03 gutierrez capitulo 3 criterios de evaluacion de proyectos

31

CAPITULO 3

CRITERIOS DE EVALUACION DE PROYECTOS

3.1. MATEMATICAS FINANCIERAS ……..……………… 32

3.1.1. Fórmulas de equivalencias financieras …..…. 32

3.1.2. Ejercicios ……………………………….….…… 36

3.1.3. Referencias ……………………….…….……… 39

3.1.4. Ayuda en la Web ............................................ 39

3.2. INDICADORES DE RENTABILIDAD Y ……………… 39 EL USO APROPIADO DEL VAN

3.2.1. El VAN, la TIR y el Cruzamiento de Fisher ….. 39

3.2.2. Las TIR múltiples …………………….………… 42

3.2.3. Elección entre proyectos alternativos ……..… 47 de distinta vida

3.2.4. Ejercicios ………………………..………….…… 58

3.2.5. Referencias……………………..….…………… 60

3.2.6. Ayuda en la Web ............................................. 61

En el capítulo anterior se concluyó que es óptimo tomar decisiones de

inversión que conduzcan a maximizar el VAN. Aquí se presenta una discusión

respecto a procedimientos alternativos, tanto para conocerlos, porque son de

amplio uso, como para clarificar sus defectos. Uno de ellos es el criterio de

maximizar la TIR ya presentado. Se comienza con una breve introducción de

Matemáticas Financieras.

32 CAPITULO 3: Criterios de evaluación de proyectos

3.1. MATEMATICAS FINANCIERAS 3.1.1. Fórmulas de equivalencias financieras

El problema de evaluación se presenta por la necesidad de hacer comparaciones intertemporales, ya que flujos en distintos períodos no se debieran sumar las sumas están prohibidas . Por ejemplo tener $100 en un año más no es equivalente a tenerlos hoy. Las matemáticas financieras se refieren a fórmulas matemáticas que permiten encontrar esas equivalencias.

La primera fórmula de equivalencia es la del valor presente de un flujo futuro. La equivalencia se encuentra preguntando a cuánto es equivalente "hoy" un flujo futuro F que se tendrá en "n" períodos más adelante. Para responder eso basta encontrar qué cantidad P se tendría que invertir en el presente por n períodos a la tasa i para llegar a igualar ese flujo F, con lo que se obtiene:

P * (1 +i )n = F <======> P = F*

(1 +i )n

1 ................. ( 3 .1 )

La fórmula (3.1) muestra cómo encontrar el equivalente financiero P de un flujo futuro F: hay que multiplicar F por el factor 1/(1+i)n. En la jerga se dice que 1/(1+i)n es el factor que "transforma" un flujo futuro en un valor presente y es un factor de "descuento", pues es menor que la unidad; dicho factor ha recibido múltiples nombres en la literatura, tales como sppwf, que es la sigla de single payment present worth factor ("factor de valor presente para un pago simple"), y P/F (P dado un F), entre otros. Pero la fórmula (3.1) también muestra como transformar un valor presente en un valor futuro: hay que multiplicar a P por (1+i)n, factor que se le ha llamado spcaf (single payment compound amount factor, o "factor de valor compuesto para un pago simple") o F/P (F dado un P). Esto, típicamente, se representa tal como se muestra en el gráfico 3.1.

Gráfico 3.1 Equivalencia Financiera entre un Valor Presente y un Valor Futuro

Períodos(por ejemplo,años)

La notación que se usará por su simplicidad es P/F o F/P; sin embargo, para enfatizar que ese factor depende de la tasa de interés i por período y del número n de períodos, se la escribirá usualmente como P/F(i%;n)

3.1. Matemáticas financieras 33

Otra fórmula financiera de amplio uso se relaciona con una anualidad A, es decir, un pago que se recibe una vez por año (o período), por n años. La deducción del factor que transforma la anualidad en un valor presente se presenta a continuación con ayuda del gráfico 3.2.

Gráfico 3.2 Representación de una Anualidad

Años

En la construcción del gráfico 3.2 se siguió una convención estándar en Evaluación de Proyectos: se supuso flujos acumulados a fines de período. En efecto, lo usual es no prestar atención a la generación de flujos dentro de cada período y, simplemente, suponer que son instantáneos y a fines de período; ello es una aproximación que por lo general no involucra un gran error, por lo que corrientemente se suponen flujos anuales sin considerar los flujos mes a mes o día a día (o continuamente, como sería el caso extremo). 1

Para encontrar la fórmula de equivalencia entre una anualidad A y un valor presente P se puede partir utilizando la fórmula del valor presente para un flujo futuro, tal como sigue:

P = 1 +iA +

(1 +i )2

A + ... + (1 +i )

nA

Multiplicando por (1+i) la expresión anterior se obtiene:

P* (1 +i ) = A + 1 +iA + ... +

(1 +i )n- 1

A ;

ahora, restando las dos expresiones se obtiene P(1+i) - P = P*i :

P * i = A - (1 +i )

nA = A *

(1 +i )n

(1 +i )n - 1

,

de donde resulta la siguiente fórmula (3.2):

P = A * i * (1 +i)

n(1 +i )

n - 1

<======> A = P*(1 +i )

n - 1

i * (1 +i )n

............. ( 3 .2 )

1 No obstante, para tasas de descuento de 18% o más, la aproximación de suponer

flujos anuales puede ser inadecuada y sería preferible considerar, al menos, flujos semestrales. Hágase el ejercicio 3.4, para ganar intuición sobre este crucial punto.


La fórmula (3.2) muestra que para encontrar el valor presente de una anualidad A se la debe multiplicar por [(1+i)n-1]/[i*(1+i)n], que es precisamente el factor que transforma una serie uniforme de n períodos a la tasa de interés i en un valor presente, un uspwf (uniform series present worth factor, o "factor de valor presente para una serie uniforme") o P/A (P dado un A). Aquí conviene recordar que el factor P/A permite obtener el valor presente de la anualidad un período antes que comiencen los flujos anuales.

El recíproco del factor P/A transforma un valor presente en una anualidad. Y combinando la fórmula (3.2) con la que permite obtener un valor futuro a partir de un valor presente se puede obtener la fórmula (3.3):

F = A * i

(1 +i )n - 1

<======> A = F * (1 +i )

n - 1

i ............ ( 3 .3 )

el factor A/P tiene el nombre de "factor de recuperación de capital" o crf (capital recovery factor); su nombre se origina en que si se invierten P dólares, se requieren P*A/P(i%;n) dólares para recuperar el capital sin perder ni ganar.

La notación que usaremos es P/A(i%;n) (o A/P), o bien A/F(i%;n) (o F/A), cuya interpretación debiera ser obvia. En este punto, nótese que la fórmula es bastante general y puede aplicarse para flujos con periodicidad no anual, tal como una semestral, donde i pasaría a ser la tasa de interés por período y n el número de períodos.

Finalmente, se presenta el cálculo de un factor que involucra un gradiente aritmético. Este se representa en el gráfico 3.3.

Gráfico 3.3 Representación de un Gradiente Aritmético

Años

El gradiente aritmético sirve para representar, por ejemplo, una situación en que se tiene una máquina que se deteriora y los costos de operación anuales son crecientes; el primer año de operación son, digamos, A; el segundo año es A+g, el tercer año A+2g, y así sucesivamente. En el ejemplo, g es un gradiente de deterioro de los costos que comienza el segundo año.

La fórmula para encontrar el factor que permite calcular el valor presente al gradiente aritmético se puede obtener de la misma manera como se obtuvo la de una serie uniforme:

P = (1 +i )

2

g +

(1 +i )3

2 g + ... +

(1 +i )n

(n- 1 )g ;


multiplicando por (1+i):

P* (1 +i ) = 1 +i

g +

(1 +i )2

2 g + ... +

(1 +i )n- 1

(n- 1 )g ;

de donde se obtiene, al restar la última expresión a la primera:

P* i = 1 +i

g +

(1 +i )2

g + ... +

(1 +i )n- 1

g -

(1 +i )n

(n- 1 )g =

= 1 +i

g +

(1 +i )2

g + ... +

(1 +i )n- 1

g +

(1 +i )n

g -

(1 +i )n

ng =

= g * (1 +i )

n* i

(1 +i )n - 1

- g * (1 +i )

nn .

