Лекция 2...
TRANSCRIPT
Лекция 2Динамика поступательного
движения
ВСГУТУ, кафедра «Физика»
Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления
План:
1. Принцип относительности
2. Первый закон Ньютона
3. Второй закон Ньютона
4. Третий закон Ньютона
5. Силы в механике
6. Алгоритм решения задач динамики
7. Система частиц
8. Силы инерции
9. Тело переменной массы2
Первый закон Ньютона (закон инерции)
Инерция – явление сохранения скорости телом, если на
него не действуют внешние силы
Существует такая система отсчета, в которой всякое тело
находится в состоянии покоя или равномерного
прямолинейного движения пока воздействие со стороны
других тел не заставит его изменить это состояние
𝐅 = 0 → 𝐯 = 0
3
4
Инерциальные системы отсчета
Однородность времени
Однородность пространства
Изотропность пространства
К-система – неподвижная система
К’-система – подвижная система
Преобразования Галилея
𝐫′ = 𝐫 − 𝐯0𝑡
𝑥′ = 𝑥 − 𝑣0𝑡
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧𝑡′ = 𝑡
Смена системы координат
К’-система движется поступательно относительно К-системы
𝐫 = 𝐫′ + 𝐯0𝑡
𝐯𝟎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝐯 =𝑑𝐫
𝑑𝑡=𝑑𝐫′
𝑑𝑡+ 𝐯0𝑑𝑡
𝑑𝑡=
𝐯 = 𝐯′ + 𝐯𝟎
𝐚 =𝑑𝐯
𝑑𝑡= 𝐚′
Ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея
Принцип относительности Галилея
Все инерциальные системы по
своим механическим свойствам
эквивалентны друг другу
Во всех инерциальных системах
отсчета свойства пространства и
времени одинаковы, одинаковы
также и все законы механики
7
8
Сила – величина, характеризующая влияние
одного тела на другое, причина ускорения
СИ 𝐹 = Н =кг∙м
с2, ньютон
СГС 𝐹 = дин =г∙см
с2, дина
Инертность – свойство тела сопротивляться
изменению его скорости.
Масса – мера инертности при поступательном
движении
𝑚 = кг
Аддитивная величина
Постоянная величина
9
Второй закон Ньютона
Ускорение материальной точки пропорционально
действующей на нее силе и обратно пропорционально
её массе
𝑎 = 𝐹
𝑚𝐅 = 𝑚 ⋅ 𝐚 𝑚 ⋅ 𝐚 = 𝐅
Инвариантно относительно преобразований Галилея
10
11
𝐚 =𝐅
𝑚
12
Производная импульса частицы по времени равна
действующей на тело силе
𝑑 𝑝
𝑑𝑡= 𝐹
𝑑 𝑝
𝑑𝑡=𝑑(𝑚 𝑣)
𝑑𝑡= 𝑣𝑑𝑚
𝑑𝑡+ 𝑚𝑑 𝑣
𝑑𝑡= 𝑣𝑑𝑚
𝑑𝑡+ 𝑚 𝑎 = 𝐹
𝑷 = 𝑚𝒗 – импульс тела
Второй закон Ньютона
𝑑 𝑝 = 𝐹𝑑𝑡
𝐹𝑑𝑡 = Н ∙ с Импульс силы
Уравнение движения частицы 𝑓 𝑟, 𝑣, 𝑡, 𝐹 = 0
𝑑 𝑝
𝑑𝑡= 𝐹 𝑚 𝑎 = 𝐹
𝑑 𝑝
𝑑𝑡− 𝐹 = 0 𝑚 𝑎 − 𝐹 = 0
13
14
15
Принцип суперпозиции
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 +⋯
𝐹 – равнодействующая
Третий закон Ньютона
Силы, с которыми две
материальные точки воздействуют
друг на друга, всегда равны по
модулю и направлены в
противоположные стороны вдоль
прямой, соединяющей эти точки
𝐹12 = 𝐹21
Воздействия тел друг на друга
имеют характер взаимодействия
16
17
𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐵𝐴
Третий закон Ньютона
Фундаментальные взаимодействия
1. Гравитационное
2. Электромагнитное
3. Сильное
4. Слабое
18
Силы в механике
Сила гравитационного притяжения
𝐹12 = 𝐺𝑚1𝑚2
𝑟122 𝑟12
Кулоновская сила
𝐹12 = 𝑘𝑞1𝑞2
𝑟122 𝑟12
19
Силы в механике
Сила тяжести 𝐹т = 𝑚 𝑔
Вес тела 𝑃
сила, с которой тело действует на опору или подвес
Вес ≠ масса
20
Силы в механике
Сила реакции опоры 𝑁сила, с которой опора
действует на тело
Сила упругости 𝐹упр = −𝑘 𝑥
сила, пропорциональная
смещению тела из положения
равновесия и направленная к
положению равновесия21
22
Сила упругости
𝐹упр = −𝑘 𝑥
Закон Гука
Силы в механике
Сила трения скольжения 𝐹тр = −𝜇𝑁
сила, возникающая при
скольжении тела по
поверхности другого тела
Сила сопротивления 𝐹сопр = −𝜎 𝑣,
𝐹сопр = −𝜎𝑣2
сила, действующая на тело
при его движении в жидкости
или газе23
24
Сила реакции опоры
𝑁
Сила трения
𝐹тр = −𝜇𝑁
Задачи динамики
Прямая задача. Найти действующую на частицу силу,
если известны масса точки и зависимость от времени ее
радиус-вектора
𝑚, 𝑟 = 𝑟 𝑡 → 𝐹
25
Задачи динамики
Обратная задача. Найти закон движения частицы, если
известны масса частицы, действующая на нее сила и
начальные условия
𝑚, 𝐹, 𝑟0 → 𝑟 = 𝑟(𝑡)
26
27
𝑚𝐚 = 𝐅𝑖
𝑚𝐚 = 𝐅тяг + 𝐅тр +𝑚𝐠 + 𝐍
28
𝑚𝐚 = 𝐅тяг + 𝐅тр +𝑚𝐠 + 𝐍
29
𝑚𝐚 = 𝐅тяг + 𝐅тр +𝑚𝐠 + 𝐍
Ось 0x:
𝑚𝑎𝑥 = 𝐹тяг − 𝐹тр −𝑚𝑔𝑥
Ось 0y:
𝑚𝑎𝑦 = 𝑁 −𝑚𝑔𝑦
30
Ось 0x:
𝑚𝑎𝑥 = 𝐹тяг − 𝐹тр −𝑚𝑔𝑥
Ось 0y:
𝑚𝑎𝑦 = 𝑁 −𝑚𝑔𝑦 = 0
Алгоритм решения задач динамики
Запись условия
Построение чертежа
Выбор системы координат
Расстановка сил
Запись 2-го з.Н. в векторной форме
Запись 2-го з.Н. на координатные оси
Решение полученной системы уравнений 31
Система частиц
Импульс системы
𝑃 =
𝑖
𝑝𝑖 = 𝑝1 + 𝑝2 +⋯
Второй закон Ньютона
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝐹 =
𝑖
𝐹𝑖 = 𝐹внеш + 𝐹внутр
32
33
𝐹 =
𝑖
𝐹𝑖 =
𝑖
𝐹𝑖 внеш +
𝑖
𝐹𝑖 внутр
𝑖
𝐹𝑖 внутр = 0
Второй закон Ньютонадля системы тел
𝑑 𝑝
𝑑𝑡= 𝐹 =
𝑖
𝐹𝑖 внеш
Центр масс (центр инерции)
– точка, характеризующая
движение тела как целого
𝑟𝐶 = 𝑚𝑖𝑟𝑖 𝑚𝑖
= 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑀
𝑣𝐶 = 𝑚𝑖𝑣𝑖𝑀
𝑃 = 𝑀𝑣𝐶
34
