· web viewauthor created date 03/31/2019 01:32:00 title category last modified by tien ich may...

TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ

VAØ ÖÙNG DUÏNG

a0y

0x

M

O 1

1

1-

y

x

N

a

0y

0x-

M

O 0x

y

x

www.thuvienhoclieu.com

BÀI1.

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ ĐẾN

1. Định nghĩaVới mỗi góc ta xác định một điểm trên nửa đường tròn

đơn vị sao cho và giả sử điểm có tọa độ Khi đó ta có định nghĩa:

sin của góc là kí hiệu cosin của góc là kí hiệu

tang của góc là

kí hiệu

cotang của góc là kí hiệu 2. Tính chất

Trên hình bên ta có dây cung song song với trục và nếu thì Ta có Do đó

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệtGiá trị lượng giác

www.thuvienhoclieu.com 1

br

ar br ar

A

B

O


Trong bảng kí hiệu để chỉ giá trị lượng giác không xác định.Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính

chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.Chẳng hạn:

4. Góc giữa hai vectơa) Định nghĩa

Cho hai vectơ và đều khác vectơ Từ một điểm bất kì ta vẽ và Góc với số đo từ đến được gọi là góc giữa hai vectơ

và Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ và là . Nếu thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là hoặc

b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 1. Giá trị bằng bao nhiêu?A. B. C. D.

Câu 2. Giá trị của bằng bao nhiêu?

A. B. C. D. Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng?

A. B.

2 www.thuvienhoclieu.com


C. D. Câu 4. Tính giá trị biểu thức

A. B. C. D. Câu 5. Tính giá trị biểu thức

A. B. C. D. Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. B. C. D.

Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?A. B.

C. D. Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. B. C. D.

Câu 9. Tam giác vuông ở có góc Khẳng định nào sau đây là sai?

A. B. C. D. Câu 10. Tam giác đều có đường cao . Khẳng định nào sau đây là

đúng?

A. B. C. D. Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU

Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. B.

C. D. Câu 12. Cho và là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức

sau đây, đẳng thức nào sai?A. B. C. D.

Câu 13. Tính giá trị biểu thức

A. B. C. D.


www.thuvienhoclieu.comCâu 14. Cho hai góc và với . Tính giá trị của biểu thức

.A. B. C. D.

Câu 15. Cho tam giác . Tính .A. B. C. D.

Câu 16. Cho tam giác . Tính .A. B. C. D.

Câu 17. Cho hai góc nhọn và phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?A. B. C. D.

Câu 18. Tính giá trị biểu thức .A. B. C. D.

Câu 19. Cho hai góc và với . Tính giá trị của biểu thức .

A. B. C. D. Câu 20. Cho hai góc và với . Tính giá trị của biểu thức

.A. B. C. D.

Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁCCâu 21. Cho là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. B. C. D. Câu 22. Cho hai góc nhọn và trong đó . Khẳng định nào sau đây là

sai?A. B. C. D.

Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai?A. B. C. D.

Câu 24. Khẳng định nào sau đây đúng?A. B. C. D.

Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng?A. B. C. D.

Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức



A. B.

C. D.

Câu 27. Cho biết Giá trị của bằng bao nhiêu ?

A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D. Câu 30. Cho biết Giá trị của bằng bao

nhiêu ?

A. B. C. D. Câu 31. Cho biết , Giá trị của bằng

A. B. C. D. Câu 32. Cho biết , Tính giá trị của

A. B. C. D. Câu 33. Cho biết Tính giá trị của

A. B.

C. D.


A. B. C. D.

Câu 35. Cho biết Giá trị của bằng bao


www.thuvienhoclieu.comnhiêu ?

A. B. C. D. Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Câu 36. Cho là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều Góc nào sau đây bằng ?

A. B. C. D.

Câu 37. Cho tam giác đều Tính

A. B. C. D.

Câu 38. Cho tam giác đều có đường cao Tính A. B. C. D.

Câu 39. Tam giác vuông ở và có góc Hệ thức nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Câu 40. Tam giác vuông ở và có Tính

A. B.

C. D.

Câu 41. Cho tam giác . Tính tổng A. B. C. D.

Câu 42. Cho tam giác với . Tính tổng A. B. C. D.

Câu 43. Tam giác có góc bằng và có trực tâm Tính tổng

A. B. C. D.

Câu 44. Cho hình vuông . Tính 6 www.thuvienhoclieu.com


A. B.

C. D.

Câu 45. Cho hình vuông tâm Tính tổng A. B. C. D.

BAØI2.


1. Định nghĩaCho hai vectơ và đều khác vectơ Tích vô hướng của và là một

số, kí hiệu là được xác định bởi công thức sau:

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ và bằng vectơ ta quy ước

Chú ý Với và khác vectơ ta có

Khi tích vô hướng được kí hiệu là và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ

Ta có:

2. Các tính chất của tích vô hướngNgười ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:

Với ba vectơ bất kì và mọi số ta có: (tính chất giao hoán);

(tính chất phân phối);

;

Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:



3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ Khi đó tích vô hướng là:

Nhận xét. Hai vectơ đều khác vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi

4. Ứng dụnga) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ được tính theo công thức:

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu và

đều khác thì ta có

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm và được tính theo công thức:

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆMVấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Câu 1. Cho và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .Câu 2. Cho hai vectơ và khác . Xác định góc giữa hai vectơ và



khi A. B. C. D.

Câu 3. Cho hai vectơ và thỏa mãn và Xác định góc giữa hai vectơ và

A. B. C. D.

Câu 4. Cho hai vectơ và thỏa mãn và hai vectơ và vuông góc với nhau. Xác định góc giữa hai vectơ và

A. B. C. D. Câu 5. Cho hai vectơ và . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Câu 6. Cho tam giác đều có cạnh bằng Tính tích vô hướng

A. B. C. D.

Câu 7. Cho tam giác đều có cạnh bằng Tính tích vô hướng

A. B. C. D. Câu 8. Gọi là trọng tâm tam giác đều có cạnh bằng . Mệnh đề nào

sau đây là sai?

A. B. C. D. Câu 9. Cho tam giác đều có cạnh bằng và chiều cao . Mệnh đề

nào sau đây là sai?

A. B. C. D. Câu 10. Cho tam giác vuông cân tại và có Tính

A. B. C. D.

Câu 11. Cho tam giác vuông tại và có Tính A. B. C. D.


www.thuvienhoclieu.comCâu 12. Cho tam giác có Tính

A. B. C. D.

Câu 13. Cho tam giác có Tính

A. B. C. D. Câu 14. Cho tam giác có Gọi là trung điểm cạnh

Tính

A. B.

C. D.

Câu 15. Cho ba điểm không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích

vô hướng làA. tam giác đều. B. tam giác cân tại C. tam giác vuông tại D. tam giác vuông cân tại

Câu 16. Cho là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A. . B. .

C. . D. .Câu 17. Cho hình vuông cạnh Tính

A. B. C. D.

Câu 18. Cho hình vuông cạnh . Tính A. B. C. D.

Câu 19. Cho hình vuông cạnh Tính A. B. C. D.

Câu 20. Cho hình vuông cạnh . Gọi là điểm đối xứng của qua Tính A. B. C. D.

Câu 21. Cho hình vuông cạnh bằng Điểm nằm trên đoạn thẳng



sao cho . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Tính

A. B. C. D. Câu 22. Cho hình chữ nhật có Tích

A. B. C. D. Câu 23. Cho hình thoi có và Tính

A. B. C. D. Câu 24. Cho hình bình hành có , góc nhọn

và diện tích bằng Tính

A. B.

C. D. Câu 25. Cho hình chữ nhật có và . Gọi là trung

điểm của cạnh Tính A. B. C. D.

Vấn đề 2. QUỸ TÍCH

Câu 26. Cho tam giác . Tập hợp các điểm thỏa mãn là:A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn.

Câu 27. Tìm tập các hợp điểm thỏa mãn với là ba đỉnh của tam giác.

A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn.Câu 28. Cho tam giác . Tập hợp các điểm thỏa mãn là:

A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn.Câu 29*. Cho hai điểm cố định có khoảng cách bằng . Tập hợp các

điểm thỏa mãn là:A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn.

Câu 30*. Cho hai điểm cố định và Tập hợp các điểm thỏa mãn là: A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn.

Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ



Cho tam giác với ba đỉnh có tọa độ xác định thì

Trung điểm của đoạn

Trọng tâm

Trực tâm

Tâm đường tròn ngoại tiếp

Chân đường cao hạ từ đỉnh

Chân đường phân giác trong góc là điểm Chu vi: .

Diện tích: .

Góc .

Tam giác vuông cân tại

Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm Tính tích vô hướng A. B. C. D.

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và Tính tích vô hướng A. B. C. D.

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và Tính tích vô hướng A. B. C. D.

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và Tìm tọa độ vectơ biết và



A. B. C. D.

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba vectơ và

Tính A. B. C. D.

Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và . Tính cosin của góc giữa hai vectơ và

A. B.

C. D.

Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và . Tính cosin của góc giữa hai vectơ và

A. B.

C. D.

Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và . Tính góc giữa hai vectơ và A. B. C. D.



Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ cho vectơ . Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ ?

A. B. C. D.

Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm và .


www.thuvienhoclieu.comTính cosin của góc giữa hai vectơ và

A. B.

C. D. Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có và

. Tính số đo góc của tam giác đã cho.A. B. C. D.

Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm và Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai góc và phụ nhau. B. Góc là góc nhọn.

C. D. Hai góc và bù nhau.

Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và Tìm để vectơ vuông góc với A. B. C. D.

Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và Tìm để vectơ và vectơ có độ dài bằng nhau.

A. B. C. D.

Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba vectơ và

với Biết rằng vectơ vuông góc với vectơ . Khẳng định nào sau đây đúng? A. B. C. D.

Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và . Tìm vectơ biết và .

A. B. C. D.

Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba vectơ và với Tìm để vuông góc với trục hoành.

A. B. C. D.



Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và Tìm để vectơ tạo với vectơ một góc

A. B. C. D. Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI

Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ tính khoảng cách giữa hai điểm và

A. B. C. D. Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có

. Tính chu vi của tam giác đã cho.A. B. C. D.

Câu 53. Trong hệ tọa độ , cho vectơ . Độ dài của vectơ bằng

A. B. C. D.

Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. và cùng phương.C. vuông góc với . D.

Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ cho các điểm

và . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. cùng phương với B. C. D.

Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm và . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. Tam giác đều.C. Tứ giác là hình vuông. D. Tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm và



Khẳng định nào sau đây là đúng?A. Tứ giác là hình bình hành.B. Tứ giác là hình thoi.C. Tứ giác là hình thang cân.D. Tứ giác không nội tiếp được đường tròn.

Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có và . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Tam giác đều. B. Tam giác có ba góc đều nhọn.C. Tam giác cân tại . D. Tam giác vuông cân tại .

Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có và . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác đều. B. Tam giác vuông cân tại .C. Tam giác vuông cân tại . D. Tam giác có góc tù.

Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có và . Khẳng định nào sau đây là đúng?A. Tam giác đều. B. Tam giác vuông cân tại .C. Tam giác vuông tại . D. Tam giác vuông cân tại .

Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và Tìm tọa độ điểm thuộc trục hoành sao cho tam giác vuông tại

A. B. C. D.

Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và Tìm tọa độ điểm thuộc trục tung sao cho tam giác vuông tại

A. B. C. D.

Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm và Tìm điểm thuộc trục hoành sao cho

A. B. C. D.

Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và Tìm tọa độ điểm thuộc trục hoành sao cho ba điểm thẳng hàng.

A. B. C. D. Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ tìm điểm thuộc trục hoành để

khoảng cách từ đó đến điểm bằng



A. B. C. D.

Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và Tìm tọa độ điểm thuộc trục hoành sao cho cách đều hai điểm và

A. B. C. D. Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm Tìm điểm

thuộc trục hoàng sao cho A. B. C. D.

Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và Tìm thuộc trục tung sao cho nhỏ nhất.

A. B. C. D. Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ cho hình bình hành biết

Tìm tọa độ điểm A. B. C. D.

Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác đã cho.


Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.

A. B. C. D.

Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có và Gọi là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính A. B. C. D.

Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có và Tìm toạ độ chân đường cao kẻ từ đỉnh xuống cạnh


Tìm tọa độ chân đường cao vẽ từ đỉnh của tam giác đã cho.


cb

a CB

A


A. B. C. D.

Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm và Tìm tọa độ điểm để tứ giác là hình vuông.

A. B. C. D. Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và Tìm tọa

độ điểm sao cho tam giác vuông cân tại A. B. C. D.

Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ cho hình vuông có và Tìm tọa độ điểm , biết có tung độ âm.

A. B. C. D.

Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm và Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. là hình vuông. B. là hình chữ nhật.C. là hình thoi. D. là hình bình hành.

Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác với và . Tìm tọa độ điểm là chân đường phân giác trong góc của tam giác

A. B.

C. D.

Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm và Tìm tọa độ đỉnh thứ tư của hình thang cân

A. B. C. D.

BAØI3.

CAÙC HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC

VAØ GIAÛI TAM GIAÙC1. Định lí côsin

Cho tam giác có và . Ta có


Ic b

a CB

A

c b

a CB

A

am

bm cm


Hệ quả

2. Định lí sinCho tam giác có , và là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có

3. Độ dài đường trung tuyếnCho tam giác có lần lượt là các trung tuyến kẻ từ . Ta có

4. Công thức tính diện tích tam giácCho tam giác có● là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh ;● là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;● là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

● là nửa chu vi tam giác;● là diện tích tam giác.

Khi đó ta có:

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM


www.thuvienhoclieu.comVấn đề 1. GIẢI TAM GIÁC

Câu 1. Tam giác có . Số đo góc bằng:A. B. C. D.

Câu 2. Tam giác có và . Tính độ dài cạnh .A. B. C. D.

Câu 3. Tam giác có đoạn thẳng nối trung điểm của và bằng , cạnh và . Tính độ dài cạnh cạnh .

A. B. C. D.

Câu 4. Tam giác có và . Tính độ dài cạnh .

A. B. C. D.

Câu 5. Tam giác có và . Tính độ dài cạnh .

A. B. C. D. Câu 6. Cho hình thoi cạnh bằng và có . Tính độ dài cạnh

.A. B. C. D.

Câu 7. Tam giác có . Điểm thuộc đoạn sao cho . Tính độ dài cạnh .A. B. C. D.

Câu 8. Tam giác có . Gọi là chân đường phân giác trong góc . Khi đó góc bằng bao nhiêu độ?A. B. C. D.

Câu 9. Tam giác vuông tại , đường cao . Hai cạnh và tỉ lệ với và . Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao

nhiêu?A. B. C. D.

Câu 10. Tam giác vuông tại . Trên cạnh lấy hai điểm sao cho các góc bằng nhau. Đặt . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?A. B.


www.thuvienhoclieu.comC. D.

Câu 11. Cho góc . Gọi và là hai điểm di động lần lượt trên và sao cho . Độ dài lớn nhất của đoạn bằng:

A. B. C. D.

Câu 12. Cho góc . Gọi và là hai điểm di động lần lượt trên và sao cho . Khi có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn bằng:

A. B. C. D. Câu 13. Tam giác có . Các cạnh liên hệ với

nhau bởi đẳng thức . Khi đó góc bằng bao nhiêu độ?A. B. C. D.

Câu 14. Tam giác vuông tại , có . Gọi là độ dài đoạn phân giác trong góc . Tính theo và .

A. B. C. D. Câu 15. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí , đi thẳng theo hai

hướng tạo với nhau góc . Tàu chạy với tốc độ hải lí một giờ. Tàu chạy với tốc độ hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao

nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây?A. hải lí. B. hải lí. C. hải lí. D. hải lí.

Câu 16. Để đo khoảng cách từ một điểm trên bờ sông đến gốc cây trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm cùng ở trên bờ với sao cho từ và có thể nhìn thấy điểm . Ta đo được khoảng cách , và . Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng

cách gần nhất với giá trị nào sau đây?A. .


°

A

www.thuvienhoclieu.comB. . C. . D. .

Câu 17. Từ vị trí người ta quan sát một cây cao (hình vẽ).

Biết . Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?A. . B. . C. . D. .

Câu 18. Giả sử là chiều cao của tháp trong đó là chân tháp. Chọn hai điểm trên mặt đất sao cho ba điểm và thẳng hàng. Ta đo được , . Chiều cao của tháp gần với giá trị nào sau đây?A. . B. . C. . D. .

Câu 19. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao . Từ vị trí quan sát cao so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh và chân của cột ăng-

ten dưới góc và so với phương nằm ngang. Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng , giả sử chiều cao của giác kế là . Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhình thấy đỉnh của tháp. Đọc


°

A

www.thuvienhoclieu.comtrên giác kế số đo của góc . Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây:A. . B. . C. . D. .

Câu 21. Từ hai vị trí và của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh của ngọn núi. Biết rằng độ cao , phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc , phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc . Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?A. . B. . C. . D. .

Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Câu 22. Tam giác có và . Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác bằng:A. . B. . C. . D. .

Câu 23. Tam giác vuông tại và có . Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác đã cho.

A. B. C. D. Câu 24. Tam giác có cm, cm và cm. Tính độ dài

đường trung tuyến của tam giác đã cho.

A. cm. B. cm. C. cm. D. cm.

Câu 25. Tam giác cân tại , có và . Gọi là điểm đối xứng của qua . Tính độ dài cạnh A. cm. B. cm. C. cm. D. cm.

Câu 26. Tam giác có . Gọi là trung điểm của . Biết

và . Tính độ dài cạnh .A. . B. . C. . D. .

Câu 27*. Tam giác có trọng tâm . Hai trung tuyến , và


www.thuvienhoclieu.com. Tính độ dài cạnh .

A. . B. . C. . D. .Câu 28**. Tam giác có độ dài ba trung tuyến lần lượt là . Diện

tích của tam giác bằng:A. . B. . C. . D. .

Câu 29*. Cho tam giác có . Nếu giữa có liên hệ thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác tính theo bằng:

A. . B. . C. . D. . Câu 30*. Cho hình bình hành có và .

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng:

A. . B. .

C. . D. .Câu 31**. Tam giác có . Các cạnh liên hệ với

nhau bởi đẳng thức . Góc giữa hai trung tuyến và là góc nào?A. . B. . C. . D. .

Câu 32**. Tam giác có ba đường trung tuyến thỏa mãn . Khi đó tam giác này là tam giác gì?

A. Tam giác cân. B. Tam giác đều. C. Tam giác vuông. D. Tam giác vuông cân.

Câu 33**. Tam giác có . Gọi là độ dài ba đường trung tuyến, trọng tâm. Xét các khẳng định sau:

. . . .Trong các khẳng định đã cho có

A. đúng. B. Chỉ đúng. C. Cả hai cùng sai. D. Cả hai cùng đúng.

Vấn đề 3. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP

Câu 34. Tam giác có và . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

A. . B. . C. . D. .Câu 35. Tam giác có và . Tính bán kính của 24 www.thuvienhoclieu.com

www.thuvienhoclieu.comđường tròn ngoại tiếp tam giác .A. . B. . C. . D. .

Câu 36. Tam giác có . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

A. . B. . C. . D. .Câu 37. Tam giác đều cạnh nội tiếp trong đường tròn bán kính . Khi đó

bán kính bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 38. Tam giác vuông tại có đường cao và . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác .A. . B. . C. . D. .

Câu 39. Cho tam giác có và . Gọi là trung điểm . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A. . B. . C. . D. .Câu 40**. Tam giác nhọn có , là đường cao kẻ từ

và . Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác được tính theo và là:

A. . B. .

C. . D. .Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Câu 41. Tam giác có . Tính diện tích tam giác .

A. . B. . C. . D. .Câu 42. Tam giác có . Tính diện tích tam

giác .A. . B. . C. . D. .

Câu 43. Tam giác có . Diện tích của tam giác bằng:


www.thuvienhoclieu.comA. . B. . C. . D. .

Câu 44. Tam giác có . Tính độ dài đường cao của tam giác.

A. . B. . C. . D. .Câu 45. Tam giác có . Tính độ dài đường cao uất

phát từ đỉnh của tam giác.A. . B. . C. . D. .

Câu 46. Tam giác có . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên cạnh . Tính .

A. . B. . C. . D. .Câu 47. Tam giác có cm, cm và có diện tích bằng .

Giá trị ằng:

A. . B. . C. . D. .Câu 48. Hình bình hành có và . Khi đó hình

bình hành có diện tích bằng:A. . B. . C. . D. .

Câu 49*. Tam giác vuông tại có cm. Hai đường trung tuyến và cắt nhau tại . Diện tích tam giác bằng:A. . B. . C. . D. .

Câu 50*. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính cm có diện tích bằng:A. B. C. D. .

Câu 51*. Tam giác có và độ dài đường cao . Tính độ dài cạnh .

A. . B. .

C. hoặc . D. hoặc .Câu 52*. Tam giác có và có diện tích . Nếu tăng

cạnh lên lần đồng thời tăng cạnh lên lần và giữ nguyên độ lớn của góc thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:A. . B. . C. . D. .

Câu 53*. Tam giác có và . Tam giác có diện tích lớn



VAØ ÖÙNG DUÏNG

www.thuvienhoclieu.comnhất khi góc bằng:A. . B. . C. . D. .

Câu 54*. Tam giác có hai đường trung tuyến vuông góc với nhau và có , góc . Tính diện tích tam giác .

A. . B. . C. . D. .Vấn đề 5. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP

Câu 55. Tam giác có và . Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.A. . B. . C. . D. .

Câu 56. Tam giác có . Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.

A. . B. . C. . D. . Câu 57. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh .

A. . B. . C. . D. .Câu 58. Tam giác vuông tại có cm, cm. Tính bán kính

của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.

A. cm. B. cm. C. cm. D. cm.Câu 59. Tam giác vuông cân tại , có . Tính bán kính của

đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.

A. . B. . C. . D. .Câu 60. Tam giác vuông cân tại và nội tiếp trong đường tròn tâm bán

kính . Gọi là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác . Khi đó tỉ số bằng:

A. . B. . C. . D. .

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

BAØI GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA www.thuvienhoclieu.com 27

2 22

+ 2 12- 1 2

2+


1. MOÄT GOÙC BAÁT KYØTÖØ ÑEÁN

Câu 1. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng

MTCT ta được Chọn B.Câu 2. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng

MTCT ta được Chọn A.Câu 3. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng

MTCT ta được Chọn C.

Câu 4. Vì và là hai góc phụ nhau nên Chọn

D.

Câu 5. Vì và là hai góc phụ nhau nên Chọn A.

Câu 6. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng

MTCT ta được Chọn D.Câu 7. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng

MTCT ta được Chọn A.Câu 8. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng

MTCT ta được Chọn D.Câu 9. Từ giả thiết suy ra

Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT


0

0 0

0

2cos45 2 cos45 sin45 2.2sin45 2

ìïï =ïïï ¾¾® + =íïïï =ïïî

00 0

0

1tan30 43 tan30 cot30 .3cot30 3

ìïï =ïï ¾¾® + =íïïï =ïî

O 1tan150 .3

=-

030 060

0 0

0 0sin30 cos60sin60 cos30

ìï =ïíï =ïîcos30 cos60 sin30 sin60 cos30 cos60 cos60 cos30 0.P¾¾® = - = - =o o o o o o o o

030 060

0 0

0 0sin30 cos60sin60 cos30

ìï =ïíï =ïî2 2sin30 cos60 sin60 cos30 cos 60 sin 60 1.P¾¾® = + = + =o o o o o o

0

0 0

0

3cos30 2 cos30 sin120 3.3sin120 2

ìïï =ïïï ¾¾® + =íïïï =ïïî

00 0

0cos0 1 cos0 sin0 1.sin0 0

ìï =ï ¾¾® + =íï =ïî

0

0

1cos120 2.3sin60 2

ìïï =-ïïïíïïï =ïïîµ 060 .C =


ta được Chọn A.

