REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD FERMIN TORO

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE TELECOMUNICACIONES

COORDENADAS POLARES

AUTOR:

PEROZA N., WILMER E.

C.I.V-25.177.702

TUTOR: DOMINGO MENDEZ

SAIA A.

LAS COORDENADAS POLARES

Las   coordenadas polares o sistemas polares   son   un sistema   de 

coordenadas bidimensional   en   el   cual   cada punto del   plano   se   determina   por   una distancia y 

un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y 

una   recta   dirigida   (o   rayo,   o   segmento OL)   que  pasa  por O,   llamada  eje   polar   (equivalente  al 

eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una 

unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo 

punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es 

el   ángulo   formado  entre  el   eje   polar   y   la   recta  dirigida  OP que  va  de O a P.  El   valor  θ   crece 

en sentido   antihorario y   decrece   en   sentido   horario.   La   distancia r (r ≥ 0)   se   conoce   como   la 

«coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo 

polar».  En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones 

se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

La integral definida  es  una  herramienta  útil   en   las  ciencias   físicas  y  sociales,  ya  que 

muchas cantidades de interés en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se 

presenta en la integral definida. Antes de estudiar casos específicos en que se utiliza la integral 

definida, daremos las siguientes definiciones: 

Definición:   Recibe el nombre de partición de un intervalo cerrado [a, b] un conjunto de 

intervalos  cerrados:   {[x0,   x1],   [x1,   x2],   [x2,   x3],   .   .   .   ,   [xn−2,   xn−1],   [xn−1,   xn]}   que  posee   las 

propiedades: 1. [x0, x1] ∪ [x1, x2] ∪ . . . ∪ [xn−2, xn−1], [xn−1, xn]} = [a, b] 2. [xi−1, xi ] ∩ [xi , xi+1] 

= xi con i ∈ {1, 2, . . . , n} 3. [xj−1, xj ] ∩ [xk, xk+1] = ∅ a menos que k = j o j − 1 = k + 1.

Integral de Riemann.

Vamos a definir la integral de una función cualquiera, f(x), en un intervalo [a, b], con la única 

condición de que esté acotada. Se toman todas las funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas 

las funciones escalonadas h(x) por exceso, es decir, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) cuando x ∈ [a, b].  En estas 

condiciones, si existe un único número I que cumpla

  ∫a

b

g ( x )dx≤ ḷ ≤∫a

b

h (x )dx

este número l se le llama integral de f(x) entre a y b.

Se representa: ḷ = ∫a

b

f ( x )dx  ,  y se lee “integral desde a hasta b, de f(x), diferencial de x”.

Teorema:

Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.

Teorema Fundamental del Cálculo

Si f(x) es integrable en el intervalo [a, b], su función área, A(t), se define de la siguiente

forma:  A ( t )=∫a

t

f ( x )dx ∀ t∈ [a , b ] .   En   estas   condiciones  A(t)   f   (x)dx  ∀t  ∈[   ]   a,b   .  En   estas 

condiciones,  si   f  es continua en  [a,  b],   la   función A es una primitiva de  la  función  f  en  [a,  b].  

  

Cuando vimos la suma de Riemann, observamos la forma de calcular el área de una región 

limitada por contornos  incluyendo una función que dijimos que era positiva.         Si  la  función es 

negativa, significa que el área se está midiendo hacia abajo y para evitar esto, tomamos la función 

con su respectivo signo.

          Esta   vez   vamos   a   calcular   áreas   también   limitadas   por   curvas,   pero   usaremos 

directamente el límite de la suma de Riemann, es decir la integral definida, ya que ahora conocemos 

diferentes técnicas para desarrollar estas integrales, el cálculo lo extenderemos a funciones menores 

que   cero   y   será   más   fácil   cuando   aprendamos   a   aplicarlas.   Esto   nos   permite   recordar   la 

interpretación geométrica de la integral, que no es más que un cálculo de área, pues es un producto 

de dos dimensiones.

GRAFICAS DE ECUACION POLAR

Las  gráficas  en   coordenadas  polares  están  dadas  en   la   forma   En  principio 

entonces para trazar una curva hay que hacer una tabla dándole valores a   y encontrando los 

valores correspondientes de  . Sin embargo al igual que en coordenadas rectangulares hay cosas 

que permiten hacer la gráfica en una forma más racional evitando hacer tantos puntos.   