Ahora bien, si se quisiera encontrar el equivalente anual del gradiente

aritmético, se puede multiplicar la última expresión obtenida por (1+i)n/[(1+i)n-1]:

A = P *(1 +i )

n - 1

i * (1 +i )n

= g * i1 - g *

in *

(1 +i )n - 1

i ;

lo que finalmente permite obtener la fórmula (3.4) siguiente:

A = g *

i1

- in *

(1 +i )n - 1

i

.......................................... ( 3 .4 )

La fórmula (3.4) permite encontrar el equivalente anual al gradiente aritmético: es un factor A/g(i%;n). Nótese, por último, que la fórmula es general y aplicable a flujos con periodicidad no anual, cuidando de considerar que la tasa de interés por período corresponda a la periodicidad.

3.1.2. Ejercicios

Ejercicio 3.1: Valor de una acción que da dividend os (Presentado en Copeland y Weston: Financial Theory and Corporate Policy) Deduzca que el valor P de una acción que da dividendos D el primer año, D*(1+g)

el segundo año, D*(1+g)2 el tercer año, y asi sucesivamente hasta el infinito, es la fórmula de Gordon siguiente:

P = i - g

D ;

donde i es la tasa de descuento apropiada y g<i.


Ejercicio 3.2: Tasa de descuento variable (De Fontaine: Evaluación Social de Proyectos) Considere los dos proyectos independientes que se presentan en el Cuadro II.6.

De ese cuadro se concluye que si i=10% conviene hacer los dos proyectos, pero con i=25% no conviene ninguno. ¿Qué convendrá hacer si la tasa de descuento es variable, con i=10% el primer año e i=25% el segundo?

Cuadro II.6 Proyecto Flujos de Caja Netos TIR VAN . IN0 IN1 IN2 ρ 10% 25%

A -120 +50 +100 14,5% + 8,1 -16,0 B -110 +50 +100 20,75% +18,1 - 6,0

Ejercicio 3.3: Cuánto ahorrar para financiar la ed ucación universitaria de un

hijo Una joven pareja ha decidido ahorrar desde ya para financiar la educación

superior de su hijo que acaba de nacer, en una carrera universitaria de 6 años de duración.

(a) Si el dinero puede ser depositado al 7 por ciento, calcule cuánto deben depositar en cada uno de los cumpleaños de su hijo, incluyendo el de hoy y hasta el número 17, para poder obtener $120.000 en cada cumpleaños desde el número 18 y hasta el 23 (ambos inclusive).

(b) Suponga ahora que desea ahorrar mensualmente, haciendo el primer depósito el día de nacimiento del hijo y el último, un mes antes del cumpleaños 18. La meta es retirar $100.000 mensuales a contar del día del cumpleaños número18 del hijo y hasta completar 72 retiros mensuales. (En esta parte b) comprobará por qué puede calcularse con años en vez de mensualidades, que es más simple, sin cambiar apreciablemente los resultados.)

(c) Recalcule lo de (a), pero suponiendo que obtendrá 7 por ciento en los primeros 5 años y después sólo 5 por ciento. Considere el cálculo con anualidades.

Ejercicio 3.4: Posibilidades de renegociación de u n préstamo hipotecario (Adaptado de un ejercicio propuesto por el Profesor Wayne Fearson) En el ejercicio que se presenta a continuación las tasas indicadas son anuales en

UF, pero capitalizadas mensualmente. (La "UF" es una unidad de cuenta utilizada en Chile llamada unidad de fomento, que tiene una equivalencia en $ que se reajusta automáticamente con la inflación, cualquiera que ella sea; por esa razón, una tasa de interés en UF es una tasa real).

Con la finalidad de disminuir el riesgo de su portafolio de préstamos hipotecarios, un banco está promoviendo un plan que involucra prepagos voluntarios de deudas. Está ofreciendo a sus clientes las siguientes posibilidades:

i) descuento en la deuda remanente por prepago parcial o total de ella, y ii) disminución en el dividendo mensual a cambio de una mayor tasa de interés.

Por ejemplo, el nuevo plan es aplicable a un préstamo hipotecario originalmente suscrito al 8,40 por ciento (capitalizado mensualmente), con un dividendo mensual de 43,00 UF y con una deuda remanente (saldo insoluto) de 2.000,00 UF. Con el nuevo plan se podría prepagar toda la deuda, sin ningún recargo por prepago. Como alternativa, se podría reducir el dividendo a 30 UF, pero alzando la tasa de interés a 10,5 por ciento.


Suponga que usted posee una casa adquirida con un préstamo hipotecario del banco que ofrece el plan indicado hace exactamente 36 meses (por lo que ya ha pagado 36 dividendos), con una deuda como la del ejemplo, y desea considerar la posibilidad de acogerse al plan.

(a) Calcule el valor del préstamo originalmente contraído hace 36 meses. (b) Identifique la cantidad de dividendos mensuales que quedan por pagar. (c) Calcule el VAN de prepagar completamente la deuda si financiara la operación

con un crédito en UF al 18 por ciento. Haga el cálculo exacto (con mensualidades) pero además obtenga una aproximación considerando flujos acumulados a finales de año.

(d) Repita (a) considerando un préstamo al 12 por ciento. (e) Calcule el VAN de reducir el dividendo a 30 UF y alzar la tasa de interés al

10,5 por ciento. Suponga que es posible depositar la rebaja en los dividendos al 12 por ciento en UF. ¿Cambia su análisis si fuera posible hacerlo pero además estuviera usando el crédito de su tarjeta de crédito con una tasa de interés equivalente a 18 por ciento en UF?.

(f) Si el costo de oportunidad de sus fondos fuera 12 por ciento, indique cuál de las siguientes alternativas es más atractiva:

i) quedarse con la deuda sin acogerse a ningún plan nuevo, ii) prepagar, o iii) disminuir el dividendo tal como se indica más arriba.

*** Ejercicio 3.5: Interés continuo

(a) Deduzca que el valor acumulado de un depósito instantáneo P por n períodos a un interés continuo r por período es: F = P * ern, por lo que el valor presente de un valor futuro instantáneo F es e-rn

: P = F * e-rn. (Sugerencia: partiendo de un depósito con interés discreto anual i por un período, se obtiene F=P*(1+i). Si el interés fuera capitalizado mensualmente se obtendría

F=P*(1+i/12)12. Si fuera capitalizado diariamente sería F=P*(1+i/365)365. Si fuera

capitalizado continuamente sería F=límt→∞P*(1+i/t)t. Se dice que i es un interés nominal

capitalizado mensualmente, o diariamente, o continuamente, según corresponda). (b) Deduzca que el valor presente de un flujo continuo A entre el instante 0 y el

instante 1 es P=A*(1-e-r)/r. (Sugerencia: Para imaginar un flujo continuo entre 0 y 1 considere que A es anual, pero se recibe mensualmente, por lo que en cada fin de mes se recibe instantáneamente A/12. El valor presente de esos 12 flujos instantáneos a interés continuo r es:

P = 1 2A * e - r / 1 2 +

1 2A * e - 2 r / 1 2 + ... +

1 2A * e - 1 2 r / 1 2 =

=

1 2A *

e

- r / 1 2 + e- 2 r / 1 2 + ... + e- 1 2 r / 1 2 =

= A *

1 21

* er / 1 2 - 1

1 - e- r

Ahora bien, si esos flujos instantáneos se recibieran m veces, siendo m un número que tiende a infinito, se tiene que:

P = l í m A *

m1

*r r / m - 1

1 - e- r

= A * r1 - e- r

m→∞


Note que el valor A se distribuye entre ∞ subperíodos entre 0 y 1, por lo que puede afirmarse que se recibe continuamente).

