za informaticare - analiza 2

8/20/2019 Za Informaticare - Analiza 2

http://slidepdf.com/reader/full/za-informaticare-analiza-2 1/372

Predgovor i

Predgovor

Udžbenik Analiza II za informatiˇ care je nastao na osnovu dugogodišnjih pre-davanja koje je prvi autor držao za studente informatike i bogatog iskustva drugogautora u držanju odgovarajucih vežbi iz Analize II. Udžbenik je prirodni nastavakudžbenika Analiza I za informaticare (E. Pap, Dj. Takaci, A. Takaci), za koji uovom udžbeniku koristimo skracenicu AI.

Složenu nadgradnju matematicke analize, smo se trudili da izložimo na štopristupacniji nacin, uz veliki broj odgovarajucih primera i ilustracija, zadržavajucimatematicku strogost. Posebnu pažnju skrecemo na dijagrame postupaka u kojimasu rezimirani izloženi postupci u nekim glavama. Na kraju knjige su data i dvadodatka vezana za vektore, matrice i determinante, koji treba da olakšaju pracenjeudžbenika.

Drago nam je što možemo da se zahvalimo recenzentima dr Ljiljani Gajic idr Aleksandru Jovanovicu na korisnim sugestijama i primedbama. Zahvaljujemose akademiku dr Olgi Hadžic na nesebicnoj pomoci prilikom pisanja knjige. Za-hvaljujemo se Departmanu za matematiku i informatiku Prirodno-matematickogfakulteta u Novo Sadu jer nam je omogucio uslove rada na ovoj knjizi.

Autori

Novi Sad, maj 2005.



ii



Sadržaj

Predgovor i

Sadržaj iii

1 Nesvojstveni integral 1

1.1 Definicija nesvojstvenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Osobine nesvojstvenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Kriterijumi za konvergenciju nesvojstvenog integrala . . . . . . . 12

1.3.1 Košijev kriterijum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Kriterijumi za konvergenciju nesvojstvenih integrala sa

nenegativnom podintegralnom funkcijom . . . . . . . . . 141.4 Ojlerova gama i beta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Apsolutna konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Uslovna konvergencija integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7 Košijeva glavna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8 Integral ∞

0e

x2dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.9 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Numeri cki (brojni) redovi 37

2.1 Konvergencija brojnog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Košijev kriterijum za konvergenciju brojnog reda . . . . . . . . . 40

2.3 Apsolutna konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.1 Kriterijumi za konvergenciju reda sa nenegativnimclanovima 442.4 Uslovno konvergentni redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5 Košijev proizvod konvergentnih redova . . . . . . . . . . . . . . 622.6 Asocijativni i komutativni zakon za redove . . . . . . . . . . . . . 652.7 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

iii



iv Sadržaj

3 Nizovi i redovi funkcija 69

3.1 Konvergencija funkcionalnih nizova i redova . . . . . . . . . . . . 693.2 Uniformna konvergencija funkcionalnih nizova i redova . . . . . . 74

3.2.1 Definicija uniformne konvergencije . . . . . . . . . . . . 743.2.2 Kriterijumi za uniformnu konvergenciju funkcionalnih ni-

zova i redova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3 Nizovi ogranicenih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4 Nizovi i redovi neprekidnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.4.1 Uniformna konvergencija nizova i redova neprekidnih funkcija 883.4.2 Nizovi i redovi integrabilnih funkcija . . . . . . . . . . . 903.4.3 Nizovi i redovi diferencijabilnih funkcija . . . . . . . . . 96

3.5 Stepeni (potencijalni) redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.5.1 Oblast konvergencije stepenih redova . . . . . . . . . . . 1003.5.2 Odredivanje poluprecnika konvergencije . . . . . . . . . . 1043.5.3 Integracija i diferenciranje stepenih redova . . . . . . . . 1063.5.4 Tejlorov red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.5.5 Primene stepenih redova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.6 Furijeov red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.7 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4 Realne funkcije više promenljivih 135

4.1 Euklidski n-dimenzionalni prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.2 Realne funkcije više realnih promenljivih . . . . . . . . . . . . . 141

4.2.1 Definicija i predstavljanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2.2 Kvadratne kanonicke forme . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.2.3 Granicna vrednost realne funkcije više promenljivih . . . 153

4.3 Parcijalni izvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.3.1 Diferencijabilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.3.2 Parcijalni izvodi višeg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.3.3 Parcijalni izvod složene funkcije . . . . . . . . . . . . . . 1804.3.4 Tangentna ravan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.4 Ekstremne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.4.1 Vezani (uslovni) ekstremi . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.5 Tejlorova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.5.1 Aproksimacija polinomom drugog stepena realne funkcijedve promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.5.2 Aproksimacija polinomom s-tog stepena realne funkcijedvepromenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4.5.3 Aproksimacija realne funkcije n promenljivih . . . . . . . 197



Sadržaj v

4.6 Kvadratna forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.6.1 Definicija kvadratne forme pridružene realnoj funkciji dvepromenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.6.2 Primena kvadratne forme na odredivanje lokalnih ekstrema 2004.6.3 Primena kvadratne forme na odredivanje vezanih ekstrema 207

4.7 Vektorsko polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.7.1 Osnovne osobine vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . 2144.7.2 Funkcija potencijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.7.3 Jedinstvenost funkcije potencijala . . . . . . . . . . . . . 2164.7.4 Egzistencija funkcije potencijala . . . . . . . . . . . . . . 2184.7.5 Diferenciranje pod integralom . . . . . . . . . . . . . . . 2214.7.6 Dokaz teoreme o egzistenciji funkcije potencijala . . . . . 223

4.8 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5 Krivolinijski integral 231

5.1 Definicija i osnovne osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.2 Krivolinijski integral potencijalnog vektorskog polja . . . . . . . 2415.3 Zavisnost krivolinijskog integrala od putanje

integracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.4 Krivolinijski integral prve vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2445.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6 Višestruki integral 247

6.1 Definicija dvostrukog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2476.2 Osobine dvostrukog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2566.3 Uzastopni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2626.4 Polarni koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2686.5 Definicija trostrukog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2746.6 Osobine trostrukog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2786.7 Cilindricni koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2816.8 Sferni koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2876.9 Grinova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2926.10 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

7 Diferencijabilnost vektorskog polja i smena promenljivih u integralu 3017.1 Jakobijan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3017.2 Diferencijabilnost vektorskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 3047.3 Diferencijabilnost složene vektorske funkcije . . . . . . . . . . . 3057.4 Diferencijabilnost inverzne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . 3087.5 Teorema o implicitnim funkcijama . . . . . . . . . . . . . . . . . 310



vi Sadržaj

7.6 Smena promenljivih u dvostrukom integralu . . . . . . . . . . . . 312

7.7 Smena promenljivih u trostrukom integralu . . . . . . . . . . . . 3157.8 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

8 Površinski integral 319

8.1 Površina površi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3198.2 Površinski integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.3 Površinski integral vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . 3308.4 Teorema o divergenciji

(teorema Gausa-Ostrogradskog) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3348.5 Stoksova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3378.6 Primene površinskog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

8.7 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

9 Dodatak 1.

Vektori u

2 i

3 343

9.1 Sabiranje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3449.2 Množenje vektora skalarom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3469.3 Linearna zavisnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.4 Baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3499.5 Skalarni proizvod vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3519.6 Vektorski proizvod vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3529.7 Mešoviti proizvod vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

9.8 Koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35510 Dodatak 2.

Matrice i determinante 357

10.1 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35710.2 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Indeks 365



Glava 1

Nesvojstveni integral

Kao što je poznato (AI, glava 6), da bi realna funkcija jedne realne promenljivebila Riman integrabilna na intervalu

a

b neophodno je da posmatrani interval

integracije

a

b bude konacan i da je funkcija nad njim ogranicena. Proširenje

Rimanovog integrala poznato kao nesvojstveni integral daje odgovor upravo napitanja "Da li interval integracije mora biti konacan?" i " Šta ako funkcija nijeogranicena u nekoj tacki intervala integracije?". Shodno navedenom, moguce jerazlikovati dve vrste proširenja u zavisnosti od toga da li posmatramo neogranicenupodintegralnu funkciju ili beskonacan interval integracije.

1.1 Definicija nesvojstvenog integrala

Posmatrajmo prvo problem beskonacnog intervala integracije. U ovom slucajuneka je funkcija f : a ∞ Riman integrabilna na svakom zatvorenom podin-tervalu a c intervala a ∞ . Tada, granicna vrednost

∞

a f

x

dx lim

c

∞

c

a f

x

dx (1.1)

se naziva nesvojstveni integral prve vrste funkcije f na intervalu

a

∞

Ako granicna vrednost (1.1) postoji, nesvojstveni integral ∞

a f x dx konver-

gira. U suprotnom, za integral ∞

a f

x

dx kažemo da divergira.

Naredni primer nesvojstvenog integrala prve vrste je od bitnog znacaja pri pri-meni mnogih kriterijuma za ispitivanje konvergencije nesvojstvenih integrala. O

1



2 Glava 1. Nesvojstveni integral

kriterijumima za ispitivanje konvergencije nesvojstvenih integrala bice reci nešto

kasnije.

Primer 1.1. Odredicemo parametar α tako da nesvojstveni integral

∞

1

1 xα

dx

konvergira. Ocigledno, posmatrani integral je nesvojstven zbog beskonacnog in-tervala integracije. Za c

1

∞ važi

c

1

1 xα

d x

x1 α

1 α

c

1

α 1

ln x

c

1

α 1

pa na osnovu definicije nesvojstvenog integrala prve vrste imamo ∞

1

1 xα

d x limc ∞

c

1

1 xα

dx

limc

∞

x1

α

1 α

c

1

α 1

limc ∞

ln x

c

1 α 1

limc

∞

c1

α

1 α

11

α

α 1

limc

∞ln c

α 1

11 α

α 1

∞ α 1

∞

α 1

Drugim recima, nesvojstveni integral ∞

1

1 xα

d x konvergira za α 1 a divergira

za α 1

Slika 1.1 ilustruje primer 1.1 za α

1

Kako integral

∞

1

1

x dx divergira, to jei površina figure ogranicene funkcijom

1 x

i intervalom 1

∞ na slici 1.1 beskon-

acna. Slucaj α 1 za koji dobijamo konvergenciju, je ilustrovan slikom 1.2.

Šrafirana površina figure ogranicene funkcijom 1 x1 5 i intervalom 1 ∞ na slici 1.2

je konacna.



1.1. Definicija nesvojstvenog integrala 3

1

1

1

1

1x 1

x1.5

Slika 1.1. Slika 1.2.

Sledi još jedan od važnih primera nesvojstvenog integrala prve vrste.

Primer 1.2. U zavisnosti od parametra α

ispitacemo konvergenciju nesvojstve-

nog integrala ∞

0e

α x dx

Posmatrani integral je nesvojstven integral prve vrste, te

po (1.1), za α 0

imamo

∞

0e

α x dx lim

c

∞

c

0e

α x dx

limc

∞

e

α x

α

c

0

1α

limc ∞

e

αc

α

1α

α 0

∞ α 0

Za slucaj α 0 važi sledece

∞

0

e

α x dx

∞

0

dx limc

∞

x

c

0

∞

Zakljucak je da integral ∞

1e

α x dx konvergira za α 0 dok u ostalim slucajevima

divergira.

Analogno, ako je funkcija f : ∞ b Riman integrabilna na svakom




zatvorenom podintervalu

c

b

intervala ∞

b

tada je sa

b

∞ f x dx lim

c ∞

b

c f x dx (1.2)

definisan nesvojstveni integral prve vrste funkcije f na intervalu ∞

b

Primer 1.3. Ispitacemo konvergenciju integrala 2

∞sin x dx Kako je interval in-

tegracije neogranicen, posmatrani integral je nesvojstveni integral prve vrste i iz(1.2) sledi

2

∞sin x dx

limc

∞

2

csin x dx

limc

∞

cos x

2c

cos2 limc

∞cos c

Kako granicna vrednost limc

∞cos c ne postoji, to polazni integral divergira.

Posmatrajmo sada funkciju f definisanu na celom skupu realnih brojeva. Neka je f : Riman integrabilna na svakom zatvorenom intervalu

a

b Tada,

nesvojstveni integral funkcije f na intervalu ∞

∞ je definisan kao zbir dva

nesvojstvena integrala data sa (1.1) i (1.2), tj.

∞

∞ f x dx

c

∞ f x dx

∞

c f x dx (1.3)

gde je c proizvoljan realan broj.

Nesvojstveni integral ∞

∞ f

x

dx konvergira ako i samo ako oba nesvojstvena

integrala sa desne strane jednakosti (1.3) konvergiraju. Ako bar jedan od integrala c

∞ f x dx i

∞

c f x dx divergira, divergira i njihov zbir.

Primer 1.4. Posmatrajmo integral ∞

∞

dx

x2

1

Kako iz (1.3) sledi

∞

∞

dx

x2 1

0

∞

dx

x2 1

∞

0

dx

x2 1

2 ∞

0

dx

x2 1

2 limc

∞arctg c

π

to integral ∞

∞

dx

x2

1 konvergira.




Sledeci problem kojim se bavimo je integracija realnih funkcija jedne realne

promenljive koje nisu ogranicene u svim tackama intervala integracije.Neka je funkcija f : a b integrabilna na svakom zatvorenom podinter-

valu

a

c intervala

a

b Tada, granicna vrednost

b

a f

x

dx lim

c

b

0

c

a f

x

dx (1.4)

se naziva nesvojstveni integral druge vrste funkcije f na intervalu a b

Za nesvojstveni integral druge vrste b

a f x dx kažemo da konvergira ako

granicna vrednost (1.4) postoji. U suprotnom, integral divergira. Dakle, u definicijinesvojstvenog integrala druge vrste, dozvoljeno je da funkcija f bude neogranicenau nekoj okolini tacke b


0

dx

1 x2

Podintegralna funk-

cija nije ogranicena za x 1 pa je integral

1

0

dx

1 x2

nesvojstven integral druge

vrste. Sada imamo 1

0

dx

1 x2 lim

c

1

0

c

0

dx

1 x2 lim

c

1

0arcsin x

c

0

π

2

odnosno, integral konvergira.

Ako je funkcija f :

a

b Riman integrabilna na svakom zatvorenom pod-

intervalu

c

b intervala

a

b Tada je nesvojstveni integral druge vrste funkcije f

na intervalu

a

b

definisan sa

b

a f

x

dx lim

c a 0

b

c f

x

dx

(1.5)

Kao i u prethodnom slucaju, za integral

b

a f

x

dx kažemo da konvergira akogranicna vrednost (1.5) postoji. Posmatrani integral divergira ako granicna vred-nost (1.5) ne postoji. Po prethodnoj definiciji nesvojstvenog integrala dopuštamomogucnost da je funkcija f neogranicena u nekoj okolini tacke a

Sledi važan primer nesvojstvenog integrala druge vrste koji secesto pojavljujepri primeni nekih kriterijuma za konvergenciju nesvojstvenih integrala.




Primer 1.6. Odredicemo parametar α tako da nesvojstveni integral

1

0

dx

xα

konvergira. Kako za pozitivne vrednosti parametra α važi lim x 0 0

1 xα

∞ integral 1

0

1 xα

d x je nesvojstven u smislu definicije (1.5). Za c 0 1 imamo

1

c

1 xα

d x

x1

α

1 α

1

c α

1

ln x

1

c

α 1

Na osnovu definicije nesvojstvenog integrala druge vrste sledi 1

0

1 xα

d x lim

c 0 0

1

c

1 xα

dx

limc

0

0

x1

α

1 α

1

c α 1

limc 0 0

ln x

1c

α 1

limc

0

0

1

1

α

c1

α

1

α

α 1

lim

c 0 0ln c

α

1

11

α

α 1

∞

α

1

∞ α 1

Nesvojstveni integral 1

0

1 xα

dx konvergira za α 1 a divergira za α

1

Neka je sada funkcija f ogranicena na intervalu integracije

a

b

osim u tackic a b Nesvojstveni integral druge vrste funkcije f nad intervalom a b sedefiniše kao zbir dva nesvojstvena integrala takode druge vrste

b

a f

x

dx

c

a f

x

dx

b

c f

x

dx (1.6)




odnosno

b

a f x dx lim

c1

c

0

c1

a f x dx lim

c2

c

0

b

c2

f x dx (1.7)

Integral b

a f x dx konvergira ako i samo ako oba integrala sa desne strane je-

dnakosti (1.7) konvergiraju.


1

dx7

x3 Podintegralna funkcija

nije ogranicena za x 0 Neophodno je pocetni integral predstaviti kao zbir

1

1

dx7

x3

0

1

dx7

x3

1

0

dx7

x3

Na osnovu (1.7) sledi

1

1

dx7

x3 lim

c1

0

0

c1

1

dx7

x3 lim

c2

0

0

1

c2

dx7

x3

74

limc1 0 0

7

x4

c1

1 lim

c2 0 0

7

x4

1

c2

72

te pocetni integral konvergira i njegova vrednost je72

Radi uštede prostora, nesvojstvene integrale prve i druge vrste dajemo objed-injenom definicijom.

Definicija 1.1 Neka je a ω ∞ ∞ Neka je f realna funkcija definisana na

a ω i Riman integrabilna na svakom zatvorenom podintervalu a c intervala

a

ω

Tada, graniˇ cna vrednost

ω

a f

x

dx lim

c ω 0

c

a f

x

dx (1.8)

je nesvojstveni integral funkcije f na intervalu

a

ω

(Ako je ω

∞

u graniˇ cnoj

vrednosti sa desne strane jednakosti (1.8) imamo c ∞ )




Primetimo da za ω

∞ dobijamo nesvojstveni integral dat sa (1.1), dok za ω

konacan realan broj dobijamo nesvojstveni integral definisan sa (1.4). U daljemtekstu sa

ω

a f

x

dx je oznacen nesvojstveni integral funkcije f koji obuhvata obe

vrste nesvojstvenih integrala.

Napomena 1.1 Ako je f realna funkcija Riman integrabilna na svakom zatvorenompodintervalu c a intervala ω a

∞ ∞ nesvojstveni integral funkcije f na

intervalu

ω

a u oznaci

a

ω f

x

dx je definisan kao lim

c

ω

0

a

c f

x

dx gde u

slucaju ω

∞ u prethodnoj granicnoj vrednosti imamo c

∞

Kako je a

ω f

x

dx

ω

a f

x

dx

prethodni integral uvek možemo svesti na (1.8).

1.2 Osobine nesvojstvenog integrala

Osnovne osobine nesvojstvenog integrala u objedinjenom obliku, tj. iz defini-cije 1.1, date su narednom teoremom.

Teorema 1.1 Neka su f i g dve realne funkcije definisane na intervalu

a

ω

ω

∞

i neka su Riman integrabilne na svakom zatvorenom podintervalu

intervala

a

ω

Ako nesvojstveni integrali

ω

a f

x

dx i

ω

ag

x

dx konvergiraju,

tada važi:

(i) Ako ω

i ako je funkcija f Riman integrabilna na intervalu

a

ω

tada sevrednost nesvojstvenog integrala

ω

a f

x

dx poklapa sa vrednoš´ cu odre¯ de-

nog Rimanovog integrala funkcije f nad intervalom a ω

(ii) Neka su λ 1 i λ 2 dva realna broja. Tada, nesvojstveni integral funkcije λ 1 f

λ 2g konvergira i važi slede´ ce

ω

a

λ 1 f

λ 2g

x

dx

λ 1

ω

a f

x

dx

λ 2

ω

ag

x

dx

(iii) Za proizvoljno a1

a

ω

važi

ω

a f

x

dx

a1

a f

x

dx

ω

a1

f

x

dx

Dokaz. (i) Na osnovu AI, teorema 6.16, funkcija definisana odredenim Rimanovimintegralom kao

F

x

x

a f

t

dt

x

a

ω



1.2. Osobine nesvojstvenog integrala 9

je neprekidna na intervalu

a

ω

i vrednost odredenog Rimanovog integrala funkci-

je f nad intervalom a ω je upravo F ω

Sada, iz neprekidnosti funkcije F sledi ω

a f

x

dx lim

c

ω

0

c

a f

x

dx lim

c

ω

0F

c

F

ω

što je i trebalo pokazati.(ii) Po definiciji nesvojstvenog integrala imamo

ω

a λ 1 f λ 2g x dx lim

c

ω

0

c

a λ 1 f λ 2g x dx

gde je sa desne strane jednakosti Rimanov odreden integral. Za Rimanov odredeniintegral važi (AI, teoreme 6.6 i 6.7)

c

a

λ 1 f

λ 2g

x

dx

λ 1

c

a f

x

dx

λ 2

c

ag

x

dx

te dobijamo

ω

a λ 1 f λ 2g x dx lim

c

ω

0

λ 1

c

a f x dx λ 2

c

ag x dx

limc ω 0

λ 1

c

a f x dx

limc ω 0

λ 2

c

ag x dx

λ 1

ω

a f x dx λ 2

ω

ag x dx

što je i trebalo dokazati.(iii) Neka je a1 proizvoljan ali fiksan realan broj iz intervala

a

ω Kako je po

definiciji nesvojstvenog integrala

ω

a f

x

dx lim

c ω 0

c

a f

x

dx (1.9)

bez gubitka opštosti možemo posmatrati granicu vrednost (1.9) kada c teži ka ω

i pripada intervalu

a1

ω Kako je integral sa desne strane jednakosti (1.9) za

c

a

ω

Rimanov odredeni integral i kako a1

a

c

imamo

c

a f

x

dx

a1

a f

x

dx

c

a1

f

x

dx




Primetimo da su svi integrali u prethodnoj jednakosti upravo odredeni Rimanovi

integrali. Odatle dobijamo ω

a f x dx lim

c

ω

0

c

a f x dx

limc

ω 0

a1

a f x dx

c

a1

f x dx

a1

a f x dx lim

c

ω 0

c

a1

f x dx

a1

a f

x

dx

ω

a1 f

x

dx

Napomena 1.2 Na osnovu dokaza teoreme 1.1 pod (iii), konvergencija integrala ω

a f

x

dx je ekvivalentna konvergenciji integrala ω

a1

f

x

dx za svako a1

a

ω

Smena promenljive u nesvojstvenom integralu je data narednom teoremom.

Teorema 1.2 Neka je f realna funkcija definisana na intervalu

a

ω

ω

∞

i neka je f Riman integrabilna na svakom zatvorenom podintervalu intervala

a ω Neka je ϕ : α β a ω neprekidno diferencijabilna bijekcija i neka je

a ϕ α ϕ t lims β 0

ϕ s ω t α β Tada važi

ω

a f x dx

β

α f Æ ϕ t ϕ

t dt (1.10)

Dokaz. Po definiciji 1.1 imamo ω

a f x dx lim

c

ω 0

c

a f x dx

gde je sa desne strane jednakosti Rimanov odreden integral. Za neko proizvoljnoc

a

ω iz polazne pretpostavke da je ϕ neprekidna bijekcija, sledi postojanje

realnog broja γ α β tako da je ϕ γ c i limγ β

ϕ γ ω Smena promenljivih

kod Rimanovog odredenog integrala (AI, poglavlje 6.6) daje nam sledece c

a f

x

dx

γ

α f

ϕ

t

ϕ

t

dt (1.11)



1.2. Osobine nesvojstvenog integrala 11

Kada pustimo da γ

β integral sa desne strane jednakosti (1.11) prelazi u nesvo-

jstevni integral

βα f ϕ t ϕ

t dt

a kako tom prilikom i c ω to i integral sa levestrane jednakosti (1.11) prelazi u nesvojstveni integral

ω

a f x dx te dobijamo

ω

a f x dx

β

α f ϕ t ϕ

t dt

Na osnovu prethodne teoreme, iz jednakosti (1.10), sledi da integral ω

a f x dx

konvergira ako i samo ako integral β

α f ϕ t ϕ

t dt konvergira.

Primer 1.8. Ispitacemo konvergenciju integrala ∞

3 x3e x4

dx Ako uvedemo sme-

nu t

x4 posmatrani integral prelazi u integral

14

∞

81e t dt za koji znamo da

konvergira (videti primer 1.2). Sada, iz teoreme 1.2, sledi konvergencija polaznogintegrala.

Takode, iz (1.10) sledi i da je divergencija integral ω

a f

x

dx ekvivalentna

divergenciji integral β

α f ϕ t ϕ

t dt

Primer 1.9. Ispitacemo konvergenciju integrala

π2

0

dx

sin2

π2 x

Po uvodenju sme-

ne t

π2 x dobijamo

π2

0

dx

sin2

π2

x

0

π2

dt

sin2 t

π2

0

dt

sin2 t lim

c

0

0

π2

c

dt

sin2 t

limc

0

0

ctg t

π2

c

limc

0

0ctg c ∞

te polazni integral divergira.

Za nesvojstvene integrale važi i parcijalna integracija.

Teorema 1.3 Neka su f i g dve realne funkcije definisane i neprekidno diferen-

cijabilne na intervalu a ω gde ω ∞ Tada, ako za x a ω graniˇ cna




vrednost lim x

ω 0

f

x

g

x

postoji, nesvojstveni integrali funkcija f g i f g na inter-

valu

a ω istovremeno ili konvergiraju ili divergiraju i, u sluˇ caju konvergencije,

važi ω

a f

x

g

x

dx lim

c ω 0

f

x

g

x

c

a

ω

a f

x

g

x

dx

limc ω 0

f

c

g

c

f

a

g

a

ω

a f

x

g

x

dx

Dokaz prethodne teoreme se zasniva na definiciji nesvojstvenog integrala i parci- jalnoj integraciji Rimanovog odredenog integrala (AI, poglavlje 6.7).

Primer 1.10. Posmatrajmo nesvojstveni integral

∞

0 xe

x Pri ispitivanju konver-

gencije datog integrala koristicemo parcijalnu integraciju. Kako iz u

x i dv

e xdx sledi du

dx i v

e x i kako je lim x

∞ xe x

0 po teoremi 1.3 imamo

∞

0 xe

x dx limc ∞

xe

x

c

0

∞

0e

x dx

limc

∞ce c

∞

0e x dx

Iz ∞

0e x dx

limc

∞

e x

c

0

1 sledi konvergencija polaznog integrala, pre-

ciznije,

∞

0 xe x dx

1


0ln x dx

Podintegralna funkci-

ja je neogranicena za x 0 Iz u ln x i dv dx sledi da je du

1 x

dx i v x

Kako važi lim x

0

0 x ln x

0 parcijalnom integracijom dobijamo

1

0ln x d x lim

c

0

0

x ln x

1c

1

0dx lim

c 0

c ln c x

10 1

tj. polazni integral konvergira.

1.3 Kriterijumi za konvergenciju nesvojstvenog integrala

U ovom poglavlju se bavimo problemom kako, bez direktnog izracunavanja,ispitati da li posmatrani nesvojstveni integral konvergira ili ne.



1.3. Kriterijumi za konvergenciju nesvojstvenog integrala 13

1.3.1 Košijev kriterijum

Jedan od kriterijuma koji daje odgovor na pitanje da li posmatrani integral kon-vergira ili ne, bez direktnog izracunavanja, je i Košijev1 kriterijum.

Teorema 1.4 Neka je

a

ω

∞

∞

Neka je f funkcija definisana na

a

ω

i integrabilna na svakom zatvorenom podintervalu intervala a ω Tada, nesvo-

jstveni integral

ω

a f

x

dx konvergira ako i samo ako za svako ε 0 postoji B

a ω tako da za svako b1 b2 a ω B b1 B b2 važi:

b2

b1

f

x

dx

ε (1.12)

Dokaz. Kako je b2

b1

f

x

dx Rimanov odredeni integral, znamo da važi sledece (za

b1

b2)

b2

b1

f x dx

b2

a f x dx

b1

a f x dx F b2

F b1

gde je F neprekidna funkcija definisana kao F

z

za f

x

dx

z

a

ω

Odatle,tvrdenje sledi direktno iz Košijeve teoreme o egzistenciji leve granicne vrednostiprimenjene na funkciju F

Napomena 1.3 Košijeva teorema o egzistenciji leve granicne vrednosti funkcijeF :

a

ω u tacki ω garantuje postojanje granicne vrednosti lim

x ω 0F

x ako i

samo ako za svako ε 0 postoji B

a

ω tako da za svako x1

x2

a

ω ako je

x1

B i x2

B važi F x1

F x2

ε

Primer 1.12. Dokazacemo da za α 0 integral ∞

1 xα sin x d x divergira. Pokaži-

mo da postoji ε 0 tako da za svako B

a

∞ postoje b1

b2

a

ω tako da je

b1

B i b2

B i

b2

b1

f

x

dx

ε

Lako se dokazuje da za x

b1

b2 gde su

b1 2k π

π

4 i b2 2k π

3π

4 k 0 1 2 važi sin x sin

π

4 Za svako B

a

∞ postoji k

0 1 2 preciznije, postoje b1 2k π

π

4 i b2 2k π

3π

4

1A. L. Cauchy (1789-1857)




tako da je b1

B i b2

B

i

b2

b1

xα sin x d x

sinπ

4

b2

b1

xα dx

sinπ

41

α 1

2k π

3π

4

α

1

2k π

π

4

α 1

ε

gde je ε bilo koji pozitivan broj manji ili jednak od poslednje izracunate vrednosti.Dakle, postoji ε

0 da za svako B

a

∞

postoje b1

b2

a

∞

tako da je B

b1

B b2 i važi

b2

b1

xα sin x d x

ε

tj. Košijev kriterijum nije ispunjen, te posmatrani integral divergira.

1.3.2 Kriterijumi za konvergenciju nesvojstvenih integrala sa

nenegativnom podintegralnom funkcijom

Za razliku od Košijeve teoreme, naredna tri kriterijuma su ogranicena na slucajnenegativnih podintegralnih funkcija.

Teorema 1.5 Neka je f realna nenegativna funkcija definisana na intervalu a ω

ω

∞

Tada, nesvojstveni integral

ω

a f

x

dx konvergira ako i samo ako je

funkcija F

z

z

a f

x

dx

z

a

ω

ograniˇ cena na intervalu

a

ω

Dokaz. Neka su b1 i b2 dve vrednosti iz intervala

a

ω i, bez gubitka opštosti,

možemo pretpostaviti da važi b1

b2 Dalje treba primetiti da je sa F

z oznacen

Rimanov odredeni integral funkcije f nad intervalom a z Sada, iz nenegativnostipodintegralne funkcije i osobina Rimanovog odredenog integrala, sledi

F

b2 F

b1

b2

a f

x

dx

b1

a f

x

dx

b2

b1

f

x

dx 0

tj. funkcija F je neopadajuca, pa limb

ω 0

F

b

postoji. Dakle, ω

a f

x

dx konvergira

ako i samo ako je funkcija F ogranicena sa gornje strane.




Primer 1.13. Koristeci prethodni kriterijum ispitacemo konvergenciju integrala ∞

0dx

1 x2 (videti primer 1.4). Kako je funkcija F

z

z

0dx

1 x2 arctg z ogra-

nicena na intervalu 0 ∞ (AI, primer 1.13), po teoremi 1.5 integral ∞

0

dx

1

x2

konvergira.

Naredni kriterijum je poznat kao uporedni kriterijum.

Teorema 1.6 Neka su f i g realne nenegativne funkcije definisane na

a

ω

za

ω

∞

i Riman integrabilne na svakom zatvorenom podintervalu intervala

a ω Ako je f x

g x u nekoj okolini ω tada važi:

(i) Ako

ω

ag

x

dx konvergira, konvergira i

ω

a f

x

dx

(ii) Ako

ω

a f

x

dx divergira, divergira i

ω

ag

x

dx

Dokaz. (i) Iz pretpostavke da je f x g x u nekoj okolini tacke ω sledi pos-tojanje realnog broja M

a

ω tako da je f

x

g

x za svako x

M

ω Po

teoremi 1.1 (iii) važi

ω

a f

x

dx

M

a f

x

dx

ω

M f

x

dx

i ω

ag

x

dx

M

ag

x

dx

ω

M g

x

dx

gde su M

a f

x

dx i M

ag

x

dx odredeni Rimanovi integrali, tj. konvergen-

cija integrala ω

a f

x

dx i ω

ag

x

dx je ekvivalentna konvergenciji integrala ω

M f

x

dx i ω

M g

x

dx respektivno.

Iz polazne pretpostavke o konvergenciji integrala ω

ag

x

dx sledi konver-

gencija integrala

ω

M g

x

dx

pa po teoremi 1.5 imamo ogranicenost neopadajucefunkcije G

c

c

M g

x

dx

c

M

ω

Sada, kako za svako c M ω važi (AI, teorema 6.9(ii))

F

c

c

M f

x

dx

c

M g

x

dx

G

c (1.13)




i kako je G

c

ogranicena funkcija za c

M

ω

to je i neopadajuca funkcija

F

c

c

M f

x

dx ogranicena za c

M

ω te po teoremi 1.5 integral

ω

M f

x

dx

konvergira.Tvrdenje pod (ii) sledi iz tvrdjenja pod (i) po principu kontrapozicije.

Primer 1.14. U zavisnosti od realnog parametra α ispitacemo konvergenciju inte-

grala ∞

3

ln x

xα dx

Kako za svako ε

0 imamo lim x

∞

ln x

xε

0

to za dovoljno veliko

x važi ln x

xε Sa druge strane, za dovoljno veliko x važi i ln x

A gde je A

proizvoljna pozitivna konstanta. Dakle, za x

∞ imamo

A

xα

ln x

xα

xε

xα

(1.14)

Iz (1.14), po teoremi 1.6, konvergencija integrala ∞

3

xε

xα d x povlaci i konver-

genciju polaznog integrala, tj. polazni integral konvergira za α ε

1 za svakoε

0. Ako ε 0 imamo α

ε

α

te dobijamo konvergenciju polaznog inte-grala za α 1

Sada je po (1.14) neophodno ispitati divergenciju integrala ∞

3

A

xα d x Kako na

osnovu primera 1.1 znamo da integral ∞

3

A

xα dx divergira za α

1 to i polazni

integral

∞

3

ln x

xα dx divergira za α

1

Teorema 1.6 je specijalni slucaj naredne teoreme koju navodimo bez dokaza.Podsetimo se da je f

x

O

g

x u nekoj okolini tacke ω

ako postoji M 0 tako

da važi f

x

M g

x (AI, definicija 3.11).

Teorema 1.7 Neka su f i g realne nenegativne funkcije definisane na

a

ω

za

ω

∞

i Riman integrabilne na svakom zatvorenom podintervalu intervala

a ω Ako je f x O g x u nekoj okolini taˇ cke ω tada važi

(i) Ako

ω

a g

x

dx konvergira, konvergira i

ω

a f

x

dx

(ii) Ako

ω

a f x dx divergira, divergira i

ω

ag x dx

Sledi još jedan kriterijum za ispitivanje konvergencije nesvojstvenih integrala.




Teorema 1.8 Neka su f i g dve realne nenegativne funkcije definisane na

a

ω

za ω ∞ koje su Riman integrabilne na svakom zatvorenom podintervaluintervala a ω Ako je

lim x

ω

f x

g x

k

∞

tada važi

(i) Ako

ω

ag

x

dx konvergira i 0 k

∞ , konvergira i

ω

a f

x

dx

(ii) Ako

ω

ag x dx divergira i 0 k ∞ , divergira i

ω

a f x dx

Dokaz. Ovom prilikom dajemo dokaz samo za k 1 tj. za slucaj kada se funkcije f i g isto ponašaju. Dokaz opšteg slucaja je analogan.

Ako je lim x ω

f

x

g

x

1 po definiciji granicne vrednosti, za svako ε 0 postoji

M

a

ω

tako da za svako x

M

ω

važi

ε

f

x

g

x

1 ε

odnosno

1 ε g x f x 1 ε g x

iz cega, po uporednom kriterijumu, datom teoremom 1.6, sledi traženo.


0

x4

1 x4

dx

Podintegralna

funkcija nije ogranicena za x 1 Kako je za x 0 1 podintegralna funkcijanenegativna, za ispitivanje konvergencije posmatranog integrala koristimo kriterijum iz teoreme 1.8. Kada x

1 0 podintegralna funkcija se ponaša na sledecinacin

x4

1 x4

x4

1 x2 1 x 1

x

1

1 x

te se problem svodi na ispitivanje kovergencije integrala 1

0

1

1 xdx Smenom

t 1

x dobijamo integral 1

0

1

t dt koji konvergira (videti primer 1.6), te odatle

sledi i konvergencija polaznog integrala.




Primer 1.16. U zavisnosti od realnih parametara p i q ispitacemo konvergenciju

integrala ∞

0dx

x p xq

Bez gubitka opštosti možemo pretpostaviti da je p

q (za

p

q integral divergira, videti primere 1.1 i 1.6). Kako je podintegralna funkcijaneogranicena za x

0 neophodno je pocetni integral radvojiti na dva integrala ∞

0

dx

x p xq

1

0

dx

x p xq

∞

1

dx

x p xq

(1.15)

Za x 0 0 imamo x p

xq

xq a kako

1

0

1 xq

dx konvergira za q 1 i divergira

za q 1 isti zakljucak važi i za

1

0

dx

x p

xq Za x

∞ važi x p

xq

x p Kako

∞

1

1

x p d x konvergira za p

1 i divergira za p

1

isto se odnosi i na integral ∞

1

dx

x p

xq Integral

∞

0

dx

x p

xq konvergira ako i samo ako oba sabirka iz (1.15)

konvergiraju, tj. pocetni integral konvergira za p 1 i q

1.

U opštem slucaju (bez pretpostavke p

q), nesvojstveni integral ∞

0

dx

x p xq

konvergira za max

p

q

1 i min

p

q

1

Primer 1.17. Ispitacemo konvergenciju integrala

π2

0

ln sin x

xdx

Podintegralna

funkcija nije ogranicena za x 0 Ovaj problem rešavamo parcijalnom integraci-

jom

u ln sin x

i dv 1

xdx

odakle sledi d u ctg x i v

2

x Kako primenom Lopitalovog pravila (AI, teo-

rema 4.20) dobijamo

lim x 0 0

ln sin x

1

x

2 lim x 0 0

x

x cos x

sin x 2 lim

x 0 0

x cos xsin x

x

0

to sledi

π2

0

ln

sin x

x dx

limc

0

0

2

x ln sin x

π2

c

π2

02

x ctg x d x

Konvergencija (divergencija) nesvojstvenog integrala sa leve strane prethodne je-dnakosti je ekvivalentna konvergenciji (divergenciji) integrala sa desna strane je-

dnakosti. Kako važi 2

x ctg x

2

x kada x

0 0 to iz konvergencije integrala

π2

0

2

xdx sledi i konvergenciju polaznog integrala.



1.4. Ojlerova gama i beta funkcija 19

1.4 Ojlerova gama i beta funkcija

Realna funkcija jedne realne promenljive data sa

Γ

p

∞

0 x p

1e xdx (1.16)

se naziva Ojlerova2 gama funkcija. Funkcija Γ je definisana za one vrednosti re-alnog parametra p za koje integral (1.16) konvergira. Pokazacemo da za svako p 0 funkcija Γ ima konacnu vrednost.

Kako za proizvoljno c 0 važi

∞

0 x p

1e

xdx

c

0 x p

1e

xdx

∞

c x p

1e

xdx (1.17)

neophodno je ispitati konvergenciju oba sabirka sa desne strane jednakosti (1.17).

Za p 1 imamo Γ

p

∞

0e xdx

1 te u ovom specijalnom slucaju tvrdenje

važi.Neka je sada 0

p 1 Oba integrala iz (1.17) konvergiraju jer je

c

0 x p

1e

xdx

c

0 x p

1dx

c p

p

i ∞

c x p 1e xdx

∞

ce xdx

e c

U slucaju p 1 važi lim

x 0 0 x p 1e x

0 te prvi integral nije nesvojstven i

dovoljno je ispitati samo konvergenciju integrala ∞

c x p 1e xdx

tj. drugog sabirka

iz (1.17). Kako je lim x

∞ x p 1e

x2

0 to postoji c 1 takvo da je x p 1e

x2

1 za

svako x

c

tj. x p 1e x

e

x2 za svako x

c

Sada, odatle sledi ∞

c

x p 1e xdx

∞

c

e

x2 dx

2e

c2

Dakle, i za p

1 oba sabirka sa desne strane jednakosti (1.17) konvergiraju.Integral (1.16) konvergira ako oba sabirka iz (1.17) konvergiraju, tj. gama

funkcija je definisana za p 0

2L. Euler (1707-1783)




Primer 1.18. Pokazacemo da je gama funkcija uopštenje faktorijela. Za p

0

parcijalna integracija gama funkcije daje sledece

Γ

p 1

∞

0 x pe xdx

limc ∞

x pe

x

c

0 p

∞

0 x p

1e

xdx

limc

∞c pe c

pΓ

p

Kako za p 0 važi limc ∞

c p

1e

c 0 to iz prethodne jednakosti sledi

Γ p 1 pΓ p

Primenom prethodne jednakosti k 1 puta, k

za p

k imamo

Γ

p 1

p

p 1

p 2

p k

Γ

p k

(1.18)

Iz (1.18) za p n sledi

Γ

n

1

n

n 1

n 2

Γ

1

i kako je Γ 1

∞

0e

xdx 1 dobijamo Γ

n 1

n! tj. gama funkcija je

uopštenje faktorijela.

Primetimo da iz neprekidnosti gama funkcije Γ na intervalu 0

∞ sledi i

lim p

0

0 pΓ p lim

p

0

0Γ p 1 Γ 1 1


0

ln x

α dx Smenom ln x

t dobijamo

1

0 ln x

α dx

∞

0t αe

t dt Γ α 1

Iz cinjenice da gama funkcija Γ

p

ima konacnu vrednost za p

0

sledi da polazniintegral konvergira za α 1



1.4. Ojlerova gama i beta funkcija 21

Realna funkcija dve realne promenljive data sa

B

p

q

1

0 x p 1

1 x

q 1 dx

naziva se Beta funkcija. Ispitacemo konvergenciju integrala

B

p

q

1

0 x p 1

1 x

q 1 dx

u zavisnosti od realnih parametara p i q Kako je

1

0 x p 1

1 x

q 1 dx

12

0

dx

x1 p 1

x

1 q

1

12

dx

x1 p 1

x

1 q

i za x 0 0 imamo x1

p 1 x

1

q x1

p a za x 1 0 važi x1

p 1 x

1

q

1 x

1 q integral B

p

q konvergira za 1

p 1 i 1

q 1 tj. za p

0 iq

0

Primetimo da je B p q B q p (dokaz smenom x 1 t ).

Primer 1.20. Pokazacemo da za 0

p 1 važi

B

p 1

p

∞

0

x p

1

1 xdx

Uzimajuci smenu t

x

1

x dobijamo

B

p

q

1

0t p 1

1 t

q 1dt

∞

0

x p

1

1 x

p

qdx

Odavde za q 1 p imamo

B p 1 p

∞

0 x

p

1

1

xdx

Koristeci ovu jednakost može se pokazati da je

B

p 1

p

π

sin pπ (1.19)




Veza izmedju gama i beta funkcije je data za p

0 i q

0 jednakošcu

B

p

q

Γ p Γ q

Γ

p

q

(1.20)

Primetimo da iz (1.20) stavljajuci q 1 p za 0 p 1 na osnovu (1.19) sledi

Γ

p Γ

1 p

B

p

1 p

π

sin pπ

Specijalno, za p

q

12 prethodna jednakost nam daje Γ

12

π

Primer 1.21. Pokazacemo da za beta funkciju za p

q 0 važi

B

p

p 1

22 p

1 B

12

p

(1.21)

Imamo, koristeci u trecem redu simetriju u odnosu na 12

i u cetvrtom redu smenu

t 4

12

x

2

B

p

p

1

0 x p 1

1 x

p 1 dx

1

0

1

4

1

2 x

2 p 1dx

2 1 2

0

14

12

x

2 p

1dx

122 p

1

1

0t 1 2

1 t

p 1 dt

122 p 1 B

12

p

Primer 1.22. Za gama funkciju, kada je p 0 važi formula dupliranja

Γ p Γ p 12

Γ 2 p

22 p

1

π

što cemo i dokazati. Veza izmedu gama i beta funkcije (1.20) nam daje

B p p

Γ

p

2

Γ 2 p

i B 1

2 p

Γ p Γ 12

Γ

p

12



1.5. Apsolutna konvergencija 23

pa iz (1.21) sledi

Γ p

Γ 2 p

122 p 1

Γ 12

Γ p

12

Kako je Γ 1

2

∞

0

xe xdx

π dobijamo traženu jednakost.

Primer 1.23. Izrazicemo nesvojstven integral π

2

0sin p 1 x dx p

0 preko beta

funkcije. Stavljajuci smenu t

sin x2 imamo

π 2

0 sin

p

1

x dx

1

2

1

0 t

p2

1

1

t

12

dt

1

2 B

p

2

1

2

Kako je po primeru 1.21

B p

2

12

22

2 p2

1 B p

2

p

2

to konacno dobijamo

π

2

0sin p 1 dx

2 p 2 B p

2

p

2

1.5 Apsolutna konvergencija

Definicija 1.2 Neka je

a

ω

ograniˇ cen ili neograniˇ cen interval realnih brojeva.

Neka je f realna funkcija definisana na

a

ω

i Riman integrabilna na svakom

zatvorenom podintervalu intervala a ω Tada, nesvojstveni integral

ω

a f x dx

apsolutno konvergira ako nesvojstveni integral

ω

a f

x dx konvergira.

Ocigledno je da ako je podintegralna funkcija nenegativna, obicna i apsolutnakonvergencija se poklapaju. Razlika se javlja kada podintegralna funkcija menja

znak na intervalu integracije. Veza izmedu apsolutne i obicne konvergencije data je narednom teoremom.

Teorema 1.9 Ako nesvojstveni integral

ω

a f x dx apsolutno konvergira tada on i

konvergira.




Dokaz. Dokaz sledi direktno iz Košijevog potrebnog i dovoljnog uslova za kon-

vergenciju nesvojstvenog integrala datog teoremom 1.5 i nejednakosti koja važi zaRimanov odreden integral

b2

b1

f

x

dx

b2

b1

f

x dx

gde b1

b2

a

ω i b1

b2

Kriterijum iz teoreme 1.6 se za apsolutnu konvergenciju može formulisati i nasledeci nacin.

Teorema 1.10 Neka su f i g realne funkcije definisane na a ω ∞ ∞ Ri-

man integrabilne na svakom zatvorenom podintervalu intervala a ω Neka je

f x

g x za x

a ω Ako

ω

ag x dx konvergira, tada

ω

a f x dx apsolutno

konvergira.

Primer 1.24. Ispitacemo konvergenciju integrala ∞

1

sin x

xα dx za α

1 Podinte-

gralna funkcija periodicno menja znak na intervalu integracije, te ispitujemo kon-

vergenciju integrala ∞

1

sin x

xα

dx Kako je

sin x

xα

sin x

xα

1

xα

za svako x 1

∞ po teoremi 1.10, iz konvergencije integrala

∞

1

dx

xα (α je vece

od 1 po uslovu zadatka) sledi konvergencija integrala ∞

1

sin x

xα

dx odnosno apso-

lutna konvergencija integrala ∞

1

sin x

xα dx

Sada, po teoremi 1.9, znamo da pocetni

integral konvergira.

1.6 Uslovna konvergencija integrala

Divergencija integrala ω

a f

x

dx povlaci i apsolutnu divergenciju, tj. diver-

genciju integrala ω

a f x

dx Obrnuto, u opštem slucaju, ne važi, što i ilustruje

naredni primer, gde integral konvergira uobicajeno, a apsolutno divergira. Ovoopravdava uvodenje pojma uslovne konvergencije.



1.6. Uslovna konvergencija integrala 25

Definicija 1.3 Ako nesvojsveni integral konvergira, a apsolutno divergira, tada

kažemo da on uslovno konvergira.

Primer 1.25. Ispitacemo obicnu i apsolutnu konvergenciju integrala ∞

1

cos x

x dx

Podintegralna funkcija je definisana i ogranicena za svako x 1 ∞ , te je, zbogneogranicenosti intervala integracije, u pitanju nesvojstveni integral prve vrste.Kako funkcija menja znak na intervalu integracije, nije moguce direktno primenitikriterijume iz teorema 1.5, 1.6 i 1.8. Parcijalnom integracijom za du

cos xdx i

v

1 x

što daje u sin x i dv

1 x2 dx dobijamo

∞

1

cos x

x dx

limc

∞

sin x

x

c

1

∞

1

sin x

x2 dx

(1.22)

Na osnovu primera 1.24 znamo da integral ∞

1

sin x

x2 dx konvergira, a kako je

limc

∞

sin x

x

c

1

limc

∞

sin c

c sin1 sin1

to i polazni integral konvergira.Ispitivanje apsolutne konvergencije se svodi na ispitivanje konvergencija inte-

grala ∞

1

cos x

x

dx Iz cos x

cos2 x

1 cos2 x

2 sledi

∞

1

cos x

x

dx

12

∞

1

dx

x

∞

1

cos2 x

xdx

(1.23)

Parcijalnom integracijom se lako može pokazati da integral ∞

1

cos2 x

x dx konver-

gira, a kako znamo da ∞

1

dx

x divergira, to po teoremi 1.6 iz (1.23) sledi divergen-

cija integrala ∞

1

cos x

x

dx tj. apsolutna divergencija polaznog integrala. Dakle,

polazni integral uslovno konvergira.

Prethodni primer pokazuje potrebu za kriterijumom konvergencije nesvojstve-nog integrala kada podintegralna funkcija menja znak. Sledeci Dirihleov3 kriterijum, koji navodimo bez dokaza, daje nam takav praktican aparat.

3G. L. Dirichlet (1805-1859)




Teorema 1.11 Neka su f i g realne funkcije definisane na

a

ω

∞

∞

Riman

integrabilne na svakom zatvorenom podintervalu intervala a ω Neka je integral c

a f

x

dx uniformno ograniˇ cen na svakom intervalu

a

c

a

ω

, tj. postoji

M 0 takvo da je

c

a f

x

dx

M za sve c

a

Neka je funkcija g monotona i lim x

ω g

x 0

Tada integral

ω

a f x g x dx konvergira.

Primer 1.26. Na osnovu teoreme 1.11 lako je dokazati konvergenciju integrala ∞

1

cos x

x dx iz primera 1.25. Naime, integral

c

a cos x dx je uniformno ogranicenna svakom intervalu

a

c

a ∞ , za c

1, tj. za M 2 važi

c

acos x dx

2

a funkcija g x

1 x

je opadajuca i lim x ∞

1 x

0

Primer 1.27. Ispitacemo konvergencije sledecih integrala:

a) ∞

1

cos x

xα dx α 0; b)

∞

1cos x2 dx; c)

∞

1lnα x

sin x

xdx α 0

a) U slucaju integrala ∞

1

cos x

xα postupamo analogno primeru 1.26, gde je bilo

α 1 tj. uzimamo sada za funkciju g x upravo 1 xα

Ovako data funkcija g je za

α 0 opadajuca i kako je lim

x

∞

1 xα

0 dobijamo konvergenciju integrala za α 0

b) Smenom t

x dobijamo ∞

1cos x2 dx

∞

1

cos t

2

t dt

pa, na osnovu a), posmatrani integral konvergira.

c) Na osnovu teoreme 1.11 lako je dokazati konvergenciju nesvojstvenog inte-

grala ∞

1lnα x

sin x

xdx

Naime, treba uzeti f

x sin x i g

x

lnα x

x Funkcija

g je opadajuca za dovoljno veliko x (pokazati da je izvod g negativan) i važi

lim x

∞

lnα x

x 0




Ispitivanje konvergencijenesvojstvenog integrala

i w

af(x) dx

konvergira

i w

a|f(x)| dx

KONVERGIRA

APSOLUTNO

DApo kriterijumima

iz teorema 1.5, 1.6, 1.7

ili 1.8

i w

af(x) dx

DIVERGIRA

DAf > 0

i w

af(x) dx

f < 0iliili

Dirihleov

kriterijum

je primenljivKONVERGIRA

USLOVNO

DAi w

af(x) dx

Bez odgovora

NE

NE

NE

KRAJ

Slika 1.3. Ispitivanje konvergencije nesvojstvenog integrala ω

a f x dx




Rezime prethodnih kriterijuma za ispitivanje konvergencije nesvojstvenog in-

tegrala je dat slikom 1.3.Specijalno, u slucaju periodicnih podintegralnih funkcija važi i sledeca teo-

rema.

Teorema 1.12 Neka 0

a ∞ Neka je funkcija f : a ∞

neprekidna i peri-

odiˇ cna sa periodom T 0 i neka je funkcija g : a ∞ monotona i lim x ∞

g x

0

Tada važi:

(i) Ako je

a T

a f x dx 0 , tada integral

∞

a f x g x dx konvergira.

(ii) Ako je

a

T

a f x dx 0 , tada integral

∞

a f x g x dx konvergira ako i

samo ako integral

∞

ag x dx konvergira.

Dokaz. (i) Dokazacemo da su zadovoljeni svi uslovi Dirihleove teoreme 1.11.

Primetimo da a T

a f

x

dx

0 povlaci a nT

a f

x

dx

0 za n

Za c

a

neka je n

c aT

. Tada imamo

c

a f

x

dx

c

a

nT f

x

dx

c nT

a f

x

dx

c nT

a f x

dx

a T

a f x

dx

gde smo koristili da je

a T

a f

x

dx

T

0 f

x

dx

Ova jednakost sledi iz rastavljanja

a T

a f x dx

0

a f x dx

T

0 f x dx

a T

T f x dx

0

a f

x

dx

T

0 f

x

dx

a T

T f

x T

dx

0

a f x dx

T

0 f x dx

0

a f z dz

T

0 f

x

dx




gde smo koristili smenu z

x T

Uzimajuci za M

a

T

a f

x dx

vidimo da su integrali oblika

c

a f

x

dx

za c

a

∞

uniformno ograniceni.

(ii) Za a

T

a f

x

dx 0 posmatrajmo nesvojstveni integral

∞

a

f x

a

T a f

x

dx

T

g x dx

koji po (i) konvergira (kolicnik

a

T a f

x

dx

T

je broj!). Kako je

∞

a f

x

g

x

dx

∞

a

f

x

a T a f x dx

T

g

x

dx

a T a f x dx

T

∞

ag

x

dx

to nesvojstveni integral ∞

a f x g x dx konvergira ako i samo ako konvergira in-

tegral ∞

a

g

x

dx

Prethodnu teoremu cemo primeniti u narednom primeru.

Primer 1.28. Pokazacemo da integral ∞

0

sin sin x

x e cos x dx konvergira, a da in-

tegral ∞

0

sin sin x

x esin x dx divergira. Primenicemo na prvi integral teoremu 1.12

(i). Uslov a

T

a f

x

dx 0 je ispunjen za a

0

T 2π i f

x sin sin x

ecos x

jer je

2π

0sin

sin x

e cos x dx

π

0sin

sin x

e cos x dx

2π

πsin

sin x

e cos x dx

0

Drugi nesvojstveni integral ∞

0

sin sin x

x esin x dx divergira po teoremi 1.12 (ii), što




sledi iz 2π

0sin sin x esin x dx

π

0sin sin x esin x dx

2π

πsin sin x esin x dx

π

0sin sin x

esin x dx

π

0sin sin x

e sin x dx

π

0sin sin x esin x

e

sin x dx

0

i divergencije integral ∞

0

dx

x

Napomena 1.4 U specijalnom slucaju, tj. ako je podintegralna funkcija konstant-

nog znaka na intervalu integracije, iz apsolutne divergencije sledi divergencija pos-matranog integrala.


12

1ln x

dx Podintegralna funkci-

ja u ovom primeru je negativna na celom intervalu integracije pa, uz uvodenjesmene 1

x

t imamo

1

12

1ln x

dx

1

12

1

ln x dx

12

0

1

ln 1 t

dt

Po Maklorenovoj formuli (AI, poglavlje 4.13), za t 0 0 znamo ln 1 t

t Kako integral 1

2

0

1t

dt divergira, polazni integral apsolutno divergira, a zbog

konstantnog znaka podintegralne funkcije, i divergira.

1.7 Košijeva glavna vrednost

Posmatrajmo funkciju f :

a

b koja nije ogranicena u tacki c

a

b

Granicna vrednost

V P

b

a

f

x

dx lim

ε

0

0

c

ε

a

f

x

dx

b

c

ε

f

x

dx

(1.24)

se naziva Košijeva glavna vrednost integrala funkcije f u tacki c

Primetimo da smo u prethodnoj definiciji pustili da ε 0 0 istovremeno

u oba integrala sa desne strane u (1.24), dok bi kod uobicajenog nesvojstvenogintegrala posebno tražili granicnu vrednost za svaki integral sa desne strane.



1.7. Košijeva glavna vrednost 31

Primer 1.30. Odredicemo Košijevu glavnu vrednost za 3

0

dx

x

1 Posmatrana pod-

integralan funkcija nije ogranicena za x 1 i lako se proveri da nesvojstveni inte-

gral 3

0

dx

x 1

divergira. Košijevu glavnu vrednost odredujemo po (1.24) na sledeci

nacin

V P

3

0

dx

x 1

limε 0 0

c

ε

0

dx

x 1

3

c ε

dx

x 1

limε

0

0

ln x 1

c

ε

0 ln x 1

3c

ε

limε

0

0

ln c ε 1 ln2 ln c ε 1

ln 2

Dakle, Košijeva glavna vrednost može postojati cak i kada posmatrani nesvojstveni integral divergira.

Ako je posmatrana podintegralna funkcija ogranicena na celom skupu realnihbrojeva, f : Košijeva glavna vrednost se definiše na sledeci nacin

V P

∞

∞ f x dx lim

c ∞

c

c f x dx (1.25)

Primer 1.31. Odredicemo Košijevu glavnu vrednost za ∞

∞ xα dx

gde je α priro-

dan broj. Iz (1.25) sledi

V P

∞

∞ xα dx lim

c ∞

c

c xα dx lim

c ∞

xα

1

α

1

c

c

limc

∞

cα 1

α 1

c

α 1

α 1

0

za α neparno,limc

∞

2cα 1

α 1

za α parno,

0

za α neparno,∞ za α parno.




1.8 Integral

∞

0 e

x2

dx

Kao što je poznato (AI, odeljak 5.5) neodredjeni integral

e

x2dx se ne može

izraziti preko elementarnih funkcija. U velikom broju slucajeva u primeni se javlja

potreba za izracunavanjem vrednosti nesvojstvenog integrala ∞

0e x2

dx. Zato

cemo ovde dati jedan postupak za njegovo izracunavanje.Prvo primetimo da za svako x

važe nejednakosti

1 x2

e x2

11

x2

jer je e x2 1

x2 Za

x 1 iz leve strane prethodnih nejednakosti dobijamo za

n

1 x2

n e

nx2 (1.26)

a za x i n

iz desne strane posmatranih nejednakosti dobijamo

e nx2

1 1 x2

n (1.27)

Kako nesvojstveni integrali ∞

0e

nx2dx i

∞

0

1 1

x2

n d x konvergiraju, to koris-

teci redom (1.26), pozitivnost funkcije e nx2 i (1.27) imamo

1

0 1

x2

n dx

1

0e nx2

dx

∞

0e nx2

dx

∞

0

1 1

x2

n dx

tj. 1

0

1 x2

n dx

∞

0

e nx2dx

∞

0

1

1 x2 n

dx

(1.28)

Kako se smenom x

cos t integral sa leve strane prethodne nejednakosti (1.28)svodi na poznati integral (AI, Primer 6.8) dobijamo

1

0 1

x2

n dx

π2

0sin2n 1 t dt

2 4

2n

1 3 2n 1



1.8. Integral

∞

0e x2

dx 33

Kako se smenom x

tg t integral sa desne strane prethodne nejednakosti (1.28)

svodi na poznati integral (AI, Primer 6.8), za n

1 videti primer 1.4, dobijamo ∞

0

dx

1

x2

n

π2

0

cos2n t

cos2 t dt

π2

0cos2n

2 t dt

1 3 2n 3

2 4 2n 2

π

2

Uvrštavanjem u (1.28) imamo

2 4 2n

1 3 2n 1

∞

0e

nx2dx

1 3 2n 3

2 4 2n 2

π

2

Smenom x

t

n prethodne nejednakosti se svode na nejednakosti

2 4 2n

1 3 2n 1

n

∞

0e t 2 dt

1 3 2n 3

2 4 2n 2

π2

n

(1.29)

Na osnovu Valisove formule4

limn

∞

2 4 2n

1 3 2n 1

n

π

puštajuci u (1.29) da n ∞ pri cemu je sa leve strane nejednakosti izvršena trans-formacija

2 4 2n

1 3 2n 1

n

n

n

2 4 2n

1 3 2n 1

n

n

2 1

dobijamo

∞

0e x2

dx

π

2

Valisovu formulu (1.30) lako dobijamo na osnovu vec korišcenog rezultata (AI,

primer 6.8). Naime, za x

0

π

2

iz nejednakosti sin2n

1

x

sin2n

x

sin2n

1

xza n slede odgovarajuce nejednakosti za integrale

π2

0sin2n

1 x dx

π2

0sin2n x dx

π2

0sin2n

1 x dx

4J. Wallis (1616-1703)




te odatle na osnovu (AI, primer 6.8) dobijamo

2 4 2n

1 3 2n 1

1 3 2n 1

2 4 2n

π

2

2 4 2n 2

1 3 2n 1

Otud, posle male transformacije, dobijamo

2 4 2n

1 3

2n 1

22n

1

π

2 4 2n

1 3

2n 1

22n

Kako razlika nizova sa leve i desne strane prethodne nejednakosti konvergira kanuli to dobijamo da oba niza moraju konvergirati ka broju

π što nam daje Val-

isovu formulu (1.30).

Kao što je poznato (AI, odeljak 5.5) neodredjeni integral

sin x

x dx se ne može

izraziti preko elementarnih funkcija. Ali zato za nesvostveni integral važi

∞

0

sin x

xdx

π

2

što ovde necemo dokazivati.

1.9 Zadaci

1. Izracunati sledece nesvojstvene integrale:

a) ∞

2

x2

1

x3

x2 4

dx; b) 1

2

x 20055

x4 dx; c)

0

1

e1

x2

x5 dx

2. Uz pomoc poznatih integrala

∞

0 e

x2

dx i

∞

0

sin x

x dx parcijalnom inte-gracijom izracunati sledece nesvojstvene integrale:

a) ∞

0 x2e

x2dx; b)

∞

0

sin2 x

x2 dx

3. Ispitati konvergenciju sledecih integrala:



1.9. Zadaci 35

a) ∞

0 xe x2

dx; b) 2

0

2 x

x2 1 2 dx; c)

∞

0

sin2 x

xdx;

d) ∞

0 x5e

x dx; e) ∞

2

x

1

x4 dx; f)

∞

1

1

x2

x2 1

dx;

g) ∞

1

ln x

x2 dx; h) ∞

2

13

1

x3 dx; i)

e

1

1 x ln x

dx

4. U zavisnosti od parametra p ispitati konvergenciju sledecih integrala:

a) ∞

1

x

2 x2 2 p

p

x 1

dx; b) ∞

0

1

x p

1 x4 d x;

c) ∞

0ln

x 1

x p dx; d) ∞

0

e px e px

e2005 x e

2005 x dx

5. Ispitati obicnu i apsolutnu konvergenciju integrala ∞

0

sin x

xdx

6. U zavisnosti od parametara m i n ispitati konvergenciju sledecih integrala:

a) ∞

1

xm

1

xn dx; b)

π2

0sinn x cosm x dx;

c) π

0

sin x

xm

π

x

n d x; d)

1

0

ln2 1

x

xn 1

x

m dx

7. Dokazati da integral ∞

2

1 x

ln x

p d x konvergira samo za p 1

8. Za n

0 i m

dokazati:

a) ∞

0e nx cos mxdx

n

n2

m2 ; b) ∞

0e nx sin mxdx

m

n2

m2

9. Za n

0 dokazati ∞

0t x 1e nt dt

1n x

Γ

x

;

10. Dokazati ∞

0

sin2 x

x2

dx

∞

0

sin x

x

dx

11. Odrediti Košijevu glavnu vrednost za: a) 2

0

x3

x4 1

dx; b) ∞

∞ x2 sin x3 dx



Glava 2

Numeri cki (brojni) redovi

2.1 Konvergencija brojnog reda

Za niz realnih brojeva ak k

izraz oblika

a1

a2

ak

∞

∑k 1

ak

naziva se brojni red . Vrednost ak

k

je opšti ˇ clan reda. Niz parcijalnih suma

An n

datog reda se definiše kao niz realnih brojeva sa opštimclanom oblika

An

a1

a2

an

n

∑k 1

ak

Preciznije, brojni red je par

an n

An n

U ovoj glavi, ako drugacije nijenaglašeno, krace, pod redom se podrazumeva brojni red.

Ako granicna vrednost limn ∞

An postoji, red konvergira. U suprotnom red di-

vergira. Kao i kod nizova (AI, glava 2), ako je limn

∞ An ∞ ili lim

n

∞ An ∞ red

divergira ka ∞ odnosno, ka

∞

Definicija 2.1 Ako postoji graniˇ cna vrednost niza parcijalnih suma u proširenom

smislu, tj.

limn ∞ An limn ∞

n

∑k 1

ak A (2.1)

za A

∞

∞

tada je A suma reda∞

∑k

1

ak (istu oznaku koristimo za red i

sumu).

37



38 Glava 2. Numeri cki (brojni) redovi

Primer 2.1. Ispitacemo konvergenciju reda∞

∑k

2

ln

k 3 1

k 3

1

i odrediti njegovu sumu.

Za opšti clan polaznog reda važi

ln

k 3

1k 3

1

ln

k 3 1

ln

k 3 1

ln

k

1

ln

k 2

k

1

ln

k 1

ln

k 2

k

1

ln

k 1 ln

k 1

2

k 1 1

ln k 1 ln

k 2 k 1

te n-ta parcijalna suma ima sledeci oblik

An

n

∑k

2

ln

k 3 1

k 3

1

ln 3 ln3 ln 1 ln7 ln4 ln7 ln2 ln13 ln 5 ln13

ln 3

ln21

ln n

ln

n 2

2

n 2

1

ln

n 2 ln

n 1

2

n 1 1

ln

n 1

ln

n 1 2 n 1 1

ln n 1 ln

n2 n 1

ln 3 ln1

ln 2

ln n

ln

n

1

ln

n2

n

1

tj. An ln 3n n 1

2

n2

n 1

Sada, iz limn

∞ An ln

32

sledi konvergencija polaznog reda

i∞

∑k 2

ln

k 3 1k 3

1

ln 32

Specijalan slucaj narednog reda se pojavio kao niz u AI, primer 2.12.

Primer 2.2. Pokazacemo da red∞

∑k 1

1

α

k

α

k 1

konvergira za svako α

α 1 2 i odredicemo sumu datog reda. Za opšti clan polaznog reda

važi rastavljanje

1 α k α k 1

M

α k

N

α k 1 (2.2)



2.1. Konvergencija brojnog reda 39

Metodom neodredenih koeficijenata odredicemo konstante M i N iz (2.2)imamo

1

α

k

α

k 1

α k 1 M α k N

α

k

α

k 1

pa je0 k 1 α k 1 M α k N

M N

k

α

M N

M

te imamo M N 0 i α M N M 1 Odatle je M N 1 te je n ta parcijalna suma data sa

An

n

∑k 1

1

α

k

α

k 1

1α 1

1α 2

1α 2

1α 3

1α n

1α n 1

1α

1

1α

n

1

n

α 1

α

n 1

Za ovaj niz parcijalnih suma važi limn ∞ An

limn ∞

n

α 1

α

n 1

1α

1

te

polazni red konvergira i∞

∑k 1

1 α k α k 1

1α 1

Specijalno za α 0

imamo∞

∑k 1

1k

k 1

1 ;


∑k 1

k 2 Kako je

An

n

∑k

1

k 2

n n 1 2n 1

6

(AI, primer 1.1 b)), za ovaj niz parcijalnih suma važi limn ∞

An ∞ te dati red diver-

gira ka ∞.

Naredni važan red se pojavljuje u AI, primer 2.13.




Primer 2.4. Ispitacemo konvergenciju geometrijskog reda∞

∑k 1

qk 1 za q Za

q 1 važi

An 1 q q2 qn

1

1 qn

1 q

pa za niza parcijalnih suma imamo

limn

∞ An lim

n

∞

1 qn

1 q

11

q

q 1

∞

q

1

ne postoji q 1

gde je korišceno limn ∞

qn 0 za q 1 i lim

n ∞qn

∞ za q 1 (AI, primer 2.5

d)). Za q 1 opšti clan niza parcijalnih suma je An

n

∑k 1

1 n te iz limn

∞ An ∞

sledi divergencija.Rezimirajmo, geometrijski red konvergira za

q

1 za q

1 divergira ka ∞

a za q 1 divergira.

Osnovne osobine redova prema algebarskim operacijama su date narednomteoremom.

Teorema 2.1 Neka su

∞

∑k 1ak i

∞

∑k 1bk konvergentni redovi i neka je

∞

∑k 1ak

A

∞

∑k 1

bk

B i α

Tada redovi∞

∑k 1

α ak

i∞

∑k 1

ak

bk

koji su proizvod α∞

∑k 1

ak

i zbir redova∞

∑k 1

ak

∞

∑k 1

ak respektivno, konvergiraju i važi

∞

∑k

1

α ak α A i∞

∑k

1

ak bk A B

Dokaz. Sledi direktno iz definicije konvergentnog reda preko niza parcijalnih sumai osobina nizova (AI, teorema 2.5 a) i b)).

2.2 Košijev kriterijum za konvergenciju brojnog reda

Postavlja se pitanje kako ispitati konvergenciju brojnog reda bez racunanjasume posmatranog reda. U ovoj glavi su navedeni kriterijumi koji daju odgovorna to pitanje.



2.2. Košijev kriterijum za konvergenciju brojnog reda 41

Prvo dajemo Košijev potreban i dovoljan uslov za konvergenciju reda, koji se

zasniva na cinjenici da je niz realnih brojeva (niz parcijalnih suma) konvergentanonda i samo onda ako je Košijev (AI, teorema 2.9).

Teorema 2.2 Red ∞

∑k 1

ak konvergira ako i samo ako za svako unapred dato ε 0

postoji prirodan broj n0 tako da za svako n

takvo da je n

n0 i svako p

važi

n p

∑k n 1

ak

ε (2.3)

Dokaz. Red∞

∑k 1

ak je konvergentan ako i samo ako konvergira niz njegovih parci-

jalnih suma

An n

Po AI, teorema 2.9, niz realnih brojeva je konvergentan akoi samo ako je Košijev, tj. ako i samo ako za svako unapred dato ε

0 postojiprirodan broj n0 tako da za svako n

i svako p

tako da za svako n

n0 važi

An

p An

ε (2.4)

Kako za niz parcijalnih suma imamo

An p An a1 a2 an

1 an p a1 a2 an

n p

∑k

n

1

ak

to po (2.4) sledi (2.3).

