В. Ф. Очков, Ю. В. Чудова, Гаджиев К. Г.,

Национальный исследовательский университет «МЭИ», г. Москва

Изобретаем велосипед!Аннотация

В статье рассказано, как можно анимировать работу трехскоростного велосипеда.

Ключевые слова: велосипед, цепная передача, Mathcad, анимация.

Контактная информация

Очков Валерий Федорович, доктор тех. наук, профессор Национального

исследовательского университета «МЭИ», г. Москва; адрес: 111250, г. Москва,

Красноказарменная ул., д. 14; телефон: (495) 362-71-71; e-mail: ochkov@twt.mpei.ac.ru

Чудова Юлия Владимировна, ассистент Национального исследовательского

университета «МЭИ», г. Москва; адрес: 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д. 14;

телефон: (495) 362-71-71; e-mail: tihon.fire@gmail.com

Гаджиев Камиль Гаджиевич, кандидат тех. Наук, заведующий кафедрой

Национального исследовательского университета «МЭИ», г. Москва; адрес: 111250, г.

Москва, Красноказарменная ул., д. 14; телефон: (495) 362-76-38; e-mail:

GajiyevKG@mpei.ru

V. F. Ochkov, Ju. V. Chudova,

National Research University MPEI, Moscow,

Reinvent the Wheel!

AnnotationThe article describes how to solve a mathematical problem, working with analytical, numerical and graphical

computer tools.Key words: cone, user function, user procedure, symbolic and numerical computer mathematics, 2D and 3D Plots.

"Крути педали, пока не дали!»

Детско-юношеская угрожалка

Название статьи – это идиома, которую употребляют, когда хотят сказать, что кто-то пытается выдумать что-то уже давно известное. Но мы, конечно, в этой статье этим заниматься не будем. Мы создадим простейшую математическую модель "байка"1 и анимируем ее. Но модель не всего велосипеда, а только его самой интересной с точки зрения кинематики части – механизма переключение скоростей.

Задача. Человек вращает педали велосипеда со скоростью один оборот (rev) в секунду (s). Спрашивается, как будет меняться скорость велосипеда, если радиус R передней, ведущей звездочки, на которую накинута велосипедная цепь, равна 12 см, а к заднему колесу прикреплены три ведомые звездочки радиусом 3, 4 и 5 см, и эти "скорости"2 будут переключаться. Диаметр заднего колеса D равен 26 дюймов3. Эти и другие вспомогательные цифры на рис. 1 вводятся в Mathcad-расчет.

1 Это слово в принципе уже не нужно помещать в кавыки. В среде тинейджеров (еще один англицизм) велосипед называют велосипедом только какие-нибудь закоренелые «ботаники». Байк они есть байк! 2 А у этого слова кавычки убирать не следует. Слово "скорости" применительно к велосипеду или автомобилю – это "арго". Правильнее нужно говорить «передачи». 3 Весь мир уже давно перешел на СИ, но в технике по-прежнему широко используются англо-американские единицы измерения. В частности, диаметры колес автомобилей, мотоциклов и велосипедов, как правило, измеряются в дюймах. Диагонали телевизоров и дисплеев компьютеров (экранов планшетов и смартфонов) также более привычно измерять в дюймах. Из-за этого в инженерные расчеты могут вкрадываться ошибки, если ошибиться в пересчетах. Пакет Mathcad это делает автоматически, храня все величины только в базовых единицах международной системы исчислений (СИ). Но вводить и выводить значения переменных можно в любых единицах.

Рис. 1. Ввод исходных данных проектируемого велосипеда

1 ( На рисунке радиусы трех звездочек заднего колеса а это и есть центральный ) механизм переключения скоростей велосипеда задан в виде вектора rv,

( ), которыйможет иметь не только три обычный городской велосипед но и – , , ( большее число элементов семь например как у горных велосипедов у

). маунтбайков В этом случае радиус звездочки у педалей тоже будет не скаляром R, а вектором Rv . , , с тремя элементами Реальноже скоростей вернее

, , . . передач у такого велосипеда не двадцать одна а поменьше т к не все сочетания . звездочек можно использовать У некоторых продвинутых многоскоростных

. велосипедов это просто заблокировано В последнее время получили распространение компактные велосипеды с колесами очень малого диаметра и

с дополнительной парой звездочек с разным диаметром в трансмиссии на , разрыве цепи обеспечивающих довольно высокую скорость движения такого

. минибайка Были попытки создания велосипедов с автоматической коробкой, , передач с неким вариатором поддерживающим постоянство скорости

. вращения педалей при разных скоростях движения автомобилей Но для , . . велосипедов это оказалось излишним т к тяговые характеристики

человеческих ног намного универсальней тяговых характеристик двигателей внутреннего сгорания4. , Кроме того такие автоматические вариаторы , существенно утяжеляли велосипед и от них в конце концов отказались оставив

. привычные зубчатые колеса с накинутыми на них цепью Есть велосипеды с , планетарной коробкой передач спрятанной во втулке заднего колеса5.

