Тема 1: Введениеkadm.kmath.ru/files/angfiz_ovs_1.pdf · 2020-02-06 · Тема 1:...

Тема 1: Введение

А. Я. Овсянников

Уральский федеральный университетИнститут естественных наук и математики

Департамент математики, механики и компьютерных наукАналитическая геометрия для физиков

А. Я. Овсянников Тема 1: Введение

Краткое описание курса

Курс аналитической геометрии изучается в течение 2-го семестра. Онвключает введение(необходимый вспомогательный материал — элементытеории матриц и определителей), векторную алгебру, теорию прямых иплоскостей и кривые и поверхности 2-го порядка. Можно использоватьлюбые учебники для университетов по аналитической геометрии. Списоклитературы приведен на следующем слайде.

По курсу читаются лекции и проводятся практические занятия. Длязаписи лекций и практических занятий нужно завести две ОТДЕЛЬНЫЕтетради. Ни в коем случае не следует записывать лекции и практическиезанятия подряд друг за другом в одной тетради. На практическихзанятиях решаются задачи и задаются домашние задания. Их можнозаписывать в одной тетради.


Литература

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. Любое издание.2. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. Любое издание.3. Булатов А.А., Верников Б.М., Замятин А.П. Алгебра и геометрия.Изд-во УрГУ, Екатеринбург, 2001.4. Задачник по алгебре и геометрии для студентов первого курса. Изд-воУрГУ, Екатеринбург, 2010 (2-е изд).5. Фейнман Ричард. Фенмановские лекции по физике. Том 1. Любоеиздание.

Книги [1-3] — университетские учебники; [1] — для студентов-физиков.Задачник [4] используется на практических занятиях и доступен в виде pdfфайла в закладке "Книги"страницы А.Я.Овсянникова на сайте кафедрыалгебры и фундаментальной информатики.Книга [5] содержит многие интересные примеры появления в физикепонятий аналитической геометрии.


О слайдах

Данный набор слайдов разбит на темы, нумеруемые по порядку. Довольночасто приходится делать ссылки на утверждения, доказанные ранее. Этиссылки делаются так: <утверждение> сл. n т. k означает ссылку на<утверждение> (теорему, предложение, следствие), сформулированное наслайде номер n темы k. Аналогично делаются ссылки на выделенныеформулы. Если слайд, на который делается ссылка, находится в той жетеме, то номер темы не указывается.

Определяемые понятия выделяются курсивом и цветом. Начало и конецдоказательства выделяются символами ⇓ и ⇑ соответственно.


Понятие матрицы

Определение

Матрицей размеров m × k над множеством R называется прямоугольнаятаблица из чисел, имеющая m строк и k столбцов. Числа, из которыхсостоит матрица, называются ее элементами.

Принято записывать матрицы размеров m × k в следующем виде:

A =

a11 a12 . . . a1k

a21 a22 . . . a2k

· · · · · · · · · · · ·am1 am2 . . . amk

.

Определения

Если матрица A имеет размеры m ×m, то ее называют квадратнойматрицей порядка m. Говорят, что элементы a11, a22, . . . , amm образуютглавную диагональ квадратной матрицы A. Элементы am1, am−1 2, . . . , a1m

образуют ee побочную диагональ.

В курсе аналитической геометрии важную роль играют квадратныематрицы порядка 2 и 3, а также матрицы-строки размеров 1× 2 и 1× 3.


Линейные операции. Сложение матриц

Рассмотрим линейные операции над матрицами: сложение матриц иумножение матрицы на скаляр. Напомним, что для краткости скаляраминазываются числа.Сложение определено только для матриц одинаковых размеров. ПустьA = (aij) и B = (bij) – матрицы размеров m × k. Суммой матриц A и Bназывается матрица, обозначаемая через C = A + B и имеющая видC = (cij)m×k , каждый элемент которой равен сумме соответствующихэлементов матриц A и B: cij = aij + bij , i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , k.