(c) Demuestre que el valor presente de un flujo continuo A por período, recibido n periodos, es P=A*(1-e-rn)/r.

(Sugerencia: Note que para el caso de un período es válida la igualdad:

P = 0

1 A * e

-rt * dt = A*(1-e-r)/r.

por lo que puede establecerse la siguiente analogía: Si no hubiera descuento (r=0) se

tendría P=0

1A*dt=A, que tiene una interpretación convencional: En el instante t, con 0≤t≤1,

se recibe un pago instantáneo A*dt, y en total se recibe el pago A. Ahora, si se agrega el

descuento e-rt al pago instantáneo A*dt recibido en t se obtiene P=0

1A*e-rt*dt, que es la

fórmula deducida anteriormente. Generalice el resultado para un A por período recibido continuamente entre 0 y n, y obtenga la fórmula para el valor presente).

(d) Deduzca que el valor presente de un pago instantáneo AA, que se repite cada n años indefinidamente a partir del año n, es P=AA/(ern-1).

Ejercicio 3.6: Interés discreto versus interés continuo (De Taylor: Ingeniería Económica) Encuentre el interés anual efectivo de un interés nominal continuo r. Ejercicio 3.7: Renegociación de un préstamo automo tor Suponga que a fines del año pasado financió la compra de un auto en las

siguientes condiciones: Préstamo : 532 UF, al momento de recibir el dinero. Fecha de la operación : 31 de diciembre del año pasado Tasa de interés : 18,16 por ciento anual en UF Plazo : 36 meses Cuotas : mensuales en UF, pagaderas a fin de mes Nota : La "UF" es una unidad de cuenta utilizada en Chile llamada unidad de fomento, que tiene una equivalencia en $ que se reajusta automáticamente con la inflación, cualquiera que ella sea; por esa razón, una tasa de interés en UF es una tasa real.

Como han transcurrido casi cuatro meses, ya ha pagado tres cuotas el último día hábil de cada mes (enero, febrero y marzo) y tendría que pagar la cuarta cuota el último día hábil de abril.

Suponga ahora que ha tenido buena suerte y ha recibido una cantidad de dinero que le adeudaban (y que había dado por perdida), suficiente para prepagar a fines de abril la cuarta cuota y las otras 32 que quedarían por pagar después de ésa. Más aun, le sobraría dinero para depositar a interés. A fines de abril, la tasa de interés para depositar en UF es 0,8 por ciento mensual. Pero para pedir prestado es 1,2 por ciento mensual, también en UF.

Usted debe determinar si le conviene prepagar o simplemente seguir pagando como estaba acordado.

(a) Demuestre que la tasa de interés ha bajado desde fines del año pasado al presente (fines de abril).

(b) Encuentre el valor de la cuota (en UF) que estipula el crédito que pidió hace (casi) cuatro meses.

(c) Calcule el valor que tendría que pagar a fines de abril, para prepagar toda su deuda. Este se calcula de la siguiente manera: es el valor presente de todas las cuotas que adeuda (saldo insoluto) más el recarga de una cuota, por costo de prepago. (Note

3.2. Indicadores de rentabilidad y el uso apropiado del VAN 39

que la cuota de fines de abril tendría que pagarla de todas maneras pues es un costo sepultado (o hundido), también llamado costo inevitable (sunk cost); esto significa que su conclusión final no se altera si supone que ya ha pagado la cuota de abril --compruébelo para usted mismo.).

La tasa de descuento a usar para calcular el valor presente es la del préstamo original (18,16 por ciento anual en UF).

(d) Determine, por último, si es mejor prepagar que quedarse con la deuda.

3.1.3. Referencias

Un clásico en Matemáticas Financieras, muy usado en las Escuelas de Ingeniería y que es siempre recomendable seguir, es:

TAYLOR, G. [1976]: Ingeniería Económica. Toma de Decisiones Económicas, 7a. reimpresión de Limusa (México): capítulos 1 al 5.

Una alternativa es: BLANK, L. y A. TARQUIN [1991]: Ingeniería Económica, 3a. edición de McGraw-

Hill (Colombia): Nivel 1, capítulos 1 al 4.

3.1.4. Ayuda en la Web En http://www.geocities.com/pep_unab/ se encuentra una presentación Power Point de esta sección 1. Véase Sesión 1. Introducción y matemáticas financieras.

3.2. INDICADORES DE RENTABILIDAD Y EL USO APROPIADO DEL VAN 3.2.1. El VAN, la TIR y el cruzamiento de Fisher

Suponga que se tienen dos proyectos alternativos con los FCN del cuadro 3.1; por proyectos alternativos se quiere decir simplemente que sólo uno de los proyectos se puede hacer, ya que son excluyentes entre sí (por ejemplo, ello se presenta cuando se estudian alternativas de localización, en que el proyecto puede ser construido en una u otra parte, pero no en las dos). También se les llama mutuamente excluyentes (mutually exclusive).

Cuadro 3.1 Flujos de Caja Netos de Dos Proyectos Alternativos

(en miles de US$, moneda del… )

Año Proyecto A Proyecto B

0 (1.000) (2.500) 1 400 900 2 400 850 3 400 800 4 400 750 5 400 700


Antes de presentar la evaluación de los proyectos alternativos, conviene destacar algunas de las características del cuadro 3.1. Los FCN están expresados en cierta unidad de cuenta, que, para este caso,. son miles de US$, pero que podrían haber sido miles de pesos de moneda nacional o cualquier otra; además se indica una fecha de valoración, para representar moneda de igual poder adquisitivo. En toda evaluación de proyectos se reconocen esas características de los FCN.

En el cuadro 3.1 se está siguiendo la práctica usual de suponer flujos instantáneos ocurridos a fines de año, donde el año 1 corresponde al primer año de operación y el año 0 al año de inversión; se supone que la operación comienza a fines del año 0. En el año de inversión se tienen FCN negativos que se presentan entre paréntesis, tal como se acostumbra a hacerlo.

En el cálculo del VAN se debe determinar la tasa a usar para descontar, que supondremos 8 por ciento en este caso2. En el cálculo mismo se pueden utilizar las fórmulas deducidas en la sección de matemáticas financieras, aunque en este caso puede resultar más simple descontar directamente cada flujo. Al usar esas fórmulas para calcular el VAN del proyecto A se debe obtener el valor presente del flujo anual (para lo cual se multiplica el flujo por el factor P/A, que transforma una serie uniforme en un valor presente) y compararlo con la inversión, que ya está en valor presente:

VANA(8%) = -1.000 + 400*[P/A(8%;5 años)] = US$597 miles

Para calcular el VAN del proyecto B se puede tener en cuenta que los flujos

decrecientes sugieren un gradiente aritmético combinado con una serie uniforme, por lo que el VAN se puede calcular de la siguiente manera:

VANB(8%) = -2.500 + {900 - 50*[A/g(8%;5 años)]}*[P/A(8%;5 años)] =

= US$725 miles. Las tasas internas de retorno se pueden calcular también usando las

fórmulas anteriores, porque éstas son las tasas con las que se obtendría un VAN nulo, en cada caso. En el cuadro 3.2 se muestran el VAN y la TIR de cada alternativa de proyecto.

Si se siguiera la estrategia de escoger la alternativa de proyecto que maximiza el VAN se optaría por el proyecto B. Pero si se prefiriera maximizar la TIR se elegiría el proyecto A, lo que ilustra sobre el tipo de confusiones que provoca usar la TIR, porque es óptimo maximizar el VAN.

