สรุปสตูร เร่ืองตรีโกณมิต ิวงกลมหน่ึงหน่วย

x

ytan ,...

2

5,

2

3,

2

1. , นิยาม ysin และ xcos ดงันัน้

y

xcot , ,...3,2,

x

1sec , ,...

2

5,

2

3,

2

y

1csc , ,...3,2,

2. อตัราสว่นตรีโกณมิติ

b

aÄsin

a

becAcos

b

cAcos

c

bAsec

c

aAtan

a

cAcot

3. ฟังก์ชนัตรีโกณมิติของมมุท่ีควรจําได้ ฟังก์ชนั 0 o30

6

o454

o603

o902

o180

sin 0 2

1 2

2

2

1

2

3 1 0

cos 1 2

3 2

2

2

1

2

1 0 1

tan 0 3

1 1 3 _ 0

cot _ 3 1 3

1 0 _

sec 1 3

2 2 2 _ 1

cosec _ 2 2 3

2 1 _

4. การหาคา่ของฟังก์ชนัตรีโกณของมมุประกอบท่ีค่าของฟังก์ชนัไมเ่ปล่ียนแปลง

20

ถ้ากําหนดให้

อยู ่ควอดรันต์ 2 อยู ่ควอดรันต์ 3 อยู ่ควอดรันต์ 4 อยู ่ควอดรันต์ 4 2

sin)sin( sin)sin( sin)2sin( sin)sin( cos)cos( cos)cos( cos)2cos( cos)cos( tan)tan( tan( ) tan tan)2tan( tan)tan(

กรณีท่ีมมุเป็นองศา ก็เช่นเดียวกนั

o180 อยู ่ควอดรันต์ 2 อยู ่ควอดรันต์ 3 อยู ่ควอดรันต์ 4 อยู ่ควอดรันต์ 4 o180 o360

sin)180sin( o sin)180sin( o sin)360sin( o sin)sin( cos)180cos( o cos)180cos( o cos)360cos( o cos)cos( tan)180tan( o tan)180tan( o tan)360tan( o tan)tan(

ในทํานองเดียวกนัถ้า และเป็นฟังก์ชนัของมมุท่ีเกินรอบ In

sin)n2sin( sin)n2sin( cos)n2cos( cos)n2cos( tan)n2tan( tan)n2tan(

หมายเหต ุ สตูรเหลา่นีใ้ช้ได้กบั ทกุขนาดของมมุหรือจํานวนจริงใด ๆ

การหาคา่ของฟังก์ชนัตรีโกณของมมุประกอบท่ีค่าของฟังก์ชนัต้องเปล่ียนแปลงฟังก์ชนั

(co-function)

2

3

2

3

2

2

อยู ่ควอดรันต์ 1 อยู ่ควอดรันต์ 2 อยู ่ควอดรันต์ 3 อยู ่ควอดรันต์ 4

cos)2

sin(

cos)2

sin(

cos)2

3sin(

cos)

2

3sin(

sin)2

cos(

sin)2

cos(

sin)2

3cos(

sin)

2

3cos(

cot)2

tan(

cot)2

tan(

cot)2

3tan(

cot)

2

3tan(

กรณีท่ีมมุเป็นองศา ก็เช่นเดียวกนั

o90 อยู ่ควอดรันต์ 1 อยู ่ควอดรันต์ 2 อยูค่วอดรันต์ 3 อยูค่วอดรันต์ 4 o90 o270 o270

cos)90sin( o cos)90sin( o cos)270sin( o cos)270sin( o

sin)90cos( o sin)90cos( o sin)270cos( o sin)270cos( o

cot)90tan( o cot)90tan( o cot)270tan( o cot)270tan( o

22 ba 5. คา่สงูสดุและต่ําสดุของ คือ cosbsina

6. เอกลกัษณ์พืน้ฐานท่ีควรทราบ กําหนดให้ เป็น มมุ , ความยาวสว่นโค้ง หรือ จํานวนจริงใด ๆ

