WYKEAD 18,19CAEKA RIEMANNA 2 PARAMETREM

loitmoje

W hajblizszym czasie sojmowai siq bpdziemy tzw catkami a para -

metrem ton funkjami sdefiniowanymi pmypomocy wiki. Tako

pmykiadywesmyx

sincax ) t(1) Caike Dinichlete DC a) = / ×- dxo

(2)Funky 's 17 ( Gumma ) Eudora Mx )=§Eteh⇒

ppostwgujgc sig metodami

Funky.e Wazna 2 voznych pouooloir , odpowiednimi olla Witek

takzedlatefo ,Ze jest , , uogilnienien ,

"

2 powametrem mozne

silnine niewukowite wyhisyi wartositg.

wiki,

argument . uego tradycygnie me

Dobre by bufo 2h01 wtasnosa.

tg.

umiemy erotic

fuukyi

Zebynabrai motywagi do fonmuiowanie i owwodzehie twierdzen'

zvobmy pewien nachunek dotycsgcy caiki Diminlete mie sojmujqcsigma raziejego popnawnosuq .

Dhe BZO zdefniujmy funky 's f( a ,b,x)= Ib× hhxd" i roawazumy

°⇒Ffa ,b)=§f( a ,b,×)d×=§Eb×8iYX" ok Nie barokoumiemytopdiayi

ale ssoT=o±e(§f1a,b , xjdx ) E §f£( a ,b,x)d×=§Eb×. a.ws/ax)dx=

Seibxwscax )dx= Aibxcoscax )+ Beibxsincaxj =) eibxoslaxh

Eb×( Aoutsinlax ) + Afb )ws( ax ) + Btb ) sin ( ax ) + Be wscax ) ) =

- Ae - Bb = 0eibx ( the- Bb ) sin ( ax ) + ( - Ab+Be)ws(a× ) )- Ab + Be .

. 1

1

tastes: E :bIata Et.EE?dEkaHA=jtEB=e#b...=ebxfItEwsCaxsteQ=bsinlaxDf

=

= - tee . D= aha

IT= ate ⇒ Fca , b) =/abadie = arctg (Eb) to (b)

Ale FC 0,4=0 wigc a ( b )=o F ( aib ) = array ( Eb)

Dlahtbhigo . ( a ,b)= LI sgnae,W suseojluosa

.

Ps¥ix=¥Pososlvjg snake

.

sapytanie ,ktore halezyrozwazyi . Pierwszy dotyoy

ndznicskwania pod anakiem wiki, drugi pmechookenie do gnanicy

pod anakiem catki .

Wpmykiadzie (2) chcielibysmy whioskowac '

o wtasnosciach funky"

The

podstaoie jejdefinigi . Ciqgfosc ,ndinicskowahwsc '

, gvanice . . .

Lacznijmy od pvostszej wiki a parametrem me pmedziale zuarlym .

I=[ a ,b] f= JL , p[ f : I × ] → IR

b

FCX )= ffflix )dta

Interesuje has apgdosi I roznicskowoenosi fuukji F :] → IR

Ciggosi P W xoe ] 02ham ,Ze

ftp.elxl-FCxokfbef/t.xo)dtfdbfimxofltix)dtfu.ggracsylimozhawchodzii2gnanicgpod2nakwuki.Dhe2warteyoItwierokeniejesttatwe

:

FAKT : Jeili f- jest cigge me Ix ] to F jest aggro me J .

DOWJD : Wedmy xoe J i Nozwazmy f/

wystowcsajgw matego aby [×o . h ,×o+ny ayI × [ to ' h

, xoth ]the h

mef jest aggro a abiov Ix [ xo . h

,xoth ] jest awarty satem f jest

jednostojnie afore me Ixk. www.ekjednoslvjnejciggrosa.me

postal :

HE > o tt ( xp ), ( x'

,I ) 78>0 : dkx,& ),

( x

'

,i )) ( 5 ⇒ If ( xp ) - fatty( E

Mehykgdmozne wzigi up dkxih),( x 'i ) )= max { lx - x 't

,K . It }

Ustalmye > 0

*

IFC × ) - FC xo 11=1 µF ( t ,x) -ftp.Ddx/fbdHltxs.f(t.x)/dtfd( ( t

,x) , ( t #)= IX - xol zatem jes.li lx - xoks to

Ifft,x) -

flt#1 ( E

*× ( b - e) e

nlmozebyidowdnie mate, wise Fciggrewxo .