2 La tasa de descuento a usar tiene varios nombres. En economía es popular llamarle

rentabilidad exigida (required yield), tasa de descuento pertinente o, simplemente, tasa de descuento (discount rate). En ingeniería es usual llamarle tasa mínima de rendimiento o mínima tasa de retorno atractiva (minimal attractive rate of return, MARR).


Cuadro 3.2 Resultados de la Evaluación de los Dos Proyectos Alternativos

Indicador de rentabilidad Proyecto A Proyecto B

VAN(8%) (en miles de US$, moneda del… ) 597 725

TIR 29% 19%

El origen de la discrepancia que se produce entre maximizar la TIR y el VAN se puede aclarar con ayuda del gráfico 3.4, donde se presenta el VAN de cada proyecto dependiendo de la tasa de descuento. En el gráfico se muestra que VANB(8%) > VANA(8%); pero el sentido de la desigualdad se invierte para tasas mayores a 11 por ciento, pues a esa tasa se produce el llamado cruzamiento de Fisher entre las dos curvas.

Gráfico 3.4 El VAN de los Proyectos A y B según la Tasa de Descuento

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 5 10 15 20 25 30

p royecto A

proyecto B

VAN

Cruzamientode Fisher

i [%]

El proyecto A tiene mayor tasa interna de retorno que el proyecto B, pero ello no significa que A sea mejor que B, ya que ello ocurre porque se produce un cruzamiento de Fisher. Es importante tener presente que el proyecto A sería mejor que el B, siempre y cuando la rentabilidad exigida fuera mayor a 11 por ciento; pero no lo es.

Es conveniente no olvidar que la tasa de descuento a usar en el cálculo del VAN es la tasa a la cual se pueden reinvertir los excedentes de caja del proyecto, además de ser la tasa de interés que se obtendría con los fondos destinados a la inversión del proyecto (en la alternativa sin proyecto). Por otra parte, la TIR es la


tasa a la cual el VAN del proyecto es cero; pero ello no significa que los fondos puedan reinvertirse a esa tasa, lo que puede llevar a equívocos si se usa el indicador TIR como referencia para decidir entre proyectos alternativos. Por ello se puede afirmar que la TIR adopta un supuesto de reinversión de fondos irreal.

A modo de resumen y, además, adelantando las conclusiones que se obtendrán más adelante en esta sección, se puede señalar lo siguiente:

1. Como regla de oro, debe preferirse la elección del proyecto alternativo de mayor VAN.

2. Elegir el proyecto alternativo de mayor TIR puede conducir a error si se produce un cruzamiento de Fisher, debido a un supuesto de reinversión inadecuado.

3. El indicador TIR tiene otros inconvenientes, tal como la posibilidad que se produzcan TIR múltiples.

3.2.2. Las TIR múltiples

Cuando se está a la búsqueda de un indicador de la "bondad" de un proyecto, con la finalidad de poder decir algo respecto a su conveniencia, resulta bastante común sentirse tentado a usar la TIR. En particular, así fue la propia experiencia del autor. Por eso es que resulta desconcertante encontrarse con que a veces los proyectos tienen TIR múltiples.

Para ilustrar el problema de las TIR múltiples, considere los flujos de caja presentados en el cuadro 3.3.

Cuadro 3.3 FCN de un Proyecto con TIR Múltiples

(en miles de $US, moneda del… )

Año Flujos de caja netos

0 (17.000) 1 11.000 2 22.000 3 33.000 4 45.000 5 (105.000) 6 (102.000) 7 23.000 8 33.000 9 34.000 10 44.000


Tal como habrá notado ya el lector, los FCN presentados en el cuadro 3.3 tienen una peculiaridad no presentada hasta aquí: existen flujos de caja netos negativos en años intermedios; en este caso, en los años 5 y 6. Ello se analizará más tarde en detalle, pero es conveniente reconocer desde ya que ello es lo que origina las TIR múltiples.

Tal como es usual, la evaluación del proyecto comienza con el cálculo del VAN, aun en este caso, en que nos interesa calcular tasas internas de retorno. De hecho, de acuerdo con la definición de tasa interna de retorno, debemos identificar aquellas tasas de descuento (en plural, en este caso) que anulan el VAN. En el gráfico 3.5 se presentan los resultados correspondientes para varias tasas de descuento en el rango 0-100 por ciento.

Gráfico 3.5 Identificación de TIR Múltiples

(VAN en miles de US$, moneda del… )

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

17%

31% 57%

i(%)

VAN

El gráfico 3.5 muestra cómo cambia el VAN con la tasa de descuento. Partiendo con la menor tasa del gráfico y a medida que aumenta dicha tasa, se observa el comportamiento típico: el VAN es positivo pero declinante, anulándose para i=17%, y negativo de ahí en adelante. Sin embargo, la tendencia típica se revierte y el VAN se hace creciente con la tasa de interés, anulándose por segunda vez para i=31%. Por último, se reconoce que existe un tercer cambio de tendencia, haciéndose definitivamente declinante, lo que hace que el VAN se anule por tercera vez, en esta ocasión para i=57%.


Las preguntas que se estará haciendo el lector son: a qué se debe dicho comportamiento tan peculiar y, especialmente, cómo interpretar los resultados. Vamos por turno. Primero, debemos reconocer que, al calcular el VAN, la influencia de los flujos más lejanos se atenúa con el aumento de la tasa de interés: el factor descuento (l+i)-n es creciente con i y con n. Luego, al aumentar la tasa de interés de 20% a 50%, la influencia de los últimos flujos en el VAN disminuye; en particular, disminuye la de los FCN negativos intermedios, con lo que predomina el efecto de los FCN positivos que están antes: la consecuencia es que el VAN incluso se hace positivo. Sin embargo, al aumentar todavía más la tasa de interés, la influencia de los primeros FCN positivos se atenúa hasta que predomina el efecto del primer FCN negativo, haciendo revertir la tendencia: con ello el VAN pasa de positivo a negativo. Luego, tal como se adelantara, el cambio de signos en los FCN origina los cambios de tendencia que, a su vez, explican las TIR múltiples.

Más formalmente, el problema de calcular tasas múltiples puede plantearse matemáticamente como aquellas tasas TIR que anulan el VAN:

VAN = FCN0 +

1 +TIR

FCN1 + ... +

(1 +TIR)n

FCNn = 0 ;

o bien, al multiplicar por (1+TIR)n :

FCN0* (1 +TIR)

n + FCN

1* (1 +TIR)n- 1

+ … + FCNn = 0 ,

que es un polinomio de grado "n". Recordando un poco de álgebra, reconocemos el problema de encontrar las "raíces" o "soluciones" al polinomio anterior: los números que satisfacen la igualdad, que vienen a ser uno más las tasas internas de retorno buscadas. Lo que sabemos de álgebra es que un polinomio de grado "n" tiene "n" raíces, pero que, en general, son números complejos. Sin embargo, interesan solamente aquellas raíces que son números reales mayores que uno y que originan las TIR positivas (las raíces positivas originan TIR mayores a -100 por ciento).

Recordando un poco más de álgebra encontramos una ayuda en la Regla de los Signos de Descartes. Esa regla indica que el máximo número de raíces reales positivas de un polinomio de grado "n" es igual al cambio de signos entre coeficientes consecutivos; pero pueden ser menos3.

En el ejemplo estudiado antes se reconocen tres cambios de signo: del año 0 al año 1, del año 4 al año 5, y del año 6 al 7. Luego, de acuerdo con la regla de

3 Los ceros no se cuentan en los cambios de signo, y una serie de FCN como la

siguiente no tiene cambios: -$100 $0 -$50. La regla indica, más precisamente, que el número m de raíces reales positivas no necesariamente distintas es igual a v-2h, donde v es el número de cambios de signos y h es un número entero no negativo, pudiendo ser nulo. Nótese que si v es impar, habrá al menos una raíz real positiva.


