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Estimados profesores:

Reciban un cordial saludo y un sincero deseo de éxito en sus labores

profesionales, como Editorial Líder estamos a la vanguardia con respecto a los

cambios efectuados por el Ministerio de Educación Pública para los NuevosProgramas de Estudio; siendo fieles al enfoque con base en la resolución de

problemas.

Es por eso que orgullosamente les entregamos esta versión en electrónico; y

el Plan de Transición 2013 de los Nuevos Programas de Estudio en Matemática,

con los respectivos cambios en 7°, 8°, 9°, 10° y 11°.

Los Docentes que decidan trabajar con nuestros libros se les entregarán

ejemplares gratuitos con los niveles que vayan a impartir, a continuación citamos

algunas de las razones por las cuales trabajar con nuestros libros:1. CARBONO NEUTRAL, estamos comprometidos con que nuestro país alcance

esta meta, por esta razón nuestra promoción de los libros ha sido solo en

electrónico, asimismo, utilizamos papel hecho con la fibra de la caña de azúcar y

las portadas son hechas a base de material reciclado.

2. NUEVOS PROGRAMAS DE ESTUDIO, nuestros libros de texto han sido

elaborados tomando como referente las nuevas tendencias en Educación

Matemática, en particular, de acuerdo a los nuevos programas en matemática -

enfoque con base en la resolución de problemas-.3. PLAN DE TRANSICIÓN 2013, nuestros libros cumplen al 100% con lo que solicita

el MEP para la implementación eficaz de los nuevos programas en matemática en

III Ciclo y Ciclo Diversificado. Por tal motivo, adjuntamos dicho Plan de Transición

en este disco para que puedan constatar lo que promulgamos.

4. PRECIO, para las Instituciones Educativas y Profesores es de ¢3516 c/u.

5. DESCUENTO ADICIONAL DE UN 2,5 % en el monto de la factura si el pago

correspondiente se realiza por depósito bancario a alguna de las cuentas de Grupo

Fénix.6. CRÉDITO DE UN MES, el plazo de crédito que Grupo Fénix brinda es de un mes a

partir de la fecha de facturación y entrega de los libros, con la condición de realizar

San José, 21 Enero 2013D.P.V. - 105

Un Nuevo Comienzo... un Resurgimiento!

Grupo Fénix EDITORIAL

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D E T R

A N S I C I Ó N

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8 UN ENFOQUE CON BASE

EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

MATEMÁTICA

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512.8F543ns2 Grupo Fénix

Matemática 8; Un Enfoque con base en laResolución de Problemas-4. Ed.- San José, C.R.: Grupo Fénix., 2013. 172p.

ISBN: 9876-15-574-01. Matemáticas – Estudio y Enseñanza.2. Matemáticas – Problemas, ejercicios, etc.

Copyright 2013

Grupo Fénix

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,

por cualquier medio, sin autorización escrita del Grupo Fénix.

Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 ó 8855-1678

Correo electrónico: [email protected]

Diseño y armado

Grupo Fénix

Diseño de portada

Grupo Fénix

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INTRODUCCIÓN

Primero, es conveniente hacer una breve aclaración sobre nuestro nombre y símbolo (Ave Fénix Tribal),

se tiene como referente histórico-ideológico el mito del Ave Fénix que alimentó varias doctrinas y concepciones

religiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fénix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba de

un ave fabulosa que se consumía por acción del fuego cada 500 años, para luego resurgir de sus cenizas. Es

decir, el GRUPO ÉNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, es

por esta razón que es nuestro emblema.

Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseñanza y

aprendizaje de la matemática, exponiendo de forma pragmática y didáctica todos los Conocimientos,

Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales expuesta y vigentes en el Programa de Estudio en

Matemáticas (Transición 2013), con base en los Programas de Estudio en Matemática aprobados por el

Consejo Superior de Educación el 21 de mayo de 2012, considerando como referente metodológico el enfoque

con base en la resolución de problemas, propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.

Después de muchos años de trabajo, un grupo de profesionales en la Enseñanza de la Matemática nos

propusimos elaborar una propuesta pragmática y didáctica basada en la resolución de problemas que propicie

el desarrollo de competencias matemáticas en el estudiante, y hemos querido tomar siempre en cuenta a los

docentes en servicio, es así que, agradecemos en las siguientes páginas las sugerencias, los aportes, los

comentarios y hasta las inquietudes presentadas por los profesores de matemática de todo el país, quienes de

una u otra forma han permitido que tengamos un mejor libro de texto cada año.

Un problema que consideramos sustantivo, consiste en que algunos docentes guiados por otros textos,desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todos sus elementos que lo conforman, llámese

estos, Conocimientos, Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales, provocando que se trabaje en el aula

contenidos que no están en las directrices curriculares del MEP, o en su defecto, alcanzando niveles de

profundización de temas que no se consideran “importantes” para las habilidades generales previstas para el

educando en cada año de su respectivo ciclo. Es por este motivo, que hemos insertado textualmente dichos

elementos (en algunos casos planteamos inclusive los mismos problemas que citan en las Indicaciones

Puntuales, nunca con el afán de atribuirnos tales derechos de autor, por el contrario, respetamos y citamos que

tales problemas pertenecen a los Programas de Estudio en Matemáticas del Ministerio de Educación de Costa

Rica), de modo que sean el verdadero referente para las actividades de mediación que el docente proponga.

Tercero, esta nueva edición 2013 contempla una situación problema al inicio de cada tema, permitiendo

al docente y al estudiante incursionar en la nueva temática partiendo de un reto de la vida cotidiana, intentando

aprehender del estudiante los conocimientos previos y fomentar para la vida el principio filosófico que

consideramos eje transversal de la educación en general –los problemas son para resolverlos–

Sin embargo, teniendo en cuenta la diversidad de capacidades que presentan los estudiantes en las

aulas, el deseo de los docentes por preparar a sus estudiantes con bases sólidas en los principales contenidos

de esta disciplina, hemos mejorado esta versión 2013 con una sugerencia de trabajo extraclase y ejercicios de

profundización para cada trabajo cotidiano propuesto.

El material está constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teoría, los ejemplos y los trabajos

cotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo más elemental a lo más complejo, además toda la obra se

desarrolla en fichas didácticas para una mejor comprensión de los educandos.

Cuarto y último, en una investigación previa realizada por el Grupo Fénix con un grupo focal de

docentes de una Región Educativa, nos dicta que en la mayoría de los casos los estudiantes buscan primero las

respuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidaddel docente cuando las respuestas de este último no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que en

muchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitales

antes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros libros

ofrecemos a cada docente un dispositivo de almacenamiento masivo con las respuesta en electrónico para que

las utilice según considere mejor con sus estudiantes, e incluimos una serie de materiales de apoyo para el

docente de matemática, que busca simplificar al menos un poco tanto trabajo que tiene sobre sus hombros

cada docente en su ejemplar labor como formador de nuestros jóvenes estudiantes que participan en sus

lecciones.

“El estudio de la matemática debe ser el comienzo del conocimiento depurado” (Los autores, 2009)

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RECONOCIMIENTOS

Sr. Adolfo Méndez CorralesProfesor de MatemáticaC.T.P. Santa Elena

Sra. Ana Cristina Herrera V.Profesora de MatemáticaI.E.G.B. Andrés Bello

Sr. Benjamín RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo del Pacífico

Sra. Cindy Marín S.Profesora de MatemáticaVirtual Marco Tulio Salazar

Sra. Adriana MarínProfesora de MatemáticaI.E.G.B. América Central

Sra. Ana Grace AriasProfesora de MatemáticaLiceo Rural de CabecerasTilarán

Sr. Bernal LunaProfesor de MatemáticaLiceo Salvador Umaña

Sra. Cindy Ovando G.Profesora de MatemáticaI.P.E.C. Sindea Arabela Jiménezde Bolio

Sr. Alberto Rodríguez JirónProfesor de MatemáticaParrita

Sra. Ana Grace CarranzaProfesora de MatemáticaLiceo Purral de Cabeceras

Sr. Bryan Aguilar lvarezProfesor de MatemáticaJorgue Bolio de la LuchaSabalito

Sr. Cristhian CalderónProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca Gutiérrez

Sr. Alex Canales BenavidesProfesor de MatemáticaSindea 28 Millas

Sra. Ana Isabel Noguera E.Profesora de MatemáticaLiceo Santa Cruz

Sr. Carlos Cordero CorderoProfesor de MatemáticaC.T.P. Mansión de Nicoya

Sr. Cristian Barrientos Q.Profesor de MatemáticaLiceo de Chomes

Sr. Alexander LópezProfesor de MatemáticaItskatzu Educación Integral

Sra. Ana Margarita Angulo C.Profesora de MatemáticaC.T.P. 27 de Abril

Sr. Carlos Edo Gómez GarcíaProfesor de MatemáticaSindea Jícara

Sr. Cristian CalderónProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca Gutiérrez

Sr. Alexander Solano G.Profesor de MatemáticaLiceo Unesco

Sra. Andrea AriasProfesora de MatemáticaC.T.P. de Heredia

Sr. Carlos Gónzalez A.Profesor de MatemáticaLiceo de Cervantes

Sr. Cristian Chávez Z.Profesor de MatemáticaLiceo Alejandro Aguilar Machado

Sra. Alexandra Mata DelgadoProfesora de MatemáticaC.T.P. General de PérezZeledón

Sra. Andrea Jiménez JiménezProfesora de MatemáticaLiceo Sta. Ana

Sr. Carlos MoraProfesor de MatemáticaColegio de los Ángeles

Sr. Cristian Peralta CruzProfesor de MatemáticaLiceo El Carmen de Nandayure

Sr. Alexis Torres OrtegaProfesor de MatemáticaLiceo San Diego Tres Ríos

Sra. Andrea MadrigalProfesora de MatemáticaLiceo León Cortez Castro

Sr. Carlos RetanaProfesor de MatemáticaGreen Valley

Sr. Cristian Rojas CarrilloProfesor de MatemáticasLiceo Experimental Bilingüe Los

Ángeles.