Dl

Wpraktyce shame Sig ,ze gnanice catkowanie zalezgoa

powametru . Zoiiozmyize4k )

F (× ) =/

fft,x) at

,the ] [441,41×1] cI=[ a ,b]

y( x )

FAKT : Wpowyzhq.

sytuagi , jes.li if , Y sguggrenej if aforehe Ixj to Fapgre nej .

ylxfXo x

Dow '0D : toe ] Fk ) -

y{,fltitdt¥1¥Hat +§,¥H,Holt×

n Xo Xo

p

Fedxo)e[y(×), yard ] :

/fx→×ojak they .41×0) me may71×0) |f( t,# at popnedniego| fft,x)dt=f(5koj,×)(ykd - pH)

410faktu

y ( x ) -

Dhe x→xo/ f

bsnt@r"*e:@*

ylxo ) ×→×o-

(f

fctx)

at→ 0

ylx )

Wpmykiadzie 1 sobaosylismyize wazhe jest takze roznicskowanie

poparametme , pnycsym mietylko awdzi o sangnoznicskowaluosiA ale wrqcs 0 mozliwosi police nie wiki. Csasem

funkjg ¥x jest tatuiq.

swiekowai pot niz funkyigf .

Odpowieolnie twierdzenie w wersf.

zwartej me postal

FAKT : Jes.li f jest cigge me Ix ] oraz old xe ) istniqie 2¥ i

jestcigofe me Ixj to F jest niznicskowahue ovaz zadwdzi

b

F 'H= f F¥( xittdtp reszte ?

a

Dowds : Ifcxtn) - FK ) - µ3¥

#Hat)h/=

⇒bffct,x+h ) -

fct, it- ¥ ( t

,x) . h ) at |{

£lfCt=h)fHxt¥C¥¥h/h

'

f( t,

xth ) - flt,x) = 3¥ ( t,

}(u))h5(n)E[x,

xth ]J

tw . Lagrange 'd

=D ¥ ( t.sk ) ) -¥H#Hhldt ( ( b . a) e. In

Tustlamy { > o i bienemy 8 take ze one h< S many /¥× ( tixth ) -

2¥ ( t,#( q

To mozne wobicbo ¥/I×[× . h, ,×+n ,

] jest jedhostojnie

ciggre

wynazeniew jestoigc resztg i F

'K)=§f¥(t,x)dt.

Istnieje tez wersje dle nuchomym gnomic catkowanie .

FAKT .

yes .li f jest ciqope me Ix ] , y , Y sgvdznicskowawieme form [ ylx ) , 4 ( x ) ] C I ,

they 3¥ istnieje I jest ciggra he Ixj to

41×1FK )= )

FH,

xjdtjest Ndzhicskowalme oraz

¥llx )

HK ) = f 3¥ (

tx) at + 4

'

G)

f(4H× ) -

yksfte#Y ( x )

David : Pomijamy , path zielomy skrypt .

Para pmejsi do t ego ,co naprawdg interesujgce csyli do miewasciwych

catek a parameter em.

Tak Sig jakes sktade,

ze wigkszosi interesujguyouweek

, wtymnasze pmykiady , sqpoodanku otwarlym .

Pmypomnijmy,ze attkp popmedziale otwowtym ( mozebyc

' nieskoviao -

my) definiowalismyjakognanicg pewnego apgu uogoluionego.Dotted -

metJ£{ k : Kati K zwowly } K > K

'

⇐ > kick

§f '

'

¥5 , { f W szcsegolnosa.

miwimyize ft jest abiezna

jesli 'Ve > 0 F K : V. K'

,K

"> K

I f. f- f.f / ( e

Niech teraz Iotwarty , J=]x|p[ f : Ix ] → R f take,

ze

the ] ff ,× ) caikowalne me KCI oraz J,=f(

Aisbiezne

Definiujemy FK )={fC .

H. Interesujg has te same pytanie

-

by Fjestaggro i

ay jest mtznicskowalme. Sytuoge

pmypomineniew problem szeregow funkyjnych , tyleze teraz sumowanie

podyskrethym powametme m sastgpionejestpmes oatkg pocipgrympaoametme t

.

Podobnie jak wtedy , takiteraz Kluosowe jest pojguejednostajnej abieznosa . ( szeregu ) wiki

DEFINKJA Nick f : Ix ] → R bgdzie odpaoiednio catkowalud. Mowing

ze FC × ) = SIFK ,. ) jest abiezne jcdnostajnie jes.li

the > o FK tkik" > K the J I

Skft#- ¥t.