Câu 10. Ta có . Do đó A sai; B sai.

Ta có Do đó C đúng. Chọn C.

Câu 11. Hai góc bù nhau và thì cho có giá trị của sin bằng nhau. Chọn C.

Câu 12. Hai góc bù nhau và thì cho có giá trị của sin bằng nhau, các giá trị còn lại thì đối nhau. Do đó D sai. Chọn D.

Câu 13. Hai góc và bù nhau nên ;Hai góc và bù nhau nên .Do đó

.Chọn B.

Câu 14. Hai góc và bù nhau nên ; .

Do đó . Chọn C.

Câu 15. Giả sử . Biểu thức trở thành .

Trong tam giác , có .Do hai góc và bù nhau nên ; .Do đó, . Chọn A.

Câu 16. Giả sử . Biểu thức trở thành .

Trong tam giác có .Do hai góc và bù nhau nên ; .

Do đó . Chọn C.Câu 17. Hai góc nhọn và phụ nhau thì

. Chọn A. Câu 18. Hai góc và phụ nhau nên

Hai góc và hơn kém nhau nên Do đó,


0 3cos cos30 .2B= =

··

·0

1sin 2303cos 2

BAHBAH

BAH

ìïï =ïïï= ¾¾®íïïï =ïïî

· ·0 360 sin .2ABC ABC= ¾¾® =

a ( )180 a°-

a b

030 0150 sin30 sin150°= °15° 165° cos15 cos165°=- °

( )sin30 cos15 sin150 cos165 sin150 . cos165 sin150 cos165 0P = ° °+ ° °= ° - ° + ° °=

sin sina b= cos cosa b=-( )2 2 2 2cos cos sin sin cos sin sin cos 1P a b b a a a a a= - =- - =- + =-

µ µ µ;A B Ca b= + = sin cos cos sinP a b a b= +

ABC µ µ µ 180 180A B C a b+ + = °Þ + = °sin sina b= cos cosa b=-

sin cos cos sin sin cos cos sin 0P a b a b a a a a= + =- + =µ µ µ;A B Ca b= + = cos cos sin sinP a b a b= -

ABC µ µ µ 180 180A B C a b+ + = °Þ + = °sin sina b= cos cosa b=-

( )2 2 2 2cos cos sin sin cos sin sin cos 1P a b a b a a a a= - =- - =- + =-

sin cos ;cos sin ; tan cot ;a b a b a b= = = cot tana b=15° 75° sin75 cos15 .°= °

20° 110° 90° cos110 sin20 .°=- °2 2 2 2sin 15 cos 20 sin 75 cos 110S= °+ °+ °+ °


Chọn C.Câu 19. Hai góc và phụ nhau nên .

Do đó, . Chọn B.Câu 20. Hai góc và phụ nhau nên .

Do đó, . Chọn A.Câu 21. Chọn C. Câu 22. Chọn A.Câu 23. Chọn A. Trong khoảng từ đến , khi giá trị của góc tăng thì giá

trị cos tương ứng của góc đó giảm.Câu 24. Trong khoảng từ đến , khi giá trị của góc tăng thì:

- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm.- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm.Chọn B.

Câu 25. Trong khoảng từ đến , khi giá trị của góc tăng thì:- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm.- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Chọn C.

Câu 26. Từ biểu thức ta suy ra

Do đó ta có Chọn D.

Câu 27. Ta có biểu thức

Do đó ta có Chọn B.

Câu 28. Ta có Chọn B.

Câu 29. Ta có biểu thức

Ta có Chọn B.

Câu 30. Ta có


( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2sin 15 cos 20 cos 15 sin20 sin 15 cos 15 sin 20 cos 20 2= °+ + °+ - ° = °+ ° + °+ °=

sin cos ;cos sina b a b= =2 2sin cos sin cos sin cos 1P a b b a a a= + = + =

sin cos ;cos sina b a b= =cos cos sin sin cos sin cos sin 0P a b b a a a a a= - = - =

0° 90°

90° 180°

90° 180°

2 2cos sin 1a a+ =2 2cos sin 1.5 5a a+ =

2 2 2 2 16sin cos 1 cos 1 sin .3 3 3 3 25a a a a+ = Û = - =

22 2 3 16 1073sin 5cos 3. 5. .3 3 5 25 25P a a æö÷ç= + = + =÷ç ÷çè ø

sin6 76sin 7cos 6tan 7 5cos .sin6cos 7sin 6 7tan 36 7cosP

aa a aa

aa a aa

-- -= = = =+ ++

2 2 2 2 5sin cos 1 sin 1 cos .9a a a a+ = Û = - =2

2 2

2 2 2

2 5cos sin 3.3cot 3tan cos 3sin 193 9sin cos .cos sin2cot tan 132cos sin 2 52 2.sin cos 3 9

P

a aa a a aa a

a aa a a aa a

æ ö÷ç- +÷+ ç ÷çè ø+ += = = = =+ + æ ö+ ÷ç- +÷ç ÷çè ø

22 2

2 2cos cos 12cos 5sin cos 1 sin 2 5sinsin sinP a aa a a a

aa aæ ö÷ç ÷= + + = + +ç ÷ç ÷çè ø


Chọn D.

Câu 31. Ta có

: không thỏa mãn vì

Chọn A.

Câu 32. Ta có

: không thỏa mãn vì

Chọn C.

Câu 33. Ta có

Chọn C.

Câu 34. Ta có

Ta có

Chọn B.

Câu 35. Ta có

Ta có


( ) 22 2

2 21 3cot 5cot 1 1012cot 5cot 1 cot .1 cot cot 1 26

a aa a aa a

+ += + + + = =+ +( )223cos sin 1 3cos sin 1 9cos sin 1a a a a a a- = Û = + ® = +

( )2 2 2 29cos sin 2sin 1 9 1 sin sin 2sin 1a a a a a aÛ = + + Û - = + +

2sin 1

10sin 2sin 8 0 .4sin 5

aa a

a

é =-êêÛ + - = Û ê =êë· sin 1a =-

·4 3 sin 4sin cos tan .5 5 cos 3

aa a aa

= Þ = ¾¾® = =

( )222cos 2sin 2 2sin 2 2cos 2sin 2 2cosa a a a a a+ = Û = - ® = -

( )2 2 2 2

2

2sin 4 8cos 4cos 2 1 cos 4 8cos 4coscos 1

6cos 8cos 2 0 .1cos 3

a a a a a a

aa a

a

Û = - + Û - = - +é =êêÛ - + = Û ê =êë

· cos 1a =

·1 2 2 cos 2cos sin cot .3 3 sin 4

aa a aa

= Þ = ¾¾® = =

( )2 2sin cos sin cosa aa a a a+ = ® + =2

2 11 2sin cos sin cos .2aaa a a a -Û + = Û =

( )21 1cos sin cos sin3 9a a a a+ = ® + =

1 41 2sin cos sin cos .9 9a a a aÛ + = Û =-

( )2

22 2 sin costan cot tan cot 2tan cot 2cos sinP a aa a a a a aa a

æ ö÷ç= + = + - = + -÷ç ÷çè ø2 2 22 2sin cos 1 9 72 2 2 .sin cos sin cos 4 4

a aa a a a

æ ö æ ö æ ö+ ÷ç ÷ ÷ç ç÷= - = - = - - =ç ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ç è ø è øè ø

( )21 1sin cos sin cos 55a a a a- = ® - =

1 21 2sin cos sin cos .5 5a a a aÛ - = Û =

( )24 4 2 2 2 2sin cos sin cos 2sin cosP a a a a a a= + = + -

F

O

P

NE M

E

C

BA

H

E

C

B A

a

C

BA


Chọn B.

Câu 36. Vẽ . Khi đó Chọn A.

Vẽ . Khi đó

Vì

Ta có

Câu 37. Vẽ . Khi đó

Tương tự, ta cũng có

Vậy . Chọn C.Câu 38. Vẽ .

Khi đó (hình vẽ)

Chọn D.Câu 39. (Bạn đọc tự vẽ hình) Chọn D. Vì

Câu 40. Xác định được

Ta có

Vậy Chọn B. Câu 41.


( )2 171 2 sin cos .5a a= - =

· NE MN=uuur uuuur ( ) ( ), ,MN NP NE NP=

uuuur uuur uuur uuur

· ·0 0 0 0180 180 60 120 .PNE MNP= = - = - =

· OF MO=uuur uuur ( ) ( ) · 0, , 60 .MO ON OF ON NOF= = =

uuur uuur uuur uuur

· ( ) 0, 90 .MN OP MN OP^ ¾¾® =uuuur uur

· ( ) · 0, 60 .MN MP NMP= =uuuur uuur

BE AB=uuur uuur ( ) ( ) · · 0, , 180 120AB BC BE BC CBE CBA= = = - =

uuur uuur uuur uuur

( ) 0 1cos , cos120 .2AB BC¾¾® = =-uuur uuur

( ) ( ) 1cos , cos , .2BC CA CA AB= =-uuur uur uur uuur

( ) ( ) ( ) 3cos , cos , cos , 2AB BC BC CA CA AB+ + =-uuur uuur uuur uur uur uuur

AE BA=uuur uuur

( ) ·,AH AE HAE a= =uuur uuur

·0 0 0 0180 180 30 150 .BAH= - = - =

( ) ·0 0 0 0, 180 180 40 140 .AC CB ACB= - = - =uuur uur

( ) ·0, 180 .AC CB ACB= -uuur uur

· · 01cos 602ACACB ACBCB

= = ¾¾® =

( ) ·0 0, 180 120AC CB ACB¾¾® = - =uuur uur

( ) 0 1cos , cos120 .2AC CB = =-uuur uur

FI

CB

H

A0100

E

DC

B A

ED C

BA

O


Ta có

Chọn B.

Câu 42. Ta có

Chọn D.

Câu 43. Ta có

(do tứ giác nội tiếp. Chọn D.Câu 44. Vẽ .

Khi đó

Chọn B.Câu 45.

Ta có cùng hướng nên .

Ta có ngược hướng nên . Vẽ , khi đó

Vậy


( ) ·

( ) ·

( ) ·

0

0

0

, 180

, 180

, 180

AB BC ABC

BC CA BCA

CA AB CAB

ìï = -ïïïïï = -íïïïï = -ïïî

uuur uuur

uuur uur

uur uuur

( ) ( ) ( ) · · ·( )0 0 0 0, , , 540 540 180 360 .AB BC BC CA CA AB ABC BCA CAB¾¾® + + = - + + = - =uuur uuur uuur uur uur uuur

( ) ·

( ) ·

0

0

, 180

, 180

AB BC ABC

BC CA BCA

ìï = -ïïïíïï = -ïïî

uuur uuur

uuur uur

( ) ( ) · ·( )0, , 360AB BC BC CA ABC BCA¾¾® + = - +uuur uuur uuur uur

·( )0 0 0 0 0 0360 180 360 180 60 240 .BAC= - - = - + =

( ) ·

( ) ·

( ) ·

,

,

,

HA HB BHA

HB HC BHC

HC HA CHA

ìï =ïïïïï =íïïïï =ïïî

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

( ) ( ) ( ) · · ·, , ,HA HB HB HC HC HA BHA BHC CHA¾¾® + + = + +uuur uuur uuur uuur uuur uuur

· ( )0 0 02 2 180 100 160BHC= = - =HIAF

AE BA=uuur uuur

( ) ( )cos , cos ,AC BA AC AE=uuur uuur uuur uuur

· 0 2cos cos135 .2CAE= = =-

· ,AB DCuuur uuur ( ),AB DC

uuur uuur00=

· ,AD CBuuur uur ( ) 0, 180AD CB =

uuur uur

· CE DC=uur uuur

( ) ( ) · 0, , 135 .CO DC CO CE OCE= = =uuur uuur uuur uur

( ) ( ) ( )0 0 0 0

, , ,0 180 135 315 .AB DC AD CB CO DC+ +

= + + =

uuur uuur uuur uur uuur uuur

www.thuvienhoclieu.comChọn C.