Sr. Alfonso Mora FallasProfesor de MatemáticaJohn F. Kennedy High School

Sra. Andrea VenegasProfesora de MatemáticaDeportivo Santo Domingo

Sra. Carmen Liley MonteroProfesora de MatemáticaLiceo Experimental BilingüeGrecia, Alajuela

Sra. Cristina Sánchez LariosProfesora de MatemáticaRincón Grande de Pavas

Sr. Alfonso Rojas

Profesor de MatemáticaColegio Sta. Gertrudis

Sra. Andreina Vásquez Rojas

Profesora de MatemáticaC.T.P. Bolívar

Sra. Carmen Quesada V.

Profesora de MatemáticaLiceo Escazú

Sr. Daniel Céspedes

Profesor de MatemáticaLiceo Coronado

Sr. Allan Chanto ToleivaProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno San PedroPérez Zeledón

Sr. Andrés CubilloProfesor de MatemáticaSan Enrique de Osso

Sra. Carmen RodríguezProfesora de MatemáticaSan Paul College

Sr. Daniel LeónProfesor de MatemáticaC.T.P. Platanales

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Sr. Allan MairenaProfesor de MatemáticaLiceo San José

Sr. Ariel GómezProfesor de MatemáticaColegio Talamanca

Sra. Carolina FloresProfesora de MatemáticaSaint Benedicto

Sr. Danny Gaitán RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo Francisco Amigutti

Sr. lvaro Barbosa SalasProfesor de MatemáticaLiceo Pacto del Jocote

Sra. Beatriz MonteroProfesora de MatemáticaEsc. Internacionales Cristianas

Sra. Cecilia Pérez SalasProfesora de MatemáticaLiceo Poasito

Sr. David Alexis Alfaro AlfaroProfesor de MatemáticaLiceo Sta. Gertrudis Norte

Sr. David Alfaro VíquezProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno NuevasOportunidades

Sr. Eliecer Madrigal DelgadoProfesor de MatemáticaBilingüe Naciones Unidas

Sr. Francisco Quesada S.Profesor de MatemáticaInst. Pedagógico Caminante

Sra. Hannia Leiva FallasProfesora de MatemáticaLiceo Sinaí Diurno

Sr. David SolanoProfesor de MatemáticaEnrique Malavassi Vargas

Sr. Emanuel Alvarado R.Profesor de MatemáticaColegio Telesecundaria MaríaDrake

Sra. Gabriela BonillaProfesora de MatemáticaInstituto Centroamericano

Adventista

Sr. Harold CamposProfesor de MatemáticaCentro Educativo CatólicoSan José

Sra. Denia RodríguezProfesora de MatemáticaBilingüe del Caribe

Sr. Erick Araya UrtadoProfesor de MatemáticaLiceo las Delicias

Sra. Gabriela ZúñigaProfesora de MatemáticaLiceo Experimental Moravia

Héctor Castro CastilloProfesor de MatemáticaColegio Marco Tulio Salazar

Sra. Denia Salas NuñesProfesora de MatemáticaColegio Patriarca San José

Sr. Erick Gómez U.Profesor de MatemáticaC.T.P. Ambientalista Isaías Ret.

Arias

Sr. Gerardo Arroyo BrenesProfesor de MatemáticaLiceo Ambientalista

Sra. Heilyn Vargas C.Profesora de MatemáticaC.T.P Platanales

Sr. Diego Gómez ChavarríaProfesor de MatemáticaLiceo Costa Rica

Sra. Erika Ureña FallasProfesora de MatemáticaC.T.P. Pérez Zeledón San Isidro

Sr. Gerardo RamírezProfesor de MatemáticaLiceo regional de Flores

Sr. Henrry VillarrealProfesor de MatemáticaColegio Los Delfines

Sra. Dilsia Navarro DuránProfesora de Matemática

I.E.G.B. Limón

Sr. Ernesto Villareal BarrantesProfesor de Matemática

C.T.P. Cartagena

Sr. Gerardo Rodríguez BarriosProfesor de Matemática

Liceo Turrúcares

Sra. Mariela SolanoProfesora de Matemática

Colegio Los Delfines

Sra. Doriana Quirós AriasProfesora de MatemáticaLiceo Coronado

Sra. Estefannie BarbosaProfesora de MatemáticaColegio Nocturno Hernán LópezHernández

Sr. Gilberto MonteroProfesor de MatemáticaLiceo Samuel Sáenz Flores

Sr. Helbert Jiménez ChinchillaProfesor de MatemáticaLiceo Costa Rica

Sr. Edgar CamposProfesor de MatemáticaLiceo Diurno de Ciudad Colón

Sra. Estrella León HernándezProfesora de MatemáticaLiceo Santa Cruz

Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemáticaColegio Pacto del Jocote

Sr. Hubert MongeProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno Monseñor Rubén Odio

Sr. Eduardo Robles Ureña

Profesor de MatemáticaSindea Upala

Sra. Ethilma Jiménez R.

Profesora de MatemáticaInstituto Guanacaste

Sra. Gloria Badilla

Profesora de MatemáticaLiceo Sabanilla

Sra. Ileana Cascante V.

Profesora de MatemáticaLiceo Nocturno Juan Santamaría

Sr. Eduardo RodríguezProfesor de MatemáticaLiceo Edgar Cervantes Villalta

Sra. Eva Arevalo PorrasProfesora de MatemáticaI.P.E.C. de Barva de Heredia

Sra. Grettel Guitiérrez RuizProfesora de MatemáticaLiceo Utilio Ulate Blanco

Sra. Ileana Lescano R.Profesora de MatemáticaC.T.P Talamanca Bribri Limón

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Sr. Edwin Alfaro ArceProfesor de MatemáticaLiceo Sto. Domingo

Sra. Evelin Urbina GuzmánProfesora de MatemáticaLiceo San Carlos

Sra. Grettel LeónProfesora de MatemáticaColegio Nacional Virtual

Sra. Isabel VásquezProfesora de MatemáticaColegio Francis J. Orlich

Sr. Eitel Vega RodríguezProfesor de MatemáticaRedentorista San Alfonso

Sr. Francisco CortezProfesor de MatemáticaLiceo de Sta. Ana

Sra. Guisella TrejosProfesora de MatemáticaColegio Vicente Laghner

Sr. Iván Parra VenegasProfesor de MatemáticaLiceo Platanillo Barú de Quepos

Sr. Eliécer MadrigalProfesor de Matemática

Abelardo Bonilla

Sr. Francisco CortezProfesor de MatemáticaU.P. José Rafael Araya

Sra. Hannia CecilianoProfesora de MatemáticaLiceo de Cot Cartago

Sr. Javier Calvo CorderoProfesor de MatemáticaLiceo Julio Fonseca

Sr. Jeffrey lvarez PérezProfesor de MatemáticaColegio Nuevo Mundo

Sr. Jose Luis MasísProfesor de MatemáticaLiceo José Fidel Tristán

Sr. Kenneth MoreraProfesor de MatemáticaEscuela República de Nicaragua

Sr. Luis ngel RíosProfesor de MatemáticaC.T.P Valle de la Estrella

Sr. Jeremy Chacón CéspedesProfesor de MatemáticaColegio Talamanca Cahuita

Sr. Jose Rolando Cascante R.Profesor de MatemáticaColegio Cindea Lomas de

Cocorí

Sra. Kerlyn EsquivelProfesora de MatemáticaColegio Puente de Piedra

Sr. Luis CastilloProfesor de MatemáticaLiceo de Santa Ana

Sra. Jéssica GómezProfesora de MatemáticaColegio San Vicente

Sr. Juan Carlos GProfesor de MatemáticaLiceo de Orosi

Sra. Laura Arroyo RojasProfesora de MatemáticaLiceo Santo Domingo

Sr. Luis Diego ArayaProfesor de MatemáticaCorporación EducativaSagrado Corazón de Jesús

Sra. Jéssica Villalobos RojasProfesora de MatemáticaTelesecundaria el Llano

Sr. Juan Carlos QuesadaProfesor de MatemáticaLiceo Mauro Fernández

Sra. Laura QuesadaProfesora de MatemáticaColegio Claretiano

Sr. Luis Diego Salazar V.Profesor de MatemáticaColegio Nuevas OportunidadesGrecia

Sr. Jesús GutiérrezProfesor de Matemática

Liceo de Nicoya

Sr. Juan Morgan MorenoProfesor de Matemática

Colegio HumanísticoCostarricense

Sra. Ligia Jiménez GómezProfesora de Matemática

C.T.P Nicoya

Sr. Luis Martínez GonzálezProfesor de Matemática

Cindea Alberto Manuel Brenes

Sr. Jesús HidalgoProfesor de MatemáticaColegio Snta Josefina

Sr. Juan Pablo Rodríguez A.Profesor de MatemáticaC.T.P. Ulloa

Sra. Lilliana VillalobosProfesora de MatemáticaLiceo de San Carlos

Sr. Luis Rodríguez JhonsonProfesor de MatemáticaC.T.P Nandayure Guanacaste

Sr. Jonathan GranadosProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno Pérez Zeledón