Descartes, no habría más de tres TIR mayores a -100 por ciento, pudiendo haber menos, pero como ya sabemos que hay tres TIR positivas, podemos estar seguros de que no hay más.

Otro ejemplo es una situación normal, en que los FCN tienen un solo cambio de signo, al pasar de la etapa de inversión a la de operación. En este caso, la regla dice que habría exactamente una TIR mayor a -100 por ciento y no más de una TIR positiva.

Veamos ahora la interpretación de las TIR múltiples. Naturalmente, interesa descubrir si se gana o no con el proyecto; para ello se requiere examinar si el VAN es positivo o negativo. El VAN que interesa (de todos los calculados para identificar los múltiples TIR) es aquél calculado con la tasa de interés que representa el costo de capital, tal como se había deducido antes.

Para evitar confusiones, recordemos primero la conclusión del caso normal con una sola tasa interna de retorno. Ese caso corresponde a la situación en que los negativos FCN de la etapa de inversión son seguidos por los positivos FCN de la etapa de operación, por lo que hay un solo cambio de signo. La regla es: acepte el proyecto por bueno si es que la TIR es mayor que la tasa de costo de capital, y rechace el proyecto por malo en caso contrario. Ello se representa esquemáticamente en el gráfico 3.6.

Gráfico 3.6 Regla de Aceptación o Rechazo en el Caso Normal:

Una sola Tasa Interna de Retorno

Una situación como la del ejemplo con tasas múltiples tiene similitud con la situación normal del gráfico 3.6: la zona de aceptación es aquélla donde el VAN es positivo y la de rechazo donde éste es negativo. Ello se representa en el gráfico 3.7.


Gráfico 3.7 Regla de Aceptación o Rechazo con TIR Múltiples

El gráfico 3.7 ilustra sobre los casos en que, dependiendo de la tasa de

costo de capital, conviene aceptar un proyecto por bueno o rechazarlo por malo. Aplicado al ejemplo del gráfico 3.5 que se ha estado discutiendo, ello significa:

• Aceptar el proyecto por bueno si la tasa de costo de capital es menor a 17 por ciento.

• Rechazar el proyecto por malo si la tasa de costo capital está entre 17 y 31 por ciento.

• Aceptar el proyecto por bueno si la tasa de costo capital está entre 31 y 57 por ciento.

• Rechazar el proyecto por malo si la tasa de costo de capital es mayor a 57 por ciento.

¿No es algo confuso todo esto? En verdad sí, y resulta bastante más simple examinar el VAN (calculado a la tasa de costo de capital que corresponda). Sin embargo, el lector resultará algo sorprendido al saber que esto ha causado interminables interpretaciones y reinterpretaciones en la literatura; ese tema se obviará acá. Pero es interesante tener alguna intuición respecto a cuándo se presenta un problema de TIR múltiples.

TIR múltiples se pueden presentar cuando FCN positivos son seguidos por FCN negativos. Un caso donde ello ocurre es cuando se postula un proyecto por etapas, en que se contempla una ampliación intermedia. Es el caso de los proyectos de puertos, en que no todos los sitios de atraque se construyen en la partida. O en proyectos industriales, en que se postergan inversiones correspondientes a una segunda línea de producción. Este fenómeno se presenta usualmente, tal como es fácil de imaginar, en aquellos casos en que se tenga una demanda creciente y se programen ampliaciones futuras para satisfacer los aumentos que vengan. En casos como éstos a veces se soslaya el problema de las TIR múltiples considerando el proyecto sin las ampliaciones, para obtener una sola TIR; pero ello no deja de ser un truco (que incluso puede conducir a error), y


es mejor centrar la atención en la determinación del VAN (calculado con la tasa de costo de capital).

Otro ejemplo referido a TIR múltiples: la legislación de fomento forestal chilena contempla la devolución del 75 por ciento de los gastos de reforestación. Ello puede introducir TIR múltiples en un proyecto forestal, por la simple razón de que el gasto en reforestación (un flujo negativo) es seguido por la devolución del 75 por ciento (un flujo positivo), a su vez seguido por los costos de manejo y corte (flujos negativos), para terminar con los ingresos de venta de los árboles (un flujo positivo).

Finalmente, y algo tal vez sorprendente en relación con TIR múltiples: Recuérdese que la regla de Descartes se refiere al número máximo de raíces, en vez de la cantidad exacta, por lo que un proyecto podría no tener ninguna tasa interna de retorno.

3.2.3. Elección entre proyectos alternativos de distinta vida

Aquí se examinará la correcta manera de calcular el VAN de proyectos alternativos, excluyentes entre sí, cuando éstos difieren en vida económica.

Para ilustrar sobre el problema que interesa dilucidar, considere los dos proyectos del cuadro 3.4, donde se presentan los FCN y los correspondientes indicadores de rentabilidad VAN(8%).

Cuadro 3.4 FCN de Dos Proyectos Alternativos de Distinta Vida

(en miles de US$, moneda del… )

Año Proyecto A Proyecto B

0 (1.000) (2.500) 1 400 600 2 400 600 3 400 600 4 400 600 5 400 600 6 600 7 600 8 600

VAN(8%) +597 +948

Esa situación se presenta, por ejemplo, cuando se estudia la tecnología de

una refinería de petróleo: si se opta por utilizar aceros resistentes a la corrosión, se logra una mayor duración de los equipos y de la refinería misma, aunque a


costa de una mayor inversión. Luego, se debe optar entre invertir menos, pero con menor vida económica, o mayor vida, con algún costo extra en inversión inicial.

Pasemos a discutir sobre lo expuesto en el cuadro 3.4. De lo presentado allí se tiene la tentación de concluir que el proyecto B es mejor que el proyecto A, por tener un mayor VAN(8%), si es que 8 por ciento es la correcta tasa de costo de capital. Sin embargo, esa conclusión puede ser algo precipitada. Vamos por parte.

Primero que nada, uno debiera preguntarse si es razonable suponer (implícitamente) que el proyecto A tiene flujos nulos en los años 6, 7, y 8. Por lo pronto, los del proyecto B no lo son. La respuesta a ello es que serán nulos en la medida que no se haga nada y no se tenga proyecto, pues se está en presencia de una oportunidad única; naturalmente, uno debe cuestionarse la validez de ello.

Si es cierto que con el proyecto B se lograría tener FCN positivos a los años 6, 7 y 8, ¿por qué no lo sería con el proyecto A?; ¿es que no se puede repetir el proyecto A?; ¿tampoco podría hacerse el proyecto B a continuación del proyecto A?.

Lo anterior indica que debieran estudiarse las siguientes posibilidades:

1. No hacer nada después del proyecto A.

2. Repetir el proyecto A.

3. Hacer el proyecto B después del proyecto A.

Aquí no se puede generalizar y la pertinencia de repetir el primer proyecto o de hacer el segundo después del primero, dependerá de cada caso en particular. Incluso es posible que ningún proyecto pueda repetirse, en cuyo caso basta comparar los VAN del cuadro 3.4 para concluir que B es mejor que A.

Supongamos, en principio, que no es viable repetir el proyecto A, pues se está en presencia de una oportunidad única. Luego, queda la posibilidad de no hacer nada después del proyecto A o la de hacer B después de A. Aquí uno puede sacar una conclusión rápida con los resultados que ya se han obtenido: si el proyecto B es mejor que nada, es obvio que será mejor continuar A con el proyecto B que no hacer nada. Consecuentemente, las posibilidades se han reducido, quedando una sola: seguir A con B.

Antes de seguir, recapitulemos para evitar cometer un error: debido a que se están comparando dos alternativas de proyecto con distinta vida útil, se ha optado por suponer que algo puede hacerse a continuación del proyecto A. Pero eso no soluciona el problema. En efecto, al hacer el proyecto A seguido por el B, se tendrían Flujos de Caja por 13 años; pero con el proyecto B se tendrían flujos sólo por 8 años y todavía subsistiría el problema de comparar alternativas de distinta vida. Ello se soluciona repitiendo el proyecto B en una y otra alternativa tantas veces como sea necesario, para que se comparen alternativas de igual vida, que en este caso viene a ser hasta el infinito. Ello se representa en el gráfico 3.8.