BAØI2.


Câu 1. Ta có .

Do và là hai vectơ cùng hướng nên .

Vậy . Chọn A.

Câu 2. Ta có .

Mà theo giả thiết , suy ra Chọn A.

Câu 3. Ta có Chọn D.

Câu 4. Ta có

Suy ra Chọn B.

Câu 5. Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số và nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặc D.

Ta có Chọn C.

A đúng, vì

B đúng, vì

Câu 6. Xác định được góc là góc nên


( ). . .cos ,ab a b a b=r r r r r r

( ) ( )0, 0 cos , 1a b a b= ¾¾® =r r r r

( ). . .cos ,ab a b a b=r r r r r r

. .ab a b=-r r r r ( ) ( ) 0cos , 1 , 180 .a b a b=- ¾¾® =

r r r r

( ) ( ) ( ) 0. 3 1. . .cos , cos , , 120 .3.2 2.abab a b a b a b a ba b

-= ¾¾® = = =- ¾¾® =rrr r r r r r r r r rrr

( ) 2 22 2 13. 0 3 0 3 05 5 5u v uv a b a b a ab bæ ö÷ç^ ¾¾® = Û - + = Û - - =÷ç ÷çè ø

r r r r r rr rr r r r

1 1.a b ab= =¾¾¾¾® =-r r rr

( ) ( ) 0.cos , 1 , 180 ..aba b a ba b

= =- ¾¾® =rrr r r rrr

12

14

( ) ( )2 2 2 2 2 214 . .4a b a b a b a b ab ab a b a bæ ö÷ç+ - - = + - - = ¾¾® = + - - ÷ç ÷çè ør r r r r r r r rr r r r r r r

· ( ) ( ) ( ) 22 2 2. . . . . 2 .a b a b a b aa ab ba bb a b ab ba + = + + = + ++ = + = + +

r r r r r r r r r r r r rr r r rr r r

2 221. .2ab a b a bæ ö÷ç¾¾® = + - - ÷ç ÷çè ør r rr r r

· ( ) ( ) ( ) 22 2 2. . . . . 2 .a b a b a b aa ab ba bb a b ab ba - = - - = - -- = + = + -

r r r r r r r r r r r r rr r r rr r r

2 221. .2ab a b a bæ ö÷ç¾¾® = + - - ÷ç ÷çè ør r rr r r

( ),AB ACuuur uuur

µA ( ) 0, 60 .AB AC =uuur uuur


Do đó Chọn D.

Câu 7. Xác định được góc là góc ngoài của góc nên

Do đó Chọn C.Câu 8. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

Xác định được góc là góc nên

Do đó A đúng.

Xác định được góc là góc ngoài của góc nên

Do đó B đúng.


Do đó C sai. Chọn C.


Do đó D đúng.


Do đó Chọn D.


Do đó Chọn A.


Cách khác. Tam giác vuông tại suy ra

Ta có Chọn B.


( ) 20. . .cos , . .cos60 .2

aAB AC AB AC AB AC aa= = =uuur uuur uuur uuur

( ),AB BCuuur uuur

µB ( ) 0, 120 .AB BC =uuur uuur

( ) 20. . .cos , . .cos120 .2

aAB BC ABBC AB BC aa= = =-uuur uuur uuur uuur

· ( ),AB ACuuur uuur

µA ( ) 0, 60 .AB AC =uuur uuur

( ) 20. . .cos , . .cos60 2

aAB AC AB AC AB AC aa= = = ¾¾®uuur uuur uuur uuur

· ( ),AC CBuuur uur

µC ( ) 0, 120 .AC CB =uuur uur

( ) 20. . .cos , . .cos120 2

aACCB ACCB AC CB aa= = =- ¾¾®uuur uur uuur uur

· ( ),GA GBuuur uuur

·AGB ( ) 0, 120 .GA GB =uuur uuur

( ) 20. . .cos , . .cos120 63 3

a a aGAGB GAGB GA GB= = =- ¾¾®uuur uuur uuur uuur

· ( ),AB AGuuur uuur

·GAB ( ) 0, 30 .AB AG =uuur uuur

( ) 20. . .cos , . .cos30 23

a aAB AG AB AG AB AG a= = = ¾¾®uuur uuur uuur uuur

( ),AC CBuuur uur

µA ( ) 0, 120 .AC CB =uuur uur

( ) 20. . .cos , . .cos120 .2

aACCB ACCB AC CB aa= = =-uuur uur uuur uur

( ),AB BCuuur uuur

µB( ) 0, 135 .AB BC =uuur uuur

( ) 0 2. . .cos , . 2.cos135 .ABBC AB BC AB BC aa a= = =-uuur uuur uuur uuur

( ) µ 2 2 22 2

. . .cos , . .cos . . .cBA BC BA BC BA BC BA BC B c b c cb c

= = = + =+

uuur uuur uuur uuur

ABC A AB AC^ . 0.AB ACÞ =uuur uuur

( ) 2 2 2. . . .BA BC BA BA AC BA BA AC AB c= + = + = =uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

www.thuvienhoclieu.comCâu 12. Ta có ba điểm thẳng hàng và nằm giữa

Khi đó Chọn B.

Cách khác. Ta có

Câu 13. Ta có

Chọn A.

Câu 14. Vì là trung điểm của suy ra

Khi đó

Chọn A.

Câu 15. Ta có

Chọn B.Câu 16. Đáp án A đúng theo tính chất phân phối.

Đáp án B sai. Sửa lại cho đúng . Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán.Đáp án D đúng theo tính chất phân phối. Chọn B

Câu 17. Ta có nên Chọn A.

Câu 18. Từ giả thiết suy ra

Ta có

Chọn C.

Câu 19. Ta có

Khi đó


AB BC CA+ = Þ , ,A B C B, .A C

( ) 0. . .cos , 3.5.cos0 15.CACB CACB CA CB= = =uur uur uur uur

( )222 2 22AB AB CB CA CB CBCA CA= = - = - +uuur uur uur uuruur

( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 3 5 2 15.2 2CBCA CB CA AB¾¾® = + - = + - =uuruur

( ) ( ) ( ). . .P AB AC BC AB AC BA AC= + = + +uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2. .AC AB AC AB AC AB AC AB b c= + - = - = - = -uuur uuur uuur uuur uuur uuur

M BC 2 .AB AC AM+ =uuur uuur uuuur

( ) ( ) ( )1 1. . .2 2AM BC AB AC BC AB AC BA AC= + = + +uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 21 1 1. .2 2 2 2b cAC AB AC AB AC AB AC AB -= + - = - = - =

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( ) ( ) ( ). 0 . 0OA OB AB OA OB OB OA+ = Û + - =uur uur uuur uur uur uur uur

2 2 2 20 0 .OB OA OB OA OB OAÛ - = Û - = Û =uur uur

. .MP MN MN MP=uuur uuuur uuuur uuur

( ) · 0, 45AB AC BAC= =uuur uuur 0 22. . .cos45 . 2. .2AB AC AB AC aa a= = =

uuur uuur

2.AC a=

( ) 2. . . .P AC CD CA ACCD ACCA CACD AC= + = + =- -uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uur uuur uuur

( ) ( )22 0 2. cos , 2. .cos45 2 3 .CACD CA CD AC a a a a=- - =- - =-uur uuur

( )2

.2

BD a

BC BD BA BC BA BD BD BD BD

ìï =ïïíï + + = + + = + =ïïîuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( ).2 2 . 2 . 2 . 0P AB AC BD ABBD AC BD BA BD= + = + =- +uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

ED C

A B

N

M

D C

BA

C

B

D

A

D

B C

A


Chọn D.Câu 20. Ta có là trung điểm của nên

Khi đó

Chọn A.

Câu 21. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

Suy ra:

. Chọn B.

Câu 22. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

Ta có . Chọn D.

Câu 23. Gọi , giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.Ta có

.Chọn D.

Câu 24. Ta có Diện tích tam giác là:

(vì nhọn).


( ) 222. . cos , 2. . 2. 2 .2BA BD BA BD aa a=- =- =-uuur uuur

C DE 2 .DE a=

( )0

. . . .AE AB AD DE AB AD AB DE AB= + = +uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

1442443

( ) 0 2. .cos , . .cos0 2 .DE AB DE AB DE AB a= = =uuur uuur

, MB MNuuur uuuur

· ( )1 1 3 1 .4 4 4 4MB AB AM AB AC AB AB AD AB AD= - = - = - + = -uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

· ( )1 1 14 2 4MN AN AM AD DN AC AD DC AB AD= - = + - = + - +

uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )1 1 3 1 .2 4 4 4AD AB AB AD AD AB= + - + = +uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )2 23 1 3 1 1. 3 . 3 3 .4 4 4 4 16MBMN AB AD AD AB AB AD AB AD AD ABæ öæ ö÷ ÷ç ç= - + = + - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø

uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )2 21 0 3 3 0 016 a a= + - - =

, AB BDuuur uuur

( ) 2. . . . . 0 64AB BD AB BA BC AB BA AB BC AB AB AB= + = + =- + =- =-uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

O AC BD= Ç, AB AC

uuur uuur

( ) 21 1. . . . . 0 322 2AB AC AO OB AC AO AC OB AC AC AC AC= + = + = + = =uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur

22. 54 27cm .ABCD ABC ABCS S SD D= = Û = ABC

· ·1 1. . .sin . . .sin .2 2ABCS ABBC ABC AB AD ABCD = =

· 2. 2.27 9sin . 8.12 16ABCSABC

AB ADDÞ = = =

· ·2 5 7cos 1 sin 16ABC ABC¾¾® = - =

K D

CB

A


Mặt khác góc giữa hai vectơ là góc ngoài của góc

Suy ra Chọn D.

Câu 25. Ta có

Ta có

Chọn A.

Câu 26. Gọi là trung điểm

Ta có .

Biểu thức chứng tỏ hay nhìn đoạn dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm là đường tròn đường kính Chọn D.

Câu 27. Gọi là trọng tâm tam giác

Ta có

Biểu thức chứng tỏ hay nhìn đoạn dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm là đường tròn đường kính Chọn D.

Câu 28. Ta có Vậy tập hợp các điểm là đường thẳng đi qua và vuông góc với

Chọn B.

Câu 29*. Gọi là điểm đối xứng của qua . Khi đó

Suy ra Kết hợp với giả thiết, ta có

.Vậy tập hợp các điểm là đường thẳng qua và vuông góc với

Chọn B.