Sra. Karen Camacho EspinozaProfesora de MatemáticaCentro Educativo Pasos deJuventud

Sra. Lineth Quesada M.Profesora de MatemáticaLiceo de Tucurrique

Sr. Luis Ruiz TorresProfesor de MatemáticaC.T.P Carrillo

Sr. Jonathan Rodríguez

Profesor de MatemáticaLiceo Jorge Volio

Sra. Karen Vindas Monestel

Profesora de MatemáticaColegio Cristiano Reformado

Sra. Lisbeth Allen Dailey

Profesora de MatemáticaCindea de Heredia Limón

Sr. Luis Salazar Castro

Profesor de MatemáticaLiceo Alfaro Ruiz

Sr. Jonny Fernández S.Profesor de MatemáticaLiceo Dulce Nombre

Sra. Karina BrenesProfesora de MatemáticaColegio Agropecuario deSan Carlos

Sra. Lissette FallasProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat

Sr. Maikel CarbajalProfesor de MatemáticaColegio Santa Marta

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Sr. Jorge BrenesProfesor de MatemáticaLiceo Braulio Carrillo

Sra. Karla Guevara VillegasProfesora de MatemáticaLiceo de Colorado de Abangares

Sra. Lissette UlateProfesora de MatemáticaLiceo Pacto del Jocote

Sr. Mainor Abarca CorderoProfesor de MatemáticaLiceo de Curridabat

Sr. José ngel AmpieProfesor de MatemáticaCristian Génesis School

Sra. Karla Venegas ValverdeProfesora de MatemáticaLiceo Experimental Bilingüe

Augusto Briseño

Sra. Lorena Masis TorresProfesora de MatemáticaLiceo Francisca Carrasco

Sr. Manrique Barrientos Q.Profesor de MatemáticaLiceo de Miramar de Puntarenas

Sr. José ngel AmpieProfesor de MatemáticaLiceo Nuevo de Hatillo

Sra. Katherine SandíProfesora de MatemáticaLiceo de Mata de Plátano

Sra. Lorena Rojas DonatoProfesora de MatemáticaLiceo de Coronado

Sr. Manuel ArtaviaProfesor de MatemáticaLiceo Técnico de Purral

Sr. José Carlos CalvoProfesor de MatemáticaLiceo Nocturno Monseñor Rubén Odio

Sr. Kenneth lvarezProfesor de MatemáticaLiceo de Moravia

Sra. Lucia Mata VindasProfesora de MatemáticaLiceo Hernán Zamora Elizondo

Sr. Manuel QuirósProfesor de MatemáticaInstituto Educativo San Gerardo

Sr. Manuel VillegasProfesor de Matemática

Liceo de San Roque

Sra. María RojasProfesora de Matemática

Liceo Braulio Carrillo

Sr. Marvin MuñozProfesor de Matemática

Liceo La Guácima

Sr. Norberto Oviedo UProfesor de Matemática

Liceo de Heredia

Sra. Marcela Arce SotoProfesora de MatemáticaLiceo San Nicolás

Sra. Maricela AlfaroProfesora de MatemáticaLiceo de San Roque

Sra. Maureen Castro MesénProfesora de MatemáticaColegio Laboratorio San José

Sra. Olga Segura AlfaroProfesora de MatemáticaU.P. José María Zeledón

Sr. Marcial CorderoProfesor de MatemáticaLiceo San Gabriel

Sra. Mariela JiménezProfesora de MatemáticaLiceo de San Carlos

Sra. Maureen Mora BadillaProfesora de MatemáticaLiceo Rincón Grande de Pavas

Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemáticaCentro Educativo Mi Patria

Sr. Marco GuevaraProfesor de MatemáticaColegio Santa Inés

Sra Marilú BallesterosProfesora de MatemáticaColegio Valle del Sol

Sra. Maureen RojasProfesora de MatemáticaLiceo de Santa Ana

Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemáticaColegio Rodrigo Hernández

Sr. Marco SolísProfesor de MatemáticaColegio Científico y Artístico delPacífico

Sr. Mario CartachoProfesor de MatemáticaColegio Adventista Paso Canoas

Sr. Mauricio Muñoz JiménezProfesor de MatemáticaLiceo Brasilia de Upala

Sr. Omar Quesada GonzálezProfesor de MatemáticaLiceo de Poás

Sr. Marcos Angulo CisnerosProfesor de MatemáticaC.T.P. 27 de abril

Sra. Marisol Benel AlamaProfesora de MatemáticaLiceo La Aurora

Sr. Mauricio Peñaranda FallasProfesor de MatemáticaLiceo San Gabriel

Sr. Oscar Cruz MontanoProfesor de MatemáticaLiceo de Pavas

Sr. Marcos ChacónProfesor de MatemáticaLiceo Bolívar de Grecia

Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemáticaInstituto de Alajuel

Sra. Mayela Abarca CorderoProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat

Sr. Oscar Marín GonzálezProfesor de MatemáticaC.T.P. Carrisal de Alajuela

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Sra. Margel Valverde S.Profesora de MatemáticaLiceo de Sabanilla

Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemáticaLiceo del Carmen

Sr. Michael Chávez MadrigalProfesor de MatemáticaC.T.P Cartagena Guanacaste

Sr. Oscar Mario CastilloProfesor de MatemáticaC.T.P. Liberia

Sra. Margot Castro R.Profesora de MatemáticaInstituto Educativo San Gerardo

Sra. Marjorie Navarro NúñezProfesora de MatemáticaColegio de Turrialba

Sr. Miguel ngel SánchezProfesor de MatemáticaColegio La Aurora

Sr. Oscar Reyes PeñascoProfesor de MatemáticaI.P.E.C.

Sra. María AmeliaProfesora de MatemáticaI.P.F La Pradera

Sra. Marta MataProfesora de MatemáticaColegio María Auxiliadora

Sra. Mirta BritoProfesora de MatemáticaColegio Educativo Royal

Sr. Pablo Leandro JiménezProfesor de MatemáticaColegio Nocturno de Siquirres

Sra. María Hernández H.Profesora de MatemáticaLiceo del Este

Sra. Martha E Ulate QuesadaProfesora de MatemáticaLiceo San Marcos de Tarrazú

Sra. Mónica BlancoProfesora de MatemáticaColegio Ilpal

Sr. Pablo Leandro JiménezProfesor de MatemáticaColegio San Judes

Sra. María Mayela González G.Profesora de Matemática

Liceo Rural Coope-Silencio

Sr. Martín Martínez ChávezProfesor de Matemática

C.T.P. Tronadora

Sra. Nasly Giraldo G.Profesora de Matemática

Liceo de San José

Sr. Pedro MoreraProfesor de Matemática

Liceo de Atenas

Sra. María OviedoProfesora de MatemáticaColegio Castella

Sr. Martín Martínez ChávezProfesor de MatemáticaColegio Nocturno de Tilarán

Sr. Nestor CerdasProfesor de MatemáticaColegio Ambientalista El Roble

Sr. Rafael Arce LópezProfesor de MatemáticaC.T.P. Puntarenas

Sr. Randall VillalobosProfesor de MatemáticaColegio Ambientalista El Roble

Sra. Ruth Bent CastroProfesora de MatemáticaLiceo de Curridabat

Sra. Tania CórdobaProfesora de MatemáticaColegio San Rafael

Sr. William GuillénProfesor de MatemáticaColegio Virtual

Sr. Raúl Badilla RamírezProfesor de MatemáticaLiceo San Miguel

Sr. Samuel Arevalo VásquezProfesor de MatemáticaC.T.P. Acosta

Sra. Tatiana Quesada C.Profesora de MatemáticaLiceo de Tarrazú

Sr. Willy TorresProfesor de MatemáticaLiceo Sinaí Pérez ZeledónDiurno

Sra. Rebeca Monge MoraProfesora de MatemáticaC.T.P. Acosta

Sra. Sandra Rodríguez HerreraProfesora de MatemáticaC.T.P. Sabanilla

Sra. Thais Sandi MenaProfesora de MatemáticaLiceo San Rafael Arriba

Sra. Xenia Parker Profesora de MatemáticaLiceo Centro Educativo

Adventista de C.R.