Sledeci važan red se pojavljuje u AI, primer 2.16.

Primer 2.5. Dokazacemo da red∞

∑k 1

1k

divergira. Ovom prilikom koristimo Koši-

jev kriterijum dat teoremom 2.2, tacnije negaciju uslova koji daje konvergenciju.Treba pokazati da postoji ε

0 tako da za svaki prirodan broj n0 postoje n

i p

tako da za svako n n0 važi

n p

∑k

n

1

1k

ε

Neka je ε

12

n bilo koji prirodan broj i p

n

Tada dobijamo

n p

∑k

n

1

1k

1n 1

1n 2

12n

n 12n

12




te red∞

∑k 1

1

k divergira.

Pokažimo da povecanjem stepena izraza u imeniocu opštegclana reda u prethod-nom primeru dobijamo konvergentan red.


∑k 1

1k 2

konvergira. Za n

p važi

n

p

∑k

n

1

1k 2

1

n

1

2

1

n

2

2

1

n

p

2

1n

n

1

1

n

1

n

2

1

n

p 1

n

p

1n

1n

p

1n

Ako za proizvoljno ε 0 biramo prirodan broj n0

1ε

tada za svako n n0 je

1n

ε pa po prethodnom za svako proizvoljno p

n

p važi

n p

∑k

n

1

1k 2

ε

te po teoremi 2.2 red∞

∑k

1

1k 2

konvergira.

Na osnovu Košijevog kriterijuma dobijamo jednu ociglednu osobinu konver-gentnog reda datu sledecom teoremom.

Teorema 2.3 Konaˇ can broj ˇ clanova reda ne utiˇ ce na konvergenciju, odnosno, di-

vergenciju reda.

Dokaz. Uslov (2.3) važi za clanove posmatranog reda pocev od clana sa indeksomn0 1, pa prethodni clanovi a1 a2 an0 nemaju uticaja na (2.3).

Takode, koristeci Košijev kriterijum dobijamo potreban uslov za konvergencijureda, te praktican kriterijum za ispitivanje divergencije reda.

Teorema 2.4 Ako red konvergira, tada opšti ˇ clan teži nuli.

Dokaz. Sledi direktno iz teoreme 2.2 za p 1




Da obrnuto ne važi vidi se iz primera 2.5. U ovom primeru granicna vrednost

opšteg clana reda je jednaka nuli, tj. limk ∞

1k

0 dok red∞

∑k 1

1k

divergira. Jasno,

ako opšti clan reda ne teži nuli, po teoremi 2.4, odmah znamo da posmatrani reddivergira.

Primer 2.7. Dokazacemo da brojni red∞

∑k 1

3k 3 k 2 11 2k 3 1

divergira. Kako je

limk

∞ak lim

k

∞

3k 3

k 2 11

2k 3

1

32

to po teoremi 2.4 sledi da posmatrani red divergira.

Primer 2.8. Posmatrajmo red∞

∑k 1

k 2 iz primera 2.3. Kako je limn

∞ak lim

n

∞k 2

∞

to njegova divergencija sledi i iz teoreme 2.4.


∑k 1

cos k π

4 Kako je

limk

∞ ak

1 k 8 p

1 k 8 p 4

0

k

8 p

2 ili k

8 p

6

22

k 8 p

1 ili k 8 p

7

22 k 8 p 3 ili k 8 p 5

to limk

∞ak u ovom primeru ne postoji i po teoremi 2.4 pocetni red divergira.

2.3 Apsolutna konvergencija

Za redove koji imaju i negative clanove, uvodi se pojam apsolutne konvergen-cije.

Definicija 2.2 Red ∞

∑k

1

ak apsolutno konvergira ako red ∞

∑k

1

ak konvergira.

Za razliku od uvedene apsolutne konvergencije reda, prethodno posmatranukonvergencija reda, bez apsolutnih vrednosti opštih clanova, zovemo obiˇ cna kon-

vergencija. Lako dobijamo po Košijevom kriterijumu, datom teoremom 2.2, da




iz apsolutne konvergencije reda sledi njegova obicna konvergencija. Naime, uvek

važi

n p

∑k

n

1

ak

n p

∑k

n

1

ak

odakle za n

n0 i svako p iz

n p

∑k n 1

ak

ε sledi i

n p

∑k n 1

ak

ε

Divergencija reda∞

∑k 1

ak povlaci i divergenciju reda∞

∑k 1

ak tj. apsolutnu di-

vergenciju. Obrnuto, u opštem slucaju, ne važi što ce ilustrovati naredni primer.Ovo opravdava uvodenje pojma uslovne konvergencije.

Definicija 2.3 Ako red ∞

∑k

1

ak konvergira i red apsolutnih vrednosti∞

∑k

1

ak diver-

gira, tada∞

∑k 1

ak uslovno konvergira.

Primer 2.10. Red∞

∑k 1

1

k

k ne konvergira apsolutno jer red

∞

∑k 1

1

k

k

∞

∑k 1

1k

ne konvergira (primer 2.5). Kasnije cemo pokazati (primer 2.25) da dati red kon-

vergira obicno. Dakle,∞

∑k 1

1

k

k je uslovno konvergentan red.

Kako je za ispitivanje apsolutne konvergencije reda∞

∑k

1

ak bitna konvergencija

reda apsolutnih vrednosti∞

∑k

1

ak gde je

ak 0 to je za odredivanje apsolutne

konvergencije reda dovoljno imati kriterijum za konvergenciju reda sa nenega-tivnim clanovima. Upravo iz tog razloga se u narednom poglavlju ogranicavamona ispitivanje konvergencije reda sa nenegativnimclanovima.

2.3.1 Kriterijumi za konvergenciju reda sa nenegativnim clanovima

Neka su svi clanovi reda∞

∑k 1

ak nenegativni. U ovom slucaju treba primetiti da

je niz parcijalnih suma neopadajuci, tj.

A1 a1 A2 a1 a2 An

Upravo iz ove osobine niza parcijalnih suma reda sa nenegativnim opštimclanovimasledi naredni kriterijum.




Teorema 2.5 Red sa nenegativnim ˇ clanovima konvergira ako i samo ako je niz

njegovih parcijalnih suma ograniˇ cen. U suprotnom, divergira ka ∞

Dokaz. Sledi direktno iz teoreme o konvergenciji monotonih nizova (AI, teorema2.8) primenjene na niz

An n


∑k 1

ek 1

1

k 2004 k 2005

Kako za

svako k

važi ek

1

imamo

ek 1

1

k 2004

k 2005

2

1

k 2004

k 2005

in

∑k 1

ek 1

1

k 2004

k 2005

n

∑k 1

2 1

k 2004

k 2005

14010

14010 2n

(videti primer 2.2). Sada je An

14010

, tj. niz parcijalnih suma polaznog reda je

ogranicen, pa red po teoremi 2.5 konvergira.

Dacemo sada uopštenje primera 2.6.

Primer 2.12. Dokazacemo da red

∞

∑k 1

1k α konvergira za α

1

Za svako n

važi n 2n

1 Kako je u pitanju red sa pozitivnim clanovima, za niz parcijalnihsuma

An n

važi sledece

An A2n

1

1

12α

13α

1 2n 1

α

1 2n

1

α

1

22α

44α

2n

1

2n 1

α

∞

∑k 1

12α 1

k 1

gde smo u poslednjoj nejednakosti koristili da je za redove sa nenegativnim cla-novima parcijalna suma uvek manja ili jednaka od sume odgovarajuceg reda, u




ovom slucaju od sume reda∞

∑k

1

1

2α

1

k

1

koji je konvergentan geometrijski red

sume 2α

1

2α 1

1 (videti primer 2.4). Dakle, niz parcijalnih suma je ogranicen, pa

po teoremi 2.5 polazni red za α 1 konvergira.

Napomena 2.1 Treba napomenuti da red∞

∑k 1

1k α

divergira za α 1 (za α

1

videti primer 2.5), što ce i biti dokazano nešto kasnije (primer 2.22).

Sledi uporedni kriterijum za konvergenciju redova.

Teorema 2.6 Neka su∞

∑k 1

ak i∞

∑k 1

bk redovi sa nenegativnim ˇ clanovima. Neka je

K 0 prirodan broj i neka za svako k

k K 0 važi ak

bk

(i) Ako red ∞

∑k 1

bk konvergira, tada i red ∞

∑k 1

ak konvergira.

(ii) Ako red ∞

∑k

1

ak divergira, tada i red ∞

∑k

1

bk divergira.

Dokaz. Na osnovu teoreme 2.3 konacan broj clanova reda ne utice na njegovukonvergenciju, pa, bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je K 0

1

(i) Kako red

∞

∑k 1

bk konvergira, postoji realni broj B takav da je

∞

∑k 1

bk B Neka je

An n

niz parcijalnih suma reda∞

∑k 1

ak Za svako n važi

An

n

∑k 1

ak

n

∑k 1

bk

∞

∑k 1

bk B ∞

To znaci da je niz parcijalnih suma reda∞

∑k

1

ak ogranicen, odakle po teoremi 2.5

sledi njegova konvergencija.

(ii) Po definiciji, red divergira ako ne konvergira, pa tvrdenje pod (ii) sledi direktnoiz tvrdenja pod (i) po zakonu kontrapozicije (AI, glava 1.1.1).

Primer 2.13. Dokazecemo da red∞

∑k

1

1k α

divergira za α 1

Clanovi posmatra-

nog reda su pozitivni, te iz α 1 sledi

1k

1k α

pa po uporednom kriterijumu iz




divergencije reda∞

∑k 1

1

k (pokazano u primeru 2.5) imamo i divergenciju polaznog

reda.

Primer 2.14. Ispitacemo konvergenciju sledecih redova sa nenegativnim clanovi-

ma: a)∞

∑k 1

3k 3 2k

k 4 sin2 k ; b)

∞

∑k 1

52k ln k 1

a) Kako je 3k 3 2k

k 4 sin2 k

3k 3

k 4

31k

i kako red∞

∑k 1

1k

divergira (primer 2.5), po

teoremi 2.1 i uporednom kriterijumu, imamo divergenciju polaznog reda.

b) Kako za svako k

važi ln k

1

ln2 imamo 5

2k ln k 1

52k ln 2

5ln 2

12

k

i kako geometrijski red∞

∑k 1

12

k

konvergira (primer 2.4), to po upored-

nom kriterijumu i red∞

∑k 1

52k ln

k 1

konvergira.

Uporedni kriterijum za apsolutnu konvergenciju ima sledecu formu.


∑k 1

ak

i∞

∑k 1

bk

dva brojna reda. Neka je K 0

prirodan broj i

neka za svako k tako da je k K 0 važi ak bk Tada, ako red ∞

∑k

1

bk konver-

gira, red ∞

∑k

1

ak apsolutno konvergira.

Dokaz. Sledi direktno iz definicije apsolutne konvergencije reda i uporednog kri-terijuma datog teoremom 2.6


∑k

1

cos k 2

k 2 Iz

cos k 2

k 2

3

k 2 i

konvergencije reda∞

∑k 1

1k 2

(primer 2.6), po teoremi 2.7 sledi apsulutnu konvergen-

ciju polaznog reda. Kako znamo da apsolutna konvergencije daje obicnu konver-

genciju, red∞

∑k 1

cos k 2k 2

i obicno konvergira.




Primenjujuci uporedni kriterijum iz teoreme 2.6 na geometrijski red dobijamo

Košijev i D’Alamberov1 kriterijum.

Teorema 2.8 Košijev kriterijum. Neka je∞

∑k

1

ak red sa nenegativnim ˇ clanovima.

(i) Ako je limsupk ∞

k

ak L 1 red ∞

∑k 1

ak konvergira.

(ii) Ako je limsupk ∞

k

ak L 1 red ∞

∑k 1

ak divergira.

(iii) Ako je limsupk ∞

k

ak

L

1

kriterijum nije primenljiv.

Dokaz. (i) Kako je L limes superior niza

k

ak k

, znamo (AI, poglavlje 2.7) daza prizvoljno ε 0 postoji prirodan broj K 0 i za svako k k K 0 važi

k

ak

L

ε (2.5)

Neka je ε 0 1

L Za ovakav izbor broja ε važi 0

L

ε 1 Ako koristimo

oznaku L

ε

q

znamo po (2.5) da postoji prirodan broj K 0 tako da za svakok k K 0 važi

k

ak q 1

Iz k

ak q sledi ak

qk Kako je

q 1 red

∞

∑k 1

qk konvergira, te po uporednom

kriterijumu iz teoreme 2.6 imamo konvergenciju reda∞

∑k 1

ak .

(ii) Kako je limsupk ∞

k

ak L 1 znamo (AI, poglavlje 2.7) da postoji podniz

k p

ak p k p

niza

k

ak k

takav da je

limk p ∞

k p

ak p

L 1 (2.6)

Iz (2.6) sledi postojanje prirodnog broja K 0 takvog da za svako k p vece od K 0

važi k p

ak p 1 odnosno, ak p 1 Drugim recima, podniz

ak p k p

niza opštih

clanova reda∞

∑k

1

ak ako konvergira, konvergira ka broju razlicitom od nule, pa i

niz

ak k

ako konvergira, konvergira ka broju razlicitom od nule, te iz teoreme

1J. L. R. D’Alembert (1717-1783)




2.4 sledi divergencija reda∞

∑k 1

ak U slucaju divergencije podniza

ak p k p

sledi i

divergencija niza

ak k

pa po teoremi 2.4 i divergencija reda∞

∑k 1

ak

(iii) Red∞

∑n

1

1n

divergira, a red∞

∑n

1

1n2 konvergira, iako za oba reda važi lim

k ∞

k

ak

L 1

Primer 2.16. Ispitacemo konvergenciju sledecih redova:

a)∞

∑k 1

k 2

k 3

k 2

k

k 3

k 2

; b)∞

∑k 1

k 2

k

k 2

k 3

k 3

k 2

a) Iz

limsupk ∞

k

ak

limk ∞

k

k 2

k 3

k 2

k

k 3 k 2

limk ∞

1

3k 2

k

k 2 k

e3

1

sledi da polazni red divergira.b) Kako je

limsupk ∞

k

ak limk

∞

k

k 2

k

k 2

k 3

k 3 k 2

limk

∞

1

3k 2

k

k 2 k

1e3 1

polazni red konvergira.


∑k 1

2

1

k

4

k

Kako su clanovi

posmatranog reda pozitivni, treba odrediti

limsupk ∞

k

2 1

k

4

k

odnosno, limsupk ∞

2 1

k

4 U ovom slucaju moramo posmatrati granicnu vred-

nost podniza sa parnim indeksima i podniza sa neparnim indeksima. Za k

2 p

p imamo

lim p ∞

2 1

2 p

4 lim

p ∞

2 14

34




dok za k

2 p

1

p

važi

lim p

∞

2

1

2 p

1

4 lim

p

∞

2 14

14

Dakle, traženi limes superior iznosi 34

što je manje od 1 pa po teoremi 2.8 red

∞

∑k 1

2

1

k

4

k

konvergira.

Kao direktnu posledicu teoreme 2.8 i definicije apsolutne konvergencije redovaimamo Košijev kriterijum za apsolutnu konvergenciju redova dat narednom teore-

mom.

Teorema 2.9 Neka je∞

∑k

1

ak red.

(i) Ako je limsupk

∞

k

ak

L 1

tada red ∞

∑k 1


(ii) Ako je limsupk ∞

k

ak L 1 tada red ∞

∑k

1

ak divergira.

(iii) Ako je limsupk ∞

k

ak L 1 tada kriterijum nije primenljiv.

Teorema 2.10 D’Alamberov kriterijum. Neka je∞

∑k 1

ak red sa pozitivnim ˇ clanovima.

(i) Ako je limk ∞

ak 1

ak

L

1

red ∞

∑k 1

ak konvergira.

(ii) Ako je limk ∞

ak 1

ak

L 1

red ∞

∑k 1

ak divergira.

(iii) Ako je limk

∞

ak 1

ak

L 1

tada kriterijum nije primenljiv.

Dokaz. Ako je realni broj L granicna vrednost niza

ak

1

ak

k

, znamo (AI,

poglavlje 2.2.1) da za svako ε 0 postoji prirodan broj K 0 tako da za svako k

k K 0 važi

ak 1

ak

L ε L ε (2.7)




(i) Neka je ε

0

1 L

Pod ovom pretpostavkom za q

L

ε imamo 0

q

1

Kako po (2.7) znamo da postoji prirodan broj K 0 tako da za svako k k K 0

to važiak 1

ak

q

1

Iz aK 0

1

aK 0

q sledi aK 0 1 qaK 0 Dalje, iz aK 0

2

aK 0 1 q dobijamo aK 0 2 q2aK 0

Lako se da videti da za neko k

K 0 važi:

ak qk K 0 aK 0

gde je aK 0 fiksirano. Sada, kako∞

∑k

1

aK 0 qk konvergira za q 1, po uporednom

kriterijumu iz teoreme 2.6 dobijamo konvergenciju reda

∞

∑k

1ak

(ii) Neka je sad q

L ε

gde ε 0

L 1 U ovom slucaju je q

1 i postojiK 0

tako da za svako k

k K 0 važiak 1

ak

q

1

Sada, aK 0 1

aK 0

q povlaci

ak qk K 0 aK 0

za svako k

K 0

Iz divergencije reda∞

∑k 1

aK 0 qk

po uporednom kriterijumu iz teo-

reme 2.6 imamo divergenciju polaznog reda.(iii) Kao i u slucaju Košijevog kriterijuma datog teoremom 2.8, ovaj deo tvrdenjasledi na osnovu primera 2.5 i 2.6.

Primer 2.18. Ispitacemo konvergenciju redova: a)∞

∑k

1

k k

3k k !; b)

∞

∑k

1

k k

2k k !

a) Iz

limk ∞

an 1

an

limk ∞

k 1

k 1

3k 1

k 1 !

k k

3k k !

limk ∞

k 1

k

3k k

e

3 1

po teoremi 2.10 (i) sledi da polazni red konvergira.b) Sada, iz

limk ∞

an 1

an

limk ∞

k 1

k 1

2k 1

k 1 !

k k

2k k !

limk ∞

k 1

k

2k k

e

2 1




po teoremi 2.10 (ii) sledi divergencija polaznog reda.

Direktno iz definicije apsolutne konvergencije reda i D’Alamberovog kriterijuma datog teoremom 2.10 sledi kriterijum za apsolutnu konvergenciju redova.


∑k 1

ak brojni red sa ˇ clanovima razliˇ citim od nule.

(i) Ako je limk ∞

ak 1

ak

L 1

red ∞

∑k 1


(ii) Ako je limk ∞

ak 1

ak

L 1

red ∞

∑k 1

ak divergira.

(iii) Ako je limk

∞

ak

1

ak

L 1 tada kriterijum nije primenljiv.

Napomena 2.2 Treba primetiti da uslovi limsupk ∞

k

ak 1 i limk

∞

ak

1

ak

1 po

teoremama 2.8 i 2.10 impliciraju divergenciju reda∞

∑k

1

ak ali iz datih uslova sledi

i limn ∞

an 0 ako ta granicna vrednost postoji, te kao posledicu teoreme 2.4 dobi-

jamo i jaca tvrdenja data teoremama 2.9 i 2.11, tj. red∞

∑k 1

ak divergira.

Napomena 2.3 Kako za proizvoljan pozitivan niz an n

važi

liminf n ∞

an

1

an

liminf n ∞

n

an limsupn

∞

n

an limsupn

∞

an

1

an

što ovde ne dokazujemo, možemo zakljuciti da u nekim slucajevima Košijev kri-terijum iz teoreme 2.8 daje odgovor na pitanje konvergencije reda, dok u tim istimslucajevima D’Alamberov kriterijum iz teoreme 2.10 nije primenljiv.

Sledi još jedan praktican kriterijum za konvergenciju redova.


∑k 1

ak red sa nenegetavnim ˇ clanovima i∞

∑k 1

bk red sa pozi-

tivnim ˇ clanovima i neka se niz ak k

ponaša kao niz bk k

tj.

limk

∞

ak

bk

1




(i) Red ∞

∑k 1

ak konvergira ako i samo ako red ∞

∑k 1

bk konvergira.

(ii) Red ∞

∑k 1

ak divergira ako i samo ako red ∞

∑k 1

bk divergira.

Dokaz. Kako je limk

∞ak

bk

1, to po definiciji za ε 0 postoji n0 da za n

n0

važi

ε

an

bn

1

ε

Odatle sledi 1

ε

bn

an 1

ε

bn

za n n0 To tvrdjenja (i) i (ii) slede na osnovu teoreme 2.6.

Napomena 2.4 Kriterijum o ponašanju se primenjuje analogno i u slucaju kada je

limk

∞

ak

bk

r gde je r realni broj veci od nule.


∑k 2

k

ln k 2 3 2 ln k sin2 1

k Kako

je sin 1k

0 za k i kako za n

∞ važi sin

1k

1k

kao i

ln

k 2 3 2 ln k

ln k 2 3

k 2 ln

1

3k 2

3k 2

za opšti clan polaznog reda imamo

k sin2 1k

ln

k 2 3 2 ln k

k 1k 2

3k 2

k

3

te kako red∞

∑k

2

k 12 divergira, po prethodnom kriterijumu divergira i polazni red.

Primer 2.20. Posmatrajmo red∞

∑k

1

cos 1k

3

k 4 k 3 k 2 k 1 Kako je cos

1k

0 za

k i kako za n

∞ važi cos

1k

1 i 3

k 4

k 3

k 2

k 1

k 43

za opšti clan




polaznog reda imamo

cos 1k

3

k 4 k 3 k 2 k 1

1

k 43

pa konvergencija reda∞

∑k

1

1

k 43

po prethodnom kriterijumu implicira konvergenciju

polaznog reda.

Sledi integralni kriterijum za ispitivanje konvergencije redova sa nenegativnimclanovima. Kako se vec moglo uociti postoji analogija izmedju kriterijuma zakonvergenciju nesvojstvenih integrala i brojnih redova (kod integrala promenljiva

ide po podintervalu realnih brojeva dok kod reda ide po podskupu nenegativnihcelih brojeva). Ovom prilikom cemo precizirati ovu vezu.

Teorema 2.13 Ako je funkcija f nenegativna, neprekidna i opadaju´ ca nad inter-

valom 1

∞

tada red ∞

∑k 1

f

k

konvergira ako i samo ako nesvojstveni integral

∞

1 f x dx konvergira.

Dokaz. Za svako k na osnovu (AI, poglavlje 6.8.1), važi

f k 1

k 1

k

f x dx f k (2.8)

gde je k

1

k f

x

dx Rimanov odredeni integral i odgovara površini ispod krive f za

x k k 1 Treba primetiti da vrednosti f k 1 odgovara površina pravouganikastranica dužina f

k 1 i 1 a vrednosti f

k površina pravouganika stranica dužina

f

k i 1 Sumirajuci (2.8) od k

1 do k

n dobijamo

n

∑k 1

f

k 1

n

∑k 1

k

1

k f

x

dx

n

∑k 1

f

k

Odatle sledi, koristeci osobinu Rimanovog integrala, stavljajuci An

n

∑k

1

f k

An 1 f

1

k

1

1 f

x

dx An

Prethodna nejednakost, ilustrovana slikama 2.1a i 2.1b, daje povezanost ogranice-

nosti niza

An n

i funkcije F

z

z

1 f

x

dx, te na osnovu teoreme 1.5 i teoreme




; ; ; ; ; ;

;

; ;

; ;

;

;

; ;

; ;

; ;

1 2 3 4 5 ... n

y=f(x)

n+1

f(1)

f(2)

f(3)

; ; ; ; ; ; ; ;

;

; ;

; ;

;

;

1 2 3 4 5 ... n

y=f(x)

n+1

f(2)

f(3)

f(4)

Slika 2.1a. Suma An Slika 2.1b. Suma An 1 f 1

2.5 sledi traženo tvrdjenje (cetiri implikacije, dve za konvergenciju i dve za diver-genciju).


∑k

2

ln k

k

k konvergira. Kako je funkcija f x

ln x

x

xneprekidna, nenegativna i opadajuca na intervalu 2

∞ ispitivanje konver-

gencije polaznog reda se svodi na ispitivanje konvergencije nesvojstevnog integrala ∞

2

ln x

x

xdx Parcijalnom integracijom za u ln x i dv x

32 dx dobijamo

∞

2ln x

x

x dx

limc

∞

2ln x

x

c

2

2 ∞

21

x

x dx

2ln2 2 ∞

21

x32

dx

Iz konvergencije nesvojstvenog integrala ∞

2

1

x32

dx sledi na osnovu teoreme 2.13

i konvergencija polaznog reda.

Polazni red je specijalni slucaj reda∞

∑k 1

ln k

k α gde je α

1 Konvergencija opšteg

slucaja se dokazuje analogno razmatranom slucaju za α

32

Primer 2.22. Ponovo cemo ispitati konvergenciju redova iz primera 2.12 i 2.13ali, ovaj put, pomocu integralnog kriterijuma. Dakle, interesuje nas konvergencija

reda∞

∑k 1

1k α

za α Jasno, ako je α

0 opšti clan reda ne teži nuli, pa red diver-

gira. Za α 0 funkcija oblika f x

1 xα

x

1 ∞ je nenegativna, neprekidna

i opadajuca, pa po integralnom kriterijumu konvergencija nesvojstvnog integrala




∞

1

1

xα

d x je ekvivalentna konvergenciji reda∞

∑k 1

f

k

∞

∑k 1

1

k α Kako nesvojstveni

integral ∞

1

1 xα

d x konvergira za α

1 i divergira za 0

α 1

te i red∞

∑k 1

1k α

konvergira za α 1 i divergira za 0

α 1

Prema prethodnom primeru znamo da red∞

∑k 1

1k

divergira, a ako samo malo

povecamo stepen u imeniocu opšteg clana, npr.∞

∑k 1

1k 1 ε

gde je ε 0 red ce

konvergirati. Postavlja se pitanje da li sa za "još manje" može povecati imenilac

opšteg clana 1

k

da bi novodobijeni red konvergirao. Potvrdan odgovor nam daje

naredni primer.


∑k 2

1k lnα k

konvergira za α 1 a divergira za

α 1

Ocigledno je da za α 0 red divergira, jer opšti clan ne konvergira ka nuli.

Kako je funkcija f

x

ln x

x lnα xneprekidna, nenegativna i opadajuca na intervalu

2 ∞ ispitivanje konvergencije polaznog reda se svodi na ispitivanje konvergen-

cije nesvojstevnog integrala ∞

2

1 x lnα x

dx Na osnovu jednakosti za α 1

n

2

1

x lnα x dx

ln

α

1 n

α 1

ln

α

1 2 α 1

sledi da je niz

n

2

1 x lnα x

dx

n

ogranicen za α 1 a nije ogranicen za 0

α 1 Kako je za α

1, n

2

1 x ln x

dx ln ln n

ln ln 2 to za ovaj slucaj integral ∞

2

1 x ln x

dx divergira. Prema tome, polazni red konvergira za α 1 a divergira za

α 1

Primetimo da je 1k lnα k

1k 1 ε

za α

1 i ε

0

2.4 Uslovno konvergentni redovi

Kao što je ranije receno, iz apsolutne konvergencije uvek sledi obicna kon-vergencija. Obrnuto, u opštem slucaju, ne važi. Još jednom, za red koji konver-gira obicno ali ne i apsolutno kažemo da uslovno konvergira. Naredna dva kriteri-

juma se koriste upravo za ispitivanje uslovne konvergencije redova oblika∞

∑k 1

ak bk



2.4. Uslovno konvergentni redovi 57

i bazirani su na Košijevom kriterijumu, te iz tog razloga i vezani za transformaciju

sume n

p∑

k n

1

ak bk zvanu Abelova parcijalna sumacija. Neka je An n

niz parci-

jalnih suma reda∞

∑k 1

ak Tada važi (u trecem redu koristimo "pomeranje indeksa"

s

k 1, pa se potom sa oznake s za indeks vracamo na staru oznaku k )

n p

∑k n 1

ak bk

n p

∑k n 1

bk

Ak Ak

1

n p

∑k

n

1

bk Ak

n p

∑k

n

1

bk Ak 1

n p

∑k n 1

bk Ak

n p 1

∑k n

bk

1 Ak

n

p

∑k n

1

bk Ak

n

p

∑k n

1

bk 1 Ak bn p 1 An p bn 1 An

n p

∑k n 1

Ak

bk bk

1

bn

p

1 An

p bn

1 An

Odatle dobijamo

n p

∑k n 1

ak bk

n p

∑k n 1

Ak

bk bk

1

bn

p

1 An

p bn

1 An

(2.9)

Teorema 2.14 Abelov2 kriterijum. Neka je niz

bk k

monoton i ograniˇ cen i neka

red ∞

∑k

1

ak konvergira. Tada, red ∞

∑k

1

ak bk konvergira.

Dokaz. Kako po polaznim pretpostavkama teoreme i red

∞

∑k 1

ak i niz bk k kon-

vergiraju, postoje realni brojevi A i b takvi da je

limk ∞

bk

b i limn

∞ An

A

(2.10)

2N. H. Abel (1802-1829)




gde je

An n


∑k 1

ak Konvergencija niza parcijalnih

suma daje i njegovu ogranicenost (AI, teorema 2.2), tj. postoji M 0 tako da

za svako n važi

An

M Iz (2.10) sledi i lim

n

∞

bn

p

1 An

p bn

1 An 0

(razlika dva niza koji konvergiraju ka istoj granici), odnosno, za svako ε 0 postoji

n1 tako da za svako n n1 n

i proizvoljno p

važi

bn p 1 An p

bn 1 An

ε

2

(2.11)

Abelova parcijalna sumacija (2.9), monotonost niza bk k

i ogranicenost niza

parcijalnih suma redan

∑k

1

ak daju nam sledece:

n p

∑k n 1

ak bk

n p

∑k n 1

Ak

bk bk 1

bn p 1 An p bn 1 An

n p

∑k n 1

Ak

bk bk

1

bn

p

1 An

p bn

1 An

M n p

∑k n 1

bk bk 1

bn p 1 An p bn 1 An

M bn 1 bn p 1

bn p 1 An p

bn 1 An

(2.12)

Kako je niz

bk k

konvergentan, to je limn

∞

bn

1 bn

p

1 0 tj. za ε 0

postoji n2 tako da za svako n

n2

n i proizvoljno p

važi

bn

1 bn

p

1

bn

1 bn

p

1

ε

2 M (2.13)

Drugim recima, iz (2.12),(2.11) i (2.13) sledi da za svako ε 0 postoji n0

n0 max n1

n2 tako da za svako n

n0

n i svako p

važi

n p

∑k

n

1ak bk

M bn

1 bn

p

1 bn

p

1 An

p bn

1 An M ε2 M ε2

ε

te po Košijevom kriterijumu iz teoreme 2.2 sledi konvergencija reda∞

∑k 1

ak bk




Teorema 2.15 Dirihleov stav. Neka je

bk k

opadaju´ ci niz takav da je limk ∞

bk

0 i neka je niz parcijalnih suma An

n

∑k

1

ak reda∞

∑k

1

ak ograniˇ cen. Tada, red

∞

∑k 1

ak bk konvergira.

Dokaz. Kako je niz parcijalnih suma An n

reda∞

∑k

1

ak ogranicen, postoji pozi-

tivan realan broj M takav da je za svako n važi

An

M Konvergencija niza

bk k

ka nuli i ogranicenost niza

An n

za proizvoljno p daju granicnu

vrednost limn

∞ bn p 1 An p

bn 1 An 0 jer limn

∞ bn 1 An 0 Sada, za svako

ε

0 postoji n1

tako da za svako n

n1

n

i proizvoljno p

važi bn p 1 An p

bn 1 An

ε

2 (2.14)

Abelova parcijalna sumacija (2.9), monotonost niza bk k

i ogranicenost niza An n

impliciraju sledece

n p

∑k n 1

ak bk

n p

∑k n 1

Ak

bk bk

1

bn

p

1 An

p bn

1 An

n p

∑k n 1

Ak

bk bk

1

bn

p

1 An

p bn

1 An

M n p

∑k n 1

bk bk

1 bn

p

1 An

p bn

1 An

M

bn 1 bn p 1

bn p 1 An p bn 1 An

(2.15)

Iz konvergencije niza bk k

sledi limn ∞

M bn 1 bn p 1 0 tj. za ε 0 postoji


n2

n i proizvoljno p

važi

M bn 1 bn p 1

ε

2 (2.16)

Drugim recima, iz (2.15), (2.14) i (2.16) sledi da za svako ε

0 postoji n0

n0 max n1


n0

n i svako p

važi

n p

∑k n 1

ak bk

ε te po Košijevom kriterijumu iz teoreme 2.2 sledi konvergencija reda

∞

∑k 1

ak bk




Primer 2.24. Pokazacemo konvergenciju reda

∞

∑k 2

1

k

k 1

2

ln k

U ovom primeru niz

parcijalnih suma reda∞

∑k 2

1

k

k 1

2 je ogranicen dok niz

1ln k

k

monotono

opada ka nuli, te po Dirihleovom stavu imamo konvergenciju polaznog reda.

Kod redova sa clanovima proizvoljnog znaka posmatracemo posebno alterna-

tivne redove. To su redovi oblika

∞

∑k 1

1

k 1bk

gde je bk

0

za svako k

Pri ispitivanju konvergencije alternativnih redovakoristi se Lajbnicov3 kriterijum koji se dobija kao posledica Dirihleovog stava.

Teorema 2.16 Lajbnicov kriterijum. Ako niz

bk k

gde je bk 0

za sve k

monotono opada i teži nuli, tj. limk ∞

bk 0

tada alternativni red ∞

∑k 1

1

k 1bk

konvergira.

Dokaz. U ovom slucaju niz parcijalnih suma reda∞

∑k

1

1

k

1 je ogranicen, pre-

ciznije, za svako n važi An

n

∑k 1

1

k 1 1 Sada, po Dirihleovom stavu iz

teoreme 2.15 imamo konvergenciju reda∞

∑k 1

1

k 1bk


∑k 1

1

k

k Niz sa opštim clanom

1k

k

monotono teži ka nuli, te po Lajbnicovom kriterijumu dati red konvergira.


∑k

2006

1

k

k 1k

k

1 2005k

k k konvergira. Ka-

ko je niz

2005k

k k

k

za k 2006 monotono opadajuci i teži ka nuli (AI,

primer 2.11 a)), po Lajbnicovom kriterijumu imamo konvergenciju alternativnog

reda∞

∑k 2006

1

k 2005k

k k

Niz

k 1k

k 1

k

monotono opada ka e (AI, po-

glavlje 2.4), te po Abelovom kriterijumu imamo konvergenciju polaznog reda.




k=1ak

DIVERGIRA

NE limk

ak = 0k=1ak

KONVERGIRA

DAak

k=1

APSOLUTNO

akk=1 konvergira po kriterijumima

iz poglavlja 2.4

DA

DIVERGIRA

akk=1 ili pri primeni teorema

2.9 i 2.11 dobijamo

L >1

DA

NE

NE

KRAJ

DA

KONVERGIRA

ak= (-1)k bk

bk 0USLOVNOak

k=1

DA

KONVERGIRAUSLOVNO

Abelov ili Dirihleovkriterijum je primenljiv

akk=1

NE

NE

Bez odgovora

Ispitivanje konvergencije

brojnog reda

su stalnog znakaaksvi

Slika 2.2. Ispitivanje konvergencije brojnog reda∞

∑k 0

ak




Napomena 2.5 Slika 2.2 ilustruje postupak ispitivanja konvergencije proizvoljnog

brojnog reda∞

∑k 0

ak dat kroz prethodna poglavlja. Drugi korak, gde se postavlja

pitanje da li∞

∑k 0

ak konvergira, se odnosi na mogucu primenu uporednog kriteri-

juma (teoreme 2.6 i 2.7), kriterijuma o ponašanju (teorema 2.12), integralnog kri-terijuma (teorema 2.13), Košijevog kriterijuma (teorema 2.9) ili D’Alamberovogkriterijuma (teorema 2.11). U ovu grupu spada i kriterijum dat teoremom 2.5, pokojem ogranicenost niza parcijalnih suma garantuje konvergenciju polaznog brojnog reda sa nenegativnim clanovima.

2.5 Košijev proizvod konvergentnih redova

Postavlja se pitanje pod kojim uslovima je proizvod dva konvergentna redakonvergentan red i koju formu ima taj rezultujuci red.

Neka su sada∞

∑k 0

ak i∞

∑k 0

bk dva konvergentna reda i neka je∞

∑k 0

ck red opšteg

clana

ck

k

∑m 0

ambk m (2.17)

Red∞

∑k

0

ck se naziva Košijev proizvod redova∞

∑k

0

ak i∞

∑k

0

bk .

Ako je i∞

∑k 0

ck konvergentan red, važi sledeca jednakost

∞

∑k 0

ck

∞

∑k 0

ak

∞

∑k 0

bk (2.18)

Da jednakost (2.18) ne važi uvek za konvergentne redove∞

∑k 0

ak i∞

∑k 0

bk ilus-

truje naredni primer.

Primer 2.27. Odredicemo Košijev proizvod

∞∑k 0

1 k

k 1

2

Lajbnicov kriteri-

jum nam daje konvergenciju reda∞

∑k 0

1

k

k 1 kojeg množimo sa samim sobom.

3G. W. Leibniz (1646-1716)



2.5. Košijev proizvod konvergentnih redova 63

Opšti clan rezultujuceg reda po (2.17) ima sledeci oblik

ck

k

∑m 0

1

m

m 1

1

k m

k m

1 1

k k

∑m 0

1

m 1

k m

1

Kako je

ck

1

1

k

1

1

2

k

1

k

1

1

k 1

k 1

k 1

1

imamo limk ∞

ck 0

pa iz teoreme 2.4 sledi divergencija proizvoda∞

∑k 0

ck i jednakost

2.18 ne važi.

Naredna teorema nam obezbeduje da proizvod dva konvergentna reda budekonvergentan red.


∑k 0

ak i∞

∑k 0

bk dva konvergentna reda i neka je bar jedan

od njih i apsolutno konvergenta. Tada red ˇ ciji je opšti ˇ clan dat sa (2.17) konvergira

i važi jednakost (2.18).

Dokaz. Neka red∞

∑k 0

ak apsolutno konvergira i red∞

∑k 0

bk konvergira. Neka su

An n

Bn n

i C n n

nizovi parcijalnih suma redova∞

∑k

0

ak

∞

∑k

0

bk i∞

∑k

0

ck

respektivno. Iz polazne pretpostavke znamo da postoje realni brojevi A i B tako da je lim

n ∞ An A i lim

n ∞ Bn B Ako uvedemo oznaku βn Bn B za niz parcijalnih

suma reda∞

∑k 0

ck važi

C n

n

∑k 0

ck

n

∑k 0

k

∑m 0

ambk

m

a0b0

a0b1

a1b0

a0b2

a1b1

a2b0

a0bn

a1bn 1

a2bn 2

anb0

a0 Bn a1 Bn

1 a2 Bn

2 an B0

a0

a1

an

B

a0βn

a1βn 1

anβ0

An B γ n




gde je γ n

a0βn

a1βn 1

anβ0

Kako važi limn

∞ An

A

treba još pokazati

limn ∞γ n 0 iz cega sledi traženo, tj.

limn ∞

C n limn ∞

An B γ n AB

Na osnovu polazne pretpostavke o apsolutnoj konvergenciji reda∞

∑k 0

ak imamo

∞

∑k 0

ak A

dok iz pretpostavke o konvergenciji reda∞

∑k 0

bk sledi da za svako

ε

0 postoji n1

tako da za svako n

n1

n

važi

βn Bn B

ε

2 A

Iz prethodnog sledi γ n a0βn a1βn

1 anβ0

anβ0

an 1β1

an n1 βn1 an n1 1βn1 1

a0βn

anβ0

an 1β1

an n1 βn1

ε

2 A

A

Na osnovu teoreme 2.4 sledi limn

∞an 0 te je i lim

n

∞

anβ0

an

n1 βn1 0

(imamo konacan zbir nizova od kojih svaki konvergira nuli), tj. za svako ε 0


n2

n važi

anβ0 an 1β1 an n1βn1 ε2

Na osnovu prethodnih nejednakosti imamo da za svako ε 0 postoji prirodan broj

n0 max n1


n0

n važi

γ n

ε tj. lim

n

∞γ n 0

Primer 2.28. Odredicemo Košijev proizvod redova∞

∑k 0

xk

k ! i

∞

∑k 0

yk

k !

x

y

Kako oba reda apsolutno konvergiraju, to je moguce primeniti prethodnu teoremu:

∞

∑k 0

xk

k !

∞

∑k 0

yk

k !

∞

∑k 0

k

∑m 0

xm yk m

m!

k m

!

∞

∑k 0

1k !

k

∑m 0

k

m

xm yk m

∞

∑k 0

x y

k

k !



2.6. Asocijativni i komutativni zakon za redove 65

Primer 2.29. Pokazacemo da je∞

∑k

0

1

k !

∞

∑k

0

1

k

k ! 1 Iz prethodnog primera 2.28

za x 1 i y 1 dobijamo

∞

∑k

0

1k

k !

∞

∑k

0

1

k

k !

∞

∑k

0

1 1

k

k !

∞

∑k

0

ck

pa kako za svako k 0 važi ck 0 i kako je c0 1 dobili smo traženo.

2.6 Asocijativni i komutativni zakon za redove

Kao što je dobro poznato, za konacan zbir realnih brojeva važe asocijativni ikomutativni zakon, te brojeve možemo proizvoljno grupisati i zbir ne zavisi od re-dosleda sabiranja. U opšem slucaju, za redove ne važe ovi zakoni. Tek uz dodatnepretpostavke navedeni zakoni se mogu preneti i na redove.

Teorema 2.18 Asocijativni zakon važi za konvergentne redove bez ograniˇ cenja.

Dokaz. Neka je∞

∑k 1

ak konvergenta red i neka je∞

∑k 1

bk red za koji važi

b1

a1

a2

an1

b2

an1 1

an1 2

an2

b3 an2

1 an2

2 an3

gde su n1

n2 Kako parcijalne sume reda∞

∑k 1

bk cine podniz konvergentnog

niza parcijalnih suma reda∞

∑k 1

ak i kako podniz konvergentnog niza konvergira ka

istoj granici, red∞

∑k 1

bk je konvergentan i važi∞

∑k 1

ak

∞

∑k 1

bk

Pokazali smo da iz konvergencije polaznog reda∞

∑k 1

ak sledi i konvergencija

reda∞

∑k 1

bk Da obrnuto u opštem slucaju ne važi ilustruje naredni primer.




Primer 2.30. Neka je∞

∑k 1

ak

∞

∑k 1

1

k Dati red divergira, ali red

∞

∑k 1

bk dobijen

pregrupisavanjem elemenata polaznog reda na sledeci nacin

b1 a1 a2 1

1 1

2 0 b2 a3 a4 1

3 1

4 0

b3

a5

a6 1

5

1

6

0

konvergira ka nuli.

Komutativni zakon u opšem slucaju ne mora važiti cak ni za konvergentneredove.

Primer 2.31. Posmatrajmo red ∞∑k 1

1 k

1

k

Dati red po Lajbnicovom kriterijumu

konvergira, ali ne konvergira apsolutno. Kako asocijativni zakon važi za konver-gentne redove, imamo

A

∞

∑k 1

1

k 1

k

1

12

13

14

15

16

12

(2.19)

Ako pretpostavimo da komutativni zakon važi, dobijamo sledece

3

2

∞

∑k 1

1

k

1

k

∞

∑k 1

1

k

1

k

1

2

∞

∑k 1

1

k

1

k

∞

∑k 1

1

k 1

k

∞

∑k 1

1

k 1

2k

∞

∑k

1

12k

1

∞

∑k

1

14k

∞

∑k

1

14k

2

∞

∑k

1

14k

∞

∑k

1

14k

2

∞

∑k 1

12k

1

∞

∑k 1

24k

∞

∑k

1

1

k 1

k

Iz prethodnog sledi 32

A

A tj. suma polaznog reda mora biti jednaka nuli što je

u kontradikciji sa (2.19), te zakljucujemo da komutativni zakon ne važi.



2.6. Asocijativni i komutativni zakon za redove 67

Teorema 2.19 Za apsolutno konvergentne redove važi komutativni zakon.

Dokaz. Dacemo prvo dokaz za redove sa nenegativnim clanovima. Neka je∞

∑k 1

ak

konvergentan red sa nenegativnimclanovima i neka je∞

∑k

1

bk red dobijen promenom

redosleda sabiranja clanova reda∞

∑k

1

ak Neka je

An n

niz parcijalnih suma reda

∞

∑k 1

ak i limn

∞ An

A Kako je u pitanju red sa nenegativnim clanovima, važi An

A

n Ako je

Bn n


∑k 1

bk iz konstrukcije reda sledi

da za svako n postoji m tako da važi

Bn Am

A (2.20)

Kako je i∞

∑k

1

bk red sa nenegativnim clanovima iz (2.20) po teoremi 2.5 sledi nje-

gova konvergencija ilim

n ∞ Bn B A

Sa druge strane, ako red∞

∑k 1

ak posmatramo kao preuredeni red u odnosu na∞

∑k 1

bk

po istom postupku dobijamo limn

∞

An

A B

odnosno

∞

∑k 1

ak

∞

∑k 1

bk

Pretpostavimo sad da je∞

∑k 1

ak apsolutno konvergentan red sa clanovima proi-

zvoljnog znaka. Iz konvergencije reda∞

∑k 1

ak na osnovu prethodno izloženog,

sledi konvergencija reda∞

∑k 1

bk

pa i obicna konvergencija reda∞

∑k 1

bk

Treba još

pokazati da važi

∞

∑k 1

ak

∞

∑k 1

bk Neka Bm

n sadrži sve sabirke iz An. Tada, za svako

ε

0 i za svako dovoljno veliko n

važi

An

Bm n

an

1 an

2

ε

tj. limn

∞ An lim

n

∞ Bm n

što je i trebalo dokazati.




2.7 Zadaci

1. Odrediti sume redova∞

∑k

1

1

4k 3

4k

1

i∞

∑k

1

1

3k 2

3k

1

2. Dokazati da sledeci redovi divergiraju

a)∞

∑k 1

3k 2

2k

11 4k 3 4k 1

; b)∞

∑k 1

k 2

4k

6k 2 4k 1

2k 2 8k

; c)∞

∑k 1

sin k π

3

3. Ispitati konvergenciju sledecih redova:

a) 12

34

45

; b) 23

49

627

;

c) 1

1 21 3

1 2 31 3 5

; d) 1

22!

43!

84!


a)∞

∑k

1

3

k 1

k 2 1 ; b)

∞

∑k

1

k 2 1

3

k 1

; c)∞

∑k

2

3k 5

sin 5k 4

5. U zavisnosti od realnog parametra p ispitati konvergenciju redova:

a)∞

∑k

1

k p

k 1 2

k

k 1

; b)∞

∑k

1

k !

p

3k !


a)∞

∑k 1

2

1

k

3k 2 1 ; b)

∞

∑k 1

k 2

1k 2 3

k k 2 3

; c)∞

∑k 2

3k 1

3

k

7k 1

k

7. Ispitati apsolutnu i obicnu konvergenciju sledecih redova:

a) 1100

1400

1900

11600

; b) 1

1

2

1

3

1

4

8. Ispitati konvergenciju redova:

a)∞

∑k 1

ln5 k

k sin

k π

4 ; b)

∞

∑k 1

1

k

k 1

k ;

c)∞∑k

1

1

k cos πk

1

ln2 k ; d)

∞∑k

1

1

k

1

k 3 1

1

k 3 k

9. Odrediti sledece Košijeve proizvode

a)∞

∑k 0

1

k 1

k 1

∞

∑k 0

13k 1 ; b)

∞

∑k 0

2k 1

k 1 !

∞

∑k 0

12k 1

k 1 !



Glava 3

Nizovi i redovi funkcija

3.1 Konvergencija funkcionalnih nizova i redova

Dok smo se u prethodnom poglavlju bavili problemom konvergencije redovarealnih brojeva, u ovom poglavlju razmatramo konvergenciju nizova i redova funk-cija. Pitanje konvergencije nizova realnih brojeva je obradeno u AI, poglavlje 2.

Neka su sa f n

n oznacene realne funkcije definisane na intervalu

a

b

dok je vrednost posmatranih funkcija u tacki x

a

b

oznacena sa f n

x

Nizciji su clanovi upravo funkcije f n : a b

n

tj. niz oblika f n n

nazivase funkcionalni niz na intervalu a b Tako, na primer, niz funkcija f n x xn

ima redom clanove x

x2

x3 a niz funkcija gn

x sin nx ima redom clanove

sin x sin2 x

sin3 x

Red ciji su clanovi funkcije f k : a b k tj. red oblika∞

∑k 1

f k naziva se

funkcionalni red na intervalu a b Tako su, na primer, funkcionalni redovi∞

∑k

1

xk

i∞

∑k 1

sin kx definisani na

Naredna definicija nam uvodi konvergenciju funkcionalnih nizova preko kon-vergencije niza brojeva.

Definicija 3.1 Niz funkcija f n n

definisanih na intervalu a b konvergira naintervalu

a

b

ka graniˇ cnoj funkciji f ako za svako x0

a

b

brojni niz

f n

x0 n

konvergira ka f x0 tj. ako za svako x0 a b i svako ε 0 postoji n0 x0 ε

tako da za svako n n0 n važi

f n x0

f x0

ε

69



70 Glava 3. Nizovi i redovi funkcija

Za funkcionalni niz koji konvergira po definiciji 3.1 kažemo da ta ˇ ckasto kon-

vergira. Kao što vidimo, ovde smo konvergenciju niza funkcija f n x n sveli na

konvergenciju niza brojeva f n x0 n

za svako x0 a b Treba obratiti pažnjuda u definiciji 3.1 n0 ne zavisi samo od ε

0 vec i od x0 Tackasta konvergencijaniza

f n n

ka granicnoj funkciji f tj. lim

n

∞ f n

f se logickim simbolima može

zapisati na sledeci nacin

x

a

b

ε 0

n0 n

n

n0 f n

x

f

x

ε

Primer 3.1. Funkcionalni niz

f n

n

gde je f n

x

xn konvergira na intervalu 0 1 i to

limn

∞ f n

x lim

n

∞ xn

0

x 0 1

1

x 1

(AI, primer 2.5 d)), tj. granicna funkcija je f

x

0

x 0 1

1

x 1

Predstavnici

posmatranog funkcionalnog niza su dati slikom 3.1a, a granicna funkcija slikom3.1b.

1

1

1

1

f =x1

f =x22

f =x33

f =x3030 f

f =x1010

Slika 3.1a. Funkcionalni niz

xn

n

Slika 3.1b. Granica niza

xn

n

Primer 3.2. Kako je za neko fiksirano x iz intervala

0

1

limn

∞n2 x

1 x

n

x limn

∞n2

1 x

n 0



3.1. Konvergencija funkcionalnih nizova i redova 71

(AI, primer 2.9 a)), funkcionalni niz

f n n

gde je f n

x

n2 x

1 x

n

konver-

gira na intervalu

0

1

i to ka granicnoj funkciji f x

0 za x

0

1

Na slici 3.2asu dati neki clanovi posmatranog funkcionalnog niza, a na slici 3.2b je granicnafunkcija.

1

f 20

f 10

f 6f 2

1

f

Slika 3.2a. Funkcionalni niz iz primera 3.2. Slika 3.2b. Granicna funkcija.

Primer 3.3. Neka je f n

x

n

x 1

1n

x 1

x 1

∞ opšti clan

funkcionalnog niza

f n

n

Kako za x

1

∞

važi

limn

∞n

x 1

1n

x 1

limn

∞

1

x 1

1n

x 1

1

2

x 1

to polazni funkcionalni niz konvergira na intervalu 1 ∞ ka granicnoj funkciji

f

x

1

2

x 1

Treba naglasiti da se za slucaj tackaste konvergencije funkcionalnog niza moguposmatrati i slucajevi kada clanovi niza ne moraju biti definisani u svakoj tacki

posmatranog intervala, što ilustruje naredni primer.

Primer 3.4. Kako za svako x razlicito od

n 23

n važi

limn

∞

nx

n 2 3 x

x




to funkcionalni niz

f n n

gde je f n

x

nx

n

2

3 x

konvergira na ka grani-

cnoj funkciji f

x

x

x

iako clanovi niza f n

x

imaju prekide za x

n 23

Naime, za proizvoljno x0 i svako ε 0 postoji n0

x0

ε (n0 zavisi ne samo

od ε vec i od x0!), tako da za svako n

n0

n

važi

nx0

n

2

3 x0 x0

ε

Funkcionalni niz i granicna funkcija iz ovog primera su dati slikom 3.3.U slucaju da posmatramo niz

gn n

gde su funkcije gn restrikcije funkcija f n na interval 1

∞

clanovi niza su neprekidne funkcije.

-5 5

f 5 f f 2 f 1

f 1

f 2

f 50

f 25

f 5

Slika 3.3. Clanovi funkcionalnog niza i granicna funkcija iz primera 3.4.

Sledeca teorema daje Košijev potreban i dovoljan uslov za konvergenciju funk-cionalnih nizova (na osnovu ekvivalentnosti konvergencije i osobine biti Košijevniz za obicne brojne nizove).

Teorema 3.1 Funkcionalni niz

f n n

konvergira na intervalu

a

b

ako i samo

ako za svako x0

a

b

i svako ε 0 postoji prirodan broj n0

n0

x0

ε

tako da

za svako n

, n

n0 , i svako p

važi

f n

p

x0 f n

x0

ε (3.1)

Dokaz. Za proizvoljno ali fiksirano x0

a

b funkcionalni niz

f n n

postajebrojni niz

an n

gde je an

f n

x0

za n

te ovo tvrdjenje sledi iz definicije3.1 i teoreme o konvergenciji Košijevih brojnih nizova (AI, teorema 2.9).



3.1. Konvergencija funkcionalnih nizova i redova 73

Košijev uslov za niz

f n n

možemo zapisati pomocu logickih simbola na

sledeci nacin

x

a

b

ε 0

n0 p

n

n

n0 f n

p

x

f n

x

ε

Neka je∞

∑k 1

f k funkcionalni red definisan na intervalu

a

b Niz njegovih par-

cijalnih suma je funkcionalni niz F n n

gde je

F n

x

n

∑k

1

f k

x

x

a

b

Kao i kod brojnih redova, konvergencija funkcionalnih redova se povezuje sa kon-vergencijom niza parcijalnih suma.

Definicija 3.2 Funkcionalni red ∞

∑k 1

f k konvergira na intervalu

a

b

ka funkciji F

ako funkcionalni niz njegovih parcijalnih suma F n n


a b ka funkciji F

Kao i definicija 3.1, definicija 3.2 nam daje ta ˇ ckastu konvergenciju, vezanu za

konvergenciju brojnih redova, tj. funkcionalni red∞

∑k

1


a

b ako za svako fiksirano x0

a

b brojni red

∞

∑k 1

f k

x0 konvergira.

Primer 3.5. Ispitacemo konvergenciju funkcionalnog reda∞

∑k 1

f k gde je f k

x

x2

1

k

k ! na skupu realnih brojeva. Za proizvoljno fiksirano x0 iz posmatrani

funkcionalu red postaje brojni red opšteg clana x2

0 1

k

k ! te po D’Alamberovom

kriterijumu, datim teoremom 2.10, iz

limk ∞

f k

1

x0

f k

x0

limk ∞

x20 1

k 1k !

x20

1

k

k

1

! lim

k ∞

x20 1

k 1

0

sledi konvergancija brojnog reda za svako x0 te i tackasta konvergencija po-laznog funkcionalnog reda. Kasnije ce biti dokazano (primer 3.42) da je sumadatog polaznog reda upravo funkcija F x e x

2

1 1




Primer 3.6. Ispitacemo konvergenciju funkcionalnog reda∞

∑k 1

f k na skupu realnih

brojeva za f k

x

1

2005

x2005

k

Za svako fiksirano x0 iz

dobijamo geo-

metrijski brojni red∞

∑k

1

qk gde je q

1

2005 x20050

Kako je 0 q 1 iz primera

2.4 znamo da posmatani brojni red za svako fiksirano x0 konvergira, te i polazni

funkcionalni red konvergira. Dodatno, na osnovu primera 2.4 možemo odrediti isumu polaznog funkcionalnog reda:

∞

∑k 1

1

2005

x2005

0

k

∞

∑k 0

1

2005

x2005

0

k 1

1

1

1

2005 x20050

1

tj. suma polaznog funkcionalnog reda je funkcija F x

12004

x2005

Sledi Košijeva teorema za konvergenciju funkcionalnih redova.

Teorema 3.2 Funkcionalni red ∞

∑k 1


a

b

ako i samo ako

za svako x0

a

b

i svako ε

0 postoji prirodan broj n0

x

ε

tako da za svako

n , n n0 i svako p važi

n p

∑k n 1

f k

x0

ε

(3.2)

Dokaz. Tvrdenje teoreme sledi iz teoreme 3.1 primenjujuci je na niz parcijalnihsuma

F n n

3.2 Uniformna konvergencija funkcionalnih nizova i re-

dova

3.2.1 Definicija uniformne konvergencije

Za razliku od prethodno definisane tackaste konvergencije funkcionalnih ni-zova i redova gde je posmatrana konvergencija u svakoj pojedinacnoj tacki dom-ena, uniformna konvergencija se ispituje na celom skupu.



3.2. Uniformna konvergencija funkcionalnih nizova i redova 75

Definicija 3.3 Niz funkcija

f n n

uniformno konvergira na intervalu

a

b

ka

graniˇ cnoj funkciji f ako za svako ε

0 postoji n0 ε tako da za svako x a b

i svaki prirodan broj n n0 važi

f n x f x ε

Pomocu logickih simbola uniformnu konvergenciju niza f n n

ka funkciji f

možemo zapisati na sledeci nacin

ε

0 n0

n

x

a

b

n

n0 f n

x

f

x

ε

Obratiti pažnju na položaj clana "

x

a

b

"!

a b

f(x)

f(x)+ 3

f(x)- 3

f (x)n

Slika 3.4. Uniformna konvergencija funkcionalnog niza.

Geometrijski prethodnu definiciju 3.3 možemo tumaciti i na sledeci nacin. Akoniz

f n n

uniformno konvergira ka funkciji f tada za proizvoljno ε

0 postojin0

tako da za svako n

n0 važi f

x

ε

f n

x

f

x

ε ( x

a

b

), tj. sve

funkcije f n za n

n0 se nalaze unutar trake izmedu funkcija f

x

ε i f

x

ε(slika 3.4).

Iz uniformne konvergencije funkcionalnog niza na intervalu

a

b

sledi i nje-gova tackasta konvergencija na intervalu a b Obrnuto, u opštem slucaju, ne važi.

Primer 3.7. Kao što je pokazano u primeru 3.1, funkcionalni niz xn n

tackasto





0

1

ka funkciji

f x

0

x

0

1

1 x 1

Za svako x 0 1 svako pozitivno c takvo da je c x i svako ε 0 biramon0 logc ε 1 tako da za svako n n n0 važi

f n

x

f

x

xn

cn

cn0

clogcε

ε

pa po definiciji 3.3 imamo uniformnu konvergenciju polaznog funkcionalnog niza

na 0 c za svako 0 c 1 Sa druge strane, postoji ε0 0 na primer ε

12005

tako da možemo uociti niz sa opštim clanom xn

n

ε0 za koji važi limn

∞ xn 1 i

f n xn f xn ε0

Uzimajuci ε0

ε 0 zakljucujemo da

f n

xn f

xn ne možemo uciniti manjimod ε, pa sledi da polazni niz ne konvergira uniformno na intervalu 0 1 Dakle, datiniz funkcija uniformno konvergira samo na intervalu

0

1

Uniformna konvergencija funkcionalnih redova je data narednom definicijom.

Definicija 3.4 Funkcionalni red ∞

∑k 1

f k uniformno konvergira na intervalu a b ka

funkciji F ako funkcionalni niz njegovih parcijalnih suma uniformno konvergira na

intervalu a b ka funkciji F

Prednost uniformne konvergencije niza funkcija u odnosu na tackastu konver-genciju se ogleda upravo u prenosu neprekidnosti, integrabilnosti i diferencijabil-nosti (uz dodatne uslove) na granicnu funkciju, što ce biti pokazano u poglavlju3.4.

3.2.2 Kriterijumi za uniformnu konvergenciju funkcionalnih nizova i

redova


f n n


a

b

ka

funkciji f ako i samo ako važi

limn

∞

sup x a b

f n

x

f

x

0 (3.3)




Dokaz. Pretpostavimo da funkcionalni niz

f n n

uniformno konvergira na inter-

valu a b

ka funkciji f

Tada, po definiciji 3.3, za svako ε

0 postoji n0

takoda za svako n n0 n i svako x a b važi

f n x f x ε (3.4)

Kako (3.4) važi za svako x a b i kako je supremum najmanje gornje ogranicenjeimamo i

sup x a b

f n

x

f

x

ε

Na osnovu definicije granicne vrednosti niza brojeva (AI, definicija 2.3) za an

sup x a b

f n

x

f

x sledi lim

n

∞an

0

tj. uslov (3.3) je ispunjen.

Pretpostavimo sada da je uslov (3.3) je ispunjen. Iz definicije granicne vred-nosti niza an sup x a b

f n

x

f

x (AI, definicija 2.3) sledi da za svako ε

0


n0

n važi

sup x a b

f n

x

f

x

ε (3.5)

a kako je za svako x

a

b

f n

x

f

x sup

x a b

f n

x

f

x

iz (3.5) sledi traženo.

Primer 3.8. Dokazacemo da niz funkcija

f n n

opšteg clana

f n x n

x 1

1n

x 1

(primer 3.3) ne konvergira uniformno na intervalu 1 ∞ Kako je

f n

x

f

x

n

x 1

1n

x 1

1

2

x 1

1

x 1

1n

x 1

1

2

x 1

x 1

1n

x 1

2

x 1

x 1

1n

x 1




1

2n

x 1

x 1

1n

x 1

2

uzimajuci niz brojeva xn 1

1n

za koji važi limn ∞

xn 1 imamo supn

f n xn

f

xn

∞ tj. lim

n

∞sup

x 1 ∞

f n

x

f

x 0 pa iz teoreme 3.3 sledi da polazni niz

ne konvergira uniformno. Lako je videti da niz f n n

konvergira samo tackasto.

Primer 3.9. Pokazacemo da funkcionalni niz

nx

n 2 3 x

n

iz primera 3.4

uniformno konvergira ka funkciji f

x

x na intervalu

a

b

za a 0

Kakoza x a b važi

f n

x

f

x

nx

n 2 3 x

x

2b 3b2

n 2 3a

to za supremum imamo

0 sup x a b

nx

n 2 3 x x

2b 3b2

n 2 3a (3.6)

Iz (3.6) sledi limn

∞sup

x a b

f n

x

f

x 0 te iz teoreme 3.3 sledi uniformna kon-

vergencija polaznog niza funkcija.

Analogna teorema teoremi 3.3 važi i za funkcionalne redove.


∑k 1

f k uniformno konvergira na intervalu

a

b

ako

i samo ako je

limn

∞

sup x a b

∞

∑k

n

1

f k x

0

Dokaz. Neka dati funkcionalnu red uniformno konvergira ka funkciji F

tj.∞

∑k 1

f k

F Iz definicije uniformne konvergencije reda funkcija (definicija 3.4) znamo da

niz parcijalnih suma polaznog reda, u oznaci F n n

uniformno konvergira ka F

Kako važi

∞

∑k n 1

f k

x

∞

∑k 1

f k

x

n

∑k 1

f k

x

F

x

F n

x

traženo tvrdenje sledi direktno iz teoreme 3.3.




Primer 3.10. Ispitacemo uniformnu konvergenciju funkcionalnog reda∞

∑k 1

f k op-

šteg clana kx

1

x 1 2 x

1

kx

na intervalu 0 c c 0 Kako za opšti clan

funkcionalnog reda važi

f k x

1 1

x 1 2 x

1

k 1

x

1 1

x 1 2 x

1

kx

to je opšti clan niza parcijalnih suma

F n

x

n

∑k 1

f k

x 1

1 1 x 1 2 x 1 nx

Odatle sledi

F

x lim

n

∞F n

x

0

x 0

1

x

0

c

(3.7)

Dakle, polazni red funkcija tackasto konvergira ka funkciji F datoj sa (3.7). Iz

∞

∑k n 1

f k

x

F

x

F n

x

1

1 1

x 1 2 x

1

nx

x 0

1 1

x 1 2 x

1

nx

x

0 c

sledi limn ∞

sup x

0

c

∞

∑k

n

1

f k x

1 pa polazni red ne konvergira uniformno.

Primer 3.11. Posmatrajmo funkcionalni red iz prethodnog primera ali na intervalu c ∞ c 0 Za x c ∞ imamo

∞

∑k

n

1

f k

x

F

x

F n

x

1 1 x 1 2 x

1 nx

te limn

∞

sup x c ∞

∞

∑k n 1

f k

x

0 i polazni red konvergira uniformno na intervalu

c ∞ .

Sledece dve teoreme daju Košijev potreban i dovoljan uslov za uniformnu kon-vergenciju funkcionalnih nizova i redova. Analogni kriterijumi za tackastu konver-genciju su bili dati teoremama 3.1 i 3.2.





f n n


a

b

ako i samo ako za svako ε

0 postoji n0 ε tako da za svako x a b svakom n n0 m n važi

f n

x

f m

x

ε (3.8)

Dokaz. Pretpostavimo da posmatrani funkcionalni niz uniformno konvergira kafunkciji f . Kako iz uniformne konvergencije sledi tackasta konvergencija (nezav-isno od x), to po teoremi 3.1 sledi (3.8) (nezavisno od x).

Neka je sada ispunjen uslov (3.8). Pod tom pretpostavkom dokazacemo uni-formnu konvergenciju funkcionalnog niza

f n n

Za proizvoljno fiksirano x0

a

b

funkcionalni niz

f n n

postaje brojni niz

an n

gde je an

f n

x0

n

Kako brojni niz an n

ispunjava uslov (3.8) za x x0 tj. za svako ε 0

postoji n0

ε

tako da za svako m n n0 m n

važi

an

am

ε

u pitanju je Košijev niz (AI, definicija 2.6) realnih brojeva, te znamo da konver-gira (AI, teorema 2.9). Dakle, za svako x0

a

b postoji realan broj f

x0 takavda brojni niz f n x0 n

konvergira ka f x0 odnosno funkcionalni niz f n n

tackasto konvergira ka funkciji f koja svako x a b preslikava u limn ∞

f n x .

Još je potrebno pokazati da je u pitanju baš uniformna konvergencija. Po uslovu(3.8) za svako ε

0 postoji n1

ε tako da za svako x

a

b svako m

n

n1

ε

m

n važi

f n

x

f m

x ε

2

Puštajuci da m

∞ dobijamo

f n x f x

ε

2 ε

za svako n n1 ε i svako x a b što nam daje uniformnu konvergencijufunkcionalnog niza

f n n

ka funkciji f


∑k 1

f k uniformno konvergira na intervalu a b ako

i samo ako za svako ε 0 postoji n0

ε

tako da za svako x

a

b

svako

n

n0

n

i svako p

važi

n

p

∑k

n

1

f k x

ε (3.9)




Dokaz. Kako funkcionalni red uniformno konvergira na

a

b

ako niz njegovih

parcijalnih suma uniformno konvergira na a b

i kako je uslov (3.9) ekvivalentanuslovu

F n

p

x

F n

x

ε

gde je F n n

funkcionalni niz parcijalnih suma polaznog funkcionalnog reda,traženo sledi iz teoreme 3.5.

Naredna teorema nam daje cesto korišceni kriterijum za utvrdivanje uniformnekonvergencije redova funkcija.

Teorema 3.7 Vajerštrasov1 kriterijum. Neka je∞

∑k 1

ck konvergentan brojni red sa

nenegativnim ˇ clanovima i∞

∑k 1

f k red funkcija definisanih na intervalu

a

b

Ako za

svako k i svako x a b važi

f k

x

ck

tada funkcionalni red ∞

∑k 1

f k uniformno konvergira na

a

b

Dokaz. Po Košijevom potrebnom i dovoljanom uslovu (teorema 2.2) za konver-

genciju brojnog reda∞

∑k

1

ck za svako ε 0 postoji prirodan broj n0 ε tako da za

svako n

n

n0 i svako p važi

n

p

∑k n 1

ck

ε Odatle sledi za svako x

a

b

i n n0

n p

∑k n 1

f k

x

n p

∑k n 1

f k

x

n p

∑k n 1

ck

ε (3.10)

(u prvoj nejednakosti koristimo nejednakost trougla za apsolutnu vrednost) gde nejednakost (3.10) važi na celom intervalu

a

b Iz prethodnog, tražena uniformna

konvergencija sledi po Košijevom kriterijumu za funkcionalne redove (teorema3.6).

Primetimo da dokaz tepreme 3.7 daje osim (videti (3.10)) uniformne konver-

gencije i apsolutnu konvergenciju funkcionalnog reda.

Primer 3.12. Pokazacemo uniformnu konvergenciju funkcionalnog reda∞

∑k 1

1k x

na

konacnom intervalu

a

b za a

1 Za svako x

a

b i svako k

važi k x

k a

1K. Weierstrass (1815-1879)




pa kako za a 1 brojni red

∞

∑k 1

1

k a konvergira (primer 2.12), te po Vajerštrasovom

kriterijumu sledi uniformna konvergencija polaznog funkcionalnog reda.

Primer 3.13. Posmatrajmo funkcionalni red∞

∑k 0

1

k x2k

Iz primera 2.4 znamo

da red∞

∑k

0

xk (tackasto) konvergira ka funkciji 11

x za x 1 Na intervalu 1

ε 1

ε za svako ε

0 1 u pitanju baš uniformna konvergencija, što sledi po

Vajerštrasovom kriterijumu jer je x

k 1

ε

k a brojni red

∞

∑k

0

1 ε

k je

konvergentan geometrijski red. Koristeci ovu cinjenicu imamo

∞

∑k 0

1

k x2k

∞

∑k 0

x2

k

11

x2

11

x2

Primer 3.14. Dat je red funkcija∞

∑k 1

kx

5

k 5 x2 x

Dokazacemo da posmatrani

funkcionalni red uniformno konvergira na Kako je

f

k x

k 5

k 5 x2

5

k 5 x2

2 i f

k x

2 xk 6 15

k 5 x2

5

k 5 x2

3

f

k x 0 za x

5k 5

i f

k

5k 5

k 7

500 0 funkcije f k dostižu mak-

simum u tackama

5k 5

510

k

32

(AI, teorema 4.27), tj. za svako x i svako

k važi

f k

x

510

k

32

Sada, iz konvergencije brojnog reda∞

∑k 1

1

k 32

(primer

2.12), po Vajerštrasovom kriterijumu sledi uniformna konvergencija polaznog reda.