Gráfico 3.8 Comparación de Proyectos de Distinta Vida

Cuando se Está en Presencia de una Oportunidad Unica (en miles de US$, moneda del… )

a) Partiendo con el proyecto A b) Partiendo con el Proyecto B

VANA→B→∞(8%) = + 2000 VANB→∞(8%) = +2.062 Antes de analizar los resultados de calcular los indicadores VAN que se

muestran en el gráfico 3.8, conviene ejemplificar sobre cómo calcular el VAN en una situación con flujos hasta el infinito. Este es un interesante ejercicio cuya comprensión es una prueba de que se domina el uso de las matemáticas financieras.

Estudiemos primero el caso en que se parte con el proyecto B, que resulta ser más simple:

VA NB→∞

(8 % ) = - 2 .5 0 0 +1 ,0 86 0 0 + ... +

(1 ,0 8 )8

6 0 0 +

- (1 ,0 8 )

82 .5 0 0 +

(1 ,0 8 )9

6 0 0 + ... + (1 ,0 8 )

1 66 0 0 +

- (1 ,0 8 )

1 62 .5 0 0 +

(1 ,0 8 )1 7

6 0 0 + ... + (1 ,0 8 )

2 46 0 0 +

+ • • •

donde la notación "B→∞" sugiere que B se replica interminablemente. Reordenando términos:

VA NB→∞

(8 % ) =

- 2 .5 0 0 +1 ,0 86 0 0

+ … +(1 ,0 8 )

86 0 0

+


+ (1 ,0 8)

81 *

- 2 .5 0 0 + 1 ,0 86 0 0 + … +

(1 ,0 8 )8

6 0 0

+

+ (1 ,0 8 )

1 61 *

- 2 .5 0 0 + 1 .0 86 0 0 + … +

(1 ,0 8 )8

6 0 0 +

+ • • • Ahora, notando que la expresión entre paréntesis cuadrados puede

resolverse fácilmente usando las fórmulas ya deducidas (que corresponden al VAN del Proyecto B sin repetir mostrado en el cuadro 3.4), se obtiene:

VA NB→∞

(8 % ) = + 9 4 8 +(1 ,0 8 )

89 4 8 +

(1 , 0 8 )1 6

9 4 8 + • • • =

= + 9 4 8 + 9 4 8 *

1 +r1

+ (1 +r )

21 + • • •

,

donde se ha reemplazado (1,08)8 por (1+r), que conduce a obtener r=1,088-1=0,8509 → 85,09%; ello permite reconocer el término entre paréntesis de llave como el factor que actualiza una serie uniforme infinita: P/A(r%;∞). Ese factor puede obtenerse fácilmente, de acuerdo a lo que se muestra a continuación:

P / A(r % ;∞ ) = l ím

(1 +r )n

r

( 1 +r )n- 1

=n→∞

= l ím

r1

-(1 +r )

nr

1

= r1 ≡

( 1 ,0 8 )8

- 1

1

n→∞

,

con lo que se puede obtener el VANB→∞(8%):

VA NB→∞

(8 % ) = 9 4 8 + 9 4 8*(1 ,0 8 )

8- 1

1 = US $2 .0 6 2 m i l e s .

Quizás sea más simple entender la deducción anterior con la ayuda del

gráfico 3.9.


Gráfico 3.9 Descomposición de los Flujos de un Proyecto Repetido Infinitamente

En el gráfico 3.9 se muestra que los flujos de caja pueden descomponerse en su equivalente a un primer flujo más una serie de infinitos flujos cada n años que parten en el año n; el valor presente de todos ellos es el siguiente:


VA N→∞ = VA N + VAN *( 1 +i )

n- 1

1

El cálculo del VAN del proyecto A, seguido por infinitas repeticiones del proyecto B, se puede obtener de una manera similar:

VA NA→B→∞

( 8 % ) =

- 1 0 0 0 +1 ,0 84 0 0

+( 1 ,0 8 )

24 0 0 + … +

(1 ,0 8 )5

4 0 0

+

+ (1 ,0 8 )

51 *

- 2 .5 0 0 + 1 ,0 86 0 0

+ (1 ,0 8 )

26 0 0 + … +

(1 ,0 8 )8

6 0 0

+

+ (1 ,0 8 )

1 31 *

- 2 .5 0 0 + 1 ,0 86 0 0 +

(1 ,0 8 )2

6 0 0 + … + (1 ,0 8 )

86 0 0

+ •••

Entre los paréntesis de llave de la expresión anterior se reconocen los valores presentes de los proyectos sin repetir, lo que permite calcular el VANA→B→∞(8%) que se quería obtener:

VA NA→B→∞ (8 % )=5 9 7 +

1 ,0 85

1* 9 4 8 +

1 ,0 85

1* 9 4 8*

1 ,0 88

1+

1 ,0 81 6

1 +…

=

= 5 9 7 + 1 ,0 8

59 4 8 *

1 + 1 ,0 8

8 - 1

1 = US$2 .0 0 0 m i l e s .

Nuevamente puede buscarse una interpretación como la mostrada para el proyecto B repetido infinitamente. Ello se presenta en el gráfico 3.10, donde es evidente que el valor presente buscado es la suma de otros tres: (i) el valor presente de VANA, (ii) el valor presente del primer VANB del año n, y (iii) el valor presente de una serie infinita de VANB repetido cada m años, partiendo en m+n;

eso es lo que muestra el cálculo anterior4.

4 Un procedimiento de cálculo alternativo, y más corto, es el siguiente. El valor presente buscado se descompone en la suma de sólo dos sumandos: (a) el valor presente de VANA, y (b) el valor presente de una serie infinita de VANB repetido cada m años

partiendo en n. Esa interpretación conduce al siguiente cálculo (porque VANB/[(1+i)m-1] es un valor actualizado m años antes que comience la serie y se lo requiere calculado n años antes solamente):

(continúa en la página siguiente)


Gráfico 3.10 Descomposición de los Flujos de un Proyecto Seguido por Otro

Repetido Infinitamente

VA NA→B→∞ = VA N

A+ VA N

B *(1 +i )

m- 1

1* (1 +i )

m- n


Los dos resultados obtenidos permiten obtener una conclusión sobre cual proyecto iniciar en el año 0:

VANA→B→∞(8%) = + US$2.000 miles VANB→∞(8%) = + US$2.062 miles

por lo que el proyecto B es mejor que el proyecto A, para i=8%, cuando A representa una oportunidad de inversión única.

El ejemplo anterior ha mostrado la mecánica de cálculo del VAN, cuando los proyectos se repiten al infinito. Pero no olvidemos que la repetición al infinito se originó, tanto porque el proyecto A no se podía repetir, como porque se requería repetir proyectos hasta igualar períodos de comparación. Veremos ahora una variante en que no se requiere suponer repetición infinita.

Supóngase que ahora es posible repetir el proyecto A, por lo que corresponde a una situación parecida a la del proyecto B. Los detalles sobre la representación gráfica se dejan al lector; pero es simple darse cuenta de que nuevamente es necesario adoptar algún supuesto de repetición de los proyectos, aunque esta vez haciendo 8 veces el proyecto A (que dura 5 años) y 5 veces el proyecto B (que dura 8 años), de manera que en ambos casos se tengan flujos hasta el año 40 (nótese que 40 resulta ser el mínimo común múltiplo entre 5 y 8).

Calculando los valores presentes correspondientes (que se dejan como ejercicio, aunque presentando algunos pasos intermedios) se obtiene:

VANA →A(8 v eces )

(8 % ) = 5 9 7 + 1 ,0 8

55 9 7 + … +

1 ,0 83 5

5 9 7 =

= 5 9 7 *

1 + P / A( 4 6 , 9 3 % ; 7 )

= + US $1 .7 8 3 m i l e s

VANB→B( 5 v ec es )

( 8 % ) = 9 4 8* 1 + P / A( 8 5 , 0 9 % ; 4 )

= +US $1 .9 6 7 m i l e s

de donde se concluye nuevamente que es mejor partir invirtiendo con el proyecto B 5.

Nótese que la misma conclusión se habría obtenido con cualquiera de los siguientes procedimientos de cálculo:

• Procedimiento básico (mínimo común múltiplo) • Repetir hasta el infinito tanto A como B. • Calcular valores anuales equivalentes sin repetir. • Utilizar un período de estudio.

5 En cierto sentido esa conclusión es obvia: si B seguido por B es mejor que A seguido

por B, entonces B seguido por B también tendría que ser mejor que A seguido por A.


El procedimiento básico ya ha sido expuesto. Pasemos ahora a estudiar los otros tres procedimientos alternativos, que conducen a idénticos resultados. Al repetir hasta el infinito, tanto A como B, se obtendrá:

V A N

A→∞ ( 8 % ) = 5 9 7 * 1 + P / A(4 6 , 93 % ; ∞ )

= + US $ 1 .8 6 9 m i l e s

V A N

B→∞ (8 % ) = 9 4 8 * 1 + P / A( 85 , 0 9 % ; ∞ )

= + US $ 2 .0 6 2 m i l e s,

lo que corrobora la conclusión de que B repetido hasta el infinito es mejor que A repetido también infinitas veces. La razón es simple, aunque la prueba no lo es tanto. Las diferencias entre repetir el proyecto A infinitas veces y hacerlo sólo 8 veces, son las infinitas repeticiones que vienen después de repetirlo 8 veces:

V A N

A→∞= V A N

A →A(8 v e ces )+ V A N

A →∞( a pa r t ir de l a ño 4 0 ) =

= V A NA →A(8 v e ce s )

+1 ,0 8

4 0

1* V A N

A→∞

En el gráfico 3.11 se muestra la representación correspondiente.

Gráfico 3.11 Descomposición del Proyecto A Repetido Indefinidamente

Luego:


VA N

A→∞ *

1 -1 ,0 8

4 01

= VA NA →A(8 v e ce s )

⇒ VA N

A →∞ = VA NA→A( 8 v ec es) *

1 ,0 84 0

- 1

1 ,0 84 0

y, similarmente, para el proyecto B:

VA N

B→∞ = VA NB→B (5 v e ce s )*

1 ,0 84 0

- 1

1 ,0 84 0

,

lo que permite completar la demostración:

V A NB→B(5 v e ce s )

> V A NA→A( 8 v ec e s) ⇔ V A N

B→∞> V A N

A→∞,

por lo que siempre se llega a la misma conclusión (que B es mejor que A), ya sea calculando valores presentes con repetición hasta igualar vidas (en el mínimo común múltiplo) o calculando valores presentes para infinitas repeticiones.

Pasemos ahora a probar que el cálculo de valores anuales equivalentes conduce también a identificar el mejor proyecto alternativo. Primero se presenta la definición de valor anual equivalente, VAE: es el equivalente anual de todos los flujos de caja netos de un proyecto sin repetir; se lo obtiene, por ejemplo, multiplicando el VAN por el factor que anualiza un valor presente:

VAE( i% ) = VAN( i% ) * A/ P( i% ; n) = VAN( i% ) * (1 +i )

n - 1

(1 +i )n i

.

Para el ejemplo estudiado:

VAEA

(8 % ) = 5 9 7 * 1 ,0 8

5 - 1

1 ,0 85* 0 ,0 8

= US$1 5 0 m i l e s / a ño

VAEB

(8 % ) = 9 4 8 * 1 ,0 8

8 - 1

1 ,0 88

* 0 ,0 8 = US$1 6 5 m i l e s / a ño ,


por lo que nuevamente se concluye que el proyecto B es mejor que el proyecto A. La demostración que interesa se obtiene a partir de la siguiente igualdad (usada antes):

V A NA→∞

= V A NA

* 1 + P / A [( 1 +i)

n- 1 ; ∞ ]

=

= VAEA

* (1 +i )

n i

(1 +i )n - 1

* 1 +

(1 +i )n - 1

1 = VAE

A *

i1 .

La representación gráfica de esta nueva situación se deja como ejercicio

(una pista: el primer proyecto tiene flujos equivalentes VAE del año 1 al año n; el segundo proyecto tiene flujos equivalentes VAE del año n+1 al año 2n; y así sucesivamente, hasta que VANA→∞ tiene un valor equivalente VAE anual desde el año 1 hasta el infinito). Se tiene entonces:

VAEA = VANA→∞ * i

VAEB = VANB→∞ * i

lo que permite completar la demostración:

V A EB

> V A EA

⇔ V A NB→∞

> V A NA →∞

,

por lo que se llega a la misma conclusión (que B es mejor que A), ya sea calculando valores presentes con infinitas repeticiones o con valores anuales equivalentes (sin repetir).

Queda pendiente la demostración de que iguales conclusiones se pueden obtener utilizando el método conocido como del período de estudio; esto se deja como ejercicio al lector (ver ejercicio propuesto 3.12, donde se lo define).

Finalmente, un comentario respecto a la tasa interna de retorno. A veces se sostiene que cuando es posible repetir los proyectos alternativos se puede usar al indicador TIR de los proyectos individuales para identificar la alternativa más conveniente. Se argumenta que la TIR del proyecto sin repetir es idéntico a la TIR del proyecto repetido (finitas veces o infinitamente); eso es correcto6. Sin embargo, si se produce un cruzamiento de Fisher, ello induciría a error. En el ejemplo estudiado antes se cometería ese error, tal como puede comprobarse:

TIRA = 29%

TIRB = 17%

6 Es importante que el lector se asegure de entender por qué es correcta la afirmación.


pero se concluyó que el proyecto B es mejor (A sería mejor si la tasa de descuento fuera 10 por ciento o más, porque hay un cruzamiento de Fisher a esa tasa; pero es 8 por ciento solamente).

En resumen, cuando se tienen proyectos alternativos de distinta vida, tal como el originado por diferencias técnicas en la elección de una refinería de petróleo, se debe estudiar primero si es viable repetir los proyectos. En el caso extremo de que ningún proyecto alternativo se pueda repetir se debe elegir el proyecto de mayor VAN (sin repetir). Pero si fuera viable repetir alguno, es incorrecto comparar VAN de alternativas de distinta vida; lo correcto es adoptar algún supuesto de repetición, para comparar alternativas de igual vida. El caso más simple es cuando todos los proyectos se pueden repetir y basta comparar valores anuales equivalentes, aunque podrían compararse también valores presentes de un período infinito o de un período igual al mínimo común múltiplo de las vidas de cada proyecto o de un período de estudio elegido apropiadamente. Pero ello no podría hacerse en caso de que alguno de los proyectos fuera una oportunidad única y no pudiera repetirse en el futuro; en ese caso se requiere comparar valores presentes considerando la repetición del proyecto que sí puede repetirse a continuación del que es una oportunidad única.

El lector puede dudar un tanto acerca de la solución propuesta, para comparar proyectos alternativos de distinta vida que pueden repetirse. En efecto, ¿es razonable suponer una repetición a la misma escala, lo que conduce a repetir los FCN (en bloque) una y otra vez, explícitamente (repitiendo hasta el infinito o hasta que las vidas se igualen con el mínimo común múltiple) o implícitamente (usando el Valor Anual Equivalente o el período de estudio)? La respuesta a esa inquietud es que la repetición probablemente no será a la misma escala, en casi todos los casos que se puedan imaginar. Sin embargo, no debe perderse de vista que lo que se desea es controlar un problema de borde, tal como se le llama en matemáticas, y basta con usar la técnica de suponer repetición a la misma escala, para controlar el problema; con ello se evita concluir que una alternativa de proyecto es mejor que otra sólo porque produce beneficios netos por más tiempo.