Существуют также экзотические велосипеды с карданом вместо цепи6. Читатель " " , прижелании может смоделировать и съанимировать подобные механизмы

, . опираясь на методы описанные в данной статье Мыже сейчас отметим только, . то есть велосипеды с зубчатым ремнем вместо цепи В нашеймодели

, велосипеда мы будем работать не с цепью а с таким ремнем с бесконечным ( ). – , числом зубьев шкив Цепная передача это фактически зубчатая передача у которой двешестеренки7 разнесены друг от друга на определенное расстояние8.

" " Величину этого разноса в нашем расчете будет хранить переменная h ( . . см рис

4 Сейчас получают широкое распространение на автомобилях и велосипедах электродвигатели с аккумуляторами, электронная система управления которыми позволяет отказаться от коробок передач. Очень популярны и гибридные автомашины, у которых попеременно или одновременно работают и электромоторы, и бензиновые движки. Были времена, когда на обычные велосипеды устанавливали миниатюрные двигатели внутреннего сгорания. Но это были также некие гибридные устройства, т. к. при старте человеку приходилось помогать движку ногами через педали. Иначе двигатель бы заглох на малых оборотах: не было у таких мотовелосипедов коробок передач. 5 Такие велосипеды предпочитают люди, желающие переключать "скорости" и привыкшие к ножному тормозу. Хотя есть велосипеды с коробкой передач во втулке заднего колеса и только с ручными тормозами. В Интернете можно найти чертежи и даже анимацию работы такой коробки передач. В ней шестеренки вращаются не только вокруг своей оси, но и вокруг центрального зубчатого колеса, как планеты вращаются вокруг Солнца. Отсюда и пошло название этого механизма. 6 Карданом этот вал называют по аналогии с таким же устройством у автомобилей. Но у велосипедов это никакой не кардан. Кардан – это довольно сложный механизм с крестовиной посередине, обеспечивающий передачу крутящего момента при изменении угла взаиморасположения двух отдельных валов. Кардан на автомобилях стали применять, когда стали подрессоривать задний мост. Кстати, расчет и анимирование рессор, пружин и амортизаторов автомобилей, мотоциклов и велосипедов – это еще одна интересная тема.

1). – Расчет зубчатой передачи это очень интересная задача науки и учебной " " ( ). дисциплины под названием Основы конструирования машин ОКМ Расчеты

, , . такого плана в настоящее время ведутся как правило только на компьютерах

– , Но вернемся к нашему трехскоростному велосипеду к его расчету а также к , 721 . его анимации у которой будет кадр В среде Mathcad 15 под счетчик кадров

зарезервирована встроенная системная FRAME, значение которой у нас будет 0 720 ( . . 4 ). меняться от до см рис ниже При этом педали велосипеда сделают

, четыре оборота во время выполнения которых будут задействованы все три – . . 2. передачи см первый оператор на рис Переменная θt хранит текущий угол 0 1440 ( ). ( 480 ) поворота педалей от до градусов четыре оборота Вначале до ᵒ (включена третья передача i = 3), ( 960 ) (затем до ᵒ вторая i = 2) (и в конце первая i =

1): ! человек на велосипеде берет крутой подъем

Рис. 2. Операторы создания четырех виртуальных "спиц" передней звездочки велосипеда

Определить скорость велосипеда V – . несложно см простые формулы на . 2. " " четвертой и пятой строках расчета на рис Сложнее анимировать мельканье

. спиц велосипеда при его движении В среде Mathcad ( спица отрезок прямой) , линии можно нарисовать на графике с помощью пары векторов хранящих

. (координаты начала и конца отрезков прямых линий У педальной p) звездочки " " мы рисуем четыре крестообразные спицы через формирование векторов xp1,

7 Еще одна своеобразная идиома: у шестеренки не обязательно шесть зубьев. Идиома, напомним, – это устоявшееся выражение, потерявшее свой первоначальный смысл.8 Только на трехколесных детских и старинных взрослых паукообразных велосипедах педали непосредственно были жестко связаны с ведущим колесом.

yp1, xp2 и xp2, значения которых зависят от константы R и переменной θt . -Вот тут !то и пригодятся намшкольные знания по тригонометрии

Аналогичные тригонометрические формулы используются и при подготовке к – . . 3. анимации заднего колеса см рис

Рис. 3. Операторы создания восьми виртуальных спиц заднего колеса велосипеда

, , , , , Восемь спиц конечно маловато для велосипедного колеса но будем считать . что это колесо у нас литое и без спиц Такие колеса нередко можно видеть на