1cossin 22 2cos1sin จะเลือก + หรือ – ต้องขึน้อยูก่บั

2sin1cos จะเลือก + หรือ – ต้องขึน้อยูก่บั

และ 22 eccoscot1 22 sectan1

กราฟของฟังก์ชนัตรีโกณมิติ

ฟังก์ชนั กราฟ โดเมน เรนจ์ คาบ แอมพลจิดู

xsiny

R

]1,1[

2

xcosy

R

]1,1[

2

xtany

2

1n2xx

In

R

xcoty

nxx

In

R

xsecy

2

1n2xx

In

),1[]1,(

2

ecxcosy

nxx

In

),1[]1,(

2

สตูรฟังก์ชนัตรีโกณมิติของผลบวกและผลตา่งของมมุหรือจํานวนจริง

)BAsin( BsinAcosBcosAsin )BAsin( BsinAcosBcosAsin )BAcos( BsinAsinBcosAcos )BAcos( BsinAsinBcosAcos

)BAtan( BtanAtan1

BtanAtan

)BAtan( BtanAtan1

BtanAtan

)BAcot( AcotBcot

1BcotAcot

)BAcot( AcotBcot

1BcotAcot

สตูรฟังก์ชนัตรีโกณมิติของมมุ 2 เทา่

2

Acos

2

Asin2 A2sin หรือ AcosAsin2 Asin

2

Asin

2

Acos 22 A2cos หรือ AsinAcos 22 Acos

12

Acos2 2 หรือ 1Acos2 2 Acos

2

Asin21 2 Asin21 2 หรือ Acos

2

Atan1

2

Atan2

2 A2tan

Atan1 2

Atan2Atan หรือ

A2cot Acot2

1Acot 2

Atan1

Atan22 Atan1

Atan22

เน่ืองจาก เราสามารถหา A2tan A2sin

Atan1

Atan12

2

A2cos

สตูรฟังก์ชนัตรีโกณมิติของมมุ 3 เทา่

A3sin Asin4Asin3 3

A3cos Acos3Acos4 3

A3tan Atan31

AtanAtan32

3

A3cot 1cot3

Acot3Acot2

3

สตูรฟังก์ชนัตรีโกณมิติของมมุคร่ึง

2

A2cos1 Asin 2

2

A2cos1 หรือ Asin

2

A2cos1 Acos2

2

A2cos1 หรือ Acos

A2cos1

A2cos1

Atan 2

A2cos1

A2cos1

หรือ Atan

คา่ของฟังก์ชนัของมมุบางมมุท่ีควรทราบ

o o 15sin 75cos4

26

22

13

o o 75sin 15cos4

26

22

13

o o 15tan 75cot13

13

o o 75tan 15cot13

13

o18sin o72cos4

15

o18cos o72sin 4

5210

o36cos o54sin4

15

o o 36sin 54cos4

5210

o o 5.22sin 5.67cos2

22

o o 5.22cos 5.67sin2

22

สตูรการเปล่ียนผลคณูของฟังก์ชนัเป็นผลบวกหรือผลตา่งของฟังก์ชนั BcosAsin2 )BAsin()BAsin( หรือ cossin2 )diffsin()sumsin(

BsinAcos2 )BAsin()BAsin( หรือ )diffsin()sumsin( sincos2

BcosAcos2 )BAcos()BAcos( หรือ coscos2 )diffcos()sumcos(

BsinAsin2 )BAcos()BAcos( หรือ sinsin2 )sumcos()diffcos(

สตูรการเปล่ียนผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชนัเป็นผลคณูของฟังก์ชนั

2

BAcos

2

BAsin2 BsinAsin

2

BAsin

2

BAcos2 BsinAsin

2

BAcos

2

BAcos2 BcosAcos

BcosAcos

2

ABsin

2

BAsin2

2

BAsin

2

BAsin2หรือ

ooo 80sin40sin20sin 8

3 หรือ 16

3 oooo 80sin60sin40sin20sin

ooo 80cos40cos20cos 8

1 หรือ 16

1 oooo 80cos60cos40cos20cos

อินเวอร์สของฟังก์ชนัตรีโกณมิติ

ฟังก์ชนัตรีโกณมิติ อินเวอร์สของฟังก์ชนั ฟังก์ชนัอินเวอร์ส โดเมนของ เรจน์ของ

ฟังก์ชนัอินเวอร์ส ฟังก์ชนัอินเวอร์ส

xsiny ysinx xarcsiny หรือ

xsiny 1 ]1,1[

2,

2

xcosy ycosx xarccosy หรือ

xcosy 1 ]1,1[

,0

xtany ytanx xarctany

สตูรความสมัพนัธ์ของฟังก์ชนัอินเวอร์สตรีโกณมิติ 1. )xarcsin( xarcsin 1,1x 2. )xarccos( xarccos 1,1x 3. )xarctan( xarctan Rx 4. )xsin(arcsin x 1,1x และ