 Usted debe ser consciente de que la apariencia de la gráfica en calculadora depende de la 

ventana de graficación especificada x-y, y también del rango de los valores mostrados de θ. Cuando 

se dibujan gráficas  en coordenadas polares,  debe  identificarse algunos valores  mostrados  de θ 

correspondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un mínimo. Además, debe identificar el 

rango de valores de θ que producen una copia de la curva polar, cuando ésta es apropiada. Se 

deduce que muchas curvas familiares tienen ecuaciones polares sencilla

  Con estos conceptos básicos de  localización de puntos en el  sistema de coordenadas 

polares,   podemos   graficar   funciones   y   no   sólo   puntos.   En   este   tipo   de   funciones   la   variable 

independiente es θ y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ). El método para 

graficar  estas   funciones es el  siguiente,  primero graficamos  la   función  r  =   r(θ)  en coordenadas 

rectangulares y a partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la 

dependencia de r con respecto a θ.

     Recordemos que θ es la variable independiente y generalmente va de 0 a 2π.

INTERSECCIÓN DE LAS GRAFICAS COORDENADAS

Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó una variedad de gráficas de las 

mismas, el próximo paso consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de intersección de 

ecuaciones en dichas coordenadas polares, con el propósito de buscar todos los puntos de dicha 

intersección.   Puesto   que   un   punto   puede   representarse   de   formas   diferentes   en   coordenadas 

polares, debe tenerse especial cuidado al  determinar  los puntos de  intersección de dos gráficas 

polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive cuando más adelante 

calculemos el área de una región polar.

      De igual forma el problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares con 

el de encontrar los puntos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tierra, dichos satélites 

no entrarían en colisión en tanto lleguen a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores 

de q).    La colisión se producirá solamente en aquellos puntos de  intersección que sean "puntos 

simultáneos",  aquellos a los que se llega en el mismo instante (valor de q).

   Las   intersecciones  con el  eje  polar,  cuando existen,  pueden obtenerse   resolviendo  la 

ecuación polar dada para r, cuando a  LJ  se le asignan sucesivamente los valores 0, p, 2p, y en 

general np, donde n es un entero cualquiera. Análogamente, si existen algunas intersecciones con el 

eje normal, pueden obtenerse asignado a  LJ  los valores de np/2, donde n es un número impar 

cualquiera. Si existe un valor de  LJ  para el cual r=0, la gráfica pasa por el polo. 2. Simetría. La 

simetría de una curva se analiza mediante las siguientes transformaciones. Simetría con respecto al 

La ecuación polar no se altera o se transforma en una ecuación equivalente Eje polar a) se sustituye 

a LJ por – LJ o b) se sustituye a LJ por p-LJ y r por -r Eje normal a) se sustituye a LJ por p-LJ o b) 

se sustituye a LJ por -LJ y r por -r Polo a) se sustituye a LJ por p-LJ b) se sustituye a r por -r 3. 

Extensión del lugar geométrico. Para determinar la extensión de la gráfica de un lugar geométrico 

dado en coordenadas polares, primero se despeja a r en función de LJ, de   modo  que   tenemos 

r=fLJ)

     Si r es finito para todos los valores de LJ, se trata de una curva cerrada. Si r es infinita 

para ciertos valores de LJ  la gráfica no es una curva cerrada. Para valores de LJ que hacen a r 

compleja no hay curva;   tales valores constituyen  intervalos excluidos del   lugar geométrico.  Si   la 

gráfica es una curva cerrada, es útil, determinar los valores máximo y mínimo de r. 

Ejemplos:

CALCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA EN COORDENADAS

 El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en 

sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos 

como elementos básicos de dicha área. Consideremos la función dada por r= f(), donde f es

continua y no negativa en el intervalo   ,   . La región limitada por la gráfica para

hallar el área de esta región, partimos el intervalo   ,   en n subintervalos

iguales         <  <  <........<  <  = 

     A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de los

n sectores. Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la

fórmula para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función

continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores

positivos y negativos en el intervalo   ,   .

     Algunas veces lo más difícil a la hora de hallar el área de una región polar es

determinar los límites de integración. 

Ahora, bien cuando se quiere hallar el área comprendida entre dos gráficas polares, se emplea el procedimiento conocido de sustraer un área de otra. Aunque en el siguiente ejemplo los cálculos no fueron sencillos, con frecuencia, determinar los límites de integración es la parte más desafiante para hallar el área de una región polar.