. , " " – современных велосипедах И наоборот на крутых тачках на особых . спортивных автомобилях встречаются колеса со спицами На заре

, , .автомобилестроения кстати все колеса были со спицами

Примечание. – Сборка или ремонт велосипедного колеса со спицами это целая . , наука и искусство Требуется это так сделать чтобы не было осевых и

. радиальных биений Для этого специальным ключом регулируют затяжку" " " " , " " левых и правых спиц у обода колеса и у втулки чтобы не было восьмерок и

" ". , прочих заскоков Подобным образом но с помощью компьютера центруют и автомобильные колеса после сезонной смены резины или ремонта после

. ( ) прокола Об этой операции совмещение оси колеса с его центром тяжести [1].можно прочесть здесь

Прежде чем анимировать вращение педалей и заднего колеса велосипеда . ? нужно все это нарисовать на графике А на каком В среде Mathcad есть два

– , основных типа плоских графиков декартов график и полярный график . которые годятся для рисования велосипеда На полярном графике проще ( , , .), рисовать все округлые детали колеса звездочки крылья и др а на декартовом

– . раму и другие не округлые части Более универсальным является декартов, . график и мы его будем использовать при создании анимации велосипеда Из

2 3 , рисунков и можно понять что началом координат у нас будет центр . , звездочки с педалями Нарисовать ее на графике несложно использовав так

, называемый параметрический график когда в качестве абсциссы графика используется выражение R · sin(θ), – а в качестве ординаты R · cos(θ), где θ – это

, 0 360 переменная области хранящая значения от до угловых градусов сшагом. единица Подобныеже выражения задействованы и для рисования заднего

" " , , колеса и трех скоростных звездочек с той лишь разницей что подставляются другие значения радиусов и все это сдвинуто влево на величину h.

Чтобы нарисовать движущиеся по кругу спицы достаточно в графике добавить - отрезков прямых с координатами векторами xp, yp, xw и yw ( . . 2 3). см рис и

: Верхние и нижние свободно висящие части цепи рисуются упрощенно верхние и нижние точки соответствующих звездочек соединяются отрезками прямых

. , линий Читатель прижелании может убрать это допущение прикрепив цепь в [2-4].более правильных точках на звездочках и учтя ее провисание

, , Когда график будет готов можно приступить к его анимации вызвав – . . 4 соответствующее диалоговое окно из менюИнструменты см рис [5].

Рис. 4. Диалоговое окно создания анимации в среде Mathcad 15

720- , Мы ведем обратный счет кадров анимации от го до нулевого чтобы педали и – колеса нашего велосипеда вращались в нужную сторону по часовой стрелке9.

5 На рисунке показаны три кадра анимации цепной передачи велосипеда с . , включенными тремя скоростями Сама анимация а также Mathcad- расчет

https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad/Bike-размещен на сайте по адресу- - - /td-p/450423.трехскоростная цепная передача велосипеда

9 Был такой советский фильм, над которым смеялись все велогонщики. В нем рассказывалось о некоем изобретателе, который придумал велосипед, где при движении можно переключать направление вращения педалей. Мол, одна группа мышц велогонщика устала – меняем направление вращения, и работаем другой группой мышц. Но дело в том, что в гоночном (не в обычном) велосипеде ноги гонщика связаны с педалями так, что одна нога толкает одну педаль вниз, а другая – тянет вторую педаль вверх. И эти усилия меняются местами.

Рис. 5. Три кадра анимации вращения педалей и заднего колеса трехскоростного велосипеда

, . 5, , Но главное упрощение в анимации кадры которой показаны на рис в том что , . -не показаны две дополнительные звездочки выполняющие две функции Во

, , - первых они натягивают цепь и во вторых перекидывают цепи со звездочки на – . . 6. звездочку см рис

Рис. 6. Фото механизма переключения скоростей современного велосипеда

, . 5, Предлагаем читателям дополнить анимацию показанную на рис в следующих :направлениях

1. Дорисовать две звездочки механизма натяжения цепи и переключения ( . 6).скоростей рис

2. , , Нарисовать цепь так чтобы был виден ее прогиб сверху и снизу и были .правильно зафиксированы точки касания цепи всех звездочек

3. , . На втулке заднего колеса прикрепить не три а семь звездочек У педалей . при этом установить три звездочки Создать анимацию переключения

, .скоростей такого велосипеда с ограничениями отмеченными выше

. Цепь на велосипеде может проявиться с самой неожиданной стороны На 7 … . рисунке показан трехколесный велосипед с квадратными колесами

, Условием того что такой велосипедист будет передвигаться без вертикальных, , , толчков является то что велодорожка выполнена в виде стиральной доски у " " … [2-4]. которой волны описаны цепной функцией Предлагаем читателям