)xarcsin(sin x

2,

2x ดงันัน้

)xsin(arcsin )xarcsin(sin 1,1x 5. )xcos(arccos x 1,1x และ )xarccos(cos x ,0x ดงันัน้

)xcos(arccos )xarccos(cos 1,1x 6. )xtan(arctan x Rx และ

)xarctan(tan x

2,

2x ดงันัน้

)xtan(arctan )xarctan(tan

2,

2x

หรือ

xtany 1 R

2,

2

หรือ xcoty ycotx xcotarcy

xcoty 1 R

),0(

xsecy ysecx xsecarcy หรือ

xsecy 1 )1,1(R

2,0

xcscy ycscx xcscarcy หรือ

xcscy 1 )1,1(R 0

2,

2

7. )xcotarccot( x Rx และ )xcot(cotarc x ),0(x ดงันัน้

)xcotarccot( )xcot(cotarc ),0(x 8. )xsecarcsec( x )1,1(Rx และ

)xsec(secarc x

2,0x ดงันัน้

2,0x )xsecarcsec( )xsec(secarc

9. )xcscarccsc( x )1,1(Rx และ

)xcsc(cscarc x 02

,2

x

ดงันัน้

)xsecarcsec( )xsec(secarc )1,1(Rx

10. yarctanxarctan xy1

yxarctan

2yarctanxarctan

2

yarctanxarctan xy1

yxarctan

2yarctanxarctan

2

yarctanxarctan xy1

yxarctan

2

yarctanxarctan

yarctanxarctan xy1

yxarctan

2

yarctanxarctan

2x1

x2arctan

11. xarctan2

12. xarcsin 2x1arccos

2x1

xarctan

x

x1cotarc

2

2x1

1secarc

x

1cscarc

13. xarccosxarcsin 2

1,1x

xcotarcxarctan 2

Rx

xcscarcxsecarc 2

1,1Rx

การแก้สมการตรีโกณมิติ 1. ถ้าโจทย์กําหนด เอกภพสมัพทัธ์ ต้องตอบในรูปของเซตจํากดั 2. ถ้าโจทย์ไมกํ่าหนด เอกภพสมัพทัธ์ ต้องตอบในรูปทัว่ไป และกําหนดให้ เอกภพสมัพทัธ์ R ดงันี ้

2.1 ถ้า คําตอบของสมการ คือ sinxsin n)1(nx

2.2 ถ้า คําตอบของสมการ คือ cosxcos n2x

2.3 ถ้า คําตอบของสมการ คือ tanxtan nx

3. หลกัท่ีควรคํานงึถงึเก่ียวกบัเร่ืองการแก้สมการ คือ 3.1 การแปลงทกุคา่ของตวัแปรให้เป็นฟังก์ชนัเดียวกนัและมมุเดียวกนั 3.2 การแยกตวัประกอบ

การแก้อสมการตรีโกณมิติ ใช้หลกัเหมือนกบัการแก้สมการในระบบจํานวนจริง โดยมีคา่ของฟังก์ชนัตรีโกณมิติเป็นตวัแปรใด ๆ

การแก้รูปสามเหล่ียม ใช้หลกัดงันี ้คือ

1. ถ้าสามเหล่ียมดงักลา่วนัน้เป็นสามเหล่ียมมมุฉากใช้ 1.1 ทฤษฎีบทพีธากอรัส 1.2 อตัราสว่นตรีโกณมิติ

2. ถ้าสามเหล่ียมนัน้เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ ใช้

Csin

c

Bsin

b

Asin

a2.1 กฎของไซน์ คือ

2.2 กฎของโคไซน์ คือ

bc2

acbAcosAcosbc2cba

222222

ac2

bcaBcosBcosac2cab

222222

ab2

cbaCcosCcosab2bac

222222

2.3 กฎของโปรเจกชนั

BcoscCcosba AcoscCcosab AcosbBcosac

2

1 ฐาน สงู 3. การหาพืน้ท่ีรูปสามเหล่ียม

Csinab2

1

)cs)(bs)(as(s )cba(2

1โดยท่ี s

4. การหาพืน้ท่ีของรูปสามเหล่ียมฐานโค้ง

2

1 ฐานโค้ง รัศมี ตารางหน่วย 4.1 เม่ือทราบความยาวฐานโค้ง

1

r2

4..2 เม่ือทราบขนาดของมมุท่ีจดุศนูย์กลาง 2o

r360

ตารางหน่วย

2r2