Câu 30*. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng

Ta có


,AB BCuuur uuur ·ABC

( ) · ·0 5 7cos , cos 180 cos .16AB BC ABC ABCæ ö÷ç= - =- =-÷ç ÷çè øuuur uuur

2 2 2 22 3.AC BD AB AD a a a= = + = + =12BK BA AK BA AD

AC AB AD

ìïï = + = +ïïíïïï = +ïî

uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

( )1. 2BK AC BA AD AB ADæ ö÷ç¾¾® = + +÷ç ÷çè ø

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )221 1 1. . . . 0 0 2 0.2 2 2BA AB BA AD AD AB AD AD a a= + + + =- + + + =uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

I 2 .BC MB MC MI¾¾® + =uuur uuur uuur

( ) 0MA MB MC+ =uuur uuur uuur

.2 0 . 0MA MI MAMI MA MIÛ = Û = Û ûuur uuur uuur uuur uuur uuur ( )*

( )* MA MI^ M AIM .AI

G 3 .ABC MA MB MC MG¾¾® + + =uuur uuur uuur uuuur

( ) 0 .3 0 . 0 .MB MA MB MC MB MG MBMG MB MG+ + = Û = Û = Û ûuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur

( )*

( )* MB MG^ M BGM .BG

. 0 .MA BC MA BC= Û ûuur uuur

M A .BC

C A B 2 .AC AB=uuur uuur

2 2. 2 2 .AB AC AB a= =uuur uuur uuur

. .AN AB AB AC=uuur uuur uuur uuur

( ) 0 . 0AB AN AC ABCN CN ABÛ - = Û = Û ûuur uuur uuur uuur uuur

N C .AB

I .AB IA IB¾¾® =-uur uur

( )( ) ( )( ).MAMB MI IA MI IB MI IA MI IA= + + = + -uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur


Theo giả thiết, ta có

Chọn A.

Câu 31. Ta có .

Suy ra Chọn A.Câu 32. Ta có Suy ra Chọn C.

Câu 33. Từ giả thiết suy ra và Suy ra Chọn A.

Câu 34. Gọi

Ta có Chọn B.

Câu 35. Ta có Suy ra Chọn B.


Câu 37. Ta có Chọn A.

Câu 38. Ta có Chọn C.

Câu 39. Ta có Chọn D.

Câu 40. Ta có Chọn D.Câu 41. Kiểm tra tích vô hướng , nếu đáp án nào cho kết quả khác thì

kết luận vectơ đó không vuông góc với Chọn C.Câu 42. Ta có và .

Suy ra Chọn D.

Câu 43. Ta có và . Suy ra:


22 2 2 2 2 .4ABMI IA MI IA MI= - = - = -

uuur uur

( ) ( )1;11 , 7;3AB AC= - = -uuur uuur

( ) ( ). 1 . 7 11.3 40.AB AC = - - + =uuur uuur

( ) ( )3;1 , 2;10 .AO OB= - =uuur uur

. 3.2 1.10 4.AOOB=- + =uuur uur

( )4;6a=r ( )3; 7 .b= -

r

( ). 4.3 6. 7 30.ab= + - =-r r

( ); .c x y=r

( ). 9 3 2 9 1 1;3 .7 20 3. 20ca x y x

cx y ycb

ìï ì ì= - + = =-ï ïïï ï ïÛ Û ¾¾® = -í í íï ï ï- - =- ==- ï ïï î îïî

r r rr r

( )6;6 .b c+ =r r ( ). 1.6 2.6 18.P a b c= + = + =

r r r

( )( )2 2 2 2

. 1.2 1.0 2cos , .2. 1 1 . 2 0aba ba b

- += = =-- + +

r rr rr r

( ) ( ) ( )2.4 1 . 3. 5cos , .54 1. 16 9.aba ba b

- + - -= = =-+ +

r rr rr r

( ) ( ) 0. 4.1 3.7 2cos , , 45 .216 9. 1 49.aba b a ba b

+= = = ¾¾® =+ +

r rr r r rr r

( ) ( ) ( ) ( ) 01. 3 2. 1. 2cos , , 135 .21 4. 9 1.x yx y x yx y

- + -= = =- ¾¾® =+ +

ur urur ur ur urur ur

( ) ( ) ( ) 02.3 5 7. 2cos , , 135 .24 25. 9 49.aba b a ba b

+ -= = =- ¾¾® =+ +

r rr r r rr r

.avr r 0.ar

( )2; 1AB= - -uuur ( )4; 3AC = -

uuur

( ) ( ) ( )2.4 1 . 3. 5cos , .54 1. 16 9.AB ACAB ACAB AC

- + - -= = =-+ +

uuur uuuruuur uuuruuur uuur

( )3; 1BA= -uuur ( )4; 2BC = - -

uuur


Chọn D.

Câu 44. Ta có

Suy ra

Chọn D.


Yêu cầu bài toán: . Chọn C.


Suy ra và . Do đó để

Chọn C.

Câu 47. Ta có

Để Chọn C.

Câu 48. Gọi . Từ giả thiết, ta có hệ Chọn B.

Câu 49. Ta có Trục hoành có vectơ đơn vị là

Vectơ vuông góc với trục hoành Chọn B.

Câu 50. Ta có


( ) ( ) ( ) ( ) µ ( ) O3. 4 1 . 2. 2cos , , 135 .29 1. 16 4.BA BCBA BC B BA BCBA BC

- + - -= = =- ¾¾® = =+ +

uuur uuuruuur uuur uuur uuuruuur uuur

( ) ( ) ( ) ( )8;4 , 5; 5 , 2;4 , 5;5 .AB AD CB CD= = - = - = -uuur uuur uur uuur

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 2

8.5 4. 5 1cos ,108 4 . 5 5

2 . 5 4. 5 1cos ,102 4 . 5 5

AB AD

CB CD

ìï + -ï = =ïïï + +ïíï - - + -ïï = =-ïï + +ïî

uuur uuur

uur uuur

( ) ( ) · · 0cos , cos , 0 180 .AB AD CB CD BAD BCD¾¾® + = Þ + =uuur uuur uur uuur

( )1; 5 , ; 4 .2u v kæ ö÷ç= - = -÷ç ÷çè ø

r r

( )( )1 5 4 0 402u v k k^ Û + - - = Û =-r r

( )1; 5 , ; 4 .2u v kæ ö÷ç= - = -÷ç ÷çè ø

r r

1 125 1014 2u = + =r

2 16v k= +r

2 2 21 101 37 3716 101 16 .2 4 4 2u v k k k k= Û + = Û + = Û = Û =±r r

( )( )

2 4 ;3.

2;4c ka mb k m k m

a b

ìï = + = - + +ïïíï + =ïïî

r r rr r

( ) ( ) 0c a b c a b^ + Û + =r r r r r r

( ) ( )2 2 4 4 3 0 2 3 0.k m k m k mÛ - + + + = Û + =

( );d x y=ur

52 3 4 7.4 2 6

7

xx yx y y

ìïï =-ïì - + =ï ïï ïÛí íï ï+ =-ïî ï =ïïïî( ). 4 ;1 4 .a u mv m m= + = + +

r r r

( )1;0 .i =r

ar

. 0 4 0 4.ai m mÛ = Û + = Û =-r r

( )( )

. 4 1; 4.

1;1a mu v m m

b i j

ìï = + = + +ïïíï = + =ïïî

r r rr r r


Yêu cầu bài toán

Chọn C.

Câu 51. Ta có suy ra Chọn D.

Câu 52. Ta có Vậy chu vi của tam giác là Chọn B.


Câu 54. Ta có suy ra vuông góc với . Chọn C.

Câu 55. Ta có và suy ra

Vậy vuông góc với Chọn C.

Câu 56. Ta có

Lại có nên . Từ đó suy ra là hình vuông. Chọn C.

Câu 57. Ta có .

Suy ra và


( ) 0 2cos , cos45 2a bÛ = =r r

( ) ( )( ) ( )

( )2 2 2

4 1 4 5 12 22 22 17 16 172 4 1 4

m m mm mm m

+ + + +Û = Û =+ ++ + +

( ) 22 21 0 15 1 17 16 17 .25 50 25 17 16 17 4

mm m m m

m m m mì + ³ïïÛ + = + + Û Û =-íï + + = + +ïî

( )4;6MN = -uuuur ( )2 24 6 42 2 13.MN = - + = =

( )( )( )

( )

( )

22

2 2

2 2

2 2 2 22; 22;2 2 2 2 2

4;0 4 0 4

ABAB

BC BC

CA CA

ìïìï ï = + - == -ï ïï ïï ïï ï= Þ = + =í íï ïï ïï ï= -ï ï = - + =ï ïî ïî

uuuruuuruur

P ABC 4 4 2.P AB BC CA= + + = +2 23 4 3 4 3 4; 1.5 5 5 5 5 5a i j a a

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç=- - ¾¾® = - - Þ = - + - =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ør rr r r

( ). 3. 8 4.6 0uv= - + =r r

( )3; 6AB= - -uuur 11;2CD

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè øuuur

( ) ( ) ( ) 1. 3 . 1 6 . 0.2ABCD= - - + - =uuur uuur

ABuuur

.CDuuur

( )( )( )( )

2 21;7 1 7 5 27;1 5 2 5 2.1; 7 5 2

7; 1 5 2

AB AB

BC BCAB BC CD DA

CD CD

DA DA

ìï = Þ = + =ïïïïï = - Þ =ïï ¾¾® = = = =íïï = - - Þ =ïïïï = - Þ =ïïî

uuuruuuruuuruuur

( ). 1 7 7.1 0ABBC = - + =uuur uuur

AB BC^ABCD

( )( )1;1 33;3

ABDC AB

DC

ìï =ïï ¾¾® =íï =ïïî

uuur uuur uuuruuur

DC ABP 3 .DC AB= ( )1


Mặt khác

Từ và , suy ra tứ giác là hình thang cân. Chọn C.

Câu 58. Ta có và

Suy ra Vậy tam giác vuông cân tại Chọn D.

Câu 59. Ta có và

Suy ra và Vậy tam giác vuông cân tại Chọn C.

Câu 60. Ta có và

Do đó Vậy tam giác vuông cân tại Chọn B.

Câu 61. Ta có nên và

Tam giác vuông tại nên

Chọn B.


Tam giác vuông tại nên

Vậy . Chọn A.Câu 63.

Ta có nên và

Do nên Chọn A.


2 2

2 2

1 3 10 .3 1 10

ADAD BC

BC

ìï = + =ïï ¾¾® =íïï = + =ïî ( )2

( )1 ( )2

( ) ( )2;2 , 0; 4AB BC= = -uuur uuur ( )2; 2 .AC = -

uuur

2 2 22 2 .AB AC

AB AC BC

ìï = =ïíï + =ïî ABC .A( ) ( )7; 3 , 3; 7AB BC= - - = -

uuur uuur ( )4; 10 .AC = - -uuur

( ) ( ) ( ). 7 .3 3 . 7 0ABBC = - + - - =uuur uuur

.AB BC=ABC .B

( ) ( )3;0 , 3;3AB BC= = -uuur uuur ( )0;3 .AC =

uuur

2 2 23 .3 2

AB ACAB AC BC

BC

ì = =ïï Þ + =íï =ïîABC .A

C OxÎ ( );0C c

( )( )

2 ;4.

8 ;4CA c

CB c

ìï = - -ïïíï = -ïïî

uuruur

ABC C ( ) ( ). 0 2 . 8 4.4 0CACB c c= Û - - - + =uur uur

( )( )

2 6;66 0 .00;00

c Cc c

c C

é = ®êÛ - = Û ê = ®êë

C OyÎ ( )0;C c

( )( )

4; 1.

1; 2AB

AC c

ìï = - -ïïíï = - -ïïî

uuuruuur

ABC A ( ) ( ) ( )( ). 0 4 . 1 1 2 0 6.AB AC c c= Û - - + - - = Û =uuur uuur

( )0;6C

M OxÎ ( );0M x

( )( )( )

( )4 ;05 ;0 6 3 ;0 .

3 ;0

MA x

MB x MA MB MC x

MC x

ìï = - -ïïïï = - - ¾¾® + + = - -íïïï = -ïïî

uuuruuur uuur uuur uuuruuur

0MA MB MC+ + =uuur uuur uuur r ( )6 3 0 2 2;0 .x x M- - = Û =- ¾¾® -



Do thẳng hàng nên Chọn D.


Theo giả thiết:

Chọn B.


Do .Chọn B.


Vì suy ra nên

Chọn B.


Khi đó

Suy ra

Dấu xảy ra khi và chỉ khi Chọn C.

Câu 69. Gọi Ta có và . Vì là hình bình

hành nên Chọn A.


P OxÎ ( );0P x

( )( )

2; 2 .3; 1

MP x

MN

ìï = + -ïïíï = -ïïî

uuuruuuur

, , M N P ( )2 2 4 4;0 .3 1x x P+ -= Û = ¾¾®-

M OxÎ ( );0M m ( )1 ;4 .MN m= - -uuuur

( )2 22 5 2 5 1 4 2 5MN MN m= Û = Û - - + =uuuur

( ) ( )( )

2 2 1 1;01 16 20 2 3 0 .

3 3;0m M

m m mm M

é = ¾¾®êÛ + + = Û + - = Û ê =- ¾¾® -êë

C OxÎ ( );0C x

( )( )

1; 3.

4; 2AC x

BC x


uuuruuur

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 5 51 3 4 2 ;03 3CA CB CA CB x x x Cæ ö÷ç= Û = Û - + - = - + - Û = ¾¾® ÷ç ÷çè ø

M OxÎ ( );0M m

( )( )

2; 2.

5;2AM m

BM m


uuuuruuur

· 090AMB= . 0AM BM =uuuur uuur ( )( ) ( )2 5 2 .2 0.m m- - + - =

( )( )

2 1;017 6 0 .6 6;0Mm

m mm M

éé = êêÛ - + = Û ¾¾® êê =ë êë

M OyÎ ( )0;M m

( )( )1; 1

.3;2

MA m

MB m


uuuruuur

( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 21 1 3 2 2 2 15.MA MB MA MB m m m m+ = + = + - - + + - = - +uuur uuur

21 29 292 ; .2 2 2m mæ ö÷ç= - + ³ " Î÷ç ÷çè ø ¡

{ }2 2min

29.2MA MB+ =

'' ''=1 10; .2 2m M

æ ö÷ç= ¾¾® ÷ç ÷çè ø

( ); .D x y ( )2;AD x y= +uuur ( )4; 3BC = -

uuur

( )2 4 2 2; 3 .3 3x x

AD BC Dy y

ì ì+ = =ï ïï ï= ¾¾® Û ¾¾® -í íï ï=- =-ï ïî îuuur uuur


Câu 70. Tọa độ trọng tâm là Chọn D.

Câu 71. Gọi . Ta có Do là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên

. Chọn B.

Câu 72. Ta có Từ giả thiết, ta có:

Chọn C.

Câu 73. Gọi . Ta có

Từ giả thiết, ta có

Giải hệ Chọn C.

Câu 74. Gọi Ta có Vì là chân đường cao vẽ từ đỉnh của tam giác nên


( );G GG x y

1 2 5 43 3 .3 4 3 103 3

G

G

x

y

ì - +ïï = =ïïïíï + +ï = =ïïïî

( );I x y

( )( )( )

4; 12; 4 .2; 2

AI x y

BI x y

CI x y

ìï = + -ïïïï = - -íïïï = - +ïïî

uuruuruur

I ABC2 2

2 2IA IBIA IB ICIB IC

ìï =ï= = Û íï =ïî( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

14 1 2 4 4 2 9 412 4 2 2 1

x y x y xx xyx y x y y

ìïìï ì ïï+ + - = - + - =-+ = - +ï ïïïÛ Û Ûí í íï ï ï=- + - = - + +ï ï ïî =ïî ïî

( ) ( )( ) ( )

3; & 1;6 .3; & 5;6

AH a b BC

BH a b AC

ìï = + = -ïïíï = - =ïïî

uuur uuuruuur uuur

( ) ( )( )

23 . 1 .6 0. 0 6 7.53 .5 .6 0. 0 6

aa bAH BCa b

a b bBH AC

ì =ïìï ì ïï + - + ==ï ïï ïÛ Û ¾¾® + =í í íï ï ï- + = ==ï ï ïîïî ïî

uuur uuuruuur uuur

( )' ;A x y

( )( )( )

' 4; 35; 15 .

' 2; 7

AA x y

BC

BA x y

ìï = - -ïïïï = - -íïïï = - -ïïî

uuuruuuruuur

( )( )

'. 0 1', ', thang hang '

.2

AA BCAA BCB A C BA kBC

ì =^ïï Ûíïìïïïíïïïî =ïî

uuur uuuruuur uuur

· ( ) ( ) ( )1 5 4 15 3 0 3 13.x y x yÛ - - - - = Û + =

· ( ) 2 72 3 1.5 15x y x y- -Û = Û - =-- -

( )3 13 1 ' 1;4 .3 1 4x y x

Ax y y

ì ì+ = =ï ïï ïÛ ¾¾®í íï ï- =- =ï ïî î

( )' ; .A x y

( )( )( )

' 2; 46; 2 .

' 3; 1

AA x y

BC

BA x y

ìï = - -ïïïï = -íïïï = + -ïïî

uuuruuuruuur

'A ABC


Chọn D.Câu 75. Dễ dàng kiểm tra

Gọi là tâm của hình vuông Suy ra là trung điểm của

Gọi , do cũng là trung điểm của

Chọn A.

Câu 76. Gọi . Ta có

Tam giác vuông cân tại

Chọn C.

Câu 77. Gọi Ta có

Vì là hình vuông nên ta có

hoặc .

Với ta tính được đỉnh : thỏa mãn.

Với ta tính được đỉnh : không thỏa mãn.Chọn B.


thaúng haøng'

, , ' AA BCB C A

ì ^ïïíïïî

( ) ( ) ( ) 32 .6 4 . 2 0'. 0 6 2 4 5 .3 1 2 6 0 1' 6 2 5

x y xAA BC x yx y x yBA kBC y

ì ìï ïì ï ïï - + - - = =ì ï ïï ï= - =ï ïï ïï ï ï ïÛ Û Û Ûí í í í+ -ï ï ï ï- - ===ï ï ï ïïî =-ï ï ï-ïî ï ïïîïî

uuur uuuruuur uuur

· 0. 0 90 .BA BC ABC= ¾¾® =uuur uuur

I .ABCD I( )4; 1 .AC I¾¾® -

( );D x y I

( )3 4 52 5; 8 .6 812

xx

BD Dy y

ì +ïï =ï ì =ïïï ï¾¾® Û Þ -í íï ï+ =-ïï î=-ïïïî

( );C x y

( )( )1;3

.1; 1

BA

BC x y

ìï =ïïíï = - -ïïî

uuuruuur

ABC B

. 0BA BCBA BC

ìï =ïÛ íï =ïî

uuur uuur ( ) ( )( ) ( )2 22 2

1. 1 3. 1 01 3 1 1x y

x y

ìï - + - =ïïÛ íï + = - + -ïïî

24 3 0 2hay .10 20 0 4 2

x y y yy y x x

ìì ì= - = =ïï ïï ï ïÛ Ûí í íï ï ï- = = =-ï ïî ï îî

C ( ); .x y=( )( )2;1

.3;

AB

BC x y

ìï =ïïíï = -ïïî

uuuruuur

ABCD

AB BCAB BC

ìï ^ïíï =ïî

uuur uuur

( )( )

( )( )

( )( )2 2 22

2 3 1. 0 2 3 2 3 423 5 5 3 5 3 1

x y y x y x xyx y x x

ìì ìïï ï- + = = - = - ì =ïïï ïï ï ï ïÛ Û Û Ûí í í íï ï ï ï =-- + = - = - = ïï ï ï îï ïî îïî22

xy

ì =ïïíï =ïî( )1 4; 2C - ( )1 2; 3D -

( )2 2;2C ( )2 0;1D


Câu 78. Ta có là hình hình hành. Chọn D.

Câu 79. Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có

Vì nằm giữa hai điểm nên

Gọi . Ta có

Từ , suy ra Chọn D.Câu 80. Để tứ giác là hình thang cân, ta cần có một cặp cạnh đối song

song không bằng nhau và cặp cạnh còn lại có độ dài bằng nhau. Gọi

Trường hợp 1: (với )

Ta có

Từ và , ta có

Trường hợp 2: . Làm tương tự ta được

Vậy hoặc . Chọn B.

BAØI3.

CAÙC HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC

VAØ GIAÛI TAM GIAÙC


( )( )( )

2;11; 4

. 2 02;1

ABAB DC

BC ABCDABBC

DC

ìï = -ïï ìïï =ïï ï= - - ¾¾® ¾¾®í íï ï =- ¹ï ïïîï = -ïïî

uuuruuur uuuruuuruuur uuuruuur

2.2EA OAEB OB

= =

E , A B2 .2EA EB=-

uuur uuur( )*

( );E x y

( )( )1 ;3

.4 ;2

EA x y

EB x y


uuuruuur

( )*

( )

( )

21 4 2 3 22 .2 4 23 22

x x xyy y

ìïï - =- -ï ìïï =- +ïï ïÛí íï ï = -ï ïïîï - =- -ïïîABCD

( ); .D x y

AB CDCD kAB

AB CDìïï Û =íï ¹ïî

uuur uuur

1k ¹ -

( ) ( ) 20; 7 2 ;2 .2 7x k

x y k ky k

ì =-ïïÛ - - = - Û íï = +ïî ( )1( ) ( )( )

( )2 2

2 22; 2 2 25.0;5 5

AD x y AD x yAD BC x y

BC BC

ìïï = - Þ = - +ï ¾¾® = Û - + =íïï = Þ =ïî

uuuruuur ( )2

( )1 ( )2( ) ( )

( )( )2 2

12 2 2 7 25 7;0 .7

2

kk k D

k

é =-êê- - + + = Û ¾¾®ê =-êë

loaïi

AD BCAD BC

ìïïíï ¹ïî

( )2;9 .D=

( )7;0D ( )2;9D

N

M

B C

A

CA

D

B

MB C

A


Câu 1. Theo định lí hàm cosin, ta có .Do đó, . Chọn C.

Câu 2. Theo định lí hàm cosin, ta có. Chọn D.

Câu 3. Gọi lần lượt là trung điểm của .

là đường trung bình của .

. Mà , suy ra .Theo định lí hàm cosin, ta có

Chọn A.Câu 4. Theo định lí hàm cosin, ta có

. Chọn B.

Câu 5. Theo định lí hàm sin, ta có .Chọn A.

Câu 6. Do là hình thoi, có .Theo định lí hàm cosin, ta có

Chọn A.Câu 7.

Theo định lí hàm cosin, ta có : .

Do .Theo định lí hàm cosin, ta có


µ 2 2 2 2 2 25 8 7 1cos 2 . 2.5.8 2AB AC BCA

AB AC+ - + -= = =

µ 60A= °

µ2 2 2 2 22 . .cos 2 1 2.2.1.cos60 3 3BC AB AC AB AC A BC= + - = + - °= Þ =

,M N ,AB BC

MN¾¾® ABCD12MN AC¾¾® = 3MN = 6AC =

·2 2 2

2 2 22. . .cos

9 6 2.6. .cos603 3 6

AB AC BC AC BC ACBBC BC

BC

= + -Û = + - °Þ = +

µ ( ) ( )2 22 2 2 22. . .cos 2 3 2. 3. .cos45AB AC BC AC BC C BC BC= + - Þ = + - °

6 22BC +Þ =

µ µ5 5 6

sin45 sin60 2sin sinAB AC AC ACC B

= Û = Þ =° °

ABCD · ·60 120BAD ABC= °Þ = °

·2 2 2

2 2

2. . .cos1 1 2.1.1.cos120 3 3

AC AB BC ABBC ABCAC

= + -= + - °= Þ =

( )22 22 2 2 4 6 2 7 1cos 2. . 2.4.6 2AB BC ACB

ABBC+ -+ -= = =

12 23MC MB BM BC= ¾¾® = =

DB C

A

FE Q

P

M

x

y

O

B

A


Chọn C.Câu 8.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

Trong có .Chọn C.

Câu 9. Do tam giác vuông tại , có tỉ lệ 2 cạnh góc vuông là nên là cạnh nhỏ nhất trong tam giác.

Ta có .Trong có là đường cao

. Chọn B.Câu 10.

Ta có .Theo định lí hàm cosin, ta có

. Chọn C.

Câu 11. Theo định lí hàm sin, ta có:

Do đó, độ dài lớn nhất khi và chỉ khi .

Khi đó .Chọn D.


µ2 2 2

2 2

2. . .cos14 2 2.4.2. 12 2 32

AM AB BM ABBM B

AM

= + -

= + - = Þ =

·

· ·

2 2 2 1cos 2. . 2120 60

AB AC BCBACAB AC

BAC BAD

+ -= =-

Þ = °Þ = °· ·2 2 2 2cos 452. . 2

AB BC ACABC ABCABBC

+ -= = Þ = °

ABDD · · ·60 , 45 75BAD ABD ADB= ° = °Þ = °

:AB AC3:4 AB

3 44 3

AB AC ABAC

= Þ =

ABCD AH

2 2 2 2 2 2 22

1 1 1 1 1 1 1 9 404 32 163

ABAH AB AC AB AB ABAB

Þ = + = + Û = + Þ =æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

· · · · · ·30 603MPQMPE EPF FPQ MPF EPQ= = = = °Þ = = °

·2 2 2

2 2 2 2

2. . .cos2 .cos30 3

ME AM AE AM AE MAEq x qx q x qx

= + -= + - °= + -

·2 2 2

2 2 2 22 . .cos

2 .cos60MF AM AF AM AF MAF

q y qy q y qy= + -= + - °= + -

2 2 2 2 2MQ MP PQ q m= + = +

· · ·· · ·1.sin .sin 2sinsin30sin sin sin

OB AB ABOB OAB OAB OABOAB AOB AOB

= Û = = =°OB

· ·sin 1 90OAB OAB= Û = °2OB=

x

y

O

B

A

D

A

CB

www.thuvienhoclieu.comCâu 12. Theo định lí hàm sin, ta có

Do đó, độ dài lớn nhất khi và chỉ khi .

Khi đó .

Tam giác vuông tại . Chọn B

Câu 13. Theo định lí hàm cosin, ta có .

Mà

(do )

Khi đó, . Chọn C.Câu 14.

Ta có .

Do là phân giác trong của

.Theo định lí hàm cosin, ta có

.

hay . Chọn A.Câu 15. Sau giờ tàu đi được hải lí, tàu đi được hải lí. Vậy tam

giác có và Áp dụng định lí côsin vào tam giác ta có

Vậy (hải lí).Sau giờ, hai tàu cách nhau khoảng hải lí. Chọn B.


· · ·· · ·1.sin .sin 2sinsin30sin sin sin

OB AB ABOB OAB OAB OABOAB AOB AOB

= Û = = =°OB

· ·sin 1 90OAB OAB= Û = °2OB=

OAB 2 2 2 22 1 3A OA OB ABÞ = - = - =

· 2 2 2 2 2 2cos 2. . 2

AB AC BC c b aBACAB AC bc

+ - + -= =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 3 0b b a c a c b a b a c c a b c b c- = - Û - = - Û - + + + =

( )( )2 2 2 2 2 20 0b c b c a bc b c a bcÛ + + - - = Û + - - = 0, 0b c> >2 2 2b c a bcÛ + - =

· ·2 2 2 1cos 602 2b c aBAC BAC

bc+ -= = Þ = °

2 2 2 2BC AB AC b c= + = +

AD ·BAC2 2

. . .BCAB c c c b cBD DC DCAC b b c b c

+Þ = = = =+ +

· ( )( )

2 2 22 2 2 2 2

22. . .cos 2 . .cos45c b c

BD AB AD AB AD ABD c AD cADb c

+= + - Û = + - °

+

( )( ) ( )

2 2 2 32 2 2

2 222. 0 2. 0

c b c bcAD c AD c AD c ADb c b c

æ ö+ ÷ç ÷ç ÷Þ - + - = Û - + =ç ÷ç ÷÷+ +çè ø

2bcADb c

Þ = +2

abc

b c= +l

2 B 40 C 30ABC 40, 30AB AC= = µ 060 .A=

,ABC2 2 2 2 cosa b c bc A= + - 2 2 030 40 2.30.40.cos60 900 1600 1200 1300.= + - = + - =

1300 36BC = »2 36


Câu 16. Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có

Vì nên Chọn C.

Câu 17. Trong tam giác , ta có .

Suy ra .

Suy ra .Áp dụng định lý sin trong tam giác , ta được

Chọn B.

Câu 18. Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có

Ta có nên

Do đó Trong tam giác vuông có Chọn D.

Câu 19. Từ hình vẽ, suy ra và

.Áp dụng định lí sin trong tam giác , ta có

.Trong tam giác vuông , ta có

Vậy Chọn B.Câu 20. Tam giác vuông tại có

Vậy chiếu cao của ngọn tháp là Chọn C.

Câu 21. Từ giả thiết, ta suy ra tam giác có và


,ABC sin sinAC ABB C

=

( )sin sinC a b= + ( )0

0.sin 40.sin70 41,47 m.sin sin115

ABAC ba b

= = »+

AHB· · 04 1tan 1119'20 5

AHABH ABHBH

= = = ¾¾® »

· ·0 090 78 41'ABC ABH= - =· · ·( )0 0180 56 19'ACB BAC ABC= - + =

ABC

· ··

·.sin 17m.

sin sin sinAB CB AB BACCBACB BAC ACB

= ¾¾® = »

,ABD.sin sin

AD ABDb

=

µDa b= + µ 0 0 063 48 15 .D a b= - = - =

( )0

0.sin 24.sin48 68,91 m.sin sin15

ABAD ba b

= = »-,ACD .sin 61,4 m.h CD AD a= = »

· 010BAC =· · ·( ) ( )0 0 0 0 0180 180 50 90 40ABD BAD ADB= - + = - + =

ABC

· ··

·0

0.sin 5.sin40= 18,5 msin10sin sin sin

BC AC BC ABCACBAC ABC BAC

= ¾¾® = »

ADC· ·sin .sin 11,9 m.CDCAD CD AC CAD

AC= ¾¾® = =

11,9 7 18,9 m.CH CD DH= + = + =OAB ,B

· 0tan tan60 . 60 3m.ABAOB AB OBOB

= Þ = =

( )60 3 1 m.h AB OC= + = +

ABC · ·0 060 , 105 30CAB ABC ¢= =70.c=

M CB

A

MA

B

C

M CB

A

D

BA

C


Khi đó

Theo định lí sin, ta có hay

Do đó Gọi là khoảng cách từ đến mặt đất. Tam giác vuông có cạnh

đối diện với góc nên Vậy ngọn núi cao khoảng Chọn A.

Câu 22.

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta được:

Chọn D.Câu 23.

là trung điểm của Tam giác vuông tại

Chọn D.Câu 24.

Áp dụng hệ thức đường trung tuyến ta được:

Chọn A.Câu 25.

Ta có: là điểm đối xứng của qua là trung điểm của là trung tuyến của tam giác

Theo hệ thức trung tuyến ta có:

Chọn C.Câu 26.


µ µ µ µ µ µ( )0 0 0 0 0180 180 180 165 30 14 30 .A B C C A B ¢ ¢+ + = Û = - + = - =

sin sinb cB C

= 0 070

sin105 30 sin14 30b =¢ ¢

0

070.sin105 30 269,4 m.sin14 30AC b

¢= = »¢CH C ACH

CH 030269,4 134,7 m.2 2

ACCH = = =

135 m.

2 2 22

2 4ab c am += -

2 2 2 2 2 22 8 6 10 252 4 2 4a

AC AB BCm + += - = - =

5.amÞ =

M.2 2

AC aAC AMÞ = =

BAMD A2

2 2 2 5.4 2a aBM AB AM aÞ = + = + =

2 2 22

2 4ab c am += -

2 2 2 2 2 22 12 9 15 225.2 4 2 4 4a

AC AB BCm + += - = - =

15.2amÞ =

D B C CÞ .BDÞ AC .DABD

2 2 15.BD BC AC= = =

2 2 22

2 4AB AD BDAC += -

22 2 22 2

BDAD AC ABÞ = + -

2ADÞ =2 2

215 152. 9 144 12.2 2 ADæ ö÷ç + - = Þ =÷ç ÷çè ø

A

B CM

GN

A

B C

M


Ta có: là trung điểm của

Trong tam giác ta có:

Ta có: và là hai góc kề bù.


Chọn D.Câu 27*.

Ta có: và là hai góc kề bù mà là trọng tâm của tam giác


là trung điểm của Chọn D.

Câu 28**. Ta có:

Ta có:


M BC 4.2BCBMÞ = =

ABM· 2 2 2

cos 2 .AM BM ABAMB

AM BM+ -=

·2 2 22 . .cos 0.AM AM BM AMB BM ABÛ - + - =thoaû maõn

loaïi2

13 3 ( )20 13 7 0 7 1313 3 ( )13

AMAM AM

AM

é = >êêÛ - + = Û ê = <êêë13.AMÞ =

·AMB ·AMC

· · 5 13cos cos 26AMC AMBÞ =- =-

AMCD·2 2 2 2 . .cosAC AM CM AM CM AMC= + -

5 1313 16 2. 13.4. 49 7.26 ACæ ö÷ç ÷ç= + - - = Þ =÷ç ÷÷çè ø

·BGC ·BGN · ·0 0120 120 .BGC BGN= Þ =G ABCD

2 4.31 3.3

BG BM

GN CN

ìïï = =ïïïÞ íïï = =ïïïîBGND

·2 2 2 2 . .cosBN GN BG GN BG BGN= + -2 19 16 2.3.4. 13 13.2BN BNÞ = + - = Þ =

N 2 2 13.AB AB BNÞ = =2 2 2

22

2 2 22 2

22 2 2

2

812 4 292144 2082 4 1002252 4

a

b

c

b c ama

a c bm bca b cm

ìï +ï = - =ïï ìï ï =ï ïï ï+ï ïï = - = Û =í íï ïï ïï ï =ï ïî+ïï = - =ïïïî

2 734 1310

abc

ìï =ïïïïÞ =íïïï =ïïî2 2 2 208 100 292 1cos 2 2.4 13.10 5 13b c aA

bc+ - + -= = =


Chọn C.

Diện tích tam giác Câu 29*. Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác:

Mà: Chọn A.

Câu 30*. Gọi là giao điểm của và Ta có: là trung tuyến của tam giác

. Chọn B.Câu 31**. Gọi là trọng tâm tam giác

Ta có:


Chọn D.