3.2.4. Ejercicios

Ejercicio 3.8: El Principio de Aditividad (Presentado en Copeland y Weston: Financial Theory and Corporate Policy) Indique qué es el principio de aditividad en el valor (value-additivity principle). (Una pista: esto es importante para considerar proyectos independientes separadamente;

el VAN tiene esa propiedad y la TIR no). Ejercicio 3.9: Tasas internas de retorno múltiples Si se ganara un contrato de construcción a tres años, que considera un pago

inicial y un pago final, se prevén los siguientes FCN anuales: US$100.000 -US$20.000 US$35.000. La tasa mínima requerida es 12 por ciento.

a) Calcule el VAN de ganarse el contrato de construcción. b) Calcule la o las TIR del proyecto. ¿Qué lección obtiene? c) Considere ahora una variante del ejercicio anterior: Suponga que el contrato de

construcción establece un pago inicial menor, de manera que FCN0=US$75.000, y un


pago intermedio que evita tener "problemas de caja" en el segundo año; este pago del segundo año compensa exactamente la disminución de US$25.000 en el primer año, por lo que el flujo de caja aumenta en [25.000*1,12=] US$28.000, con lo que FCN1=+US$8.000. En esencia, ¿ha cambiado en algo el proyecto? ¿Qué ocurre con el VAN? ¿Y con la TIR?

Ejercicio 3.10: Sensibilidad de las tasas internas de retorno múltiples Considere el problema de TIR múltiples presentado en el cuadro 3.3 y en el

gráfico 3.5; en ese problema existe un flujo de caja neto de -US$105 millones en el año 5.

Recalcule la curva VAN versus la tasa de interés i, para los siguientes valores del sexto FCN:

a) -US$100 millones, algo menor al valor original (en valor absoluto). b) -US$110 millones, algo mayor al valor original (en valor absoluto). c) ¿Qué lección obtiene respecto a la TIR como indicador de rentabilidad? Para

responder, considere un costo de capital de 12 por ciento. Ejercicio 3.11: Proyecto repetido (Presentado en Copeland y Weston: Financial Theory and Corporate Policy) Obtenga la fórmula (3.4) siguiente, que permite encontrar el valor presente neto

NPV(N,∞) de un proyecto repetido cada N años hasta el infinito, a partir del valor presente NPV(N) del proyecto sin repetir:

NPV(N,∞ ) = NP V(N)(1 +k )

N- 1

(1 +k)N

........................... ( 3 .4 )

donde k es la tasa de interés anual correspondiente.

*** Ejercicio 3.12: Reemplazo de un avión (Desarrollado a partir de un ejercicio propuesto por Taylor: Ingeniería Económica) Una línea de aviación está considerando el reemplazo del último avión a hélice

que posee, que se estima tiene 3 años de vida económica, un valor de mercado de US$280 miles y gastos anuales de operación de US$750 miles. La nueva máquina propuesta, un aparato de propulsión a chorro que cuesta US$1.700 miles, se espera que tenga 10 años de vida económica con un valor de recuperación nulo. La tasa mínima requerida de rendimiento es 25 por ciento.

Un analista de la compañía ha propuesto evaluar el reemplazo calculando el costo actualizado, de acuerdo a lo mostrado en el cuadro 1, y, sobre la base de esos cálculos, ha propuesto seguir usando el avión a hélice.

Cuadro 1 Cálculos del Analista de la Compañía

(miles de dólares) Año Costos del avión Costos del avión Diferencia Usado a chorro (usado - nuevo) 0 280 1.700 -1.420 1 al 3 750 300 450 4 al 10 - 300 -300 Costo actualizado 1.744 2.771 -1.027


Sin embargo, un estudiante en práctica, quien dice saber cómo evaluar este tipo de proyectos, ha propuesto un método de evaluación alternativo. Este considera los costos actualizados, pero de tres años solamente, de acuerdo con lo que se muestra en el cuadro 2. Él indica que ha usado el método conocido como del período de estudio , lo que le permite deducir que el avión nuevo tiene menores costos que el viejo y recomienda el reemplazo.

El jefe de ambos criticó los dos métodos propuestos. Al analista lo amonestó por hacer proposiciones sobre bases sin sentido económico; fue algo más benevolente con el estudiante en práctica y le dijo escuetamente: "Estás errado porque se está en presencia de una oportunidad única".

Cuadro 2 Cálculos del Estudiante en Práctica

(miles de dólares) Año Costos del avión Costos del avión Diferencia usado a chorro (usado - nuevo) 0 280 1.700 -1.420 1 a 3 750 300 450 4 a 10 - 300 -300 Equivalente anual 893 776 117 a/ Costo actualizado b/ 1.744 1.515 229 a/ Calculado como diferencia entre 893 y 776. b/ Valor actualizado del equivalente anual de tres años solamente.

(a) Indique por qué el método del analista está sentado sobre bases sin sentido

económico. (b) Indique por qué es errado el método del estudiante si se está en presencia de

una oportunidad única. (c) Proponga nuevos cálculos, si efectivamente se está en presencia de una

oportunidad única. Si le faltan datos, invéntelos. Ejercicio 3.13: Fórmulas financieras (Presentadas en Taylor: Ingeniería Económica) Anteriormente se demostró que P/A (i%;∞) = 1/i. Siga el mismo procedimiento y

demuestre que las siguientes igualdades son válidas: A/P (i%;∞) = i P/F (i%;∞) = 0 F/P (i%;∞) = ∞ F/A (i%;∞) = ∞ A/g (i%;∞) = 1/i P/g (i%;∞) = 1/i2

3.2.5. Referencias

Referencias clásicas son: TAYLOR, G. [1976]: Ingeniería Económica. Toma de Decisiones Económicas, 7a. reimpresión de

Limusa (México): capítulos 5 al 8. BLANK, L. y A. TARQUIN [1991]: Ingeniería Económica, 3a. edición de McGraw-Hill (Colombia): Nivel

2, capítulos 5 al 8. Presentaciones resumidas, populares entre estudiantes de economía, se

encuentran en:


COPELAND, T. y J. WESTON [1988]: Financial Theory and Corporate Policy, 3a. edición de Addison-Wesley Publishing (EE.UU.): capítulos 2 y 3.

BREALEY, R. y S. MYERS [1991]: Principles of Corporate Finance, 3a. edición de McGraw-Hill (EE.UU.): capítulo 3

BIERMAN, H. y S. SMIDT [1984]: The Capital Budgeting Decision. Economic Analysis of Investment Projects, 6a. edición de Macmillan Publishing (EE.UU.): capítulos 2 y 3.

Además, una buena presentación se encuentra en: SAPAG, N. y R. SAPAG [1991]: Preparación y Evaluación de Proyectos, 2a. edición de McGraw-Hill

Interamericana de México (México): capítulo 17. Por último, la siguiente referencia es de lectura obligada, especialmente por su

presentación de costos evitables e inevitables: FONTAINE, E. [1992]: Evaluación Social de Proyectos, 8a. edición revisada de Ediciones

Universidad Católica de Chile (Santiago): capítulos 1 y 2.

3.2.6. Ayuda en la Web En http://www.geocities.com/pep_unab/ se encuentra una presentación Power Point de esta sección 2. Véase Sesión 2. Indicadores de rentabilidad.

03 gutierrez capitulo 3 criterios de evaluacion de proyectos

Documents

factor de valor compuesto

flujo futuro f

factor de descuento

matematicas financieras

unidad dicho factor

n perodos ms

nmero n de perodos

frmulas matemticas