Например,

−1 2 01 −2 10−1 0 9

+

1 2 01 −2 101 1 9

=

0 4 02 −4 200 1 18

;

сумма(

1 29 6

)+

(1 2 29 6 2

)не определена.


Умножение матрицы на скаляр

Произведением матрицы A = (aij)m×k и скаляра t называется матрицатаких же размеров, как матрица A, обозначаемая через D = tA иимеющая вид D = (dij)m×k , каждый элемент которой получаетсяумножением соответствующего элемента матрицы A на скаляр t:dij = taij , i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , k.

Например, 4

−1 2 01 −2 10−1 0 9

=

−4 8 04 −8 40−4 0 36

.


Свойства линейных операций

Для сложения матриц и умножения матрицы на число выполняютсяследующие проверяемые очевидным образом свойства.

1. Для любых матриц A, B одинаковых размеров справедливо равенствоA + B = B + A.

2. Для любых матриц A, B C одинаковых размеров справедливоравенство (A + B) + C = A + (B + C).

3. Существует матрица O = Om×k размеров m × k такая, что для любойматрицы A таких же размеров справедливо равенство A + O = A.

4. Для любой матрицы Am×k существует матрица B тех же размеровтакая, что справедливо равенство A + B = Om×k .

5. Для любых матриц A, B одинаковых размеров и любого числа tсправедливо равенство t(A + B) = tA + tB.

6. Для любой матрицы A и любых чисел s, t справедливо равенство(s + t)A = sA + tA.

7. Для любой матрицы A и любых чисел s, t справедливо равенствоs(tA) = (st)A = t(sA).

8. Для любой матрицы A справедливо равенство 1A = A.


Обоснование свойств линейных операций

Свойства 1 и 2 следуют из соответствующих свойств сложения чисел. Всвойстве 3 в качестве Om×k следует взять матрицу размеров m × k снулевыми элементами; такая матрица называется нулевой. В свойстве 4 вкачестве B можно взять матрицу с элементами, противоположнымиэлементам матрицы A; такая матрица называется противоположнойматрице A. Свойства 5–8 обеспечиваются соответствующими свойствамиопераций над числами.


Формулы для определителей малых порядков

Определителем называется число, сопоставляемое квадратной матрице.Общая теория определителей изучается в курсе линейной алгебры.Порядок матрицы определителя называют порядком определителя.

Формула для вычисления определителя второго порядка:∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Формула для определителя третьего порядка:∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.

Запись определителя похожа на запись матрицы, но разница между нимисущественная. Элементы матрицы определителя называются егоэлементами. Аналогично можно говорить о строках или столбцахопределителя.


Правило треугольников

Формула для вычисления определителя третьего порядка выглядит весьмагромоздко. Существует несколько приемов для того, чтобы запомнить этуформулу. Опишем один из них, называемый правилом треугольников.

Со знаком “плюс” берется произведение элементов, образующих главнуюдиагональ, а также элементов, образующих равнобедренные треугольникис основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком “минус” –произведение элементов, образующих побочную диагональ, а такжеэлементов, образующих равнобедренные треугольники с основаниями,параллельными побочной диагонали.

На рис. 1 приведена графическая иллюстрация правила треугольников.

��

��

��@@@

��@

@@@@@�

��@

@@

��

��

HHHHHH

AAAAAA

HHHHHH

��

AAAAAAs

ss

sss

sss

sss

sss

sssСо знаком плюс Со знаком минус

Рис. 1


Свойства определителей

Все перечисленные ниже свойства определителей проверяютсянепосредственно для определителей 2 или 3 порядка, а записываются вобщем виде (в котором они справедливы для определителей любогопорядка). Доказательства будут приведены в курсе линейной алгебры.

Свойство 1 аддитивности определителя относительно строки

Имеет место равенство∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .ai1 + bi1 ai2 + bi2 . . . ain + bin. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .ai1 ai2 . . . ain. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .bi1 bi2 . . . bin. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.