Sr. Ricardo Chávez SánchezProfesor de MatemáticaC.T.P. Corralillo

Sr. Santiago Bustos C.Profesor de MatemáticaC.T.P. Cartagena Guanacaste

Sr. Víctor RetanaProfesor de MatemáticaLiceo del Sur

Sra. Xinia AcuñaProfesora de MatemáticaLiceo Purral

Sr. Ricardo VenegasProfesor de MatemáticaLiceo de Curridabat

Sr. Santiago Zamora CastilloProfesor de MatemáticaC.T.P. Valle la Estrella

Sra. Victoria MatarritaProfesora de MatemáticaColegio Virtual Alajuela

Sra. Xinia EspinosaProfesora de MatemáticaLiceo San Francisco de Asís

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Sr. Ricardo ZúñigaProfesor de MatemáticaInstituto de Educación Integral

Sra. Seidy Parajeles GranadosProfesora de MatemáticaC.T.P. Tronadora TilaránGuanacaste

Sra. Vivian Lizano ArroyoProfesora de MatemáticaLiceo Luis Noble Segreda

Sra. Xinia RománProfesora de MatemáticaColegio Campestre

Sr. Roberto Rojas BadillaProfesor de MatemáticaColegio Madre del Divino Pastor

Sr. Sergio Morales RosalesProfesor de MatemáticaColegio Técnico Regional

Santa Cruz

Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemáticaC.T.P. Nicoya

Sra. Yajaira Rodríguez VillegasProfesora de MatemáticaLiceo Rural de Manzanillo

Sr. Rodolfo Bustos MarchenaProfesor de MatemáticaLiceo Maurilio Alvarado

Sra. Shirley González A.Profesora de MatemáticaC.T.P. Quepos

Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemáticaLiceo de Nicoya

Sra. Yamileth ZumbadoProfesora de MatemáticaLiceo de Heredia

Sr. Román Ruiz C.Profesor de MatemáticaLiceo Experimental BilingüeSanta Cruz

Sra. Silvia FonsecaProfesora de MatemáticaSaint Gabriel High School

Sra. Viviana SolísProfesora de MatemáticaSaint Gregory School

Sra. Yanin Gutiérrez SolísProfesora de MatemáticaColegio María Inmaculada deSan Carlos

Sr. Ronald Ríos RodríguezProfesor de Matemática

C.T.P. Cardinal de Carrillo

Sra. Silvia PaniaguaProfesora de Matemática

Formación Integral Montecarlo

Sra. Wendy Herrera MoralesProfesora de Matemática

INA. Orotina

Sra. Yasmín Orozco SanchoProfesora de Matemática

C.T.P. La Mansión

Sra. Rosibell Castro RodríguezProfesora de MatemáticaC.T.P. Liceo de Coronado

Sra. Sonia MirandaProfesora de MatemáticaColegio San Lorenzo

Sra. Wendy TijerinoProfesora de MatemáticaC.T.P. Ulloa

Sra. Yeini Barrantes NProfesora de MatemáticaLiceo Manuel Benavides

Sra. Rosibell VallejosProfesora de MatemáticaLiceo Mauro Fernández

Sra. Susan JiménezProfesora de MatemáticaC.T.P. Mercedes Norte

Sr. Werner JuárezProfesor de MatemáticaLiceo Anastasio

Sra. Yelba GutiérrezProfesora de MatemáticaLiceo Teodoro Picado

Sr. Roy Lauren SanabriaProfesor de MatemáticaC.T.P. Humberto Melloni

Sra. Susan MoralesProfesora de MatemáticaColegio Marista Alajuela

Sr. Wilbert VargasProfesor de MatemáticaSamuel Sáenz Flores

Sra. Yendri Salas ValverdeProfesora de MatemáticaLiceo Regional de Flores

Sra. Yendri SandovalProfesora de MatemáticaLiceo San Diego

Sra. Yendri SotoProfesora de MatemáticaUnidad Pedagógica San Diego

Sra. Yessenia RodríguezProfesora de MatemáticaLiceo el Ambientalista El Roble

Sr. Yoahan Gómez GarroProfesor de MatemáticaC.T.P. Jícara

Sra. Yolanda Elizondo G.Profesora de MatemáticaUnidad PedagógicaCalderón Guardia

Sra. Yorleni GómezProfesora de MatemáticaLiceo Sucre

Sra. Yuri Lobo HernándezProfesora de MatemáticaColegio La Aurora

Sra. Yuri QuintanillaProfesora de MatemáticaColegio Adventista Limón

Sra. Zeidy ChávezProfesora de MatemáticaLiceo Castro Madriz

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ÍNDICE

UNIDAD I: N MEROS

1. Problema para introducir los Números Racionales 12

2. Conjunto de los Números Racionales 14

3. Recta numérica y opuesto de un número racional 15

4. Problema para operaciones, cálculos y estimaciones 16

5. Adición y sustracción de números racionales 17

6. Multiplicación y división de números racionales 19

7. Potenciación con números racionales 22

8. Raíz n-ésima de un número racional 279. Problema para introducir la combinación de operaciones 28

10. Combinación de operaciones 29

11. Problemas de profundización 34

UNIDAD II: GEOMETRÍA

12. Problema para introducir el concepto de triángulos congruentes 36

13. Criterios de congruencia de triángulos 38

14. Problema para introducir el concepto de triángulos semejantes 44

15. Criterios de semejanza de triángulos 46

16. Problema para introducir el Teorema de Thales 56

17. Teorema de Thales 57

18. Teorema Fundamental de la Proporcionalidad 65

19. Teorema de la paralela media de un triángulo y su recíproco 69


21. Problema para introducir visualización espacial 75

22. Elementos de la pirámide recta y el prisma recto 76

UNIDAD III: RELACIONES Y LGEBRA

23. Problema para introducir el concepto de variable 80

24. Variable dependiente e independiente 81

25. Representación gráfica de pares ordenados 83

26. Problema para introducir el concepto de expresión algebraica 85

27. Expresiones algebraicas 86

28. Valor numérico de una expresión algebraica 87

29. Expresiones algebraicas que son monomios 91

30. Sumar y restar de monomios 94

31. Expresiones algebraicas (binomios, trinomios o polinomios) 97

32. Sumas y restas de polinomios 98

33. Multiplicaciones y divisiones de monomios 101

34. Multiplicaciones de polinomios con coeficientes enteros 103

35. Productos notables 107

36. Problema para introducir el concepto de ecuación 112

37. Ecuaciones de primer grado con una incógnita 113

38. Problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita 123


UNIDAD IV: ESTAD STICA Y PROBABILIDAD

40. Problema para introducir el concepto de estadística 134

41. Concepto de estadística descriptiva e inferencial 135

42. Concepto de población, muestra, variable y datos estadísticos 13643. Distribuciones de frecuencia absoluta y frecuencia relativa con variables discretas 141

44. Representación gráfica de la información tabulada en una tabla de frecuencias 145

45. Interpretación de las distribuciones de frecuencia y los gráficos estadísticos 152

46. Media aritmética, moda y mediana para variables discretas 158


48. Problema para introducir el concepto del azar 165

49. Problema para introducir el concepto de espacio muestral 166

50. Problema para introducir el concepto de eventos 167

51. Problema para introducir el concepto de probabilidad 168

52. Conceptos de probabilidad 169

8/19/2019 02 - Octavo 2013

13/176

UN ID D I

NÚMEROS

Conocimientos Habilidades específicas

Números Racionales• Concepto de número racional

• Representaciones

• Relaciones de orden

Operaciones, cálculos yestimaciones• Suma

• Resta

• Multiplicación

• División

• Potencias• Raíces

• Combinación de operaciones

1. Identificar números racionales en diversos contextos.2. Realizar aproximaciones decimales de números racionales.

3. Identificar los números racionales representados con expansión

decimal exacta y con expansión decimal periódica.

4. Identificar y aportar ejemplos de representaciones distintas de un

mismo número racional.

5. Comparar y ordenar números racionales en notación decimal,

fraccionaria y mixta.

6. Representar números racionales en la recta numérica, en

cualquiera de sus representaciones.

7. Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos

contextos.

8. Aplicar la multiplicación y división de números racionales en

diversos contextos.

9. Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la

suma y multiplicación para simplificar cálculos con números

racionales.

10. Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y

divisiones de números racionales en cualquiera de sus

representaciones.

11. Efectuar operaciones con potencias de base racional y exponente

entero.

12. Calcular raíces n-ésimas de un número racional.

13. Calcular resultados de operaciones con números racionales deexpresiones donde haya combinación de ellas con paréntesis o sin

ellos.

14. Desarrollar estrategias para el cálculo mental de resultados de

operaciones con racionales.

15. Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la resolución

de cálculos, según el problema dado.

16. Plantear y resolver problemas en los que se requiera de la

aplicación de operaciones con números racionales.

8/19/2019 02 - Octavo 2013

14/176

12 N MEROS

GRUPO FÉNIX

PROBLEMA PARA INTRODUCIR LOS NÚMEROS RACIONALES

Pasos o fases Acción

Paso 1. Entendimiento del problemaTener claridad sobre lo que trata el problema

antes de empezar a resolverlo.

Paso 2. DiseñoConsiderar varias formas para resolver elproblema y seleccionar un método

específico.

Paso 3. ControlMonitorear el proceso y decidir cuándo

abandonar algún camino que no resulte

exitoso.

Paso 4. Revisión y comprobaciónRevisar el proceso de resolución y evaluar la

respuesta obtenida.

Fuente: Programas de Estudio en Matemáticas

Problema 1Considere la siguiente tabla con los precios de los combustibles.

Imagen tomada de: http://www.recope.go.cr/info_clientes/precios_productos/

Si en la gasolinera pido que me vendan ₡10 000 en gasolina Plus 91, ¿cuántos litros me

dan?

8/19/2019 02 - Octavo 2013

15/176

N MEROS 13

GRUPO FÉNIX

PROBLEMA PARA INTRODUCIR LOS NÚMEROS RACIONALES

Problema 2

Si camino 10 m en dirección Oeste y me devuelvo una cuarta parte de dicho recorrido,

¿cuánto me desplacé con respecto al lugar del que salí?

Problema 3

Juan contrajo una deuda de ₡17 500. Su padre, un hermano y un amigo deciden ayudarle a

pagarla por lo que se reparten la deuda equitativamente entre ellos tres. ¿Cuánto debe

pagar cada uno?

Problema 4

Considere la siguiente lista de ingredientes para una receta de cocina.

Imagen tomada de: http://www.arecetas.com

Ana manifiesta que no comprende la forma en que aparece la información pues no está

descrita en la forma tradicional. ¿De qué forma se puede ayudar a Ana para que comprenda

los datos de la receta?

8/19/2019 02 - Octavo 2013

16/176

14 N MEROS

CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES

Definición Símbolo Notación por comprensión

Es un conjunto formado por

todos los números que se

pueden expresar en fracción.

, 0

atq a b y b

b

Notación decimal, notación fraccionaria y notación mixta de un número racional

Expansión decimal finitaExpansión decimal infinita

periódicaExpansión decimal infinita

periódica mixta

Son aquellas cuando se

puede contar la cantidad de

decimales.

Son aquellas cuando algún

decimal se repite

infinitamente.

Son aquellas que poseen

periodo y ante periodo.

Ejemplos Ejemplos Ejemplos

10,5

2

3

4

71,75 1

4

10, 3

3

2

3

82, 6 2

3

70,583

12

2

11

62957, 18 57

11

Trabajo cotidiano # 11. Convierta las siguientes fracciones a su notación mixta y a su notación decimal eidentifique si corresponden a una expansión decimal finita, infinita periódica o infinita

periódica mixta. (Sugerencia: utilice calculadora)

a)13

2

b)5

2

c)14

2

d) 1

3

e) 14

3

f) 36

3

g)3

4

h)5

4

i)19

4

j) 21

5

k) 2

5

l) 4

5

m) 5

6

n) 11

6

o) 54

6

p) 20

7

q) 7

8

r) 17

9

s) 21

10

t) 65

13

8/19/2019 02 - Octavo 2013

17/176

N MEROS 15

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA

Notación simbólica Representación en la recta numérica

1

2

y

1

2

3

2

y

3

2

OPUESTO DE UN NÚMERO RACIONAL

Definición Ejemplos Representación gráfica

Dos números racionales son

opuestos si poseen el mismo

valor absoluto y se encuentran

en sentidos direccionales

contrarios.

1

2

y

1

2

3

2

y

3

2

Trabajo cotidiano # 21. Determine el opuesto de cada uno de los siguientes números racionales y represente

ambos números en una recta numérica.

a)3

2

b)5

2

c)14

2

d) 10

3

e) 14

3

f) 36

3

g)1

4

h)5

4

i)19

4

j) 1

5

k) 2

5

l) 4

5

m) 1

6

n) 11

6

o) 54

6

p) 15

7

q) 5

8

r) 2

9

s) 9

10

t) 12

13

1

2

1

2

0 11

3

2

3

2 0 11 22

1

2

1

2 0 11

3

2

3

2 0 22 11

8/19/2019 02 - Octavo 2013

18/176

16 N MEROS

PROBLEMA PARA OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES





específico.

Paso 3. ControlMonitorear el proceso y decidir cuándo


exitoso.


respuesta obtenida.


Problema 1

Maureen compró 4 metros de plástico para forrar cuadernos. Ella necesitó 2

51 m para forrar

algunos, su hermana Elizabeth utilizó 0,9m y su hermano Rodolfo usó 3

4m.

a) ¿Cuánto plástico utilizaron para forrar los cuadernos?

b) ¿Cuánto plástico sobró?

Problema 2

Celeste estudió 2

3hora Matemática y

1

2hora lo dedicó a Ciencias, ¿cuánto tiempo, en

horas, estudió Celeste en total?

Problema 3

Gustavo Adolfo tiene 9kg de arena para jugar con sus amigos. ¿Cuántos paquetes de 1

3kg

pueden hacer con toda esa arena?

8/19/2019 02 - Octavo 2013

19/176

N MEROS 17

LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

I Caso: Fracciones Homogéneas

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

11

4 7

3 3

4 7 11

3 3

3

4 7

3 3

4 7 31

3 3

11

4 7

3 3

4 7 11

3 3


11

4 73 3

4 7 11

3 3

3

4 73 3

4 7 31

3 3

11

4 73 3

4 7 11

3 3

Trabajo cotidiano # 3

1. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales con cálculo mental.

a) 7 9

2 2

b)3 4

3 3

c) 5 7

4 4

d) 9 6

5 5

e) 4 9

6 6

f) 7 9

2 2

g)3 4

3 3

h) 5 7

4 4

i) 19 6

5 5

j) 17 8

6 6

k) 11 9

2 2

l)13 4

3 3

m) 5 17

4 4

n) 19 6

5 5

o) 19 11

6 6

p) 30 15

7 7

q) 20 15

8 8

r) 92 30

9 9

s)60 30

10 10

t) 29 13

7 7

u) 20 15

8 8

v) 92 30

9 9

w)60 30

10 10

x) 30 15

7 7

y) 20 15

8 8

z) 92 30

9 9

aa)60 30

10 10

bb) 87 65

3 3

8/19/2019 02 - Octavo 2013

20/176

18 N MEROS

LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

II Caso: Fracciones Heterogéneas

Procedimiento:

a) Se distinguen las fracciones heterogéneas porque poseen diferente denominador.

b) Se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual se llama mínimo

común denominador de las fracciones (m.c.d).

c) Se realiza m.c.d. ÷ denominador numerador , en cada fracción.

d) Se efectúa la operación correspondiente (suma o resta) y conserva el m.c.d.

e) Se realiza la simplificación de la fracción resultante.


. . . 6

8 7

4 7

3 6

6 3 4 6 6 7

6

8 7 15 5

6 6 2

m c d

. . . 12

16 21

4 7

3 4

12 3 4 12 4 7

6

16 21 5

6 6

m c d

. . . 6

8 7

4 7

3 6

6 3 4 6 6 7

6

8 7 15 5

6 6 2

m c d

Trabajo cotidiano #41. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales.

a) 7 9

2 4

b)3 4

3 9

c) 4 6

5 15

d) 6 5

6 12

e) 7 5

4 16

f) 3 10

8 4

g)3 4

3 9

h) 5 7

2 4

i) 6 30

10 20

j) 92 30

9 18

k) 19 11

6 8

l) 19 6

5 15

m) 5 7

3 6

n)2 4

3 7

o) 30 15

7 8

p) 20 15

8 9

q) 92 30

9 18

r) 40 20

10 40

s) 19 6

5 15

t) 19 11

6 8

u) 30 15

7 8

v) 20 15

8 9

w) 92 30

9 18

x) 60 30

10 100

8/19/2019 02 - Octavo 2013

21/176

N MEROS 19

LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Procedimiento:

a) Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

b) Se simplifica la fracción resultante.


28

18

4 7 28 14

3 6 18 9

28

18

4 7 28 14

3 6 18 9

28

18

4 7 28 14

3 6 18 9


1. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales (Sugerencia:simplifique si es posible antes de multiplicar).

a) 7 9

2 4

b) 5 7

4 6

c) 9 6

5 15

d) 7 11

6 8

e) 3 15

7 8

f)

8 15

8 9

g) 9 30

9 18

h) 60 30

10 100

i)16 14

11 11

j) 11 32 5

k) 22 3

4 6

l) 9 6

5 15

m)

19 4

6 8

n) 30 15

7 8

o) 20 15

8 9

p) 92 30

9 18

q) 5 306 11

r) 12 14

11 23

s) 20 5

11 4

t)

34 3

11 6

u) 19 6

5 15

v) 19 11

6 8

w) 30 15

7 8

x) 20 158 9

y) 92 30

9 18

z) 60 30

10 100

aa)

162 134

11 110

bb) 170 125

12 115

8/19/2019 02 - Octavo 2013

22/176

20 N MEROS

LA DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Procedimiento:

a) Se multiplica en cruz (numerador por denominador y denominador por numerador).

b) Se simplifica la fracción resultante.


24

21

4 7

3 6

4 6 24 8

3 7 21 7

24

21

4 7

3 6

4 6 24 8

3 7 21 7

24

21

4 7

3 6

4 6 24 8

3 7 21 7


1. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales (Sugerencia:simplifique si es posible antes de dividir).

a) 7 9

2 4

b) 5 7

4 6

c) 9 6

5 5

d) 5 11

6 8

e) 2 10

7 17

f) 20 15

3 9

g) 2 30

9 18

h) 6 30

10 9

i) 12 13

5 10

j) 12 9

2 4

k) 12 7

4 3

l) 9 6

5 11

m) 19 11

6 5

n) 30 15

7 8

o) 20 15

8 9

p) 12 30

9 7

q) 40 20

10 30

r) 12 14

11 10

s) 11 9

12 12

t) 15 11

4 16

u) 19 6

5 15

v) 17 11

6 10

w) 30 15

7 18

x) 12 15

8 12

y) 92 30

19 18

z) 60 30

10 100

aa) 162 134

11 110

bb) 184 142

13 120

8/19/2019 02 - Octavo 2013

23/176

N MEROS 21


1. Resolver los siguientes problemas que involucran operaciones con números racionales.

a) Maureen utilizó5

6 kg de mantequilla para hacer repostería y8

9 kg para hacer un

queque, ¿qué cantidad en kg de mantequilla, en total, utilizó Maureen?

b) Marielos compró9

5kg de queso. Si le regaló

2

1kg a su mamá, entonces, ¿cuántos

kilogramos de queso le quedaron a Marielos?

c) Gustavo estudió4

1hora Español y

4

3hora lo dedicó a Estudios Sociales,

¿cuánto tiempo, en horas, estudió Gustavo en total?

d) Un agricultor tiene un terreno sembrado de la siguiente manera: 8

25sembrado de

papas, 3

5de zanahoria y el resto no está cultivado. ¿Qué parte del terreno queda sin

cultivar?

e) Se tiene 4

1

L de refresco para distribuir en cantidades iguales en 4 vasos. ¿Qué

cantidad, en litros, de refresco tendrá cada vaso?

f) Se tiene5

6L de agua para distribuir en cantidades iguales en 5 vasos. ¿Qué cantidad,

en litros, de agua tendrá cada vaso?

g) ¿Cuántos paquetes de

2

1 kg se pueden hacer con 22 kg de frijoles?

h) ¿Cuántos paquetes de9

1 kg se pueden hacer con 81 kg de azúcar?

