LA MAGIADELLAMATEMATICA

ARTHUR BENJAMIN

Traduzione di Davide Calonico

La traduzione dell’opera è stata realizzata grazie al contributo del SEPS Segretariato Europeo per le Pubblicazioni Scientifiche

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Arthur Benjamin La magia della matematica

Titolo originale The Magic of Math Solving for x and Figuring Out Why

Copyright © 2015 by Arthur Benjamin

Redazione e impaginazione: Vermont Abate Copertina: Asintoto

© 2016 Codice edizioni, Torino Tutti i diritti sono riservati ISBN 978-88-7578-643-4

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Dedico questo lib ro a mia moglie, Deena, e alle mie figlie, Laurel e Ariel

La magia della matematica

Intr0duzi0ne Da sempre ho una vera e propria passione per la magia: sia che guardi un altro mago sia che miimprovvisi io prestigiatore, sono affascinato dai trucchi che permettono di tirare fuori vere e propriemeraviglie, adoro impararne i segreti. La matematica mi regala le stesse emozioni, perché da subitomi sono reso conto che i numeri hanno una loro magia. Per esempio, ecco un trucco divertente.Pensate a un numero da 20 a 100. Fatto? Adesso sommate le cifre che compongono il numero esottraete il totale dal numero che avete scelto. Infine sommate le cifre del risultato. Fa 9, vero? (Senon è così, controllate un po’ i calcoli.) Forte, vero? La matematica è piena di magie come questa,solo che a scuola non ce le insegnano. In questo libro vedrete che i numeri, le forme e anche lalogica pura ci possono regalare sorprese deliziose. Spesso i segreti dei maghi si svelano con un po’di algebra e di geometria, e magari potrete scoprire qualche meraviglia matematica voi stessi. Nelle prossime pagine troverete argomenti matematici di base, come i numeri, l’algebra, lageometria, la trigonometria e il calcolo differenziale, ma anche nozioni non sempre ben spiegatecome il triangolo di Pascal, l’infinito e le proprietà magiche dei numeri 9, π, e, i, i numeri di Fibonaccie il rapporto aureo. Sebbene i grandi argomenti della matematica non possano essere tutti racchiusiin poche decine di pagine, spero comunque che uscirete da questa lettura con i concettifondamentali, un’idea migliore di come funzionino, nonché l’eleganza e l’importanza di ognuno.Anche se di queste cose avrete già sentito parlare, credo che li coglierete e apprezzerete in unaprospettiva nuova. Inoltre, a mano a mano che andremo avanti, la magia si farà sempre piùsofisticata e affascinante. Per fare un altro esempio, ecco una delle mie equazioni preferite:

eiπ + 1 = 0

Alcuni la chiamano “Equazione di Dio”, perché racchiude in un’unica magica formula tutti i numeri piùimportanti. In particolare usa 0 e 1, le fondamenta dell’aritmetica; π = 3,14159…, il numero piùimportante della geometria; e = 2,71828…, il numero chiave dell’analisi; infine, il numeroimmaginario i, che è la radice quadrata di −1. Parleremo a lungo di π nel Capitolo 8, mentrescenderemo nel dettaglio di i ed e nel Capitolo 10. Arrivati al Capitolo 11 incontreremo la matematicache ci aiuterà a capire questa equazione magica. Il pubblico a cui è rivolto il libro è rappresentato da tutti coloro che un giorno avranno bisogno di uncorso di matematica, o che lo stanno già seguendo, o ancora a chi di corsi non ne segue più. In altreparole, voglio che tutti si godano il libro, dai matematicofobici a quelli innamorati pazzi dei numeri. Perfarlo, ho bisogno di alcune regole.

Regola 1: Potete saltare i riquadri grigi (eccetto questo)! Tutti i capitoli sono pieni di “A parte”, in cui mi piace partire per la tangente per parlare di qualcosa diinteressante. Magari un esempio in più, una dimostrazione o un approfondimento per il lettore piùesperto. La prima volta che leggete il libro potete saltarli; forse anche la seconda e la terza, perchéspero davvero che lo rileggerete. La matematica è una materia che vale la pena ripassare. Regola 2: Non abbiate paura di saltare paragrafi, sezioni o anche interi capitoli. Oltre a saltare i riquadri grigi, sentitevi liberi di andare avanti ogni volta che vi bloccate. A volte c’èbisogno di una prospettiva più ampia prima di immergersi in un argomento. Sarete sorpresi diquanto sembri più semplice una volta tornati indietro. Sarebbe un peccato fermarsi a metà libro e

quanto sembri più semplice una volta tornati indietro. Sarebbe un peccato fermarsi a metà libro e

perdersi quello che viene dopo. Regola 3: Non saltate l’ultimo capitolo. L’ultimo capitolo, sulla matematica dell’infinito, è pieno di idee spiazzanti che probabilmente non vihanno insegnato a scuola né vi insegneranno mai, e molti dei risultati non sono legati ai capitoliprecedenti. D’altro canto, l’ultimo capitolo fa riferimento alle idee presenti in tutti gli altri, e quindi vidarà un incentivo a tornare indietro per rileggere parti del libro. Regola π: aspettatevi l’inatteso. Certo, la matematica è un argomento serio, ma non deve essere insegnata per forza in modo freddoe asettico. Insegno questa materia all’Harvey Mudd College e ogni tanto mi piace scherzare, citareuna poesia, una canzone o proporre un trucco magico per rendere la lezione più divertente. Questoapproccio sarà presente in tutto il libro. Per vostra fortuna non dovrete sentirmi cantare! Seguite le regole e scoprite la magia della matematica!

Capitolo 1 La magia dei numeri

1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = 5050

Schemi numerici

Lo studio della matematica comincia con i numeri; infatti a scuola, dopo aver imparato a contare e arappresentare i numeri con parole, cifre e oggetti fisici, passiamo anni a manipolarli con l’addizione,la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e le altre operazioni aritmetiche. Eppure non ci rendiamoconto che i numeri hanno una loro intrinseca magia capace di divertirci; è sufficiente guardareappena sotto la superficie. Cominciamo con un problema assegnato a un matematico di nome KarlFriedrich Gauss quando era solo un ragazzo. L’insegnante chiese a lui e ai suoi compagni disommare tutti i numeri da 1 a 100: un compito noioso per tenere gli studenti impegnati mentre facevaaltro. Gauss sorprese tutti scrivendo immediatamente la risposta: 5050. Come c’era riuscito? Avevaimmaginato i numeri da 1 a 100 divisi in due file, quelli da 1 a 50 sulla fila di sopra e i numeri da 51 a100 su quella di sotto, scritti però al contrario, come mostrato sotto. Gauss notò che tutte le 50colonne avevano sempre la stessa somma, 101, così il totale era 50 × 101, ossia 5050.

I numeri da 1 a 100 divisi in due colonne; la somma di ogni coppia fa 101. Gauss sarebbe diventato il più grande matematico del diciannovesimo secolo, non per la sua abilitànel calcolo a mente ma per la sua capacità di far danzare i numeri. In questo capitolo esploreremomolti schemi numerici degni di interesse e cominceremo a capire in che modo i numeri “danzino”.Alcuni schemi si applicano per velocizzare il calcolo a mente, altri sono semplicemente belli daconoscere e apprezzare. Abbiamo seguito la logica di Gauss per sommare i primi cento numeri; ma se avessimo volutosommare i primi 17 o 1000 o 1.000.000? In effetti possiamo usare lo stesso metodo per sommare iprimi n numeri, con n a piacere! Per alcune persone i numeri sono meno astratti se vengono visualizzati. Chiamiamo i numeri 1, 3, 6,10 e 15 numeri triangolari, perché con loro possiamo disegnare triangoli come quelli mostrati diseguito, usando cerchietti. (Potreste dubitare del fatto che un cerchietto solo formi un triangolo,eppure 1 è considerato triangolare.) La definizione formale è che l’n-esimo numero triangolare è 1 +2 + 3 + … + n.

I primi 5 numeri triangolari sono 1, 3, 6, 10 e 15. Guardate cosa succede se mettiamo due numeri triangolari uno accanto all’altro, comerappresentato qui di seguito:

Quanti cerchietti ci sono nel rettangolo? I due triangoli formano un rettangolo con 5 righe e 6 colonne, dunque 30 cerchietti in totale. Così, ognitriangolo di partenza doveva avere la metà dei cerchietti, ossia 15. Certo, lo sapevamo già, ma questoragionamento vi dimostra che se prendete due triangoli con n righe e li mettete insieme, comeabbiamo fatto, formate un rettangolo con n righe e n + 1 colonne, che possiede n × (n + 1) cerchietti(spesso scritto in modo più compatto come n(n + 1) cerchietti). Alla fine abbiamo trovato la formulapromessa per la somma dei primi n numeri:

Riflettete su cosa abbiamo fatto realmente: abbiamo notato uno schema per sommare i primi 100numeri e siamo riusciti a estenderlo a qualsiasi situazione analoga. Se ora abbiamo bisogno disommare i numeri da 1 a 1.000.000, lo facciamo in due passaggi: moltiplichiamo 1.000.000 per1.000.001 e dividiamo per 2! Una volta trovata una formula matematica, spesso se ne presentano altre; qui, per esempio, se

Una volta trovata una formula matematica, spesso se ne presentano altre; qui, per esempio, se

raddoppiamo entrambi i membri dell’equazione precedente troviamo la formula per la somma deiprimi n numeri pari:

2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

E la somma dei primi n numeri dispari? Diamo un’occhiata ai numeri stessi, e cerchiamo di capirese ci dicono qualcosa.

Qual è somma dei primi n numeri dispari? I numeri a destra sono quadrati perfetti: 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 e via dicendo. È difficile resistere allatentazione di dire che la somma dei primi n numeri dispari fa n × n, spesso scritto come n 2. Ma comepossiamo essere certi che non sia solo una coincidenza temporanea? Vedremo alcuni modi didimostrare questa formula nel Capitolo 6, ma uno schema così semplice deve avere unaspiegazione elementare. La mia preferita usa di nuovo una strategia “conta i cerchietti”, e ci ricorda ilmotivo per cui chiamiamo quadrati perfetti i numeri come 25. Perché la somma dei primi 5 numeridispari dovrebbe fare 52? Guardiamo qui sotto la figura del quadrato 5 × 5.

Quanti cerchietti ci sono nel quadrato? Il quadrato ha 5 × 5 = 25 cerchietti. Proviamo però a contarli in un modo diverso, cominciando daquello in alto a sinistra, che è circondato da altri 3 cerchietti, poi da 5, 7 e 9. Di conseguenza,

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

Se partiamo da un quadrato n × n, possiamo dividerlo in n (all’indietro) regioni a forma di L condimensione 1, 3, 5,…, (2n − 1). Se la guardiamo così, allora abbiamo una formula per la sommadegli n numeri dispari:

1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n 2

A parte Più avanti nel libro vedremo che il metodo “conta i cerchietti” – e in generale il metodo di rispondere auna domanda in due modi diversi – porta ad alcuni risultati interessanti anche per la matematicaavanzata. Tuttavia è utile anche per capire la matematica elementare. Per esempio, perché 3 × 5 = 5× 3? Scommetto che non vi siete neanche mai posti il problema, fin dall’istante in cui a scuola vihanno detto che l’ordine dei fattori non conta (in linguaggio matematico si dice che la moltiplicazionedi due numeri è commutativa). Ma perché 3 borse con 5 biglie contengono la stessa quantità di 5borse con 3 biglie? La spiegazione è semplice se contate i cerchietti di un rettangolo 3 × 5. Contandoper righe, vediamo 3 righe di 5 elementi ciascuna, ossia 3 × 5 cerchi. D’altro canto, abbiamo anche 5colonne con 3 elementi ciascuna, ossia 5 × 3 cerchietti.

Perché 3 × 5 = 5 × 3? Applichiamo lo schema della somma dei numeri dispari per trovarne uno ancora più bello, conl’obiettivo (appunto) di far danzare i numeri, arrivando quasi a formare una bella quadriglia. Consideriamo questa interessante piramide di equazioni:

1 + 2 = 3

4 + 5 + 6 = 7 + 8

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24

25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = 31 + 32 + 33 + 34 + 35

…

Scorgete un qualche schema? È facile contare gli elementi di ciascuna riga: 3, 5, 7, 9, 11 e così via.Attenti adesso, arriva una struttura inaspettata. Qual è il primo numero di ogni riga? Dalle prime 5righe: 1, 4, 9, 16, 25… sembrano proprio i quadrati perfetti. Ma perché? Guardiamo la quinta riga.Quanti numeri ci sono prima della riga 5? Contando i numeri delle 4 righe precedenti, ottenete 3 + 5 +7 + 9. Per avere il primo numero della quinta riga aggiungiamo soltanto 1 a questa somma,

7 + 9. Per avere il primo numero della quinta riga aggiungiamo soltanto 1 a questa somma,

ottenendo in realtà la somma dei primi 5 numeri dispari che noi sappiamo già valere 52. Adesso, verifichiamo la quinta equazione senza fare davvero l’addizione. Cosa farebbe Gauss? Seignoriamo per un attimo il 25 all’inizio, restano 5 numeri sulla sinistra, ognuno è pari al numerocorrispondente sulla destra meno 5.

Confronto tra il membro a sinistra e a destra della riga 5. Così, i numeri a destra in totale sono maggiori di 25 dei loro corrispondenti di sinistra: alla finel’equazione si bilancia proprio come promesso. Con la stessa logica e un po’ di algebra, si dimostrache questo schema si ripete all’infinito.

A parte Per chi desidera vedere quel po’ di algebra, eccola. La riga n è preceduta da 3 + 5 + 7 +…+ (2n − 1) =n 2 − 1 numeri, così il lato sinistro dell’equazione deve cominciare con il numero n 2, seguito da nnumeri consecutivi da n 2 + 1 fino a n2 + n. Il lato destro ha n numeri consecutivi che partono da n 2 + n+ 1 fino a n 2 + 2n. Se ignoriamo per il momento il numero n 2 numeri a sinistra, vediamo che gli nnumeri sulla destra sono tutti maggiori di n dei corrispondenti sulla sinistra, così la differenza vale n ×n, cioè n 2, che però è compensata sulla sinistra dal termine iniziale n 2, così l’equazione èsoddisfatta. È ora di un altro schema. Abbiamo visto che i numeri dispari si possono usare per costruire quadrati,vediamo ora cosa capita se li mettiamo in un grande triangolo, come quello qui sotto.

Un triangolo dispari. Osserviamo come 3 + 5 = 8, 7 + 9 + 11 = 27, 13 + 15 + 17 + 19 = 64. Cosa hanno in comune i numeri1, 8, 27 e 64? Sono cubi perfetti! Per esempio, sommando i 5 numeri della quinta riga si ottiene

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5 × 5 × 5 = 53

Lo schema suggerisce che la somma dei numeri della n-esima riga sia n3. Sarà sempre così o èsolo una coincidenza? Per aiutarci a comprendere questo schema, controlliamo i numeri centralidelle righe 1, 3 e 5. Voi cosa vedete? I quadrati perfetti 1, 9 e 25. Le righe 2 e 4 non hanno un numerocentrale, ma ai lati del centro troviamo i numeri 3 e 5 con media 4 e i numeri 15 e 17 con media 16.Vediamo come possiamo sfruttare questo schema. Concentriamoci sempre sulla riga 5. Innanzitutto sappiamo fare la somma 53 quasi senza contare,se notiamo che questi numeri sono centrati simmetricamente rispetto a 25. La media dei cinque

se notiamo che questi numeri sono centrati simmetricamente rispetto a 25. La media dei cinque

numeri è 52, allora il totale sarà 52 + 52 + 52 + 52 + 52 = 5 × 52, che fa 53. Allo stesso modo, la media dei4 numeri di riga 4 è 42, così la somma totale farà 43. Con un po’ di algebra (che qui non faremo), sidimostra che la media degli n numeri della riga n vale n 2, e che il loro totale è n 3, come voluto. Parlando di cubi e di quadrati, non riesco a resistere, devo mostrarvi un altro schema. Che sommeottenete se sommate i cubi dei numeri a cominciare da 13?

La somma dei cubi è sempre un quadrato perfetto. Se cominciamo a sommare i cubi, abbiamo 1, 9, 36, 100, 225 e così via, tutti quadrati perfetti. Ma nonsolo: sono proprio i quadrati 1, 3, 6, 10, 15 e via dicendo, ad essere tutti numeri triangolari! Primaabbiamo visto come questi sono le somme degli interi, così, per esempio

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

In altre parole, la somma dei cubi dei primi n numeri è il quadrato della somma dei primi n numeri.Non siamo ancora pronti per provarlo, ma ne vedremo due dimostrazioni nel Capitolo 6.

Calcolo mentale veloce

Alcuni penseranno dei miei schemi numerici: “Va bene, carini, ma a che servono?”. La maggioranzadei matematici a questo punto risponderebbe che uno schema bello non ha bisogno di altragiustificazione che la sua stessa bellezza, un po’ come risponderebbe un artista. Inoltre, siaffretterebbe ad aggiungere che la struttura dei numeri diventa sempre più bella a mano a mano chela si capisce con maggiore profondità. Invece, queste strutture hanno spesso applicazioni vere nelmondo reale. Ecco un esempio semplice che ho avuto il piacere di scoprire da giovane (anche se non sono stato ilprimo). Stavo studiando le coppie di numeri che hanno come somma 20 (come 10 e 10, 9 e 11) e michiesi quanto valessero i loro prodotti. Apparentemente il prodotto maggiore si ottiene quando inumeri sono entrambi 10, e lo schema lo conferma.

Il prodotto dei numeri a somma 20. Lo schema è cristallino: quando i numeri si allontanano uno dall’altro, il prodotto diminuisce. Equanto diminuisce da 100? 1, 4, 9, 16, 25, … che sono 12, 22, 32, 42, 52 e via dicendo. Per provare se loschema funziona sempre così, consideriamo un altro esempio, usando le coppie che hanno somma26.

Il prodotto dei numeri a somma 26. Di nuovo, il prodotto è massimo quando i due numeri sono uguali, mentre diminuisce da 169 primadi 1, poi 4, 9 e così via. Dopo pochi altri esempi mi convinsi che lo schema era corretto (dopomostrerò l’algebra che ci sta dietro) per accorgermi infine che questa struttura poteva essere usataper il calcolo veloce del quadrato dei numeri. Per esempio, immaginate di voler quadrare 13. Invecedi calcolare direttamente 13 × 13, moltiplichiamo 10 × 16 = 160 che è più facile. Abbiamo quasi larisposta: siccome siamo scesi di 3, allora ci siamo allontanati di 32. Così,

132 = (10 × 16) + 32 = 160 + 9 = 169

Proviamone un’altra. Calcolate 98 × 98 con il mio metodo. Saliamo di 2 verso 100, quindi scendiamodi 2 fino a 96, poi aggiungiamo 22. Quindi,

982 = (100 × 96) + 22 = 9600 + 4 = 9604

Il quadrato dei numeri che finiscono per 5 è particolarmente facile, perché quando si sale e si scendedi 5, i numeri da moltiplicare finiscono per 0. Per esempio:

352 = (30 × 40) + 52 = 1200 + 25 = 1225 552 = (50 × 60) + 52 = 3000 + 25 = 3025 852 = (80 × 90) + 52 = 7200 + 25 = 7225

Adesso proviamo 592. Salendo e scendendo di 1 otteniamo 592 = (60 × 58) + 12. Ma come facciamo acalcolare a mente 60 × 58? Un piccolo aiuto: da sinistra a destra. Ignorate lo 0 e calcolate 6 × 58 dasinistra a destra. Adesso 6 × 50 = 300 e 6 × 8 = 48, che sommati (sempre da sinistra a destra) fanno348. Così, 60 × 58 = 3480, e 592 = (60 × 58) + 12= 3480 + 1 = 3481

A parte Vi spiego l’algebra che sta dietro a questo metodo (forse tornerete a rileggere questo riquadro dopoaver affrontato la differenza di quadrati nel Capitolo 2) A 2 = (A + d)(A − d) + d 2

In cui A è il numero di cui fare il quadrato, d la distanza dal numero facile più vicino (in realtà laformula funziona con qualsiasi d). Per esempio, se quadriamo 59, A = 59 e d = 1, così dalla formulafaremo (59 + 1) × (59 − 1) + 12, come nei calcoli precedenti. Una volta che vi siate impratichiti a quadrare numeri a due cifre, potete usare lo stesso metodo perquelli con tre cifre. Per esempio, sapendo che 122 = 144, allora

1122 = (100 × 124) + 122 = 12.400 + 144 = 12.544

Possiamo usare un metodo simile per moltiplicare due numeri qualsiasi prossimi a 100: appenavedrete questa tecnica vi sembrerà pura magia. Pensate al problema di moltiplicare 104 × 109.Scriviamo vicino a ciascun numero la sua distanza da 100, come nella figura sotto, quindisommiamo il primo numero con la distanza del secondo, che nel nostro esempio fa 104 + 9 = 113.Adesso moltiplichiamo la distanza dei numeri, cioè 4 × 9 = 36. Mettiamo insieme questi due numeri ela risposta magicamente comparirà.

Un metodo magico per moltiplicare due numeri vicini a 100, in questo caso, 104 × 109 = 11.336. Vi mostrerò qualcosa di più nel Capitolo 2, insieme con l’algebra che ci sta dietro, ma già che cisiamo, lasciatemi spendere qualche parola sul calcolo a mente. Passiamo una spaventosa quantitàdi tempo a imparare l’aritmetica con carta e penna, ma così poco per apprendere come far di conto amente. Eppure, nella pratica, quasi sicuramente avete più bisogno di calcolare a mente che su unfoglio: mentre per i calcoli più grossi usate la calcolatrice, in genere non tirate fuori né la calcolatricené carta e penna quando state leggendo un’etichetta nutrizionale oppure mentre ascoltate undiscorso o consultate un rapporto sulle vendite. In queste situazioni, avrete bisogno di una velocestima a mente delle quantità più importanti. I metodi che insegnano a scuola sono ottimi per il calcolo scritto, ma in genere sono davvero scarsiper quello a mente. Potrei scrivere un libro intero sulle strategie di calcolo mentale veloce, ma quipresenterò alcuni concetti di base. Il trucco fondamentale, su cui non mi stancherò mai di insistere, èeseguire il calcolo da sinistra a destra. La matematica mentale è un processo di costantesemplificazione: si comincia da un problema complesso per poi scomporlo in problemi sempre piùsemplici fino a raggiungere la risposta desiderata.

Addizioni a mente

Prendiamo un problema come

314 + 159

(scrivo i numeri in riga così sarete meno tentati dalla modalità carta e penna). Cominciamo da 314 eaggiungiamo prima il numero 100 così da trasformare il problema in una somma più semplice:

414 + 59

Sommiamo 50 a 414 e otteniamo una somma ancora più semplice che possiamo risolvere subito:

464 + 9 = 473

Questa è tutta l’essenza della somma a mente: l’unica altra strategia che talvolta può tornare utile ètrasformare una somma complessa in una facile sottrazione. Capita spesso quando sommiamo ilprezzo dei prodotti in un negozio. Per esempio, facciamo

23,58 € + 8,95 €

Siccome 8,95 € è 5 centesimi sotto 9 €, cominciamo a sommare 9 € a 23,58 € e poi sottraiamo 5centesimi. In questo modo il problema si semplifica in

32,58 € − 0,05 € = 32,53 €

Sottrazione a mente

Il concetto fondamentale della sottrazione a mente è la strategia del “togliere troppo”. Per esempio,se si sottrae 9, è spesso più facile sottrarre prima 10 e poi aggiungere 1, così:

83 – 9 = 73 + 1 = 74

Allo stesso modo, invece di sottrarre 39, sottraiamo 40 e poi aggiungiamo 1:

83 – 39 = 43 + 1 = 44

Nel sottrarre numeri con due cifre o più, l’idea chiave è usare i complementi (mi farete icomplimenti…). Il complemento di un numero è la distanza che lo separa dal numero arrotondato piùvicino. Con una cifra sola, è la distanza da dieci (per esempio, il complemento di 9 è 1), mentre pernumeri a due cifre è la distanza da 100. Guardate le seguenti coppie di numeri che hanno somma100. Che cosa notate?

Somma a 100 di numeri complementari a due cifre. Diciamo che il complemento di 87 è 13, il complemento di 75 è 25 e così via. Viceversa, ilcomplemento di 13 è 87 e il complemento di 25 è 75. Se leggiamo ogni problema da sinistra adestra, noterete che (fatta eccezione per l’ultimo caso) le cifre più a sinistra hanno somma 9 e quelledi destra hanno somma 10. L’eccezione arriva quando i numeri finiscono entrambi per 0, comenell’ultimo caso. Applichiamo ora la strategia del complemento all’operazione 1234 − 567. In ogni caso si tratta di unesercizio noioso se lo si fa con carta e penna, ma con i complementi, una sottrazione difficile sitrasforma in una facile somma. Per sottrarre 567, cominciamo a sottrarre 600, che è molto facile,

trasforma in una facile somma. Per sottrarre 567, cominciamo a sottrarre 600, che è molto facile,

specialmente se ragionate da sinistra a destra: 1234 – 600 = 634. Tuttavia, abbiamo tolto troppo, matroppo quanto? Quanto dista 567 da 600? Quanto 67 da 100, cioè 33. Pertanto,

1234 – 567 = 634 + 33 = 667

Notate che il problema di addizione è particolarmente facile dal momento che non ci sono riporti, equando si usano i complementi è spesso così. Succede qualcosa di analogo con i complementi a tre cifre:

Somma a 1000 di numeri complementari a tre cifre. Per tutti i numeri che non finiscono per 0, la cifre corrispondenti hanno somma 9, tranne l’ultimacoppia che ha somma 10: nell’esempio con 789, 7 + 2 = 9, 8 + 1 = 9 e 9 + 1 = 10. Il tutto ci tornautilissimo quando per esempio prendiamo il resto: il mio panino preferito costa 6,76 €, quanto ricevodi resto se pago con 10 €? Facile: prendiamo il complemento di 676, che è 324, così il resto fa 3,24€.

A parte Ogni volta che compro il mio panino preferito, non posso fare a meno di notare che sia il prezzo sia ilresto sono quadrati perfetti (262 = 676 e 182 = 324). Domanda extra: c’è un’altra coppia di quadratiperfetti che hanno somma 1000. Riuscite a trovarla?

Moltiplicazioni a mente

Una volta che abbiate imparato a memoria le tabelline della tavola pitagorica fino a 10, potetecalcolare a mente quasi qualsiasi moltiplicazione. Il passo successivo è gestire, senza memorizzarenulla, qualsiasi moltiplicazione di un numero a cifra singola con uno a cifra doppia. Ancora una volta,l’idea di base è procedere da sinistra a destra: se moltiplichiamo 8 × 24, dovremmo primamoltiplicare 8 × 20, poi aggiungere 8 × 4.

8 × 24 = (8 × 20) + (8 × 4) = 160 + 32 = 192

Una volta imparato questo, si passa alle moltiplicazioni tra numeri a cifra singola e numeri a tre cifre,che sono un pizzico più complesse, perché bisogna tenere a mente più numeri. Il trucco è sommarea mano a mano che si procede, in modo da non portarsi dietro troppe cose da ricordare. Peresempio, se moltiplicate 456 × 7, vi fermerete per sommare 2800 + 350, come si vede sotto, prima diaggiungere ancora 42.

Dopo che avrete fatto un po’ di pratica con problemi di questo livello, potrete cimentarvi con lemoltiplicazioni di numeri a due cifre. Secondo me il divertimento comincia qui, perché in genere cisono diversi modi per affrontare questi problemi; inoltre, se li risolvete con metodi differenti potreteanche controllare la risposta… e allo stesso tempo godere della straordinaria coerenzadell’aritmetica! Vi mostrerò tutti i metodi usando lo stesso esempio: 32 × 38. Quello più familiare, che più somiglia a quanto già fate con carta e penna, è la tecnica di addizione,applicabile a qualsiasi problema. Si divide uno dei due numeri, in genere quello con la cifra piùbassa, in due parti, poi si moltiplica ciascuna parte per l’altro numero e infine si sommano i risultati.In questo modo,

32 × 38 = (30 + 2) × 38 = (30 × 38) + (2 × 38) = …

Ma come calcoliamo 30 × 38? Facciamo 3 × 38, poi attacchiamo uno 0 alla fine. Dal momento che 3× 38 = 90 + 24 = 114, allora 30 × 38 = 1140. Da qui 2 × 38 = 60 + 16 = 76 e quindi

32 × 38 = (30 × 38) + (2 × 38) = 1140 + 76 = 1216

Un altro modo per risolvere le moltiplicazioni come questa è il metodo di sottrazione, che in genere siusa quando i numeri finiscono per 7, 8, o 9. In questo caso, sfruttiamo il fatto che 38 = 40 − 2 pertrasformare l’operazione in

38 × 32 = (40 × 32) − (2 × 32) = 1280 – 64 = 1216

Entrambi i metodi di addizione o sottrazione richiedono di tenere a mente un numero grande (come1140 o 1280) mentre si fa un calcolo separato, e questo può risultare faticoso. Di solito il mio metodo preferito per la moltiplicazione a due cifre è la fattorizzazione, applicabile tuttele volte che un numero si può esprimere come il prodotto di due numeri a cifra singola. Nel nostroesempio, 32 si può fattorizzare in 8 × 4. Così,

38 × 32 = 38 × 8 × 4 = 304 × 4 = 1216

Se fattorizzassimo 32 in 4 × 8, avremmo 38 × 4 × 8 = 152 × 8 = 216, tuttavia io preferisco moltiplicare ilnumero a due cifre prima per il fattore più grande, in modo che il numero successivo (di solito a trecifre) si moltiplichi per il fattore più piccolo.

A parte Il metodo di fattorizzazione funziona molto bene anche con i multipli di 11, perché esiste un truccoparticolare nella moltiplicazione per 11: si sommano le cifre e si scrive la somma in mezzo alle cifre

particolare nella moltiplicazione per 11: si sommano le cifre e si scrive la somma in mezzo alle cifre

stesse. Per esempio, per moltiplicare 53 × 11, sommiamo 5 + 3 = 8 e la soluzione è 583. Quanto fa27 × 11? 2 + 7 = 9, quindi fa 297. Cosa succede se la somma delle due cifre supera 9? In questocaso, si mette l’ultima cifra del totale e si aumenta la prima cifra di 1. Per esempio, per calcolare 48 ×11, visto che 4 + 8 = 12, la soluzione è 528. Allo stesso modo, 74 × 11 = 814. Possiamo sfruttarequesti trucchetti anche quando moltiplichiamo multipli di 11. Prendete per esempio 74 × 33 = 74 × 11 × 3 = 814 × 3 = 2442 Un altro metodo divertente per moltiplicare numeri a due cifre è la tecnica dei “molto vicini”, che si puòusare quando i numeri cominciano con la stessa cifra. La prima volta che la si vede in azione,sembra pura magia: avreste mai pensato potesse essere così facile?

38 × 32 = (30 × 40) + (8 × 2) = 1200 + 16 = 1216

Il calcolo è particolarmente semplice (come nell’esempio sopra) quando la somma delle secondecifre dà 10. (Nel nostro caso, entrambi i numeri cominciano per 3 e le seconde cifre danno 8 + 2 =10.) Ecco un altro esempio:

83 × 87 = (80 × 90) + (3 × 7) = 7200 + 21 = 7221

Anche quando le seconde cifre non hanno somma 10, il calcolo è abbastanza agevole. Per esempio,se moltiplicate 41 × 44, diminuite il fattore più piccolo di 1 (così raggiungete il numero 40), poiaumentate quello più grande di 1. Di conseguenza,

41 × 44 = (40 × 45) + (1 × 4) = 1800 + 4 = 1804

Nel caso di 34 × 37, diminuite 34 di 4 (ottenendo 30), poi moltiplicatelo per 37 + 4 = 41, infineaggiungete 4 × 7:

34 × 37 = (30 × 41) + (4 × 7) = 1230 + 28 = 1258

Per inciso, la misteriosa moltiplicazione 104 × 109 che abbiamo incontrato prima era un’applicazionedi questa tecnica.

104 × 109 = (100 × 113) + (4 × 9) = 11.300 + 36 = 11.336

In alcune scuole si chiede agli studenti di imparare a memoria le moltiplicazioni fino a 20. Ma inrealtà possiamo fare questi calcoli a mente molto in fretta, usando questa tecnica:

17 × 18 = (10 × 25) + (7 × 8) = 250 + 56 = 306

Per spiegare come funziona questo metodo misterioso ci servirà l’algebra, di cui parleremo nelCapitolo 2. A quel punto potremo scoprire nuovi modi di calcolare, e per esempio mostreremo perchél’ultimo problema si possa risolvere anche in questa maniera:

18 × 17 = (20 × 15) + ((−2) × (−3)) = 300 + 6 = 306

Tornando alle tabelline, vi ho promesso di parlare della tavola pitagorica, che trovate in fondo a

Tornando alle tabelline, vi ho promesso di parlare della tavola pitagorica, che trovate in fondo a

questa pagina. Vi propongo una domanda che sicuramente avrebbe intrigato il giovane Gauss: qualè la somma di tutti i numeri della tavola pitagorica? Prendetevi un minuto e vedete se riuscite arisolvere il problema in modo elegante. Alla fine del capitolo vi svelerò la soluzione.

Divisioni e stime mentali

Cominciamo con una domandina banale con una risposta semplicissima, che ci hanno giàinsegnato a scuola: se moltiplichiamo due numeri a tre cifre, quante cifre avrà il prodotto? A cui seguela domanda collegata: quante cifre ha il prodotto della moltiplicazione di un numero a 4 cifre per unoa 5? Passiamo davvero tanto tempo a scuola per imparare come generare le cifre di una moltiplicazione odi una divisione, mentre pochissimo è dedicato a riflettere su alcuni aspetti importanti dellasoluzione. In verità è molto più importante conoscere la dimensione approssimata del risultatoinvece del valore della prima o dell’ultima cifra.

Qual è la somma di tutti i 100 numeri della tavola pitagorica? (Sapere che il risultato comincia per 3 non avrà alcun significato, almeno fino a quando non sapretese la soluzione sarà più vicina a 30.000, 300.000 o 3.000.000.) La risposta alla prima domanda è 5 o6 cifre. Perché? La risposta più piccola possibile è 100 × 100 = 10.000, che ha 5 cifre. La più grandepossibile invece è 999 × 999, certamente minore (anche se di poco!) di 1000 × 1000 = 1.000.000, ilprimo numero a 7 cifre. Essendo più piccolo, 999 × 999 deve avere 6 cifre. (Ovvio che potrestefacilmente fare il calcolo a mente: 9992 = (1000 × 998) + 12 = 998.001.) Così il prodotto di due numeria 3 cifre sarà un numero a 5 o 6 cifre. La risposta alla seconda domanda è 8 o 9 cifre. Perché? Il più piccolo numero a 4 cifre è 1000, notoanche come 103 (1 seguito da 3 zeri). Il più piccolo numero a 5 cifre è 10.000 = 104. Quindi il prodottopiù piccolo vale 103 × 104 = 107, numero a 8 cifre. (Da dove viene 107? 103 × 104 = (10 × 10 × 10) × (10× 10 × 10 × 10) = 107.) Invece, il prodotto più grande sarà giusto un pelo più piccolo del numero a 10 cifre 104 × 105 = 109,

Invece, il prodotto più grande sarà giusto un pelo più piccolo del numero a 10 cifre 104 × 105 = 109,

che è il numero più piccolo di 10 cifre, così il risultato avrà al massimo 9 cifre. Applicando questa logica, arriviamo a una regola semplice: un numero con m cifre moltiplicato per unnumero con n cifre ha m + n o m + n − 1 cifre. In genere è facile determinare quante cifre avrà il risultato semplicemente dando uno sguardo allaprima cifra sulla sinistra di entrambi i numeri. Se il prodotto delle prime cifre è maggiore o uguale a10, il risultato finale avrà certamente m + n cifre. (Per esempio, in 271 × 828, il prodotto delle primecifre dà 2 × 8 = 16, così il risultato avrà 6 cifre.) Se il prodotto delle prime cifre vale 4 o meno, ilrisultato avrà m + n – 1 cifre. Come esempio, 314 × 159 ha 5 cifre. Infine, se il prodotto delle primecifre è 5, 6, 7, 8, o 9, occorre un’analisi ulteriore. Per esempio, 222 × 444 ha cinque cifre mentre 234 ×456 ne ha 6. Entrambi i risultati sono vicini a 100.000, che poi è ciò che conta realmente. Se giriamo la regola, arriviamo a una regola di divisone ancora più semplice: un numero con m cifrediviso per un numero con n cifre dà un numero con m − n o m – n + 1 cifre. Per esempio, un numero a 9 cifre diviso per un numero a 5 cifre avrà 4 o 5 cifre. La regola perdecidere in quale dei due casi ci troviamo è ancora più facile di quella per la moltiplicazione. Invece dimoltiplicare o dividere le prime cifre, dobbiamo semplicemente confrontarle. Se la prima cifra delprimo numero (quello da dividere) è minore di quella del secondo, allora il risultato avrà il numerominore di cifre, ossia m − n. Viceversa, se la prima cifra del primo numero è maggiore, allora siottiene un risultato a m – n + 1 cifre. Se le prime cifre sono uguali, si guardano le seconde e siapplica la stessa regola. Per esempio, 314.159.265 diviso 12.358 avrà un risultato a 5 cifre, mentrese lo dividiamo per 62.831, il risultato avrà 4 cifre. Dividendo 161.803.398 per 14.142 otterremo unnumero a 5 cifre, perché 16 è maggiore di 14. Non illustrerò la tecnica per fare le divisioni a mente, perché è molto simile al metodo carta e penna.(In effetti, quando fate una divisione a penna, costruite la risposta procedendo da sinistra a destra!)Tuttavia, vi suggerisco qualche scorciatoia che sicuramente vi tornerà utile. Quando dividete per 5 (oper qualsiasi numero che finisce per 5), il problema di solito si semplifica se raddoppiatenumeratore e denominatore. Per esempio:

34 ÷ 5 = 68 ÷ 10 = 6,8 123 ÷ 4,5 = 246 ÷ 9 = 82 ÷ 3 = 27 + 1/3

Dopo aver raddoppiato, magari avrete notato come sia 246 sia 9 siano divisibili per 3 (ci torneremonel Capitolo 3), così la divisione si semplifica ulteriormente dividendo entrambi per 3.

A parte Prendiamo i reciproci di tutti i numeri da 1 a 10:

1/2 = 0,5, 1/3 = 0,333…, 1/4 = 0,25, 1/5 = 0,2 1/6 = 0,1666…, 1/8 = 0,125, 1/9 = 0,111…, 1/10 = 0,1

Le parti decimali dopo due termini o si fermano o cominciano a ripetersi, con l’unica bizzarraeccezione di 1/7, che comincia a ripetersi dopo ben 6 decimali:

1/7 = 0,142857 142857…

(La ragione per cui tutti gli altri reciproci finiscono così in fretta è che i numeri dal 2 all’11 sono divisori

(La ragione per cui tutti gli altri reciproci finiscono così in fretta è che i numeri dal 2 all’11 sono divisori

di uno tra 10, 100, 1000, 9, 90, o 99, mentre il primo numero del genere di cui 7 è divisore è 999.999.)Se scrivete le cifre decimali di 1/7 in un cerchio, accade qualcosa di magico:

Il “settimo cerchio”. La faccenda davvero notevole è che tutte le frazioni con denominatore 1/7 si possono generaregirando sul cerchio all’infinito partendo dal punto giusto. In particolare,

1/7 = 0,142857 142857…, 2/7 = 0,285714 285714…, 3/7 = 0,428571 428571…, 4/7 = 0,571428 571428…, 5/7 = 0,714285 714285…, 6/7 = 0,857142 857142… Concludiamo questo capitolo con la risposta alla domanda di qualche pagina fa: quanto vale lasomma di tutti i numeri della tavola pitagorica? A prima vista, sembra una domanda intimidatoria,come poteva apparire anche il problema di sommare i primi 100 numeri. Tuttavia, avendofamiliarizzato un po’ con gli schemi meravigliosi che emergono quando i numeri danzano, abbiamomaggiori probabilità di trovare una risposta elegante al problema. Cominciamo sommando i numeri della prima riga, magari proprio con il metodo di Gauss, oppureusando la formula dei numeri triangolari o ancora per semplice addizione.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

E la somma della seconda riga? Vale semplicemente

2 + 4 + 6 + … + 20 = 2(1 + 2 + 3 + … + 10) = 2 × 55

Con lo stesso ragionamento, la somma della terza riga vale 3 × 55 e, continuando con la logica, neconcludiamo che la somma di tutti i numeri varrà

(1 + 2 + 3 + … + 10) × 55 = 55 × 55 = 552

Che a questo punto sarete in grado di calcolare a mente… 3025!

Capitolo 2 La magia dell’algebra

Introduzione magica

Incontrai l’algebra per la prima volta durante una chiacchierata con mio padre, quando ero bambino.«Figlio mio, l’algebra è uguale all’aritmetica: basta sostituire le lettere ai numeri. Per esempio, 2x +3x = 5x e 3y + 6y = 9y. Hai capito?». Io risposi di sì e lui subito: «Bene allora, quanto fa 5U + 5U?».«10U» risposi con baldanza. E lui: «Non riesco a sentirti, puoi dirlo più forte?». «DIECIÙ!!!» urlai. Elui: «Salute!». (Si divertiva una sacco con i giochi di parole, molto più che con l’insegnamento dellamatematica: avrei dovuto stare attento e non cascarci anche quella volta!) La mia seconda esperienza con l’algebra fu il seguente trucchetto di magia:

Punto 1: Pensate a un numero da 1 a 10 (ma se volete anche più grande). Punto 2: Raddoppiatelo. Punto 3: Aggiungete 10. Punto 4: Dividete per 2. Punto 5: Adesso sottraete il numero di partenza.

Il numero che avete in mente ora è 5, vero? Qual è il segreto di questa magia? L’algebra. Rifacciamoil giochino, passo per passo, dal Punto 1: non so quale sia il numero di partenza, così lorappresenteremo con la lettera N, una variab ile, ossia una lettera che rappresenta un numerosconosciuto. Al Punto 2, raddoppiamo il numero, così passiamo a 2N. (In genere non si mette il simbolo dimoltiplicazione, specialmente perché spesso è usata come variabile la lettera x.) Dopo il Punto 3, ilnumero diventa 2N + 10, dopo il Punto 4 si divide per 2 e otteniamo N + 5. Infine, togliamo il numerodi partenza, che era N. Dopo aver sottratto N da N + 5, resta 5. Ricapitoliamo il nostro trucchetto inuna tabella.

Le regole dell’algebra

Cominciamo con un indovinello: trovate il numero che triplica quando gli aggiungete 5. Per risolverlo, chiameremo il numero incognito x, a cui aggiungiamo 5 ottenendo x + 5. D’altra parte,triplicare il numero di partenza ci dà 3x, e se vogliamo che questi numeri siano uguali dovremorisolvere l’equazione

3x = x + 5

Se sottraiamo x da entrambi i lati, l’equazione diventa

2x = 5

(Da dove viene 2x? 3x − x è uguale a 3x − 1x, che vale 2x.) Dividiamo entrambi i membri per 2 earriviamo a

x = 5/2 = 2,5

Verifichiamo che la risposta sia corretta, sommando 2,5 + 5 = 7,5, che è esattamente tre volte 2,5.

A parte Ecco un altro trucchetto che l’algebra ci aiuta a svelare. Scrivete un numero di tre cifre a caso, ma conle cifre in ordine decrescente, come 842 o 951. A questo punto invertite le cifre che lo compongono esottraete questo secondo numero dal primo. Qualunque sia il risultato, invertite di nuovo le cifre esommate i due numeri. Vediamo cosa succede usando 853:

Ora provate con un numero diverso: dove arrivate? Se seguite bene le istruzioni, il risultato saràcomunque 1089! Ma com’è possibile? SOS, algebra! Supponiamo di cominciare con il numero di trecifre abc, dove a > b > c. Proprio come il numero 853 = (8 × 100) + (5 × 10) + 3, abc vale 100a + 10b +c. Quando invertiamo le cifre, otteniamo cba, che ha come valore 100c + 10b + a. Se sottraiamo, ilrisultato è

(100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) = (100a − a) + (10b − 10b ) + (c − 100c)

= 99a − 99c = 99(a − c)

In altre parole, la differenza deve essere un multiplo di 99, ma dal momento che il numero di partenzaha le cifre in ordine decrescente, a − c vale come minimo 2, così può essere 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9. Diconseguenza, con la sottrazione siamo certi di avere un numero tra

198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, oppure 891.

Per ognuno di loro, se aggiungiamo il corrispondente con le cifre invertite si ottiene

198 + 891 = 297 + 792 = 396 + 693 = 495 + 594 = 1089

Insomma, otteniamo sempre 1089. Abbiamo semplicemente incontrato quella che chiamo regola d’oro dell’algebra: “Fai a un lato quelloche vorresti fare all’altro”. Esempio: supponiamo di voler risolvere per x l’equazione

3(2x + 10) = 90

Il nostro obiettivo è isolare la x. Cominciamo dividendo entrambi i membri per 3; in questo modol’equazione si semplifica in

2x + 10 = 30

Poi, se ci sbarazziamo di quel 10 togliendolo a entrambi i lati, arriviamo a

2x = 20

Infine, se dividiamo entrambi i membri per 2, fa semplicemente

x = 10

Come sempre, controllare la risposta è un’ottima idea. In questo caso, quando x = 10, allora 3(2x +10) = 3(30) = 90, proprio come voluto. Esistono altre soluzioni per l’equazione di partenza? No,perché un valore diverso di x dovrebbe soddisfare tutte le equazioni che ne seguono, così x = 10 èl’unica soluzione. Ecco a voi un problema di algebra della vita reale, preso dal “New York Times”, che nel 2014 riportòche il film L’intervista, prodotto dalla Sony Pictures, aveva guadagnato 15 milioni di dollari tra venditeonline e noleggi nei primi quattro giorni da quando era stato messo in commercio. La Sony nondichiarò quanto, sul totale, provenisse dalle vendite online (15 dollari a copia), e quanto dai noleggi (6dollari ciascuno): si limitò a dire che nell’insieme c’erano state 2 milioni di transazioni. Per risolverequesto problema, indichiamo con una V il numero di vendite online e con una N quello dei noleggi.Dal momento che le transazioni sono state 2 milioni, sappiamo che

V + N = 2.000.000

E poiché ogni vendita online vale 15 dollari, mentre ogni noleggio online vale 6 dollari, l’incasso totalesoddisfa

15V + 6N = 15.000.000

Dalla prima equazione ricaviamo che N = 2.000.000 – V, che ci permette di riscrivere la secondaequazione come

15V + 6(2.000.000 − V) = 15.000.000

Quindi, in modo equivalente, 15V + 12.000.000 − 6V = 15.000.000, che ha solo la variabile V.Possiamo riscriverla come

9V + 12.000.000 = 15.000.000

Se togliamo 12.000.000 dai due lati troviamo che

9V = 3.000.000

Quindi, V vale un terzo di milione circa, V ≈ 333.333 e quindi V = 2.000.000 − N ≈ 1.666.667.(Controllo: le vendite totali sarebbero 15(333.333) $ + 6(1.666.667) $ ≈ 15.000.000 $.) Ora dobbiamo parlare di una regola che finora abbiamo usato senza nominarla chiaramente, laproprietà distributiva, la regola che permette alla moltiplicazione e all’addizione di funzionare beneinsieme. La proprietà distributiva dice che per qualsiasi numero a, b , c,

a(b + c) = ab + ac

È la regola che usiamo quando moltiplichiamo un numero a una cifra per uno a due cifre. Peresempio

7 × 28 = 7 × (20 + 8) = (7 × 20) + (7 × 8) = 140 + 56 = 196

Cerchiamo di capirla bene pensando a quando contiamo: supponete di avere 7 borselli pieni dimonete, ognuno con 20 monete d’oro e 8 di argento. Quante monete avete in tutto? Da una parte,ogni borsa ha 28 monete, quindi il totale fa 7 × 28. Dall’altra, possiamo anche notare come ci siano 7× 20 monete d’oro e 7 × 8 monete d’argento, per cui (7 × 20) + (7 × 8) monete in totale. Pertanto, 7 ×28 = (7 × 20) + (7 × 8). Potete pensare alla proprietà distributiva anche da un punto di vista geometrico, immaginando l’areadi un rettangolo da due prospettive diverse, come mostrato nella figura che segue.

Il rettangolo raffigura la regola distributiva a(b + c) = ab + ac. Da un lato, l’area vale a(b + c), d’altra parte la porzione sinistra del rettangolo ha area ab , mentre laparte destra ha area ac, che combinate danno ab + ac, dimostrando la proprietà distributiva di

parte destra ha area ac, che combinate danno ab + ac, dimostrando la proprietà distributiva di

qualsiasi numero positivo a, b e c. Tra l’altro, spesso questa proprietà si applica insieme a numeri e variabili, come in questo esempio:

3(2x + 7) = 6x + 21

Quando leggiamo l’equazione da sinistra a destra, possiamo interpretarla come il metodo permoltiplicare 2x + 7 per 3. Quando osserviamo l’equazione da destra a sinistra, ci troviamo con unmodo di fattorizzare 6x + 21 “raccogliendo un 3” da 6x e 21.

A parte Perché un numero negativo moltiplicato per un numero negativo dà come risultato un numeropositivo? Per esempio, perché mai (−5) × (−7) = 35? Gli insegnanti lo spiegano in molti modi,parlando di “cancellazione dei debiti” o addirittura dicendo che “è semplicemente così”. Ma la ragionevera è il desiderio che la proprietà distributiva valga per tutti i numeri, non soltanto per quelli postivi.Pertanto, se volete che la proprietà funzioni anche con i negativi e lo 0, dovrete accettarne leconseguenze. Vediamo subito perché. Immaginate di accettare il fatto che −5 × 0 = 0 e −5 × 7 = −35.(Anche questo si dimostra, con una strategia simile a quella che stiamo per usare, tuttavia lamaggioranza delle persone è ben felice di accettare queste affermazioni come vere.) Se adessovalutiamo l’espressione

−5 × (−7 + 7)

Quanto vale? Da un lato, è semplicemente −5 × 0, che sappiamo fa 0. Tuttavia, dall’altro lato, usandola proprietà distributiva, deve valere anche ((−5) × (−7)) + (−5 × 7). Quindi,

((−5) × (−7)) + (−5 × 7) = ((−5) × (−7)) − 35 = 0

Poiché ((−5) × (−7)) − 35 = 0, ne concludiamo che (−5) × (−7) = 35. In generale, la proprietàdistributiva assicura che (− a) × (− b ) = ab per tutti i numeri a e b .

La magia di PEIU

Una conseguenza importante della proprietà distributiva è la regola PEIU dell’algebra, secondo laquale per ogni numero o variabile a, b , c, d,

(a + b )(c + d) = ac + ad + bc + bd

PEIU è l’acronimo di primi-esterni-interni-ultimi: in questo caso, ac è il prodotto dei primi termini di (a+ b )(c + d), mentre ad è il prodotto dei termini esterni e bc quello degli elementi interni, infine bd è ilprodotto degli ultimi termini. Per chiarire, moltiplichiamo due numeri usando PEIU:

23 × 45 = (20 + 3)(40 + 5) = (20 × 40) + (20 × 5) + (3 × 40) + (3 × 5) = 800 + 100 + 120 + 15 = 1035

A parte Come fa PEIU a funzionare? Grazie alla proprietà distributiva, rispetto alla somma scritta per prima,abbiamo che

(a + b )e = ae + be

Se sostituiamo e con c + d, otteniamo

(a + b )(c + d) = a(c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd

In cui l’ultimo passaggio deriva da una seconda applicazione della proprietà distributiva. Se invecepreferite un argomento più geometrico, quando a, b , c e d sono positivi, allora potete considerarel’area del rettangolo rappresentato qui sotto in due modi diversi.

In prima battuta, l’area del rettangolo vale (a + b )(c + d), tuttavia possiamo anche scomporlo in quattrorettangoli minori, di area ac, ad, bc e bd. Pertanto l’area del rettangolo grande vale anche ac + ad +bc + bd per cui eguagliando le due espressioni dell’area troviamo direttamente la regola PEIU. Per provare un’applicazione magica di PEIU, prendete due dadi e seguite le istruzioni della tabellaalla pagina seguente. Per esempio, supponiamo che dal primo dado sia uscito un 6 e dal secondoun 3. I numeri che si trovano sulla faccia opposta sono rispettivamente 1 e 4: li chiameremo numeriopposti a quelli usciti.

In questo esempio, il totale della somma fa 49, ma se provate con qualsiasi lancio di dadi, otterretesempre lo stesso. La proprietà magica si basa sul fatto che in un dado ordinario le facce oppostehanno numeri a somma 7. Pertanto, se nel tiro dei dadi escono x e y, i numeri delle facce oppostevalgono 7 − x e 7 − y. Se usiamo l’algebra, la tabella diventa

Notate che nella terza riga della tabella abbiamo applicato proprio PEIU e che − x per − y è positivo evale xy. Potremmo arrivare a 49 anche usando meno algebra: se guardiamo la seconda colonnadella tabella e ci accorgiamo che sulle righe si trovano proprio i quattro termini che si ottengono conPEIU sul prodotto (x + (7 − x))(y + (7 − y)) = 7 × 7 = 49. Nei corsi di algebra, PEIU si usa prevalentemente per moltiplicare espressioni come

(x + 3)(x + 4) = x 2 + 4x + 3x + 12 = x 2 + 7x + 12

Notate come nell’espressione finale, il 7, detto coefficiente della x, è proprio la somma dei duenumeri 3 e 4, mentre l’ultimo 12, detto termine costante è il prodotto di 3 × 4. Con un po’ di pratica,riuscirete a scrivere i prodotti al volo: per dire, dal momento che 5 + 7 = 12 e 5 × 7 = 35, ci rendiamoconto immediatamente che

(x + 5)(x + 7) = x 2 + 12x + 35

Funziona anche con i numeri negativi, come potete vedere nelle espressioni che seguono, dove peresempio abbiamo sfruttato il fatto che 6 + (−2) = 4 e 6 × (−2) = −12.

(x + 6)(x − 2) = x 2 + 4x – 12

(x + 1)(x − 8) = x 2 − 7x – 8 (x − 5)(x − 7) = x 2 − 12x + 35

Se invece consideriamo il caso in cui i numeri che si moltiplicano sono gli stessi:

(x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) = x 2 + 10x + 25 (x − 5)2 = (x − 5)(x − 5) = x 2 − 10x + 25

In particolare, potete vedere come (x + 5)2 ≠ x 2 + 25, un errore piuttosto comune tra gli studenti dialgebra. Inoltre, guardate come succede qualcosa di particolare quando i numeri hanno segnoopposto. Siccome 5 + (−5) = 0,

(x + 5)(x − 5) = x 2 + 5x − 5x − 25 = x 2 − 25

In generale, è utile ricordare a memoria la formula della differenza di quadrati:

(x + y)(x − y) = x 2 − y 2

Abbiamo già usato questa formula nel Capitolo 1, per trovare una veloce scorciatoia nel calcolo deiquadrati. Il metodo si basava su quest’algebra:

A 2 = (A + d)(A − d) + d 2

Controlliamo la formula: usando la differenza di quadrati, sappiamo che [(A + d)(A − d)] + d 2 = [A 2 − d2] + d 2 = A 2 e quindi la formula funziona per qualsiasi valore di A e d. Nella pratica, A è il numero daquadrare, mentre d è la distanza dal numero facile più vicino. Se vogliamo quadrare 97, per esempio,scegliamo d = 3, in modo che

A parte Ecco una dimostrazione grafica della formula della differenza di quadrati, che mostra come unaforma geometrica di area x 2 − y 2 possa essere separata e riorganizzata in un rettangolo di area (x +y)(x − y).

Nel Capitolo 1 abbiamo anche imparato un metodo per moltiplicare velocemente i numeri vicini,concentrandoci su quelli prossimi a 100 o che cominciano con la stessa cifra; tuttavia, una volta cheavremo capito l’algebra che ci sta dietro, potremmo applicarla a molti più casi. Eccovi pertantol’algebra del metodo dei “molto vicini”.

(z + a)(z + b ) = z(z + a + b ) + ab

La formula funziona in quanto (z + a)(z + b ) = z 2 + zb + za + ab , pertanto possiamo portar fuori afattore z dai primi tre termini, e possiamo applicarla a qualsiasi numero, anche se in generedecidiamo che z finisca per 0 (ecco perché ho scelto la lettera z !). Per esempio, per moltiplicare 43 ×48, possiamo scegliere z = 40, a = 3, b = 8 e così otteniamo la seguente formula

Notate come la somma dei due fattori della moltiplicazione iniziale sia 43 + 48 = 91 e che i numeri piùfacili da moltiplicare continuino ad avere somma 40 + 51 = 91. Non è una coincidenza: l’algebra cidice che i numeri iniziali hanno somma (z + a) + (z + b ) = 2z + a + b , che è lo stesso totale dellasomma nei numeri più semplici z e z + a + b . Con la stessa algebra, si dimostra che possiamoarrotondare a numeri più facili anche verso l’alto: se consideriamo l’ultimo calcolo, potevamoscegliere anche z = 50, a = −7, e b = −2, in modo che la moltiplicazione iniziale fosse 50 × 41. (Siarriva facilmente a 41 se si nota che 43 + 48 = 91 = 50 + 41.) Da qui,

A parte Nel Capitolo 1 abbiamo usato un metodo per moltiplicare numeri appena più grandi di 100, mafunziona alla perfezione anche con numeri un po’ più piccoli. Per esempio,

Notate che 96 + 97 = 193 = 100 + 93. In pratica, mi serve soltanto sommare le ultime cifre, 6 + 7, persapere che 100 sarà moltiplicato per un numero che finisce per 3, che deve essere per forza 93.)Inoltre, una volta che sia stato afferrato il concetto, non sarà necessario moltiplicare due numerinegativi: basta moltiplicare i loro valori positivi, come in questo esempio:

Il metodo si applica a tutti i numeri, sia quelli minori sia quelli maggiori di 100, ma occorre alla finefare una sottrazione. Prendete come esempio

E ancora, il numero 102 si può esprimere come 109 − 7 o 93 + 9 o anche 109 + 93 − 100 (inoltre, sesemplicemente sommate le ultime cifre dei numeri di partenza, 9 + 3, capite subito che il numerofinirà per 2, che potrebbe anche bastarvi come informazione). Facendo un po’ di pratica, arriverete ausare questo metodo per qualsiasi moltiplicazione di due numeri relativamente vicini tra loro. Ve lomostro con due numeri a tre cifre di difficoltà media. Insisto: a e b non sono necessariamente numeria una cifra.

Risolvere in x

All’inizio del capitolo abbiamo visto alcuni esempi di come si risolvano le equazioni con la regolad’oro dell’algebra. È facile risolvere un’equazione quando contiene una sola variabile – chiamiamolax – ed entrambi i membri sono lineari, ossia contengono solo numeri o multipli di x, ma nulla di piùcomplicato come x 2 o peggio. Prendiamo l’equazione

9x − 7 = 47

Possiamo aggiungere 7 a entrambi i lati per trasformarla in 9x = 54, per poi dividere per 9 e ottenerex = 6. Altrimenti, se ci troviamo davanti a un problema algebrico solo un po’ più complesso:

5x + 11 = 2x + 18

Semplicemente sottraiamo 2x a entrambi i membri e poi togliamo 11 a destra e sinistra per arrivare a

3x = 7

che ha soluzione x = 7/3. Insomma, qualsiasi equazione lineare può essere semplificata nella formaax = b (o ax − b = 0) che ammette la soluzione x = b /a (assumendo a ≠ 0). La situazione si complica con le equazioni quadratiche, in cui entra in scena la variabile x 2. Leequazioni quadratiche più semplici hanno una forma del tipo

x 2 = 9

che ha due soluzioni, x = 3 e x = −3. Anche quando il membro destro non è un quadrato perfetto,come nel caso

x 2 = 10

abbiamo due soluzioni, In generale, per n > 0, il

numero , detto radice quadrata di n, indica quel numero positivo che ha come quadrato n. Di solito,

numero , detto radice quadrata di n, indica quel numero positivo che ha come quadrato n. Di solito,

se n non è un quadrato perfetto, è necessario usare una calcolatrice.

A parte E l’equazione x 2 = −9? Per ora diciamo che non ha soluzione. In effetti non ci sono numeri reali chehanno quadrato −9. Tuttavia nel Capitolo 10 vedremo che esistono due soluzioni per questaequazione dal significato molto reale, indicate come x = 3i e x = −3i, in cui la i è detta unitàimmaginaria, un numero che ha come quadrato −1. Se vi sembra impossibile o ridicolo, vi capisco:ma ricordate che c’è stato sicuramente un tempo in cui vi saranno sembrati impossibili anche inumeri negativi; quando vi siete chiesti come poteva un numero essere più piccolo di 0… vi è bastatosoltanto cominciare a guardare i numeri da destra invece che da sinistra per dar loro un senso… Un’equazione come

x 2 + 4x = 12

è solo un po’ più complicata per via del termine 4x, ma ci sono diversi modi per aggirare il problema,proprio come per il calcolo mentale. La prima tecnica che applico a questo tipo di problema è il metodo di fattorizzazione. Per prima cosaspostiamo tutto a sinistra, in modo che a destra dell’equazione resti solo 0. Nel nostro esempio,l’equazione diventa

x 2 + 4x − 12 = 0

E adesso? Siamo fortunati, perché possiamo notare che x 2 + 4x − 12 = (x + 6)(x − 2), proprio comequando abbiamo applicato la regola PEIU. In questo modo, il problema si trasforma in

(x + 6)(x − 2) = 0

L’unico modo in cui il prodotto di due quantità può dare 0 è che almeno una di esse valga 0, pertantopotremmo avere sia x + 6 = 0 sia x − 2 = 0, il che equivale a dire che si può avere sia x = −6 sia x = 2,entrambe soluzioni del problema iniziale, come potreste verificare direttamente. Se applichiamo PEIU, (x + a)(x + b ) = x 2 + (a + b )x + ab . In questo modo, sembra quasi chefattorizzare una quadratica sia come risolvere un indovinello. Prendete l’ultimo problema: dovevamotrovare due numeri a e b con somma 6 e prodotto −12 e la risposta ci svela la fattorizzazione. Peresercitarvi, provate a fattorizzare x 2 + 11x + 24. L’indovinello diventa: trovate due numeri con somma11 e prodotto 24. I numeri 3 e 8 corrispondono, e così avremo che x 2 + 11x + 24 = (x + 3)(x + 8). Ora invece supponete di avere un’equazione come x 2 + 9x = −13. Non esiste un modo facile perfattorizzare x 2 + 9x + 13. Calma, niente panico! In questi casi, ci viene in soccorso l’utilissima formularisolutiva delle equazioni di secondo grado, secondo la quale ax 2 + bx + c = 0 ha come soluzione

Dove il simbolo ± significa “più o meno”. Per esempio, nell’equazione

x 2 + 4x − 12 = 0

abbiamo che a = 1, b = 4 e c = −12. Così la formula ci dice che

E quindi x = −2 + 4 = 2 o x = −2 − 4 = −6, risolto. Secondo me il metodo di fattorizzazione era molto piùimmediato per questo esercizio e sono convinto che anche voi siete d’accordo.

A parte Un altro metodo piuttosto interessante per risolvere un’equazione quadratica è detto delcompletamento del quadrato. Per l’equazione x 2 + 4x = 12, aggiungiamo 4 a entrambi i membri, cosìda trasformarla in

x 2 + 4x + 4 = 16

La ragione di questa mossa è che ora il lato sinistro è uguale a (x + 2)(x + 2). In questo modo ilproblema si semplifica in

(x + 2)2 = 16

In altre parole, (x + 2)2 = 42. Pertanto,

x + 2 = 4 o x + 2 = −4

e quindi x = 2 o x = −6, come avevamo ottenuto in precedenza. Invece, per l’equazione

x 2 + 9x + 13 = 0

la scelta migliore è quella di usare la formula risolutiva. E quindi, se a = 1, b = 9 e c = 13, la formula cidà

Un risultato a cui difficilmente saremmo arrivati in modo diverso. In matematica le formule daimparare a memoria sono davvero poche, ma la formula risolutiva delle equazioni di secondo gradoè una di quelle. Solo un po’ di pratica e vedrete in breve che applicare la formula è facile come… direa, b , c!

A parte Perché la formula risolutiva delle quadratiche funziona? Riscriviamo l’equazione ax 2 + bx + c = 0come

ax 2 + bx = − c

e dividiamo entrambi i lati per a (che è diverso da 0). In questo modo otteniamo

Dal momento che , possiamo completare il quadrato aggiungendo a

entrambi i membri dell’equazione, che diventa

Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri,

Quindi

Come desiderato.

Visualizzare l’algebra con i grafici

Nel diciassettesimo secolo, la matematica fece passi da gigante dopo che i matematici francesiPierre de Fermat e René Descartes scoprirono in modo indipendente come si potessero visualizzarele equazioni algebriche e, viceversa, come alcuni oggetti geometrici potessero essere rappresentatida equazioni algebriche. Cominciamo con il grafico di un’equazione semplice:

y = 2x + 3

Questa equazione dice che per ogni valore della variabile x si ottiene y raddoppiandolo eaggiungendo 3. A sinistra del grafico è riportata una tabella con alcuni valori assunti dalla coppia (x,y). Possiamo disegnare i punti, come nella figura, e una volta su un grafico, li possiamo etichettarecome coppie ordinate. Per esempio, nel nostro caso i punti disegnati sono (−3, 3), (−2, −1), (−1, 1) ecosì via. Se congiungiamo i punti ed estrapoliamo, l’oggetto che otteniamo prende il nome di grafico.Nella figura pertanto troviamo il grafico dell’equazione y = 2x + 3.

Il grafico dell’equazione y = 2x + 3. Soffermiamoci adesso su qualche termine utile. La linea orizzontale del grafico si chiama asse dellex; la linea verticale è l’asse delle y. Il grafico di questo esempio è una retta con coefficiente angolare 2e intercetta (sull’asse delle y) 3. Il coefficiente angolare misura quanto è ripida la retta: con uncoefficiente angolare di 2, significa che se x aumenta di 1, allora y aumenta di 2, come si vede anchenella tabella. L’intercetta è semplicemente il valore della y quando x = 0, ossia, da un punto di vistageometrico, il punto dove la retta interseca l’asse delle y. In generale, il grafico dell’equazione y = mx+ b è una retta di coefficiente angolare m e intercetta b , e viceversa. Di solito identifichiamo una rettacon la sua equazione, così diciamo che il grafico in figura è la retta y = 2x + 3. Di seguito trovare il grafico delle rette y = 2x − 2 e y = − x + 7.

Dove si intersecano le rette y = 2x − 2 e y = − x + 7?

La retta y = 2x − 2 ha coefficiente angolare 2 e intercetta −2. Il grafico è parallelo a y = 2x + 3, inquanto l’intera retta è stata traslata verticalmente verso il basso di 5 unità. Il grafico y = − x + 7 hacoefficiente angolare −1, quindi se x aumenta di 1, y decresce di 1. Usiamo l’algebra per calcolare ipunti (x, y) dove le rette si incrociano. In questi punti, le rette hanno gli stessi valori di x e y, pertantociò che vogliamo trovare è il valore della x dove le y sono le stesse. In altre parole, dobbiamorisolvere 2x − 2 = − x + 7. Se aggiungiamo a entrambi i membri x e 2, troviamo 3x = 9, e quindi x = 3.Trovata la x, possiamo usare una delle due equazioni per ricavare y. Poiché y = 2x − 2, allora y = 2(3)− 2 = 4. Oppure, y = − x + 7 porta a y = −3 + 7 = 4. Pertanto le rette si incrociano nel punto (3, 4). Il grafico di una retta è facile da rappresentare perché, una volta noti due punti della curva, si puòdisegnare rapidamente la retta intera. La situazione diventa un po’ più difficile con le funzioniquadratiche, in cui compare la variabile x 2. La quadratica più semplice da rappresentare è y = x 2,mostrata nella figura seguente. I grafici delle funzioni quadratiche si chiamano parabole.

Il grafico di y = x 2. Ecco il grafico di y = x 2 + 4x − 12 = (x + 6)(x − 2).

Il grafico di y = x 2 + 4x − 12 = (x + 6)(x − 2). L’asse delle y è stato riscalato. Notate che y = 0 quando x = −6 o x = 2; lo vediamo chiaramenteperché la parabola interseca l’asse delle x proprio in quei due punti. Non a caso, la parabolaraggiunge il suo minimo a metà strada tra questi due punti, cioè quando x = −2. Il punto (−2, −16) sichiama vertice della parabola. Nella vita, ci imbattiamo in parabole quotidianamente: ogni oggetto, una volta lanciato, segue unatraiettoria che è quasi esattamente una parabola, non importa se sia una palla da calcio o il gettod’acqua di una fontana, come mostra la figura qui sotto. Le proprietà delle parabole, inoltre, sonosfruttate nella progettazione di fanali, telescopi e antenne satellitari.

Un esempio di fontana, che qui corrisponde alla parabola y = −0,03x 2 + 0,08x + 70. Prendiamoci un altro momento per la terminologia. Finora abbiamo lavorato con polinomi,combinazioni di numeri e di una sola variabile, per esempio la x, elevata a una potenza interapositiva. L’esponente più alto si chiama grado del polinomio. Per esempio, 3x + 7 è un polinomio(lineare) di grado 1. Un polinomio di grado 2, come x 2 + 4x − 12, si dice quadratico. Un polinomio diterzo grado, come , si chiama cub ico. I polinomi di quarto grado si dicono quartici,

mentre i nomi dei polinomi di grado superiore non esistono o sono raramente usati, dal momentoche anche le rispettive curve sono usate raramente. Un polinomio che non ha variabile, come peresempio 17, ha grado 0 e si dice polinomio costante. Infine, un polinomio ha sempre un numerofinito di termini, per cui 1 + x + x 2 + x 3 + … non è un polinomio, bensì una serie infinita, ma neparleremo nel Capitolo 12. Notate che gli esponenti delle variabili nei polinomi possono esseresoltanto interi positivi: non ci sono esponenti negativi né frazionari. Se l’equazione ha dei terminicome , non è polinomiale, dal momento che, come vedremo,

.

Definiamo radici di un polinomio i valori di x che annullano il polinomio stesso. Per esempio 3x + 7ha una radice, che vale x = −7/3, mentre le radici di x 2 + 4x − 12 sono x = 2 e x = −6. Un polinomiocome x 2 + 9 non ha radici (reali). Vi faccio notare come tutti i polinomi di grado 1, le rette, hannoesattamente una radice, infatti intersecano l’asse delle x in un punto solo, mentre i polinomiquadratici, le parabole, possono avere fino a due radici: x 2 + 1, x 2, e x 2 − 1 hanno rispettivamentenessuna, una e due radici.

I grafici di y = x 2 + 1 e y = x 2 − 1 hanno rispettivamente nessuna e due radici. Il grafico di y = x 2,mostrato in una precedente figura, ha una radice sola. Nella figura alla pagina seguente vediamo due cubiche. Potrete notare come possiedano almassimo tre radici.

Il grafico di y = (x 3 − 8)/10 = 1/10(x − 2)(x 2 + 2x + 4) ha una radice, mentre y = (x 3 − 7x + 6)/2 =1/2(x + 3)(x − 1)(x − 2) ha tre radici. Nel Capitolo 10 incontreremo il teorema fondamentale dell’algebra, che dimostra come ognipolinomio di grado n abbia al massimo n radici, e possa essere fattorizzato in parti lineari oquadratiche. Per esempio, (x 3 − 7x + 6)/2 = (x − 1)(x − 2)(x + 3) ha tre radici (1, 2 e −3), mentre x 3 − 8= (x − 2)(x 2 + 2x + 4) ne ha una sola reale, x = 2. (ha anche due radici complesse, ma per questobisogna aspettare il Capitolo 10.) Per inciso, oggi è facile trovare il grafico di molte funzioni, bastascrivere l’equazione nel motore di ricerca che preferite: digitando “y = (x̂ 3 − 7x + 6)/2” vi compariràimmediatamente un grafico come quello in figura. In questo capitolo abbiamo visto come trovare facilmente la radice dei polinomi lineari e quadratici.Esistono inoltre formule anche per le radici di quelli cubici o quartici, ma sono molto complicate.Dopo la loro scoperta nel sedicesimo secolo, i matematici hanno cercato per più di due secoli unaformula risolutiva per i polinomi di quinto grado, un problema affrontato senza successo da alcuni trai matematici più brillanti fino a quando il norvegese Niels Abel dimostrò all’inizio del diciottesimosecolo che una formula del genere non poteva esistere per un polinomio di grado 5 o superiore. Vedremo nel Capitolo 6 come si dimostra l’impossibilità di una qualche proprietà.

A parte Perché x −1 = 1/x? Per esempio, perché 5 −1 = 1/5? Guardate questa sequenza di numeri

53 = 125, 52 = 25, 51 = 5, 50 = ?, 5 −1 = ??, 5 −2 = ???

Mentre l’esponente decresce di 1 ad ogni passo, il numero viene diviso per 5, che è ragionevole, se

Mentre l’esponente decresce di 1 ad ogni passo, il numero viene diviso per 5, che è ragionevole, se

ci pensate. Se volessimo continuare la sequenza, allora 50 = 1, 5 −1 = 1/5, 5 −2 = 1/25 e così via. Ma lavera ragione di questo andamento viene dalla regola degli esponenti che ci dice xaxb = xa +b . La regolaci appare quasi ovvia quando a e b sono interi positivi. Prendete x 2 = x × x e x 3 = x × x × x:

x 2 × x 3 = (x × x) × (x × x × x) = x 5

Se vogliamo una regola per lo 0, è necessario che

xa +0 = xa × x 0

dal momento che il lato sinistro è pari a xa , così deve essere anche il lato destro, pertanto l’unicapossibilità è che x 0 = 1. Se vogliamo una regola per gli esponenti negativi, dobbiamo accettare che

x 1 × x −1 = x 1+(−1) = x 0 = 1

Se dividiamo entrambi i membri per x, allora x −1 deve essere uguale a 1/x. Con un argomentosimile, x −2 = 1/x 2, x −3 = 1/x 3 e via dicendo. Infine, se vogliamo che la regola degli esponenti valga per qualsiasi numero reale, dobbiamoaccettare anche

x 1/2 x 1/2 = x 1/2 + 1/2 = x 1 = x

Così quando si moltiplica x 1/2 per se stesso, si ottiene x, quindi, se x è un numero positivo, abbiamoche .

Trovare la Y (ma anche la X!)

Concludiamo il capitolo come lo abbiamo cominciato, con un trucchetto magico basato sull’algebra.

Punto 1: Pensate a due numeri da 1 a 10. Punto 2: Sommateli. Punto 3: Moltiplicate la somma per 10. Punto 4: Adesso aggiungete il più grande dei due numeri iniziali. Punto 5: Sottraete il più piccolo dei numeri iniziali. Punto 6: Ditemi il numero a cui siete arrivati e io vi dirò i numeri di partenza!

Che ci crediate o no, quest’ultima informazione basta per sapere entrambi i numeri di partenza. Peresempio, se la risposta è 126, allora avete cominciato con 9 e 3. Anche se ripetete il trucco diversevolte, è difficile per il pubblico capire come ci riusciate. Vi svelo il segreto. Per trovare il numero più grande, prendete l’ultima cifra della risposta (nel nostrocaso, il 6) e sommategli il numero che la precede (qui, 12), poi dividete per 2. Nell’esempio, troviamoche il numero maggiore vale (12 + 6)/2 = 18/2 = 9. Per quello più piccolo, prendete il numero appenacalcolato e sottraete l’ultima cifra della risposta data, per cui 9 − 6 = 3. Vi propongo altri due esempi per far pratica. Se la risposta è 82, allora il numero grande è (8 + 2)/2 =5 mentre il piccolo vale 5 − 2 = 3. Se la risposta è 137, il grande vale (13 + 7)/2 = 10 e il piccolo 10 − 7

5 mentre il piccolo vale 5 − 2 = 3. Se la risposta è 137, il grande vale (13 + 7)/2 = 10 e il piccolo 10 − 7

= 3. Ma come funziona? Supponete di cominciare con due numeri X e Y, con X uguale o maggiore diY. Seguiamo le istruzioni e la relativa algebra nella tabella; vedremo che dopo il Punto 5 si arriva alnumero 10(X + Y) + (X − Y).

Notate che un numero nella forma 10(X + Y) deve finire per forza per 0, mentre la cifra o le cifre cheprecedono lo 0 sono X + Y. Siccome X e Y sono compresi tra 1 e 10 e X è maggiore o uguale a Y,allora X − Y è per forza un numero a cifra singola tra 0 e 9, quindi l’ultima cifra della risposta è X − Y.Per esempio, se cominciate con 9 e 3, X = 9, Y = 3. Dopo il Punto 5 la risposta comincerà con X + Y =9 + 3 = 12 e finirà per X − Y = 9 − 3 = 6, cioè 126. Noti X + Y e X − Y, ne prendiamo la media eotteniamo ((X + Y) + (X − Y))/2 = X. Per Y, si calcola ((X + Y) −(X − Y))/2 che nel nostro caso sarà (12 −6)/2 = 6/2 = 3, tuttavia mi sembra più veloce prendere il numero maggiore appena calcolato esottrarre l’ultima cifra della risposta (9 − 6 = 3) dal momento che X − (X − Y) = Y.

A parte Se volete una sfida ancora più difficile per voi e per il pubblico, che magari avrà bisogno di unacalcolatrice, chiedete di scegliere due numeri tra 1 e 100 e poi al Punto 3 fate moltiplicare per 100invece che per 10. Per esempio, se cominciate con 42 e 17, dopo i cinque punti otterrete 5925. Daqui, potete prendere le ultime due cifre della risposta e calcolare la media con il numero che leprecede. Qui, il numero grande sarà (59 + 25)/2 = 84/2 = 42. Il numero piccolo si ottiene sottraendo leultime due cifre al numero più grande, per esempio 42 − 25 = 17, come voluto. Il trucco funziona più omeno nello stesso modo di prima; dopo il Punto 5 ci ritroviamo con 100(X + Y) − (X − Y), e X − Y sonole ultime due cifre della risposta. Ancora un altro esempio: se la risposta è 15.222 (X + Y = 152 e X −Y = 22), allora il numero maggiore vale (152 + 22)/2 = 174/2 = 87 mentre il minore è 87 − 22 = 65.

Capitolo 3 La magia del 9

Il numero magico per eccellenza

Da bambino, il mio numero preferito era il 9, che sembrava ricchissimo di proprietà magiche. Perfarvi un’idea, provate a seguire le seguenti istruzioni matemagiche:

1. Pensate a un numero da 1 a 10 (se preferite, potete scegliere un numero intero più grande, matenete la calcolatrice a portata di mano). 2. Triplicate il numero che avete scelto. 3. Aggiungete 6. 4. Triplicate il numero ottenuto. 5. Se vi va, raddoppiatelo un’altra volta. 6. Sommate le cifre del numero ottenuto e, se il risultato è un numero a cifra singola, fermatevi. 7. Se il totale è un numero a cifra doppia, sommate le due cifre. 8. Concentratevi sul risultato.

Ho proprio il presentimento che siate arrivati a un bel 9, giusto? Ma cos’ha di così speciale il 9? Inquesto capitolo vedremo insieme alcune delle sue magiche proprietà, arriveremo persino a prenderein considerazione un mondo in cui abbia senso dire che il 12 e il 3 sono funzionalmente uguali! Per osservare la prima proprietà magica del 9, prendiamo in considerazione i suoi multipli:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, …

Che cos’hanno in comune? Se sommate le cifre di uno qualsiasi di questi numeri, otterrete sempre9. Controlliamone qualcuno: il 18 ha come totale delle cifre 1 + 8 = 9; il 27, 2 + 7 = 9; mentre con il 144vale 1 + 4 + 4 = 9. Ma aspettate… 99 fa eccezione: le cifre sommate danno 18; tuttavia, 18 è lui stessoun multiplo di 9. Insomma, la morale della favola probabilmente l’avete già imparata alle elementari,ma in questo capitolo, più avanti, ve la spiegherò:

Se un numero è un multiplo di 9, allora la somma delle sue cifre è un multiplo di 9 (e viceversa).

Per esempio, il numero 123.456.789 ha come somma delle cifre 45 (multiplo di 9), pertanto è unmultiplo di 9. Al contrario, le cifre di 314.159 hanno somma 23 (non è un multiplo di 9), quindi ilnumero non è un multiplo di 9. Usiamo la regola per comprendere il trucco magico di prima, esaminandolo con l’algebra. Abbiamocominciato pensando a un numero, che chiameremo N. Dopo averlo triplicato, otteniamo 3N, che al

cominciato pensando a un numero, che chiameremo N. Dopo averlo triplicato, otteniamo 3N, che al

passo successivo diventa 3N + 6. Triplichiamo di nuovo arrivando a 3(3N + 6) = 9N + 18, che equivalea 9(N + 2). Ora, volendo raddoppiare, otterreste 18N + 36 = 9(2N + 4). In altre parole, il risultato finalesarebbe 9 volte un numero intero, ossia un multiplo di 9. Sommando le cifre del risultato, otterretenuovamente un multiplo di 9 (probabilmente 9 o 18, 27 o 36), le cui cifre devono sommarsi a 9. Vi propongo ora una variazione del trucco magico che mi piace altrettanto. Chiedete a un amico,calcolatrice alla mano, di scegliere, senza dirvelo, uno di questi numeri a quattro cifre:

3141, 2718, 2358 o 9999

che sono, rispettivamente, le prime quattro cifre di π (Capitolo 8), le prime quattro di e (Capitolo 10),l’unione di due numeri di Fibonacci consecutivi (Capitolo 5) e infine il maggiore tra i numeri a quattrocifre. A questo punto, dite al vostro amico di moltiplicare il numero che ha scelto per un numero a trecifre a piacere, e di appuntarselo su un foglio. Il risultato sarà un numero di sei o sette cifre che nonconoscete. Domandate di cerchiare una delle cifre del risultato, diversa da 0 (che è cerchiato già disuo…!), di leggere tutte le altre nell’ordine che preferisce e poi di concentrarsi sulla cifra che hacerchiato. Con un po’ di scena, a questo punto indicherete quale sia la cifra scelta. Curiosi di conoscere il segreto? Notate come tutti i numeri da cui si può partire sono multipli di 9:dopo la moltiplicazione per un numero intero, il risultato continuerà ad essere un multiplo di 9, e lasomma delle cifre sarà anch’essa un multiplo di 9. Mentre vi leggono le cifre, limitatevi a sommarle.La cifra mancante è quella che vi permette di raggiungere una somma totale che è multiplo di 9. Peresempio, immaginate che il vostro amico vi legga le cifre 5, 0, 2, 2, 6 e 1. La somma dei numeri è 16,pertanto il numero cerchiato deve essere 2, che permette di raggiungere 18, multiplo di 9. Se le cifrefossero 1, 1, 2, 3, 5, 8, con somma 20, allora il numero mancante è 7, così si arriva a 27.Supponiamo che la somma delle cifre lette ad alta voce sia 18: qual è in questo caso la ciframancante? Abbiamo detto di non scegliere uno 0, pertanto la cifra sarà 9. La domanda allora è proprio questa: perché la somma delle cifre dei multipli di 9 è anch’essa unmultiplo di 9? Facciamo un altro esempio. Prendiamo il numero 3456 ed esprimiamolo comesomma di potenze di 10:

Con lo stesso ragionamento, la somma delle cifre di un numero qualsiasi che è multiplo di 9 saràanch’essa un multiplo di 9 (e viceversa: per ogni multiplo di 9, le cifre si sommano in un multiplo di9).

La prova del nove

Cosa succede se la somma delle cifre non è un multiplo di 9? Per esempio, prendiamo 3457.Seguiamo il procedimento di prima e scriviamo 3457 (le cui cifre sommano a 19) come 3(999) +

Seguiamo il procedimento di prima e scriviamo 3457 (le cui cifre sommano a 19) come 3(999) +

4(99) +5(9) + 7 + 12; pertanto 3457 è 7 + 12 = 19, maggiore di un multiplo di 9. Dal momento che 19 =18 + 1, capiamo che 3457 è più grande di un multiplo di 9 di soltanto una unità. Arriviamo alla stessaconclusione se sommiamo le cifre di 19, ottenendo 10, per poi sommare anche le sue cifreottenendo infine 1. Rappresenterò così il processo:

3457 → 19 → 10 → 1

La somma ripetuta delle cifre di un numero finché non ci si riduce a un numero a cifra singola sichiama prova del nove, anche se nel mondo anglosassone si usa l’espressione “espulsione deinove”, dal momento che in ogni passaggio ciò che facciamo è togliere un multiplo di nove. Il numeroa cifra singola che si ottiene al termine del processo si chiama radice numerica del numerooriginale. Per esempio, la radice numerica di 3457 è 1, mentre quella di 3456 è 9. Possiamoriformulare le conclusioni precedenti dicendo che per ogni numero positivo n,

se n ha come radice numerica 9, allora n è un multiplo di 9. Detto altrimenti, la radice numericaè il resto della divisione di n per 9.

Se ricorriamo all’algebra, quando n ha radice numerica r, allora

n = 9x + r

per un certo intero x. Il metodo della prova del nove è un modo divertente per controllare i risultatidelle addizioni, delle sottrazioni e delle moltiplicazioni. Per esempio, se si risolve correttamenteun’addizione, allora la radice numerica del risultato è uguale alla somma delle radici numeriche degliaddendi. Ecco un esempio: risolvete l’addizione

Come si vede, i numeri che sommiamo hanno radici numeriche 5 e 6, mentre la loro somma haradice 2. Non è una coincidenza il fatto che anche la radice del risultato, 134.651, abbia come radice2. La ragione per cui il processo ha validità generale si esprime con l’algebra in questo modo

(9x + r1 ) + (9y + r2 ) = 9(x + y) + (r1 + r2 )

Se i due numeri non coincidono, avete sbagliato qualcosa nella somma. Attenzione: se i numericoincidono, la risposta non è necessariamente corretta, tuttavia il metodo rivela più del 90 per centodegli errori. Non troverà l’errore nel caso in cui abbiate scambiato tra loro due cifre, poiché ciò noninfluisce sulla loro somma. Se invece l’errore è in una cifra soltanto, allora il test è efficace, a menoche non abbiate messo uno 0 al posto di un 9 e viceversa. Possiamo usare la prova del nove anchese stiamo sommando una colonna piuttosto lunga di numeri, come nell’esempio che segue, dovecerchiamo la somma dei prezzi di una serie di oggetti che abbiamo acquistato:

Se sommiamo le cifre del risultato, abbiamo che la radice del totale fa 5, mentre la somma delleradici numeriche degli addendi è 32, che è in accordo con la nostra somma, essendo 5 la radice di32. La prova del nove funziona anche con la sottrazione, come possiamo subito mostraretrasformando in sottrazione l’addizione di prima:

Il risultato della sottrazione è 48.923, che ha radice numerica 8. Se invece sottraiamo le radici deitermini, si ottiene che 5 − 6 = −1, che è in accordo con la radice del risultato, dal momento che −1 + 9= 8 e aggiungere o togliere multipli di 9 al risultato non cambia la radice numerica. Seguendo lostesso ragionamento, una differenza pari a 0 è perfettamente coerente con una radice numerica di 9. Ora, usiamo tutto ciò che abbiamo imparato per regalarci un altro trucchetto magico (proprio comequello che ho descritto all’inizio del capitolo). Seguite di nuovo le istruzioni e, se lo desiderate, usateuna calcolatrice:

1. Pensate a un numero qualsiasi con due o tre cifre 2. Sommate le cifre 3. Sottraete la somma dal numero di partenza 4. Sommate le cifre del nuovo numero 5. Se il totale è pari, allora moltiplicate per 5 6. Se il totale è dispari, allora moltiplicate per 10 7. Ora togliete 15

Il numero è 75, vero? Per esempio, se avete cominciato con 47, allora per prima cosa avete 4 + 7 = 11, poi 47 − 11 = 36, einfine 3 + 6 = 9, che è dispari. Se moltiplicate per 10, ottenete 90 e sottraendo 15, arrivate a 90 − 15 =75. Se invece partite da un numero a 3 cifre, come 831, allora 8 + 3 + 1 = 12; 831 − 12 = 819; 8 + 1 + 9= 18, numero pari. Così 18 × 5 = 90 e sottraendo 15 ottenete 75, come prima. La spiegazione deltrucco è semplice: se il numero di partenza ha somma delle cifre pari a T, allora il numero èmaggiore di T rispetto a un multiplo di 9. Quando togliamo T dal numero di partenza, siamo certi ditrovare un multiplo di 9 minore di 999, e quindi la somma delle sue cifre darà 9 o 18. (Nell’esempio

trovare un multiplo di 9 minore di 999, e quindi la somma delle sue cifre darà 9 o 18. (Nell’esempio

con 47, la somma delle cifre fa 11, che sottratto al primo dà 36, che ha somma 9.) Nel passaggio chesegue, arriveremo per forza a 90, infatti avremo 9 × 10 oppure 18 × 5, così che sottratto 15 il risultato èsempre 75. Infine, la prova del nove funziona anche per le moltiplicazioni, come possiamo illustrare moltiplicandoi numeri degli esempi precedenti:

Il motivo per cui la prova del nove funziona con la moltiplicazione si basa sulla regola PEIU (Capitolo2). Guardiamo al nostro ultimo esempio: le radici numeriche sulla destra mostrano che i numeri damoltiplicare sono del tipo 9x + 5 e 9y + 6, dove x e y sono due interi. Quando li moltiplichiamo, siottiene:

Sebbene la prova del nove in genere non si usi per le divisioni, non resisto alla tentazione e vi mostroun metodo davvero magico per dividere un numero per 9, noto talvolta come metodo dei Veda. Prendete la divisione

12.302 ÷ 9

Scrivete il problema come

Quindi portate la prima cifra sopra la riga e scrivete R (come resto) sopra l’ultima cifra:

Adesso sommiamo i numeri in diagonale, come nelle posizioni cerchiate di seguito. I numericerchiati 1 e 2 si sommano e fanno 3, così mettiamo 3 come cifra successiva del quoziente.

Così 3 + 3 = 6

Poi 6 + 0 = 6

Infine, sommiamo 6 + 2 = 8 per il riporto

Ed ecco il risultato: 12.302 ÷ 9 = 1366 con resto 8. Sembra quasi troppo facile! Facciamone un’altracon qualche dettaglio in più.

31.415 ÷ 9

Il risultato è

Cominciando dal 3 in cima, calcoliamo 3 + 1 = 4, quindi 4 + 4 = 8, poi 8 + 1 = 9 e infine 9 + 5 = 14.Così, il risultato è 3489, con resto 14. Tuttavia, 14 = 9 + 5, aggiungiamo 1 al quoziente per avere comerisultato 3490 e resto 5. Ecco pertanto un problema semplice con un risultato interessante. Vi lascioverificare, a mente o per iscritto, che

111.111 ÷ 9 = 12.345 R 6

Abbiamo visto che, se il resto è 9 o più grande, aggiungiamo semplicemente 1 al quoziente etogliamo 9 dal resto. Accade qualcosa di simile se abbiamo una somma maggiore di 9 in unpassaggio di una divisione. Scriviamo il riporto, poi togliamo 9 dal totale e continuiamo come prima.Per esempio, nel problema 4821 ÷ 9, operiamo così:

Dove si comincia con 4, ma dal momento che 4 + 8 = 12, mettiamo 1 sopra il 4 (per indicare unriporto), poi togliamo 9 da 12 e scriviamo 3 nella posizione successiva. Si procede con 3 + 2 = 5, poi5 + 1 = 6 e si arriva al risultato 535 con resto 6, come si vede di seguito.

Ecco un altro problema con diversi riporti: provate 98.765 ÷ 9.

Si comincia con il 9 in cima, poi sommiamo 9 + 8 = 17, riportiamo 1 e togliamo 9, così la secondacifra del quoziente è 8. Di qui, 8 + 7 =15; riportiamo 1 e scriviamo 15 − 9 = 6. Infine 6 + 6 = 12; riporto 1e scrivo 12 − 9 = 3. Il resto così è 3 + 5 = 8. Se consideriamo tutti i riporti, il risultato è 10.973 con resto8.

A parte Se vi siete divertiti a dividere per nove, provate con 91. Pensate a un qualsiasi numero di due cifre epotrete dividerlo all’istante per 91, fino alla cifra decimale voluta, senza penna e senza foglio, giuro!Per esempio,

53 ÷ 91 = 0,582417…

Più precisamente, la risposta esatta è 0,582417, dove la linea sopra le cifre 582417 indica che questinumeri si ripetono all’infinito. Ma da dove vengono? È facile come moltiplicare per 11 il numero a duecifre di partenza. Usando il metodo che abbiamo imparato nel Capitolo 1, calcoliamo 53 × 11 = 583 ese poi togliamo 1 dal prodotto, otteniamo la prima metà del risultato, ossia 0,582. La seconda metà èpari a 999 meno la prima metà, 999 − 582 = 417. Così, il risultato cercato è 0,582417, come volevasidimostrare. Passiamo a un secondo esempio: proviamo 78 ÷ 91. Ora, se 78 × 11 = 858, allora il risultatocomincerà per 857. Dopodiché, 999 − 857 = 142, e così 78 ÷ 91 = 0,857142. In effetti avevamo giàvisto questo numero nel Capitolo 1, dal momento che 78/91 si semplifica in 6/7. Il metodo funziona perché 91 × 11 = 1001. Pertanto, nel primo esempio 53/91 = (53×11)/(91×11) =583/1001. Dal momento che 1/1001 = 0,000999, la parte periodica del risultato deriva da 583 × 999 = 583.000 −583 = 582.417. Inoltre, poiché 91 = 13 × 7, si deduce un metodo interessante per dividere per 13: basta de-semplificarlo per avere a denominatore un 91. Prendiamo 1/13 = 7/91, ma siccome 7 × 11 = 077,avremo che

1/13 = 7/91 = 0,076923

E così, 2/13 = 14/91 = 0,153846, infatti 14 × 11 = 154.

La magia di 10, 11, 12, e l’aritmetica modulare

Molto di quanto abbiamo imparato sul 9 si estende anche agli altri numeri. Nella prova del nove,essenzialmente rimpiazziamo i numeri con i resti della loro divisione per 9. L’idea di sostituire unnumero con il suo resto non è nuova per la maggior parte delle persone. Lo facciamo da sempre, daquando abbiamo imparato a leggere l’ora. Per esempio, se un orologio indica le 8 in punto (nonimporta se di sera o di mattina), che ora indicherà fra 3 ore? E tra 15? Tra 27? Oppure, quantoindicava 9 ore fa? Forse darete una risposta istintiva, direte 11, 23, 35 o −1, ma fintanto che si tratta

indicava 9 ore fa? Forse darete una risposta istintiva, direte 11, 23, 35 o −1, ma fintanto che si tratta

dell’orologio, questi numeri sono tutti rappresentati dalla posizione sulle 11 esatte, in quanto tuttidistano tra loro un multiplo di 12 ore. La notazione che usano i matematici è:

11 ≡ 23 ≡ 35 ≡ −1 (mod 12)

Che ora segnerà l’orologio fra 3 ore? E tra 15 ore? Tra 27? Che ora segnava 9 ore fa? Possiamo dire che a ≡ b (mod 12) se a e b differiscono di un multiplo di 12. In modo equivalente, a ≡b (mod 12) se a e b hanno lo stesso resto quando divisi per 12. In modo ancor più generale, perqualsiasi intero positivo m , diciamo che due numeri a e b sono congrui mod m , scritto a ≡ b (mod m),se a e b differiscono di un multiplo di m , oppure, in modo equivalente,

a ≡ b (mod m) se a = b + qm , con q intero

Un aspetto davvero intrigante della congruenza è che segue un po’ le stesse regole delle equazioniordinarie, così si può introdurre un’aritmetica modulare sommando, sottraendo e moltiplicando traloro numeri congrui. Per esempio, se a ≡ b (mod m) e c è un intero qualsiasi, allora vale anche che

a + c ≡ b + c e ac ≡ bc (mod m)

Inoltre, possiamo sommare, sottrarre e moltiplicare tra loro congruenze diverse: se a ≡ b (mod m) e c≡ d (mod m), allora

a + c ≡ b + d e ac ≡ bd (mod m)

Per esempio, se 14 ≡ 2 e 17 ≡ 5 (mod 12), pertanto 14 × 17 ≡ 2 × 5 (mod 12), infatti 238 = 10 + (12 ×19). Una conseguenza di questa regola è che si possono elevare a potenza le congruenze. Così se a≡ b (mod m), allora abbiamo una regola delle potenze:

a 2 ≡ b 2 a 3 ≡ b 3 … an ≡ b n (mod m)

per qualsiasi n intero positivo.

A parte Come funziona l’aritmetica modulare? Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), allora a = b + pm e c = d +qm per qualsiasi intero p e q. Così, a + c = (b + d) + (p + q)m e pertanto a + c ≡ b + d (mod m). Inoltre,

qm per qualsiasi intero p e q. Così, a + c = (b + d) + (p + q)m e pertanto a + c ≡ b + d (mod m). Inoltre,

usando PEIU,

ac = (b + pm)(d + qm) = bd + (bq + pd + pqm)m

così ac e bd differiscono di un multiplo di m e quindi ac ≡ bd (mod m). Se moltiplichiamo lacongruenza a ≡ b (mod m) per se stessa, avremo che a2 ≡ b 2 (mod m), dopodiché reiterando ilprocesso deriveremo la regola di potenza. È proprio la regola di potenza a rendere tanto speciale il numero 9, quando si lavora in base 10.Infatti,

10 ≡ 1 (mod 9)

mentre la regola di potenza ci dice che 10n ≡ 1 n = 1 (mod 9) per qualsiasi n, per cui un numero come3456 soddisfa la relazione

3456 = 3(1000) + 4(100) + 5(10) + 6 ≡ 3(1) + 4(1) + 5(1) + 6 = 3 + 4 + 5 + 6 (mod 9)

Il fatto che 10 ≡ 1 (mod 3) ci spiega anche la possibilità di determinare se un numero sia divisibileper 3 (ovvero quanto varrà il resto se il numero è diviso per 3) soltanto tramite la somma delle cifre.Se lavorassimo con una base diversa, per esempio in base 16 (il cosiddetto sistema esadecimale,molto diffuso nell’ingegneria elettrica e nell’informatica), allora poiché 16 ≡ 1 (mod 15), si puòdeterminare se un numero è multiplo di 15 (o di 3 o di 5), oppure calcolare il resto quando è divisoper 15, semplicemente sommandone le cifre. Torniamo in base 10. Esiste un metodo elegante per capire se un numero è divisibile per 11. Si basasul fatto che:

10 ≡ −1 (mod 11)

e che pertanto 10 n ≡ (−1) n (mod 11), in particolare 102 ≡ 1 (mod 11), 103 ≡ (−1) (mod 11), e via dicendo.Per esempio, un numero come 3456 soddisfa la relazione:

3456 = 3(1000) + 4(100) + 5(10) + 6 ≡ −3 + 4 − 5 + 6 = 2 (mod 11)

Così 3456 ha resto 2 se diviso per 11. La regola generale è che un numero è un multiplo di 11 se esolo se arriviamo a un multiplo di 11 (come 0, ±11, ±22…) sottraendo e sommando alternativamentele cifre. Prendiamo 31.415: è un multiplo di 11? Calcolando 3 − 1 + 4 − 1 + 5 = 10, concludiamo chenon lo è, ma se consideriamo 31.416, allora la somma farà 11, pertanto 31.416 è un multiplo di 11. L’aritmetica a modulo 11 si usa nella creazione e nella verifica dei codici ISBN (International StandardBook Number), che identificano un libro a livello internazionale. Supponete che il vostro libro abbia unnumero ISBN a 10 cifre (quasi tutti i libri stampati prima del 2007 hanno un codice di questalunghezza). Le prime cifre rappresentano il paese di origine del libro, l’editore e il titolo, ma la decimacifra (la cosiddetta cifra di controllo) è scelta in modo che i numeri soddisfino una relazioneparticolare. Nel dettaglio, se il numero a dieci cifre è del tipo a-bcd-efghi-j, allora j è tale che

10a + 9b + 8c + 7d + 6e + 5f + 4g + 3h + 2i + j ≡ 0 (mod 11)

Per esempio, il mio libro Secrets of Mental Maths, pubblicato nel 2006, ha ISBN 0-307-33840-1, einfatti

10(0) + 9(3) + 8(0) + 7(7) + 6(3) + 5(3) + 4(8) + 3(4) + 2(0) + 1= 154 ≡ 0 (mod 11)

dal momento che 154 = 11 × 14. A questo punto, magari vi state chiedendo che cosa accadrebbe sela cifra di controllo fosse 10. In questo caso, il numero è rappresentato dalla lettera X, che è il 10 innumeri romani. Il sistema ISBN ha questa caratteristica: se una singola cifra è sbagliata, l’erroreviene riconosciuto. Supponiamo che la terza cifra sia sbagliata, allora il totale finale sarà sbagliato diun multiplo di 8, che potrà essere ±8 o ±16 o… ±80. Tuttavia, nessuno di questi numeri è un multiplodi 11 (infatti 11 è un numero primo), così il totale non sarà multiplo di 11. In effetti, con un po’ dialgebra si può dimostrare che il sistema è in grado di rivelare sempre un errore quando due cifrevengono scambiate. Per esempio, se si scambiano la cifra c e la f, mentre il resto è corretto, solo icontributi dei termini con c e con f cambiano il totale. Il totale precedente usava 8c + 5f mentre oraabbiamo 8f + 5c. La differenza è (8f + 5c) − (8c + 5f) = 3(f − c), che non è un multiplo di 11, così non losarà neppure il nuovo totale. Nel 2007 gli editori sono passati al sistema ISBN-13, che usa 13 cifre ed è basato sull’aritmeticamod 10 invece che su quella mod 11. In questo nuovo sistema il numero abc-d-efg-hijkl-m è validosolo se soddisfa la relazione

a + 3b + c + 3d + e + 3f + g + 3h + i + 3j + k + 3l + m ≡ 0(mod 10)

Per esempio, il codice ISBN-13 dell’edizione originale di questo libro è 978-0-465-05472-5. Unmetodo veloce per controllarne l’integrità è separare le cifre a posizione dispari da quelle pari ecalcolare

(9 + 8 + 4 + 5 + 5 + 7 + 5) + 3(7 + 0 + 6 + 0 + 4 + 2) = 43 + 3(19) = 43 + 57 = 100 ≡ 0 (mod 10)

Il sistema ISBN-13 rivela tutti gli errori di cifra singola e molti errori di trasposizione di termini vicini,anche se non tutti. Prendendo l’ultimo esempio, se per sbaglio le ultime tre cifre vengono invertite da725 a 275, l’errore non è rivelato, dal momento che il nuovo totale è 110, cioè ancora un multiplo di10. Un sistema simile a modulo 10 si usa per la verifica dei codici a barre, dei numeri delle carte dicredito e di debito. L’aritmetica modulare ha un ruolo importante anche nella progettazione dei circuitielettronici e nella sicurezza delle transazioni finanziarie su internet.

Calcolare il calendario

Il giochino matematico che preferisco per le feste è indovinare il giorno della settimana in cui sononate le persone. Per esempio, se qualcuno vi dice di essere nato il 2 maggio 2002, potete dirgliimmediatamente che era un giovedì. Un’altra abilità dai risvolti più pratici è individuare il giorno della

immediatamente che era un giovedì. Un’altra abilità dai risvolti più pratici è individuare il giorno della

settimana per qualsiasi data dell’anno in corso o prossimo. In questo capitolo vi insegno un metodofacile per arrivarci, e la matematica che c’è dietro. Prima di tuffarci nel metodo vero e proprio, è utile ripassare alcuni fatti scientifici e storici di rilievo peril calendario. Innanzitutto, dal momento che la Terra impiega 365,25 giorni per un giro completointorno al Sole, in genere un anno dura 365 giorni, ma ogni quattro anni aggiungiamo un giornointercalare, il 29 febbraio. (In questo modo, in quattro anni si avranno 4 × 365 + 1 = 1461 giorni, che èquasi esatto.) Questa era l’idea del calendario giuliano, introdotto da Giulio Cesare più di duemilaanni fa. Per esempio, il 2000 è stato un anno bisestile, così come in seguito ogni quattro anni: 2004,2008, 2012, 2016 e via dicendo fino al 2096. Tuttavia, il 2100 non sarà bisestile: perché? Il problemaè che in realtà l’anno dura circa 365,243 giorni (cioè circa 11 minuti meno di 365,25), così gli annibisestili portano leggermente in eccesso. Dopo 400 giri intorno al Sole, accumuliamo 146.097 giorni,ma il calendario giuliano prevedeva per questo periodo 400 × 365,25 = 146.100 giorni, con uneccesso di tre giorni. Per risolvere il problema, (insieme ad altre difficoltà legate alla datazione dellaPasqua) papa Gregorio XIII adottò il calendario gregoriano nel 1582. In quell’anno, i paesi cattolicitolsero dieci giorni dal proprio calendario. Per esempio, in Spagna, la data giuliana di giovedì 4ottobre 1582 fu seguita dalla data gregoriana di venerdì 15 ottobre 1582. Nel calendario gregoriano,gli anni divisibili per 100 non sono bisestili, a meno che non siano divisibili anche per 400 (così darimuovere i 3 giorni di troppo). Di conseguenza, il 1600 fu bisestile, ma non lo furono il 1700, il 1800 eil 1900. Il 2000 e il 2400 lo sono, mentre 2100, 2200 e 2300 no. Seguendo questo sistema, in ogniperiodo di 400 anni il numero di anni bisestili è di 100 − 3 = 97 e quindi il numero di giorni è (400 ×365) + 97 = 146.097, come desiderato. Il calendario gregoriano non fu adottato immediatamente da tutti, e i paesi non cattolici furonoparticolarmente lenti nell’uniformarsi. Per esempio, l’Inghilterra e le sue colonie non cambiarono finoal 1752, quando mercoledì 2 settembre fu seguito da giovedì 14 settembre. (Notate che furono tolti 11giorni, dal momento che il 1700 era un anno bisestile per il calendario giuliano ma non per quellogregoriano.) Solo negli anni venti del Novecento tutti i paesi convertirono i calendari da giuliano agregoriano, con un certo grado di complicazione per gli storici. Il paradosso storico che preferisco èche William Shakespeare e Miguel de Cervantes morirono nella stessa data, il 23 aprile 1616, eciononostante morirono a distanza di 10 giorni, poiché Cervantes morì in Spagna, che aveva giàadottato il calendario gregoriano, mentre l’Inghilterra usava ancora quello giuliano. Cervantes morì il23 aprile 1616 gregoriano, mentre era ancora il 13 aprile 1616 in Inghilterra, dove Shakespeare eraancora vivo (anche se per soli altri 10 giorni). La formula per calcolare il giorno della settimana per qualsiasi data del calendario gregoriano èquesta:

giorno della settimana ≡ codice mese + data + codice anno (mod 7)

e tra un momento spiegherò questi termini. Ha perfettamente senso che la formula usi l’aritmeticamodulare, con mod 7, visto che ci sono 7 giorni in una settimana. Se per esempio una data è 72giorni nel futuro, il suo giorno della settimana sarà quello di due giorni da oggi, poiché 72 ≡ 2 (mod7). Oppure, una data tra 28 giorni cadrà nello stesso giorno della settimana, visto che 28 è multiplo di7. Cominciamo con i codici dei giorni della settimana, che sono facili da memorizzare.

Giorno Codice

lunedì 1

martedì 2

mercoledì 3

giovedì 4

venerdì 5

sabato 6

domenica 7 o 0

A parte L’usanza di dare un nome ai giorni in onore del Sole, della Luna e dei cinque astri più prossimi risaleall’antica Babilonia. Dalla Luna e Saturno derivano lunedì e sabato. Marte diventa martedì, Mercuriomercoledì, Giove giovedì e Venere venerdì. Inoltre, Marte, Mercurio, Giove e Venere sono anche i nomiromani di alcune divinità. Le origini germaniche della lingua inglese hanno portato a sostituzioni con inomi di alcune divinità nordiche per cui Marte diventò Tiw, Mercurio Woden, Giove Thor, e Venere mutòin Freya, da cui Tuesday, Wednesday, Thursday, e Friday. La domenica era originariamente associataal Sole, per cui resta l’inglese Sunday, mentre nei paesi cattolici domenica ha il significato di “giornodel Signore”. I codici dei mesi sono riportati qui di seguito:

Mese Codice

gennaio * 6

febbraio * 2

marzo 2

aprile 5

maggio 0

giugno 3

luglio 5

agosto 1

settembre 4

ottobre 6

novembre 2

dicembre 4

* Eccezione: negli anni bisestili, gennaio = 5 e febbraio = 1.

Vi spiegherò in seguito da dove arrivano questi numeri, ma prima voglio insegnarvi a eseguire ilcalcolo. Per il momento, l’unico codice di anno che serve conoscere è quello del 2000, che vale 0.Usiamo queste informazioni per determinare che giorno era il 19 marzo 2000. Marzo ha come codiceil 2, mentre il 2000 ha codice 0, pertanto la formula ci porta a:

giorno della settimana = 2 + 19 + 0 = 21 ≡ 0 (mod 7)

Quindi, il 19 marzo 2000 era domenica.

A parte Ecco una veloce spiegazione per i codici dei mesi. Notate come, in un anno non bisestile, i codici difebbraio e marzo sono gli stessi. È del tutto sensato, perché quando febbraio ha 28 giorni, marzoarriva 28 giorni dopo l’1 febbraio, così entrambi i mesi cominceranno con lo stesso giorno dellasettimana. L’1 marzo del 2000 era un mercoledì, pertanto se vogliamo dare al 2000 un codice pari a0, e vogliamo che lunedì abbia come codice 1, dobbiamo assegnare a marzo il codice 2. Così,essendo anno non bisestile, febbraio avrà anch’esso codice 2. Siccome marzo ha 31 giorni, chesono 3 giorni più di 28, il calendario di aprile è spostato in là di tre giorni, motivo per cui il codice diaprile è 2 + 3 = 5. Quando aggiungiamo i 28 + 2 giorni di aprile al codice di mese 5, vediamo chemaggio deve avere come codice il 5 + 2 = 7, che si riduce a 0, visto che stiamo lavorando mod 7.Continuando in questo modo, si determinano i codici di tutti i mesi. D’altra parte, in un anno bisestilecome il 2000, febbraio ha 29 giorni, e quindi il calendario di marzo è spostato di un giorno rispetto almese precedente, quindi in un anno bisestile il codice di febbraio sarà 2 − 1 = 1. Gennaio ha 31giorni, pertanto il suo codice deve essere 3 unità sotto il codice di febbraio, e in anno non bisestile, ilcodice di gennaio sarà 2 − 3 = −1 ≡ 6 (mod 7), mentre negli anni bisestili il codice di gennaio sarà 1 −3 = −2 ≡ 5 (mod 7). Che cosa accade al vostro compleanno quando passate da un anno a quello successivo?Normalmente ci sono 365 giorni tra due compleanni, e ciò significa che il giorno della settimanadovrà avanzare di uno, visto che 365 ≡ 1 (mod 7), cioè 365 = 52 × 7 + 1. Tuttavia, quando il 29 febbraiocompare tra i vostri due compleanni, (assumendo che non siate nati proprio il 29 febbraio), allora ilgiorno della settimana avanza di due giorni. Nei termini della formula, ogni anno aggiungiamo 1 alcodice di anno, tranne negli anni bisestili, in cui si aggiunge 2. Di seguito trovate i codici di anno pertutti gli anni tra il 2000 e il 2031. Non temete, non è necessario impararli a memoria! Guardate come i codici cominciano per 0, 1, 2 e 3, mentre per il 2004 si salta il 4 e si passa subito al5. Così il 2005 ha codice di anno pari a 6, il 2006 prende un 7, ma lavorando in mod 7,semplifichiamo il codice a 0. Di qui, il 2007 ha codice 1, poi il 2008 (bisestile) ha codice di anno 3 evia dicendo.

Codici di anno dal 2000 al 2031 (* indica un anno bisestile). Grazie alla tabella, possiamo determinare che nel 2025 (il primo anno futuro che è un quadratoperfetto) il Giorno del Pi greco (14 marzo) cadrà di

giorno della settimana = 2 + 14 + 3 = 19 ≡ 5 (mod 7) = venerdì

Se cerchiamo l’1 gennaio 2008, che era anno bisestile, il codice mese è 5 e non 6; di conseguenza:

giorno della settimana = 5 + 1 + 3 = 9 ≡ 2 (mod 7) = martedì

Notate come scorrendo ogni riga avanziamo a salti di 3 (mod 7), dal momento che passiamo di 8anni in 8 anni e pertanto la prima riga avrà 0, 3, 6, 2 (2 è congruo a 9 (mod 7)). Infatti in un periodo di 8anni il calendario contiene due anni bisestili, che spostano i giorni di 8 + 2 = 10 ≡ 3 (mod 7). Eancora, tra il 1901 e il 2099, il calendario si ripete ogni 28 anni, perché in un ciclo di 28 anni abbiamoesattamente 7 anni bisestili, così lo spostamento dei giorni è 28 + 7 = 35 che lascia immutato ilgiorno della settimana, essendo 35 un multiplo di 7. (Quest’ultima proprietà non vale per i periodi di28 anni a cavallo del 1900 o del 2100, dal momento che questi due anni non sono bisestili.) Così, seaggiungiamo o togliamo periodi di 28, possiamo trasformare qualsiasi anno compreso tra il 1901 e il2099 in un anno del periodo 2000-2027. Per esempio, il 1983 ha lo stesso codice di anno del 1983 +28 = 2011, il 2061 ha lo stesso codice del 2061 − 56 = 2005. In pratica, potete convertire qualsiasi anno in uno di quelli della tabella, i cui codici si calcolano moltorapidamente. Per esempio, perché il 2017 ha codice 0? Partendo dal 2000, il calendario si sposta di17 più un 4 aggiuntivo che tiene conto degli anni bisestili. Pertanto il codice del 2017 è 17 + 4 = 21 ≡ 0(mod 7). E il 2020? Stavolta abbiamo 5 spostamenti da anno bisestile (2020 incluso) e il calendariosi avanza di 20 + 5 = 25 volte, cioè 25 ≡ 4 (mod 7), così il 2020 ha codice 4. In generale, per ogni annocompreso tra il 2000 e il 2027, potete calcolare il codice come segue.

Punto 1: Prendete le ultime due cifre dell’anno, per esempio 22, per il 2022.

Punto 2: Dividete questo numero per 4, ignorando il resto (22 ÷ 4 = 5 con resto 2) Punto 3: Sommate i numeri del Punto 1 e 2, così 22 + 5 = 27. Punto 4: Togliete dal numero del Punto 3 il multiplo di 7 più alto ma ancora minore delnumero stesso (che sarà 0, 7, 14, 21 o 28) e avrete il codice di anno (in altre parole,riducete il numero del Punto 3 in mod 7). Dal momento che 27 − 21 = 6, il codice del2022 è 6.

