0a3cap 8 integral de riemann

7/31/2019 0a3cap 8 Integral de Riemann

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Capı́tulo 8

Integral de Riemann

8.1. Introducción

El cálculo integral tiene sus orígenes en los llamados problemas de cuadraturas. Inicial-mente, en la antigua Grecia, dichos problemas eran geométricos y consistían en construir, si-guiendo reglas precisas, un cuadrado con área igual a la de una figura plana dada. En el sigloXVII, con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geométricos de estos problemaspasaron a un segundo plano y las técnicas de cálculo ocuparon su lugar, los problemas de cua-

draturas pasaron a ser simplemente problemas de cálculo de áreas y de volúmenes. Se atribuyea Eudoxo la invención del método de exhausción, una técnica para calcular el área de una re-gión aproximándola por una sucesión de polígonos. Arquímedes perfeccionó este método y,entre otros resultados, calculó el área de un segmento de parábola y el volumen de un segmentode paraboloide, así como el área y el volumen de una esfera.

Sorprende que, siendo tan antiguos sus orígenes, la primera definición matemática de in-tegral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy. Una posible explicaciónes que, durante los siglos XVII y XVIII, la integración fue considerada como la operación

inversa de la derivación; el cálculo integral consistía esencialmente en el cálculo de primiti-vas. Naturalmente, se conocía la utilidad de las integrales para calcular áreas y volúmenes,pero los matemáticos de la época consideraban estas nociones como dadas de forma intuitivay no vieron la necesidad de precisar su significación matemática. Los trabajos de Joseph Fou-rier (1768-1830) sobre representación de funciones por series trigonométricas, hicieron que elconcepto de función evolucionara, desde la idea restrictiva de función como fórmula, hasta ladefinición moderna de función dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la in-tegral de estas nuevas funciones más generales se vio la necesidad de precisar matemáticamentelos conceptos de área y de volumen.



La definición de la integral de Cauchy seguía la tradicional aproximación del área porrectángulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar ala integral como un objeto matemático merecedor de estudio por sí mismo, y en el propósito deatribuirle un significado independiente de las técnicas que pudieran utilizarse en los cálculos.Este significado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de área. Ningúnmatemático anterior al siglo XIX había considerado necesario elaborar una teoría matemática

del concepto de área; es en dicho siglo cuando el concepto de área adquiere un significadomatemático preciso o, mejor dicho, varios significados matemáticos, porque dicho conceptoevolucionó hasta que, en la primera década del siglo XX, adquirió esencialmente su formaactual.

Puede que a ti el concepto de área te parezca tan evidente que te resulte extraño que sededicaran tantos esfuerzos a elaborar una teoría matemática del mismo. Es natural que piensesasí. Las regiones planas y los sólidos que usualmente nos interesan para calcular su área o

su volumen no son tan complicados que puedan hacernos dudar de si realmente tienen área ovolumen: polígonos o poliedros, regiones limitadas por curvas o por superficies que puedendefinirse por sus respectivas ecuaciones, todos ellos tiene claramente su área o su volumen yel problema real es calcularlos y no se entiende por qué hay que empeñarse en definirlos. Así pensaban también los matemáticos hasta el siglo XIX. Pero cuando empezaron a considerarsefunciones cada vez más generales, las cosas cambiaron mucho. Hay funciones para las que noes evidente que su gráfica determine una región con área. El siguiente ejemplo te ayudará aentender lo que quiero decir.

8.1 Ejemplo. Considera la función que vale en los números racionales yen los irracionales.

¿Te imaginas cómo es la gráfica de esa función? Pare-cería como la de la figura: dos segmentos de línea recta,uno de ellos sobre el que tendríamos que marcarsolamente los puntos irracionales del mismo, y otro

sobre el que tendríamos que marcar los puntos

racionales. La región del plano comprendida entre el in-tervalo y la gráfica de sería el conjunto formadopor todos los segmentos verticales de altura levantadossobre los puntos irracionales de , y por todos los

0

1

2

0 1

segmentos verticales de altura levantados sobre un punto racional de . ¿Tiene área esteconjunto? Si decidimos que tiene área, su valor ¿es 1? ¿es 2? ¿qué significado tiene la integral

d ?

Este ejemplo pone claramente de manifiesto que el concepto de área requiere ser precisadomatemáticamente. Debes tener claro que se trata de una necesidad teórica que solamente sepresenta en el estudio de la integración de funciones muy generales. Para las aplicaciones másusuales del cálculo integral puede valernos perfectamente la idea intuitiva de área o de volumen.La teoría de la integral que actualmente se considera matemáticamente satisfactoria, la llamadaintegral de Lebesgue, es difícil y, en mi opinión, innecesaria para los estudios de ingeniería;es una teoría imprescindible para los matemáticos y físicos teóricos, pero no lo es para la granmayoría de los ingenieros.

En este capítulo vamos a considerar la integral desde un punto de vista esencialmente prác-



tico. Nos interesa la integral como herramienta de cálculo y, aunque para ese propósito la inte-gral de Cauchy sería suficiente para nosotros, estudiaremos la integral de Riemann, que es másgeneral sin ser más complicada, y que aporta la ventaja de su gran poder heurístico como ten-dremos ocasión de comprobar. He reducido la teoría al mínimo indispensable para una correctacomprensión del Teorema Fundamental del Cálculo cuya demostración se da con detalle, noasí las de otros resultados y propiedades de la integral, de fácil comprensión conceptual, cuyas

demostraciones, bastante previsibles, no me ha parecido conveniente incluir.La integración es una de las herramientas más versátiles del Cálculo, sus aplicaciones no

se limitan a calcular áreas de regiones planas o volúmenes de sólidos, también se utiliza paracalcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, áreas de superficies, pararepresentar magnitudes físicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presión, o la energíapotencial en un campo de fuerzas.

8.2. Aproximaciones al área

Sea una función acotada. Representaremos por la región delplano comprendida entre la gráfica , el eje de abscisas y las rectas y .Llamaremos a dicha región el conjunto ordenado de entre y .

Figura 8.1. Conjunto ordenado de una función

Nos proponemos calcular el área de regiones de este tipo. Puesto que, en general,no puede descomponerse en triángulos o rectángulos, no hay una fórmula que nos permitacalcular directamente su área.

En situaciones como esta, una estrategia básica consiste en obtener soluciones aproxima-

das que permitan definir el valor exacto del área como límite de las mismas. Fíjate que, alproceder así, estamos definiendo dicho valor exacto, es decir, estamos dando una definición

matemática del concepto intuitivo de área1. Naturalmente, queremos que dicha definición sealo más general posible, lo que depende del tipo de soluciones aproximadas que elijamos. Lasaproximaciones consideradas en la teoría de la integral de Lebesgue conducen a un conceptode área muy general. En lo que sigue vamos a considerar las aproximaciones que conducen ala integral de Riemann.

1Ello trae como consecuencia inevitable que haya regiones extrañas en el plano que, según la definición dada,

no tengan área.

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Como los conceptos que vamos a introducir se interpretan con más facilidad cuando lafunción es positiva, es conveniente tener bien presente en lo que sigue el siguiente artificioque permite representar cualquier función como diferencia de dos funciones positivas.

Cualquier función puede escribirse como diferencia de dos funciones positivas:

max max

Es claro que y que , . La función se llamaparte positiva de , y la función se llama parte negativa de . Si se tiene que

y ; mientras que si se tiene que y .Fíjate que, a pesar de su nombre y de la forma en que se simboliza, la función es una funciónpositiva. También es consecuencia de las definiciones dadas que .

Figura 8.2. Partes positiva y negativa de una función

En la integral de Riemann el área del conjunto se aproxima por rectángulos.Para ello, primero se divide el intervalo en un número finito de subintervalos ,

, cuyas longitudes pueden ser distintas y con la única condición de que no se solapen:

Se dice que estos puntos constituyen una partición de . A continuación se elige en cadasubintervalo un punto , y se forma el rectángulo cuya base es el intervalo

y altura igual a . Finalmente se forma la suma .

8.2 Definición. Sea una partición del intervalo ,y elijamos un punto en cada uno de los intervalos de la misma. El número:

se llama una suma de Riemann de para la partición .

8.3 Observaciones.

Fíjate que, como hay libertad para elegir los puntos , para cada partición

fijada puede haber infinitas sumas de Riemann.



Cuando la función es positiva y suficientemente “buena”, y las longitudes de todoslos subintervalos de la partición son suficientemente pequeñas, el número es una buenaaproximación del área de la región .

Observa que el rectángulo de altura igual a está en el semiplano superior siy en el semiplano inferior si . Cuando la función toma valores positivos

y negativos podemos escribir:

En este caso es una aproximación del área de menos el área de .

En la siguiente figura puede apreciarse esta aproximación.

Figura 8.3. Aproximación por sumas de Riemann

8.4 Definición. Dada una partición del intervalo ,definamos sup , ınf . Los números

se llaman, respectivamente, suma superior y suma inferior de para la partición 2.

8.5 Observaciones.Puesto que para todo es , deducimos que para toda

suma de Riemann, , de para la partición es .

Para cada partición hay una única suma superior y otra inferior.

Cuando es positiva y suficientemente “buena”, y las longitudes de todos los subinter-valos de la partición son suficientemente pequeñas, el número es un valor aproximado

2

Es para definir estas sumas para lo que se precisa que esté acotada en .

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por exceso del área de la región , y el número es un valor aproximado por

defecto del área de la región .

Cuando la función toma valores positivos y negativos, el número es unvalor aproximado por exceso del área de menos el área de , y el nú-mero es un valor aproximado por defecto del área de menos el área de

.

En la siguiente figura pueden apreciarse estas aproximaciones.

Figura 8.4. Aproximación del área por sumas inferiores y superiores

8.2.1. Definición y propiedades básicas de la integral

Supongamos que la función es positiva en . Es claro que, en tal caso, el valor exactodel área de la región debe ser un número mayor o igual que toda suma inferior,

, y menor o igual que toda suma superior . Tenemos, en consecuencia, dos

números que son posibles candidatos para el área de , a saber:

ınf y sup

Donde hemos representado por el conjunto de todas las particiones del intervalo .Llegados aquí, podemos ya dar la definición principal de la teoría de la integral de Riemann.

8.6 Definición. Sea una función acotada y positiva en . Se dice que el conjuntotiene área cuando

ınf sup

Dicho valor común es, por definición, el valor del área y lo representaremos por .Cuando esto ocurre, se dice también que la función es integrable Riemann en y, pordefinición, la integral de en es igual a . Simbólicamente escribimos:

d



En el caso general en que la función toma valores positivos y negativos, se dice que esintegrable Riemann en cuando lo son las funciones y , en cuyo caso se define laintegral de en como el número:

d

8.7 Observaciones.

No te confundas con la notación. El símbolo

d representa un número. Lavariable que figura en él se suele decir que es una variable muda. Naturalmente, la letra notiene ningún significado especial y puede sustituirse por la que tú quieras o no poner ninguna;por ejemplo:

d d son tres formas de escribir lo mismo. Volveremos sobre esta notación más adelante cuandoestudiemos técnicas de integración.

La definición anterior debes entenderla como una primera aproximación matemática alconcepto intuitivo de área. Aunque te pueda parecer extraño, el concepto de área (y de integral)que acabamos de definir es bastante restrictivo.

En el caso en que la función toma valores positivos y negativos, observa que lagráfica de se obtiene por simetría respecto al eje de abscisas de las partes de la gráfica de

en las que . Como regiones simétricas respecto de una recta tienen la misma área,se sigue que:

d

Seamos prácticos. ¿Cómo podemos, a partir de la definición dada, calcular

d ?Una primera idea en este sentido consiste en observar que cuanto mayor sea el número deintervalos de la partición y más pequeña la longitud de cada uno de ellos cabe esperar que laaproximación obtenida sea mejor. Para precisar esta idea, definimos el paso de una partición

, y lo representamos por , como la mayor de las longitudes de los subintervalos de

dicha partición.

8.8 Teorema (Convergencia de las sumas integrales). Sea una función inte-

grable, una sucesión de particiones de tal que y una suma

de Riemann de para la partición . Se verifica entonces que:

lım lım lım

d (8.1)

Este resultado permite en algunos casos particulares y con bastante esfuerzo e ingeniocalcular ciertas integrales. Como más adelante aprenderemos a calcular integrales con facilidad,



es más interesante usar dicho resultado sensu contrario para calcular los límites de ciertassucesiones. Para ello se usa con frecuencia el siguiente corolario.

8.9 Corolario. Para toda función integrable en se verifica que:

lım

d (8.2)

Teniendo en cuenta que cualesquiera sean las funciones y los números , se verificaque , para toda partición , se deduce, haciendo usodel teorema 8.8, que la integral es lineal. Esta propiedad, junto con otras propiedades básicasde las integrales se recogen en el siguiente resultado.

8.10 Proposición (Propiedades básicas de la integral).

i) Linealidad . Si son integrables en y son números reales, se verifica que la función también es integrable en y

d

d

d

ii) Conservación del orden. Si son integrables en y para todo

, entonces se verifica que:

d

d

En particular, si es integrable en y para todo , entonces se

verifica la siguiente desigualdad:

d (8.3)

iii) Si es integrable en también (función valor absoluto de ) es integrable en

y se verifica la desigualdad:

d

d (8.4)

iv) El producto de funciones integrables Riemann también es una función integrable Rie-

mann.

v) Aditividad respecto del intervalo. Sea . Una función es integrable en

si, y sólo si, es integrable en y en , en cuyo caso se verifica la igualdad:

d d d

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Ha llegado el momento de preguntarse por condiciones que garanticen que una función esintegrable Riemann. Nos vamos a contentar con una respuesta parcial a esta pregunta, que essuficiente para nuestros propósitos.

8.11 Teorema (Condiciones suficientes de integrabilidad Riemann). Sea .

Cada una de las siguientes condiciones garantizan que es integrable Riemann en .

i) está acotada en y tiene un número finito de discontinuidades en . En parti-cular, toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es integrable en dicho intervalo.

ii) es monótona en .

Demostración. Según la definición dada, una función positiva y acotada en un intervaloes integrable en cuando las aproximaciones superiores están arbitrariamente próximasde las aproximaciones inferiores al área del conjunto ordenado de . En otros términos, una

función positiva y acotada en un intervalo es integrable en si, y sólo si, para todo, hay una partición de tal que 3. Probaremos que lasfunciones continuas y las funciones monótonas en satisfacen esta condición.

Ses continua en , entonces sabemos que está acotada en . Enparticular, hay un número tal que para todo . Por tanto la función

es continua y positiva en y, como las funciones constantes son integrables, laintegrabilidad de la función equivale a la integrabilidad de . Podemos, por tanto,suponer que es positiva en . En virtud del teorema 7.59 la función es uniformemente

continua en . Por tanto, dado , hay un número , tal que para todoscon se verifica que . Sea una partición del intervalo

cuyos subintervalos tienen longitud menor que . En virtud del teorema4.29 hay puntos en los que la función alcanza su valor mínimo y máximoabsolutos respectivamente en el intervalo . Tenemos que:

Lo que prueba que es integrable en .

Supongamos ahora que es continua en y acotada en pudiendo tener dis-continuidades en los extremos del intervalo. Como está acotada en , podemos seguirsuponiendo, por las mismas razones anteriores, que es positiva en . Sea talque para todo . Dado , consideremos un intervalo donde

y , . Por la ya demostrado, como es inte-

grable en , hay una partición de tal que . Ampliamosdicha partición a una partición del intervalo añadiéndole los puntos y . Llamemos a lapartición de así obtenida . Tenemos que:

Lo que prueba que es integrable en . Si ahora se suponemos que está acotada eny tiene un número finito de discontinuidades en , llamando a las

3Esta caracterización de la integrabilidad es válida para cualquier función acotada en sin necesidad desuponer que sea positiva.

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Figura 8.5. Función monótona con infinitas discontinuidades

8.14 Corolario. Seam y funciones que coinciden en todos los puntos de un intervalo

excepto en un número finito de ellos. Entonces se verifica que es integrable en si, y

sólo si, es integrable en , en cuyo caso se verifica que las integrales en de ambas

funciones coinciden.

Demostración. Definamos . La función es nula en todos los puntos deexcepto en un conjunto finito de ellos, por tanto, es una función continua a trozos en y,en consecuencia, es integrable en . Además, es evidente que

d (piensa que

el conjunto ordenado de entre y es un conjunto finito de segmentos verticales). Si, porejemplo, es integrable en , la igualdad implica que también es integrableen y

d

d

d

d .

8.15 Observación. El resultado anterior nos dice que, para estudiar la integrabilidad de unafunción, podemos modificar los valores de la misma en un conjunto finito de puntos porque esono afecta para nada a su integrabilidad ni al valor de su integral. Igualmente, si una función noestá definida en un conjunto finito de puntos de un intervalo, para estudiar su integrabilidad ladefinimos como queramos en dichos puntos, con la seguridad de que la función resultante seráo no integrable con independencia de nuestra definición. En particular, una función continuay acotada en , donde los son puntos de en los que no estádefinida, es integrable en .

Por ejemplo, la función sen no está definida en . Si queremos estudiar su



integrabilidad en , podemos definir (o el valor que tú quieras); con ello, es unafunción continua en y acotada en , por lo que es integrable en .

8.2.2. El Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función integrable , podemos definir una nueva función

por: d para todo

Observa que aquí la variable es – el límite superior de la integral. Por eso, es obligado nousar la misma letra como variable de la función en el integrando. es la integral de lafunción en el intervalo .

Por definición . Por supuesto, si es positivaentonces es el área del conjunto ordenado de entre y . No debesolvidar en lo que sigue que

d se ha definido en términos de áreas. A la función

la llamaremos la función área de en .

A veces hay que considerar funciones de la forma

d en dondey ; por lo que es necesario precisar lo que se entiende por

d cuando .

El convenio que se hace es que:

d d

cualesquiera sean los números y . La justificación de este convenio es que, con él, la igual-dad:

d

d

d (8.5)

se cumple cualesquiera sean los puntos del intervalo . Compruébalo.Nuestro próximo objetivo va a consistir en invertir el proceso que nos ha llevado de

a

d . Nuestro problema es: ¿Cómo podemos recuperar la función a partirdel conocimiento de la función área de ? El resultado que sigue, uno de los más útiles delCálculo, establece una relación entre dos conceptos aparentemente lejanos entre sí: el conceptode área y el de tangente a una curva, pues dicho resultado afirma que la pendiente de “la curvaárea de ”, , en un punto es igual a .

8.16 Teorema (Teorema Fundamental del Cálculo). Sea una función inte-

grable y definamos por:

d (8.6)

para todo . Entonces:

i) es continua en .



ii) En todo punto de en el que sea continua se verifica que es derivable en dicho

punto siendo . En particular, si es continua en , entonces es derivable

en y para todo .

Demostración.

i) Como es integrable debe estar acotada. Sea tal que para todo. Entonces, si son puntos de tenemos que

d

d

Por la misma razón, si suponemos que , tendremos que .Estas dos desigualdades nos dicen que para todo par de puntos

. De esta desigualdad se sigue inmediatamente la continuidad de en .

ii) Pongamos

d

d

d

Dado, , la continuidad de en nos dice que hay un tal que para todocon se tiene que . Tomemos ahora un punto cualquieratal que . Entonces es claro que para todo comprendido entre y se tendrá que

y, por tanto, por lo que:

d

Deducimos que para todo tal que , y , se verifica que

d

Hemos probado que lım , esto es, es derivable en y .

8.2.3. Primitivas. Regla de Barrow

8.17 Definición. Dada un función , cualquier función que sea

continua en , derivable en y verifique que para todo , se llamauna primitiva de en el intervalo .



Es importante advertir que no todas las funciones tienen primitivas. Por ejemplo, una condi-

ción necesaria que debe cumplir una función para tener primitivas es que dicha función tengala propiedad del valor intermedio pues, como recordarás, las funciones derivadas tienen esapropiedad. También, como consecuencia del teorema del valor medio, es inmediato que dos

primitivas de una función en un mismo intervalo se diferencian en una constante. Por ello, siconocemos una primitiva de una función en un intervalo las conocemos todas.

El siguiente resultado es una consecuencia muy importante del Teorema Fundamental delCálculo.

8.18 Corolario. Toda función continua en un intervalo tiene primitivas en dicho intervalo.

Demostración. Sea una función continua en un intervalo . Elijamos un punto . Cual-quiera sea el intervalo de extremos y está contenido en y es continua en él ypor tanto es integrable en él. Podemos por ello definir la función dada para todo

por d . Esta función es derivable en todo intervalo cerrado y acotadocontenido en . Pues si , para todo se tiene que:

d

d

d

Por tanto, salvo una constante aditiva, la función coincide en el intervalo con la funciónárea de en , es decir, con la función definida por 8.6. Como es continua en

(por ser continua en ) el teorema fundamental del cálculo nos dice que es derivable en todopunto y . Deducimos que es derivable en todo punto y.

Finalmente, el hecho de que sea derivable en todo intervalo cerrado y acotado contenidoen , implica, por la propiedad local de la derivabilidad, que es derivable en y su derivadaen todo punto viene dada por .

Es importante que aprecies que este es un resultado de existencia; es la definición quehemos dado de área – y por consiguiente de integral – lo que nos ha permitido construir lafunción primitiva de . La integración es por tanto una herramienta que permite construir

una función cuya derivada es conocida; por eso la integración es una potente herramienta paraconstruir nuevas funciones.

8.19 Estrategia.

Para derivar funciones de la forma

d donde es una función

continua y es una función derivable, se aplica el teorema fundamental del cálcu-lo y la regla de la cadena para derivar la función compuesta , donde

d .

Para derivar funciones de la forma

d donde es una función con-

tinua y , son funciones derivables, se escribe

d

d yse aplica lo dicho en el punto anterior.

El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona también una técnica para calcular laintegral de una función continua en un intervalo . Para ello lo que hacemos es calcular una

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primitiva de en . Si es una tal primitiva, entonces las funciones

d , yson dos primitivas de en que coinciden en un punto, pues ambas se anulan

en . Deducimos que para todo y, por tanto,

d. Podemos generalizar este resultado como sigue.

8.20 Teorema (Regla de Barrow). Sea integrable y supongamos que es una

primitiva de en . Entonces:

d

Demostración. Sea una partición de . Aplicandoel teorema de valor medio, tenemos que:

La igualdad anterior nos dice que para toda partición de hay alguna suma de Rie-mann de asociada a dicha partición, , que es igual a . Si ahora toma-mos una sucesión de particiones del intervalo tales que , tenemos que

para alguna suma de Riemann, , de asociada a la partición

. Pero sabemos que , por lo que obtenemos que .

Fíjate que en la regla de Barrow no se supone que sea continua sino tan sólo que esintegrable y que, además, tiene una primitiva.

8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial

Quiero convencerte de que muchas veces el cálculo integral proporciona la interpretaciónmás intuitiva de una función. Considera, por ejemplo, la función logaritmo natural. Quizássepas expresar log como límite de una sucesión o algo parecido; pero, ¿puedes representar dealguna forma intuitiva el número log ? ¿Sabrías representar gráficamente el número log ? Enla siguiente gráfica puedes ver el número log .

0

1

2

0 1 2 3 4

d

Figura 8.6. Logaritmo de 2



Espero que estés de acuerdo conmigo: la forma más fácil e intuitiva de imaginar el númerolog es como el área de la región plana limitada por la curva , las rectas , ,y el eje de abscisas. Dicha área se considera positiva si y negativa si . Dicho de otraforma:

log

d

Es frecuente interpretar esta igualdad de la siguiente forma: la función log es derivable ylog ; por tanto

d log log log . ¡Parece que hemos probado algo! Y

no es así porque en este razonamiento estamos usando que la función logaritmo es derivable yeso es algo que no hemos probado. Todavía peor: ni siquiera hemos dado una definición de lafunción logaritmo que permita probar las propiedades de dicha función. Usualmente se definelog como el número que verifica que e . La existencia de ese número está lejos deser evidente. El propio número e tiene que ser definido de alguna forma apropiada.

Hago estas reflexiones para que te des cuenta de que lo que conoces de las funciones lo-garitmo, exponencial, trigonométricas , es un conocimiento descriptivo. De estas funcionesconoces, porque te lo han dicho, su comportamiento; pero no creo que hayas demostrado suspropiedades. Bueno, no quiero que pienses que tus profesores de bachillerato te ocultan infor-mación, lo que ocurre es que una definición de estas funciones que permita probar su existenciay demostrar sus propiedades requiere herramientas matemáticas que no tienen cabida en lasenseñanzas medias. Precisamente, el Teorema Fundamental del Cálculo permite definir estasfunciones de forma fácil, elegante y correcta.

Olvida ahora todo lo que sepas de la función logaritmo natural. ¿Lo has olvidado ya?Sigamos.

8.21 Definición. La función logaritmo natural es la función log definida para todopor:

log

d

El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la función logaritmo natural es derivable

(y por tanto continua) y que log . Como la derivada es positiva, deducimos que dichafunción es estrictamente creciente.

Dado , sea log . Entonces . Luego la funciónlog tiene derivada nula en , por lo que es constante y, como para es igual

a log , se sigue que log log . Hemos probado así que log log logpara todo y para todo .

Observa que en poco más de tres líneas hemos obtenido ya las propiedades principales dellogaritmo. Sigamos nuestro estudio.

De lo ya visto se sigue que log log para todo número entero . De aquí se deduceque la función logaritmo natural no está mayorada ni minorada y, como es estrictamente cre-ciente, concluimos que lım log ∞ y lım log ∞. Por tanto, podemos afirmar

que dicha función es una biyección estrictamente creciente de sobre .

Representemos provisionalmente por la función inversa del logaritmo. Dichafunción se llama función exponencial. El teorema de derivación de la función inversa nos dice



que es derivable y para todo es:

log

Ahora, dados, , sean tales que log , log . Entonces:

log log log

Hemos probado así que para todos . De esta igualdad se deducefácilmente que apara todo número racional se verifica que . El número serepresenta con la letra e, es decir, es el número definido por la igualdad log e

e d .Con ello para todo número racional se tiene que e , por lo que se usa la notación

e para representar a la función exponencial.

Fíjate con qué facilidad y elegancia hemos obtenido las propiedades principales de lasfunciones logaritmo natural y exponencial. Quedan así justificados todos los resultados vistosen capítulos anteriores que dependen de dichas propiedades.

Así mismo, podemos definir la función arcotangente de la forma:

arctg

d

Lo que constituye un punto de partida para definir las demás funciones trigonométricas. Esteproceso está desarrollado con detalle en [16]. Veremos más adelante otro procedimiento másdirecto para definir las funciones trigonométricas.

8.3. Integrales impropias de Riemann

Una de las limitaciones de la teoría de la integral de Riemann que hemos desarrolladoes que en ella se consideran funciones acotadas en intervalos acotados. Queremos evitar es-tas limitaciones y considerar funciones no acotadas o intervalos no acotados. Los siguientesejemplos indican el camino a seguir.

8.22 Ejemplo. La función no está acotada en el intervalo . Como

es una primitiva de en , para todo se tiene que:

d lım

d

Por tanto es natural definir: d

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8.23 Ejemplo. Para todo se tiene que:

e d e lım

e d

Por ello es natural definir:

e d

En el primer ejemplo hemos considerado una función no acotada, y en el segundo un inter-valo no acotado.

8.24 Definición. Sea una función continua en el intervalo , donde supo-

nemos que y que un número real mayor que o bien ∞. Se define la integralimpropia de Riemann de en como el límite:

d lım

d (8.7)

Supuesto, claro está, que dicho límite exista y sea un número real, en cuyo caso se dice tambiénque la integral de es convergente en .

Sea una función continua en el intervalo , donde suponemos quey que un número real menor que o bien ∞. Se define la integral impropia de Riemannde en como el límite:

d lım

d (8.8)

Supuesto, claro está, que dicho límite exista y sea un número real, en cuyo caso se dice también

que la integral de es convergente en .

Cuando el límite (8.7) o (8.8) existe y es igual a ∞ (resp. ∞) se dice que la respectivaintegral es positivamente o negativamente divergente.

Sea una función continua en el intervalo , donde ∞ ∞.Sea con . Se dice que la integral de es convergente en cuando lasintegrales de en y en son convergentes, en cuyo caso se define:

d

d

d (8.9)

8.25 Observación. Como para todo se verifica que:

d

d

d

se sigue que la convergencia de la integral de en equivale a la convergencia de la integralde en .

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8.26 Ejemplo. Sea . Se tiene que:

d

Deducimos que:

d lım

d

si

∞ si(8.10)

Análogamente:

d lım

dsi

∞ si(8.11)

8.27 Ejemplo. Sea . Usando la técnica de integración por partes, que estudiaremos más

adelante, es fácil calcular una primitiva de la funciónlog

. Comprueba que:

log

es una primitiva de en . Por tanto

d . En consecuencia:

logd

si

∞ si(8.12)

Análogamente:

logd

si

∞ si(8.13)

8.3.1. Criterios de convergencia para integrales

Naturalmente, no siempre vamos a disponer de una primitiva expresable por medio de fun-ciones elementales, bien porque no exista o porque su cálculo efectivo sea muy complicado. Porello, interesa conocer condiciones que aseguren la convergencia de una integral sin necesidadde conocer una primitiva elemental. Lógicamente, estas condiciones no nos permitirán calcularel valor numérico de la integral; tan sólo nos dirán si es o no convergente. Consideraremosintegrales definidas en intervalos del tipo donde . Criterios de convergenciaanálogos se verifican para integrales definidas en intervalos del tipo donde .El caso en que la función integrando es positiva es particularmente sencillo de estudiar.



8.28 Proposición (Criterio básico de convergencia). Sea continua y positiva en .

Entonces, la integral de en es convergente si, y sólo si, la función

destá mayorada en , en cuyo caso:

d sup

d

En otro caso la integral de en es positivamente divergente.

Las afirmaciones hechas son consecuencia de que, por ser positiva en , la función d es creciente en .

El siguiente criterio es consecuencia inmediata del anterior.

8.29 Proposición (Criterio de comparación). Sean y continuas y positivas en .

Supongamos que la integral de en es convergente y que para todo .

Entonces la integral de en también es convergente.

De este criterio se deduce fácilmente el siguiente.

8.30 Proposición (Criterio límite de comparación). Sean y continuas y positivas en

. Supongamos que:

lım

Entonces las integrales de y en ambas convergen o ambas divergen positivamente.

Demostración. De la hipótesis hecha se deduce que existe un número tal que paratodo se verifica que:

De estas dos desigualdades se deduce, por el criterio de comparación anterior, que las integralesde y de en son ambas convergentes o ambas divergen positivamente. Basta tener ahoraen cuenta la observación 8.25.

8.31 Definición. Se dice que la integral de es absolutamente convergente en un ciertointervalo cuando la integral de la función es convergente en dicho intervalo.

Naturalmente, los criterios de convergencia antes vistos para integrales de funciones posi-tivas, pueden usarse para estudiar la convergencia absoluta de la integral de cualquier función.

Por ello, el siguiente resultado es de gran utilidad. Para demostrarlo usaremos la siguiente ca-racterización de la existencia de límite.

8.32 Proposición (Condición de Cauchy para la existencia de límite). Sea un número

real o bien , sea y sea una función. Equivalen las siguientes

afirmaciones:

a) La función tiene límite finito en , es decir, lım .

b) Para todo existe un número tal que para todos se verificaque .

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Demostración.

. Por hipótesis, para todo existe un número tal que para todose verifica que . Para también será .

Deducimos que:

. Probaremos que hay un número tal que para toda sucesión se verificaque . Según sabemos, por la proposición 7.41, esto equivale a que tenga límiteen igual a . Sea , para probar que es convergente probaremos quedicha sucesión verifica la condición de Cauchy. Dado , por la hipótesis hecha, hay unnúmero tal que para todos se verifica que . Como

, existe un número natural tal que para todo se tiene que .Deducimos que si y , entonces , lo que prueba que la

sucesión es de Cauchy y, por el teorema de completitud de , es convergente. Seael límite de . Si ahora consideramos cualquier otra sucesión , el

mismo razonamiento anterior prueba que converge. Debemos probar que su límitetambién es . Para ello, basta con observar que, como consecuencia de la hipótesis hecha, lasucesión converge a , pues para todo suficientemente grande se tiene que

, por lo que .

La proposición anterior tiene una versión análoga para el caso de considerar un intervalodel tipo con un número real o .

La condición del punto b) de la proposición anterior se llama condición de Cauchy paraen .

8.33 Teorema. Si la integral de es absolutamente convergente, entonces la integral de

también es convergente.

Demostración. Supongamos que la integral de es absolutamente convergente en . Pon-gamos d , d . Por la hipótesis hecha, existe el límite de en

y es finito. En tal caso, se verifica la condición de Cauchy para en . Dado , hay unnúmero tal que para todos es . Teniendo en cuentala desigualdad:

d

d

d

d

se deduce que la función verifica la condición de Cauchy en , por lo que dicha función tienelímite finito en , es decir, la integral de en es convergente.

8.4. Teoremas del valor medio para integrales

El teorema fundamental del cálculo permite traducir a integrales el teorema del valor medio.Basta observar para ello que, si es una función continua en un intervalo y es un punto

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cualquiera de dicho intervalo, podemos aplicar el teorema del valor medio a la función derivable d en el intervalo . Según dicho teorema, para cualquier par de puntos

se verifica que hay algún punto comprendido entre y tal que:

Pero esta igualdad es lo mismo que:

d

d

El número

d se llama promedio integral o media integral de en . Conpoco esfuerzo podemos obtener un resultado más general.

8.34 Teorema (Primer teorema de la media para integrales). Sean una función continua

en y una función positiva e integrable en . Entonces se verifica que hay algún

punto tal que:

d

d (8.14)

Demostración. Por el teorema de Weierstrass 4.29,la función alcanza un valor mínimo, ,

y un valor máximo, , en . Como para todo , tenemos que:

para todo

La función es integrable en por ser producto de funciones integrables. Como la integralconserva el orden entre funciones, se sigue que:

d d d

De esta desigualdad se sigue que si

d , entonces también es

dy la igualdad del enunciado se satisface trivialmente para todo . En otro caso debe ser

d y deducimos que:

d

dPuesto que la imagen por del intervalo es el intervalo , de la desigualdad anteriorse sigue que hay algún tal que:

d

d

Como queríamos probar.

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8.35 Teorema (Segundo teorema de la media para integrales). Sea una función monótona

y con derivada continua en , y sea una función continua en . Entonces hay algún

punto tal que:

d

d

d (8.15)

Demostración. Supongamos que es decreciente en y . Definamos las funciones d y . Tenemos que

. Por la regla de Barrow, obtenemos que:

d

d

d

Como para todo , podemos aplicar a la última integral el primer teoremade la media que asegura que hay algún tal que:

d

d

d

Hemos probado así que hay un tal que:

d

d (8.16)

Esta igualdad es un caso particular de la igualdad del enunciado (recuerda que hemos supuestoque ). Consideremos ahora que es decreciente en (no suponemos que ).Podemos aplicar la igualdad 8.16 a la función y obtenemos que hay algúntal que:

d

d

d

d

d

d

d

d

Esto demuestra el teorema para decreciente. El caso en que sea creciente se reduce alanterior considerando la función .

El segundo teorema de la media para integrales es muy útil para estudiar la convergenciano absoluta de integrales impropias pues, en muchos casos, permite probar que se satisface lacondición de Cauchy para la existencia de límite. El teorema suele enunciarse con hipótesis

mucho más generales, pero las hipótesis con las que lo hemos probado son suficientes paranosotros.

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8.5. Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real

Una función compleja de variable real es una función de la forma donde, son funciones reales definidas en un intervalo . Se dice que es la parte real de y

es la parte imaginaria, y escribimos Re , Im . Cuando las funciones y sonderivables, se dice que es derivable y se define su derivada por la igualdad:

Cuando las funciones y son integrables en un intervalo se dice que es integrable eny se define la integral de en por la igualdad:

d

d

d

Naturalmente, si y son, respectivamente, primitivas de y en un intervalo , enton-ces es una primitiva de en y se verifica la regla de Barrow:

d

d

d

Análogamente, si y son continuas en un intervalo y elegimos un punto , la función:

d

d

d

es una primitiva de en .

8.36 Ejemplo. Sea un número complejo, la función:

e e e e cos e sen

es derivable y su derivada viene dada por:

e cos e sen e sen e cos

e cos sen e e

Como era de esperar, hemos obtenido que:

ddt e e

En consecuencia: e d e (8.17)

En algunos de los siguientes ejercicios deberás calcular algunas primitivas muy sencillas,es un buen momento para que repases las derivadas de las funciones elementales.



8.5.1. Ejercicios propuestos

361. Seae sen

. Justifica que es integrable en y se verifica la desigualdad d e .

362. Sea una función continua y positiva en tal que

d . Prueba quepara todo .

363. Justifica las desigualdades:

d dlog

Deduce de la última desigualdad que e lım .

364. Calcula la integral

d donde sen cos , y calcula el área de laregión limitada por la gráfica de y el eje de abscisas cuando .

365. Calcula los límites de las siguientes sucesiones expresándolas como sumas de Riemann.

sen

366. Considera la función definida por para ,y . Prueba que:

d lım

d

donde es la constante de Euler.



367. Sea derivable en y sea tal que para todo .Dado sea la partición de definida por los puntos , donde

. Pongamos . Prueba que:

y deduce que:

d

368. Calcula las siguientes integrales.

d

cos d

e logd

e e

logd

send

sen

cosd

cos sen d sen

cosd d

Sugerencia. Todas ellas son inmediatas y se calculan usando la regla de Barrow.

369. Sea una función continua tal que

d sen cos . Calcula y.

370. Sea Sea una función continua y definamos

d d . Calcula

y .

371. Calcula la derivada de las siguientes funciones.

cos d

esen d

d

e

sen log d

sen

d d

sen d

send

sen e

cos log d

d

Sugerencia. Aplica la estrategia 8.19.

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372. Calcula todas las funciones de clase en tales que:

d

373. Prueba que para todo se verifica la igualdad:

cos arccos d

sen arcsen

374. Sea una función derivable en y dos veces derivable en , siendo además .Estudia la derivabilidad de la función definida por:

d

¿Es de clase ?

375. Sea definida por

e d . Estudia los extremos relativosy absolutos de , intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y calculael límite de en .

376. Sea la función dada por:

si ;si .

Estudia la derivabilidad de

d .

377. Calcula los siguientes límites.

lım

sen d

lım

e d

e sen d

lım

e e d

lım

ed

lım

e d

e d

lım

sen cos d

378. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias y calcúlalas cuando seanconvergentes.

e d

d

d logd d



Sugerencias. En a) hacer y en d) tg .

379. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias.

cosd

sen

d

d

e

d

log log d

sen d

Sugerencia. Los criterios de comparación pueden ser útiles.

380. Estudia la convergencia de la integral

sen

sen

d

Según los valores de .

381. Prueba que la integral sen d es absolutamente convergente para , es con-

vergente pero no absolutamente convergente para y no es convergente para.

Sugerencia. Para usa el segundo teorema de la media.

382. Estudia para qué valores de y son convergentes las integrales siguientes.

e d

d

d

Sugerencia. Utiliza el criterio límite de comparación.

383. Justifica que hay una función derivable cuya derivada es sen

para todo , y .384. Sea o la función definida por , log y

log

d

a) Prueba que lım log y justifica que es de clase .

Aplicación. Calcula la integral

logd .

Sugerencia: Sealog

. Utiliza el primer teorema de la media para integrales para

obtener que si hay algún punto comprendido entre y tal que:

d



385. Justifica, usando integrales, que para todo se verifica que:

log log

Dedduce que, dado , , se verifica que:

lım log

8.5.2. Ejercicios resueltos

¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

Ejercicio resuelto 184 Seae sen

. Justifica que es integrable en y se ve-

rifica la desigualdad

d e .

Solución. Como sen para todo , se sigue que e e paratodo . En consecuencia la función está acotada y es continua en .Podemos ahora apoyarnos en la observación 8.15 para concluir que es integrable en

. Alternativamente, podemos definir con lo que cual resulta continua entodo el intervalo . Finalmente, como la integral conserva el orden, tenemos que:

e

d

e d e

Ejercicio resuelto 185 Sea una función continua y positiva en con d .Prueba que para todo .

Solución. Sea . Pongamos

. Como para todo

, se verifica que

, por lo que

. Deducimos que . Como es continua en , la función

es derivable en y

para todo . Evidentemente, es la función nula, luegopara todo .

Alternativamente, la función d es derivable con ,lo que implica que es creciente en . Como , deducimos quepara todo , lo que implica que es la función nula en .

Ejercicio resuelto 186 Justifica las desigualdades:

d dlog

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Deduce de la última desigualdad que e lım .

Solución. El resultado obtenido en el ejercicio anterior nos dice que si es una funcióncontinua, positiva y no idénticamente nula en un intervalo , entonces se verifica que

d . Las desigualdades propuestas son todas consecuencia de este resultado.

a) Para las funciones y son continuas,positivas y no idénticamente nulas en , luego

d y

d .

Esto prueba las desigualdades pedidas.

c) Dado , para todo se tiene que . Razonando com

antes, se sigue que:

d d log d

Lo que prueba la desigualdad del enunciado. Multiplicando por dicha desigualdad seobtiene:

log log

Por el principio de las sucesiones encajadas, deducimos que log , lo que

implica, tomando exponenciales, que e lım .

Ejercicio resuelto 187 Calcula los límites de las siguientes sucesiones expresándolas comosumas de Riemann.

Solución. Aplicaremos en cada caso el corolario 8.9.

a) Tenemos que que es una suma de Riemann de la función

para la partición del intervalo dada por los puntos ( ). Pues,

claramente, se tiene que . Como , la función es

integrable en , y deducimos que:

lım

d

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e) Podemos escribir:

que es una suma de Riemann de la función para la partición del intervalo

dada por los puntos ( ). Como la función es integrable eny , deducimos que:

lım

d

d

d

arctg log log

i) Tomando logaritmos tenemos que:

log log log log log log

log log log log log

log

Por tanto, la sucesión log es una suma de Riemann de la función log parala partición del intervalo dada por los puntos , . Aplicando elcorolario citado al principio, deducimos que:

lım

log dlog

d dlog

d log

Luego e .

Ejercicio resuelto 188 Considera la función definida porpara , y . Prueba que:

d lım

d

donde es la constante de Euler.Solución. La función es continua en todos los puntos de excepto en y en lospuntos de la forma donde . Claramente . Por tanto, en cadaintervalo con la función es integrable por estar acotada y tener en dichointervalo un número finito de discontinuidades. Fijado , sea talque . Tenemos que:

d d d



Para se tiene que . Luego, poniendo

d ,tenemos:

d

d

log log

log log

Puesto que para , y , se sigue que:

lım

Concluimos que:

lım

d lım log

Ejercicio resuelto 189 Calcula la derivada de las siguientes funciones.

cos d

esen d

d

e sen log d

sen

d d

sen d

send

Solución. a) La función

cos d puede expresarse como la composición de

la función cos d con la función . Por el teorema fundamental

del cálculo, sabemos que cos . Por la regla de la cadena, tenemos que:

cos

c) Observa que en este ejercicio debes considerar que . Pongamos:

d d d



Definamos

d , , . Tenemos que

Como , , , deducimos, al igual que antes,

que:

e) Definamos

send . Entonces

d . Como la función

es continua, de hecho es derivable, se sigue que .

f) Sea

send ,

send . Tenemos que .

Como las derivadas de y de son conocidas podemos calcular la derivada de .Tenemos que:

sen

sen

Ejercicio resuelto 190 Prueba que para todo se verifica la igualdad:

cos arccos d

sen arcsen

Solución. Definamos

cos

arccos d

sen

arcsen . Tenemos que:

sen cos arccos cos sen cos arcsen sen

Donde hemos tenido en cuenta que para se tiene que sen y cospor lo que sen sen y cos cos . Además, sabemos que arc sen senpara y arc cos cos para . Por tanto ambas igualdadesson válidas para . Hemos probado así que la derivada de es nula en el

intervalo , lo que implica que es constante en dicho intervalo.Para terminar, bastará comprobar que algún valor de es igual a . Para ello, re-cordemos que arc sen arccos para todo . Como cossen , obtenemos fácilmente que .

Ejercicio resuelto 191 Sea una función derivable en y dos veces derivable en , siendoademás . Estudia la derivabilidad de la función definida por:

d



¿Es de clase ?

Solución. Pongamos para . Como

lım lım

definiremos . Con ello, la función es continua en . Deducimos que esderivable en y:

d

d

La derivada de es claramente continua en . Comprobaremos que es continuaen y que su derivada tiene límite en , en cuyo caso la proposición 6.19 nos dice que

es de clase . Para calcular el límite de en podemos aplicar la regla de L’Hôpital.

lım lım lım

Lo que prueba que es continua en y, por tanto, es continua en . Para calcular ellímite de en , como es derivable, podemos aplicar la regla de L’Hôpital.

lım lım lım

Este último límite no puede calcularse por la regla de L’Hôpital porque no sabemos sies derivable. Pensando un poquito, nos damos cuenta de que podemos calcularlo comosigue. La idea es conseguir utilizar la hipótesis de que es dos veces derivable en .

Para calcular el límite de la primera fracción en podemos aplicar L’Hôpital (o el teore-ma de Taylor – Young) y tenemos:

lım lım

Y lım . Concluimos que lım . Por la propo-

sición 6.19, concluimos que es derivable en con y, por tanto, es

continua en , luego es una función de clase en .

Ejercicio resuelto 192 Sea definida por

e d . Estudia losextremos relativos y absolutos de , intervalos de concavidad y convexidad, puntos deinflexión y calcula el límite de en .

Solución. Observa que todo lo que se pide en este ejercicio depende del conocimientode la función derivada de que podemos calcular fácilmente.

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Poniendo

e d

e d , deducimos que:

e e e e

El signo de es el mismo de e . Tenemos que:

e e log log

Como consideramos que , obtenemos que para log y

para log . Por tanto es creciente en log y es decreciente en log .

Deducimos que en log la función alcanza un valor máximo absoluto en. No hay otros extremos relativos, además de , porque la derivada solamen-

te se anula en .Por su definición, se tiene que para todo , pues es la integral de lafunción continua positiva e en el intervalo . Como , resulta quealcanza en un valor mínimo absoluto.

Calculemos la segunda derivada.

e e e e

Se obtiene fácilmente que para log y para log .Por tanto, es cóncava en log y convexa en log . Deducimos quetiene un único punto de inflexión en log .

Finalmente, como:

e d

e d e

y lım e , obtenemos que lım .

Ejercicio resuelto 193 Calcula los siguientes límites.

lım

sen d

lım

e d

e sen d

lım

e e d

lım

ed

lım

e d

e d

lım

sen cos d



Ejercicio resuelto 195 Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias.

cosd

sen

d

d

Sugerencia. Usa los criterios de comparación.

Solución. Para hacer este ejercicio y los siguientes debes tener presentes los resultados8.10 y 8.11.

a) Pongamoscos

. Se trata de estudiar la convergencia de la integral de

en . La función es positiva y asintóticamente equivalente a para .

Como

d es convergente, por ser de la forma

d con , deduci-

mos, por el criterio límite de comparación, que la integral d es convergente.c) Pongamos . Es una función positiva para . Se trata de estudiar la

convergencia de la integral de en . Para ello estudiaremos la convergencia delas integrales de en y en . Tenemos las equivalencias asintóticas:

Como la integral d es convergente, se sigue que la integral de en esconvergente.

Como la integral

d es positivamente divergente, se sigue que la integral de enes positivamente divergente. Por tanto la integral de en es positivamente

divergente.

Ejercicio resuelto 196 Estudia la convergencia de la integral

sensen

d

Según los valores de .

Solución. Pongamossen

sen. Como sen para todo , se sigue

que para todo . Se trata de estudiar la convergencia de la integral deen . Para ello estudiaremos la convergencia de las integrales de en y en

. Tenemos las equivalencias asintóticas:sen y sen

Como la integral

d es convergente si, y sólo si, , deducimos que laintegral de en es convergente si, y sólo si, .

Tenemos también la equivalencia asintótica para . Como la integral d es convergente si, y sólo si, , deducimos que la integral de en

es convergente si, y sólo si, . Por tanto, la integral de en noconverge para ningún valor de .

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Ejercicio resuelto 197 Prueba que la integral sen d es absolutamente convergente

para , es convergente pero no absolutamente convergente para y no esconvergente para .

Sugerencia. Para usa el segundo teorema de la media.

Solución. Pongamos sen . Como y, para la integral

d

es convergente, se sigue, por el criterio de comparación, que la integral sen

d esabsolutamente convergente para .

Supongamos que . Entonces podemos aplicar el segundo teorema de la mediaporque la función es decreciente en . Dados , dicho teorema afirmaque hay algún tal que:

send

sen d

sen d

Teniendo en cuenta que

sen d cos cos cos cos , deducimosque: sen

d

De esta desigualdad se deduce que la función

sen d satisface la condición

de Cauchy en . Pues, dado , basta tomar tal que (lo que puede

hacerse por ser ) para obtener que para todos es:

send

Concluimos, por la proposición 8.32, que la función tiene límite finito en , esto

es, la integral sen

d es convergente.Para probar que la integral no es absolutamente convergente para podemosrazonar como sigue. Observa que sen para y, por la periodi-cidad del seno, también será sen para , donde

. Tenemos que para todo es:

sen

Deducimos que: sen

d

Tenemos que para todo :

sen

d sen

d

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Como se tiene que , luego:

donde es la serie armónica. Sabemos que ,

por lo que de las dos desigualdades anteriores se sigue que:

lım sen

d lım sen

d

Luego la integral no converge absolutamente para .

Finalmente, si se comprueba que la función no verifica la condición deCauchy en , por lo que no existe el límite de en , es decir, la integral sen d no es convergente.

Ejercicio resuelto 198 Estudia para qué valores de y son convergentes las integralessiguientes.

e d

d

d

Sugerencia. Utiliza el criterio límite de comparación.Solución. Son integrales de funciones positivas y podemos usar los criterios de compa-ración.

a) Sabemos que para todo es lım e cualquiera sea . Pongamos

e . Si , sea . Tenemos que:

lım

e

lım e

Por tanto, hay algún tal que para todo se verifica quee

, esto es,

e . Como la integral

e d es convergente y, por el criterio de

comparación, deducimos que la integral

e d también es convergente.

Si un razonamiento parecido al anterior, prueba que la integral es positivamentedivergente para todo . Finalmente, si sabemos que la integral converge si, y

sólo si, .Ejercicio resuelto 199 Justifica que hay una función derivable cuya derivada es

sen para todo , y .