'#<

£me saeezyooex

Odpooiedmie twierokenie dotycsgce ciggosa.

i nizhicskowaluosa.

majg posted :

TWIERDZENIE : fesli f : Ix ] → R jestapga I catkd F ( × ) =/,ft ,

× ) jestsbiezmejednostojmie to funkqd f jest apgra me j

DOWOD : Pmebiega ideutycsnie jak dowod apgrosa.

gnanicy apgujednostojnie Inez -

megofunkji upgryar . Funkqe xt >fff,× ) KCI sq apgle me may popmedniego

twierdzeuie dotyospcego apgdosairwowtej" wieki a paramewem .

fcaike FK ) jest sb. jednostojnie

TWIERDZENIE fish.

f :I×J→R jest apope , palooka 3¥ istmieje I jest afgdaaraz aaike §3¥(.

,Ajest sbiezne jednostajnie to Fjest funky.pNoznicskowolng

i Hats 3¥c.isF

K

DOWOD : 2 popmadmicu trierdzai wynike ize FKCI

xtfkff,

Hjest

no'

znicskowoehe ijej pochodne to xt¥{<3¥

C.,

× ) .

Ff'

→ {→¥( .

,×, jeolnoshjnie .

2 Nierdzeii o abieznosa .

jednostoynej cipgnfunkyi rizniczkowalnyou (dotycsp takze

apfoiwuogilnionych) wynike ze

F G) = # .

#jest nozninkowalue ijq

.

podiodne to F'

a) = S±¥×C .

ix)

go

Posostajewigc sojgi sig jednostojnq sbieznoscig week. Many do dyspozygi

knyterie podobne do tych dhe szeregor fuukyjmyoh

(1) KRYTERIUM WEIERSTRASSA : Jesili istnieje funkyie dodatnie y :I→ R

take,

Ze J±y < a oraz If (

t.tl/fylt)dheXejiwszystkicht

pose ,

by'c moze, awowtym pmedziaeeni KOCI to J±fC .

itjest zbiezne

(2) KRYTERNMDINIEGO jes.li f : Ixj → R jest mieeujemne ,FG)=§fl

ix)

jest sbiezhe i Fjestcipgra to F jest abiezne niemod

jednostojnie

.

(3) KRYTERWM ABELA y : [ a ,b[ xj →

Rjif :[ a

,a Ex ] → R Jcsli

4k )= By#x ) at jest abiezne jednostajnie a y jest ogranicsone i

monotonicsne one wsglgolu met toa

FK ) =fylt,×)g(t,

x ) at

a

jest stieznajednostojnie

(4) KRYTERIUM DIRKHLETA :

y :[ a ,x[ × ] -3112, if :[ a

,x Ex ] -7112

. Jesliisthieje M > 0 take

,ze it R > a

/ § y ( t,Holt/ ( M onaz g jest monotonicsna one waglgdu me t iftp.glt,

× )=O iafiezhosijest jaduostajne one wsglgdn me × to

FK ) =

fyltitgct,

× ) at

a

jest stieznajednostojnieLanim pmejdziemy do dowodiw wvbimy do pmyktedu 2 caikp Dinichlete

byro tam parq www.wsapytanie .

Fla , b) .

. DEBT sinful at EE"Eo,

. [ D (a) =] sinful at

Po pierwsze csy bling +A ( a , b) ED(e)

Spnawdzic.

nalezy wigs by F jest cigope one wsglgdu we b. fednostoiyne zbiez

misc F ze wsglqdu me b wynike 2 knyterium Abele Jakoy bienemy y ( b ,t)= sight I wiemyizeQ( b) =] siftat jest soiez -

me jeolmstajnie one wsglgdume b ( bo od b mieAle zy ) oraz

g( bit ) - Ebt jest monotonies me one wsglgdn met satem

Fca , b) jest sfieznejeolnostojmie one wwfgdu ne bi wobec tags ugope ze

whglgdu me b Many wigcx

sin ( at )bldg ,

FCa ,b)= ) =dt0

- tb sin ( at )Daley

. viznicskoraluosc : Dbe ustaloneg b >o ] ( e =) =

= Ethos ( at ) .

I e- tbas ( at ) If E they ( t ) duttkwalne satem

FCQ, b) jest no

' znicskowalme one wsglgobe me a i many wzin

f€=§Ebt cos ( at ) at