Vajerštrasov kriterijum, dat teoremom 3.7, daje uniformnu konvergenciju samoapsolutno konvergentnih funkcionalnih redova. Za funkcionalne redove koji apso-

lutno ne konvergiraju koriste se Abelov i Direhleov kriterijumi.Prvo je neophodno objasniti neke bitne pojmove vezane za funkcionalne ni-

zove. Neka je gn n

niz realnih funkcija definisanih na intervalu a b

Dati niz funkcija je nerastu´ ci po k (opadajuci po k ) ako za svako x

a

b i

svako k

važi gk

x

gk 1

x

( gk

x

gk 1

x

). Analogno, niz funkcija jeneopadaju´ ci po k (rastuci po k ) ako za svako x a b i svako k važi gk x




gk 1

x

(gk

x

gk 1

x

). Za niz funkcija kažemo da je monoton ako je nerastuci

ili neopadajuci niz.Za posmatrani niz funkcija kažemo da je uniformno ograniˇ cen ako postiji po-

zitivan realan broj M tako da za svako x

a

b i svako k

važi gk

x

M

Sada možemo formulisati Abelov i Direhleov kriterijum.

Teorema 3.8 Abelov kriterijum. Dat je red funkcija oblika∞

∑k

1

f k gk gde su funkcije

f k i gk definisane na intervalu

a

b

i gk 0 za svaki prirodan broj k

Red ∞

∑k 1

f k gk


a

b

ako su ispunjeni slede´ ci uslovi:

(i) Red funkcija∞

∑k 1


a

b

(ii) Niz funkcija

gk k

je monoton i uniformno ograniˇ cen na

a

b

Dokaz. Pretpostavimo da je niz

gk k

nerasuci i uniformno ogranicen, tj. postojirealan broj M

0 tako da za svako x

a

b

i svako k

važi

M

gk

x

gk

1

x 0

Koristeci Abelovu parcijalnu sumaciju za brojne redove (2.9), dobijamo za x

a b i n p (potpuno iste jednakosti kao u (2.9) s tim što se ovde pojavljuje

zavisnost od x) n

p

∑k

n

1

f k x gk x

n p

∑k n 1

F k

x

gk

x

gk 1

x

F n p

x

gn p 1

x

F n

x

gn 1

x

n p

∑k n 1

F k

x

F

x

gk

x

gk

1

x

F

x

gn

1

x

gn

p

1

x

F n p

x

gn p 1

x

F n

x

gn 1

x

n p

∑k n 1

F k

x

F

x

gk

x

gk

1

x

F n

p

x

F

x

gn

p

1

x

F

x

F n

x

gn 1

x

(3.11)




gde je

F n n

niz parcijalnih suma reda funkcija∞

∑k 1

f k u poslednjoj jednakosti

iz (3.11). Kako red∞

∑k 1


a

b

ka nekoj funkciji F

to i

niz F n n

uniformno konvergira ka F na a b pa za unapred dato ε 0 postojin1

ε tako da za svako n

n1

n važi

F n x

F x

ε

4 M (3.12)

za svako x

a

b Sada iz (3.11), (3.12) i uslova (ii) za svako n

n1 dobijamo

n

p

∑k n

1 f k

x

gk

x

n

p

∑k n

1

F k

x

F

x

gk

x

gk 1

x

F n p x F x gn p 1 x F n x F x gn 1 x

ε

4 M

n

p

∑k

n

1

gk x gk 1 x 2 M ε

4 M

ε

4 M

gn 1

x

gn p 1

x

ε

2

ε

4 M gn

1

x

ε

2

3ε

4

ε

Po teoremi 3.6 sledi uniformna konvergencija polaznog reda.Dokaz za slucaj neopadajuceg niza

gk k

je analogan izloženom, te ga osta-vljamo citaocu za vežbu.

Primer 3.15. Ispitacemo za q 0 i x

uniformnu konvergenciju sledecihfunkcionalnih redova:

a)∞

∑k 1

k

q 1

x 1

k q 5

k 5 x2

; b)∞

∑k 1

1

k

q

xk q 1

5

k 5 x2

;

a) Za opšti clan posmatranog reda važi

k q 1 x

1 k q 5 k 5 x2

k q

1 k q

kx

5 k 5 x2

11 k q

kx

5 k 5 x2




Niz

1

1

k

q

k

za q 0 raste po k ka jedinici, te je i ogranicen (AI,teorema

2.2). Kako funkcionalni red∞

∑k 1

kx

5

k 5 x2 uniformno konvergira (primer 3.14), to

po Abelovom kriterijumu sledi i uniformna konvergencija polaznog funkcionalnogreda.b) U ovom slucaju za opšti clan reda imamo

1

k q

x

k q 1 5

k 5 x2

1

k q

k q

kx

5

k 5 x2

1

1k q

kx

5

k 5 x2

Za funkcionalni red∞

∑k 1

kx

5

k 5 x2 znamo da uniformno konvergira (primer 3.14), a

kako niz

1

1k q

k

opada po k ka jedinici, iz cega sledi i ogranicenost niza (AI,

teorema 2.2), to po Abelovoj teoremi dobijamo uniformnu konvergenciju polaznogreda.

Teorema 3.9 Dirihleov kriterijum. Dat je red funkcija oblika∞

∑k

1

f k gk gde su

funkcije f k i gk definisane na intervalu

a

b

i gk

x 0 za svako x

a

b

Dati red

funkcija uniformno konvergira na intervalu

a

b

ako su ispunjeni slede´ ci uslovi:

(i) Niz parcijalnih suma

F n n

funkcijalnog reda∞

∑k

1

f k je uniformno ograniˇ cen

na a b

(ii) Niz funkcija

gk k

je nerastu´ ci po k i uniformno teži ka nuli na

a

b

Dokaz. Kao i u prethodnom dokazu, Abelova parcijalna sumacija (2.9) za x a b

i n

p nam daje

n

p

∑k

n

1

f k x gk x

n

p

∑k

n

1

F k x gk x gk 1 x

F n p x gn p

1 x F n x gn

1 x

(3.13)

gde je

F n n

niz parcijalnih suma reda funkcija∞

∑k 1

f k Kako je red∞

∑k 1

f k uni-

formno ogranicen i niz parcijalnih suma je uniformno ogranicen na a b to postoji M 0 tako da je za svako x a b i svako n ispunjeno

F n x M (3.14)




Iz pretpostavke da je niz funkcija

gn n

nerastuci, nenegativan i da uniformno

teži ka nuli na a b

sledi da za unapred dato ε

0 postoji n0 ε

tako da zasvako n n0 n važi

gn x gn x ε i gn

1 x gn p

1 x gn

1 x gn p

1 x gn

1 x ε

(3.15)za svako x

a

b Sada iz (3.13), (3.14) i (3.15) za svako n

n0 imamo

n p

∑k n 1

f k

x

gk

x

n p

∑k n 1

F k

x

gk

x

gk 1

x

F n p x gn p 1 x F n x gn 1 x

M

n

p

∑k n 1

gk x

gk 1 x

F n p x gn p 1 x F n x gn 1 x

M

gn

1

x

gn

p

1

x

Mgn

p

1

x

Mgn

1

x

3 M ε

pa po teoremi 3.6 sledi uniformna konvergencija polaznog reda.

Primer 3.16. Dokazacemo uniformnu konvergenciju funkcionalnog reda oblika∞

∑k 1

cos kx

ln

k 1

na konacnom intervalu I

δ 2π

δ

δ 0 2π

Matematickom

indukcijom se pokazuje da za svaki prirodan broj n na intervalu I važi

n

∑k

1

cos kx

cos nx2 cos n 1 x

2

sin x2

te je

n

∑k

1

cos kx

cos nx2 cos

n

1

x

2

sin x2

1

sin x2

1

sin δ2

odnosno, niz parcijalnih suma funkcionalnog reda∞

∑k 1

cos kx je uniformno ogranicen

na I

Niz

1ln

k 1

k

je opadajuci i monoton po k i uniformno po x (jer ne za-



3.3. Nizovi ograni cenih funkcija 87

visi od x) teži ka nuli. Otud, po Dirihleovom kriterijumu, datom teoremom 3.9, red

funkcija∞

∑k 1

cos kxln k 1

unifirmno konvergira na I

3.3 Nizovi ograni cenih funkcija

Prirodan nacin za razmatranje uniformne konvergencije je u okviru tzv. funk-

cionalnih prostora. U tu svrhu, oznacimo sa B a b skup svih ogranicenih realnihfunkcija definisanih na zatvorenom intervalom

a

b Primetimo još jednom da su

elementi skupa B

a

b funkcije. Definišimo sada rastojanje na skupu B

a

b na

sledeci nacin:d f g sup

f x g x

x a b

Velicina d f g je dobro definisana jer su funkcije f i g ogranicene, te supremumnjihove razlike uvek postoji. Dalje, d

f

g smemo zvati rastojanjem na B

a

b jer

za svako f

g

h B

a

b zadovoljava sledeca tri uslova:

(i) d

f

g 0 i d

f

g 0 ako i samo ako je f

g;

(ii) d

f

g

d

g

f ;

(iii) d f g d f h d h g

Sada, na osnovu teoreme 3.3 sledi da niz f n n

iz B a b uniformno konver-

gira ka funkciji f iz B

a

b

ako i samo ako jelim

n

∞d

f n

f 0

Teorema 3.10 Prostor B a b je kompletan metriˇ cki prostor, tj. svaki Košijev niz

iz B a b uniformno konvergira ka nekoj funkciji iz B a b

Dokaz. Kako za Košijev niz funkcija

f n n

iz prostora B

a

b u odnosu na

rastojanje d važi da za svako ε 0 postoji n0 takvo da je

d

f n

f m sup

f n

x

f m

x

x

a

b

ε

za svako n m n0 n m i svako x

a b to na osnovu teoreme 3.5 znamoda posmatrani niz uniformno konvergira na intervalu a b ka granicnoj funkciji f .Treba još pokazati da je granicna funkcija ogranicena. Uniformna konvergencijaposmatranog niza ka funkciji f nam, po definiciji, za svako ε

0 garantuje postojanje prirodnog broja n

0 tako da za svako x

a

b

i svako n

n

0

n

važi f n x f x ε Kako je f n

0

1 B a b tj. u pitanju je ogranicena funkcija,




i kako iz prethodnog sledi f n

0

1

x

f

x

ε za svako x

a

b

za granicnu

funkciju važi f n

0 1 x ε f x f n

0 1 x ε

Odatle sledi da je i granicnafunkcija f ogranicena na posmatranom intervalu.

3.4 Nizovi i redovi neprekidnih funkcija

3.4.1 Uniformna konvergencija nizova i redova neprekidnih funkcija

Kao što se može videti iz primera 3.1, (tackasto) konvergentan niz neprekidnihfunkcija ne mora kao granicu imati neprekidnu funkciju. Sa druge strane, uni-formna konvergencija ocuvava neprekidnost.

Teorema 3.11 Neka je f n n

niz neprekidnih funkcija na intervalu a b Ako funkcionalni niz uniformno konvergira na

a

b

ka funkciji f

tada je i graniˇ cna

funkcija f neprekidna na a b

Dokaz. Da bi dokazali neprekidnost granicne funkcije f neophodno je za x0

a

b

pokazati da za svako ε 0 postoji δ

x0

ε 0 tako da za svako x

a

b

x x0

δ implicira f x

f x0

ε (AI, definicija 3.12). Iz uniformne konvergencije

datog niza funkcija znamo da za svako ε 0 postoji n0 n0 ε tako da zasvako x

a

b i svako n

n0

n važi

f n

x

f

x

ε

3 (3.16)

Kako su svi clanovi niza

f n n

neprekidne funkcije i f m za neko m

n0 jeneprekidna funkcija, te za x0 imamo da za svako ε

0 postoji δm

x0

ε

0 takoda za svako x a b x x0 δm implicira

f m x f m x0

ε

3 (3.17)

Upravo za δ δm x x0 δ iz (3.16) i (3.17) imamo

f

x

f

x0 f

x

f m

x

f m

x

f m

x0

f m

x0 f

x0

f

x

f m

x

f m

x

f m

x0

f m

x0

f

x0

ε

3

ε

3

ε

3 ε

To znaci da je funkcija f neprekidna u tacki x0

Kako prethodno važi za svako x0 a b to je granicna funkcija f neprekidna na a b



3.4. Nizovi i redovi neprekidnih funkcija 89

Oznacimo sa C

a

b

skup svih neprekidnih realnih funkcija na zatvorenom

intervalom a b

Kako je svaka neprekidna funkcija na zatvorenom intervalu iogranicena, to važi C a b B a b Pošto svaka neprekidna funkcija na zatvorenomintervalu dostiže maksimum, rastojanje d dato u poglavlju 3.3 se u prostoru C

a

b

može zapisati u sledecem obliku:

d

f

g max

f

x

g

x

x

a

b

Teorema 3.12 Prostor C a b je kompletan metriˇ cki prostor, tj. svaki Košijev niz

iz C a b uniformno konvergira ka nekoj funkciji iz C a b

Dokaz. Posmatrajmo Košijev niz funkcija iz C a b Kako je C a b podprostorprostora B a b u pitanju je Košijev niz ogranicenih funkcija. Sada, po teoremi3.10, znamo da polazni niz uniformno konvergira ka funkciji f iz B

a

b Sa druge

strane, po teoremi 3.11, uniformna konvergencija neprekidnih funkcija nam dajeneprekidnu granicnu funkciju, te funkcija f mora pripadati prostoru C

a

b

Kao što je i ilustrovano primerom 3.1, iz teoreme 3.11 sledi da ako niz neprekid-nih funkcija konvergira ka prekidnoj funkciji, konvergencija nije uniformna. Da li

važi obrnuto, tj. ako niz neprekidnih funkcija konvergira taˇ ckasto ka neprekidnoj

funkciji da li je ta konvergencija i uniformna? Odgovor je negativan, odnosno,teorema 3.11 daje samo dovoljan uslov.

Da niz neprekidnih funkcija koji tackasto konvergira ka neprekidnoj funkcijina celoj realnoj osi ne mora konvergirati i uniformno ilustruje naredni primer.

Primer 3.17. Dat je niz neprekidnih funkcija f n n

opšteg clana oblika f n x

2enxe

n2 x2 x Za bilo koje fiksirano x imamo

limn

∞ f n

x

2ex limn

∞

n

en2 x2 0

(AI, primer 2.9 a)), te posmatrani niz konvergira ka neprekidnoj funkciji f

x

0

x No, za x1

1

n

2 imamo

f n

x1 f

x1

e12

tj. sup x

f n

x

f

x

e12

pa uslov (3.3) iz teoreme 3.3 nije ispunjen. Iz prethodnog sledi da konvergencijanije uniformna.

Odrecan odgovor dobijamo cak i kada je u pitanju niz funkcija koji konvergiratackasto na zatvorenom intervalu.

Primer 3.18. Dat je niz funkcija f n n

na intervalu 0 1 na sledici nacin:

f 1 x x za x 0 1




i za n 2

f n

x

n2 x za 0 x 1n

2n n2 x za 1

n x

2n

0 za 2n

x 1

Posmatrani niz

f n n

tackasto konvergira ka neprekidnoj funkciji f

x

0

x 0 1 jer se intervali

0

1n

i

1n

2n

iz definicije opšteg clana, kada n

∞ svode na jednoclani skup 0 a interval

2n

1

prelazi u ceo interval 0 1

Uzimajuci niz brojeva xn

1n

za koji važi limn ∞ xn

0

imamo supn

f n

xn

∞

tj.lim

n

∞sup

x 0 1

f n

x 0 pa iz teoreme 3.3 sledi da polazni niz ne konvergira uniformno

vec samo tackasto.

Direktna posledica teoreme 3.11 je naredno tvrdenje o redovima neprekidnihfunkcija.

Teorema 3.13 Svaki uniformno konvergentan red funkcija ˇ ciji su ˇ clanovi nepre-

kidne funkcije definisane na a b ima za granicu neprekidnu funkciju na a b , tj.

lim x x0

∞∑k

1

f k x

∞∑k

1

f k x0

gde x

x0

a

b

Primetimo da smo u prethodnoj teoremi razmenili dva granicna procesa: lim x x0

i red∞

∑k 1

3.4.2 Nizovi i redovi integrabilnih funkcija

Posmatrajmo sada niz integrabilnih funkcija f n n koji na intervalu a b

konvergira ka funkciji f Potrebno je odgovoriti na sledeca pitanja:

1. Da li je i granicna funkcija integrabilna?

2. Da li brojni niz

ba f n x dx

n

konvergira?




3. Da li važi

limn

∞

b

a f n

x

dx

b

alim

n

∞ f n

x

dx

b

a f

x

dx? (3.18)

Naredni primeri daju razlicite negativne odgovore na postavljena pitanja.

Primer 3.19. Posmatramo funkcionalni niz f n n

opšteg clana

f n

x

n2

xn 1

xn 1 1

n

za x 0 1 Ovako definisan niz funkcija konvergira ka funkciji f

x 0 za svako

x

0

1

i dobijena granicna funkcija je integrabilna. Kako je

1

0 f n

x

dx

n2

xn

n

xn 1

n

n 1

n

1

0

n2

1n

1n 1

n

niz integrala je brojni niz opšteg clana an

n2

1n

1n

1

n

koji ne konver-

gira. Dakle, u ovom primeru samo odgovor na prvo pitanje je potvrdan.

Primer 3.20. Dat je niz funkcija

f n n

gde je f n

x 2n2 xe n2 x2

za x 0 1

Ovako definisan funkcionalni niz konvergira ka integrabilnoj granicnoj funkciji f

x 0 za svako x

0 1 Kako je

1

0 f n

x

dx

1

02n2 xe n2 x2

dx

n2

0et dt

et

n2

0

e n2 1

(smena t n2 x2) niz integrala je brojni niz opšteg clana an e

n2 1 za koji

važilim

n

∞

e n2

1

1

U ovom primeru odgovor na prvo i drugo pitanje je potvrdan ali jednakost (3.18)nije zadovoljena.

Primer 3.21. Neka je I skup svih racionalnih brojeva iz intervala I 0 1 Kako

skup

I ima prebrojivo mnogo elemenata, postoji bijekcija h :

I (AI, defini-

cija 1.17), te je moguce uociti brojni niz hn n

gde je hn h n (AI, definicija1.13). Neka je sa Qn oznacen konacan skup koji sadrži tacno n prvih clanova niza

hn n

Posmatrajmo sada niz funkcija

f n n

definisan na sledeci nacin

f n x

1 x Qn

0 x I Qn




Pokazacemo da ova funkcija nije integrabilna. Za svako n

skup tacaka prekida

funkcije f n je konacan, te je funkcija f n integrabilna na I (AI, teorema 6.13). Datiniz funkcija f n n

konvergira na I ka Dirihleovoj funkciji

f x

1

x I

0 x I I

Neka je P x0 x1 xm podela intervala I i T t 1 t 2 t m skup racional-nih brojeva tako da t i

xi

1

xi za svako i 1 2

m Tada je Rimanova inte-

gralna suma funkcije f za podelu P (AI, definicija 6.1) data sa

R

f

P

T

m

∑k 1 f

t k

xk

1

Ako su tacke iz skupa T iracionalne, imamo

R

f

P

T

m

∑k 1

f

t k xk

m

∑k 1

0 xk 0

Dakle, granicna vrednost integralnih suma zavisi od izbora tacaka t i pa Dirihleovafunkcija nije integrabilan na I (AI, definicija 6.2). U ovom primeru, vec odgovorna prvo pitanje je odrican.

Naredna teorema nam daje dovoljan uslov za potvrdan odgovor na sva tri po-stavljena pitanja.

Teorema 3.14 Neka je

f n n

niz neprekidnih funkcija koji na intervalu

a

b

uni-

formno konvergira ka funkciji f

Tada je graniˇ cna funkcija f integrabila na

a

b

brojni niz

b

a f n

x

dx

n

konvergira i važi jednakost (3.18).

Dokaz. Od ranije znamo (teorema 3.11) da niz neprekidnih funkcija uniformno

konvergira ka neprekidnoj funkciji, te je granicna funkcija f neprekidna, a samimtim i integrabilna na

a

b

(AI, teorema 6.10). Iz uniformne konvergencije niza f n n

znamo da za svako ε 0 postoji prirodan broj n0 ε tako da za svakon n0 n i svako x a b važi

f n

x

f

x

ε

b a

(3.19)




Sada, iz (3.19) i osobina odredenog integrala (AI, glava 6.2) sledi da za svako ε

0

postoji prirodan broj n0 ε

tako da za svako n n0 n

i svako x a b

važi

b

a f n

x

dx

b

a f

x

dx

b

a

f n

x

f

x

dx

b

a f n

x

f

x

dx

ε

b a

b a

ε

tj. limn

∞

b

a f n x dx

b

alimn

∞ f n x dx

b

a f x dx

Na osnovu prethodne teoreme može se zakljuciti da nizovi funkcija iz primera3.19, 3.20 i 3.21 ne konvergiraju ka granicnim funkcijama uniformno vec samotackasto.

Treba naglasiti da je uslov dat teoremom 3.14 dovoljan ali ne i potreban što sei vidi iz narednog primera.

Primer 3.22. Posmatrajmo niz funkcija

f n n

na intervalu 0 1 gde je f n

x

n2 x2

1

3n3 x

3 Dati funkcionalni niz konvergira ka integrabilnoj funkciji f

x 0

x 0 1 Za x

1n

važi f n

x

f

x

14

te je

limn ∞

sup x

0

1

f n x f x

0

pa iz teoreme 3.3 sledi da konvergencija nije uniformna. Kako je

1

0 f n

x

dx

19n

ln

1 3n3 x3

1

0

19n

ln

1 3n3

niz integrala je brojni niz opšteg clana an

19n

ln

1 3n3

i važi limn

∞an 0 tj.

jednakost (3.18) je zadovoljena.

Teorema 3.14 nam omogucava i izracunavanje važnih nesvojstvenih integrala,što je ilustrovano narednim primerom.




Primer 3.23. Uz pomoc teoreme 3.14, ponovo cemo izracunati nesvojstevni inte-

gral

∞

0e x2 dx dat u poglavlju 1.6. Posmatrajmo niz funkcija f n n

gde je

f n x

1

x2

n

n

0 x

n

0

x

n

Ovakav niz funkcija uniformno konvergira ka e

x2 pa važi

∞

0e x2

dx

∞

0lim

n

∞ f n

x

dx lim

n

∞

∞

0 f n

x

dx lim

n

∞

n

0

1

x2

n

n

dx

(3.20)

Parcijalna integracija, za u

1

x2

n

n

i dv

dx

nam daje za poslednji integral

u (3.20) sledece

n

0

1

x2

n

n

dx x

1

x2

n

n

n

0

2n

n

n

0 x2

1

x2

n

n 1

dx

2

n

0 x2

1

x2

n

n 1

dx

Iz ponovne parcijalne integracije poslednjeg integrala, za u

1

x2

n

n 1

i dv

x2dx sledi

n

0

1

x2

n

n

dx

22

1 3

n 1n

n

0 x4

1

x2

n

n 2

dx

Zakljucujemo da posle n parcijalnih integracija dobijamo

n

0

1

x2

n

n

dx

2n

1 3

2n

1

n 1

n 2 1

nn 1

n

0 x2n dx

2 4 2n

1 3 2n 1

1

2n

n

2n 1

2

22n n!

2

2n !1

n

n

2n 1




Kako je n! nne n

2nπ (Stirlingov obrazac), to po prethodnom dobijamo

limn

∞

n

0

1

x2

n

n

dx lim

n

∞

22n n!

2

2n !

1

n

n

2n 1

limn ∞

22n2nπn2ne

2n

4nπ

2n

2ne 2n

1

n

n

2n

1

π

2

te iz (3.20) sledi ∞

0e

x2dx

π

2

Teorema 3.14 nam za redove funkcija daje sledecu teoremu.


∑k 1

f k red neprekidnih funkcija koji na intervalu

a

b

uni-

formno konvergira ka funkciji f

Tada je f integrabila funkcija na

a

b

red inte-

grala∞

∑k 1

b

a f k

x

dx konvergira na

a

b

i važi

∞

∑k 1

b

a f k

x

dx

b

a

∞

∑k 1

f k

x

dx

b

a f

x

dx (3.21)

Dokaz. Sledi direktno iz teoreme 3.14 i veze izmedu konvergencije redova i nizovanjihovih parcijalnih suma.

Primetimo da prethodna teorema omogucava razmenu dva granicna procesa:

red∞

∑k

1

i integral b

a Obicno kažemo da teorema 3.15 omogucava integraciju

funkcionalnog reda "clan po clan".

Primer 3.24. Izracunacemo odredeni integral π

0 f x dx ako je podintegralna funk-

cija data u vidu funkcionalnog reda∞

∑k 1

k 2 cos kx

3k 3 2 3k 3

2

Kako je

f k

x

k 2 cos kx

3k 3 2 3k 3 2

k 2

3k 3 2 3k 3 2

1

9k 4

to iz konvergencije brojnog reda∞

∑k 1

19k 4

po teoremi 2.12, sledi konvergencija

brojnog reda∞

∑k 1

k 2

3k 3 2 3k 3

2

pa Vajerštrasov kriterijum daje uniformnu




konvergenciju funkcionalnog reda∞

∑k

1

k 2 cos kx

3k 3

2

3k 3

2

Opšti clan datog reda

je oblika k 2 cos kx

3k 3 2 3k 3

2

k

što je neprekidna funkcija na

0

π

te po

teoremi 3.15 imamo π

0 f x dx

π

0

∞

∑k

1

k 2 cos kx

3k 3

2 3k 3 2

dx

∞

∑k 1

π

0

k 2 cos kx

3k 3 2 3k 3 2

dx

∞

∑k 1

k 2

3k 3 2 3k 3

2

π

0cos kxdx

0

Primer 3.25. Pokazacemo da važi

1

13

15

17

π

4

Posmatrajmo funkcionalni red∞

∑k 0

1

k x2k Iz primera 3.13 znamo da dati red uni-

formno konvergira ka funkciji 11

x2 za x 1 Sada, na osnovu teoreme 3.15

imamo 1

0

11 x2 dx

1

0

∞

∑k 0

1

k x2k dx

∞

∑k 0

1

0 1

k x2k dx

∞

∑k 0

1

k x2k 1

2k 1

1

0 1

13

15

17

a kako je 1

0

11

x2 dx arctg x

10

π

4 dobili smo traženu jednakost.

3.4.3 Nizovi i redovi diferencijabilnih funkcija

Neka je f n n

niz neprekidno diferencijabilnih funkcija i neka je

f

n

n

niz izvoda. Postavlja se pitanje pod kojim uslovima konvergencija niza f n n

povlaci i konvergenciju niza izvoda i da li važi

f

x

limn

∞ f n

x

limn

∞ f

n

x (3.22)




U opštem slucaju jednakost (3.22) ne važi.

Primer 3.26. Neka je dat niz funkcija

f n n

na intervalu 0 1 gde je

f n x x

xn

1

n 1

Ovako definisan niz funkcija konvergira ka funkciji f

x

x Kako je f

n

x

1 xn

niz izvoda cine neprekidne funkcije koje konvergiraju ka prekidnoj funkciji

g x

1 x 0 1

0

x 1

Jednakost (3.22) nije zadovoljena.

Naredna teorema nam daje odgovor na postavljena pitanja.

Teorema 3.16 Neka je

f n n

niz diferencijabilnih funkcija koji na intervalu

a

b

uniformno konvergira ka funkciji f i neka niz izvoda

f

n

n

uniformno konvergira

na a b Tada je graniˇ cna funkcija f diferencijabilna na a b i važi jednakost

(3.22).

Dokaz. Neka je f n n

uniformno konvergentan niz diferencijabilnih funkcijadefinisanih na

a

b i neka je f granicna funkcija. Za neko fiksno x

a

b definiše-

mo niz funkcija

φn n

i funkciju φ na sledeci nacin

φn

t

f n t f n x

t x

za t x

f

n

x za t

x

i

φ

t

f

t

f

x

t x

za t x

g

x za t

x

gde je g granicna funkcija niza izvoda

f

n

n . Kako je za svako n

limt x

φn t limt x

f n

t

f n

x

t x

f

n x φn x

u pitanju je niz neprekidnih funkcija, tj. niz funkcija iz prostora C

a

b

Ocigledno,niz funkcija φn n

konvergira tackasto ka funkciji φ te je nephodno pokazati




da je ta konvergencija i uniformna. Sada, primenom Lagranžove teoreme srednje

vrednosti (AI, teorema 4.10) na funkciju f m f n za neko m i n

dobijamo da postojiα izmedu x i t tako da je

φm

t

φn

t

f m t f n t f m x f n x

t x

f

m

α

f

n

α

Polazna pretpostavka o uniformnoj konvergenciji niza izvoda nam daje uniformnukonvergenciju ka nuli razlike f m

f

n kada n m

∞ Dakle, niz φn n

je Košijevu prostoru C a b te po teoremi 3.12, uniformno konvergira ka funkciji φ i φ

C a b Sada važi

limn ∞

f

n x limn ∞

φn x φ x g x limt x

f

t

f

x

t x

f

x

što je i trebalo pokazati.

Napomena 3.1 Ako u prethodnoj teoremi dodatno pretpostavimo da su clanovipolaznog funkcionalnog niza

f n n

još i neprekidno diferencijabilne funkcije,dobijamo slabije tvrdenje koje se jednostavnije dokazuje. Naime, niz izvoda

f

n

n

je po uslovu teoreme niz neprekidnih funkcija, pa iz uniformne konvergencije, poteoremi 3.11, sledi neprekidnost funkcije g gde je g x lim

n ∞ f

n x Iz neprekid-

nosti sledi i njena integrabilnost na

a

b (AI, teorema 6.10). Sada, za svako

x

a b po teoremi 3.14 imamo x

a g

t

dt

limn

∞

x

a f

n

t

dt

limn

∞

f n

x

f n

a

f

x

f

a

Kako je

x

ag

t

dt

g

x

(AI, teorema 6.16), za x

a

b

dobijamo

f

x

g

x lim

n

∞ f

n

x

što je i trebalo pokazati. U ovom slucaju se dobija da je granicna funkcija takodeneprekidno diferencijabilna.

Uslov o uniformnoj konvergenciji niza izvoda u teoremi 3.16 se ne može izosta-viti, te ako niz diferencijabilnih funkcija uniformno konvergira ka funkciji koja

nije diferencijabilna, zakljucujemo da konvergentan niz izvoda ne konvergira uni-formno.

Primer 3.27. Dat je niz funkcija

f n n

na intervalu 1 1 opšteg clana

f n

x

x2

1n




Ovako zadat niz uniformno konvergira na 1

1

ka funkciji f

x

x

Kako ova

granicna funkcija nije diferencijabilna, zakljucujemo da niz izvoda

x

x2

1n

n

konvergira tackasto, ali ne i uniformno.

Kako u primeru 3.26 jednakost (3.22) ne važi, iz teoreme 3.16 sledi da posma-trani niz izvoda ne konvergira uniformno. Zakljucak o neuniformnoj konvergencijiu primeru 3.26 takode sledi i na osnovu teoreme 3.11.

Sledi analogno tvrdenje za redove funkcija.


∑k 1

f k red diferencijabilnih funkcija koji na intervalu

a

b

uniformno konvergira ka funkciji f i neka je∞

∑k

1

f

k uniformno konvergentan red

izvoda na

a

b

Tada je f diferencijabilna funkcija na

a

b

i važi

f

x

∞

∑k 1

f k

x

∞

∑k 1

f

k

x (3.23)

Dokaz. Sledi direktno iz teoreme 3.16 i veze izmedu konvergencije redova i nizovanjihovih parcijalnih suma.

Primetimo da prethodna teorema omogucava raznemu dva granicna procesa:

reda∞

∑k 1

i izvoda. Obicno kažemo da teorema 3.17 omogucava diferenciranje

"clan po clan".

Primer 3.28. Zeta funkcija. Zeta funkcija ζ se definiše preko reda funkcija kao

ζ x

∞

∑k

1

1k x

za svako x 1 δ gde je δ 0 Po Vajerštrasovom kriterijumu

(teorema 3.7) imamo uniformnu konvergenciju reda zeta funkcije (primer 3.12).Kako je red izvoda dat sa

∞

∑k 1

1k x

∞

∑k 1

ln k

k x

i kako je

ln k

k x

ln k

k α

α

1

δ

1

gde brojni red

∞

∑k 1

ln k

k α

za α

1

konvergira (primer 2.21), to po Vajerštrasovom kriterijumu imamo i uniformnukonvergenciju reda izvoda. Sada, iz teoreme 3.17, sledi

ζ

x

∞

∑k 1

1k x

∞

∑k 1

1k x

∞

∑k 1

ln k

k x




3.5 Stepeni (potencijalni) redovi

U ovom poglavlju razmatramo specijalnu važnu klasu funkcionalnih redovapoznatih kao stepeni ili potencijalni redovi.

3.5.1 Oblast konvergencije stepenih redova

Definicija 3.5 Funkcionalni red oblika

∞

∑k 0

ak

x x0

k

gde je

ak k

0

niz realnih brojeva i x0

naziva se stepeni ili potencijalni

red oko taˇ cke x0

Kako se jednostavnom smenom t

x x0 stepeni red

∞

∑k 0

ak

x x0

k svodi

na red∞

∑k 0

ak t k to u daljem tekstu radi jednostavnosti posmatramo stepene redove

oblika∞

∑k

0

ak xk (oko tacke 0).

Primer 3.29. Geometrijski red∞

∑k 0

xk 1

x

x2 je primer stepenog reda iz

definicije 3.5, gde je ak 1 k 0

Primer 3.30. Funkcionlani red∞

∑k

0

1

k x2k

1

2k 1 ! x

x3

3!

x5

5! je takode

stepeni red iz definicije 3.5, s tim što je u ovom primeru a0 0 a1 1 a2 0

a3

13!

a4 0

Postavlja se pitanje kada stepeni red konvergira, tj. pod kojim uslovima postoji

funkcija F tako da je F

x

∞

∑k 0

ak xk i koja je njena oblast definisanosti. Oblast

definisanosti funkcije F je oblast konvergencije stepenog reda∞

∑k 0

ak xk i predstavlja

skup svih tacaka x0 takvih da brojni red∞

∑k

0

ak xk 0 konvergira.

Stepeni redovi imaju tu dobru osobinu da im je oblast konvergencije uvek ceointerval, što se i vidi iz naredne teoreme.



3.5. Stepeni (potencijalni) redovi 101


∑k 0

ak xk stepeni red. Ako on konvergira u taˇ cki x0 , x0 0

tada on konvergira apsolutno i uniformno na celom intervalu r r gde je r

x0

Dokaz. Kako po pocetnoj pretpostavci brojni red∞

∑k 0

ak xk 0 konvergira, to važi

limk ∞

ak xk 0 0 (teorema 2.4). Dakle, niz

ak xk 0

k

je konvergentan, pa i ogranicen,

tj. postoji konstanta M 0 tako da za svako k

važi ak x

k 0

M Pokazacemo

da za svako x

r

x0 polazni stepeni red konvergira. Za proizvoljno ali fiksno x

x

r imamo

ak xk

ak

xk

0

x

x0

k

M

x

x0

k

gde je

x

x0

1 Iz konvergencije brojnog reda∞

∑k

0

x

x0

k

po Vajerštrasovom kriter-

ijumu (teorema 3.7) sledi apsolutna i uniformna konvergencija polaznog stepenogreda na intervalu r r

Primer 3.31. Kako je funkcionalni red iz primera 3.13 stepeni red koji konvere-gira nad skupom

x x

1 teorema 3.18 nam daje uniformnu konvergencijuposmatranog funkcionalnog reda na intervalima oblika 1

ε 1

ε za svako

ε

0

1

Teorema 3.18 opravdava uvodjenje poluprecnika konvergencije stepenog reda.

Definicija 3.6 Poluprecnik konvergencije stepenog reda∞

∑k 0

ak xk je broj R dat sa

R sup

x

x pripada oblasti konvergencije reda∞

∑k 0

ak xk

Treba primetiti da je poluprecnik konvergencije vrednost iz intervala 0 ∞

Kao direktnu posledicu teoreme 3.18 dobija se naredna teorema.


∑k 0

ak xk stepeni red polupreˇ cnika konvergencije R. Tada

važi

(i) R 0 ako i samo ako stepeni red konvergira samo za x 0




(ii) Za svako x takvo da je x

R

polazni stepeni red divergira.

Dokaz. Tvrdenje pod (i) sledi iz definicije poluprecnika konvergencije.

(ii) Ako bi pretpostavili suprotno, tj. da dati stepeni red konvergira za neko x takvoda je

x

R, tada bi po teoremi 3.18 sledilo da on konvergira i na celom intervalu

x

x

, što bi bilo u suprotnosti sa definicijom poluprecnika konvergencije R

Primer 3.32. Stepeni red∞

∑k 0

k ! xk konvergira samo za x

0

te je R

0

Primer 3.33. Geometrijski red∞

∑k 0

xk konvergira za svako x iz intervala 1 1 , te

je oblast konvergencije data sa x

x

1 te je poluprecnik konvergencije R 1

Preciznije, za svako x 1 1 važi∞

∑k

0

xk

11

x

(primer 2.4). Na slici 3.5 su

dati clanovi niza parcijalnih suma F 1 x

1

∑k

0

xk F 2 x

2

∑k

0

xk F 3 x

3

∑k

0

xk i

F 4

x

4

∑k 0

xk

posmatranog geometrijskog reda, kao i granicna funkcija F

x

11

x x 1 1

-1 1

1

2

3

4

F(x) = 11-x

FF

FF

Slika 3.5. Clanovi niza parcijalnih suma iz primera 3.33 i granicna funkcija F .


∑k

0

xk

k ! konvergira za svako x iz skupa realnih brojeva,

pa je oblast konvergencije ceo skup a R ∞




Oblast konvergencije stepenog reda∞

∑k 0

ak xk ima jedan od narednih oblika:

R

R

R

R

R

R

ili

R

R

tj. ako je R poluprecnik konvergencije posmatranog stepenog reda, po teoremi3.18 red uniformno konvergira na intervalu

R R dok za x

R i x R treba

posebno ispitati konvergenciju brojnih redova∞

∑k 0

ak

R

k i∞

∑k 0

ak Rk


∑k 0

xk konvergira samo nad intervalom

1 1 , jer za

x

1 i x

1 dobijamo divergentne brojne redove (opšti clan ne konvergira kanuli).


∑k 0

xk

k 2 konvergira za svako x iz intervala 1 1 . Za

x 1 i x

1 odgovarajuci brojni redovi konvergiraju i apsolutno.


∑k

0

xk

k konvergira za svako x

1 1 Treba naglasiti

da za x 1 imamo uslovnu konvergenciju.

x0x0 R- x0 R+

x0x - < R

konvergencija za

divergencija za x0x - > R

Slika 3.6. Oblast konvergencije stepenog reda∞

∑k 0

ak

x x0

k

Napomena 3.2 U slucaju stepenog reda oblika∞

∑k 0

ak

x x0

k uvodenjem smene

t

x x0 dobijamo stepeni red

∞

∑k 0

ak t k te odredujemo njegov poluprecnik kon-




vergencije R

Zato oblast konvergencije polaznog reda ima jedan od narednih ob-

lika:

x0 R x0 R x0 R x0 R x0 R x0 R x0 R x0 R

Videti sliku 3.6.

3.5.2 Odre divanje polupre cnika konvergencije


∑k 0

ak xk stepeni red polupreˇ cnika R za koji postoji k 0

0 tako da za svako k k 0 k važi ak 0 Neka graniˇ cna vrednost

limk ∞

ak

ak

1

postoji ili je jednaka ∞ Tada važi

R

limk ∞

ak

ak

1

Dokaz. Neka je x0 proizvoljna fiksirana vrednost iz skupa realnih brojeva. Po-smatrano x0 pripada oblasti konvergencije polaznog stepenog reda ako i samo ako

brojni red∞

∑k

0

ak xk 0 konvergira. Ako primenimo D’Alamberov kriterijum (teorema

2.11) na brojni red∞

∑k 0

ak xk 0 dobijamo njegovu konvergenciju za

limk ∞

ak 1 xk

10

ak xk 0

limk ∞

ak

1

ak

x0

1

(3.24)

tj. za x0

1

limk ∞

ak

1ak

a divergenciju za

limk ∞

ak 1 xk

10

ak xk 0

limk ∞

ak

1

ak

x0

1

(3.25)

Iz (3.24) sledi konvergencija polaznog stepenog reda za svako x

za koje važi

x

1lim

k ∞

ak 1

ak

limk

∞

ak

ak 1

(3.26)




a iz (3.25) divergencija za svako x

za koje imamo

x

1lim

k ∞

ak 1

ak

limk ∞

ak

ak

1

(3.27)

Sada, iz (3.26) i (3.27) i definicije poluprecnika konvergencije sledi traženo.

Primer 3.38. Odredicemo poluprecnik konvergencije reda∞

∑k

1

k k

k ! xk

Kako je u

ovom primeru ak

k k

k ! to po teoremi 3.20 imamo

R limk ∞

ak ak

1

limk ∞

k

k

k

1

!

k 1

k

1k !

limk ∞k

k

k 1

k 1e


∑k 0

ak xk stepeni red polupreˇ cnika R

Tada važi

R

1

limsupk ∞

k

ak

Dokaz. Neka je x0 proizvoljan fiksiran realan broj. Ako primenimo Košijev kri-

terijum, dat teoremom 2.9, na brojni red∞

∑k

0

ak xk 0 dobijamo njegovu konvergenciju

za

limsupk ∞

k

ak x

k 0

limsupk ∞

x0

k

ak 1

tj. za x0

1

limsupk ∞

k

ak

a divergenciju za

limsupk ∞

k

ak x

k 0

limsupk ∞

x0

k

ak 1

Iz prethodnog sledi konvergencija polaznog stepenog reda za svako x za kojevaži

x

1

limsupk ∞

k

ak i divergencija za svako

x

1

limsupk ∞

k

ak odnosno,

poluprecnik konvergencije je upravo R

1

limsupk ∞

k

ak




Primer 3.39. Odredicemo poluprecnik konvergencije reda∞

∑k

1

1

k 1 x2k

1

3k 7k

Za

dati stepeni red imamo a3

121

a4 0

a5

1

6 72

a6 0

a7

19 73

a8 0

tj. a2k 1

1

k 1

3k 7k i a2k

0

te ne možemo primeniti kriterijum dat teore-

mom 3.20 vec samo kriterijum iz teoreme 3.21. Dakle, poluprecnik konvergencije je

R

1

limsupk

∞

k

ak

1

limk

∞

2k 1

a2k

1

limk ∞

2k 1

3k 7k

7

3.5.3 Integracija i diferenciranje stepenih redova

Neka je∞

∑k

0

ak xk stepeni red poluprecnika R

Za R 0 iz teoreme 3.18 sledi uni-

formna konvergira polaznog reda na intervalu R

R Neka je F

x

∞

∑k 0

ak xk

x

R R Posmatrani stepeni red konvergira uniformno ka funkciji F na svim

intervalima oblika r r za 0 r R Sada, iz uniformne konvergencije polaznogstepenog reda po teoremi 3.15 sledi da možemo integraliti "clan po clan"

b

aF

x

dx

∞

∑k 0

b

aak x

k dx

∞

∑k 0

ak

k 1

bk 1

ak 1

(3.28)

za svako a b R R Ako je a 0 i b x gde x pripada oblasti konvergencijepolaznog reda, iz (3.28) dobijamo jednu primitivnu funkciju G funkcije F oblika

G x

x

0F t dt

∞

∑k

0

ak

k 1

xk

1

Kako i∞

∑k 0

ak xk i

∞

∑k 1

kak xk

1 uniformno konvergiraju na R R , iz teoreme

3.17 sledi diferencijabilnost funkcije sume F

x

∞

∑k

0

ak xk

x

R

R koju mo-

žemo diferencirati "clan po clan"

F

x

∞∑k

0

ak xk

∞∑k

1

kak xk

1 (3.29)

Teorema 3.22 Stepeni redovi∞

∑k

0

ak xk

∞

∑k

1

kak xk

1 i∞

∑k

0

ak

k 1 xk

1 imaju isti

polupreˇ cnik konvergencije.




Dokaz. Neka je R poluprecnik konvergencije stepenog reda∞

∑k 0

ak xk

a R1 polu-

precnik konvergencije reda∞

∑k 1

kak xk 1

Kako važi limk ∞k

k

1

1

iz teoreme

3.21 za R1 imamo

R1

1

limsupk

∞

k

k 1

ak

1

limsupk

∞

k

ak

R

Iz

∞

∑k 0

ak

k 1 xk 1

∞

∑k 0

ak xk i prethodnog sledi da se i poluprecnici stepenih

redova∞

∑k 0

ak xk i∞

∑k 0

ak

k 1 xk 1 poklapaju.

Primer 3.40. Kako geometrijski red konvergira za svako x

1 i važi∞

∑k 0

xk

11

x

iz (3.29) i teoreme 3.22 za svako x

1 sledi

∞

∑k 1

kxk

1

1 1

x

2 i∞

∑k 2

k k 1 xk

2

2 1

x

3

Izdvajamo funkcije koje se unutar nekog intervala oko posmatrane tacke x0

mogu predstaviti stepenim redom oko tacke x0

Definicija 3.7 Funkcija F x je realna analiticka u tacki x0 ako postoji stepeni red ∞

∑k 0

ak

x x0

k

polupreˇ cnika R 0

tako da za svako x

x0 R

x0

R

važi

F

x

∞

∑k 0

ak

x x0

k

Jedna analiticka funkcija ne može biti predstavljena sa dva razlicita stepena

reda, što sledi iz naredne teoreme.


∑k 0

ak x x0

k stepeni red polupreˇ cnika R 0 i sume F x

x

x0 R

x0

R

Tada važi:

(i) F k

x0 k !ak za svako k 0




(ii) Za F

x

∞

∑k 0

ak

x x0

k

∞

∑k 0

bk

x x0

k važi ak

bk za svako k 0

Dokaz. (i) Kako je F x0 a0

∞

∑k

1

ak x0 x0

k i 0! 1 za k 0 dobijamo

traženo tvrdjenje. Za k na osnovu teoreme 3.23, imamo

F k x

∞

∑m k

m m 1

m

k 1 am x

x0

m k

k

k 1 2 1

ak

∞

∑m k 1

m

m 1

m k

1

am

x x0

m k

pa je

F

k

x0 k k 1 2 1 ak

∞

∑m

k

1

m m 1 m k 1 am x0 x0

m

k

k !ak

što je trebalo pokazati.

Tvrdenje pod (ii) sledi direktno iz tvrdenja pod (i).

Primer 3.41. Pokazacemo da za svako x važi

a)∞

∑k

0

1k !

xk e x

b)∞

∑k

0

1

k

2k 1 !

x2k

1 sin x c)

∞

∑k

0

1

k

2k !

x2k cos x

a) Za stepeni red∞

∑k 0

1k !

xk 1

x

x2

2

x3

3! poluprecnik konvergencije je

R

limk ∞

ak

ak

1

limk ∞

k 1 !k !

limk ∞

k

1

∞

te polazni red konvergira za svako x

Dajemo sledecu karakterizaciju funkcije e x Neka je F

x

∞∑k

0

1k !

xk pa na

osnovu (3.29) sledi

F

x

∞

∑k 1

k

k ! xk 1

∞

∑k 1

1

k 1 !

xk 1

∞

∑k 0

1k !

xk

F

x




2

1

23

4

5

6

F(x) = e x

F

F

F

F

F

F

Slika 3.7. Clanovi niz parcijalnih suma iz primera 3.41 a) i granicna funkcija e x

Dobijena diferencijalna jednacina (jednacina u kojoj se pojavljuju izvodi nepoznate

funkcije) F F implicira dF

dx F odakle je

dF

F dx Integracija prethodne

jednakosti daje opšte rešenje ln F

x

C gde je C

Uz pocetni uslov

F 0 1 0

02

2

03

3! 1

dobijamo C

0

te je traženo partikularno rešenje F

x

e x

Na slici 3.7 su prikazani neki clanovi niza parcijalnih suma posmatranog ste-

penog reda, tj. niza

F n n

gde je F n

x

n

∑k 0

1k !

xk

kao i granicna funkcija.

Dobijena reprezentacija funkcije e x pomocu stepenog reda nam pokazuje da jeeksponencijalna funkcija e x realna analiticka funkcija u tacki x0

0

po definiciji

3.7. Kako je e x e x x0 x0

e x0

∞

∑k 0

x x0

k

k ! to je funkcija e x realna analiticka

funkcija i za proizvoljno x0

b) Iz

R

1

limsupk ∞k

ak

1

limk ∞

2k 1

1

k

2k 1

!

limk

∞

2k 1

2k 1 ! ∞

sledi konvergencija stepenog reda

F

x

∞

∑k 0

1

k

2k 1 !

x2k 1

x

x3

3!

x5

5!

x7

7!




za svako x

Dajemo sledecu karakterizaciju funkcije sin x

Diferenciranjem dva puta "clanpo clan" dobijamo

F

x

∞

∑k 0

1

k 2k

1

2k 1 !

x2k

∞

∑k 1

1

k 2k

1 2k

2k 1 !

x2k

1

∞

∑k 1

1

k

2k 1 ! x2k 1

∞

∑k 0

1

k 1

2k 1 ! x2k 1

F

x

tj. dobijamo diferencijalnu jednacinu F

x F x Ne ulazeci u detalje reša-vanja ove jednacine (karakteristicna jednacina dobijene diferencijalne jednacineF

x

F

x je r 2

1 pa su njeni karakteristicni koreni r

i i r

i

te fundamentalni sistem rešenja cine sin x i cos x) imamo da je opšte rešenje dato

sa F

x

C 1 sin x

C 2 cos x

Iz pocetnih uslova F

0

0

03

3!

05

5!

0 i

F

0

1

02

2

04

4!

1

dobijamo C 1

1 i C 2

0

te je traženo partiku-

larno rešenje F

x sin x

Clanovi niza parcijalnih suma posmatranog stepenog reda, tj. niza

F n n

gde je F n

x

n

∑k 0

1

k

2k 1 !

x2k 1

kao i granicna funkcija sin x su dati slikom

3.8.

1

01 23F F F F

Slika 3.8. Clanovi niz parcijalnih suma iz primera 3.41 b) i granicna funkcija sin x

c) U ovom slucaju, za poluprecnik konvergencije imamo

R

1

limsupk ∞

k

ak

1

limk

∞

2k

1

k

2k !

limk ∞

2k

2k !

∞

te stepeni red

F

x

∞

∑k 0

1

k

2k !

x2k 1

x2

2!

x4

4!

x6

6!




konvergira za svako x

-1

1

1

2

3

4F F

FF

Slika 3.9. Clanovi niz parcijalnih suma iz primera 3.41 c) i granicna funkcija cos x

Dajemo sledecu karakterizaciju funkcije cos x Kao i pri karakterizaciji funkcije

sin x diferenciranjem dva puta "clan po clan" dobijamo

F

x

∞

∑k

1

1

k 2k

2k

! x2k

1

∞

∑k

0

1

k

1

2k

! x2k

F x

tj. diferencijalnu jednacinu F

x

F

x Karekteristicna jednacina je i u ovom

slucaju r 2 1 pa su njeni karakteristicni koreni r

i i r

i te fundamentalni

sistem rešenja cine sin x i cos x Opšte rešenje je dato sa F x C 1 sin x C 2 cos x

a iz pocetnih uslova F 0 1

02

2!

04

4! 1 i F

0 0

03

3

05

5! 0

dobijamo C 1 0 i C 2 1 te je traženo partikularno rešenje F x cos x

Stepeni red∞

∑k 0

1

k

2k !

x2k cos x je ilustrovan slikom 3.9, gde je

F n n

niz

parcijalnih suma, tj. F n

x

n

∑k 0

1

k

2k ! x2k

Primer 3.42. Funkcionalni red∞

∑k

1

x2 1

k

k ! iz primera 3.5 se smenom t x2

1

svodi na stepeni red∞

∑k 1

1k !

t k Iz primera 3.41 a) sledi

et

∞

∑k

0

1k !

t k 1

∞

∑k

1

1k !

t k

te važi∞

∑k 1

x2 1

k

k !

∞

∑k 1

1k !

t k

et 1

e x2 1

1




Primer 3.43. Pokazacemo da za svako x

1

1

važi

∞

∑k 0

1

k

k 1

xk

1 ln 1 x

Kako je

limk ∞

ak

ak

1

limk ∞

1

k 1

k

1

k

k

1

limk ∞

k 1

k 1

poluprecnik konveregencije u ovom primeru je R 1 Za x 1 dobijamo brojni

red∞

∑k

0

1

k

k 1 koji konvergira, a za x

1 divergentni brojni red∞

∑k

0

1

k 1 te je

oblast konvergencije interval 1 1 Neka je

F x

∞

∑k

0

1

k

k 1

xk

1 x

x2

2

x3

3

x4

4

za x 1 1 Poznata suma geometrijskog reda∞

∑k 0

xk

11

x i teorema 3.17 za

x 1 1 nam daju

F

x

∞

∑k 0

1

k

k

1 xk

1

∞

∑k 0

1

k xk

∞

∑k 0

x

k

1

1

x

1

1

x

Sada, integracijom dobijamo

F

x

F

0

x

0F

t

dt

x

0

11

t dt

ln

1

t

x

0

ln

1

x

gde je F 0 0

02

2

03

3 0

Parcijalne sume i granicna funkcija stepenog reda iz ovog primera su ilustro-vani slikom 3.10.

Primer 3.44. Posmatrajmo stepeni red∞

∑k 0

αk

xk

gde je α

i

αk

α

α 1

α 2

α k

1

k !




-1

1F0

F1F2F3

F(x) = ln(1+x)

Slika 3.10. Clanovi niz parcijalnih suma iz primera 3.43 i granicna funkcija ln

1

x

Iz kriterijuma 3.20 sledi

R limk ∞

ak

ak

1

limk ∞

α

k

αk

1

limk ∞

k 1

α

k

1

pa po teoremi 3.18 posmatrani red konvergira za svako x 1 Neka je

F x

∞

∑k 0

α

k

xk 1 α x

α

α 1

2!

x2

α

α 1

α 2

3!

x3

pa je izvod "clan po clan" dat sa

F

x

1

α x

α

α 1

2! x2

α

α 1

α 2

3! x3

α α α 1 x

α

α 1

α 2

2! x2

Odatle je lako videti da je 1 x F x αF x Ako sa H oznacimo funkciju

H

x

F x

1 x

α za njen izvod važi

H

x

F

x 1 x

α

F x α 1 x

α 1

1 x

2α

F

x 1 x

F x α

1 x

α

1 0

tj. H x C gde je C konstanta. Kako je

H 0

F 0

1 0

α 1

α0

α α 1

2! 02

1




konstanta C mora biti baš jednaka jedinici, tj. H

x

1

te je po definiciji funkcije

H konacno F x

1 x α

Odnosno, za svako α

i svako x

1 važi

∞

∑k 0

α

k

xk 1 x

α (3.30)

Za x 1 i x

1 konvergencija polaznog stepenog reda zavisi od vrednostiparameta α

Ako je x 1 polazni stepeni red konvergira za α

1 dok uslucaju x

1 imamo konvergenciju za α 0 (ovo ovde ne dokazujemo).

Napomena 3.3 Ako je α treba primetiti da za svako k

α važi

α

k

0

(iznad razlomacke crte pojavljuje se izraz

α α

) te se (3.30), svodi na uobicajenubinomnu formulu

1

x

α

α

∑k 0

α

k

xk

Redovi iz primera 3.33, 3.41, 3.43 i 3.44 konvergiraju ka funkcijama koje surealne analiticke na odgovarajucim intervalima i od velikog su znacaja za dalji rad,pa ih navodimo još jednom.

∞

∑k

0

xk

11

x

x 1 1

∞

∑k

0

1k !

xk e x

x

∞

∑k 0

1

k

2k 1 ! x2k 1

sin x

x

∞

∑k 0

1

k

2k ! x2k

cos x

x

∞

∑k 0

1

k

k 1

xk 1 ln 1

x

x 1 1

∞

∑k

0

αk

xk 1 x

α x 1 1




Primer 3.45. Razvicemo u stepeni red funkciju F

x

arcctg3 x i odrediti oblast

konvergencije. Kako je

F

x

31 3 x

2 3 1

1 9 x2

na osnovu primera 3.33 sledi diferenciranjem "clan po clan"

F

x 3

∞

∑k 0

9 x2

k

∞

∑k 0

1

k 132k 1 x2k

te, kako je F 0 arcctg0 0 imamo integracijom "clan po clan"

F

x

F

x

F 0

x

0F

t

dt

∞

∑k 0

1

k 132k 1 x

0t 2k dt

∞

∑k 0

1

k 132k 1

2k 1

x2k 1

Poluprecnik konvergencije je

R

1

limsupk ∞

k

ak

1

limk

∞

2k 1

1

k 132k

1

2k 1

limk ∞

2k 1

2k

1

limk ∞

2k 1

32k 1

13

Za x

13

dobijamo brojni red∞

∑k 0

1

k 1

2k 1

a za x

13

brojni red∞

∑k 0

1

k

2k 1

pa

kako oba brojna reda konvergiraju (teorema 2.16), oblast konvergencije je zatvoreniinterval 1 3 1 3

Primer 3.46. Razvicemo u stepeni red funkciju datu sa

F

x ln

x

1

x2

i odrediti poluprecnik konvergencije tako dobijenog reda. Prvi izvod date funkcije je

F

x

1

x

1 x2

1

x

1 x2

1

1 x2 1

x2

12

(3.31)




Na osnovu primera 3.44 za α

1

2

sledi

F

x

∞

∑k

0

12

k

x2k

1

∞

∑k

1

12

12

1

12

2

12

k 1

x2k

k !

1

∞

∑k 1

1

k 1

3

5

2k

1 x2k

2k k !

1

∞∑k 1

1 k

2k ! x2k

2k k ! 2 4 6 2k

1

∞

∑k

1

1

k 2k

! x2k

22k

k !

2

∞

∑k 0

1

k

2k

! x2k

22k k !

2

Sada, iz F 0 ln

0

1 02

0 i teoreme 3.21 sledi

F

x

F

x

F 0

x

0F

t

dt

∞

∑k

0

1

k 2k

! x2k

1

22k k !

2 2k 1

(3.32)

Po teoremi 3.22, redovi (3.31) i (3.32) imaju iste poluprecnike i to

R

1

limsupk ∞

k

ak

1

limk ∞

2k

1

k 2k

!22k

k !

2

limk

∞

2 k

k !2k

2k ! lim

k

∞

2ke

1 2k

2k π

2ke

1 4k

4k π 1

gde k !

2k πk k e k

Primer 3.47. Data je funkcija F

x ln

1

2 x

1 2 x

Iz F

x

21

4 x2 i primera

3.33 sledi diferenciranjem "clan po clan"

F

x 2

∞

∑k 0

4 x2

k

∞

∑k 0

22k 1 x2k




Sada, po teoremi 3.21 imamo

F

x

F 0

x

0F

t

dt

∞

∑k 0

22k 1 x

0t 2k dt

∞

∑k 0

22k 1

2k 1

x2k 1

Kako je F 0 0 dobijamo F

x

∞

∑k

0

22k

1

2k 1 x2k

1 Poluprecnik konvergencije

odredujemo na osnovu kriterijuma iz teoreme 3.21:

R

1

limsupk ∞

k

ak

1

limk ∞

2k 1

22k

1

2k 1

limk

∞

2k

1

2k 1

2

12

Kako je poluprecnik konvergencije 1

2

interval oblika

1

2

1

2

sigurno pri-pada oblasti konvergencije. Treba još proveriti da li dobijeni stepeni red konver-

gira i u rubnim tackama intervala 1 2 1 2 što se za x

12

i x

12

svodi

na ispitivanje konvergencije brojnih redova∞

∑k 0

12k

1 i

∞

∑k 0

12k

1 redom. U

oba slucaja imamo divergentne brojne redove, te je oblast konvergencije otvoreniinterval 1 2 1 2

Treba primetiti da u ovom primeru polaznu funkciju možemo zapisati kao

F

x

12

ln

1

2 x

ln

1 x

te da je za njen razvoj u stepeni red moguce

iskoristiti primer 3.43. Opisani drugi nacin za razvijanje u stepeni red polazne

funkcije ostavljamo citaocu za vežbu.

Primer 3.48. Odredicemo oblast konvergencije stepenog reda∞

∑k 1

kxk

k 1 k ! i nje-

govu sumu. Kako je

R limk ∞

ak

ak

1

limk ∞

k

k 2

k 1 !

k 1

2k ! lim

k ∞

k 2 2k

k 1

∞

polazni red konvergira za svako x Neka je F suma polaznog reda. Sada imamo

F

x

∞

∑k 1

k

k 1 k ! xk

∞

∑k 1

xk

k 1 k 1 !

1 x

∞

∑k 1

xk 1

k 1 k 1 !

Ako sa H oznacimo funkciju H x

∞

∑k

1

xk

1

k 1

k 1 !

tada je H x x F x

Diferenciranjem "clan po clan" dobijamo

H

x

∞

∑k 1

xk

k 1 !

x∞

∑k 1

xk 1

k 1 !




Neka je G x

∞

∑k

1

xk

1

k

1

! Pomerenjem brojaca dobijamo G x

∞

∑k

0

xk

k ! pa iz

primera 3.41 a) sledi G

x

e x odnosno H

x

xe x Integracija nam daje sledece

H

x

H 0

x

0 H

t

dt

x

0tet dt

xe x

e x 1

a kako je H 0

∞

∑k

1

0k 1

k 1

k 1 !

0 imamo konacno F x

xe x

e x 1

x

Primer 3.49. Odredicemo poluprecnik konvergencije i sumu stepenog reda oblika∞

∑k

1

1

k 2k 9k

2k

! x2k

Poluprecnik konvergencije odredujemo po kriterijumu iz teo-

reme 3.21

R

1

limsupk

∞

k

ak

1

limk ∞

2k

1

k 2k 9k

2k !

limk ∞

2k

2k !

3 2k

2k lim

k ∞

2k 4k

4k π

3e 2k

2k

∞

Neka je F

x

∞

∑k 1

1

k 2k 9k

2k ! x2k

x G

x gde je G

x

∞

∑k 1

1

k 2k 9k

2k ! x2k 1

Integraleci funkciju G dobijamo

x

0G t dt

∞

∑k 1

1

k 2k 32k

2k !

x

0t 2k 1 dt

∞

∑k 1

1

k 2k 32k

2k !

x2k

2k

∞

∑k

1

1

k 3 x

2k

2k ! 1

∞

∑k

0

1

k 3 x

2k

2k ! 1 cos3 x

te je G

x 1 cos3 x

3sin3 x i konacno F

x 3 x sin3 x

Primer 3.50. Odredicemo poluprecnik konvergencije i sumu stepenog reda oblika∞

∑k

1

1

k

k 1

k xk

Za poluprecnik konvergencije po kriterijumu iz teoreme 3.20

važi

R

limk

∞

ak

ak 1

limk

∞

k 1

2

k k 2

1

Neka je suma datog reda za x

1 funkcija F

Kako iz primera 3.43 sledi inte-graleci "clan po clan"

x

0F

t

dt

∞

∑k 1

1

k k 1

k

x

0t k dt

∞

∑k 1

1

k

k xk 1




x∞

∑k

1

1

k

1

k xk

x∞

∑k

0

1

k

k

1 xk 1

x ln 1 x

to je F

x

x ln 1

x

ln

x 1

x

x 1

3.5.4 Tejlorov red

U ovom poglavlju dajemo vezu izmedu stepenih redova i Tejlorove formule(AI, glava 4.13).

Definicija 3.8 Neka realna funkcija f jedne realne promenljive ima u taˇ cki x0 k-ti

izvod za svako k

Stepeni red oblika

∞

∑k

0

f

k

x0

k !

x x0

k (3.33)

zove se Tejlorov2 red funkcije f u tacki x0

Za x0 0 red (3.33) ima oblik

∞

∑k 0

f k 0

k ! xk (3.34)

i naziva se Maklorenov3 red.Red (3.33) može na nekom intervalu da konvergira ka funkciji f

x tj. može

da važi

f

x

∞

∑k 0

f k x0

k !

x x0

k (3.35)

ali i ne mora, što se vidi iz narednog primera.

Primer 3.51. Posmatrajmo funkciju f

x

e

1 x2

x 0

0

x 0

. Iz definicije izvoda

(AI, definicija 4.1) sledi

f

0 lim x 0

f x f 0

x

lim x 0

e

1

x

2

x

limt

∞

e t

1

t

limt

∞

t

et 0

2B. Taylor (1685-1731)3C. Maclaurin (1698-1745)




gde je t

1 x 2

dok za x

0 imamo f

x

2e

1 x2

x3

Drugi izvod u nuli je

f

0 lim

x

0

f

x

f

0

x

lim

x

0

e

1

x

2

x

4 limt ∞

e

t

1t 2

limt ∞

t 2

et 0

a za x 0 dobijamo f

x 2e

1 x2

2 x2

x6 Može se pokazati da su svi izvodi

posmatrane funkcije u nuli jednaki nuli, te je i suma (3.34) jednaka nuli. Zato zasvako x 0 važi

f

x

∞

∑k 0

f k 0

k !

xk

Zakljucujemo da navedena funkcija nije realna analiticka funkcija u nuli.

Naredna teorema daje odgovor na pitanje pod kojim uslovima jednakost (3.35)važi. Prvo je neophodno napomenuti da po Tejlorovoj teoremi (AI, teorema 4.19)ako je funkcija f neprekidna i ima neprekidne sve izvode do n-tog reda na nekomintervalu

a

b i ima izvod f

n

1 na intervalu

a

b , važi Tejlorova formula

f

x

n

∑k

0

f

k

x0

k !

x x0

k

r n

x0

x

gde je, za proizvoljnu fiksnu neprekidnu funkciju ϕ na

a

b koja ima izvod razlicit

od nule na

a

b

i c

a

b

ostatak r n

x0

x

je dat sa

r n x0 x

ϕ

x

ϕ

x0

ϕ

c n! f

n

1

c x c

n (3.36)

Ako je ϕ

t

x t dobijamo Košijev oblik ostatka

r n

x0

x

1n!

f n 1

c

x c

n

x x0

c

x0

x dok za ϕ

t

x t

n 1 dobijamo Lagranžov oblik ostatka

r n x0 x

1

n 1 !

f

n

1

x0 θ x x0 x

x0

n

1 (3.37)

za 0 θ 1




Teorema 3.24 Neka funkcija f na intervalu

x0 R

x0

R

zadovoljava uslove

Tejloreove teoreme za svako k i neka za svako k postoji konaˇ can izvod f

k

x0 . Tada je

f x

∞

∑k

0

f

k

x0

k ! x x0

k

ako i samo ako ostatak iz Tejlorove formule dat sa (3.36) za funkciju f u taˇ cki x0teži ka nuli, tj.

limn ∞

r n x0 x 0

Dokaz. Pretpostavimo da je f

x

∞

∑k 0

f k x0

k !

x x0

k tj. stepeni red dat

sa∞

∑k 0

f k

x0

k ! x

x0

k konvergira ka funkciji f na intevalu x0 R x0 R Po

definiciji 3.2, za niz parcijalnih suma

F n n

posmatranog stepenog reda važi

limn

∞F n

x

f

x

tj. za svako ε 0 postoji n0

ε tako da za svako n

n0

n imamo

f

x

F n

x

ε (3.38)

Kako je

f

x

F n

x

f

x

n

∑k 0

f k

x0

k !

x x0

k

r n

x0

x (3.39)

iz (3.38) sledi limn

∞r n x0 x 0

Ako sad pretpostavimo da važi limn

∞r n

x0

x 0 za svako ε

0 postoji n0

ε

tako da za svako n

n0

n imamo

r n

x0

x

ε Dalje, iz (3.39) sledi

limn ∞

F n x f x te funkcija f jeste suma stepenog reda∞

∑k

0

f

k

x0

k ! x x0

k

Primer 3.52. Pomocu prethodne teoreme za ostatak oblika (3.37) ponovo cemo

dokazati jednakosti iz primera 3.41.a) Posmatrajmo prvo funkciju f

x

e x

Kako za svako k

važi f k

x

e x

Maklorenov red date funkcije je

∞

∑k 0

f k 0

k ! xk

∞

∑k 0

1k !

xk




Treba još dokazati da je suma posmatranog Maklorenovog reda baš funkcija f

Za

svako x r r

i svako r

za 0 θ

1

imamo

r n 0 x

xn

1

n

1

!eθ x

r n

1 M

n

1

!

gde je M eθ x Iz lim

n ∞

r n 1

n 1 !

0 (AI, primer 2.10 a)) i prethodne nejednakosti

sledi i limn

∞r n 0

x 0 te važi

e x

∞

∑k 0

1k !

xk

b) Neka je sada f x sin x Iz f

2k

x

1

k sin x i f

2k

1

x

1

k cos x

imamo f

2k

0 0 i f

2k

1

0 1

k te je Maklorenov red dat sa

∞

∑k 0

f k 0

k ! xk

∞

∑k 0

1

k

2k 1 !

x2k 1

U ovom primeru za ostatak iz Tejloreove formule važi

r 2n 0 x

x2n

1

2n

1

! cosθ x

r 2n

1

2n

1

!

za svako x

r

r i svako r

Prethodna nejednakost i granicna vrednost

limn

∞

r n

n! 0 daju nam lim

n

∞r n 0

x 0 pa je

sin x

∞

∑k 0

1

k

2k 1 ! x2k 1

c) Za f

x

cos x se, analogno prethodnom slucaju, dokazuje da važi

cos x

∞

∑k 0

1

k

2k !

x2k

Iz f 2k x

1

k cos x i f 2k 1

x

1

k 1 sin x imamo f 2k 0

1

k i f

2k

1

0 0 te je Maklorenov red dat sa

∞

∑k 0

f k 0

k ! xk

∞

∑k 0

1

k

2k !

x2k




Sada, za ostatak iz Tejloreove formule važi

r 2n

1 0

x

x2n 2

2n 2 ! cos θ x

r 2n 2

2n 2 !

za svako x

r

r i svako r

Prethodna nejednakost i limn

∞

r n

n! 0 impliciraju

limn ∞

r n 0 x 0 iz cega sledi traženo.

Naredna teorema je direktna posledica teoreme 3.24 i daje nam potreban i do-voljan uslov da funkcija f bude realna analiticka na intervalu oblika x0 R x0

R

Teorema 3.25 Neka funkcija f na intervalu

x0

R

x0

R

zadovoljava usloveTejloreove teoreme za svako k

i neka za svako k

postoji konaˇ can izvod

f k

x0

. Funkcija f je realna analitiˇ cka na intervalu

x0 R

x0

R

ako i samo

ako ostatak iz Tejlorove formule dat sa (3.36) za funkciju f u taˇ cki x0 teži ka nuli,

tj. limn ∞

r n x0 x 0

3.5.5 Primene stepenih redova

Prva primena koju ovde navodimo se odnosi na teoriju relativiteta Alberta Anš-tajna. Kao što znamo, kineticka energija je izražena formulom

E kin

mc2

moc2

m0

1

vc

2c2

m0c2

(3.40)

gde je m0 masa mirovanja, c brzina svetlosti, a v brzina tela.

Za male vrednosti x

v

c možemo uzeti prva dva clana iz razvoja funkcije

1

1 x2

u stepeni red datog sa

1

1 x2

1

12

x2

1 32 4

x4

1 3 52 4 6

x6

što za formulu (3.40) daje približnu vrednost

E kin 12 m0v2 38 m0v2

vc

2

Druga primena koju ovom prilikom navodimo je izracunavanje integrala

Φ

x

1

2π

x

∞e

t 22 dt




koji je od velikog znacaja za teoriju verovatnoce i statistike.

Kako je stepeni red funkcije e t 22 dat sa

e

t 22

1

t 2

2

t 4

22 2!

t 6

23 3!

to je za x

Φ x

12

1

2π

∞

∑k

0

1

k

k !

2k

1

2k x2k

1

Ako hocemo da izracunamo Φ 1 na dve decimale, dovoljno je da se zaustavimoma trecem clanu reda, te je

Φ 1

12

1

2π

1

16

140

1336

0 84

Tre´ ca primena se odnosi na rešavanje diferencijalnih jednacina. Rešicemo, naprimer, jednacinu

x2 1

y

x 6 y

x

Stavljajuci y

x

∞

∑k 0

ak xk

dobijamo

x2 1

y

x 6 y

x

x2 1

∞

∑k 2

k

k 1

ak xk 2

6∞

∑k 0

ak xk

2 1a2 6a0 3 2a3 6a1

x 4 3a4 6a2 2 1a2

x2

Izjednacavanjem sa nulom prethodnog izraza, za koeficijente dobijamo

a0

a0

a1

a1

a2 3a0

a3 a1

a4

a0

i

ak

0 za k 5 i neparno

3a0

k 3

k 1

za k 5 i parno

pa je rešenje

y

x

a0

a1 x 3a0 x2

a1 x

3

a0 x4

∞

∑k 3

3a0

2k 1 2k 1

x2k

gde a0 i a1 biramo proizvoljno.



3.6. Furijeov red 125

3.6 Furijeov red

Osnovni zadatak ovog poglavlja se sastoji u reprezentaciji neke funkcije f

definisane na intervalu π

π , odnosno periodicne funkcije perioda 2π nad celim

, pomocu trigonometrijskog reda oblika

f

x

a0

2

∞

∑n 1

an cos nx

bn sin nx (3.41)

Reprezentacija se odnosi na ceo interval π

π

(a ne samo lokalno, u okolini tacke,

kao kod potencijalnog reda).Postavlja se pitanje veze koeficijenata an

bn i funkcije sume f Zato su nam

važne sledece relacije

Primer 3.53. Koristeci trigonometrijske jednakosti

sin α sin β

12

cos

α β

cos

α

β

cosα cosβ

12

cos

α β

cos

α

β

sin α cosβ 12 sin α β sin α β

lako dobijamo

π

π

cos nxcos mx dx

π

π

sin nxsin mx dx

0

n m

π m n

iπ

π

sin nxcos mx dx 0

za svako n

m

Pretpostavljajuci da red (3.41) konvergira, množenjem (3.41) sa cos mx dobijamo

f

x

cos mx

a0

2 cos mx

∞

∑n 1

an cos nxcos mx

bn sin nx cos mx

(3.42)




Pod pretpostavkom da je funkcija f

x

cos mx Riman integrabilna na intervalu π π

i da se red u (3.42) može integraliti clan po clan tada koristeci primer 3.53dobijamo prvo za m 0

π

π f x dx

12

a02π odnosno, a0

1π

π

π f x dx

a za m

π

π f

x cos mx dx

amπ odnosno am

1π

π

π f

x cos mx dx

Množeci sada (3.41) sa sin mx i ponavljajuci prethodni postupak dobijamo π

π f

x

sin mx dx

bmπ

tj. bm

1

π

π

π f

x

sin mx dx

Upravo predhodne tri jednakosti nas dovode do naredne definicije.

Definicija 3.9 Za funkciju f koja je definisana i integrabilna na intervalu π

π

njen trigonometrijski red (3.41) za koeficijente an n 0 1 i bn n 1 2

date sa

an

1π

π

π

f

x cos nx dx

n 0 1 2

bn

1π

π

π

f

x sin nx dx

n 1 2

(3.43)

naziva se Furijeov4 red funkcije f

Koeficijenti an

n 0 1

i bn

n 1 2

su Furijeovi koeficijenti funkcije f

Osnovna dva problema vezana za Furijeove redove su da li dobijeni Furijeovred konvergira i da li konvergira baš ka funkciji f

Za široku klasu funkcija odgovordaje sledeca teorema, ciji složen dokaz ovde izostavljamo.

Teorema 3.26 Neka za funkciju f : π π važi:

1) Funkcija f je neprekidna u svim taˇ ckama x

π

π

A

dok u taˇ ckama

x A

za A

/0

ima prekide prve vrste (leva limt x 0

f

t

f

x 0

i desna

graniˇ cna vrednost limt

x

0 f

t

f

x 0

u taˇ cki x postoje ali su razliˇ cite).

4J. B. J. Fourier (1768-1830)




2) Postoji podela intervala π

x0 x1

xn

π tako da je funkcija

monotona na svakom podintervalu xi 1 xi i

1 n

Tada važi:

(i) Furijeov red funkcije f konvergira za svako x π π ka funkciji s x

(ii) Ako je funkcija f neprekidna u taˇ cki x

π

π

tada je s

x

f

x

(iii) Ako funkcija f ima prekid u taˇ cki x π π onda je

s x

f

x

0

f

x 0

2

(iv) Na krajevima intervala je

s

π

s

π

f

π

0

f

π 0

2

U nekim specijalnim slucajevima se konvergencija Furijeovog reda, i to bašuniformna konvergencija, može mnogo lakše dokazati. Slede teoreme koje namdaju dovoljne uslove za uniformnu konvergenciju.

Teorema 3.27 Ako red ∞

∑n

1

an

bn

konvergira, onda Furijeov red (3.41) kon-

vergira uniformno na svakom konaˇ cnom intervalu.

Dokaz. Kako je an cos nx

bn sin nx

an bn

to po Vajerštrasovoj teoremi sledi uniformna i apsolutna konvergencija Furijeovogreda (3.41).

Primer 3.54. Za funkciju datu sa f x x i f x 2π f x za x π π

Furijeovi koeficijenti su bn 0 (parna funkcija!),

a0

1π

π

π

x dx

2π

π

0 x dx π

i

an

1π

π

π

x

cos nx dx

2π

π

0

x cos nx dx

n 1 2




tj. za n

imamo a2n

0 i

a2n 1

4π

2n 1

2

Uslov f

x 2π

f

x periodicno proširuje funkciju f na ceo skup Zato je

Furijeov red funkcije f

x

x (koji konvergira uniformno, teorema 3.27) dat sa

f x

π

2

4π

∞

∑n

1

cos 2n 1

x

2n 1

2 za sve x

Clanovi niza parcijalnih suma Furijeovog reda iz ovog primera, kao i sama funkcija f

su dati slikom 3.11. Punom linijom je predstavljena fukcija f tj. f

x

x i

f

x

2π

f

x

za x

π

π

dok sa isprekidanim i tackastim linijama date

parcijalne sume F 1 x π2 4cos x

π i F 2 x π2 4cos x

π 4cos3 x9π

respektivno.

-5 5Slika 3.11. Clanovi niza parcijalnih suma i suma Furijeovog reda iz primera 3.54

Primer 3.55. Za funkciju

f

x

x za x

π

π

0 za x

π

i f

x 2π

f

x (funkcija f je ovim proširena na ceo skup realnih brojeva) Fu-

rijeovi koeficijenti su an 0 (neparna funkcija!) i

bn

1

π

π

π x sin nx dx

2 1

n 1

n

n

1

2

Zato je Furijeov red funkcije f

x (koji konvergira uniformno, teorema 3.27) dat

sa

f

x 2

∞

∑n 1

1

n 1 sin nx

n za sve x




Teorema 3.28 Neka f C 2

π

π

tada Furijeov red funkcije f uniformno kon-

vergira i Furijeov red se može diferencirati ˇ clan po ˇ clan.

Dokaz. Dvostrukom parcijalnom integracijom Furijeovih koeficijenata dokaz sesvodi na primenu teoreme 3.27.

Teorema 3.29 Za neprekidnu funkciju f : π π važi

limn

∞an 0 i lim

n

∞bn 0

Dokaz. Kako je funkcija f uniformno neprekidna na intervalu π

π

(AI, Teo-rema 3.18), to za proizvoljno dato ε 0 postoji δ 0 da za x

x

δ važi

f

x

f

x

ε

4π Neka je M

max x

π

π

f

x Birajuci podelu P inter-

vala π

π oblika

π

x0

x1

xs

π za koju je λ P max

1

i

n∆ xi

δ

dobijamo

bn

π

π f

x sin nxdx

s

∑k 1

xk

xk 1

f

x

sin nxdx

s

∑k 1

f

xk

xk

xk 1

sin nxdx

s

∑k 1

xk

xk 1

f

x

f

xk sin nxdx

Primetimo da postoji n0 da za svako n

n0 važi 1n

ε4 Ms

Odatle sledi

π

π f

x sin nxdx

s

∑k 1

f

xk

xk

xk 1

sin nxdx

2π ε

4π

2 Ms

n

ε

2 ε

za svako n

n0

Analogno dokazujemo i da je limn

∞an

0

Prethodna teorema važi i za bilo koju funkciju koja je apsolutno Riman inte-grabilna na intervalu π π

Funkcija f :

a

b

je po delovima neprekidna na intervalu

a

b

ako seinterval a b može podeliti na konacan broj podintervala a x0 x1 xn b

tako da je funkcija neprekidna na svakom podintervalu xi

1 xi i 1 n i

lim x xi 0

f

x

lim x xi 0

f

x

i

1

n




Teorema 3.30 Furijeov red (3.41) periodiˇ cne po delovima neprekidne funkcije f

na intervalu π π sa po delovima neprekidnim prvim izvodom f

konvergirataˇ ckasto na intervalu π π i važi

f

x 0

f

x 0

2 a0

∞

∑n

1

an cos nx bn sin nx

gde su an n 0 1 2 i bn n 1 2 dati sa (3.43).

Teorema 3.31 Furijeov red neprekidne 2π periodiˇ cne funkcije f , sa po delovima

neprekidnim prvim izvodom f uniformno konvergira na svakom konaˇ cnom inter-

valu.

Diferenciranje "clan po clan" obezbedjuje sledeca teorema.

Teorema 3.32 Ako je f neprekidna 2π periodiˇ cna funkcija i obe funkcije f i f

su po delovima neprekidne na intervalu π

π

tada Furijeov se red (3.41) može

diferencirati ˇ clan po ˇ clan i važi

f

x

∞

∑n 1

n

an sin nx

bn cos nx

gde red sa desne strane prethodne jednakosti taˇ ckasto konvergira ka f u taˇ ckama

gde postoji f

Integraciju "clan po clan" obezbedjuje sledeca teorema.

Teorema 3.33 Ako je f po delovima neprekidna 2π periodiˇ cna funkcija, tada se

njen Furijeov red (3.41) može integraliti ˇ clan po ˇ clan i važi

x

π

f

t

dt

a0 x π

2

∞

∑n 1

1n

an sin nx bn cos nx

1

nbn

gde red sa desne strane prethodne jednakosti taˇ ckasto konvergira ka integralu

funkcije f .

Smenom promenljivih x πt , te f x f πt g t se dobija da je Fu-rijeov red za periodicnu funkciju g sa periodom 2 dat sa

a0

2

∞

∑n 1

an cos nπt

bn sin nπt

(3.44)




gde su koeficijenti dati sa

a0

1

g

x

dx

an

1

g

x

cos nπ x

dx

n

1

2

bn

1

g x sin nπ x

dx n 1 2

Primer 3.56. Odredicemo Furijeov red za funkciju

g x x2 i g x 2 g x za x

Kako je funkcija g parna to su bn

0

n

1

2

Za an imamo

a0

1

x2dx

2

2

3

an

1

x2 cos nπ x

dx

1

n4

2

n2π2 za n

te je g

x

2

3

4

2

π2

∞

∑n 1

1

n

n2 cos nπ

za x

10

Slika 3.12. ˇClanovi niza parcijalnih suma i suma Furijeovog reda iz primera 3.56

Clanovi niza parcijalnih suma Furijeovog reda i sama funkcija g za

π sudati slikom 3.12. Periodicna funkcija g je predstavljena punom linijom, a prva dva

clana niza parcijalnih suma, tj. F 1 x

π2

3 4cos x i F 2 x

π2

3 4cos x cos2 x

su dati isprekidanim i tackastim linijama, respektivno.




Primer 3.57. Odredicemo Furijeov red za funkciju

g

x cos

x

2 za x

π

π i g

x 2π

g

x

Kako je funkcija g parna, to su bn 0 n 1 2 Za koeficijente an imamo

a0

1π

π

π

cos x

2 dx

2π

i

an

1π

π

π

cos

x

2

nπ x

dx

1

n4

2

n2π2 za n

te je g x

2

3

4

2

π2

∞

∑n

1

1

n

n2 cos nπ x

za x

Sledecom šemom je na osnovu ove glave dat opšti postupak za odredivanjekonvergencije funkcionalnih redova.

3.7 Zadaci

1. Ispitati tackastu i uniformnu konvergenciju na interavalu 0 1 funkcionalnihnizova sledecih opštih clanova:

a) f n

x

xn

xn 1

b) gn

x

xn

x2n

c) hn

x

nx

1

n

x

2. Dokazati da funkcionalni niz

x2

1n2

n

uniformno konvergira na celom

skupu realnih brojeva.

3. Dokazati da funkcionalni niz opšteg clana

f n

x

n2 x 0 x

1n

n2

2n

x

1n

x

2n

0 x

2n

ne konvergira uniformno na intervalu 0 1 .

4. Ispitati tackastu i uniformnu konvergenciju funkcionalnih nizova opštihcla-

nova f n

x

sin nx

n i gn

x sin

x

n na celom skupu realnih brojeva.



3.7. Zadaci 133

k=1f k(x)

NE

NE

KRAJ

NE

NE

Bez odgovora

Ispitivanje konvergencije

funkcionalnog reda

Odredjivanje poluprecnika

konvergencije R (UN. i AP. K.)

(teoreme 3.21 i 3.22)

DAk=1

f k(x)

stepeni red

je

konvergencija u rubnim tackama

OBLAST KONVERGENCIJE

[-R,R], [-R,R), (-R,R] ili (-R,R)

DAk=1

f k(x)

Furijeov red

je

KONVERGENCIJA

Kriterijumi iz poglavlja 3.6 su

primenljivi

DA

DA Vajerstrasov

kriterijum

DA Abelov / Dirihleov

kriterijum

UNIFORMNA i APSOLUTNA

KONVERGENCIJA

UNIFORMNA i USLOVNA

KONVERGENCIJA

Slika 3.13. Ispitivanje konvergencije funkcionalnog reda.




5. Ispitati tackastu i uniformnu konvergenciju funkcionalnih nizova opštihcla-

nova f n x

arctg nx i gn x x arctg nx na intervalu

0 ∞

6. Ispitati uniformnu konvergenciju sledecih funkcionalnih redova:

a)∞

∑k 0

1 x xk za x

0 1

b)∞

∑k 1

x

k 1 x 1 kx 1

za x 0

∞

c)∞

∑k 1

k 2

k !

xk

x k

za 12

x

2

d)

∞

∑k 2

ln

1

k 2

k ln2 k

za x a a

7. U zavisnosti od realnih parametara p i q

q 0 ispitati uslovnu i apsolutnu

konvergenciju funkcionalnog reda∞

∑k 1

k p sin kx

1

k q za x

0

π

8. Razviti u stepene redove sledece funkcije i odrediti poluprecnike konvergen-cije:

a)F

x

ln 6

1 2 x

1 2 x

b) F

x

12

1

4 x2

x ln

2 x

1

4 x2

c)F x

sin3 x

3sin x

d) F x

ln2 3 x

3 2 x

e) F x x arcsin3 x f) F x ln

1 x6 x3 arctg x3

9. Izracunati sumu sledecih stepenih redova i odrediti poluprecnike konvergen-cije:

a)∞

∑k

1

1

k

1 k 2 k xk b)

∞

∑k

0

1

k 2k 2 x2k

2 c)

∞

∑k

1

k 22k xk

d)∞

∑k 1

k 2 2k

1

xk 2 e)

∞

∑k 1

k k 1 xk

3k

2 f)∞

∑k 1

k 2 1

xk

10. Odrediti oblast konvergencije i sumu funkcionalnog reda∞

∑k

1

x23n

n

n 1

xn



Glava 4

Realne funkcije više promenljivih

4.1 Euklidski n-dimenzionalni prostor

Osnovni skup u AI je bio skup realnih brojeva Posmatracemo sada višedi-menzionalni realni prostor. Skup

2 se sastoji od parova tacaka x x1 x2 gde xi i 1 2 Uobicajna oznaka za tacku iz

2 je i x x y gde je x prvakoordinata posmatrane tacke, a y

druga koordinata. Dalje, skup

3 se sastojiod trojki tacaka x

x1

x2

x3 gde xi

i 1 2 3 Takode, tacke iz

3 se cesooznacavaju i sa x

x

y

z

gde x

y

z

Generalno, skup

n se sastoji od n-torkitacaka x x1 x2 xn gde xi i 1 2 n

R I 2

x

yx = (x,y)

R I 3

x

y

z

x = (x,y,z)

Slika 4.1. Tacka u ravni i prostoru.

U skupu

n se uvodi operacija "sabiranja"

na sledeci nacin

x y x1 x2 xn y1 y2 yn x1 y1 x2 y2 xn yn (4.1)

135



136 Glava 4. Realne funkcije više promenljivih

Lako je videti da

n

cini komutativnu grupu, sa neutralnim elementom 0

0

0

Za a

definišemo "proizvod" sa x n na sledeci nacin

ax

a

x1

x2

xn

ax1

ax2

axn (4.2)

n u odnosu na prethodno dve uvedene operacije cini vektorski prostor.

Napomena 4.1 Vektorski prostor je moguce definisati i na proizvoljnom skupuV

Vektorski prostor nad poljem realnih brojeva je skup V snabdeven binarnomoperacijom u odnosu na koju je V komutativna grupa i "spoljašnjom" op-eracijom množenja vektora x V sa realnim brojem a koja zadovoljava sledeceuslove:

1)

a

b x

ax

bx

2) a x y

ax

by

3) a

bx

ab x

4) 1 x x

gde su a i b realni brojevi, a x i y proizvoljni vektori iz V

Lako je proveriti da skup

n sa uvedenim operacijama zadovoljava uslove 1)-4) iznapomene 4.1.

U AI smo videli da rastojanje d

x

x0 x

x0 izmedu tacaka x i x0 u nam

je obezbedilo preciziranje pojma da je x "blisko" x ("malo se razlikuje" od x0), tetime i definiciju granicne vrednosti funkcije.

U skupu

2 rastojanje od tacke x

x

y do tacke x0

x0

y0 je dato sa

d x x0

x x0

2

y y0

2 (4.3)

(videti sliku 4.2). U skupu

3 rastojanje od tacke x x y z do tacke x0

x0

y0

z0 je dato sa

d x x0

x x0

2 y y0

2 z z0

2 (4.4)

(videti sliku 4.3).U opštem slucaju, rastojanje izmedu tacka u

n je dato narednom definicijom.



4.1. Euklidski n-dimenzionalni prostor 137

R I 2

x - x0

y - y0 ( )

, x =

y

d

x = (x,y)

x = (x ,y )0 0 0

( )

, x =

y

d

R I 3

x - x0

y - y0

z - z0

x = (x ,y ,z )0 0 0 0

x = (x,y,z)

Slika 4.2. Rastojanje u

2

Slika 4.3. Rastojanje u

3

Definicija 4.1 Rastojanje od taˇ cke x x1 x2 x3 xn

n do taˇ cke y

y1

y2

y3

yn

n je dato sa

d x y

x1 y1

2

x2 y2

2

xn yn

2 (4.5)

Napomena 4.2 Funkcija d : X X 0 ∞ je rastojanje (metrika) na proizvoljnomskupu X ako ima slede´ ce osobine:

(i) d x y 0 ako i samo ako je x y ,

(ii) d x y d y x , za sve x y X

(iii) d

x

y

d

x

z

d

z

y

za sve x

y

z X

Osobine (i)-(iii) su iste kao i osobine za rastojanje na prostoru funkcija iz poglavlja

3.3!

Pokazacemo da funkcija definisana sa (4.5) zadovoljava uslove (i)-(iii) iz na-pomene 4.2, tj. da je stvarno rastojanje na

n Osobina (i) sledi iz cinjenice da je




zbir kvadrata jednak nuli ako i samo ako su svi sabirci baš jednaki nuli:

d x y 0

x1 y1

2

x2 y2

2

xn yn

2 0

x1 y1

2

x2 y2

2

xn yn

2 0

x1 y1 0 x2 y2 0 xn yn 0

x1

y1 x2

y2 xn

yn

x y

Kako za bilo koji realan broj a važi a2 a

2 rastojanje (4.3) zadovoljava i uslov

(ii). Uslov (iii) sledi direktno iz nejednakosti Minkovskog (AI, primer 4.6.6 c)) za p 2

n

∑i

1

ai bi

2

12

n

∑i

1

ai

2

12

n

∑i

1

bi

2

12

gde je ai xi zi i bi zi yi

Skup

n sa uvedenim operacijama (4.1) i (4.2) i rastojanjem (4.5) se zoveeuklidski n-dimenzionalni prostor .

Još jedan od bitnih pojmova je i pojam norme tacke x iz

n dat kao rastojanjeposmatrane tacke od koordinatnog pocetka, tj.

x

d

x

0

Na osnovu prethodnog, norma za neko x

n je data sa

x

x21

x22

x2n (4.6)

Napomena 4.3 U opštem slucaju, normu možemo definisati na proizvoljnom vek-torskom prostoru V kao preslikavanje : V

0

∞ sa sledecim osobinama:

(i) x 0 ako i samo ako je x 0,

(ii) ax

a x za svako a

,

(iii) x y x y

gde x y V



4.1. Euklidski n-dimenzionalni prostor 139

r

R I 2

x = (x ,y )0 0 0

y

x

r

R I 3

x = (x ,y ,z )0 0 0 0

x

y

z

( )x

x -r 0 x +r 0

R I

0

Slika 4.4. Simetricni interval u , disk u 2 i lopta u 3 .

Sada, proširujemo pojam simetricnog intervala nad (ε-okoline iz AI, poglavlje1.2.6) uvodeci pojam lopte na

n Neka je x0

n i r 0 Lopta (otvorena) sa cen-trom u tacki x0 i poluprecnikom r

u oznaci L x0

r je skup

L x0

r x x

n

d x0 x

r

U skupu lopta L

x0

r je interval

x0 r

x0

r u skupu

2 lopta L x0

r gde

je x0

x0

y0

je disk

x

y

x x

0

2

y y

0

2

r 2

(4.7)

a u

3 je lopta data sa L x0 r

x y z

x

x0

2 y

y0

2 z

z0

2 r 2

(videti sliku 4.4).

R I 2

O

r

x = (x,y)

x

y

Slika 4.5. Otvoren skup u

2

Pomocu pojma lopte, izdvajamo specijalne važne podskupove u

n




Definicija 4.2 Skup O

n je otvoren ako za svaku taˇ cku x0

n

postoji lopta

L x0 r za neko r

0 koja cela leži u O (slika 4.5).

Sama lopta je jedan otvoren skup. Specijalno, u otvoren interval a b jeotvoren skup, jer za svako x0

a

b postoji ε 0 tako da je

x0 ε

x0

ε

a

b

Takode, disk L x0

r dat sa (4.7) je otvoren skup u

2 jer za svako x L

x0

r

postoji ε

0 tako da je L

x

ε

L

x0

r

(slika 4.6).

r

x0

R I 2

3

x

R I 2

3

x

a b

c

d

x

y

Slika 4.6. Disk L x0

r

i pravougaonik

a

b

c

d

kao otvoreni skupovi u

2

Imajuci na umu da ulogu simetricnog intervala iz preuzima lopta L x r

moguce je definisati unutrašnju, izolovanu i rubnu tacku, kao i tacku nagomilavanjanekog skupa A

n

R I 2

A

r

x0

R I 2

A r

x0

Slika 4.7. Unutrašnja i rubna tacka skupa A

2

Definicija 4.3 (i) Taˇ cka x0 A je unutrašnja tacka skupa A ako postoji r

0 tako

da L x0 r A



4.2. Realne funkcije više realnih promenljivih 141

(ii) Taˇ cka x0 je rubna tacka skupa A ako za svako r

0 lopta L

x0

r

sadrži i taˇ cke

iz skupa A kao i one koje ne pripadaju posmatranom skupu.

(iii) Taˇ cka x0 je izolovana tacka skupa A ako postoji lopta L

x0

r

takva da, osim

same taˇ cke x0 , ne sadrži ta ˇ cke iz A

(iv) Taˇ cka x0 je tacka nagomilavanja za posmatrani skup ako se u svakoj lopti

L x0 r nalazi bar jedna taˇ cka iz A razliˇ cita od x0

Treba naglasiti da, kao i u AI, unutrašnje i izolovane tacke uvek pripadajuposmatranom skupu, a da rubne tacke i tacke nagomilavanja mogu pripadati datomskupu ali i ne moraju. Unutrašnja i rubna tacka nekog skupa A u

2 su ilustrovaneslikom 4.7, a izolovana tacka slikom 4.8. Za pravougaonik

a

b

c

d

2

unutrašnjost je a b c d dok se rub sastoji od cetiri duži datih sa y c zaa

x

b

x

b za c y

d

y

d za a x

b i x

a za c y

d

R I 2

B

r

x0 B A= U { }x0

Slika 4.8. Izolovana tacka skupa A

2

4.2 Realne funkcije više realnih promenljivih

4.2.1 Definicija i predstavljanje

Definicija 4.4 Neka je A

n neprazan skup. Pridruživanje koje svakom ele-

mentu skupa A dodeljuje taˇ cno jedan realan broj naziva se realna funkcija n realnihpromenljivih.

Oznaka je analogna slucaju realne funkcije jedne realne promenljive, te zafunkciju iz prethodne definicije pišemo f : A

gde je

f x f x1 x2 xn y




(x,y)

(a,b)

f

0x

y

f(x,y)

f(a,b)

z

R I 2

R I

Slika 4.9. Realna funkcija dve realne promenljive.

Za domen A funkcije f pišemo i D f

Slika 4.9 iliustruje realnu funkciju dve realne promenljive, tj. slucaj kadafunkcija f : A

svakom uredenom paru

x

y iz A

2 dodeljuje po jednuvrednost z

f

x

y

iz skupa realnih brojeva.

Primer 4.1. Posmatrajmo realnu funkciju dve realne promenljive datu sa f

x

y

x

y 1 U ovom slucaju funkcija f svakom uredenom paru iz definicionog

skupa dodeljuje jedan realan broj, npr.

1

1

3

Definicioni skup u ovomprimeru obuhvata sve tacke x y

2 takve da je x y 1 0 tj.

D f

x

y

x

y 1 0

i dat je slikom 4.10 (levo).

x

y

-1

y

x

x + y +

1 = 0

x y 2=

-1

Slika 4.10. Domeni funkcija iz primera 4.1 (levo) i 4.2 (desno).




Primer 4.2. Data je realna funkcija dve realne promenljive sa f

x

y

ln

y2

x

U ovom slucaju, definicioni skup je dat kao

D f

x

y

y2

x

Videti sliku 4.10 (desno).

Grafik funkcije jedne realne promenljive y

f

x je dat sa

x

f

x

x D f

(AI, poglavlje 1.3) i uz odredene pretpostavke predstavlja krivu u

2

Analognografiku funkcije jedne realne promenljive, grafik funkcije dve realne promenljive

z f x y je

x

y

f

x

y

x

y

D f

i uz odredene pretpostavke daje površ u

3 (videti sliku 4.11).

(x,y)

z=f(x,y)

(x,y,z)

x

y

z

Slika 4.11. Površ z

f

x

y

u

3

Naredni primeri ilistruju upravo ovaj pojam.

Primer 4.3. Grafik realne funkcije dve realne promenljive date sa

f

x

y

x3 3 y2

e x2 y2

je površ

x

y

x3

3 y2

e x2 y2

x

y

2

Površ iz ovog primera je ilustrovana slikom 4.12.




yx y

z

x

z


x3

3 y2

e x2

y2


sin x

sin y

Primer 4.4. Za realnu funkciju dve realne promenljive f

x

y sin x

sin y grafik je

x

y sin x

sin y

x

y

2

kojoj odgovara površ sa slike 4.13.

Nivoske linije proizvoljne površi z

f

x

y u

3 dobijamo tako što tražimokrive u preseku posmatrane površi i familije ravni z

c gde parametar c uzima

one vrednosti iz skupa realnih brojeva za koje taj presek postoji. Dakle, nivoske

linije površi z f x y cine dobro definisane implicitno zadate krive f x y c

c

z

x

yc = - 0.35

c = -0.2

c = -0.1

c = 0.1

c = 0.2x y


3 y

x2

y2 1

i nivoske linije.




Primer 4.5. Data je površ z

3 y

x2

y2

1

Nivoske linije ovako zadate površi su

kružnice sa centrom u

0

32c

poluprecnika

94c2 1 tj. kružnice oblika

x2

y

32c

2

94c2

1

gde c

32

32

Površ z

3 y

x2

y2 1

i odgovarajuce nivoske linije za c

0 1 0 2 0 35 0 5 0 65 0 8 1 su dati slikom 4.14.

Primer 4.6. Posmatrajmo površ u

3

datu sa z

x

2

y

2

2

2

x

2

y

2

U ovomprimeru nivoske linije su krive oblika

x2

y2

2 2

x2

y2

c

gde c

1 Površ i odgovarajuce nivoske linije za c

0 5 0 0 5 1 1 5

su

ilustrovani slikom 4.15.

x

z

x y

-0.4

0.4

-1 1

y


x2

y2

2 2

x2

y2 i nivoske linije.

Napomena 4.4 Površi u

3 smo u prethodnim primerima dali u eksplicitnom ob-liku z

f

x

y S druge strane, analogno slucaju krive u

2 zadate u implicitnomobliku sa F

x

y 0 i površi je moguce zadati u implicitnom obliku F

x

y

z

0

Jedan od primera implicitno zadate površi je sfera x2

y2

z2

a2

a

0

sa centrom u 0 0 0 i poluprecnikom a (slika 4.16). Opštija površ je elipsoid x2

a2

y2

b2

z2

c2 1

a

b

c 0 (videti sliku 4.17).




y

x

z

y

x

z

Slika 4.16. Sfera x2

y2

z2 1 Slika 4.17. Elipsoid x

2

9

y2

16

z2

4 1

Posebnu klasu površi u

3 cine takozvane obrtne površi. Rotacijom krive iz yz-ravni oko z-ose dobijamo obrtnu površ u

3 Nivoske linije koje odgovaraju

površima ovog tipa su kružnice sa centrom u koordinatnom pocetku. Opisanim

postupkom eksplicitno zadata kriva z f y prelazi u površ z f

x2 y2

(slika 4.18), dok implicitno zadata kriva F

y

z 0 daje površ F

x2

y2

z

0

z=f( x + y )2 2

z=f(y)

x

yy

z z

Slika 4.18. Obrtna površ.

Primer 4.7. Rotacijom krive z 2 y2 oko z-ose dobijamo površ

z 2

x2

y2

Videti sliku 4.19.




xy

z

y

z

Slika 4.19. Funkcija z 2 y2 u yz-ravni i obrtna površ z 2

x2

y2

Primer 4.8. Neka je data kružnica

y a

2

z2

r 2 0

r

a Rotacijom pos-

matrane kružnice oko z-ose dobijamo površ

x2

y2

a

2

z2

r 2 koja senaziva torus. Videti sliku 4.20.

x

y

z

y

z

a-a

Slika 4.20. Kriva y a

2 z2

r 2 0 r a u yz-ravni i torus.

Napomena 4.5 Analogno prethodno opisanom postupku, rotacijom krive y

f

z

ili F y z 0 iz yz-ravni oko y-ose dobijamo površ datu sa y f

x2 z2

odnosno F

y

x2

z2

0. Takode, rotacijom i krivih iz xz-ravni (implicitnozadatih sa F x z 0) oko x-ose ili oko z-ose i krivih iz xy-ravni (implicitno zadatihsa F

x

y 0) oko x-ose ili oko y-ose dobijamo površi u

3 Odredivanje oblika

nivoskih linija u opisanim slucajevima ostavljamo citaocima za vežbu.

Primer 4.9. Površ u

3 data sa z

x2

y2 1 je obrtna površ dobijena rotaci-

jom oko z-ose krive z

y2

1

tj. rotacijom pozitivnog dela hiperbole y2

z2

1iz yz-ravni. Takode, posmatranu površ je moguce dobiti i rotacijom krive iz xz-ravnioko z-ose i to rotacijom pozitivnog dela hiperbole x2

z2 1.




Primer 4.10. Površ x2

y2

4

z2

4 1 se dobija rotacijom oko x-ose ili elipse x2

y2

4 1 iz xy-ravni ili elipse x2

z2

4 1 iz xz-ravni.

Još jednu bitnu klasu površi u

3 cine cilindriˇ cne površi. Ako je F

x

y 0

kriva zadata u xy-ravni, površ koja ili nema zajednickih tacaka sa z-osom ili jeu potpunosti sadrži i koja sece xy-ravan upravo po krivoj F x y 0 naziva secilindricna površ. Kriva F x y 0 u xy-ravni se naziva direktrisa, dok se pravekoje leže na posmatranoj površi i paralelne su z-osi nazivaju izvodnice (slika 4.21).

x

y

z

direktrisa

izvodnice

F(x,y)=0

Slika 4.21. Cilindricna površ F x y 0

Primer 4.11. Sa x2

4

y2

9 1 je data cilindricna površ paralelna z-osi koja u pre-

seku sa xy-ravni formira elipsu x2

4

y2

9 1 (slika 4.22, levo).

x

y

z

x y

z

Slika 4.22. Cilindricne površi x2

4

y2

9 1 i x2

y2 4 x




Primer 4.12. Površ x2

y2

4 x je cilindricna površ paralelna z-osi koja sece xy-

ravni po kružnici x

2 2 y2

4 (slika 4.22, desno).

Primer 4.13. Površ data sa z

x2 je cilindricna površ paralelna y-osi koja sece xz-ravni po paraboli z x2 (slika 4.23, levo).

Primer 4.14. Površ z

1

y 2

2 je cilindricna površ paralelna x-osi koja u

preseku sa yz-ravni formira deo kružnice z2 y 2

2 1 iznad y-ose. Videti sliku

4.23 (desno).

x

x y

y

zz

Slika 4.23. Cilindricne površi z

x

2

i z

1

y

2

2

4.2.2 Kvadratne kanoni cke forme

Prethodni primeri obrtnih i cilindricnih površu spadaju u tzv. površi drugogreda. U opštem slucaju, pod površima drugog reda podrazumevamo površi u

3

implicitno date sa

α1 x2

α2 y2

α3 z2

β1 zy

β2 xz

β3 xy

γ 1 x

γ 2 y

γ 3 z

ν1

gde su α1 α2 α3 β1 β2 β3 γ 1 γ 2 γ 3 ν1 realni parametri. Transformacijama koor-dinatnog sistema, površi drugog reda se svode na kanoniˇ cke forme oblika

α x2 β y2

γ z2 ν1 ili α x2

β y2 γ z 0

Sledi pregled kanonickih formi




1) Elipsoid je površ u

3 data sa

x2

a2

y2

b2

z2

c2

1

gde su a

b i c pozitivni realni parametri (slika 4.24). Specijalno, za a

b

c

posmatrana površ je sfera (slika 4.16).

z

y

x

a

-a

b-b

c

-c

y

xa-a

b

-b

Slika 4.24. Elipsoid x2

a2

y2

b2

z2

c2 1 i presek sa ravni x 0

2) Jednokrilni hiperboloid je površ u

3 data na sledeci nacin

x2

a2

y2

b2

z2

c2

1

gde su a b c 0 (slika 4.25).

y z2 2- =

b c2 2 1

a

-a

b-b

x

y y

zz

y

z -

=

b c

y z = b

c

Slika 4.25. Jednokrilni hiperboloid x2

a2

y2

b2

z2


3) Površ u

3 data sa x2

a2

y2

b2

z2

c2 1




za a

b

c

0

se naziva dvokrilni hiperboloid (slika 4.26).

x

y y

z z

y

z - =

b c

y z = b

c

y2 2- =

bc 2 2 1z

Slika 4.26. Dvokrilni hiperboloid x2

a2

y2

b2

z2


4) Konus u

3 je površ data sa

x2

a2

y2

b2

z2

c2 0

za a b c 0 (slika 4.27).

1- =z

2(a ) y

2(a )

d 2

(c ) d 2

(b ) z

yy

x

z

Slika 4.27. Konus x2

a2

y2

b2

z2

c2

0 i presek sa ravni x d d 0

5) Površ u

3 data sa

z

x2

a

y2

b

gde su a b 0 se naziva eliptiˇ cki paraboloid (slika 4.28).




x

y y

z z

yz

2

=b

Slika 4.28. Elipticki paraboloid 2 z

x2

a

y2

b a b 0 i presek sa ravni x 0

6) Hiperboliˇ cki paraboloid u

3 je površ data sa

z

x2

a2

y2

b2

za a

b 0 (slika 4.29).

z

y

x

Slika 4.29. Hiperbolicki paraboloid z

y2

a2

x2

b2

U preseku hiperbolickog paraboloida i ravni z

c2 i z

c2

c 0 dobi-

jamo hiperbole date slikama 4.30 i 4.31. Parabole date slikama 4.32 i 4.33se dobijaju u preseku hiperbolickog paraboloida i ravni x 0 i y 0




xy 12

a

2- =

b2 2c( () )c

y

x

y

x

x y 12

a

2- =

b 2 2c( () )c

Slika 4.30. Presek sa z

c2

c 0 Slika 4.31. Presek sa z

c2

c 0

y

z a

2

= 2

z

y

x-b

z2

= 2

z

x

Slika 4.32. Presek sa ravni x

0

Slika 4.33. Presek sa ravni y

0

4.2.3 Grani cna vrednost realne funkcije više promenljivih

U AI, poglavlje 3.1, je dat pojam granicne vrednosti realne funkcije jednerealne promenljive. Razmotricemo sada problem granicne vrednosti za realnefunkcije više promenljivih. Podjimo prvo od granicne vrednosti funkcije dve pro-menljive.

Definicija 4.5. Neka je f : O gde je O otvoren podskup od

2 Funkcija f

ima granicnu vrednost G u taˇ cki x0

x0

y0

2

gde je x0 ta ˇ cka nagomilavanja

skupa O

ako za svako ε 0 postoji δ

δ

ε

x0

y0 0 tako da za svako x O

takvo da je 0

d x x0

δ važi f

x G

ε

Pomocu logickih simbola prethodnu definiciju možemo zapisati na sledeci nacin

ε

0 δ

0

x

y

O

0

x x0

2 y

y0

2 δ

f x y

G

ε




Tada pišemo

lim x y x0 y0

f x y G

Treba naglasiti da ako u nekoj tacki x0 granicna vrednost G funkcije f postoji,to znaci da ona postoji bez obzira na izbor krive kojom se približavamo tacki x0

(videti sliku 4.34). Vrednost G ako postoji, je jedinstveno odredena.

1-1

0.5

0.5

0

0

x

y y=x

y=x3

(x ,y )0 0

y

x

Slika 4.34. Približavanje tacki x0 Slika 4.35. Krive iz primera 4.16.


x

y

x2

y3 Granicna vrednost ove funk-

cije u tacki 1 1 postoji i iznosi 2 tj.

lim x y 1 1

f

x

y lim

x y 1 1

x2

y3

2

Ako tacki 1 1 prilazimo duž prave y

x lako se vidi da dobijamo istu granicnuvrednost, tj.

lim x y 1 1 y x

f

x

y lim

x

1 f

x

x lim

x

1

x2

x3

2

Takode, ako se tacki 1 1 približavamo duž krive y x2 rezultat je isti

lim x y 1 1 y x2

f x y lim x 1

f x x2 lim

x 1

x2 x6

2

Može se desiti da granicne vrednosti po razlicitim krivama postoje ali se raz-likuju. Tada granicna vrednost lim

x

y

0

0

f x y ne postoji.




Primer 4.16. Pokazacemo da za funkciju f x y

x3 y

x6 y2

ne postoji granicna

vrednost u tacki 0 0 Kako je

lim x y 0 0 y

x

f x y lim x

0 f x x lim

x

0

x4

x6

x2 0

i

lim x y 0 0 y x3

f x y lim x 0

f x x3 lim

x 0

x6

x6

x6

12

to granicana vrednost lim

x

y

0

0

f

x

y ne postoji. Krive izabrane u ovom primeru

za pribiližavanje tacki

0

0

su ilustrovane slikom 4.35.

Primer 4.17. Pokazacemo da za funkciju f :

2 definisanu na sledeci nacin

f x y

xy

x2

y2 za x y

0 0 i f 0 0 0 (slika 4.38), postoje uzastopne

granicne vrednosti

lim x

0

lim y

0 f

x

y

i lim y

0

lim x

0 f

x

y

a ne postojilim

x y 0 0

f x y

Za fiksirano x puštajuci da y

0 (videti sliku 4.36), dobijamo

lim x 0

lim y 0

xy

x2 y2

lim x 0

0 0

Za fiksirano y puštajuci da x 0 (slika 4.37), dobijamo

lim y 0

lim x 0

xy

x2

y2

lim y 0

0 0

Kako je f x x

12 za granicnu vrednost posmatrane funkcije duž prave y x

imamo

lim x y 0 0 y

x

f

x

y lim

x

0 f

x

x

12

Ako tražimo granicnu vrednost funkcije f i duž prava x 0 i y 0 iz f 0 y

f x 0 0 sledilim

x y 0 0 x 0

f

x

y lim

y 0 f

0

y 0




(x, y)

y

x(0, 0)

y 0

x 0

(x, y)

y

x(0, 0)

y 0

x 0


ilim

x

y

0

0 y 0

f

x

y

lim x 0

f

x

0

0

te granicna vrednost lim x y 0 0

xy

x2 y2 ne postoji. To znaci da u opštem slucaju iz

egzistencije jedne od tri granicne vrednosti

lim x y x0 y0

f

x

y lim

x x0

lim y y0

f

x

y

i lim y y0

lim x x0

f

x

y

ne sledi egzistencija ostalih, a time ni njihova jednakost.

z

x

y

Slika 4.38. Funkcija f x y

xy

x2

y2

Granicna vrednost funkcije n promenljivih, n

definiše se analogno granicnojvrednosti funkcije dve promenljive.




Definicija 4.6 Neka je f : O

n

gde je O otvoren podskup od

n

Funkcija f

ima u taˇ cki x0 gde je x0 taˇ cka nagomilavanja skupa O

granicnu vrednost G

ako za svako ε 0 postoji δ δ ε x0 0 tako da za svako x O takvo da je

0

d x x0

δ važi f

x G

ε

Pomocu logickih simbola prethodnu definiciju možemo zapisati na sledeci nacin

ε

0 δ

0 x O

0

d x x0

δ

f x

G

ε

Tada pišemolim

x x0 f x G

Pomocu pojma granicne vrednosti, potpuno analogno slucaju realne funkcije jedne realne promenljive (AI, poglavlje 3.7), možemo dati definiciju neprekidnostifunkcije n promenljivih, n

Definicija 4.7 Funkcija f : O

je neprekidna u taˇ cki x0 O ako važi

limx

x0 f

x

f

x0

Formalno ovo možemo iskazati na sledeci nacin: funkcija f je neprekidna u

tacki x0 ako za svako ε

0 postoji δ

δ

ε

x0

0 tako da važi implikacijad

x x0

δ

f x

f x0

ε

Primetimo da se neprekidnost funkcije f po svakoj od pojedinacnih promenljivihrazlikuje od neprekidnosti funkcije f kao funkcije od više promenljivih.

Funkcija f : O

n je neprekidna na skupu A

A O

ako je neprekidnau svakoj tacki skupa A

Ako su funkcije f

g : O

n

neprekidne u tacki x0 O

tada su u toj

tacki neprekidne i funkcije f

g, f g,

f

g(g razlicito od nule u nekoj lopti oko

tacke x0).

Primer 4.18. Pokazacemo po definiciji 4.7 da je funkcija f :

2 definisana

sa f x y

2005 x2 y

x2

y2 za x y 0 0 i f 0 0 0 neprekidna u tacki 0 0 tj. da

je

lim

x

y

0

0

2005 x2 y

x2

y2 0 (4.8)




Za proizvoljno fiksirano ε

0 potrebno je odrediti δ

0 tako da za svako

x 2 važi0

d

x

0

x2

y2

δ

2005 x2 y

x2

y2

ε

Kako je y

x2

y2

δ imamo

2005 x2 y

x2

y2

2005 y

x2

x2

y2 2005 y 2005δ

te ako za δ uzmemo upravo ε

2005

po definiciji 4.5 dobijamo (4.8).

x y

z

Slika 4.39. Neprekidna funkcija iz primera 4.18.

Primer 4.19. Funkcija

g

x

y

2005 x2 y

x2

y2 x y 0 0

2005

x

y 0 0

ima prekid u tacki

0

0

jer je lim

x

y

0

0

g

x

y

0 g

0

0

po prethodnom primeru.



4.3. Parcijalni izvodi 159

4.3 Parcijalni izvodi

U ovom poglavlju definisacemo parcijalne izvode funkcije više promenljivih,koji su osnova diferencijalnog racuna.

Za funkciju f jedne promenljive izvod u tacki x je definisan kao granicna vred-

nost izraza f

x

∆ x

f

x

∆ x gde ∆ x teži ka nuli (AI, glava 4). Neka je f sada

funkcija n promenljivih definisana na otvorenom skupu O

n Za svaku tacku

x O funkcija f je definisana na nekoj otvorenoj lopti sa centrom u x sadržanoj u

skupu O. Pod ovim pretpostavkama, parcijalni izvod funkcije f dobijamo tako štofiksiramo sve osim jedne od n promenljivih i tražimo obican izvod po toj jednojnefiksiranoj promenljivoj.

Prvo dajemo preciznu definiciju parcijalnih izvoda funkcije dve promenljive,tj. funkcije f

x

y gde x

y . U ovom slucaju razlikujemo dva parcijalna izvoda,

i to parcijalni izvod po promeljivoj x koji dobijamo za fiksirano y i parcijalni izvodpo promenljivoj y koji dobijamo u slucaju fiksirane promenljive x

y y0 +

x x0 +

y0

x 0

x

y

x

y

( , )y y0 +x x0+

( , )y0x x0 +

(x , )0 y y0 +

(x , )0y

0

Slika 4.40. Priraštaji nezavisno promenljivih.

Na slici 4.40 su dati priraštaji nezavisno promenljivih. Velicina ∆ x

x x0 je

priraštaj nezavisno promenljive x a ∆ y y y0 je priraštaj nezavisno promenljive y



2

Prvi parci-

jalni izvod funkcije f u odnosu na promenljivu x u taˇ cki x0 y0

O u oznaci

D1 f

x0

y0

∂ f x0 y0

∂ x

je

∂ f

x0

y0

∂ x lim

∆ x

0

f

x0

∆ x

y0 f

x0

y0

∆ x




ako graniˇ cna vrednost sa desne strane postoji.

Prvi parcijalni izvod funkcije f u odnosu na promenljivu y u taˇ cki x0 y0 O

u oznaci D2 f

x0

y0

∂ f x0 y0

∂ y

je

∂ f

x0

y0

∂ y lim

∆ y

0

f

x0

y0

∆ y

f

x0

y0

∆ y


Analogno izvodu realne funkcije jedne realne promenljive, parcijalnom izvodupo promenljivoj x funkcije f x y u tacki x0 y0 odgovara koeficijent pravca

tangente na krivu dobijenu u preseku površi z f x y i ravni y y0 u tacki

x0

y0

f

x0

y0 (slika 4.41).

x0

y0

x0f ( , y0 )

x x0 +

x x0 +f ( , y0 )

x

y

z

x0 x x0 +

x x0 +f ( , y0 )

x 0f ( , y0 )

x

z

xf ( , y0 )z =

Slika 4.41. Parcijalni izvod po x.

Parcijalni izvod po promenljivoj y je jednak koeficijentu pravca tangente nakrivu dobijenu u preseku površi z f x y i ravni x x0 u tacki x0 y0 f x0 y0

(slika 4.42).

Primer 4.20. Odredicemo parcijalne izvode funkcije f x y x2 y3 u tacki 1 π

Iz definicije 4.8 sledi

D1 f 1 π

∂ f 1

π

∂ x lim

∆ x

0

f 1

∆ x

π

f 1

π

∆ x

lim∆ x 0

1 ∆ x

2π3 π3

∆ x

lim∆ x 0

2π3∆ x ∆ x

2π3

∆ x

2π3




f(x , y )0 0

x0

f(x , )0 y y0 +

y0

y y0 +

z

y

x

f(x , y )0 0

f(x , )0 y y0 +

y0

y y0 +

z

y

f(x , y )0z =

Slika 4.42. Parcijalni izvod po y.

i

D2 f 1 π

∂ f 1

π

∂ y lim

∆ y

0

f 1

π

∆ y

f 1

π

∆ y

lim∆ y 0

π ∆ y

3 π3

∆ y lim

∆ y 0

3π2∆ y 3π ∆ y

2 ∆ y

3

∆ y 3π2



2

ima prvi

parcijalni izvod u odnosu na promenljivu x odnosno y na skupu A O ako ima

prvi parcijalni izvod u odnosu na promenljivu x odnosno y u svakoj taˇ cki skupa

A

Primer 4.21. Odredicemo parcijalne izvode funkcije f

x

y

x2 y5 sin x cos y na

2 Parcijalni izvod po promenljivoj x dobijamo tako što fiksiramo promenljivu y

i tražimo obican izvod funkcije jedne promenljive x

Dakle, za datu funkciju, y5 icos y dobijaju ulogu konstante:

D1 f

x

y

∂ f

x

y

∂ x 2 xy5

cos x cos y

Za odredivanje parcijalnog izvoda po promenljivoj y neophodno je fiksirati x te

sada ulogu konstanti dobijaju x

2

i sin x :

D2 f

x

y

∂ f x y

∂ y

5 x2 y4

sin x sin y


x

y

x2 y5

sin xcos y iz prethodnog pri-mera. Odredicemo parcijalne izvode u tacki π 2 Parcijalni izvodi su takode




funkcije (dve promenljive) i iz prethodnog primera znamo

D1 f x y 2 xy5 cos x cos y i D2 f x y 5 x2 y4

sin x sin y

Vrednosti ovih funkcija u datoj tacki su

D1 f π 2 2π25 cos πcos2 π26

cos2

i D2 f

π 2 5π224

sinπ sin2 5π224

Primer 4.23. Odredicemo parcijalne izvode funkcije f x y 3 cos xy u tacki π

2 1

Parcijalni izvod po promenljivoj x na

2 je

D1 f x y

∂ f

x

y

∂ x sin xy y

te je D1 f

π

2 1

sinπ

2

1 1 Parcijalni izvod po y je

D2 f

x

y

∂ f x y

∂ y sin xy

x

pa imamo D2 f

π

2 1

sinπ

2

π

2

π

2

U nekim slucajevima je neophodno parcijalne izvode odredivati po definicijišto i ilustruje naredni primer.

Primer 4.24. Odredicemo parcijalne izvode fukcije

f x y

xy

x2

y2

x2

y2

0

0

x2

y2 0

Za tacke

x

y 0 0 važi:

D1 f

x

y

∂

xy

x2

y2

∂ x

y

x2

y2

2 x

xy

x2 y2

2

y3

x2 y

x2 y2

2

i

D2 f

x

y

∂

xy

x2 y2

∂ y

x x2 y2

2 y xy

x2 y2

2

x3

xy2

x2 y2

2




Parcijalne izvode u tacki

0

0

tražimo po definiciji 4.8:

D1 f

0

0

lim∆ x 0

f 0 ∆ x 0 f 0 0

∆ x

lim∆ x 0

∆ x 0∆ x

∆ x

2 02

0

D2 f 0 0 lim

∆ y

0

f

0

0

∆ y

f

0

0

∆ y lim

∆ y

0

0 ∆ y

∆ y 02 ∆ y

2

0

Kao što se i vidi iz prethodnih primera, za parcijalne izvode funkcija f g : O

gde je O otvoreni podskup od

2 važi

Di f x y g x y Di f x y Dig x y

(4.9)

Di C f x y C Di f x y

(4.10)

Di

f

x

y

g

x

y

Di f

x

y

g

x

y

f

x

y

Di g

x

y (4.11)

i

Di

f x y

g x y

Di f x y g x y f x y Di g x y

g2 x y

(4.12)

gde i 1 2 i C je proizvoljna realna konstanta. Osobine (4.9), (4.10),(4.11) i(4.12) slede direktno iz definicije 4.8 i (AI, teorema 4.2).

Uslucaju funkcije tri promenljive f

x

y

z definisane na otvorenom skupu O

3 razlikujemo parcijalne izvode po x, po y i po z Parcijalni izvod po promenljivoj

x se dobija kao izvod po x za fiksirano y i z :

D1 f

x

y

z

∂ f x y z

∂ x lim

∆ x 0

f x ∆ x y z f x y z

∆ x

Ako su promenljive x i z fiksirane, dobijamo parcijalni izvod po y :

D2 f

x

y

z

∂ f

x

y

z

∂ y lim

∆ y

0 f

x

y

∆ y

z

f

x

y

z

∆ y

dok za fiksirano x i y imamo parcijalni izvod po z :

D3 f x y z

∂ f

x

y

z

∂ z lim

∆ z

0

f

x

y

z

∆ z

f

x

y

z

∆ z




Primer 4.25. Neka je f

x

y

z

z2 sin

x3 y4

Odredicemo parcijalne izvode:

D1 f x y z

∂ z2 sin

x3 y4

∂ x 3 x2 y4 z2 cos x3 y4

D2 f x y z

∂ z2 sin

x3 y4

∂ y 4 x3 y3 z2 cos x3 y4

D3 f x y z

∂ z2 sin

x3 y4

∂ z 2 z sin x3 y4

Vrednosti datih parcijalnih izvoda u tacki 1 1 1 su

D1 f

1

1

1

3cos1

D2 f

1

1

1

4 cos 1 i D3 f

1

1

1

2sin1

U opštem slucaju parcijalni izvodi realne funkcije n promenljivih, n 2 su

dati narednom definicijom.


realna funkcija n promenljivih gde je O otvoren

podskup od

n Prvi parcijalni izvod funkcije f u odnosu na promenljivu xi u taˇ cki

x0 x01 x0

2 x0n

O u oznaci Di f x0

∂ f x0

∂ xi

je

∂ f x0

∂ xi

lim∆ xi

0

f x01 x0

2 x0i ∆ xi x0

n

f x0

∆ xi


Treba primetiti da osobine (4.9), (4.10), (4.11) i (4.12) važe i u slucaju realnihfunkcija n realnih promenljivih gde je n 2

Napomena 4.6 Neka je ei 0 0 1 0 0

n-dimenzioni vektor cija je i-ta koordinata 1, a ostale 0 i neka je f : O

realna funkcija n promenljivihgde je O otvoren podskup od

n Parcijalni izvod funkcije f po i-toj komponenti

promenljive x x1 x2 xn O dat definicijom 4.10 se može zapisat i kao

Di f x lim

∆ xi 0

f x ∆ xiei f x

∆ xi

gde je x

∆ xiei

x1

xi 1

xi

∆ xi

xi 1

xn

Pomocu parcijalnih izvoda možemo definisati gradijent funkcije dve promenljive.





realna funkcija dve promenljive

x

y

gde je

O otvoren podskup od 2

Gradijent funkcije f u taˇ cki x y u oznaci ∇ f x y jevektor

∇ f x y

∂ f

x

y

∂ x

∂ f

x

y

∂ y

Primer 4.26. Odredicemo gradijent funkcije f

x

y

x2 y3 u tacki 1 2 Poprethodnoj definiciji imamo

∇ f x y

∂ f

x

y

∂ x

∂ f

x

y

∂ y

2 xy3 3 x2 y2

te u datoj tacki važi ∇ f 1 2 16 12 Drugim recima, gradijent funkcije f tacki 1 2 pridružuje vektor 16i 12 j

Napomena 4.7 U slucaju vektora u

2

cesto se za jedinicni vektor e1

1

0

koristi oznaka i a za vektor e2 0 1 oznaka j U trodimenzinalnom slucajukoriste se oznake e1 1 0 0 i e2 0 1 0 j i e3 0 0 1 k

Ako je f realna funkcija tri promenljive

x

y

z gradijent se definiše na sledeci

nacin:

∇ f x y z

∂ f x y z

∂ x

∂ f x y z

∂ y

∂ f x y z

∂ z

Primer 4.27. Odredicemo gradijent funkcije f x y z x2 z cos xy u tacki 1 π 1

Parcijalni izvodi u ovom primeru su

D1 f

x

y

z

∂

x2 z cos

xy

∂ x

z

2 x cos

xy

x2 y sin

xy

D2

f x y z

∂

x2 z cos xy

∂ y x3 z sin xy

D3 f

x

y

z

∂

x2 z cos

xy

∂ z

x2 cos

xy

tj. D1

1

π

1

2

D2

1

π

1

0 i D3

1

π

1

1

Sada, ∇ f

1

π

1

2 0 1 odnosno, gradijent funkcije f u datoj tacki je vektor 2i k




U opštem slucaju, gradijent realne funkcije n promenljivih, n 2

je dat nared-

nom definicijom.


realna funkcija n promenljivih gde je O otvoren

podskup od

n Gradijent funkcije f u taˇ cki x

x1

x2

xn O

u oznaci

∇ f

x

je vektor

∇ f x

∂ f x

∂ x1

∂ f x

∂ x2

∂ f x

∂ xn

Koristeci (4.9) i (4.10), lako se može pokazati da za gradijente važi

∇

f

g

∇ f

∇g i ∇

C

f

C

∇ f

gde su f i g realne funkcije n realnih promenljivih i C konstanta.

4.3.1 Diferencijabilnost

Još jedan bitan pojam za realne funkcije više promenljivih je i pojam difer-encijabilnosti. U slucaju realne funkcije jedne realne promenljive, za funkciju f : a b kažemo da je diferencijabilna u tacki x0 a b ako postoji funkcijar : takva da je lim

∆ x

0r

∆ x 0 i ako se njen priraštaj ∆ f u tacki x0 može

napisati u obliku

∆ f

f

x0

∆ x

f

x0

f

x0

∆ x

r

∆ x

∆ x

(AI, definicija 4.3).Prvo dajemo definiciju diferencijabilnosti za funkciju dve promenljive. U ovom

slucaju priraštaj funkcije dve promenljive z

f

x

y

f : O

O

2

je∆ f ∆ z f x0 ∆ x y0 ∆ y f x0 y0 (slika 4.43).



2

je diferen-cijabilna u taˇ cki

x0

y0 O ako parcijani izvodi D1 f

x0

y0

i D2 f

x0

y0

postoje,

postoji funkcija r :

2

takva da

lim

∆ x

∆ y 0 0

r

∆ x

∆ y 0

i važi

∆ f D1 f x0 y0 ∆ x D2 f x0 y0 ∆ y d ∆ x ∆ y 0 0 r ∆ x ∆ y

(4.13)




x

y

z

(x , )0 y y0 +

( , )y0x x0+

( , )y y0 +x x0 +f

(x , )0y

0

x

y

z

(x , )0 y0f

( , )y y0 +x x0 +

(x , )0y0f

Slika 4.43. Priraštaj zavisne promenljive.

Iz prethodne definicije sledi da je funkcija f : O

diferencijabilna u tackix0 x0 y0 O ako postoje parcijani izvodi D1 f x0 i D2 f x0 i važi

lim

∆ x

∆ y 0 0

f

x0

∆ x

y0

∆ y

f

x0 D1 f

x0

∆ x D2 f

x0

∆ y

∆ x

2 ∆ y

2 0 (4.14)

Treba napomenuti da je za funkciju jedne realne promenljive diferencijabilnostekvivalentna sa postojanjem prvog izvoda (AI, teorema 4.6), dok u opštem slucaju,tj. za funkciju n realnih promenljivih gde je n 2 to ne mora da važi.

Primer 4.28. Ispitacemo diferencijabilnost funkcije

f

x

y

x2

y2 sin 1

x2 y2

x

y 0 0

0

x

y 0 0

u tacki 0 0 Iz definicije 4.8 sledi

D1 f 0 0 lim

∆ x 0

f 0 ∆ x 0 f 0 0

∆ x lim

∆ x 0

∆ x

2 sin 1 ∆ x

∆ x 0

i

D2 f 0 0 lim

∆ y 0

f 0 0 ∆ y f 0 0

∆ y lim

∆ y 0

∆ y

2 sin 1 ∆ y

∆ y 0




Ostaje još da proverimo tacnost relacije 4.14. Sada imamo

lim

∆ x

∆ y 0 0

f

0

∆ x

0

∆ y

f

0

0

D1 f

0

0

∆ x D2 f

0

0

∆ y

∆ x

2 ∆ y

2

lim ∆ x ∆ y 0 0

∆ x

2

∆ y

2

sin 1

∆ x

2

∆ y

2

∆ x

2 ∆ y

2

lim

∆ x

∆ y 0 0

∆ x

2

∆ y

2 sin 1

∆ x

2

∆ y

2

Kako za svako ε 0 postoji δ 0 i to δ

ε tako da

d ∆ x ∆ y 0 0

∆ x 2 ∆ y 2 δ

implicira

∆ x

2

∆ y

2 sin 1

∆ x

2

∆ y

2 0

∆ x

2

∆ y

2

ε

te važi

lim

∆ x

∆ y 0 0

∆ x

2

∆ y

2 sin 1

∆ x

2 ∆ y

2 0

to je polazna funkcija diferencijabilna u tacki 0 0

Kao što je vec napomenuto, za razliku od funkcije jedne realne promenljive, uslucaju realne funkcije n promenljivih gde je n

2 postojanje parcijalnih izvodane mora implicirati diferencijabilnost. Upravo takvu mogucnost ilustruje naredniprimer.

Primer 4.29. Ispitacemo diferencijabilnost funkcije iz primera 4.24 u tacki 0 0

Kao što je vec pokazano, u ovom primeru važi D1 f 0 0 0 i D2 f 0 0 0

Pokazacemo da relacija (4.14) ne važi. Imamo

lim

∆ x

∆ y

0

0

f 0

∆ x 0

∆ y

f 0 0

D1 f 0 0

∆ x D2 f

0 0

∆ y

∆ x

2

∆ y

2

lim ∆ x ∆ y 0 0

∆ x∆ y ∆ x

2 ∆ y

2

∆ x

2 ∆ y

2

lim

∆ x

∆ y

0

0

∆ x∆ y

∆ x

2

∆ y

2

∆ x

2

∆ y

2




Za ∆ x

λ∆ y dobijamo

lim∆ y 0

λ

∆ y

λ 2 1

λ 2 1

a kako ta granicna vrednost ne postoji, ne postoji ni polazna granicna vrednost, pa4.14 ne važi, te polazna funkcija nije diferencijabilna u tacki 0 0

Radi jednostavnijeg zapisa, neophodno je definisati skalarni proizvod vektora.

Definicija 4.14 Neka su x

x1

x2

xn

i y

y1

y2

yn

dva n-dimenzio-

nalna vektora. Skalarni proizvod vektora x i y u oznaci x y je broj (skalar) dat

sa

x y

x1 y1

x2 y2

xn yn

Neka je f : O O

2 Ako je dat dvodimenzionalni vektor h ∆ x1 ∆ x2

uslov za diferencijabilnost funkcije f u tacki x0 x01 x0

2 iz definicije 4.13 se možezapisati i u sledecem obliku

f x0 h f x0 ∇ f x0 h h r h

gde je ∇ f

x0 h skalarni proizvod vektora ∇ f

x0

i h , tj.

∇ f x0

h

∂ f x0

∂ x1∆ x1

∂ f x0

∂ x2∆ x2

i h

∆ x1

2

∆ x2

2 je norma vektora h

Koristeci prethodne oznake, možemo dati definiciju diferencijabilnosti i zaopšti slucaj realne funkcije n realnih promenljivih.

Definicija 4.15 Funkcija f : O gde je O otvoren podskup od

n je diferen-

cijabilna u taˇ cki x0 O ako parcijani izvodi Di f x0 i 1 2 n postoje i ako

postoji funkcija r :

n

takva da za h

∆ x1

∆ x2

∆ xn

važi

limh

0r h 0

i

f x0 h

f x0

∇ f x0 h h

r h

gde je h

∆ x1

2 ∆ x2

2 ∆ xn

2 norma vektora h i

∇ f x0 h

∂ f x0

∂ x1∆ x1

∂ f x0

∂ x2∆ x2

∂ f x0

∂ xn

∆ xn

skalarni proizvod vektora ∇ f x0 i h




Za realnu funkciju n promenljivih kažemo da je diferencijabilna na otvore-

nom skupu O n ako je diferencijabilna u smislu definicije 4.15 u svakoj tackiposmatranog skupa.

Kao što je vec receno, u n-dimenzionalnom slucaju, n 2 postojanje parcijal-nih izvoda ne povlaci diferencijabilnost funkcije. Dovoljan uslov za diferencijabil-nost realne funkcije n-promenljivih dat je narednom teoremom koju navodimo bezdokaza. Prvo je neophodno definisati specijalnu klasu realnih funkcija n promen-ljivih.

Definicija 4.16 Realne funkcije definisane na otvorenom podskupu O skupa

n sa

neprekidnim prvim parcijalnim izvodima ˇ cine klasu funkcija C 1

O

Teorema 4.1 Ako funkcija f pripada klasi C 1 O tada je f diferencijabilana na

skupu O

Primer 4.30. Posmatrajmo funkciju

f

x

y

xy

x2

y2 x2 y2

0

0

x2

y2 0

U primeru 4.24 je pokazano da prvi parcijalni izvodi ove funkcije postoje i da sudati sa

D1 f

x

y

y3

x2 y

x2 y2

2

D2 f

x

y

x3

xy2

x2 y2

2 za

x

y 0 0

i

D1 f 0 0 0 i D2 f 0 0 0

Sa druge strane, u primeru 4.29 je pokazano da polazna funkcija nije diferencija-bilna u

0

0

, te tako po prethodnoj teoremi zakljucujemo da parcijalni izvodi uovom primeru nisu neprekidne funkcije u 0 0

Na osnovu teoreme 4.1 iz neprekidnosti parcijalnih izvoda sledi diferencijabil-nost. Uslov iz teoreme 4.1 je samo dovoljan, a ne i potreban. Naime, obrnuto uopštem slucaju ne važi, tj. iz diferencijabilnosti funkcije u nekoj tacki ne moraslediti i neprekidnost parcijalnih izvoda posmatrane funkcije u datoj tacki. Ovumogucnost ilustruje naredni primer.




Primer 4.31. U primeru 4.28 je pokazana diferencijabilnost funkcije

f

x

y

x2 y2

sin 1

x2 y2

x y 0 0

0

x

y 0 0

u tacki 0 0 . Pokazacemo da parcijalni izvodi ove funkcije u tacki 0 0 postojeali nisu neprekidne funkcije. Parcijalni izvod po x je

D1 f

x

y

2 xsin 1

x2 y2

x

x2 y2

cos 1

x2 y2

x

y 0 0

0

x

y

0

0

i parcijalni izvod po y je

D2 f x y

2 ysin 1

x2 y2

y

x2 y2

cos 1

x2 y2

x y 0 0

0

x

y 0 0

Kako granicna vrednost

lim

x

y 0 0

y

λ x

D1 f x y

lim x 0

2 x sin 1

x2

λ x

2

x

x2

λ x

2 cos

1

x2

λ x

2

ne postoji, to i granicna vrednost lim x y 0 0

D1 f

x

y ne postoji, pa dobijamo da

D1 f nije neprekidna funkcija. Analogno se dokazuje da i D2 f nije neprekidnafunkcija.

Još jedan od bitnih pojmova je i pojam totalnog diferencijala. Podsetimo se,u AI (poglavlje 4.8) je diferencijal realne funkcije f jedne promenljive bio dat sad f f dx Ako funkcija dve promenljive f ima neprekidne parcijalne izvode utacki x

0 y

0 iz teoreme 4.1 sledi njena diferencijabilnost, te po definiciji 4.13

priraštaj funkcije f u tacki

x0

y0 se može zapisati po (4.13) u sledecem obliku

∆ f

x0

y0

f

x0

∆ x

y0

∆ y

f

x0

y0

∂

∂ x f

x0

y0

∆ x

∂

∂ y f

x0

y0

∆ y

d

∆ x

∆ y

0

0

r

∆ x

∆ y




Linearni deo priraštaja ∆ f se naziva totalni diferencijal funkcije f i obeležava sa

d f :d f

∂ f

∂ x∆ x

∂ f

∂ y∆ y

Kako za priraštaje nezavisno promenljivih važi ∆ x

dx i ∆ y

dy

to za totalnidiferencijal funkcije f imamo

d f

∂ f

∂ xdx

∂ f

∂ ydy

x

y

z( , )y y0 +x x0+f

(x , )0y

0

f

(x , )0y0f

df

(x , )0y

0f

( , )y y0 +x x0+

tangentna ravan

Slika 4.44. Totalni diferencijal realne funkcije dve promenljive.

U slucaju realne funkcije n realnih promenljivih sa neprekidnim parcijalnimizvodima, totalni diferencijal je dat sa

d f

∂ f

∂ x1dx1

∂ f

∂ x2dx2

∂ f

∂ xn

dxn (4.15)

Primer 4.32. Odredicemo totalni diferencijal funkcije f

x

y

z

w 3 x2 sin

zw3

y2w cos xz Parcijalni izvodi u ovom primeru su∂ f

∂ x 6 x sin

zw3

y2 zwsin

xz

∂ f

∂ y 2 ywcos

xz

∂ f

∂ z

3 x2w3 cos

zw3

xy2wsin

xz

∂ f

∂w

9 x2 zw2 cos

zw3

y2 cos

xz




Sada, iz (4.15) sledi

d f

6 x sin

zw3

y2 zwsin

xz

dx 2 ywcos

xz

dy

3 x2w3 cos

zw3

xy2wsin

xz

dz

9 x2 zw2 cos

zw3

y2 cos

xz

dw

Iz definicije 4.15 sledi da je za dovoljno male vrednosti priraštaja nezavisnopromenljivih priraštaj zavisne promenljive ∆ f približno jednak totalnom diferen-cijalu posmatrane funkcije (videti sliku 4.44).