. анимировать движение такого велосипеда Заодно доказать с помощью символьной математики пакета Mathcad, что под велосипедом с квадратными

. : колесами должны быть отрезки перевернутой цепи Открытый вопрос как будет , изменятся горизонтальная составляющая скорости велосипеда катящегося по

, , , , волнообразной точнее цепнообразной если так можно выразиться дорожке . : при постоянной скорости вращения педалей Или просто скорость велосипеда

, , вертикальная составляющая скорости как мы уже отметили выше будет. , , нулевой А если колеса велосипеда сделать не квадратными а прямоугольными

" ", треугольными или даже двуугольными сделанными в видештока с осью. , посередине Какой профиль должен быть велодорожки что бы по ней можно

? – было ехать без вертикальных толчков Наше круглое колесо это по своей сути !правильный выпуклый многоугольник с бесконечным числом углов

Рис. 7. Велосипед с квадратными колесами

Вопрос и велодорожке для велосипеда с квадратными колесами был задан на форуме пользователей Mathcad – . https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad/Bike-см

and-Catenary/m-p/614226. , Посмотрим будет ли он решен к моменту выхода статьи в .свет

.А теперь немного истории

Программу Mathcad 1985 создал в году выпускникМассачусетского , - (технологического института физик ядерщик Аллен Раздоу Allen Razdow). Это

, 2006 был довольно успешный стартап который в году за большие деньги приобрела корпорация PTC (www.ptc.com). ? Зачем она это сделала Основным

программнымпродуктом корпорации PTC была и остается система Creo, которая до ребрендинга называлась Pro/Engineer. Эта программа наряду с программами

AutoCAD и SolidWorks10 является основным инструментом для ( , автоматизированного проектирования САПР CAD – computer aided design).

Программе Creo (Pro/Engineer) очень не хватало инструмента для инженерных . " " – расчетов проектируемых изделий На фирме не стали изобретать велосипед , создавать новую собственную программу для расчетов а приобрели довольно успешную к тому времени программу Mathcad. В настоящее время программы

Mathcad и Creo : работают в связке в среде Mathcad ведутся довольно сложные, расчеты результаты которых передаются в среду Creo, где определяются

. , , параметры будущего изделия Мы например в случае с велосипедом можем в средеMathcad задатьжелаемую скорость велосипеда и другие его

, потребительские качества рассчитать все параметры велосипеда и передать эти данные в среду Creo, . где проектирование будет завершено Так что наш

– небольшой расчетный велосипедный этюд это миниатюрная копия большого

10 Следует подчеркнуть, что все эти три кита САПР (Creo, AutoCAD и SolidWorks) были созданы выходцами из Советского Союза, который долго был лидером в этой области IT. Но потом наступил застой, эти люди по разным причинам не могли себя реализовать на родине, уехали за океан и там воплотили свои идеи.

. [6] , проекта В можно прочитать как с помощью Mathcad проектировалась и .анимировалась дверь автобуса и самокат с самозакрывающимися колесами

.Ипоследнее

Данная статья это по своей сути некий готовый план проведения занятия по технологии STEM (Science, Technology, Engineering, Mathematic), когда охватываются

: , , , разные учебные дисциплины математика физтка теоретическая механика , … сопротивление материалов основы конструирования машин и даже

– . 10. , , политология см сноску Ну и конечно информатика [7].

Литература:

1. Очков В. Ф., Кольхепп Ф. Физика и информатика: центр тяжести черного ящика // Информатика в школе. № 7. 2017 г. С. 65-70 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/Center-Gravity.pdf)

2. Очков В. Ф. и др. Цепная линия = физика + математика + информатика // Информатика в школе. № 3. 2018. С. 56-63 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/catenary.pdf)

3. Очков В. Ф., Нори М., Очкова Н. А. Физико-математическая информатика с цепочкой // Cloud of Science. Том 6 №1, 2019. стр. 5-47 (https://cloudofscience.ru/sites/default/files/pdf/CoS_21_005.pdf)

4. Очков В. Ф., Цуриков Г. Н., Чудова Ю.В. Осторожно: цепная функция // Информатика в школе. № 4 за 2017 г. С. 58-62 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/Chain.pdf)

5. Очков В. Ф. Живые кинематические схемы в Mathcad // Открытое образование. 2013. № 3. С. 27–33 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/Mathcad-15/kinematic.html)

6. Очков В.Ф., Чудов В. Л., Соколов А. В. Использование форума РТС Community/Mathcad на школьных занятиях по информатике // Информатика в школе. № 10. 2015. С. 46-51 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/PTC-Community-Lyc.pdf)

7. Очков В. Ф., Богомолова Е. П., Иванов Д. А. Физико-математические этюды с Mathcad и Интернет. Издательство Лань. 2016.