Свойства 2-4

Свойство 2 однородности определителя относительно строки

Общий множитель всех элементов одной строки определителя можновынести за знак определителя, т.е. имеет место равенство∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .λai1 λai2 . . . λain. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .ai1 ai2 . . . ain. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Из свойства 2 непосредственно вытекает

Свойство 3 определителя матрицы, содержащей нулевую строку

Определитель матрицы, содержащей нулевую строку, равен нулю.

Свойство 4 определителя с двумя одинаковыми строками

Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки, равен нулю.


Свойства 5-7

Из свойств 2 и 4 вытекает

Свойство 5

Определитель, имеющий две пропорциональные строки, равен нулю.

Из свойств 1 и 5 получается

Свойство 6

Если к элементам одной строки определителя прибавить элементынекоторой другой строки, умноженные на одно и то же число, тополученный определитель будет равен исходному.

Свойство 7

Если в определителе ∆ поменять местами две строки, сохранив располо-жение остальных строк, то полученный определитель будет равен −∆.


Определитель транспонированной матрицы


Пусть A = (aij)n×n. Транспонированной к матрице A называется матрица,полученная из A заменой строк на столбцы. Она обозначается через A> и

при n = 2, 3 получается по формулам(

a11 a12

a21 a22

)>=

(a11 a21

a12 a22

); a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

> =

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

.

Свойство 8

Пусть A = (aij)n×n (n = 2, 3). Тогда |A>| = |A|.

Из этого утверждения вытекает принцип "равноправия строк и столбцов"в определителе: для каждого свойства определителей, формулируемого втерминах строк, справедливо аналогичное свойство для столбцов. Такимобразом, для столбцов определителя справедливы аналоги свойств 1-7.


Миноры и алгебраические дополнения

Пусть A = (aij)n×n.


Минором элемента aij в определителе |A| называется определительквадратной подматрицы порядка n − 1, полученной из матрицы Aвычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j . Обозначение:Mij .


Алгебраическим дополнением элемента aij в определителе |A| называется(−1)i+jMij . Обозначение: Aij .

Рассмотрим пример. Пусть ∆ =

∣∣∣∣∣∣1 4 52 3 17 6 8

∣∣∣∣∣∣. ТогдаA13 = M13 =

∣∣∣∣ 2 37 6

∣∣∣∣ = −9; A21 = −M21, M21 =

∣∣∣∣ 4 56 8

∣∣∣∣ = 2.


Разложение определителя по строке или столбцу

Пусть ∆ = |A| — определитель 3-го порядка.

Правило разложения определителя по строке

Определитель равен сумме произведений элементов своей фиксированнойстроки на их алгебраические дополнения, т.е. имеет место равенство∆ = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3. При k 6= i имеет место равенствоak1Ai1 + ak2Ai2 + ak3Ai3 = 0, которое формулируется так: суммапроизведений элементов строки определителя на алгебраическиедополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю.

Правило разложения определителя по столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов своего фиксированно-го столбца на их алгебраические дополнения, т.е. имеет место равенство∆ = a1jA1j + a2jA2j + aj3Aj3. При k 6= j имеет место равенствоa1kA1j + a2kA2j + a3jA3j = 0, которое формулируется так: суммапроизведений элементов столбца определителя на алгебраическиедополнения к соответствующим элементам другого столбца равна нулю.


Понижение порядка определителя

Вычислить определитель

∣∣∣∣∣∣2 −5 1−3 7 −15 −9 2

∣∣∣∣∣∣.Первую строку прибавим ко второй, умножим первую строку на −2 иприбавим к третьей. Полученный определитель разложим по третьемустолбцу и придем к определителю второго порядка. Получаем∣∣∣∣∣∣

2 −5 1−3 7 −15 −9 2

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣2 −5 1−1 2 01 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−1)1+3 ·∣∣∣∣ −1 2

1 1

∣∣∣∣ = −3

Реализованный в этом примере способ вычисления определителяназывается понижением порядка определителя.