Solución. Como la función sen , es continua y acotada en ytiene una única discontinuidad en , el Teorema Fundamental del Cálculo implica que lafunción definida para todo por:

sen d



es continua en y derivable en todo punto con derivada sen . Quedaprobar que es derivable en con . La derivada de en viene dada por ellímite:

lım

sen d

Dicho límite es una indeterminación del tipo (siempre es así cuando calculamos laderivada de una función continua). No puede aplicarse L’Hôpital para calcular dicholímite porque el cociente de las derivadas es justamente sen que no tiene límite en

. Como queremos probar que dicho límite es el camino obligado es tratar de acotar laintegral. Para ello, vamos a hacer primero un cambio de variable. Suponemos en lo quesigue que .

sen d

d d send lım

send

Sea . Podemos aplicar el segundo teorema de la media para obtener que hayalgún punto tal que:

send

sen d

sen d

Teniendo ahora en cuenta que

sen d cos cos , deducimos que para

todo se verifica que:

send

send lım

send

sen d lım sen d

Hemos probado así que es derivable por la derecha en con derivada por la derechaen igual a . El mismo razonamiento prueba que es derivable por la izquierda encon derivada por la izquierda en igual a (alternativamente, puedes usar que es unafunción par). Por tanto, es derivable en y .

Ejercicio resuelto 200 Sea o la función definida por , log y

log

d

a) Prueba que lım log y justifica que es de clase .

Aplicación. Calcula la integral log d .



Sugerencia: Sealog

. Utiliza el primer teorema de la media para integrales para

obtener que si hay algún punto comprendido entre y tal que:

d

Solución. Definamos . Con ello, la función es continua en o . Puesto que:

d

el primer teorema de la media implica que hay algún punto comprendido entre

y tal que: d

log log log log

Puesto que, claramente se verifica que ,de la igualdad anterior deducimos que lım log . Por otra parte es claro que

lım (observa que podemos definir la funciónlog

igual a para

, con lo que es continua en ). Resulta así que es continua en o . Tenemostambién que para es:

log

d

logd

log log log

Como lım y lım , deducimos por la proposición 6.19que es derivable en todo o , con , y es continua en o , esdecir, es de clase .

Finalmente, como ha resultado ser una primitiva de en o , tenemos que:

log

d

d log

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8.6. Técnicas de cálculo de Primitivas

8.6.1. Calcular una primitiva...¿Para qué?

Para calcular

d donde es una función continua, hay que calcular una primitivade , evaluarla en y en y hacer la diferencia. Pero, ¿para qué calcular una primitiva? ¿no

sabemos ya que una primitiva de es la función d ? Y, naturalmente, cualquierotra será de la forma donde es una constante. ¿Qué interés tiene entonces el cálculode primitivas de funciones continuas? Respuesta: desde un punto de vista teórico ninguno.

Ahora, si lo que queremos es aplicar la regla de Barrow para calcular el número

d ,entonces la primitiva

d no nos sirve para nada porque si la evaluamos en

y en y hacemos la diferencia obtenemos una identidad perfectamente inútil para nuestrospropósitos. Lo que necesitamos es conocer una primitiva de que sea realmente evaluable, es

decir que al evaluarla en y en proporcione valores numéricos.En otros términos, el problema del cálculo de primitivas consiste en tratar de expresar la

“primitiva trivial”

d por medio de funciones elementales4 que permitan una

evaluación efectiva de la integral. Para eso sirven las técnicas de cálculo de primitivas.

Pero no hay que olvidar que, si bien la derivada de una función elemental también es unafunción elemental, es frecuente que una función elemental no tenga primitivas que puedan ex-presarse por medio de funciones elementales. Esto ocurre, por ejemplo, con las funciones e ,sen

, sen , , y muchas más. En tales casos la forma más sencilla de representaruna primitiva de es justamente mediante la función

d y, para obtener valores

concretos de dicha función hay que recurrir a métodos numéricos de cálculo de integrales.

En lo que sigue vamos a considerar algunos tipos de funciones elementales cuyas primi-tivas también pueden expresarse por medio de funciones elementales y pueden calcularse conprocedimientos más o menos sistemáticos.

Para leer lo que sigue necesitas tener papel y un bolígrafo a mano para ir haciendo los

ejercicios que se proponen. A calcular primitivas se aprende practicando; la imprescindibleagilidad en los cálculos la lograrás haciendo decenas de ejercicios. Fíjate que, en la mayoría delos casos, se trata de ejercicios en los que tan sólo tienes que aplicar una técnica general a uncaso particular. Esto es tan “fácil” que lo saben hacer los programas de cálculo simbólico, como

Mathematica, Derive, Mapple y otros. Cuando se logre fabricar una calculadora de bolsillo quepueda ejecutar estos programas quizás ya no sea imprescindible aprender a calcular primitivas,pero hasta que llegue ese momento sigue siendo necesario que aprendas a calcular primitivascon agilidad. Sería lamentable que, por no saber calcular una primitiva, no puedas resolver una

sencilla ecuación diferencial, ni calcular una probabilidad, ni el área de una superficie, Lasaplicaciones del cálculo integral son tan variadas, que el tiempo que dediques a la práctica delcálculo de primitivas será más rentable de lo que ahora puedas imaginar.

Con cada técnica de cálculo de primitivas, se incluyen ejemplos y se proponen ejerciciossencillos para que compruebes si sabes aplicarla. Encontrarás al final una sección de ejerciciosresueltos de cálculo de primitivas en la que se dan soluciones detalladas de algunos de los

4Las funciones que se obtienen por medio de sumas, productos, cocientes y composiciones a partir de las fun-

ciones racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas, se llaman funciones elementales.

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ejercicios propuestos y de otros nuevos.

8.6.2. Observaciones sobre la notación y terminología usuales

Para representar una primitiva de una función , suele usarse la notación

d . Así,

por ejemplo, se escribe d log . Esta notación es algo imprecisa porque noespecifica el intervalo en que se considera definida . En el ejemplo anterior hay que interpretarque la función está definida en uno de los intervalos o y elegir la primitivacorrespondiente. Estos pequeños inconvenientes están compensados por la comodidad en loscálculos que proporciona esta notación. Es frecuente también, aunque no lo haremos en lo quesigue (pero mira el ejercicio (388)), añadir una constante arbitraria, , y escribir

d

log .

La integral de una función en un intervalo, d , se llama a veces “integral de-

finida” de (y es un número), y al símbolo d se le llama “integral indefinida” o,simplemente, “integral” de (y representa una primitiva cualquiera de ). Aunque esto pue-de ser confuso, no olvides que, cuando hablamos de calcular la integral

d lo que

realmente queremos decir es que queremos calcular una primitiva de .

Como ya sabes, en los símbolos

d o

d la letra “ ” puede sustituirse porcualquier otra y el símbolo “ d ” (que se lee “diferencial x”) sirve para indicar la variablede integración. Esto es muy útil si la función contiene parámetros. Por ejemplo, son muy

diferentes las integrales d y .Te recuerdo también que, si es una función de , suele usarse la notación

d d que es útil para mecanizar algunos cálculos pero que no tiene ningún significadoespecial: es una forma de indicar que es la derivada de respecto a .

Finalmente, si es una función, usamos la notación o simplemente, para

indicar el número , y la notación para indicar lım lım .

Esta notación es cómoda para las integrales impropias.

8.6.3. Primitivas inmediatas

Para calcular primitivas debes ser capaz de reconocer inmediatamente las siguientes pri-mitivas inmediatas. Como ya se ha indicado antes, se omite, por brevedad, la constante deintegración. Te recuerdo que:

tg sencos

cotg cossen

seccos

cosecsen

senhe e

coshe e

tghsenh

cosh

argsenh log argcosh log argtgh log

En la siguiente lista de primitivas inmediatas se supone que y que las raíces cuadradastoman valores reales, es decir, las funciones radicando son positivas.

http://-/?-

http://-/?-



Tabla de primitivas inmediatas

d

d

log si ;

log si . log e d e sen d cos cos d sen sec d log sec tg

cosec d log cosec cotg sec d tg cosec d cotg tg d tg cotg d cotg

d arctg

d arcsen

d log

d log

d arctg

d log

d log

d arcsen

d log argsenh

d log argcosh



8.6.4. Integración por partes

Si y son funciones con derivada primera continua en un intervalo, por la regla dederivación para un producto sabemos que: . Deducimosque la función producto es una primitiva de la función , es decir:

d d d

Lo que suele escribirse en la forma:

d

d (8.18)

Por supuesto, esta igualdad podemos usarla para calcular integrales definidas:

d d (8.19)

Finalmente, si y están definidas en un intervalo abierto de extremos y existen los límites lım y lım , entonces la igualdad (8.19) nos dice que

las integrales

d y

d ambas convergen o ninguna converge y,cuando son convergentes se verifica que:

d

d (8.20)

Naturalmente, si queremos usar este método para calcular una integral

d lo primeroque hay que hacer es expresar de forma que el cálculo de por la condi-ción, , es decir la integral

d , sea inmediata. Tenemos entonces

d

d

d

d (8.21)

Veamos algunas situaciones en las que este método puede aplicarse con éxito.

Cuando la integral

d es inmediata. Por ejemplo, para calcular una integral d en la que la derivada de es más sencilla que la propia función, como es el

caso de log , arc sen , arctg . Entonces conviene tomar yen (8.21), con ello resulta que:

d d

8.37 Ejemplo.

arctg d

arctg d d

d darctg

d

arctg log

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Cuando la integral

d es del mismo tipo que la integral de partida, peromás sencilla, de manera que reiterando el proceso se llega a una integral inmediata. Este es elcaso cuando es de la forma e , sen , cos , donde es unafunción polinómica. En todos los casos se elige , y e , sen ,

cos .

8.38 Ejemplo.

e dd d

d e de

e d

La última integral es del mismo tipo que la primera pero con el grado del polinomio rebajado

en una unidad . El proceso se repite tantas veces como sea necesario.

Cuando la integral d es parecida a la de partida, de forma que al volver aaplicar el proceso la integral de partida se repite y es posible despejarla de la igualdad obtenida.

8.39 Ejemplo.

cos log d

cos log d sen log d

d d

cos log

sen log dsen log d cos log d

d d

cos log sen log

cos log d

deducimos que

cos log d cos log sen log .

8.6.4.1. Integración por recurrencia

La técnica de integración por partes permite en algunas ocasiones relacionar una integralde la forma

d en la que interviene un parámetro (con frecuencia un número

natural) con otra del mismo tipo en la que el parámetro ha disminuido en una o en dos unidades.Las expresiones así obtenidas se llaman fórmulas de reducción o de recurrencia y permiten elcálculo efectivo de la integral cuando se particularizan valores del parámetro. Los siguientes

ejemplos son ilustrativos de esta forma de proceder.

8.40 Ejemplo.

log d

log dlog

d

d dlog

log d



8.41 Ejemplo.

e d

d

d e de

de

8.42 Ejemplo (Fórmulas de Wallis y de Stirling).

sen d

sen d sen cos d

d sen d cos

cos sen

sen cos d

cos sen sen d

Y deducimos fácilmente que

sen d cos sen

sen d . En

particular:

sen d

sen d

Como e , se deducen fácilmente las igualdades:

(8.22)

Como la sucesión es decreciente, tenemos que , de donde:

Por el principio del as sucesiones encajadas, deducimos que lım . Puesto que:

Deducimos la llamada fórmula de Wallis:

lım (8.23)

Teniendo en cuenta que:



deducimos que:

lım (8.24)

Definamos:e

Es de comprobación inmediata que:

Supongamos que la sucesión converge a un número (lo que probaremos después).Entonces también será y de la igualdad anterior y la (8.24) se deduce que:

lım

Por tanto . Obtenemos así la fórmula de Stirling:

lıme

Que suele escribirse en la forma:

lıme

(8.25)

Se trata de un límite muy útil porque proporciona la equivalencia asintótica para el factorial:

ee

(8.26)

Nos queda probar que la sucesión converge a un número positivo. Probaremos que esdecreciente.

e

e e

Tomando logaritmos:

log log

Usaremos ahora el teorema de Taylor Young. El polinomio de Taylor de orden de la funciónlog en es . Por tanto.

log (8.27)

Te recuerdo que usamos la notación de Landau simplemente para indicar que:

lım lım log

http://-/?-

http://-/?-




386. Calcula las integrales:

log d e d arcsen d log d

e log d

e d

log d

cos

sen d

e cos log d

En los ejercicios de cálculo de primitivas es una buena práctica comprobar los resultados.Además es muy sencillo: basta derivar la primitiva que has obtenido.

387. Calcula las primitivas e cos d y e sen d . Supuesto que ,

calcula el valor de las integrales

e cos d y

e sen d .