8/19/2019 02 - Octavo 2013

24/176

22 N MEROS

POTENCIACIÓN

Es una expresión de la forma ...n

n veces

a a a a a a b

. Donde “ a ”es la base, “ n ” el

exponentey cuyo resultado de la operación “ b ”, es la potencia.

I CasoBase positiva

Exponente par Exponente impar

2

2

3 3 3 9

2 2 2 4veces

4

4

2 2 2 2 2 16

5 5 5 5 5 625veces

5

5

3 3 3 3 3 3 243

2 2 2 2 2 2 32veces

3

3

2 2 2 2 8

5 5 5 5 125veces

II CasoBase negativa

Exponente par Exponente impar 2

2

3 3 3 9

2 2 2 4veces

4

4

2 2 2 2 2 16

5 5 5 5 5 625veces

5

5

3 3 3 3 3 3 243

2 2 2 2 2 2 32veces

3

3

2 2 2 2 8

5 5 5 5 125veces

Trabajo cotidiano # 81. Calcular las siguientes potencias.

a)2

1

2

b)3

1

3

c)

22

5

d)3

2

5

e)

33

8

f)

33

7

g)

35

7

h)

3

58

i)

37

15

j)

37

10

k)2

11

17

l)

313

19

m)

2

27

n)3

3

5

o)3

5

9

p)4

1

3

q)

43

10

r)

3

3

11

s)

23

11

t)

35

13

u)

47

15

v)

37

16

w)

2

1117

x)

31

19

y)

48

10

8/19/2019 02 - Octavo 2013

25/176

N MEROS 23

GRUPO FÉNIX

LEYES DE POTENCIAS

Multiplicación de potencias de igual basePara multiplicar potencias de igual base se conserva la base y se suman los exponentes

Caso general Ejemplo

n m n ma a a

b b b

a)

b)

8 5 8 5 34 4 4 4 64

7 7 7 7 343

División de potencias de igual basePara dividir potencias de igual base se conserva la base y se restan los exponentes


n m n ma a a

b b b

a)

b)

Potencia de una potenciaEn una potencia cuya base es una potencia, se conserva la base y se multiplican losexponentes


mn n m

a a

b b

a)

b)

2 3 2 3 52 2 2 2 32

3 3 3 3 243

7 3 7 3 42 2 2 2 16

3 3 3 3 81

2 1 2 34 4 4 4 64

7 7 7 7 343

32 2 3 6

4 4 4 4096

3 3 3 729

53 3 5 15

2 2 2

7 7 7

8/19/2019 02 - Octavo 2013

26/176

24 N MEROS

Trabajo cotidiano # 91. En cada una de las siguientes expresiones, aplique la propiedad de las potencias

que corresponda para simplificar la expresión dada.

a)2 3

2 2

3 3

b)

3 2

1 12 2

c)

53 3

2 2

d)

4 25 5

2 2

e)

2 22 2

3 3

f)

5 31 1

3 3

g)

4 23 3

2 2

h)

5 31 1

5 5

i)

15 12

3 32 2

j)

12 91 1

6 6

k)

11 93 3

5 5

l)

7 53 3

7 7

m)

13 105 5

2 2

n)

4 21 1

5 5

o)5 3

2 2

3 3

p)

8 55 5

2 2

q)

22 2

5 5

r)

2 21 1

3 3

s)

3 32 2

3 3

t)

32 2

7 7

u)

8 53 3

2 2

v)

10 7

7 72 2

w)

15 134 4

3 3

x)

14 113 3

2 2

y)

20 202 2

5 5

z)

2 31 1

7 7

aa)

22

1

3

bb)

221

4

cc)

32

1

2

dd)

32

1

6

ee)

22

2

3

ff)

22

3

4

gg)

22

1

4

hh)

23

2

5

ii)

33

2

3

jj)

22

1

2

kk)

234

3

8/19/2019 02 - Octavo 2013

27/176

N MEROS 25

GRUPO FÉNIX

LEYES DE POTENCIAS

IV CasoPotencia de un producto

Ejemplos

Subcaso I( )

n n na b a b

Subcaso II( )

x y n n x n ya b a b

4 4 42 3 2 3

5 4 5 4

35 3 1 3 5 3 15

2 3 2 3 2 3

5 4 5 4 5 4

V CasoPotencia de un cociente

Ejemplos

Subcaso In n

n

a a

b b

Subcaso IIn

x n x

y n y

a a

b b

33

3

22

5 5

53 5 3 15

2 5 2 10

2 2 2

5 5 5

VI Caso

Casos particulares de potenciasSubcaso I Subcaso II Subcaso III

Todo número elevado a

la0 es igual a 10 1a

Todo número elevado a la1 esigual al mismo número

1a a

En toda potencia con exponentenegativo se invierte la fracción

n na b

b a

Ejemplos Ejemplos Ejemplos

021

7

03 4

2 31

9 5

1

2 2 27 7 7

13 4 3 4

2 3 2 3

9 5 9 5

1 1

2 7 77 2 2

13 4 3 4

2 3 9 3

9 5 2 5

8/19/2019 02 - Octavo 2013

28/176

26 N MEROS


1. En cada una de las siguientes expresiones, aplique la propiedad de las potencias

(IV, V y VI Caso) que corresponda para simplificar la expresión dada.

a)

21 1

2 2

b)

22 1

3 5

c)

22 1

3 4

d)

21 2

5 3

e)

22 2

5 3

2 2

f)

22 3

1 1

2 3

g)

32 2

2 23 3

h)

22 2

2 1

3 4

i)

25

7

j)

23

5

k)

515

18

l)

31

3

m)

22

2

3

4

n)

23

4

2

3

o)

3

3

2

1

6

p)

22

6

3

2

q)

05

3

r)011

12

s)

02 3

5 7

21 24

t)

06 4

9 11

2 3

u)1

1

2

v)

15

3

w)

17

5

x)

111

12

y)

12 3

5 3

2 2

z)

13 4

3 1

2 3

aa)1

10

9

bb)2

5

8

cc)

32

5

dd)

41

4

ee)

12 3

3 2

4 5

ff)

22 3

1 5

2 3

gg)

22 2

2 8

5 3

8/19/2019 02 - Octavo 2013

29/176

N MEROS 27

RAÍCES N -ÉSIMAS DE UN NÚMERO RACIONAL

La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del dividendo y

del divisor.n

nn

a a

b b

Ejemplos

a) b) c) d)


1. Calcule la raíz de los siguientes números racionales.

a) 4

25

b) 49

144

c) 9

169

d) 36

64

e) 81

100

f) 3125

27

g) 3729

343

h) 3216

1000

i) 364

512

j) 31

1331

k) 41

16

l) 481

625

m) 410000

256

n) 41296

14641

o) 42401

50625

p) 51

32

q) 51

243

r) 51

3125

s) 51

100000

t) 5161051

371293

2

2

1

4

1

4

1

21

2

2

2

9

25

9

25

3

53

5

3

3

3

3 3

33

8

27

8

27

2

32

3

4

4

4

44

44

625

2041

625

2041

5

75

7

8/19/2019 02 - Octavo 2013

30/176

28 N MEROS

GRUPO FÉNIX

PROBLEMA PARA INTRODUCIR LA COMBINACIÓN DE OPERACIONES





específico.

Paso 3. Control

Monitorear el proceso y decidir cuándo


exitoso.


respuesta obtenida.


Problema 1Una sala de cine rotativo con capacidad para 400 espectadores está completo. Si terminada

la función se retiran 3/10 de los espectadores y entran a la sala 3/20 de la capacidad,

entonces ¿cuántas personas faltan para que la sala esté nuevamente completa?

Paso 1.

Paso 2.

Paso 3.

Paso 4.

8/19/2019 02 - Octavo 2013

31/176

N MEROS 29

GRUPO FÉNIX

COMBINACIÓN DE OPERACIONES

I CasoSin signos de agrupación

El orden de prioridad de operaciones.

a) Se realizan las potencias.b) Se efectúan las multiplicaciones y divisiones (en el orden que aparezcan “de

izquierda derecha”).

c) Realizamos las sumas y las restas.

Sin embargo, en caso de que la operación contenga valores absolutos sin calcular, se debe

calcular dicho valor absoluto antes de efectuar cualquiera de las operaciones citadas

anteriormente.