Notate che i Punti dall’1 al 4 funzionano sempre per tutti gli anni compresi tra il 2000 e il 2099, tuttaviaè più facile fare i calcoli a mente se prima togliete un multiplo di 28 per trasformare l’anno in uno tra2000 e 2027. Per esempio, l’anno 2040 può essere ridotto prima a 2012, per poi applicare i puntidall’1 al 4 per trovare il codice 12 + 3 − 14 = 1. D’altronde, potreste cominciare direttamente da 2040 eottenere lo stesso il codice 40 + 10 − 49 = 1. Gli stessi punti si possono applicare per gli anni esterni al millennio del 2000. I codici di mese noncambiano, occorre soltanto un piccolo aggiustamento per il codice di anno. Il codice del 1900 è 1. Diconseguenza i codici dal 1900 al 1999 sono quelli dal 2000 al 2999 maggiorati di 1. Se 2040 hacodice 1, allora 1940 ha codice 2; per 2022 abbiamo 6, allora per 1922 sarà 7 (o 0, che è congruomod 7). Il 1800 ha codice 3, il 1700 ha 5, il 1600 ha 0. (In effetti, il calendario ricomincia ogni 400 anni,dal momento che dopo 400 anni si hanno esattamente 100 − 3 = 97 anni bisestili e così tra 400 anniil calendario sarà slittato di 400 + 97 = 497 giorni, che è uguale a oggi, dal momento che 497 èmultiplo di 7.) Che giorno della settimana era il 4 luglio 1776? Per calcolare il codice anno del 2076,togliamo 56 e calcoliamolo per 2020: 20 + 5 − 21 = 4. Pertanto il codice anno del 1776 sarà 4 + 5 = 9≡ 2 (mod 7). Quindi, per il calendario gregoriano il 4 luglio 1776 era

giorno della settimana = 5 + 4 + 2 = 11 ≡ 4 (mod 7) = giovedì

Qualcuno aveva fretta di partire per il weekend…?

A parte Concludiamo con un’ultima proprietà magica del 9. Prendiamo un numero qualsiasi formato dasvariate cifre ordinate in modo crescente, del tipo 12.345, 2358, 369, o 135.789. Moltiplichiamolo per9 e sommiamo le cifre: ci aspetteremmo che il totale sia un multiplo di 9, ma con sorpresascopriamo addirittura che la somma fa esattamente 9. Per esempio

9 × 12.345 = 11.105 9 × 2358 = 21.222 9 × 369 = 3321

Funziona anche con cifre che si ripetono, basta che siano ordinate in modo crescente e che nessunasia uguale a quella che si trova 9 posti più avanti. Per esempio

9 × 12.223 = 110.007 9 × 33.344.449 = 300.100.041

Per capire come funzioni, moltiplichiamo per 9 il numero ABCDE, con A ≤ B ≤ C ≤ D < E, che èequivalente a moltiplicare per 10 − 1, e dunque a eseguire la sottrazione

Se sottraiamo da sinistra a destra, dal momento che B ≥ A, C ≥ B, D ≥ C ed E > D, il problema sitrasforma in

per cui la somma delle cifre della risposta al problema iniziale è

A + (B − A) + (C − B) + (D − C) + (E − D − 1) + (10 − E) = 9

Come volevasi dimostrare.

Capitolo 4 La magia del conteggio

3! - 2! = 4

Matematica con il punto esclamativo!

All’inizio del libro, ci siamo cimentati con il problema di sommare i numeri da 1 a 100 e abbiamoscoperto che il totale vale 5050, trovando una bella formula per sommare i primi n numeri. Adessopensate se dovessimo calcolare il prodotto dei numeri da 1 a 100: cosa accadrebbe? Otterremmo unnumero davvero enorme, che, per voi curiosi, è il numero a 158 cifre che segue

93326215443944152681699238856266700490715968264381621 46859296389521759999322991560894146397615651828625369 7920827223758251185210916864000000000000000000000000

In questo capitolo illustreremo come numeri di questo tipo siano i pilastri dei problemi di conteggio.Saranno proprio loro a permetterci di valutare cose come il numero di modi possibili per sistemaredecine di libri su uno scaffale (ce ne sono circa mezzo miliardo), la probabilità di ricevere almeno unacoppia in una mano di poker (non male) o quella di vincere alla lotteria (non buona). La moltiplicazione dei numeri da 1 a n si indica come n! e si dice n fattoriale. In altre parole,

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 3 × 2 × 1

Per esempio

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Sono davvero convinto che il punto esclamativo sia una notazione azzeccatissima, dal momento chen! cresce così rapidamente e ha numerose applicazioni, che come vedremo sono molto interessanti.Per convenienza, i matematici definiscono 0! = 1, mentre n! non è definito per n negativi.

A parte Dalla definizione di fattoriale, molti si aspetterebbero che 0! valga 0. Permettetemi di provare aconvincervi che 0! = 1 ha un senso. Notate che per n ≥ 2, n! = n × (n − 1)!, così

(n − 1)! = n!/n

Se questa affermazione deve essere vera anche per n = 1, ciò implica immediatamente che

0! = 1!/1 = 1

Come potete leggere di seguito, i fattoriali crescono a una velocità incredibile:

Ma quanto sono grandi questi numeri? Si stima che nel mondo ci siano 1022 granelli di sabbia enell’universo 1080 atomi. Ancora, se mischiate un mazzo di 52 carte, vedremo che si possono ottenere52! configurazioni diverse, ed è assai probabile che l’ordine in cui le avete messe non sia mai statoottenuto prima né mai lo sarà in futuro, nemmeno se tutte le persone sul pianeta si mettessero amischiare un nuovo mazzo per ogni minuto del prossimo milione di anni!

A parte All’inizio del capitolo avrete certamente notato che 100! finisce con diversi zeri. Da dove arrivano? Nelprodotto dei numeri da 1 a 100 arriva uno 0 ogni volta che un multiplo di 5 si moltiplica per un multiplodi 2. Tra i numeri da 1 a 100 ci sono 20 multipli di 5 e 50 numeri pari, pertanto si può credere che ilnumero finale avrà 20 zeri. Tuttavia, i numeri 25, 50, 75 e 100 contribuiscono ciascuno con un fattore5 in più, e alla fine 100! terminerà con 24 zeri. Proprio come nel Capitolo 1, con i fattoriali si originano molti schemi numerici davvero incantevoli.Ecco uno dei miei preferiti:

1 × 1! = 1 = 2! – 1 1 × 1! + 2 × 2! = 5 = 3! – 1 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! = 23 = 4! – 1 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + 4 × 4! = 119 = 5! – 1 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + 4 × 4! + 5 × 5! = 719 = 6! – 1

…

Uno schema numerico con i fattoriali.

La regola di somma e prodotto

Quasi tutti i problemi di conteggio si riducono all’applicazione di due regole: quella di somma equella di prodotto. La regola di somma si usa quando volete contare il numero totale di possibilitàavendo a disposizione opzioni differenti. Per esempio, se avete 3 maglie a maniche corte e 5 amaniche lunghe, avrete 8 diverse scelte possibili. In generale, se avete due tipi di oggetti, con apossibilità per il primo tipo e b possibilità per il secondo, allora ci sono a + b oggetti differenti (seassumiamo che nessuna delle scelte b sia uguale a nessuna delle scelte a).

A parte Come detto, la regola di somma assume che i due insiemi di oggetti non abbiano nessun elementoin comune. Tuttavia, se invece ci sono c oggetti che appartengono a entrambi gli insiemi, questisarebbero contati due volte. Così, il numero di oggetti diversi sarebbe a + b − c. Per esempio, se inuna classe di studenti ci sono 12 proprietari di cani, 19 proprietari di gatti e 7 studenti che hanno siacani sia gatti, allora il numero di studenti che hanno un cane o un gatto sarà 12 + 19 − 7 = 24. Per un esempio un po’ più matematico, tra i numeri da 1 a 100 ci sono 50 multipli di 2, 33 multipli di3, 16 numeri che sono multipli sia di 2 sia di 3 (ossia che sono multipli di 6). Pertanto, il numero dinumeri compresi tra 1 e 100 che sono multipli di 2 o 3 vale 50 + 33 − 16 = 67. La regola di prodotto dice che se un’azione è composta da due parti e ci sono a modi per fare laprima, mentre sono b i modi di svolgere la seconda, allora l’azione può essere svolta in a × b modi.Immaginate per esempio che io possieda 5 paia di pantaloni diversi e 8 camicie, e che non me neimporti nulla di coordinare i colori (il che, ho paura, vale per tutti i matematici), allora il numero dicombinazioni diverse sarà 5 × 8 = 40. Se poi consideriamo anche le mie 10 cravatte, allora possovestirmi in 40 × 10 = 400 modi. In un generico mazzo di carte, ogni carta può appartenere a uno tra 4 semi (picche, cuori, quadri efiori) e avere uno fra 13 valori (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q o K). Il numero di carte nel mazzo saràquindi 4 × 13 = 52. Se volessimo, potremmo disporre le 52 carte in un rettangolo 4 × 13, che è unmodo alternativo per vedere che le carte sono 52.

Adesso applichiamo la regola di prodotto per contare i codici postali. Quanti codici da cinque cifreriusciamo a generare, in teoria? Ogni cifra del codice postale potrà essere un numero da 0 a 9. Ilminore in assoluto sarà 00000 e il maggiore 99.999, e ci saranno quindi 100.000 possibilità. Cipotete arrivare anche con la regola di prodotto: avete 10 scelte per la prima cifra (da 0 a 9), poi 10 perla seconda e così via fino alla quinta. Allora ci sono 105 = 100.000 codici postali possibili. In questoconto era permesso ripetere i numeri, ma cosa succede in quelle situazioni in cui gli oggetti non sipossono ripetere, come quando si ordinano i componenti di una fila? È facile dimostrare che dueoggetti si possono ordinare in due modi soltanto: per esempio, le lettere A e B si compongono in ABo BA. In maniera analoga, tre oggetti si ordinano in 6 modi possibili: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB,CBA. Adesso, riuscite a vedere che 4 oggetti generano 24 sequenze senza scriverle tutte? Ci sono 4scelte possibili per la prima lettera (A, B, C o D). Una volta fissata la prima, restano 3 scelte possibiliper la seconda, poi 2 scelte per la terza e una soltanto per l’ultima. Insieme, fanno 4 × 3 × 2 × 1 = 4! =24 possibilità. In generale, ci sono n! modi di ordinare n oggetti diversi. Nel prossimo esempio, combineremo le regole di somma e prodotto. Immaginate che uno Statorilasci targhe automobilistiche di due tipi. Quelle di tipo I sono composte di 3 lettere seguite da 3 cifre.Quelle di tipo II sono composte di 2 lettere seguite da 4 cifre. Quante sono le targhe possibili? (Sonopermesse tutte le 26 lettere e tutte le 10 cifre, ignorando la confusione che si genera tra caratterisimili come O e 0.) Dalla regola di prodotto, le targhe di tipo I sono:

26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 17.576.000

Mentre le targhe di tipo II sono

26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 6.760.000

Dal momento che ogni targa è di tipo I oppure di tipo II, ma non di entrambi, allora la regola disomma ci dice che il numero totale di possibilità è la loro somma, ossia 24.336.000. Uno dei piaceri derivanti dai problemi di conteggio (i matematici chiamano calcolo combinatorioquesta branca della disciplina) è che molto spesso lo stesso problema può essere risolto in modidiversi. (Abbiamo visto che questo vale anche per il calcolo a mente.) In effetti l’ultimo problema cheabbiamo affrontato si può risolvere in un solo passaggio. Il numero delle targhe è

26 × 26 × 36 × 10 × 10 × 10 = 24.336.000

Infatti i primi due elementi della targa possono essere scelti entrambi tra 26 modi, mentre gli ultimitre elementi hanno 10 possibilità ciascuno; tuttavia il terzo elemento, potendo essere una lettera ouna cifra numerica, avrà allora 26 + 10 = 36 modi possibili.

Lotterie e mani di poker

In questo paragrafo applicheremo le nostre nuove abilità nel conteggio per determinare le probabilitàdi vincere alla lotteria o di ricevere vari tipi di carte in una mano di poker. Ma prima rilassiamoci unattimo con un po’ di gelato. Supponete che una gelateria offra 10 gusti di gelato. In quanti modi diversi potete ordinare un conocon tre gusti? Quando componete un cono gelato, l’ordine conta, eccome! Se i gusti possono essereripetuti, avendone 10 possibili per ognuna delle tre palle di gelato, allora avremo 103 = 1000 conipossibili. Se invece stabiliamo che i tre gusti devono essere sempre diversi, allora il numero di conisi riduce a 10 × 9 × 8 = 720, come mostra la figura alla pagina seguente. Passiamo ora alla domanda seria. In quanti modi potete mettere tre gusti diversi in una coppetta, incui l’ordine non conta? Se l’ordine non conta, ci sono molte meno possibilità: ce n’è un sesto rispettoa prima, ma come è possibile? Per ogni scelta dei gusti diversi nella coppetta (per esempio,cioccolato, vaniglia e menta), ci sono 3! = 6 modi di ricombinare i gusti nel cono. Così ci saranno coniper 6 volte il numero delle coppette. Di conseguenza, il numero delle coppette è

Un modo diverso per scrivere 10 × 9 × 8 è 10!/7! (anche se la prima espressione è più facile dacalcolare). Pertanto il numero di coppette si può esprimere come . Chiamiamo questo tipo di

espressione 10 sopra 3, e la indichiamo con il simbolo , che vale 120. In generale, il numero di

modi in cui possiamo scegliere k oggetti diversi senza che l’ordine conti tra un insieme più grande din oggetti diversi si dice n sopra k e ha come formula

I matematici chiamano combinazione questo tipo di conteggio, mentre i numeri nella forma si

I matematici chiamano combinazione questo tipo di conteggio, mentre i numeri nella forma si

chiamano coefficienti b inomiali. I problemi di conteggio nei quali l’ordine conta si diconopermutazioni. È facile confondersi tra combinazione e permutazione, per esempio diciamo spesso“combinazione della cassaforte”, mentre dovremmo dire “permutazione della cassaforte” dalmomento che l’ordine in cui si usano i numeri è decisamente importante.

Per ogni coppetta con 3 gusti, ci sono 3! = 6 modi di metterli in un cono. Se la gelateria offre 20 gusti e volete regalarvi una vaschetta con 5 gusti diversi (qui l’ordine non èimportante), allora ci sarebbero

possibilità. Tra l’altro, se la vostra calcolatrice non ha un tasto che calcola , cercate “20 sopra 5”

su internet, e quasi sicuramente troverete un calcolatore con la risposta. I coefficienti binomiali compaiono talvolta in problemi in cui l’ordine sembra avere importanza. Selanciamo una moneta per 10 volte, quante sequenze possono uscire? (Sequenze del tipoTCTCCTTCCC o TTTTTTTTTT?) Dal momento che ci sono soltanto 2 possibili risultati per ogni tiro,allora la regola di prodotto ci dice che ci sono 210 = 1024 sequenze, tutte equiprobabili. (All’inizioquesto sorprende alcuni, che ritengono la seconda sequenza dell’esempio meno probabile dellaprima, mentre hanno entrambe probabilità 1/1024.) D’altra parte, è molto più probabile che in diecilanci si ottenga 4 volte testa invece che 10. C’è un’unica possibilità di avere 10 volte testa, che haquindi probabilità 1/1024, ma quante possibilità ci sono di avere 4 volte testa su 10? Tutte lesequenze utili sono tali se 4 dei 10 tiri danno testa mentre negli altri esce croce. Il numero dipossibilità per calcolare quali 4 dei 10 daranno testa è . (Proprio come scegliere 4 palline

diverse di gelato tra 10 gusti possibili.) Così, tirando 10 volte una moneta non truccata, la probabilitàdi avere testa esattamente 4 volte sarà

che vale circa il 20 per cento.

A parte Sarebbe naturale domandarsi quante coppette da 3 palle si possono fare partendo da 10 gusti sepermettiamo che ci siano ripetizioni. (La risposta non è certo 103/6, che non è nemmeno un numerointero!) L’approccio più diretto sarebbe considerare tre casi, a seconda del numero di gusti diversinella coppetta. È chiaro che ci sono 10 coppette con un solo gusto, mentre, da quanto visto inprecedenza, ci sono coppette con tre gusti. Ci sono coppette con due

gusti, infatti possiamo scegliere due gusti diversi in modi, e poi decidere quale dei due gusti avrà

due palle. Se sommiamo tutti e tre i casi, otteniamo che il numero di coppette è 10 + 120 + 90 = 220. Abbiamo tuttavia un altro metodo per procedere, senza separare il problema in tre casi. Ogni coppettapuò essere rappresentata usando 3 asterischi e 9 barre. Per esempio, se scegliamo i gusti 1,2 e 2,rappresentiamo la coppetta con questa sequenza di asterischi e barre:

* | * * | | | | | | | |

Se invece prendiamo i gusti 2, 2, e 7, scriveremo

| * * | | | | | * | | |

Mentre la sequenza di asterischi e barre

| | * | | * | | | | | *

rappresenta una coppetta con i gusti 3, 5, e 10. Ogni sequenza di 3 asterischi e 9 barre corrisponde auna coppetta diversa. Asterischi e barre, insieme, occupano 12 spazi, di cui 3 sono asterischi. Quindi,gli asterischi e le barre possono essere disposti in modi. Più in generale, il numero di

modi in cui possiamo scegliere k oggetti tra n in cui l’ordine non è importante e le ripetizioni sonopermesse, è il numero di modi in cui si possono disporre k asterischi e n – 1 barre, ossia

modi.

Le combinazioni sono presenti in molti problemi legati ai giochi di probabilità. Per esempio, nellaCalifornia Lottery (la lotteria della California) si scelgono 5 numeri diversi compresi tra 1 e 47. Inoltre,potete scegliere un numero MEGA aggiuntivo, compreso tra 1 e 27 (che può essere una ripetizionedei 5 numeri scelti in precedenza). Ci sono 27 possibilità per il numero MEGA; mentre gli altri 5numeri possono essere scelti in modi. Così, il numero totale di possibilità è

Pertanto la probabilità di vincere il primo premio della lotteria è circa di 1 su 40 milioni. Adesso cambiamo gioco e proviamo con il poker. Una mano classica di poker consiste nelladistribuzione di 5 carte da un mazzo di 52 carte diverse, in cui l’ordine delle 5 carte non conta.Pertanto il numero di possibilità è

Nel poker, una combinazione di 5 carte dello stesso seme come si chiama colore. Quante ce nesono? Per ottenere colore, bisogna avere un seme, per il quale abbiamo 4 possibilità. (Miconcentrerò su un solo seme, diciamo picche.) Quante sono le possibilità di avere 5 carte di quelseme? Essendoci 13 carte di picche, avremo modi. Così, il numero di colori possibili è

La probabilità di ricevere un colore a poker è pertanto di 5148/2.598.960, approssimativamente 1 su500. Per i puristi del poker, dalle 5148 possibilità potete togliere le 4 × 10 = 40 scale di colore, ossia ilcolore formato da cinque carte consecutive. Una scala nel poker è composta da 5 carte consecutive, tipo A2345 o 23456 o … o 10JQKA, comenella figura seguente

Ci sono 10 tipi diversi di scala, definiti dalla carta più bassa, ma una volta scelto il tipo (prendiamo34567), ogni carta può appartenere a uno dei 4 differenti semi. Quindi, il numero di scale è

10 × 45 = 10.240

Che è quasi il doppio delle possibilità di colore. E quindi la probabilità di ricevere una scala è circa 1su 250. Ecco perché il colore vale più della scala: è meno probabile. Una mano ancora più preziosa è il full, che consiste in 3 carte di un certo valore e 2 carte di unsecondo valore. Un tipico full può essere quello nella figura seguente:

Per ottenere full occorre avere un valore che si ripete tre volte (13 modi possibili) e quindi un secondovalore che si ripete due volte (12 modi), per esempio, tre regine e due 7. Poi occorre considerare isemi. Possiamo ragionare sul fatto che le tre regine possono arrivare in modi mentre i 7 in

possibilità. Tutti insieme, il numero di full è

13 × 12 × 4 × 6 = 3744

Così, la probabilità di ricevere un full è 3744/2.598.960, ossia all’incirca 1 su 700. Dopo il full, vediamo come va con la doppia coppia, una mano in cui si ha una coppia di carte con unvalore, un’altra coppia con un secondo valore e l’ultima carta con un terzo valore diverso, come Moltisbagliano, perché cominciano a contare i valori che compaiono in coppia come 13 × 12, ma l’errore èdi avere un conteggio doppio, dal momento che ricevere prima due regine seguite da due 7 è ugualea ricevere due 7 seguiti da due regine. Il modo corretto per cominciare il conto è (per esempio,ricevere insieme le regine e i 7), per poi aggiungere un terzo valore per la carta spaiata (per esempio

ricevere insieme le regine e i 7), per poi aggiungere un terzo valore per la carta spaiata (per esempio

un 5), e infine assegnare i semi. Il numero di doppie coppie possibili in una mano sarà

Una situazione che si verifica quindi nel 5 per cento dei casi. Non ci attarderemo a esaminare tutti gli altri dettagli di una mano di poker, ma vedete se riuscite averificare quanto segue. Il numero di possibilità di avere un poker, tipo A♠A♥A♦A♣8♦, è

Una mano del tipo A♠A♥A♦9♣8♦ si chiama tris e ce ne sono

Il numero di possibilità per la coppia singola come A♠A♥J♦9♣8♦ è

ossia all’incirca il 42 per cento di tutte le mani possibili.

A parte Quante mani sono da considerarsi “nulle”, senza coppie, colore, una scala o un qualsiasi puntovalido? Potreste sommare con attenzione i casi come li abbiamo calcolati in precedenza e poisottrarli da , ma la risposta diretta è:

Il primo termine tiene conto dei modi di scegliere 5 valori diversi (impedendo che due o più cartesiano uguali) con l’eccezione di ricevere 5 carte in scala nei 10 modi possibili. Poi, il terminesuccessivo assegna un seme ad ognuno dei 5 valori diversi, per cui ci sono 4 scelte possibili, madobbiamo scartare le 4 possibilità in cui tutte le carte hanno lo stesso seme. Alla fine, circa il 50,1 per

dobbiamo scartare le 4 possibilità in cui tutte le carte hanno lo stesso seme. Alla fine, circa il 50,1 per

cento delle mani non ha neppure una coppia. Il che significa anche che nel 49,9 per cento dei casi siriceve una coppia o qualcosa di più. Ecco invece una domanda che ammette tre risposte interessanti, due delle quali sono entrambecorrette! Quante mani da cinque carte contengono almeno un asso? La tentazione di dare la rispostasbagliata è forte. Il ragionamento (sbagliato) è che se possiamo ricevere un asso in 4 modi,

allora le altre 4 carte sono libere, ininfluenti, e possono essere scelte tra le 51 che restano, altri assicompresi. Il baco in questo ragionamento è che alcune giocate (quelle con più di un asso) sonoconteggiate più di una volta. Prendete la mano A♠A♥J♦9♣8♦: sarà contata sia quando riceviamol’asso di picche (e poi le altre quattro carte) sia quando arriva l’asso di cuori (e poi le altre quattrocarte). Un modo corretto di procedere è invece dividere il problema in quattro casi distinti, a secondadel numero di assi nella mano. Così, il numero di mani in cui si ha un asso soltanto è

(prendendo un asso e poi quattro carte diverse dall’asso). Continuando in questa maniera, contiamole mani con due, tre e quattro assi; sommando, il numero di mani con almeno un asso è

Un calcolo più rapido è possibile, ma concentrandosi sul problema opposto: il numero di mani senzaassi è semplicemente . Pertanto il numero di mani con almeno un asso sarà

Abbiamo già sottolineato come il valore di una mano nel poker si classifichi in base a quanto è rara.Per esempio, dal momento che ci sono maggiori possibilità di realizzare una coppia singola che unadoppia coppia, la prima vale meno della seconda. L’ordine dei punteggi nel poker, dal più basso alpiù alto è:

Coppia Doppia coppia Tris Scala Colore Full Poker Scala di colore

Un modo facile per ricordarselo è: “Uno, due, tre, scala, colore, due-tre, quattro, scala-colore” (“due-tre” è il full). Adesso immaginiamo di giocare a poker con i jolly: avremo 54 carte in cui ai due jolly può essereassegnato un valore a piacere che permette di ottenere la mano migliore possibile. Così, peresempio, se avete ricevuto A♥, A♦, K♠, 8♦ e il jolly, allora sceglierete come valore del jolly l’asso, il chevi garantisce un tris d’assi. Se cambiaste il jolly in un Re, avreste soltanto una doppia coppia, che ha

vi garantisce un tris d’assi. Se cambiaste il jolly in un Re, avreste soltanto una doppia coppia, che ha

punteggio inferiore

Che valore dobbiamo assegnare al jolly per riuscire a ottenere la miglior mano possibile? Ed ecco che le cose si fanno interessanti. Seguendo l’ordine tradizionale del punteggio, se vi trovatecon una mano come quella dell’esempio, possiamo trasformarla in una doppia coppia o un tris, esceglieremmo di farla diventare un tris, che vale di più. Ma di conseguenza, aumenteranno lepossibilità di avere un tris, a scapito delle doppie coppie. Se cercassimo di risolvere questa complicazione assegnando alla doppia coppia un valore più alto,finiremmo con lo stesso problema a parti invertite, dove il tris varrebbe di meno ma sarebbe più raro.La conclusione del ragionamento fu scoperta nel 1996 dal matematico Steve Gadbois, ed èsorprendente: quando si gioca a poker con i jolly non c’è un modo coerente per ordinare le mani inbase al punteggio seguendo la loro frequenza di uscita.

Schemi nel triangolo di Pascal

Osservate il triangolo di Pascal:

Triangolo di Pascal con i simboli. Nel Capitolo 1 abbiamo mostrato come nascano schemi interessanti quando si mettono numeridentro triangoli. I numeri che abbiamo introdotto in questo capitolo presentano a loro volta degli

schemi meravigliosi, che si svelano una volta rappresentati in un triangolo, detto triangolo di Pascal,come quello qui sopra. Adesso trasformiamo i simboli in numeri usando la formula e

cerchiamo gli schemi (confrontate con la figura alla pagina seguente). Spiegheremo tutti gli schemi,ma sentitevi liberi di saltare le spiegazioni per goderveli in modo immediato, almeno a una primalettura. La riga di testa, detta riga 0, ha un solo termine, ossia . (Ricordate che 0! = 1.) Tutte le

righe cominciano e finiscono con 1, dal momento che

Ora guardate la riga 5 nello schema alla pagina seguente.

Riga 5: 1 5 10 10 5 1

Notate che il secondo elemento è un 5 e in generale il secondo elemento della riga n vale n, che hasenso perché è il numero di modi di scegliere un oggetto da un insieme di n, che ovviamente è

pari a n.

Triangolo di Pascal con i numeri. Notate inoltre che tutte le righe sono simmetriche: si leggono allo stesso modo sia da sinistra adestra sia viceversa. Per esempio, alla riga 5 abbiamo

In generale, lo schema si presenta come

A parte La relazione di simmetria ha due possibili spiegazioni. Dalla formula, possiamo usare l’algebra perdimostrare che

Tuttavia, non avete bisogno della formula per vedere che è vero. Per esempio, perché mai = ?

Il numero conta i modi di scegliere 3 gusti di gelato per una coppetta tra 10 possibili. Ma questo è

esattamente lo stesso numero di modi di scegliere 7 gusti da non mettere nella coppetta. Lo schema successivo che potreste notare è quello per cui, a parte gli 1 all’inizio e alla fine dellerighe, tutti i numeri sono la somma dei due numeri che stanno sopra di loro. Questa relazione ètalmente sorprendente da prendere il nome di identità di Pascal. Per esempio, guardiamo le righe 9e 10 del triangolo di Pascal.

Perché mai funziona così? Quando troviamo che 120 = 36 + 84, in realtà facciamo un’affermazionesui coefficienti binomiali

Per dimostrare che questa formula è vera, poniamoci la seguente domanda: se una gelateria vende10 gusti di gelato, in quanti modi diversi potete scegliere 3 gusti per una coppetta (in cui l’ordine nonconta)? La prima risposta è , come abbiamo già visto. Tuttavia, esiste un altro modo di

rispondere. Assumiamo che uno dei gusti possibili sia la vaniglia: quante sono le coppette che noncontengono la vaniglia? Saranno , dal momento che possiamo scegliere 3 gusti dai rimanenti 9.

Quante sono le coppette che invece contengono la vaniglia? Se la vaniglia deve essere presente,allora restano modi di scegliere gli altri due gusti della coppetta. Pertanto il numero di coppette

possibili sarà . Qual è la risposta giusta? Il nostro ragionamento è stato corretto in tutti e due i

casi, pertanto saranno entrambe corrette e quindi le due quantità sono uguali. Seguendo la stessalogica (o algebra, se preferite), si dimostra che per qualsiasi numero k tra 0 e n,

Adesso vediamo cosa succede quando sommiamo tutti i numeri di una riga del triangolo di Pascal,come mostra la figura. Lo schema emergente suggerisce che la somma dei numeri di una riga sia sempre una potenza di2. In particolare, la riga n ha come somma 2 n . Ma perché dovrebbe essere sempre così? Un altromodo per descrivere lo schema è dire che la prima riga ha somma 1, e che ad ogni riga raddoppia,

modo per descrivere lo schema è dire che la prima riga ha somma 1, e che ad ogni riga raddoppia,

cosa che ci pare sensata se pensiamo all’identità di Pascal, appena dimostrata. Per esempio,sommando i numeri della riga 5, possiamo riscriverli usando i numeri della riga 4, ottenendo

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 1 + (1 + 4) + (4 + 6) + (6 + 4) + (4 + 1) + 1 = (1 + 1) + (4 + 4) + (6 + 6) + (4 + 4) + (1 + 1)

Che è davvero il doppio della somma dei numeri della riga 4. Con lo stesso ragionamento, loschema si ripete all’infinito.

Nel triangolo di Pascal le somme per riga sono potenze di 2. In termini di coefficienti binomiali, questa identità ci dice che sommando i numeri della riga n:

Che ci sorprende non poco, dal momento che i singoli addendi si calcolano con i fattoriali, che ingenere sono divisibili per molti numeri diversi, mentre la somma completa ha soltanto il 2 comefattore primo. Un altro modo per dimostrare lo schema si serve del conteggio, approccio detto dimostrazionecombinatoria. Per spiegare la somma dei numeri della riga 5, andiamo in una gelateria che offre 5gusti di gelato. (L’argomentazione per la riga n è analoga.) In quanti modi diversi riusciamo a metterele palle di gelato nella coppetta con il vincolo di non poter ripetere un gusto? La coppetta potrà avere0, 1, 2, 3, 4 o 5 gusti diversi e l’ordine delle palle non conta. In quanti modi la coppetta contieneesattamente due palle? Come abbiamo già visto, la risposta a quest’ultima domanda è

modi diversi.

In quanti modi diversi possiamo mettere palle di gelato diverse nella coppetta? Tutti insieme, a seconda del numero di gusti nella coppetta, la regola di somma ci porta a

modi, che si semplificano in 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1. D’altro canto, potremmo rispondere anche con laregola del prodotto. Invece di decidere prima quante palle mettere nella coppetta, concentriamoci suigusti e decidiamo quali saranno nella coppetta e quali no. Per esempio, abbiamo 2 scelte possibiliper il cioccolato (sì o no), 2 scelte per la vaniglia (sì o no) e via dicendo fino al quinto gusto. (Notateche se scegliamo “no” per tutti i gusti, avremo una coppetta vuota, che è una scelta ammessa.) Cosìil numero di modi per determinare la nostra scelta finale è

2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25

Avendo ragionato in modo corretto in entrambi i casi, avremo che

Come volevasi dimostrare.

A parte Con un’argomentazione combinatoria simile si dimostra che se si sommano i numeri alterni dellariga n, il totale fa 2 n− 1. Non ci sorprende per le righe dispari come la 5, dal momento che i numeriche stiamo sommando (1 + 10 + 5) sono uguali a quelli che escludiamo (5 + 10 + 1), e quindi siottiene la metà della somma totale che vale 2 n . Tuttavia funziona anche per le righe pari, peresempio la 4, visto che 1 + 6 + 1 = 4 + 4 = 23. In generale, per qualsiasi riga n ≥ 1, abbiamo che

Per quale ragione? Il lato sinistro conta le coppette di gelato che hanno un numero pari di palle (nelcaso in cui ci siano n gusti possibili e tutte le palle devono essere di gusti diversi). Tuttavia,possiamo generare una tale coppetta scegliendo liberamente tra i gusti da 1 a n − 1. Abbiamo 2scelte per il primo gusto (sì o no), 2 scelte per il secondo… e 2 scelte per il gusto (n − 1)-esimo.Invece, c’è una sola scelta per l’ultimo gusto, se vogliamo che il numero totale di gusti sia pari. Così ilnumero di coppette a numero pari di gusti sarà 2 n− 1. Altri schemi saltano fuori se riscriviamo il triangolo di Pascal come un triangolo rettangolo. La primacolonna (Colonna 0) consiste di soli 1, la seconda (Colonna 1) è composta dagli interi positivi 1, 2, 3,4 e così via. La Colonna 2, che comincia per 1, 3, 6, 10, 15… dovrebbe sembrare familiare, visto chesono i numeri triangolari incontrati nel Capitolo 1. In generale, i numeri della Colonna 2 si possonoesprimere come

Pertanto la colonna k contiene i numeri e così via.

Adesso guardate cosa succede se sommiamo i primi numeri di una colonna qualsiasi: seprendiamo per esempio i primi cinque numeri della Colonna 2, otteniamo 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35,che come mostra la figura è il numero che si trova una riga sotto e spostato in diagonale di unacolonna. In altre parole:

Che è un esempio dell’identità della mazza da hockey, visto che la forma ottenuta sul triangolo diPascal sembra proprio simile all’attrezzo che si usa nell’hockey, con la sua lunga colonna di numeriche termina con un ultimo numero che si allunga fuori dalla colonna stessa. Per capire come possafunzionare questo schema, immaginiamo di avere una squadra di hockey con 7 giocatori, ognunocon un numero diverso sulla maglia: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Il triangolo rettangolo di Pascal mostra uno schema a “mazza da hockey”. In quanti modi posso scegliere 3 di questi giocatori per una sessione di allenamento? L’ordine nonconta, quindi ci sono modi. Ora rispondiamo alla stessa domanda distinguendo casi diversi.

Quanti di questi modi includono il giocatore numero 7? Ossia: in quante di queste possibilità il 7 è ilnumero più alto sulle maglie? Essendo 7 già preso, allora ci sono possibilità per scegliere gli

altri due giocatori. Prossima domanda: in quanti dei modi iniziali il 6 è il numero più alto sullemaglie? In questo caso il 6 deve essere scelto, ma il 7 no, pertanto ci sono modi di scegliere gli

altri due giocatori. Alla stessa maniera, ci sono modi per avere il 5 come numero più grande,

modi per avere il 4 come numero più grande modi per avere il 3 come numero più grande.

Dal momento che il maggiore dei tre numeri deve essere 3, 4, 5, 6 o 7, abbiamo contato tutte lepossibilità, così i tre membri possono essere assortiti in modi, come descritto dal lato

sinistro dell’equazione precedente. Più in generale, questo ragionamento mostra che

Applichiamo la formula per risolvere un importante problema che probabilmente vi attanaglia ognianno durante le vacanze di Natale. Se il primo giorno di vacanza ricevete un regalo, il secondo 3regali, il terzo 6 e via dicendo, quanti regali avrete in tutto dopo 12 giorni di vacanza?

Quanti regali ho ricevuto dopo 12 giorni di vacanza? Nel giorno n-esimo delle vacanze, il numero di regali sarà

(Come ci dice la nostra utile formula dei numeri triangolari, o dell’identità della mazza da hockey perk = 1.) Così, il primo giorno avremo regalo; il secondo giorno regali, e avanti così fino al

dodicesimo giorno, quando riceveremo regali. Applicando l’identità della mazza da

hockey, deduciamo che il numero totale di regali sarà

Quindi, se scartate un regalo al giorno, avrete un nuovo dono praticamente tutti i giorni dell’annosuccessivo (magari prenderete un giorno libero per il vostro compleanno!). Infine, ecco uno degli schemi più strani del triangolo di Pascal. Se osservate il triangolo, cerchiandotutti i numeri dispari, vedrete formarsi dei triangoli nel triangolo.

I numeri dispari del triangolo di Pascal. Concentriamoci sul triangolo con 16 righe e rimpiazziamo ogni numero dispari con un 1 ed ogninumero pari con uno 0. Notate che sotto ogni coppia di 0 ed ogni coppia di 1 si trova uno 0, il cheriflette il fatto che la somma di due numeri pari o di due numeri dispari è sempre un numero pari.

I numeri dispari in evidenza. Ma ampliamo ancora di più il campo, come mostrato nella figura alla pagina seguente con untriangolo di 256 righe, in cui ogni numero dispari è stato rimpiazzato da un quadratino nero ed ogninumero pari da un quadratino bianco. La figura è un’approssimazione di un’immagine frattale nota come triangolo di Sierpinski. Abbiamotrovato uno dei tanti tesori nascosti nel triangolo di Pascal. Ed ecco un’altra sorpresa. Quanti numeridispari ci sono in una riga del triangolo di Pascal? Se guardiamo alle righe dalla 1 alla 8 (riga 0esclusa), ne contiamo 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2 e così via. Non emerge nessuno schema evidente, anchese è chiaro che la risposta è sempre una potenza di 2. In effetti le potenze di 2 hanno un ruolodavvero importante. Per esempio, notate che le righe che hanno esattamente 2 numeri dispari sonole righe 1, 2, 4 e 8, che sono potenze di 2. Per arrivare allo schema generale, sfruttiamo il fatto cheogni numero intero maggiore o uguale a 0 si può ottenere in modo univoco sommando potenzediverse di 2.

Pascal incontra Sierpinski. Per esempio:

1 = 1 2 = 2 3 = 2 + 1 4 = 4 5 = 4 + 1 6 = 4 + 2 7 = 4 + 2 + 1 8 = 8

Abbiamo 2 numeri dispari nelle righe 1, 2, 4 e 8 (che sono potenze di 2). Abbiamo 4 numeri disparinelle righe 3, 5 e 6 (che sono la somma di 2 potenze di 2), mentre ci sono 8 numeri dispari nella riga

nelle righe 3, 5 e 6 (che sono la somma di 2 potenze di 2), mentre ci sono 8 numeri dispari nella riga

7 (che è la somma di 3 potenze di 2). Ecco allora la regola, inaspettata e meravigliosa. Se n è lasomma di p potenze diverse di 2, allora il numero di numeri dispari nella riga n è 2 p . Così, peresempio, quanti numeri dispari ci saranno alla riga 83? Dal momento che 83 = 64 + 16 + 2 + 1, cioèla somma di 4 potenze di 2, allora la riga 83 avrà 24 = 16 numeri dispari!

A parte Non lo dimostreremo qui, ma se siete davvero curiosi, è un numero dispari ogni volta che

k = 64a + 16b + 2c + d

dove a, b , c, d possono essere 0 o 1. In particolare, k deve essere uno di questi numeri:

0, 1, 2, 3, 16, 17, 18, 19, 64, 65, 66, 69, 80, 81, 82, 83

Concludiamo il capitolo con un ultimo schema. Abbiamo visto cosa succede quando sommiamo lerighe del triangolo di Pascal (si ottengono potenze di 2) e le colonne del triangolo di Pascal (la“mazza da hockey”). Ma se sommiamo le diagonali?

Pascal incontra Fibonacci. Quando sommiamo le diagonali, come mostrato nella figura alla pagina precedente, otteniamo itotali seguenti:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

Che sono i mitici numeri di Fibonacci, l’argomento che affronteremo nel prossimo capitolo.

Capitolo 5 La magia dei numeri di Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

I numeri della natura

Ammirate una delle serie numeriche più magiche: i numeri di Fibonacci!

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

La sequenza di Fibonacci comincia con i numeri 1 e 1. Il terzo è 1 + 1, ossia la somma deiprecedenti, che vale 2; il quarto è 1 + 2 = 3; il quinto 2 + 3 = 5; gli altri continuano a saltelli: 3 + 5 = 8, 5+ 8 = 13, 8 + 13 = 21 e via dicendo. I numeri apparvero per la prima volta nel Liber Abaci (“libro delcalcolo”), scritto nel 1202 da Leonardo Pisano (in seguito detto “Fibonacci”). Il Liber Abaci introdussein Occidente i numeri indo-arabi e i metodi aritmetici che usiamo oggi. Uno dei molti problemi diaritmetica trattati riguarda la vicenda di alcuni conigli immortali. Supponete che un cucciolo di coniglioimpieghi un mese per crescere, mentre ogni coppia di conigli, una volta adulta, genera una nuovacoppia ogni mese per sempre. La domanda è: se cominciamo con una sola coppia, quante coppie diconigli ci saranno 12 mesi più tardi? Il problema si può illustrare con immagini o simboli, per esempio indicando con c una coppia dicuccioli di coniglio e con C una coppia adulta. Dopo un mese, ogni c diventa una C, mentre ogni C èrimpiazzata da C c (in altre parole: i coniglietti diventano adulti e generano coniglietti). La situazione sipuò modellizzare come nella tabella che segue la figura alla pagina seguente: si vede che nei primi 6mesi il numero di coppie è, rispettivamente, 1, 1, 2, 3, 5 e 8.

Dimostriamo che ci saranno 13 coppie nel settimo mese, senza contare esplicitamente lapopolazione. Quanti conigli adulti saranno presenti al settimo mese? Dal momento che qualsiasiconiglio presente al sesto mese è adulto al settimo, ci saranno 8 adulti.

Quante coppie di cuccioli ci saranno al settimo mese? Saranno pari al numero di coppie adulte alsesto mese, cioè 5, che è uguale alla popolazione totale al quinto mese e non per coincidenza. Così,le coppie di conigli al settimo mese saranno 8 + 5 = 13. Se chiamassimo i primi due numeri di Fibonacci F 1 = 1 e F 2 = 1, allora potremmo definire il numerosuccessivo come la somma dei due precedenti così che per n ≥ 3,

Fn = Fn-1 + Fn-2

Così F 3 = 2, F 4 = 3, F 5 = 5, F 6 = 8 e via dicendo, come in tabella.

I primi 13 numeri di Fibonacci. Pertanto, la risposta al problema dei “conigli immortali” di Fibonacci sarà F 13 = 233 coppie di conigli(di cui F 12 = 144 di adulti e F 11 = 89 di cuccioli).

Oltre alle dinamiche di popolazione, i numeri di Fibonacci hanno un sacco di applicazioni ecompaiono sorprendentemente spesso in natura. Per esempio, il numero di petali di un fiore èsovente un numero di Fibonacci, così come anche il numero di spirali di un girasole, di un ananas odi una pigna. Tuttavia a lasciarmi senza fiato sono i bellissimi schemi che si generano dallasuccessione di Fibonacci. Per esempio, guardate che cosa succede sommando un po’ di numeri di Fibonacci:

I numeri del lato destro delle equazioni non sono numeri di Fibonacci, ma quasi. In effetti, ognuno diessi è soltanto un’unità in meno di un Fibonacci. Per tentare di capire il senso di uno schema simile,consideriamo l’ultima equazione e rimpiazziamo tutti i numeri di Fibonacci con la differenza deinumeri di Fibonacci successivi. Quindi,

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = (2 − 1) + (3 − 2) + (5 − 3) + (8 − 5) + (13 − 8) + (21 − 13) + (34 − 21) = 34 − 1

Notate come il 2 di (2 − 1) si cancelli con il 2 di (3 − 2). Dopodiché, il 3 di (3 − 2) si cancella con il 3 di(5 − 3). Alla fine si cancella tutto tranne il termine maggiore, 34, e quello iniziale − 1. In generale, sidimostra che la somma dei primi n numeri di Fibonacci si trova con la semplice formula:

F 1 + F 2 + F 3 + … + Fn = Fn +2 – 1

Adesso vi propongo un problema collegato, anch’esso dalla risposta elegante. Cosa ottenetequando sommate i primi n numeri di Fibonacci con posizione pari? In altre parole, riuscite asemplificare la somma seguente?

F 2 + F 4 + F 6 + … + F 2n

Per prima cosa, diamo uno sguardo a qualche numero:

Aspettate un momento. Sono numeri familiari: sono proprio quelli delle somme precedenti; sono inumeri di Fibonacci diminuiti di un’unità. In effetti, questi numeri si trasformano in quelli del problemaprecedente grazie al fatto che tutti i numeri di Fibonacci sono la somma dei due che li precedono.Così, dopo il primo termine si rimpiazzano tutti i numeri a posizione dispari con la somma dei dueprecedenti numeri di Fibonacci, come mostrato qui di seguito.

1 + 3 + 8 + 21 = 1 + (1 + 2) + (3 + 5) + (8 + 13) = 34 – 1

L’ultima riga deriva dal fatto che la somma dei primi sette numeri di Fibonacci è pari al nono meno 1. In generale, se sfruttiamo il fatto che F 2 = F 1 = 1 e rimpiazziamo ogni numero di Fibonaccisuccessivo con la somma dei due precedenti, la nostra somma si riduce a quella dei primi 2n – 1numeri di Fibonacci

F 2 + F 4 + F 6 + … + F 2n = F 1 + (F 2 + F 3) + (F 4 + F 5) + … + (F 2n− 2 + F 2n− 1) = F 2n+1 – 1

Vediamo dove andiamo a finire se sommiamo i primi n numeri di Fibonacci a posizione dispari.

Lo schema è ancora più chiaro: la somma dei primi n numeri di Fibonacci a posizione dispari èsemplicemente il numero di Fibonacci successivo. Usiamo lo stesso trucchetto di prima:

A parte

Saremmo potuti arrivare alla risposta anche con un’altra strada, usando un risultato che abbiamo giàdimostrato. Se togliamo i primi n numeri di Fibonacci a posizione pari dai primi 2n numeri diFibonacci, restiamo con i primi n numeri di Fibonacci a posizione dispari:

Contare con Fibonacci

Abbiamo soltanto cominciato a sondare la superficie della profonda bellezza degli schemi numericiofferti dalla successione di Fibonacci. Forse vi starete chiedendo se la successione serva a contarealtre cose oltre alle coppie di conigli. Gioite: i numeri di Fibonacci sono la soluzione di molti problemidi conteggio. Nel 1150 (prima che Leonardo Pisano scrivesse sui conigli), il poeta indianoHemachandra si chiese quante metriche di lunghezza n siano possibili se ognuna deve conteneresillabe corte di lunghezza 1 e sillabe lunghe di lunghezza 2. Impostiamo il problema in terminimatematici più semplici. Problema: in quanti modi possiamo scrivere il numero n come somma di una serie di 1 e di 2? Soluzione: chiamiamo la risposta fn e analizziamo fn per alcuni valori piccoli di n.

n Sequenze 1 − 2 con somma n fn

1 1 1

2 11, 2 2

3 111, 12, 21 3

4 1111, 112, 121, 211, 22 5

5 11111, 1112, 1121, 1211, 122, 2111, 212, 221 8

… … …

C’è una somma che vale 1, 2 con totale 2 (1 + 1 e 2), e 3 somme di 3 (1 + 1 + 1, 1 + 2, 2 + 1). Notateche gli unici addendi permessi sono 1 e 2. Inoltre, l’ordine degli addendi è importante. Così, 1 + 2 èdiverso da 2 + 1. Ci sono 5 sequenze a somma 4 (1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2).La tabella sembra suggerire che siano numeri di Fibonacci, e infatti è così. Vediamo il motivo per cui ci sono f 5 = 8 somme con totale 5. Questo tipo di somma deve cominciareper 1 o per 2. Quante cominceranno per 1? Dopo il primo 1, seguirà un certo numero di 1 e 2, chedevono sommarsi a 4, ma sappiamo che f 4 = 5. Allo stesso modo, quante somme varranno 5cominciando con il numero 2? Dopo il primo 2, gli addendi seguenti devono sommarsi a 3, e ci sonof 3 = 3 modi di farlo. Così, il numero totale di sequenze che si sommano a 5 è 5 + 3 = 8. Con unragionamento analogo, le sequenze che si sommano a 6 sono 13, visto che le f 5 = 8 cominciano con1, e le f 4 = 5 iniziano per 2. In generale, ci sono fn sequenze che si sommano a n. Di queste, fn− 1

1, e le f 4 = 5 iniziano per 2. In generale, ci sono fn sequenze che si sommano a n. Di queste, fn− 1

iniziano per 1 e fn− 2 per 2. Di conseguenza

fn = fn− 1 + fn− 2

E così i numeri fn cominciano e continuano a crescere come la serie di Fibonacci, pertanto sono laserie di Fibonacci, ma con una differenza, o meglio dovrei dire uno “slittamento”. Notate come f 1 = 1 =F 2, f 2 = 2 = F 3, f 3 = 3 = F 4 e così via. (Per convenienza, definiamo f 0 = F 1 = 1 e f − 1 = F 0 = 0.) Ingenerale, avremo che per n ≥ 1

fn = Fn +1

Una volta noto cosa contino i numeri di Fibonacci, possiamo sfruttarlo per dimostrare molti dei loroschemi numerici. Per esempio, ricordate lo schema che avevamo incontrato alla fine del Capitolo 4sommando le diagonali del triangolo di Pascal.

Per esempio, se sommiamo l’ottava diagonale, otteniamo

1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34 = F 9

In termini di “numeri scelti”, significa che

Cerchiamo di capire lo schema risolvendo un problema di conteggio in due modi. Domanda: quante sequenze di 1 e 2 si sommano a 8? Soluzione 1: per definizione, ci sono f 8 = F 9 sequenze. Soluzione 2: dividiamo il problema in 5 casi, a seconda di quanti 2 si usano. Quante non hanno

Soluzione 2: dividiamo il problema in 5 casi, a seconda di quanti 2 si usano. Quante non hanno

neanche un 2? Esiste un’unica possibilità, 11111111; e non è una coincidenza se .

Quante hanno esattamente un solo 2? Abbiamo 7 modi: 2111111, 1211111, 1121111, 1112111,1111211, 1111121, 1111112. Le sequenze hanno 7 numeri e così ci sono modi per scegliere la

posizione del 2. Quante usano due 2? Per esempio, 221111. Invece di elencare tutte e 5 le possibilità, notiamo comeogni sequenza abbia due 2 e quattro 1, in tutto 6 cifre. Ci sono così modi per scegliere la

posizione dei due 2. Con lo stesso metodo, sequenze con tre 2 devono contenere due 1, per un totaledi cinque cifre, e saranno generate in modi. Infine, una sequenza con quattro 2 si ha in un

unico caso, , ossia 2222.

Se confrontiamo le due soluzioni, otteniamo la spiegazione che cerchiamo. In generale, possiamousare lo stesso metodo per dimostrare che ogni somma sulle diagonali del triangolo di Pascal ci dàun numero di Fibonacci. In particolare, per tutti gli n ≥ 0, sommando la diagonale n-esima (fino aquando finisce il triangolo, dopo la (n/2)-esima), si ottiene

Un altro metodo per immaginare i numeri di Fibonacci, che permette di visualizzarli molto bene, èusare le tassellature. Per esempio, f 4 = 5 conta i cinque modi per coprire una striscia di lunghezza 4usando quadrati singoli (di lunghezza 1) o doppi (di lunghezza 2). La somma 1 + 1 + 2 saràrappresentata dalla tassellatura quadrato singolo-singolo-doppio.

Ci sono 5 tassellature per la lunghezza 4, che raffigurano f 4 = 5. Possiamo usare le tassellature per capire un altro notevole schema dei numeri di Fibonacci.Proviamo a quadrare i numeri:

I quadrati dei numeri di Fibonacci, da f 0 a f 10. Non ci sorprende più notare che la somma di due numeri di Fibonacci consecutivi dà il numerosuccessivo. (In fondo si generano così.) Invece, non ci sarebbe nulla da attendersi per i quadrati;eppure, verificate cosa succede se si sommano due quadrati consecutivi:

Proviamo a spiegare questa struttura in termini di conteggio. L’ultima equazione dice che

Perché mai dovrebbe essere così? Cerchiamo di affrontare la domanda ponendoci un problema diconteggio semplice. Domanda: in quanti modi possiamo piastrellare una striscia di lunghezza 10 usando quadrati singolio doppi? Soluzione 1: per definizione, ci sono f 10 tassellature, per esempio quella che rappresenta la somma2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1.

Si dice che questa tassellatura si può rompere nelle celle 2, 3, 4, 6, 7, 9 e 10. (In modo equivalente,una tassellatura si può rompere ovunque, tranne che nel mezzo di un quadrato doppio, per cui nelnostro esempio non si può rompere nelle celle 1, 5 e 8.) Soluzione 2: separiamo il problema in due casi. Le tassellature che si possono rompere nella cella5, e quelle per cui non è possibile. In quanti modi possiamo creare una tassellatura di lunghezza 10che si rompe nella cella 5? Dividiamo la tassellatura in due metà; sia la prima sia la seconda

che si rompe nella cella 5? Dividiamo la tassellatura in due metà; sia la prima sia la seconda

possono essere create in f 5 = 8 modi. Dalla regola di prodotto del Capitolo 4, possiamo generarel’intera tassellatura in modi, come si vede nella figura seguente.

Ci sono tassellature di lunghezza di 10 che non si rompono nella cella 5.

Quante tassellature di lunghezza 10 non si rompono nella cella 5? Queste devono avere per forzauna piastrella di lunghezza 2 che copre le celle 5 e 6, come si vede nella figura seguente. Siccome laparte destra e sinistra si possono tassellare entrambe in f 4 = 5 modi, ci sono tassellature

che non si rompono. Mettendo insieme i due casi, otteniamo , come volevasi

dimostrare.

Ci sono tassellature di lunghezza di 10 che non si rompono nella cella 5.

In generale, il problema del fatto che una tassellatura di lunghezza 2n si rompa o meno nel mezzoporta all’incantevole schema

A parte Dopo aver incontrato l’identità precedente, proviamo a estenderla a casi simili, come per esempio ilnumero di tassellature di lunghezza m + n. Quante tra esse si rompono nella cella m? Il lato sinistrosi tassella in fm modi mentre quello destro in fn , così ci sono fm fn tassellature. Quante non si romponoin m? Queste devono avere una piastrella di lato 2 che copre le posizioni m e m + 1, mentre il restodella tassellatura si copre in fm− 1 fn− 1 modi. Nell’insieme, arriviamo alla seguente identità: per m , n ≥0,

fm +n = fmfn + fm −1 fn −1

Ora passiamo a un nuovo schema: vediamo cosa succede se sommiamo i quadrati dei numeri diFibonacci.

Fantastico! La somma dei quadrati dei numeri di Fibonacci è il prodotto degli ultimi due! Ma perché?In che modo la somma dei quadrati di 1, 1, 2, 3, 5 e 8 vale 8 × 13? Un modo per vederlo è l’approcciogeometrico, prendendo sei quadrati di lato 1, 1, 2, 3, 5 e 8 che si assemblano insieme come nellaseguente figura.

Cominciamo con il quadrato di lato 1, mettiamogli accanto il secondo quadrato con lato 1, creando unrettangolo 1 per 2. Sotto al rettangolo accostiamo il quadrato di lato 2, il che forma il rettangolo 3 per2. Sul lato lungo di questo poniamo il quadrato corrispondente di lato 3 (con relativo rettangolo 3 per5), poi il quadrato da 5 sotto di loro (ecco un rettangolo 8 per 5) e infine creiamo un rettangolo gigante8 per 13 aggiungendo il quadrato di lato 8. Adesso poniamoci una domanda semplice. Domanda: qual è l’area del rettangolo? Risposta 1: da un lato, l’area del rettangolo è la somma delle aree dei quadrati che lo compongono,ossia 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82. Risposta 2: d’altra parte, il rettangolo grande ha come altezza 8 e come base 5 + 8 = 13, quindi area 8× 13. Entrambe le risposte sono giuste, quindi danno la stessa area, che dimostra l’identità. In effetti, serileggete come abbiamo costruito il rettangolo, vedrete come esso spieghi tutte le relazioni inerenti aquesto schema (come 12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 5 × 8). Se andate avanti su questa strada, potrete crearerettangoli 13 × 21, 21 × 34 e così via, lo schema continua all’infinito. La formula generale è

Adesso invece vediamo cosa accade quando moltiplichiamo due numeri di Fibonacci di prossimità,come possono essere, per il 5, i numeri 3 e 8, per cui 3 × 8 = 24, che è minore di uno di 52. Inprossimità di 8 troviamo 5 e 13, il cui prodotto vale 5 × 13 = 65, maggiore di 1 di 82. Se esaminiamo la

prossimità di 8 troviamo 5 e 13, il cui prodotto vale 5 × 13 = 65, maggiore di 1 di 82. Se esaminiamo la

tabella qui sotto, è difficile sfuggire alla tentazione di concludere che il prodotto dei numeri inprossimità si trovi sempre a una distanza unitaria dal quadrato del numero che si trova tra loro. Inaltre parole,

Il prodotto dei numeri prossimi a un numero di Fibonacci si trova a distanza unitaria dal suoquadrato. Se usiamo una tecnica di dimostrazione nota come induzione, che incontreremo nel prossimocapitolo, possiamo dimostrare che n ≥ 1,

Spingiamoci ancora più in là, guardando ai vicini distanti. Prendiamo il numero di Fibonacci F 5 = 5:se moltiplichiamo i prossimi immediati, otteniamo 3 × 8 = 24, che dista 1 da 52. Sorprendentemente,accade lo stesso moltiplicando i numeri che si trovano due posizioni avanti e indietro del numero 5: 2× 13 = 26, che dista di nuovo 1 da 52. Se guardiamo ai numeri lontani 3, 4 o 5 posizioni dal numero dipartenza, abbiamo che 1 × 21 = 21, 1 × 34 = 34 e 0 × 55 = 0, che rispetto a 25 sono lontani 4, 9 e 25unità, tutti quadrati perfetti. Non solo: non sono quadrati perfetti qualsiasi, ma quadrati di numeri diFibonacci! Guardate la tabella per altri esempi di questo schema, che in generale si presenta come

Il prodotto dei numeri prossimi lontani di un numero di Fibonacci è sempre vicino al suoquadrato, e ne differisce per un quadrato di un numero di Fibonacci.

Ancora sugli schemi di Fibonacci

Nel triangolo di Pascal, abbiamo visto che i numeri pari e dispari generano strutture complesse. Coni numeri di Fibonacci, la situazione è molto più semplice. Quali sono pari tra i numeri di Fibonacci?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

I numeri pari sono F 3 = 2, F 6 = 8, F 9 = 34, F 12 = 144 e così via. (In questa sezione, torniamo ai numeridi Fibonacci con la F maiuscola, perché stiamo per generare degli schemi molto più accattivanti!) Iprimi numeri pari compaiono nelle posizioni 3, 6, 9, 12, pertanto sembra che si presentino ogni 3termini. Potremmo dimostrarlo notando che la serie comincia con

dispari, dispari, pari

sequenza che per forza deve ripetersi

dispari, dispari, pari, dispari, dispari, pari…

dal momento che dopo ogni blocco “dispari, dispari, pari”, il blocco successivo comincia per “dispari+ pari = dispari”, poi “pari + dispari = dispari” seguito da “dispari + dispari = pari”, e lo schema vaavanti all’infinito. Nel linguaggio delle congruenze incontrato nel Capitolo 3, ogni numero pari è congruo con 0 (mod 2),ogni numero dispari è congruo con 1 (mod 2), mentre 1 + 1 ≡ 0 (mod 2). Pertanto, una versione mod2 della serie di Fibonacci si presenta così

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0…

Ora, diamo uno sguardo ai multipli di 3: i primi sono F 4 = 3, F 8 = 21, F 12 = 144, pertanto la tentazionestavolta sarà credere che i multipli di 3 si presentino ogni quattro numeri. Per dimostrarlo, riduciamola serie ai numeri 0, 1 e 2 usando un’aritmetica mod 3, in cui

1 + 2 ≡ 0 e 2 + 2 ≡ 1 (mod 3)

La versione mod 3 della serie di Fibonacci è

1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1…

Dopo otto termini, ricominciamo da capo con 1 e 1, pertanto lo schema si ripete a blocchi di 8, conuno 0 ogni 4 posizioni. Quindi, ogni quattro numeri di Fibonacci abbiamo un multiplo di 3 e viceversa.Se usiamo aritmetiche mod 5 oppure 8 o 13, possiamo verificare che

Ogni cinque numeri di Fibonacci c’è un multiplo di 5 Ogni sei numeri di Fibonacci c’è un multiplo di 8 Ogni sette numeri di Fibonacci c’è un multiplo di 13

E lo schema continua all’infinito.

Che cosa dire dei numeri di Fibonacci consecutivi? Hanno qualcosa in comune? È interessantecome si possa mostrare che, in un certo senso, non hanno nulla in comune. Le coppie consecutivedella serie

(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 8), (8, 13), (13, 21), (21, 34), …

sono primi tra loro, cioè non esiste numero a parte 1 che sia divisore di entrambi. Per esempio,prendendo l’ultima coppia, 21 è divisibile per 1, 3, 7 e 21, mentre 34 è divisibile per 1, 2, 17 e 34.Pertanto 21 e 34 non hanno divisori comuni, a parte 1. Come possiamo affermare che questoschema vada avanti all’infinito? Come possiamo essere certi che la coppia successiva (34, 55) saràcomposta di numeri primi tra loro? Ragioniamo così, senza considerare i fattori di 55: supponiamo alcontrario che esista un numero d > 1, divisore sia di 34 sia di 55. Allora, quel numero è divisoreanche della differenza della coppia, 55 − 34 = 21 (infatti se 55 e 34 sono multipli di d lo sarà anche ladifferenza). Invece, è impossibile, perché sappiamo già che non esiste numero d > 1 che sia divisoredi 21 e 34. Replicando questa argomentazione, possiamo garantire che tutti i numeri delle coppieconsecutive nella serie di Fibonacci sono primi tra loro. E infine, ecco la magia di Fibonacci che preferisco! Il massimo comune divisore di due numeri è ilnumero più grande possibile che divide entrambi i numeri. Per esempio, il massimo comunedivisore di 20 e 90 è 10, e lo si indica come

MCD(20, 90) = 10

Secondo voi, qual è il MCD del ventesimo e del novantesimo numero di Fibonacci? La soluzione èpoesia pura. La risposta è 55, anch’esso un numero di Fibonacci, ma non solo: è proprio il decimonumero! Con un’equazione,

MCD(F 20, F 90) = F 10

In generale, per gli interi m e n,

MCD(Fm , Fn ) = MCD(m , n)

In altre parole, “il MCD dei numeri F è il numero F nel MCD!”. Non dimostrerò qui questa meravigliosaproprietà, ma non potevo non mostrarvela. Talvolta uno schema può essere ingannevole, ecco un esempio: quali numeri di Fibonacci sonoprimi? (Vedremo nel prossimo capitolo che si dice primo un numero maggiore di 1 che è divisibilesolo per 1 e per se stesso.) I numeri maggiori di 1 ma non primi si dicono composti, in quantoscomponibili nel prodotto di numeri più piccoli. I primi numeri primi sono

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Cerchiamo i numeri di Fibonacci nelle posizioni “prime”:

F 2 = 1, F 3 = 2, F 5 = 5, F 7 = 13, F 11 = 89, F 13 = 233, F 17 = 1597

I numeri 2, 5, 13, 89, 233 e 1597 sono primi. Lo schema suggerirebbe che se p > 2 è primo, allora lo

I numeri 2, 5, 13, 89, 233 e 1597 sono primi. Lo schema suggerirebbe che se p > 2 è primo, allora lo

è anche Fp , ma questo schema non funziona alla posizione successiva: F 19 = 4181 non è primo,visto che 4181 = 37 × 113. Comunque, resta vero che ogni numero primo di Fibonacci maggiore di 3si troverà in una posizione “prima”, che deriva da uno schema visto in precedenza. F 14 deve esserecomposto, infatti ogni settimo numero di Fibonacci è multiplo di F 7 = 13 (infatti, F 14 = 377 = 13 × 29). In effetti, i primi di Fibonacci sembrano piuttosto rari e, fino a oggi, ne abbiamo trovati soltanto 33, ilmaggiore dei quali è F 81.839. Tra i matematici resta un problema aperto se esista un numero infinito diprimi di Fibonacci. Interrompo bruscamente questa serissima questione per divertirvi un po’ con un trucchetto di magiabasato sulla serie di Fibonacci

Riga 1: 3

Riga 2: 7

Riga 3: 10

Riga 4: 17

Riga 5: 27

Riga 6: 44

Riga 7: 71

Riga 8: 115

Riga 9: 186

Riga 10: 301

Un trucchetto di magia con Fibonacci: cominciate con qualsiasi coppia di numeri positivi allaprima e seconda riga. Riempite il resto della tabella “alla Fibonacci” (3 + 7 = 10, 7 + 10 = 17 ecosì via), quindi dividete la riga 10 per la riga 9. Il risultato, al cento per cento, comincia per 1,61.

Scrivete nelle prime due righe della tabella due numeri qualsiasi tra 1 e 10 e poi sommateli,mettendo il totale nella terza riga. Poi, sommate i numeri delle righe 2 e 3, scrivendo il totale nellaquarta riga. Continuate a riempire la tabella “alla Fibonacci” (riga 3 + riga 4 = riga 5 e così via), fino acompletare dieci righe. A questo punto, dividete il risultato della decima per il numero di riga 9,dopodiché leggete le prime tre cifre, inclusa la virgola. Nell’esempio riportato leggeremo 301/186 =1,618279… le prime tre cifre sono 1,61. Potete anche non crederci, ma se cominciate con qualsiasicoppia di numeri (non devono essere per forza interi o compresi tra 1 e 10), nel rapporto tra le righe10 e 9 otterrete sempre 1,61. Provate pure! Per capire il trucco, siano x e y i numeri iniziali, per cui, seguendo le regole di Fibonacci, la riga 3 saràx + y, la 4 y + (x + y) = x + 2y e via dicendo, come mostrato nella tabella alla pagina seguente.

Riga 1: x

Riga 2: y

Riga 3: x + y

Riga 4: x + 2y

Riga 5: 2x + 3y

Riga 6: 3x + 5y

Riga 7: 5x + 8y

Riga 8: 8x + 13y

Riga 9: 13x + 21y

Riga 10: 21x + 34y

La questione è determinare il rapporto tra le righe 10 e 9:

Perché il rapporto deve per forza cominciare con 1,61? La risposta si basa sull’idea di sommarefrazioni in modo sbagliato. Supponete di avere due frazioni a/b e c/d in cui b e d sono positivi. Cosasuccede se sommiamo insieme i numeratori e i denominatori? Potete non crederci, ma il numeroche si ottiene, detto mediante, sarà sempre compreso tra i numeri di partenza, ossia, per ognifrazione a/b < c/d, con b e d positivi:

Se per esempio prendiamo le frazioni 1/3 e 1/2, il mediante vale 2/5, che infatti si trova proprio tra inumeri di partenza: 1/3 2/5 1/2.

A parte Perché il mediante si trova tra i numeri di partenza? Se cominciamo con le frazioni a/b < d/c, con b ed positivi, allora è vero che ad < bc. Sommando ab a entrambi i membri, avremo che ab + ad < ab +bc o, in modo equivalente, che a(b + d) (a + c)b , e implica . Con un ragionamento simile, si

può dimostrare che .

Ora, notiamo che, per x, y > 0,

Quindi il mediante sarà compreso tra loro. In altre parole,

Pertanto il rapporto tra le righe 10 e 9 comincerà per 1,61 come previsto!

A parte Prima di stupire tutti con la predizione dell’1,61, potreste impressionare il vostro pubblico sommandoin un istante tutti i numeri della tabella. Se nell’esempio siete partiti con 3 e 7, un’occhiata veloce allatabella vi svela subito che il totale sarà 781. Come è possibile? L’algebra vi risolve il rompicapo. Se sommate i numeri della seconda tabella,otterrete come totale 55x + 88y. Come ci può tornare utile? Notando che è pari a 11(5x + 8y) = 11 ×riga 7. Così, se si prende il numero della riga 7 (71 nel nostro esempio) e lo si moltiplica per 11(usate pure il trucchetto spiegato nel Capitolo 1 per le moltiplicazioni per 11), otterrete 781. Qual è il significato del numero 1,61? Se estendessimo la tabella sempre più in là, troveremmo che ilrapporto tra due numeri consecutivi tende sempre più al rapporto aureo

I matematici spesso indicano questo numero con la lettera greca φ, che si pronuncia “fi”, come in Fi-bonacci.

A parte Usando l’algebra, possiamo dimostrare che il rapporto di due numeri consecutivi di Fibonacci tendea g. Supponete che Fn +1/Fn si avvicini a un numero qualsiasi r al crescere di n. Per definizione, Fn +1 =Fn + Fn− 1, così

Al crescere di n, il membro sinistro si avvicina a r, mentre il destro a 1 + 1/r. Quindi,

r = 1 + 1/r

Moltiplicando entrambi i lati dell’equazione per r,

r 2 = r + 1

In altre parole, r 2 − r − 1 = 0, che secondo la formula quadratica ha come unica soluzione , pari a

g. Esiste una formula molto intrigante per l’n-esimo numero di Fibonacci che usa g, detta formula diBinet:

Sembra così incredibile e affascinate che questa formula, con tutto il suo turbinio di possa

produrre dei numeri interi! In un certo modo, la formula di Binet si può semplificare, visto che la quantità

è compresa tra − 1 e 0; pertanto elevandola a potenze sempre maggiori, si avvicina sempre più a 0.In effetti, si dimostra che per qualsiasi n ≥ 0, si calcola Fn prendendo e arrotondando all’intero

più vicino. Andate avanti, usate una calcolatrice: approssimate g con 1,618, poi elevate 1,618 alladecima potenza, ottenendo 122,966… (che è stranamente vicino a 123). Dividete ora il numero per

, avrete 54,992. Se arrotondate, avremo che F 10 = 55, come già detto. Se prendete

invece g 20 otteniamo 15.126,99993 che diviso per vale 6765,00003, così F 20 = 6765. Usando la

calcolatrice possiamo arrivare a valutando che F 100 è circa 3,54 × 1020.

Dai calcoli fatti, sembrava che anche g 10 e g 20 fossero in pratica numeri interi: cosa bolle in pentola?Guardate i numeri di Lucas

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521…

che prendono il nome dal matematico francese Édouard Lucas (1842–1891), scopritore di moltedelle intriganti proprietà dei numeri di Fibonacci, tra cui quella del massimo comune divisore cheabbiamo illustrato prima. In effetti, Lucas fu il primo a indicare la serie 1, 1, 2, 3, 5, 8… i numeri diFibonacci. I numeri di Lucas soddisfano la propria versione della formula di Binet, a suo modo piùsemplice:

Messo in modo diverso, per n ≥ 1, Ln è l’intero più vicino a gn , che è coerente con quanto già visto, dalmomento che g 10 ≈ 123 = L 10. Nella tabella seguente vediamo altre connessioni tra i numeri diLucas e di Fibonacci.

Numeri di Fibonacci, di Lucas e alcune loro connessioni. È difficile non vedere alcuni tra gli schemi presenti, come, per esempio, il fatto che se sommiamonumeri di Fibonacci in prossimità otteniamo i numeri di Lucas:

F n-1 + F n+1 = L n

E quando sommiamo numeri di Lucas prossimi si ottiene 5 volte il numero di Fibonaccicorrispondente

Ln− 1 + Ln +1 = 5Fn

Moltiplicando numeri di Fibonacci e di Lucas corrispondenti, si ottiene un altro numero di Fibonacci!

Fn Ln = F 2n

A parte Dimostriamo l’ultima relazione usando la formula di Binet e un po’ di algebra, in particolare il fattoche (x − y)(x + y) = x 2 − y 2. Se , la formula di Binet per i numeri di Fibonacci e di

Lucas si può scrivere come

Moltiplicando queste espressioni

Da dove viene fuori il nome rapporto aureo? Dal rettangolo aureo qui sotto, in cui il rapporto tra il latolungo e quello corto è esattamente g = 1,61803…

Il rettangolo aureo genera un rettangolo più piccolo che mantiene le proporzioni auree. Se etichettiamo il lato corto come unitario e poi rimuoviamo un quadrato di lato 1, dal rettangolo, ilrettangolo che si ricava ha dimensioni 1/(g − 1) e il rapporto tra lato lungo e corto vale

Quindi il rettangolo minore ha le stesse proporzioni di quello originale. Inoltre, g è l’unico numero conquesta proprietà, dal momento che l’equazione implica che g 2 − g − 1 = 0 e dalla formula

quadratica l’unico numero reale che la soddisfa è .

Da questa proprietà deriva il fatto che il rettangolo aureo sia considerato il rettangolo esteticamentepiù bello, così che innumerevoli artisti, architetti e fotografi lo usano. Luca Pacioli, a lungo amico ecollaboratore di Leonardo da Vinci, usò per descrivere il rettangolo aureo l’espressione proporzionedivina.

I numeri di Fibonacci e la sezione aurea hanno ispirato molti artisti, architetti e fotografi. (Foto: pergentile concessione di Natalya St. Clair.) Le meravigliose proprietà del rapporto aureo sono talmente tante da generare una vera e propriatendenza e vederlo ovunque, anche dove non c’è. Per esempio, nel libro Il Codice Da Vinci, DanBrown afferma che il numero 1,618 appare dappertutto, che il corpo umano è praticamente unmonumento a quel numero. Si dice che il rapporto tra l’altezza di una persona e quella del suoombelico è sempre 1,618: personalmente non ho svolto alcun esperimento, ma secondo l’articolo diGeorge Markowski Misconceptions about the Golden Ratio, pubblicato sul “College MathematicsJournal”, non è affatto vero. Per certe persone, qualsiasi numero vicino a 1,6 indicherebbe lapresenza della sezione aurea al lavoro. Ho spesso affermato che molti schemi con i numeri di Fibonacci sono pura poesia. Vi propongoallora un caso in cui la serie compare davvero in una poesia, per la precisione in un limerick. Quasitutti i versi hanno questa metrica, che potremmo chiamare una metrica “dum”:

La poesia dei numeri di Fibonacci. Se contiamo le sillabe in ogni riga, vediamo la serie di Fibonacci ovunque! Ispirato, ho deciso discrivere anch’io un limerick di Fibonacci. Fibonacci è un grande!

I think Fibonacci is fun. It starts with a 1 and a 1. Then 2, 3, 5, 8. But don’t stop there, mate. The fun has just barely begun!

(Fibonacci è divertente. \ Comincia con un 1 e un 1. \ Poi 2, 3, 5, 8. \ Ma non si ferma là, amico. \ Ildivertimento è appena cominciato!)

Capitolo 6 La magia della dimostrazione

1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3 = 6

Il valore di una dimostrazione

Una delle gioie immense della matematica è la possibilità di dimostrare una proprietà senza ombradi dubbio; e in effetti in ciò si distingue da tutte le altre scienze, che accettano alcune leggi perchéconformi al mondo reale, anche se poi queste vengono confutate qualora si presentino nuove prove asmentirle. In matematica un assunto, una volta provato, è vero per sempre. Per esempio, Euclideduemila anni fa ha dimostrato che esistono infiniti numeri primi, e non potremo mai dire o fare nullache possa contraddire questa conclusione. La tecnologia va e viene, un teorema è per sempre.Come disse il grande matematico G.H. Hardy: «Un matematico crea schemi, così come un pittore oun poeta, ma quelli del matematico sono permanenti, perché composti di idee». Spesso mi sembrache la strada migliore per l’immortalità accademica sia proprio la dimostrazione di un teoremamatematico nuovo. I matematici provano con assoluta certezza, ma non solo: possono dimostrare anche che alcuni fattisono certamente impossibili. Alcuni sostengono che “non si può dimostrare un’affermazionenegativa”: credo significhi che non si può provare l’inesistenza di corvi viola, perché un giorno magarine comparirà uno. Invece, in matematica, un’affermazione negativa è dimostrabile. Per esempio,potete provare quanto volete ma non troverete mai due numeri pari che abbiano somma dispari,oppure un numero primo che sia maggiore di tutti gli altri primi. Le dimostrazioni la prima voltapossono spaventare (anche la seconda o la terza) e in effetti non sono qualcosa di innato; potremmodire siano un gusto acquisito, ma dopo un po’ diventa molto bello leggerne e scriverne. Una buonadimostrazione, come una storia o una barzelletta raccontate come si deve, vi lascia con un senso digrande soddisfazione. Lasciate che vi racconti di una delle prime volte in cui mi sono cimentato nella dimostrazionedell’impossibile. Ero ragazzo, amavo i giochi e i rompicapo; un giorno un amico mi sfidò, e io non mitirai indietro. Mi mostrò una scacchiera vuota con 8 per 8 caselle, tirò fuori 32 tessere del dominoordinarie, quelle 1 per 2, e a quel punto mi domandò: «Riesci a ricoprire la scacchiera usando tutte e32 le tessere?». Al che risposi prontamente, mentre ricoprivo la scacchiera: «Certo, basta metterne 4per fila».

Coprire una scacchiera 8 per 8 con le tessere del domino. «Benissimo» continuò il mio amico, «supponi adesso che io rimuova la casella in basso a destra equella in alto a sinistra». Mise quindi due monete sulle due caselle, in modo che non potessicoprirle. «Adesso, riesci a coprire le 62 caselle rimanenti con 31 tessere da domino?». Riusciamo a coprire la scacchiera con le tessere se le due caselle opposte sono rimosse?

Riusciamo a coprire la scacchiera con le tessere del domino quando le due caselle agli angoliopposti sono rimosse? «Possibile» risposi, ma niente: per quanto ci provassi, non ne ero in grado e cominciai a credere chefosse proprio impossibile. A quel punto, il mio amico mi sfidò ancora: «Se credi sia impossibile, puoidimostrarlo?». Ma come potevo provarlo senza prendere in esame tutti i fantastilioni di modi in cuiavrei potuto tentare invano? Alla fine arrivò il suggerimento: «Guarda i colori della scacchiera». I colori? Ma che cosa c’entravano? Alla fine, tuttavia, ci sono arrivato: entrambi gli angoli rimossi eranobianchi, e quindi tra le caselle rimaste ce n’erano 32 nere e 30 bianche; dal momento che unatessera del domino ne copre sempre una bianca e una nera, sarebbe stato impossibile ricoprire con31 tessere quel tipo di scacchiera. Fortissimo! La questione è come dimostrare in concreto un’affermazione matematica che pensiamo vera: ingenere, si comincia definendo gli oggetti matematici coinvolti, come l’insieme di numeri interi relativi,che si compone di tutti i numeri interi positivi, negativi e lo 0.

…, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

A parte Se l’ultima dimostrazione vi è piaciuta, anche questa fa per voi. Il videogioco Tetris usa 7 pezzi diforme diverse, talvolta noti come I, J, L, O, Z, T ed S.

Possiamo incastrare questi 7 pezzi in una scacchiera 4 per 7? Ogni pezzo occupa esattamente 4 caselle, per cui è naturale chiedersi se è possibile incastrarli inmodo da formare una scacchiera 4 per 7, ammesso che i pezzi possano essere ruotati o rovesciati.Soluzione: è impossibile. Come possiamo dimostrarlo?

Notate che, con la sola eccezione del pezzo T, ogni pezzo deve ricoprire per forza 2 caselle bianche e2 nere, indipendentemente da come viene ruotato. Il pezzo T, invece, deve ricoprire 3 caselle di uncolore e una dell’altro. Siccome gli altri 6 pezzi, al di là di quale sia la posizione, devono coprireesattamente 12 caselle bianche e 12 nere, restiamo con 2 caselle nere e 2 bianche, che il pezzo Tnon può coprire. Una volta definiti gli oggetti, si dichiarano le relazioni che riteniamo evidenti tra essi, come “Lasomma o il prodotto di due interi è sempre un intero”; oppure, come vedremo nel prossimo capitolo,in cui parleremo di geometria, frasi come “Presi due punti qualsiasi esiste una retta che licongiunge”. Queste affermazioni di per sé evidenti sono dette assiomi. Dagli assiomi, con un po’ dilogica e di algebra, si deducono altre affermazioni vere, dette teoremi, in genere un po’ meno ovvie. Inquesto capitolo imparerete a usare gli strumenti di base per dimostrare affermazioni matematiche. Cominciamo provando alcuni teoremi facili da accettare. La prima volta che sentiamo una frase come“La somma di due numeri pari è pari” o “Il prodotto di due numeri dispari è dispari” in generefacciamo qualche rapida prova a mente e dopo pochi esempi concludiamo che l’affermazione èverosimile. Forse avrete pensato che affermazioni così sono talmente evidenti di per sé da potersiconsiderare assiomi. Invece non ne abbiamo bisogno, dal momento che possiamo dimostrarle

considerare assiomi. Invece non ne abbiamo bisogno, dal momento che possiamo dimostrarle

usando altri assiomi già definiti. Per dimostrare le proprietà dei numeri pari e dispari, occorreinnanzitutto definire cosa significhi essere pari o dispari. Un numero pari è un multiplo di 2; peresprimerlo algebricamente, possiamo dire che n è pari se n = 2k , con k intero. Lo 0 è un numeropari? Certo, visto che 0 = 2 × 0. Adesso siamo pronti a dimostrare che la somma di due numeri pari èpari. Teorema: Se m e n sono numeri pari, allora m + n è pari. Questo è un esempio di teorema “se-allora”: per dimostrarlo, in genere si assume vera la parte “se”e con un misto di logica e di algebra si prova che la parte “allora” consegue dalle nostre assunzioni.In questo caso, abbiamo assunto che m e n sono pari e vogliamo dedurne che m + n è parianch’esso. Dimostrazione: Supponiamo che m e n siano pari, allora m = 2j e n = 2k , con j e k interi. Quindi,

m + n = 2j + 2k = 2(j + k)

ed essendo j + k un intero, allora m + n è multiplo di 2, e quindi è pari. Notate come la dimostrazione sia basata sull’assioma che la somma di due interi sia un intero.Nella dimostrazione di teoremi più complessi, accade spesso di appoggiarsi su teoremi giàdimostrati, piuttosto che sugli assiomi di partenza. I matematici spesso denotano la fine delladimostrazione con un segno come , ■ o QED sul margine dell’ultima riga della dimostrazione,come nell’ultimo paragrafo. QED è l’acronimo di quod erat demonstrandum , che significa “comevolevasi dimostrare”. Ho deciso che, se una dimostrazione mi sembrerà particolarmente elegante, laterminerò con uno smiley, così: . Dopo aver dimostrato un teorema “se-allora”, un matematico non può resistere alla tentazione divedere se è vero il teorema reciproco, ottenuto scambiando la parte “se” con quella “allora”. Nelnostro caso, il nuovo teorema sarebbe: “Se m + n è pari, allora m e n sono pari”. Si vede bene che èfalso! È sufficiente produrre un controesempio come quello banale qui sotto:

1 + 1 = 2

Dal momento che il controesempio mostra l’esistenza di almeno un caso possibile di somma pari apartire da due numeri dispari, il teorema è falsificato. Il prossimo teorema riguarda i numeri dispari, ossia quei numeri che non sono divisibili per 2, percui, se li dividete per 2, avrete sempre resto 1. Con l’algebra, n è dispari se n = 2k + 1, con k intero,che per esempio permette di dimostrare come il prodotto di due dispari è dispari. Teorema: Se m e n sono dispari, allora mn è dispari. Dimostrazione: supponiamo m e n dispari, allora m = 2j + 1 e n = 2k + 1 con j e k interi. Quindi,usando PEIU,

mn = (2j + 1)(2k + 1) = 4jk + 2j + 2k + 1 = 2(2jk + j + k) + 1

dal momento che 2jk + j + k è intero, mn è del tipo “due volte un intero + 1”, e quindi è dispari. Anche il teorema reciproco “Se mn è dispari, m e n sono dispari” è vero, e possiamo provarlo conuna dimostrazione per assurdo. In una dimostrazione di questo tipo, si prova che se si rifiuta laconclusione, qui che m e n sono dispari, si genera un problema di qualche tipo, in particolare con gli

conclusione, qui che m e n sono dispari, si genera un problema di qualche tipo, in particolare con gli

assunti di partenza, così che per conseguenza logica la conclusione deve essere valida. Teorema: Se mn è dispari, allora m e n sono dispari. Dimostrazione: Supponiamo, per assurdo, che m o n (o entrambi) siano pari. Siccome non importaquale, diciamo che m è pari e quindi m = 2j con j intero. Allora il prodotto mn = 2jn è pari, incontraddizione con l’assunto iniziale. Quando sono vere sia un’affermazione sia la sua reciproca, i matematici parlano di “teorema se esolo se”, di cui abbiamo appena dimostrato un esempio: Teorema: m e n sono dispari se e solo se mn è dispari.

Numeri razionali e irrazionali

I teoremi che abbiamo illustrato finora non vi avranno certo sorpreso, e le loro dimostrazioni sonoabbastanza immediate. Il divertimento comincia con qualche prova un po’ meno intuitiva. Finoraabbiamo trattato numeri interi, ma è tempo di passare alle frazioni. I numeri che si possonoesprimere come frazioni si dicono razionali. Per la precisione, r è un razionale se r = a/b , con a e binteri (e b ≠ 0). I numeri razionali includono esempi come 23/58, −22/7 e 42 (che equivale a 42/1). Inumeri che non sono razionali si dicono irrazionali. (Forse avrete sentito dire che il numero π =3,14159… è un irrazionale, ma ne parleremo a fondo nel Capitolo 8.) Per il prossimo teorema, sarà utile un ripasso sulla somma di frazioni. Certamente è più semplicesommarle quando il denominatore è comune, come

1/5 + 2/5 = 3/5, 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1, 5/8 + 7/8 = 12/8 = 3/2 = 1,5

Negli altri casi, occorre riscrivere le frazioni per avere lo stesso denominatore, così:

1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2, 2/7 + 3/5 = 10/35 + 21/35 = 31/35

In generale, sommeremo due frazioni qualsiasi a/b e c/d dando loro un denominatore comune inquesto modo:

Siamo pronti per dimostrare qualche proprietà semplice delle frazioni. Teorema: La media di due numeri razionali è razionale. Dimostrazione: Siano x e y due numeri razionali, quindi esistono gli interi a, b , c, d per cui x = a/b e y= c/d. Notiamo che x e y hanno come media

e che la media è una frazione in cui il numeratore e il denominatore sono interi. Di conseguenza lamedia di x e y è un razionale. Riflettiamo meglio su questo teorema: prendendo due razionali qualsiasi, anche vicinissimi tra loro,

Riflettiamo meglio su questo teorema: prendendo due razionali qualsiasi, anche vicinissimi tra loro,

si riesce sempre a trovare un altro numero razionale compreso tra essi. Forse si sarebbe tentati diconcludere che tutti i numeri sono razionali: gli antichi greci, per un periodo, la pensarono propriocosì. Invece, sorpresa, non è vero. Consideriamo il caso del numero , che ha come espansione

decimale 1,4142… Ci sono molti modi per approssimare tramite una frazione. Per esempio,

vale circa 10/7 oppure 1414/1000, ma nessuna di queste al quadrato dà esattamente 2. Forse non cisiamo impegnati abbastanza? Il teorema seguente ci insegna che una ricerca simile è del tuttoinutile. La dimostrazione è per assurdo (come spesso capita con i teoremi sui numeri irrazionali) esfrutta il fatto che ogni frazione può essere ridotta ai minimi termini, dove il numeratore e ildenominatore non hanno divisori comuni maggiori di 1. Teorema: è irrazionale.

Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che sia razionale e che si possa esprimere come

frazione

Dove a e b sono interi e a/b è ridotta ai minimi termini. Quadrando entrambi i membri abbiamo che

2 = a 2/b 2

o in modo equivalente,

a 2 = 2b 2

Pertanto a 2 è un intero pari, quindi anche a è pari, avendo dimostrato in precedenza come un numerodispari moltiplicato per se stesso è sempre dispari. Allora esiste un intero k per cui a = 2k , esostituendo nell’equazione arriviamo a

(2k)2 = 2b 2

Così

4k 2 = 2b 2

Che significa

b 2 = 2k 2

quindi anche b 2 è pari, per cui b è pari. Ma, fermi tutti! Abbiamo appena dimostrato che a e b sonopari entrambi, quindi a/b non può essere ai minimi termini, in contraddizione con l’assunto iniziale.Pertanto, affermare che è un numero razionale porta a un assurdo e siamo obbligati a concludere

che è irrazionale. Amo profondamente questa dimostrazione, infatti ho concluso con uno smiley, perché dimostra unrisultato piuttosto sorprendente con il potere della sola logica. Come vedremo nel Capitolo 12, i

risultato piuttosto sorprendente con il potere della sola logica. Come vedremo nel Capitolo 12, i

numeri irrazionali si incontrano di rado, anche se sarebbero i numeri dominanti, in un senso moltoconcreto: nella vita di tutti i giorni preferiamo usare i razionali. Ecco un corollario divertente del teorema di prima. (Un corollario è un teorema che consegue da unoprecedente.) Sfrutta la regola degli esponenti, ossia che per ogni numero a, b , c positivo

(ab ) c = abc

Per esempio, ((5)3)2 = 56, che ha senso, infatti

(53)2 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 56

Corollario: Esistono due numeri irrazionali a e b per cui ab è razionale. È davvero interessante come possiamo dimostrare questo teorema anche adesso, quandoconosciamo un solo irrazionale, . La dimostrazione seguente è definita di esistenza, dal momento

che ci dirà che a e b esistono, senza però indicarci i loro valori effettivi. Dimostrazione: Sappiamo che è irrazionale, pertanto consideriamo il numero . È razionale?

Se la risposta è affermativa, la dimostrazione è conclusa, ponendo . Se la

risposta è negativa, abbiamo un nuovo numero irrazionale con cui confrontarci, . Quindi, seprendiamo , allora, con la legge degli esponenti si arriva a

Che è un razionale. Allora, che sia razionale o irrazionale, riusciamo comunque a trovare a e bper i quali ab è razionale. Le dimostrazioni di esistenza come quella appena vista sono spesso brillanti, anche se talvolta unpo’ frustranti, perché magari non danno l’informazione che stiamo davvero cercando. Per inciso, se viresta la curiosità, è irrazionale, ma questo va oltre lo scopo del capitolo. Si ottengono soddisfazioni molto maggiori con le dimostrazioni per costruzione, che indicanoesattamente l’informazione che si sta cercando. Per esempio, si può mostrare che ogni numerorazionale a/b deve essere finito o periodico (nel senso che nel lungo processo di divisione, alla fine bsi trova a dividere un numero già diviso in precedenza). Ma è vera l’affermazione opposta? Unnumero decimale finito sarà certamente un razionale, per esempio 0,12358 = 12.358/100.000. Macosa succede con i numeri decimali periodici? Un numero come 0,123123123… sarànecessariamente un razionale? La risposta è affermativa, ed esiste un metodo brillante per trovareesattamente il numero razionale corrispondente. Chiamiamo w questo numero, così

w = 0,123123123…

Moltiplicando entrambi i membri per 1000

1000w = 123,123123123…

Sottraendo la prima equazione dalla seconda si ottiene

999w = 123

E pertanto

w = 123/999 = 41/333

Proviamo con un altro decimale periodico, in cui la parte ripetuta, il periodo, non comincia dalla primacifra. Che frazione rappresenta il numero 0,83333…? In questo caso poniamo

x = 0,83333…

Quindi

100x = 83,3333…

e

10x = 8,3333…

Sottraendo 10x da 100x, tutto ciò che viene dopo la virgola si cancella e rimane

90x = (83,3333…) − (8,3333…) = 75

per cui

x = 75/90 = 5/6

Con questa procedura possiamo dimostrare che un numero è razionale se e solo se la suaespansione decimale è finita o periodica. Se invece il numero ha un’espansione decimale infinitache non si ripete, come

v = 0,123456789101112131415…

allora è un numero irrazionale.

Dimostrazioni per induzione

Torniamo ai teoremi sui numeri interi. Nel Capitolo 1 avevamo osservato che

Avevamo avanzato l’ipotesi, poi dimostrata, che la somma dei primi n numeri dispari fosse uguale an2 . Per provarlo abbiamo usato una raffinata dimostrazione combinatoria, dove abbiamo contato lecaselle di una scacchiera in due modi diversi. Adesso proviamo un approccio diverso, che nonrichiede tanta raffinatezza. Supponiamo che io vi dica, e che voi accettiate in buona fede, che lasomma dei primi 10 numeri dispari 1 + 3 + … + 19 ha somma 102 = 100. Se accettiamoquest’affermazione, ne deriva in automatico che aggiungendo l’undicesimo numero dispari, 21, lasomma fa 121, che è 112. In altre parole, la verità dell’affermazione per 10 addendi implicaimmediatamente che sia vero per 11. Questa è l’idea alla base della dimostrazione per induzione.Dapprima si prova che è vera una qualche proprietà che riguarda n, di solito quella per n = 1, poi simostra che se il teorema è vero per n = k , allora lo è anche per n = k + 1. A quel punto, il teorema ènecessariamente vero per qualsiasi valore di n. Le dimostrazioni per induzione sono come salire unascala: se dimostriamo di saper salire di un gradino e se abbiamo già salito un gradino, allorapotremo sempre avanzare al gradino successivo. Un piccolo ragionamento vi convincerà che potreteraggiungere qualsiasi gradino della scala. Per esempio, nel caso della somma dei primi n numeri dispari, l’obiettivo è dimostrare che per ognin ≥ 1,

1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n 2

Sappiamo che la somma del primo numero dispari, 1, è in effetti 12, per cui il teorema è vero per n =1. Come prossima mossa, notiamo che se la somma dei primi k numeri dispari è k 2,

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k 2

Allora se aggiungiamo il numero dispari successivo (ossia 2k + 1), otteniamo

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + 1)2

In altre parole, se la somma dei primi k numeri dispari vale k 2, allora la somma dei primi k + 1numeri dispari vale certamente (k + 1)2. Quindi, siccome il teorema vale per n = 1, allora sarà vero perqualsiasi n. L’induzione è un mezzo potente. Il primo problema che abbiamo presentato nel libro è stato il calcolodella somma dei primi n numeri, che abbiamo mostrato essere pari a

La formula è vera certamente per n = 1, dal momento che 1 = 1(2)/2. Se poi si assume che la formulasia vera per un certo k :

Allora se aggiungiamo il (k + 1)-esimo numero si ottiene

Che è la stessa formula con k + 1 al posto di n. Allora, se la formula è valida per n = k (con k numeropositivo qualsiasi), continuerà ad essere vera per n = k + 1. Pertanto, l’identità è valida per tutti i valoripositivi di n. Andando avanti vedremo altri esempi di induzione, ma per renderla ancora più potente, eccovi unacanzone scritta dai “matemusicisti” Dane Camp e Larry Lesser, che si canta sulle note di Blowin’ inthe Wind di Bob Dylan.

How can you tell that a statement is true For every value of n? Well there’s just no way you can try them all. Why you could just barely begin! Is there a tool that can help us resolve This infinite quand’ry we’re in? The answer, my friend, is knowin’ induction. The answer is knowin’ induction! First you must find an initial case For which the statement is true, Then you must show if it’s true for k Then k + 1 must work too! Then all statements fall just like dominos do. Tell me how did we score such a coup? The answer, my friend, is knowin’ induction. The answer is knowin’ induction! If I told you n times, I told you n + 1, The answer is knowin’ induction!

(Come puoi dir di un teorema che è vero \ Per ogni valore di n? \ Certo non proverai per ognuno diloro. \ Non riesci neanche a cominciare! \ Ma c’è forse un modo che aiuto ti dà \ in questa grossaproblematicità? \ Risposta non c’è, o forse chi lo sa, il suo nome induzione sarà, \ il suo nomeinduzione sarà! \ Prima un caso iniziale tu troverai \ che il teorema soddisfare dovrà, \ poi dimostrareche se è vero per k \ allora vero per k + 1 sarà! \ Allora lo sai, come in un domino tutto accadrà, \

che se è vero per k \ allora vero per k + 1 sarà! \ Allora lo sai, come in un domino tutto accadrà, \

abbiamo forse raggiunto la vetta? \ Risposta non c’è, o forse chi lo sa, il suo nome induzione sarà, \ ilsuo nome induzione sarà! \ Te l’ho detto n volte, te l’ho ripetuto n + 1, \ il suo nome induzione sarà!)

Nel Capitolo 1, abbiamo notato come la somma dei cubi sia il quadrato della somma, cioè

Ma non eravamo ancora pronti a dimostrarlo. Grazie all’induzione, ora possiamo provarlovelocemente.

A parte Nel Capitolo 5 abbiamo scoperto diverse proprietà dei numeri di Fibonacci, ora vediamo comedimostrarne alcune usando l’induzione. Teorema: per n ≥ 1,

F 1 + F 2 + … + Fn = Fn +2 − 1

Dimostrazione (per induzione): per n = 1, varrà F 1 = F 3 − 1, che è pari a 1 = 2 − 1, certamente vero.Adesso assumiamo che il teorema sia vero per n = k . Quindi

F 1 + F 2 + … + Fk = Fk +2 − 1

Aggiungendo il numero di Fibonacci successivo Fk +1 a entrambi i lati, otteniamo

F 1 + F 2 + … + Fk + Fk +1 = Fk +1 + Fk +2 – 1 = Fk +3 − 1

Come voluto. Anche la dimostrazione sulla somma dei quadrati di Fibonacci è altrettanto facile. Teorema: Per n ≥ 1,

Dimostrazione (per induzione): per n = 1, abbiamo , che è vero, visto che F 2 = F 1 = 1.

Assumiamo che il teorema sia valido per n = k , avremo

Aggiungendo a entrambi i membri

Come voluto. Lo schema generale dice che per n ≥ 1,

13 + 23 + 33 + … + n 3 = (1 + 2 + 3+ … + n)2

Dal momento che sappiamo già che , dimostriamo il teorema equivalente

che segue. Teorema: Per n ≥ 1,

Dimostrazione (per induzione): quando n = 1, il teorema indica 13 = 12(22)/4 che è certamente vero.Per induzione, se il teorema è vero per n = k così che

Allora aggiungendo (k + 1)3 a entrambi i lati avremo

Come voluto. Per induzione possiamo dimostrare molto più che teoremi sulle somme; per esempio è utile ognivolta che la soluzione di un problema “più grande” di dimensione k + 1 può essere espresso intermini di problema più piccolo, di dimensione k . Vi presento ora la dimostrazione per induzione chepreferisco, legata al problema della copertura della scacchiera con cui abbiamo cominciato ilcapitolo. Invece di dimostrare che qualcosa è impossibile, useremo l’induzione per provare chequalcosa è sempre possibile; inoltre, invece di coprire la scacchiera con tessere del domino 1 per 2,useremo dei “trimini”, piccole tessere a forma di L che coprono 3 quadrati.

A parte Qui vi proponiamo una dimostrazione geometrica dell’identità della somma dei cubi.

Calcoliamo l’area della figura in due diversi modi, per poi confrontare i risultati. Da un lato, la figura èun quadrato di lato 1 + 2 + 3 + 4 + 5, pertanto la sua area vale (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2. D’altro canto,cominciando dall’angolo superiore sinistro e muovendoci in diagonale verso il basso, troviamo unquadrato 1 per 1, poi due quadrati 2 per 2 (uno di essi è diviso in due metà), quindi tre 3 per 3, quattro4 per 4 (uno diviso in due metà), cinque quadrati 5 per 5. Di conseguenza, l’area della figura vale

(1 × 12) + (2 × 22) + (3 × 32) + (4 × 42) + (5 × 52) = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

Dal momento che entrambe le aree sono uguali, ne segue che

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

Lo stesso tipo di figura si può disegnare per creare un quadrato di lato 1 + 2 + … + n e dimostrareche

13 + 23 + 33 + … + n 3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2

Dal momento che 64 non è un multiplo di 3, non si può coprire una scacchiera 8 per 8 con solitrimini, tuttavia se aggiungiamo una casella 1 per 1, allora possiamo affermare che il resto dellascacchiera si copre con i trimini, qualsiasi posizione abbia la casella aggiuntiva. In effetti, il teoremanon è valido per le sole scacchiere 8 per 8, ma anche per campi 2 per 2, 4 per 4, 16 per 16 e viadicendo. Teorema: Per ogni n ≥ 1, una scacchiera di lati 2 n per 2 n si ricopre con trimini non sovrapposti e unasingola casella 1 per 1, la cui posizione sulla scacchiera è indifferente. Dimostrazione (per induzione): il teorema è vero per n = 1, infatti qualsiasi scacchiera 2 per 2 sicopre con una casella e un trimino solo, con la casella in qualsiasi posizione. Ora supponiamo che ilteorema sia valido per n = k , cioè per scacchiere 2 k per 2 k . L’obiettivo è mostrare che sia vero ancheper scacchiere 2 k+1 per 2 k+1. Mettiamo la casella 1 per 1 da qualche parte, quindi dividiamo lascacchiera in quattro quadranti, come in figura.

Copertura di una scacchiera con i trimini. Il quadrante che contiene la casella ha come dimensioni 2 k per 2 k , pertanto si può ricoprire con itrimini, grazie all’assunto che il teorema sia vero per n = k . Adesso mettiamo un trimino nel centrodella scacchiera, in modo che si sovrapponga a uno degli altri tre quadranti, di dimensioni 2 k per 2 k

con un quadrato specifico, così che anche loro possano essere ricoperti da trimini non sovrapposti.Pertanto, come desiderato abbiamo coperto il campo iniziale 2 k+1 per 2 k+1. L’ultima identità che dimostreremo in questa sezione ha svariate applicazioni, e la proveremo perinduzione ma anche con altri metodi. La domanda di partenza è questa: Quanto vale la somma delleprime n potenze di 2, cominciando da 20 = 1? Le prime potenze di 2 sono:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, …

Se cominciamo a sommarle vediamo che

Vedete lo schema? Ogni somma è minore di 1 rispetto alla potenza di 2 successiva nella sequenza.La formula generale è la seguente. Teorema: Per n ≥ 1,

1 + 2 + 4 + 8 + … + 2 n−1 = 2 n − 1

Dimostrazione (per induzione): abbiamo già visto che il teorema è vero per n = 1 (e anche per 2, 3, 4,5, per quello che importa). Assumiamo che il teorema sia valido per n = k e quindi

1 + 2 + 4 + 8 + … + 2 k−1 = 2 k − 1

Sommando la potenza di 2 successiva, 2 k , a entrambi i membri:

Nei Capitoli 4 e 5, abbiamo dimostrato diverse proprietà risolvendo un problema di conteggio in duemodi differenti. Adesso vedrete una dimostrazione combinatoria che di conti ne macina parecchi! Problema: in quanti modi una squadra di calcio con n giocatori (con le maglie numerate da 1 a n) puòscegliere una rappresentanza per un torneo della nazionale dove almeno un giocatore deve far partedella squadra? Soluzione 1: Ogni giocatore ha due possibilità, partecipare o no, per cui la soluzione è 2 n , diminuitodi 1 per escludere la possibilità che tutti i giocatori scelgano di non partecipare. Ci sono così 2 n − 1possibilità. Soluzione 2: Consideriamo la maglia più alta che partecipa al torneo: c’è una sola possibilità in cui 1sia la maglia più alta; 2 possibilità che 2 sia la maglia più alta (il giocatore con il 2 può partecipare dasolo oppure in coppia con il giocatore con la maglia numero 1). Ci sono 4 squadre possibili con 3come maglia più alta (il giocatore 3 partecipa per forza, mentre 1 e 2 hanno due scelte). Continuandocosì, ci sono 2 n −1 selezioni in cui il giocatore n ha la maglia più alta, visto che questo giocatore devepartecipare, mentre i giocatori da 1 a n − 1 hanno ciascuno 2 scelte (giocare o no). Sommate, ci sono1 + 2 + 4 + … + 2 n −1 possibilità. I risultati 1 e 2 sono corretti entrambi, per cui sono uguali e quindi 1 + 2 + 4 + … + 2 n −1 = 2 n − 1.

Tuttavia, forse la dimostrazione più semplice si basa sulla semplice algebra e ricorda il metodo cheabbiamo usato per esprimere un numero decimale periodico come una frazione. Dimostrazione con l’algebra:

Sia S = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2 n−1

Moltiplichiamo entrambi i membri per 2

2S = 2 + 4 + 8 + … + 2 n−1 + 2 n

Sottraendo la prima equazione dalla seconda, avremo una massiccia cancellazione di termini, da cuirimangono solo il primo termine di S e l’ultimo di 2S. Pertanto,

S = 2S − S = 2 n – 1

Il teorema che abbiamo appena dimostrato è la chiave dell’importante rappresentazione binaria deinumeri, quella usata dai computer per memorizzare e manipolare i numeri stessi. Il concetto allabase dei numeri binari è che un numero qualsiasi si possa rappresentare come una sommaunivoca di distinte potenze di 2. Per esempio,

83 = 64 + 16 + 2 + 1

Si esprime questa relazione in numero binario sostituendo ogni potenza di due presente con ilnumero 1 e ogni potenza mancante con il numero 0, per cui nel nostro caso

83 = (1 × 64) + (0 × 32) + (1 × 16) + (0 × 8) + (0 × 4) + (1 × 2) + (1 × 1)

Così 83 ha come rappresentazione binaria

83 = (1010011)2

Ma davvero qualsiasi numero positivo può essere rappresentato in questo modo? Supponiamo dipoter rappresentare tutti i numeri da 1 a 99 con potenze di 2 in modo univoco. Come possiamoessere sicuri di poter rappresentare 100 in modo univoco? Cominciamo prendendo la maggiorepotenza di 2 sotto 100, che è 64. (Dobbiamo includere 64? Sì, perché anche se scegliessimo tutte leprecedenti – 1, 2, 4, 8, 16 e 32 – la loro somma fa 63, che è inferiore a 100.) Se usiamo il 64,dobbiamo usare potenze di 2 per raggiungere una somma di 36. Avendo assunto di poterrappresentare 36 in modo univoco con potenze di 2, ecco che abbiamo una rappresentazione unicaanche per 100. (Come rappresentiamo 36? Con ragionamento analogo, prendiamo la maggiorepotenza di 2 che ne sia inferiore e procediamo. Così 36 = 32 + 4 e quindi 100 = 64 + 32 + 4 ha comerappresentazione binaria (1100100)2.) Generalizziamo (usando il cosiddetto principio di induzioneforte) per dimostrare che ogni numero positivo ha una rappresentazione binaria univoca.

Numeri primi

Nell’ultima sezione abbiamo dimostrato che tutti gli interi positivi possono essere espressi in modounivoco come somma di potenze diverse di 2. In un certo senso, si può affermare che le potenze di 2sono i costituenti fondamentali dei numeri positivi attraverso l’operazione di addizione. In questoparagrafo, vedremo che i numeri primi hanno un ruolo simile attraverso la moltiplicazione: ogninumero positivo intero si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tuttavia, a differenza delle potenze di 2, che si identificano facilmente e contengono poche sorpresematematiche, i numeri primi sono molto più complicati e ci sono ancora molte cose che nonsappiamo su di loro. Un numero primo è un intero positivo con due soli divisori, 1 e se stesso. I primi numeri primi sono:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, …

Il numero 1 non è considerato un primo perché ha un divisore solo, cioè se stesso, e per un’altraragione più significativa che illustreremo a breve. Notate anche che 2 è l’unico primo pari. Un intero positivo con tre divisori o più si dice composto, perché può essere scomposto in fattori piùpiccoli. I primi numeri composti sono:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, …

Per esempio, 4 ha esattamente tre divisori: 1, 2 e 4, mentre 6 ha quattro divisori: 1, 2, 3 e 6. Il numero1 non è neppure un composto: i matematici lo chiamano unità; ha la proprietà di essere divisore ditutti gli interi. Ogni numero composto può essere espresso come prodotto di primi. Fattorizziamo 120 in numeriprimi: cominciamo scrivendo 120 = 6 × 20, dopodiché, essendo 6 e 20 composti, si fattorizzano a lorovolta, 6 = 2 × 3 e 20 = 2 × 2 × 5. Così

120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 31 51

Ritengo interessante sottolineare come non importi la fattorizzazione iniziale del numero: alla fine siarriva sempre alla stessa fattorizzazione prima. Questa è la conseguenza del Teorema dell’unicitàdella fattorizzazione, anche noto come Teorema fondamentale dell’algebra, per il quale ogni interopositivo maggiore di 1 ha una fattorizzazione prima univoca. Per inciso, la vera ragione per cui 1 non si considera primo è che, se così facessimo, il teorema nonsarebbe più vero. Per esempio, il numero 12 si potrebbe fattorizzare in 2 × 2 × 3, ma anche in 1 × 1 ×2 × 2 × 3, così la sua fattorizzazione in numeri primi non sarebbe più univoca. Una volta nota la fattorizzazione di un numero, ne saprete un sacco su quel numero. Quando eroragazzo, il mio numero preferito era il 9, ma crescendo i miei numeri preferiti sono diventati semprepiù grandi e gradualmente più complicati (per esempio, π = 3,14159…, φ = 1,618…, e = 2,71828… ei, che non ha un’espressione decimale, come vedremo nel Capitolo 10). Per un bel pezzo, prima discoprire la bellezza dei numeri irrazionali, il mio numero preferito è stato 2520, perché è il più piccolonumero divisibile per i tutti i numeri da 1 a 10. Ha come fattorizzazione prima

2520 = 23 32 51 71

Nota la fattorizzazione prima di un numero, potete determinare subito quanti divisori positivi possiede.

Nota la fattorizzazione prima di un numero, potete determinare subito quanti divisori positivi possiede.

Per esempio, tutti i divisori di 2520 saranno della forma 2 a 3 b 5 c 7 d con a pari a 0, 1, 2 o 3 (4 scelte), bpari a 0, 1 o 2 (3 scelte), c a 0 o 1 (2 scelte), e d a 0 o 1 (2 scelte). Pertanto attraverso la regola diprodotto, 2520 ha 4 × 3 × 2 × 2 = 48 divisori positivi.

A parte La dimostrazione del teorema fondamentale dell’aritmetica sfrutta la seguente proprietà dei numeriprimi (dimostrata nel primo capitolo di qualsiasi libro di testo sulla teoria dei numeri). Se p è unnumero divisore del prodotto di due o più numeri, allora p deve essere anche divisore di almeno unotra i fattori del prodotto. Per esempio,

999.999 = 333 × 3003

È multiplo di 11, pertanto 11 deve essere divisore di 333 o di 3003. (Infatti, 3003 = 11 × 273.) Questa proprietà non è sempre vera per i numeri composti, come nel caso di 60 = 6 × 10, che èmultiplo di 4, eppure 4 non è divisore né di 6 né di 10. Per dimostrare la fattorizzazione univoca, supponete il contrario: per assurdo, che esista un numeroN che è il minore possibile con due fattorizzazioni prime diverse. Diciamo che

p 1 p 2 … pr = N = q 1 q 2 … qs

dove tutti i fattori pi e qj sono primi. Dal momento che N è certamente multiplo del primo p 1, allora p 1deve essere divisore di uno dei fattori qj . Per semplicità di notazione, immaginiamo che p 1 siadivisore di q 1. Allora, essendo q 1 primo, deve essere q 1 = p 1. Dividendo l’intera equazione per p 1,otteniamo

p 2 … pr = N/p 1 = q 2 … ps

Tuttavia adesso il numero N/p 1 ha due diverse fattorizzazioni prime, in contraddizione con l’assuntoche N sia il minore di questo tipo.

A parte Tra l’altro, ci sono sistemi numerici in cui non si fattorizza ogni numero in modo univoco. Peresempio, su Marte, dove tutti hanno due teste, si usano soltanto i numeri pari:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, …

Nel sistema di numerazione marziana, un numero come 6 o 10 è considerato primo, perché non sifattorizza in termini pari minori. In questo sistema, i numeri primi e quelli composti semplicemente sialternano. Ogni multiplo di 4 è composto (dal momento che 4k = 2 × 2k) mentre tutti gli altri numeripari (come 6, 10, 14, 18 e così via), sono primi, perché non si possono fattorizzare in numeri pariminori. Ora però consideriamo il 180:

6 × 30 = 180 = 10 × 18

Nel sistema numerico marziano, il numero 180 si può fattorizzare in primi in due modi diversi,pertanto la fattorizzazione non è univoca nel sistema usato su quel pianeta

Tra i numeri da 1 a 100 ci sono 25 primi, mentre nel centinaio successivo ce ne sono 21, quindi 16nel centinaio seguente. Spostandoci verso numeri sempre più grandi, i primi tendono a diventare piùrari (ma in modo non predicibile; per esempio ci sono 16 primi tra 300 e 400, ma 17 tra 400 e 500). Inumeri primi tra 1.000.000 e 1.000.100 sono solo 6. Il fatto che i primi scarseggino sempre di più hasenso, dal momento che un numero grande ha molti più numeri prima di lui che possono esserepotenziali divisori. Si può dimostrare anche che ci sono intervalli di 100 numeri senza alcun primo. Ci sono addiritturaintervalli consecutivi di numeri senza primi di lunghezza 1000, 1.000.000 o lunghi quanto volete.Cercherò di convincervi di questa affermazione offrendovi all’istante 99 numeri composti consecutivi(anche se non è la prima volta che accade). Considerate i 99 numeri consecutivi

100! + 2, 100! + 3, 100! + 4, … , 100! + 100

Poiché 100! = 100 × 99 × 98 × … × 3 × 2 × 1, è divisibile per tutti i numeri da 2 a 100. Ora pensiamo alnumero 100! + 53: 100! è divisibile per 53, per cui anche per 100! + 53. Lo stesso argomento va beneper tutti i numeri 100! + k , con 2 ≤ k ≤ 100, che sono multipli di k , pertanto composti.

A parte Notate che il nostro ragionamento non dice nulla su 100! + 1, sul fatto che sia primo o meno, mapossiamo determinarlo lo stesso. Un teorema molto bello, noto come Teorema di Wilson, dice che nè primo se e solo se (n − 1)! + 1 è multiplo di n. Provatelo con alcuni esempi per vederlo in azione: 1!+ 1 = 2 è multiplo di 2; 2! + 1 = 3 è multiplo di 3; 3! + 1 = 7 non è un multiplo di 4; 4! + 1 = 25 è multiplodi 5; 5! + 1 = 121 non è multiplo di 6; 6! + 1 = 721 è multiplo di 7 e così via. Di conseguenza, essendo 101 primo, il Teorema di Wilson dice che 100! + 1 è multiplo di 101, quindiè composto. Pertanto, i numeri da 100! a 100! + 100 comprendono 101 numeri composti consecutivi. Dal momento che i numeri primi sono sempre più rarefatti al crescere dei numeri, è naturalechiedersi se a un certo punto finiscano del tutto. Non è così, come ci ha insegnato Euclide più diduemila anni fa: ma non accontentatevi della sua parola, godetevi la dimostrazione di persona. Teorema: Esistono infiniti numeri primi. Dimostrazione: Supponete, per assurdo, che esista solo un numero finito di primi. Allora esisterebbeun numero primo massimo, che chiamiamo P. Se ora consideriamo il numero P! + 1, essendo P!divisibile per tutti i numeri tra 2 e P, nessuno sarà divisore di P! + 1. Allora P! + 1 avrà un divisoreprimo maggiore di P, in contraddizione con l’assunto che P sia il numero primo più grande. Anche se non troveranno mai il numero primo più grande in assoluto, i matematici cercanocontinuamente numeri primi sempre maggiori. Mentre scrivo, il primo più grande noto ha 17.425.170

continuamente numeri primi sempre maggiori. Mentre scrivo, il primo più grande noto ha 17.425.170

cifre. Solo per scriverlo ci vorrebbe un libro di un centinaio di pagine. Ciononostante, può esserescritto anche in una riga sola:

257.885.161 − 1

La ragione per cui ha una forma tanto semplice è che ci sono alcuni metodi particolarmente efficaciper determinare se numeri del tipo 2 n − 1 o 2 n + 1 sono primi.