388. Explica la aparente contradicción

sen cos

d cotg

cos

d

cotg tg d cotg tg

tg cotg d

tg

send

sen cos

d

389. Calcula las integrales siguientes.

log d

e d

sen d

sen d

389. Prueba las siguientes relaciones de recurrencia.

a)

cos d cos sen

b)

tg d tg

390. Prueba la igualdad:

d (8.29)

Sugerencias:

d

d . Ahora:

dd d

d d



391. Estudia la convergencia de la integral:

d

Prueba que para es . Calcula , e .

8.6.6. Integración por sustitución o cambio de variable

Sean una función con derivada primera continua en un intervalo y que tomavalores en un intervalo , y una función continua en . Sea una primitiva de en ,

y pongamos . Tenemos, por la regla de la cadena, que, es decir, la función es una primitiva en de la función .Si , son puntos de , deducimos que:

d

d

Esta igualdad se conoce con el nombre de “fórmula de integración por sustitución o cambio

de variable”. En ella se supone que queremos calcular, por ejemplo, la integral d ylo que hacemos es la sustitución , con lo que d d y se eligen y porla condición de que , . Naturalmente, esto tiene interés cuando la función

es más fácil de integrar que la función . Simbólicamente este proceso suelerepresentarse en la forma:

d

d d d (8.30)

Para el caso de integrales indefinidas este proceso de sustitución de representa de forma menosprecisa y se escribe simplemente

d

d d

d

En este contexto, es frecuente calcular

d , y escribir

d ,

igualdad que no tiene mucho sentido si no se especifica también la relación entre las variablesy , escribiendo “

d donde ”. Desde luego, el conocimiento dey de la relación es suficiente para calcular integrales definidas de , pero tambiénpodemos “deshacer el cambio” para obtener una primitiva de . Para eso la función debeser una biyección de sobre con derivada no nula. En tal caso, la funciónes una primitiva de en . En efecto:



No olvides que la fórmula del cambio de variables puede usarse en un sentido (de izquierda aderecha) o en otro (de derecha a izquierda) según convenga.

Puede ocurrir que al hacer un cambio de variable en una integral corriente obtengamosuna integral impropia. No hay que preocuparse porque para estudiar la convergencia de una

integral pueden hacerse cambios de variable biyectivos: ello no altera la eventual convergencia

de la integral ni su valor .

8.43 Ejemplo. Con frecuencia se hacen cambios de variable para quitar radicales.

d

tg dcos

tg tg

cos

send

sen

8.44 Ejemplo. Un cambio de variable en una integral impropia. Consideremos la integral:

d

Suponemos que . El cambio que hacemos consiste en llevar el intervalo alpor una biyección del tipo . Las condiciones , nos dan que

, . Con ello:

d

d d


392. Calcula las siguientes integrales utilizando el cambio de variable indicado.

sen

cosd arccos

sen

cosd arctg

d

elog


d

de e

d

log

d

e e

ed

394. Sea . Prueba que si es impar, es decir, , entonces

d .Y si es una función par, es decir, , entonces d d .



8.6.8. Integración de funciones racionales

Dadas dos funciones polinómicas y , queremos calcular

d . Si el grado

de es mayor o igual que el de , podemos dividir los dos polinomios obteniendo

donde y son polinomios y el grado de es menor que el grado de . Por tanto,supondremos siempre que el grado de es menor que el grado de . Supondremos también

que el coeficiente líder del polinomio es 1. La técnica para calcular la integral consiste en

descomponer la fracción en otras más sencillas llamadas “fracciones simples”. Estudia-

remos dos formas de hacerlo: el método de los coeficientes indeterminados y una variante delmismo conocida como Método de Hermite.

Paso 1. Descomposición del denominador en factores irreducibles

Descomponemos el denominador, , como producto de factores de grado uno y defactores de grado dos irreducibles:

(8.31)

8.45 Observaciones.Esto se dice muy pronto, pero puede ser muy difícil de hacer si no imposible. Afortunada-

mente, en los casos prácticos esta descomposición o se conoce o es muy fácil de realizar.

En la descomposición (8.31) cada es una raíz real de orden del polinomio , y losfactores cuadráticos del tipo corresponden a raíces complejas conjugadasde orden . Tales factores cuadráticos son irreducibles, es decir, su discriminante es negativoo, lo que es igual, para todo .

Paso 2. Descomposición en fracciones

8.6.8.1. Método de los coeficientes indeterminados

Escribimos el cociente como suma de fracciones de la siguiente forma:

Por cada raíz real de orden escribimos fracciones cuyos numeradores son cons-

tantes que hay que determinar, y los denominadores son de la forma dondetoma valores de 1 hasta .Por cada factor cuadrático irreducible escribimos fracciones cuyos

numeradores son de la forma siendo y constantes que hay que determinar,

y los denominadores son de la forma donde toma valores de 1 hasta .La descomposición es de la forma:

(8.32)

http://-/?-

http://-/?-



8.6.8.2. Método de Hermite

Escribimos el cociente de la siguiente forma:

d(8.33)

donde son coeficientes que tenemos que determinar y,en la fracción que aparece con una derivada, es un polinomio genérico de grado uno

menos que el denominador. En resumen, se trata de escribir como suma de fracciones

simples, una por cada factor de , más la derivada de un cociente que tiene por denominador

con sus factores disminuidos en una unidad y como numerador un polinomio genéricocon coeficientes indeterminados de grado uno menos que el denominador. Observa que en

ambos métodos hay que calcular tantos coeficientes como el grado de .

Paso 3. Determinación de los coeficientes

Tanto en un caso como en otro, se reducen todas las fracciones a común denominador(que será ), y se iguala a el numerador resultante. Esto nos producirá un sistemade ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los coeficientes (y en el método deHermite también los coeficientes de ), cuya resolución nos dará el valor de todos ellos.Naturalmente, en el método de Hermite hay que efectuar la derivada antes de reducir a comúndenominador.

8.46 Observaciones.

En ambos métodos tenemos que calcular el mismo número de coeficientes pero en el mé-todo de Hermite la obtención del sistema de ecuaciones es más trabajosa debido a la presenciade la derivada.

A pesar de lo dicho en el punto anterior, cuando hay raíces imaginarias múltiples, lo que dalugar a factores cuadráticos de orden elevado, puede ser interesante aplicar el método de Her-mite porque las fracciones simples que aparecen en dicho método son muy fáciles de integrar.

Paso 4. Integración de las fracciones simples

En el método de Hermite, una vez escrita la función racional de la forma 8.33, es

fácil calcular su integral:

d

d

d

Sólo nos queda calcular las integrales de las fracciones simples.

http://-/?-

http://-/?-



d log .

d .

Donde se supone que el trinomio no tiene raíces reales. En general, estaintegral es igual a un logaritmo más un arcotangente aunque, dependiendo de los valores de losparámetros, puede reducirse a uno de ellos. Si , lo primero que debemos hacer es lograrque en el numerador figure la derivada del denominador. Para ello, basta poner

. Con lo que, llamando , tenemos:

log

d

La integral que nos queda es un arcotangente. Para calcularla escribimos el trinomio

en la forma . Esto es muy fácil de hacer, pues la elección dees obligada ya que debe ser , de donde se sigue que . En otrostérminos, son las raíces complejas del trinomio . Tenemos que:

d

d

d

arctg

Por tanto:

I log arctg

En el método de los coeficientes indeterminados aparecen también, cuando hay raíces múlti-ples, otros dos tipos de fracciones elementales:

Fracciones del tipo donde y , correspondientes a raíces reales

múltiples, las cuales no ofrecen dificultad pues:

d

Fracciones del tipo donde y , correspondientes a raíces

imaginarias múltiples. La integración de de estas fracciones puede hacerse usando la fórmu-la de reducción 8.29. Previamente debe hacerse un pequeño ajuste. Escribamos el trinomio

en la forma .

d

d

d d

d

d

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Ahora ya podemos usar la fórmula de reducción 8.29 para calcular la integral

d .

8.47 Ejemplo. Se trata de calcular

d . Como hay raíces imaginarias múltiples

aplicaremos el método de Hermite.

d

Realizando la derivada y reduciendo a común denominador, obtenemos un sistema de ecuacio-nes cuya solución es

por lo tanto d log log

8.48 Ejemplo. Queremos calcular la integral impropia

d .

Pongamos , Observa que para todo . Además,

se verifica la equivalencia asintótica:

Como la integral d es convergente, se sigue, por el criterio límite de comparación,

que la integral

d también es convergente.

Para calcular la integral hallaremos una primitiva de aplicando el método de los coe-ficientes indeterminados.

Reduciendo a común denominador obtenemos:

Identificando coeficientes resulta el sistema de ecuaciones lineales:

http://-/?-

http://-/?-



Deducimos que:

d

d d dlog arctg arctg

Por tanto:

d log arctg

8.49 Observación. Cuando se calculan integrales impropias convergentes de funciones racio-nales, hay que escribir la primitiva obtenida de forma conveniente para que el límite puedacalcularse fácilmente. Observa cómo hemos escrito la primitiva en el ejemplo anterior: he-

mos agrupado los logaritmos de forma apropiada para calcular el límite. No da igual escribirlog , que escribir log log log . En el primer caso, el límite para

resulta inmediato, mientras que, en el segundo caso, puedes equivocarte y creer que dicho límiteno existe. Este tipo de ajustes hay que hacerlos con frecuencia.


395. Calcular las siguientes integrales

d

d

dd

d

dd

dd

d

d d

8.6.10. Integración por racionalización

Acabamos de ver que la primitiva de una función racional siempre puede expresarse me-diante funciones elementales. Nos vamos a ocupar ahora de algunos tipos de funciones noracionales cuyas integrales se pueden transformar, por medio de un cambio de variable, en in-tegrales de funciones racionales. Se dice entonces que la integral de partida se ha racionalizado

y esta técnica se conoce como “integración por racionalización”. Conviene advertir que loscambios de variable que siguen son los que la práctica ha confirmado como más útiles en ge-neral, pero que en muchas ocasiones la forma concreta de la función que queremos integrarsugiere un cambio de variable específico que puede ser más eficaz.

En lo que sigue, representaremos por una función racional de dos variables, es



decir, un cociente de funciones polinómicas de dos variables. Te recuerdo que una función

polinómica de dos variables es una función de la forma .

8.6.10.1. Integración de funciones del tipo sen cos

Las integrales del tipo

sen cos d donde una función racional dedos variables, se racionalizan con el cambio de variable tg . Con lo que:

sen cos dd

(8.34)

Con ello resulta:

sen cos d tg

d

8.50 Ejemplo.

d

sen tg

cos d

sen cos sentg

d

logtg

log tg

Casos particulares

Cuando sen cos sen cos se dice que “ es par en seno y coseno”.En este caso es preferible el cambio tg . Con lo que

sen cos dd

En el caso particular de tratarse de una integral del tipo:

sen cos d

con y números enteros pares, es preferible simplificar la integral usando las identidades

coscos

sencos

Cuando sen cos sen cos se dice que “ es impar en seno” y elcambio cos suele ser eficaz.

Cuando sen cos sen cos se dice que “ es impar en coseno” y elcambio sen suele ser eficaz.



8.51 Ejemplo. Calcular I

sen cos d . Tenemos:

I

cos cos d

cos d

cos d

cosd

cosd

sen cos cos d

sen cos d

cosd

sen sen sen sen

8.52 Ejemplo.

cos

send

sen cos d

sensen

d cos d

d

sensen

8.53 Ejemplo. Sea I sen cos

sen cosd . Se trata de una función par en seno y en coseno.

Haciendo tg , obtenemos:

I

d

Aplicando el método de Hermite escribimos:

d

Haciendo la derivada y reduciendo a común denominador obtenemos:

Identificando coeficientes resulta el sistema de ecuaciones lineales:



Deducimos que:

I log log log sen cos cos sen cos

Cuando la función sen cos sea de la forma:sen sen sen cos cos cos

puede resolverse la integral usando las fórmulas:

sen cossen sen

sen sencos cos

cos coscos sen

8.54 Ejemplo.

sen cos d

sen d

sen d cos cos

Integrales de la forma

tg d o

cotg d . Se reducen a una con grado inferior

separando tg o cotg y sustituyéndola por sec o cosec .8.55 Ejemplo.

tg d

tg tg d

tg sec d

tg sec d

tg d

tg tg d

tg tg tg d

tg tg sec d

tg

tg sec d tg dtg

tg log cos

8.6.10.2. Integrales del tipo

d

Donde con y son números racionales.

Se racionalizan con el cambio donde es el mínimo común denominador delas fracciones . Pues entonces tenemos que:

(8.35)

y la integral se transforma en

d

en la que el integrando es una función racional de .



8.56 Ejemplo. Sea I

d . El cambio de variable racionaliza

la integral pues se tiene que , con lo que:

I

d

d log arctg

donde .