Ejemplo 1 Ejemplo 2

3 2

1 9

8 16

1 3 1 9 2 9 7

2 4 8 16 16 16

2 2

94

49

2 3 4 9 16 81 65

3 2 9 4 36 36

Ejemplo 3 Ejemplo 4

2

2

25

16

21

24

. . . 48

5 7 94 6 16

5 7 3

4 6 4

25 7 3

16 6 4

25 21

16 24

75 42 117 39

48 48 16

m c d

2

3

2

4

25

2

45

9

5

. . . 45

216 2 2 5

125 3 5 18

6 2 2 5

5 3 5 18

6 2 4 5

5 3 25 18

6 2 2

5 3 45

9 2 81 2 79

5 45 45 45m c d

8/19/2019 02 - Octavo 2013

32/176

30 N MEROS

Trabajo cotidiano # 121. Considerando los ejemplos desarrollados anteriormente, simplifique las

siguientes expresiones aritméticas, utilizando la prioridad de las operaciones.

a)

3 21 4

2 3

b)

1 43 2

2 3

c)

3 25 2

6 3

d)

4 12 3

5 7

e)

2 31 4

4 3

f)

4 25 7

3 4

g)

2 21 7

5 6

h)

3 35 7

3 4

i)

4 12 3

5 7

j)

3 4

7 46 3

k)

5 21 4

2 3

l)

23 5 49

4 6 64

m)

21 5 121

7 8 81

n)

2

31 2 27

3 5 343

o)

2

32 3 64

3 5 729

p)

2

32 5 125

3 3 64

q)

2

32 7 1

3 3 729

r)

2

4256 2 3 5

2041 3 2 4

s)

2

3512 4 5 5

125 5 6 4

t)

2

532 3 2 2

243 2 7 9

u)

2

481 5 2 3

256 4 7 7

v)

2

3216 5 1 1

343 3 4 4

8/19/2019 02 - Octavo 2013

33/176

N MEROS 31

GRUPO FÉNIX

COMBINACIÓN DE OPERACIONES

II CasoCon signos de agrupación

El orden de prioridad de operaciones se mantiene como en el I Caso, pero se debeconsiderar antes el orden de prioridad de los signos de agrupación (paréntesis)

El orden de prioridad de paréntesis.a) Redondos ( )

b) Cuadrados [ ]

Ejemplo 1 Ejemplo 2

310 5 1

9 6 2

10 5 1

9 6 810 20 3

9 24

10 17 240 80

9 24 153 51

2

2

2

2 5 1

3 4 8

2 10 1

3 82 9

3 8

2 81 162 27

3 64 192 32

Ejemplo 3 Ejemplo 4

1 2

2

2

2

3 8 19 8

2 5 6 12

3 8 38 8

2 5 12

3 8 46

2 5 12

3 8 23

2 5 6

3 8 529

2 5 36

3 2357 7071 2357

2 180 360 120

3

3

2

9 6 729 810

2 5 10000 25

9 6 27 810

2 5 100 25

33 27 810

10 100 25

1089 27 810

100 100 25

1116 810

100 25

279 810 1089

25 25 25

8/19/2019 02 - Octavo 2013

34/176

32 N MEROS

Trabajo cotidiano # 131. Simplifique las siguientes expresiones aritméticas, utilizando la prioridad de las

operaciones y de los signos de agrupación.

a)

28 5 3

2 2 2

b)

24 3 5

3 2 2

c)

210 4 7

5 2 2

d)

25 2 8

3 5 3

e)

37 9 11

2 2 3

f)

46 10 13

5 3 6

g)

3

35 12 512

3 5 27

h)

5

6 10 169

5 3 36

i)

1 22 9 15 5

3 3 3 3

j)

1 25 7 12 4

2 2 2 2

k)

27 7 5 4

2 3 2 3

l)

21 3 8 5

3 2 3 2

m)

210 4 1 7

3 3 81 2

n)

31 3 25 3

2 5 9 5

o)

3

32 9 343 8

5 3 1000 10

p)

3

36 4 1331 8

7 7 343 3

8/19/2019 02 - Octavo 2013

35/176

N MEROS 33

Ejercicios de profundización1. Simplifique las siguientes expresiones aritméticas, utilizando la prioridad de las

operaciones y de los signos de agrupación.

a)

22 2

2 3 16 7

3 3 9 3

b)

23 2

5 3 1 4

7 2 4 2

c)

322

7 7 2 8

7 3 3 3

d)

222

3

3 2 6 5 1

2 3 5 2 2

e)

23

8 2 1 2 7

7 5 3 5 3

f)

22

3 5 3 2 2

5 4 4 3 8

g)

3

25 5 1 8

9 8 9 7

h)

33

19 1 45 13

2 400 10 19

i)

3

27 88 7 878

5 10 10 10

j)

23

356 54 11 512

17 7 17 1000

k)

23

417 625 12 10

96 16 18 18

l)

52

19 13 115 1211 1

7 49 98 256

8/19/2019 02 - Octavo 2013

36/176

34 N MEROS

Problemas de profundización

1. En un club, la mitad son mujeres, de ellas la cuarta parte son rubias y de estas últimas

la mitad tiene los ojos verdes; si las rubias de ojos verdes son cuatro, ¿cuántos

integrantes tiene el club?

2. Si la mitad de un medio se divide por un medio, ¿qué valor se obtiene?

3. Si al triple de la tercera parte de un número se le resta 18, resulta 0. ¿Cuál es el

número?

4. Una persona se queda con ₵15 000 000 después de haber gastado 5/7 del dinero que

tenía. ¿Cuánto dinero tenía?

5. Un niño desea completar una colección de 900 estampillas. Parte con 240; le regalan

160 más y él regala la cuarta parte de las que tenía reunidas hasta ese momento.

Finalmente compra 300 estampillas. ¿Cuántas estampillas le faltan para completar la

colección?

6. El agua que hay en un estanque en estos momentos ocupa la mitad de su capacidad.

Si a este estanque le agregasen 120 litros más de agua, entonces ésta ocuparía 5/8 de

su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del estanque?

7. Un comerciante vendió 48 botellas de vino. Si las botellas eran de tres cuartos de litro,

¿cuántos mililitros de vino vendió?

8. ¿Cuántas veces está contenida la quinta parte de 13/26 en un entero?

9. Si a la mitad de la unidad se le resta la unidad, ¿cuál número se obtiene?

10. Si a 15 le resto x obtengo n. Si la mitad de n es 42, entonces ¿cuál es el valor de x?

11. Un cilindro tiene ocupado con aceite las 2/3 partes de su capacidad. Si se sabe que

con 30 litros más, este tambor se llena, entonces ¿cuál es su capacidad?

12. ¿Cuál es el número decimal que representa a la quinta parte de la quinta parte de 20?

13. ¿Por cuánto hay que multiplicar 3/8 para obtener la cuarta parte de 3/2?

14. ¿Con cuántos litros de agua se llenarán totalmente seis botellas de tres cuartos de

litro?

8/19/2019 02 - Octavo 2013

37/176

UNID D II

GEOMETRÍA

Conocimientos Habilidades específicas

Triángulos

Semejanza

Congruencias

Teorema de Thales

Visualización espacial

Pirámide recta

Caras laterales

Base

Apotemas

Ápice (cúspide)

Altura

Sección plana

Prisma recto

1. Identificar figuras semejantes en diferentes contextos.

2. Identificar figuras congruentes en diferentes contextos

3. Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado

y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de

triángulos.

4. Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo

lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia

de triángulos.

5. Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de

triángulos.

6. Utilizar software de geometría dinámica para visualizar

propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de

triángulos.

7. Aplicar el teorema de Thales en la resolución de problemas en

diversos contextos.

8. Identificar la base, las caras laterales, la altura, las apotemas y el

ápice o cúspide de una pirámide.

9. Identificar las caras laterales, las bases y la altura de un prisma

recto.

10. Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de

una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular.

11.Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de

un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular.

8/19/2019 02 - Octavo 2013

38/176

36 GEOMETRÍA

GRUPO FÉNIX

PROBLEMA PARA INTRODUCIR EL CONCEPTO DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES


Paso 1. Entendimiento del problemaTener claridad sobre lo que trata el problemaantes de empezar a resolverlo.

Paso 2. Diseño

Considerar varias formas para resolver el

problema y seleccionar un métodoespecífico.

Paso 3. Control

Monitorear el proceso y decidir cuándoabandonar algún camino que no resulteexitoso.

Paso 4. Revisión y comprobaciónRevisar el proceso de resolución y evaluar larespuesta obtenida.


Problema 1

Considere la siguiente fotografía de un vitral de forma triangular.

Determine si el vitral está compuesto por triángulos congruentes (“iguales”), en casoafirmativo, identifique cuáles triángulos parecen ser congruentes entre sí, y justifique surespuesta argumentando por qué considera que son congruentes (“iguales”). Por último, siconsidera que dos triángulos del vitral son congruentes entre sí, ¿qué puede suponer sobrelas relaciones que se establecen primero entre los ángulos, y segundo entre los lados?

8/19/2019 02 - Octavo 2013

39/176

GEOMETRÍA 37

GRUPO FÉNIX

CONCEPTO Y REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES

Dos triángulos son congruentes si los lados y los ángulos de un triángulo son

respectivamente congruentes a los lados y los ángulos de otro triángulo.