A parte Il grande matematico Pierre de Fermat dimostrò che se p è un numero primo dispari, allora il numero2 p −1 − 1 è un multiplo di p. Verifichiamolo su alcuni dei primi dispari più piccoli: per 3, 5, 7, 11, 22 − 1= 3 è multiplo di 3; 24 − 1 = 15 è multiplo di 5; 26 − 1 = 63 è multiplo di 7; 210 − 1 = 1023 è multiplo di11. Così come per i composti, è chiaro che se n è pari, 2 n −1 − 1 sarà dispari, per cui non saràmultiplo di n. Se verifichiamo i primi composti dispari 9, 15 e 21, allora 28 − 1 = 255 non è multiplo di9; 214 − 1 = 16.383 non è multiplo di 15; 220 − 1 = 1.048.575 non è multiplo di 21 (neanche un multiplodi 3). Una conseguenza del Teorema di Fermat è che se un numero alto N ha la proprietà che 2 N −1 −1 non è multiplo di N, allora è certo che N non sia primo, anche senza sapere quali siano i fattori di N.Tuttavia, il reciproco del Teorema di Fermat è falso, quindi esistono numeri composti (dettipseudoprimi) che si comportano come i primi. Tra gli esempi più piccoli troviamo 341 = 11 × 31, percui 2340 − 1 è multiplo di 341. Sebbene sia stato dimostrato che gli pseudoprimi sono assai rari, neesistono infiniti, ed esistono alcuni metodi per trovarli. I numeri primi hanno molte applicazioni, in particolare nell’informatica: per esempio sono alla base diquasi tutti gli algoritmi di crittografia, inclusi quelli a chiave pubblica, che permettono transazionifinanziarie sicure su internet. Molti di questi algoritmi si basano sul fatto che ci sono metodirelativamente veloci di determinare se un numero sia primo o meno, ma non ne esistono perfattorizzare rapidamente numeri molto grandi. Per esempio, se moltiplico due numeri primi casuali di1000 cifre, e vi comunico il risultato a 2000 cifre, è assai improbabile che una persona o un computer(a meno che un giorno non si costruisca un computer quantistico) possano calcolare i numeri primidi partenza. I programmi che si basano sulla nostra incapacità di fattorizzare numeri grandi (come ilmetodo RSA) sono considerati abbastanza sicuri. Molte persone per migliaia di anni hanno subito il fascino dei primi. Gli antichi greci credevano che unnumero fosse perfetto se uguale alla somma dei suoi divisori propri (ossia tutti i divisori eccetto sestesso). Per esempio, 6 è perfetto, in quanto somma dei divisori propri 1, 2 e 3. Il numero perfettosuccessivo è 28, che ha divisori propri 1, 2, 4, 7 e 14, la cui somma è appunto 28. I successivi duesono 496 e 8128. C’è un qualche schema? Consideriamo la loro fattorizzazione prima.

Vedete lo schema? Il primo numero è una potenza di 2, il secondo è 1 in meno del doppio di quellapotenza di 2 ed è primo. (Ecco perché non vedete 8 × 15 o 32 × 63 nella lista, 15 e 63 non sonoprimi.) Ricapitoliamo lo schema nel teorema che segue.

Teorema: Se 2 n − 1 è primo, allora 2 n −1 × (2 n − 1) è perfetto. Il grande matematico Leonhard Euler (1707-1783) dimostrò che ogni numero perfetto pari ha questotipo di forma. Mentre scrivo, sono stati scoperti 48 numeri perfetti, tutti pari. Esistono numeri perfettidispari? Al momento nessuno conosce la risposta. È stato provato che se un numero perfetto dispariesiste, avrà più di trecento cifre, ma nessuno ha dimostrato ancora che esistano o che sianoimpossibili.

A parte Dimostrazione: Sia p = 2 n − 1 un numero primo. L’obiettivo è provare che 2 n −1 p è perfetto. Quali sonoi divisori propri di 2 n −1 p? I divisori diversi da p sono 1, 2, 4, 8, …, 2 n −1, che ha somma 2 n − 1 = p. Glialtri divisori propri (con l’esclusione di 2 n −1 p) usano il fattore p, così i divisori si sommano in p(1 + 2+ 4 + 8 + … + 2 n −2) = p(2n −1 − 1). Così la somma complessiva dei divisori propri sarà

p + p(2 n −1 − 1) = p(1 + (2 n −1 − 1)) = 2 n −1 p

come desiderato. Ci sono moltissimi problemi facili da formulare ma tuttora irrisolti sui numeri primi. Abbiamo già vistoche non si sa se esistano infiniti numeri primi di Fibonacci. (È stato invece provato che nellasuccessione di Fibonacci esistono soltanto due quadrati perfetti, 1 e 144, e due soli cubi perfetti, 1 e8.) Un altro problema irrisolto è noto come congettura di Goldbach e ipotizza che ogni numero parimaggiore di 2 sia la somma di due primi. Di nuovo, nessuno è riuscito a dimostrare la congettura,ma è stato provato che se esiste un controesempio, deve avere almeno 19 cifre. (Di recente c’è statauna svolta in un problema che un po’ gli somiglia. Nel 2013, Harald Helfgott dimostrò che ogninumero dispari superiore a 7 è la somma di tre primi dispari al massimo.) Infine, chiamiamo duenumeri primi gemelli se hanno 2 come differenza. I primi esempi sono 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19,29 e 31 e via dicendo. Riuscite a dimostrare come 3, 5 e 7 siano gli unici primi “trigemini”? Inoltre,sebbene sia stato dimostrato che ci sono infiniti numeri primi che finiscono per 1, o per 3, 7 e 9,come caso speciale di un teorema dovuto a Peter Gustav Lejeune Dirichlet, resta aperta la questionese esistano infiniti primi gemelli. Concludiamo il capitolo con una dimostrazione un po’ sospetta, ma spero sarete d’accordo con laproposizione che segue. Tesi: Tutti gli interi positivi sono interessanti! Dimostrazione (?): siete già d’accordo sul fatto che i primi numeri positivi sono tutti moltointeressanti. Per esempio, 1 è il primo numero, 2 è il primo numero pari, 3 è il primo numero primodispari e via dicendo. Ora supponiamo, per assurdo, che i numeri non siano tutti interessanti. Alloraesisterebbe un numero N, il primo privo di interesse. Ma allora questo renderebbe di per sé N assaiinteressante! Pertanto, non esistono numeri che non siano interessanti!

Capitolo 7 La magia della geometria

Alcune sorprese geometriche

Cominciamo con un problema di geometria che potremmo presentare come un trucco di magia:prendete un foglio di carta e seguite le istruzioni.

Punto 1: Disegnate una figura con quattro lati che non si intersecano, in genere definitaquadrilatero. Nominate i quattro angoli A, B, C e D, in senso orario, come potete vederenegli esempi che seguono.

Tre quadrilateri casuali. Punto 2: Segnate i punti medi dei quattro lati AB , BC , CD e DA rispettivamente con lelettere E, F, G e H. Punto 3: Collegate i punti medi formando il quadrilatero EFGH, come negli esempi nellafigura della pagina successiva.

Collegando i punti medi di un quadrilatero si ottiene sempre un parallelogramma. Che ci crediate o no, EFGH di sicuro è un parallelogramma. In altre parole, EF è parallelo a GH e FGparallelo ad HE , inoltre EF e GH hanno la stessa lunghezza, come FG e HE . Dovreste provare sulfoglio da soli, anche se la figura lo illustra bene. La geometria è piena di sorprese come questa: si applicano alcuni argomenti logici agli assunti piùsemplici e ci si ritrovano per le mani risultati meravigliosi. Procediamo con un breve quiz per mettere alla prova il vostro intuito geometrico. Alcune domandehanno risposte davvero intuitive, altre vi sorprenderanno, anche dopo aver appreso la geometriaappropriata.

Domanda 1: Un contadino desidera costruire un recinto con perimetro di 52 metri. Quali sono ledimensioni del rettangolo perché l’area sia massima?

A) Un quadrato di lato 13 metri. B) Dimensioni prossime alle proporzioni della sezione aurea 1,618 (quindi circa 16 metri per10). C) Un rettangolo con la base più lunga possibile, quindi circa 26 metri con altezza prossima a0. D) Tutte le risposte danno la stessa area.

Domanda 2: Considerate le rette parallele nella figura seguente, con X e Y sulla retta più bassa.Volendo scegliere un terzo punto sulla retta superiore in modo che il triangolo che ha i tre punti comevertici abbia il perimetro minimo possibile, che punto scegliereste?

A) Il punto A, corrispondente sulla retta superiore al punto medio tra X e Y. B) Il punto B, così che il triangolo formato da B, X e Y sia rettangolo. C) Il punto C, più lontano possibile da X e Y. D) Non ha importanza, tutti i triangoli avranno lo stesso perimetro.

Qual è il punto sulla retta superiore per cui il triangolo (con X e Y) ha il perimetro minore? Qual èil punto che garantisce l’area maggiore? Domanda 3: Usando la stessa figura di prima, qual è il punto P sulla retta superiore che conduce altriangolo XYP con l’area maggiore?

A) Il punto A. B) Il punto B. C) Il punto C, più lontano possibile da X e Y. D) Non importa, tutti i triangoli avranno la stessa area.

Domanda 4: Le porte di un campo da football distano 110 metri. Una fune di 110 metri viene legatastretta alla base delle porte, poi si aggiungono 30 cm di corda aggiuntiva. Quanto può essere alzatala fune nel mezzo del campo?

A) Meno di 2,5 cm dal suolo. B) Appena per strisciarci sotto. C) Appena per camminarci sotto. D) Abbastanza per farci passare sotto un camion.

Una corda di 110,3 metri è legata tra due porte da football poste a 110 metri di distanza. Di quantopossiamo alzare la corda a metà del campo? Ecco le soluzioni. Credo che i primi due problemi siano molto intuitivi, mentre le risposte agli altri duepotranno sorprendere molti. Più avanti spiegheremo i problemi uno per uno.

Risposta 1: A. Per qualsiasi perimetro, l’area di un rettangolo è massima quando i lati sono uguali,quindi nel caso di un quadrato. Risposta 2: A. Il punto A sopra il punto medio tra X e Y genera il triangolo XAY con perimetro minimo.

Risposta 3: D. Tutti i triangoli hanno la stessa area. Risposta 4: D. Nel mezzo del campo, la corda può essere sollevata di circa 4 metri, abbastanza perfarci passare un camion.

Si arriva al primo risultato con un po’ di algebra: per un rettangolo di base b e altezza h, il perimetrovale 2b + 2h, ossia la somma di tutti i lati. L’area invece è data dal prodotto bh. (Torneremo sull’areatra poco.) Dal momento che il problema richiede un perimetro di 52 metri, allora 2b + 2h = 52, cheequivale a

b + h = 26

e quindi poiché h = 26 − b , l’area bh, che si desidera massima, è pari a

b (26 − b ) = 26b − b 2

Qual è il valore di b che rende massima questa quantità? Un metodo veloce per calcolarlo usa quelloche abbiamo imparato nel Capitolo 11, ma si potrebbe anche impostare il problema con la tecnicadel completamento del quadrato incontrata nel Capitolo 2. Notate come

26b − b 2 = 169 − (b 2 − 26b + 169) = 169 − (b − 13)2

è l’area del rettangolo quando si sceglie la base b . Se b = 13 la superficie corrisponde a 169 − 02 =169, mentre se b ≠ 13, l’area è pari a

169 − (qualcosa diverso da 0)2

Se sottraiamo una quantità positiva da 169, otterremo sempre un numero minore di 169, diconseguenza l’area del rettangolo è massima quando b = 13 e h = 26 − b = 13. Una proprietàstrabiliante della geometria è l’irrilevanza del fatto di avere un perimetro di 52 metri. L’area di unrettangolo di perimetro p sarà massima sempre per una forma quadrata, quando i lati sono uguali ehanno lunghezza p/4. Per spiegare gli altri problemi, occorre prima dare uno sguardo ad alcuni paradossi apparenti edesplorare certi temi classici della geometria. Perché la somma degli angoli interni di un triangolo è180 gradi? Cosa dice il Teorema di Pitagora? Cosa significa chiedere che due triangoli sianocongruenti e perché è importante?

Classici della geometria

Lo studio della geometria risale agli antichi greci, il nome stesso deriva dai termini greci geo, “Terra”,e metria, “misura”, perché in effetti i primi usi della geometria erano le misure terrestri perl’agrimensura e le costruzioni, e quelle celesti per le applicazioni astronomiche. Tuttavia i greci erano anche maestri nel ragionamento deduttivo, per cui svilupparono la materia inquella forma d’arte che è ancora oggi la geometria. Tutti i risultati geometrici noti all’epoca (300 a.C.circa) furono raccolti da Euclide nei suoi Elementi, uno dei libri di testo di maggior successo di tutti i

circa) furono raccolti da Euclide nei suoi Elementi, uno dei libri di testo di maggior successo di tutti i

tempi, che introdusse anche concetti metodologici come il rigore matematico, la deduzione logica,l’approccio assiomatico, le dimostrazioni: tutti ancora in uso in matematica. Euclide cominciò con 5 assiomi, noti anche come postulati, ossia delle affermazioni che sisuppongono accettate per puro senso comune. Una volta accettati gli assiomi, in principio nederivano tutte le proprietà geometriche. Ecco pertanto i postulati di Euclide. (In verità, Euclide haformulato il quinto postulato in modo un po’ diverso, ma quello proposto qui è equivalente.)

Assioma 1: Due punti qualsiasi si congiungono con un segmento di retta in modo univoco. Assioma 2: I segmenti di retta si possono estendere all’infinito in entrambe le direzioni, creando lerette. Assioma 3: Dati due punti O e P, si disegna in modo univoco un cerchio centrato in O che passa perP. Assioma 4: Tutti gli angoli retti misurano 90 gradi. Assioma 5: Data una retta e un punto P non sulla retta, esiste una sola retta che passa per P ed èparallela alla retta iniziale.

Esistono altri possibili assiomi che Euclide ha lasciato da parte, ne introdurremo alcuni al bisogno.In questo capitolo non definirò né dimostrerò ogni cosa dal principio, d’altronde questo capitolo non èfatto per essere un trattato di geometria. Do per scontato che abbiate un’idea intuitiva di cosa siano ipunti, le rette, i cerchi, i perimetri e le aree; cercherò di tenere al minimo i tecnicismi e le espressionigergali, in modo da concentrarci sui concetti più affascinanti della geometria. Per esempio, credo che tutti voi sappiate già, oppure che vorrete accettare, che un cerchio copre 360°e che la misura di un angolo è un numero compreso tra 0° e 360°. Pensate alle lancette di unorologio, che si uniscono al centro di un cerchio. All’1 in punto, le lancette indicano un dodicesimo dicerchio, per cui formano un angolo di 30°; alle 3 in punto, le lancette indicano un quarto di cerchio,pertanto formano un angolo di 90°, che si dice retto, mentre le rette o i segmenti che lo compongonosi dicono perpendicolari. Una linea dritta, come quando sono le 6 in punto, forma un angolo di 180°.

Gli angoli rappresentati misurano 30°, 90° e 180°.

A parte Vorrei chiarire che in questo capitolo parleremo solo di geometria piana, detta anche euclidea, in cuisi assume di lavorare su una superficie piatta, un piano x-y. Tuttavia, se cambiamo uno o piùassiomi, introduciamo dei sistemi matematici diversi ma ugualmente interessanti e utili, come la

assiomi, introduciamo dei sistemi matematici diversi ma ugualmente interessanti e utili, come la

geometria sferica, che si occupa dei punti su una sfera. Nella geometria sferica, le rette sono cerchi di circonferenza massima, detti cerchi massimi, per cuitutte le rette si intersecano in un punto e le rette parallele non esistono. Se invece cambiamo l’Assioma 5, in modo che ci siano sempre almeno due rette differenti per P chesono parallele, si ottiene la geometria iperbolica, con i suoi meravigliosi teoremi. Su questo tipo digeometria si basano molte delle opere più belle create da M.C. Escher. L’immagine in figura è stata creata da Douglas Dunham (che ci ha gentilmente concesso diriprodurla) usando le regole della geometria iperbolica.

Adesso introduciamo qualche notazione utile. Il segmento dritto che congiunge due punti A e B siindica con AB , mentre la sua lunghezza si indica senza la barra, quindi la lunghezza di AB è AB. Quando due rette si incrociano, creano quattro angoli, come in figura, di cui conosciamo le proprietàgenerali: gli angoli adiacenti, come a e b , hanno somma 180° e si dicono supplementari. Gli angoli

generali: gli angoli adiacenti, come a e b , hanno somma 180° e si dicono supplementari. Gli angoli

non adiacenti, detti angoli opposti, sono uguali, come nella figura le coppie a-c e b -d.

Quando due rette si incrociano, la somma degli angoli adiacenti vale 180°. La proprietà vale per tutte le coppie di angoli adiacenti, quindi

a + b = 180° b + c = 180° c + d = 180° d + a = 180°

Sottraendo la seconda equazione dalla prima, deriviamo che a − c = 0. Così,

a = c

mentre sottraendo la terza equazione dalla seconda si ottiene che

b = d

Quando due rette si intersecano, gli angoli non adiacenti si dicono opposti: abbiamo appenadimostrato il Teorema degli angoli opposti, ossia che gli angoli opposti sono uguali. Il prossimo obiettivo è provare che la somma degli angoli in un triangolo qualsiasi vale 180°, ma perfarlo dobbiamo dedicare due parole alle rette parallele. Due rette distinte si dicono parallele se non siintersecano mai. (Ricordatevi che una retta si estende all’infinito in entrambe le direzioni.) La figuraseguente mostra due rette parallele, l 1 ed l 2, con una terza retta l 3 che non è parallela alle altre, e leinterseca nei punti P e Q. Se guardate la figura, sembra che l 3 tagli, l 1 ed l 2 formando angoli uguali,cioè a = e. Li definiamo angoli corrispondenti. (Altri esempi di angoli corrispondenti sono f e b , c e g,d e h.) Sebbene sembri ovvio che angoli corrispondenti sono uguali, non riusciamo a dimostrarlodirettamente dai cinque postulati. Abbiamo bisogno di un nuovo assioma.

Gli angoli corrispondenti sono uguali: in questo caso, a = e, b = f, c = g e d = h. Assioma degli angoli corrispondenti: angoli corrispondenti sono uguali. Possiamo combinarlo con il Teorema degli angoli opposti, che per la nostra figura afferma:

a = c = g = e b = d = h = f

I libri di matematica assegnano alcuni nomi particolari a certi angoli delle coppie riportate. Peresempio, gli angoli a e g, che formano un grafico a Z, sono detti angoli alternati interni. Pertanto,abbiamo mostrato che ogni angolo è uguale al suo opposto, all’angolo corrispondente e al suoalternato interno. Ora usiamo questi risultati per dimostrare un teorema fondamentale dellageometria. Teorema: In ogni triangolo, la somma degli angoli interni vale 180 gradi. Dimostrazione: Consideriamo un triangolo ABC come quello in figura, con gli angoli a, b e c. Adessodisegniamo una retta passante per B e parallela al segmento AC . Gli angoli d, b ed e formano unalinea retta, pertanto d + b + e = 180°. Tuttavia, notiamo come gli angoli a e d siano alternati internicosì come c ed e. Allora d = a ed e = c, così a + b + c = 180°, come desiderato.

Perché a + b + c = 180°?

A parte Il Teorema dei 180° per i triangoli è una proprietà essenziale della geometria piana, ma non ènecessario per altri tipi di geometria. Considerate per esempio un triangolo su una sfera, checominci dal polo nord, vada fino all’equatore seguendo un meridiano, poi giri a destra sull’equatorecompiendo un quarto di giro e infine, girando a destra, ritorni al polo nord. Questo triangolo contienetre angoli retti che si sommano a 270°. Nella geometria sferica, la somma degli angoli interni di untriangolo non è costante e supera i 180° di una misura direttamente proporzionale all’area deltriangolo. Nei corsi di geometria si pone molta attenzione nel dimostrare che differenti oggetti possano esserecongruenti o no, ossia che attraverso traslazione, rotazione e capovolgimento di un oggetto se nepossa ottenere un altro. Per esempio, i triangoli nella figura alla pagina seguente sono congruenti,perché possiamo traslare DEF fino a farlo coincidere perfettamente con ABC. Nella figura, quandodue lati (due angoli) sono segnati con lo stesso numero di trattini, allora sono lunghi uguale(misurano uguale).

Triangoli congruenti.

Indichiamo questa proprietà con il simbolo ≅, scrivendo ABC ≅ DEF, che equivale a dire che le

lunghezze e gli angoli corrispondono perfettamente. In particolare, le lunghezze dei lati AB, BC e CAsono uguali rispettivamente a DE, EF ed FD, mentre gli angoli associati ad A, B e C sono ugualirispettivamente agli angoli D, E ed F. Abbiamo indicato queste uguaglianze nella figura marcando inmodo identico gli angoli e i lati che sono uguali.

Una volta noto che alcuni lati e/o angoli sono uguali, il resto segue in modo automatico. Per esempio,

sapendo che tutti e tre i lati sono uguali e che due coppie di angoli sono le stesse (diciamo ∠A = ∠D

e ∠B = ∠E), allora gli angoli della terza coppia sono uguali anche loro e i triangoli sono congruenti. Di

più, non abbiamo bisogno neanche di tutte queste informazioni. Basta sapere che due lati sono

uguali, tipo AB = DE e AC = DF, e che gli angoli compresi tra quei lati sono uguali, qui ∠A = ∠D, per

avere automaticamente la congruenza, per cui: BC = EF, ∠B = ∠E e ∠C = ∠F. Lo chiameremo

Assioma LAL, ossia “lato-angolo-lato”. L’Assioma LAL non è un teorema, dal momento che non si dimostra a partire dagli assiomiprecedenti. Tuttavia, se lo accettiamo, possiamo derivare alcuni utilissimi teoremi, come LLL (“lato-lato-lato”), ALA (“angolo-lato-angolo”) e AAL (“angoloangolo-lato”). Invece, non esiste un Teorema LLA,perché l’angolo comune deve trovarsi tra i lati uguali per assicurare la congruenza. Il Teorema LLL è ilpiù intrigante, perché dice che i triangoli con i lati uguali devono avere anche gli angoli uguali. Applichiamo LAL per dimostrare l’importante Teorema dei triangoli isosceli. Un triangolo si diceisoscele se ha due lati uguali. Già che ci siamo, definiamo alcuni altri tipi di triangolo. Un triangoloequilatero ha tutti i lati uguali, un triangolo rettangolo ha un angolo di 90°, mentre un triangolo acutoha tutti gli angoli minori di 90° e un triangolo ottuso possiede un angolo maggiore di 90°.

Un triangolo equilatero, un triangolo acuto, un triangolo rettangolo e un triangolo ottuso. Teorema del triangolo isoscele: Se ABC è un triangolo isoscele con lati uguali AB = AC, allora gliangoli opposti a questi lati sono uguali.

Teorema dei triangoli isosceli: se AB = AC, allora ∠B = ∠C.

Dimostrazione: Cominciamo disegnando una retta da A che divide ∠A in due parti uguali, come nella

figura seguente. (Questa retta è detta bisettrice dell’angolo A.) Chiamiamo X il punto in cui la rettainterseca il segmento BC .

Il Teorema del triangolo isoscele si può dimostrare disegnando una bisettrice e applicandol’Assioma LAL ai nuovi triangoli che si creano.

BAX e CAX sono congruenti grazie all’Assioma LAL, dal momento che BA = CA (il triangolo è

isoscele), ∠BAX = ∠CAX (per costruzione la retta è bisettrice) e AX = AX. (No, non è un errore di

stampa: AX compare nei due triangoli che stiamo confrontando, e ha la stessa lunghezza per

entrambi!) Siccome BAX ≅ CAX, gli altri lati e gli angoli devono essere uguali. In particolare ∠B = ∠C,

che era l’obiettivo.

A parte

Il Teorema dei triangoli isosceli si può dimostrare anche con il Teorema LLL. Per la dimostrazione,sia M il punto medio di BC , per cui BM = MC. Si disegni poi il segmento AM . Come in precedenza, itriangoli BAM e CAM sono congruenti, visto che BA = CA (triangolo isoscele), AM = AM e MB = MC

(punto medio). Quindi, per LLL, BAM ≅ CAM e così gli angoli corrispondenti sono uguali, in particolare

∠B = ∠C, come desiderato.

Dalla congruenza, deriva che ∠BAM = ∠CAM, così il segmento AM è anche bisettrice dell’angolo,

inoltre ∠BMA = ∠CMA e siccome la somma degli angoli interni fa 180°, devono essere per forza di

90°. Pertanto, in un triangolo isoscele, la bisettrice di A è perpendicolare e mediana di BC.

Per inciso, anche il teorema reciproco del triangolo isoscele è vero: se ∠B = ∠C, allora AB = AC. Il

reciproco si prova disegnando la bisettrice di A fino al punto X, come nella dimostrazione originale.

Adesso, BAX ≅ CAX per AAL, infatti ∠B = ∠C (per ipotesi), ∠BAX = ∠CAX (bisettrice) e AX = AX.

Quindi, AB = AC, il triangolo è isoscele. Possiamo applicare il teorema precedente nel caso di un triangolo equilatero (che ha tutti i latiuguali) a tutte e tre le coppie di lati, dimostrando che tutti e tre gli angoli sono uguali. Così, essendouguali e dovendo avere 180° di somma, vale quanto segue. Corollario: In un triangolo equilatero, ogni angolo misura 60°. Secondo il Teorema LLL, se due triangoli ABC e DEF hanno lati corrispondenti (AB = DE, BC = EF,

CA = FD), avranno anche angoli corrispondenti uguali (∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F). Ma il reciproco, è

ugualmente vero? Se ABC e DEF hanno angoli congruenti, allora i lati sono uguali? Assolutamenteno, come mostrato nella figura alla pagina seguente.

Triangoli simili hanno angoli uguali e lati in proporzione. Due triangoli con angoli della stessa misura si dicono simili. Se due triangoli ABC e DEF sono simili

Due triangoli con angoli della stessa misura si dicono simili. Se due triangoli ABC e DEF sono simili

(lo indichiamo con ΔABC ∼ ΔDEF, o semplicemente ABC ∼ DEF), allora ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F.

Essenzialmente, i triangoli simili sono uno la versione in scala dell’altro. Così se ABC ∼ DEF, allora i

lati sono scalati da un certo fattore k , cioè DE = kAB, EF = kBC ed FD = kCA. Adesso applichiamo quanto appreso finora per rispondere al secondo dei problemi proposti all’iniziodel capitolo. Se ricordate, abbiamo cominciato con due rette parallele e con il segmento XY sulla rettainferiore. L’obiettivo era trovare un punto P sulla retta superiore tale per cui il triangolo XYP avesse ilperimetro minimo. Abbiamo affermato che la risposta giusta era: Teorema: Il punto P sulla retta superiore che minimizza il perimetro di XYP si trova esattamentesopra il punto medio di XY. Il problema si potrebbe risolvere con un calcolo complicato, tuttavia vedremo che con la geometriasarà necessaria soltanto un po’ di “riflessione”. (La dimostrazione che segue è interessante, ma unpo’ lunga. Sentitevi liberi di scorrerla semplicemente o anche di saltarla del tutto.) Dimostrazione: Sia P un punto qualsiasi della retta superiore, mentre sia Z il punto sulla medesimaretta esattamente sopra Y. (Per la precisione, la posizione di Z è tale che si trova sulla retta chepassa anche per Y, e YZ è perpendicolare a entrambe le rette parallele, come si vede nella figura allapagina seguente.) Sia Y’ il punto sulla perpendicolare per cui Y’Z = ZY. In altre parole, se la rettasuperiore fosse un grosso specchio, allora Y’ sarebbe il riflesso di Y rispetto al punto Z.

A questo punto affermo che PZY e PZY’ sono congruenti. Infatti, PZ = PZ, ∠PZY = 90° = ∠PZY’ e ZY =

ZY’, così abbiamo congruenza per LAL. Di conseguenza, PY = PY’, cosa che sfrutteremo.

I triangoli PZY e PZY’ sono congruenti (per LAL), pertanto PY = PY’. Il perimetro del triangolo YXP è la somma delle tre lunghezze

YX + XP + PY

E avendo dimostrato che PY = PY’, il perimetro equivale anche a

YX + XP + PY’

Ora, la lunghezza di YX non dipende da P, quindi il problema si riduce a trovare il punto P che rendeminimo XP + PY’. Notate che i segmenti XP e PY’ creano un percorso storto da X a Y, invece la distanza più corta tradue punti è una linea retta. Pertanto, il punto ottimale P* si può trovare disegnando una linea dritta daX a Y; P* è il punto in cui la linea interseca la retta superiore, come mostra la figura. Tuttavia nonabbiamo ancora finito, perché per completare la dimostrazione abbiamo bisogno di provare che P* èesattamente sopra il punto medio di XY . Sia M il punto esattamente sotto P* (in modo che P*M sia perpendicolare a XY ). Le rette sonoparallele, pertanto le lunghezze P*M e ZY sono uguali. (Questo risultato è intuitivo visto che retteparallele si trovano a distanza costante, ma si può anche dimostrare disegnando il segmento MZ perverificare che i triangoli MYZ e ZP*M sono congruenti per AAL.)

I triangoli MXP * e YXY’ sono simili con un fattore di scala 2.

Per dimostrare che M è il punto medio di XY , dapprima proviamo che i triangoli MXP* e YXY’ sono

Per dimostrare che M è il punto medio di XY , dapprima proviamo che i triangoli MXP* e YXY’ sono

simili. Notate come ∠MXP* e ∠YXY’ siano lo stesso angolo, ∠P*MX = ∠Y’YX essendo entrambi retti e

che una volta trovati due angoli uguali, il terzo corrisponde per forza, essendo 180° la somma dei tre.Qual è il fattore di scala tra i due triangoli? Per costruzione, la lunghezza

YY’ = YZ + ZY’ = 2YZ = 2MP*

Così il fattore di scala vale 2 e di conseguenza, la lunghezza XM è la metà di XY, per cui M è in effetti ilpunto medio di XY . Ricapitolando, abbiamo provato che il punto P* sulla retta superiore che rende minimo il perimetrodel triangolo XYP si trova esattamente sopra il punto medio di XY . A volte i problemi di geometria possono essere risolti con l’algebra. Per esempio, immaginate che unsegmento AB appartenga al piano in cui A ha coordinate (a 1, a 2) e B (b 1, b 2). Allora il punto medio Mavrà per coordinate

Come nella figura alla pagina seguente. Per esempio, se A = (1, 2) e B = (3, 4), allora il punto mediodi AB è M = ((1 + 3)/2, (2 + 4)/2) = (2, 3).

Il punto medio di un segmento si può trovare prendendo la media dei suoi estremi. Sfruttiamo questo concetto per dimostrare una proprietà utile dei triangoli. Disegniamo un triangolo epoi colleghiamo con un segmento i punti medi di due lati qualsiasi. Notate qualcosa di interessante?La risposta è nel prossimo teorema. Teorema del punto medio del triangolo: Per ogni triangolo ABC, il segmento di retta che congiunge ilpunto medio di AB con il punto medio di BC è parallelo al lato AC . Inoltre, se AC è lungo b , allora ilsegmento che congiunge i punti medi è lungo b /2. Dimostrazione: Poniamo il triangolo ABC sul piano, in modo che il punto A sia nell’origine (0, 0) e illato AC sia orizzontale, in modo che il punto C abbia coordinate (b , 0), come nella figura.Supponiamo che il punto B si trovi in (x, y): allora il punto medio di AB ha coordinate (x/2, y/2) mentreil punto medio di BC ha coordinate ((x + b )/2, y/2). Siccome entrambi i punti medi hanno la stessaordinata, il segmento che li congiunge è orizzontale, parallelo al lato AC . Inoltre, il segmento è lungo(x + b )/2 − x/2 = b /2, come voluto.

Quando si congiungono con un segmento di retta i punti medi di due lati di un triangolo, ilsegmento è parallelo al terzo lato e misura metà della sua lunghezza. Il Teorema del punto medio del triangolo ci svela il segreto del trucchetto di magia che ho propostoall’inizio del capitolo. Se partiamo dal quadrilatero ABCD e congiungiamo i punti medi per generareun secondo quadrilatero EFGH, otteniamo un parallelogramma. Cerchiamo di capire come funziona.Se immaginiamo una linea diagonale tirata tra i vertici A e C, si creano due triangoli ABC e ADC,come mostrato nella figura seguente.

Grazie al Teorema del punto medio del triangolo, EF e GH sono entrambi paralleli ad AC . Applichiamo il Teorema del punto medio del triangolo ai triangoli ABC e ADC; troviamo quindi che EFè parallelo ad AC , mentre AC è parallelo a GH . Pertanto, EF è parallelo a GH . (Inoltre, EF e GHhanno la stessa lunghezza, essendo entrambi metà di AC .) Con ragionamento analogo,immaginando la diagonale da B a D, otteniamo che FG e HE sono paralleli e hanno la stessalunghezza. Quindi, EFGH è un parallelogramma.

Molti dei teoremi precedenti riguardano i triangoli, ma in geometria va proprio così: si dedica unsacco di tempo ai triangoli, che sono i più semplici tra i poligoni, seguiti dai quadrilateri (poligoni a 4lati), dai pentagoni (5 lati) e così via. Un poligono con n lati si dice sovente un n-gono. Abbiamodimostrato che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°: cosa possiamo dire deipoligoni con più di tre lati? Un quadrilatero, come un quadrato, un rettangolo, un parallelogramma, ha4 lati. In un rettangolo, tutti gli angoli misurano 90°, pertanto la somma fa 360°. Il prossimo teoremamostra come questo sia vero per tutti i quadrilateri. Teorema: La somma degli angoli interni di un quadrilatero vale 360°. Dimostrazione: Prendiamo un quadrilatero di vertici A, B, C, D come quello nella figura seguente.Tracciando un segmento tra A e C, il quadrilatero si divide in due triangoli, ognuno con gli angoliinterni che si sommano a 180°. Pertanto, la somma degli angoli interni del quadrilatero sarà 2 × 180°= 360°.

La somma degli angoli interni di un quadrilatero vale 360°. Ancora un teorema e poi sveleremo lo schema generale. Teorema: La somma degli angoli interni di un pentagono vale 540°. Dimostrazione: Consideriamo un pentagono qualsiasi di vertici A, B, C, D, E come quello nella figuraalla pagina seguente. Congiungendo con un segmento A e C, il pentagono si scompone in untriangolo e un quadrilatero. Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo vale 180°mentre per il quadrilatero ACDE vale 360°. Quindi la somma degli angoli interni di un pentagono è180° + 360° = 540°.

La somma degli angoli interni di un pentagono vale 540°. Se ripetiamo il ragionamento per un n-gono e usiamo una dimostrazione per induzione, oppuregeneriamo n − 2 triangoli disegnando segmenti tra il vertice A e tutti gli altri, infine otteniamo ilseguente risultato: Teorema: La somma degli angoli interni di un n-gono è 180(n − 2) gradi. Eccovi un’applicazione magica di questo teorema. Disegniamo un ottagono (un poligono di 8 lati) escegliamo 5 punti qualsiasi al suo interno. Quindi, congiungiamo i vertici e i punti in modo che dentrol’ottagono ci siano solo triangoli. (Operazione detta di triangolazione.) Nella figura seguente trovatedue esempi diversi di triangolazione, con un ottagono vuoto in più affinché possiate provare da soli.

In entrambi gli esempi, i triangoli sono esattamente 16. Nel terzo ottagono, non importa dovescegliate i punti, alla fine otterrete sempre 16 triangoli, se eseguite l’operazione correttamente. (Senon arrivate a 16 triangoli, guardate con attenzione a ciascuna delle regioni interne, per assicurarviche siano tutte davvero dei triangoli. Per esempio, se una regione che sembra un triangolo in realtàmagari ha quattro vertici, occorre aggiungere un segmento per dividerla in due triangoli veri.) Laspiegazione ci viene fornita dal teorema seguente. Teorema: Tutte le triangolazioni di un poligono con n lati e p punti interni contengono esattamente 2p+ n − 2 triangoli. Nell’esempio di prima, n = 8 e p = 5, quindi il teorema predice esattamente 10 + 8 − 2 = 16 triangoli.

Dimostrazione: Supponete che la triangolazione abbia esattamente T triangoli. Dimostriamo che T =2p + n − 2 risolvendo in due modi diversi il seguente problema di conteggio. Domanda: Qual è la somma degli angoli di tutti i triangoli? Risposta 1: Ci sono T triangoli, ognuno con somma 180°, pertanto la somma degli angoli sarà 180Tgradi. Risposta 2: Dividiamo il problema in due casi. Gli angoli che circondano ognuno dei p punti interniformano un giro, così contribuiscono con 360p gradi al totale. D’altra parte, dal teorema precedente,sappiamo che la somma degli angoli dell’n-gono vale 180(n − 2) gradi. Così la somma di tutti gliangoli sarà 360p + 180(n − 2) gradi. Uguagliando le due soluzioni otteniamo che

180T = 360p + 180(n − 2)

Dividendo per 180 entrambi i membri

T = 2p + n − 2

Come previsto.

Perimetri e aree

Il perimetro di un poligono è la somma della lunghezza dei suoi lati. Per esempio, un rettangolo conbase di lunghezza b e altezza h, ha perimetro 2b + 2h, dal momento che ha due lati di lunghezza b edue di lunghezza h. E l’area? Definiamo pari a 1 l’area di un quadrato di lato unitario (quadratounitario). Se b e h sono positivi interi, come nella figura seguente possiamo dividere la regione in bhquadrati unitari, per cui l’area vale bh. In generale, ogni rettangolo di base b e altezza h (con b e hpositivi ma non necessariamente interi), definiamo che l’area valga bh.

Un rettangolo di base b e altezza h ha perimetro 2b + 2h e area bh.

A parte Nel corso del capitolo, l’algebra ci ha aiutato a spiegare la geometria, tuttavia ci sono casi in cui lageometria aiuta a comprendere l’algebra. Prendete il seguente problema algebrico. Quanto puòessere piccola la quantità x + 1/x, con x numero positivo? Se x = 1, vale 2; per x = 1,25, vale 1,25 + 0,8= 2,05; con x = 2, abbiamo 2,5. La sequenza sembra suggerire che la più piccola quantità sia 2, cosavera, ma come esserne sicuri? Nel Capitolo 11, il calcolo differenziale ci darà un modo immediatoper rispondere a questo tipo di problemi, ma con un po’ di intelligenza la semplice geometria puòbastare. Consideriamo l’oggetto geometrico nella figura alla pagina seguente, composto da quattro tesseredel domino, ognuna con lati x e 1/x, messe insieme a formare un quadrato con un buco in mezzo.Qual è l’area di tutta la regione, buco compreso?

Da una parte, la regione è un quadrato di lato x + 1/x, così l’area varrà (x + 1/x)2. Dall’altra, l’area diciascuna tessera vale 1, per cui la superficie della regione intera sarà maggiore o pari a 4. Diconseguenza,

(x + 1/x)2 ≥ 4

Che implica x + 1/x ≥ 2, come voluto. Se si comincia con l’area di un rettangolo, è possibile dedurre l’area di quasi tutte le figuregeometriche. Per prima cosa, partiamo con il triangolo. Teorema: Un triangolo di base b e altezza h ha come area bh/2. Per illustrarlo, consideriamo i triangoli nella figura seguente, che hanno tutti e tre la stessa base b ealtezza h, quindi la stessa area. In effetti è il problema 3 di inizio capitolo, che sorprenderà molti.

L’area di un triangolo di base b e altezza h vale bh/2. È vero per ogni triangolo, non importa serettangolo, acuto o ottuso.

Ci sono tre casi possibili, a seconda degli angoli alla base ∠A e ∠C. Se ∠A o ∠C sono retti, basta

duplicare il triangolo ABC, mettere le due copie insieme a formare un rettangolo di area bh, comemostrato nella figura seguente. Il triangolo ABC occupa metà dell’area del rettangolo, pertanto la suaarea vale bh/2, come dichiarato.

Due triangoli rettangoli di base b e altezza h possono formare un rettangolo di area bh.

Se ∠A e ∠C sono angoli acuti, procediamo con una dimostrazione molto carina. Disegniamo il

segmento perpendicolare da B ad AC (detto altezza del triangolo ABC), che è lungo h e interseca ACnel punto che chiamiamo X, come nella figura seguente.

AC si divide nei due segmenti AX e XC , di lunghezza rispettivamente b 1 e b 2, per cui b 1 + b 2 = b .Dal momento che BXA e BXC sono triangoli rettangoli, il caso esaminato prima ci dice che la loroarea vale b 1 h/2 e b 2 h/2. Pertanto il triangolo ABC ha superficie

Come voluto. Quando l’angolo in A o in C è ottuso, abbiamo la situazione illustrata nella figura seguente.

Nel caso acuto, abbiamo espresso il triangolo ABC come la somma di due triangoli rettangoli,mentre qui lo esprimeremo come differenza di due triangoli, ABY e CBY. Il triangolo rettangolo piùgrande ABY ha come base b + c, per cui l’area vale (b + c)h/2. Il triangolo rettangolo minore CBY haarea ch/2. Pertanto il triangolo ABC ha superficie

Come voluto.

Il Teorema di Pitagora

Il Teorema di Pitagora è forse il teorema più celebre della geometria e in effetti si tratta di una delleformule più famose della matematica, così si merita un paragrafo tutto suo. In un triangolo rettangolo,il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa, mentre gli altri due lati sono detti cateti. Il triangolorettangolo nella figura seguente ha cateti BC e AC , ipotenusa AB , con lunghezza rispettivamente a, be c.

Teorema di Pitagora: In un triangolo rettangolo, con i cateti lunghi a e b e l’ipotenusa lunga c,

a 2 + b 2 = c 2

Esistono più di trecento dimostrazioni di questo teorema, ma qui presenteremo le più semplici.Sentitevi liberi di saltarne alcune; il mio obiettivo è che almeno una dimostrazione vi possa lasciareun sorriso o vi strappi un “Bella, questa!”. Dimostrazione 1: Nella figura seguente abbiamo messo insieme quattro triangoli rettangoli percreare un quadrato gigante.

Calcolate in due modi diversi l’area del quadrato grande. Dal confronto delle due risposte, salteràfuori il Teorema di Pitagora. Domanda: Qual è l’area del quadrato? Risposta 1: Ogni lato ha lunghezza a + b , così l’area vale (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2. Risposta 2: D’altro canto, il quadrato gigante consiste di quattro triangoli, ognuno di area ab /2,insieme a un quadrato nel centro di area c 2. (Perché l’oggetto nel centro è un quadrato? Sappiamoche i lati sono uguali e con la simmetria possiamo provare che i quattro angoli sono uguali: ruotandola figura di 90 gradi, sarà sempre la stessa, per cui gli angoli sono tutti uguali. Siccome la sommadegli angoli di un quadrilatero vale 360 gradi, allora ogni angolo sarà pari a 90 gradi.) Pertanto l’areavale 4(ab )/2 + c 2 = 2ab + c 2. Uguagliando le due risposte si ottiene

a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2

Se sottraiamo 2ab da entrambi i membri, abbiamo

a2 + b 2 = c2

come voluto. Dimostrazione 2: Usando la stessa figura di prima, riordiniamo i triangoli come nella figura allapagina seguente. Nella prima, l’area non occupata dai triangoli valeva c 2. Ora, l’area lasciata liberadai triangoli sarà a 2 + b 2. Quindi c 2 = a 2 + b 2, come voluto.

Confrontate l’area dello spazio bianco di questa figura e di quella precedente: a 2 + b 2 = c 2. Dimostrazione 3: Stavolta riordiniamo i quattro triangoli per ottenere un quadrato più compatto, di

area c 2, come mostrato nella figura seguente. (Un motivo per cui quest’oggetto è un quadrato è che

ogni angolo è composto da ∠A e ∠B, la cui somma è 90°.) Come prima, i quattro triangoli danno un

area di 4(ab /2) = ab . Il quadrato al centro invece ha superficie (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2. Quindi, l’area combinata vale 2ab + (a 2 − 2ab + b 2) = a 2 + b 2, come voluto.

L’area di questa figura vale sia c 2 sia a 2 + b 2. Dimostrazione 4: Ecco una dimostrazione simile, nel senso che sfrutta i triangoli simili. Nel triangolorettangolo ABC si disegna il segmento CD perpendicolare all’ipotenusa, come mostrato nella figura

rettangolo ABC si disegna il segmento CD perpendicolare all’ipotenusa, come mostrato nella figura

alla pagina seguente.

Entrambi i triangoli più piccoli sono simili a quello grande.

Notate che il triangolo ADC contiene sia un angolo retto sia ∠A, pertanto il terzo angolo deve essere

congruente con ∠B. Allo stesso modo, il triangolo CDB ha un angolo retto e ∠B, così il terzo angolo è

congruo con ∠A. Di conseguenza, i tre triangoli sono simili:

ΔACB ∼ ΔADC ∼ ΔCDB

Notate che l’ordine delle lettere è importante. Abbiamo che ∠ACB = ∠ADC = ∠CDB = 90° sono tutti

retti, mentre ∠A = ∠BAC = ∠CAD = ∠BCD e ∠B = ∠CBA = ∠DCA = ∠DBC. Se confrontiamo le

lunghezze dei lati dei primi due triangoli otteniamo

AC/AB = AD/AC ⇒ AC 2 = AD × AB

Se confrontiamo le lunghezze dei lati del primo e del terzo triangolo abbiamo

CB/BA = DB/BC ⇒ BC 2 = DB × AB

Sommando le due equazioni,

AC 2 + BC 2 = AB × (AD + DB)

E poiché AD + DB = AB = c, abbiamo la conclusione desiderata:

b 2 + a 2 = c 2

La prossima dimostrazione è geometria pura, non chiama in causa l’algebra, ma necessita di un po’di visualizzazione. Dimostrazione 5: Stavolta cominciamo con due quadrati di area a 2 e b 2, posti uno accanto all’altro,come nella figura seguente. La loro area congiunta vale a 2 + b 2. Possiamo dividere questo oggetto

in due triangoli (con lati lunghi a e b e ipotenusa lunga c) più una terza forma strana. Notate che

l’angolo alla base della strana forma vale 90° in quanto circondato da ∠A e ∠B. Immaginate un

cardine messo nell’angolo superiore sinistro del quadrato più piccolo.

I due quadrati di area a 2 + b 2 si possono trasformare in… Ora immaginiamo che il triangolo in basso a sinistra si “giri” di 90° in senso antiorario, così restaall’esterno della parte superiore del quadrato grande. A questo punto si gira anche l’altro triangolo, di90° in senso orario, in modo da accoppiare i due angoli retti, che si dispongono nell’angolo formatodai due quadrati, proprio come nella figura seguente. Il risultato finale è un quadrato ruotato di area c2. Quindi a 2 + b 2 = c 2, come promesso.

… un quadrato di area c 2! Applichiamo il Teorema di Pitagora per risolvere il problema 4, presentato a inizio capitolo, sul campoda football con una fune di lunghezza 110,3 metri che collega le due porte distanti 110 metri.

Usando il Teorema di Pitagora, h 2 + 552 = 55,152. La distanza delle porte dal centro del campo è 55 metri. Una volta sollevata la fune alla sua altezzamassima, h, possiamo creare un triangolo rettangolo, come nella figura qui sopra, con cateto 55metri e ipotenusa 55,15 metri. Quindi, con Pitagora, e pochi conti, si ottiene

Pertanto la fune sarà abbastanza alta da farci passare un camion!

Magia geometrica

Concludiamo il capitolo come lo abbiamo iniziato, con un trucchetto magico basato sulla geometria.Quasi tutte le dimostrazioni del Teorema di Pitagora hanno a che fare con il riordino dei pezzi di unoggetto geometrico per ottenerne un altro di pari area. Invece, consideriamo il seguente paradosso.Iniziamo con un quadrato 8 per 8, come nella figura alla pagina seguente, che taglieremo in quattro

Iniziamo con un quadrato 8 per 8, come nella figura alla pagina seguente, che taglieremo in quattro

pezzi (tutti con lunghezza dei lati pari ai numeri di Fibonacci 3, 5 e 8!), quindi li riassembliamo percreare un rettangolo 5 per 13. (Provate da soli!) Ovviamente sembra una cosa impossibile, perché laprima figura ha come area 8 × 8 = 64, mentre la seconda 5 × 13 = 65. Che cosa sta succedendo?

Un quadrato di area 64 può essere riordinato in un rettangolo di area 65? Il segreto di questo paradosso è che la “retta” diagonale del rettangolo non è davvero dritta. Peresempio, il triangolo etichettato con C ha ipotenusa con pendenza 3/8 = 0,375 (infatti le suecoordinate in y aumentano di 3 quando quelle in x aumentano di 8), mentre la parte in alto dellafigura etichettata con D (un trapezoide) ha pendenza di 2/5 = 0,4 (le sue coordinate in y aumentano di2 quando quelle in x aumentano di 5). Le pendenze sono diverse, quindi non si forma una linea drittae lo stesso accade con la parte inferiore del trapezoide in alto e il triangolo. Quindi, se avessimoosservato con attenzione il rettangolo, come nella figura seguente, avremmo notato uno spazio extratra le due “quasi diagonali”. In questo spazio, distribuito su una vasta regione, si annida esattamentel’unità di area in più.

Il rettangolo contiene un’unità extra di area distribuita lungo la diagonale. In questo capitolo abbiamo derivato molte proprietà importanti su triangoli, quadrati, rettangoli epoligoni, tutti composti da linee rette. La scoperta dei cerchi e delle linee curve richiede concettigeometrici più sofisticati, attraverso la trigonometria e l’analisi, tutti dipendenti dal numero magico π.

Capitolo 8 La magia del π

3,141592653589…

Ragionamenti circolari

Nel capitolo precedente ho cercato di stuzzicare la vostra intuizione geometrica con alcuni problemilegati ai rettangoli e ai triangoli, finendo con la questione della fune tra due porte di un campo dafootball. In questo capitolo ci concentreremo sui cerchi, e partiremo proprio dal problema di una funeintorno alla Terra!

Domanda 1: Immaginate una fune legata intorno alla Terra lungo l’equatore, che è lungo circa 40.000km. Prima di legare tra loro gli estremi, aggiungiamo 3 metri alla fune: se ora solleviamo tutta la fune,in modo che ogni punto abbia la stessa distanza dal suolo, quale sarebbe questa distanza?

A) Meno di 2,5 cm dal suolo. B) Appena sufficiente a strisciarci sotto. C) Appena sufficiente a camminarci sotto. D) Abbastanza per farci passare sotto un camion.

Domanda 2: Si prendano due punti X e Y su un cerchio, come nella figura seguente. Scegliamo unterzo punto Z sull’arco maggiore, cioè quello più lungo tra X e Y, non quello corto. Qual è la posizione

di Z che rende Massimo l’angolo ∠XZY?

A) Il punto A, opposto al punto medio di X e Y. B) Il punto B, la riflessione di X rispetto al centro del cerchio. C) Il punto C, il più vicino possibile a X. D) Non importa: tutti gli angoli avranno pari misura.

Quale punto sull’arco maggiore tra X e Y disegna l’angolo massimo? Sarà l’angolo ∠XAY, ∠XBY,

∠XCY oppure sono tutti uguali?

Per rispondere dobbiamo approfondire la nostra conoscenza dei cerchi. (Certo, non vi servono tantigiri… di parole per leggere le risposte: B e D, rispettivamente. Ma se volete davvero apprezzarne leragioni, allora dovrete approfondire con me). Un cerchio è descritto da un punto O e da un numeropositivo r: tutti i punti del cerchio distano r da O, come illustrato nella figura alla pagina seguente. Ilpunto O si dice centro del cerchio, mentre r è il raggio; tuttavia, per convenienza matematica, è dettoraggio anche un segmento di retta OP dal punto O a un punto P sul cerchio.

Circonferenza e area

Per ogni cerchio, il diametro D è definito come il doppio del raggio, pertanto è la distanza tra due puntiopposti rispetto al centro, ossia: D = 2r. Il perimetro di un cerchio (la lunghezza del contorno) si chiama circonferenza e si indica con C. Dallafigura appare evidente come C sia maggiore del doppio del diametro, 2D, visto che la distanza lungoil cerchio da P a Q è maggiore di D, così come il percorso per tornare da Q a P. Di conseguenza, C >2D. Se aguzzate la vista, forse vi accorgerete che C è addirittura un po’ maggiore di 3D. (Ma pervederlo davvero, forse dovrete usare degli occhiali 3-D. Scusate, non ho resistito.)

Un cerchio con centro O, raggio r e diametro D = 2r. Ora, se volessimo confrontare la circonferenza di un cerchio con il suo diametro, potremmocominciare avvolgendo uno spago lungo la circonferenza e poi dividendo quella lunghezza per ildiametro stesso. Non importa che misuriate una monetina o la base di un bicchiere, un piatto o unhula-hoop gigante, troverete sempre

C/D ≈ 3,14

Definiamo il numero π come la costante esatta che rappresenta il rapporto tra la circonferenza delcerchio e il suo diametro, quindi

π = C/D

e π è lo stesso per ogni cerchio! Se preferite, potete riscriverla come una formula per calcolare lacirconferenza in ogni cerchio. Dato il diametro D o il raggio r di un cerchio qualsiasi, abbiamo che

C = πD

ovvero

C = 2πr

Le cifre di π cominciano così:

π = 3,14159…

Più avanti aggiungeremo altre cifre di π e discuteremo alcune sue proprietà numeriche.

A parte È un fatto interessante che l’occhio umano non sia molto abile nella stima delle circonferenze. Peresempio, prendete un bicchiere abbastanza largo e guardatelo: è più grande la circonferenza ol’altezza? Quasi tutti risponderanno che è maggiore l’altezza, ma di solito è il contrario. Perconvincervene, mettete il pollice e il medio su punti opposti del bicchiere per determinare il diametro.Vedrete quasi certamente che il vostro bicchiere è alto meno del triplo del diametro. Possiamo finalmente rispondere alla prima domanda del capitolo. Se pensiamo all’equatoreterrestre come a un cerchio perfetto di circonferenza C = 40.000 km, il raggio sarà

Tuttavia per rispondere alla domanda non abbiamo davvero bisogno del raggio: ci basta sapere diquanto esso cambierà aumentando la circonferenza di 3 metri, ossia creando un cerchioleggermente più grande con un raggio che sarà maggiore di esattamente 3/2π = 0,48 m, e quindisarà sufficiente per strisciarci sotto (ma non per camminarci, a meno che non siate degliappassionati di limbo!). Ad essere sorprendente in questo caso è che la risposta non dipende affattodalla circonferenza terrestre: otterremmo la stessa soluzione per un pianeta o una palla di qualsiasidimensione! Per esempio, con un cerchio di 50 metri di circonferenza, ossia di raggio 50/(2π) ≈ 7,96m, se aumentiamo la circonferenza di 3 m, il nuovo raggio sarà 53/(2π) ≈ 8,44 m, che è più grande di0,48 m.

A parte Ecco un’altra proprietà importante dei cerchi.

Teorema: Siano X e Y due punti opposti su un cerchio. Per qualsiasi altro punto P sul cerchio, ∠XPY

= 90°.

Per esempio, gli angoli ∠XAY, ∠XBY e ∠XCY nella figura seguente sono tutti retti.

Dimostrazione: Disegniamo il raggio da O a P, indicando ∠XPO = x e ∠YPO = y. L’obiettivo è provare

che x + y = 90°.

Poiché OX e OP sono entrambi raggi del cerchio, avranno lunghezza r e quindi il triangolo XPO è

isoscele. Dal Teorema dei triangoli isosceli, ∠OXP = ∠XPO = x. Allo stesso modo, OY è un raggio e

∠OYP = ∠YPO = y. Dal momento che gli angoli del triangolo XYP hanno somma 180°, avremo 2x +

2y = 180° e quindi x + y = 90°, come voluto. Questo è un caso particolare del Teorema dell’angolo centrale, uno dei teoremi della geometria chepreferisco e che descriverò nel box alla pagina seguente.

A parte La risposta al secondo problema con cui abbiamo cominciato il capitolo è data dal Teoremadell’angolo centrale. Siano X e Y due punti qualsiasi sul cerchio. L’arco maggiore è il più lungo tra idue che congiungono X e Y, mentre l’arco minore è il più corto.

Il Teorema dell’angolo centrale afferma che l’angolo ∠XPY sarà lo stesso per qualsiasi punto P

posto sul cerchio tra X e Y. In particolare, l’angolo ∠XPY sarà la metà dell’angolo al centro ∠XOY.

Se il punto Q appartiene all’arco minore tra X e Y, allora ∠XQY = 180° − ∠XPY.

Per esempio, se ∠XOY = 100°, tutti i punti P sull’arco maggiore tra X e Y formeranno l’angolo ∠XPY =

50°, mentre per tutti i punti Q sull’arco minore tra X e Y varrà ∠XQY = 130°.

Una volta nota la circonferenza di un cerchio, ne deduciamo una formula importante per l’area. Teorema: L’area del cerchio di raggio r vale πr 2. Probabilmente avrete imparato questa formula a scuola, tuttavia è davvero una soddisfazione capireperché funziona così. Una dimostrazione rigorosa implica l’uso del calcolo differenziale e dell’analisi,tuttavia possiamo produrre un argomento abbastanza convincente anche senza. Dimostrazione 1: Immaginiamo che un cerchio sia un insieme di anelli concentrici, come mostratonella figura alla pagina seguente. Tagliamo il cerchio dal perimetro verso il centro, per poi raddrizzaregli anelli formando un oggetto che somiglia a un triangolo. Qual è la sua area?

L’area di un cerchio di raggio r vale πr 2. L’area di un triangolo di base b e altezza h vale bh/2: nel nostro oggetto triangolare la base è 2πr (lacirconferenza del cerchio) mentre l’altezza vale r (la distanza tra il bordo e il centro). Se aumentiamo ilnumero degli anelli, il cerchio spacchettato diventa sempre più simile a un vero triangolo, per cuil’area sarà

1/2bh = 1/2(2πr)(r)

Come desiderato. Un teorema tanto gagliardo merita una dimostrazione doppia! La prima immaginava il cerchio comeuna specie di cipolla, mentre per la seconda lo immagineremo come una pizza. Dimostrazione 2: Affettate il cerchio in un numero grande di fette uguali, quindi separate la metàsuperiore da quella inferiore: qui vi mostrerò il metodo nel caso di 8 e 16 fette. All’aumentare del loro numero, le fette diventano sempre più simili a triangoli di altezza r, mentre secombiniamo i triangoli della metà in alto (immaginiamoli come stalattiti) con quelli della metà inbasso (le stalagmiti), otteniamo una figura molto simile a un rettangolo, con altezza r e base pari ametà della circonferenza, cioè πr. (Se volessimo farlo somigliare ancor più a un rettangolo invece chea un parallelogramma, potremmo tagliare a metà la stalattite all’estrema sinistra e spostarne unametà all’estrema destra.) Dal momento che il cerchio affettato diventa sempre più un rettangoloquando aumentiamo il numero di fette, il cerchio ha come area

bh = (πr)(r) = πr 2

Come previsto.

Una dimostrazione alternativa (pizza π?) che l’area è πr 2. Spesso occorre descrivere il grafico di un cerchio sul piano: per un cerchio di raggio r e centro in (0,0) usiamo l’equazione

x2 + y2 = r2

come illustrato nel grafico alla pagina seguente. Per vedere come ciò sia corretto, sia (x, y) un puntoqualsiasi del cerchio e disegniamo un triangolo rettangolo con i cateti x e y e l’ipotenusa r. Per ilTeorema di Pitagora, abbiamo immediatamente che x 2 + y 2 = r 2.

Un cerchio di raggio r centrato in (0, 0) ha come formula x 2 + y 2 = r 2 e area πr 2. Se r = 1, il cerchio si dice unitario. Se “tiriamo” il cerchio unitario di un fattore a nella direzioneorizzontale e di un fattore b in quella verticale otteniamo un’ellisse, come quella mostrata nel graficoqui sotto.

L’area di un’ellisse vale πab . L’ellisse così costruita ha per equazione

E la sua area vale πab , cosa che ha senso, poiché il cerchio unitario ha area π e la superficie è statadeformata di un fattore ab . Notate che quando a = b = r, abbiamo un cerchio di raggio r e la formulaper l’area πab dà correttamente πr 2. Adesso vi presento alcune proprietà divertenti delle ellissi. Create un’ellisse prendendo due puntineda disegno, uno spago e una matita: fissate le due puntine su un foglio di carta e legate le estremitàdello spago a ciascuna puntina, lasciandolo un po’ lasco; mettete la matita su un punto dello spagoe spingete in modo che lo spago formi un triangolo, come mostrato nella figura seguente; a questopunto muovete la matita intorno alle puntine, mantenendo lo spago sempre teso. Il disegno risultanteè un’ellisse.

Le posizioni delle puntine sono dette fuochi dell’ellisse e hanno la seguente proprietà magica. Seprendete una scatola a forma di ellisse e mettete una palla su uno dei fuochi, colpendo la palla inuna direzione qualsiasi, dopo aver rimbalzato sull’ellisse si dirigerà immediatamente verso l’altrofuoco.

I corpi celesti come i pianeti e le comete viaggiano intorno al Sole su traiettorie ellittiche, e… miscappa una rima:

Anche le eclissi, si organizzano in ellissi!

A parte Non esiste una formula semplice per la circonferenza di un’ellisse, sebbene il genio matematicoSrinivasa Ramanujan (1887-1920) abbia dimostrato un’approssimazione, secondo cui lacirconferenza dell’ellisse misura circa

Notate che nel caso in cui a = b = r, tutto finisce per ridursi a , che è la

circonferenza del cerchio.

Il numero π compare anche negli oggetti tridimensionali. Se consideriamo il cilindro, pensiamo auna lattina per bibite, con raggio r e altezza h, il volume (che misura lo spazio racchiuso dalla forma inquestione) sarà

Vcilindro = πr 2 h

La formula ha un certo senso, visto che possiamo pensare al cilindro come composto di cerchi diarea πr 2 impilati uno sull’altro (come una pila di frittelle rotonde) fino a un’altezza h. Quanto misura la superficie del cilindro? In altre parole, quanta vernice occorre per dipingernel’esterno, inclusi il sopra e il sotto? Non serve imparare la formula a memoria, basta dividere ilcilindro in tre parti: la parte superiore e quella inferiore hanno area πr 2, così danno un contributo 2πr 2

alla superficie. Per la parte che resta, tagliamola dall’alto al basso e srotoliamola, ottenendo unrettangolo di altezza h e base 2πr, che corrisponde alla circonferenza del cerchio circondato in originedal rettangolo. L’area di questi sarà 2πrh, mentre la superficie totale del cilindro misura

Acilindro = 2πr 2 + 2πrh

Una sfera è un oggetto tridimensionale in cui ogni punto si trova a distanza fissa dal centro.Calcoliamone il volume dato il raggio r: una sfera simile è contenuta da un cilindro di raggio r ealtezza 2r, così il volume sarà minore di πr 2(2r) = 2πr 3. Il fato e il calcolo differenziale vogliono che lasfera occupi esattamente due terzi di quello spazio, pertanto il suo volume vale

Vsfera = 4πr 3/3

L’area della superficie della sfera ha una formula semplice ma non facile da dimostrare:

Asfera = 4πr 2

E infine, concludiamo questa sezione con alcuni esempi in cui π appare nel gelato e nella pizza.Immaginiamo che un cono gelato abbia altezza h, mentre il cerchio in cima abbia raggio r. Sia s ladistanza tra il vertice del cono e un punto qualsiasi del cerchio superiore, detto apotema, come nellafigura seguente: dal Teorema di Pitagora, si calcola immediatamente che per l’apotema vale h 2 + r 2

figura seguente: dal Teorema di Pitagora, si calcola immediatamente che per l’apotema vale h 2 + r 2

= s 2.

Il cono ha volume πr 2 h/3 e area della superficie pari a πrs. Questo cono entra in un cilindro di raggio r e altezza h, pertanto non ci sorprende il fatto che il suovolume sia inferiore a πr 2 h. Invece è abbastanza inaspettato, anzi completamente contro-intuitivo senon si usa il calcolo differenziale, che il volume sia esattamente un terzo di quel numero. In altreparole,

Vcono = πr 2 h/3

Per quanto riguarda l’area della superficie, potremmo darne dimostrazione anche senza calcolodifferenziale, ma qui ne mostriamo soltanto la formula, data la sua eleganza e semplicità:

Acono = πrs

Per finire, consideriamo una pizza di raggio z e spessore a, come nella figura seguente. Quale sarà ilsuo volume?

Qual è il volume della pizza di raggio z e spessore a? Possiamo pensare alla pizza come a un cilindro dalla forma strana, con raggio z e altezza a, per cui ilvolume vale

V = πz 2 a

Ma in realtà la risposta era già sotto il nostro naso, visto che se leggiamo attentamente la formulaotteniamo:

V = pi zz a

π compare a sorpresa

Non ci sorprende più di tanto di trovare π nelle aree e circonferenze di oggetti circolari come quelliche abbiamo esaminato. Tuttavia, π compare in ambiti della matematica a cui non sembra affattoappartenere. Prendete per esempio la quantità n!, di cui abbiamo parlato nel Capitolo 4. Non c’è nulladi particolarmente… circolare in questo numero: è largamente usato nel calcolo combinatorio diquantità discrete, sappiamo che cresce davvero in fretta e che non esiste una scorciatoia efficace percalcolare n!. Per esempio, valutare 100.000! richiede migliaia di moltiplicazioni. Ciononostante,esiste un modo potente per stimare n!, noto come approssimazione di Stirling, che dice che

in cui e = 2,71828…, un altro importante numero irrazionale che scopriremo nel Capitolo 10. Uncomputer potrà calcolare alla quarta cifra significativa che 64! = 1,269 × 1089, mentre la formula di

Stirling dice che . (Ma c’è anche un trucchetto per elevareun numero alla 64-esima potenza, visto che 64 = 26: si comincia con 64/e, poi lo si eleva al quadrato

un numero alla 64-esima potenza, visto che 64 = 26: si comincia con 64/e, poi lo si eleva al quadrato

per sei volte.) La celebre curva a campana, rappresentata nella figura seguente, che compare in statistica e in tutte

le scienze sperimentali, ha come altezza . Ce ne occuperemo nel Capitolo 10.

L’altezza della curva a campana vale . Il numero π compare spesso anche nelle somme infinite. Leonhard Euler dimostrò per primo chesommando i quadrati dei reciproci degli interi positivi si ottiene

1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + … = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π 2/6

Mentre se quadriamo ogni addendo, la somma dei reciproci delle quarte potenze vale

1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + 1/625 + … = π 4/90

In effetti, esiste una formula per la somma di qualsiasi potenza pari 2k dei reciproci dei numeripositivi, che dà come risultato π 2k , moltiplicato per un numero razionale. Cosa possiamo dire delle potenze dispari dei reciproci? Nel Capitolo 12 mostreremo che la sommadei reciproci degli interi positivi vale infinito, mentre per potenze dispari maggiori di 1, come lasomma dei cubi, vale

1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + … = ???

La somma è finita, ma nessuno ha mai trovato una formula semplice per il risultato. Paradossalmente, π salta fuori anche nei problemi legati alla probabilità. Se scegliete a caso due

Paradossalmente, π salta fuori anche nei problemi legati alla probabilità. Se scegliete a caso due

numeri molto grandi, la probabilità che non abbiano fattori primi comuni è di poco inferiore al 60 percento, e per la precisione vale 6/π 2 = 0,6079… Non è affatto una coincidenza che sia il reciproco diuno dei risultati delle somme precedenti.

Cifre di π

Se facciamo le nostre misure con un po’ più di attenzione possiamo determinare a livellosperimentale che il valore di π è un po’ più grande di 3, ma a questo punto sorgono naturalmentedue questioni. Riusciamo a dimostrare che π è circa 3 senza misure fisiche? Esiste una frazione ouna formula semplice per il valore di π? Possiamo rispondere alla prima domanda disegnando un cerchio di raggio 1, che sappiamo averearea π12 = π. Nella figura alla pagina seguente abbiamo disegnato un quadrato con lato 2 checircoscrive completamente il cerchio. Dal momento che l’area del cerchio deve essere inferiore aquella del quadrato, allora π < 4.

Una dimostrazione geometrica che 3 < π < 4. D’altra parte, il cerchio a sua volta circoscrive un esagono i cui vertici sono 6 punti equispaziati sullacirconferenza. Qual è il suo perimetro? Possiamo dividere l’esagono in 6 triangoli, ognuno conl’angolo al centro di 360°/6 = 60°. Due lati di ogni triangolo sono raggi del cerchio (lunghi 1), quindi iltriangolo è isoscele. Per il Teorema dei triangoli isosceli, gli altri due angoli sono uguali e quindivalgono anche loro 60°. Quindi i triangoli sono tutti equilateri di lato 1, il perimetro dell’esagono vale 6e sarà minore della circonferenza, così 6 < 2π, ovvero π > 3. Se mettiamo insieme i due risultati,

3 < π < 4

A parte Possiamo restringere l’intervallo dei valori di π usando poligoni con un numero di lati maggiore: secircoscriviamo il cerchio unitario in un esagono invece che in un quadrato, possiamo dimostrare che

circoscriviamo il cerchio unitario in un esagono invece che in un quadrato, possiamo dimostrare che

…

Di nuovo, l’esagono si divide in sei triangoli equilateri, ognuno dei quali a sua volta si divide in duetriangoli rettangoli e congrui. Se il cateto corto vale x, l’ipotenusa vale 2x, inoltre per il Teorema diPitagora x 2 + 1 = (2x)2. Risolvendo per x, avremo che e di conseguenza il perimetro

dell’esagono sarà . Il perimetro è maggiore della circonferenza del cerchio 2π, così

. (Arriviamo alla stessa conclusione se confrontiamo l’area del cerchio con quella

dell’esagono.) Il grande matematico greco Archimede (287-212 a.C.) cominciò a usare poligoni inscritti e circoscrittifino a 12, 24, 48 e 96 lati, arrivando a 3,14103 < π < 3,14271, e alla disuguaglianza

Esistono diversi modi semplici per approssimare π con una frazione. Per esempio,

314/100 = 3,14 22/7 = 3,142857 355/113 = 3,14159292…

L’ultima frazione è particolarmente interessante: non solo calcola π fino alla sesta cifra decimale, mausa anche i primi tre numeri dispari due volte: due volte 1, due volte 3, due volte 5, nell’ordine! Naturalmente sarebbe importante trovare una frazione che potesse esprimere π in modo esatto (connumeratore e denominatore interi, altrimenti basterebbe dire che π = π/1). Nel 1768 Johann HeinrichLambert dimostrò che una ricerca simile sarebbe inutile, perché π è irrazionale. Tuttavia, riusciamo ascriverlo come radice quadrata o cubica di qualche numero semplice? Per esempio,

… davvero vicino. Tuttavia nel 1882 Ferdinand von Lindemann provò che π è più che semplicementeirrazionale: è un numero trascendente; ciò significa che π non è radice di alcun polinomio a

irrazionale: è un numero trascendente; ciò significa che π non è radice di alcun polinomio a

coefficienti interi. Per esempio, è irrazionale ma non trascendente, essendo la radice del

polinomio x 2 − 2. Sebbene π non possa essere rappresentato da una frazione, si può esprimere come somma oprodotto di frazioni, ma solo se ne usiamo infinite! Vedremo nel Capitolo 12 che

π = 4 (1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + …)

Questa formula è molto bella e allettante, tuttavia non è così pratica per il calcolo di π. Dopo 300termini, non siamo più vicini a π di quanto non lo sia 22/7. Un’altra formula intrigante è quella diWallis, in cui π è rappresentato da una serie infinita di prodotti, ma anche questa converge dopo moltifattori:

π = 4 (2/3 × 4/3 × 4/5 × 6/5 × 6/7 × 8/7 × 8/9 …) = 4 (1 − 1/9) (1 − 1/25) (1 − 1/49) (1 − 1/81) …

Celebrazioni di π (e di τ )

Le persone hanno una vera e propria passione per π, e proprio per questo è stato calcolato fino amiliardi di miliardi di cifre… ma in realtà è anche un ottimo modo per testare le capacità deicalcolatori. Certamente non ci servono tutte quelle cifre, anzi ne bastano appena 40 per misurare lacirconferenza dell’universo noto con la precisione del raggio di un singolo atomo di idrogeno! Il numero π ha tantissimi devoti, e molte persone celebrano il π day, il 14 marzo (3/14, nel mondoanglosassone), che per caso è anche il compleanno di Albert Einstein. Le celebrazioni del π daycomprendono torte a tema matematico, sia decorative sia da mangiare, costumi da Einstein e,naturalmente, sfide di memorizzazione di π. In genere gli studenti imparano a memoria decine di cifredi π e non è insolito che il vincitore sappia a menadito oltre 100 cifre. Per inciso, l’attuale recordmondiale di memorizzazione di π appartiene al cinese Chao Lu, che nel 2005 recitò il numero finoalla 67.890-esima cifra decimale! Secondo il Guinness dei primati, Lu si è allenato per quattro anniper arrivarci e ha impiegato poco più di 24 ore per recitare tutte le cifre. Ammirate le prime cento:

π = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375 105820974944592307816406286208998628034825342117067…

Nel corso degli anni le persone si sono inventate modi sempre più ingegnosi per memorizzare lecifre di π. Un metodo consiste nel creare frasi in cui la lunghezza di ogni parola corrisponde alle cifreche compongono il numero. Alcuni esempi piuttosto celebri sono “Ave o Roma o Madre gagliarda dilatine virtù”, che ci dà le prime 9 (3,14159265), oppure “Più o meno è forse Archimede il grande genioche trovò pensando soluzioni incerte”, che ci dà le prime 14. Un esempio ancora più stupefacente fu proposto nel 1995 da Mike Keith, che generò 740 cifre in unameravigliosa parodia del Corvo di Edgar Allan Poe. Il titolo e la prima strofa generano le prime 42cifre. Disturb ing, “disturbante” parola di 10 lettere nella strofa, genera lo 0.

Poe, E. Near a Raven

Midnights so dreary, tired and weary. Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore. During my rather long nap – the weirdest tap! An ominous vibrating sound disturbing my chamber’s antedoor. “This,” I whispered quietly, “I ignore.”

(Poe, E. vicino a un corvo \ Notti così cupe, faticose, sfinite \ In silenzio, rifletto sui suoni che celebranotradizioni già sorpassate \ Durante un sonno piuttosto lungo – il ticchettio più strano! \ Una vibrazionenefasta disturba la porta della mia camera \ “E questo”, sussurro piano, “lo ignoro”.)

Keith continuò a estendere il suo capolavoro, scrivendo la Cadaeic Cadenza, con le sue 3835 cifre:notate che se sostituite C con 3, A con 1, D con 4 e via dicendo… Cadaeic diventa 3141593. LaCadenza comincia con la parodia del Corvo, ma include commenti e parodie di altre poesie come ilJabberwocky di Lewis Carroll. Il lavoro più recente di Keith è il libro Not a Wake: A Dream Embodyingπ’s Digits Fully for 10.000 Decimals (controllate la lunghezza delle parole nel titolo del libro!). Il metodo della lunghezza delle parole per imparare a memoria π ha un problema significativo. Anchese si memorizzano frasi, poesie o storie, è difficile determinare all’istante il numero di lettere in ogniparola. A me piace molto dire “How I wish I could elucidate to others there are often superiormnemonics!” (“come mi piacerebbe spiegare agli altri che esistono spesso tecniche mnemonichesuperiori!”), per essere sicuro di ricordare le prime 13 cifre. La tecnica mnemonica per i numeri che preferisco è la cosiddetta conversione fonetica, che consistein un codice fonetico in cui ad ogni cifra corrispondono uno o più suoni di consonanti. Per laprecisione,

1 = t oppure d 2 = n oppure gn 3 = m 4 = r 5 = l oppure gl 6 = c, g (dolci), sh oppure j 7 = ch, gh (dure) oppure k 8 = f oppure v 9 = p oppure b 0 = s oppure z

Ci sono addirittura tecniche mnemoniche per memorizzare questo sistema mnemonico… Il mioamico Tony Marloshkovips propone i suggerimenti che seguono. La lettera t (o la d, foneticamentesimile) ha 1 gambetta; n ha 2 gambette; m ha 3 gambette; quattro ha r come ultima consonante;mostrando 5 dita, vedete una L tra l’indice e il pollice; un 6 ribaltato somiglia a j; due 7 possonoformare una k ; Fabrizio ha 8 lettere e inizia per f; rovesciando un 9 si ottengono p o b ; zero cominciaper z . Invece, se preferite, mettete in ordine tutte le consonanti, nascosto dietro TNMRLShKVPStroverete il mio amico (immaginario) Tony. Possiamo usare il codice per tradurre i numeri in parole aggiungendo vocali alle consonanticorrispondenti. Il numero 21, per esempio, che corrisponde a n e t (o gn e d), può essere trasposto in

corrispondenti. Il numero 21, per esempio, che corrisponde a n e t (o gn e d), può essere trasposto in

parole come

21 = noto, nata, nodo, Nadia

Notate che parole come notte sono accettabili, perché il suono t si presenta una volta sola(l’ortografia non conta). I suoni delle consonanti h, w, y e z non compaiono nella lista, pertantopossono essere usate liberamente come le vocali. Sebbene un numero possa essere rappresentatoda molte parole, una parola rappresenterà sempre un solo numero. Le prime tre cifre di π corrispondono alle consonanti m , t ed r, pertanto si possono rendere conparole come

314 = metro, motore, meteora, materia, madri, amatore

Le prime 6 cifre (314159) possono diventare “Amo te, o re talpa”. Se ci allarghiamo fino alle prime 24(314159265358979323846264) potremmo trasporre in

Amo te, o re talpa: nuoci, lima, lava buchi, piume, gnomi, vergini ceri

Mentre per le 17 cifre successive (33832795028841971) proporrei

Mamma, i vimini che belli! Se non vai via ridi, poi cadi

Mi piacciono le successive 19 cifre (6939937510582097494) che mi permettono di formare ancoraaltre parole:

Ciao, bye! Ma poi, poi Micol da sola vinse paccheri e purea

Le prossime 18 (459230781640628620) potrebbero regalare

Ragli piano e mi schivi, tu? Giro scene e faccio… non so!

Seguite dalle 22 cifre (8998628034825342117067)

Ve’ babbo! Vicini, vizio e amore fanno le mie rogne tutte! Che shock!

Così, con cinque sciocche frasi abbiamo codificato le prime cento cifre di π! La conversione fonetica è molto utile per memorizzare le date, i numeri di telefono, quelli delle cartedi credito. Provate, e con un po’ di pratica migliorerete enormemente la vostra capacità dimemorizzare numeri. I matematici sono tutti d’accordo sul fatto che π sia uno dei numeri più importanti della matematica,tuttavia, se pensate alle formule e alle applicazioni in cui compare, quasi sempre π è moltiplicato per2. Per rappresentare questa quantità è stata adottata la lettera greca τ (tau).

τ = 2π

Molti credono che, se si potesse tornare indietro nel tempo, la maggioranza delle formule

Molti credono che, se si potesse tornare indietro nel tempo, la maggioranza delle formule

matematiche e dei concetti della trigonometria sarebbero espressi in modo più semplice usando τinvece di π. Queste idee sono state esposte in modo elegante e divertente da Bob Palais (“π IsWrong!”) e Michael Hartl (“The Tau Manifesto”). Il punto cruciale del ragionamento è che i cerchi sidefiniscono in termini di raggio, per cui confrontando la circonferenza al raggio si ha che C/r = 2π = τ.Alcuni libri di testo oggi si definiscono “τ-conformi” per indicare che le formule saranno espresse siain funzione di π sia di τ. (Sebbene passare a questa costante non sia semplice come bere unbicchier d’acqua, molti studenti e insegnanti troveranno che τ è più facile di π.) Sarà interessante vedere cosa ne sarà di queste idee nel prossimo futuro. I sostenitori del τ (che sidefiniscono tauisti) credono sinceramente di essere nel giusto, ma sono tolleranti nei confronti dellavecchia notazione: amano dire che i tauisti non sono mai bigotti. Ecco per voi le prime cento cifre di τ. Ho inserito degli spazi per facilitare la conversione fonetica chesegue. Notate come τ cominci per 6 e 28, entrambi numeri perfetti, come spiegato nel Capitolo 6.Sarà una coincidenza? Certo! Ma in ogni caso è una divertente ciliegina sulla torta.

τ = 6,283185 30717958 64769252 867665 5900576 839433 8798750 211641949 8891846 15632812572417 99725606 9650684 234135…

Nel 2012, il tredicenne Ethan Brown ha stabilito il record mondiale memorizzando 2012 cifre di τ peruna raccolta fondi. Ha usato la conversione fonetica, ma invece di creare lunghe frasi si è inventatodelle immagini visive, ognuna contenente un soggetto, un’azione e un oggetto che subisce l’azione.Le prime sette cifre, 62 831 85, diventano “An ocean vomiting a waffle”. Ecco le sue immagini per le prime 100 cifre di τ.

An ocean vomiting a waffle A mask tugging on a bailiff A shark chopping nylon Fudge coaching a cello Elbows selling a couch Foam burying a mummy Fog paving glass A handout shredding a prop FIFA beautifying the Irish A doll shooing a minnow A photon looking neurotic A puppy acknowledging the sewage A peach losing its chauffeur Honey marrying oatmeal.

(Un oceano di irritanti sciocchezze \ Una maschera strattona l’ufficiale giudiziario \ Uno squalostrappa un filo di nylon \ Una crema pasticcera insegna il violoncello \ I gomiti vendono un sofà \ Laschiuma copre una mummia \ La nebbia pavimenta di vetro \ Un volantino fa a pezzi un’interascenografia \ La FIFA abbellisce l’Irlanda \ Una bambola scaccia una sanguinerola \ Un fotonesembra un po’ nevrotico \ Un cucciolo saluta la fogna \ Una pesca perde il suo autista \ Il miele sisposa con il porridge.)

Per rendere le immagini ancora più facili da ricordare, Brown ha adottato l’approccio del palazzo dellamemoria, immaginando di trovarsi a passeggiare nella sua scuola dove, in certi luoghi o indeterminate stanze, si trovano dai 3 ai 5 oggetti impegnati in azioni sciocche. Alla fine si creò 272immagini distribuite in più di 60 stanze; gli ci sono voluti quattro mesi per preparare la recita delle2012 cifre, che ha eseguito in 73 minuti. Concludiamo il capitolo con una celebrazione musicale di π. Ho scritto una specie di parodiaintitolata American Pi. Dovreste cantarla una volta sola, dal momento che π non è un numeroperiodico!

A long, long, time ago, I can still remember how my math class used to make me snore. ’Cause every number we would meet Would terminate or just repeat, But maybe there were numbers that did more. But then my teacher said, “I dare ya To try to find the circle’s area.” Despite my every action, I couldn’t find a fraction. I can’t remember if I cried, The more I tried or circumscribed, But something touched me deep inside The day I learned of pi! Pi, pi, mathematical pi, Twice eleven over seven is a mighty fine try. A good old fraction you may hope to supply, But the decimal expansion won’t die. Decimal expansion won’t die. Pi, pi, mathematical pi, 3.141592653589. A good old fraction you may hope to define But the decimal expansion won’t die!

(Un tempo molto, molto lontano \ Mi ricordo come la lezione di matematica mi facesse russare \Perché ogni numero che volevamo incontrare \ Aveva una fine o al massimo si ripeteva \ Magari peròc’erano numeri che valevano di più \ Alla fine l’insegnante mi disse: «Ti sfido \ A trovare l’area delcerchio» \ Nonostante tutti i miei tentativi \ Non riuscivo a trovare una frazione \ Non ricordo se hopianto \ Ma a furia di provare e di circoscrivere \ Qualcosa mi ha toccato nel profondo \ Il giorno in cuiho conosciuto pi! \ Pi, pi, matematico pi, \ Due volte undici su sette è un tentativo di gran precisione \Una cara vecchia frazione che sperereste di domare \ Purtroppo però non finisce l’espansionedecimale \ non finisce l’espansione decimale \ Pi, pi, matematico pi, \ 3,141592653589. \ Una caravecchia frazione che sperereste di definire \ Purtroppo però non finisce l’espansione decimale.)

Capitolo 9 La magia della trigonometria

20º = π / 9

Il nocciolo della trigonometria

La trigonometria ci permette di risolvere problemi cui la geometria classica non riesce a rispondere.Considerate per esempio la seguente questione. Problema: Usando solo goniometro e calcolatrice, determinate l’altezza di una montagna nellevicinanze. Vi descriverò cinque modi diversi di risolvere il problema; i primi tre non richiedono nessun tipo dimatematica! Metodo 1 (o della forza bruta): Salite in cima alla montagna e scagliate giù la calcolatrice (ci vuole unacerta forza!). Misurate il tempo che la calcolatrice impiega per toccare terra (o ascoltate l’urlodell’escursionista che avete centrato in pieno). Se la calcolatrice impiega t secondi, ignorando glieffetti di attrito dell’aria e della velocità di arrivo, le equazioni della fisica classica ci dicono chel’altezza sarà pari circa a 4,9t 2 metri. Lo svantaggio di questo approccio è che gli effetti di attritodell’aria e della velocità di arrivo possono essere importanti e il calcolo sarà impreciso. E poi, certo,non riavrete indietro la calcolatrice. Inoltre, serve qualcosa per misurare il tempo, e magari eraproprio sulla calcolatrice. Il vantaggio principale è che non dovete usare il goniometro. Metodo 2 (o del signore abbronzato): Trovate un guardaparco gentile e fatevi rivelare l’altezza dellamontagna dandogli in cambio il vostro goniometro nuovo fiammante. Se non trovate un guardaparco,rivolgetevi a un signore abbronzato che probabilmente ha passato sui monti molto tempo e magariconosce la risposta. Il vantaggio di questo metodo sono le nuove amicizie che vi permette di fare(inoltre non dovrete rinunciare alla vostra calcolatrice). E se comunque non vi fidate dei signoriabbronzati, potete continuare a salire la montagna e applicare il primo metodo. Lo svantaggio è cheavrete perso il vostro goniometro e potreste essere accusati di corruzione. Metodo 3 (legge dei segni): prima di provare i due precedenti metodi, guardatevi intorno, magari c’èun cartello che vi indica l’altezza della montagna. Il vantaggio in questo caso è che non dovreterinunciare a nessuno dei vostri strumenti. Ovviamente, se non siete rimasti particolarmente colpiti da questi metodi, dovremo ricorrere a unaqualche soluzione matematica, che è l’argomento di questo capitolo.

Trigonometria e triangoli

Trigonometria deriva dai termini greci trigonon e metria, e letteralmente significa “misura deitriangoli”. Partiamo dall’analisi di alcuni triangoli che possiamo considerare classici. Triangoli rettangoli isosceli. In un triangolo di questo tipo abbiamo un angolo di 90° e altri due angoli

Triangoli rettangoli isosceli. In un triangolo di questo tipo abbiamo un angolo di 90° e altri due angoli

uguali, che valgono pertanto 45° (infatti la somma deve dare 180°): li chiameremo triangoli 45-45-90.Se i cateti sono entrambi lunghi 1, allora per il Teorema di Pitagora l’ipotenusa vale .

Notate che tutti i triangoli rettangoli isosceli hanno queste proporzioni, , come nella figura

seguente.

In un triangolo 45-45-90, la lunghezza dei lati ha come proporzioni 1 : 1 : .

Triangoli 30-60-90. Un triangolo equilatero ha tutti i lati uguali e gli angoli di 60°. Se lo dividiamo indue parti congruenti, come nella figura alla pagina seguente, otteniamo due triangoli rettangoli conangoli 30°, 60° e 90°. Se i lati del triangolo equilatero sono lunghi 2, anche l’ipotenusa del triangolorettangolo avrà lunghezza 2, così il cateto minore sarà lungo 1. Per il Teorema di Pitagora, il cateto

lungo vale . Così, tutti i triangoli 30-60-90 hanno le stesse proporzioni,

(oppure, ancora meglio, . In particolare, se l’ipotenusa vale 1, allora i cateti valgono 1/2 e.

In un triangolo 30-60-90, i cateti sono proporzionali a .

A parte

Se gli interi a, b e c soddisfano la relazione a 2 + b 2 = c 2, diciamo che (a, b , c) è una terna pitagorica.La più piccola e semplice è (3, 4, 5), ma ne esistono infinite. Ovviamente potete moltiplicare i terminidella terna per un numero intero e ottenere (6, 8, 10) o (9, 12, 15) o (300, 400, 500), ma ci piacerebbevedere qualche esempio più interessante: eccovi pertanto un metodo brillante per creare ternepitagoriche. Scegliete due numeri positivi m ed n con m > n. Siano

a = m 2 − n 2 b = 2mn c = m 2 + n 2

Notate come a 2 + b 2 = (m 2 − n 2)2 + (2mn)2 = m 4 + 2m 2 n 2 + n 4, che è pari a (m 2 + n 2)2 = c 2, così (a,b , c) è una terna pitagorica. Per esempio, scegliendo m = 2 ed n = 1 si ottiene (3, 4, 5); (m , n) = (3, 2)dà (5, 12, 13); (m , n) = (4, 1) porta a (15, 8, 17); (m , n) = (10, 7) genera (51, 140, 149). Il fattoparticolarmente intrigante, dimostrato in qualsiasi libro di teoria dei numeri, è che questo metodo puòcreare tutte le terne pitagoriche. Tutta la trigonometria si basa su due funzioni fondamentali: il seno e il coseno. Dato un triangolo

ABC, come quello nella figura seguente, chiamiamo c l’ipotenusa mentre indichiamo con a e b i lati

opposti agli angoli ∠A e ∠B.

sin A = a/c = opp/ipo cos A = b /c = ipo/adi tan A = a/b = opp/adi

Per l’angolo A, necessariamente acuto in un triangolo rettangolo, si definisce il seno di ∠A, scritto sin

A, come

In modo analogo, il coseno di ∠A è

(Notate che qualsiasi triangolo rettangolo con un angolo A è simile al triangolo originale e avrà lati inproporzione, così il seno e il coseno di A non dipenderanno dalla grandezza del triangolo.)

Dopo il seno e il coseno, la funzione più usata in trigonometria è la tangente di ∠A, definita come

Pertanto, riferendoci al triangolo rettangolo:

Ci sono molti metodi per ricordarsi le formule di seno, coseno e tangente, per esempio memorizzareSOI, CAI e TOA, acronimi delle varie combinazioni seno/opposto/ipotenusa,coseno/adiacente/ipotenusa e tangente/opposto/adiacente. Per esempio, nel triangolo 3-4-5 nella figura seguente, abbiamo

sin A = 3/5 cos A = 4/5 tan A = 3/4

Vediamo ora cosa succede per l’angolo ∠B dello stesso triangolo. Se ne calcoliamo il seno e il

coseno vediamo che

sin B = 4/5 = cos A cos B = 3/5 = sin A

Sin B = cos A e cos B = sin A: non è una coincidenza, perché per ogni angolo acuto ∠A, l’altro angolo

acuto scambierà i cateti tra opposto e adiacente, mantenendo però la stessa ipotenusa. Siccome ∠A

acuto scambierà i cateti tra opposto e adiacente, mantenendo però la stessa ipotenusa. Siccome ∠A

+ ∠B = 90°, per ogni angolo acuto avremo che

sin(90° − A) = cos A cos(90° − A) = sin A

Così, per esempio, se un triangolo rettangolo ABC ha ∠A = 40°, per il suo complementare ∠B = 50°

vale che sin 50° = cos 40° e cos 50° = sin 40°. In altre parole, il complementare del seno è il coseno,da cui in effetti deriva il termine coseno. Ci sono altre tre funzioni che bisogna per forza conoscere, anche se sono molto meno usate rispettoalle precedenti: la secante, la cosecante e la cotangente, definite come segue:

Potete verificare con facilità che le “co”-funzioni hanno le stesse relazioni di complementarietà diquelle di seno e coseno: per un angolo acuto di un triangolo rettangolo, sec(90° − A) = csc A etan(90° − A) = cot A. Una volta che abbiate imparato a calcolare il seno di un angolo, si usano le proprietà dicomplemento per determinarne il coseno, e quindi la tangente e i valori delle altre funzioni. Ma comesi fa a trovare il seno di un angolo, per esempio di 40°? Il modo più semplice è usare la calcolatrice:se la mettete in modalità gradi, vi dirà che sin 40° = 0,642… Ma come fa questo calcolo? Loscopriremo alla fine del capitolo. In realtà, ci sono una manciata di valori trigonometrici che dovreste conoscere senza ricorrere allacalcolatrice. Se vi ricordate, abbiamo visto che i triangoli 30-60-90 hanno i lati in proporzione

. Di conseguenza,

sin 30° = 1/2 sin 60° =

e

cos 30° = cos 60° = 1/2

Invece, dal momento che i triangoli 45-45-90 hanno i lati in proporzione , si ha

sin 45° = cos 45° = 1/ = /2

Visto che tan , secondo me non serve imparare a memoria i valori della tangente, fatta

forse eccezione per tan 45° = 1 e per il fatto che tan 90° non è definita, dal momento che cos 90° = 0. Prima di calcolare l’altezza della montagna usando la trigonometria, cominciamo con un problemapiù semplice: l’altezza di un albero. Supponiamo di trovarci a 10 metri da un albero e che l’angolo che

più semplice: l’altezza di un albero. Supponiamo di trovarci a 10 metri da un albero e che l’angolo che

si forma con la cima dell’albero sia 50°, come mostrato nella figura alla pagina seguente (aproposito: molti smartphone hanno una app per la misura degli angoli, ma ci si può costruire unmisuratore di angolo, detto clinometro, anche con mezzi rudimentali, usando un goniometro, unacannuccia e una graffetta.) Sia h l’altezza dell’albero: ne segue che tan 50° = h/10, per cui h = 10 tan 50° che usando lacalcolatrice vale 10(1,19…) ≈ 11,9, quindi l’albero è alto 11,9 m.

Quanto è alto l’albero? Ora siamo pronti a calcolare l’altezza della montagna con il primo metodo matematico. Il problema èche non conosciamo la distanza dal centro della montagna. Abbiamo due incognite, l’altezza dellamontagna e la sua distanza da noi, pertanto occorre ricavare queste due informazioni. Supponiamodi misurare l’angolo tra la nostra posizione e la cima della montagna, che vale per esempio 40°, perpoi spostarci di 400 metri più lontani e rimisurare l’angolo, che ora vale 32°, come nella figuraseguente. Usiamo questo tipo di informazione per una misura approssimativa dell’altezza. Metodo 4 (metodo delle tangenti): Sia h l’altezza della montagna, e x la distanza iniziale, ossia lalunghezza di CD . Consideriamo il triangolo rettangolo BCD: usando il valore di tan 40° ≈ 0,839,avremo tan 40° ≈ 0,839 = h/x, da cui h = 0,839x. Dal triangolo ABC si ha che tan 32° ≈ 0,625 =

e quindi h = 0,625(x + 400) = 0,625x + 250.

Eguagliando h in entrambe le espressioni otteniamo

0,839x = 0,625x + 250

Che ha soluzione x = 250/(0,214) ≈ 1168. Di conseguenza, h vale circa 0,839(1168) = 980. Lamontagna è alta circa 980 metri.

Trigonometria e cerchi

Finora abbiamo definito le funzioni trigonometriche in termini di triangoli rettangoli, e vi invito afamiliarizzare profondamente con quelle definizioni. Tuttavia hanno lo svantaggio di essere limitateagli angoli compresi tra 0° e 90°, dal momento che un triangolo rettangolo avrà sempre un angolo di90° e due angoli acuti. In questo paragrafo definiremo le funzioni geometriche con il cerchio unitario,che ci consentirà di determinare il seno, il coseno e la tangente di un angolo qualsiasi. Come abbiamo visto nel capitolo precedente, il cerchio unitario ha raggio 1, è centrato in (0, 0) e hacome equazione x 2 + y 2 = 1, dimostrata usando il Teorema di Pitagora. Supponiamo di volerdeterminare il punto (x, y) sul cerchio unitario che corrisponde all’angolo acuto A, misurato in sensoantiorario dal punto (1, 0), come nella figura seguente.

Il punto (x, y) sul cerchio unitario corrispondente all’angolo A ha x = cos A e y = sin A. Possiamo calcolare x e y disegnando un triangolo rettangolo e applicando le formule del seno e delcoseno, per cui

e

In altre parole, il punto (x, y) sarà pari a (cos A, sin A), mentre più in generale, in un cerchio di raggior, (x, y) = (r cos A, r sin A). Per un angolo A qualsiasi, generalizziamo il concetto definendo (cos A, sin A) come il punto sulcerchio unitario identificato da un angolo A; in altri termini, cos A è la coordinata x e sin A è lacoordinata y del punto sul cerchio che forma un angolo A. Ecco la visione d’insieme.

Definizione generale di cos A e sin A. Nella figura successiva, abbiamo diviso il cerchio in angoli crescenti a passi di 30°, aggiungendo percomodità anche i multipli di 45°. Tutti questi angoli corrispondono ai triangoli speciali che abbiamoincontrato in precedenza. A questo punto, ecco un elenco dei valori del coseno e del seno per gliangoli 0°, 30°, 45°, 60° e 90°.

Vedremo che i multipli di questi angoli si calcolano per riflessione geometrica dal primo quadrante.

Dal momento che sommando o sottraendo 360° a un angolo non cambia la sua posizione, poiché lospostiamo di un giro completo, avremo che

sin(A ± 360°) = sin A cos(A ± 360°) = cos A

Un angolo negativo si muove in senso orario: per esempio, l’angolo −30° è uguale a 330°. Notiamoche se A si muove in senso orario, la coordinata x è la stessa di quando si muove in sensoantiorario, mentre la y ha segno opposto. Per un angolo qualsiasi,

cos(− A) = cos A sin(− A) = −sin A

Per esempio,

cos(−30°) = cos 30° = /2 sin(−30°) = −sin 30° = −1/2

Se riflettiamo l’angolo A rispetto all’asse y si ottiene l’angolo supplementare 180° − A, che mantieneimmutata la coordinata y, mentre cambia il segno di quella x:

cos(180° − A) = −cos A sin(180° − A) = sin A

Prendiamo A = 30°:

cos 150° = −cos 30° = − /2 sin 150° = sin 30° = 1/2

Si definiscono le altre funzioni trigonometriche come in precedenza, così per esempio .

Gli assi x e y dividono il piano in quattro quadranti: il primo contiene gli angoli tra 0° e 90°; il secondoquelli tra 90° e 180°; il terzo va da 180° a 270°; il quarto quelli da 270° a 360°. Notiamo come il senosia positivo nei quadranti I e II, mentre il coseno lo è nel I e nel IV, così la tangente sarà positiva neiquadranti I e III. Infine, l’ultima parte di nomenclatura che è utile conoscere riguarda le funzioni trigonometricheinverse, utili per calcolare angoli sconosciuti. Per esempio, l’inverso del seno di 1/2, scritto con sin−1(1/2), indica l’angolo A per il quale sin A = 1/2. Sapendo che sin 30° = 1/2, allora

sin −1(1/2) = 30°

La funzione sin −1, detta anche arcoseno, dà sempre come risultato un angolo compreso tra −90° e90°, ma bisogna prestare attenzione al fatto che fuori da questo intervallo ci sono angoli diversi chehanno lo stesso valore del seno, come sin 150° = 1/2, così come qualsiasi multiplo di 360° più 30° o150°. Se consideriamo il triangolo 3-4-5 nella figura seguente, la calcolatrice ci dà il valore dell’angolo Agrazie alle funzioni trigonometriche inverse:

∠A = sin −1 (3/5) = cos −1 (4/5) = tan −1 (3/4) ≈ 36,87° ≈ 37°

Le funzioni trigonometriche inverse valutano gli angoli a partire dalla lunghezza dei lati. Qui,

essendo tan A = 3/4, ∠A = tan −1(3/4) ≈ 37°.

E ora, cominciamo a usare le funzioni trigonometriche: in geometria il Teorema di Pitagora calcola lalunghezza dell’ipotenusa noti i cateti, mentre in trigonometria abbiamo un calcolo simile per un

lunghezza dell’ipotenusa noti i cateti, mentre in trigonometria abbiamo un calcolo simile per un

triangolo qualsiasi usando le leggi del seno e del coseno.

Teorema (legge dei coseni): Dato un triangolo ABC qualsiasi, in cui i lati a e b formano l’angolo ∠C, il

terzo lato c vale

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

Per esempio, nel triangolo ABC nella figura seguente abbiamo i lati lunghi 21 e 26 con un angolo di15° tra loro, pertanto il lato c sarà lungo

c 2 = 212 + 262 − 2(21)(26) cos 15°

e poiché cos 15° ≈ 0,9659, l’equazione si riduce a c 2 = 62,21, e quindi c ≈ 7,89.

A parte

Dimostrazione: Per provare la legge dei coseni, consideriamo i tre casi in cui ∠C è retto, acuto

oppure ottuso. Se ∠C è retto, allora cos C = cos 90° = 0, così la legge dei coseni si riduce a c 2 = a 2 +

b 2, che è vero per il teorema di Pitagora.

Se ∠C è acuto, come nella figura, disegniamo la perpendicolare da B ad AC , che interseca il lato in

D; il triangolo ABC si divide così in due triangoli rettangoli, per cui, applicando Pitagora a CBD,

D; il triangolo ABC si divide così in due triangoli rettangoli, per cui, applicando Pitagora a CBD,

abbiamo che a 2 = h 2 + x 2, e quindi

h 2 = a 2 − x 2

Da ABD, abbiamo che c 2 = h 2 + (b − x)2 = h 2 + b 2 − 2bx + x 2, per cui

h 2 = c 2 − b 2 + 2bx − x 2

Eguagliando i due valori di h 2 otteniamo

c 2 − b 2 + 2bx − x 2 = a 2 − x 2

così

c 2 = a 2 + b 2 − 2bx

Dal triangolo CBD, si vede che cos C = x/a, e quindi x = a cos C. Pertanto se ∠C è acuto,

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

Se ∠C è ottuso, possiamo creare il triangolo rettangolo CBD esterno al triangolo, come mostrato

nella figura seguente.

Applicando il Teorema di Pitagora ai triangoli CBD e ABD, a 2 = h 2 + x 2 e c 2 = h 2 + (b + x)2. Stavolta,eguagliando i valori di h 2, si ha che

c 2 = a 2 + b 2 + 2bx

Il triangolo CBD mostra che cos(180° − C) = x/a, e quindi x = a cos(180° − C) = − a cos C. Ancora unavolta, si ottiene l’equazione

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

A proposito: per calcolare l’area del triangolo di prima, abbiamo a disposizione anche una formulamolto elegante.

Corollario: Per qualsiasi triangolo ABC, con angolo ∠C compreso tra i lati a e b ,

A parte Dimostrazione: L’area di un triangolo di base b e altezza h vale . In tutti e tre i casi della

dimostrazione della legge dei coseni, il triangolo ha base b e occorre invece determinarne h. Nelcaso di acutangolo, sin C = h/a, così h = a sin C. Nell’ottusangolo, sin(180° − C) = h/a, quindi h = asin(180° − C) = a sin C, come prima. Infine, per l’angolo retto, h = a, pari ad a sin C, visto che C = 90°e sin 90° = 1. Pertanto, h = a sin C in tutti i casi e l’area vale sin C/2, come voluto.

Come conseguenza di questo corollario notiamo che

E quindi

In altre parole, nel triangolo ABC, (sin C)/c è il doppio dell’area di ABC diviso il prodotto dellelunghezze dei lati. Dal momento che non c’era nessuna richiesta particolare sull’angolo C, si ottienela stessa formula per (sin B)/b o (sin A)/a e di conseguenza, abbiamo appena dimostrato l’utilissimoteorema che segue. Teorema (legge dei seni): In ogni triangolo ABC, con lati a, b , e c,

Ossia

Ora applicheremo la legge dei seni per calcolare l’altezza della montagna in diversi modi.Concentriamoci su a, la distanza tra noi e la cima, come mostrato nella figura seguente.

Il calcolo dell’altezza della montagna con la legge dei seni.

Metodo 5 (legge dei seni): Nel triangolo ABD, ∠BAD = 32°, ∠BDA = 180° − 40° = 140°, quindi ∠ABD =

8°. Applicando la legge dei seni a questo triangolo, abbiamo che

Moltiplicando entrambi i membri per sin 32°, otteniamo il seguente risultato: a = 400 sin 32°/sin8° ≈1523 m. Dopodiché, visto che sin 40° ≈ 0,643 = h/a, ne consegue che

h = a sin 40° ≈ (3808)(0,643) = 979

così la montagna è alta circa 979 metri, coerentemente con la soluzione precedente.

A parte Eccovi un’altra formula che vale la pena conoscere, detta anche formula di Erone, che esprime l’areadi un triangolo in funzione della lunghezza dei lati a, b e c. La formula risulta immediata una voltacalcolato il semiperimetro

La formula di Erone dice che l’area del triangolo con lati a, b e c vale

Per esempio, un triangolo, con lati 3, 14 e 15 (le prime cinque cifre di π), avrà s = (3 + 14 + 15)/2 = 16e quindi la sua area vale 16(16 − 3)(16 − 14)(16 − 15) = ≈ 20,4.

La formula di Erone si dimostra con il Teorema dei coseni e un po’ di algebra.

Identità trigonometriche

Le funzioni trigonometriche soddisfano molte relazioni interessanti, dette identità. Ne abbiamo giàincontrate alcune, come

sin(− A) = − sin A cos(− A) = cos A

ma ce ne sono altre che portano a formule molto utili, che ora vedremo. La prima identità derivadall’equazione del cerchio unitario:

x 2 + y 2 = 1

Dal momento che il punto (cos A, sin A) appartiene al cerchio unitario, deve soddisfarne l’equazionee quindi (cos A)2 + (sin A)2 = 1, che descrive l’identità forse più importante di tutta la trigonometria. Teorema: Per qualsiasi angolo A,

cos2 A + sin2 A = 1

Finora abbiamo usato la lettera A per indicare un angolo qualsiasi, ma in genere l’identità si esprimein questa forma, con x:

cos2 x + sin2 x = 1

La lettera greca θ (theta) è un’altra scelta molto popolare:

cos2 θ + sin2 θ = 1

Altre volte, ci si riferisce semplicemente all’identità senza lettera alcuna, per abbreviare:

cos2 + sin2 = 1

Prima di passare ad altre identità, applichiamo il Teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza di unsegmento, che sarà anche un elemento chiave per la dimostrazione dell’identità fondamentale. Teorema (formula della distanza): Sia L la lunghezza di un segmento di estremi (x 1, y 1) e (x 2, y 2).Allora

Per esempio, la lunghezza del segmento tra (−2, 3) e (5, 8) sarà.

Dal Teorema di Pitagora, L 2 = (x 2 − x 1)2 + (y 2 − y 1)2. Dimostrazione: Consideriamo due punti (x 1, y 1) e (x 2, y 2) come nella figura qui sopra. Disegniamoun triangolo rettangolo in modo che il segmento ne sia l’ipotenusa: nella nostra figura, la lunghezzadella base vale x 2 − x 1 e l’altezza y 2 − y 1. Pertanto, per il Teorema di Pitagora, l’ipotenusa L soddisfa

L 2 = (x 2 − x 1)2 + (y 2 − y 1)2

E quindi come voluto.

Notate che la formula funziona anche se x 2 < x 1 o y 2 < y 1. Per esempio, se x 1 = 5 e x 2 = 1, ladistanza tra x 1 e x 2 vale 4, infatti anche se x 2 − x 1 = −4, il quadrato del numero fa 16, che è tutto ciòche importa.

A parte Se consideriamo una scatola con dimensioni a × b × c, quanto è lunga la diagonale? Siano O e P ipunti diagonalmente opposti sulla base della scatola. La base è un rettangolo a × b , pertanto la

diagonale OP è lunga .

Se ci alziamo di una distanza c da P, arriviamo al punto Q, che si trova nell’angolo opposto a O. Per

trovare la distanza tra O e Q, notiamo che il triangolo OPQ è rettangolo, con cateti lunghi e c. Pertanto, usando Pitagora, la diagonale OQ è lunga

Siamo ora pronti a dimostrare un’identità trigonometrica tanto elegante quanto utile. Ladimostrazione del teorema è un po’ intricata, per cui sentitevi liberi di saltarla, ma la buona notizia èche una volta dimostrata, da essa derivano immediatamente diverse altre identità. Teorema: Presi due angoli A e B qualsiasi,

cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B

Dimostrazione: Sia P il punto (cos A, sin A) e Q il punto (cos B, sin B) sul cerchio unitario centrato inO, come nella figura seguente. Supponiamo di chiamare c la lunghezza di PQ . Cosa possiamo diresu c?

Si può usare questo grafico per dimostrare che cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B.

Nel triangolo OPQ, sia OP sia OQ sono raggi del cerchio unitario, per cui sono lunghi 1, mentre

l’angolo ∠POQ tra loro misura A − B. Pertanto, usando la legge dei coseni

c 2 = 12 + 12 − 2(1)(1) cos(A − B) = 2 − 2 cos(A − B)

D’altra parte, con la formula della distanza:

c 2 = (x 2 − x 1)2 + (y 2 − y 1)2

In questo modo la distanza c tra i punti P = (cos A, sin A) e Q = (cos B, sin B) soddisfa la relazione

c 2 = (cos B − cos A)2 + (sin B − sin A)2 = cos2 B − 2 cos A cos B + cos2 A + sin2 B − 2 sin A sin B + sin2 A = 2 − 2 cos A cos B − 2 sin A sin B

Dove nell’ultima riga abbiamo usato cos2 B + sin2 B = 1 e cos2 A + sin2 A = 1. Eguagliano le due espressioni per c 2 abbiamo:

2 − 2 cos(A − B) = 2 − 2 cos A cos B − 2 sin A sin B

Se sottraiamo 2 da entrambi i lati, e dividiamo per −2, otteniamo

cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B

A parte La dimostrazione della formula per cos(A − B) si basa sulla legge dei coseni e assume che 0° < A −B < 180°, tuttavia è possibile provare il teorema anche senza queste ipotesi. Se ruotiamo il triangoloPOQ di prima di B gradi in senso orario, si ottiene un triangolo congruente POQ in cui Q si trovasull’asse x nel punto (1, 0).

Dal momento che ∠P’OQ’ = A − B, si ha che P’ = (cos(A − B), sin(A − B)). Applicando la formula della

distanza a P’Q’, avremo che

c 2 = (cos(A − B) − 1)2 + (sin(A − B) − 0)2 = cos2 (A − B) − 2 cos(A − B) + 1 + sin2(A − B)= 2 − 2 cos(A − B)

Ne concludiamo che c 2 = 2 − 2 cos(A − B) senza l’uso della legge dei coseni né facendo ipotesialcuna sull’angolo A − B. Il resto della dimostrazione continua come prima. Notate che quando A = 90°, la formula cos(A − B) dice che

cos (90° − B) = cos 90° cos B + sin 90° sin B = sin B

Dal momento che cos 90° = 0 e sin 90° = 1. Se rimpiazziamo B con 90° − B nell’equazioneprecedente, si ottiene

cos B = cos 90° cos (90° − B) + sin 90° sin (90° − B) = sin (90° − B)

In precedenza, abbiamo visto che queste due ultime relazioni erano vere con ∠B acuto, ora invece è

provato che valgono con un ∠B qualsiasi. Allo stesso modo, sostituendo B con − B nel teorema cos(A

− B) si ha che

cos (A + B) = cos A cos (− B) + sin A sin (− B) = cos A cos B − sin A sin B

Dal momento che cos(− B) = cos B e sin(− B) = −sin B. Quando B = A, si deduce la formula diduplicazione:

cos(2A) = cos2 A − sin2 A

E siccome cos2 A = 1 − sin2 A e sin2 A = 1 − cos2 A, si ottiene anche che

cos(2A) = 1 − 2 sin2 A e cos(2A) = 2 cos2 A − 1

Partendo da queste relazioni sul coseno, si possono ricavare identità analoghe per il seno. Peresempio

Ponendo B = A si deduce la formula di duplicazione per il seno

sin(2A) = 2 sin A cos A

Oppure, se sostituiamo B con − B, avremo

sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B

Riassumiamo ora alcune delle identità finora illustrate.

Teorema di Pitagora: cos2 A + sin2 A = 1

Angoli negativi: cos(− A) = cos(360° − A) = cos A

sin(− A) = sin(360° − A) = − sin A

Angoli supplementari: cos(180° − A) = − cos(A)

sin(180° − A) = sin(A)

Angoli complementari: cos(90° − A) = sin(A)

sin(90° − A) = cos(A)

Coseno della differenza: cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B

Coseno della somma: cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B

Seno della somma: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

Seno della differenza: sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B

Formule di duplicazione: cos(2A) = cos2 A − sin2 A

cos(2A) = 1 − 2 sin2 A

cos(2A) = 2 cos2 A − 1

sin(2A) = 2 sin A cos A

Per un triangolo A B C: Area = ab sin C

Legge dei coseni: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

Legge dei seni:

Alcune identità trigonometriche utili.

Ancora una volta insisto sul fatto che, pur avendo scritto le identità rispetto agli angoli A e B, non c’ènulla di particolare in queste lettere. Potrete trovarle con altri angoli, come cos(2u) = cos2 u − sin2 uoppure sin(2θ) = 2 sin θ cos θ.

Radianti e grafici trigonometrici

Finora, discutendo di geometria e trigonometria abbiamo sempre assegnato agli angoli un valorecompreso tra 0 e 360 gradi; tuttavia, se consideriamo il cerchio unitario, non troviamo alcunaparticolarità nel numero 360. Quel numero è stato scelto dagli antichi babilonesi, probabilmenteperché usavano un sistema di numerazione in base 60 e perché è approssimativamente il numero digiorni di un anno. Invece, per la maggior parte delle aree scientifiche e matematiche, è preferibilemisurare gli angoli usando i radianti, secondo la definizione

2π radianti = 360°

O l’equivalente

1 radiante = 180°/π

Oppure, per i tauisti, che amano τ = 2π

1 radiante = 360°/2π = 360°/τ

Da un punto di vista numerico, un radiante vale circa 57°. I radianti sono più naturali dei gradi, infatti inun cerchio di raggio r, un angolo di 2π radianti sottende la circonferenza del cerchio pari a 2πr. Seinvece consideriamo una frazione di questo angolo, l’arco sotteso sarà lungo 2πr per la frazione. Inparticolare, un radiante sottenderà un arco di lunghezza 2πr(1/2π) = r, mentre m radiantisottenderanno un arco di lunghezza mr. E in conclusione, sul cerchio unitario un angolo in radiantisottende un arco di lunghezza uguale. Conveniente!

Un cerchio ha 2π radianti. Di seguito trovate il cerchio unitario con gli angoli principali espressi in radianti.

Ed ecco una versione con τ, per confronto.

Osservando i grafici forse capirete perché alcuni matematici preferiscono τ a π. Per un angolo di 90°,che è un quarto di giro, la misura in radianti è τ/4. Per 120°, che corrispondono a un terzo di giro,l’angolo in radianti è τ/3. τ misura il numero di giri: 360° è un giro e misura τ radianti; 60° è un sesto digiro e misura τ/6. Vedremo in seguito che le formule per il calcolo delle funzioni trigonometriche sono molto piùeleganti e chiare se si usano i radianti invece dei gradi. Per esempio, possiamo calcolare seni ecoseni con “serie infinite di polinomi”, con le formule

sin x = x − x 3/3! + x 5/5! − x 7/7! + x 9/9! − … cos x = 1 − x 2/2! + x 4/4! − x 6/6! + x 8/8! − …

Tuttavia queste formule funzionano solo se espresse in radianti. Allo stesso modo, nel calcolodifferenziale, vedremo come la derivata di sin x valga cos x solo se x è in radianti. I grafici dellefunzioni y = sin x e y = cos x sono spesso disegnati con x misurato in radianti.