Ejemplo 1.- Hallar el área de la región A comprendida dentro del caracol r=1+2cos θ  y el exterior del circulo r=2

Solución: Si observamos la figura se puede apreciar las dos ecuaciones donde el área A entre ellos esta sombreada. Los puntos de intersección del círculo y el caracol están dados por:

1+2cos θ = 2 , igualando

1−2+2 cos θ = 0

−1+2cos θ=0  ,   entonces: 2 cos  = 1, luego cos θ =

12 , por lo que  

θ=cos−1 12  y además 

θ = ± π /3

Estos valores son los límites de integración que se necesitan, luego:

A=12 ∫

−π3

π3

[ (1+2cosθ )2−22 ] dθ = ∫0

π3

( 4cosθ+4cos2θ−3 ) dθ

¿∫0

π3

(4cosθ+2cos2θ−1 ) dθ Linealidad y Teorema Fundamental del Cálculo .

¿(4cosθ+sen2θ−θ )|0

π3 =

52

√3−π3

Unidades cuadradas (u2)

EJEMPLO 2. - Hallar el área interior del limacon r = 3 + 2cos  y exterior a la circunferencia  r=2

Solución: Primero   debe   resolverse   la   ecuación   igualando   ambas   ecuaciones: 

3 + 2 cos θ = 2 .  Observe  que    como  cos θ    es  periódico,  existen  muchas  soluciones  para  esta 

ecuación. En consecuencia, es necesario recurrir a la gráfica para determinar en cuales soluciones 

esta   interesado.   En   este   caso,   se   desea   hallar   las   soluciones  menores   negativas   y   las  más 

pequeñas positivas.  Observando  la   figura,  cuidadosamente donde solo se ha  representado solo 

aquellas porciones de las gráficas correspondientes a θ  entre las primeras dos soluciones positivas. 

Esta    porción  de   las  gráficas   corresponde  al   área  exterior  a   la   limacon  e   interior   a   la 

circunferencia.  Como   se   tiene:cos θ =

−12 ,   lo   cual   ocurre   en  

θ = −2 π

3 y θ =

2 π3   a   partir   del 

teorema mencionado anteriormente, el área encerrada por la porción de la limacon en este intervalo esta dada por:

∫−2 π

3

2 π3

12

(3 + 2 cos θ )2dθ = 33 √3 + 44 π

6.   De manera semejante, el área encerrada por la 

circunferencia en este intervalo esta dado por: 

∫−2 π

3

2 π3

12

(2 )2d θ = 38 π

3,  el  área  interior de  la  limacon y exterior a  la circunferencia esta dada por: 

∫−2π

3

2π3

12

(3+2cos θ )2 d θ − ∫−2π

3

2π3

12

(2 )2d θ

,   por   lo   que  

33√3+44 π6

− 8π3

= 33√3+28 π

6 ≈ 24 ,2

  los demás detalles rutinarios se dejan al estudiante.

TIPOS DE GRAFICAS DE COORDENADAS POLARES

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS

Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS

El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:

UNA ROSA DENTRO DE OTRA

Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres

pétalos u hojas. Veamos:

CARDIOIDES

A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:

 

Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:

LIMACONES O CARACOLES

Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:

r = 1 + b cos

Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:

Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:

Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura

o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:

Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha:

Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, 

como lo vemos en el gráfico siguiente:

CIRCUNFERENCIA

Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la

circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:

Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su gráfico es esta:

 

LEMNISCATA

En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas polares:

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a  . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación:

 

Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:

 

Finalmente se muestra un gráfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la única diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:

LA NEFROIDE DE FREETH

Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático inglés T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en este gráfico:

 

CONCOIDES DE NICÓMENES

Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas de la Concoide". Veamos un gráfico en coordenadas polares de la concoide de Nicómenes:

 

Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la derecha, mientras que la que se presenta a continuación tiene una dirección hacia arriba. Veamos:

Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo tenemos en el gráfico que se muestra a continuación, donde su forma se ve diferente a los dos gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le está restando un número uno a la función. El mismo gráfico veríamos si se le estuviera sumando uno a la función. El gráfico quedará así:

 

CISOIDE DE DIOCLES

Esta es una curva muy famosa y útil en el cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicación del cubo. El gráfico aparece de esta forma:

PARÁBOLA

Esta figura es muy conocida en el mundo del Cálculo. Tal como podemos generar funciones de parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer también en coordenadas polares. Veamos el ejemplo:

 

ESPIRAL

Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo.

El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo.

Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente:

Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936. Su ecuación es r² = a² +  . En el siguiente ejemplo se muestra una función y su respectiva gráfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:

Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la función que veremos ahora, que podríamos encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral recíproca o espiral hiperbolica. Tendremos entonces:

 

Otro caso que se puede dar es la espiral logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente función y su respectivo gráfico: