ............
How did you compute it?
∠DAB = 45o + 30o = 75o
In the figures below, the measures of two angles are
shown. Write the third angle as a sum or differenceand compute its measure:
∠DAB = ............ + ............ = ...........
∠DAB = ............ + ............ = ...........
∠CAB = ............ − ............ = ...........
A B
C
30o45o
D
40o
60o
A B
CD
30o
60o
A B
CD
80o
A B
C
D
120o
45o
A B
C
D
50o
∠DAC = ............ − ............ = ...........
IT 1
75-5
/Bac
.Sci
e-5(
M) (
Vol-1
)
9
On both sidesDraw a line and a perpendicular to it as below:
BA
C
Now draw an angle within it like this:
What is the measure of ∠DAC?
∠DAC = ............ − ............ = ...........
Let’s stretch AB a bit to the left:
How much is ∠DAE?
∠DAE = ............ + ............ = ...........
Do you see how ∠DAE is related to ∠DAB ?
Now look at this figure:
Can you compute ∠DCA?
How about drawing a perpendicular at C and splittingthis angle?
How much is ∠DCE?So, how much is ∠DCA?
∠DCE = 90o − 60o = 30o
∠DCA = 90o + 30o = 120o
BA
C
D
50o
D
CA B
E
60o
BA
C
D
E50o
40o
BA
C
D
E
50o
D
CA B
60o120o
D
CA B60o
IT-2
61/2
/MAT
HS-
7 (E
) Vol
-1
1 0
Like this, can you compute the angle on the right inthe figure below?
In the figures below, the angles made on either sideby joining two lines are shown; the measure of oneangle is given. Compute the measure of the other:
What do we see in all these?
If a line is drawn from another line, thenthe sum of the angles on either side is180o.
A pair of angles got like this is called a linear pair.
Angle calculation
$ How much is ∠ACE in this figure?
$ How much is the angle between the two slanted
lines in this figure?
$ In the figure below, ∠ACD = ∠BCE. How
much is each?
130o
100o
40o
50o
80o
50o
25o
A B
D
E
C
A C B
E D
30o
1 1
Cutting across
In the figure below, how much is the angle onthe left?
Suppose we extend the upper line downwards:
Now there are two more angles underneath.
How much is each?
The angles at the top and bottom, on the left of theslanted line form a linear pair.
There is such a linear pair on the right also.
Now can’t we compute these angles?
In the figure below also, two lines cut across eachother. Can you compute the other three anglesmarked?
What do we see from all these?
Among the four angles made by two linescutting across each other, the sum of eachpair of nearby angles is 180o. Each pair ofopposite angles are equal.
Now can’t you calculate the angles marked in eachof the figures below? Write them in the figure.
75o
75o105o
75o105o
75o 105o
120o
110o
135o
45o
1 2
70o
50o
60o 40o
70o
30o
Looking backLooking backLooking backLooking backLooking back
$ Applying the geometrical ideas learnt innew contexts.
$ Explaining the concepts of linear pair andopposite angles, using ideas relating toangles.
$ Solving problems using the knowledgerelating to angles.
Achievements On my own With teacher’s Must improvehelp
50o
Let's do it!In each figure some angles are given. Findall other angles.
2Parallel Lines
1 4
Parallel Lines
We get a line by joining any two points; on the other hand,do any two lines meet at a point?
What about the lines got by extending a pair of oppositesides of a rectangle?
Do they meet however much we extend them?
Why?
Look at this quadrilateral:
If we extend the top and bottom sides, do they meet?
What about the left and right sides?
� �
��������������� ���������������������
���������������������������������������������
����
��������� ���� � � �� ����� ��� ���� ������������ ���� ��� �� ���� � ��������� ���� ��������������
�����������
����������������������������������
��������������������������������������������������� ���������
!�������"�������#�������
$���������������%����������������������������������"�������������������#�&�������������'
(��� ��� ��� ����� ��� ��� ��� "������� ���#� ���� �
���������������������������)�*�����������������������������������������������������������������������������'
(���������������������������������������������+�
�������������������������'
,����������������������������&�����������������#���
����
����
����
����
�������
����� �������������������������
������������� ���������������������� � ������ ����� ������� �� ���� ��������� � ������
���� ��������
������������������ �� �������������� �����!���������� ������ �������������������
����
����
"����#���� � ����
$��%����� ����������#�������� ����������#�� � ���� ����&
� ���������������#����� ����������#����������'����������
� �
�����������������������������������������������
$��������������������������������������������������'
!�������������������������������������������������
��������'
-���������������������������������������������#��������������'
(��������������������� ��������������������������� ��������������������#��������������������'
����
��� ��������� ��������
(���� ���� ���&
$��%����� ��'��'����������������� �� ���)��!���
*���� ���'�����
+�������� ��&
*�'��'�������������������� �� ���)������������ �����'��'������������ ��'��'���������������
*���� �� ���)����������'�����
, ���������������������������������'�������'��'�������������������-��������������������%� �� '����� ��� ���� (����� � ��������������������������������%����� ���������'�������� �����'��'������������ ������� ��� �� �'������ (�� � �� '��'�������� ���� #�� ����� ��� ���'������������� �����������,������!�� ���'��'������������ ���'��'��������
,������������'������������ ����� ���������������������������.��%���'������������� ������(������ �������������%����� ���������� �'��������� ���� ��'������ ��� �� ��'��������� � ��'��������� �� ������������� ��� �''������� ��'������������ ������
����
����
9
On both sidesDraw a line and a perpendicular to it as below:
BA
C
Now draw an angle within it like this:
What is the measure of ∠DAC?
∠DAC = ............ − ............ = ...........
Let’s stretch AB a bit to the left:
How much is ∠DAE?
∠DAE = ............ + ............ = ...........
Do you see how ∠DAE is related to ∠DAB ?
Now look at this figure:
Can you compute ∠DCA?
How about drawing a perpendicular at C and splittingthis angle?
How much is ∠DCE?So, how much is ∠DCA?
∠DCE = 90o − 60o = 30o
∠DCA = 90o + 30o = 120o
BA
C
D
50o
D
CA B
E
60o
BA
C
D
E50o
40o
BA
C
D
E
50o
D
CA B
60o120o
D
CA B60o
� �
������������������������������������
���������������������
�������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������
�����
��������������
�������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������
� � � �
� � � �
�������
� � � �
�������
�������
����� �������� ������������ � ��������� ���������������������������
����������� ����������� ����� ���� ��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������
������� ��������������� ������ ����� ����� ��������������������������������������������� ���������� ���� ��������������������� �� �����
�′��������������′�����������
������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������� �����������������������
������������������������′′��������
���������������������������������������������� ��������������� ��� ���� ��������������������������������
��������������������������������������������������������
�′
�′�′′
KT 1-
2/Math
s-7(E) V
ol-1
� �
(��������������������'
34� 54�
.�������������������������
��������������������������������������������
����������������������������
34� �4�
���������������������������������
,������������������������
-������������������������������#�����������������������������������������
���������'��������''������ ������������ ���������
�������������������
6���%���� ���������������� �������� ��������������� ����������������� ��������������������� �������������
� �
(��������������������������������������'
7��
7��� �
�
�
-�������� ����������������������������������������������������
-����� ��������������������#�������������������������������������'
����
8���
84�
/�������������������������������������������
.� ��������������������#�������������������������#����������������������)
�� ���������������
-��������������#����������������������������������'
�4�
�����������������������������������
34� 34�
����������������
�������'�������'����������
*������ ���'���������� ��������� ���
$��%����� ���� ��������#�������� ��&
� ���������������
�
0���������������������"�����������������������������'
�4�
�4�
!�������������������)�/����������������������
$�����������������������������'
����������������������������������������������������������������������������
�4�
�4�
�4�
�4�
�4�
984�
984�
/���������������������������������������������������
�4�
�4�
�4�
�4�
984�
984�
984�
984�
���������� �������������
1������������#���������� �&
+�������������� ��� ��� �� ��#���������������� ����#���&
:����� ������� ������ ���� ��������%��� ���
���� �����'����� ����
� ��
���� ������� ���� �� �������� ����������� �� ��
����� ����� ��������� �� ���� ��� ������
���� ��������
� �
-�������������������#���������������������������������������'
74�
�������������������������������"��������������������)
��������"�����������������������'
��������� ��������"���#������������� ������ ��
�����
-���������������#������������������������������������
����������������������������)�-�����������#���������
����������������"��������������������������)�$�������
��������������������������������������)
34�
7��
����������������
:������������� �������������� ��'������� ��� ��� ����:���� ���� ������� ������� ��'������ ����� �� ��&
:���� ���� '����� ����� � �� �� ����*� � ����� ������� ����;��� ���
+���#���%����� ��������� �������'�����&
���� ����������� ����������� �������� ������� ���� ���� ������ ���� ������
!"� #�� �� ��� �������� ��$������
����� ������� �������������
� �
�������������
��������������������������������������������#�������������������'
-����������#������������������������������#������������������������������������������������������������������)
����������������������������������������������������"���������������)�,����������������� ���+���������������������1�������������������234�5)
�����������������������
*��� �������������� �������� ���� ���
� ����#����� ���� ��������'����� ����
34�
1������������ ���� ������� ��������'�����! ����
84�
34� 34�
34� 34�
34�9�4�
9�4�
%�� ���
&���� !�"'(�
<4�9�4�
7��
+�������� ���� ������� ������������
��������� ���
�
6������������������������ ���������)�$������"����#���������"����������������)�6��������������������������������������������'
7�����#������������������������������������������%��������#���������������������������������+��������������������������������������������%���������#��������������������������������)
!�����������������������������������������������������������������������������'
.������������������������#����������������������������������#���������� ���������������)
�
8
�
�
������ ����� �� ��
������ ����� �� ��
9
�
�
�
�
� �
�
������ ���� � �� ��
������ ���� � �� ��
�
�
�
�
� ������ ����� �� ��
����� ����� �� ��
�
8
�
� �
�
����� ���� � �� ��
����� ���� � �� ��
�������� ���������
� �
: �����������������������������������������������������������)�,�������������'
!����������������������������������%���������#��������������������������������
�����������������������
.����������������������%���������#������������������������������)
�������������� �������������������������#����������������� ��������������'
.������������������������#����������"������������#����������������������)
�������������
������ �������������#���&
� ��� ��� � �� ��������#������� � �� ������ �����%��
+�����%����� ����������
(���������������#�������� ���� ���
���������������� ������������&
� �
-��������������#���������������������������������������
���������������)�!�����������������������������"�)
/����������������������������������������
�����������������������������������������������������'
� �
� �
� �
�
34�
-�������#
!������������������������������������������������
���������������������"�������#�����������������
�����������������������������������������������
�����������)�7�����#��������������"� ���������)
9����������������������������������������#������
��������������������������������������������������
��������������������������������)
$������������� ������
����� �������
∠���#��∠��� ;4�
�� ���� �� ������
����� �������
∠���#��∠��� ;4�
�������� ������ ��������
$��%����� ��'�������
:��������������'���� ��� ����������� ������������
� ����#����� ���'�������
� �
���������� �� �����
6������"���������������������������������������������
������������������'
�������������������������������
!���������������������������������������������������
������������������)
�4�
984�
�4�
!���������������������������������������� �������)
!����������������������� ������������)
984�
�4�
984�
�4�
������������ � ������ ����*0������'��������� ��� �1�
.��%�'�����������-����� �������=����� ���
.��%�����'������>����"�������� ���� ����
+����������� ������������������%����>��-�"����� ������������ ������0�����-�
+��������������� �������������� ������ ���
� �
�
�
�
�
���� � ������� ���� ��� � �� �� � �� '����������-�
-���� ���� ����� ������-�������%��� ���
������������������ ������ ����?� �����%��������� �� ��� ������ %&� ������� ������� � �������� ���%� ���$����� ��� � ����� �������� 1 ����� � �� ����� ������ ���� ������ ������� ����'����#������
�
�
�
�
�
���
���
�
� �
-��������������#���������������������������������
�����������������������������)�$����������������������<
��������������<����������������������������������
����������)� �
� �
� �
�
34�
$���� ������ ������ $���' ������ ������
�� ��������������� ������
,�����������'
�4�
�
�
�
����������������������������������#��������������)
������������
$��%����� ��'����� ���&
34�
1�������������� ��������������� ���� ���� ����� ���
� ������� ������������ ���� ���
+�����%����� ���'����� ���&
+���� ����� �����
0��� ���;�� ���� ����� ��� � �� ������� � �� ����� ������� ���������
� ����#����� �������� ���� ��
(���� ������� ������������������ ���
� �
������������������������)
(�������������������������������������������)�6������������������=4�)�!����������������������������)�6�������������������������������������������'
�4�
�
�
�
�
(������������������)�.��������������������������)
������������������������
!���������������������������)�/����������������������������'
�4�
�
�
�
�
34�54�
�
!��������� ��������� ����
������� ����� �� �%�� � ��� ��� ��'�������� ���!#����
34� 74�
�
�
�
34� 74�
�
�
�
���������������
!������������������������<�������#�������
�4�
�
�
�
�
34�54�
�
+���'�������� ����� �������%���� �� ���������������%���'���� ��� ���������
?������ � �� ����%��'����� ��� ��� ���'����� �����
34� 74�
�
�
�
+���� ����� ������� ������%���%����� ����
*����� ����
(��� ������ ����� ���� ����������� ������� ��
� �
∠��������∠��������������������'
�4�
�
�
�
�
34�54�
34�
�
6����#����������������������������������������������
��������������������������������������������������������#��������������������
����"�������������∠���)
$����#����������������� �������∠����1����5)
!�������∠���#��������������∠���+�������������������������∠����������<������������)
,�#
∠��� > 234��−�?4��>�2?4�
$������������
∠��� > 2?4��−�;4��>�34�
!���������∠����>�∠��� > 34�
�
�
�74�
�
�
34�
�������������� ��������
$��%����� ���'����� ���&
� ������� ����������#�������� ���� ������%����
*��� ���� ������%�� �����
*��� �������%���������������������
+��� =���� � ���''������ �������� �����%�� ���
����� ��&
� ������� ����������#�������� ���� ������%�#���
*��� �������%�������
� ��� ��� � �� ������� � ������ ���������������������
� ��� ��� � �� ������� � �� � ������ ��������� ����� ��
�
�
�74�
34�
(����������������'
°
�° �°
!��������������������������"���������������#��#� )���������������������������
6����������������������������)
$��������������#��������
∠����>�∠�����>� �
°
�° �°
�
�
�
�
�
$����������������"#
∠���@�∠��� >�234�
°
�° �°
�
�
�
�
�
�°
!������� ������
"���������������� ���� ���������� ���� ��
������������ �����9<4������������� ����������
������� ����� ������������ � �� �� ��� ��
� ��%�� �������"������������������������ ��
����������� ���������� �� ������ ���������9<4��
������� ����� ���������������� ���� � ���
������������'��������� ���''�����������*�
� ������� �� �����������#��������� ������
#��'����������������������� ���� ��������
� ���� ������������� �����9<4��
0����� �� ��������� �������� �
� @���� ������ � �� �� � �� ����� ��� � �
�� ������������������ �� ���(���� �
������������� � ���� �� ������� ���� ��
���������� ��� �� ������� ��
� :��'����������'��������������#�������
���� ��)���0���� �������� ����������� �
�� ��� ��� �� ����� �� ��� 9<4��� ��� ���
�����������#�������, �������������'�
�������#�� �� ����'����������������
��������'������ ��
� � ����� ������� ���� ��%������ �����
���� ������� ���������'�������������
���� ���� ��� � �� � ������ � ��� ������
� ���� ������������� �����9<4���#������
����� �����������
�
�
�74�
�
�
34�<4�
<4�
� �� �
�������������� ��� �
�������������������������
�������������� ������� ������ ������������
���� ��� ��� ����
� � � � � �
� �
�
� ���������������������������������������������������������
� �
�
�
��� ���
� �����������������������������������������!�������������������������"��������������#�$��%��������������������������������������#
���������� ��� ���
������������ �� ������������������������� ����������� ����������� ��� ��� ! ���� ��"������� ��
����������
#���������� $%���!��&������'�����( � ��� �������������� ��������� �� &��%���'��������� ������ ������)�*��� α �� �� ���� ��� �� &���+ � ��� �
,�����′�+����� ��! ���� �� &���′���'��� ��� ��β �� �� ���� ��+ � � � � �
������′′���� &���′′ ���'������ γ ���� ���� ��� ������ �������′′′� -���'%′ ���'%′′��������� ��� � ��. ∠�������∠���
∠�′���″���∠��∠�″���′′′���∠�/�. �� ��! �������� 0������� ��
�� �� ���� ���� �� ���� �� ������� 1����� ��2� ���� � �� �� "���� �� �� ��������� ���� �+���� !������ ���� �3
�
��� 4��
���%′
���
� �����������������������������������������#�$����������������������������������#
� � �
5��
67�
67�
�
�
34�
�
�
�
<4�
� �
�
�
34� 74�
�
-��������������"#���������������������)�/������������������������������)
� -��������������#����������������������)�/���������������������������������)
�
-����������#���������������������)�/�������������������)
���"�����������������
$��;��������'����� �������� ����������
-����� ���� ���� �����*0� ���01������ � �
�������������������������� ������� ��� �1
'��������*0����� ������� ��� �*�'����
���01��.��%�� ��'�������� ����� ������������
����� ���������� ���� ������'���� � ��'���!
�� ����*01��
7��
8��� �
� �
�
�
�
�
$���������%�� ���������#�������
+����� �����%����*0����������(�������
��� � ��� ����01������(����� � ������� ����
���%���� ��� � ��'����� ��������� ��'!
������� ��������� ���
� �
� �
�
�
�
����������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������
������������������������������������������
���� �������������������� ����� ��� ����� ���
���������������
� �
�
� �
KT 1-
3/Math
s-7(E) V
ol-1
� ����������������� ���� � ���� �����
������� ������ �����������
� ��������������������� ������ ������
������������� ��� �����
� �������������� ���� � �����������
������ ������������������������
������
� ����������������� ���� � ������� �
� �����������������������������
���� ��������������� ���� � �������
�� ������������ ��� �� ������ ���
������������
� �� �������� �� �� ����� ������
��������� ���������� ���� �
� ��������� ������ ��������������� ��
����� ������� ���������� �����������
��� ����������� ���� �
� !������������ ����������� ���
������� � "#$��
���������� � �� �� ��� �������� ��� �������
����
�������� � ��
�
�������������� ����
� �
����������� ����� ��
������������ �������������������������������������������������������������������������� ��������������� ��������������������������� �������������������������������������� ��� ������� ��� ��� ���� ���������� ��������������
����� �������� � ��� ��� ����������� ������� ������������ ����������������������������������������������������� ���!����������� ��"�� ������� ��#������������� ����� ������� ����������������� �������������� �� ������������������������������� ������������������� �����$�%������������������������������������&��������������������������#��������������������������������������� ���������%�'������������������������������
(�� � ��� �����!���� ���� ���������� ������������������ ��� ��� �������� ����� ������� ���!����������������������������������#�������������������������������� ����������������������
��)�$�%�
(������"������������������������������������������
��)�%�'�
(�������������������������������#���������������� �������������������������������������������������������������������������������������
��)���
�����������������
�������������� ���������������������
����������������������
*���
*���
*���
* ���
������� ������ ������������������������
��������������������� ������� ���������������������
������������������� ��� �����������!�!��!�����������
�������� �������������
"�!��!������������������������������������ �����������
��������������������!������!����
��#�$���
��������%�!�������!����!��!������ ��������������!���
� ������ ��������������!���� ��!���������� ���������������&
���× �'����!��(��)��!��!��������������������!�������
������������������������������������� ������
��#�$�
������� ���������������������������� ����
"�!��%�!���������������!� ��� �����������!���!�
���� ����������������
"�!��������������������������������������������������&
������������!���!��!��������������������!���������������
*!���!��!���������������������!����������������������
�������������������������� �������������
� �
�����������������
+ �������� ������������,��� ��� ������������ ������� ���� ������ �������� ��!��������������������������-��������� ����������.�� � ����� ����� -�� �� �� ��� � ����������.���������������������� ���/� �����������������-��"����������������.������������������������������-��"����������������"��������.�
0����������������������������� ���������� ����� ���� ��������������� ����������������� ���� ������������ ���� � �� ��� ���� ������ ��������� �� ������� ����� �������������� ������ ���!������������������ ������� ������ ��� ����"���� ������� �� ���������������� ���� ������� ���� ���� ����� ������ ���
(���� ���������������������������"������� ���������������� ��� ��������� �����"�������� ������� ������� �� �!������� � �������������������
��� ���� ��� ������������ ��� �� ����������������� ������� ���� ���� �� � ������ ����������� �� ����� ����� ���� �� ���������������������������� ���������� �
���������������������������� ����������������
�������� ��� � ���������� ��� � �������������������������������������������� ������������� ��������
, ������������������������������ �������������
1����1���1�2�����3
��������������
+%����������� ��,
-�.�/ # �
/�.�� # �
��.�$ # 0
��������!������ ��1����� ����� ������
2!��%���������,
'/��-(��.�- # �
'/��/(��.�- # �
'/���(��.�- # 0
���� ������� ����� ��������������-�
*!�����!������ ��!�������������� ������
+�� ����%������� ����� �����������������������������3�
�4���������!��������!����0��������4����� ����� ��������56
��������� �
0�.�5�#�-�
) �����!��!���������5���������0�.�-�������������
0�.�0�.�-�#�'/��0(�.�-�#�-�
�����!����������������� ����� ���������������0�
����������������� ������� ���������������
��� ������� ��� �������������������� �������
������������������������������ �������� ������
7���!�������������!������� ����� ������
3���4��������� ����%�������������������������������������
����������������4��������6�� ��!���������������� �������
�����������������������������������������%����������
�������������!����������!�������������!����������������
����!������!���%����!�
������������������� ������������%�����6�������������
�������%���/����������
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2+ 1 = + + 1 = 2 + 1� � ���
� �
�������� ����������������!����1����������!��������!����)�!�������4���������������1�����1��
���������������� ������������������������������� �������� ���������������������� ��� ��� ������ ����� ��� ��� ��� ��
����������������������� ������������������������
���������� ��������������3�����������8��!������������
� �����!��������!�������������������������.�-6��������
� ��������������.�'��.�-(��2�4������ ��������!���������
/�6������������������������/��.�-��)��������������������
!����1������1������������!��������� �6
���������������������� ���������� �������
����������������������������!�������� �����������������
������������������������������
+��8���%��������������4�������) ������������ ����
!����������������������� ������������������ ����������
��!����1���!������������ ��������%��������
"�!����%������������ ������������������������� ����
'!��������������� ��������(������������!������!���������������
!��������������
�������������������� ��������� �������
2�������������������������������������!������������������
� �������7������������������������������������ �����6
���4����������/�.�/�����/����/���1��$��9 �����.��
#���������������������������������'��!��������������/����
���������������(�
2!���������������!�����������������1������ �����
�������������������� ��������������������������������� ��
����������������������� ����������!������������������������
�4��������� �������������
������� ������
��� ����� ����� ����� ������� ��������� ������������ ��� � ����� ���� ��� ������� ������������ ������������
���!��������������������
:���������������� �������1������������ �����
7����������������
����4������������ ������
)����������������������
������������� ��������� ���������������������������������
������������
��������������������� �������������
&������ ������ ��"�� ����������� ��� ���������������� ����� ���� ��� ��������� ��� ����������
� �����"��������5
6������������ ���������������������������������������� ����� ������� ����� ������������������� ���
(�� ���� ������� ����������� ��� ������� ������������ ���������� ��
����2����73��1����7��������� �������
8������ ����������� ��������� ������� (�� ������� ��� ������� � ��� ��������� ��� ����� ����� �������������������� ���"����������������������
������� ������������������������� ���������9��"�������������������������� �����������
� �
� ��������� �������!��������������� �����
� ������������ ���������� ��������!�
� 3������ ������� ����������������������������!���
����� ���������� �����
� ��������� ���������� �����������
� �����!������ ��1����� ����� �����������������
� ������������������������
� �����!������ ��1������ ����������� ����������
�1���� ���������������������
� ����� ���������������������� ����������������
� ����� ������������������������������������ �������
������ �����
� ) ������� �!� ������ �� � ����� ��� �1�� ������ ���� �����
� �����!���������� �����!������������������������
� �����
������������
���������5�.�/��.�0��
��������������������1�������,
�5�.�/� # ;�
;��.�0� # -�5
�����������������%������,
/��.�0� # -<<
�5�.�-<< # -�5
�����8��������������������������������������!���
2!���������,
/=�.�1
3�.�
2
3
�����������������!������!�� ������! ���� ����������
�������!����������������!�� ���
���������� ������� ������
6��������������������� ���������������������
������������� ����� ����������������� ��� ��
������ ���� ���!���������������������*������
$���������74�������17�
6���������������� �����������������������
� ������������������ �����������������������
�� �!������� ����� ��������� ��� :� �����
:�;�2:�;�73�)�'�����������������������������
���� ������ ��������� ���� ����� �� ���� (�� ��
���������������������������������
����2����73��1����7
(�������������������������2����73������������
���������������������� �������������������
���� � ����� ����� ����1�� ;� 7� ��� ���� ����
��������� ��������� ���������������������
���������� ������������������������������������
������������������� ���
&��������� �� �������� ���� ��������� ��
�� ���������� �������������������������
���1��;�1��������������������������������
���� ���������� ��� �� ������ ���� � ����� ��
� ����� ��� 1� 2��;��3������������� ��������
�������������������������������������������
� ��������������������� �����������
1����1���12�����3��������� ����������
,����������� ������������� ���������� �
�������������������������������������������
�������������������������� ����
� �
����������� ���������� ��������������!�������������
� �������������!�����������������������������!���������
����� �������������!��������������������������������!�
����������������������
��������� ������� ����� ������ ��� �����
������������������������������� ����� � ��
���������!�������������������� ���������%�����3�
�4�������!������!��������������� ����%������,
'�5�.�/�(�.�0��#��5�.�'/��.�0�(
��������������� ����%������
( )13
29 + �.� 2
3�#�/=�.� ( )1 2
3 3+
)�!������!����������������������������������������� ������ ������������,
����������������������������������� ��������������
2!�� �����!��!���������� ������;�.�/��.�;$�
"��8�������������������;�����;$������
3�����!�����/��.�;$����;$�.�/�����������!��������� ���� �
���'�;�.�;$(�.�/��
������������������� �����������������������������
2!������������������ ������� ������,
� $=�.�-/��.�0� � �$0�.�;��.��0
� 55�.�0/�.�-/ �
1
4�.�-� 3
4�.��/
� -����.�<�/��.�<�0� � 5�/�.���;�.�;�$
������������������
��� ��1�� ����� ���� �������� ���������� � ������� ������ ������
�������!��� �����������������������������������
�� ����� �����������
&� ��������� �����������������"����������������� ���� �������� ����� ����� ������� ���������
(�������������������������������������*�����$���������*�;�$������� ����������� ����������������������74��6���������
*���$��74
��������������������������������� ���
(�� �������� ���� ��������� ��� ������� ��� ����� ������������� �� ;����8���������� ���� � �<���� ������� ����� ������� �"������������� ���� ������������&������������������;����������� �������
� ���������������
6���� �������������������������� �������� ���
�������������������������
�������1����������� ������
+���� ����� ����� ��������������������������� ��������������������������� ����������������1�
����� ��� �� ��� �
�������� ��� ����
����� ��� ����� ��� ���� ���� ������ �� ��
������ �
�
+%���������������,
>���������<<�� �����!����������������1��-<<�� ����
����� ��)���������������� ����!����<�� ����
��������2!��!�� ������������>������1���
������������������ ��������
�<<�−�-�< #���<�� ����
�������������������������� ��������
��<�−��< # �<<�� ����
���������������%��������������!��������������������
�������
-�<�.��< # /<<�� ����
)�!��������������������
�<<�−�/<< # �<<�� ����
"�� ����� !����� !������� !�� �� 2=44� −�7=43�−�=4� �
=44�−�27=4�;�=43��!���������������� ��������������� ���
)�������������� ������������� �������
/-5�−�/<�−�5<
*!�����!��������!����!����1������������������������
����������
������� �� � �������� ���� ��� � ������ �
� ������ ��� ����� ������� ��� ����� ���
� ����� ��� � ���� ����� ��� ������
���������������
��������������������������� ��������� ��������������
"������������������ �����������!�� ���������� ��������
� �����!���������� ���������� ��������������
+%����������������
������ !���� �5� ��������� !���� ���� ������ ��������
����������������)����������������!����������������
?����7� �����������*!������������������������!�
+��8�����������������������1�����������������@�����
������!���
�5�.�� # $�
� ����������� �������
������� ���� � �� ��� ����� � ����� ��� ������ ����&������������� ����������������"��������������������������!�������
2�����3����������2����3
(��� ����� ��� ��� ����� ��� ���������� ��"����� �������������� ���!�������������� ������1'�;�*$�;�>*������������� ��"�������*$�;�>*�)744����������������������������������������71'�2������� ��� ������������������ �� ��������������3�
� ����� ���������� ������� ���������
��������������
274�−�*3�−�1
����� ������*�����74����������� ������1���������� ������$����������������������� ������=�
�������� ������<
74�−�2*�−�13
����� ������1�����*��������7�������� ����������7�����74���������'�
(������������������������������������������� ������ �������� �����������274�−�*3�−�1����74�−� 2*;13� � ���=������ ���"������������������������ ��
2��−��3�−��)���−�2����3
���������������5
������������ ������������� ���������������������������������� ����������� ��
�
����!��������������������������!���$��−�� # $<
"�����������!���%���������1��������������!��������� ����%������,���������������������������������������)���������������������� �����������
��−�� # /
�����������������������!�����5����������
)����������� ������!���
�5�.�/ # $<
�� ����������������������� ��������������� �����������������!������� ������������������ �������������������������3���4������
'-<5�.�/�(�−�-� # -<5�.�'/��−�-�(�#�--5
����� ���������������� ������������� �����%������������ ������ ����������� ��������������������� �����������3���4��������%���������������,
/��.�-<�−�-�
����������!�������������� �������-�����-<�
"���������
������������������������������������ ������������������� ���
>����������������������������������������!��� ��������������,
� '-���−�0�(�−�/0
� ( )12
37 1− �−� 12
� '/=5�−�$��(�−����
� '-/5�.�0=(�−�/=
� '/=5�.�$��(�−����
� ( )12
149 3+ �−�/� 12
����������������
+%����������������
A� ������--<�� ��������������1������4��*���%� ��-�
� �������� ���������*���������������-<�� ������*�
�������������� ��
������1=�;�14�−�7=�������������������������� ������ ��� ���� � :=�−� 7=� )� *4�� ���� ����������� ���� � ������������� �������������� ��
����1=�;�=�)�*4�
� ������1=��;��74�−�7=����������������������������������������� ��������������
(��������������"�������������� ���� ���������������� ��� ���� �������������������������������������� ������������������������������� ������������������������������������"������� ��
�������������������
2��;��3�−��)���;�2��−�3
���������������������������?��
� �
��� �������� ������������4���*!�� ��������������4
�!�
+��8���������� ����������������!����A� ����������
����%� ��-��� �����������4����
--<�−�-��#�=��� ����
)��������� �����%���� �����������4��!����
=��.���#�-<<�� ����
����������������1������������!��������������%���%������,���
�%� ��-��� ���������� �����%���� ����6���������� ��
�����������������4�������
-��−���#�-<�� ����
)������4��!����
--<�−�-<�#�-<<�� ����
�������������������� ���������2774�−�7=3�;�=��������
���������774�−�27=��−�=3��!����!��������������
'--<�−�-�(�.���#�--<�−�'-��−��(
������������������� ������������� ��������������������
��������!������������ ������������������������������
�������������3���4������
'/=�−�-0(�.��0�#�/=�−�'-0�−�0(�#�-=
7���!�������������������������� ������������������
��������3���4�����������!����!����
'/=�−�0(��.�-0
���������������
)�������������������������!��������������������
������������������������������������ �������������
������� ��
2!� ������������������� �����������!��� ����������������
� '-���−�0�(�.�/�
� ( )12
38 8− �.� 12
� '-=�−�;��(�.����
� -���−�'���−�-5(
� $�/�−�'��/�−�/��(
�����������
0��"��������������������5
74�−�' ) 7
74�−�% ) 1
74�−�$ ) *
74�−�> ) :
�������� ���������������������������<
8��� ������<
��������� ��� � ����������� ���� ������������������� ����������������������
(��������
����� ����� ��� � ��������� ���� �� ��� ����������������������� �������������� ���������������� ���
0��9���������������������� ������������������������������� �������������� �����������������−���
+�� ��"���� ������� � ���� �� ���� � �����−������������������������−�2��−�3���������������−���
�� ��
��−�2��−�3�)�2��−��3�;�
!�� ��� ���"� ��� �#� ������ � ��� ��$� ����
���������������
%���� ����� ���� ��� �����
� �
����������������
��� ���� ���� ������� ���� ����������� !���� ���� ��!
����1������������������������!�����%��B����%�������!
� ������������1������������� ���������������6�"���������
� ������ ������C
B) �����-<�����������������/C��D�������������
BE���F�� ����������;�����$C����� ���������
B) ��-;������������C���������1 ��G����������������
��� ������ �����������������������
B2�������F�2 ����������-<� 12
������ 12
C
*!�������� ������������� ������
*!� �� !�� ���� �!� � ������� ����� ������ � �� ���
���������
+��8����%������� ���������������������������� �������.����"
!����%�������������� ������������������������������H���
>������������!����1����������������
�������������.����!������������ ��������,
'��.��(�−���#��
9 ��!����8���%�!���
�������!��������������
'��.��(�−����.����#���.���#�/�
) �����������������������������������������������������
���������� �������������������
'��.��(�.�'��−��(��#��/�
�������������������
�������� �����������������1����!���������������� �����
3���4��������D����8��� �����-<�����������������/�������
� �����-/�����������!���������������� ������)�����������
� ��������;6������������������ ��������-<�H�;�#��$�
������ �������
����� �������������� ���� ���� � �� �������������������� ����<
@��������� ��� ���� �������� ���� � ���������������������� ���������������� ���������������������
���!���������"��������� ��������$�����*����� � �� ��� $� ;� *� ���� ���������� ��� $�−� *������ ���� ��������������74�����:���������������� ��������
2$�;�*3�;�2$�−�*3
8������������� ����$��������������������������*������������������������� ��������
&������������� ������$�;�$�)�7:�
(�� ����� ����� ��������� ���� ���� �������������������
2$�;�*3�;�2$�−�*3�)�2$�;�$3�;�2*�−�*3�)�7:
(�� ��� ����� ����� ����������� ��� ���� ��������������� ���
2��;��3�;�2��−��3�)�2�����3�+�2��−��3��1�
��� ��� � ����� �������������� ������� �������� � � ��� ������ �
&�������� '���� ������������ ������� �
#�����
� �
2!����8���%����!����G����������,�� ��-;������������6
������� �����/-��)������������� �����������������������
�������-<� 12
6����������������-;�−�-<� 12
�#��� 12
�
I�� �������� ���8������%�
������������������������������) ����������������������
����� �,
'��.��(�−�'��−��( # '��.��(�−���.��
# ��.���−���.��
# ��−���.���.��
# /�
�������������������
) ������������������������������� ����1����!�������
��������� �����
3���4�����������D����8��������� �����-<��������������/�
)��� ����������������� ��������-<�H�/�#�5�����������
��������� �������������������!��������$�
����� ���������������������������� ������������1��
���!��7���� ���������� ������
� ) ��-/�����������5
� ) ��-$<�����������5<
� ) ��/������������--
� ) ��/<������������
���������������������
�����1�������������!������� �����������������������
� �������1����1������������� ������'������������������
���������������� � �������(
�����������������������������������������
�����!����"��� ��� ������� �������
� �����������
0��"���������������5
�����������������"�������������������7>� �������������������������"����74 ������������������������������������������������������<
(������������� �����"������������������"������������� �������� ������ ����������� ����"������5
���� � �� ��� ��� � ����� ��� 7>� ���� �����������������74��������������� ����<
@� �������������� �������7>�;�74�)�1>�������������� �������7*���6������������������� �������7>�A�7*�)�*���� ��������������������"����7*� ��������������������������������* �����
�������������������(���������������"���������� ������������"������� �����&�����������������������"����74� ������������� ���������������74����� ���������������7>�;�74�)1>� �����
��������������������������"���&���������������������"����7*� �����
� �
�����!�����������������������������
"��������� ������������� ��������/���������������������
��������!������������ ������������� ����������
3���4������
'/��-;(�.�'���-;(�#����-;�#�5<
"��������� �����!����%�������� ���������������/����
��
+%���������������,
"��������������������!��������� ���������� �����
"������������������$<������������������������������
���&��������������������1���/����� �����*!���������� ���
�����������
"���������������!������
$<��/�#�5<
�����������������
����/�#��0<
)������������!������
5<��.�0<�#��-�<
���������������%���%������,����������� ��������������
$<��.����#�0�
)������ ���������� �������������
0���/�#�-�<
�������!������������"��������� ����������/����$<����
��������������������������������!������������ �������������
� ��0�����/�
�������������������� ����������������������������3�
�4���������!�����������$����������;��!������/�.���#
�6����������� ��-<����������
�������������������������!�������������������
# ��$������ �� � ������ ��� �� � ����
��$������� ���� ������� ����� ��� ����� ��� �� ��
� ��$������ ����� � ����� ���� �����
�����������
��"�� ���������B�� �������� ������"� �� � �������"�������� ��5
������ ����� ������ �������� ������� ������ ��������
� � � �
� � � �� ��
�� �� �� �� �� �� �
� �� �� �� �� �� ��
�� �� � � ��
(���������� �������� ����������������� ��������%�;�'�;�7=�;�7>�)�:%��@��������������:����� ������:������������������� ����%������<
��������������������<
(������"������������ ��������������� ������"�����
� ��;�7
����$ ����%
������ ����
��;�2����73���2����$3�2����%3�)�:��;�7>
������������������
:���;�7> ) 2:� ���3�;�2:� ��:3
) :�2�� ;�:3
���������������:�������������� ������������� �������������:�
&�� ������� ���"� ���� ����� � ����������� ������������:����������� ������:�
� �
���������������� ������� �� ��������� �������� ��������������������������������������
������ ����� ������ �������� ������� ������ ��������
� � � �
� � � �� ��
�� �� �� �� �� �� �
� �� �� �� �� �� ��
�� �� � � ��
���������������������������������������������������������������������� �
!���� ����� ������� ����� ����� ���� �����"�����������������������������
������"����������������������������������������#����������������������������������������
����������������� ���������
��������������������������� ������ ��������
���������������� �
��������� �� ��� ������ ��� �� ����
����������� �� �������� ������� ���� ����������
������������ �� ����������� ������ ���� �����
$����%�����
��������������������������� ������ ��������
���������������������
� ������� �!���"���� � ( )34
15× �!� ( )34
5×
� ( )13
20× �!� ( )23
20× � ��#�×��� ��−���##�×���
� ( )12
2 23× ��−�� ( )12
1 23× � ����#�×�$% �− ���#�×�$% �� −��
��−�� � �����
�����
��−�� ��−�� ���−��
��−�� � �����
����� ����� �����
� � � $ # �
" & ' �% �� ��
�� �$ �# �� �" �&
�' �% �� �� �� �$
�# �� �" �& �' �%
�� �� �� �$ �# ��
����������
� (��������)����������*��+��� ��'� ���������+ �����)������( ���������� ������ ���������� ���� ������������������,�����)������-��,���������� �� ����������
��������������#� ������� ����)�����
$�����������"������������������������−�&������&�"����������"��������������������������������������������������������������������
�������� ��� �� ��� �
��� � ���� ��������� ���� ��
� ��� ������ �� ��� �
� �� ��� ��������� �����
� �
� ������������ ����� ��� ������������
���� � ��������
� ������� ����� ����� ��� ��� ��������
�������
� �� ������ ��������������������
���� � �������� ����� ������
� ���������� ����� ��� �����������
��������� �����
���������� � �� �� ��� �������� ��� �������
����
�������� � ��
������������������������
� �
������������ ���������������� ���
������������������������������������
����������������������������������
�������������������������������������������������������������
�� ������������!��������������
"�����������������������#�$����������������������������#%��������& × & ' ()����#
"��������������������!����������������������������������������� × � � ������#
�����������������)& × & ' *+)����#
�����������������������
,�������������������������� &
��������������� & × &���������������� & × & × &
��������������(-��������& × & × & × & × & × & × & × & × & × &����#
������������� �
������� ���� ������� ������������ ����������� ��������������������������������� �� !����� !�����!����������� �����������" ��������� ��� !� ���������������������� ��������������������� � ���� !#������������� �������������$� �������� !������%
&���������#����������'
(��)� ���
���� ���� ������������� ����� ������*++++�!������*+�����
&�����# !�������� ��'
��,�-�,���,�.�,����,����
&���!�����������������!�#����/ �� !�0� �� ���!��� �� '� �+1*1��.-*����������� � �������� ����� ����!���2
��������������� ����������������������������� ������� ������������
�� ��������� ��� ���� ������������������ ���������� ����� �������
� �
��������������� �����������������������������������������&��#�$�������.&���������(-.#
�����������������������!��������������������������
(-&/+0)#
,�����������������������������������������������������&��&���&��###�%����������������������������*-����������&��������������������������(--���������&������������#�����������������������������!��������������������������������!���#
"��������&��&���&���&��##���������������������������������&#
&������������!�������&#
&�����������!�������&#
$�������#���������������������&��������&���������������������!�������&#
���&������������1������������������2��������3#
�������������������!��������������������� ����������������!��������� ��#
�������������
4����������������!��������������������������!����5������ ��� ���� ���� �!���� �����!��������� �����������#
��6�������������������!�#
�����������!�������1�
������������!���1���1��1��###�
���������!������!��������������
1� ' 1
1� ' 1��1�'�7
1� ' 1��1��1 ' 7��1�'��*0
������������!���1�
������������!���� �!�������������������������8���6���������������������#�9������!�
1 ' 1��1��1��1��1��1��������������!���� �������������6�����������������#
������ �� ���
&��!!������ ������ !�� ����� �� ������ ��
!#����� ����!������� ������� ��������3
������45� ������ ������������ ����� ���6!�
���!������� ��#�����!�����!�#������������
���� ����5� ������ �������������!������3
� ��
���� ���� � !�� ����� �� ���� ��������#�� �
��# ���7,��−, ×, ÷)�#������������!�#��� �3
������� ���8!��� �!�����# ���!���� ���3
������5� ������ ��
����� ��� ���� ������ ������!���������� �
�����!�#�����!�������������!�#���� ���
� ������������ ��!������������������� ���9 ���5���������������������
� �
1 ' 21��1��13��21��1��13
' *0��*0
' 0*7
����������*�
* ' 2*��*��*��*3��2*��*��*��*��*3
' ()��1*
' +(*
:����������!�����������������������
,������!������!����
��*��1�
��&���*
��(-��(��
��(--���-��
����������
�����������!�������(-�
"����������������(-��(-���(-���###
������������!�������
(-� ' (-��(-�'�(--
(-� ' (-��(-��(-' (---
%���������(-��
%�!!���������������!���!�������*-#
������������!���*-��
*-� ' *-��*-��*-��*-
' 2*�×�(-3�× 2*�×�(-3�×�2*�×�(-3�× 2*�×�(-3
' 2*��*��*��*3��2(-��(-��(-��(-3
' ()��(----�'�()----
�����������*���+��
����������������2*�×�*�×�*�×�*3�× 2+�×�+�×�+�×�+�×�+3
;������ ��������������������
2*��+3��2*��+3��2*��+3��2*��+3��+
' (-��(-��(-��(-��+
' (-���+�'�+----
�������(--��
(--� ' (--��(--��(--
������������
&��������� �������:!����������'
1
2�����������:!����
��������� ��'1
2���
1
4��
3
4&������� 0�������������
����!�������������1
4�
� �����������������
��−� 14���
3
4&����� �����������'
11 1 1
2 4 4+ = −
��������� ����� ���� �����������:!����
11 1 1 1
2 4 8 8+ + = −
������ ������� !����
11 1 1 1 1
2 4 8 16 16+ + + = −
&������� ���!����;
12 3 32 2 2
1 1 1 1
2+ + = −
12 3 4 42 2 2 2
1 1 1 1 1
2+ + + = −
����������������!�� ������� ����1
2�� 2
1
2�� 3
1
2���� � ����:!���� ���������� ����!#��������� ����
� �
������������������(-��(-��(-��(-��(-��(-
(--� ' (-
' (------
,����������!�����#
� ����������������������������������������(-����������������!�������(-#
� :��!������!���#
� 1-�� +-�
� *--�
�����������������!����1)0+��������� ����!����8����
21��(---3�<�2)��(--3�<�20��(-3�<�+
=�� �!�������(-������������������
21��(-�3�<�2) �(-�3�<�20 �(-3�<�+
:�������!���������������������
�� (**( �� )-+-& �� &1*( �� 01*
������������������
���������!����1)*#+0&�
1)*#+0& ' 21��(--3�<�2)��(-3�<�*
,�1
105⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠�,�
1
1007⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠�,�
1
10004⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠
����������������
21��(-�3�<�2)��(-3<*<1
105⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠�,� 2
1
107⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠�,� 3
1
104⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠
"������!��������������������
�� �*1.<� �� -*.++< �� �<�1 �� -+�
����������
������ �������>� ���������� �� ��!����������!��������#�9������!��������������0*��
0*�'�*��*��*��1��1�
=�� �!���������������������
0* ' *� �1�
��� �������
1
2�,�
1
4�,�
1
8�� ���−�
1
8
�������!�����������!�#��� �����������#��.�������
.�1 1 1
2 4 8+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ � �.�
1
81−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������
1
28⎛ ⎞×⎜ ⎟⎝ ⎠ �,�
1
48⎛ ⎞×⎜ ⎟⎝ ⎠,
1
88⎛ ⎞×⎜ ⎟⎝ ⎠ ����.�−
1
88⎛ ⎞×⎜ ⎟⎝ ⎠
��,�-�,�� � �.�−��
(0������!����������������� �
1 1 1 1 11
2 4 8 1 6 1 6+ + + = −
#������������
.�,���,�-�,��������−��
=���������������!�#����������
��,�-�,�� � .�−��
��,�-�,���,�. � ���−��
������
-�,�� � .�−�-
-�,���,�. � ���−�-
>���� ���������������������
�-�,�-� � -��−�-
�-�,�-��,�-� � -��−�-
������������ ���!��
������������ ����!�� �� ����� ���� �-�� �-���-�
���� � ��� � �:!��� � �-� !#�������� �� �� �����5��� ����� ���������
5 4
How do we split 1000 like this?
1000 = 2 2 2 5 5 5
= 23 53
Now try to write the numbers below as product of powersof prime numbers.
$36 $225 $500 $784
$750 $625 $1024
Powers of a fractionLook at these pictures:
What part of the first square is coloured?
And in the second?
14
of
Numbers in science
Science often requires large numbers. Forexample, the average distance between theEarth and Sun is 149000000 kilometres. Thisis written in scientific notation as 1.49 108.Similarly, the distance travelled by light in oneyear is about 9.46 1017 kilometres. This dis-tance is called a light year. Astronomical dis-tances are often given in terms of light years.The star nearest to the Earth is the Sun. Thenext nearest star is Proxima Centauri, whichis about 4.22 light years away, that is, about3.99 1018 kilometres. We can describe thisin another way. Light rays from this star takemore than four years to reach the earth. Thuswhat we now see is how the star was fouryears ago. So even if the star dies now, wewould go on seeing it for four more years!
Hey! Prakash!
Wait Sir! Problemis about light
years. It'll taketime!
� �
"������1
4�× 1
4'
1
16
�����������������������!��������������
1
4��
1
16'
1
64
"��������!��������������1
46#
���������������������������!����������������������������������
$��������������������
�����������!����� ������8�1
46#
�������������������5
1
4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ #
51
4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ '
1
4�× 1
4�× 1
4�× 1
4�× 1
4
'1
4 4 4 4 4× × × ×
' 5
1
4
'1
64 16×
'1
1024
"������������������������������1
1024������������
�������#���������������!���������!����������������������������!�����������#�9������!��
33
5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
'3
5�× 3
5�× 3
5
'3 3 3
5 5 5
× ×× × �'�
3
3
3
5
'27
125
��6�����������������!��3
2
52⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ '
312
5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
'12
5× 12
5× 12
5
��� ����
������������ ��� ����� ���� ���+��+��&���
������������� ����� ���� ��<'
&�����# !���'
( 0���������������� ��� ���� ���"���������
�����������'
&�������������������'
$���0� ���� ���� ���� �� ���� � ���� �� ����
����������!�#���
A���� ���:!�� �;�&����������������� �
-�'
�������
� �
'1728
125�'�(1�
103
125
:��!������!���� �8�������
� 5
2
3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ �
43
5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ �
101
2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ �
31
22⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������� �����
�������2(.*3��
2(.*3� ' (.*��(.*
' (.&&
:����������!����2(#+3� ��������
�������2-#*3��
������������*��'�()
�����������-#*���2
10#
2-#*3� '4
2
10⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
'4
4
2
10
'16
10000
' -#--()
:��6��������������������������� ��������
:����������!���2-#13� ������������
�������1��
����������������!����������2-#13� ���8�
(*�'�(0*/#�:����������������2(#*3������2-#(*3����� �����
:��!������!���� �8�������
� 2(#(3�� 2-#-*3�
� 2-#(3
?�8�������()��'��&-7)�������������!������!����
� 2(#)3�� 2-#()3�
� 2-#-()3�
��������������������
&���� �� ���� � �� ���� � ���� -�� ��� .�� ���
���� ��-��� �� ���������/ ������ ���� �� ����
�!�#����� ���������0����'
&������������� ���� ��1
2'
1
2��
1
4��
1
8��
1
16�����
8!�� ������� ��#�� ���������������������
����'
��������� ���� ���2
3'
��������� ���� ��3
2'
&�������������!�#����� ��� ����#�� ��
������� ���� ������'���������� �!�#��� �� �
������������������� ���'
&�����# !������� ���� ���'
�
�����������������
��������������������������������������!������������������ �������!�����������������
21��*3�<�2+��*3�'�21�<�+3��*�'�/��*
��������������
1��* ' *�<�*�<�*
+��* ' *�<�*�<�*�<�*�<�*
$����
21��*3�<�2+��*3 ' 2*�<�*�<�*3�<�2*�<�*�<�*�<�*�<�*3
' *�<�*�<�*�<�*�<�*�<�*�<�*�<�*
' /��*
%������������������������!����������!���#
9������!����*���*�
*� ' *��*��*
*� ' *�×*�×�*�×�*�×�*
"���
*� ×�*� ' 2*�×�*�×�*3�× 2*�×�*�×�*�×�*�×�*3
' *��*��*��*��*��*��*��*
' *�
%�!!���������!����������������������!��������������������
323
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� × 5
23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
'2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × × × × × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
'2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3× × × × × × ×
'8
23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������������������������������
� ×�� '�2�×��×�3�× 2�×��×��×��×�3
'�����������������'��
��� �������������
9 ���������!�����!�#���������� �������!�#��
7���!���� �!�#��� �� ����� �B���� ���� � ��� �
��� �������� �!���� ���� �������!�� ����
��0�������������������� ��������� �!��� �
����0���������
( 0� ��� ���� �!��� � �� �������!������ �� �
�!�#���#�����!�����!�#���������!�������
� ���� �����!�#��;
���,��� � 7��,��B�
���� �� � ���� �
&�������!������ ���!�#���#�� ����� �� �� �
#!�� �� � � �� ��������� ���� ��� 9 �� ��
�!������� ������������!�����������,�����
7��,��B����� ������������������������� ��
8!�������������� ���������# �������������
� ��������
�
C ��!�� �������0�� ��� ������ ���;
� ×� � � 7�×�B�× 7�×��×��×�B
� ����������
� �
��6����������!���������������#
"������ �����
��×�� �( )...x x x x× × × ×��������� �×
( )...x x x x× × × ×���������
�( )...x x x x× × × ×���������
� � �
���������� �����!�����!�����
�������������������������� ��������
���������� ��������
������������������������������� �� �
"�����������������
��� ���� ������� ��� ���� ������� ��� ���� ����
�� ��� �������������� ������� ���
���� ���� ������� ��� ������������ ��� ���� ������
���� �������� ��� ���� ��������
"������!������ �8����������� ��������#
� �����!�������*��� �����������!���� �*������*��
� �����������������(-�� ��(-� ���������������� �� �
� �����!��������*���������*���
� �������������������*�� ���� ��*���
� �������������������1�� ���� ��1���
� "������������ �8����!�������*#
*� * * )& *�� *-&/
*� & *� (*/ *�� &-7)
*� / *� *+) *�� /(7*
*� () * +(* *�� ()1/&
*� 1* *�� (-*& *�� 1*0)/
��� �����������������
����� ���� ��-������ ��"�#!������� ����!�#��
����� ��� ���� ��-��9 ���5�������������� ��
�!�#��������� ����� ���� ��-��8!�
����-�,�����-��,�-�
&�������� �����
�+���-�,�.���-��,�-�
�-�����,�.���-��,�-�
�����-�,���,�.���-��,�-��,�-�
$���0��������� ������ ����!�#���������
#�����������!�� ��� ���� ��-�
9 ���5��������������������++�����!�� �
����� ���� ��-'
������� 0��������� ���� ��-� ���#�� ������
��� ����� -�� �� ��� � ��� ����� �++�� ����
-�� ����-.��� ���������++��&�����������#�
�����
�++���-��,�*�
���� �������� � ��� ����� -�� �� *-� D� *�� ���
-���������E�*��� �����������������
*�����-��,�����-��,�-�
��!
�++����-��,�-��,�-�
C ������� �������<+�����!�� ��� ���� ��-�
!�����������:!��
�� ����� �� �����
�� �� �� �����
� �
=�� ���������!������!������#
� ()��)& � )&��*+)
� 1*��+(* � (*/��*+)
����������������������������������!���������������������!�������������������������!�������
9������!����������&� ÷�&��
=�� ����!�����������
&��'�&� �&�
%������������ �������8���� ��&�����&��
&� ÷�&� '��&�
�������������������!���+� ÷�+��
��������������+���������!������+��
+��'�+� �########
9���������� ��
<� ÷�<����########
�����������/�� ÷�/��
"�� ��/��������������������������!���/��
9��������������������������������������������()��� ��*1#
*1�−�()�'�0
%�
/�� '�/� �/�
,������6�����������/�� ÷�/��
"����������������!�������������������#
9������!�����6���8����16
23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����9
23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#
$����������������
1623
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��9
23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
× 7
23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
!���������������������
&����������� ����!�#�������#����������
!�� ��� ���� ��-������ ����!�#�����5����
������������� ����� ����!�#����� ��������
���������!�� ��� ���� ��-�������
9 ���5�������� �����-<��0�����������������
-<���-��,��
�������������-����!�� ��� ���� ��-��
#�� ��
-�������,�.���-��,�-�
��!
-<���-��,�-��,��
�������������������!�����!�#�������#��������
������!�� �� ��� �������!�#������-��-�����
������ ������������������������ �� ����� ���
������ �� ����� �������������� �����
���� ��������� ����
� �
��������������
1623
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
÷�9
23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
7
23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������� �����������������������������!��������������������������!�����������
��������������������������÷���"
#�����������������������������$������"
���
��� ������������
%���������������
n
mx
x� �������
�������
m
n
x
x��������������������������� ���������
�����������������������
&�������������������������������������������������������������"
�����������������������
� #�����������'��������������������'�����'�"
� #������()��÷�()�"
� #�����������'����������'��"
� ���$�����������������������'��������*+��,�����������������������������-��������"
� �./�÷�(. � *('�÷�0'
� ()'/�÷�('+ � (.0+/�÷�')/+
� #������'� × 3
1
2"
� 1�������������2����������������������2�"
������������ � ���
������������� �������������������� ���
��������������������������� ������������
�������������� ��� �� � �� � ����� �� �������
���� ����������������������� ������������
�������
���−���������−�������� �������������
����� ����������������������������
�����
������� ��� �����
n
mx
x������−��
�������������� ������������� ���� �
0x ≠
!�� ��� ���� ����� �� ������ ��� ���� ��� � �� ��"
������ �� ����������� ��������������������
���� ������ ���
� �
���������� ���
���������������� ����������������
�����
�����1
32
������ ÷��������
���������������
���÷������1
32
��������������������������������� ������ ��÷� �!