Primer 4.33. Izracunacemo približno vrednost izraza 1

034 97

2 pomocu totalnogdiferencijala funkcije f x y x y

2 Ako za nezavisne promenljive i odgovarajuce priraštaje izaberemo x0 1

y0 5

∆ x 0 03 i ∆ y

0 03 problem se

svodi na odredivanje vrednost f x0 ∆ x y0 ∆ y Kako je

∆ f

x0

y0

f

x0

∆ x

y0

∆ y

f

x0

y0

i kako je∆ f

d f

za dati izraz važi

1 034 97 2 f 1 ∆ x 5 ∆ y ∆ f 1 5 f 1 5 d f 1 5 f 1 5

Sada, izd f yx y

1 dx x y ln x dy

sledi

1

034 97

2 5

14

0

03

15 ln 1

0

03

15

2

0

85

4.3.2 Parcijalni izvodi višeg reda

Za realnu funkciju više realnih, kao i kod realne funkcije jedne realne promen-ljive (AI, poglavlje 4.9), možemo tražiti više izvode. Naravno, u n-dimenzionalnomslucaju, n

2 situacija je složenija jer vec i prvih (parcijalnih) izvoda ima više(koliko i promenljivih). Neka je f realna funkcija dve realne promenljive defin-isana na otvorenom podskupu skupa

2 Ako pretpostavimo da prvi parcijalni

izvodi postoje na posmatranom skupu, tada su i oni funkcije definisane na po-laznom otvorenom skupu, te je moguce tražiti prve parcijalne izvode prvih parcijalnih izvoda (ako postoje):

D1 D1 f

x

y

∂

∂ x

∂ f

∂ x

∂2 f

∂ x2

D2 D1 f

x

y

∂

∂ y

∂ f

∂ x

∂2 f

∂ y∂ x




i

D1 D2 f x y ∂∂ x

∂ f ∂ y

∂2

f ∂ x∂ y

D2 D2 f x y ∂∂ y

∂ f ∂ y

∂2

f ∂ y2

Funkcije D1 D1 f

D2 D1 f

D1 D2 f i D2 D2 f su parcijalni izvodi drugog reda

funkcije f

Primer 4.34. Odredicemo parcijalne izvode drugog reda funkcije dve promenljive f x y 3 x2

y sin xy Prvi parcijalni izvodi su

D1 f x y

∂ f

∂ x 6 x y cos xy i D2 f x y

∂ f

∂ y 1 x cos xy

Za parcijalne izvode drugog reda važi:

D1 D1 f x y

∂2 f

∂ x2

∂∂ x

6 x y cos xy 6 y2 sin xy

D2 D1 f

x

y

∂2 f

∂ y∂ x

∂

∂ y

6 x y cos

xy

cos

xy

xysin

xy

D1 D2 f x y

∂2 f

∂ x∂ y

∂

∂ x 1

x cos xy

cos xy xysin xy

D2 D2 f x y

∂2 f

∂ y2

∂

∂ y 1 x cos xy x2 sin xy

U prethodnom primeru se mešoviti parcijalni izvodi, tj. parcijalni izvodi D1 D2 f

i D2 D1 f poklapaju što u opštem slucaju ne mora da važi. Naredna teorema daje

dovoljan uslov za poklapanje mešovitih parcijalnih izvoda.

Teorema 4.2 Neka je f neprekidna realna funkcija dve realne promenljive defin-

isana na otvorenom skupu O

2

Ako parcijalni izvodi D1 f

D2 f

D1 D2 f i

D2 D1 f postoje i jesu neprekidni, tada važi

D1 D2 f

D2 D1 f

Dokaz. Pokazacemo da u proizvoljnoj tacki

x

y skupa O

pod polaznim pret-postavkama, važi

D1 D2 f x y D2 D1 f x y

Prvo, za fiksirano y posmatrajmo funkciju ϕ

u

f

u

y

∆ y

f

u

y

gde je u y O Iz neprekidnosti polazne funkcije f i postojanja prvog parcijalnog izvoda

D1 f sledi neprekidnost funkcije ϕ i

ϕ

u D1 f u y ∆ y D1 f u y




Dakle, za funkciju ϕ možemo reci da je neprekidna na intervalu

x

x

∆ x

i difer-

encijabilna na x x ∆ x

te po Lagranžovoj teoremi (AI, teorema 4.10) postojic x x ∆ x tako da važi

ϕ

c

ϕ

x

∆ x

ϕ

x

x ∆ x x

f x ∆ x y ∆ y f x ∆ x y f x y ∆ y f x y

∆ x

odnosno

∆ x D1 f c y ∆ y

D1 f c y

f x ∆ x y ∆ y f x ∆ x y f x y ∆ y f x y

(4.16)

Kako je i D1 f neprekidna i diferencijabilna funkcija na O za fiksirano c funkcija

φ

v

D1 f

c

v

c

v

O je neprekidna na

y

y

∆ y i diferencijabilna na

y

y

∆ y te po Lagranžovoj teoremi postoji d

y

y

∆ y tako da važi

φ

d

D2 D1 f

c

d

D1 f

c

y

∆ y

D1 f

c

y

y

∆ y y

(4.17)

Sada, iz (4.16) i (4.17) sledi

∆ x∆ yD2 D1 f c d f x ∆ x y ∆ y

f x ∆ x y

f x y ∆ y f x y

(4.18)Primenimo sada Lagranžovo teoremu na funkciju

ψ v f x ∆ x v f x v

gde je x fiksirano i x v

O Kako je funkcija neprekidna na y y ∆ y i difer-

encijabilna na y y ∆ y po Lagranžovoj teoremi znamo da postoji l y y ∆ y

tako da važi

ψ

l

ψ y ∆ y ψ y

y ∆ y y

f x ∆ x y ∆ y f x y ∆ y f x ∆ x y f x y

∆ y

te iz ψ v D2 f x ∆ x v D2 f x v sledi

∆ y

D2 f

x

∆ x

l

D2 f

x

l

f x ∆ x y ∆ y f x y ∆ y f x ∆ x y f x y

(4.19)




Primenjujuci još jednom Lagranžovu teoremu ali sada na funkciju ω

u

D2 f

u

l

na intervalu x x ∆ x

uz fiksirano l dobijamo

ω e D1 D2 f e l

D2 f

x

∆ x

l

D1 f

x

l

x

∆ x x

(4.20)

za e

x

x

∆ x Iz (4.19) i (4.20) sledi

∆ x∆ yD1 D2 f e l f x ∆ x y ∆ y

f x ∆ x y

f x y ∆ y f x y

(4.21)Jednakosti (4.18) i (4.21) nam daju

∆ x∆ yD2 D1 f c d ∆ x∆ yD1 D2 f e l

odnosno D2 D1 f

c

d

D1 D2 f

e

l

Zbog neprekidnosti funkcija D1 D2 f i D2 D1 f za ∆ x 0 i ∆ y

0 imamo

D2 D1 f c d D2 D1 f x y i D1 D2 f e l D1 D2 f x y te je

D2 D1 f

x

y

D1 D2 f

x

y


Analogno slucaju realne funkcije jedne realne promenljive, parcijalni izvoditreceg reda se dobijaju kao parcijalni izvodi prvog reda parcijalnih izvoda drugogreda.

Primer 4.35. Odredicemo parcijalne izvode treceg reda za funkciju f x y 3 x2

y sin xy datu u primeru 4.34. U ovom slucaju imamo

D1 D1 D1 f x y

∂3 f

∂ x3

∂

∂ x

6 y2 sin xy

y3 cos xy

D1 D2 D1 f x y

∂3 f

∂ x∂ y∂ x

∂

∂ x

cos xy xy sin xy

y sin xy y sin xy xy2 cos xy

D2 D1 D1 f

x

y

∂3 f

∂ y∂ x2

∂

∂ y

6

y2 sin

xy

2 y sin

xy

xy2 cos

xy




D2 D2 D1 f

x

y

∂3

f ∂ y2∂ x

∂∂ y

cos

xy

xy sin

xy

xsin xy x sin xy x2 y cos xy

D1 D1 D2 f x y

∂3 f

∂ x2∂ y

∂

∂ x cos xy xy sin xy

ysin xy y sin xy xy2 cos xy

D1 D2 D2 f x y

∂3 f

∂ x∂ y2

∂

∂ x

x2 sin xy

2 xsin xy x2 ycos xy

D2 D1 D2 f

x

y

∂3 f

∂ y∂ x∂ y

∂

∂ y cos

xy

xy sin

xy

x sin

xy

x sin

xy

x2 ycos

xy

D2 D2 D2 f

x

y

∂3 f

∂ y3

∂

∂ y

x2 sin

xy

x3 cos

xy

Treba primetiti da u prethodnom primeru važi

D1 D2 D1 f

x

y

D2 D1 D1 f

x

y

D1 D1 D2 f

x

y

D21 D2 f

x

y

i D2 D2 D1 f

x

y

D1 D2 D2 f

x

y

D2 D1 D2 f

x

y

D1 D22 f

x

y

odnosno, odgovarajuci mešoviti parcijalni izvodi se poklapaju te smo ih i moglizapisati u obliku D2

1 D2 f

x

y odnosno D1 D

22 f

x

y

U opštem slucaju, važi sledece tvrdenje koje navodimo bez dokaza: Ako je

f realna funkcija definisana na otvorenom skupu O

n i ako su svi parcijalni

izvodi funkcije f do reda k neprekidne funkcije (za funkciju f kažemo pripada

klasi C k O ) tada svi parcijalni izvodi do reda k ne zavise od redosleda traženjaizvoda.

Ako f C k

O tj. svi parcijalni izvodi funkcije f do reda k su neprekidne

funkcije, parcijalni izvodi do reda k ne zavise od redosleda traženja izvoda, te setada za skraceni zapis parcijalnog izvoda D

α11 D

α22

Dαnn f

α1

α2

αn k

αi koristi oznaka Dα f gde je α α1 α2 αn i važi D0 f f




Primer 4.36. Odredicemo parcijalne izvode do reda tri funkcije f

x

y

z

e xyz

U ovom primeru su svi parcijalni izvodi do reda tri neprekidne funkcije, te seodgovarajuci mešovit parcijalni izvodi poklapaju. Sada, za prve parcijalne izvodeimamo

D1 f

∂ f

∂ x

yze xyz

D2 f

∂ f

∂ y

xze xyz

D3 f

∂ f

∂ z

xye xyz

U ovom slucaju α iz zapisa Dα f je 1 0 0 0 1 0 i 0 0 1 redom. Drugi par-cijalni izvodi su

D21 f

∂2 f

∂ x2 y2 z2e xyz D2

2 f

∂2 f

∂ y2 x2 z2e xyz D2

3 f

∂2 f

∂ z2 x2 y2e xyz

D1 D2 f

∂2 f

∂ x∂ y

ze xyz

xyz2e xyz

D1 D3 f

∂2 f

∂ x∂ z

ye xyz

xy2 ze xyz

D2 D3 f

∂2 f

∂ y∂ z

xe xyz

x2 yze xyz

dok je α iz zapisa Dα f redom 2 0 0 0 2 0 0 0 2 1 1 0 1 0 1 i 0 1 1

Parcijalni izvodi treceg reda su

D31 f

∂3 f

∂ x3 y3 z3e xyz D3

2 f

∂3 f

∂ y3 x3 z3e xyz D3

3 f

∂3 f

∂ z3 x3 y3e xyz

D21 D2 f

∂3 f

∂ x2∂ y 2 yz2e xyz

xy2 z3e xyz

D21 D3 f

∂3 f

∂ x2∂ z 2 y2 ze xyz

xy3 z2e xyz

D1 D22 f

∂3 f

∂ x∂ y2 2 xz2e xyz

x2 yz3e xyz

D1 D23 f

∂3 f

∂ x∂ z2 2 xy2e xyz

x2 y3 ze xyz

D22 D3 f

∂3 f

∂ y2

∂ z

2 x2 ze xyz x3 yz2e xyz

D2 D23

∂3 f

∂ y∂ z2 2 x2 ye xyz

x3 y2 ze xyz

D1 D2 D3 f

∂3 f

∂ x∂ y∂ z e xyz

3 xyze xyz x2 y2 z2e xyz

U ovom slucaju α iz zapisa Dα f uzima redom vrednosti

3

0

0

0

3

0

0

0

3

2 1 0 2 0 1 1 2 0 1 0 2 0 2 1 0 1 2 i 1 1 1




Naredni primer ilustruje da se u opštem slucaju mešoviti parcijalni izvodi ne

moraju poklapati. Tada, na osnovu teoreme 4.2, znamo da nisu svi parcijalni izvodineprekidne funkcije.

Primer 4.37. Posmatrajmo funkciju

f

x

y

x a

y a

x a

2

y a

2

x a

2 y a

2

x

y

a

a

0

x

y

a

a

gde je a neki realan broj. Prvi parcijalni izvodi za

x

y

a

a su

D1 f x y y a

x

a

4

y

a

4

4

x

a

2

y

a

2

x a

2

y a

2

2

i

D2 f x y x a

x a

4

y a

4 4

x a

2

y a

2

x a

2

y a

2

2

Prve parcijalne izvode u tacki

x

y

a

a odredujemo po definiciji, te važi

D1 f

a

a lim

∆ x 0

f a ∆ x a f a a

∆ x 0

i

D2 f a a

lim∆ y 0

f a a ∆ y f a a

∆ y

0

Za parcijalne izvode reda dva u tacki

a

a važi sledece:

D1 D1 f

a

a lim

∆ x 0

D1 f a ∆ x a D1 f a a

∆ x 0

D2 D2 f a a lim∆ y

0

D2 f

a

a

∆ y

D2 f

a

a

∆ y 0

D2 D1 f

a

a lim

∆ y 0

D1 f a a ∆ y D1 f a a

∆ y lim

∆ y 0

∆ y

5

∆ y

5 1

i

D1 D2 f

a

a

lim∆ x 0

D2 f

a

∆ x

a

D2 f

a

a

∆ x

lim∆ x 0

∆ x

5

∆ x

5

1

Mešoviti parcijalni izvodi u ovom primeru se ne poklapaju, te na osnovu teoreme4.2 zakljucujemo da nisu svi parcijalni izvodi do reda dva neprekidne funkcije.




4.3.3 Parcijalni izvod složene funkcije

Neka je f realna funkcija definisana na nekom otvorenom skupu O

n

n

2

i neka je c

t

x1

t

x2

t

xn

t

funkcija sa vrednostima u skupu O defin-isana na nekom intervalu α β Ovako definisana funkcija c je neprekidnaako su sve komponente realne funkcije jedne realne promenljive xi : α β

i 1 2

n neprekidne. Takode, funkcija c je diferencijabilna ako su funkcije

xi :

α

β diferencijabilne i tada važi c

t

x

1

t

x

2

t

x

n

t Postavlja

se pitanje kako odrediti izvod složene funkcije date kompozicijom

f Æ c

t

f x1 t x2 t xn t Kao što znamo iz AI, izvod funkcije f Æ c t kada su

f i c funkcije jedne promenljive je dat sa d c t

dt

f

c

t

c

t (AI, teorema

4.4). Za složenu funkciju oblika f Æ c t f x1 t x2 t xn t važi sledeca

teorema.

Teorema 4.3 Neka je f realna funkcija definisana i diferencijabilna na otvorenom

skupu O

n . Neka je c diferencijabilna funkcija u okolini taˇ cke t

α

β

sa

vrednostima u skupu O. Tada je kompozicija f c t diferencijabilna funkcija i

važi

d f c t

dt

∇ f c

t c

t

gde je ∇ f c t c

t skalarni proizvod vektora ∇ f c t i c

t (videti definiciju

4.14).

Dokaz. Po polaznoj pretpostavci c je diferencijabilna funkcija jedne realne promen-ljive sa vrednostima u O, tj. c

t

x1

t

x2

t

xn

t gde xi :

α

β

i

1

2

n

Iz definicije izvoda realne funkcije jedne realne promenljive (AI,definicija 4.1) i osobine vektora sledi c

t x

1 t x

2 t x

n t Kako je kom-pozicija f Æ c realna funkcija jedne promenljive, neophodno je odrediti granicnuvrednost kolicnika

f c

t

∆t

f c

t

∆t (4.22)

za ∆t 0

Uvodimo pomocnu funkciju

v v t ∆t c t ∆t

c t

x1 t ∆t x1 t x2 t ∆t x2 t xn t ∆t xn t

te kolicnik (4.22) zapisujemo u obliku

f

c

t

v

f

c

t

∆t




Kako je polazna funkcije f diferencijabilna, iz definicije 4.15 sledi da je priraštaj

funkcije f dat sa

f x v

f x ∇ f x

v

v

r v (4.23)

gde jelimv

0r v 0 (4.24)

Ako jednakost (4.23) podelimo sa ∆t dobijamo

f c

t

∆t

f c

t

∆t ∇ f c t

v

∆t

v r

v

∆t (4.25)

Sada, za ∆t 0 izraz sa leve strane jednakosti (4.25) teži ka

d f c

t

dt Za prvi

sabirak sa desne strane jednakosti (4.25) važi

lim∆t 0

∇ f c t

v

∆t ∇ f c t

lim

∆t 0

c

t

∆t c

t

∆t ∇ f c t

c

t

Kako je

v r v

∆t

c t ∆t c t

∆t r

v

c t ∆t c t

∆t

r v

drugi sabirak sa desne strane jednakosti (4.25) za ∆t 0 teži ka

c

t lim

∆t 0r

v

Iz v v

t

∆t c

t

∆t c

t i diferencijabilnosti funkcije c za ∆t

0 važi iv 0 te iz (4.24) sledi

lim∆t 0

v

r

v

∆t c

t lim

∆t 0r

v c

t lim

v 0r

v 0

Dakle, puštajuci da u jednakosti (4.25) ∆t 0 dobijamo

d f c

t

dt ∇ f c t

c

t


Neka je f realna funkcija n promenljivih i neka je funkcija c

t data preko

koordinata kao c t x1 t x2 t xn t Tada, po teoremi 4.3, važi

d f c t

dt

∂ f

∂ x1

dx1

dt

∂ f

∂ x2

dx2

dt

∂ f

∂ xn

dxn

dt (4.26)




p

f (x)= k f (p)

c(t)

c'( t )0

x

y

z

Slika 4.45.

odnosno gradijent funkcije f u tacki p je normalan na tangentni vektor krive utacki p (videti sliku 4.45). Treba naglasiti da (4.29) važi za svaku diferencijabilnukrivu na posmatranoj površi koja prolazi kroz tacku p te je moguce dati sledecudefiniciju.

Definicija 4.17 Tangentna ravan površi f

x

k u taˇ cki p je ravan koja prolazi

kroz taˇ cku p i normalna je na vektor ∇ f p

Jednacina tangentne ravni, tj. ravni kroz tacku p normalne na vektor ∇ f p

sedobija iz jednakosti

x ∇ f p p ∇ f p

gde su x x y z tacke tražene tangetne ravni, odnosno iz

xD1 f p

yD2 f p

zD3 f p

p1 D1 f p

p2 D2 f p

p3 D3 f p (4.30)

Ovom prilikom posmatrali samo glatke površi, tj. površi za koje je ∇ f 0 U

slucaju ∇ f p 0

tangentna ravan nije definisana.Primetimo da u slucaju funkcije jedne promenljive y f x date kao F x y

f x y prethodne jednakost daje

x

y

D1F

p1

p2

D2F

p1

p2

p1

p2

D1F

p1

p2

D2F

p1

p2

odakle iz D1F

p1

p2

f

p1

i D2F

p1

p2 1 sledi

y p2 f

p1 x p1




p

x

y

z

f (p)

Slika 4.46. Tangentna ravan i gradijent površi f x k u tacki p

tj. jednacinu tangente na krivu y

f

x

u tacki

p1

p2

(AI, poglavlje 4.2).Kako je ∇ f p vektor normalan na svaku krivu na površi f x k koja prolazi

kroz tacku p, vektor ∇ f p je normalan i na celu površ u tacki p

Primer 4.39. Odredicemo tangentnu ravan na površ x2

y2

z2 6 u t acki 1 1 2

U ovom primeru parcijalni izvodi su

D1 f

x

y

z 2 x

D2 f

x

y

z 2 y i D3 f

x

y

z 2 z

te je gradijent u tacki 1 1 2 dat sa

∇ f 1 1 2 2 2 4

Iz (4.30) sledi da je tangentna ravan data jednacinom 2 x 2 y

4 z 2 2 8

odnosno sa 2 x 2 y

4 z 12 Vektor ∇ f

1 1 2 2 2 4 2i 2 j 4k je vektornormale na posmatranu površ u tacki 1 1 2

Primer 4.40. Odredicemo tangentnu ravan na površ z

x2

y2 3 u t acki 1 2 8

Jednacinu površi u ovom primeru možemo zapisati kao x2 y2

3 z 0 te je

f x y z x2 y2

3 z Parcijalni izvodi su

D1 f x y z 2 x D2 f x y z 2 y i D3 f x y z 1

pa je gradijent u posmatranoj tacki dat sa

∇ f 1 2 8 2 4 1



4.4. Ekstremne vrednosti 185

Sada, iz (4.30), tangentna ravan na datu površ u posmatranoj tacki ima jednacinu

2 x

4 y z

1

8

8

1

4.4 Ekstremne vrednosti

Neka je f diferencijabilna funkcija definisana na otvorenom skupu O

n ineka je p

p1

p2

pn tacka iz O

Definicija 4.18 Taˇ cka p je stacionarna tacka funkcije f ako su svi parcijalni izvodi

prvog reda funkcije f u ta ˇ cki p jednaki nuli, tj. za svako i 1 2

n važi

Di f p 0

Primer 4.41. Odredicemo stacionarne tacke funkcije f

x

y

e x2

3 x

2 y3 Kako

su prvi parcijalni izvodi dati sa

D1 f

x

y 2 x

3

e x2 3 x 2 y3

i D2 f

x

y 6 y2e x2

3 x 2 y3

koordinate stacionarne tacke se dobijaju iz jednacina 2 x 3 e x2

3 x

2 y3 0 i

6 y2e x2 3 x 2 y3

0 odnosno, iz 2 x 3 0 i 6 y2

0 Koordinate stacionarne

tacke su

32

0

Definicija 4.19 Taˇ cka p

O je lokalni maksimum funkcije f ako postoji otvorenalopta L sadržana u O sa centrom u p tako da za svaku taˇ cku x L važi

f x

f p

Analogno se definiše i lokalni minimum.

Definicija 4.20 Taˇ cka p O je lokalni minimum funkcije f ako postoji otvorena

lopta L sadržana u O sa centrom u p tako da za svaku taˇ cku x L važi

f x f p

Lokalni maksimum i lokalni minimum se jednim imenom nazivaju lokalni ek-strem (slika 4.47). Veza izmedu lokalnih ekstrema i stacionarne tacke bice datanarednom teoremom, ali prvo je neophodno uvesti pojam izvoda u pravcu.

Posmatrajmo funkciju f koja je definisana i diferencijabilna na otvorenomskupu O

n Neka je p p1 p2 pn tacka iz O i neka je v v1e1 v2e2

vnen jedinicni vektor, tj. v

v21

v2n

1

Sa p

t v

t

je data




lokalni maksimum

lokalni minimum

x

y

z

Slika 4.47. Lokalni ekstremi funkcije z

f

x

y

x

p

f(p)

f(p+ t v)0

p+ t v0

y

z

v

p + t v

Slika 4.48. Izvod u pravcu vektora v




parametarska reprezentacija prave koja ima isti pravac kao i vektor v i prolazi kroz

tacki p (videti sliku 4.48).Postavlja se pitanje kako odrediti stepen promene funkcije f u pravcu datog

vektora v Neopodno je posmatrati vrednosti funkcije f duž prave p t v tj. vred-nosti f p t v Traženi stepen promene funkcije f u pravcu vektora v dobijamokao

d f p

t v

dt

za male vrednosti parametra t

Iz teoreme 4.3 sledi

d f p t v

dt

∇ f

p

t v

v

Za t 0 dobijamo stepen promene funkcije f u pravcu vektora v u datoj tacki p

pa traženi izvod u tacki p iznosi

∇ f p v

Definicija 4.21 Neka je v jediniˇ cni vektor. Izvod funkcije f u pravcu vektora v u

taˇ cki p je broj Dv f p

dat sa

Dv f p

∇ f p v

Izvod funkcije f u pravcu vektora v u tacki p je stepen promene funkcije f u pravcuvektora v u tacki p :

Dv f p

d f p

t v

dt

t 0 ∇ f p v (4.31)

Treba primetiti da izvod u pravcu vektora ei tj. vektora sa koordinatama 0 0 1 0 0 gde je jedinica na i-tom mestu, odgovara prvom parcijalnomizvodu po i-toj komponenti:

Dei f p Di f p

Naredna teorema daje vezu izmedu lokalnih ekstrema i stacionarnih tacaka.

Teorema 4.4 Neka je f realna funkcija definisana i diferencijabilna na otvorenom

skupu O

n

Ako je p lokalni maksimum (lokalni minimum) funkcije f na O, tada

je p stacionarna taˇ cka funkcije f .




Dokaz. Neka je h nenula vektor. Za malu vrednost parametra t

p

t h leži u

otvorenom skupu O

te je f p t h

definisano. Kako je za malo t i t h dovoljnomalo, imamo p t h L gde je L neka otvorena lopta sa centrom u p Iz polaznepretpostavke da je tacka p lokalni maksimum, po definiciji 4.19, sledi

f p

t h f

p (4.32)

Posmatrajmo sada funkciju jedne promenljive g

t

f p

t h Iz (4.32) sledida funkcija g dostiže lokalni maksimum za t

0

te je g

0

0 (AI, teorema 4.8).Na osnovu (4.31) imamo

∇ f p

h Dv f p

d f p

t v

dt

t 0 g

0 0

te kako je h nenula vektora dobijamo

∇ f p 0

što je i trebalo pokazati.Dokaz za lokalni minimum je analogan.

Ako je f realna funkcija jedne realne promenljive definisana na zatvorenomintervalu, znamo da ta funkcija dostiže minimum i maksimum na posmatranomintervalu (AI, teorema 3.17). Naredna teorema daje analogno tvrdenje za funkcijeviše promenljivih.

Prvo je neophodno uvesti pojmove zatvorenog i ogranicenog skupa u n Neka je K

n Za skup K kažemo da je zatvoren ako sadrži sve svoje rubne tacke.

Skup K je ograniˇ cen ako postoji realni broj M 0 tako da za svako x

K važi

x

x21

x22

x2n

M

Sledecu teoremu, koja je uopštenje teoreme 3.17 iz AI, navodimo bez dokaza.

Teorema 4.5 Neka je K

n zatvoren i ograniˇ cen skup. Neka je f neprekidna

realna funkcija definisana na K. Tada, funkcija f dostiže maksimum i minimum na

skupu K tj. postoji taˇ cka p1 K takva da za svako x K važi

f p1 f x

i postoji taˇ cka p2 K takva da za svako x K važi

f p2 f x




3

1

1

x

y

z

(1,1,3)

f max

Slika 4.49. Funkcija f

x

y

3 x3 y na jedinicnom kvadratu.

Primer 4.42. Odredicemo maksimum funkcije f

x

y 3 x3 y na jedinicnom kva-

dratu 0 x

1

0 y

1

tj. 0

x

1 i 0

y

1 (slika 4.49). Neka je O

unutrašnjost datog kvadrata. O je otvoren skup, te po teoremi 4.4, prvo je potrebnoodrediti stacionarne tacke na O Kako je

D1 f

x

y 9 x2 y i D2 f

x

y

x3

stacionarne tacke dobijamo iz

9 x2 y 0 i 3 x3

0

Tacke oblika 0

y za svako y

0 1 su stacionarne tacke date funkcije, ali 0

y

O te zakljucujemo da funkcija ne dostiže maksimum na O, tj. u unutrašn-

josti jedinicnog kvadrata. Kako po prethodnoj teoremi maksimum na zatvorenomi ogranicenom skupu, što jedinicni kvadrat 0 x 1 i 0 y 1 jeste, mora bitidostignut, zakljucujemo da se on dostiže na rubu. Imamo cetiri mogucnosti:

1) x 0 i y 0 1 implicira f x y 0,

2) x 1 i y

0 1 implicira f

x

y 3 y

y 0 1

3) x 0 1 i y

0 implicira f

x

y 0

4) x

0

1

i y

1 implicira f

x

y

3 x3

x

0

1

Zakljucujemo da se maksimum dostiže u drugom slucaj i to u tacki

1

1

i iznosi f max f 1 1 3




4.4.1 Vezani (uslovni) ekstremi

U ovom poglavlju, razmatran je problem odredivanja ekstremnih vrednostifunkcije na unapred datom skupu tacaka. Radi jednostavnosti, ogranicavamo sena probleme u prostoru

3

Neka je g realna diferencijabilna funkcija dve promenljive koja definiše površS u

3 na sledeci nacing

x

y 0 (4.33)

tj. S je cilindricna površ kojoj pripadaju tacke iz

3 da zadovoljavaju jednacinu(4.33). Pretpostavimo još da za tacke površi S važi ∇g 0 Neka je O

2

otvoreni skup koji sadrži tacke iz oblasti definisanosti funkcije g za koje je ispunjeno (4.33) i neka je f realna diferencijabilna funkcija definisana na O

Postavlja se

pitanje: kako odrediti one taˇ cke p S takve da funkcija f u njima dostiže ekstremnevrednosti na skupu S

z=f(x,y)

g(x,y)=0

x

y

z

uslovni maksimum

uslovni minimum

Slika 4.50. Uslovni ekstremi funkcije z

f

x

y

Definicija 4.22 Taˇ cka p takva da je g p 0 i važi ili

f p

f x za svako x takvo da je g x 0

ili f p f x za svako x takvo da je g x 0

se naziva vezani ili uslovni ekstrem funkcije f na površi (4.33) (slika 4.50).

Naredna teorema nam daje Lagranžov1 metod za odredivanje vezanih ekstrema.

1J. L. Lagrange (1736-1813)




Teorema 4.6 Neka je g : O

realna, neprekidna, diferencijabilna funkcija defin-

isana na otvorenom skupu O Neka je S skup svih taˇ caka x O takvih da važi

g x 0 i ∇g

x 0

Neka je f realna, neprekidna, diferencijabilna funkcija definisana na O i neka je

p S vezani ekstrem funkcije f na površi S

Tada postoji realan broj λ tako da važi

∇ f p λ∇g p

Dokaz. Neka je c t t α β diferencijabilna kriva na površi S koja prolazikroz tacku p tj. postoji t 0

α

β tako da je c

t 0 p Pod ovim pretpostavkama,funkcija f

c

t dostiže minimum ili maksimum u t 0 pa važi

d f

c

t

dt

t t 0

0

Iz teoreme 4.3 sledi

d f c t

dt

t

t 0

∇ f p c

t 0 0

te je vektor ∇ f p normalan na svaku krivu sa površi S koja prolazi kroz tacku p

Kako je ∇g

p

vektor normale u tacki p na površ S zadatu sa g

x

0 i kako jepo polaznoj pretpostavci ∇g p 0 zakljucujemo da vektori ∇ f p i ∇g p imajuisti pravac, te postoji λ tako važi

∇ f p

λ∇g p


Primer 4.43. Odredicemo maksimum funkcije f

x

y 3 x

4 y na centralnoj kru-žnici poluprecnika 1 Dakle, u ovom primeru tražimo maksimum uz uslov x2

y2

1

tj. na površi g

x

y

x2

y2

1

0

Neka je

x0

y0

vezani maksimum funkcije f na površi g x y 0 Po prethodnoj teoremi znamo da postoji λ

tako da važi

∇ f x0 y0 λ∇g x0 y0

tj. 3 4

λ 2 x0 2 y0

Iz 3 2λ x0 i 4 2λ y0 pod pretpostavkom x0 0 i y0 0 sledi λ 32 x0 2 y0

te

je y0

43

x0 Uzimajuci u obzir i uslov g x0 y0 0 dobijamo dve mogucnosti za

tacku

x0

y0 i to

p

35

45

i q

35

45




Jasno, maksimum se dostiže u tacki p jer za q funkcija ima negativnu vrednost.

Traženi maksimum iznosi f max

g f p 5

4.5 Tejlorova formula

Za realnu funkciju jedne promenljive važi Tejlorova teorema (AI, teorema 4.19)koja daje aproksimaciju funkcije polinomom, tj. ako je funkcija g :

a

b

neprekidna i ima neprekidne sve izvode do s-tog reda na nekom intervalu

a

b i

ima izvod g s 1 na intervalu a b , tada za t t 0 a b imamo

g

t

s

∑k 0

g k t 0

k !

t

t 0

k

r s

t 0

t

(4.34)

gde je r s ostatak u Lagranžovom obliku (3.37) dat sa

r s t 0 t

1

s

1

!g

s

1

t 0 θ t t 0

0 θ 1 Time je funkcija g aproksimirana polinomom stepena s iz (4.34) sagreškom r s

Ako je s 2 i ako je ostatak dat u Lagranžovom obliku, po Tejlorovoj teoremi

imamo

g

t

g

t 0

g

t 0

t t

0

g

t 0

2!

t t

0

2

r 2

t 0

t (4.35)

gde je

r 2 r 0 t

g

t 0

θ

t t 0

3! t t 0

3 za 0 θ 1 (4.36)

tj. funkciju g smo aproksimirali polinomom drugog stepena iz (4.35) sa greškomr 2 Oznacavajuci ∆t t t 0 prethodna jednakost (4.35) se može zapisati i u obliku

g t 0 ∆t g t 0 g

t 0 ∆t

g

t 0

2! ∆t

2 r 2 t 0 t 0 ∆t (4.37)

Postavlja se pitanje da li analogna formula za (4.34), specijalno (4.37), važi iza funkcije više promenljivih.

4.5.1 Aproksimacija polinomom drugog stepena realne funkcije dve

promenljive

Posmatramo funkciju dve promenljive f : O

gde je O

2 otvoren ikonveksan skup (ako x y O tada i x t y x O za svako t 0 1 ). Neka je



4.5. Tejlorova formula 193

data tacka x0

x0

y0 O i neka je h

∆ x

∆ y

priraštaj nezavisnih promenljivih.

Aproksimiracemo sada funkciju f u okolini tacke x0 y0

polinomom drugog ste-pena od dve promenljive, tj. sa

a11

x x0

2

a22

y y0

2

a12

x x0

y y0

a10

x x0

a01

y y0

a00

Za svako t

0 1 moguce je definisati realnu funkciju jedne realne promenljivakao

g

t

f x0

t h

f

x0

t ∆ x

y0

t ∆ y

uz pretpostavku da x0

t h O

Primetimo da za t 0 imamo x0 0h x0 a

za t 1 važi x0 1h x0 h Zato za ovako definisanu funkciju g : 0 1

važi g

1

f

x0

h

i g

0

f

x0

te iz Tejlorove formule za funkciju jednepromenljive (4.35), za t 0 0 i t 1 sledi

f x0 h

g 1

g 0

g

0

g

0

2

r 2 0 1 (4.38)

gde je po (4.36)

r 2 0 1

g

0

θ 1

3! za θ 0 1

Kako je

g

t

d

dt f

x0

t h

∇ f x0 t h h

D1 f x0

t h

D2 f x0

t h

∆ x

∆ y

D1 f x0 t h ∆ x D2 f x0 t h ∆ y

prvi izvod funkcije g u nuli je

g

0

D1 f x0

∆ x

D2 f x0

∆ y (4.39)

Uvodimo sada pomocnu funkciju f 1

∆ xD1 f

∆ yD2 f Na osnovu definicije

funkcije f 1 dobijamo

∆ xD1 f 1

∆ yD2 f 1

∆ xD1

∆ xD1 f

∆ yD2 f

∆ yD2

∆ xD1 f

∆ yD2 f

∆ x

2 D21 f 2∆ x∆ yD1 D2 f ∆ y

2 D22 f




a kako je g

t

f 1

x0

t h

imamo

g

t ∆ x

2 D21 f x0 t h 2∆ x∆ yD1 D2 f x0 t h ∆ y

2 D22 f x0 t h

odnosno za t 0

g

0

∆ x

2 D21 f

x0 2∆ x∆ yD1 D2 f x0

∆ y

2 D22 f

x0 (4.40)

Uvrštavanjem (4.39) i (4.40) u izraz (4.38) dobijamo Tejlorovu formulu za realnu

funkciju dve promenljive sa ostatkom r 2

f

x0

∆ x

y0

∆ y

f

x0

y0

D1 f

x0

y0

∆ x

D2 f

x0

y0

∆ y

12!

∆ x

2 D21 f x0 y0 2∆ x∆ yD1 D2 f x0 y0 ∆ y

2 D22 f x0 y0

r 2

x0

y0

x0

∆ x

y0

∆ y

Poredeci prethodnu formulu sa Tejlorovom formulom (4.37) za funkciju jednepromenljive vidimo da sada vrednosti funkcije g

t 0

iz (4.37) odgovara vrednostfunkcije f x0 y0 da izvodu pomnoženim sa priraštajem g

t 0 ∆t odgovara

D1 f x0 y0 ∆ x D2 f x0 y0 ∆ y

a drugom izvodu pomnoženim sa priraštajem na kvadrat g

t 0

∆t

2

odgovara

∆ x

2 D21 f

x0

y0

2∆ x∆ yD1 D2 f

x0

y0

∆ y

2 D22 f

x0

y0

Jasno je da se u slucaju funkcije jedne promenljive dobijena Tejlorova formula zafunkciju dve promenljive redukuje na (4.37).

Izraz

∆ x

2 D21 f

x0 2∆ x∆ yD1 D2 f x0

∆ y

2 D22 f

x0 možemo formalno za-pisati kao

∆ xD1

∆ yD2

2

f

x0

(uslovno receno, kao kvadrat zbira) pa je Tejlo-rova formula realne funkcije dve promenljive sa ostatkom r 2 data u obliku

f x0 h

f x0

12!

∆ xD1

∆ yD2

2

f x0

r 2 x0 x0 h

(4.41)

4.5.2 Aproksimacija polinomom s-tog stepena realne funkcije dve

promenljive

Dobijena formula (4.41) se može uopštiti na više stepena od dva u smisluformule (4.34), tj. funkciju f aproksimiramo polinomom s-tog stepena od dve




promenljive:

f x0 h

f x0

s

∑k 1

1k !

∆ xD1

∆ yD2

k

f x0

r s x0 x0 h (4.42)

gde je ostatak r s iz (4.42) dat sa

r s x0 x0 h

1 s 1 !

∆ xD1 ∆ yD2

s 1

f x0 θh

pri cemi je za k 1 2

s

∆ xD1

∆ yD2

k f

x0

∆ x

k Dk 1 f

x0

k 1

∆ x

k 1∆ yDk 11 D2 f

x0

k

2

∆ x

k 2 ∆ y

2 Dk 21 D2

2 f x0

k

k 1

∆ x ∆ y

k 1 D1 Dk 12 f x0

∆ y

k Dk 2 f

x0

Kako su za male vrednosti priraštaji nezavisno promenljivih jednaki njihovimdiferencijalima, tj. ∆ x dx i ∆ y dy to koristeci da je d f D1 f dx D2 f dy

formulu (4.42) možemo zapisati i u obliku

f x0 dx y0 dy f x0 d f x0

12!

d 2 f x0

1s!

d s f x0 r s

r s

1 s 1 !

d s 1 f

x0

θdx

y0

θdy

pri cemu je

d k f x0

dxD1

dyD2

k f

x0

dx

k Dk 1 f x0

k 1

dx

k 1dyDk 11 D2 f x0

k

k 1

dx dy

k 1 D1 Dk 12 f x0 dy

k Dk 2 f x0

totalni diferencijal reda k funkcije f u tacki x0




Primer 4.44. Razvicemo funkciju f

x

y

x 1

y u okolini tacke x0

x0

y0

2

1

po Tejlorovoj formuli datoj sa (4.41) do ostatka r 2

Parcijalni izvodi prvog idrugog reda date funkcije su

D1 f x y y x 1

y

1 D2 f x y x 1

y ln x 1

D21 f

x

y

y

y 1

x 1

y 2

D22 f

x

y

x 1

y ln2

x 1

i D1 D2 f

x

y

f

x

y

x 1

y 1 1

y ln

x 1

Odatle za tacku 2 1 dobijamo f 2 1 1 D1 f 2 1 1 D2 f 2 1 0

D21 f

2 1 0

D1 D2 f 2 1 1 i D2

2 f 2 1 0 Sada, po formuli (4.41), imamo

u okolini tacke

2

1

f

x

y

f 2 1

D1 f 2 1

∆ x

D2 f 2 1

∆ y

12!

∆ x

2 D21 f

2 1 2∆ x∆ yD1 D2 f 2 1

∆ y

2 D22 f

2 1

r 2

Kako je priraštaj nezavisnih promenljivih u ovom primeru ∆ x

x x0

x 2 i

∆ y y y0 y

1 traženi razvoj funkcije je

x 1

y

1

x 2

x 2

y 1

r 2

Ostatak u ovom primeru je

r 2

13!

∆ xD1 ∆ yD2

3

f 2 θ∆ x 1 θ∆ y za 0 θ 1

Primer 4.45. Razvicemo funkciju f

x

y ln

x 2 y

5 u okolini tacke x0

x0

y0

0

0

po Tejlorovoj formuli datoj sa (4.41) do ostatka r 3

U ovom primeruneophodno je odrediti parcijalne izvode prvog, drugog i treceg reda:

D1 f x y

1 x

2 y

5 D2 f x y

2 x

2 y

5 D2

1 f x y

1

x

2 y

5

2

D22 f

x

y

4

x 2 y

5

2

D1 D2 f

x

y

2

x 2 y

5

2

D31 f x y

2

x

2 y

5

3 D32 f x y

16

x

2 y

5

3

D21 D2 f

x

y

4 x 2 y 5 3

i D1 D22 f

x

y

8 x 2 y 5

3




Vrednosti ovih parcijalnih izvoda u tacki 0 0 su 1

5

2

5

1

25

4

25

2

25

2

125

16125

4125

i 8125

redom, te iz (4.42) sledi

f

x

y

f

0

0

3

∑k 1

1k !

∆ xD1

∆ yD2

k f

0

0

r 3

odnosno,

f

x

y

f 0 0

∆ xD1 f 0 0

∆ yD2 f 0 0

12!

∆ xD1

∆ yD2

2

f 0 0

13!

∆ xD1

∆ yD2

3

f 0 0

r 3

f

0

0

∆ xD1 f

0

0

∆ yD2 f

0

0

12

∆ x

2 D21 f 0 0 2∆ x∆ yD1 D2 f 0 0 ∆ y

2 D22 f 0 0

16

∆ x

3 D31 f 0 0 3 ∆ x

2∆ yD21 D2 f 0 0

3∆ x

∆ y

2 D1 D22 f

0 0

∆ y

3 D32 f

0 0

Kako je f

0

0

ln5 i ∆ x

x 0

x i ∆ y

y 0

y

traženi razvoj funkcije je

ln

x

2 y

5

ln 5

15

x

25

y

12

125

x2

425

xy

425

y2

16

2125

x3

12125

x2 y

24125

xy2

16125

y3

r 3

i

r 3

14!

∆ xD1

∆ yD2

4

f

θ x

θ y za 0

θ 1

4.5.3 Aproksimacija realne funkcije n promenljivih

Uopštavanjem formule (4.42) na realnu funkciju n promenljivih f : O

gde je O

n otvoren i konveksan skup (ako x

y O

tada i x

t

y x

O

za svako t 0 1 ), klase C s 1 dobijamo Tejlorovu formulu za realnu funkciju f uokolini tacke x0

x1

x2

xn

f x0 h

f x0

s

∑k 1

1k !

∆ x1 D1

∆ x2 D2

∆ xn Dn

k f

x0

r s x0 x0 h




gde je h

∆ x1

∆ x2

∆ xn

i ostatak r s dat sa

r s x0 x0 h

1 s 1 !

∆ x1 D1

∆ x2 D2

∆ xn Dn

s

1

f x0

θh

za 0

θ 1

Time smo funkciju f aproksimirali u okolini tacke x0 polinomom stepena s odn promenljivih.

4.6 Kvadratna forma

Neka je O

2 otvoren i konveksan skup i neka je x0

x0

y0 stacionarna

tacka funkcije f : O

4.6.1 Definicija kvadratne forme pridružene realnoj funkciji dve

promenljive

Kako za stacionarnu tacku važi

D1 f

x0

y0

0 i D2 f

x0

y0

0

razvoj funkcije f po Tejlorovoj formuli (4.41) do ostatka r 2 nam daje

f

x0

∆ x

y0

∆ y

f

x0

y0

q

∆ x

∆ y

r 2

(4.43)gde smo uzeli da je

q ∆ x ∆ y

12

∆ x

2 D21 f x0 2∆ x∆ yD1 D2 f x0 ∆ y

2 D22 f x0

(4.44)

Specijalni polinom drugog stepena po dve promenljive ∆ x i ∆ y iz (4.44) zaslužujeposebnu pažnju.

Definicija 4.23 Neka je x0

x0

y0

stacionarna taˇ cka realne funkcije f : O

O

2

Izraz q

∆ x

∆ y

dat sa (4.44) je kvadratna forma pridružena funkciji f u

stacionarnoj tacki x0

Kako za nezavisne promenljive x i y za male vrednosti važi ∆ x

dx i ∆ y

dy

kvadratnu formu q možemo zapisati i u obliku

q

dx

dy

12

dx

2 D21 f

x0

y0 2dxdyD1 D2 f

x0

y0

dy

2 D22 f

x0

y0



4.6. Kvadratna forma 199


x

y

2 x x2 y

4 y2 (polinom treceg ste-

pena po x i y). Parcijalni izvodi prvog reda su D1 f x y 2 2 xy i D2 f x y x2

8 y

te stacionarnu tacku dobijamo iz jednacina

2 2 xy 0 i x2 8 y 0

Stacionarna tacka je x0 y0

2

12

pa kvadratna forma pridružena funkciji f

u tacki

2

12

ima sledecu formu

q ∆ x ∆ y

1

2

∆ x

2 D21 f

2

1

2

2∆ x∆ yD1 D2 f

2

1

2

∆ y

2 D22 f

2

1

2

Kako je

D21 f

x

y

2 y

D1 D2 f

x

y

2 x

D22 f

x

y

8

te u tacki

2

12

D21 f

2

12

1

D1 D2 f

2

12

2

D22 f

2

12

8

to sledi da je

q ∆ x ∆ y

12

∆ x

2 4∆ x∆ y 8 ∆ y

2

Primetimo da uvodenjem novih koordinata

x

x x0 i y

y y0

je uvek moguce stacionarnu tacku x0 pomeriti (translirati) na koordinatni pocetak.U tom slucaju (4.43) daje

f

x

y

f 0 0

q

x

y

r 2

gde je

q x y

12

D21 f 0 0 x2

2 D1 D2 f 0 0 xy D22 f 0 0 y

U opštem slucaju, pod pretpostavkom da je x0

x0

y0 stacionarna tackafunkcije f i h

∆ x

∆ y priraštaj nezavisnih promenljivih, iz izraza

f

x

y

f x0

q h

r 2

za x

x0

∆ x i y

y0

∆ y može se pokazati da je za dovoljno malo ∆ x i ∆ y

ostatak r 2 mnogo manji od kvadratne forme q

h

koja daje dobru aproksimacijufunkcije f u okolinin tacke x0




4.6.2 Primena kvadratne forme na odre divanje lokalnih ekstrema

Kao što je vec receno (definicija 4.19), za tacku x0 kažemo da je lokalni mak-

simum funkcije f ako postoji otvoren i disk L sa centrom u x0 tako da za svakox L važi f x0 f x Jasno, x0 je lokalni minimum ako je f x0 f x zasvako x L Ako je dat mali otvoreni disk sa centrom u x0 u cilju odredivanjatipa lokalnog ekstrema u x0 nephodno je oceniti vrednosti funkcije f u tackama

x0

∆ x

y0

∆ y gde su ∆ x i ∆ y mali brojevi.

Radi jednostavnosti, pretpostavimo da je stacionarna tacka koordinatni poce-tak (translacijom opisanom u prethodnom poglavlju uvek možemo dobiti takvusituaciju). Pod ovom pretpostavkom, kao što je vec pokazano, za funkciju f važi

f

x

y

f

0

0

q

x

y

r 2

Kako kvadratna forma q

x

y aproksimira funkciju f u nekoj okolini tacke 0 0

ponašanje funkcije f

x

y u okolini tacke 0 0 isto je kao i ponašanje kvadratne

forme q x y te da bi odredili lokalne ekstremne vrednosti funkcije pa je potrebnoodrediti lokalne ekstreme kvadratne forme.

Primer 4.47. Neka je q

x

y

x2

y2

Grafik funkcije q i nivoske linije su datislikom 4.51. U ovom primeru, koordinatni pocetak je lokalni minimum kvadratneforme.

x

y

x

z

y

Slika 4.51. Kvadratna forma q

x

y

x2

y2 i odgovarajuce nivoske linije.

Primer 4.48. Neka je q x y x2 y2

(slika 4.52). U ovom primeru, koordi-natni pocetak je lokalni maksimum kvadratne forme.




x

y

x

z

y

Slika 4.52. Kvadratna forma q x y x2 y2

i odgovarajuce nivoske linije.

Primer 4.49. Ako je q

x

y

x2

y2 nivoske linije su hiperbole odredene za

svako realni broj c jednacinom x2

y2 c što se i vidi iz slike 4.53. Koordinatni

pocetak u ovom slucaju nije ni lokalni minimum ni lokalni maksimum.

x

y

y

x

z

Slika 4.53. Kvadratna forma q x y x2 y2 i odgovarajuce nivoske linije.

Primer 4.50. Za q

x

y

xy nivoske linije su date slikom 4.54. I u ovom primeru

stacionarna tacka nije ni lokalni minimum ni lokalni maksimum.

Prethodni primeri daju cetiri tipicne situacije, te se postavlja pitanje kako proi-zvoljnu kvadratnu formu svesti na jedan od prethodna cetiri oblika.

Neka je data opšta kvadratna forma q u sledecem obliku

q x y ax2 bxy cy2

(4.45)




x

y

z

x

y

Slika 4.54. Kvadratna forma q

x

y

xy i odgovarajuce nivoske linije.

gde su a b i c dati realni brojevi. Kako aa a 0 imamo

a

x

b

2a y

2

ax2 bxy

b2

4a y2

to je

q

x

y

a

x

b

2a y

2

b2

4a y2

cy2

a

x

b

2a y

2

b2 4ac

4a y2

(4.46)

Uvedimo nove oznake u (4.46) na sledeci nacin

u

a

x

b2a

y

(4.47)

i

v

proizvoljno, ako je b2 4ac 0

b2 4ac

2

a y

ako je b2 4ac

0

4ac b2

2

a y

ako je b2 4ac

0

(4.48)

Prelaskom na

u

v

-koordinate date sa (4.47) i (4.48) na osnovu (4.46) dobijamo

q x y

u2 za b2 4ac

0 0 0 minimum za q

u2

v2 za b2

4ac 0 0 0 nije ekstrem za q

u2 v2

za b2 4ac 0 0 0 minimum za q

(4.49)




Na osnovu prethodne analize možemo formulisati sledecu teoremu.

Teorema 4.7 Neka je q

x

y

ax2

bxy

cy2 kvadratna forma u koordinatnom

poˇ cetku i neka je a 0 Tada važi slede´ ce:

(i) Ako je b2 4ac

0

koordinatni poˇ cetak je lokalni minimum.

(ii) Ako je b2 4ac

0

koordinatni poˇ cetak nije ni lokalni minimum ni lokalni

maksimum.

(iii) Ako je b2 4ac

0

koordinatni poˇ cetak je lokalni minimum.

Dokaz. Sledi direktno iz prelaska na koordinate u v date sa (4.47) i (4.48) iprimera 4.47, te (4.49) 4.49 i 4.50.

Slucaj (ii) iz teoreme 4.7 nam daje tzv. sedlastu taˇ cku (videti primer 4.49, kaoi sliku 4.55).

lokalni minimum

lokalni maksimum

sedlaste tacke

x

y

z

Slika 4.55. Stacionarne tacke funkcije z

f

x

y

Primer 4.51. Ako je kvadratna forma data sa q x y x2

2 xy 4 y2 kako je

b2 4ac 12 0 po teoremi 4.7 zakljucujemo da q ima lokalni minimum.

Na osnovu teoreme 4.7 možemo primetiti da minimum dobijamo u slucajima

(i) i (iii), kada je q x y 0 dok u slucaju (ii) kvadratna forma može menjati znaki posmatrana stacionarna tacka nije ni minimum ni maksimum. Ovo zapažanje jeobuhvaceno sledecom teoremom.

Teorema 4.8 Za a

0 koordinatni poˇ cetak je lokalni minimum funkcije q ako i

samo ako je q x y 0 za svako x y




Neka je data kvadratna forma q1

x

y

x2

2 xy 4 y2

U ovom slucaju je

a

0, pa ne možemo direktno primeniti prethodnu teoremu. Ali, kako je q1

q gde je q kvadratna forma iz prethodnog primera koja ima lokalni minimum,zakljucujemo da q1 ima lokalni maksimum. ZAto je moguce formulisati tvrdenjeza a

0 analogno teoremi 4.7.

Teorema 4.9 Neka je q

x

y

ax2

bxy

cy2 kvadratna forma u koordinatnom

poˇ cetku i neka je a 0 Tada važi slede´ ce:

(i) Ako je b2 4ac

0

koordinatni poˇ cetak je lokalni maksimum.

(ii) Ako je b2 4ac

0

koordinatni poˇ cetak nije ni lokalni minimum ni lokalni

maksimum.

(iii) Ako je b2 4ac

0

koordinatni poˇ cetak je lokalni maksimum.

Dakle, koordinatni pocetak je lokalni maksimum funkcije q ako i samo ako jeq x y 0 za svako x y

Kao što je vec naglašeno, kvadratna forma q pridružena funkciji f u stacionarnojtacki x0 je dobra aproksimacija funkcije f u okolinin tacke x0 te iz teorema 4.7 i4.9 sledi naredno tvrdenje. Pre toga moramo iskljuciti neke slucajeve.

Definicija 4.24 Kvadratna forma q x y ax2 bxy cy2 je nedegenerisana ako

je b2 4ac

0

Za tacku x0 kažemo da je nedegenerisana stacionarna taˇ cka funkcije f ako jekvadratna forma funkcije f u x0 nedegenerisana.

Teorema 4.10 Neka je f realna funkcija dve promenljive sa neprekidnim parcijal-

nim izvodima do reda tri. Neka je x0 nedegenerisana stacionarna taˇ cka funkcije f

i neka je q kvadratna forma pridružena funkciji f u x0 Tada važi slede´ ce:

(i) Funkcije f dostiže lokalni minimum (maksimim) u taˇ cki x0 ako kvadratna

forma q dostiže lokalni minimum (maksimim) u istoj ta ˇ cki.

(ii) Funkcije f nema lokalni ekstrem u taˇ cki x0 ako kvadratna forma q nema

lokalni ekstrem u istoj taˇ cki.

Primer 4.52. Odredicemo lokalne ekstreme (ako ih ima) realne funkcije f x y

ln

5 4 x2 3 y2

Prvi parcijalni izvodi su

D1 f

x

y

8 x

5 4 x2 3 y2

i D2 f

x

y

6 y

5 4 x2 3 y2




Stacionarnu tacku

0

0

dobijamo iz sistema jednacina D1 f

0 i D2 f

0

tj. iz

8 x

5 4 x2 3 y2 0 i

6 y

5 4 x2 3 y2 0

Drugi parcijalni izvodi su

D21 f x y

40 32 x2 24 y2

5 4 x2 3 y2

2 D22 f x y

30 24 x2 18 y2

5 4 x2 3 y2

2

i

D1 D2 f x y

48 xy

5 4 x2 3 y2

2

te je D21 f

0 0

85

D22 f

0 0

65

i D1 D2 f 0 0 0 Sada, za kvadratnu formu

imamo

q

x

y

12

D21 f

0 0

x2 2 D1 D2 f

0 0

xy

D22 f

0 0

y

12

85

x2

65

y2

pa je

b2 4ac

4825

0

te po teoremi 4.7, kvadratna forma q a time i posmatrana funkcija f po teoremi4.10 dostiže lokalni minimum ln5 u koordinatnom pocetku.

Primer 4.53. Odredicemo ekstremne vrednosti funkcije (polinoma) f x y x3

x2 y3

y2 Prvi parcijalni izvodi su

D1 f x y 3 x2 2 x i D2 f x y

3 y2

2 y

Stacionarne tacke dobijamo iz 3 x2 2 x

0 i 3 y2 2 y

0 i to su

T 1

0

0

T 2

0

23

T 3

23

0

i T 4

23

23

Kako je

D21 f x y 6 x 2 D2

2 f x y

6 y 2 i D1 D2 f x y 0

kvadratne forme u stacionarnim tackama T 1

T 2

T 3 i T 4, redom, su

qT 1

x

y

12

2 x2 2 y2

qT 2

x

y

12

2 x2 2 y2




qT 3

x

y

1

2

2 x2 2 y2

i qT 4

x

y

1

2

2 x2 2 y2

Iz qT 1 za tacku T 1 sledi b2 4ac

4 0 te polazna funkcija dostiže minimum.Za tacke T 2 i T 3 važi b2

4ac

4

0

pa polazna funkcije ne dostiže ekstrem.Kako za tacku T 4 važi b2

4ac 4 0 po teoremama 4.9 i 4.10 zakljucujemoda u toj tacki funkcija f dostiže maksimum.

Teoremu 4.10 je moguce uz pomoc teorema 4.7 i 4.9 formulisati i na sledecinacin.

Teorema 4.11 Neka je f realna funkcija dve promenljive sa neprekidnim parcijal-

nim izvodima do reda tri i neka je x0 stacionarna taˇ cka funkcije f

Ako je

A

D

2

1 f

x0

B

D1 D2 f

x0

i C

D

2

2 f

x0

važi slede´ ce:

(i) funkcija f dostiže lokalni maksimum u x0 ako je

AC B2

0 i A 0

C 0

(ii) funkcija f dostiže lokalni minimum u x0 ako je

AC B2

0 i A 0

C 0

(iii) funkcija f nema lokalni ekstrem u x0 ako je AC B2

0

Treba naglasiti da za AC B2

0 imamo neodreden slucaj.

Primer 4.54. Odredicemo ekstremne vrednosti funkcije f x y e x2

y2 Kako je

D1 f

x

y 2 xe x2

y2i D2 f

x

y 2 ye x2

y2

stacionarnu tacku dobijamo iz jednakosti

2 xe x2 y2

0 i 2 ye x2 y2

0

i u pitanju je koordinatni pocetak 0 0 Drugi parcijalni izvodi su

D21 f x y 2 4 x2

e x2

y2 D1 D2 f x y 4 xye x2

y2

D

2

2 f

x

y

2

4 y

2

e

x2 y2

te imamo

A D21 f 0 0 2 B D1 D2 f 0 0 0 i C D2

2 f 0 0 2

Sada, po teoremi 4.11, iz AC B2 4 0 i A 2 0 sledi da funkcija dostiže

minimum u koordinatnom pocetku.




4.6.3 Primena kvadratne forme na odre divanje vezanih ekstrema

Vracamo se problemu odredivanja ekstrema funkcije f : O

O

n

uzuslove gi x 0 i 1 2 m m n Po teoremi 4.6 znamo da za vezaniekstrem x0 funkcije f uz date uslove gi x 0 postoje realni brojevi µi i

1 2

m tako da važi

∇ f

x0

µ1∇g1

x0

µ2∇g2

x0

µm∇gm

x0

odnosno,

D j f x0

µ1 D jg1 x0 µ2 D jg2 x0

µm D jgm x0 0

za svako j

1

2

n

Dakle, dati problem se svodi na odredivanje lokalnihekstrema takozvane Lagranžove funkcije date sa

F

x1

xn

λ 1

λ m

f x

λ 1g1 x

λ mgm x

gde je λ i

µi za i 1 2 n

Primer 4.55. Odredicemo ekstremne vrednosti funkcije f x y 3 xy uz uslov x y 1 Kako je u ovom primeru uslovna funkcija data sa g x y x y 1

Lagranžova funkcija je

F

x

y

λ 3 xy

λ

x

y 1

Sledecie jednacine

D1F

x

y

λ 3 y

λ 0

D2F

x

y

λ 3 x

λ 0

i

Dλ F

x

y

λ

x

y 1

0

nam daju stacionarnu tacku

12

12

32

Za druge parcijalne izvode važi

D21F

x

y

λ

0

D1 D2F

x

y

λ

3

D1 Dλ F

x

y

λ

1

D22F x y λ 0 D2

λ F x y λ 0 D2 Dλ F x y λ 1




za svako

x

y

λ

iz definicionog skupa funkcije F

pa i za stacionarnu tacku. Sada,

kvadratna forma pridružena Lagranžovoj funkciji F u tacki

12

12

32

je

q dx dy d λ

12

dxD1 dyD2 d λ Dλ 2

F

12

12

32

12

D21F

12

12

32

dx

2

D22F

12

12

32

dy

2

D2λ F

12

12

32

d λ

2

2 D1 D2F

12

12

32

dxdy

2 D1 Dλ F

12

12

32

dxd λ

2 D2 Dλ F

12

12

32

dyd λ

3dxdy

dxd λ

dyd λ

(4.50)Totalni diferencijal uslovne funkcije g je dat sa

dg

D1gdx

D2gdy

dx

dy

pa iz dg

0 sledidx

dy

(4.51)

Sada iz (4.50) i (4.51) dobijamo

q

dx

dy

d λ 3

dx

2 0

te funkcija F u tacki

12

12

32

dostiže lokalni maksimum. Dakle, i polazna

funkcija f u

12

12

dostiže maksimum ali na ravni x

y 1 i taj maksimum

iznosi f max

g

34

Primer 4.56. Odredicemo tacke na elipsoidu x2

a2

y2

b2

z2

c2 1

a

b

c

0 koje su najbliže i najdalje od koordinatnog pocetka. Kako je udaljenost tacke

x

y

z

3 od koordinatnog pocetka data funkcijom

f x y z

x2 y2

z2




potrebno je odrediti maksimum i minimum funkcije f na datom elipsoidu, tj. uz

uslovg

x

y

z

x2

a2

y2

b2

z2

c2 1

Funkciju f možemo posmatrati kao kompoziciju ϕÆ f 1 gde je ϕ

t

t i f 1

x

y

z

x2 y2

z2 te zbog monotonosti funkcije ϕ dovoljno je odrediti ekstreme funkcije

f 1 uz uslov g x y z 0 Lagranžova funkcija u ovom slucaju je data sa

F x y z λ x2 y2

z2 λ

x2

a2

y2

b2

z2

c2 1

i prvi parcijalni izvodi su

D1F

x

y

z

λ 2 x

1

λ a2

D2F

x

y

z

λ 2 y

1

λ b2

D3F

x

y

z

λ

2 z

1

λ

c2

i Dλ F

x

y

z

λ

x2

a2

y2

b2

z2

c2 1

Iz jednacina

2 x

1

λ

a2

0 2 y

1

λ

b2

0 2 z

1

λ

c2

0

i x2

a2

y2

b2

z2

c2

1

0

za λ a2 dobijamo x2 a2 i y z 0 pa su stacionarne tacke T 1 a 0 0 a2

iT 2 a 0 0 a2

Za λ b2 imamo y2 b2 i x z 0 i još dve stacionarne tacke

T 3 0

b 0

b2 i T 4 0

b 0

b2 Petu i šestu stacionarnu tacku T 5 0 0

c

c2 i

T 6 0 0

c

c2 dobijamo za λ

c2

Drugi parcijalni izvodi su dati sa

D21F

x

y

z

λ 2

1

λ

a2

D22F

x

y

z

λ 2

1

λ

b2

D23F

x

y

z

λ 2

1

λ

c2

D2λ F

x

y

z

λ 0

D1 D2F

x

y

z

λ 0

D1 D3F

x

y

z

λ 0

D2 D3F

x

y

z

λ 0

D1 Dλ F x y z λ

2 x

a2 D2 Dλ F x y z λ

2 y

b2

i

D3 Dλ F

x

y

z

λ

2 z

c2




Pridružena kvadratna forma funkciji F je data sa

q dx dy dz d λ

12

dxD1 dyD2 dzD3 d λ Dλ 2

F x y z λ

1

λ

a2

dx

2

1

λ

b2

dy

2

1

λ

c2

dz

2

2 x

a2 dxd λ

2 y

b2 dyd λ

2 z

c2 dzd λ

te kako je

dg

2 x

a2 dx

2 y

b2 dy

2 z

c2 dz 0

imamo

q dx dy dz d λ

1

λ

a2

dx

2

1

λ

b2

dy

2

1

λ

c2

dz

2

Kvadratna forma u tackama T 1 i T 2 je

q

dx

dy

dz

d λ

1

a2

b2

dy

2

1

a2

c2

dz

2 0

zbog polazne pretpostavke a b c 0 pa funkcije f 1 dostiže maksimum utackama a 0 0 i a 0 0 Za tacke T 5 i T 6 imamo

q dx dy dz d λ

1

c2

a2

dx

2

1

c2

b2

dy

2 0

te funkcije f 1 dostiže minimum u 0 0

c i 0 0

c U tackama T 3 i T 4 kvadratna

forma menja znak, pa funkcija nema ekstreme.Kako je ϕ rastuca funkcija, funkcija f dostiže maksimum (minimum) u istim

tackama kao i funkcija f 1 pa je maksimalno rastojanje od koordinatnog pocetkadostignuto u

a 0 0 i

a 0 0 i iznosi f max

g

a Najbliže koordinatnom pocetku

su tacke 0 0

c i 0 0

c i f min

g

c

Primer 4.57. Odredicemo minimum funkcije f

x

y

z 2 x

3 y z na krivoj u

3 koju dobijamo u preseku ravni x y

2 z 1 i cilindra x2

y2 4 Kako

tražimo minimum funkcije za tacke koje se istovremeno nalaze i na ravni x y

2 z 1 i na cilindru x2 y2

4 problem se svodi na odredivanje ekstremne vred-nosti funkcije f uz dva uslova

g1 x y z x y 2 z 1 0 i g2 x y z x2 y2

4 0




gde uslovna funkcija g1 potice od jednacine ravni, a g2 od jednacine cilindra.

Formirajmo sada Lagranžovu funkciju

F

x

y

z

λ 1

λ 2 2 x 3 y

z

λ 1

x y

2 z 1

λ 2

x2

y2 4

(4.52)

Primetimo da u Lagranžovoj funkciji (4.52) imamo dva parametra λ 1 i λ 2 Prviparcijalni izvodi funkcije F su

D1F x y z λ 1 λ 2 2 λ 1 2λ 2 x D2F x y z λ 1 λ 2 3 λ 1 2λ 2 y

D3F

x

y

z

λ 1

λ 2 1 2λ 1

Dλ 1 F x y z λ 1 λ 2 x y 2 z

1 i Dλ 2 F x y z λ 1 λ 2 x2

y2

4

pa iz jednacina

2

λ 1 2λ 2 x 0 3 λ 1 2λ 2 y 0 1 2λ 1 0

x y

2 z 1 0 i x2

y2 4 0

dobijamo dve stacionarne tacke funkcije F

T 1

2

2

12

12

5

28

i T 2

2

2

12

12

5

28

Drugi parcijalni izvodi funkcije F u nekoj tacki x

x

y

z

λ 1

λ 2 su

D21F x D2

2F x 2λ 2 D1 Dλ 1 F x 1 D1 Dλ 2 F x 2 x D2 Dλ 1 F x

1

D2 Dλ 2 F x 2 y

D3 Dλ 1 F x 2

D23F

x

D2λ 1

F x

D2λ 2

F x 0

D1 D2F

x

D1 D3F

x

D2 D3F

x

D3 Dλ 2 F

x

Dλ 1 Dλ 2 F

x

0

Pridružena kvadratna forma q funkciji F je data sa

q dx dy dz d λ 1 d λ 2

12

dxD1 dyD2 dzD3 d λ 1 Dλ 1 d λ 2 Dλ 2

2

F x

λ 2

dx

2 dy

2

dx dy 2dz d λ 1

2 xdx 2 ydy

d λ 2

te kako je

dg1 dx dy 2dz 0 i dg2 2 xdx 2 ydy 0




imamo

q dx dy dz d λ 1 λ 2 λ 2

dx 2 dy 2

Kvadratna forma u tacki T 1 je


5

28

dx

2 dy

2

0

te funkcije f dostiže maksimum u tacki

2

2

12

Kako za kvadratnu formu

u tacki T 2 važi


5

2

8

dx

2 dy

2

0

funkcija f dostiže minimum u tacki

2

2

12

te tražena minimalna vred-

nost funkcije na datoj krivoj iznosi f min

f

2

2

12

5

2

12

Postupak za odredivanje ekstremnih vrednosti realne funkcije n promenljivih je šematski prikazan slikom 4.56.




DA

NE

NE

NE

DA

DA

KRAJ

DA

NE

Bez odgovora

y=f( x)

Postoji dodatan

uslov g

Ispitujemo

funkciju

F = f + g

Postoji

stacionaran tacka

na skupu O

NEMA

EKSTREMNIH

VREDNOSTI na

skupu O

AC- B > 02

AC- B < 02

A < 0 (C < 0 )

NEMA

EKSTREMNIH

VREDNOSTI na

skupu O

DA

NE

LOKALNI

MAKSIMUM

na skupu O

DAA > 0 (C > 0 )

LOKALNI

MINIMUM

na skupu O

NE

Slika 4.56. Odredivanje ekstremnih vrednosti funkcije y

f

x



4.7. Vektorsko polje 215

Primer 4.58. Vektorsko polje F :

2

2 dato sa F

x

y

x2e3 y

2 x

7sin y

tacki x y

iz 2 pridružuje

x2e3 y

2 x

7sin y

takode iz 2 . Prva i druga koordi-

natna funkcija u ovom slucaju su

f 1

x

y

x2e3 y i f 2

x

y 2 x

7sin y

Primer 4.59. Vektorsko polje F :

n

n dato sa

F x F

x1

x2

xn

1

x1

2

x2

n

xn

pridružuje tackama iz

n uredene n-torke, a koordinatne funkcije su realne funkcijen promenljivih date sa f i x

i

xi

i 1 2

n

Primer 4.60. Neka je f : O O

n diferencijabilna funkcija. Gradijent

funkcije f je primer vektorskog polja:

F x ∇ f x

∂ f

∂ x1

∂ f

∂ x2

∂ f

∂ xn

Ako su sve koordinatne funkcije f i neprekidne i F : O

n

O

n

jeneprekidno vektorsko polje. Takode, ako su koordinatne funkcije f i diferencija-bilne, i vektorsko polje F je diferencijabilno.

Parcijalni izvodi vektorskog polja su uredene n-torke odgovarajucih parcijalnihizvoda koordinatnih funkcija, tj. ako je F x

f 1 x

f 2 x

f n x x O

n za svako i

1 2

n imamo

DiF x

∂F

∂ xi

Di f 1 x Di f 2 x Di f n x

O diferencijabilnosti vektorskog polja bice reci u glavi 7.

Primer 4.61. Odredicemo parcijalne izvode vektorskog polja iz primera 4.58. Kakosu koordinatne funkcije f 1

x

y

x2e3 y i f 2

x

y 2 x

7sin y imamo

D1F x y

∂F

∂ x D1 f 1 x y D1 f 2 x y

2 xe3 y 2

i

D2F

x

y

∂F

∂ y

D2 f 1

x

y

D2 f 2

x

y

3 x2e3 y 7cos y




4.7.2 Funkcija potencijala

Kao što smo videli, gradijent funkcije n promenljivih je vektorsko polje. Važan je i obrnuti problem, tj. pod kojim uslovima je vektorsko polje gradijent nekefunkcije n promenljivih. Zato je još jedan od bitnih pojmova vezanih za vektorskopolje i funkcija potencijala

Definicija 4.26 Neka je F : O

n vektorsko polje na otvorenom skupu O

n

Ako je f : O

realna funkcija definisana O takva da važi

F ∇ f

funkcija f se naziva funkcija potencijala za vektorsko polje F

Postavlja se pitanje kada funkcija potencijala za dato vektorsko polje postojii da li je jedinstveno odredena. Upravo ovim problemima se bave naredna dvapoglavlja.

4.7.3 Jedinstvenost funkcije potencijala

Podsetimo se (AI, glava 6), ako za dve realne funkcije jedne promenljive f i g

važi d f

dx

dg

dx posmatrane funkcije se razlikuju za konstantu samo ako su defin-

isane na nekom intervalu. Da je uslov definisanosti funkcija na intervalu neopho-

dan vidi se i iz narednog primera.

Primer 4.62. Neka je f

x

1 x

3 za x 0

1 x

2 za x 0

i neka je g

x

1 x

za svako

x 0 U ovom primeru važi

d f

dx

dg

dx za x

0 ali ne postoji konstanta k

takva da je f x g x za svako x 0

Ako su sada f i g realne funkcije više promenljivih definisane na O

n zakoje važi

∇ f

∇g

postavlja se pitanje pod kojim uslovima se f i g razlikuju za konstantu. Prethodniprimer funkcije jedne promenljive sugeriše neophodnost uvodenja dodatne pret-postavke za domen funkcije f i g

Neka je O

n otvoren skup i neka su p i q dve tacke iz skupa O Zatacke p i q

kažemo da su povezane diferencijabilnom krivom ako postoji diferencijabilna krivac t t α β sadržana u O i t 1 i t 2 iz α β tako da važi c t 1 p i c t 2 q




Primer 4.63. Neka je O

2

Tada, bilo koje dve tacke p i q možemo spojiti

pravom linijom c t p t q p

za t

0

1

Naravno, nije uvek moguce spojiti pravom linijom tacke iz datog skupa.

Definicija 4.27 Otvoren skup O

n je povezan ako su svake dve taˇ cke p q

O povezane diferencijabilnom krivom (slika 4.58). Takav otvoren skup nazivamo

oblast.

p

q

Slika 4.58. Povezan skup u

2

Sada je moguce formulisati teoremu o jedinstvenosti funkcije potencijala.

Teorema 4.12 Neka je O

n povezan otvoren skup. Neka su f i g dve realne

funkcije definisane na O Ako je

∇ f x

∇g x

za svako x O tada postoji konstanta c tako da za svako x O važi

f x

g x

c

Dokaz. Iz pretpostavke ∇ f x ∇g x sledi

∇

f g

∇ f ∇g

0 0 0

te je dovoljno pokazati da je funkcija ϕ

f g konstanta na skupu O

Neka su p i q dve tacke iz O i neka je c t t α β diferencijabilna krivakoja spaja tacke p i q Po pocetnom uslovu teoreme, cela kriva c je sadržana uskupu O te za izvod složene funkcije ϕ

c

t važi

d ϕ

c

t

dt

∇ϕ c

t c

t




Kako su c

t

tacke iz O za svako t

α

β

važi ∇ϕ

c

t

0

te je i izvod realne

funkcije jedne realne promenljive ϕ c t

jednak nuli na intervalu α β

Dakle,postoji konstanata c takva da je

ϕ c t c

za svako t

α

β Dobili smo da je funkcija ϕ konstantna na krivoj c pa važi i

ϕ p

ϕ q što daje traženo.

Iz prethodne teoreme sledi da je funkcija potencijala, ako postoji, jedinstvenoodredena do na konstantu.

4.7.4 Egzistencija funkcije potencijala

Neka je F vektorsko polje u

2 , tj. F

x

y

f 1

x

y

f 2

x

y Postavlja se

pitanje kada postoji funkcija ϕ

x

y

takva da važi F

∇ϕ

tj.

∂ϕ

∂ x

f 1 i ∂ϕ

∂ y

f 2

Ako pretpostavimo da funkcija ϕ postoji, dobijamo sledece

∂ f 1

∂ y

∂

∂ y

∂ϕ

∂ x

i ∂ f 2

∂ x

∂

∂ x

∂ϕ

∂ y

Kako su po teoremi 4.2 mešoviti parcijalni izvodi funkcije ϕ jednaki, za parcijalneizvode koordinatnih funkcija mora važiti

∂ f 1

∂ y

∂ f 2

∂ x

te je moguce formulisati sledecu teoremu.

Teorema 4.13 Neka su f 1 i f 2 realne diferencijabilne funkcije neprekidnih parci-

jalnih izvoda definisane na otvorenom skupu O

2 Ako je

D2 f 1 D1 f 2

vektorsko polje F

x

y

f 1

x

y

f 2

x

y

nema funkciju potencijala.

Primer 4.64. Posmatrajmo vektorsko polje iz primera 4.58. U ovom slucaju ima-mo

D2 f 1

x

y 3 x2e3 x i D1 f 2

x

y 2

te iz prethodne teoreme sledi da dato vektorsko polje nema funkciju potencijala.




Naredna teorema daje uslov za postojanje funkcije potencijala vektorskog polja

u 2



2 Ako je skup O ceo prostor

2 ili otvoren pravougaonik u

2 i ako je

D2 f 1

D1 f 2

vektorsko polje F x y f 1 x y f 2 x y ima funkciju potencijala.

Dokaz ove teoreme bice dat nešto kasnije u poglavlju 4.7.6.

Sada se namece pitanje kako odrediti funkciju potencijala datog vektorskog

polja ako ona postoji. Postupak je ilustrovan narednim primerom.

Primer 4.65. Neka je F :

2

2 vektorsko polje dato sa F x y

2 xy x2 3 y2

U ovom slucaju važi D2 f 1 D1 f 2 a kako je vektorsko polje definisano na

2 po

prethodnoj teoremi znamo da funkcija potencijala postoji, tj. postoji ϕ

x

y tako

da je

D1ϕ x y f 1 x y 2 xy i D2ϕ x y f 2 x y x2 3 y2

(4.53)

Prvi korak je izracunavanje integrala

f 1

x

y

dx

2 xy dx

x2 y

Sada, kako se u prethodnom koraku promenljiva y ponašala kao konstanta, funkcijaϕ mora imati sledeci oblik

ϕ x y

f 1 x y dx g y x2 y g y (4.54)

gde je g realna funkcija jedne realne promenljive koju treba odrediti. Sledeci korak je odredivanje parcijalnog izvoda funkcije ϕ po promenljivoj y iz izraza (4.54):

D2ϕ

x

y

∂

∂ y

x2 y

g

y

x2

dg

dy

Uzimajuci u obzir polaznu pretpostavku datu sa (4.53) dobijamo

dgdy

3 y2

odnosno,

g

y

3 y2 dy

y3

te je konacno rešenje funkcija potencijala ϕ x y x2 y y3




Prethodni primer nam ujedno daje i opšti postupak. Ako je F vektorsko polje

oblika F x y f 1 x y f 2 x y

za koje dokazano postojanje funkcije potencijalaϕ funkcija potencijala je oblika

ϕ

x

y

f 1

x

y

dx

g

y

gde je g realna funkcija jedne promenljive koju odredujemo iz jednakosti

D2ϕ

x

y

f 2

x

y

Egzistencija funkcije potencijala za vektorsko polje u

3 je data nerednomteoremom (dokaz analogan dokazu teoreme 4.14).

Teorema 4.15 Neka su f 1

f 2 i f 3 realne diferencijabilne funkcije neprekidnih par-cijalnih izvoda definisane na otvorenom skupu oblika

a1

b1

a2

b2

a3

b3

iz

3 Ako je

D1 f 2

D2 f 1

D1 f 3

D3 f 1 i D2 f 3

D3 f 2

vektorsko polje F x y z f 1 x y z f 2 x y z f 3 x y z ima funkciju potenci-

jala.

Primer 4.66. Odredicemo funkciju potencijala ϕ vektorskog polja F :

3

3

datog sa

F x y z

3 xye z

3

2

x2e z y3

3

2

x2 ye z

z

Kako je

D1 f 2

x

y

z 3 xe z

D2 f 1

x

y

z

D1 f 3

x

y

z 3 xye z

D3 f 1

x

y

z

i

D2 f 3

x

y

z

32

x2e z

D3 f 2

x

y

z

i kako su koordinatne funkcije definisane na

3 funkcija potencijala postoji. Pos-

tupak odredivanja funkcije ϕ je analogan slucaju u

2 Iz definicije funkcije poten-

cijala znamo da važi D1ϕ

f 1 te je ϕ dato sa

ϕ x y z

f 1 x y z dx ψ y z

3 xye z dx ψ y z

32 x2 ye z ψ y z

gde je ψ realna funkcija dve promenljive koju treba odrediti. Sada, iz D2ϕ f 2sledi

∂ϕ

x

y

z

∂ y

∂

∂ y

32

x2 ye z

ψ

y

z

32

x2e z

∂ψ

y

z

∂ y

32

x2e z

y3




odnosno

∂ψ

y

z

∂ y

y3

Dakle, funkcija ψ je data sa

ψ y z

y3 dy g z

y4

4 g z

gde je g realna funkcija jedne promenljive. Funkcija potencijala sada ima oblik

ϕ x y z

32

x2 ye z ψ y z

32

x2 ye z

y4

4 g z

Sledeci korak je odredivanje funkcije g, te tražimo parcijalni izvod funkcije ϕ popromenljivoj z

jer iz definicije funkcije potencijala imamo D3ϕ

f 3 tj.

∂ϕ

x

y

z

∂ z

∂

∂ z

32

x2 ye z

y4

4 g z

32

x2 ye z

∂g

z

∂ z

32

x2 ye z

z

Iz prethodnog dobijamo ∂g

∂ z z pa je g z

z dz

z2

2 i

ϕ x y z

32

x2 ye z

y4

4

z2

2

Sledi uopštenje teorema 4.14 i 4.15 za slucaj vektorskog polja od n promenljivih.

Teorema 4.16 Neka su f 1

f 2

f n realne diferencijabilne funkcije neprekidnih

parcijalnih izvoda definisane na otvorenom skupu oblika

a1

b1

a2

b2

an bn

n Ako je

Di f j D j f i

za svako i j i j 1 2 n vektorsko polje

F x

f 1 x

f 2 x

f n x

ima funkciju potencijala.

4.7.5 Diferenciranje pod integralom

U ovom poglavlju opisujemo tehnike neophodne za dokaz teoreme 4.14, kojeimaju i poseban znacaj zbog parametarski definisane funkcije preko integrala.




Teorema 4.17 Neka je f neprekidna realna funkcija dve promenljive definisana

na a1 b1 a2 b2 2 Neka prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivoj y postoji i neka je neprekidna funkcija. Tada, funkcija data sa

ψ

y

b1

a1

f

x

y

dx

je diferencijabilna i važi slede ´ ce

d ψ

dy

b1

a1

D2 f

x

y

dx

b1

a2

∂ f x y

∂ y dx

Dokaz. Da bi odredili izvod d ψ

dy

gde je ψ realna funkcija jedne realne promenljive,

neophodno je odrediti granicnu vrednost

lim∆ y 0

ψ y ∆ y ψ y

∆ y

(AI, definicija 4.1). Iz definicije funkcije ψ sledi

ψ y ∆ y ψ y

∆ y

b1

a1

f x y ∆ y f x y

∆ y dx

te je potrebno odrediti

lim∆ y 0

b1

a1

f

x

y

∆ y

f

x

y

∆ y dx

Kako je dozvoljena razmena redosleda traženja granicne vrednosti i integrala (in-tegral je po promenljivoj x), imamo

lim∆ y

0

b1

a1

f

x

y

∆ y

f

x

y

∆ y dx

b1

a1

lim∆ y

0

f

x

y

∆ y

f

x

y

∆ y dx

b1

a1

D2 f x y dx


Primer 4.67. Neka je dato f

x

y

5 x2 y4

Prvi parcijali izvod funkcije f po pro-menljivoj y je D2 f x y 20 x2 y3

Ako je

ψ

y

1

0 f

x

y

dx

1

05 x2 y4 dx




po prethodnoj teoremi imamo

d ψ

y

dy Dψ y

1

0 D2 f x y dx

1

020 x2 y3 dx

203

x3 y3

1

0

203

y3

Napomena 4.9 Teoremu 4.17 možemo primeniti i u slucaju kada je za gornjugranicu integracije uzeta baš nezavisna promenljiva x Tada za

ψ x y

x

a1

f t y dt

važi

∂ψ

x

y

∂ y D2ψ x y

x

a1

D2 f t y dt

x

a1∂ f

t

y

∂ y dt

4.7.6 Dokaz teoreme o egzistenciji funkcije potencijala

Radi celovitosti, dajemo ponovo formulaciju teoreme 4.14.



2

Ako je skup O ceo prostor

2 ili otvoren pravougaonik u

2 i ako je

D2 f 1 D1 f 2

vektorsko polje F x y f 1 x y f 2 x y ima funkciju potencijala.

Dokaz. Neka je F

x

y

f 1

x

y

f 2

x

y vektorsko polje definisano na pravo-

ugaoniku

a1

b1

a2

b2

2 i neka je x0

x0

y0 neka tacka iz datog pravo-ugaonika (slika 4.59).

Pretpostavimo da za dato vektorsko polje važi D2 f 1

D1 f 2 Neka je datafunkcija ϕ na sledeci nacin

ϕ x y

x

x0

f 1 t y dt g y

gde je g realna funkcija jedne promenljive. Za ovako zadatu funkciju važi (AI,teorema 6.16)

D1ϕ

x

y

∂ϕ x y

∂ x

∂

∂ x

x

x0

f 1

t

y

dt

∂g y

∂ x

f 1

x

y




a

a

b

b1 1

2

2

(x,y)

y

x

(x ,y )00

y0

x0 x

y

Slika 4.59.

tj. D1ϕ f 1 Potrebno je još odrediti funkiciju g tako da važi D2ϕ f 2 pa cefunkcija ϕ biti tražena funkcija potencijala. Iz teoreme 4.17, pretpostavke teoreme

D2 f 1

D1 f 2 i (AI, teorama 6.16) sledi

D2ϕ

x

y

∂ϕ x y

∂ y

∂

∂ y

x

x0

f 1

t

y

dt

∂g y

∂ y

x

x0

D2 f 1 t y dt

∂g y

∂ y

x

x0

D1 f 2

t

y

dt

∂g

y

∂ y

f 2

t

y

x x0

∂g y

∂ y

f 2

x

y

f 2

x0

y

∂g

y

∂ y

Sada, kako zahtevamo da važi i D2ϕ

f 2 iz prethodnog sledi

f 2

x0

y

∂g y

∂ y

0




tj. g y

y

y0

f 2 x0 t dt Funkcija

ϕ

x

y

x

x0

f 1

t

y

dt

y

y0

f 2

x0

t

dt

jeste funkcija potencijala.

Napomena 4.10 Treba naglasiti da nije dovoljno da vektorsko polje F bude defin-isano na otvorenom skupu O uz uslov D2 f 1

D1 f 2 Kako se u postupku odredi-vanja funkcije potencijala traži integral nad celim intervalom

x0

x za svako

x0

y0

i x y iz O, npr. integral

x

x0

f 1 t y neophodno je da se svi segmenti tog tipa

nalaze u skupu O

te se iz tog razloga kao jedan od dovoljnih uslova za postojanje funkcije potencijala traži da skup O bude pravougaonik ili ceo prostor

2 .Slika 4.60 (levo) ilustruje problem do kojeg može doci ako skup O ne ispunjavapomenute uslove. Da je posmatrani uslov samo dovoljan, a ne i potreban vidi se isa slike 4.60 (desno).

0x

y

xx

y

O

0x

y

xx

y

O

Slika 4.60. Uslov teoreme 4.14 je samo dovoljan.

Sad skup O nije pravougaonik ali svi segmenti oblika

x0

x se nalaze u O i

opisani postupak za odredivanje funkcije potencijala je moguce izvesti do kraja.

Dokaz teorema 4.15 je analogan i u tom slucaju za funkciju potencijala dobijamo sledece

ϕ

x

y

z

x

x0

f 1

t

y

z

dt

y

y0

f 2

x0

t

z

dt

z

z0

f 3

x0

y0

t

dt




4.8 Zadaci

1. Odrediti oblasti definisanosti sledecih funkcija:

a) z

1

x2

4

y2

9 ; b) z ln

2 x 4 y2

;

c) z arcsin

x

y 1; d) z

x y

x

y;

e) u

x

y

z; f) u

x2

y2

z2 9;

g) u

1

ln x2 y2

z2 9 ; h) u

x

2

y 3

z ;

i) z

x

y

ln

x2

y2

4 x2

y2;

j) u

1ln

x2

y2

z2

x2

y2

z2

14

4

x2

y2

z2

2. Nacrtati nivoske linije sledecih površi za z 1 2 3 4 5 :

a) z x2 y2; b) z x 2 2 y 1 2; c) z 1

x 2

2

y 1

2

3. Odrediti nivoske linije za z 0 1 2 površi date implicitno jednacinom

x 3

2 y2

2 z

x 3

2 y2

4. Odrediti koje površi nastaju rotacijom sledecih krivih oko z-ose:

a) z 2

y ; b) z

2

y; c) y2

4

z2

2 1; d)

z2

2

y2

4 1

5. Nacrtati obrtnu površ koja se dobija rotacijom:

a) krive y

x oko y-ose; b) krive x

3 y2 oko x-ose;

c) krive x2

2

y2

4 1 oko y-ose; d) krive

x2

2

y2

4 1 oko x-ose.

6. Ispitati da li postoje sledece granicne vrednosti:



4.8. Zadaci 227

a) lim x y 0 0

x2

y2

x2 y2 4 2; b) lim

x y 0 0

x2

y2 4 2

x2 y2 ;

c) lim x y 0 0

x2

y2

sin

x3

y3

; d) lim x y 0 0

cos

x2

y2 1

x2

y2

xy3 ;

e) lim x y 0 0

x2

y2

xy

1 cos

x2

y2

; f) lim x y 1 2

x y

1 x

y 3

;

g) lim x y

1

2

x 1 sin

1 y 2

; h) lim x y

1

2

y 2 sin

1 x 1

;

i) lim x y 1 2

x 1 sin

1 y 2

y 2 sin

1 x 1

;

j) lim

x

y

1

2

x 1 y 2

x 1

2

y 2

2

7. Ispitati neprekidnost funkcija f i g u tacki 0 0 ako je

f x y

x2 y2

x2 y2

x

y 0 0

0 x y 0 0

i

g

x

y

x sin 1 y

x y 0 0

0 x y 0 0

8. Ispitati neprekidnost u tacki

a

b funkcija f i g datih sa

f

x

y

5 x a y b

x a

2 y b

2

x

y

a

b

0

x

y

a

b

i

f

x

y

x a

4

y b

4

x a

2

y b

2 x y

a b

0 x y a b




9. Odrediti parcijalne izvode narednih funkcija:

a) f x y 3 x2 y

x2 y2

xy

2 ; b) f x y ln

x4 y4

;

c) f

x

y

xy

x2

y2 3; d) f

x

y

x3 y2 1;

e) f x y z xyz

x2 y3

z4

; f) f x y z xy yz xz;

g) f

x

y

z arctg

x2 yz

xy2 z

; h) f

x

y

z

z cos 3 x

2 z 5 y;

i) f

x

y

x sin

3 xy

y2

ln

x

x

2

y2

;

j) f

x

y

z

u

u x

y z

x 2

2

y 3

3

z 4

4

u 5

5

10. Odrediti parcijalne izvode prvog i drugog reda u tacki 0 0 funkcija

f

x

y

xy x2

y2

x2

y2

x

y 0 0

0

x

y 0 0

i g

x

y

x

y3

x3

y

xy 0

0 xy 0

11. Ispitati diferencijabilnost funkcija iz prethodnog zadatka.

12. Odrediti totalne diferencijale funkcija: a) z

x3 y4 5; b) z

y 3

e xy 1;

c) z

ln

5 x2

6 y6

; d) z

ln

x2

y2 e) u

x3 z

yz3; f) w

x u

3 z 5 y

13. Izracunati približno promenu funkcije x 5 y

y 5 x koja odgovara promeni promen-

ljive x od 3 do 3 5 i promenljive y od 5 do 4 5

14. Približno izracunati: a) ln

3

1 05

4

2 97 1

; b) 2 013 03 1

15. Odrediti jednacinu tangetne ravni za površ x 1

2 y 2

2 z2

10 u

tacki 1 1 3 ; i za površ cos xy cos yz

cos xz 1 u tacki

π

2 0 2

16. Odrediti totalni diferencijal drugog reda funkcije f

x

y

z

xy2 z3 u tacki 1 1 1



Glava 5

Krivolinijski integral

5.1 Definicija i osnovne osobine

Neka je O

n otvoren skup i neka je F vektorsko polje na O Da se podse-timo, kao što je vec receno u poglavlju 4.7, vektorsko polje F : O

n je datosa

F x

f 1 x

f 2 x

f n x

gde su, za svako i

1 2 n

f i realne funkcije n promenljivih. Funkcije f i je i-ta koordinatna funkcija vektorskog polja F Ako su sve koordinatne funkcijeneprekidne i F je neprekidno vektorsko polje. Takode, ako su koordinatne funkcije

diferencijabilne, i vektorsko polje F je diferencijabilno.Neka je c :

a

b

n funkcija definisana na zatvorenom intervalu

a

b

a

b kaoc t x1 t x2 t xn t

gde su xi :

a

b

i 1

n realne funkcije jedne realne promenljive.

Funkcija c je parametarski zadata kriva u prostoru

n Specijalno, za n

2 funkcijac :

a

b

2 data sac t x t y t

je kriva u ravni, a za n 3 funkcija c :

a

b

3 data sa

c

t

x

t

y

t

z

t

je kriva u prostoru. Kako je za svako t a b vrednost c t jedna tacka iz

n to

za krivu c kažemo da leži na otvorenom skupu O

n ako c

t pripada skupu O

za svako t

a

b Ako postoji izvod po koordinatama

c

t

d c

dt

x

1

t

x

2

t

x

n

t

231



232 Glava 5. Krivolinijski integral

i neprekidan je, za krivu c kažemo da je neprekidno diferencijabilna, odnosno,

pripada klasi C 1

Radi jednostavnosti, u daljem tekstu pod vektorskim poljem podrazumevamodiferencijabilno vektorsko polje na oblasti definisanosti, a pod krivom, ukoliko nijedrugacije naglašeno, krivu iz klase C 1

Kako je parametarski oblik krive neophodan za definiciju krivolinijskog inte-grala, slede primeri parametrizacije nekih krivih u

2 i

3

Primer 5.1. Posmatrajmo parabalu y

x2

x

a

b datu na slici 5.1. Datu

parabolu je moguce zapisati u sledecem obliku

c

t

t

t 2

t

a

b

odnosno parametrizovati je sa x t i y t 2 za t

a b

U opštem slucaju, ako je kriva u

2 zadata u eksplicitnom obliku y ϕ x

x a b parametrizacija date krive je

x

t i y

ϕ

t

tj. c

t

t

ϕ

t za t

a

b

x

y

x = r cos t

y = r sin t

t [0, ]2

-r r

r

-rx

yx = t

t [a,b]y = t

2

a b

Slika 5.1. Parametrizacija parabole y

x2

Slika 5.2. Parametrizacija kružnice.

Primer 5.2. Neka je data kružnicu sa centrom u koordinatnom pocetku i polu-precnikom r

tj. kružnicu x2

y2

r 2 U ovom slucaju, ako je kretanje po kružnici

suprotno kretanju kazaljke na satu, parametrizacija date krive je

x

t

r cos t i y

t

r sin t za t

0

2π

tj. c t r cos t r sin t t

0 2π (slika 5.2).



5.1. Definicija i osnovne osobine 233

Primer 5.3. Parametrizacija dela prave od tacake p

p1

p2

do tacke q

q1

q2

je data sa

c

t p

t q p

p1

t

q1 p1

p2

t

q2 p2

za t

0

1

odnosno x

p1

t

q1 p1 i y

p2

t

q2 p2 dok parametar t prolazi kroz

interval 0 1 (slika 5.3).

x

y

t [0,1]p

q

x = p1+ t( p

1q

1- )

y = p2 + t( p2q2- )

Slika 5.3. Parametrizacija dela prave.

Primer 5.4. Neka je c kriva koju dobijamo u preseku sfere x2

y2

z2

1 i ravni x z 1 (slika 5.4, levo). Kako iz jednacine ravni imamo z 1 x jednacinasfere nam daje x2

y2 1 x

2 1 tj.

x

12

2

14

y2

12

1

te je projekcija date krive na x y -ravan elipsa (slika 5.4, desno). Parametrizacijaove elipse nam daje

x

t

12

12

cos t i y

t

1

2 sin t za t

0 2π

a kako je z

1 x dobijamo i

z

t 12

12 cos t za t 0 2π

Sada, polazna kriva c je data sa

c t

12

12

cost

1

2 sin t

12

12

cos t

t 0 2π




x

y

z

c

x + z = 1

112

12

-12

y

x

Slika 5.4. Kriva iz primera 5.4 i projekcija na x y -ravan.

Neka je F vektorsko polje definisano na skupu O i neka je c parametarski zadatakriva koja leži na O

Treba primetiti da je tada izrazom oblika

F c t

c

t (5.1)

gde je sa oznacen skalarni proizvod, data upravo realna funkcija jedne realnepromenljive.

Primer 5.5. Dato je vektorsko polje F

x

y

e

3 xy

4 x

3

i kriva c

t

2t

cos3t

Izvod po koordinatama date krive je c

t 2

3sin3t a F c t e6t cos3t

32t 3

Sada imamo

F c

t

d c

dt

e6t cos3t 32t 3

2 3sin3t 2e6t cos3t

96t 3 sin3t

odnosno, dobili smo realnu funkciju jedne realne promenljive

h t 2e6t cos3t

96t 3 sin3t

Kako je sa (5.1) data realna funkcija jedne realne promenljive definisana na

intervalu

a

b

krivolinijski integral vektorskog polja F duž krive c u oznaci

c

F

se definiše kao Rimanov integral funkcije (5.1) na intevalu

a

b

tj.

cF

b

aF c

t c

t

dt

(5.2)




U izrazu (5.2) sa c je oznacena parametarski zadata kriva. Treba naglasiti da

sam krivolinijski integral

cF ne zavisi od izbora parametrizacije krive c

Primer 5.6. Odredicemo krivolinijski integral vektorskog polja

F

x

y

x3

xy2

y3

duž duži koja spaja koordinatni pocetak i tacku 1 1 Posmatrani segment prave y

x je moguce dati u parametarskom zapisu kao c

t

t

t za t

0 1 (videtiprimer 5.3). Za dato vektorsko polje i krivu imamo

F c

t 2t 3

t 3 i c

t 1 1

Kako jeF c

t c

t

t 3

t 3 1 1 3t 3

to po (5.2) sledi

cF

1

0F c

t c

t

dt

1

03t 3 dt

34

Neka je F vektorsko polje u

2 dato koordinatnim funkcijama f i g tj. F

f

g

i neka je c

t

x

t

y

t

t

a

b

kriva u ravni. Iz (5.2) za krivolinijskiintegrala vektorskog polja F nad krivom c sledi

cF

b

a

f x t y t

dx

dt g x t y t

dy

dt

dt

što se zapisuje još i kao

cF

c f dx

g dy (5.3)

Analogno, ako je F vektorsko polje u

3 dato sa F

f

g

h

i c

t

x

t

y

t

z

t

t

a b kriva u prostoru, za krivolinijski integral vektorskog polja F nad krivomc važi

cF

b

a

f

x

t

y

t

z

t

dx

dt

g

x

t

y

t

z

t

dy

dt

h

x

t

y

t

z

t

dz

dt

dt

te se može zapisati i u obliku

cF

c f dx g dy h dz (5.4)




Primer 5.7. Izracunacemo krivolinijski integral vektorskog polja

F

x

y

x2

2 xy2

3 y2

duž parabole x

y2 od tacke 1 1 do tacke 1 1 Neophodno je prvo parametri-zovati krivu duž koje se integrali (videti primer 5.1). U ovom slucaju kriva je datasa c t t 2 t za t 1 1 odnosno tražena parametrizacija je

x t t 2 i y t t dok t 1 1

Kako je dx 2tdt i dy dt i kako su koordinatne funkcije vektorskog polja f x y x2 i g x y xy iz (5.3) sledi

cF

c f dx g dy

c x2 2 xy2 dx 3 y2 dy

1

13t 42t dt 3t 2 dt

1

1

6t 5 3t 2

dt

t 6 t 3

1

1 2

x

y

y = t

t [-1,1]

x = t2

1

-1

1

x

y

x = 3 cos ty = 3 sin t

t [ 0 , ]6

3

6

Slika 5.5. Kriva iz primera 5.7. Slika 5.6. Kriva iz primera 5.8.


F

x

y

y

x2

y2

x

x2

y2

duž kružnice x2

y2 9 od tacke 3 0 dotacke

3

32

32

(slika 5.6). Parametri-

zacija date kružnice je

x t 3cos t i y t 3sin t




(videti primer 5.2). Potrebno je još odrediti interval kome pripada parametar t .

Kako je c deo kružnice od tacke

3

0

do tacke

3

32

32

parametar t uzima

vrednost od nule, što odgovara uglu koji zaklapa pozitivni smer x-ose i polupravaiz koordinatnog pocetka kroz tacku 3 0 do vrednosti ugla koji zaklapa pozitivni

smer x-ose i poluprava koja spaja koordinatni pocetak i tacku

3

32

32

te iz

3

2

3

3 2

1

3 tg

π

6 dobijamo t

π

6 pa sledi t

0

π

6 Kako je dx

3sin t dt

i dy 3cos t dt

imamo

c F

c

y

x2

y2 d x

x

x2

y2 dy

π6

0

3sin t

9 3sin t

dt

3cos t

9

3cos t

dt

π6

0dt

π

6

Krivolinijski integral datog vektorskog polja duž cele kružnice x2 y2 9 pri

cemu je parametrizacija cele kružnice cK data sa

x

t

3cos t i y

t

3sin t za t

0

2π

je

cF

cK

y

x2

y2 dx

x

x2

y2 dy

2π

0

3sin t

9 3sin t dt

3cos t

9 3cos t dt

2π

0dt 2π

Primer 5.9. Izracunacemo krivolinijski integral

c y dx z dy x dz gde je c kriva

iz primera 5.4. Vektorsko polje F u ovom primeru je dato sa F x y z y z x

dok je kriva c oblika

c

t

12

12

cost

1

2 sin t

12

12

cos t

t 0 2π




Kako je c

t

1

2 sin t

1

2 cos t

1

2 sin t

imamo

cF

c y dx

z dy

x dz

2π

0

1

2

2 sin2 t dt

12

12

cos t

1

2 cos t dt

12

12

cos t

12

sin t dt

2π

0

1

2

2 cos t

14

sin t

14

sin t cost

1

2

2

dt

2π

2

Kriva duž koje integralimo naziva se još i putanja integracije. Treba naglasitida se putanja integracije može sastojati iz više delova, odnosno, iz više krivih (slika5.7). Sledi precizna definicija putanje.

Definicija 5.1 Putanja c je konaˇ cni skup krivih c1 c2 cn

gde je, za svako

i

1

2

n

ci kriva definisana na intervalu

ai

bi

tako da je za svako i

1 2 n 1 krajnja taˇ cka krive ci istovremeno i poˇ cetna taˇ cka krive ci 1

odnosno

ci

bi ci

1

ai

1

Ako važi i cn

bn c1

a1 tj. krajnja tacka poslednje krive je istovremeno ipocetna tacka prve krive, c je zatvorena putanja (slika 5.8).

c1

c2

c3 c4c1

c2 c3

c4

Slika 5.7. Putanja. Slika 5.8. Zatvorena putanja.

Neka je c

c1

c2

cn

putanja. Za krivolinijski integral vektorskog poljaF duž putanje c važi

cF

c1

F

c2

F

cn

F (5.5)




gde su integrali sa desne strane jednakosti (5.5) dati sa (5.2).

Primer 5.10. Neka je F x y 3 x2 2 x2 y Odredicemo krivolinijski integral datog

vektorskog polja duž putanje koju cine parabola y

x2 od tacke 0 0 do tacke 1 1 i deo prave od tacke 1 1 do tacke 0 0 (videti sliku 5.9).

x

1

y

1

c1

c2

Slika 5.9. Putanja integracije iz primera 5.10.

U pitanju je putanja c c1 c2 gde je c1 parabola parametrizovana sa

x t t i y t t 2 za t

0 1

tj. c1

t

t

t 2

t 0 1 Deo putanje c2 je deo prave y

x parametrizovan sa

x

t 1

t i y

t 1

t za t 0 1

(videti primer 5.2, pocetna tacka za c2 je 1 1 a krajnja 0 0 ), tj. c2

t

1 t

1 t

za t 0 1 Iz (5.5) sledi

cF

c1

F

c2

F

c1

3 x2 dx 2 x2 y dy

c2

3 x2 dx 2 x2 y dy

1

03t 2 dt

2t 42t dt

1

03 1

t

2 1

dt 2 1

t

3 1

dt

t 3

2t 6

3

1

0

5t

6t 2

3t 3

t 4

2

1

0

16




Neka je c kriva definisana na intevalu

a

b

Pocetna tacka ove krive je c

a

a

krajnja c b

Neka je sa c

oznacena kriva koja se poklapa sa c ali polazna tackanove krive je c b a krajnja c a Kriva c se naziva suprotna kriva za krivu c idata je sa

c

t c

a

b t

(5.6)

dok parametar t prolazi kroz interval

a

b

Videti sliku 5.10.

c(a)

c(b)

c

c (b)-

c (a)-

c-

Slika 5.10. Kriva c i suprotna kriva c .

Ako je c putanja sacinjena od krivih c1 c2 cn

Suprotna putanja je putanjasacinjena od krivih c

n c

2 c

1

Postavlja se pitanje u kakvoj su vezi krivolinijski integrali istog vektorskogpolja nad suprotnim putanjama.

Teorema 5.1 Neka je F vektorsko polje definisano na otvorenom skupu O

n

ineka je c kriva koja leži na O definisana na intervalu

a

b

Tada važi

c

F

cF

Dokaz. Iz (5.2) i (5.6) za krivolinijski integtal

c

F sledi

c

F

b

aF

c

t

c

t

dt

b

aF c

a

b t

c

a

b t

1

dt

Sada, smenom u

a

b t

za koju važi du

dt

dobijamo b

a

F c

a

b t

c

a

b t

1

dt

a

b

F c

u c

u

du

b

aF c

u c

u

du

cF



5.2. Krivolinijski integral potencijalnog vektorskog polja 241


Primer 5.11. Odredicemo krivolinijski integral vektorskog polja datog sa F

x

y

3 xy2

x2

duž dela prave y

x od tacke q

q1

q2

do tacke

0

0

Umestoparametrizacije dela prave y x od tacke q do tacke 0 0 dajemo parametrizacijudela prave y x od tacke 0 0 do tacke q (videti primer 5.3)

c

t

q1t

q2t

za t

0

1

odnosno x

t

q1t i y

t

q2t za t 0 1

Kako je traženi integral

c

F to po teoremi 5.1 imamo

c

F

cF

c3 xy2 dx

x2 dy

1

03q2

1q22t 3 dt

q21q2t 2 dt

q2

1q2

3q1

4

13

5.2 Krivolinijski integral potencijalnog vektorskog polja

Neka je F potencijalno vektorsko polje sa potencijalom ϕ

tj. F

∇ϕ (videtipoglavlje 4.7.2). Tada se krivolinijski integral vektorskog polja F može izrazitipreko funkcije potencijala ϕ što je i dato narednom teoremom.

Teorema 5.2 Neka je F vektorsko polje na otvorenom skupu O

n tako da pos-

toji realna funkcija ϕ definisana na O za koju važi F ∇ϕ Neka je c putanja u O

koja spaja taˇ cke p i q

Tada važi

cF

ϕ q

ϕ p

Dokaz. Posmatrajmo slucaj kada se putanja sastoji od jedne krive. Neka je c krivadefinisana na intervalu a b i neka je c a p pocetna tacka, a c b q krajnjatacka. Iz (5.2) sledi

c

F

b

a

F

c

t

c

t

dt

b

a

∇ϕ

c

t

c

t

dt

Ako sa g t oznacimo kompoziciju ϕ c t , iz teoreme 4.3 sledi g

t ∇ϕ c t

c

t pa na osnovu Njutn-Lajbnicove formule za realnu funkciju jedne realne pro-

menljive (AI, teorema 6.17) imamo

cF

b

ag

t

dt

g

b

g

a

ϕ c

b

ϕ c

a





Za opštu putanju prthodno tvrdenje sledi na osnovu (5.5).

Kako integral potencijalnog vektorskog polja F ne zavisi od izbora putanje koja

spaja tacke p i q možemo ga oznaciti sa q

pF

Iz prethodne teoreme zakljucujemo da je za svako potencijalno vektorsko poljeF krivolinijski integral duž bilo koje zatvorene putanje jednak nuli. Takode, ako zaneko vektorsko polje F postoji zatvorena putanja c tako da važi

cF 0

F nije potencijalno vektorsko polje.


F x y z

2 xy3 z 3 x2 y2 z x2 y3

duž proizvoljne krive c koja spaja tacke p 1 2 3 i q 1 2 3 Ovakozadato vektorsko polje je potencijalno jer za ϕ x y z x2 y3 z važi

∇ϕ

x

y

z

2 xy3 z 3 x2 y2 z

x2 y3

F

x

y

z

te krivolinijski integral ne zavisi od izbora putanje (samo su tacke p i q fiksiranekao pocetna i krajnja tacka putanje). Sada, na osnovu teoreme 5.2 imamo

cF

q

pF ϕ q

ϕ p 48

Primer 5.13. Posmatrajmo vektorko polje F x y

y

x2

y2

x

x2

y2

iz pri-

mera 5.8. Kao što smo videli, krivolinijski integral vektorskog polja F duž celekružnice x2

y2 9 je

ck

F 2π 0

te na osnovu teoreme 5.2 zakljucujemo da F nije potencijalno vektorsko polje.

5.3 Zavisnost krivolinijskog integrala od putanje

integracije

U prethodnom poglavlju smo videli da u slucaju potencijalnog vektorskogpolja krivolinijski integral na zavisi od izbora putanje integracije (fiksirane su samo



5.3. Zavisnost krivolinijskog integrala od putanjeintegracije 243

pocetna i krajnja tacka putanje). Postavlja se pitanje da li važi i obrnuto, tj. ako

cF ne zavisi od izbora putanje c da li je F potencijalno vektorsko polje. Naredna

teorema, koju navodimo bez dokaza, daje nam odgovor na ovo pitanje.Neka je c c1 c2 cn putanja takva da je za svako i

1

n kriva ci

iz klase C 1 i neka je F neprekidno vektorsko polje.

Teorema 5.3 Neka je O povezani otvoreni skup i neka je F neprekidno vektorsko

polje na O

Ako za bilo koje dve taˇ cke p q O integral

cF

ne zavisi od izbora putanje c koja povezuje taˇ cke p i q

tada postoji funkcija poten-cijala za vektorsko polje F na O

Uslov za postojanje funkcije potencijala za dato vektorsko polje F koji seodnosi na zatvorene putanje je dat narednom teoremom.

Teorema 5.4 Neka je O povezani otvoreni skup i neka je F neprekidno vektorsko

polje na O Ako je krivolinijski integrala vektorskog polja F duž bilo koje zatvorene

krive na O jednak nuli, tada postoji funkcija potencijala za vektorsko polje F na O

Dokaz. Neka su p i q dve proizvoljno izabrane tacke iz povezanog otvorenogskupa O i neka su c c1 c2 cn i d d1 d2 dm dve razlicite putanje

koje povezuju tacku p (pocetana tacka) i tacku q (krajnja tacka). Pretpostavimoda krive ci i 1 n i d j j 1 m pripadaju klasi C 1 Ako je d

d

m d

m

1 d

1

putanja suprotna putanji d iz teoreme 5.1 za krivolinijski in-tegral vektorskog polja F sledi

d

F

dF (5.7)

Treba primetiti da je unija putanja c i d jedna zatvorena putanja na O (slika5.11), te iz pocetnog uslova teoreme i jednakosti (5.5) imamo

c

d

F

c

F

d

F 0

Kako važi i (5.7) dobijamo

cF

dF

tj. vrednost krivolinijskog integrala polja F ne zavisi od izbora putanja koje spajajutacke p i q te iz teoreme 5.3 sledi traženo.




p

q

O

c1 c2

c3

d1

d2

x

y

Slika 5.11. Putanje c i d

Pretpostavka prethodne teoreme zahteva ispitivanje krivolinijskog integrala dužsvake zatvorene krive. Kako takvih krivih može biti beskonacno mnogo, ovakvapretpostavka u praksi predstavlja problem. Naredna teorema, koju navodimo bezdokaza, daje uslov koji se svodi na samo jednu zatvorenu krivu.

Teorema 5.5 Neka je F vektorsko polje definisano na

2 0 0

dato koordinat-

nim funkcijama f i g tj. F x y f x y g x y za koje važi D2 f D1g Neka

je c t cost sin t t 0 2π centralna kružnica polupreˇ cnika 1 po kojoj se

kre´ cemo suprotno kretanju kazaljke na satu.

i) Ako je

cF 0 F je potencijalno vektorsko polje.

ii) Ako je 12π

cF

k

gde je k neka realna konstanta, tada postoji funkcija

ϕ :

2

takva da je

F

k G

∇ϕ za G

x

y

y

x2 y2

x

x2 y2

5.4 Krivolinijski integral prve vrste

Krivolinijski integral je moguce uvesti i na drugi nacin. Naime, možemo pos-matrati funkciju f : L

L

3

na krivoj L

datoj sa c

t

x

t

y

t

z

t

t a b te primeniti postupak za jednostruki integral sada po krivoj L Elementdužine luka krive je

ds

x

t

2

y

t

2

z

t

2 dt



5.4. Krivolinijski integral prve vrste 245

te je tada krivolinijski integral prve vrste upravo

L f x y z ds

b

a f x t y t z t

x

t

2 y

t

2 z

t

2 dt

Veza krivolinijskog integrala prve vrste sa prethodno uvedenim krivolinijskimintegralom, koji cesto zovemo krivolinijski integral druge vrste ili krivolinijski in-tegral po koordinantama, za vektorsko polje F

f

g

h je data sa

L f

x

y

z

dx

g

x

y

z

dy

h

x

y

z

dz

L f x y z cos α g x y z cos β h x y z cos γ ds

LF

t

gde su α

β i γ uglovi koje zaklapa tangenta na krivu L u tacki

x

y

z sa pozi-

tivnim smerovima koordinatnih osa, tj. vektor

t cosα cos β cos γ

je jedinicni vektor tangente na krivu L

Primer 5.14. Izracunacemo krivolinijski integral prve vrste funkcije f

x

y

x4 3

y4 3 po astroidi x2 3

y2 3

a2 3 za a

0 Parametarske jednacine as-troide su

x

t

a cos3 t i y

t

a sin3 t

za t

0

2π

Zato je

x

t 3a cos2 t sin t i y

t 3asin2 t cos t

te je

x

t

2

y

t

2 9a2 cos2 t sin2 t

Kako je

x

t

2

y

t

2 0 za t

0

π

2

π i 3π

2 to je

L

x4 3

y4 3

ds

2π

0a4 3

cos4 t sin4 t

3a cos t sin t

dt

12a7 3 2π

0

cos5 t sin t sin5 t cost

4a7 3




5.5 Zadaci

1. Izracunati krivolinijski integral vektorskog polja F

x

y

x cos y

y sin x

duž pravolinijskog odsecka koji spaja tacke

0

0

i

π

2π


x

y

y

x

duž elipse x2

a2

y2

b2 1 u smeru suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu.


x

y

y

x duž elipse

x2

a2

y2

b2

1 u smeru kretanja kazaljke na satu.

4. Izracunati krivolinijski integral

c

x2

y2

dx gde je c deo parabole y

x2

od tacke

1

1

do tacke

3

9

5. Izracunati krivolinijski integral

c

x2

y2

dy gde je c deo parabole y

x2

od tacke 3 9 do tacke 1 1

6. Izracunati

c

y2

x2

y2 dx

x2

x2

y2 dy gde je c deo kružnice x2 y2

4 od

tacke 0 2 do tacke 2 0

7. Izracunati

c x dx

y dy

x

y 1

dz duž pravolinijskog odsecka od tacke

0 0 0 do tacke 1 2 3

8. Izracunati

c y2 dx

z2 dy

x2 dz gde je c pozitivno orijentisana kriva dobi-

jena u preseku sfere x2 y2

z2 1 i cilindra x2

y2 x za z

0

9. Izracunati

c

z y

dx

x z

dy

y x

dz gde je c pozitivno orijentisana

kriva koja predstavlja presek cilindricne površi

x 2

2

y2

4 i ravni z

3

10. Izracunati

c x2 y dx

y2 z dy

z2 x dz gde je kriva c deo prave u

x

y -ravni

od tacke 3 0 0 do tacke 0 3 0 i deo kružnice y2

z2 9 u yz-ravni od

tacke 0 3 0 do tacke 0 0 3

11. Izracunati

c

y2

x2

dx

x z

dy 3 y dz gde je c pozitivno orijentisana

kriva dobijena u preseku površi z 6

x2

y2 i z

y2



Glava 6

Višestruki integral

Da bismo uveli odredeni integral za funkcije više promenljivih primenicemoslicnu proceduru kao i za Rimanov integral funkcije jedne promenljive definisanena intervalu. Kako se za funkcije više promenljivih situacija sa domenom komp-likuje, ogranicicemo se u pocetku na funkcije dve promenljive definisane na pra-vougaoniku. Pri ovom postupku se mogu uociti sve glavne stepenice prelaza navišedimenzionalni slucaj. Kao što je odredeni integral nenegativne funkcije jednerealne promenljive imao za geometrijsku interpretaciju površinu krivolinijskog tra-peza ogranicenog funkcijom nad intervalom, tako sada dvostruki integral daje za-preminu figure krivog paralelopipeda ogranicenog funkcijom nad pravougaonikom.Posle prelaza sa integrala funkcije jedne promenljive na integral funkcije dve pro-menljive, sledi analogni prelaz na integral funkcije tri promenljive.

6.1 Definicija dvostrukog integrala

Neka je P pravougaonik u

2 dat na sledeci nacin

P x y a x b c y d a b c d

Da se podsetimo, podela P

a

b

intervala a b je skup tacaka

P a

b

x0 x1 xn ako važi a x0 x1 xn b (6.1)

Podela P a b

je data slikom 6.1. Analogno, podela P c d

intervala

c

d

je skuptacaka

P

c

d

y0 y1 ym ako važi c y0 y1 yn d (6.2)

247



248 Glava 6. Višestruki integral

a=x 0 1x 2x n-1xn-2x b= xn. . .

x

Slika 6.1. Podela P a b

intervala

a

b

Svaki par intervala xi 1 xi i 1 n i y j 1 y j j 1 m odreduje jedan pravougaonik

Pi j

xi 1

xi

y j 1

y j

dat slikom 6.2.

a ixi-1x b

x

y

j-1y

jy

c

d

ijP

P

Slika 6.2. Pravougaonik Pi j

xi

1

xi

y j

1

y j

Podela P

P a b

P

c d

pravougaonika

a

b

c

d se sastoji od svih

pravougaonika Pi j

i

1

n

j

1

m

Oznacimo dužinu i-tog intervala xi 1 xi sa ∆ xi xi xi 1 a j-tog intervala y j 1 y j sa ∆ y j y j y j 1 Tada,površina pravougaonika Pi j je data sa

∆ xi ∆ y j

y j y j

1

xi xi

1

Neka je data ogranicena funkcija f :

a

b

c

d

tj. funkcija za kojupostoji broj M 0 tako da je f x y M za svako x y P



6.1. Definicija dvostrukog integrala 249

Analogno pojmu Rimanove integralne sume funkcije jedne promenljive (AI,

Definicija 6.1), ovom prilikom dajemo odgovarajucu definiciju Rimanove inte-gralne sume za funkciju dve promenljive.

Definicija 6.1. Neka je funkcija f definisana na pravougaoniku

a

b

c

d

neka

je P neka podela pravougaonika

a

b

c

d

i neka jeT ti j

i 1 2

n

j

1

m

gde su ti j ta ˇ cke iz pravougaonika Pi j

xi 1

xi

y j 1

y j

i

1

n

j 1 m Tada se zbir

R f P T

n

∑i 1

m

∑ j 1

f ti j ∆ xi∆ y j

naziva (Rimanova1) integralna suma funkcije f za podelu P i izbor taˇ caka T

Primetimo da za f 0 integralna suma R f P T predstavlja zbir zapre-mina paralelopipeda f t i j ∆ xi∆ y j koji aproksimiraju zapreminu figure krivog par-alelopipeda nad pravougaonikom P koji je odgore "poklopljen" grafikom (površi)funkcije f (slika 6.3).

a

b cd

x y

z

z = f(x,y)

P

Slika 6.3. Krivolinijski paralelopiped nad pravougaonikom P

1B. Riemann (1826–1866)




Poput slucaja funkcija jedne promenljive za koje su definisane Darbuove sume

(AI, str. 212), za funkcije dve promenljive možemo dati odgovarajuca uopštenjaDarbuovih suma. U tu svrhu prvo uvodimo oznake

mi j inf t

xi 1

xi

y j 1

y j

f t M i j supt

xi 1

x i

y j 1

y j

f t

za i 1 n i j 1 m Primetimo da, zbog ogranicenosti funkcije f izcega sledi postojanje supremuma i infimuma, uvedeni brojevi mi j i M i j postoje.Uvodimo sada donju i gornju (Darbuovu2) sumu za funkcije dve promenljive nasledeci nacin,

D f P

n

∑i 1

m

∑ j 1

mi∆ xi∆ y j i G f P

n

∑i 1

m

∑ j 1

M i∆ xi∆ y j

respektivno. Sada je lako formulisati i dokazati (uz minimalne izmene) teoremukoja je uopštenje teorema 6.2 iz AI.

Teorema 6.1. Neka je f : a b c d ograniˇ cena funkcija, tj.

m inf

u

v

a

b

c

d

f u v

f x y

sup

u

v

a

b

c

d

f u v M

za

x

y

a

b

c

d

Tada važi

(i) (Nejednakost integralnih suma.) Za svaku podelu P i svaki izbor taˇ caka T

uvek važi

m

b a

d c

D

f

P

R

f

P

T

G

f

P M

b a

d c

(6.3)

(ii) (Princip finije podele.) Profinjenjem P 1 podele P (dodavanjem novih pravo-

ugaonika podele na P ) donja Darbuova suma raste, a gornja Darbuova

suma opada, tj.

D f P D f P

1

G f P

1

G f P (6.4)

(iii) Uzimaju´ ci za dve podele P 1 i P 2 zajedniˇ cku podelu P P 1 P 2

imamo

D f P 1 D f P G f P G f P 2 (6.5)

2G. Darboux (1842-1917)




Dokaz. (i) Kako je m mi j

f

ti j M i j

M za ti j

xi 1

xi

y j 1

y j

to

jem∆ xi∆ y j mi j∆ xi∆ y j f ti j ∆ xi∆ y j M i j∆ xi∆ y j M∆ xi∆ y j

za i 1 n j 1 m Sumirajuci odgovarajuce strane prethodnih n m

nejednakosti dobijamo tražene nejednakosti (6.3).

(ii) Dovoljno je uociti profinjenje P 1 za samo jednu tacku z

xi 1

xi

Tada seu novoj podeli u donjoj Darbuovoj sumi umesto sabirka mi j∆ xi∆ y j pojavljuju dvaputa po m sabiraka cija je suma veca od prvobitnog sabirka mi j∆ xi∆ y j, a u gornjojDarbuovoj sumi umesto sabirka M i j∆ xi∆ y j imamo dva puta po m sabiraka cija jesuma manja od prvobitnog sabirka M i j∆ xi∆ y j Odavde sledi tražena nejednakost(6.4).

(iii) Kako je podela P P 1 P 2 finija i od P 1 i od P 2 traženo sledi na osnovu (ii).

Sada možemo dati uopštenje definicije (Darbuovog) integrala funkcije jednepromenljive (AI, definicija 6.3).

Definicija 6.2. Donji (Rimanov) integral I i gornji (Rimanov) integral I funkcije f

na

a

b

c

d

su

I supP

D f P i I inf P

G f P

gde supremum i infimum ide preko svih podela P

Funkcija f je (Darbu) integrabilna ako je

I I I (Darbuov odre¯ deni integral).

Broj I se zove dvostruki integral funkcije f na a b c d i oznaˇ cavamo ga sa

a b c d

f x y dxdy (6.6)

Primetimo da za proizvoljnu ogranicenu funkciju f :

a

b

c

d na osnovu

ogranicenosti skupova D

f

P P

i G

f

P P

i (6.3), integrali I i I uvekpostoje. Njihov odnos je odreden sledecom teoremom (potpuno isto kao u teoremi6.3 iz AI).




Teorema 6.2. Za ograniˇ cenu funkciju f :

a

b

c

d

uvek važi

I f I f

Dokaz. Pokažimo da je svaki element skupa D f P

P

manji od bilo kog ele-

menta skupa G f P P Odaberimo jedan element D f P 1 iz skupa D f P

P i jedan element G

f P 2 iz skupa

G

f P P Uzmimo podelu P P 1 P 2

Tada, na osnovu teoreme 6.1 (iii), važi

D

f

P 1 D

f

P

G

f

P

G

f

P 2

što smo i trebali dokazati. Pošto je svaki element skupa D f P P manji od

bilo kog elementa skupa G f P P to je

I sup

P

D

f

P inf

P

G

f

P

I

Treba naglasiti da je donja Darbuova suma uvek manja ili jednaka od odgo-varajuceg integrala, dok je odgovarajuci integral uvek manji ili jednak od bilo kojeodgovarajuce gornje Darbuove sume, tj. D f P 1 I G f P 2

Sada možemo dati i sledecu definiciju integrala (uopštenje definicije 6.2 iz AI).

Definicija 6.3. Neka je data funkcija f : a b c d Ako za svaku podelu P

pravougaonika

a

b

c

d

i svaki izbor od n m taˇ caka ti j

xi

1

xi

y j

1

y j

i 1 2

n

j 1

m

postoji uvek ista graniˇ cna vrednost

I limλ P 0

n

∑i 1

m

∑ j 1

f ti j ∆ xi∆ y j gde je λ P max1

i

n1

j

m

∆ xi∆ y j

tada se za funkciju f kaže da je Riman–integrabilna (kra´ ce: integrabilna) na

pravougaoniku

a

b

c

d

a broj I se zove (Rimanov) dvostruki integral funkcije

f na

a

b

c

d

i oznaˇ cavamo ga sa

a

b

c

d

f

x

y

dxdy (6.7)

Funkcija f je podintegralna funkcija dvostrukog integrala (6.7).




Postojanje graniˇ cne vrednosti I

limλ

P

0∑n

i 1 ∑m j 1 f

ti j

∆ xi∆ y j znaci da za

svako ε 0 postoji δ 0 tako da za proizvoljnu podelu P sa osobinom λ P δ

i bilo koji izbor od n m tacaka ti j xi 1 xi y j 1 y j važi

I

n

∑i

1

m

∑ j

1

f ti j

∆ xi∆ y j

ε (6.8)

Darbu integrabilnost se može potpuno okarakterisati na sledeci nacin (analognoteoremi 6.4 iz AI).

Teorema 6.3. (Kriterijum integrabilnosti.) Ograniˇ cena funkcija f :

a

b

c

d

je Darbu integrabilna ako i samo ako za svako ε 0 postoji podela P tako da je

G

f

P

D

f

P

ε

Dokaz. Uslov je potreban. Naime, neka je f (Darbu) integrabilna funkcija, tj. I

f

I

f Za dato ε

0 na osnovu definicije I (supremum) postoji podela P 1takva da je

D f P 1 I

ε

2 (6.9)

Na osnovu definicije I (infimum) postoji podela P 2 takva da je

G f P 2 I ε2

(6.10)

Tvrdimo da je tražena podela P data sa P P 1 P 2 Pokažimo to. Na osnovuteoreme 6.1 (iii) važi

D f P 1 D f P G f P G f P 2

Odavde slediG f P D f P G f P 2 D f P 1

pa iz (6.9) i (6.10) imamo i

G

f P

D

f P

G

f P

2

D

f P

1

I

ε

2

I

ε

2

ε

Uslov je dovoljan. Pretpostavimo da za proizvoljno ε

0 uvek postoji podelaP za koju je G f P D f P ε Kako je uvek I G f P ( I je infimum) i

I D f P ( I je supremum) to važi

0 I I G f P D f P ε




gde nenegativnost leve strane sledi na osnovu teoreme 6.2. Kako je ε

0 proizvolj-

no izabrano, iz poslednje nejednakosti sledi I I

Dokazani kriterijum integrabilnosti nam omogucava da u narednoj teoremi(analogno teoreni 6.5 iz AI) pokažemo ekvivalentnost pristupa dvostrukom inte-gralu preko Rimanovih integralnih suma (kada imamo izbor za T ) i pristupa prekoDarbuovih suma (oslobodenog od T ).

Teorema 6.4. Riman integrabilnost (u smislu definicije 6.3) ograniˇ cene funkcije

f je ekvivalentna sa njenom Darbu integrabilnosti (u smislu definicije 6.2) te su

Rimanov i Darbuov integral funkcije f jednaki.

Dokaz. Neka je funkcija f ogranicena, tj.

f

x

y

M za

x

y

a

b

c

d

iDarbu integrabilna. Tada je I

f

I

f

I Pokazacemo da je funkcija f i Riman

integrabilna.Za proizvoljno ε 0 na osnovu teoreme 6.3, postoji podela P 1 pravougaonika

a

b

c

d na n1

m1 pravougaonika Pi j tako da je

G f P 1 D f P 1

ε

2 (6.11)

Odaberimo δ

ε

16n1m1 M Uzmimo bilo koju podelu P 2 pravougaonika

a

b

c

d na n2

m2 pravougaonika, za koju je λ

P 2

δ Tada, za podelu P

P 1 P 2

pravougaonika

a

b

c

d

na n

m (n

n1

n2

m

m1

m2) pravougaonika naosnovu teoreme 6.1 (ii) (6.4) imamo

D

f

P 1 D

f

P

G

f

P

G

f

P 1

Odavde i na osnovu (6.11) dobijamo

G

f P

D

f P

G

f P 1

D

f P 1

ε

2 (6.12)

Primetimo da se sume G f P 2 i G f P (profinjenje podele P 2) razlikujusamo u sabircima u kojima su dodate tacka iz podele P 1. Takode, primetimo da

je svaki sabirak M i j∆ xi∆ y j u integralnoj sumi za podelu P 2 kao i svaki sabirak M i j∆ xi∆ y j u integralnoj sumi za podelu P uvek manji od M δ

Kako u G

f P 2 i G

f P razlicitih sabiraka (zbog dodatih pravougaonika

iz podele P 1 koji ulaze u podpravougaonike iz podele P 2 ) može biti najviše

n1 2

m1 2

(u podeli P 2), to je G

f

P 2 G

f

P

4

n1 2

m1 2

M δ

(nova tacka po x i nova tacka po y u podpravougaoniku prvobitne podele P 2 daju




cetiri podpravougaonika, te otuda 4 nova sabirka i zato je faktor 4 u poslednjoj

nejednakosti). Kako smo δ 0 birali tako da je δ ε16n1m1 M dobijamo

G

f P 2

G

f P

ε 4

Sasvim analogno dobijamo i

D

f

P 2 D

f

P

ε 4

Iz poslednje dve dobijene nejednakosti i (6.12) sledi

G f P 2 D f P 2 G f P 2 D f P 2 G f P D f P

G

f

P 2 G

f

P

G

f

P

D

f

P

D f P D f P 2

ε

4

ε

2

ε

4

ε

Kako za Rimanovu integralnu sumu uvek važi D

f

P 2 R

f

P 2

T

G

f

P 2

i kako je D f P 2 I G f P 2 ovde, iz prethodnog, dobijamo

R

f

P 2

T

I

G

f

P 2 D

f

P 2

ε

To znaci da za proizvoljno ε 0 postoji δ

0 tako da je R

f P 2 T

I

ε

za svaku podelu P 2 za koju je λ

P 2

δ odnosno f je Riman integrabilna po

definiciji 6.3 sa Rimanovim integralom jednakim Darbuovom integralu I .Pretpostavimo sada da je funkcija f Riman integrabilna sa Rimanovim inte-

gralom I Dokazacemo da je ona i Darbu integrabilna po definiciji 6.2 sa istim

Darbuovim integralom I . Kako je f ogranicena funkcija, to na osnovu definicije6.3 za svako ε 0 uvek postoji δ 0 tako da za sve podele P sa λ P δ i svakiizbor T važi

R

f P T

I

ε

4

Za jednu takvu fiksnu podelu P odredimo dva izbora tacaka T i T tako da je

R

f P T

D

f P

ε

4 (na osnovu osobine infimuma, f

ti j biramo blisko

mi j) i

G

f

P

R

f

P

T

ε

4 (na osnovu osobine supremuma, f

t

i j

biramoblisko M i j). Odavde sledi

G f P D f P G f P D f P I R f P T R f P T

G

f

P

R

f

P

T

R

f

P

T

I

I R f P T R f P T D f P ε




Svi brojevi I

I i I se nalaze izmedu D

f

P

i G

f

P

, a razmak izmedu D

f

P

i G f

P

je manji od ε, to je i razmak izmedu svaka dva broja iz skupa I I I

manji od ε 0 Kako je ε proizvoljno izbrano, to sledi

I I I

što dokazuje Darbu integrabilnost funkcije f po definiciji 6.2 sa odgovarajucimDarbuovim integralom I .

Upravo zbog prethodne teoreme, u daljem tekstu govorimo samo o integrabil-nosti funkcije i dvostrukom integralu, izostavljajuci Rimanov, odnosno Darbuov(nekada se koristi i naziv Rimanova integrabilnost). Za oznaku dvostrukog inte-grala cemo koristiti

I

a b c d

f

x

y

dxdy

Primetimo da za f 0 dvostruki integral

P

f

x

y

dxdy predstavlja za-

preminu krivog paralelopipeda nad pravougaonikom P koji je "poklopljen" sa površi z f x y (slika 6.3).

6.2 Osobine dvostrukog integrala

U ovom poglavlju dajemo osnovne osobine dvostrukog integrala. Prvo, kroznaredni primer, posmatramo dvostruki integral konstantne funkcije.

Primer 6.1 Pokazacemo da ako je funkcija f konstanta, tj. f

x

k

x

y

a

b

c

d tada važi

a b c d

f

x

dxdy

k

b a

d c

tj. dvostruki integral daje zapreminu paralelopipeda visine k nad pravougaonikom a b c d Za proizvoljnu podelu P i proizvoljan izbor tacaka T imamo da iz

R

f

P

T

n

∑i 1

m

∑ j 1

f ti j

∆ xi∆ y j

n

∑i 1

k ∆ xi∆ y j

k n

∑i 1

∆ xi

m

∑ j 1

∆ y j

k

b a

d c



6.2. Osobine dvostrukog integrala 257

sledi

limλ

P

0

n

∑i 1

f ti ∆ xi∆ y j limλ

P

0

n

∑i 1

k ∆ xi

m

∑ j 1

∆ y j k b a d c

Nadalje cemo dokazati neke osnovne osobine dvostrukog integrala.

Teorema 6.5. Ako je f integrabilna funkcija na a b

c d i k neki realan broj,

tada je i funkcija k f integrabilna na a b c d i važi

a b c d

k f

x

dxdy

k

a b c d

f

x

dxdy

Dokaz. Ako je k

0

tada je, prema primeru 6.1,

a b c d

k f

x

dxdy

0

Neka

je k 0

Kako je funkcija f integrabilna, integral

a b c d

f

x

dxdy postoji i

neka je

a b c d

f

x

dxdy

I Ako je P proizvoljna podela pravougaonika

a b c d tada za svako ε1

ε

k 0 postoji δ 0 takvo da za λ P δ i bilo

koji izbor tacaka ti j

xi 1

xi

y j 1

y j

i

1

n

j

1

m

važi

n

∑i 1

m

∑ j 1

f ti j

∆ xi∆ y j I

ε1

ε

k

Prema tome, imamo

n

∑i 1

m

∑ j 1

k f ti j ∆ xi∆ y j kI

k ε1 ε

te na osnovu (6.8) sledi integrabilnost funkcije k f i tražena jednakost.

Teorema 6.6. Ako su funkcije f i g integrabilne na

a

b

c

d

, tada važi

a

b

c

d

f

x

y

g

x

y

dxdy

a

b

c

d

f

x

y

dxdy

a

b

c

d

g

x

y

dxdy (6.13)

Dokaz. Neka je dato ε 0 Kako su funkcije f i g integrabilne na a b c d topostoje realni brojevi I 1 i I 2 takvi da, u smislu definicije 6.3, važi

a

b

c

d

f x y dxdy I 1 i

a

b

c

d

g x y dxdy I 2




To znaci, na osnovu (6.8) da za ε

ε

2

postoje brojevi δ1 0 i δ2 0 takvi da za

proizvoljnu podelu P pravougaonika

a

b

c

d za koju je λ

P min

δ1

δ2

važi

n

∑i 1

m

∑ j 1

f ti j

∆ xi∆ y j I 1

ε

ε

2 i

n

∑i 1

m

∑ j 1

g ti j

∆ xi∆ y j I 2

ε

ε

2

za bilo koji izbor tacaka ti j

xi

1

xi

y j

1

y j

i 1

n

j 1 2

m

Integralna suma R

f

g P T za funkciju f

g se može zapisati u sledecemobliku

R f g P T

n

∑i 1

m

∑ j 1

f ti j g ti j ∆ xi∆ y j

n

∑i 1

m

∑ j 1

f ti j ∆ xi∆ y j

n

∑i 1

m

∑ j 1

g ti j ∆ xi∆ y j

gde su ti j proizvoljne tacke iz pravougaonika

xi

1

xi

y j

1

y j odredenog pode-lom P

Prema tome, za λ P min δ1 δ2 imamo

R

f

g P T

I 1

I 2

n

∑i 1

m

∑ j 1

f ti j ∆ xi∆ y j I 1

n

∑i 1

m

∑ j 1

g ti j ∆ xi I 2

n

∑i

1

m

∑ j

1

f ti j ∆ xi∆ y j I 1

n

∑i

1

m

∑ j

1

g ti j ∆ xi∆ y j I 2

ε

2

ε

2 ε


Teorema 6.7. Neka je funkcija f integrabilna na

a

b

c

d

.

(i) Ako je funkcija f nenegativna na

a

b

c

d

tada je

a

b

c

d

f

x

dx 0

(ii) Ako je i funkcija g integrabilna na a b c d i važi f x y g x y za

x

y

a

b

c

d

tada je

a

b

c

d

f

x

y

dxdy

a

b

c

d

g

x

y

dxdy




(iii) Funkcija f

je tako ¯ de integrabilna na

a

b

c

d

i važi

a b c d

f x y dxdy

a b c d

f x y dxdy

Dokaz. (i) Sledi na osnovu nenegativnosti gornjih i donjih Darbuovih suma, kojase ocuvava prelaskom na infimum i supremum.

(ii) Sledi na osnovu (i) i teorema 6.6 i 6.5.

(iii) Nejednakost sledi na osnovu (ii) i nejednakosti f

x

y

f

x

y

f

x

y

Da iz integrabilnosti funkcije f sledi integrabilnost funkcije f

dobijamo na os-

novu teoreme 6.3 koristeci nejednakost

u

v

u

v

Neka je sada O proizvoljna oblast u

2 sadržana u nekom pravougaoniku P

(slika 6.4).

a b

x

y

c

dP

O

Slika 6.4. Oblast O sadržana u pravougaoniku P

Neka je data funkcija f : O

Oznacimo sa f O funkciju f O : P

koja je jednaka sa funkcijom f na oblasti O a jednaka nuli izvan oblasti O Pod pret-postavkom da je f O integrabilna na P definišemo dvostruki integral funkcije f nad

O na sledeci nacin

O

f

x

y

dxdy

P f O

x

y

dxdy




Podsetimo se sledece osobine Rimanovog integrala funkcije jedne promenljive

(AI, teorema 6.8): Ako je funkcija f integrabilna na intervalima a c

i c b

gde je a c b tada je funkcija f integrabilna i na intervalu a b i važi

b

a f x dx

c

a f x dx

b

c f x dx

Uslucaju dvostrukog integrala važi uopštenje koje se odnosicak i na opšte ograniceneoblasti i dato je narednom teoremom, koju navodimo bez dokaza.