Grafici per sin x e cos x, con la variabile x espressa in radianti. Seni e coseni hanno una natura circolare, e quindi i loro grafici si ripetono ogni 2π. (Un altro punto afavore dei tauisti!) Ciò ha chiaramente senso, dal momento che l’angolo x + 2π è uguale all’angolo x.Si dice pertanto che grafici simili hanno periodo 2π. Inoltre, se spostate il grafico del coseno a destradi π/2 unità, andrà a coincidere perfettamente con quello del seno, dal momento che π/2 radiantiequivale a 90°, e quindi

sin x = cos(π/2 − x) = cos(x − π/2)

Per esempio, sin 0 = 0 = cos(− π/2) e sin π/2 = 1 = cos 0. Dal momento che , quando cos x = 0 (ovvero ogni multiplo di π), la funzione tangente non

è definita. Il grafico della tangente, in figura, ha periodo π.

Il grafico di y = tan x. Si possono combinare funzioni di seno e coseno per creare praticamente tutte le funzioni che hannoun andamento periodico: ecco perché le funzioni trigonometriche sono fondamentali nei modelli deifenomeni stagionali come la temperatura, o dei dati economici, o di fenomeni fisici come il suono ele onde del mare, l’elettricità o ancora il battito del cuore. Concludiamo con una connessione magica fra trigonometria e π. Su una calcolatrice, digitate ilmaggior numero possibile di 5. La mia permette di arrivare a 5.555.555.555.555.555. Ora prendeteneil reciproco: sulla mia calcolatrice, si ottiene

1/5.555.555.555.555.555 = 1,8 × 10 −16

A questo punto, premete il tasto sin (in modalità gradi) e guardate le prime cifre (ignorate qualsiasi 0iniziale compaia): il mio display riporta

3,1415926535898 × 10 −18

Si tratta proprio delle cifre di π, e di parecchie! Avrete gli stessi risultati se cominciate con qualsiasinumero composto di 5, che sia maggiore di 5. In questo capitolo abbiamo mostrato come la trigonometria ci aiuti a capire meglio triangoli e cerchi.Le funzioni trigonometriche interagiscono in molti modi affascinanti e sono connesse intimamentecon π. Nel prossimo capitolo vedremo che sono legate anche ad altri due numeri fondamentali, ilnumero irrazionale e = 2,71828… e l’unità immaginaria i.

Capitolo 10 La magia di e ed i

e iπ + 1 = 0

La più bella tra le formule matematiche

Periodicamente i giornali di scienze e matematica propongono ai lettori un sondaggio per sceglierel’equazione matematica più bella. In cima alla lista si presenta immancabile questa formula,attribuita a Leonhard Euler:

eiπ + 1 = 0

Qualcuno la chiama “Equazione di Dio”, magari perché usa i cinque numeri più importanti dellamatematica: 0 e 1, i pilastri dell’aritmetica; π, il numero più importante della geometria; e, il numerofondamentale del calcolo differenziale; e infine i, probabilmente il numero più importante dell’algebra.Inoltre, fatto ancora più notevole, sono presenti le operazioni fondamentali di addizione,moltiplicazione ed esponenziazione. Abbiamo quasi certamente una buona idea del significato di 0, 1e π, mentre in questo capitolo ci occuperemo del numero irrazionale e e dell’unità immaginaria i, inmodo da trasformare la nostra formula in una relazione quasi ovvia, a livello di 1 + 1 = 2, o almeno dicos 180° = −1.

A parte Eccovi alcune tra le altre equazioni matematiche che si contendono puntualmente il titolo diequazione più bella della matematica. Quasi tutte compaiono nel libro e alcune sono già statepresentate, altre lo saranno. Anche le prime due sono state scoperte da Leonhard Euler.

1. In tutti i poliedri, che sono solidi composti da facce piatte, spigoli dritti e angoli appuntiti dettivertici, indicati con V il numero di vertici, con E quello dei lati e con F il numero delle facce, allora:

V − E + F = 2

Per esempio, un cubo ha 8 vertici, 12 lati, 6 facce per cui soddisfa la relazione V − E + F = 8 − 12 +6 = 2.

2. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + … = π 2/6

3. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … = ∞

4. 0,99999… = 1

5. L’approssimazione di Stirling per n!:

6. La formula di Binet per l’n-esimo numero di Fibonacci:

L’unità immaginaria i: la radice quadrata di −1

Il numero i ha la proprietà misteriosa per cui

i 2 = −1

Quando le persone la vedono per la prima volta, tendono a credere che sia impossibile. Come puòessere negativo un numero moltiplicato per se stesso? Dopo tutto 02 = 0, mentre un numeromoltiplicato per se stesso deve essere positivo. Tuttavia, prima di abbandonare completamentel’idea, pensate a questo: è molto probabile che, in un momento passato della vostra vita, siate staticonvinti dell’impossibilità dei numeri negativi, cosa di cui i matematici sono stati convinti per secoli…Che cosa significa per un numero essere minore di 0? Come potrebbe qualcosa essere meno dinulla? Alla fine, siete arrivati a vedere i numeri reali su una retta che ci mostra due versi opposti, inumeri positivi a destra dello 0 e quelli negativi a sinistra. In modo simile, per apprezzare i dobbiamouscire dalla linea retta dei numeri reali: una volta fatto ciò, tutto acquista un significato.

La retta dei reali non contiene numeri immaginari. Dove si nascondono? Chiamiamo i un numero immaginario, ossia un numero che quadrato dà un numero negativo. Peresempio, il numero immaginario 2i soddisfa (2i)(2i) = 4i 2 = −4. L’algebra dei numeri immaginarifunziona come quella dei reali. Pertanto,

3i + 2i = 5i, 3i − 2i = 1i = i, 2i − 3i = −1i = − i

e

3i × 2i = 6i 2 = −6,

A proposito, anche il numero − i ha come quadrato −1, dal momento che (− i)(− i) = i 2 = −1. Il prodottodi un numero reale per uno immaginario è predicibile, per esempio 3 × 2i = 6i, ma cosa succede sesommiamo un numero reale e uno immaginario? Per esempio, quanto fa 3 + 4i? Ebbene, faesattamente 3 + 4i, non si semplifica ulteriormente, proprio come non si semplifica 1 + . I numeri

nella forma a + bi (con a e b numeri reali) si dicono numeri complessi. Notate come i numeri reali e

nella forma a + bi (con a e b numeri reali) si dicono numeri complessi. Notate come i numeri reali e

quelli immaginari possono essere considerati casi particolari dell’insieme dei complessi, in cui b =0 e a = 0. Pertanto, il numero reale π e quello immaginario 7i sono anch’essi complessi. Vediamo alcuni esempi di aritmetica complessa, cominciando con somme e sottrazioni:

(3 + 4i) + (2 + 5i) = 5 + 9i (3 + 4i) − (2 + 5i) = 1 − i

Per il prodotto, occorre usare la regola PEIU, come per l’algebra del Capitolo 2:

Con i complessi, tutti i polinomi quadratici del tipo ax 2 + bx + c hanno due soluzioni (distinte ocoincidenti). Usando la formula quadratica, il polinomio si azzera per i valori

Nel Capitolo 2 abbiamo sostenuto che la soluzione non esisteva se il numero sotto la radicequadrata era negativo, ma ora le radici dei negativi non ci danno più problemi. Per esempio,l’equazione x 2 + 2x + 5 ha come soluzione

A proposito, la formula quadratica funziona anche se a, b o c sono complessi. I polinomi quadratici hanno sempre almeno una soluzione, anche se complessa. Il prossimoteorema ci dice che questo è vero per un polinomio qualsiasi. Teorema (Teorema fondamentale dell’algebra): Ogni polinomio p(x) di grado 1 o superiore ha unaradice z per cui p(z) = 0. Notate come un polinomio di primo grado come 3x − 6 si fattorizzi in 3(x − 2), in cui 2 è la radice unicadi 3x − 6. In generale, se a ≠ 0, il polinomio ax − b si fattorizza in a(x − (b /a)) e b/a è la radice di ax − b .In modo analogo, ogni polinomio di secondo grado ax 2 + bx + c si fattorizza in a(x − z 1)(x − z 2) dovez 1 e z 2 sono le radici del polinomio, talvolta complesse, altre volte anche coincidenti. La conseguenza più importante del teorema fondamentale dell’algebra è che questo schema siestende a un polinomio di grado qualsiasi. Corollario: Ogni polinomio di grado n ≥ 1 si fattorizza in n termini, in particolare, definito p(x) ilpolinomio, e definito a ≠ 0 il coefficiente del termine maggiore, esistono n numeri (magari complessi,oppure non tutti distinti), z 1, z 2, …, zn per cui p(x) = a(x − z 1)(x − z 2) … (x − zn ). I numeri z i sono le radici del polinomio per cui p(z i ) = 0. Il corollario implica che per ogni polinomio di grado n ≥ 1 esistono almeno una e al massimo n radicidistinte. Per esempio, il polinomio x 4 − 16 ha grado 4 e si fattorizza in

x 4 − 16 = (x 2 − 4)(x 2 + 4) = (x − 2)(x + 2)(x − 2i)(x + 2i)

con quattro radici distinte, 2, −2, 2i, −2i. Il polinomio 3x 3 + 9x 2 – 12 ha grado 3, si fattorizza come

3x 3 + 9x 2 − 12 = 3(x 2 + 4x + 4)(x − 1) = 3(x + 2)2(x − 1)

per cui ha solo due radici distinte, −2 e 1.

La geometria dei numeri complessi

I numeri complessi si possono visualizzare disegnando il piano complesso, che si presentaesattamente come il piano (x, y) dell’algebra, ma l’asse y è sostituito dall’asse immaginario, connumeri come 0, ±i, ±2i e via dicendo. Nella figura seguente, si possono vedere alcuni numericomplessi sul piano.

Alcuni punti sul piano complesso. Abbiamo già visto quanto sia semplice sommare, sottrarre e moltiplicare i numeri complessi, maoltre che numericamente queste operazioni si possono comporre per via geometrica, usando il pianocomplesso. Per esempio, se consideriamo il problema di addizione

(3 + 2i) + (−1 + i) = 2 + 3i

Nella figura seguente, notate come i punti 0, 3 + 2i, 2 + 3i e −1 + i formano i vertici di unparallelogramma.

In generale, possiamo sommare i numeri complessi geometricamente disegnando ilparallelogramma, come nell’esempio di prima; la sottrazione si fa disegnando il punto − w(simmetrico rispetto a w) e sommando i punti z e − w, come nella figura seguente.

I numeri complessi possono essere sommati o sottratti disegnando parallelogrammi. Per moltiplicare e dividere i numeri complessi con la geometria, dobbiamo per prima cosa misurarnela lunghezza. Definiamo lunghezza o norma di un numero complesso z , denotato |z |, la lunghezzadel segmento di retta che congiunge l’origine 0 al punto z . In particolare, se z = a + bi, secondo ilTeorema di Pitagora avremo che

Per esempio, il punto 3 + 2i è lungo . Notate che l’angolo θ corrispondente a 3 + 2i

soddisferà la relazione tan θ = 2/3. Quindi θ = tan −1 2/3 ≈ 33,7°, o all’incirca 0,588 radianti.

Il numero complesso z = 3 + 2i ha norma e un angolo θ per cui tan θ = 2/3.

Se disegniamo i punti che hanno lunghezza 1, otteniamo il cerchio unitario sul piano complesso,come nella figura alla pagina seguente. Qual è il numero complesso sul cerchio associato all’angoloθ? Se ci trovassimo di fronte al piano cartesiano x-y, facendo riferimento al Capitolo 9 sapremmo cheil punto ha coordinate (cos θ, sin θ). Pertanto, sul piano complesso il punto sarà cos θ + i sin θ. Inmodo analogo, ogni numero complesso di lunghezza R ha la forma

z = R(cos θ + i sin θ)

definita forma polare del numero complesso. Forse non dovrei dirlo adesso, ma alla fine del capitoloimpareremo che è equivalente a Reiθ .

Il cerchio unitario nel piano complesso. Fatto notevole, quando si moltiplicano due complessi, la loro lunghezza si moltiplica. Teorema: Presi due numeri complessi z 1 e z 2, |z 1 z 2| = |z 1||z 2|. In altre parole, la norma è ilprodotto delle norme.

A parte Dimostrazione: Siano z 1 = a + bi e z 2 = c + di. Allora e quindi,

Per esempio,

Per indicare l’angolo del prodotto usiamo il termine argomento (arg z). Quindi, per esempio, arg(3 +2i) = 0,588 radianti. In maniera simile, visto che 1 − 3i è nel IV quadrante e il suo angolo soddisfa tanθ = −3, si ha che arg(1 − 3i) = tan −1(−3) = −71,56° = −1,249 radianti. Notate che (3 + 2i)(1 − 3i) = (9 −

θ = −3, si ha che arg(1 − 3i) = tan −1(−3) = −71,56° = −1,249 radianti. Notate che (3 + 2i)(1 − 3i) = (9 −

7i) ha un angolo tan −1(−7/9) = −37,87° = −0,661 radianti, che è giusto 0,588 + (−1,249). Alla luce delteorema seguente, vedremo che non si tratta affatto di una coincidenza! Teorema: Presi due numeri complessi z 1 e z 2, arg(z 1 z 2) = arg(z 1) + arg(z 2). In altre parole,l’argomento del prodotto è la somma degli argomenti. La dimostrazione, presentata nel prossimo “A parte”, si basa sulle identità trigonometriche delcapitolo precedente.

A parte Dimostrazione: Supponiamo che z 1 e z 2 siano due numeri complessi, rispettivamente di lunghezzaR 1 ed R 2 e angoli θ 1 e θ 2. Scrivendoli in forma polare, avremo

z 1 = R 1(cos θ 1 + i sin θ 1) z 2 = R 2(cos θ 2 + i sin θ 2)

Quindi,

z 1 z 2 = R 1(cos θ 1 + i sin θ 1)R 2(cos θ 2 + i sin θ 2)= R 1 R 2[cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 + i(sin θ 1 cos θ 2 + sin θ 2 cos θ 1 )]= R 1 R 2[cos(θ 1 + θ 2) + i(sin(θ 1 + θ 2))]

Dove abbiamo sfruttato le identità per cos(A + B) e sin(A + B), dimostrate nel capitolo precedente. Neconsegue che z1z2 ha norma R 1 R 2 (lo sapevamo già) e angolo θ 1 + θ 2, come volevamodimostrare. In conclusione, nel prodotto di numeri complessi si moltiplica semplicemente la loro lunghezza e sisommano gli argomenti. Allora, se moltiplichiamo un numero per i, la lunghezza resta uguale, mal’angolo aumenta di 90°. Notate anche che quando moltiplichiamo numeri reali, i numeri positivihanno come angolo 0° (o in modo equivalente, 360°) mentre quelli negativi hanno un angolo di 180°.Sommando angoli di 180° si ottiene un angolo di 360°, che è un altro modo per dire che il prodotto didue numeri negativi è un numero positivo. I numeri immaginari hanno un angolo di 90° o −90° (oancora, 270°). Così, moltiplicando un numero immaginario per se stesso, l’angolo diventa 180°(infatti 90° + 90° = 180° o −90° + −90° = −180°, che è uguale a 180°), ossia un numero negativo.Notate infine che se z ha come angolo θ, allora 1/z deve avere argomento –θ. Perché? Il motivo è chez × 1/z = 1, per cui gli argomenti di z e 1/z si sommano a 0°. Quindi, quando si dividono numericomplessi, si dividono le norme e si sottraggono gli angoli, ossia, z 1/z 2 ha norma R 1/R 2 e angolo θ1 − θ 2.

La Magia di e

Se avete una calcolatrice scientifica, fate questo esperimento:

1. Scrivete sulla calcolatrice un numero di sette cifre memorizzabile (un numero di telefono,oppure il numero di una carta di identità, oppure soltanto il numero a cifra singola che preferiteripetuto sette volte). 2. Prendete il reciproco del numero (cioè premete il bottone 1/x sulla calcolatrice). 3. Aggiungete 1 alla soluzione. 4. Adesso elevate il numero alla potenza del numero di sette cifre di partenza.

La risposta comincia per 2,718? Non mi stupirei se il vostro risultato cominciasse con diverse cifredel numero irrazionale

e = 2,718281828459045…

Dunque cos’è questo misterioso numero e, e perché è così importante? Nel trucchetto magico cheavete appena provato, avete calcolato

(1 + 1/n) n

con un numero n piuttosto grande. Cosa potremmo aspettarci se diventasse sempre più grande? Daun lato, il numero (1 + 1/n) tende al numero 1, ma se eleviamo 1 a qualsiasi potenza, otterremosempre 1. Pertanto ci potremmo aspettare che per n molto grandi, (1 + 1/n) n tenda a circa 1. Peresempio, (1,001)100 ≈ 1,105. D’altra parte, tuttavia, anche se n è grande, (1 + 1/n) è sempre un po’ maggiore di 1, e diconseguenza, come ogni numero maggiore di 1, elevandolo a potenze sempre maggiori, il numerodiventerà arbitrariamente grande. Per esempio, (1,001)10.000 supera 20.000. Il problema è che nello stesso momento, la base (1 + 1/n) sta diminuendo mentre l’esponente stacrescendo e in questo tira e molla tra 1 e infinito, il risultato si avvicina sempre più a e = 2,71828… Seguardiamo la funzione (1 + 1/n) n per valori grandi di n, come mostra la tabella seguente.

n (1+1/n) n

10 (1,1)10 = 2,5937424…

100 (1,01)100 = 2,7048138…

1000 (1,001)1000 = 2,7169239…

10.000 (1,0001)10.000 = 2,7181459…

100.000 (1,00001)100.000 = 2,7182682…

1.000.000 (1,000001)1.000.000 = 2,7182805…

10.000.000 (1,0000001)10.000.000 = 2,7182817…

Definiamo e come numero a cui tende (1 + 1/n) n quando n diventa sempre più grande. Inmatematica, questo è il limite di (1 + 1/n) n quando n va a infinito, scritto come

Se sostituiamo la frazione 1/n con x/n, in cui x è un numero reale qualsiasi, allora al crescere di n/x, ilnumero (1 + x/n) n/x si avvicina sempre più a e. Elevando entrambi i membri alla potenza x ericordando che (ab ) c = abc otteniamo la cosiddetta formula esponenziale:

La formula esponenziale ha molte interessanti applicazioni, Supponete di mettere 10.000 euro su unconto corrente che vi rende un interesse dello 0,06, ossia del 6% all’anno. Se l’interesse si applicaannualmente, al termine del primo anno avrete 10.000(1,06) = 10.600 euro. Dopo due anni,guadagnerete un altro 6 per cento su questo nuovo ammontare, per cui 10.000(1,06)2 = 11.236 euro.In tre anni, otterrete 10.000(1,06)3 = 11.910,16 euro. Dopo t anni, avrete 10.000(1,06) t euro. Più ingenerale, se rimpiazziamo l’interesse 0,06 con un generico tasso r, cominciando con un capitale di Ceuro, al termine dei t anni si avranno

C(1 + r) t

Adesso immaginiamo che il 6 per cento sia corrisposto semestralmente: ogni sei mesi guadagnateil 3 per cento. Dopo un anno avrete 10.000(1,03)2 = 10.609 euro, che è un po’ più dei 10.600 euro delcaso annuale. Se gli interessi fossero invece corrisposti ogni quadrimestre, guadagnereste l’1,5 percento per quattro volte all’anno, ottenendo 10.000(1,015)4 = 10.613,63 euro. In generale,capitalizzando n volte all’anno, otterrete

Aumentando molto n si ottiene la cosiddetta capitalizzazione continua. Per la formula esponenziale,

Aumentando molto n si ottiene la cosiddetta capitalizzazione continua. Per la formula esponenziale,

dopo un anno si otterranno

come riportato nella tabella alla pagina seguente.

Più in generale, cominciando con un capitale iniziale di C euro, con una capitalizzazione continua aun tasso r, dopo t anni avrete A euro dati da quest’elegante formula:

A = Cert

Come si vede nel grafico, la funzione y = ex cresce davvero in fretta; insieme a lei mostriamo anche e2x ed e 0,06x . Diciamo che queste funzioni crescono esponenzialmente. La funzione y = e − x invece va a0 molto rapidamente e mostra un decadimento esponenziale

Alcune funzioni esponenziali. Cosa possiamo dire del grafico di 5 x ? Siccome e < 5 < e 2, 5 x deve trovarsi tra le funzioni ex ed e 2x . Inparticolare, e1,609… = 5 per cui 5 x ≈ e 1,609x . In generale, ogni funzione ax si può esprimere come unafunzione esponenziale del tipo ekx , una volta trovato l’esponente k per cui a = ek . Come possiamodeterminare k? Con i logaritmi. La radice quadrata è l’inverso della funzione di elevamento al quadrato: allo stesso modo, illogaritmo è l’inverso della funzione esponenziale. Il logaritmo più comune è quello in base 10,denotato come log x. Definiamo

y = log x se 10y = x

Oppure,

10log x = x

Per esempio, visto che 102 = 100, allora log 100 = 2. Ecco un’utile tavola di logaritmi.

Una delle ragioni del successo dei logaritmi è la loro proprietà di trasformare numeri molto grandi innumeri più piccoli che possiamo comprendere meglio. Per esempio, la scala Richter usa i logaritmi,permettendoci di classificare i terremoti in una scala da 1 a 10. I logaritmi si usano anche permisurare l’intensità del suono, in decibel, l’acidità di una soluzione chimica, con il pH, o addirittura lapopolarità di una pagina web, con l’algoritmo Page-Rank di Google. Quanto vale log 512? Qualsiasi calcolatrice scientifica vi darà che log 512 = 2,709…, che sembraragionevole: dal momento che 512 si trova tra 102 e 103, il logaritmo sarà tra 2 e 3. I logaritmi sonostati inventati per convertire problemi di moltiplicazione in più semplici problemi di addizione, grazie alteorema che segue. Teorema: Per ogni numero positivo x e y,

log xy = log x + log y

In altre parole, il log del prodotto è uguale alla somma dei log. Dimostrazione: Deriva immediatamente dalla legge degli esponenti, visto che

10log x + log y = 10log x 10log y = xy = 10log xy

Pertanto, elevando 10 alla potenza log x + log y si ottiene xy, come voluto. Un’altra proprietà importante è la regola dell’esponente. Teorema: Per ogni numero positivo x e intero n,

log xn = n log x

Dimostrazione: Per la legge degli esponenti, abc = (ab ) c . Quindi,

10 n log x = (10log x ) n = xn

Pertanto il logaritmo di xn è pari a n log x. Il logaritmo in base 10 non ha nulla di speciale: è molto diffuso in chimica, in fisica e in geologia, main informatica e nella matematica discreta è più usato il logaritmo in base 2. Per qualsiasi b > 0, illogaritmo in base b , log b è definito come

y = log b x se b y = x

Per esempio, log2 32 = 5 dal momento che 25 = 32. Per tutte le basi, valgono le proprietà dei logaritmigià illustrate, come

b log b x = x log b xy = log b x + log b y log b xn = n log b x

In ogni caso, il logaritmo più utile in molti rami della matematica, della fisica e dell’ingegneria è illogaritmo in base b = e, noto anche come logaritmo naturale e indicato con ln x:

y = ln x se ey = x

e quindi, in modo equivalente,

ln ex = x

Per esempio, la calcolatrice vi dirà che ln 5 = 1,609…: il modo in cui prima ho determinato che e 1,609 ≈5. Torneremo sul logaritmo naturale nel Capitolo 11.

A parte Tutte le calcolatrici scientifiche calcolano i logaritmi naturali e in base 10, ma non quelli in basidiverse. Tuttavia, non è un problema, perché passare da una base a un’altra è semplice: è sufficienteseguire la prossima regola che converte da base 10 a una base qualunque. Teorema: Per ogni coppia di numeri positivi b e x,

Dimostrazione: Sia y = log b x, quindi b y = x. Se prendiamo il logaritmo di entrambi i membri, log b y =log x, e per la legge dell’esponente, y log b = log x. Quindi, y = (log x)/(log b ), come voluto.

Per esempio, per ogni x > 0,

ln x = (log x)/(log e) = (log x)/(0,434…) ≈ 2,30 log x log2 x = (log x)/(log 2) = (log x)/(0,301…) ≈ 3,32 log x

Ancora sull’uso di e

In matematica, il numero e è pervasivo quanto π, compare in posti dove proprio non te lo aspetteresti.Un esempio è la classica curva a campana, vista nel Capitolo 8, che ha formula

Il suo grafico, mostrato nella figura alla pagina seguente, è probabilmente il più importante dellastatistica.

La curva a campana ha come formula .

Nel Capitolo 8 abbiamo visto anche la formula di Stirling per l’approssimazione del fattoriale n!:

E come vedremo nel Capitolo 11, e è legato intimamente alla funzione fattoriale. Adesso invece,mostreremo che ex corrisponde alla serie infinita

ex = 1 + x/1! + x 2/2! + x 3/3! + x 4/4! + …

In particolare, quando x = 1, la formula dice che

e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …

che è un modo molto rapido per determinare le cifre di e. A proposito, e comincia con uno schema ripetuto:

e = 2,718281828…

per cui sareste tentati di credere che e sia un numero razionale, fatto vero se la sequenza 1828 siripetesse per sempre, ma non è così: le cifre seguenti sono …459045… Il numero e compare anche in molti problemi di probabilità, anche qui in modo inaspettato. Peresempio, supponete di comprare, ogni settimana, il biglietto di una riffa in cui la probabilità di vincereè 1 a 100. Comprando un biglietto per 100 settimane consecutive, quante probabilità avrete di vincereil premio almeno una volta? Ogni settimana, la probabilità di vincere è 1/100 = 0,01, mentre quella di

il premio almeno una volta? Ogni settimana, la probabilità di vincere è 1/100 = 0,01, mentre quella di

perdere è 99/100 = 0,99. Dal momento che la possibilità di vittoria è indipendente da una volta all’altra, la probabilità diperdere in tutte e 100 le settimane è

(0,99)100 ≈ 0,3660

Che è molto vicina a

1/e ≈ 0,3678794…

ma non si tratta di una coincidenza. Se ricordate la formula esponenziale quando abbiamo definitoper la prima volta ex , avevamo:

Se ponessimo x = −1, allora per ogni valore grande di n avremmo

Quando n = 100, allora (0,99)100 ≈ 1/e, come annunciato. Quindi, la probabilità di vincere è pari a circa1 − (1/e) ≈ 64 per cento. Uno dei problemi di probabilità che preferisco prende il nome di Prob lema del coordinamento o delcappello o del disordine. Supponiamo che in una classe siano consegnati all’insegnante n compiti acasa, ma che l’insegnante, un po’ distratto, li corregga e li restituisca agli studenti in modo casuale.Qual è la probabilità che nessuno studente riceva indietro il proprio compito? In modo equivalente, sei numeri da 1 a n sono mischiati a caso, qual è la probabilità che nessun numero sia nella suaposizione naturale? Per esempio, per n = 3, i numeri 1, 2 e 3 si possono ordinare in 3! = 6 modi, e cisono due serie disordinate in cui nessun numero è nella propria posizione naturale, ossia 231 e312. Così, per n = 3, la probabilità di massimo disordine è 2/6 = 1/3. Con n compiti, ci sono n! serie possibili, per cui se denotiamo con Dn il numero di disordini completi,la probabilità che nessuno riceva il proprio compito sarà pn = Dn /n!. Per esempio, con n = 4, ci sono 9disordini:

2143 2341 2413 3142 3412 3421 4123 4312 4321

Quindi p 4 = D 4/4! = 9/24 = 0,375, come mostra la seguente tabella.

Al crescere di n, pn si avvicina a 1/e. Le conseguenze sono notevoli, perché la probabilità chenessuno riceva il proprio compito è sempre la stessa, che la classe abbia 10 studenti, che ne abbia100 oppure un milione! La probabilità è sempre molto vicina a 1/e. Ma da dove viene? In prima approssimazione, con n studenti, ognuno ha una possibilità 1/n diricevere indietro il proprio compito, quindi una probabilità 1 − (1/n) di avere il compito di un altro.Allora, la probabilità che tutti gli studenti ricevano il compito di un altro è

La probabilità è approssimata, perché a differenza del problema della riffa, qui gli eventi non sonoesattamente indipendenti. Se lo studente 1 riceve indietro il proprio compito, allora la probabilità chelo riceva anche lo studente 2 aumenta di poco. (Infatti sarebbe di 1/(n − 1) e non di 1/n.) In modoanalogo, se lo studente 1 non riceve il proprio compito, le possibilità che lo riceva il secondo siabbassano allo stesso modo. Tuttavia le probabilità non cambiano tantissimo e l’approssimazione èdavvero buona. Il calcolo esatto della probabilità usa la serie infinita per ex :

ex = 1 + x + x 2/2! + x 3/3! + x 4/4! + …

Sostituendo x = −1 nell’equazione si ottiene

1 − 1 + 1/2! − 1/3! + 1/4! − … = e −1 = 1/e

Si può dimostrare che, per n studenti, la probabilità che nessuno riceva indietro il proprio compitovale

Per esempio, con n = 4 studenti, pn = 1 − 1 + 1/2 − 1/6 + 1/24 = 9/24, come visto in precedenza. Laconvergenza verso 1/e è molto rapida. La differenza tra pn e 1/e è minore di 1/(n + 1)!. Quindi, p 4 è a1/5! = 0,0083 da 1/e; p 10 è pari a 1/e fino alla settima cifra; p 100 è in accordo con 1/e fino alla 150-

1/5! = 0,0083 da 1/e; p 10 è pari a 1/e fino alla settima cifra; p 100 è in accordo con 1/e fino alla 150-

esima cifra decimale!

A parte Teorema: Il numero e è irrazionale. Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che e sia razionale: esistono due interi positivi m ed n percui e = m /n. Usiamo ora il numero n per dividere la serie infinita in due parti, in modo che e = L + R, incui

Notate che n!e = en(n − 1)! = m(n − 1)! deve essere un intero, infatti m e (n − 1)! lo sono, mentre n!L èun intero anch’esso perché n!/k ! è intero per qualsiasi k ≤ n. Quindi, n!R = n!e − n!L è la differenza didue interi, e quindi intero anche lui. Tuttavia, ciò è impossibile, dal momento che n ≥ 1 implica che

Così n!R non può essere un intero perché non esistono interi minori di 1. Allora l’ipotesi che e = m /nporta a una contraddizione, e quindi e è irrazionale.

L’Equazione di Eulero

Il numero e fu studiato e reso popolare dal grande matematico Leonhard Euler, il primo adassegnare al numero il nome che porta ancora oggi. La maggioranza degli storici della matematicanon concorda sul fatto che la scelta di quella lettera sia dovuta proprio all’iniziale del suo cognome. Inogni caso, molti continuano a riferirsi a e come al numero di Eulero. Abbiamo già illustrato l’espansione in serie infinita di ex , di cos x e di sin x, ma ne spiegheremo laprovenienza solo nel prossimo capitolo. Tuttavia, mettiamole qui tutte insieme.

Queste formule sono valide per tutti i numeri reali x, ma Euler ebbe l’audacia di chiedersi che cosa

Queste formule sono valide per tutti i numeri reali x, ma Euler ebbe l’audacia di chiedersi che cosa

capiti con x immaginario. Che cosa significa per un numero essere elevato a un numeroimmaginario? Il risultato è l’elegante Teorema di Eulero. Teorema (di Eulero): Per ogni angolo θ espresso in radianti,

eiθ = cos θ + i sin θ

Dimostrazione: Dimostriamo il teorema sostituendo x = iθ nella serie di ex .

Notate cosa succede alle varie potenze di i: i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = − i (visto che i 3 = i 2 i = − i);dopodiché lo schema si ripete: i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = −1, i 7 = − i, i 8 = 1 e così via. In particolare, notate chele potenze di i si alternano tra reali e immaginarie, per cui si può fattorizzare un termine i da ognitermine pari, seguendo questa algebra:

Si arriva così alla dimostrazione dell’“Equazione di Dio” che ho introdotto all’inizio di questo capitolo.Se θ = π radianti (o 180°), abbiamo che

eiπ = cos π + i sin π = −1 + i(0) = −1

Tuttavia il Teorema di Eulero ci dice molto di più. Abbiamo visto in precedenza l’espressione cos θ + isin θ: è il punto del cerchio unitario sul piano complesso che forma un angolo θ con l’asse positivodelle x. Il Teorema di Eulero ci dice che possiamo esprimere quel punto in una forma semplice,come mostrato nella figura seguente

Grazie al Teorema di Eulero, i punti sul cerchio unitario hanno la forma eiθ . Ma aspettate, c’è dell’altro! Ogni punto del piano complesso è soltanto una versione in scala di quellisul cerchio unitario, in particolare un punto z di norma (lunghezza) R e argomento (angolo) θ sarà Rvolte il punto corrispondente sul cerchio unitario. In altre parole

z = Reiθ

Così avendo due punti qualsiasi sul piano complesso, z 1 = R 1 e iθ 1 e z 2 = R 2 e iθ 2 , allora la leggedegli esponenti con i numeri complessi dice che

z 1 z 2 = R 1 e iθ 1 R 2 e iθ 2 = R 1 R 2 ei (θ1 + θ 2)

ossia il complesso di norma R 1 R 2 e angolo θ 1 + θ 2. Ancora una volta ne concludiamo che sipossono moltiplicare due numeri complessi semplicemente moltiplicandone la lunghezza esommandone gli angoli. Quando lo abbiamo dimostrato in precedenza, abbiamo usato una paginatadi algebra e identità trigonometriche, mentre, con il Teorema di Eulero, si arriva alla stessaconclusione con una riga sola, grazie alla magia del numero e! Concludiamo con una poesia che celebra questo numero incredibile, scusandoci con Joyce Kilmer.

I think that I shall never see A number lovelier than e. Whose digits are too great to state They’re 2,71828… And e has such amazing features. It’s loved by all (but mostly teachers).

With all of e’s great properties, Most integrals are done with… ease. Theorems are proved by fools like me. But only Euler could make an e.

(Credo che mai vedrò \ Un numero più meraviglioso di e. \ Le cui cifre sono troppe per recitarle, \Sono 2,71828… \ E poi e ha così tante magiche proprietà. \ È amato da tutti, ma in particolare dagliinsegnanti \ Con tutte quelle enormi proprietà, \ Quasi ogni integrale è calcolato con facilità. \ I teoremisono dimostrati anche dagli sciocchi come me. \ Ma solo Eulero poteva creare una e.)

Capitolo 11 La magia del calcolo differenziale

y = x 11 ⇒ y’ = 11 x 10

Partir per la tangente

Se la matematica è il linguaggio della scienza, la matematica che meglio esprime la maggior partedelle leggi naturali è il calcolo differenziale, che descrive come le cose crescono, cambiano, simuovono. In questo capitolo impareremo a calcolare la velocità con cui cambia una funzione e adapprossimare funzioni complicate con altre più semplici fatte di polinomi. Il calcolo differenziale èanche un mezzo potente per l’ottimizzazione e può tornare utile per determinare i numeri chemassimizzano una certa quantità, come l’utile o il fatturato, oppure ne minimizzano altre, come i costio la distanza da percorrere. Per esempio, supponiamo di avere un quadrato di carta, di 12 centimetri di lato, come nella figuraalla pagina seguente. Immaginiamo di tagliare via dagli angoli dei quadretti di lato x e poi pieghiamoi bordi che abbiamo creato per formare una specie di vassoio. Qual è il volume massimo delvassoio? Cominciamo a calcolare il volume in funzione di x. La base del vassoio avrà come area (12− 2x)(12 − 2x) e come altezza x, quindi il volume sarà pari a

V = (12 − 2x)2 x [cm2]

L’obiettivo è scegliere x per arrivare al volume maggiore possibile. Non possiamo prendere un xtroppo grande o troppo piccolo, per esempio, se x = 0 o x = 6, la scatola ha un volume nullo: il valoreottimale di x sta da qualche parte nel mezzo.

Quale valore di x massimizza il volume della scatola? Di seguito trovate un grafico della funzione y = (12 − 2x)2 x con x che varia tra 0 e 6. Quando x = 1, ilvolume sarà pari a y = 100. Se x = 2, y = 128; per x = 3, y = 108. Il valore x = 2 sembra promettente,tuttavia magari esiste un numero reale ancora migliore, compreso tra 1 e 3.

Il punto in cui y = (12 − 2x)2 x si massimizza ha una tangente orizzontale. Appena a sinistra del massimo la funzione sta crescendo, con pendenza positiva, mentre appena adestra decresce con pendenza negativa. Pertanto, esattamente sul massimo, la funzione né crescené decresce: sta passando da un caso all’altro. Usando un linguaggio più matematico: al punto diottimo esiste una retta tangente orizzontale, ossia con pendenza nulla. In questo capitolo useremo ilcalcolo differenziale per trovare il punto tra 0 e 6 in cui la tangente è orizzontale. A dirla tutta, spesso partiremo… per la tangente: il problema che abbiamo appena consideratoriguardava il taglio ottimale di angoli, ma in effetti taglieremo un sacco di angoli in questo capitolo.L’analisi differenziale è un argomento molto vasto, trattato di solito in libri di testo da un migliaio dipagine. Con le poche decine di pagine di questo capitolo, potremo coprire soltanto i punti piùimportanti: per esempio, non parleremo del calcolo integrale, che serve a determinare aree e volumidi complicati oggetti, mentre ci concentreremo sul solo calcolo differenziale, che misura quantocrescono o decrescono le funzioni. Le funzioni più semplici da analizzare sono le rette. Nel Capitolo 2 abbiamo visto che la retta y = mx +b ha pendenza m . Pertanto, se x aumenta di 1, y aumenta di m . Per esempio la retta y = 2x + 3 hapendenza 2, se aumentiamo x di 1, per dire, da x = 10 a x = 11, allora y aumenterà di 2, nel nostrocaso da 23 a 25. Nella figura seguente ho riportato i grafici di alcune rette, tra cui y = − x conpendenza −1 e la linea orizzontale y = 5 a pendenza 0.

Grafici di rette. Dati due punti qualsiasi, possiamo disegnare tra loro una retta e calcolarne la pendenza senzaconoscere l’equazione della retta stessa. La pendenza della retta che va dal punto (x 1, y 1) a (x 2, y 2)sarà data dalla formula:

Per esempio, prendiamo due punti sulla retta y = 2x + 3, come (0, 3) e (4, 11). La pendenza sarà datada

identica a quella che deduciamo dall’equazione della retta. Ora, consideriamo la funzione y = x 2 + 1, come nel grafico seguente (non si tratta di una retta, per cuila pendenza è in continuo cambiamento). Proviamo a calcolare la pendenza della retta tangente alpunto (1, 2).

Considerata y = x 2 + 1, troviamo la pendenza della tangente al punto (1, 2). La cattiva notizia è che ci servono due punti per calcolare una pendenza, mentre noi ne abbiamo unosolo: (1, 2). Quindi, cominciamo approssimando la pendenza della tangente con quella di una rettache attraversa il grafico in due punti, detta secante, come mostrato. Se x = 1,5, allora y = (1,5)2 + 1 =3,25, così prendiamo la pendenza tra (1, 2) e (1,5, 3,25). Secondo la formula, la pendenza dellasecante vale

Approssimiamo una retta tangente con una secante. Per migliorare l’approssimazione, avviciniamo il secondo punto al primo, per esempio quando x =1,1 e y = (1,1)2 + 1 = 2,21, per cui la pendenza della secante diventa m = (2,21 − 2)/(1,1 − 1) = 2,1.Come mostrato nella seguente tabella, avvicinando sempre più il secondo punto a (1, 2), lapendenza della secante tende a 2.

Allora guardiamo che cosa succede quando x = 1 + h con h ≠ 0, piccolo a piacere, anche soltanto lospessore di un capello. A questo punto, y = (1 + h)2 + 1 = 2 + 2h + h 2, e la pendenza della secantediventa

Con h tendente a 0, la pendenza della secante tende a 2. Formalmente scriviamo

Questa notazione indica che il limite di 2 + h con h che tende a 0 vale 2. A intuito, con h che si avvicinaa 0, 2 + h si avvicinerà a 2. In pratica, abbiamo determinato che il grafico y = x 2 + 1 nel punto (1, 2) hauna tangente con pendenza 2. Nel caso generale per la funzione y = f(x), vorremmo determinare la pendenza della tangente nelpunto (x, f(x)). Come nella figura seguente, la pendenza della retta secante tra il punto (x, f(x)) e il suovicino (x + h, f(x + h)) vale

La pendenza della secante tra (x, f(x)) e (x + h, f(x + h)) vale .

Usiamo la notazione f’(x) per indicare la pendenza della tangente nel punto (x, f(x)), così

Questa è una definizione complessa, per cui ne diamo qualche esempio. Per una retta, y = mx + b ,quindi f(x) = mx + b . Per trovare f (x + h) rimpiazziamo x con x + h ottenendo f(x + h) = m(x + h) + b .Pertanto, la pendenza della secante sarà

La pendenza della tangente sarà uguale a m , a prescindere da un particolare valore di x, quindi f’(x) =m . Il tutto ha senso, visto che la retta y = mx + b ha sempre pendenza m . Ora valutiamo la derivata di y = x 2 usando la definizione:

Quando h va a 0, si ottiene f’(x) = 2x. Per f(x) = x 3, avremo

Da cui, con h che tende a 0, si ha che f’(x) = 3x 2 Data una funzione y = f(x), il processo per determinare la funzione derivata f’(x) si chiamadifferenziazione. La buona notizia è che, una volta trovate le derivate di alcune funzioni piuttostosemplici, è possibile determinare le derivate di funzioni molto più complicate con poche difficoltà esenza usare la definizione basata formalmente sui limiti come fatto finora. A tal fine, il seguenteteorema è utilissimo. Teorema: Se u(x) = f(x) + g(x), allora u’(x) = f’(x) + g’(x). In altre parole, la derivata della somma è parialla somma delle derivate. Inoltre, se c è un numero reale qualsiasi, la derivata di cf(x) vale cf’(x). Come conseguenza del teorema, poiché la derivata di y = x 3 vale 3x 2 e quella di y = x 2 è 2x, allora y= x 3 + x 2 ha derivata 3x 2 + 2x. Come esempio del secondo punto, la derivata di y = 10x 3 vale 30x 2.

A parte Dimostrazione: Sia u(x) = f(x) + g(x), allora

Prendendo il limite per h → 0 di entrambi i lati

u’(x) = f’(x) + g’(x)

Notate che quando si prende il limite del lato destro dell’equazione, si sfrutta il fatto che il limite dellasomma è pari alla somma dei limiti: qui non lo dimostreremo in maniera rigorosa, tuttavia, da unpunto di vista intuitivo, se un numero a si avvicina ad A e un numero b si approssima a B, allora a + btende ad A + B. Di passaggio, sottolineiamo che è anche vera una regola simile per il prodotto: illimite del prodotto è pari al prodotto dei limiti, ma anche il limite del quoziente è il quoziente dei limiti.Tuttavia le regole corrispondenti per le derivate non sono così direttamente immediate. Per esempio,la derivata del prodotto non è il prodotto delle derivate. Per la seconda metà del teorema, se v(x) = c f(x), allora

Come voluto.

Per differenziare f(x) = x 4, per prima cosa espandiamo f(x + h) = (x + h)4 = x 4 + 4x 3 h + 6x 2 h 2 + 4xh 3

+ h 4. I coefficienti di questa espressione, 1, 4, 6, 4, 1, ci sembrano familiari, infatti sono la quarta rigadel triangolo di Pascal incontrato nel Capitolo 4. Così, abbiamo

E quando h → 0, si ottiene f’(x) = 4x 3. Vedete lo schema? Le derivate di x, x 2, x 3 e x 4 sono,rispettivamente 1, 2x, 3x 2 e 4x 3. Se applichiamo la stessa logica per esponenti maggiori, ricaviamoun’altra regola molto potente. Un’altra notazione assai comune per la derivata è y’. La useremo daqui in avanti. Teorema (regola della potenza): Per n ≥ 0,

y = xn ha derivata y’ = nxn − 1

Per esempio

se y = x 5, allora y’ = 5x 4

e

se y = x 10, allora y’ = 10x 9

Anche una funzione costante come y = 1 si differenzia con questa regola dal momento che 1 = x 0 e y= x 0 ha come derivata 0x −1 = 0, per qualsiasi x, il che ha senso visto che la retta y = 1 è orizzontale.Usando la regola delle potenze e il teorema precedente, possiamo derivare tutti i polinomi. Peresempio, se

y = x 10 + 3x 5 − x 3 − 7x + 2520

allora

y’ = 10x 9 + 15x 4 − 3x 2 − 7

La regola della potenza vale anche per esponenti non interi o positivi, come nel caso di

y = 1/x = x −1

Per cui

y’ = −1x −2 = (−1)/x 2

In modo analogo, se

Allora

Tuttavia, non siamo ancora pronti per dimostrare queste ultime relazioni. Prima di imparare aderivare funzioni ancora più complesse, sfruttiamo quanto appreso per risolvere alcuni problemi diottimizzazione di un certo interesse.

Problemi di massimo-minimo

La derivazione aiuta a determinare se una funzione raggiunge dei valori di massimo o di minimo.Facciamo un esempio: per quali valori di x la parabola y = x 2 − 8x + 10 raggiunge il punto più basso?

La parabola y = x 2 − 8x + 10 raggiunge il punto più basso quando y’ = 0. Nel punto inferiore, la pendenza della tangente deve essere 0. Dal momento che y’ = 2x − 8,risolvendo 2x − 8 = 0 troviamo il minimo cercato, che si trova in x = 4 e y = 16 − 32 + 10 = −6. Per unafunzione y = f(x), il valore di x che soddisfa f’(x) = 0 si dice punto critico di f. Per la funzione y = x 2 − 8x+ 10, il solo punto critico è x = 4. Quando si presenta un massimo? Nel problema di prima non abbiamo massimi, dal momento che ivalori di y in x 2 − 8x + 10 possono essere arbitrariamente grandi. Tuttavia, se x fosse limitata a unintervallo come 0 ≤ x ≤ 6, allora y sarebbe massima a uno degli estremi. In questo caso, quando x =0, y = 10, mentre per x = 6, y = −2, quindi la funzione si massimizza all’estremo x = 0. In generale,abbiamo il seguente importante teorema. Teorema (di ottimizzazione): Se una funzione differenziabile y = f(x) è massima o minima per unpunto x *, allora x * sarà o un punto critico oppure un estremo dell’intervallo possibile. Torniamo al problema della scatola con cui abbiamo cominciato il capitolo, in cui occorre

Torniamo al problema della scatola con cui abbiamo cominciato il capitolo, in cui occorre

massimizzare la funzione

y = (12 − 2x)2 x = 4x 3 − 48x 2 + 144x

Dove x appartiene all’intervallo tra 0 e 6. Vogliamo trovare un valore di x che massimizzi y. Siccome lafunzione è un polinomio, vediamo che ha derivate

y’ = 12x 2 − 96x + 144 = 12(x 2 − 8x + 12) = 12(x − 2)(x − 6)

Pertanto la funzione ha come punti critici x = 2 e x = 6. La scatola ha volume 0 agli estremi x = 0 e x = 6, quindi il volume lì è minimo. Il massimo volume siottiene all’altro punto critico, x = 2, dove y = 128 centimetri cubici.

Regole di differenziazione

Più funzioni riusciamo a derivare, più problemi possiamo risolvere. Può darsi che la funzione piùimportante del calcolo differenziale sia la funzione esponenziale y = ex , che è davvero speciale dalmomento che la sua derivata è uguale alla funzione stessa. Teorema: Se y = ex , allora y’ = ex .

A parte Perché f(x) = ex soddisfa f’(x) = ex ? Ecco una spiegazione essenziale. In primo luogo, notate come

Ora ricordatevi che il numero e si definisce come

Dove all’aumentare di n, (1 + 1/n) n tende a e. Oppure, sia h = 1/n: per n grande, h = 1/n tende a 0 equindi

e ≈ (1 + h)1/h

Se eleviamo entrambi i membri alla potenza di h e usiamo la regola dell’esponente (ab ) c = abc , allora

eh ≈ 1 + h

E quindi

Così, se h tende a 0, tende a 1, e tende a ex .

Esistono altre funzioni che sono le derivate di se stesse? Sì, ma hanno esclusivamente la forma y =cex dove c è un numero reale (notate che include il caso c = 0, che dà la funzione costante y = 0). Abbiamo già visto che la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate. E il prodotto?Purtroppo la derivata del prodotto non è il prodotto delle derivate, ma non è neanche così difficilecalcolarla, seguendo il prossimo teorema. Teorema (regola del prodotto delle derivate): Se y = f(x)g(x), allora

y’ = f’(x)g(x) + f (x)g’(x)

Per esempio, seguendo la regola del prodotto, per derivare y = x 3 ex , prendiamo f(x) = x 3 e g(x) = ex .Quindi

y’ = f(x)g(x) + f’(x)g(x) = x 3 ex + 3x 2 ex

Notate che se f(x) = x 3 e g(x) = x 5, allora la regola del prodotto dice che la derivata del prodotto x 3 x 5

= x 8 vale

y’ = x 3(5x 4) + 3x 2(x 5) = 5x 7 + 3x 7 = 8x 7

Che è in accordo con la regola delle potenze

A parte Dimostrazione (regola del prodotto): Sia u(x) = f(x)g(x), allora

Da qui, aggiungiamo 0 al numeratore aggiungendo e sottraendo f(x + h)g(x)

quando h → 0, si ottiene f’(x)g(x) + f(x)g(x), come voluto. La regola del prodotto non è solo utile al calcolo, ma ci aiuta anche per trovare le derivate di altrefunzioni, come nel caso già visto della regola di potenze con esponenti positivi. Adesso siamo ingrado di dimostrare che la regola vale anche per esponenti frazionari e negativi. Per esempio, laregola di potenza prevede che

Vediamo perché è vero usando la regola del prodotto: supponiamo che e che quindi

Se differenziamo entrambi i lati, con la regola del prodotto si ha che

u(x)u’(x) + u’(x)u(x) = 1

Pertanto , come atteso.

A parte La regola di potenza prevede anche che per gli esponenti negativi, y = x − n −1 abbia come derivata

. Per dimostrarlo, sia u(x) = x − n , con n ≥ 1. Per definizione, per x ≠ 0 abbiamo

u(x)xn = x −nxn = x 0 = 1

e derivando entrambi i lati,

u(x)(nxn −1) + u’(x)xn = 0

Dividendo per xn e portando a primo membro, si ottiene

Come voluto. Così, se y = 1/x = x −1, allora y’ = −1/x 2. Se y = 1/x 2 = x −2, allora y’ = −2x −3 = −2/x 3 e via dicendo. Nel Capitolo 7 abbiamo cercato il numero positivo x che minimizzava la funzione

y = x + 1/x

Usando brillantemente la geometria abbiamo trovato la soluzione, x = 1. Tuttavia, usando il calcolodifferenziale, non occorre essere particolarmente brillanti basta risolvere y’ = 0, cioè 1 − 1/x 2 = 0, cheha come unica soluzione positiva x = 1. Anche le funzioni trigonometriche sono facili da derivare. Notate come nel prossimo teorema gliangoli siano obbligatoriamente espressi in radianti. Teorema: Se y = sin x, allora y’ = cos x. Se y = cos x, allora y’ = − sin x. In altre parole, la derivata delseno è il coseno e la derivata del coseno è “meno seno”.

A parte Dimostrazione: sfruttiamo il seguente lemma. (Un lemma è una proposizione che aiuta a dimostrareun teorema più importante.) Lemma:

Pertanto per ogni angolo h piccolo (in radianti) e prossimo allo 0, il valore del seno è vicino ad h,mentre il coseno tende a 1. Per esempio, usando la calcolatrice scopriamo che sin 0,0123 =0,0122996… mentre cos 0,0123 = 0,9999243… Assumiamo come vero il lemma e procediamo conla derivazione di seno e coseno. Dall’identità di sin (A + B) vista nel Capitolo 9,

Con h → 0 e sfruttando il lemma, la relazione diventa (sin x)(0) + (cos x)(1) = cos x. In modo analogo,

Quando h → 0, diventa (cos x)(0) − (sin x)(1) = − sin x, come voluto.

A parte Possiamo dimostrare che con la figura che segue.

Sul cerchio unitario, R = (1, 0) mentre P = (cos h, sin h), con h angolo piccolo positivo. Nel triangolorettangolo OQR,

tan h = QR/OR = QR/1 = QR

Pertanto il triangolo rettangolo OPS ha area cos h sin h/2, mentre OQR ha area 1/2(ORQR) = 1/2(tanh) = (sin h)/(2cos h). Concentriamoci sul settore OPR: l’area del cerchio unitario vale π12 = π, mentreil settore OPS ne è una frazione, h/(2π), pertanto il settore OPR ha area π(h/2π) = h/2. Dal momento che il settore OPR contiene il triangolo OPS ed è contenuto nel triangolo OQR,confrontandone le aree, si ha che

Se moltiplichiamo per :

Con numeri positivi, se a < b < c, allora 1/c < 1/b < 1/a e quindi

Quando h → 0, sia cos h sia 1/cos h tendono a 1, come voluto. Quindi, .

A parte Possiamo dimostrare che con il risultato di prima, un po’ di algebra e l’identità cos2 h +

sin2 h = 1.

Quando h → 0, → 1, e = 0.

Quindi = 0.

Note le derivate di seno e coseno, calcoliamo immediatamente la derivata della tangente. Teorema: Se y = tan x, y’ = 1/(cos2 x) = sec2 x. Dimostrazione: Sia u(x) = tan x = (sin x)/(cos x), allora

tan(x) cos x = sin x

Derivando i membri e applicando la regola del prodotto, si ha che

tan x (− sin x) + tan’ (x) cos x = cos x

Se dividiamo per cos x e risolviamo rispetto a tan (x) si ottiene

tan’ (x) = 1 + tan x tan x = 1 + tan2 x = = sec2 x

In cui la penultima eguaglianza si ottiene dividendo per cos2 x l’identità cos2 x + sin2 x = 1. Con un approccio simile si dimostra la regola di quoziente per le derivate.

Teorema (regola di quoziente): Se u(x) = f(x)/g(x), allora

A parte Dimostrazione della regola di quoziente: poiché u(x)g(x) = f(x), derivando entrambi i lati con la regoladel prodotto abbiamo:

u(x)g’(x) + u’(x)g(x) = f’(x)

Se moltiplichiamo entrambi i lati per g(x),

g(x)u(x)g’(x) + u’(x)g(x)g(x) = g(x)f’(x)

Sostituendo g(x)u(x) con f(x) e risolvendo per u(x) si ottiene la quantità desiderata. Sappiamo come derivare polinomi, funzioni esponenziali, trigonometriche e altro ancora. Abbiamovisto come derivare funzioni che si sommano, si moltiplicano, si dividono. Infine, la regola dellacatena, o della funzione di funzione, qui enunciata ma non dimostrata, ci insegna come comportarcicon le funzioni composte. Per esempio, se f(x) = sin x e g(x) = x 3, allora

f(g(x)) = sin(g(x)) = sin(x 3)

Notate che non si tratta della stessa funzione di

g(f(x)) = g(sin x) = (sin x)3

Teorema (regola della catena): Se y = f(g(x)), allora y’ = f’(g(x))g’(x). Per esempio, se f(x) = sin x e g(x) = x 3, allora f’ (x) = cos x e g’(x) = 3x 2. La regola della catena diceche se y = f(g(x)) = sin(x 3), allora

y’ = f’(g(x))g’(x) = cos(g(x))g’(x) = 3x 2 cos(x 3)

Più in generale, la regola afferma che se y = sin(g(x)), allora y’ = g’(x) cos(g(x)). Con ragionamentoanalogo, y = cos(g(x)) ha y’ = − g’(x) sin(g(x)). D’altra parte, per la funzione y = g(f(x)) = (sin x)3, la regola porta a

y’ = g’(f(x))f’(x) = 3(f(x)2)f’(x) = 3 sin2 x cos x

Pertanto, in generale, se y = (g(x)) n , allora y’ = n(g(x)) n −1 g’(x). Cosa succede se deriviamo y = (x 3)5?

y’ = 5(x 3)4(3x 2) = 5x 12(3x 2) = 15x 14

In perfetto accordo con la regola di potenza. Adesso deriviamo .

Le funzioni esponenziali sono anch’esse facili da derivare, visto che ex è la derivata di se stessa. Sey = eg (x), Allora

y’ = g’(x)eg (x)

Per esempio, y = e x 3 ha y’= (3x 2)e x 3 . Notate come la funzione y = ekx abbia derivata y = kekx = ky. Sitratta di una delle proprietà che rendono la funzione esponenziale così importante: compare semprequando il tasso di crescita di una funzione è proporzionale al suo stesso valore, in particolare inproblemi finanziari o biologici. Il logaritmo naturale ln x ha la proprietà che e ln x = x per ogni x > 0. Con la regola della catena se necalcola la derivata. Sia u(x) = ln x, abbiamo eu(x) = x. Derivando entrambi i lati si ottiene u’(x)eu (x) = 1.Siccome eu (x) = x, allora u’(x) = 1/x. In altre parole, se y = ln x, allora y’ = 1/x. Applicando di nuovo laregola della catena, si ha che quando y = ln(g(x)), y’ = .

Riassumiamo di seguito i risultati della regola sulle funzioni di funzione.

y = f(g(x)) y’ = f’(g(x))g’(x)

y = sin(g(x)) y’ = g’(x) cos(g(x))

y = cos(g(x)) y’ = − g’(x) sin(g(x))

y = (g(x)) n y’ = n(g(x)) n −1 g’(x)

y = e g(x) y’ = g’(x)e g(x)

y = ln(g(x)) y’ = g’(x)/g(x)

Applichiamo la regola della catena per risolvere un problema. La mucca Clara si trova 1 km a norddal fiume asse-x, che scorre da est a ovest. Il suo fienile è 3 km a est e 1 km a nord della suaposizione attuale. Desidera abbeverarsi al fiume per poi andare al fienile, ma minimizzando almassimo la strada da percorrere. Dove potrebbe fermarsi a bere lungo il fiume?