Ejemplo 1

Triángulos congruentes´ ´ ´ ABC A B C

Vértices homólogos

´ A y A ´ B y B ´C y C

Congruencia de ángulos homólogos

´ ´ ´ BAC B A C ´ ´ ´ ABC A B C

´ ´ ´ ACB A C B

Congruencia de lados homólogos

´ ´ AB A B ´ ´ BC B C ´ ´ AC A C

Ejemplo 2

Triángulos congruentes ABC DEF Vértices homólogos

A y D B y E C y F


BAC EDF ABC DEF

ACB DFE


AB DE BC EF AC DF

A

B

C

D

E

F

A

´ A

B

C

´ B

´C

50º

50º

60º

60º

70º

70º

10cm

10cm

9cm

9cm

6cm

6cm

8/19/2019 02 - Octavo 2013

40/176

38 GEOMETRÍA

GRUPO FÉNIX

CRITERIOS DE CONGRUENCIA: L.L.L L.A.L A.L.A

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes sedenominan criterios de congruencia.

I Caso: Criterio de congruencia L.L.L. (lado, lado, lado)

Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro,entonces los triángulos son congruentes.

Ejemplo 1

Triángulos congruentes por L.L.L.´ ´ ´ ABC A B C



Congruencia de ángulos homólogos´ ´ ´ BAC B A C ´ ´ ´ ABC A B C

´ ´ ´ ACB A C B


´ ´ AB A B ´ ´ BC B C ´ ´ AC A C

Ejemplo 2

Triángulos congruentes por L.L.L. ABC DEF


A y D B y E C y F


BAC EDF ABC DEF

ACB DFE


AB DE BC EF AC DF

A

´ A

B

C

´ B

´C

10cm

10cm

9cm

9cm

6cm

6cm

A

B

C

D

E

F

8/19/2019 02 - Octavo 2013

41/176

GEOMETRÍA 39

GRUPO FÉNIX


II Caso: Criterio de congruencia L.A.L. (lado, ángulo, lado)

Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulocomprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Ejemplo 1Triángulos congruentes por L.A.L.

´ ´ ´ ABC A B C Vértices homólogos



´ ´ ´ BAC B A C

´ ´ ´ ABC A B C

´ ´ ´ ACB A C B


´ ´ AB A B ´ ´ BC B C ´ ´ AC A C

Ejemplo 2

Triángulos congruentes por L.A.L. ABC DEF


A y D B y E C y F


BAC EDF ABC DEF

ACB DFE


AB DE BC EF AC DF

A

´ A

B

C

´ B

´C

50º

50º

10cm

10cm

9cm

9cm

A

B

C

D

E

F

8/19/2019 02 - Octavo 2013

42/176

40 GEOMETRÍA


III Caso: Criterio de congruencia A.L.A. (ángulo, lado, ángulo)

Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otrotriángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Ejemplo 1

Triángulos congruentes por A.L.A.´ ´ ´ ABC A B C




´ ´ ´ BAC B A C ´ ´ ´ ABC A B C

´ ´ ´ ACB A C B


´ ´ AB A B ´ ´ BC B C ´ ´ AC A C

Ejemplo 2

Triángulos congruentes por A.L.A. ABC DEF


A y D B y E C y F


BAC EDF ABC DEF

ACB DFE


AB DE BC EF AC DF

A

´ A

B

C

´ B

´C

50º

50º

70º

70º

9cm

9cm

A

B

C

D

E

F

8/19/2019 02 - Octavo 2013

43/176

GEOMETRÍA 41

Trabajo cotidiano # 11. Determine el criterio que justifica la relación de congruencia entre ABD y CBD en

cada una de las siguientes figuras.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

A

B

C D

10 10

6 6

A

B

C D6 6

A

B

C D

6 6

60º60º

30º30º

A

B

C D

A

B

C D

A

B

C D

A

B

C

D

A

B

C

D

3 3

3 3

A

B

C

D

3

3

48º

48º

A

B

C

D

A

B

C

D

9º9º

71º71º

A

B

C

D

A

B

C D

8/19/2019 02 - Octavo 2013

44/176

42 GEOMETRÍA

2. Determine en cada una de las siguientes figuras si ABC es congruentes con DEF ,en caso de ser congruentes, justifique su respuesta con el criterio decongruencia que utilizó, además escriba dicha congruencia de forma simbólica(por ejemplo ABC FDE ).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

A

B

C

D E

F

A

B

C

D

E F

A B

C D

E

F

A

B

C

D E

F

A

B

C

D

E F

A

B

C D

E F

A

BC

D E

F

A

B

C

D E

F

A

B

C

D

E

F

8/19/2019 02 - Octavo 2013

45/176

GEOMETRÍA 43

Trabajo extra clase # 1

1. De acuerdo con los datos de la figura, si , , AB DE AF CD BC FE entonces el

A es congruente con el

A) C

B) D

C) E

D) F

2. De acuerdo con los datos de la figura, si , AB DE AD CF , analice las siguientes

proposiciones.I BC DE

II m ABC m DEF De ellas, ¿cuáles con certeza son verdaderas?

A) Solo la IB) Solo la IIC) Ambas.

D) Ninguna.

3. Considere el triángulo ABC . De acuerdo con los datos de la figura, si AM

es bisectriz

del CAB , ¿cuál es la medida de AB

A) 5

B) 4C) 9

D) 41

4. En la figura, si ABC EDC , entonces se cumple con certeza que

A) m A m C B) m B m D

C) CE BC

D) DE CD

5. De acuerdo con los datos de la figura, si AD CE , entonces se cumple que A) ABC CBE

B) ABC DBE

C) ABD CBE

D) ABD ABC

6. De acuerdo con los datos de la figura, BDE CFG por el criterio

A) a l a

B) l a l C) a a a

D) a a l

A

BC

D

E F

A F C

F C D

α α

l A

B

C D

E

F

A

B C

D

M 4

5

A

B

C D

E

5

A

B C

D

E α α

G

F

5 5

A

B

C D E

α α

D A C E

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44 GEOMETRÍA

GRUPO FÉNIX

PROBLEMA PARA INTRODUCIR EL CONCEPTO DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES


Paso 1. Entendimiento del problemaTener claridad sobre lo que trata el problemaantes de empezar a resolverlo.

Paso 2. Diseño

Considerar varias formas para resolver el

problema y seleccionar un métodoespecífico.

Paso 3. Control

Monitorear el proceso y decidir cuándoabandonar algún camino que no resulteexitoso.

Paso 4. Revisión y comprobaciónRevisar el proceso de resolución y evaluar larespuesta obtenida.


Problema 1

Un farol que mide 4 metros de altura proyecta a determinada hora del día una sombra de

3 metros. ¿Qué altura tiene el edificio cercano si a la misma hora proyecta una sombra de

15 metros?

Por último, ¿tendrá sentido el mismo problema con las siguientes condiciones?

Un farol que mide 10 metros de altura proyecta a determinada hora del día una sombra de

8 metros. ¿Qué altura tiene el edificio cercano si a la misma hora proyecta una sombra de

4 metros?

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GEOMETRÍA 45

GRUPO FÉNIX

CONCEPTO Y REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos son semejantes si tiene ángulos homólogos congruentes y lados homólogos

proporcionales.

Ejemplo 1

Triángulos semejantes´ ´ ´ ABC A B C




´ ´ ´ BAC B A C ´ ´ ´ ABC A B C

´ ´ ´ ACB A C B

Proporcionalidad de lados homólogos

´ ́ ´ ́ ´ ́

10 9 6

5 4,5 3

2 2 2

AB BC AC

A B B C A C

´ ́ ´ ́ ´ ́

5 4,5 3

10 9 6

1 1 1

2 2 2

A B B C A C

AB BC AC

Ejemplo 2Triángulos semejantes

ABC DEF Vértices homólogos

A y D B y E C y F


BAC EDF ABC DEF

ACB DFE


AB BC AC

DE EF DF

DE EF DF

AB BC AC

A

´ A

B

C

´ B

´C

50º

50º

60º

60º

70º

70º

10cm

5cm

9cm

4,5cm

6cm

3cm

A

B

C

D

E

F

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46 GEOMETRÍA

GRUPO FÉNIX

CRITERIOS DE SEMEJANZA: L.L.L L.A.L A.A.A

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean semejantes sedenominan criterios de semejanza.

I Caso: Criterio de semejanza L.L.L. (lado, lado, lado)

Si los lados homólogos de dos triángulos son proporcionales, entonces, los triángulos sonsemejantes.

Ejemplo 1

Triángulos semejantes por L.L.L.´ ´ ´ ABC A B C




´ ´ ´ BAC B A C ´ ´ ´ ABC A B C ´ ´ ´ ACB A C B


´ ́ ´ ́ ´ ́

10 9 6

5 4,5 3

2 2 2

AB BC AC

A B B C A C

´ ́ ´ ́ ´ ́

5 4,5 3

10 9 6

1 1 1

2 2 2

A B B C A C

AB BC AC

Ejemplo 2

Triángulos semejantes por L.L.L. ABC DEF


A y D B y E C y F


BAC EDF ABC DEF

ACB DFE


AB BC AC

DE EF DF

DE EF DF

AB BC AC

A

´ A

B

C

´ B

´C

10cm

5cm

9cm

4,5cm

6cm

3cm

A

B

C

D

E

F

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GEOMETRÍA 47

GRUPO FÉNIX

CRITERIOS DE SEMEJANZA: L.L.L L.A.L A.A.A

II Caso: Criterio de semejanza L.A.L. (lado, ángulo, lado)

Si existe una correspondencia entre dos triángulos de tal manera que dos parejas de ladoshomólogos sean proporcionales y los ángulos comprendidos por esos lados soncongruentes, entonces, los triángulos son semejantes.

Ejemplo 1

Triángulos semejantes por L.A.L.

02 - octavo 2013

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