8.6.10.3. Integrales binomias

Se llaman así las de la forma

d

donde , , son números racionales y , números reales todos ellos distintos de cero.Haciendo la sustitución

d

la integral se transforma en

d

que es de la forma

d donde . Esta integral es del tipo de las

consideradas en el apartado anterior cuando el número:

es entero, pues es de la forma

d

es entero, pues es de la forma

d

es entero, pues es de la forma d

El matemático P.L. Chebyshev probó que si no se da ninguna de estas circunstancias la integralno puede expresarse por medio de funciones elementales.

8.57 Ejemplo. Sea I

d . En este caso es , , y .

Deducimos que la primitiva buscada puede expresarse por funciones elementales. Haciendo

obtenemos I d , la cual se racionaliza haciendo ( ),con lo que I

d que es inmediata.

8.6.10.4. Integrales del tipo

e d

Se racionalizan con el cambio log . Un caso particular de este es el de las integrales

de la forma cosh senh d que también admiten un tratamiento parecido al de lastrigonométricas.



8.58 Ejemplo. Sea I

senh tghd . Desarrolla los cálculos para comprobar que

I log

d log tghcosh

Por otra parte, como la funciónsenh tgh

es impar en senh , también podemos proceder

como sigue

I cosh

dcosh

log cosh log cosh

Por supuesto, puedes comprobar que las dos primitivas encontradas son de hecho iguales.

8.6.10.5. Integración de funciones del tipo

Una integral de la forma

d puede racionalizarse por medio de lassustituciones siguientes.

Si el trinomio tiene dos raíces reales y distintas, entonces se hace:

Donde, por comodidad, hemos supuesto que . Deducimos que la sustitución:

(8.36)

transforma la integral en

d donde el integrando es una funciónracional de .

Si el trinomio no tiene raíces reales, entonces debe ser para

todo , en particular . La sustitución:

(8.37)

transforma la integral en

d donde el integrando es una funciónracional de .

Las sustituciones anteriores se conocen como sustituciones de Euler .

8.59 Ejemplo. Calcula d . Observa que, si , la integral

que nos piden es

d del tipo que acabamos de considerar.

Como , tenemos que

d

d

donde .



8.60 Ejemplo.

d .

Haciendo la sustitución , es decir tenemos:

d d d

log log

Donde .

También es posible transformar una integral del tipo

d en otra

de la forma

sen cos d donde es una función racional de dos variables las cuales

ya hemos estudiado. Para ello se sigue el siguiente procedimiento.Con un primer cambio de variable, de la forma que después explicaremos, se

transforma la integral

d en otra de alguna de las formas:

a)

d b)

d c)

d

donde es una función racional de dos variables. Los cambios de variable respectivos

a) sec b) sen c) tg

convierten las integrales anteriores en otras de la forma

sen cos d donde es unafunción racional de dos variables.

Alternativamente, en el caso a) puede hacerse también cosh , y en el caso c) senh ,

lo que transforma dichas integrales en otras del tipo

e d donde es una funciónracional de una variable, que ya han sido estudiadas.

Nos queda por explicar cómo se hace el primer cambio de variable.Si el trinomio tiene dos raíces reales , lo que se hace es

transformar dicho trinomio en otro que tenga como raíces y . Para ello llevamos a ya mediante una función de la forma . Las condiciones , ,

determinan que , . Con el cambio

tenemos que . Ahora, si , deducimos que:

d

d

que es del tipo a) anterior. Si , entonces:

d d



Finalmente, las integrales de la forma

d

se reducen a las del tipo anterior con el cambio .



cos

d cos sen

d coscos

d

d

cos

sen cos

d d

sen cos cos

tgd

sen cos

d

sen cos d

397. Calcula, suponiendo que y son números enteros, las integrales: sen cos d

sen sen d

cos cos d

398. Para , y , definamos cos sen . Prueba que

para se verifica que:

cos d y

sen d

399. Calcula la primitivas:

d d d d

d

d

d

d

senh cosh

d

d

d

d





Ejercicio resuelto 201 Calcula las integrales:

d

d

d

d d d

log d

d

d

cos log d

d e

log

d d

cos

d

En c) se supone que , en e) que , en f) que , en g) que y ,en l) que .

Solución. a) Esta primitiva es inmediata como puedes comprobar haciendo la sustitución. Pero debes reconocerla sin necesidad de efectuar dicha sustitución.

d arcsen

b) Esta primitiva es inmediata como puedes comprobar haciendo la sustitución .

Pero debes reconocerla sin necesidad de efectuar dicha sustitución.

d

d arctg

c) Se hace con el cambio de variable sen . Tenemos que:

d sen d cos d

sen sen

sen cos d

cos cos d

cos cos d cos

cos d cos

d



8.61 Observación. Al realizar un cambio de variable es importante elegir de forma apro-piada el nuevo intervalo de integración. Con frecuencia, hay varias posibilidades. Porejemplo, en la integral anterior podríamos haber procedido como sigue:

d

sen d cos d

sen sen

sen cos d

cos cos d

cos cos d cos

cos d

cosd

Si en los cálculos anteriores te olvidas de que , y pones cos cos elresultado que hubiéramos obtenido es el siguiente:

d

cos d

cosd

Evidente disparate, porque la integral de una función positiva d no puedeser un número negativo.

d) Pongamos . Tenemos que:

d d d arctg

e) En esta integral la variable de integración es , por lo que tratamos a como unparámetro (una constante que puede tomar distintos valores). Tenemos:

d d

f) En esta integral la variable de integración es , por lo que tratamos a como unparámetro. Es la integral de una función racional en . La descomposición en fraccionessimples corresponde a dos raíces reales simples:

Por tanto debe verificarse la identidad:



Haciendo , obtenemos .

Igualando términos independientes, obtenemos .

Tenemos para :

d d d

log log log

Por tanto:

d

lım d log

g) Pongamos

log d . Si entonces:

log d log

Supondremos que . Para calcular esta primitiva lo que haremos será obtener unafórmula de recurrencia que permita calcular dicha primitiva para valores concretos dey de . Tenemos que:

log dlog

d

d d

log

log d

log

Esta relación de recurrencia permite calcular en pasos, pues es conoci-do.

h) Para calcular la integral

d usaremos la regla de Barrow. Para

ello, debemos obtener una primitiva de la función . Se trata de unafunción racional. Una raíz del denominador es . Dividiendo el denominador por

tenemos que . Como el trinomiono tiene raíces reales, la descomposición en fracciones simples es de la forma:

Haciendo obtenemos que , luego .

Igualando coeficientes en obtenemos que , luego .



Igualando términos independientes obtenemos , luego .

d

d

d

log d

log

d

d

log log log

d

log log arctg arctg

log log arctg

Deducimos que:

d lım d log

log

Observa la forma de escribir la primitiva, introduciendo una raíz cuadrada en el loga-ritmo con la finalidad de poder calcular el límite fácilmente. Sabemos, de entrada, quedicho límite tiene que existir y ser finito porque se trata de una integral impropia con-

vergente. En efecto, poniendo , se tiene que es continua en

. Para todo se tiene que y se verifica la equivalencia asintóticapara . Como la integral

d es convergente, también lo es

d , es decir, la integral

d es convergente.

i) Pongamos d

. El trinomio tiene raíces reales que

son las soluciones de , las cuales son y , por tanto:

Deducimos que . Podemos optar por racionalizarla integral con la sustitución de Euler 8.36 en la que , , . Con ello,dicha sustitución viene dada por:

http://-/?-

http://-/?-



Tenemos que:

Haciendo los cálculos, se obtiene:

d d d

d

arctg arctg

Otra forma de calcular esta integral, quizás más sencilla, se basa en una idea vista en el

ejemplo 8.44. Hagamos un cambio de variable de la forma por la condiciónde que dicho cambio lleve el intervalo al . Deberá ser ,

. Deducimos que el cambio buscado es . Tenemos que:

d d d

d arcsen arcsen

No te quepa duda de que se trata en ambos casos del mismo resultado expresado dediferente forma.

8.62 Observación. Un error frecuente en este tipo de ejercicios consiste en cambiar eltrinomio por su opuesto. Las ecuaciones y , son

la misma ecuación, pero las funciones y no son lamisma función.

j) Esta primitiva es de las que se calculan integrando por partes, procurando que la inte-gral se repita. Tenemos que:

cos log d

cos logd d

cos log

cos log sen log d

cos log

sen log d sen logd d

cos log sen log

cos log d

cos log sen log

cos log d

Donde hemos usado la igualdad cos cos . Deducimos que:

cos log d cos log sen log

http://-/?-

http://-/?-



k) Pongamos d

. El trinomio no tiene raíces reales.

Tenemos que:

Por tanto:

d argsenh argsenh

l) Pongamos e

d

log . Como , la función log

log , tiene como primitiva log . La función es positiva

y continua en e . Tenemos que

e

d

log e lım e

m) Pongamos d

. Esta integral se racionaliza con el cambio 8.35, esto es,

haciendo , ( ). Tenemos:

dd d

d d

d

d

log log

n) Pongamos d

cos. Esta integral se racionaliza con el cambio tg

(8.34). Para aplicar la regla de Barrow, calcularemos primero una primitiva de

cos.

d

cos

tgd d

cos

darctg arctg

tg

Llamemos arctgtg

a la primitiva calculada. Tenemos que:

d

cos

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



Resultado claramente erróneo porque la integral de una función continua y positiva debeser un número positivo. ¿Dónde está el error? Pues en que la primitiva que hemos cal-culado no está definida en todo el intervalo pues el valor de para noestá, en principio, definido. De hecho, se tiene que:

lım lım

Por tanto, la función tiene una discontinuidad de salto en , lo que implica que no esderivable en . Es decir, la función no es una primitiva de en . Pero

sí es una primitiva de en y en (definiendo en cada caso encomo el correspondiente límite lateral para que resulte continua en cada uno de dichosintervalos). Luego:

dcos

dcos

lım lım

8.63 Observaciones. Al hacer un cambio de variable para calcular una integral defini-da hay que tener presente la correspondencia entre intervalos. La función que realiza elcambio de variable debe ser continua en su intervalo. En el ejemplo anterior, el cambiorealizado es tg , pero la función tg no está definida en todo el inter-valo . Cuando recorre , recorre y la tangente no está definidaen .

También se evitan errores siguiendo el procedimiento usual para realizar cambios devariable en integrales definidas. En el ejemplo anterior debemos calcular los valores deque corresponden a y a lo que nos daría los nuevos límites de integración

y . Así obtendríamos que para es tg , y para es tg .

Ya vemos que aquí hay algo que no va bien.Estos errores están propiciados porque la notación que usamos para las integrales indefi-nidas (las primitivas) no tiene en cuenta el intervalo en que trabajamos, y ese es un datomuy importante que no se debe olvidar cuando calculamos integrales definidas.

Para calcular integrales de funciones trigonométricas puede ser útil tener en cuenta quedichas funciones son periódicas. Supongamos que es una función continua yperiódica con período , es decir, para todo . Entonces se verifica

que la integral de en cualquier intervalo de longitud es la misma. Es decir, para todoes

d

d . La comprobación de esta igualdad es inmediata

porque la función

d es derivable con derivada, luego es una función constante.

Aplicando esto en el ejemplo anterior, y teniendo en cuenta que el coseno tiene períodoy es una función par, tenemos que:

d

cos d

cos d

cos d

cos d

cos



Esta última integral sí puede calcularse directamente con el cambio tg . Aunquedicho cambio convierte la integral en otra integral impropia porque el intervalose transforma biyectivamente, por la función tg , en el intervalo .Tenemos que:

d

costg

darctg

p) Para calcular la integral

d usaremos la regla de Barrow. Para ello,

debemos obtener una primitiva de la función . Se trata de una función

racional. Como el polinomio no tiene raíces reales, la descomposición enfracciones simples es de la forma:

Multiplicando e identificando numeradores:

Haciendo obtenemos . Igualando coeficientes de se tiene , porlo que . Igualando coeficientes de se tiene , luego .

d

d

d

log d d

log log log

d

loglog

d

log log arctg arctg

loglog arctg

Como:

lım log lım arctg



Concluimos que:

d

log log

Ejercicio resuelto 202 Calcula las primitivas

e cos d y

e sen d . Su-

puesto que , calcula las integrales

e cos d y

e sen d .

Solución. Pongamos

e cos d y

e sen d . Integrandopor partes se obtiene:

cosd e d

e cos

send e d

e sen

e cos e sen

e

cos sene

cos sen

Como e cos e , e sen e y, para , la integral impropia e d es convergente, se sigue, por el criterio de comparación que las integrales e cos d y

e sen d son absolutamente convergentes. Sus valo-

res viene dados por:

e cos d lım

e sen d lım

Otra forma de calcular las primitivas y es usando la exponencial compleja comosigue:

e cos sen d

e d

e e cos sen

ecos sen cos sen

E igualando partes real e imaginaria volvemos a obtener el mismo resultado anterior.



Ejercicio resuelto 203 Estudia la convergencia de la integral

d

Prueba que para es . Calcula , e .