�����
��� 4
1
7��� �
������������������
��÷� ���� 4
1
7
"�������
m
n
x
x���
1
n mx �
������������������ ���������
�����������������������
#������������������
� $�������
�
5 3
42 2
2
�
7
2 43
3 3× �
2 4
5 45 5
5 5
××
�
2 7
6 38 8
8 8
×× �
3 5
2 44 4
4 4
×× �
4 5
6 710 10
10 10
××
� ���������������1
5���������������������%�����%�!
� ����������������������������� ��������������������
&'�����&'��!
� �������� ���� �����������������������51
2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���81
2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
!
� (���������� ���� ������� ��)'*�%+����� �����
������)'*�%+!
�������������� �� ���
����� ���� ��� ��� �� � ����� ��� � ����
��� �� ������� � ����� ������� ��� � ����
��������� �� ������������ �������� ���� ��
� ������ ������������� �� ���������� ���
������������ ������ �
�
mx
nx
���1
n mx
− �����������
��������� ��� � ��������� �������������� ����
��� � ������� �� ������� � ������ ������
�� �����������������������
� �
� A�������������!����1���������������������!������������������#
� /(�×�7 � 0*7�×�/( � )+)(�÷�*&1
� *&1�×�/( � *(/0�÷�7 � +7-&7�÷�0*7
�������������
:����������)&������!���������������
�����������������������������
* ' )&
&� ' )&
/� ' )&
)&� ' )&
������������������1�����!������������������
1�� ' 1 × 1
' 20*73�× 20*73
' 0*7�
"����������������
1�� ' 1� × 1�
' 21� × 1�3�× 1�
' /(�× /(�× /(
' /(�
$����������
1�� ' 1 × 1
' 21� × 1�3�× 21� × 1�3
' *0�× *0�× *0�× *0
' *0�
����������������"��B
���������������1 × 1�����
��������!��������������1���� ���
�����������������213�#
������������
�++� ��3�!����� ������� �#���!���� �� ����� !�����!�������������� !���!�� ��++��!�������#����0������ !�� ����������� !����$������ ��'
@!���������� ������������� !����-�� ������� �� ���� �� �� ���� ����� ���� � ��� !��� ���� ��-�
��,�-�,���,�.�,����,�*-������−������*@!�� ���� ���������++�−� �*���*1� � �� �� ������� !���
C ���������:!������ !�������������*������������ �� ���� ��-�7��������������B������0������� ���� ������ !�����9 ���5������
*<���*-�,�-�,��
� ������������� ���� ��0�� ���� ����� �� ����������5���� !���
9 ���� !����������������*��!���'
9 ���5�������� ���0���<��!�����������0���������� !��� ��*1��!�����&���������<�−�*1��-.� �!����� �������� ��� ���� #�� � ��� #�������
-.������,�.�,��
� �
"��
213� ' 1 × 1
' 1 �
' 1 × �
' 1��
%���������������������1� × 1� × 1� ���21�3�#
%��
21�3� ' 1� × 1� × 1�
' 1� � � � �
' 1� × �
' 1��
������������������������
2&�3� ' &� × &� × &�
' &� × �
' &
2+�3 ' +� ×
' +��
��������#
,�����6�������������!���������������#
��������
322
3
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠����
22
3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ×
22
3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ×
22
3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
"������2 2 2
2
3
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ '
3 22
3
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ �'�
62
3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��� �������������������������������������������������
2�3� '....m m mx x x× × ×�������
'...m m mx + + +
�������
' ��
� ���
�������
� ������!�����!�#�������#�����������!�
��� ���!� �����!�����!�#���
9 ���5������
* � ��,�-
1 � *�,��
�< � ��,�-�,�*�,���,�<���1�,�.
8!�� ������!�����!�#������� ��#�������0�
����9 ���5������������� ��#�������������
� ���
$���� !����������������� ���� ���!�#��
��������� ��#�����������!�� ��� ���!3
� �����!�����!�#��'
�� �����
�������
� �
"������
������ � ������� ���� ����� ����� ������������� ��������
,������������������������� ��!����
��2&�3���21�3� × 7�
��
431
2
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ��2*�3� × *
�����������������!��������������������#
��1���&
��*����+��
������
���������������������1*�
(, *, &, /, (), 1*
C��!��(������������!�������*#�%�������������������������1*��
(, *, *�, *�, *�, *�
������������������������/(�
/(�'�1�
$�����������������
(, 1, 1�, 1���1�
,�����6�����������������������0*#
0*�'�*� × 1�
��6���������������������������������������#
9�����������(�������������������������!�������*�
(��*��*���*�
A����!���� �������1� �8����������������
1��*��1��*���1��*���1
A����!���� ������������������������1����������� ����5�����������������
1���*��1���*���1���*���1�
������ ��������
�������� �� �����������-��*����
����!�� ���������� �� �����������������
��,�-�,�*����
C �����H�� 0����-.;
-.���-�� × �1
���� ������� ������#��������
� �- -�
1 -��1 -���1
��������!�� ������ �� ����������-.������
��,�-�,�-��,�1�,�7-��1B���1�,�1�,������-.
C�5�����H�� 0������������ �� ���?�
-����*��������*�����?�
�����*�����������!�#������������ �����
� �- -� -� -�
*� -��*� -���*� -���*� -���*�
�����������!�� �������!�#�������������� �
��,�-�,�-��,�-��,�-����-��−�����*�
7��� ������� ��� ���������B
��������!�� �������!�#�����5�����-���*��������� ���� ��
7��,�-�,�-��,�-�B�×�*�� 7-��−��B�×�*�
� 7-��×�*�B��−�*�
� �����!�� ���������� ���5������?������
*��,�7-��×�*�B��−�*�� -��×�*�����?�
C!�#����0�����-.������?��������������������
�!�#���
������������������������
� �
�������������������
������������������������������������������
��������× ��������×���
������������������������������������������
� � �� ��
� ���� ������ ������
�� ����� ������� �������
������������������������������
��� � �����������������
����������������������������������
� � �� �� ��
� ���� ����� ����� �����
� ���� ����� ����� �����
���� ������� �������� �������� ��������
���������������������������������������������������
�� ��� �� �� ���
��������
�� � �� ����������������� �
�� � �� ����������������� �
�� � ������ ����������������� ��
�������������������������������������������
��������������������������������������������
����������
��������������������������������������������
��������������������������������������������
������������������������������������
�������������������� �������
�������������������� ���−���
������������������−��� �������������������������������
�����������������������������������������������������������
�������1
5x ���� 10
1
5�������������� ��
��������
5 6
4 43 3
3 3
×× ( )
7 8
2 3 54 4
4 4
×
×
( ) ( )( ) ( )
4 5
2 4
2 3
2 5
6 6
6 6
×
×
������������
6 6
$ Describing exponentiation as the op-
eration of repeated multiplication.
$ Justifying the rules of exponentiation.
$ Using the rules of exponentiation to
solve problems.
$ Describing the positional system of no-
tation using exponentiation.
$ Logically justifying number relations
associated with powers.
Achievements On my own With teacher’s Must improvehelp
Looking backLooking backLooking backLooking backLooking back
��������������� �
�������� ����� �
� �
�������
�������� �� ���� ���� ���� ������������ ��������������� ��
��������������������������������
������������������ �������������������������
�����������!������������ ����� �"���������#��������������
$����������������������� ������������������������ ���� ��� ������"
1
2�%&�' (��)���������
����#�������������������#�������#�
��� ������
�������������� ���� ��%*�����������������+���������� ��
����� ���� ���� ����� �� ���� � ����� �������� ��
������������������������� �������������� ������������ ���������������������������
��� ���� �������������� ���������� ������������������������������������������
����
���
!"���
#���
123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234
1234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567
12345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345
$��� ���������������� ��������� ����� ������������%� ��������������� ������ ��&��� ������ ����������� �� ���� ����� ���� �����������������������
'� �� ���� ���� ����� �� ������$� ����&� ����������� ���������� ��� ������ ��&�������������������
����
���
� �
��������������������������������
������� ����������������������� ���
,���������)����
������������������-��������
.��������������� ���������
���������������������������
$�"�������������������������� ��
�������������� �������������������������� ��
������"1
2��%*��+�'��*��)�����
���#�����������#���� ������������ �������������� ���
,����� ���������� ����� ����������������������������������������
�������������������� ����� ������� �������������� ���
(���
����
!"���
#���
���� �� ������
)�������� ����������� ���������������������� �
��������� ��� ����������� �*
�������� �����������������������&����
������ ������ �����������
��������������������������� ������ ���
��������������� ��
+���,��������� ���-����� ����� � �� �� �� ���
�����
%������-����� ����� ������� ���������������.
� � ��������� �������������
� �
������������� ����� ������� �����-�������������������� �����������������
�������������������������� ��
������������ ����� ������� �����������������"�� ���
,������������ � '1
2�����/
' %*��)�����
0������"�������/�������� ������������������������������� ����� ������� ��
������������������������������������������ ���� ������� ��
�� ��� ��������������� �������� ����������� �������������� �� �� ������������ ��
��������������������������� ��������������
��������������� �� ����� ���
/�������������� ���� ������� ���� ���� .
� �����
'����������������� ��������� ���������� �����
������ ��
)���� ������������������� �&�����*
0����������������� ������������������
����
(���
1���
!"��� ��(���
1���
�(���
(���
� �
1���
(���
2���
2���
1���
2��� ���
2��� ����
3���
� ����������� ����� ������ �����1(��)�������2
�����3��������������������������%(������2
������ ��������������� �������������
� ����������������������� ����� ������� ���
%&�����%/������������ ��,������ ����� ��
���� �������������������������������������
�����%+������������ ��������������� ��������
����
!��� ���� 2���
���
���
����� ����� �� ��� ���
��� ���� �������� �� �������� ����� �� ���� ����.
��� ������������������ ��
$��������������������������4��������5�������&
�������������������������
��� ������ � ��� ���� ���
���� � ��� �������� ��� ����������� ������
���
� �
��� ��������� �
4��-������������� ��
����� ������������ ���
.�����������������������
����������������������� ����� ������� ���
4��-������������������#�����������
$�����������������"������������ ��������������2���
,� '1
22 3
⎛ ⎞× ×⎜ ⎟⎝ ⎠�5��
1
24 3
⎛ ⎞× ×⎜ ⎟⎝ ⎠
' ��5�(
' 1��)�����
��������������������������#����� ����-������
����������� ������������������������������������ ��
����� ����� �� ��� ���/�� ����� �������� ���� ������� �� ���� ���� ��� ������� ��
+���� �� ������� �� ������������ �������&� ��������������������%� ��������������� ����������������� �������������� ����' ����������%� ���������� ��� ������������������������������ ��
+�����������������������������������������������
$������������������������ ���������������������� �� �� �� ���� ������� ����� �������%� ����������������������-�� ����� ���������������������� �������� ��
$��������� ����������� ����������������������� ������������� ��
$��� ���� ������� ���������� � ���� ������ �� ��� ����������������������� �������� ��
������������������������ �������
2��� ����
���
�
4��-������������� ��
������������"���������������������������������������������������������� ����� ������� ���
���������� �����������������
4�6������������������������������� �
$�"��������������������
������������������������ ����� ������� �����
1
2zx× ×⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠�5�
1
2zy× ×⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
'1
2� ��5�
1
2���
'1
2�7 �5��8��
0������"���6�� �������� ��������������������
����� �������� � ����� ���
7&��������������� �*
+������������� ��������������������������� ���� ������� ��
$���&������������������������������������� ���� ������
� �
�
�
� �� 6��
�
1���
����
2���
���
$�"��������������������������������� ��
�� ��� ������������� ����������� ������������� ���� �������� �� �� ���������������� ��������� ���� �
�������������������������� ���
3�������
1���
���
����(���
����
(�(���!"���
(���
����� �������� � ����� ���
$��������� ������� ������������ ��������������������������� ��������� �����-�� ������8����������������� ���������������������������� ��������������������� ���������� �������� ��
$������������������� ��������� ������������ ��������-�� �
%�� � ���� ����� �� ���� ���� ������� �� ���� � �-�� �
����������������������� ��������������������������������� �
���������������������������������� � ����#�������������9�� ��������� ��������&� �������+�����:����������������;��&��������5�� ���� ��� ���� ���� �����Δ+:5������ ���������� ������������������������������ ��'���&���������������������� ��� ��0������5�������������������������������
3���
� �
�����������
+������-������������&������������������
����
<��� ����� �� ���� ������ �� ���� -����� �
������ �*
���������-������������������*
��� ���������
4��-������������� ���
��
.����������������������
.�������������������������������������
.���������9����� ����������� ����
�� �
�����������������������������������
�� �������#������ �������������
����
����
!"���
!2���
���������������������� �-�����������
� �
�
�� �
���������� ����� ������� ��
,�����Δ�����'�12�×����×���
��������������� ����� ������� ��
,�����Δ�����'�12�×����×���
����������������������������
,������Δ��� ' ,�����Δ����−�,�����Δ���
'12�×�����×����− 1
2��������
'12�×�7���−���8�×���
:�����������"
���−��������
���������
,�������� ��
12�×�7���−���8�×���
��
12��������
;������������������������������
.������������ ����������������
$��������� �����������-��������"��������������������������������������� ����������
�����������
'��������������� �&���������������
=�������������������� ��������� �&�����*
0��������������-��������-�� �����
%�������� �-��������1
5������������ �-�����
� �
4��-������������� ��
� ���������
� ,����� �������������*�������� �����%*������������������"������� �������������-����������2�� ����������
123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234
!"��
!1��
2"��
��������
�
�
�
�
��
�
����� ����
����� ����
�����
����������������������� ���#������� ������������� ����
������������������������������ ��������� �
����������� ��������� ��
���������������������������������������
���������
� ��������������������������
� ������������������������ �������������� ������������������������
� ��������������������<�������������������
������������
� 0� ���"������ ����������� ����0����������+��)������������������� �������������+��������� ����������������9������#�(������������������������������������
� �
� ��������� �� � ����� �� ������
�� �� ���� ������� ������� �
� ��������� ��� �� �� � �� ��� ������
� ��� � ������ � �� �������� ����
���� ��� � ������ ��
� ������ ����� �� �� ����������� ��
��������� �� ���
���������� � �� �� ��� �������� ��� �������
����
�������� � ��
��������������������
� �
������������� ��
��������������� ���������� ���
����������� ��
������������� ��
�������� ��������������������� ���������
��������������������
����������������������������������
����������������� � ����������������������
����������!��������"�� ��
����������� ���������������������������"�� ��
�������� ���#���������������������"�� �����������
$���� ��������������� ���������"�� ��� ��������"�� ������� �
���������������������������������!���������� ��!����
���������"�� ��
�������%����� ��������������������������� �����&'������� �����
�!����������� �
���()*���&��(�*������+
%����������� ���
&'�,�'��'
-��������#��������������������������� ��������&'�,�'��
&'���'��������������'�����!.�������*�������������� ��!�'�
/�� ���������� ������!� �����
&'�������"�� ���!�'�
/���������������"�� ���!�0�
%����������"�� ���!� 1
2�
1
2�× 1
2�,�� 1
4
����������������������������
�������
��������������������� ������ ��� ��������
���� ���
����� ������� � ��� ��� ��� ���� ���� ��� �����
���� �����������
���!�������� ���������������
�������������"�#�$���
�������������"�#�"���$���
%������������������� �����������
� �
���������������
��������������������������������������������������������
��������������������������������
������������������������������������
�������������������������������
���������������������������������������������������������������
���������������������������������
������������������
���������������������
��−�� � �
��−�� � �
���−�� � �
���������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
��������������������
���������
���������������������
��������������������������
��������������������
�������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������
������������ ���������
�����������������������
������������������������������������������
����������������������������������
� � �����
� � �����
�� � ������
�������������� ���������������������������
���������������
���� �������� �������� ������ �� ���� ���� �������
�����������������������������������
����� ��� ���� ������� ���� �������� ���� ������
�������������������
����������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������
�� � �
�� � ���������
�� � ���������
�� � ����������
� �
%���������� ������������������������� ��!���������#���������� �! ���(��������� ����
%��������������!�&1���������#����������� ��� ����
! ���(�
��������������
/���"�� ���!�(1���(11��%����������"�� ���!�(11�
������"�� ���!�(111*����������7� ��� ����� ���!�� �(�
%��������������"�� ���!��(1111�
%���������������������� ��!�7� �����"�� ����
3�������������������� !����"�� ��������(1*�(11*(111*�(1111����������
������������� !����"�� ��
%�������������������8�������9�
$���!������������"�� ���!���1*��11������111�
��11111111���� !����"�� ��
%�����!���������������� ��7� ��
$������� ������������������������� ������
� :������������"�� ���!����������� �
� &1 � �11 � 2111 � '�× (1��
� :������������� !����"�� ������������������ �
� �011 � &'111 � (011
� +�× (1�� ('�× (1��
�����������
%����������"�� ���!���(�
%������������!� �������� �������������
/���"�� ���!��1����11*���4������3�������������"�� ���!�(*������������������������������ �
%�������������� �
���4��� ��! ������������������%������� ���
�� , (��5�&�,�(��5�8(�5��9
&� , ���5�0�,����5�8��5�&9
&��'��������������(������
� $ �
- $ ��"�#�"��
. $ ��"�#�"���"�#�"��
�� $ ��"�#�"���"�-�"���"�#�"��
���� �� ���� �� ��
/������(�������������(��!����*������'�
����
� �
�� , &��5�2�,�&��5�8&�5��9
0� , ���5�+�,����5�8��5�09
�����������������������������*������������ �����(��
#�� $ #����"�2#��"�#�3
/�����*
#�� $ -���"�-��$�--�
$�����������������������!� ������
##� $ --��"�-��$�-4-
���������
����������!������������"�� ���!�(1(�
�����$������
%������ ���������������
����"�����$�#��
3�*
���� $ ������"�#���$���#��
� :������������"�� ���!����������� �������������#������
� 0( � '( � (�( � (11(
� �����������"�� ���!����� �������� �! ���+1���(11�
���������������
-�! ������������������������!���������"�� ��
���������������� ��3
4�
23
4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�,��3
4��
3
4�,�
3 3
4 4
×
× �,�9
16
/�����*
23
4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
,�9
16�,�
2
2
3
4
3�����"�� ����! ������*��������������"�� ���������� ��� �������������� ��� ������
����� ���� � ��
%���+����� ���
#� $ ����"���2��"�#3
�� $ #���"��2#�"��3
-� $ ����"��2��"�-3
��������
%�����������������������������������
#� − ����$����"�#
�� − #���$��#�"��
-� − ����$����"�-
5�� ������� ���� ��!!������� �!� ���� *���� �!
������������+��������������������������
6������'��������
���−��� $ .��−��� �$ �4
-��−�#� $����− �- �$ ��#
1��−��� $ #1�− �. �$ ���
%��� �� ���� ���������������� ������!!������
�!�����*�����!��������+��������������
������������
���������� ����������� ���� �����
�����������
� �
$����������� ����������������������� �
� :������������"�� ���!����������� �
�2
3�
1
5�
7
3�
11
2
� %������!�����! �������������� ��"�� ��
�4
15�
8
9�
16
25�
12
4
�1
49
�8
18
��� ����������
%����������"�� ���!�1�0�
%������������0��,��0����������������������������������� ��������� ������1�0��1�0�
%���
1�0�,�5
10*� �����
��������!������������"�� ���!�1�10�
6�����#��������������"�� ���!���������� �������� �
;��������������*���������!������������"�� ���!��1�(0�
�������� ���������������� ������
� :������������"�� ���!����������� �
��(�� ��1�(� � 1�1(&
� %������!�����!�������������� �� ��"�� ��
� ��0 � 1��0 � 1�11('
� (��� � (���
������������
%������0������
0�������,��0��('�,������������
/�� ����������� �����
0����� , 0��0������
, 80�×��9�× 80�×��9
, �1���1
, �11
���������
&��'� �� ���� ��� �� ��� �!� *���� �!� ������������!������������
���-��.�����1�����.��-������
6�������'������������ ����!�*�����!�������������!����������#��
7������+���������(������
&��,����'�������������� ��7������(��!���*�����������#�
%�������������� ��������������������������������!�(��!���� *����
5�#��8�������(��!����*����
�� ������� ���� � ������� �� ���� � (��!���*���������������������'������������ ���
/����� ������� ���� � ������� �� � (��!���*����!������������ ��������
������
� �
��������!������������ ��������������������*����������������� �
� 0���)�� ��0�����
� 8(�09���× 81��9�
%�������� ��� ��������������������������
���� ������ � � ���� ������� � � ���� ������� ��
����� ��� ���� ������� � ������������
������������������������� ��
�������������� ������������������
%����������!� ��� �������� �
�������������
����������� ����&1����� �������!� ��������� �
&1�,����&��0
3������������!���� �7��+11�
+11�,�&1��,�8���&��09��,�����&���0�
3����� ��*����������!������������,�����&���������,�02'*������
02'�,�����,�8����&9��,�8��9���&��,�����&�
��������� �������������� ��������������"�� ����� �������!� ������� �
• &0 • �0 • 2�
• &' • �+
����������������������� �����!������<�������!�����!���� �!�����"�� ��
�������� � ��������
%����#������ �����"�� �.��������� ����������+�"�� ��������� ��
����������������
/���� ����!���"�� ��������"�� ���!���������
� ����� ��������
&��'�������(�������
7������������ ���
/����������� �� �������� ����'������������� ���
/����������� ��������������'���*����
�������'������
�������� ����� ��� ������� ��� �'�� *����
�������� ��������� ������ ��� ���� ��� �������� �������������������*����
%�����������������
-� $ 2���13�"�
/�� ��� ��� ���� !��� ��� ����� ������ ������
���������������������-��1�
����!�����������'�������'����������������������������������������������!��������������������������!���������� ���
%�������������������������
#� $ 2����3��"��
�� $ 2#�× -3��"��
-� $ 2���13��"��
�������������������
�
3���!������ �����������+�"�� ���������� �*����������������������
/��� �����"�� ���!�� ���('+�"�� ���������� �*��������������������������!��������
:� �����*��������!������������������� �"�� �����#�('+�������������� ��������!�"�� �*����!�����(&��,�('+�3���������� �����"�� ���!�����(&��������� ��
�� �*���#���������� ����!�������������������� ���������"�� ���!��/����� ����������������<� ���������������������
/�����*���������!�����������"�� ���!�(&���('+*������������� �#� �����������"�� �� �����!�('+���(&�
=��������� ���
����$���.