Teorema 6.8 Neka je O ograniˇ cena oblast u

2 , koja je unija dve oblasti O1 i O2 ,

koje kao zajedniˇ cke taˇ cke mogu imati samo konaˇ can broj krivih (slika 6.5). Ako

je f ograniˇ cena funkcija na O koja je neprekidna na O osim možda na konaˇ cnom

broju krivih, tada važi

O

f

x

y

dxdy

O1

f

x

y

dxdy

O2

f

x

y

dxdy

Ako je L kriva sadržana u pravougaoniku P i f ograniˇ cena funkcija na P takva da

je f

x 0 za svako x

P

L

tada važi

L

f

x

y

dxdy 0

x

yO

O1

O2

Slika 6.5. Ogranicena oblast O kao unija oblasti O1 i O2

Rezimirajmo osnovne osobine dvostrukog integrala:

1) Ako je a b i c

d

tada za integrabilnu funkciju f na

a

b

c

d

važi

a

b

c

d

f

x

y

dxdy

b

a

c

d

f

x

y

dxdy




2) Ako je L kriva sadržana u pravougaoniku P i f je ogranicena funkcija na P,

koja je svuda nula sem možda na krivoj L, tada važi

L

f x y dxdy 0

3) Neka je O ogranicena oblast u

2 , koja je unija dve oblasti O1 i O2, koje kaozajednicke tacke mogu imati samo konacan broj krivih. Ako je f ogranicenafunkcija na O koja je neprekidna na O osim možda na konacnom brojukrivih, tada važi

O

f

x

y

dxdy

O1

f

x

y

dxdy

O2

f

x

y

dxdy

4) Ako je f integrabilna funkcija na oblasti O i k neki realan broj, tada je ifunkcija k f integrabilna na O i važi

O

k f

x

y

dxdy

k

O

f

x

y

dxdy

5) Ako su funkcije f i g integrabilne na oblasti O, tada važi

O

f x y g x y dxdy

O

f x y dxdy

O

g x y dxdy

6) Ako je funkcija f integrabilna i nenegativna na oblasti O tada je

O

f

x

y

dxdy 0

7) Ako su funkcije f i g integrabilne na oblasti O

2 i f x y

g x y

x y O tada je

O

f

x

y

dxdy

O

g

x

y

dxdy

8) Ako je f integrabilna funkcija na oblasti O

2 tada je funkcija

f takode

integrabilna na O i važi

O

f

x

y

dxdy

O

f

x

y dxdy




6.3 Uzastopni integrali

Da bismo izracunali dvostruki integral funkcije dve promenljive koristicemotzv. uzastopne integrale. Tom prilikom, integracija funkcije dve promenljive sesvodi na integraciju funkcije jedne promenljive.

Neka je funkcija f definisana na pravougaoniku P a b c d Ako fiksi-ramo promenljivu x

tada funkciju f možemo integraliti po x

d

c f x y dy

Dobijeni izraz zavisi od x, te je funkcija po x

koju sada možemo integraliti po y

b

a

d

c f x y dy

dx

Izraz b

a

d

c f x y dy

dx zovemo uzastopni integral.

Analogno, polazeci sada od fiksnog y možemo funkciju f integraliti po x

b

a f x y dx

Dobijeni izraz zavisi od y, te je funkcija po y te je možemo integraliti po y

d

c

b

a

f

x

y

dx

dy

Izraz d

c

b

a f x y dx

dy zovemo uzastopni integral.

Sledeca teorema nam daje odgovor na pitanje pod kojim uslovima izracuna-vanje dvostrukog integrala smemo svesti na uzastopni integral.

Teorema 6.9 Neka je funkcija f integrabilna na pravougaoniku P a b

c d

Ako za svako x a b postoji integral

d

c f x y dy

tada važi

P

f x y dxdy

b

a

d

c f x y dy

dx




a b

x

y

c

d Ph (x)2

O

h (x)1

Slika 6.7. Oblast O data sa (6.14).

tako da je ona jednaka nuli izvan O, imamo

O

f

x

y

dxdy

b

a

h2 x

h1 x

f

x

y

dy

dx (6.15)

jer je d

c f x y dy

h1 x

c f x y dy

h2 x

h1

x

f x y dy

d

h2

x

f x y dy Prvi i

treci integral sa desne strane prethodne jednakosti su jednaki nuli, jer je tu funkcija f jednaka nuli.

1

x

y

z

y=-x

y=-x +12

z=x+y 3

Slika 6.8. Funkcija f x y x y3 na ogranicenoj oblasti iz primera 6.3.

Primer 6.3. Odredicemo dvostruki integral funkcije f

x

y

x

y3 na oblastikoja je ogranicena parabolom y x2

1 i pravom y x (videti sliku 6.8).



6.3. Uzastopni integrali 265

Oblast integracije je

O x y 0 x 1 x y x2 1

Zato je

O

x y3 dxdy

1

0

x2 1

x x y3

dy

dx

1

0

xy

y4

4

x2 1

x

dx

1

0

14

x x3

54

x4

x6

14

x8

dx

1

0

14

x

x2

2

x4

4

14

x5

x7

7

136

x9

dx

4063

Analogno, zamenom x i y integracija funkcije f : O po oblasti

O x y c y d h1 y x h2 y (6.16)

gde su h1 i h2 funkcije definisane na intervalu

c

d

sa osobinom

a h1

y

h2

y

b za y

c

d

(slika 6.9), se svodi na uzastopni integral. Naime, ako zamislimo da smo funkciju

a b

x

y

c

dP

O

h (y)1 h (y)2

Slika 6.9. Oblast O data sa (6.16).




f produžili sa oblasti O na pravougaonik P

a

b

c

d

tako da je ona jednaka

nuli izvan O, imamo

O

f x y dxdy

d

c

h2 y

h1 y

f x y dx

dy (6.17)


x

y

xy4 na oblasti koja je ogranicena parabolama x

y2 1 i x

3 y2

Oblast integracije u ovom primeru je

O

x

y

1

y

1

y

2

1

x

3

y

2

(videti sliku 6.10). Sada, iz (6.17), sledi

O

xy4 dxdy

1

1

3 y2

y2 1

xy4 dx

dy

1

1 y4

3 y2

y2 1

x dx

dy

1

1 y4

3 y2

2

2

y2 1

2

dy 4

1

1

y4

y6

dx

1635

1

-1

x

y

h (y)1 = y +12

h (y)2 = 3-y2 1

2

(1,1)y

x

y=2-x

y=-x +2x2

O1 O2

Slika 6.10. Oblast iz primera 6.4. Slika 6.11. Oblast iz primera 6.5.

Koristeci osobinu da se integral po oblasti O može rastaviti na zbir integrala popodoblastima, možemo tražiti integrale i po složenijim oblastima.


x

y

x2

y2 na oblastiO ogranicenoj krivama y

x2

2 x

y

0 i y

2 x (slika 6.11), što ujedno daje

i zapreminu tela ogranicenog sa površi z x2 y2 nad oblasti O Razbijajuci datu



6.3. Uzastopni integrali 267

oblast O na deo O1 kada je x izmedju 0 i 1 i na deo O2 kada je x izmedju 1 i 2

(videti sliku 6.11) dobijamo

O

x2

y2

dxdy

O1

x2

y2

dxdy

O2

x2

y2

dxdy

Kako je

O1

x2

y2

dxdy

1

0

x2 2 x

0

x2

y2

dy

dx

1

0

143

x3 5 x4

2 x5

13

x6

dx

1942

i

O2

x2 y2

dxdy

2

1

2 x

0 x2

y2 dy

dx

2

1

83

4 x 4 x2

43

x3

dx 1

to je

O

x2

y2

dxdy

1942

1

6142

22

z

x

y

y=2-xy=-x +2x2

z=x +y2 2

Slika 6.12. Funkcija f

x

y

x2

y2 na ogranicenoj oblasti iz primera 6.5.




6.4 Polarni koordinatni sistem

Tacka u ravni se umesto u

x

y -ravni u potpunosti može odrediti sa rastojan-

jem do koordinatnog pocetka r i uglom θ izmedju duži (potega) koji spaja posma-tranu tacku sa koordinatnim pocetkom i pozitivnog smera horizontalne ose. Tako je sada tacka opisana sa parom brojeva r θ u polarnom koordinatnom sistemu(slika 6.13).

x

sinOy=r

(r, ) ili (x,y)O

r

y

cosOx=r

O

Slika 6.13. Polarni koordinatni sistem.

Prelazak iz polarnog koordinatnog sistema u pravougli koordinatni sistem nam

daje veza x

r

cosθ i y

r

sin θ (veza iz pravouglog trougla) odakle je x

r cos θ

i y r sin θ Primetimo da je rastojanje r uvek nenegativno i da je r

x2 y2

te 0 θ

2π

b

r

O*

O

2

y

x

bO

Slika 6.14. Oblast O u

r

θ

-ravni i oblast O u

x

y

-ravni iz primera 6.6 a).

Primer 6.6. a) Neka je O oblast u x y -ravni, za cije polarne koordinate važi



6.4. Polarni koordinatni sistem 269

0 r

b i 0

θ

2π

i Ovako zadatoj oblasti O (krug sa centrom u koordi-

natnom pocetku i poluprecnika b u x y

-ravni) odgovara oblast (pravougaonik 0 b 0 2π ) O u r θ -ravni (slika 6.14).

b

r

O*

a

O

2

y

x

bO

a

Slika 6.15. Oblast O u

r

θ

-ravni i oblast O u

x

y

-ravni iz primera 6.6 b).

b) Neka je O oblast u x y -ravni, pri cemu za polarne koordinate date oblastivaži a

r

b i 0

θ 2π

Na taj nacin zadatoj oblasti O (prsten sa centrom u ko-ordinatnom pocetku i poluprecnika a i b u

x

y -ravni) odgovara oblast (pravougao-

nik

a

b 0 2π

) O u

r

θ -ravni (slika 6.15).

d

r

O*

c

a b

O y

x

O

d

c

b

a

Slika 6.16. Oblast O

u

r

θ

-ravni i oblast O u

x

y

-ravni iz primera 6.6 c).

c) Ako je O oblast u

x

y -ravni, pri cemu za polarne koordinate date oblasti

važi a r

b i c

θ

d

tada ovako zadatoj oblasti O (isecak iz prstena sa cen-trom u koordinatnom pocetku i poluprecnika a i b u

x

y

-ravni) odgovara oblast(pravougaonik a b

c d ) O u r θ -ravni (slika 6.16).




Primer 6.7. a) Jednacina

r 2 Rcos θ

π

2 θ

π

2

u polarnom koordinatnom sistemu opisuje kružnicu ca centrom u R 0 i polu-precnika R. Naime, koristeci da je x

r cos θ

y

r sin θ i r

x2

y2 dobijamo

x2

y2

r

2 R cos θ

2 R x

x2

y2

što posle male transformacije daje

x R

2

y2

R2

(videti sliku 6.17).

R

(R,0) x

y

R

(0,R)

x

y

Slika 6.17. Kružnica iz primera 6.7 a). Slika 6.18. Kružnica iz primera 6.7 b).

b) Sasvim analogno prethodnom, jednacina

r 2 R sin θ 0 θ π

u polarnom koordinatnom sistemu opisuje kružnicu ca centrom u

0

R

i polu-precnika R. Naime, koristeci opet da je x r cos θ y r sin θ i r

x2 y2

dobijamo

x2 y2

r 2 R sin θ 2 R y

x2 y2

što posle male transformacije daje

x2

y R

2

R2





Uocimo sada da oblast (sektor) O iz primera 6.6 (iii) u

x

y

-ravni odgovara

pravougaoniku O

u r θ

-ravni datom sa a θ b i c r d

Transformacija je data sa x r cos θ i y r sin θ Po analogiji sa uvedenim dvostrukim integralomu

x

y -ravni uvešcemo sada dvostruki integral u

r

θ -ravni.

Neka je sektor O

S dat sa

O S x y a r b c θ d

(slika 6.16, desno). Podela P a b

intervala

a

b

je skup tacaka

P a b

r 0

r 1

r m ako važi a

r 0 r 1

r n

b

Analogno, podela P c d

intervala

c

d

je skup tacaka

P c d

θ0

θ1

θn ako važi c

θ0 θ1

θn

d

Svaki par intervala r j 1 r j j 1 m i θi 1 θi i 1 n odredjuje jedan sektor

S i j

r j

1

r j

θi

1

θi (6.18)


r j

r j-1

iO

i-1O

S ij

Slika 6.19. Sektor S i j dat sa (6.18).

Podela P P a b

P

c d

pravougaonika a b

c d

se sastoji od svih

sektora S i j i 1 n j 1 m Tada je površina sektora S i j jednaka razlici

površine sektora ugla θi

θi

1 poluprecnika r j i površine sektora istog ugla alipoluprecnika r j 1 Kako je površina sektora ugla θ i poluprecnika r jednaka

θr 2

2 ,

to je površina sektora S i j

θi θi 1

r 2 j

2

θi θi 1

r 2 j 1

2




što uz oznaku r j 1

r j

r j

1

2

daje

r j 1 r j r j

1 θi θi

1

Neka je f funkcija sa domenom u

x

y -ravni. Ona odredjuje funkciju u

r

θ -

ravni na sledeci nacin

f r θ f r cos θ r sin θ (6.19)

Formirajmo sada sumu po svim sektorima tako što vrednost funkcije f

r

j 1

θi

pomnožimo sa površinom sektora S i j:

n

∑i 1

m

∑ j 1 f

r

j

1

θi

r

j

1

r j

r j

1

θi

θi

1

Ovo je Rimanova suma za funkciju f r θ r na pravougaoniku a b

c d Kao

posledicu prethodne analize imamo sledecu teoremu.

Teorema 6.10 Neka je O oblast u x y -ravni koja predstavlja deo sektora ˇ cije

polarne koordinate zadovoljavaju a r b i c θ d Neka je O odgovaraju´ ci

pravougaonik u

r

θ

-ravni i f ograniˇ cena i neprekidna funkcija nad O iskljuˇ cuju´ ci

možda konaˇ can broj glatkih krivih. Tada za funkciju f datu sa (6.19) važi

O

f

x

y

dxdy

O

f

r

θ

rdrd θ

Primer 6.8. Odredicemo dvostruki integral funkcije f x y

x2 y2 na oblasti

O ogranicenoj krivom y

1

x 1

2 i x-osom. Treba primetiti da je kriva

y

1

x 1

2 deo kružnice

x 1

2

y2 1 iznad x-ose. Prelaskom na po-

larne koordinate, tj. uvodenjem smene x

r cosθ i y

r sin θ

po teoremi 6.10,dobijamo

O

x2

y2 dxdy

O

r cos θ

2

r sin θ

2 rdrd θ

O

r 2 drd θ

Na slici 6.20 je data oblast O u

x

y

-koordinatnom sistemu odgovarajuca oblast O

u r θ -koordinatnom sistemu. Primetimo da ugao θ uzima vrednosti iz intervala




O*

O

cosOr = 2

x

y

1

2

O

r

y = 1 -(x-1)2

Slika 6.20. Oblast integracije iz primera 6.8 pre i posle uvodenja smene.

0

π2

Rastojanje r dobijamo iz jednacine kružnice

x 1

2

y2 1 stavljajuci

x

r cos θ i y

r sin θ tj. iz

r cos θ 1

2

r sin θ

2 1

Kako iz prethodnog imamo r

r 2cos θ

0 to je r 0 2cos θ

Sada, naosnovu (6.15), sledi

O

r 2 drd θ

π2

0

2cos θ

0r 2 dr

d θ

83

π2

0cos3 θ d θ

169

U opštem slucaju, pomocu dvostrukog integrala površina P

O

oblasti O u

2

se izražava u sledecem obliku

P

O

O

dxdy (6.20)

tj. kao dvostruki integral nad oblast O podintegralne funkcije f

x

y 1

x

y

O

što odgovara zapremini tela cija je osnova površine P

O

i visine 1.

Primer 6.9. Odredicemo površinu ravne figure, tj. oblasti O u

2 ogranicene

krivom x2 y2 3

4 x2 y2

Oblast O ogranicena krivom x2 y2 3

4 x2 y2 jedata slikom 6.21. Kako je u pitanju simetricna oblast (i u odnosu na ose i u odnosuna koordinatni pocetak), dovoljno je izracunati površinu šrafiranog dela O1 i pom-nožiti je sa 8, tj.

P

O

8P

O1

8

O1

dxdy




x

y

O1

Slika 6.21. Ravna figura x2 y2 3 4 x2 y2 iz primera 6.9.

Prelaskom na polarne koordinate, tj. uvodenjem smene x r cosθ i y r sin θ

po teoremi 6.10, dobijamo

O1

dxdy

O1

rdrd θ

gde ugao θ uzima vrednosti iz intervala

0

π

4

a rastojanje r dobijamo smenom

x r cos θ i y r sin θ u jednacinu date krive, tj. iz

r cos θ

2

r sin θ

2 3

4

r cos θ

2

r sin θ

2

Iz prethodnog sledi r 4

r 2 4sin2 θ cos2 θ

0 te imamo r 0 sin2θ

(gde je2sin θ cos θ

sin2θ). Sada imamo

O1

rdrd θ

π4

0

sin2θ

0r dr

d θ

π4

0

sin2 2θ

2 d θ

π4

0

1 cos4θ

4 d θ

π

16

te je tražena površina π

2

6.5 Definicija trostrukog integrala

Postupak pri definisanju trostrukog integrala je potpuno analogan slucaju dvo-strukog integrala, pa cemo dati samo osnovne definicije i osobine, ne ulazeci udetalje (koje citaocu ostavljamo za vežbu).



6.5. Definicija trostrukog integrala 275

Neka je P paralelopiped u

3 dat na sledeci nacin

P x y z a x b c y d e z s a b c d e s (6.21)

(slika 6.22).

x

a

b

yc d

e

s

z

P

Pijk

Slika 6.22. Paralelopiped P

3 dat sa (6.21).

Da se podsetimo, podela P

a

b

intervala

a

b

je skup tacakaP

a b

x0

x1

xn ako važi a

x0 x1

xn

b

Analogno, podela P c d

intervala c d

je skup tacaka

P

c

d

y0 y1 ym ako važi c y0 y1 ym d

te podela P e s

intervala

e

s je skup tacaka

P e s

z0

z1

zr

ako važi e

z0 z1

zr

s

Svaka trojka intervala xi 1 xi i 1 n y j 1 y j j 1 m i zk 1 zk

k 1 r odredjuje jedan paralelopiped (slika 6.22)

Pi jk

xi 1

xi

y j 1

y j

zk 1

zk




Podela P

P a b

P

c d

P

e s

paralelopipeda

a

b

c

d

e

s

3 se

sastoji od svih paralelopipeda Pi jk i

1 n j

1 m k

1 r

Ozna-cimo dužinu i-tog intervala xi

1 xi sa ∆ xi xi xi

1 j-tog intervala y j

1 y j sa∆ y j

y j y j

1 i k -tog intervala

zk

1

zk sa ∆ zk

zk zk

1 Tada je zapreminaparalelopipeda Pi jk upravo

∆ xi ∆ y j

∆ zk

y j y j 1

xi xi 1

zk zk 1

Neka je data ogranicena funkcija f :

a

b

c

d

e

s tj. funkcija za

koju postoji broj M 0 tako da je

f

x

y

z

M za svako

x

y

z

P

Definicija 6.4. Neka je f ograniˇ cena funkcija definisana na a b c d e s

neka je P neka podela paralelopipeda

a

b

c

d

e

s

i

T

ti jk i

1

n

j

1

m

k

1

r

gde su ti jk ta ˇ cke iz pravougaonika

Pi jk xi 1 xi y j 1 y j zk 1 zk

i

1

n

j

1

m

k

1

r

Tada se zbir

R

f

P

T

n

∑i 1

m

∑ j 1

r

∑k 1

f ti jk

∆ xi∆ y j∆ zk

naziva (Rimanova) integralna suma funkcije f za podelu P

Uvodimo oznake

mi jk inf t xi

1 xi y j 1 y j zk

1 zk

f t

M i jk supt xi

1 xi y j 1 y j zk

1 zk

f t

Primetimo da uvedeni brojevi mi jk i M i jk postoje zbog ogranicenosti funkcije, kojagarantuje postojanje supremuma i infimuma. Uvodimo sada donju i gornju (Dar-

buovu) sumu na sledeci nacin

D

f

P

n

∑i 1

m

∑ j 1

r

∑k 1

mi jk ∆ xi∆ y j∆ zk i G

f

P

n

∑i 1

m

∑ j 1

r

∑k 1

M i jk ∆ xi∆ y j∆ zk



6.5. Definicija trostrukog integrala 277

respektivno.

Definicija 6.5. Donji (Rimanov) integral I i gornji (Rimanov) integral I funkcije f

na

a

b

c

d

e

s

su dati sa

I supP

D f P i I inf P

G f P

gde supremum i infimum ide preko svih podela P

Funkcija f : a b

c d

e s

je (Darbu) integrabilna ako je

I

I

I (Darbuov odre¯ deni integral).

Broj I se zove trostruki integral funkcije f na a b c d e s i oznaˇ cavamo ga

sa

a

b

c

d

e

s

f

x

y

z

dxdydz (6.22)

Primetimo da I i I uvek postoje za proizvoljnu ogranicenu funkciju f : a b

c d

e f

na osnovu ogranicenosti skupova

D f P

P

i

G f P

P

Donja Darbuova suma uvek manja ili jednaka od odgovarajuceg integrala, a koji jemanji ili jednak od bilo koje odgovarajuce gornje Darbuove sume, tj. D

f P 1

I G

f

P 2

Sada možemo dati i drugu definiciju integrala.

Definicija 6.6. Neka je data funkcija f : a b c d e s Ako za svaku

podelu P paralelopipeda

a

b

c

d

e

s

i svaki izbor od n m

r taˇ caka ti jk

xi

1

xi

y j

1

y j

zk

1

zk

i 1

n

j 1

m

k 1

r

postoji

uvek ista graniˇ cna vrednost

I lim

λ P 0

n

∑i 1

m

∑ j 1

r

∑k 1

f ti jk

∆ xi∆ y j∆ zk gde je λ

P max

1

i

n1

j

m1 k r

∆ xi∆ y j∆ zk




tada se za funkciju f kaže da je Riman–integrabilna (kra´ ce: integrabilna) na par-

alelopipedu a b c d e s a broj I se zove (Rimanov) trostruki integral funk-cije f na a b c d e s i oznaˇ cavamo ga sa

a b c d e s

f x y z dxdydz

Za funkciju f kažemo da je podintegralna funkcija trostrukog integrala.

Postojanje graniˇ cne vrednosti I limλ

P

0∑n

i 1 ∑m j 1 ∑r

k 1 f ti jk ∆ xi∆ y j∆ zk

znaci da za svako ε 0 postoji δ 0 sa osobinom da za proizvoljnu podelu P saosobinom λ

P

δ i bilo koji izbor od n m

r tacaka ti jk

xi

1

xi

y j

1

y j

zk 1

zk

važi

I

n

∑i 1

m

∑ j 1

r

∑k 1

f ti jk

∆ xi∆ y j∆ zk

ε

Teorema 6.11. Riman integrabilnost (u smislu definicije 6.6) funkcije f je ekviva-

lentna sa njenom Darbu integrabilnosti (u smislu definicije 6.2) te su Rimanov i

Darbuov integral funkcije f jednaki.

Zato cemo na osnovu prethodne teoreme nadalje govoriti samo o integrabil-nosti funkcije i trostrukom integralu, izostavljajuci Rimanov, odnosno Darbuov(nekada se koristi i naziv Rimanova integrabilnost), a za oznaku trostrukog inte-

grala cemo koristiti

I

a b c d e s

f x y z dxdydz

6.6 Osobine trostrukog integrala

Neka je sada O neka oblast u

3 tako da je sadržana u nekom paralelopipeduP (slika 6.23). Neka je f : O

Oznacimo sa f O funkciju koja je jednaka sa

funkcijom f na oblasti O a jednaka nuli izvan oblasti O

Pod pretpostavkom da je f O integrabilno na P definišemo trostruki integral funkcije f nad O na sledeci nacin

O

f

x

y

z

dxdydz

P

f O

x

y

z

dxdydz

Rezimirajmo osnovne osobine trostrukog integrala:



6.6. Osobine trostrukog integrala 279

x

a

b

yc d

e

s

z

O

Slika 6.23. Oblast O

3 sadržana u paralelopipedu P.

1) Ako je a b

c d i e

s

tada

a

b

c

d

e

s

f

x

y

z

dxdydz

b

a

c

d

e

s

f

x

y

z

dxdydz

2) Ako je S površ sadržana u paralelopipedu P i f je ogranicena funkcija na P

koja je svuda nula sem možda na površi S , tada važi

S

f

x

y

z

dxdydz 0

3) Neka je O ogranicena oblast u

3 , koja je unija dve oblasti O1 i O2, koje kaozajednicke tacke mogu imati samo konacan broj površi. Ako je f ogranicenafunkcija na O koja je neprekidna na O osim možda na konacnom brojupovrši, tada važi

O

f x y z dxdydz

O1

f x y z dxdydz

O2

f x y z dxdydz

4) Ako je f integrabilna funkcija na oblasti O i k neki realan broj, tada je ifunkcija k f integrabilna na O i važi

O

k f

x

y

z

dxdydz

k

O

f

x

y

z

dxdydz




5) Ako su funkcije f i g integrabilne na oblasti O, tada važi

O

f x y z g x y z dxdydz

O

f

x

y

z

dxdydz

O

g

x

y

z

dxdydz

6) Ako je funkcija f integrabilna i nenegativna na oblasti O tada je

O

f x y z dxdydz 0

7) Ako su funkcije f i g integrabilne na oblasti O i f

x

y

z

g

x

y

z

x

y

z

O

tada je

O

f

x

y

z

dxdydz

O

g

x

y

z

dxdydz

8) Ako je f integrabilna funkcija na oblasti O tada je funkcija f takode inte-grabilna na O i važi

O

f x y z dxdydz

O

f x y z dxdydz

Trostruki integral racunamo analognim postupkom kao za dvostruki integral, tj.svodeci na uzastopne integrale. Tako trostruki integral nad paralelopipedom P

a b c d e s racunamo na sledeci nacin

P

f

x

y

z

dxdydz

b

a

d

c

s

e f

x

y

z

dz

dy

dx

gde se uzastopni integral može racunati po proizvoljnom redosledu u odnosu na

x y i z

Primer 6.10. Odrediti trostruki integral funkcije f

x

y

z sin x cos y sin z na par-

alelopipedu

P

x

y

z 0

x

π

2 0

y π

0 z

π



6.7. Cilindri cni koordinatni sistem 281

Za trostruki integral imamo

P

sin x cos y sin z dxdydz

π2

0

π

0

π

0sin x cos y sin z dz

dy

dx

Kako je π

0sin x cos y sin z dz sin x cos y

π

0sin z dz 2sin xcos y i

π

02sin x cos y dy

2sin x

π

0cos y dy

0 polazni integral je jednak nuli.

Specijalno, uz pomoc trostrukog integrala zapremina V O ogranicene oblastiO iz

3 se izražava na sledeci nacin

V O

O

dxdydz

tj. kao trostruki integral funkcije f x y z 1 x y z

3 nad datom oblasti O

6.7 Cilindri cni koordinatni sistem

Analogno polarnom koordinatnom sistemu, sada se u cilindricnom koordinat-nom sistemu tacka u prostoru umesto u

x

y

z

-ravni u potpunosti može odrediti

sa odstojanjem z date tacke do x y -ravni, rastojanjem r projekcije date tacke na

x

y -ravan od koordinatnog pocetka i uglom θ izmedju duži (potega) koji spaja

posmatranu tacku sa koordinatnim pocetkom i pozitivnog smera x-ose. Sada jetacka opisana sa trojkom brojeva

r

θ

z

u cilindricnom koordinatnom sistemu(slika 6.24).

O

x

y

z

r

z

(x,y,z) = (r, ,z)O

Slika 6.24. Tacka u cilindricnom koordinatnom sistemu.




Prelazak iz cilindricnog koordinatnog sistema u pravougli koordinatni sistem

nam daje veza

x

r cos θ

y

r sin θ

z

z

Primetimo da je rastojanje r uvek nenegativno i da je r

x2 y2

0 θ 2π

dok je z proizvoljno.

O

z

y

x

z=const.

r

Slika 6.28. Oblast O iz x y z -prostora za z z0

Analizirajmo sada ponašanje cilindricnog koordinatnog sistema kada je fiksir-ana po jedna od promenljivih. Posmatrajmo oblast O datu sa 0 θ 2π 0 r d

i 0 z

s

Za fiksiranu visinu z

z0 tacke oblasti O se nalaze na ravni z

z0


x

y

z

rO=const.

O

z

yx

r=const.

Slika 6.29. Oblast O za konstantno θ

Slika 6.30. Oblast O za konstantno r




Ako je vrednost ugla θ konstantna, tacke oblasti O se nalaze na ravni koja

sadrži z-osu i zaklapa ugao θ sa x z

-ravni (slika 6.29), dok za konstantno ras-tojanje r tacke oblasti O se nalaze na cilindru sa z-osom kao centralnom osom ipoluprecnikom r (slika 6.30).

O

b

s

z

r

O*

2

x

y

z

b

sO

Slika 6.25. Oblasti O iz

r

θ

z

-prostora i O iz

x

y

z

-prostora iz primera 6.11 a).

Primer 6.11. a) Neka je O oblast u

x

y

z -prostoru za cije cilindricne koordinate

važi 0 r

b

0 θ

2π i 0

z s

Na taj nacin zadatoj oblasti O (valjak sabazom koji je krug sa centrom u koordinatnom pocetku, poluprecnika b i visine s u x y z -ravni) odgovara oblast O (paralelopiped 0 b 0 2π 0 s ) u r θ z -ravni (videti sliku 6.25).

O

b

s

z

r

O*

a

2

x

y

z

sO

cb

Slika 6.26. Oblasti O iz r θ z -prostora i O iz x y z -prostora iz primera 6.11 b).

b) Ako je O oblast u x y z -ravni, cije cilindricne koordinate zadovoljavaju a




r b

0 θ

2π i 0

z

s

na taj nacin datoj oblasti O (cev cija je osnova

prsten sa centrom u koordinatnom pocetku i poluprecnika a i b, i visine s u x y z

-ravni) odgovara oblast O (paralelopiped a b 0 2π 0 s ) u r θ z -ravni(slika 6.26).

O

b

d

s

z

r

O*

c

a

e

x

y

z

Os

e

cd

a-b

Slika 6.27. Oblasti O iz

r

θ

z -prostora i O iz

x

y

z -prostora iz primera 6.11 c).

c) Neka je O oblast u

x

y

z -prostoru za cije cilindricne koordinate važi a

r

b,

c θ

d i e

z

s Ovako zadatoj oblasti O (deo cevi cija je osnova prsten

sa centrom u koordinatnom pocetku i poluprecnika a i b i visine izmedju e i s u

x

y

z

-ravni) odgovara oblast O

(paralelopiped

a

b

c

d

e

s

) u

r

θ

z

-prostora (slika 6.27).

Uocimo sada elementarnu cilindricnu oblast O iz primera 6.11 c) u x y z -ravni, koja odgovara paralelopipedu O u

r

θ

z -ravni datom sa r 1

r r 2

θ1

θ θ2 i z1

z z2 Transformacija je data sa x

r cos θ, y

r sin θ i z

z

Po analogiji sa uvedenim trostrukim integralom u

x

y

z

-ravni uvešcemo sadatrostruki integral u r θ z -ravni.

Primetimo da je zapremina elementarne cilindricne oblasti O jednaka površiniosnove puta visina. Površina baze je površina sektora, koju smo izracunali ispitu- juci polarni koordinatni sistem (poglavlje 6.4). Kako je visina jednaka z2 z1, to

je zapremina elementarne cilindricne oblasti O data sa

z2 z1

r 22 r 212

θ2 θ1

tj.r z2 z1 r 2 r 1 θ2 θ1




gde je

r r 2

r 12

Formiranjem podela po r

θ i z, koristeci prethodno izracunatu zapreminu za ele-mentarnu cilindricnu oblast, dolazimo do analognih formula kao za polarni koor-dinatni sistem.

Teorema 6.12 Neka je O oblast u x y z -ravni koja predstavlja deo oblasti ˇ cije

cilindriˇ cne koordinate zadovoljavaju

a θ

b

c r

d

e z

s

Neka je O odgovaraju´ ci paralelopiped u

r

θ

z

-ravni i f ograniˇ cena i neprekidna

funkcija nad O iskljuˇ cuju´ ci možda konaˇ can broj glatkih površi. Tada za funkciju f

datu sa

f r θ z f r cos θ r sin θ z

važi

O

f x y z dxdydz

O

f r θ z rdzdrd θ

Primer 6.12. Izracunacemo trostruki integral funkcije f x y z x2 z y2 z nadoblasti O ogranicenoj paraboloidom z x2

y2 ravni z 4 i x z -ravni uz uslov

y

0 (videti sliku 6.31). Prelaskom na cilindricne koordinate, tj. za x r cos θ

y

r sin θ i z

z po teoremi 6.12, imamo

O

x2 z

y2 z

dxdydz

O

r cos θ

2

r sin θ

2

zr dzdrd θ

O

r 3 z dzdrd θ

Kako je z izmedu paraboloida i ravni z 4 (slika 6.31), tj.

x2 y2

z 4

po uvodenju cilindricnih koordinata dobijamo r 2

z 4 Treba primetiti da je u

preseku datog paraboloida i ravni z 4 kružnica x2

y2 4 koja leži na ravni

z 4 Projekcija na x y -ravan ovako dobijene kružnice za y 0 je kriva y

4 x2

tj. deo kružnice x2

y2 4 koji se nalazi iznad x-ose. Sada, projekcija

na

x

y -ravan cele oblasti O je šrafirana oblast data slikom 6.32. Ugao θ uzima

vrednosti iz intervala

0

π

a za rastojanje r iz jednacine

4 x2 y2

r cos θ

2 r sin θ

2 r 2




x

y

z

22

4

x

y

2

2

-2

Slika 6.31. Oblast O iz primera 6.12. Slika 6.32. Projekcija O na xy-ravan.

sledi r 0 2 te imamo

O

r 3 z dzdrd θ

π

0

2

0

4

r 2r 3 z dz

dr

d θ

π

0

2

0

16 r 4

2 r 3 dr

d θ

π

0

2r 4

116r

8

2

0 d θ

24

π

0 d θ

16π

Primer 6.13. Izracunacemo zapreminu oblasti O

3 ogranicene cilindrom x2

y2 1 konusom z 1

x2 y2 i x y -ravni (slika 6.33). Prelaskom na

cilindricne koordinate x

r cos θ

y

r sin θ i z

z po teoremi 6.12, tražena

zapremina se dobija kao

V

O

O

rdzdrd θ

te je neophodno odrediti intervale u kojima se nalaze z r i θ za datu oblast. Kako

za z važi (slika 6.33)0

z

1

x2 y2

po uvodenju cilindricnih koordinata dobijamo z 0 1

r Presek konusa z

1

x2

y2 i cilindra x2

y2

1 je kružnica x2

y2

1 koja leži na ravni z

2

Kako je projekcija presecne kružnice na x y -ravan takode kružnica x2 y2

1



6.8. Sferni koordinatni sistem 287

x

y

z

11

1

2

x

y

1

1

-1

-1

Slika 6.33. Oblast O iz primera 6.13. Slika 6.34. Projekcija O na xy-ravan.

projekcija cele zadate oblasti O je šrafirana oblast sa slike 6.34, tj. jedinicni krug.Vidimo da ugao θ pripada intervalu 0 2π dok za rastojanje r važi

1

x2

y2

r cos θ

2

r sin θ

2

r 2

tj. r 0 1 Sada imamo

V

O

O

rdzdrd θ

2π

0

1

0

1 r

0r dz

dr

d θ

2π

0

1

0

r r 2

dr

d θ

2π

0

r 2

2

r 3

3

1

0d θ

56

2π

0d θ

53

π

6.8 Sferni koordinatni sistem

Analogno cilindricnom koordinatnom sistemu, sada se u sfernom koordinat-nom sistemu tacka u prostoru umesto u

x

y

z -ravni u potpunosti može odrediti sa

odstojanjem ρ tacke do koordinatnog pocetka, uglom θ izmedju projekcije r potegaρ u

x

y

-ravni i pozitivnog smera x-ose, a ϕ je ugao potega ρ prema z osi. Tako jesada tacka opisana sa trojkom brojeva ρ θ ϕ u sfernom koordinatnom sistemu,




gde

ρ 0 0 ϕ π 0 θ 2π

(videti sliku 6.35). Prelazak iz sfernog koordinatnog sistema u pravougli koor-

O

(x,y,z)

x

y

z

Slika 6.35. Tacka u sfernom koordinatnom sistemu.

dinatni sistem dobicemo koristeci da je rastojanje tacke

x

y

z

do koordinatnogpocetka dato sa

ρ

x2 y2

z2 (6.23)

te da je z ρcos ϕ (iz pravouglog trougla). Zamenom z ρcosϕ u (6.23) dobijamo

x2 y2

ρ2 z2

ρ2 sin2 ϕ

te se odatle projekcija r dobija u sledecem obliku

r

x2

y2

ρsin ϕ

Kako smo kod polarnog koordinatnog sistema imali x r cos θ i y r sin θ tozamenom r

ρsin ϕ konacno dobijamo

x

ρ sin ϕ cos θ

y

ρsin ϕ sin θ

z

ρcos ϕ




Sada je lako videti da, na primer, sfera x2

y2

z2

R2 sa centrom u koordinatnom

pocetku, poluprecnika R u sfernim koordinatama ima jednacinu ρ R uz 0

ϕ π i 0 θ 2π (rastojanje svih tacaka na sferi do koordinatnog pocetka je R).Odatle je jasno da tacke u lopti poluprecnika R (njena jednacina u

x

y

z -prostoru

je x2

y2

z2

R2) zadovoljavaju ρ R za 0

ϕ π i 0

θ 2π

Posmatrajmo oblast O u x y z -prostoru, koja odgovara paralelopipedu O u ρ θ ϕ -ravni datom sa 0 ρ s 0 θ 2π 0 ϕ π U specijalnom slucaju,

z

x

y

O

=const.

Slika 6.36. Oblast O iz x y z -prostora za konstantno ϕ

za fiksiranu vrednost ugla ϕ tacke oblasti O se nalaze na konusu datom slikom6.36. Ako je vrednost ugla θ konstantna, tacke oblasti O se nalaze na ravni kojasadrži z-osu i zaklapa ugao θ sa

x

z -ravni datoj slikom 6.37, dok za konstantno

rastojanje ρ tacke oblasti O se nalaze na sferi poluprecnika ρ datoj slikom 6.38.Slicnom analizom kao i u slucaju cilindricnog koordinatnog sistem dolazimo

do sledeceg rezultata.

Teorema 6.13 Neka je O oblast u

x

y

z

-prostoru koja predstavlja deo oblasti

ˇ cije sferne koordinate zadovoljavaju

a θ b c ϕ d e ρ s

Neka je O odgovaraju´ ci paralelopiped u

ρ

θ

ϕ

-prostoru i f ograniˇ cena i nepre-

kidna funkcija nad O iskljuˇ cuju´ ci možda konaˇ can broj glatkih površi. Tada za

funkciju f : a b c d e s datu na slede´ ci naˇ cin

f ρ θ ϕ f ρsin ϕ cosθ ρ sin ϕ sin θ ρcos ϕ




O

=const.

x

y

z

O =const.

x

y

z

Slika 6.37. Oblast O za konstantno θ Slika 6.38. Oblast O za konstantno ρ

važi

O

f x y z dxdydz

O

f ρ θ ϕ ρ2 sin ϕ d ρd ϕd θ

Primer 6.14. Odredicemo trostruki integral funkcije f

x

y

z

z nad oblasti ogra-nicene sferom x2

y2 z2

z 0 i konusom z2 x2

y2 (slika 6.39).Prelaskom na sferni koordinatni sistem, kako je ρ2

x2 y2

z2 i z ρ cos ϕ,to zamenom ovih izraza u x2

y2 z2

z 0 dobijamo jednacinu sfere u sfernimkordinatama ρ

cosϕ Kako je jednacina konusa ϕ

π4 (zamenom veza x

y

z

sa sfernim koordinatama u jednacinu z2

x2

y2 dobijamo sin ϕ cos ϕ, cije je

jedino rešenje za 0 ϕ

π dato sa ϕ

π4 ). Zato je oblast integracije O sa tackama

x y z , cije sferne koordinate ρ θ ϕ zadovoljavaju uslove 0 ρ

cos ϕ 0

θ 2π 0 ϕ

π4 Odatle imamo

O

z dzdydx

2π

0

π4

0

cos ϕ

0ρ3 sin ϕ cosϕ d ρ

d ϕ

d θ

2π

0

π4

0

cos5 ϕ sin ϕ

4 d ϕ

d θ

7192

2π

0d θ

7π

96




x

y

z

(0,0,0.5)

Slika 6.39. Oblast integracije iz primera 6.14.

Primer 6.15. Izracunacemo trostruki integral funkcije f x y z

x2 y2

z2

nad oblasti ogranicenom delom sferom x2 y 2

2 z2

4 iznad x y -ravni(slika 6.40). Prelaskom na sferne koordinate podintegralna funkcija prelazi u funk-ciju f

ρ

θ

ϕ

ρ te traženi integral postaje

O

f x y z dxdydz

O

ρ3 sin ϕ d ρd ϕd θ

Zamenom sfernih koordinata u jednacinu date sfere dobijamo

ρ2 4ρsin ϕ cosθ 0

te ρ 0 4sin ϕ cos θ

Kako se cela oblast nalazi iznad

x

y -ravni, tj. iznad

ravni z 0 iz ρcos ϕ 0 sledi ϕ

π

2 te ϕ

0

π

2

Kako je za celu oblast

y 0 ugao θ pravi pola kruga (iz y 0 prelaskom na sferne koordinate, sledi

ρ sin ϕ sin θ 0 odnosno θ π), tj. θ 0 π Sada imamo

O

f

x

y

z

dxdydz

π

0

π

2

0

4sin ϕcos θ

0ρ3 sin ϕ d ρ

d ϕ

d θ

π

0

π2

0sin5 ϕ cos4 θ d ϕ

d θ

815

π

0cos4 θ d θ

π

5




x

y

z

42

Slika 6.40. Oblast integracije iz primera 6.15.

6.9 Grinova teorema

U ovom poglavlju dajemo vezu izmedu dvostrukog integrala i krivolinijskogintegrala nad zatvorenom putanjom.

Neka je dato vektorsko polje F na otvorenom skupu O

2 sa dve koordinatnefunkcije f i g, tj.

F x y f x y g x y

gde su f i g realne funkcije definisane na O Pretpostavimo da u daljem tekstu sve

posmatrane funkcije pripadaju klasi C 1, tj. imaju neprekidne parcijalne izvode.Neka je c :

a

b

2 kriva koja leži na otvorenom skupu O

2

Kao što jevec receno, krivolinijski integral vektorskog polja F duž krive c je dat sa

cF

b

aF c

t c

t

dt

c f

x

y

dx

g

x

y

dy

c f dx

g dy

Naredna teorema nam daje vezu izmedu krivolinijskog integrala vektorskog poljaduž zatvorene krive i dvostrukog integrala.

Teorema 6.14 Grinova3 teorema. Neka su f i g realne funkcije definisane na

oblasti A

2 koja je unutrašnjost zatvorene putanje c : a b

2 parametri-

zovane suprotno kretanju kazaljke na satu (slika 6.41). Tada važi

c f dx

g dy

A

∂g

∂ x

∂ f

∂ y

dxdy (6.24)

3G. Green (1793-1841)



6.9. Grinova teorema 293

c

O

x

y

A

Slika 6.41. Oblast A kao unutrašnjost zatvorene putanje c

Dokaz. Dokaz Grinove teoreme je dat samo za dva specijalna slucaja kad su ioblast A i parametrizacija putanje c : a b

2 dati eksplicitno.Slu caj 1. Neka je A oblast koju cine tacke x y za koje važi

a x

b i h1 x

y

h2 x

za date funkvije h1 i h2 Pod ovim pretpostavkama, granica oblasti A se sastoji odcetiri dela i to od dve krive c1 i c2 parametrizovane sa

c1

t

t

h1

t i c2

t

t

h2

t za a

t

b

i dva vertikalna segmenta c3 i c4 data sac3

t

a

t za h1

a

t h2

a

ic4

t

b

t za h1

b

t h2

b

Sada imamo

A

∂ f

∂ y dydx

b

a

h2 x

h1

x

D2 f

x

y

dydx

b

a

f

x

y

h2 x

h1

x

dx

b

a

f

x

h2

x

f

x

h1

x

dx

c2

f dx

c1

f dx




Kako je c2 kriva suprotna za c

2 (slika 6.42), dobijamo

A

∂ f

∂ y dydx

c

2

f dx

c1

f dx (6.25)

Za vertikalne segmente je x konstantno, te je dx

dt 0 i važi

c3

f dx

c

3

f dx 0 i

c4

f d x 0 (6.26)

gde je c

3 kriva suprotna za c3 Sada, kako je granica oblasti A orijentisana suprotnood kretanja kazaljke na satu (slika 6.42), za putanju

c

c1

c4

c

2

c

3

iz (5.5), (6.25) i (6.26) sledi

c f dx

c1

f dx

c4

f dx

c

2

f dx

c

3

f dx

c1

f dx

c

2

f d x

A

∂ f

∂ y dydx

Dokaz za drugu polovinu jednakosti (6.24), tj. za

cg dy

A

∂g∂ x

dydx je analo-gan.

y

c

d

A

c2

c3

c1-

c4-

xa b x

y

A

c1

c4

c2-

c3-

h (x)2

h (x)1

h (y)1

h (y)2

Slika 6.42. Oblast A za slucaj 1. Slika 6.43. Oblast A za slucaj 2.

Slu caj 2. Pretpostavimo da je sada oblast A data sa

c y d i h1 y x h2 y




za date funkcije h1 i h2

Neka je rub oblasti A putanja orjentisana suprotno od

kretanja kazaljke na satu oblika

c

c

1 c3 c2 c

4

(slika 6.43), gde su krive c1 i c2 date sa

c1

t

h1

t

t i c2

t

h2

t

t za c

t

d

a vertikalni segmenti c3 i c4 sa

c3

t

t

c

za h1

c

t h2

c

i c4 t t d za h1 d t h2 d

Slicno prvom slucaju, imamo

A

∂g

∂ x dydx

d

c

h2 y

h1 y

D1g x y dxdy

d

c

g x y

h2 y

h1

y

dy

d

c

f

h2

y

y

f

h1

y

y

dy

c2

g dy

c1

g dy

c2

g dy

c

1

g dy

Integracijom funkcije g duž horizontalnih segmenata dobijamo nulu, te je

cg dy

c

1

g dy

c3

g dy

c2

g dy

c

4

g dy

c

1

g dy

c2

g dy

A

∂g

∂ x dydx

(6.27)

Analogno se pokazuje

c f d x

A

∂ f

∂ y dydx

što zajedno sa (6.27) daje traženu

jednakost (6.24).




Primer 6.16. Pomocu Grinove formule izracunacemo krivolinijski integral vek-

torskog polja F x y

6 y x2

2005 y

7 x

duž elipse 4 x2 y2

4 orijentisanesuprotno kretanju kazaljke na satu (slika 6.44). Po teoremi 6.14 imamo

c 6 y x2

dx 2005 y 7 x dy

A

∂ 2005 y

7 x

∂ x

∂ 6 y

x2

∂ y

dydx

Adydx

P

A

gde je P A 2π površina elipse 4 x2 y2

4 (dvostruki integral kao površinaravnog lika, videti (6.20)).

-2

y

A

1-1

2

c y

x

3

1 5

Ac

Slika 6.44. Oblast A iz primera 6.16. Slika 6.45. Oblast A iz primera 6.17.


F x y

2 x2 y 3 x3 6sin y x3

duž ruba pravougaonika A datog sa 1 x

5 i 0

y

3 i orijentisanog suprotno

kretanju kazaljke na satu (slika 6.45). Sada, iz teoreme 6.14, sledi

cF

c

2 x2 y

3 x3

dx

6sin y

x3

dy

A

∂ 6sin y

x3

∂ x

∂ 2 x2 y

3 x3

∂ y

dydx

A x2 dydx

5

1

3

0 x2 dy

dx 125




Dok je u teoremi 6.14 neophodno da rub oblast bude zatvorena putanja parametri-

zovana suprotno kretanju kazaljke na satu, naredna teorema, koju navodimo bezdokaza, ima nešto opštije pretpostavke.

Ac1

A c1-

Slika 6.46. Oblast A levo od krive c1 i desno od krive c

1

Pretpostavimo da je data oblast A ciji se rub sastoji od konacnog broja krivih ipretpostvimo da se te krive dodiruju samo u krajnjim tackama. Neka je c1 jedna odtih krivih i oblast A leži ili sa leve ili sa desne strane krive c1 Ako su oblast i krivadati kao na slici 6.46, kažemo da A leži levo od krive c1 Neka je c

1 suprotna krivaza c1

Tada, oblast A leži desno od c

1

Teorema 6.15 Neka je A oblast u ravni ˇ ciji se rub c sastoji od konaˇ cnog broja

krivih, tj. c c1 cn

Pretpostavimo da je svaka rubna kriva orijentisana

tako da A leži levo od date krive. Neka su f i g realne funkcije definisane na A.

Tada važi

c f dx

g dy

A

∂g

∂ x

∂ f

∂ y

dxdy

Treba naglasiti da nije neophodno da rubne krive c1 cn bude povezane,odnosno, da formiraju putanju. Takvu mogucnost ilustruje naredni primer.

Primer 6.18. Neka je A oblast izmedu dve kružnice istog centra, obe orijentisanesuprotno kretanju kazaljke na satu (slika 6.47). Rub oblasti A se sastoji od dvekrive s tim što A leži levo od krive c1 i desno od krive c2 te da bi mogli primenititeoremu 6.15 neophodno je za rubnu krivu uzeti

c

c1 c

2

gde je c

2 kružnica orijentisana u smeru kretanja kazaljke na satu.

Neka je F

f

g

proizvoljno vektorsko polje definisano na oblasti A izprimera 6.18. Kako je rubna kriva data sa c

c1 c

2

za krivolinijski integral




c1

c2

A

Slika 6.47. Oblast A iz primera 6.18.

polja F nad krivom c važi

c f dx g dy

c1

f dx g dy

c

2

f dx g dy

A

∂g

∂ x

∂ f

∂ y

dxdy

tj.

c1

f dx g dy

c2

f dx g dy

A

∂g

∂ x

∂ f

∂ y

dxdy

Ako dodatno pretpostavimo da za posmatrano vektorsko polje F

f

g važi i

∂g

∂ x

∂ f

∂ y (6.28)

dobijamo

c1

f dx

g dy

c2

f dx

g dy

tj. krivolinijski integral polja F koje ispunjava uslov (6.28) nad zatvorenom putanjom ne zavisi od izbora te zatvorene putanje.

Dodatno, ako je F potencijalno vektorsko polje, integrali iz prethodne jed-nakosti su jednaki nuli.

Primer 6.19. Posmatrajmo vektorsko polje iz primera 5.8

F

x

y

y

x2 y2

x

x2 y2

Odredicemo krivolinijski integral datog polja duž putanje c date slikom 6.48.Putanja c se sastoji od krivih c1

c2 i c3 koje su orijentisane suprotno kretanjukazaljke na satu, ali za njih nije data parametrizacija. Moguce je uociti kružnicu



6.10. Zadaci 299

c1

c2

c3

c1

c2

c3

c4

x


malog poluprecnika c4 sa centrom u tacki x orijentisanu suprotno kretanju kazaljke

na satu. Neka je A oblast izmedu date putanje c c1 c2 c3 i uocene kružnicec4 (slika 6.49). Da bi se oblast A nalazila levo od rubne krive, za rubnu krivu jeneophodno uzeti

c1 c2 c3 c

4

pa po teoremi 6.15 imamo

c1 c2 c3 c

4

F

cF

c

4

F

A

∂g

∂ x

∂ f

∂ y

dxdy

Posmatrano vektorsko polje ispunjava uslov (6.28), te je

A

∂g

∂ x

∂ f

∂ y

dxdy

0 i

cF

c4

F (6.29)

Kako je integral sa desne strane jednakosti vec izracunat u primeru 5.8 i iznosi 2π

traženo rešenje je

cF 2π

6.10 Zadaci

Izracunati sledece dvostruke integrale.

1.

0 5 xy dx dy ako je O

x y 0 x 1 x2 y

x

2.

0e xy dxdy ako je O

x

y 1

y 5

y x

y3

3.

0

x2 6 y

dxdy ako je oblast O ogravicena sa x

y2 i x 2 3 y2




4.

0

x

1

dxdy na oblasti O ogranicenoj kružnicom x2

y2

16

5.

0 y 1 dxdy na oblasti O ogranicenoj kružnicom x2

y2 9 i pravama

y x i y 0 za x y 0

6.

0sin

x2

y2

dxdy na oblasti O datoj sa 2 x2

y2 25

7. Izracunati površinu oblasti O ogranicene kružnicom r 6sin θ

8. Razmeni redosled integracije u uzastopnom integralu:

a) 1

0

3

3 y

e2 x

1 dx

dy b) 1

0

1

y

x3 1 dx

dy

Izracunati sledece trostruke integrale.

9.

0 zy dx dy dz ako je O x y z 0 z 2 0 y 2 z 0 x z 2

10.

0 x dx dy dz ako je oblast O ogranicena sa x

0

y 0

z 0 i 3 x

2 y

y 6

11.

0 x dx dy dz ako je oblast O ogranicena sa paraboloidom x 4 y2

4 z2 i

ravni x

6

12.

0

x

2 y

dxdydz ako je oblast O ogranicena sa paraboloicnim cilin-

drom y

x2 i ravnima x

z

x

y i z 0

13.

0 2 x2

2 y2 dxdydz ako je oblast O ogranicena sa cilindrom x2

y2

4 i ravnima z

1 i z

7

14.

0

2 x2 2 y2

2 z2 dxdydz ako je oblast O ogranicena paraboloidom

z 9 y2 x2 i x y -ravni.

15. Odrediti zapreminu ogranicenu površima z x2 y2 i z 36 3 x2

3 y2

16. Odrediti zapreminu ogranicenu površima z

x2 y2 i z 5



Glava 7

Diferencijabilnost vektorskog

polja i smena promenljivih uvišestrukom integralu

7.1 Jakobijan

Neka je O otvoren podskup od

n Neka je F : O

m preslikavanje kojepredstavljamo sa koordinatnim funkcijama f 1

f m gde f i :

n te koje

n-torki x x1 xn pridružuje m-torku F x f 1 x f m x Preslikavanje

F se naziva vektorska funkcija n realnih promenljivih. Specijalno, za m n pres-likavanje F je vektorsko polje dato definicijom 4.25.

Pod pretpostavkom da postoje prvi parcijalni izvodi za funkcije f i i 1 m

uvodimo sledeci pojam.

Definicija 7.1. Jakobijeva matrica J F x je matrica oblika

J F x

∂ f 1

∂ x1

∂ f 1

∂ x2

∂ f 1

∂ xn

∂ f 2

∂ x1

∂ f 2

∂ x2

∂ f 2

∂ xn

......

...

∂ f m

∂ x1

∂ f m

∂ x2

∂ f m

∂ xn

301



302Glava 7. Diferencijabilnost vektorskog polja i smena promenljivih u integralu

Primer 7.1. Odredicemo Jakobijevu matricu za vektorske funkcije

F x y xy y3 2 y2

x3 3 y i G x y z x 2 z4

xyz3

Primetimo da je F vektorska funkcija koja uredenim parovima iz

2 dodeljujeuredene trojke iz

3 dok funkcija G tackama iz

3 dodeljuje uredene parova iz

2 Sada, iz definicije 7.1, sledi

J F x

y x 3 y2

0 4 y

3 x2 3

i J G x

1 0 8 z3

yz3 xz3 3 xyz2

Primer 7.2 Za funkciju F :

2

2 (vektorsko polje) definisanu na sledeci nacin

F

x

y

x3

y2

e xy

Jakobijeva matrica je data sa

J F

x

y

∂ x3 y2

∂ x

∂ x3 y2

∂ y

∂e xy

∂ x

∂e xy

∂ y

3 x2 2 y

ye xy xe xy

Primetimo da se za realnu funkciju f : O od n promenljivih Jakobijevamatrica, data sa

∂ f

∂ x1

∂ f

∂ xn

se svodi na gradijent ∇ f x dat definicijom 4.12.

Primer 7.3 Za identicno preslikavanje I :

n

n dato sa

I x x1 x2 xn



7.1. Jakobijan 303

imamo da je Jakobijeva matrica

J I x

∂ x1

∂ x1

∂ x1

∂ x2

∂ x1

∂ xn

∂ x2

∂ x1

∂ x2

∂ x2

∂ x2

∂ xn

... ...

...

∂ xn

∂ x1

∂ xn

∂ x2

∂ xn

∂ xn

1 0 00 1 0...

...

...0 0 1

Neka je sada F : O

n

O

n vektorsko polje dato koordinatnim funkci-

jama f 1 f n, gde f i :

n

tj. preslikavanje koje n-torki x x1 xn

pridružuje n-torku F x f 1 x f n x Tada je Jakobijeva matrica J F x0

kvadratna matrica, te možemo odrediti njenu determinantu.

Definicija 7.2 Jakobijeva determinanta, ili jakobijan , je determinanta Jakobijeve

matrice

∆F x

det J F x

Primer 7.4 Za funkciju F iz primera 7.2, jakobijan je dat sa

∆F x y

3 x

2

2 y ye xy xe xy

3 x3e xy 2 y2e xy

Primer 7.5 Za preslikavanje polarnih koordinata F :

2

2 definisano na sledecinacin

F

r

θ

r cos θ

r sin θ

Jakobijeva matrica je

J F

r

θ

∂r cos θ

∂r

∂r cos θ

∂θ

∂r sin θ

∂r

∂r sin θ

∂θ

cosθ r sin θ

sin θ r cos θ

pa je odgovarajuci jakobijan dat sa

∆F r θ

cos θ r sin θ

sin θ r cos θ

r




Primer 7.6. Posmatrajmo vektorsko polje F :

3

3 dato sa

F ρ θ ϕ ρsin ϕ cos θ ρsin ϕ sin θ ρcos ϕ

(preslikavanje sfernih koordinata). Kako je Jakobijeva matrica data sa

J F

ρ

θ

ϕ

∂ρsin ϕ cosθ

∂r

∂ρ sin ϕ cos θ

∂θ

∂ρ sin ϕ cosθ

∂ϕ

∂ρ sin ϕ sin θ

∂r

∂ρsin ϕ sin θ

∂θ

∂ρ sin ϕ sin θ

∂ϕ

∂r cosϕ

∂r

∂r cos ϕ

∂θ

∂r cos ϕ

∂ϕ

sin ϕ cos θ ρ sin ϕ sin θ ρ cosϕ cosθ

sin ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ ρcos ϕ sin θ

cosϕ 0 ρ cosϕ

jakobijan za preslikavanje sfernih koordinata je

∆F r θ

sin ϕ cos θ ρsin ϕ sin θ ρcos ϕ cos θ

sin ϕ sin θ ρ sin ϕ cosθ ρcos ϕ sin θ

cosϕ 0 ρ cosϕ

ρ2 sin ϕ

7.2 Diferencijabilnost vektorskih funkcija

U ovom poglavlju dajemo uopštenje pojma diferencijabilnosti iz poglavlja 4.3.1(definicija 4.15). Sada, sa realnih funkcija n promenljivih prelazimo na vektorskefunkcije n promenljivih koje za vrednosti imaju m-torke tacaka. Neka je O otvorenpodskup u prostoru

n i neka je data funkcija F : O

m predstavljena sa koordi-natnim funkcijama f 1 f m gde f i :

n

Definicija 7.3 Funkcija F : O

m gde je O otvoren podskup od

n je diferenci-

jabilna u taˇ cki x0 O ako postoji Jakobijeva matrica J F x0

i ako postoji funkcija

r : n m , data za h ∆ x1 ∆ x2 ∆ xn sa

r h

r 1 h

r 2 h

...

r n h



7.3. Diferencijabilnost složene vektorske funkcije 305

takva da važi

lim h 0

r h 0

(u smislu metrike u

n ) i

F x0 h

F x0 J F x0

h

h

r h

gde je h

∆ x1

2 ∆ x2

2 ∆ xn

2 norma vektora h Vektor h posma-

tramo kao vektor kolonu

h

∆ x1

∆ x2

...

∆ xn

i imamo da je

J F

x0 h

∂ f 1

∂ x1∆ x1

∂ f 1

∂ x2∆ x2

∂ f 1

∂ xn

∆ xn

∂ f 2

∂ x1∆ x1

∂ f 2

∂ x2∆ x2

∂ f 2

∂ xn

∆ xn

...

∂ f m

∂ x1∆ x1

∂ f m

∂ x2∆ x2

∂ f m

∂ xn

∆ xn

Postoji tesna veza izmedu diferencijabilnosti funkcije F i diferencijabilnostikoordinatnih funkcija, što se i vidi iz naredne teoreme koju navodimo bez dokaza.

Teorema 7.1 Ako su za funkcija F : O

m njene koordinatne funkcije f 1

f ndiferencijabilne u taˇ cki x0 O tada je i funkcija F diferencijabilna u taˇ cki x0

7.3 Diferencijabilnost složene vektorske funkcije

Izvod složene funkcije smo dosada razmatrali kao izvod kompozicije f Æ c, pri

cemu je c bila funkcija koja je preslikavala realne brojeve iz nekog intervala u n-torke iz

n

a funkcija f je n-torkama pridruživala realan broj. U poglavlju 4.3.3 je pokazana da, ako je f realna funkcija definisana i diferencijabilna na otvorenom




skupu O

n i c diferencijabilna funkcija definisana u okolini tacke t

α

β

sa vrednostima u skupu O

tada kompozicija f c t

je diferencijabilna funkcija ivaži

d f c

t

dt ∇ f c t c

t

gde je ∇ f c

t c

t skalarni proizvod vektora ∇ f

c

t i c

t

Sada dajemo uopštenje prethodnog rezultat za kompoziciju vektorskih funkcijaG Æ F gde su F : O U i G : U

s vektorske funkcije definisane na otvorenomskup O

n i otvorenom skup U

m redom (slika 7.1).

xF(x) G(F(x))

F G

O U

R I n

R I m

R I s

Slika 7.1. Kompozicija vektorskih funkcija.

Teorema 7.2 Neka je O otvoren skup u n i neka je U otvoren skup u m Akosu F : O

U i G : U

s dve takve funkcije da je F diferencijabilno u taˇ cki

x0 O i G diferencijabilno u taˇ cki F x0

tada je njihova kompozicija G Æ F

diferencijabilna funkcija u taˇ cki x0 i važi

J GÆ F

x0

J G

F

x0

J F

x0

Primer 7.7. Odredicemo jakobijevu matricu za preslikavanje dato sa H x y

uv w u vw pri cenu je

u

x

y

3 xy2

v

x

y

x3

y 1

i w

x

y

x y

x

y

2

u tacki 1 1 Dato preslikavanje se može zapisati kao kompozicija

H x y G Æ F x y



7.3. Diferencijabilnost složene vektorske funkcije 307

gde je F

x

y

3 xy2

x3

y 1

x y

i G

u

v

w

uv

w

u

vw

x

y

2 u v w 3

te je potrebno odrediti J GÆ F x y

Kako je

J G F

x

y

J G

u

x

y

v

x

y

w

x

y

v

x

y

u

x

y 1

1 w

x

y

v

x

y

x3

y 1 3 x2 y 1

1 x y x3

y 1

i

J F x y

6 xy 3 x2

3 x2 y

1 x3

1 1

po prethodnoj teoremi imamo

J H

x

y

J GÆ

F

x

y

J G F

x

y

J F

x

y

15 x4 y

y 1 1 3 x5

2 y 1 1

6 xy

x2

4 x 3 y

y 1

x4

3 x2

2 x3 y

1

Tražena jakobijeva matrica preslikavanja H u tacki 1 1 je

J H

1

1

1 16 3

Primer 7.8. Odredicemo parcijalne izvode funkcije h

x

y

g

u

x

y

v

x

y

uv

u

v ako je u

x

y

x

sin y i v

x

y

e xy

Kako je funkcija h realna funkcijadve realne promenljive, Jakobijeva matrica sa poklapa sa gradijentom iz kojegmožemo lako odrediti tražene parcijalne izvode (videti definiciju 4.11). Trebaprimetiti da je funkcija f kompozicija jedne realne funkcije dve promenljive i jednog vektorskog polja iz

2

tj. h

x

y

gÆ F

x

y

gde je g

u

v

uv

u

v

u v

2 i F x y x sin y e xy

x y

2 Sada imamo

J g F

x

y

J g

u

x

y

v

x

y

v

x

y 1

u

x

u 1

e xy 1

x sin y

1

i

J F

x

y

1 cos y

ye xy xe xy

pa iz teoreme 7.2 sledi

∇h

x

y

J h

x

y

J gÆ F

x

y

e xy

1

x

sin y

1

1 cos y

ye xy xe xy

e xy 1 x sin y 1 ye xy

e xy 1 cos y x sin y 1 xe xy




Traženi parcijalni izvodi su

D1h x y e xy 1 x sin y 1 ye xy

i D2h x y e xy

1 cos y x sin y 1 xe xy

7.4 Diferencijabilnost inverzne funkcije

Neka je O otvoren podskup od

n Neka je F : O

n preslikavanje kojepredstavljamo sa koordinatnim funkcijama f 1

f n gde f i :

n te koje

n-torki x

x1

xn

pridružuje n-torku F x

f 1

x

f n

x

tj. neka je F

vektorsko polje na

n Pod pretpostavkom da postoje neprekidni prvi parcijalni

izvodi za funkcije f i i 1 n kažemo da je funcija F C 1-preslikavanje.

Definicija 7.4 Funkcija F : O

n je C 1-invertibilna (ima inverznu funkciju) na

skupu O ako je skup vrednosti F O otvoren skup U u

m i postoji C 1 preslikavanje

G : U

O tako da su preslikavanja G Æ F i F Æ G identiˇ cna preslikavanja na O i

U, respektivno (slika 7.2).

O U

R I n

R I n

F

G

Slika 7.2. Invertibilno vektorsko polje.

Primer 7.9 Uocimo preslikavanje polarnog koordinatnog sistema sa koordinatama r θ u pravougli koordinatni sistem sa koordinatama x y dato sa

F

r

θ

r cos θ

r sin θ

za x

r cos θ i y

r sin θ Posmatrajmo funkciju F na otvorenom skupu O odrede-

nom uslovima r

0 i 0

θ

π

Tada se skup vrednosti F

O

sastoji od svih parova x y takvih da je y 0 a x proizvoljno, tj. F O je gornja poluravan u x y -ravni.



7.4. Diferencijabilnost inverzne funkcije 309

Inverzno preslikavanje G nalazimo rešavanjem jednacina x

r cos θ i y

r sin θ

po r i θ Tako dobijamo r

x2 y2 i θ arccos x

x2

y2 pa je

G x y

x2 y2

arccos x

x2 y2

Cesto se dešava da preslikavanje nije invertibilno, ali tu osobinu ipak imalokalno. Naime, preciznije, kažemo da je funkcija F lokalno C 1-invertibilna u tackix0

O ako postoji otvoreni skup O1 O takav da x0

O1 i F je C 1-invertibilnona O1 Sledeca teorema, koju dajemo bez dokaza, daje nam praktican kriterijum zautvrdjivanje lokalne invertibilnosti.

Teorema 7.3 Neka je F : O

n C 1-preslikavanje i x0 taˇ cka iz O Ako je Jako-bijeva determinanta ∆F

x0

razliˇ cita od nule, tada je F lokalno C 1-invertibilno u

x0

Primetimo da je kriterijum dat prethodnom teoremom primenljiv i u slucaje-vima kada ne možemo eksplicitno odrediti inverznu funkciju.

Primer 7.10 Na osnovu primera 7.2 i 7.4 imamo da je za vektorsko polje F

x

y

x3

y2

e xy jakobijan upravo ∆F x 3 x3e xy

2 y2e xy Odatle zakljucujemo, na

osnovu teoreme 7.3, da je funkcija F lokalno C 1-invertibilna u svakoj tacki

x

y

za koju je 3 x3 2 y2

Kao što znamo od ranije (AI, teorema 4.3), izvod inverzne funkcije g f

1 utacki y0

f

x0

za realnu diferencijabilnu funkciju jedne promenljive y

f

x

, zakoju je f

x0 0, je dat sa g

y0 f

x0

1 Ovom prilikom dajemo analognu

teoremu za vektorsko polje F : O

n

Teorema 7.4 Neka je F : O

n C 1-preslikavanje i x0 taˇ cka iz O Ako je Jako-

bijeva determinanta ∆F x0 razliˇ cita od nule, tada za inverznu funkciju G u taˇ cki

y0 F x0

važi

J G y0 J F x0

1

Dokaz. Primenjujuci teoremu 7.2 na složenu funkciju G Æ F I gde je I identicnopreslikavanje, kao i primer 7.3, imamo

1 0 00 1 0...

...

...0 0 1

J I x0

J GÆ F x0

J F x0 (7.1)




za svako x0 O

Zbog pretpostavke ∆F

x0 0

za Jakobijevu matricu J F

x0

postoji njena inverzna matrica J F x0

1

Množeci (matricno) sa matricom J F x0

1 jednakost (7.1) sa desne strane i uzimajuci da je y0 F x0 dobijamo

J G y0 J F x0

1


7.5 Teorema o implicitnim funkcijama

Ogranicicemo se na slucaj funkcije dve promenljive. Osnovni problem se sas-toji u sledecem. Neka je data C 1-funkcija F : O

gde je O otvoren skup u

prostoru

2

i neka je

x0

y0

data tacka iz O tako da je F

x0

y0

z0

Postavlja sepitanje da li postoji diferencijabilna funkcija y

f

x

definisana u okolini tacke x0

tako da je f

x0

y0 i F

x

f

x

z0

za svako x iz okoline tacke x0

Teorema 7.5 Neka je O otvoren skup u

2 i neka je F : O funkcija klase

C 1

Neka je

x0

y0

taˇ cka iz O tako da je F

x0

y0

z0

Ako je D2 f

x0

y0 0

tada postoji funkcija y

f

x

klase C 1 u nekom intervalu oko taˇ cke x0 gde je

F

x

f

x

z0 i važi y0

f

x0

Ako je F x f x 0 i D2F x f x

0 tada važi

f

x

D1F

x

f

x

D2F x f x

Dokaz. Uocicemo pomocnu funkciju F datu sa

F

x

y

x

F

x

y

Treba primetiti da je ovako definisana pomocna funkcija F vektorsko polje na

2 Pokazacemo da je funkcija F lokalno invertibilna u tacki

x0

y0 U tu svrhu,potrebno je prvo proveriti da li je jakobijan funkcije F razlicit od nule, tj. da li je∆F x0 y0

0 Jakobijeva matrica za F je

J F

x0

y0

1 0 D1F x0 y0 D2F x0 y0

te odatle sledi

∆F x0 y0

1 0 D1F x0 y0 D2F x0 y0

D2F x0 y0

0



7.5. Teorema o implicitnim funkcijama 311

Sada, na osnovu teoreme 7.4, postoji C 1-invertibilna funkcija G (inverzna funkcija

za funkciju F) u okolini tacke x0 z0 F x0 y0

koja ima dve koordinatne funkcije,te važi i reprezentacija G x z x G x z za neku funkciju G Uzimajuci da je

y

G

x

z i z

F

x

y možemo definisati traženu eksplicitnu funkciju f na sledeci

nacin f

x

G

x

z0 Tada imamo da je

F

x

f

x F

x

G

x

z0 F G

x

z0

x

z0

Kako po definiciji funkcije F imamo

F

x

f

x

x

F

x

f

x

dobijamo da je F x f x z0 Iz pretpostavke da je G inverzna funkcija za F

dobijamo G

x0

z0

x0

y0 odakle sledi i drugi uslov f

x0

y0 koji potvrdujeda je y

f

x implicitno data sa polaznom funkcijom F

Drugi deo tvrdjenja, koji se odnosi na izvod funkcije f , sledi direktno diferenci-ranjem po x jednakosti F x f x 0 što daje D1F x f x D2F x f x f

x

0 odakle sledi

f

x

D1F

x

f

x

D2F x f x

U opštem slucaju, jednacina F x y z0 definiše neku krivu liniju, koja gener-alno nije funkcija (slika 7.3, levo), ali nam teorema 7.5 obezbedjuje, uz ispunjenje

traženih uslova, egzistenciju funkcije lokalno, tj. u okolini tacke x0 (slika 7.3,desno).

x

y

x0

x

y

x0

Slika 7.3. Kriva F

x

y

z0 i funkcija definisana sa F

x

y

z0 u okolini tacke x0

Primer 7.11 Za funkciju F

x

y

x2

y2 u tacki

x0

y0

2

1

imamo z0

F 1 2 5 i D2F 2 1 2 0 Na osnovu teoreme 7.5 znamo da postoji funkcija




y

f

x

u okolini tacke 2

Ovde možemo naci analiticki oblik funkcije f rešava-

njem jednacine x2 y2

5

te je y f x

5 x2

Izvod y

f

lako dobijamodiferenciranjem po x jednacine x2

y2 5 0 što daje 2 x 2 yy

0 odakle je

y

x

y

x

5 x2

Primer 7.12. Odredicemo izvod funkcije y

f

x

zadate implicitno sa x3

y3

2 xy Kako je x3 y3

2 xy 0 primenjujemo teoremu 7.5 na funkciju F x y

x4

y3 2 xy

Parcijalni izvodi funkcije F su

D1F x y 4 x3 2 y i D2F x y 3 y2

2 x

pa u tackam za koje važi 3 y2

2 x

dobijamo

y

4 x3

2 y

3 y2

2 x

Primetimo da smo u ovom primeru izvod y dobili kao funkciju dve promenljive.