Câu 32**. Ta có:


22 1 18 13sin 1 cos 1 .655 13

A Aæ ö÷ç ÷= - = - =ç ÷ç ÷çè ø

1 1 18 13: sin .4 13.10. 722 2 65ABCABC S bc ADD = = =

A2 2 2

2

2 4ab c am += -

2 2 22b c a+ = Þ2 2 2

2 2 3 3.2 4 4 2a aa a a am m= - = Þ =

O AC .BD1 .2 2

mBO BD= =

BO ABCD2 2 2

2

2 4BA BC ACBO +Þ = - ( )2 2 2 2

2 2 2 224 2 4m a b n m n a b+Û = - Û + = +

G .ABCD2 2 2 2 2 2

2

2 4 2 4AC AB BC b c aAM + += - = -

( )2 2 22 2 24

9 9 9b c aAG AM

+Þ = = -

2 2 2 2 2 22

2 4 2 4BA BC AC c a bBN + += - = -

2 2 22 21

9 18 36c a bGN BN +Þ = = -

AGND

·( )

( )

2 2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2

29 9 18 36 4cos 2. . 2

2. .9 9 18 36

b c a c a b bAG GN ANAGN

AGGN b c a c a b

+ +- + - -+ -= =+ +- -

( )

( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

29 9 18 36 42

2. .9 9 18 36

b c a c a b b

b c a c a b

+ +- + - -=

+ +- -

( )( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2

10 20

236.2. .9 9 18 36

c a b

b c a c a b

- += =

+ +- -

· 090 .AGNÞ =2 2 2

2

2 2 22

2 2 22

2 4

2 4

2 4

a

b

c

b c am

a c bm

a b cm

ìï +ï = -ïïïïï +ïï = -íïïïï +ïï = -ïïïî


Mà:

tam giác vuông. Chọn C.

Câu 33**. Ta có:

. Chọn D.

Câu 34. Áp dụng định lí sin, ta có Chọn B.

Câu 35. Áp dụng định lí Cosin, ta có

Suy ra tam giác vuông tại do đó bán kính Chọn A.

Câu 36. Đặt Áp dụng công thức Hê – rông, ta có

Vậy bán kính cần tìm là Chọn C.

Câu 37. Xét tam giác đều cạnh gọi là trung điểm của

Ta có suy ra

Vậy bán kính cần tính là Chọn C.

Câu 38. Tam giác vuông tại có đường cao


2 2 25 a b cm m m= +2 2 2 2 2 2 2 2 2

5 2 4 2 4 2 4b c a a c b a b cæ ö+ + +÷ç ÷Þ - = - + -ç ÷ç ÷çè ø

2 2 2 2 2 2 2 2 210 10 5 2 2 2 2b c a a c b a b cÛ + - = + - + + -2 2 2b c aÛ + = Þ ABCD

2 2 22

2 2 22

2 2 22

2 4

2 4

2 4

a

b

c

b c am

a c bm

a b cm

ìï +ï = -ïïïïï +ïï = -íïïïï +ïï = -ïïïî ( )2 2 2 2 2 234a b cm m m a b cÞ + + = + +

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4 3 1.9 9 4 3a b cGA GB GC m m m a b c a b c+ + = + + = + + = + +

· µ 0102 10.2.sin30sin 2.sin

BC BCR RBAC A

= Þ = = =

·2 2 2 2 . .cosBC AB AC AB AC BAC= + -2 2 0 2 2 2 23 6 2.3.6.cos60 27 27 .BC BC AB AC= + - = Û = Û + =

ABC ,B 3.2ACR= =

24.2AB BC CAp + += =

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 224. 24 21 . 24 17 . 24 10 84 .ABCS p p AB p BC p CA cmD = - - - = - - - =. . . . 21.17.10 85 .4 4. 4.84 8ABC

ABC

ABBCCA ABBCCAS R cmR SD

D= Þ = = =

ABC ,a M .BC

AM BC^2

2 21 1 3. . . . .2 2 4ABCaS AM BC AB BM BCD = = - =

3

2. . . . 3.4 4. 334. 4

ABCABC

ABBCCA ABBCCA a aS RR S aD

D= Þ = = =

ABC ,A AH Þ ( )2. .AB AC AH= *


Mặt khác thế vào ta được

Suy ra

Vậy bán kính cần tìm là

Câu 39. Vì là trung điểm của

Tam giác có tam giác đều.

Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là Chọn B.

Câu 40**. Xét tam giác vuông tại có Mà và

Tam giác vuông tại có

Bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tính là

Câu 41. Ta có . Chọn B.

Câu 42. Ta có .Suy ra tam giác cân tại nên .

Diện tích tam giác là Chọn C.

Câu 43. Ta có .

Do đó . Chọn D.Câu 44. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có

.


3 34 4

AB AB ACAC

= Û = ( ),*2

23 12 8 3.4 5 5AC ACæ ö÷ç= Û =÷ç ÷çè ø

2 23 8 3 6 3. 2 3.4 5 5AB BC AB AC= = Þ = + =

3 .2BCR cm= =

D BC Þ2 2 2

2 272 4AB AC BCAD += - = Þ

3 3.AD=ABD 3 3AB BD DA= = = Þ ABD

3 3.3 3 3.3 3R AB= = =

BB C¢ ,B¢·sin .sin .B CCBB B C a

BCa

¢¢ ¢= Þ =

AB B C AC¢ ¢+ = Û .sinAB b a a¢= - 2 2 2.cos .BB a a¢ =

ABB¢ ,B¢ ( )22 2 2 2.sin .cosAB BB AB b a aa a¢ ¢= + = - +2 2 2 2 2 2 22 .sin sin cos 2 sin .b ab a a a b aba a a a= - + + = + -

·2 2 2 sin2 .2cossin

AB a b abR RACB

aa

+ -= Û =

µ 01 1 9 3. . .sin .3.6.sin602 2 2ABCS AB AC AD = = =

· · ·( ) ·0180 75 ABC BAC ACB ACB= - + = °=

ABC A 4AB AC= =

ABC·1 . sin 4.2ABCS AB AC BACD = =

21 17 10 242p + += =

( )( )( ) ( )( )( )24 24 21 24 17 24 10 84S p p a p b p c= - - - = - - - =

2 2 2 2 . cos 27 3 3BC AB AC AB AC A BC= + - = ¾¾® =


Ta có .

Lại có Chọn C.Câu 45. Gọi là chân đường cao xuất phát từ đỉnh .

Tam giác vuông , có Chọn A.

Câu 46. Ta có .

Suy ra .

Lại có . Chọn C.

Câu 47. Ta có Chọn D.Câu 48. Diện tích tam giác là

Vậy diện tích hình bình hành là Chọn C.

Câu 49*. Vì là trung điểm của Đường thẳng cắt tại suy ra là trọng tâm tam giác

Khi đó Vậy diện tích tam giác là:

Chọn C.Câu 50*. Xét tam giác đều, có độ dài cạnh bằng

Theo định lí sin, ta có

Vậy diện tích cần tính là Chọn C.

Câu 51*. Ta có .


µ 01 1 9 3. . .sin .3.6.sin602 2 2ABCS AB AC AD = = =

1 2. . 3.2ABC a aSS BC h hBCD = ¾¾® = =

H A

AHC· · 3sin .sin 4. 2 3.2

AHACH AH AC ACHAC

= ¾¾® = = =

21 17 10 242p + += =

( )( )( ) ( )( )( )24 24 21 24 17 24 10 84S p p a p b p c= - - - = - - - =1 1 168. ' 84 .17. ' '2 2 17S bBB BB BB= ¬¾® = ¾¾® =

·1 1 8. . .sin 64 .8.18.sin sin .2 2 9ABCS AB AC BAC A AD = Û = Û =

ABD

· 201 1. . .sin . . 2.sin45 .2 2 2ABD

aS AB AD BAD aaD = = =

ABCD2

22. 2. .2ABCD ABDaS S aD= = =

F AC Þ1 15 .2FC AC cm= =

BF CE G G .ABC

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ); 13 ; ; 10 .3 3;

d B AC BF ABd G AC d B AC cmGFd G AC

= = Þ = = =

GFC

( )( ) 21 1. ; . .10.15 75 .2 2GFCS d G AC FC cmD = = =

ABC .a

·0

02 2.4 8.sin60 4 3.sin60sinBC aR aBAC

= Û = Û = =

· ( )2 0 21 1. . .sin . 4 3 .sin60 12 3 .2 2ABCS AB AC BAC cmD = = =

2 3 32 2

AB BC CA ABp + + += =


Suy ra .

Lại có

Từ đó ta có

Chọn C.Câu 52*. Diện tích tam giác ban đầu là

Khi tăng cạnh lên lần và cạnh lên lần thì diện tích tam giác

lúc này là Chọn D.

Câu 53*. Diện tích tam giác là

Vì không đổi và nên suy ra Dấu xảy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác là Chọn B.Câu 54*. Vì . (Áp dụng hệ quả đã có trước)

Trong tam giác , ta có

Khi đó . Chọn A.Câu 55. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có

.

Diện tích .


Câu 56. Ta có .


3 2 3 3 2 3 2 3 2 32 2 2 2

AB AB AB ABSæ öæ öæ öæ ö+ - - +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè øè øè ø

1 . 2 3.2S BC AH= =

3 2 3 3 2 3 2 3 2 32 3 2 2 2 2AB AB AB ABæ öæ öæ öæ ö+ - - +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè øè øè ø

( )( )2 2 29 12 1212 .2 2116

3

ABAB ABAB

é =- - êê¬¾® = ¬¾®ê =êëABC

· ·1 1. . .sin . .sin .2 2S AC BC ACB ab ACB= =BC 2 AC 3

ABC ( ) ( ) · ·1 1. 3 . 2 .sin 6. . . .sin 6 .2 2ABCS AC BC ACB AC BC ACB SD = = =

ABC· ·1 1. . .sin . .sin .2 2ABCS AC BC ACB ab ACBD = =

,a b ·sin 1,ACB C£ " .2ABCabSD £

" "= · · 0sin 1 90 .ACB ACB= Û =

ABC .2abS=

2 2 25BM CN a b c^ ¾¾® = +ABC

22 2 2 2 22 .cos 5 2 cos .cos

aa b c bc A a bc A bcA

= + - = - ¾¾® =2

21 1 2sin . .sin tan 3 32 2 cosaS bc A A a AA

= = = =

2 2 2 2 . cos 49 7BC AB AC AB AC A BC= + - = ¾¾® =1 1 3. .sin .5.8. 10 32 2 2S AB AC A= = =

2. 3S SS pr rp AB BC CA

= ¾¾® = = =+ +21 17 10 24

2p + += =


Suy ra .

Lại có Chọn C.

Câu 57. Diện tích tam giác đều cạnh bằng: .


Câu 58. Dùng Pitago tính được , suy ra .

Diện tích tam giác vuông .Lại có Chọn C.

Câu 59. Từ giả thiết, ta có và .

Suy ra .

Diện tích tam giác vuông .

Lại có Chọn C.

Câu 60. Giả sử . Suy ra .

Ta có .

Diện tích tam giác vuông .

Lại có Vậy . Chọn A.


( )( )( )= - - - =24 24 21 24 17 24 10 84S

= ¾¾® = = =84 7. .24 2

SS pr rp

a

2 34

aS=

2 334

3 62

aS aS pr r ap

= ¾¾® = = =

8AC = 122AB BC CAp + += =

1 . 242S AB AC= = . 2 cm.SS pr rp

= ¾¾® = =

AC AB a= = 2BC a=2 2

2 2AB BC CAp a

æ ö+ + + ÷ç ÷ç= = ÷ç ÷÷çè ø21 .2 2aS AB AC= =

. .2 2

S aS pr rp

= ¾¾® = =+

2AC AB a BC a= = ¾¾® =2

2 2BC aR= =

2 22 2

AB BC CAp aæ ö+ + + ÷ç ÷ç= = ÷ç ÷÷çè ø

21 .2 2aS AB AC= =

. .2 2

S aS pr rp

= ¾¾® = =+ 1 2R

r= +

· web viewauthor created date 03/31/2019 01:32:00 title category last modified by tien ich may...

Documents