Крамеровские системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется крамеровской, если числоуравнений в ней равно числу неизвестных. Рассмотрим крамеровскуюсистему линейных уравнений в общем виде (n = 2 или n = 3):

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1;a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn.

(1)


Определители для крамеровской системы

Введем следующие определители для этой системы:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · ·an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

∆1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 · · · a1n

b2 a22 · · · a2n

· · · ·bn an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ , . . . ,∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · b1

a21 a22 · · · b2

· · · ·an1 an2 · · · bn

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Здесь ∆ называется главным определителем крамеровской системы (1), аопределитель ∆i получается из ∆ заменой i-го столбца столбцомсвободных членов уравнений и называется определителем принеизвестном xi (i = 1, 2, . . . , n).


Правило Крамера

Следующее утверждение называется теоремой (или правилом) Крамера.

Теорема

Если главный определитель ∆ крамеровской системы линейных уравненийотличен от нуля, то она является определенной и ее единственное решениеесть x1 = ∆1

∆,. . . , xn = ∆n

∆.

Формулы для нахождения неизвестных называются формулами Крамера.


Решение системы с двумя неизвестными

Рассмотрим пример применения теоремы Крамера. Требуется решитьсистему линейных уравнений{

7x − 6y = 4;9x − 8y = −7.

Вычислим главный определитель:

∆ =

∣∣∣∣ 7 −69 −8

∣∣∣∣ = −56 + 54 = −2.

По теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислимопределители при неизвестных:

∆1 =

∣∣∣∣ 4 −6−7 −8

∣∣∣∣ = −32− 42 = −74,∆2 =

∣∣∣∣ 7 49 −7

∣∣∣∣ = −49− 36 = −85.

Получаем ответ:

x =∆1

∆= 37, y =

∆2

∆= 42

12.

Теорему Крамера наиболее удобно использовать для решениякрамеровских систем линейных уравнений с двумя неизвестными.


Решение системы с тремя неизвестными

Рассмотрим пример применения теоремы Крамера для решениякрамеровской системы с тремя неизвестными. Решим систему

2x − 4y + 9z = 28;7x + 3y − 6z = −1;7x + 9y − 9z = 5.

Вычислим главный определитель:

∆ =

∣∣∣∣∣∣2 −4 97 3 −67 9 −9

∣∣∣∣∣∣ = 2∣∣∣∣ 3 −69 −9

∣∣∣∣+ 4∣∣∣∣ 7 −67 −9

∣∣∣∣+ 9∣∣∣∣ 7 37 9

∣∣∣∣ = 348.

По теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислимопределители при неизвестных:

∆1 =

∣∣∣∣∣∣28 −4 9−1 3 −65 9 −9

∣∣∣∣∣∣ = 28∣∣∣∣ 3 −69 −9

∣∣∣∣+4∣∣∣∣ −1 −6

5 −9

∣∣∣∣+9∣∣∣∣ −1 3

5 9

∣∣∣∣ = 696,

∆2 =

∣∣∣∣∣∣2 28 97 −1 −67 5 −9

∣∣∣∣∣∣ = 2∣∣∣∣ −1 −6

5 −9

∣∣∣∣−28 ∣∣∣∣ 7 −67 −9

∣∣∣∣+9∣∣∣∣ 7 −17 5

∣∣∣∣ = 1044,


Окончание решения примера

∆3 =

∣∣∣∣∣∣2 −4 287 3 −17 9 5

∣∣∣∣∣∣ = 2∣∣∣∣ 3 −19 5

∣∣∣∣+ 4∣∣∣∣ 7 −17 5

∣∣∣∣+ 28∣∣∣∣ 7 37 9

∣∣∣∣ = 1392.

Находим решение системы:

x =∆1

∆= 2, y =

∆2

∆= 3, z =

∆3

∆= 4.


Тема 1: Введениеkadm.kmath.ru/files/angfiz_ovs_1.pdf · 2020-02-06 · Тема 1:...

Documents