Dove deve bere la mucca per minimizzare il percorso totale? Assumendo che Clara si muove in linea retta dal punto iniziale (0, 1) a quello di abbeveramento (x, 0),il Teorema di Pitagora (oppure la formula della distanza) dice che la lunghezza totale del segmentoverso il fiume vale , mentre il percorso fino al fienile, nel punto B = (3, 2) sarà

. Quindi il problema è calcolare il numero x (compreso tra 0 e 3) che

minimizza

Se deriviamo questa espressione con la regola della catena e ne eguagliamo la derivata a 0, siottiene

Potete verificare che quando x = 1, il lato sinistro dell’equazione di sopra diventa , che

in effetti fa 0. (Potreste risolvere direttamente l’equazione spostando sull’altro lato

dell’equazione, quindi quadrando entrambi i lati ed eseguendo le moltiplicazioni che servono. Allafine di un sacco di cancellazioni, l’unica soluzione tra 0 e 3 è x = 1.) Possiamo verificare la soluzione con un po’ di ragionamento, proprio come abbiamo fatto nelCapitolo 7. Immaginate che Clara, invece di spostarsi verso il fienile in (3, 2) dopo aver bevuto, sirechi nel punto riflesso del fienile, cioè B’ = (3, −2), come nella figura.

Per riflessione, troviamo un altro modo di risolvere il problema. La distanza verso B’ è esattamente uguale alla distanza per B; inoltre ogni percorso tra un punto anord e un altro a sud del fiume deve necessariamente attraversare l’asse x. La strada più corta è lalinea retta da (0, 1) a (3, −2) (con pendenza −3/3 = −1), che interseca l’asse x in x = 1. Non servono néil calcolo differenziale né le radici quadrate!

Un’applicazione magica: le serie di Taylor

Quando abbiamo dimostrato l’Equazione di Eulero, alla fine del capitolo precedente, abbiamo usatodelle strane formule:

Prima di vedere come ci si arriva, giochiamoci un po’. Guardate cosa succede a derivare ogni terminenella serie di ex . Per esempio, la regola per quanto riguarda le potenze dice che la derivata di x 4/4!vale (4x 3)/4! = x 3/3!, che è il termine precedente nella serie. In altre parole, se deriviamo la serie di ex

, riotteniamo di nuovo la serie di ex , proprio in accordo con quello che già sappiamo su ex ! Se deriviamo x − x 3/3! + x 5/5! − x 7/7! + … termine a termine, si ottiene 1 − x 2/2! + x 4/4! − x 6/6! + …, inaccordo con il fatto che la derivata del seno è un coseno. In maniera analoga, se si deriva la serie del

accordo con il fatto che la derivata del seno è un coseno. In maniera analoga, se si deriva la serie del

coseno, si ottiene la serie del seno cambiata di segno. Notate che le serie confermano il risultato cos 0 = 1, e dal momento che ogni esponente è pari, ilvalore cos(− x) sarà uguale a cos x, un altro risultato già noto. Inoltre, nella serie del seno, si vede che sin 0 = 0 e dal momento che tutti gli esponenti sono dispari,sin(− x) = − sin x, come previsto. A questo punto vediamo da dove arrivano queste formule. In questo capitolo abbiamo imparato comecalcolare la derivata delle funzioni più comuni, tuttavia può capitare di dover derivare una funzione piùvolte, per valutare la sua derivata seconda o la terza, o ancora di più, denotate come f’’(x), f’’’(x) e viadicendo. La derivata seconda f’’ (x) esprime la velocità di cambiamento della pendenza dellafunzione, detta anche concavità, nel punto (x, f(x)). La derivata terza esprime la velocità dicambiamento della derivata seconda e così via. Le formule sono dette serie di Taylor, dal nome del matematico inglese Brook Taylor (1685-1731).Per una funzione f(x) con derivate f’(x), f’’(x), f’’’(x) e così via, si ha che

per tutti i valori di x “abbastanza vicini” a 0. Ma cosa significa esattamente vicino? Per alcune funzioni,come ex , sin x e cos x, tutti i valori di x sono abbastanza vicini, mentre per altre, x deve essere piccoloaffinché la serie rappresenti la funzione. Vediamo cosa dice la formula per f(x) = ex . Visto che ex è la derivata prima di se stessa (ma anche laseconda, la terza…), ne consegue che

f(0) = f’(0) = f’’(0) = f’’’(0) = … = e 0 = 1

La serie di Taylor per ex vale quindi 1 + x + x 2/2! + x 3/3! + x 4/4! + …, come indicato. Quando x èpiccolo, basta calcolare i primi termini della serie per ottenere un’approssimazione eccellente dellarisposta esatta. Applichiamo tutto all’interesse composto. Nel capitolo precedente, abbiamo visto checon un interesse del 5 per cento e una capitalizzazione continua, 1000 € diventano in un anno 1000e0,05 € = 1051,27 €. Tuttavia, una buona stima di questo valore si può avere con l’approssimazionepolinomiale di Taylor al second’ordine

1000 € (1 + 0,05 + (0,05)2/2!) = 1051,25 €

Mentre con il terzo ordine si arriva a 1051,27 €. Illustriamo nel grafico alla pagina seguente l’approssimazione di Taylor, con y = ex rappresentata coni primi tre polinomi di Taylor. Aumentando il grado del polinomio di Taylor, l’approssimazione diventa sempre più accurata,specialmente per valori di x vicini allo 0. Ma cosa c’è nelle approssimazioni di Taylor che le rendecosì efficaci? L’approssimazione di primo grado (detta anche lineare) dice che per x prossimo a 0

f(x) ≈ f(0) + f’(0)x

Approssimazioni di Taylor di ex. Abbiamo così una retta che passa per il punto (0, f(0)) con pendenza f’(0). Allo stesso modo sidimostra che il polinomio di Taylor di grado n-esimo passa per (0, f(0)) con la stessa derivata, lastessa derivata seconda, terza e così via, fino alla n-esima derivata della funzione originale f(x).

A parte I polinomi e le serie di Taylor sono definiti anche per valori di x vicini ad altri numeri diversi da 0. Inparticolare, la serie di Taylor per f(x) rispetto al punto a è pari a

Così come nel caso in cui a = 0, la serie di Taylor equivale a f(x) per tutti i numeri reali o complessiabbastanza vicini ad a. Se consideriamo la serie di Taylor per f(x) = sin x, sappiamo che f’(x) = cos x, f’’(x) = − sin x, f’’’(x) = −cos x, f’’’’ (x) = sin x = f(x) di nuovo. Se le si calcolano in 0, cominciando da f(0), otteniamo un patternperiodico 0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, …, per cui ogni potenza pari di x sparisce dalla serie. Così per tutti ivalori di x, espressi in radianti, si ha che

Analogamente, per f(x) = cos x otteniamo

Infine, vediamo un caso in cui la serie di Taylor equivale alla funzione per alcuni valori di x, ma nonper tutti. Consideriamo f(x) = 1/(1 − x) = (1 − x) −1. Qui f(0) = 1 e, usando la regola della catena,otteniamo le prime derivate

f’(x) = −1(1 − x) −2(− 1) = (1 − x) −2 f’’(x) = (−2)(1 − x) −3(− 1) = 2(1 − x) −3 f’’’(x) = −6(1 − x) −4(− 1) = 3!(1 − x) −4 f’’’’(x) = −4!(1 − x) −5(− 1) = 4!(1 − x) −5

Continuando questo schema, oppure con una dimostrazione per induzione, si vede che la n-esimaderivata di (1 − x) −1 vale n!(1 − x) −(n+1), e che quando x = 0 la derivata n-esima diventasemplicemente n!. Di conseguenza, la serie di Taylor diventa

1/(1 − x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + …

Che però è valida solo per x compreso tra −1 e 1. Per esempio, con x maggiore di 1, gli addendidiventano sempre maggiori e la serie non è definita. Nel prossimo capitolo faremo ulteriori considerazioni su queste serie. Nel frattempo potrestechiedervi cosa significhi realmente sommare un numero infinito di numeri. Come può una sommasimile avere un risultato di qualsiasi tipo? È una domanda ben posta, e proveremo a rispondereesplorando la natura dell’infinito, un viaggio in cui incontreremo diversi risultati inattesi, spiazzanti,controintuitivi e meravigliosi.

Capitolo 12 La magia di infinito

Infinitamente interessante

E infine, signore e signori, parliamo di infinito. Abbiamo iniziato il nostro viaggio nel Capitolo 1sommando i numeri da 1 a 100:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = 5050

Per scoprire la formula che calcola la somma dei numeri da 1 a n:

E infine abbiamo incontrato alcune formule per sommare successioni finite di numeri. In questocapitolo vedremo le somme che hanno un numero infinito di addendi, come

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

Che vale 2, come spero di convincervi: non è all’incirca uguale a 2, ma esattamente uguale a 2.Alcune serie hanno soluzioni intriganti, come

1 − 1/3 + 1/5 + 1 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + … = π/4

Altre ancora, come

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + …

Sono senza soluzione. Diciamo che una serie va a infinito, scrivendolo in questo modo

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = ∞

Quando la somma continua a crescere senza limite. In altre parole, alla fine la somma sarà piùgrande di qualsiasi numero possiate immaginare: cento, un milione, mille miliardi di miliardi, quelloche volete. Alla fine del capitolo, arriveremo a mostrare che

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = (−1/12)

Vi stuzzica? Lo spero proprio! Quando si entra nelle penombre dell’infinito, possono accadere cosedavvero bizzarre, una delle ragioni che rendono la matematica tanto strana e affascinante. Ma infinito è un numero? Non proprio, anche se a volte lo trattiamo come se lo fosse. Parlandogenericamente, i matematici potrebbero dire che

∞ + 1 = ∞ ∞ + ∞ = ∞ 5 × ∞ = ∞ 1/∞ = 0

Tecnicamente, non esiste un numero che sia il maggiore di tutti: si potrà sempre aggiungere 1 eottenerne uno più grande. Il simbolo ∞ in effetti significa “grande a piacere”, oppure “maggiore diqualsiasi numero positivo”; allo stesso modo, il termine −∞ sarà minore di qualsiasi numeronegativo. A proposito: le quantità ∞ − ∞ (infinito meno infinito) e 1/0 sono indefinite. Si è tentati didefinire 1/0 = ∞, dal momento che quando dividiamo 1 per un numero positivo sempre più piccolo, ilquoziente diventa sempre più grande. Tuttavia c’è un problema: se dividete 1 per numeri negativimolto piccoli, il quoziente diventa sempre più negativo.

Una somma infinita importante: la serie geometrica

Cominciamo da un’affermazione accettata da qualsiasi matematico, ma che al resto delle persone faun certo effetto, quando la vedono per la prima volta:

0,99999… = 1

Tutti si rendono conto che i due numeri sono vicinissimi, ma la maggioranza delle persone fatica avederli come esattamente lo stesso numero. Lasciatemi illustrare come i due numeri siano in effettiuguali, usando qualche dimostrazione: spero che almeno una possa lasciarvi soddisfatti. La dimostrazione più rapida è probabilmente legata al fatto che, se accettate la proposizione

1/3 = 0,33333…

quando moltiplicate entrambi i lati per 3 si ottiene

1 = 3/3 = 0,99999…

Un’altra dimostrazione usa la tecnica già incontrata nel Capitolo 6 per calcolare i decimali periodici.Indichiamo l’espansione decimale con la variabile w:

w = 0,9999…

Se moltiplichiamo entrambi i lati per 10, otteniamo

10w = 9,99999…

Sottraendo la prima equazione dalla seconda

9w = 9,00000…

Il che significa che w = 1. Ecco ora una dimostrazione senza algebra: sarete d’accordo che se due numeri sono diversi, deveesistere un terzo numero diverso e compreso tra essi, per esempio la media. Allora, supponete perassurdo che 0,99999… e 1 siano diversi: quale numero si troverà tra essi? Se non riusciamo atrovarne neanche uno, allora non possono essere diversi. Diciamo che due numeri (o due somme infinite) sono uguali quando sono arbitrariamente vicini. Inaltre parole, la differenza tra le due quantità è minore di qualsiasi numero positivo possiateimmaginare, che sia 0,01, 0,0000001 oppure 1 diviso mille miliardi. Dal momento che la differenzatra 1 e 0,99999… è minore di qualsiasi numero positivo, i matematici concordano nel considerareuguali i due numeri. Con la stessa logica possiamo calcolare la seguente somma infinita:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 2

Diamo a questa somma un’interpretazione fisica, immaginando di trovarci a 2 metri di distanza da unmuro e di fare un passo di un metro verso di esso, poi un altro di mezzo metro, poi di un quarto, unottavo e così via. Ad ogni passo, la separazione tra noi e il muro si dimezza. Se ignoriamo la difficoltàpratica di fare passi sempre più piccoli, alla fine ci avvicineremo al muro di quanto desideriamo.Pertanto, la lunghezza totale di tutti i passi sarà esattamente 2. Possiamo illustrare la somma geometricamente, come nella figura seguente: si comincia con unrettangolo 1 per 2 di area 2, poi lo si taglia a metà, poi di nuovo a metà, e ancora e ancora. L’areadella prima regione tagliata sarà 1, quella della successiva 1/2, poi 1/4 e così via. Con n che va ainfinito, le regioni riempiono l’intero rettangolo, per cui l’area totale sarà 2.

Una dimostrazione geometrica del fatto che 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 2. Per una spiegazione di tipo più algebrico, si possono considerare le somme parziali, come nellatabella alla pagina seguente.

Lo schema ci suggerisce che per n ≥ 0,

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2 n = 2 − 1/2 n

dimostrabile per induzione, come abbiamo imparato nel Capitolo 6, oppure come caso particolaredella serie geometrica finita, di cui segue la formula. Teorema (serie geometrica finita): Per x ≠ 1 ed n ≥ 0,

Dimostrazione 1: Si può provare per induzione: quando n = 0, la formula dice che (certamente

vero). Se ora assumiamo che la formula sia vera per n = k , così che

allora la formula sarà valida anche per n = k + 1, dal momento che aggiungendo xk +1 a entrambi imembri, otteniamo

Come voluto. In alternativa si può dimostrare con l’algebra. Dimostrazione 2: Sia

S = 1 + x + x 2 + x 3 + … + xn

Moltiplicando entrambi i lati per x

xS = x + x 2 + x 3 + … + xn + xn +1

Sottraendo xS, abbiamo una quantità notevole di cancellazioni, così resta soltanto

S − xS = 1 − xn +1

In altre parole, S(1 − x) = 1 − xn +1 e quindi

Come voluto. Notate che quando x = 1/2, la serie geometrica finita conferma la somma di prima:

Al crescere di n, (1/2) n si avvicina sempre più a 0. Così, per n → ∞, abbiamo che

A parte Vi racconto una barzelletta che piace soltanto ai matematici. Un numero infinito di matematici entra inun bar. Il primo dice “Mi dia una birra”, il secondo grida “Mi dia mezza birra”, il terzo “Voglio un quarto dibirra”, il quarto “A me un ottavo di birra!”. Il barista li guarda ed esclama “Conosco bene i vostri limiti!”e dà loro due birre. Più in generale, qualsiasi numero compreso tra −1 e 1 elevato a potenze crescenti si avvicinasempre più a 0, così si costruiscono le più importanti serie geometriche infinite. Teorema (serie geometrica): Per −1 < x < 1,

La serie geometrica risponde all’ultimo problema ponendo x = 1/2:

La serie geometrica potrà sembrarvi familiare, perché l’abbiamo già incontrata alla fine del capitoloprecedente, quando abbiamo usato il calcolo differenziale per dimostrare che la funzione y = 1/(1 − x)

precedente, quando abbiamo usato il calcolo differenziale per dimostrare che la funzione y = 1/(1 − x)

equivale alla serie di Taylor 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + …. Vediamo altre cose che la serie geometrica ci insegna. Cosa possiamo dire sulla somma chesegue?

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …

Fattorizzando 1/4 da tutti gli addendi, otteniamo

1/4(1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + …)

Quindi la serie geometrica (con x = 1/4) porta alla semplificazione

1/4(1/(1 − 1/4)) = 1/4 × 4/3 = 1/3

Questa serie ha una dimostrazione particolarmente bella che non ha bisogno di parole ed è mostratanella figura alla pagina seguente. Notate che i quadrati scuri occupano esattamente un terzodell’area del quadrato grande. Possiamo usare la serie geometrica anche per la questione dello 0,99999…, dal momento cheun’espansione decimale infinita è in effetti una serie infinita mascherata. Per la precisione, usiamo laserie geometrica con x = 1/10 per scrivere

Dimostrazione senza parole: 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … = 1/3. La formula per la serie geometrica funziona anche quando x è un numero complesso, se la norma dix è minore di 1. Per esempio, il numero immaginario i/2 ha norma 1/2, così la serie geometrica diceche

Che possiamo disegnare nel piano complesso.

1 + i/2 + (i/2)2 + (i/2)3 + (i/2)4 + (i/2)5 + … = 4/5 + 2i/5. Anche se la serie geometrica finita è valida per tutti i valori di x ≠ 1, la serie geometrica infinitarichiede che |x| < 1. Per esempio, con x = 2, la serie geometrica finita, come dimostrato nel Capitolo6, calcola correttamente

Mentre se poniamo x = 2 nella formula della serie geometrica

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = 1/(1 − 2) = − 1

Che sembrerebbe ridicolo… anche se nell’ultimo paragrafo daremo un’interpretazione plausibile diquesto risultato.

A parte Esistono infiniti interi positivi:

1, 2, 3, 4, 5 …

E c’è anche un numero infinito di interi positivi pari

2, 4, 6, 8, 10…

I matematici dicono che l’insieme dei numeri interi positivi e degli interi positivi pari hanno la stessapotenza (o la stessa cardinalità oppure lo stesso livello di infinito) perché possiamo associarli traloro uno a uno:

Un insieme che può essere accoppiato ai positivi interi si dice numerab ile. Gli insiemi numerabilihanno il livello di infinito minore. Qualsiasi insieme che si possa elencare è numerabile, infatti ilprimo elemento dell’elenco corrisponde a 1, il secondo a 2 e così via. L’insieme di tutti gli interi

… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3…

non può essere elencato dal minore al maggiore (quale sarebbe il primo numero dell’elenco?),tuttavia si può scegliere questa modalità:

0, 1, −1, 2, −2, 3, −3…

Pertanto, l’insieme di tutti gli interi è numerabile ed è equipotente a quello degli interi positivi. Consideriamo invece i numeri razionali positivi, ossia i numeri che si scrivono nella forma m /n con med n interi positivi. Che ci crediate o meno, anche questo insieme è numerabile, perché può essereordinato in questo modo:

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1

In cui abbiamo elencato le frazioni in base alla somma del numeratore e del denominatore. Ogninumero razionale compare nella lista, per cui anche i positivi razionali sono numerabili.

A parte Esistono insiemi di numeri che sono infiniti e non numerabili? Il matematico tedesco Georg Cantor(1845-1918) dimostrò che i numeri reali, anche se ristretti soltanto all’intervallo compreso tra 0 e 1,sono innumerabili. Potremmo elencarli in questo modo:

0,1; 0,2; …; 0,9; 0,01; 0,02; …; 0,99; 0,001; 0,002; …0,999; …

E avanti così. Tuttavia in questo modo si stanno considerando soltanto i numeri reali con un numerofinito di cifre. Per esempio, il numero 1/3 = 0,333… non comparirà mai in questa lista. Non esiste unmodo più creativo per elencare i numeri reali? Cantor ha dimostrato che è impossibile, con ilseguente ragionamento. Supponiamo per assurdo che i numeri reali siano elencabili. Per essereconcreti, immaginiamo una lista che cominci così

0,314159265… 0,271828459… 0,618033988… 0,123581321… …

Possiamo dimostrare che la lista è di sicuro incompleta se troviamo un numero reale che non viappartiene. In particolare, consideriamo il numero reale 0,r 1 r 2 r 3 r 4… in cui r 1 è un intero tra 0 e 9che differisce dal primo numero per la prima cifra (nel nostro esempio, r 1 ≠ 3), mentre r 2 differiscedal secondo numero nella seconda cifra (qui, r 2 ≠ 7) e così via. Per esempio, possiamo generare ilnumero 0,2674… che non può stare sulla lista da nessuna parte. Vi chiederete perché non sia, perdire, il milionesimo elemento dell’elenco. Semplicemente perché, per costruzione, è diverso nellamilionesima cifra decimale. Pertanto, qualsiasi elenco possiate creare, mancherà di certo almeno unnumero, da cui segue che i numeri reali non sono numerabili. Questo è il cosiddetto argomento didiagonalizzazione di Cantor. In sostanza, abbiamo mostrato che pur se esistono infiniti numeri razionali, ci sono molti piùirrazionali. Se scegliete un numero a caso dalla retta dei reali, quasi sicuramente sarà un irrazionale. Le serie infinite compaiono spesso nei problemi di probabilità. Supponete di lanciare ripetutamentedue dadi a sei facce fino a che non compare una somma pari a 6 o 7. Se esce 6 prima di 7, si vince,in caso contrario si perde. Qual è la probabilità di vittoria? Ci sono 6 × 6 = 36 lanci equiprobabili; 5 diquesti, con somma 6, sono (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), mentre 6 hanno somma 7, ossia (1, 6), (2,5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Pertanto, parrebbe che la probabilità di vittoria sia inferiore al 50 percento. A intuito, lanciando i dadi ci sono solo 5 + 6 = 11 risultati che contano, il resto richiede ulteriorilanci. Tra gli 11 utili, 5 vincono e 6 perdono, per cui sembra che la probabilità di vincere sia 5/11.Possiamo dimostrarlo usando le serie infinite. La probabilità di vincere al primo lancio vale 5/36. Pervincere al secondo, occorre invece che al primo non esca né 6 né 7, mentre al secondo deve uscire6. La probabilità di avere 6 o 7 al primo lancio è 5/36 + 6/36 = 11/36, pertanto la probabilità che nonescano sarà 25/36. Per calcolare la probabilità di vincere al secondo lancio, si moltiplica questonumero per la probabilità di ottenere 6 in un lancio singolo, che è 5/36, così il risultato cercato vale(25/36)(5/36). Per vincere al terzo lancio, nei primi due non devono uscire 6 o 7, mentre al terzo devearrivare il 6, quindi la probabilità sarà (25/36)(25/36)(5/36). La possibilità di vincere al quarto tiro vale(25/36)3(5/36) e così via. Se sommiamo tutte le possibilità, la probabilità totale di vittoria è

Come atteso.

Serie armonica e sue variazioni

Quando una serie infinita ha per somma un numero finito, si dice che la serie converge a quelnumero, altrimenti, quando non capita, si dice che la serie diverge. Se c’è convergenza, allora isingoli addendi diventano sempre più piccoli, come per esempio nella serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …,che converge a 2 e in cui i singoli termini 1, 1/2, 1/4, 1/8… tendono a 0. Tuttavia non è vero il contrario, e infatti esistono serie che divergono anche se i singoli addendidiventano sempre più piccoli: tra questi casi, il più importante è quello della serie armonica, cosìchiamata per via degli antichi greci, scopritori del fenomeno per cui corde di lunghezza proporzionalea 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … producono suoni armonici. Teorema: La serie armonica diverge, quindi

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … = ∞

Dimostrazione: Per dimostrare che la somma è infinita, occorre provare che diventa grande apiacere. Per farlo dividiamo la serie in componenti diverse sulla base del numero di cifre deldenominatore. Notate che i primi 9 termini sono più grandi di 1/10, quindi

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 > 9/10

I 90 addendi successivi sono tutti maggiori di 1/100, così

1/10 + 1/11 + 1/12 + … + 1/99 > 90 × 1/100 = 9/10

Ancora, i 900 termini che seguono sono ognuno più grande di 1/1000. Allora

1/100 + 1/101 + 1/102 + … + 1/999 > 900/1000 = 9/10

Se continuiamo, vedremo che

1/1000 + 1/1001 + 1/1002 + … + 1/9999 > 9000/10.000 = 9/10

E via dicendo. Pertanto, la somma di tutti i numeri sarà almeno

9/10 + 9/10 + 9/10 + 9/10 + …

Che cresce senza limite.

A parte Ecco una cosa divertente.

1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n ≈ γ + ln n

dove la lettera greca γ è il numero 0,5772155649…, detta anche costante di Euler-Mascheroni,mentre ln n è il logaritmo naturale di n introdotto nel Capitolo 10. Per la cronaca, non si sa se γ siarazionale o meno. L’approssimazione migliora per n crescenti, come si vede dalla tabella.

Altrettanto affascinante è il fatto che se consideriamo soltanto i denominatori primi, per un numeroprimo p grande,

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + … + 1/p ≈ M + ln ln p

dove M = 0,2614972… è la costante di Mertens e l’approssimazione diventa sempre più accurata alcrescere di p. Tra le conseguenze, abbiamo che

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + … = ∞

Che va ad infinito davvero lentamente, perché il log del log di p è piccolo, anche per p molto grandi. Per esempio, se sommiamo i reciproci di tutti i numeri primi più piccoli di googol (10100), la sommacontinua ad essere minore di 6. Vediamo cosa succede se modifichiamo la serie armonica. Se eliminiamo un numero finito ditermini, la serie continua a divergere. Per esempio, togliamo il primo milione di addendi, 1 + 1/2 + …+ 1/106, la cui somma è un po’ più piccola di 14, ciò che resta si somma sempre a infinito. Se ne maggioriamo i termini, la serie continua a divergere. Per esempio, dal momento che per n > 1,

, si ha che

Tuttavia, se al contrario riduciamo gli addendi, ciò non implica necessariamente che la serieconverga. Per esempio, la serie armonica diverge anche se dividiamo ogni termine per un fattore100, dal momento che

Ciononostante, ci sono alcuni cambiamenti della serie che la portano alla convergenza.Consideriamo di quadrare ogni addendo, per esempio: la serie convergerà. Come ha dimostratoEuler,

Infatti si può mostrare con il calcolo integrale che per ogni p > 1,

converge a un numero minore di p/(p − 1). Per esempio, se p = 1,01, abbiamo una serie convergenteanche se gli addendi sono di poco più piccoli rispetto a quelli della serie armonica.

Supponiamo di rimuovere dalla serie armonica tutti i numeri che contengono da qualche parte un 9.In questo caso, si dimostra che la serie non si somma a infinito, bensì converge a qualcosa.Dimostriamolo contando i numeri senza i 9 con un denominatore di lunghezza qualsiasi. Peresempio, cominciamo con le 8 frazioni con denominatore a una cifra, ossia da 1/1 a 1/8. Quindi, cisono 8 × 9 = 72 numeri a due cifre senza 9, infatti abbiamo 8 scelte per la prima cifra (tutto tranne 0 e9) e 9 possibilità per la seconda. In modo analogo, ci sono 8 × 9 × 9 numeri a tre cifre senza 9 e ingenerale, 8 × 9 n − 1 numeri di n cifre senza 9. Notiamo come la più grande tra le frazioni a una cifra è1, mentre quella tra le frazioni a due cifre è 1/10, con tre cifre 1/100, così la serie si può scomporrecome segue:

E via dicendo. La somma di tutti i numeri sarà al massimo

usando la serie geometrica. Quindi, la serie senza i 9 converge a un numero minore di 80. Un modo per interpretare la convergenza di questa serie è pensare che tutti i numeri grandi hannoalmeno un 9 tra le proprie cifre. In effetti, usando un generatore di numeri casuali, con le cifre sceltetutte in modo casuale tra 0 e 9, la probabilità di non avere il numero 9 tra le prime n cifre sarebbe

tutte in modo casuale tra 0 e 9, la probabilità di non avere il numero 9 tra le prime n cifre sarebbe

(9/10) n , che tende a 0 per n crescente.

A parte Se prendiamo le cifre di π e di e come due righe casuali di cifre, abbiamo una certezza virtuale che daqualche parte comparirà il vostro intero preferito. Per esempio, il numero a quattro cifre chepreferisco, 2520, si presenta tra le cifre 1845 e 1848 di π. I primi 6 numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,si trovano a partire dalla cifra 820.390. Non sorprende che ciò accada nel primo milione, visto checon un numero casuale la probabilità che ci sia corrispondenza tra una sequenza di 6 cifre e ilnumero cercato è una su un milione. D’altro canto, è abbastanza sorprendente che il numero 999.999 appaia molto presto in π, dalla cifra763. Il fisico Richard Feynman commentò che memorizzando le cifre di π fino alla 767-esimaposizione decimale, le persone avrebbero potuto credere che π fosse un numero razionale, poichérecitandolo si sarebbe concluso con un “999.999 e così via”. Ci sono programmi e siti web pertrovare la vostra sequenza preferita di cifre dentro π ed e. Usandone uno ho scoperto chememorizzando π fino alla 3000-esima cifra decimale, avrei concluso con 31.961, che è fantastico,essendo marzo, 19, 1961, proprio la mia data di nascita!

Somme infinite impossibili e intriganti

Ricapitoliamo alcune delle serie incontrate finora. Abbiamo iniziato il capitolo studiando

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 2

per scoprire che era un caso speciale della serie geometrica, che per ogni valore di x per cui −1 < x <1,

Notate che la serie geometrica funziona anche per numeri negativi compresi tra 0 e −1: per esempio,ponendo x = −1/2, avremo

Una serie con addendi positivi e negativi che si alternano ma che diventano sempre più piccoli èdefinita serie alternata e ha la proprietà di convergere sempre. Per mostrarlo con la serie alternata diprima, disegnate la retta reale e mettete il dito sullo 0. Quindi spostatevi a destra di 1, poi a sinistra di1/2, poi di nuovo a destra di 1/4. A questo punto, il dito dovrebbe essere su 3/4. Ora muovetevi asinistra di 1/8, raggiungendo così 5/8 e così via. Il dito alla fine arriverà in un punto preciso, in questocaso 2/3. Adesso consideriamo la serie alternata

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + …

Dopo quattro termini, sappiamo già che la serie infinita varrà almeno 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 = 7/12 =0,583…, e dopo cinque termini, sappiamo che sarà almeno 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 = 47/60 =0,783… Alla fine, la serie vale qualcosa un po’ a metà strada tra questi due valori, cioè 0,693147…che possiamo determinare usando il calcolo differenziale. Come riscaldamento per questo tipo di calcolo, consideriamo la serie geometrica

E vediamo che cosa accade quando differenziamo entrambi i membri. Dal Capitolo 11 sappiamo chele derivate di 1, x, x 2, x 3, x 4 e via dicendo, sono rispettivamente 0, 1, 2x, 3x 2, 4x 3 e così via. Pertanto,se assumiamo che la derivata di una serie infinita è la somma (infinita) delle derivate, usando laregola della catena per derivare (1 − x) −1, otteniamo che per −1 < x < 1,

Adesso prendiamo la serie geometrica ma sostituiamo x con − x, così per −1 < x < 1,

Possiamo ora fare l’operazione inversa della derivazione per entrambi i membri, che gli studenticonoscono con il nome di integrazione. Per trovare l’inverso della derivata, muoviamoci a ritroso. Peresempio, la derivata di x 2 è 2x, pertanto, se ci muoviamo all’indietro, possiamo dire che l’inversodella derivata di 2x è x 2. (Nota tecnica per gli studenti di calcolo differenziale: la derivata di x 2 + 5, o dix 2 + π, o di x 2 + c per ogni numero c, vale sempre 2x, quindi l’inverso della derivata di 2x in realtà è x2 + c.) Gli inversi delle derivate di 1, x, x 2, x 3 e x 4 sono pertanto, rispettivamente, x, x 2/2, x 3/3, x 4/4 e x5/5, mentre l’inverso della derivata di 1/(1 + x) è il logaritmo naturale di 1 + x. Quindi, per −1 < x < 1,

(Nota tecnica per gli studenti di calcolo differenziale: il termine costante nel lato sinistro vale 0, vistoche per x = 0 vogliamo che a lato sinistro valga ln 1 = 0.) Per x che tende a 1, scopriamo il significatonaturale di 0,693147… ossia

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + … = ln 2

A parte Se scriviamo la serie geometrica sostituendo x 2 a x, otteniamo, per x compresa tra −1 e 1,

1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − ··· =

In tutti i testi di calcolo differenziale si mostra come y = tan −1 x abbia derivata y’ = . Pertanto, se

prendiamo l’inverso delle derivate di entrambi i lati, notando che tan −1 0 = 0, otteniamo

Con x che si avvicina a 1, abbiamo che

1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + … = tan −1 1 = π/4

Fino a qui abbiamo visto come si può usare la serie geometrica, adesso vediamo come se ne puòabusare. La formula della serie geometrica dice che

per valori −1 < x < 1. Vediamo che cosa succede quando x = −1: la formula diventa

che è chiaramente impossibile. Dal momento che stiamo sommando e sottraendo interi, non c’èmodo di ottenere un valore frazionario come 1/2, anche se la somma è convergente. D’altra parte, ilrisultato non è completamente ridicolo, perché quando analizziamo le somme parziali scopriamo che

E così via. Dal momento che metà delle somme parziali vale 1 e l’altra metà vale 0, il risultato 1/2 nonpare tanto irragionevole. Se usiamo un valore non permesso come x = 2, la serie geometrica porta a

Il risultato sembra ancora più assurdo di prima: come può essere negativa la somma di numeripositivi? Ciononostante, un’interpretazione ragionevole c’è. Nel Capitolo 3 abbiamo incontratosituazioni in cui i numeri positivi potevano comportarsi come negativi, grazie a relazioni come 10 ≡ −1(mod 11), che ci permettono affermazioni come 10k ≡ (−1) k (mod 11). Ecco quindi un modo per capire 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … che richiede di pensare in modo un po’diverso, fuori dagli schemi. Se ricordate, nel Capitolo 4 abbiamo osservato che ogni intero positivopuò essere rappresentato dalla somma di potenze di 2 in modo univoco e che questo è ilfondamento dell’aritmetica binaria, grazie alla quale funzionano i computer digitali. Ogni intero usa unnumero finito di potenze di 2: se prendiamo 106 = 2 + 8 + 32 + 64, si vede che sono presenti soloquattro potenze di 2. Ora immaginiamo di avere degli interi infiniti, in cui possiamo usare tantepotenze di 2 quante ne vogliamo. Un tipico intero infinito potrebbe essere

1 + 2 + 8 + 16 + 64 + 256 + 2048 + …

Dove compaiono tutte le potenze di 2, all’infinito. Che cosa possano rappresentare questo tipo dinumeri è poco chiaro, tuttavia possiamo definire una loro aritmetica con regole coerenti. Peresempio, potremmo sommare questi numeri se lasciamo che i riporti avvengano nel modo piùnaturale. Proviamo ad aggiungere 106 al numero infinito di sopra:

Dove 2 + 2 si somma e fa quattro, 8 + 8 fa 16, ma sommato al 16 successivo fa 32, che si somma al32 seguente creando 64, che diventa 128. Tutto, da 256 in su, resta immutato. Adesso pensiamo acosa succede se prendiamo l’intero infinito “più grande di tutti” e aggiungiamo 1.

Il risultato sarebbe una catena infinita di riporti senza che nessuna potenza di 2 appaia sotto la riga.La somma può quindi essere immaginata come uno 0. Ma se (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) + 1 = 0,sottraendo 1 da entrambi i lati avremo che la somma infinita equivale a −1. La somma infinita impossibile che preferisco è questa:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = (−1)/12

“Dimostriamola” con un approccio algebrico, simile a quello usato per la seconda dimostrazionedella serie geometrica finita. Questo approccio è valido per le somme finite, ma nel caso di serieinfinite può generare risultati che sembrano assurdi. Per cominciare, usiamo questo metodo perdimostrare un’identità vista in precedenza. Riscriviamo la somma due volte, ma trasliamo gli addendidi uno spazio nella seconda somma come segue:

S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − …

Sommando le due equazioni si ottiene

2S = 1

E quindi S = 1/2, come visto anche in precedenza, quando abbiamo posto x = −1 nella seriegeometrica.

A parte Si può usare l’algebra con le traslazioni per una dimostrazione veloce, ma non rigorosa, della seriegeometrica.

S = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + …

xS = x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + …

Sottraendo le due equazioni otteniamo

S(1 − x) = 1

E quindi

Adesso siamo in grado di dire che anche la versione alternata della serie che ci interessa ha unrisultato notevole, infatti

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + … = 1/4

Ecco la dimostrazione con l’algebra a traslazione. Scriviamo la somma due volte

T = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + …

T = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − …

Quando sommiamo le due equazioni otteniamo

2T = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

Quindi 2T = S = 1/2 e così T = 1/4, come voluto. Infine, vediamo cosa succede se scriviamo la somma di tutti gli interi positivi, indicata con U, e sottomettiamo la somma di prima, T, senza nessuna traslazione.

U = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + …

T = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + …

Sottraendo la seconda equazione dalla prima

U − T = 4 + 8 + 12 + 16 + … = 4(1 + 2 + 3 + 4 + …)

In altre parole,

U − T = 4U

Risolvendo in U, otteniamo 3U = − T = −1/4 e pertanto

U = −1/12

Come previsto. Per la cronaca, sommando un numero infinito di interi positivi, la somma diverge a infinito. Tuttavia,prima di bollare tutti i risultati finiti come magia pura, proviamo a vedere se non esiste un contesto incui tutto questo ha un senso. Allargando il nostro punto di vista sui numeri, abbiamo individuato unmodo per cui la somma 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = −1 non era così inverosimile. Ricordate anche chenon potevamo trovare un numero che, elevato al quadrato, desse −1, almeno fino a quando abbiamoconfinato i numeri sulla retta dei reali, mentre è diventato possibile non appena abbiamo visualizzatoi numeri complessi come i punti di un piano con un insieme di regole algebriche coerenti. E infatti,ecco che i fisici teorici impegnati nello studio della teoria delle stringhe riescono a dare un senso allaserie 1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12, usando nei loro calcoli il risultato della serie. Quando incontraterisultati paradossali come le serie che vi ho mostrato, potete considerarli semplicemente impossibilie finirla lì, oppure usare l’immaginazione per considerare altre possibilità, magari scoprendo unmeraviglioso sistema con regole proprie. Concludiamo il libro con un ultimo risultato paradossale. All’inizio del paragrafo abbiamo visto che laserie alternata

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + …

Converge al numero ln 2 = 0,693147… Se sommassimo i numeri della serie con un ordine diverso,ci aspetteremmo di ottenere lo stesso risultato, dal momento che la proprietà commutativadell’addizione dice che A + B = B + A per tutti i numeri A e B. Tuttavia, guardate cosa capita quandoriordiniamo la serie in questo modo:

1 − 1/2 − 1/4 + 1/3 − 1/6 − 1/8 + 1/5 − 1/10 − 1/12 + …

Notate che i numeri da sommare sono esattamente gli stessi, visto che tutte le frazioni condenominatore dispari si sommano e tutte quelle con denominatore pari sono sottratte. Anche se inumeri pari sono sommati più frequentemente, per la precisione a velocità doppia rispetto ai numeridispari, entrambi hanno una sorgente inesauribile e alla fine tutte le frazioni della serie originalecompaiono una sola volta nella nuova somma. D’accordo? Tuttavia, notate che la nuova serieequivale a

Che è la metà della serie originale! Com’è possibile? Come può accadere che riordinando uninsieme di numeri si possa ottenere una somma completamente diversa? La risposta,sorprendente, è che la proprietà commutativa dell’addizione può non essere valida quando si

sorprendente, è che la proprietà commutativa dell’addizione può non essere valida quando si

somma un numero infinito di addendi. Il problema si pone nelle serie convergenti ogni volta che i termini postivi e quelli negativi presi inmodo separato formano serie divergenti. In altre parole, gli addendi positivi si sommano a ∞ e quellinegativi a −∞, proprio come nel caso del nostro esempio. Successioni di questo genere prendono ilnome di serie a convergenza condizionale ed è incredibile come possano essere riordinate perottenere il totale desiderato. Come possiamo riordinare la serie di prima per ottenere 42? Dovremmosommare un numero sufficiente di termini positivi fino a che la somma ecceda 42, per poi sottrarre ilprimo termine negativo. Dopodiché, si aggiungono altri addendi positivi fino a superare 42, persottrarre quindi il secondo termine negativo. Ripetendo il procedimento, alla fine la serie arriveràsempre più vicina a 42: per esempio, dopo aver sottratto il quinto termine negativo, −1/10, sarete a0,1 da 42; dopo aver sottratto il cinquantesimo negativo, −1/100, sarete a 0,01 da 42 e così via. La maggior parte delle serie infinite che si incontrano nella pratica non mostrano questo tipo dicomportamento. Sostituendo ogni addendo con il suo valore assoluto, in modo che ogni terminenegativo si trasformi in positivo, se la nuova serie converge, allora la serie originale è dettaassolutamente convergente. Per esempio, la serie alternante incontrata in precedenza

1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + 1/16 − ··· = 2/3

è assolutamente convergente, poiché sommando i valori assoluti dei suoi addendi otteniamo unaserie familiare, che converge:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ··· = 2

Con le serie a convergenza assoluta, la proprietà commutativa funziona sempre, anche con addendiinfiniti. Così, per la serie alternante di prima, per quanto ingarbugliato sia il riordino dei termini 1,−1/2, 1/4, −1/8…, la serie che se ne ottiene converge sempre a 2/3. A differenza delle serie infinite, un libro a un certo punto deve finire. Certamente non oserei andareoltre l’infinito, per cui questo mi sembra un bel punto per fermarmi. Tuttavia, non posso resistere aun’ultima divagazione matemagica.

Bis! Quadrati magici!

Come ricompensa per essere arrivati fin qui, vi propongo per divertimento un altro tema matematicoun po’ magico. Non ha a che vedere con infinito, ma contiene la parola magico al quadrato nelnome… quadrati magici. Un quadrato magico è una griglia quadrata di numeri in cui ogni riga,colonna e diagonale ha la stessa somma. Il più celebre quadrato magico 3 per 3 è mostrato diseguito: tutte le righe, colonne e diagonali hanno somma 15.

Un quadrato magico 3 per 3 a somma magica 15. Ora vi rivelerò una proprietà di questo quadrato magico un po’ meno conosciuta, che io chiamoproprietà quadrato-palindroma. Se considerate ogni riga ed ogni colonna come fossero numeri di 3cifre, e ne prendete la somma dei quadrati, troverete che

4922 + 3572 + 8162 = 2942 + 7532 + 6182

4382 + 9512 + 2762 = 8342 + 1592 + 6722

Un fenomeno analogo si verifica anche per alcuni numeri presi spostandosi in diagonale, come

4562 + 3122 + 8972 = 6542 + 2132 + 7982

Davvero “quadrati” magici! Il più semplice tra i quadrati magici 4 per 4 usa i numeri da 1 a 16; tutte le righe, le colonne e lediagonali hanno per somma 34, come in quello raffigurato qui sotto. Sia i matematici sia i maghiamano molto i quadrati magici 4 per 4 perché in genere contengono decine di modi diversi diottenere la somma magica. Per esempio, nel quadrato magico qui sotto, oltre alle righe, alle colonnee alle diagonali che hanno somma 34, ci sono anche i quadrati interni 2 per 2, tra cui il quadrantesuperiore sinistro (8, 11, 13, 2), i quattro numeri nel mezzo e i quattro angoli del quadrato magico.

Un quadrato magico con somma 34. Ogni riga, colonna e diagonale ha somma 34, così comequasi tutte le quaterne di numeri posti in modo simmetrico. Avete un numero preferito a due cifre maggiore di 20? Potrete creare all’istante un quadrato magicocon somma magica T usando soltanto i numeri che vanno da 1 a 12 e i quattro numeri T − 18, T − 19,T − 20 e T − 21 come vi mostro adesso. Per esempio, guardiamo il quadrato magico nella figura con somma magica T = 55. Tutte le quaterneche prima avevano somma 34, ora si sommano a 55, fintanto che il gruppo di 4 include un soloquadretto (non 2, e neppure 0) che usa la variabile T. Così i quadrati superiori destri avranno somma(35 + 1 + 7 + 12 = 55), ma quelli medi a sinistra no (34 + 2 + 3 + 37 ≠ 55).

Un quadrato magico con somma magica T.

Un quadrato magico con somma magica 55. Certo non tutti hanno un numero a due cifre preferito, ma tutti hanno una data di nascita, inoltre horiscontrato che le persone apprezzano enormemente i quadrati magici costruiti con il loro giorno dinascita. Ecco il metodo che uso per costruire un quadrato magico a “doppio compleanno”, in cui ilgiorno di nascita compare in effetti due volte: nella riga superiore e nei quattro numeri agli angoli. Seil giorno di nascita è composto dai quattro numeri A, B, C e D, il quadrato magico si crea così. Notateche ogni riga, e la maggior parte delle quaterne piazzate in modo simmetrico avranno sommamagica A + B + C + D

Un quadrato magico a “doppio compleanno”.La data A/B/C/D appare nella riga superiore e nei quattro angoli. La data di nascita di mia madre è il 18 novembre 1936, pertanto il quadrato magico si presenta così:

Un quadrato magico di compleanno per mia madre: 11/18/36, con somma magica 38. Adesso potete creare un quadrato magico con la vostra data di nascita. Se seguite lo schema che viho indicato, il totale della vostra data di nascita comparirà almeno una trentina di volte. Vedete quantevolte la trovate! Sebbene i quadrati magici 4 per 4 abbiano la maggior parte delle combinazioni, ci sono dei metodiper generare quadrati magici ancora più grandi. Per esempio, vi propongo questo quadrato 10 per 10che usa i numeri da 1 a 100.

Un quadrato magico 10 per 10 che usa i numeri da 1 a 100. Riuscite a calcolare la somma magica di ogni riga, colonna e diagonale senza sommare nessuno diquesti? Certo che sì! Dal momento che molte pagine fa abbiamo dimostrato che la somma dei primi100 numeri fa 5050, ogni riga dovrà avere come somma un decimo di quella, pertanto la sommamagica vale 5050/10 = 505. Il libro è cominciato con il problema di sommare i numeri da 1 a 100 e misembra appropriato concludere con lo stesso argomento. Mi congratulo e vi ringrazio per averlo lettofino alla fine: abbiamo coperto molti concetti matematici, idee, strategie per la soluzione dei problemi.Sfogliando le pagine all’indietro, o leggendo altri libri sul pensiero matematico, spero che troviate leidee qui presentate utili, interessanti e magiche.

Epilogo Spero che questo non sarà l’ultimo libro di matematica che leggerete, perché ce ne sono davvero diottimi. In effetti, la maggior parte della matematica interessante che ho imparato non era nei corsi ascuola, e molte idee sono presenti qui nel libro. Questo libro è frutto del mio video-corso The Joy of Mathematics, prodotto da “The Great Courses”.Contiene 24 lezioni da 30 minuti su tutti gli argomenti qui trattati, con in più The Joy of Probab ility,Mathematical Games e Magic (sono grato che mi sia stato permesso di trasporre molte idee dalcorso al libro). I “Great Courses” annoverano più di 30 corsi di matematica, in audio, video e formatiscaricabili, su diverse aree della matematica, inclusi interi corsi dedicati all’algebra, alla geometria,al calcolo differenziale e alla storia della matematica. Gli editori hanno svolto un lavoro eccellente,trovando alcuni tra i migliori professori per insegnare nei loro corsi, ed è stato un grande onorecreare un corso per loro. Altri tre dei miei corsi sono Discrete Mathematics, The Secrets of Mental Mathe The Mathematics of Games and Puzzles. Se cercate del material stampato per il calcolo mentale, potete consultare il mio libro Secrets ofMental Math, scritto insieme a Michael Shermer, pubblicato da Random House, che entra nei dettaglidi come risolvere velocemente e con accuratezza tutti i tipi di problema, grandi e piccoli. Se sapetetutte le tabelline fino al 10, avete tutto ciò che vi serve per apprendere le tecniche illustrate nel libro.Per offrire un approccio ancora più basilare, ho scritto un libro di esercizi per eseguire addizioni esottrazioni a mente dedicato ai bambini delle elementari, che s’intitola The Art of Mental Calculation(illustrato splendidamente dalla coautrice, Natalya St. Clair). Ho scritto altri tre libri per lettori esperti. La Mathematical Association of America (MAA) ha pubblicatoProofs That Really Count: The Art con Jennifer J. Quinn, Biscuits of Number Theory, curato insieme aEzra Brown. Il mio libro più recente è The Fashinating World of Graph Theory, con Gary Chartrand ePing Zhang, pubblicato da Princeton University Press. Ho un debito di gratitudine nei confronti di Martin Gardner, il più grande matemagico di tutti i tempi,che ha scritto più di duecento libri, molti sulla matematica ricreativa. I suoi libri e la sua rubrica“Mathematical Games” su “Scientific American” hanno ispirato generazioni di matematici e diappassionati. Seguendo le orme di Gardner, raccomando anche tutti i libri di Alex Bellos, IvarsPeterson e Ian Stewart. Uno dei migliori libri nuovi di questo genere è The Joy of X: A Guided Tour ofMath, from One to Infinity, di Steven Strogatz. Se consideriamo i libri di testo di matematica dedicati a un pubblico più esperto, sono un grandesostenitore della serie di libri The Art of Prob lem Solving, di Richard Rusczyk, che include titoli difficilima scritti con chiarezza su algebra, geometria, calcolo differenziale, prob lem solving e altro. Sul sitoArtOfProblemSolving.com si trovano anche corsi per studenti che si divertono con la matematica eamano le competizioni. In rete si trovano altre risorse molto interessanti, come per esempio quelle del mio collega FrancisSu, che riporta centinaia di esempi matematici mozzafiato sulla sua pagina Math Fun Facts(www.math.hmc.edu/funfacts). Sono stati pensati con originalità per insegnanti che vogliano proporrequalcosa di veloce e intrigante nei primi cinque minuti della lezione. Alex Bogomolny ha creato unsito, Cut the Knot (Cut-The-Knot.org) con decine di «miscellanee e rompicapi interattivi dimatematica» che vi divertiranno a lungo. In uno dei post trovate più di cento dimostrazioni delTeorema di Pitagora. Se cercate video divertenti, consultate quelli creati da Numberphile(Numberphile.com), che presentano la matematica nel modo più divertente in assoluto.

Non ho altro da aggiungere, quindi buon proseguimento!

Ringraziamenti Questo libro non sarebbe stato possibile senza i continui incoraggiamenti del mio agente, KarenGantz Zahler e il sostegno entusiasta del mio straordinario editor, TJ Kelleher di Basic Books. Nonriesco neanche a immaginare come avrei potuto completare il progetto senza l’aiuto impagabile diNatalya St. Clair, che ha creato molte delle figure, delle illustrazioni e dei grafici matematici cheriempiono il libro. Natalya ha un dono nel rendere bella la matematica ed è una gioia lavorare con lei. Ho ricevuto tonnellate di commenti utilissimi dal mio exstudente Sam Gutekunst, che ha letto congrande attenzione ogni capitolo. Sam ha migliorato il libro in così tanti modi da rendere più facile illavoro di TJ. Sono stato fortunato, perché ho avuto dalla mia gli occhi attenti dei matematici Amy Shell-Gellasch e Vincent Matsko, che hanno letto ogni capitolo offrendo molti suggerimenti con profondeconseguenze sul prodotto finale. Sono fortunato, perché circondato da tanti meravigliosi colleghi e studenti all’Harvey Mudd College.Un ringraziamento speciale al professor Francis Su per le tante chiacchierate e per il suo sito MathFun Facts, a Scott e Carol Ann Smallwood, per avermi concesso la Smallwood Family Chair inMathematics. Sono grato a Christopher Brown, Gary Chartrand, Jay Cordes, John Fort, Ron Graham,Mohamed Omar, Jason Rosenhouse e a Natalya St. Clair per le ottime discussioni e idee. Ringrazio Ethan Brown per aver condiviso i trucchi mnemonici per memorizzare π, Doug Dunham peril permesso di usare la sua immagine della farfalla, Dale Gerdemann per la creazione deldiagramma di Sierpinski, Mike Keith per il permesso di usare il suo incredibile tributo a π, Near aRaven, ai matemusicisti Larry Lesser e Dane Camp per aver concesso le strofe di Mathematical Pi edi Knowin’ Induction, infine a Natalya St. Clair per la foto della Golden Rose. Grazie alla professionalità dello staff di Perseus Books. È stato un piacere lavorare con Quynh Do, TJKelleher, Cassie Nelson, Melissa Veronesi, Sue Warga e Jeff Williams, oltre a un numero sconfinatodi persone che hanno lavorato dietro le quinte. Devo un ringraziamento enorme a “The Great Courses” per aver prodotto questi meravigliosi corsi inDVD che mi hanno permesso di portare la matematica al grande pubblico in un modo che mai avreipensato possibile, e per avermi concesso di usare molti dei materiali del mio corso Joy ofMathematics nella preparazione del libro. In tutti questi corsi, Jay Tate è stato indispensabile. Ringrazio i miei straordinari genitori, Larry e Lenore Benjamin, e gli insegnanti che mi hanno resoquello che sono. Sarò grato per sempre alle maestre delle elementari Betty Gold, Mary Ann Sparks,Jean Fisler e agli studenti della facoltà di matematica e dei dipartimenti di matematica applicata dellaMayfield High School, della Carnegie Mellon University, della Johns Hopkins University e dell’HarveyMudd College. Infine, sopra tutti, ringrazio mia moglie Deena e le mie figlie Laurel e Ariel, per l’amore e la pazienzadurante la scrittura del libro. Deena ha riletto ogni cosa e anche per questo le sarò eternamentegrato. Grazie Deena, Laurel, Ariel per aver aggiunto così tanta magia alla mia vita.

Indice analitico Abel, Niels algebra altezza del triangolo American Pi (Lesser) angolo

· corrispondente · supplementare · retto anno

· bisestile approssimazione

· di Stirling · di Taylor · lineare Archimede arco

· maggiore · minore arcoseno area aritmetica

· binaria · modulare asse

· delle x · delle y assioma assurdo

base 10 (dieci) bisettrice Blowin’ in the Wind (Dylan) Brown, Dan Brown, Ethan

calcolo · combinatorio · differenziale · integrale · mentale · mentale veloce calendario

· giuliano · gregoriano Camp, Dane Cantor, Georg Carroll, Lewis carte da gioco cerchio

· unitario Cervantes, Miguel de cifra di controllo cilindro circonferenza coefficiente

· angolare · binomiale colore combinazioni completamento del quadrato concavità congettura di Goldbach congruenza conigli cono convergenza conversione fonetica coppia (poker) corollario cosecante coseno costante

· di Euler-Mascheroni · di Mertens cotangente crittografia cubiche cubo curva a campana

decadimento esponenziale denominatore derivata Descartes, René diametro

dimostrazione per induzione Dirichlet, Peter Gustav Lejeune divisione domino doppia coppia (poker) Dunham, Douglas Dylan, Bob

Elementi (Euclide) ellisse equatore equazione

· di Dio · di Eulero · lineare · quadratica esagono Escher, M.C. estremi Euclide Euler, Leonhard

fattoriali Fermat, Pierre de Feynman, Richard Fibonacci football forma polare formula

· della differenza dei quadrati · di Binet · di Erone · di Stirling · di Wallis · quadratica full (poker) funzione

· esponenziale · secante · quadratica · trigonometrica fuoco dell’ellisse

Gadbois, Steve

Gauss, Karl Friedrich geometria

· iperbolica · piana (euclidea) giorno intercalare Giulio Cesare goniometro Google googol grado del polinomio Gregorio XIII (papa) Guinness dei primati

Hardy, G.H. Hartl, Michael Harvey Mudd College Hemachandra

identità · della mazza da hockey · della somma dei cubi · di Pascal · trigonometrica Il codice Da Vinci (Brown) Il corvo (Poe) induzione forte infinito integrazione intercetta interesse composto internet ipotenusa ISBN

Jabberwocky (Carroll) jolly

Keith, Mike Kilmer, Joyce

L’intervista (film) Lambert, Johann Heinrich legge

· degli esponenti

· dei coseni · dei segni · dei seni lemma Leonardo da Vinci Lesser, Larry Liber Abaci (Fibonacci) limerick limiti logaritmo

· naturale lotteria Lu, Chao Lucas, Édouard

Markowski, George Marloshkovips, Tony Marte massimo comune divisore metodo di fattorizzazione minimi termini Misconceptions About the Golden Ratio (Markowski) multipli di nove

n-gono Not a Wake (Keith) numeratore numeri

· complementari · complessi · composti · di Fibonacci · di Lucas · dispari · immaginari · irrazionali · negativi · pari · perfetti · primi · primi gemelli · razionali · reali

Pacioli, Luca Palais, Bob palazzo della memoria parabola parallelogrammi Pascal PEIU (primi esterni interni ultimi) pendenza perimetro periodo permutazioni piano complesso Pi-Day pizza Poe, Edgar Allan poker poliedri poligono polinomio

· di Taylor · quadratico postulato problemi massimo-minimo prodotto proprietà commutativa prova del nove pseudoprimi punto

· critico · esclamativo · medio

quadrante quadrato quadrilatero quartina quoziente

radianti radice quadrata

· complessa raggio Ramanujan, Srinivasa rapporto aureo

rappresentazione binaria reciproci regola

· della catena · di potenza · di prodotto · di somma retta

· parallele · reale · secante rettangolo riflessione

scala · di colore (poker) Secrets of Mental Math (Benjamin e Shermer) seno serie

· armonica · di Taylor · divergenti · geometrica sfera Shakespeare, William sillabe sistema esadecimale somma

· degli angoli · di frazioni sottrazione superficie

tangente massellatura Taylor, Brook teorema

· degli angoli opposti · del triangolo isoscele · dell’angolo centrale · dell’unicità della fattorizzazione · di ottimizzazione · di Pitagora · di Wilson

· fondamentale dell’algebra · fondamentale dell’aritmetica · se-allora terna pitagorica Tetris transazioni finanziarie triangolazione triangolo

· di Pascal · di Sierpinski · equilatero · isoscele · ottuso · rettangolo · rettangolo isoscele trigonometria tris (poker)

unità

valore assoluto variabile vertice volume von Lindemann, Ferdinand