���� ������!� ����������>����"�� ���!�(&���('+>*���� ���� �������������>����"�� �� �����!�('+� ��(&>� ���� ������!� ���
169 �$���
8�����<� ��������!�"�� �� �����������������������������9�
3����� ��*�����!�������������"�� ���!�0����0����������������*�����"�� �� �����!��0���0�� ���� �������!� �*
1��$�#1
25 �$�1
������ ��
�������������������� �������������� � y ����
$���!������������"�� �� �����!����������� �
• (11 • �0'
•1
4•
16
25
• (��� • 1�1(
����� �������� �� �������
84-����(��!����*�����%��������*���������
84-� �� �������� ����(��!���� *����-��� ��
.��9�������'��������������*�����������
#������������ 784� ����������#��������
����������� ����!�84-���-�����*��������������
�+��#����4����������� ������� 784 ���������
##����#4�
84-����������.�������-������� 784�������
#4��6�����������#4���������'�
:�+��� ���� ���.�� � #����� ##�.� ��� (��!���
*�����!����������*�����������'������
�
������������������
����������!��������"�� �� �����!�(��0�
3������� �������!�"�� ��������"�� ���!����� �����*�������������� �����(��0����� �������!�"�� ��
:� ��!���� �7��(��0������ ����
�##1�$�1���8�
-����������� ���
0���2��,�80��29��,�&0�
3�*�(��0�,�&0�
: ������*��������� 1225 �,�&0
���4������������ ��<������%���������� 3969 �
-���!� �*����!� ��!���� �7��&+'+������ ����
&+'+�,�&��× &��× 2�
,�8&��&��29�
: ������*��������� 3969 �,�&��&��2�,�'&
$��������������"�� �� �����!������
� �0' � �1�0 � ��( � +�(' � (1)+
� (0'�0 � (+&' � &1�0 � (�0��
��������
������(��!����*���������������!������ ��
��8�
��� ����� (��!���� *���� #1� ��� �� �� ��
���8�
����� �������!������.�
�������!������� ����!����������(��!����*���
-.�������5!������������� ��� ������������
-��;������������!������� ������2�����������
�� ����� ���������3��!�(��!����*���������
!������
7�����������(������
5���#-���(��!����*����
������
��!������"
� /���� ����!���"�� ��������(1���"�� ����� ���%���
��������������!��������
� ��������*�'�0����� �� ��� ��������� �������������*
�������������� ��!� ����"���������������� ��!����?
�����/������� �������� ������������������� �� �?
��#����������������� � ������
� /�������!����� ���������� ��!���������#���������?
�� *��� ����������(*���0()���������������������
� ��������
� /�������!�������������#������ �������� ��������
"�� ���!�����!� ����0&�+��%����� ����������� �
� �
� ����������� ������������������ ����
����� ���������
� ���������� ������������������ ����
����� ���������
� �������� ���� ��� ���������� ��� �� ����
���������
� ��������� �������� ��� ���� ��� ���
�� ������������������������ ����
� �������� ���� ��� ���������� ��� �� ���
������ ����� ���������
� ������������������������� ����� ���
����� ���� �����
���������� � �� �� ��� �������� ��� �������
����
�������� � ��
���������
� �
������
����� � ���� ���
�� ������� ����
�� ��������� ����
�� ��� ���� ��� ����
�� �������� ����
�� ������� ����
���������������
������������ ������������� ���� ��������������
���������������������������
��������� ���� �������������� �!��������
�"�������� ��������#������$������� ���� � "���
���� ����
����������� �����"�� ��
% �������� �����������
��������������$������#
��������� �
!���� �� �"�����#��$ ��%�&� %�'���(��)�
���(� &���*&�� �� ��!��+��,��(*�-�
���� ���
�� &���� �'���� �
(� )� �*���� �
+� �"�� �*���� �
,� -������ �.���� �
���� ���������
/����������� �������������� �"�����""�����
��������
�"���� ������ ����� �� ���$��������0��������
12��������������������.�� ������ � "�� ���������
������������������ "��3���������������������0���
�����$�� ������������� "����� ������0�
4���������$�� �,������������������������'�������5
������� �6�� ��3����������������������
/7�� � � ����� � �� ���� ���������������� ��� �����"��
�����$���
.�#(�-� �(� +� ��� ��� � &�� ���
(� &��/
� �
������������� ����������������3�����������
% ������������������������
&������� �������������������150
3�8�3������������ � �
����� ������"��
����� �0�����������#���������"���0���������$������
3�����������0�������
�������������3����9��
���������
4��� ��� ��:�� ���� ��12������������&���%��
;��������4��� ������������ ���!��0������� "�<����������
� �(�����=�:�� �������� ��������������� "��3����������
� �+������������������������������
����!��0����������<��������������"��
% ����(��������������0�
&����������������"���0����
90
2�8�,3���9�
���������"���0��������������� �����$����0��������
����
���������"������
>����������������0�$����#
� &����������������� ������ ������� "�(,������������
+�������������������� � ��0������ ����������
� �� ������� ��������� "��(������������ �(������
��������� �������������������������
� %���� ���,������� ��+���� ����������+'�����5
����������������������"���0����
������������ �� ������ ���� ��� �
����� ��������� ���� �� ����� ���� ������
� �
��7�������� ����0�$����
/����������"���0��������$������3(���9����������������������� �'������
&� ������������3(������������������� ������"���� �'�������������
3(��'�8�+�(���
���� "������������������3(�����������������0����
� �����$���$����"������������������)�7����0��;������ �������� "�� ����#
������ ���� �� ����������
�����
���� ��������� ,���� '����9�
4�� �(���� (���� ���������
%��0�� � 3�,���� ��������� *,����9�
� &�����7���6����������(�7������������������0�����
���������������3�����������$��$���� ���.3����5
������ $�� ��� ��%����"�� �0���� �� $��� !�� ��
���(����9��� �������"�� �0������ ��� � !�� ��� ��
3����9����������������������$���������6�������
������&����������������
���������
%�$����������?� ���������'�� ������ � "�� ���������
������� � ��0��������(� ���� � "�,����9��
�����"����������� ���������������$���������������
��������"���0����$��� ��������
����������������� ����������
/�����!�� ������������$�����������$������������������
$�����������������0�
���� ������$�� ��� �����"�� �0���� � ������ � ����
��������
�������������
0�#��'�&&�(���� ���/���1�& �#��-�-�&2
&��������3 �&����� �� �(�3�*�����$��� �
�#���+$���$&���+ ��4���5 �*���� �"��
�����(6���+&�'��'��&���+ ��4��� �"��
�������(6��
�������� �� �� ���������� ��� ����� �� �������� �� ���� ����
����������������������������� �������
� �
���������������
%$��$��������$�����.�� ������ � "��@����������$��
�������+����9�� ������"������������������������ ��
����:�� �� ��� ������ ��� � "�� ���$��� ����� �� � ��
(����9�� ������"���%$��"��� ��������$�����<�
���"��������� ���������������� ��������������������
��������"���0�������������
�������������� ������������������ �
��������������$���������� ���������(������
&������ ����������������������������
����������������������
>���� 7������ ����������"���0����
��������������������������
%����������������������(�����������������0���� �����5
�"���0������+����9��� ����� �6��(�������������(�
��9������������������"���0���������� ������0�
���������"����������0�������
30 20
2
+ �8�(3����9�
/��������������� �
�������������������� � "�
����0�����������"���0������������������������
���� ���$��������������������������(������������
� ������"���0������+����9����
120
30�8�,�����
�������������(�������������� ������"���0�����
(����9����
120
20�8�'�����
����������������,�A�'�8��������
�������� �������������8�(,����
%����"���0����8�(,���9�
�����������
����(����� ��� �% �(�#��������������
��-��+�4�(� �(��#����+ � ��� �(����&
��� ���-����(�-&���-��+�&�������-��+�
7(�-&���-��+���(������ ��%���-��+�7
������-��+��� ������+ ��%�(�-&���-��+�
0�������#"�#�� *�& �% � ��-��++�+
8�������������,��(*�-(�+��/
9 4
Train and bus
Rahim travelled 350 kilometres in a train and 150 kilome-tres in a bus. The average speed of the train was 70 km/h.The bus trip lasted 5 hours. What is the average speed ofthe entire trip?
To Ratnagiri
Ratnagiri is 360 kilometres from Pavizhamala.Gopika's family travelled in a car, at an average speed of60 km/h. They managed only 40 km/h during the returntrip. What is the average speed of the entire trip?
Suppose we take the distance as 180 kilometres in thisproblem.
Does it change the average speed for the entire journey?
Unknown distance
Babu went to Mananthavady by bus to see his friend. Theaverage speed of the bus was 40 km/h. He came back in acar, at an average speed of 60 km/h. What is the averagespeed of the entire trip?
To find this, we have to divide the total distance by thetotal time. But we don't know the distance.
We have seen in an earlier problem the average speedwould be the same, whatever be the total distance.
Let's take the distance one way as 120 kilometres.
Total distance is then 240 kilometres
Time for the onward trip = 12040
= 3 hours
Time for the return trip = = 2 hours
So, the average speed of the entire trip = 48 km/h
What if we take the one way distance as 240 kilometres?
Can't we find the average speed of this trip?
Look at the average speeds of some animals:
Sl.No. Animal km/h
1 Cheetah 112
2 Horse 70
3 Fox 65
4 Lion 80
5 Elephant 40
6 Zebra 64
� �
������� ���� �
� ��������������� �������� ����������������������
������������������������������������������
������� ��!����������"� ���#
��� �����
$������������������������� ���!�%&�������'��� ��������������������������#
(���� �������)����� �*�����������������������+���
,� �����)����� �����������������������%&��������
-������������ ������ ��������72000
60�.��&�������
������������������������������ �������1200
60�.�&�
����
���������������������� ���!����������&����� ��������������&������
/�� ���� �� ���� ���!����������������������
0��������� �������
� $������������������������ ���!�1)�������'��
!����������������1���� �#
� $��2��������������������3���������� �����
������� �������������������� ���!����������
������� ���� �#
����� ������
������������ �� ���������������������
��������
90
60���
3
2�����
1
2���
����������������
�1
2�������������� ���������������
1500
60���
75
3������������
��� �� �!� ��� ������ ��� ���� ������ � ��� �� ""�#�������$� �����%�������������� ����������������� � �
���������������������� ��������������� ��� �� �� ��� ������
���� ������� ���
� ��������
� $�������������������� ���!�1)������!���������+
������)�������!������4������� ���'���� ��
�����������������#
� 5�� �����-��������������,��� ������� ����!���
������ �������������������������5�� ������
����� ���
������������
�
������������
?�&��+�"�� &�%%�-�--�+�� ��'�&�+����
��*�*�&�����(���-������&��*��+��$��+
-�&����������.�#(�����'���&���� ����&
&��+� �'�&�+��@
���&������# �� ���'�'���-��������+��2
� ����A�*��+2��-�A�?� � ���+�'�-�3 ���-��2
�� $�"����+�-�& ����*��+�
5% ��-��% �� �"�� �� &�%%�- &����3#� -��
&�+�-� ����("�&�%�--�+�� ��
� ������ �� ���� �� ������ ���� �
� ��� ���� ���� �� �����
� �� ����� �� ����� ��� ����� ����
������ ���� ���� ����
� � ������ �� ����� ��� ������ �������
������� �������� �� � �����
���������� � �� �� ��� �������� ��� �������
����
�������� � ��
�����!�� ������ ������"���0��������(����9�
� ��������� ���3����9���&���������$����0����'�
��9�����������������!�� ���� ����������
� ������ ���������� "��� "�0��������������� ��������
������ ���3����9��� ���������9�� ������"������
��������� �������(������������� ������������%���
����� ���������������������������� �������0�
� %��(3������� "���� ����������<����9����������������������������������.3������� "�$���"��