Центр масс (центр инерции)
Уравнение движения центра масс системы
𝑀𝑑𝑣𝑐𝑑𝑡= 𝐹внеш
При движении любой системы частиц ее центр инерции
движется так, как если бы вся масса системы была
сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены
все внешние силы, действующие на систему
35
36
Теорема о движении центра масс
Неинерциальные системы отсчетаК’-система движется ускоренно
относительно К-системы
𝐫 = 𝐫′ + 𝐯0𝑡
𝐯𝟎 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝐯 =𝑑𝐫
𝑑𝑡=𝑑𝐫′
𝑑𝑡+𝐯0𝑑𝑡
𝑑𝑡= 𝐯′ + 𝒗𝟎
𝐚 =𝑑𝐯
𝑑𝑡= 𝐚′ + 𝐚𝟎
38
𝑷 = −𝒎𝒈 𝑷 = − 𝒎𝒈−𝒎𝒂𝑷 = − 𝒎𝒈+𝒎𝒂
𝑑𝐫 = 𝑑𝐫′ + 𝑑𝛗, 𝐫 =
= 𝐯′𝑑𝑡 + 𝑑𝛗, 𝐫
𝐯 = 𝐯′ + 𝛚, 𝐫
𝑑𝐯 = 𝑑𝐯′ + 𝛚, 𝑑𝐫
𝐯′ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑑𝐯′ = 𝑑𝛗, 𝐯′
𝑑𝛗, 𝐯′ − Изменение скорости, обусловленное вращением К’-системы
К’-система вращается с 𝝎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 относительно К-системы
𝑑𝐫 = 𝐯′𝑑𝑡 + 𝑑𝛗, 𝐫
𝑑𝐯 = 𝑑𝐯′ + 𝛚, 𝑑𝐫
𝐯′ ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑑𝐯′ = 𝐚′𝑑𝑡 + 𝑑𝛗, 𝐯′
𝐚 =𝑑𝐯
𝑑𝑡= 𝐚′ + 2 𝛚, 𝐯′ + 𝛚, 𝛚, 𝐫
К’-система вращается с 𝝎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 относительно К-системы
Кориолисовоускорение
Осестремительноеускорение
Силы инерции
Основное уравнение динамики в неинерциальной системе
𝑚𝐚 = 𝑚𝐚′ +𝑚𝐚𝟎 + 2𝑚 𝛚, 𝐯′ + 𝑚 𝛚, 𝛚, 𝐫
41
Сила Кориолиса
Поступательная сила инерции
Центробежная сила инерции
Сила Кориолиса
𝑚𝒂′ = 𝑚𝐚 − 2𝑚 𝛚, 𝐯′
42
Движение тела переменной массы
𝑑𝐩
𝑑𝑡=𝑑(𝑚𝐯)
𝑑𝑡= 𝐯𝑑𝑚
𝑑𝑡+𝑚𝐚 = 𝐅
Уравнение Мещерского
𝑚𝐚 = −𝐯отн𝑑𝑚
𝑑𝑡+ 𝐅,
𝑑𝑚 – изменение массы тела
𝐯отн𝑑𝑚
𝑑𝑡– реактивная сила
43
Движение тела переменной массы
𝑚𝑑𝐯
𝑑𝑡= −𝒗отн
𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝑑𝐯 = 𝐯отн𝑑𝑚
𝑚
∫ 𝑑𝑣 = −𝑣отн 𝑑𝑚
𝑚
𝑣 = −𝑣отн ln𝑚 + 𝐶
44
Начальные условия
𝑡0 = 0, 𝑣 = 0,𝑚 = 𝑚0
0 = −𝑣отн ln𝑚0 + 𝐶
𝐶 = 𝑣отн ln𝑚0
𝑣 = −𝑣отн ln𝑚0𝑚
Формула Циолковского
Движение тела переменной массы
Формула Циолковского
𝑣 = −𝑣отн ln𝑚0𝑚
𝑣отн = 2км
с, 𝑣1 косм = 8
км
с𝑚0𝑚= 54,6
98% массы ракеты приходится на топливо
45
46
47
48
49
𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓
50
𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓
Ось 0y𝑚1𝑎 = −𝑚1𝑔 + 𝑇Ось 0y’𝑚2𝑎 = 𝑚2𝑔 − 𝑇
51
𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓
Ось 0y𝑚1𝑎 = −𝑚1𝑔 + 𝑇Ось 0y’𝑚2𝑎 = 𝑚2𝑔 − 𝑇
𝑇 = 𝑚1𝑎 +𝑚1𝑔𝑇 = −𝑚2𝑎 +𝑚2𝑔
52
𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓
Ось 0y𝑚1𝑎 = −𝑚1𝑔 + 𝑇Ось 0y’𝑚2𝑎 = 𝑚2𝑔 − 𝑇
𝑇 = 𝑚1𝑎 +𝑚1𝑔𝑇 = −𝑚2𝑎 +𝑚2𝑔
𝑚1𝑎 +𝑚1𝑔 = −𝑚2𝑎 +𝑚2𝑔𝑎 𝑚1 +𝑚2 = 𝑔 𝑚2 −𝑚1