7.6 Smena promenljivih u dvostrukom integralu

Neka je P pravougaonik u

2 koji je sadržan u nekom otvorenom skupu O nakojem je definisana funkcija G : O

2 klase C 1 data sa

G

u

v

G1

u

v

G2

u

v

Odgovarajuci jakobijan je

∆G

u

v

∂G1

u

v

∂u

∂G1

u

v

∂v

∂G2

u

v

∂u

∂G2

u

v

∂v

Navodimo sada opštu teoremu za smenu promenljivih u dvostrukom integralu.

Teorema 7.6 Neka je funkcija G : P

2 C 1-invertibilna funkcija na unutra-

šnjosti pravougaonika P

Neka je funkcija f : G

P

neprekidna, izuzev možda

na konaˇ cnom broju glatkih krivih. Tada važi

P

f

G

u

v

∆G

u

v dudv

G

P

f

x

y

dxdy



7.6. Smena promenljivih u dvostrukom integralu 313

x

y

P

x

y

G(P)G f

R I

Slika 7.4. Smena promenljivih kod dvostrukog integrala.

Primer 7.13 Prelaskom na polarni koordinatni sistem, imamo da je

G

r

θ

r cos θ

r sin θ

a ranije izracunati jakobijan je ∆G r θ r Na osnovu teoreme 7.6, vodeci racunada pravougaonik biramo tako da je preslikavanje G invertibilno, dobijamo prethodnodokazanu formulu

P

f r cos θ r sin θ r d r d θ

G P

f x y dxdy

Primer 7.14 Izracunacemo dvostruki integral funkcije f

x

y

x3 y3

x3 y3 na oblasti

O koja je ogranicena parabolama y x2 y 3 x2

x y2 i x 5 y2 Oblast O je

zadata i sa x2

y

3 x2 i y2

x 5 y2

Iz prethodnih nejednakosti sledi

1

y

x2 3 i 1

x

y2 5

te za smenu uzimamo u

y

x2 i v

x

y2 pri cemu važi u 1 3 i v 1 5

Kako je sada

x

3

1u2v

i y

3

1uv2

funkcija G iz teoreme 7.6 je

G

u

v

3

1u2v

3

1uv2




x

y

O

y = x2

y = 3x2

x = y2

x = 5y 2

G

x

y

P

1 3

1

5

Slika 7.5. Smena promenljivih u primeru 7.14.

i slika pravoukaonik

1

3

1

5

u oblast O (slika 7.5).Odgovarajuci jakobijan je dat sa

∆G

u

v

23

3

1u5v

13

3

1u2v4

13

3

1u4v2

23

3

1uv5

13u2v2

te imamo

O

x3 y3

x3 y3 dxdy

P

u2v

uv2 13u2v2 dudv

13

5

1

3

1

1u

1v

du

dv

23

ln 5

2ln3

Primer 7.15. Izracunacemo integral

O xy dx dy na oblasti ogranicenoj pravama

y x y x 3 x 3 y 0 i x 3 y 1 Uvodimo smenu u y x i v x 3 y

pri cemu je u 3 0 i v 0 1 i

G u v

v 3u

4

u

v

4

Funkcija G slika pravougaonik 3 0 0 1 u polaznu oblast O Odgovarajuci



7.7. Smena promenljivih u trostrukom integralu 315

jakobijan je dat sa

∆G

u

v

34

14

14

14

14

te imamo

O

xy dx dy

P

v 3u u v

16

14

dudv

164

1

0

0

3

v2

2uv 3u2

du

dv

43128

Primer 7.16. Izracunacemo površinu oblasti O ogranicene krivama xy

4

xy

8 3 y x i y 3 x za x y 0 Kako je data oblast opisana i nejednakostima

4 xy 8 i 1

3

y

x 3

uvodimo smenu u xy i v

y

x pri cemu je u

4 8 i v

1 3 3 Funkcija G

koja preslikava pravougaonik 4 8 1 3 3 u oblast O je data sa

G u v

u

v

uv


∆G u v

12

1uv

12

u

v3

12

v

u

12

u

v

12v

te imamo

P

O

O

dxdy

P

12v

dudv

12

3

1

3

8

4

1v

du

dv 4ln3

7.7 Smena promenljivih u trostrukom integralu

Neka je P paralelopiped u

3 koji je sadržan u nekoj oblasti O na kojem jedefinisana funkcija G : O

3 klase C 1 data sa

G u v w G1 u v w G2 u v w G3 u v w





∆G

u

v

∂G1

u

v

w

∂u

∂G1

u

v

w

∂v

∂G1

u

v

w

∂w

∂G2 u v w

∂u

∂G2 u v w

∂v

∂G2 u v w

∂w

∂G3

u

v

w

∂u

∂G3

u

v

w

∂v

∂G3

u

v

w

∂w

Navodimo sada opštu teoremu za smenu promenljivih u trostrukom integralu.

Teorema 7.7 Neka je funkcija G : P

3

C 1

-invertibilna funkcija na unutra-šnjosti paralelopipeda P Neka je funkcija f : G P

neprekidna, izuzev možda

na konaˇ cnom broju glatkih površi. Tada važi

P

f

G

u

v

w

∆G

u

v

w dudvdw

G

P

f

x

y

z

dxdydz

Primer 7.17. Prelazak na sferni koordinatni sistem je opisan funkcijom

G

ρ

θ

ϕ

ρsin ϕ cos θ

ρsin ϕ sin θ

ρ cosϕ

Kako je jakobijan za preslikavanje G izracunat u primeru 7.6 i iznosi ∆G

ρ

θ

ϕ

ρ2 sin ϕ

to na osnovu teoreme 7.7, vodeci racuna da paralelopiped biramo tako da je preslikavanje G invertibilno, dobijamo

P

f ρ sin ϕ cosθ ρ sin ϕ sin θ ρcos ϕ ρ2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ

G P

f x y z dxdydz

što se poklapa sa tvrdenjem teoreme 6.13.

Primer 7.18. Izracunacemo pomocu trostrukog integrala zapreminu elipsoida

x2

a2

y2

b2

z2

c2 1

a

b

c 0 Kako je tražena zapremina baš V

O

Odxdydz

gde je O dati elipsoid, uvodimo smenu

x

a

ρsin ϕ cosθ

y

b

ρ sin ϕ sin θ i z

c

ρcosϕ



7.8. Zadaci 317

pri cemu važi

ρ

0

1 ϕ

0 π

i θ

0

2π

Sada, funkcija smene je

G

ρ

θ

ϕ

aρ sin ϕ cos θ

bρ sin ϕ sin θ

cρ cos ϕ

Za Jakobijevu matricu imamao

J G

ρ

θ

ϕ

asin ϕ cosθ aρ sin ϕ sin θ aρcos ϕ cos θ

b sin ϕ sin θ bρ sin ϕ cos θ bρcos ϕ sin θ

c cos ϕ 0 cρcos ϕ

te je jakobijan oblika∆G ρ θ ϕ abcρ2 sin ϕ

Tražena zapremina, po teoremi 7.7, je

V O

O

dxdydz

2π

0

π

0

1

0abcρ2 sin ϕ d ρ

d ϕ

d θ

43

πabc

7.8 Zadaci

1. Odrediti Jakobijevu matricu za sledece vektorske funkcije:

a) F

x

y

3 xy2 2 x

5 y

b) F

x

y

x

y2 sin3 xy

cos2 xy

c) F x y z

x2 y2 z2 2 x 5 y 6 z e xyz

b) F

x

y

z

x

y

z sin3 xyz

2. Odrediti jakobijan za sledeca vektorska polja:

a) F

x

y

x2 y3 2 x

y

b) F

x

y

sin4 xy cos2 x2 y2

c) F

x

y

z

x3 y3 z3

2 x y

z

e x y z

d) F

x

y

z

x

y

z

sin3 xyz

xyz

3. Odrediti jakobijevu matricu za preslikavanje dato sa H

x

y

uv

w

uw

ako je u x y 2 xy v x y x2 y 1 i w x y x y

4. Odrediti jakobijevu matricu za preslikavanje dato sa H

x

y

z

uv

w

uw

ako je u x y z xy 2 z v x y z x2 y 1 z i w x y z x zy




5. Odrediti parcijalne izvode funkcije h

x

y

2uv

3v u ako je u

x

y

x2

cos y i v x y xy e xy

6. Odrediti izvod funkcije y f x zadate implicitno sa 2 x2 2 y2

xy

7. Izracunati dvostruki integral

O

x

y

dxdy gde oblast O dobijamo spa-

janjem tacaka 0 0 2 3 5 1 i 3 2 uvodenjem smene x 2u

3v

i y 3u

2v

8. Izracunati dvostruki integral

O 3 x 4 y dxdy gde oblast O ogranicena sa

y x y x 2 y

2 x i y 3

2 x

9. Izracunati trostruki integral

O x2 y dx dy gde oblast O elipsoidom x

2

4

y2

9

z2

16 1



Glava 8

Površinski integral

8.1 Površina površi

Podsetimo se da smo krive u glavi 5 izražavali u parametarskom obliku. Kaošto je vec receno, funkcija jedne realne promenljive c : α β O α β

O

3 data sa c

t

x

t

y

t

z

t gde su koordinatne funkcije x

x

t

y

y

t i z

z

t realne funkcije jedne realne promenljive definisane na intervalu

α

β

je parametarski zadata kriva u

3

Ako postoji izvod po koordinatama

c

t

d c

dt i neprekidan je, za krivu c kažemo da je neprekidno diferencijabilna,

odnosno, pripada klasi C 1 Tako, recimo, kružnicu x2 y2 r 2 u 2 možemo zadatiparametarski kao x

t

r cos t i y

t

r sin t za 0 t

2π (videti primer 5.2).

x

y

z

S(t,u)

u

t

a b

c

d

(t,u)

S

Slika 8.1. Parametrizacija površi S .

Sasvim analogno, za oblast O

2 površ S zadajemo parametarski S : O

3

319



320 Glava 8. Površinski integral

preko koordinatnih funkcija

S

t

u

x

t

u

y

t

u

z

t

u (8.1)

gde su x

x

t

u

y

y

t

u i z

z

t

u realne funkcije dve realne promenljive

definisane na oblasti O (slika 8.1). Koristicemo oznaku S za samu površ (koja jeustvari skup vrednosti funkcije S : O

3 u prostoru

3 ) i S za samu funkcijuparametrizacije koja je definiše. Ako je svaka koordinatna funkcija x x t u

y

y

t

u i z

z

t

u diferencijabilna i parcijalni izvodi su neprekidne funkcije,

za površ S kažemo da je neprekidno diferencijabilna, odnosno, pripada klasi C 1

Primer 8.1 Sferu x2

y2

z2

R2 smo parametrizirali (videti poglavlje 6.8) usfernom koordinatnom sistemu po parametrima ϕ θ (uzimajuci ρ R) na sledecinacin

x

R sin ϕ cos θ

y

R sin ϕ sin θ

z

Rcosϕ

pri cemu je oblast O

2 data sa

0 ϕ

π

0 θ

2π

Primer 8.2 Torus (videti primer 4.8) se može parametarski dati u sledecem obliku

x

r

R cosϕ cosϕ

y

r

R cosϕ sin ϕ

z

R sin ϕ

za oblast O

2 oblika

0 ϕ

2π 0

θ 2π

pri cemu je r 0 rastojanje od koordinatnog pocetka centra kružnice dobijene upreseku torusa i proizvoljne ravni koja prolazi kroz koordinatni pocetak i normalna je na

x

y -ravan, a R je poluprecnik tako dobijene kružnice.

Nadalje cemo pretpostaviti da je S : O

3 parametrizovana površ S klase C 1 datasa

S t u

x

t

u

y t u

z t u



8.1. Površina površi 321

(zapis ekvivalentan zapisu (8.1)). Tada, izvod S

t

u

J S

t

u

je linearno pres-

likavanje dato sledecom Jakobijevom matricom

J S t u

∂ x

∂t

∂ x

∂u

∂ y

∂t

∂ y

∂u

∂ z

∂t

∂ z

∂u

(8.2)

Primenjujuci matricu (8.2) na jedinicne vektore osa u

2

e1

10

i e2

01

dobijamo vektore u

3 oblika

J S t u e1

∂S

∂t D1S

∂ x

∂t

∂ y

∂t

∂ z

∂t

i J S t u e2

∂S

∂u D2S

∂ x

∂u

∂ y

∂u

∂ z

∂u

Vektori e1 i e2 iz 2 i D1S i D2S iz 3 su dati slikom 8.2.

e1

e2 D S1

D S2

z

y

x

SJ (t,u)

Slika 8.2. Dejstvo Jakobijeve matrice (8.2) na jedinicne vektore osa u

2

Tacka

t

u je regularna !regularna tacka za površ S ako vektori razapinju ravan

u

3

Translacijom ove ravni u tacku S

t

u

dobija se tangentna ravan površi utacki S t u (slika 8.3).




x

y

z

S(t,u) D S1

D S2

x

y

z

S(t,u) D S1

D S2

N

n

Slika 8.3. Regularna tacka površi S Slika 8.4. Vektori normale površi S

Vektor normalan na površ (slika 8.4) dobijamo kada potražimo vektorski pro-

izvod vektora ∂S

∂t i

∂S

∂u tj.

N

t

u

∂S

∂t

∂S

∂u

(8.3)

Kako vektor normale na površ može imati dva smera, to birajuci orijentaciju

prema spolja od površi i uzimajuci jedinicni vektor normale n (koji dobijamo delecivektor N sa njegovom normom N t u ) dobijamo da je

n

∂S

∂t

∂S

∂u

∂S

∂t

∂S

∂u

(8.4)

Ako je vektor normale N

Ai

B j

C k onda na osnovu (8.3), koristeci repre-zentaciju vektorskog proizvoda u koordinatnom sistemu pomocu formalne deter-minante (Dodatak 1) imamo

N t u

∂S

∂t

∂S

∂u

i j k∂ x∂t

∂ y∂t

∂ z∂t

∂ x∂u

∂ x∂u

∂ z∂u




∂ y∂t

∂ z∂t

∂ y∂u

∂ z∂u

i

∂ x∂t

∂ z∂t

∂ x∂u

∂ z∂u

j

∂ x∂t

∂ y∂t

∂ x∂u

∂ y∂u

k

što nam daje

A

∂ y∂t

∂ z∂t

∂ y∂u

∂ z∂u

B

∂ x∂t

∂ z∂t

∂ x∂u

∂ z∂u

C

∂ x∂t

∂ y∂t

∂ x∂u

∂ y∂u

Uvodeci oznake

E

∂ x

∂t

2

∂ y

∂t

2

∂ z

∂t

2

G

∂ x

∂u

2

∂ y

∂u

2

∂ z

∂u

2

F

∂ x

∂t

∂ x

∂u

∂ y

∂t

∂ y

∂u

∂ z

∂t

∂ z

∂u

lako je videti da važi A2

B2

C 2

EG F 2

Tako dobijamo da je intenzitetnormale N dat sa

N

∂S

∂t

∂S

∂u

A2

B2

C 2

EG F 2

(8.5)

a odatle za jedinicni vektor normale n cos α

cosβ cos γ

gde su α

β

γ uglovikoje zaklapa normala sa x

y

z osom, respektivno, važi

cos α

A

A2 B2

C 2 cosβ

B

A2 B2

C 2 cosγ

C

A2 B2

C 2

Primetimo da se ne mogu sve površi orijentisati u smislu da znamo šta je unutrašn- jost a šta spoljašnjost. Uzmimo na primer Mobijusovu traku, koju dobijamo tako

A

B

D

CA

B

C

D

Slika 7.5. Mobijusova traka.

što jednu traku u obliku pravougaonika spojimo krajeve tako što ukrstimo krajeve,




slika 8.5 (primetimo da ova površ ima samo jednu stranu, polazeci od jedne tacke

na površi krecuci se po njoj možemo stici do bilo koje tacke na toj površi).U svim slucajevima koje cemo ovde razmatrati bice geometrijski jasno šta je

spoljašnjost, a šta unutrašnjost površi, te se ovde necemo upuštati u složenu matem-aticku definiciju orijentacije površi.

Primer 8.3 Za parametrizovanu sferu S ϕ θ Rsin ϕ cosθ R sin ϕ sin θ R cosϕ

poluprecnika R iz primera 8.1 imamo

∂S

∂ϕ

Rcosϕ cos θ

Rcos ϕ sin θ

R sin ϕ

∂S

∂θ

Rsin ϕ sin θ

R sin ϕ cos θ

0

Zato je vektor normale na sferu S dat na sledeci nacin

N

ϕ

θ

∂S

∂ϕ

∂S

∂θ

R2 sin2 ϕ cosθ

R2 sin2 ϕ sin θ

R2 sin ϕ cosϕ

R sin ϕ S

ϕ

θ

Kako su velicine R i sin ϕ nenegativne, to vektor N ima isti pravac kao i vektor S,

x

y

z

O,1 1N( )

O,2 2N( )

Slika 8.6. Vektori normale na sferu iz primera 8.3.

te je usmeren ka spolja od površi (videti sliku 8.6). Intenzitet vektora N je

N

∂S

∂ϕ

∂S

∂θ

R2 sin ϕ

R2 sin ϕ

te je jedinicni vektor normale dat sa

n R

1S ϕ θ




Kao što znamo, intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora je jednak površini

paralelograma koji cine ti vektori (Dodatak 1), te je zato površina paralelogramakojeg obrazuju vektori

∂S

∂t i

∂S

∂u(dobijeni linearnom transformacijom, predstavl-

jenom matricom J s t u jedinicnog kvadrata) upravo

∂S

∂t

∂S

∂u

(videti sliku 8.7).

x

y

z

S(t,u)

D S1

D S2

Slika 8.7. Paralelogram koji obrazuju vektori ∂S

∂t i ∂S

∂ui projekcija na površ S

Pod pretpostakom da je S definisano na otvorenoj oblasti O i da je ovo pres-likavanje injektivno, izuzev možda na konacnom broju glatkih krivih u O

te da sukoordinatne funkcije za S klase C 1 i da su sve tacke u O regularne, izuzev moždana konacnom broju glatkih krivih, možemo definisati površinu parametrizovane

površi na sledeci nacin

P

S

O

∂S

∂t

∂S

∂u

dtdu (8.6)

Tada obicno koristimo simbolicki zapis za elemenat površine

d S

∂S

∂t

∂S

∂u

dtdu




Na osnovu (8.5) imamo da je

P

S

O

A2

B2

C 2 dtdu

O

EG F 2 dtdu

Kao i kod krivih, može se pokazati da površina površi ne zavisi od izbora parametri-zacije površi (što ovde necemo dokazivati).

Primer 8.4 Na osnovu primera 8.3, imamo da je površina sfere sa centrom u ko-ordinatnom pocetku i poluprecnika R upravo

O

∂S

∂t

∂S

∂u

dtdu

2π

0

π

0 R2

sin ϕ d ϕ d θ

4π R2

gde je oblast O vezana za parametre

ϕ

θ pravougaonik 0 2π

0

π

Uslucaju da je površ S zadata eksplicitno funkcijom z f x y na nekoj oblastiO u x y -ravni, izraz (8.6) se može iskazati na sledeci nacin. Kako jednostavnomparametrizacijom t

x i u

y dobijamo S

x

y

x

y

f

x

y to je

∂S

∂ x

1

0

∂ f

∂ x

i ∂S

∂ y

0

1

∂ f

∂ y

Sada je∂S

∂ x

∂S

∂ y

∂ f

∂ x

∂ f

∂ y 1

te je odgovarajuci intenzitet vektorskog proizvoda jednak

∂S

∂ x

∂S

∂ y

1

∂ f

∂ x

2

∂ f

∂ x

2

Konacno, na osnovu (8.6), imamo da je površina površi S data sa

P

S

O

1

∂ f

∂ x

2

∂ f

∂ x

2

dxdy




Primer 8.5. Izracunacemo površinu površi koja se dobija u preseku konusa z

2

x2 y2 i ravni z

2 (slika 8.8). Ovako zadata površ se sastoji iz dva dela i

x

y

z

2

S1

S2

z = 2

O 1

1

-1-1

Slika 8.8. Površ S iz primera 8.5.

to iz dela S 1 koji cini deo konusa izmedu x y -ravni i ravni z 2 i dela S 2 kojemodgovara "poklopac" na ravni z

2 dat sa x2

y2 1 Projekcija obe površi na

x

y -ravan je oblast O ogranicena kružnicom x2

y2 1 Sada, traženu površinu

dobijamo kao zbirP S P S 1 P S 2

pri cemu je

P

S 1

O

1

∂ f 1

∂ x

2

∂ f 2

∂ y

2

dxdy

O

1

4 x2

x2

y2

4 y2

x2

y2 dxdy

5

O

dxdy

gde je f 1 x y 2

x2 y2 i

P

S 2

O

1

∂ f 2

∂ x

2

∂ f 2

∂ y

2

dxdy

O

dxdy

za f 2

x

y 2

Potrebno je još izracunati dvostruki integral

O

dxdy Uvodenjem polarnih

koordinata x r cos θ i y r sin θ r 0 1 θ 0 2π (videti poglavlje 6.4),




dobijamo

O

dxdy

2π

0

1

0r dr

d θ

π

te je tražena površina P S

5π π

5 1 π

8.2 Površinski integral

Neka je oblast O

2 i neka je površ S : O

3 zadata parametarski prekokoordinatnih funkcija

S

t

u

x

t

u

y

t

u

z

t

u

gde su x x t u y y t u i z z t u realne funkcije dve realne promenljive izklase C 1 definisane na oblasti O

Definicija 8.1 Površinski integral realne funkcije F : S

na površi S je dat

slede´ com formulom

S

F d S

O

F S t u

∂S

∂t

∂S

∂u

dtdu (8.7)

Primetimo da nam za specijalnu konstantnu funkciju F 1 formula (8.7) daje

prethodno definisanu površinu površi S , tj. P

S

S d S

Primer 8.6. Izracunacemo površinski integral funkcije F

x

y

z

x2

y2

z2 napovrši S iz primera 8.5 datoj slikom 8.8. Kako se površ S sastoji iz dva dela, površiS 1 i S 2 za traženi integral važi

S

F d S

S 1

F d S1

S 2

F d S2

Posmatrajmo prvo površ S 1

Projekcija ovog dela konusa z

2

x2

y2 na x y -ravan je oblast O ogranicena kružnicom x2

y2 1 te x i y koordinatu

parametrizujemo sa

x r θ r cos θ i y r θ r sin θ za r 0 1 i θ 0 2π



8.2. Površinski integral 329

Treba naglasiti da prelaskom u

r

θ

-ravan oblast O postaje pravougaonik dat sa

r

0

1

i θ

0

2π

(videti poglavlje 6.4). Za z koordinatu iz same jednacinekonusa dobijamo

z

r

θ 2

r 2 cos2 θ

r 2 sin2 θ 2r

te je površ S 1 parametrizovana sa

S1

r

θ

r cos θ

r sin θ 2r

r 0 1

θ 0 2π

Sada, za S1 imamo

∂S1∂r

cos θ

sin θ

2

i ∂S1∂θ

r sin θ

r cos θ

0

pa je∂S1

∂r

∂S1

∂θ 2r cos θ 2r sin θ r

i

∂S1

∂r

∂S1

∂θ

4r 2 cos2 θ 4r 2 sin2 θ

r 2

5r

Kako je F S1

r

θ

r 2 cos2 θ

r 2 sin2 θ 4r 2

5r 2 iz (8.7) sledi

S 1

F d S1

O

5

5r 3 dr d θ 5

5 2π

0

1

0r 3 dr

d θ

5

52

π (8.8)

Projekcija površi S 2 na

x

y

-ravan je takode oblast O ogranicena kružnicom x2

y2 1 te parametrizacija x i y koordinata ostaje ista kao i u slucaju površi S 1

Kako je S 2 deo površi z 2 parametrizacija za z koordinatu je z r θ 2 pa jecela površ S 2 parametrizovana sa

S2 r θ r cosθ r sin θ 2 r 0 1 θ 0 2π

Sada, iz

∂S2

∂r

cos θ

sin θ

0

i ∂S2

∂θ

r sin θ

r cos θ

0




sledi ∂S2

∂r

∂S2

∂θ 0 0

r i

∂S2

∂r

∂S2

∂θ

r Za površ S 2 važi i F

S2

r

θ

r 2 cos2 θ

r 2 sin2 θ 4

r 2 4 te po (8.7) imamo

S 2

F d S2

O

r 3 4r

dr d θ

2π

0

1

0

r 3 4r

dr

d θ

92

π (8.9)

Traženi površinski integral funkcije F

x

y

z

x2

y2

z2 na površi S datoj

slikom 8.8 je zbir integrala (8.8) i (8.9), tj.

S

F d S

9

5

52

π

Formula (8.7) se na osnovu (8.5) može zapisati i u obliku

S

F d S

O

F x t u y t u z t u

EG F 2 dtdu

8.3 Površinski integral vektorskog polja

Neka je S : O

3 parametrizovana jednacina površi S koja je sadržana unekom otvorenom skupu U

3 Neka je F : U

3 vektorsko polje na U

dato komponentama

f 1

f 2

f 3 Pretpostavljamo nadalje da F ima izvode prema

potrebi. Takode, pretpostavimo da je površ S orijentisana tako da je odredena njenaspoljašnjost i njena unutrašnjost. Ako je n jedinicni vektor normale na površ premaspoljašnjosti, tada za projekciju F n vektorskog polja F duž n na površ uvodimo

površinski integral vektorskog polja F po površi S na sledeci nacin

S

F n d S

O

F n

∂S

∂t

∂S

∂u

dtdu

Kako je po (8.4)

n

∂S

∂t

∂S

∂u

∂S

∂t

∂S

∂u

to imamo

S

F n d S

O

F S

t

u

∂S

∂t

∂S

∂u

dtdu (8.10)



8.3. Površinski integral vektorskog polja 331

Primer 8.7. Izracunacemo površinski integral vektorskog polja F

x

y

z

x

y

z

po centralnoj sferi S poluprecnika 1 orijentisanoj ka spolja. Kako iz primera 8.3znamo da je zadata sfera x2

y2 z2

1 parametrizovana sa

S

ϕ

θ sin ϕ cosθ

sin ϕ sin θ sin ϕ

za ϕ 0

π i θ

0 2π

i da tada važi

∂S

∂ϕ

∂S

∂θ

sin ϕ S ϕ θ

to za skalarni proizvod F S ϕ θ

∂S

∂ϕ

∂S

∂θ

imamo

F S ϕ θ

∂S

∂ϕ

∂S

∂θ

sin ϕ cosθ sin ϕ sin θ sin ϕ sin ϕ S ϕ θ

sin ϕ

sin2 ϕ cos2 θ sin2 ϕ sin2 θ

sin2 ϕ

sin ϕ

Sada iz (8.10) sledi

S

F n d S

O

sin ϕ d ϕ d θ

2π

0

π

0sin ϕ d ϕ

d θ 4π

pri cemu je O pravougaonik u

ϕ

θ -ravni dat sa ϕ

0

π i θ

0 2π

Ako tražimo površinski integral istog vektorskog polja F x y z x y z pocentralnoj sferi S poluprecnika 1 orijentisanoj ka unutra, rezultat dobijamo kao

S

F n d S

S

F n d S 4π

Primer 8.8. Izracunacemo površinski integral vektorskog polja

F

x

y

z

y z

z x

x y

po površi S iz primera 8.5 orijentisanoj ka spolja. Posmatrajmo prvo površ S 1 tj.deo konusa z

2

x2

y2 od

x

y -ravni do ravni z

2 Kao što je vec pokazano

u primeru 8.6, površ S 1 je parametrizovana saS1 r θ r cosθ r sin θ 2r r 0 1 θ 0 2π

i za vektor normale važi

∂S1

∂r

∂S1

∂θ 2r cos θ

2r sin θ

r




Kako je treca koordinata vektora normale veca od nule, taj vektor "vuce" ka po-

zitivnom smeru z-ose, tj. ka unutrašnjosti površi S što nije u skladu sa spoljašnjomorijentacijom površi S te u ovom slucaju za vektor normale N u formuli (8.10)uzimamo suprotni vektor dat sa

∂S1

∂r

∂S1

∂θ

2r cos θ 2r sin θ r

(videti sliku 8.9).

x

y

z(0,0,2)

1

1

D S1 2 D S2 2

D S1 1 D S2 1-( )D S1 1 D S2 1

Slika 8.9. Orijentacija površi S iz primera 8.8.

Sada imamo

S 1

F n d S1

O

F S1 r θ

∂S1

∂r

∂S1

∂θ

dr d ϕ

O

F S1 r θ

2r cos θ 2r sin θ

r dr d ϕ

2π

0

1

05r 2

sin ϕ cosϕ

dr

d ϕ

0

gde je F S1 r θ r sin ϕ 2r 2r r cosϕ r cos ϕ r sin ϕ



8.3. Površinski integral vektorskog polja 333

Za površ S 2

tj. za deo ravni z

2 ogranicen kružnicom x2

y2

1

parametri-

zacija jeS2 r θ r cosθ r sin θ 2 r

0 1 θ

0 2π

dok za vektor normale imamo ∂S

∂r

∂S

∂θ 0 0 r (videti primer 8.6). Treca

koordinata vektora normale je veca od nule, te vektor "vuce" u pozitivnom smeru z-ose, što je u skladu sa orijentacijom površi S (videti sliku 8.9), pa za površinskiintegral na S 2 imamo

S 2

F n d S2

O

F S2 r θ

∂S1

∂r

∂S2

∂θ

dr d ϕ

O

F S1

r

θ

0

0

r

dr d ϕ

2π

0

1

0r 2

cosϕ sin ϕ

dr

d ϕ

0

gde je F

S2

r

θ

r sin ϕ

2

2

r cosϕ

r cos ϕ

r sin ϕ

Konacno, za traženi površinski integral vektorskog polja F na S važi

S

F n d S

S 1

F n d S1

S 2

F n d S2 0

Za vektorsko polje F

f 1

f 2

f 3 može se na površi S uvesti i površinski inte-

gral druge vrste

S f 1

x

y

z

dydz

f 2

x

y

z

dzdx

f 3

x

y

z

dxdy

S

f 1 cosαd S

S

f 2 cos βd S

S

f 3 cos γ d S




8.4 Teorema o divergenciji

(teorema Gausa-Ostrogradskog)

U ovom poglavlju dajemo teoremu Gaus1-Ostrogradskog2 , poznatu i kao teo-rema o divergenciji, koja povezuje površinski integral sa trostrukim integralom.

Teorema 8.1 Neka je U oblast u prostoru

3 ograniˇ cena sa površi S

pri ˇ cemu je

površ S glatka, sem možda na konaˇ cnom broju glatkih krivih. Ako je F vektorsko

polje klase C 1 na otvorenom skupu koji sadrži U i S tada je

S F

n d S

U

∂ f 1

∂ x

∂ f 2

∂ y

∂ f 3

∂ z

dxdydz

gde je n jediniˇ cni vektor normale na površ S usmeren ka spolja od površi.

Dokaz. Dokazacemo teoremu za slucaj kada je površ S rub paralelopiped P

a

b

c

d

e

s orijentisan ka spolja. Ovako zadata površ se sastoji od šest

delova, tj. od šest stranica paralelopipeda, te cemo posmatrati površinski integralproizvoljnog vektorskog polja F f 1 f 2 f 3 na svakoj od šest stranica.

Neka je sa S 1 oznacena stranica koja leži na ravni x

b (videti sliku 8.10).Površ S 1 parametrizujemo na sledeci naci

S1

y

z

b

y

z

gde je y

c

d

i z

e

s

Jedinicni vektor normale na površ S 1 koji odražava datu orijentaciju površi S je datsa n1 1 0 0 te je

F n1

f 1

f 2

f 3 1 0 0

f 1

Primetimo da za ovako parametrizovanu površ važi

∂S1

∂ y

0

1

0

i ∂S1

∂ z

0

0

1

1K. F. Gauss (1777-1855)2M. Ostrogradski (1801-1862)



8.4. Teorema o divergenciji(teorema Gausa-Ostrogradskog) 335

Kako je sada ∂S1

∂ y

∂S1

∂ z

1 0 0 i

∂S1

∂ y

∂S1

∂ z

1 iz (8.10) sledi

S 1

F n d S1

O

F n

∂S1

∂ y

∂S1

∂ z

dydz

s

e

d

c f 1

b

y

z

dy

dz

x

a

b

yc d

e

s

z

SS1

S2

= (-1,0,0)n2

= (1,0,0)n1

Slika 8.10. Površ S kao rub za P

a

b

c

d

e

s orijentisana ka spolja.

Posmatrajmo sada stranicu S 2 koja leži na ravni x

a Površ S 2 je parametri-

zovana sa

S2

y

z

a

y

z gde je y

c

d i z

e

s

Jedinicni vektor normale na površ S 2 koji odražava datu orijentaciju površi S jen2 1 0 0 (videti sliku 8.10). Potpuno analogno prethodnom slucaju dobijamo

S 2

F n d S2

s

e

d

c

f 1

a

y

z

dy

dz

Sabiranjem prethodna dva integrala dobijamo

S 1

F n d S1

S 2

F n d S2

s

e

d

c

f 1

b

y

z

f 1

a

y

z

dy




s

e

d

c

b

a

D1 f 1

x

y

z

dx

dy

dz

P

D1 f 1

x

y

z

dxdydz

Ponavljanjem opisanog postupka na stranice S 3 i S 4 paralelne x z -ravni dobijamo

S 3

F n d S3

S 4

F n d S4

P

D2 f 2

x

y

z

dxdydz

dok nam stranice S 5 i S 6 koje su paralelne sa

x

y -ravni, daju

S 5

F n d S5

S 6

F n d S6

P

D3 f 3

x

y

z

dxdydz

Kako je integral

S

F n d S zbir integrala nad svih šest stranica, dobijamo

S

F n d S

S 1

F n d S1

S 2

F n d S2

S 3

F n d S3

S 4

F n d S4

S 5

F n d S5

S 6

F n d S6

P

D1 f 1 x y z D2 f 2 x y z D3 f 3 x y z dxdydz


Primetimo da se izraz sa desne strane pod trostrukim integralom u teoremi 8.1naziva i divergencija vektorskog polja F, tj.

divF

∂ f 1

∂ x

∂ f 2

∂ y

∂ f 3

∂ z

te otud i potice naziv teoreme.

Primer 8.9 Izracunacemo površinski integral vektorskog polja datog sa F

x

y

z

x3 y3

z3 na rubu jedinicne kocke 0 1 0 1 0 1 Kako i vektorsko polje i



8.5. Stoksova teorema 337

jedinicna kocka ispunjavaju uslove teoreme 8.1, površinski integral u ovom primeru

svodimo na trostruki integral:

S

F n d S

0 1 0 1 0 1

3 x2 3 y2

3 z2

dxdydz

1

0

1

0

1

0

3 x2 3 y2

3 z2

dxdydz 3

Primer 8.10. Izracunacemo ponovo površinski integral vektorskog polja F x y z

x

y

z na centralnoj sferi poluprecnika 1 iz primera 8.7. Kako i vektorsko polje i

sfera ispunjavaju uslove teoreme 8.1, imamo

S

F n d S

U

3 dxdydz 3

U

dxdydz 3V U 343 π 4π

pri cemu je V U zapremina sfere (trostruki integral kao zapremina ograniceneoblasti, poglavlje 6.6).

8.5 Stoksova teorema

Podsetimo se da Grinova teorema (poglavlje 6.9) daje vezu izmedu krivolinijskog integrala u ravni i dvostrukog integrala. Ovom prilikom navodimo uopštenjeGrinove teoreme, poznato kao Stoksova3 teorema, koje nam daje vezu površinskog

integrala i krivolinijskog integrala u prostoru 3

Teorema 8.2 Neka je S glatka orijentisana površ u

3 ograniˇ cena zatvorenom

krivom c

Neka je kriva c orijentisana tako da površ leži desno od krive (slika

8.11). Ako je F

f 1

f 2

f 3

vektorsko polje klase C 1 u nekom otvorenom skupu

koji sadrži površ S i rubnu krivu c , tada važi

S

D2 f 3 D3 f 2

D3 f 1 D1 f 3

D1 f 2 D2 f 1 n d S

c

F (8.11)

Kako se krivolinijski integral vektorskog polja F

f 1

f 2 f 3

cesto zapisujekao

c

F

c

f 1dx f 2dy f 3dy

3G. Stokes (1819-1903)




x

y

z

c

S

n

Slika 8.11. Površ S ogranicena zatvorenom krivom c

(videti (5.4)), to Stoksovu formulu (8.11) možemo dati i u sledecem obliku

S

D2 f 3 D3 f 2

D3 f 1 D1 f 3

D1 f 2 D2 f 1 n d S

c

f 1dx

f 2dy

f 3dy

Primer 8.11 Izracunacemo krivolinijski integral vektorskog polja

F x y z z y x

z y

x

duž krive c dobijene u preseku cilindra x2

y2 9 i ravni

x

3

z

2005 1 orijenti-

sane u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu (videti sliku 8.12). Po Stoksovojteoremi, traženi krivolinijsik integral se svodi na površinski integral novog vek-torskog polja

F1

x

y

z

D2

y x

D3

x z

D3

z y

D1

y x

D1

x z

D2

z y

na površi S koja je ogranicena krivom c i orijentisana po pravilu desnog zavrtnja,

odnosno

c

F

c

z y

dx

x z

dy

y x

dy

S

F1 n d S

S

2 2 2 n d S

Orijentacija površi S se vidi na slici 7.13.



8.5. Stoksova teorema 339

x

y

z

3

3

2005

4010

c

x

y

z

3

3

(0,0,2005)

(-3,0,4010)

S

O

c

D S1 D S2

Slika 8.12. Kriva c iz primera 8.11. Slika 8.13. Površ S iz primera 8.11.

Za izracunavanje površinskog integrala potrebno je prvo parametrizovati površS . Primetimo da je projekcija površi S na xy-ravan oblast O ogranicena kružnicom

x2

y2

9

Parametrizacija ovako dobijene oblasti O je

x

r cos θ i y

r sin θ za r

0 3

θ 0 2π

Za z koordinatu površi S iz jednacine ravni dobijamo

z 2005

1

x

3

2005

1

r cos θ

3

te je površ S parametrizovana sa

S

r

θ

r cos θ

r sin θ 2005

1

r cos θ

3

r 0 3

θ 0 2π

Za ovako dobijenu parametrizaciju površi S važi

∂S

∂r

cos θ

sin θ

20053 cosθ

i

∂S

∂θ

r sin θ

r cos θ

20053 r sin θ

te je vektor normale∂S

∂r

∂S

∂θ

2005r

3 0

r




Treca koordinata dobijenog vektora normale je pozitivna, što znaci da vektor "vuce"

u pozitivnom pravcu z-ose i da je u skladu sa orijentacijom površi S (slika 8.13).Sada, iz (8.10) sledi

S

2 2 2 n d S

O

2 2 2

2005r

3 0

r

dr d θ

2π

0

3

02

20053

1

r dr

d θ 12048π

8.6 Primene površinskog integrala

Prva primena je vezana za izracunavanje (gravitacionog) centra mase površi S

Ako g predstavlja pozitivnu gustinu površi, tada je masa m površi S data površin-skim integralom

m

S

g d S

O

g S

t

u

∂S

∂t

∂S

∂u

dtdu

Tada su koordinate

x

y

z

centra mase površi S date sa

x

1m

S

x g

x

y

z

d S

y

1m

S

y g

x

y

z

d S i z

1m

S

z g

x

y

z

d S

Slika 8.14.

Druga primena se odnosi na tok tecnosti uzrokovan poljem sila H : U

3

Ako je g

x

y

z

gustina tecnosti u tacki

x

y

z

tada je velicina

F x y z g x y z H x y z



8.7. Zadaci 341

fluks toka, dat na slici 7.14. Tada je kolicina tecnosti koja prodje kroz površ S u

jedinici vremena data površinskim integralom fluksa F na površ, tj. sa

S

F n d S

Tre´ ca primena se odnosi na posledicu teoreme o divergenciji 8.1, koja imafizicku interpretaciju divergencije fluksa. Naime, važi sledeca posledica teoreme odivergenciji 8.1.

Teorema 8.3 Neka je L t lopta polupreˇ cnika t 0 sa centrom u taˇ cki x0 u

3 i

S t je sfera polupreˇ cnika t i sa centrom u x0 Ako je F vektorsko polje klase C 1 i

V t zapremina lopte L t , tada važi

divF x0 limt 0

1V

t

S t

F n d S

Prethodno dobijena jednakost se može interpretirati na sledeci nacin. Izraz podpovršinskim integralom je tok koji ide napolje iz sfere u jedinicnom vremenu, au pravcu jedinicnog vektora prema spolja. Deleci sa zapreminom V t lopte L t

dobija se masa koja istice izvan sfere po jedinicnoj zapremini. To znaci da jedivergencija od F u tacki x0, u ovom slucaju, stepen promene mase po jedinicizapremine u jedinici vremena u tacki x0

8.7 Zadaci

1. Izracunati tangentne vektore ∂S

∂t i ∂S

∂t , kao i jedinicni vektor normale za torus

dat u primeru 8.2.

2. Izracunati tangentne vektore ∂S

∂θ i

∂S

∂ z, kao i jedinicni vektor normale za

konus visine h dat parametarski za fiksan realan broj a 0 a

π2

S θ z z sin a cosθ z sin asin θ z cos a

za 0 θ 2π i 0 z h

3. Izracunati površinu površi z xy iznad jedinicnog kruga sa centrom u koor-dinatnom pocetku.

4. Izracunati površinu torusa.




5. Izracunati površinu dela sfere x2

y2

z2

1 unutar konusa x2

y2

z2

6. Izracunati površinski integral funkcije f

x

y

z

xy

yz

zy na površi S

koju dobijamo u preseku konusa z

x2 y2

2 i cilindra x2 y2

4 y

7. Izracunati površinski integral

S x2 y2

d S ako je S rub oblasti date sa

x2 y2

z 1

8. Izracunati površinski integral vektorskog polja F x y z xy y2 y2

na rubuS jedinicne kocke: 0

x 1 0

y 1 0

z 1

9. Izracunati

S F d S gde je F x y z x y z i S unutrašnja strana sfere

x2 y2

z2 4

10. Uz pomoc Stoksove teoreme izracunati krivolinijski integral vektorskog poljaF

x

y

z

z y

x

z

x y

duž kružnice x2

y2 4 orijentisane suprotno

kretanju kazaljke na satu.

11. Neka je S zatvorena površ orijentisana ka spolja koja ogranicava telo datosa y

x

2

y 2

x

x 1 i 0

z

1

Izracunati površinski integralvektorskog polja F x y z

1

y x

z x

na površi S

12. Neka je S zatvorena površ orijentisana ka spolja koja ogranicava telo dato sa z 0 x2

y2 1 i z x2

y2 Izracunati površinski integral vektorskog

polja F

x

y

z

xy

x2 y

y2 z

na površi S



Glava 9

Dodatak 1.

Vektori u

2

i

3

Najjednostavnije receno, fizicka velicina odredena pravcem, smerom i inten-

zitetom naziva se vektor . Preciznije, u vektorskoj algebri, razlikujemo pojmovevezani vektor i slobodni vektor . Ako su fiksirane pocetna tacka A i krajnja tacka B

kao i duž koja ih povezuje, u pitanji je vezani vektor

AB pravca odredenog pravomkoja prolazi kroz tacke A i B

orijentacije od A do B i intenziteta koji odgovaradužini duži AB

Vezani vektor je uvek jedinstveno odreden. Svi vezani vektoriparalelnih pravaca, iste orijentacije i jednakih intenzitetacine slobodni vektor. Uo-

bicajeno je da sa a obeležavamo ne samo jedan vezani vektor, vec predstavnikacele klase ekvivalencije vezanih vektora, tj. slobodan vektor. Tom prilikom nijenaglašeno tacno koji predstavnik klase je u pitanju, te pri radu sa vektorima se biraupravo onaj predstavnik klase koji je u tom trenutku potreban.

B

1a

2a

3a

b

c

dA

Slika 9.1. Vektori u ravni.

343



344 Glava 9. Dodatak 1.Vektori u

2 i

3

Primer 9.1. Na slici 9.1, za fiksirano A i B imamo vezani vektor

AB Vektori a1

a2 i a3 pripadaju istoj klasi kao i vektor

AB i pri daljem radu, prema potrebi, biramobilo kojeg predstavnika te klase.

Vektor b se razlikuje od posmatrane klase po smeru, c po intenzitetu, dok vek-tor d odstupa vec po pravcu.

U daljem tekstu pod vektorom podrazumevamo slobodan vektor i oznacavamoga sa a b c Intenzitet vektora a je obelezen kao a Za vektore a i b kažemoda su jednaki ako su istog pravca, smera i intenziteta, tj. ako se odgovarajuce klasevezanih vektora ciji su predstavnici a i b poklapaju.

Sa 0 je oznacen takozvani nula vektor , tj. vektor kod koga se pocetan tackapoklapa sa krajnjom, te je neodredenog pravca i smera, a intenzitet mu je nula.

9.1 Sabiranje vektora

Neka su data dva vektora a i b Zbir ova dva vektora je vektor a b i kojidobijamo na sledeci nacin. Posmatrajmo za trenutak vektor a kao vezani vektor, tj.kao vektor za koji znamo pocetnu i krajnju tacku. Neka je A pocetna, a B krajnjatacka. Kako je b slobodni vektor, na raspolaganju nam je cela klasa vezanih vektorakoji su paralelnog pravca iste orijentacije i inteziteta. U toj klasi možemo uociti jedan vezani vektor cija je pocetna tacka upravo tacka B

a krajnja tacka C Klasa

kojoj pripada vezani vektor sa pocetkom u tacki A i krajem u tacki C je upravotraženi (slobodni) vektor a b (videti sliku 9.2).

a

ba+b

a

b

Slika 9.2. Sabiranje vektora.

Sabiranje vektora ima sledece osobine:

1) sabiranje vektora je komutativna operacija, tj.

a

b

b

a;

2) sabiranje vektora je asocijativna operacija, tj.

a b c b a c;



9.1. Sabiranje vektora 345

3) nula vektor je neutralni element za sabiranje, tj.

a

0

a;

4) za svaki vektor postoji suprotni, tj.

a x a x 0

Vektor x iz osobine (iv) još se obeležava i kao a U pitanju je vektor istog pravcai intenziteta ali suprotnog smera u odnosu na a što je prikazano slikom 9.3.

a -a

Slika 9.3. Suprotan vektor.

Zahvaljujuci osobini (iv), moguce je definisati razliku vektora na sledeci nacin

a b a b

gde je b vektor suprotan vektoru b (slika 9.4).

a b-

a

- bb

a

Slika 9.4. Razlika vektora.

Iz pravila trougla za apsolutne vrednosti (AI, primer 9.5), moguce je dokazatinaredne nejednakosti




2 i

3

a b a b

i

a

b

a

b

a

b

9.2 Množenje vektora skalarom

Posmatrajmo proizvoljan vektor a Množenjem datog vektora skalarom l

dobijamo vektor la Rezultujuci vektor je istog pravca kao i polazni, intenzitetadatog sa

la l a

dok smer zavisi od znaka skalara l Ako je l 0 vektori la i a su istog smera.Polazni vektor a i rezultujuci vektor l a su suprotnog smera za l 0

aa l al1 2

Slika 9.5. Množenje vektora skalarom, l1

0

l2

0

Za množenje vektora skalarom važi:

1) 1a a;

2) 0a 0;

3) l a b la lb;

4) l1 l2 a l1a l2a;

5) l1 l2a l1l2 a;

gde su a i b proizvoljni vektori, 0 nula vektor i l

l1 i l2 skalari.

Napomena 9.1 Dokaz osobine (iii) sledi iz Talesove teoreme o slicnosti trouglašto se i vidi sa slike 9.6.

Napomena 9.2 U opštem slucaju, vektorsko polje (videti napomenu 4.1) ima nave-dene osobine, te sve što dalje navodimo važi i za opšti slucaj.



9.3. Linearna zavisnost 347

b

a

lb

l(a+b)

a+b

la

Slika 9.6. l a b la lb

9.3 Linearna zavisnost

Za vektore a1 a2 an kažemo da su linearno zavisni ako postoje skalaril1

l2

ln koji nisu svi jednaki nuli tako da je

l1a1

l2a2

lnan 0

Vektori su linearno nezavisni ukoliko iz

l1a1

l2a2

lnan 0

sledi l1

l2

ln 0

Lako se da pokazati da iz linearne zavisnosti dva vektora sledi njihova kolin-

earnost, tj. kolinearni vektori su istog pravca.

Teorema 9.1 Ako je

l1a

l2b

0 (9.1)

i bar jedan od skalara l1 i l2 je razliˇ cit od nule, vektori a i b su kolinearni.

Dokaz. Neka je l1 0 Iz (9.1) i pretpostavke l1 0 sledi

a

l2

l1b

tj. vektor a se može predstaviti kao proizvod vektora b i skalara

l2

l1

te pravacostaje isti.

Važi i obrnuto. Ako su dva vektora kolinearna, postoji skalar tako da je prvivektor moguce izraziti kao proizvod skalara i drugog vektora.

Linearna zavisnosti tri vektora je ekvivalentna komplanarnosti posmatrana trivektora, što se i vidi iz naredne teoreme.




2 i

3

Teorema 9.2 (i) Tri vektora paralelna istoj ravni su me¯ dusobno linearno zav-

isna.

(ii) Ako su tri vektora me¯ dusobno linearno zavisna, onda su paralelna istoj

ravni.

Dokaz. (i) Posmatrajmo nenula vektore a b i c koji su paralelni istoj ravni. Nekasu izabrani upravo oni predstavnici klasa koji se nalaze na posmatranoj ravni.

a

b

c

l a

l b

1

2

l b2

Slika 9.7. Vektor c kao linearna kombinacija vektora a i b

Uvek možemo prona´ci skalare

l1 i

l2 tako da je vektor

c mogu

´ce izraziti kao lin-earnu kombinaciju vektora a i b (videti sliku 9.7), tj. c

l1a

l2b Dakle, postojibar jedan skalar razlicit od nule tako da važi

l1a l2b 1c 0

(ii) Pretpostavimo da postoje skalari l1

l2 i l3 od kojih je bar jedan razlicit od nuletako da važi

l1a

l2b

l3c

0

(9.2)

Bez gubitka opštosti možemo pretpostaviti da je l1 0

Sada, iz (9.2), vektor a jemoguce izraziti kao linearnu kombinaciju preostala dva vektora, tj.

a

l2

l1

b

l3

l1

c

pa su sva tri vektora u istoj ravni.

U opštem slucaju, ako imamao n linearno zavisnih vektora, svaki od posma-tranih n vektora je moguce izraziti kao linearnu kombinaciju preostalih n

1 vek-tora. Takode, vektori a1

a2

an

0 su trivijalno linearno zavisni bez obzira naizbor vektora ai



9.4. Baza 349

Teorema 9.3 U euklidskom trodimenzionalnom prostoru

3 svaka ˇ cetiri vektora

su linearno zavisna.

Dokaz. Posmatrajmo cetiri vektora kao na slici 9.8. Možemo odrediti skalare l1 l2

a

b

d

c

l a1

l a1

l b2

l b2

l c3

Slika 9.8. Vektor d kao linearna kombinacija vektora a b i c

i l3 takve da je a1

l1a

b1

l2b

c1

l3c i

d a1 b1 c1

tj. l1a

l2b

l3c 1 d 0 što je i trebalo pokazati.

9.4 Baza

Baza vektora u ravni je bilo koji dvoclani skup vektora a i b takav da se svakivektor u ravni može predstaviti kao linearna kombinacija vektora a i b

Jedna od mogucih baza u ravni je B 2 i j data slikom 9.9, gde su i i j uzajamno ortogonalni jedinicni vektori. Sada, svaki prozvoljan vektor a iz posmatraneravni se može zapisati kao a

a1i

a2 j za neko a1

a2

Baza vektora u prostoru je svako troclani skup vektora takav da se svaki vektor

u prostoru može izraziti kao linearna kombinacija upravo tih vektora. Analoganbaze B 2 u prostoru je B 3 i j k data slikom 9.10.Vektori i j i k su uzajamno ortogonalni jedinicni vektori. Sada, svaki vektor u

prostoru se može izraziti kao linearna kombinacija vektora i j i k npr.

a a1i a2 j a3k




2 i

3

a2

a

j

i a1i a1

j a2

Slika 9.9. Baza B 2 i j u ravni.

gde su a1 a2 a3 . Uredena trojka a1 a2 a3 predstavlja koordinate vektora a

i j

k

a

a1

a2

a3

Slika 9.10. Baza B 3 i

j

k u prostoru.

Jedinicni vektor se još naziva i ort . Svakom proizvoljnim vektoru a je mogucepridružiti odgovarajuci ort na sledeci nacin

ort a

a

a

(9.3)

Vektor ort a je jedinicni vektor istog pravca i smera kao i polazni vektor a.



9.5. Skalarni proizvod vektora 351

9.5 Skalarni proizvod vektora

Definicija 9.1 Skalarni proizvod dva vektora a i b u oznaci a b je

a b a b cos a b

gde je cos a b ugao koji zaklapaju vektori a i b

Ukoliko je skalarni proizvod dva vektora jednak nuli, tada je bar jedan od njihnula vektor ili su posmatrani vektori medusobno normalni.

Algebarska projekcija vektora b

na osu odredenu ortom a

je data sa pro jab b cos b a

odnosno pro jab b a

Teorema 9.4 Data su tri vektora a b i c

Tada važi slede´ ce

pro jort ab

projort ac

projort a b c

Dokaz. Neka su dati vektori ort a

b i c kao na slici 9.11.

ort a A C B D

b

c

b c+

Slika 9.11. pro jort ab projort ac projort a b c

Sada imamo sledece

pro jort ab AB CD i projort ac AC BD




2 i

3

Za projekciju zbira važi

pro jort a b c AD AC CD projort ac projort ab


Veza izmedu skalarnog proizvoda dva vektora i projekcije vektora je data sa

a b

projab

(9.4)

Teorema 9.5 Neka su ort a b i c proizvoljni vektori i neka je l skalar. Tada za

skalarni proizvod vektora važi

(i) a b b a

(ii) a b c a b a c

(iii) l

a b

la

b

a

lb

Dokaz. Dokazacemo osobinu (ii). Iz (9.3) sledi a a ort a te imamo

a b c a ort a b c a

ort a b c

Iz teoreme 9.4 i (9.4) dalje sledi

a

b

c

a

ort a

b

c

a

projort a

b

c

a projort ab a

projort ac a ort a b a

ort a c a b a c


Treba naglasiti da za skalarni proizvod vektora asocijativnost, u opštem slucaju,ne važi.

9.6 Vektorski proizvod vektora

Definicija 9.2 Vektorski proizvod dva vektora a i b

u oznaci a

b

je vektor kojiima slede´ ce osobine

1) pravac vektora a b je normalan na ravan koju obrazuju vektori a i b

2) smer vektora a b je takav da redom vektori a

b i a b ˇ cine desni trijedar

(videti sliku 9.12),



9.6. Vektorski proizvod vektora 353

3) intezitet vektora a b je dat sa

a

b

a

b

sin a b

i odgovara površini paralelograma koji obrazuju vektori a i b (slika 9.13).

b

a bx

a a

b

Slika 9.12. Pravac i smer vektora a b Slika 9.13. Intenzitet vektora a b

Osobine vektorskog proizvoda su date narednom teoremom koju navodimo bezdokaza.

Teorema 9.6 Neka su ort a b i c proizvoljni vektori i l skalar. Tada za vektorski

proizvod vektora važi

(i) a b b a

(ii) l a b la b a lb

(iii) a b c a b a c

(iv) b c a b a c a

Ukoliko je vektorski proizvod dva vektora jednak nula vektoru ili je bar jedanod posmatrana dva vektora nula vektor ili su posmatrani vektori medusobno par-alelni.

Za skalarni i vektorski proizvod važi takozvani Lagranžov identitet

a b

2 a b

2 a2b2

gde je a b

2 a b a b a2

a a i b2 b b




2 i

3

9.7 Mešoviti proizvod vektora

Mešoviti proizvod vektora a

b i c

u oznaci

a

b

c

je skalar dat sa

a b c a b c

b

b

a

cax

Slika 9.14. Desni trijedar.

Ako vektori a b i c obrazuju desni trijedar (slika 9.14) za njihov mešoviti proizvodvaži

a b c a b c a b c cos a b c

gde je a

b

površina osnove paralelopipeda koji obrazuju vektori a

b i c

a c cos a b c njegova visina. Skalar a b c za vektore a b i c koji obrazujudesni trijedar odgovara zapremini paralelopipeda (slika 9.14).

U slucaju levog trijedra (slika 9.15) imamo

a b c a b c a b c cos

π a b c

a b c cos

a b c a b c cos

a b c

tj. mešoviti proizvod po apsolutnoj vrednosti odgovara zapremini paralelopipedakoji obrazuju vektori a b i c što je jednako zapremini paralelopipeda obrazo-vanog vektorima a b i c

Iz prethodnog sledi

a b c b c a c a b

b a c

a c b

c b a

Ako je mešoviti proizvod jednak nuli, u pitanju su komplanarni vektori.



9.8. Koordinatni sistem 355

b

a bx

a

c

c-

Slika 9.15. Levi trijedar.

9.8 Koordinatni sistem

Posmatrajmo koordinatni sistem dat na slici 9.16. Neka je M proizvoljna tackau prostoru sa koordinatama

r 1

r 2

r 3

i r odgovarajuci vektor položaja. Ako je databaza B 3 za vektor položaja važi

m

r 1i

r 2 j

r 3k

Koordinate tacke M su i koordinate vektora r te se vektor cesto obeležava i sa

r r 1 r 2 r 3

Ako su α β i γ uglovi koje vektor m zaklapa sa pozitivnim smerovima x y i z

ose, redom, koordinate se mogu izraziti na sledeci nacin

r 1 r

cos α

r 2 r

cos β i r 3

r cos γ

Kako je r

r 21 r 22 r 23 kosinuse uglova α β i γ je moguce izraziti samo prekokoordinata i to

cos α

r 1

r 2

1

r 2

2

r 2

3

cosβ

r 2

r 2

1

r 2

2

r 2

3

i cos γ

r 3

r 2

1

r 2

2

r 2

3

Pretpostavimo da su vektori a b i c dati preko koordinata, tj. a a1i a2 j

a3k

a1

a2

a3 b

b1i

b2 j

b3k

b1

b2

b3 i c

c1i

c2 j

c3k

c1

c2

c3 Tada važi:

1) Množenje vektora skalarom je la la1i la2 j la3k la1 la2 la3




2 i

3

i j

k

r

r1r2

r3

r1 r2M( )r3, ,

Slika 9.16. Vektor položaja.

2) Sabiranje vektora je

a b a1 b1 i a2 b2 j a3 b3 k a1 b1 a2 b2 a3 b3

3) Skalarni proizvod vektora je a b a1b1 a2b2 a3b3

4) Vektorski proizvod vektora je

a b

i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

5) Mešoviti proizvod vektora je

a b c

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

6) Vektorski proizvod vektorskog prozvoda je

a b c

b c

a b a c b a c c a b



Glava 10

Dodatak 2.

Matrice i determinante

10.1 Matrice

Matrica realnih brojeva A, za n

m je šema brojeva

A

a11 a12

a1n

a21 a22

a2n

... ...

...am1 am2 amn

Obicno kažemo da je A matrica tipa (formata) m n, te da matrica ima m vrsta i n

kolona. Elemenat ai j (na mestu i-te vrste i j-te kolone) je i j-komponenta matrice.Obicno skraceni zapis matrice A dajemo u obliku

ai j m

n

Primer 10.1 Sledeca matrica

A

3 10 2

5 4

je tipa 3 2, tj. ona ima 3 vrste i 2 kolone.

Nula matrica je O je matrica ciji su svi elementi nula, tj.

O

0 0 00 0 0...

... ...

0 0 ... 0

357



358 Glava 10. Dodatak 2.Matrice i determinante

Definišemo sabiranje matrica istog formata A

ai j m n i B

bi j m n tako da

saberemo elemente na istim mestima, tj.A

B

ai j

bi j m n

Skup svih matrica tipa m n u odnosu na uvedeno sabiranje cini komutativnu

grupu. Neutralni elemenat je O a za matricu A ai j m n suprotni elemeant jematrica A ai j m n

Primer 10.2 Za matrice

A

3 10 2

5 4

i B

2 13

1

7 3

imamo da je

A B

3 10 2

5 4

2 13 17 3

5 03 12 7

Za matricu A je suprotni elemenat A dat sa

A

3 10 25 4

Definišemo sada množenje matrice A

ai j

m

n brojem c

tako da jecA

cai j m n

Sa dve uvedene operacije skup svih matrica tipa m n cini vektorski prostor.

Za matricu A ai j m n definišemo njenu transponovanu matricu At kao ma-tricu a ji n m tj. At dobijamo kada zamenimo mesta vrsta i kolona u A

At

a11 a21 am1

a12 a22 am2...

... ...

a1n a2n amn

Sada uvodimo množenje matrica. Neka su date matrice A i B tipa m n i n

s

A

a11 a12 a1n

a21 a22

a2n

... ...

...am1 am2 amn

B

b11 b12 b1s

b21 b22

b2s

... ...

...bn1 bn2 bns



10.1. Matrice 359

respektivno. Definišemo proizvod matrica A

ai j m n i B

bi j n s na sledeci

nacin AB C ci j m s

gde je

cik

n

∑ j 1

ai jb jk

za i 1

m i k 1

s Naime, elemenat cik u proizvodu AB dobijamo tako

da sabiramo umnoške elemenata u i-toj vrsti matrice A redom sa odgovarajucimelementom u k -toj koloni matrice B

Primer 10.3 Za matrice

A

3 0 1 2 2 1

i B

0 4 1

2 3 1

njihov proizvod je dat sa

AB

3 0 1 2 2 1

0 4 1

2 3 1

0 12

34 2 32 5 3

m-torku x x1 xm možemo posmatrati kao 1 m matricu, te posmatratiproizvod

xA

x1

xm

a11 a12 a1n

a21 a22

a2n... ...

...am1 am2

amn

što daje 1 n matricu (n-torku)

y1

yn gde je yk

x1a1k

xmamk Akon-torku x

x1

xn pišemo kao vektor kolonu

x

x1...

xn

tada možemo posmatrati proizvod Ax

Za kvadratne matrice n

n jedinicna matrica I data sa

I

1 0 00 1 0...

... ...

0 0 ... 1




je neutralni element u odnosu na množenje matrica. Za kvadratne matrice možemo

množiti matricu sa samom sobom, te tražiti AA A2

pa AAA A3

itd. Prime-timo da važi Ar As

Ar s

Za množenje matrica uvek važi asocojativni zakon, tj.

AB C A BC

kada odgovarajuci proizvodi imaju smisla. U odnosu na operaciju sabiranja uvekvaži distributivni zakon

A B C AB AC

kada odgovarajuce operacije imaju smisla. Napomenimo da u opštem slucaju nevaži komutativni zakon, tj. AB nije uvek jednako sa BA

Primer 10.4 Tako za matrice

A

1 13 2

i B

0 41 3

imamo

AB

1 12 18

i BA

12 810 5

Primer 10.5 Pokazacemo da se sa matricom

R

θ

cosθ sin θ

sin θ cosθ

dobija rotacija tacke u

2 oko koordinatnog pocetka za ugao θ

Naime, neka je x

tacka iz

2 zapisana kao vektor kolona u polarnom koordinatnom sistemu

x

r cos ϕ

r sin ϕ

Tada imamo

R θ

cosθ sin θsin θ cos θ

r cosϕr sin ϕ

r cos ϕ θ

r sin

ϕ

θ

gde smo koristili adicione formule za sinus i kosinus. Vidimo da množenje samatricom R

θ preslikava x na par sa istim potegom samo sa povecanim uglom za

θ tj. izvršena je rotacija tacke x za ugao θ

Izdvajamo specijalna preslikavanja sa skupa

n u skup

m

koja su tesno povezanasa matricama.




Primer 10.6 Imamo da je

2 1

3 5

2

5 1

3

13

U slucaju matrice 3 3

A

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

definišemo njenu determinantu

detA

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11a22a33 a11a32a23 a12a21a33 a12a23a31 a13a22a31

Drugi nacin izracunavanja je da se "razvija po elementima prve vrste"

detA

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11

a22 a23

a32 a33

a12

a21 a23

a31 a33

a13

a21 a22

a31 a32

Ovakav drugi postupak se koristi kod izracunavanja koordinata vektorskog proizvodazadatog pomocu formalne determinante (Dodatak 1).

Primer 10.7 Tako imamo da je

2 0

13 1 01 2 4

15

Sada možemo dati kriterijum za postojanje inverzne matrice za datu kvadratnumatricu, a isto tako i postupak za izracunavanje te inverzne matrice.

Teorema 10.2 Ako je A kvadratna matrica za koju je detA 0 onda za A postoji

inverzna matrica.

Navešcemo sada za matricu, za koju postoji inverzna matrica, postupak za izraˇ cu-

navanje njene inverzne matrice.

1) Izracunavamo determinantu detA i konstatujemo da je razlicita od nule.

2) Sada tražimo transponovanu matricu At a

i j



10.2. Determinante 363

3) Tražimo elemente inverzne matrice

Ai j

i

j

1

n

tako da Ai j dobijamo

tako da iz transponovane matrice At eliminišemo i-tu vrstu i j-tu kolonupa racunamo determinantu preostale matrice, te dobijeni broj množimo sa

1

i

j

detA

U slucaju matrice 2 2 ova pravila se jednostavno primenjuju.

Primer 10.8 Za matricu 2 2

A

2 13 5

njena determinanta je na osnovu primera 10.6 data sa detA 13 0 pa postojiinverzna matrica. Nalazimo prvo transponovanu matricu

At

2 3

1 5

Da bi našli elemenat A11 u inverznoj matrici, prvo eliminišemo iz At prvu vrstui prvu kolonu, pa nam ostaje samo broj 5 koji delimo sa 1

1 1detA 13

te dobijamo A11

513 Slicno, da bi našli elemenat A12 u inverznoj matrici, prvo

eliminišemo iz At prvu vrstu i drugu kolonu, pa nam ostaje samo broj 1 koji delimosa 1

1 2detA 13 te dobijamo A12

113 Dalje, da bi našli elemenat A21 u

inverznoj matrici, prvo eliminišemo iz At

drugu vrstu i prvu kolonu, pa nam ostajesamo broj 3 koji delimo sa 1

2 1detA 13 te dobijamo A21

313 Konacno,

da bi našli elemenat A22 u inverznoj matrici, prvo eliminišemo iz At drugu vrstu idrugu kolonu, pa nam ostaje samo broj

2 koji delimo sa

1

2

2detA

13

tedobijamo A22

213 Tako smo dobili inverznu matricu

A

1

513

113

313

213

113

5 1

3 2

Proveru dobijamo tako što mora biti zadovoljena jednakost AA 1 I

Za matricu 3 3 imamo

Primer 10.9 Neka je data matrica

A

1 1 31

1

1

0 1 1



366 Indeks

jakobijan, 303

Jakobijeva matrica, 301

konveksan skup, 192kriva, 232

neprekidno diferencijabilna, 232suprotna, 240u

n , 231u prostoru, 231u ravni, 231

krivolinijski integralprve vrste, 245

vektorskog polja, 234kvadratna formanedegenerisana, 204pridružena funkciji, 198

Maklorenov red, 119matrica, 357

asocijativni zakon, 360distributivni zakon, 360inverzna, 361kvadratna, 359množenje (proizvod), 358množenje konstantom, 358pridružena determinanta, 361sabiranje, 358tip (format), 357transponovana, 358

nesvojstveni integral, 7apsolutna konvergencija, 23Dirihleov kriterijum, 25druge vrste, 5

divergencija, 5

konvergencija, 5Košijev kriterijum, 13Košijeva glavna vrednost, 30metod smene, 10parcijalna integracija, 11prve vrste, 1

divergencija, 1

konvergencija, 1uporedni kriterijum, 15uslovna konvergencija, 25

norma, 138nula matrica, 357

oblast, 217Ojlerova gama funkcija, 19otvoren skup, 140

podintegralna funkcija , 252, 278polarni koordinatni sistem, 268povezan skup, 217površ, 321

tangentna ravan, 321površinski integral

druge vrste, 333realne funkcije, 328vektorskog polja, 330

putanja, 238suprotna, 240zatvorena, 238

rastojanjeu

2 , 136u

3 , 136u

n , 137realna analiticka funkcija, 107realna funkcija

n promenljivihdiferencijabilnost, 169gradijent, 166izvod u pravcu, 187klasa C 1

O , 170

klasa C k O , 177lokalni ekstrem, 185lokalni maksimum, 185lokalni minimum, 185prvi parcijalni izvod po xi, 164stacionarna tacka, 185

za informaticare - analiza 2

Documents