Solución. Pongamos . La función es continua y positiva en

. Además, como es un cociente de dos polinomios de grados ycon coeficiente líder iguales a , se verifica la equivalencia asintótica para

. Como la integral impropia

d es convergente, deducimos por elcriterio límite de comparación, que es convergente para todo .

Para obtener la fórmula de recurrencia del enunciado debemos hacer una integración porpartes. La elección de las funciones y es obligada:

d

dd

Tenemos que:

d

Con ello:

Ejercicio resuelto 204 Sea continua en un intervalo y sea . Prueba que para todose verifica la igualdad:

d

d d

Solución. Pongamos:

d

d

d

d d



Como es continua, las funciones y son derivables en y sus derivadas estándadas por:

d

d

Como, además , concluimos que y coinciden en todo punto de.

Ejercicio resuelto 205 Sea o una función de clase , estrictamente crecientey tal que . Sea la función inversa de y sea .

a) Prueba que:

d d d

b) Sea o el intervalo imagen de . Prueba que la función dadapara todo por:

d

alcanza un máximo absoluto en y deduce que para todo se verifica:

d

d

¿Cuándo se da la igualdad?

Solución. a) Haciendo primero un cambio de variable y después integrando por partes:

d

d d d

d

d dd d

d

d

b) Tenemos que . La función es estrictamente creciente en o .

Sea . Entonces y . Deducimos que paray para . Por tanto es estrictamente creciente en y estrictamentedecreciente en , luego para todo , y alcanza enun máximo absoluto en . Deducimos que para todo es , es decir:

d

d

d

d

d

La igualdad se da si, y sólo si, .



Ejercicio resuelto 206 Estudia para qué valores de es convergente la integral

arctg d

Calcula su valor para .

Solución. Pongamos arctg . La función es continua y positiva en .Como arc tg para , se sigue que para . Como laintegral

d converge si, y sólo si, , deducimos, por el criterio límite de

comparación, que la integral

d converge si, y sólo si, , o sea, .Para calcular integramos por partes para eliminar la función arc tg y despuéshacemos un cambio de variable.

arctg darctg d d

d

arctg d

d d

Para calcular la integral

d lo primero es calcular las raíces del denominadorque, evidentemente, son todas complejas e iguales a las raíces complejas cuartas de launidad. Como e , dichas raíces son los números:

e e e e

Sabemos que dichas raíces vienen en pares de complejos conjugados. Luego deben ser

y , donde:

e e

Luego:

Si no sabes calcular las raíces complejas cuartas de (lo que sería bastante lamentable),puedes obtener la anterior descomposición utilizando el hecho de que corresponde a dosfactores cuadráticos irreducibles y, por tanto, debe ser de la forma (los coeficientes dedeben ser, claramente, iguales a ):

Desarrollando esta igualdad e identificando coeficientes se vuelve a obtener la descom-posición anterior.



La descomposición en fracciones simples es de la forma:

Identificando coeficientes resulta el sistema de ecuaciones:

que se resuelve con mucha facilidad resultando , . Ahora sola-

mente queda calcular las correspondientes primitivas. Esto lo dejo para que lo completestú. Es algo que ya debes saber hacer y que se hizo en general al estudiar la integración

de funciones racionales. El resultado final es:

arctg dlog

8.7. Aplicaciones de la integral

Con una integral puedes calcular magnitudes tan diversas como áreas, volúmenes, longitu-des de curvas, el trabajo realizado por una fuerza, la masa de un sólido, momentos de inercia,el campo eléctrico, el flujo de un fluido a través de una superficie y muchas más. Es nota-ble, sin embargo, que la forma de proceder sea casi siempre la misma, y consiste en expresarel valor exacto de la magnitud que se quiere calcular como un límite de sumas de Riemann,para deducir, a partir de ellas, la integral cuyo cálculo proporciona la solución del problema.

Podrás comprobar en lo que sigue que esta técnica es bastante sencilla e intuitiva. Con un po-co de práctica tú mismo podrás aplicarla con éxito en situaciones distintas de las que aquí seconsideran.

8.7.1. Cálculo de áreas planas

Te recuerdo que si es una función continua, representamos porla región del plano comprendida entre la curva , el eje de abscisas y las rectas ,

. Como sabes, el área de dicha región viene dada por

d

Es interesante interpretar la integral que proporciona el área de la siguiente forma. Observaque es la longitud del segmento intersección de con la recta vertical que pa-

sa por , es decir, es la longitud de la sección vertical de por el punto, y el área de la región es igual a la integral de las longitudes de sus secciones.



Intuitivamente: integrando longitudes obtenemos áreas. Como el área es invariante por rotacio-nes, este resultado es también válido si consideramos secciones por rectas paralelas a una rectacualquiera dada. Deducimos así el siguiente resultado.

8.64 Teorema (Principio de Cavalieri). El área de una región plana es igual a la integral de

las longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta dada.

Veamos cómo se aplica este principio en algunos casos concretos.

8.7.1.1. Regiones de tipo I

Supongamos que , son funciones continuas y llamemos a la región del plano com-prendida entre las curvas e para . Se dice que es una región de tipo

I. Es evidente que las longitudes de las secciones verticales de son iguales apor lo que su área viene dada por

d (8.38)

Observa que esta integral expresa el área de como límite de las sumas de Riemann

lo que tiene una sencilla interpretación que puedes ver en la siguiente figura.

Figura 8.7. Aproximación al área de una región de tipo I

Cuando la función no tiene signo constante en el intervalo , para calcular laintegral (8.38) se descompone dicho intervalo en intervalos en los que la función essiempre positiva o siempre negativa, lo que permite quitar el valor absoluto en el integrando.

A veces interesa expresar una región de tipo I como unión de dos o más regiones de tipo

I disjuntas y más sencillas, entonces su área es la suma de las áreas de cada una de dichasregiones.

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8.65 Ejemplo. Vamos a calcular el área de la región comprendida entre la parábolay la recta .

Calculamos los puntos de corte de la recta y la parábola resolviendo la ecuación ,cuyas soluciones son , . Puedes ver representada la región en amarillo en lasiguiente figura.

Figura 8.8. Ejemplo de región de tipo I

Podemos considerar como una región de tipo I. La función cuya gráfica limita a porarriba es . La función cuya gráfica limita a por abajo viene dada por

En consecuencia

d

d

d

Observa que podemos ver como unión de dos regiones de tipo I como se indica en la siguientefigura.

Y lo que hemos hecho antes ha sido calcular el área de cada una de estas dos regiones.

8.7.1.2. Regiones de tipo II

Supongamos que , son funciones continuas y llamemos a la región del plano com-prendida entre las curvas y para . Se dice que es una región



de tipo II. Es evidente que las longitudes de las secciones horizontales de son iguales apor lo que su área viene dada por

d (8.39)

lo que tiene una sencilla interpretación que puedes ver en la figura 8.9.

Figura 8.9. Aproximación al área de una región de tipo II

Es importante advertir que la distinción entre regiones de tipo I y de tipo II es tan sólouna cuestión de conveniencia. No son conjuntos de distinta naturaleza sino formas distintasde describir un conjunto. En la práctica te vas a encontrar con regiones que puedes considerartanto de tipo I como de tipo II y deberás elegir la descripción que más facilite el cálculo de lacorrespondiente integral.

De todas formas, no debes olvidar que basta cambiar la variable por la variable paraconvertir una región de tipo II en otra de tipo I. Geométricamente, lo que hacemos es una

simetría respecto a la recta , lo que deja invariante el área. Por tanto, si en un ejercicioresulta conveniente considerar la región cuya área quieres calcular como una región de tipoII y te encuentras más cómodo trabajando con regiones de tipo I, basta con que cambies losnombres de las variables.

Salvo por factores de escala, las figuras (8.7) y (8.9) son simétricas respecto de la recta.

8.66 Ejemplo. La región del ejemplo (8.8) puedes considerarla como una región de tipo II.

La curva que limita esta región por la derecha es la gráfica de la recta y la curvaque limita esta región por la izquierda es la gráfica de la parábola . La variable estácomprendida entre y .

También puedes transformar directamente en una región de tipo I más sencilla que laanteriormente considerada en la figura 8.8 mediante una simetría respecto de la recta , tal

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Figura 8.10. Ejemplo de región de tipo II

Tenemos que:

d

como se muestra en la figura 8.11. Aunque la región así obtenida, , no es la misma tiene,

sin embargo, igual área que .

Figura 8.11. Simétrica de la figura 8.8

d


400. Calcula el área de las dos partes en que la parábola divide al círculo .

401. Calcula para qué valor de la curva cos divide en dos partes de igual área laregión limitada por la curva sen y el eje de abscisas cuando .

402. Calcula el área encerrada por el bucle de la curva .

403. a) Calcula

sen e d .

b) Calcula el área limitada por la gráfica de y el eje .

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404. Calcula el área de las regiones del plano limitadas por las siguientes curvas.

1. y el eje .

2. .

3. .

4. .5. .

6. sec tg .

7. , , .

8. .

9. log e.

10. .

11. e e .

405. Calcula por la condición de que el sec-tor parabólico de la figura de la derechatenga área mínima. El punto es la intersec-ción de la parábola con su normal en elpunto .

406. Con un disco de radio queremos hacer,recortando un disco concéntrico de radio

, una arandela como la de la figura de laderecha. Se pide calcular el radio por lacondición de que el área de la parte de laarandela que queda a la izquierda de la rec-ta (sombreada en gris) sea máxima.Sugerencia. Tomar como variable.

407. Una corona circular de radio interior y radio exterior se corta con la parábola deecuación . Calcula el área de cada una de las dos regiones resultantes.

408. Se considera la hipérbola de ecuacióny un punto de la misma . Se pide

calcular el área, , de la región sombreada en grisen la figura, y deducir que:

cosh senh





Ejercicio resuelto 207 Calcula el área de las dos partes en que la parábola divideal círculo .

Solución.

Hay que calcular los puntos de intersecciónde la parábola y de la circunferencia. Paraello calculamos la raíz positiva de la ecuación

que es . Lospuntos de intersección son, por tanto,y . Teniendo en cuenta la simetría,

para calcular el área de la parte azul del círculoes suficiente calcular el área de la región com-prendida entre la circunferencia y la parábolacuando , es decir, el área de la regióncoloreada en rojo. Se trata de una región de tipoI cuya área viene dada por:

d d d d

Calculemos la integral que falta.

d sen

arcsen cos d

arc sen cosd

arcsen sen arcsen

Por tanto, el área, , de la región en rojo es igual a:

arcsen sen arcsen

La solución obtenida puede simplificarse más usando que sen sen cos pero,tal como está, puede considerarse correcta.

El área de la parte del círculo interior a la parábola (coloreada en azul) es igual ,y el área de la parte del círculo exterior a la parábola (zonas amarilla y roja) es igual a

.

Otras formas de hacer este ejercicio son las siguientes.



Teniendo en cuenta la simetría, el área de la par-te azul del círculo es igual a:

d

que se calcula como antes.

También puedes hacer este ejercicio cambiando los ejes (convirtiendo una región de tipoII en otra de tipo I) como en la siguiente figura obtenida simetrizando la anterior respecto

de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

El área de la parte azul del disco es igual a:

d

que se calcula igual que antes.

Ejercicio resuelto 208

Calcula por la condición de que el sec-tor parabólico de la figura de la derechatenga área mínima. El punto es la intersec-ción de la parábola con su normal en elpunto .

Solución.

Sabemos que la normal a una curva de ecuación en un punto es la rec-

ta de ecuación . En nuestro caso la curva es la parábola

cuya normal en el punto es la recta . La intersección de dicharecta con la parábola se obtiene resolviendo la ecuación

, esto es, , cuyas soluciones son:



Pongamos . Tenemos que . El área del sector parabólico de

la figura viene dada por

d

Para calcular el mínimo de esta función se procede de la forma usual. Calculemos losceros de la derivada.

Como , la única solución es . Teniendo en cuenta que para todo :

y que lım , lım , deducimos que para es

, y para es . De aquí se sigue que decrece en y

crece en , por lo que alcanza un mínimo absoluto en .


Con un disco de radio queremos hacer, re-cortando un disco concéntrico de radio , unaarandela como la de la figura de la derecha. Sepide calcular el radio por la condición de queel área de la parte de la arandela que queda a laizquierda de la recta (sombreada en gris)sea máxima.Sugerencia. Tomar como variable.

Solución.

Todo lo que hay que hacer es calcular el área de la parte sombreada de la arandela.

Podemos hacer esto de forma completamente elemental introduciendo como variable lamedida en radianes, , del ángulo indicado en la figura.

Con ello tenemos que cos . El área buscada es igual al área del disco grande( ) menos el área del disco pequeño ( cos ), menos el área del sector circular

( ) más el área del triángulo ( cos sen ). Por tanto, la función amaximizar es:

cos cos sen cos cos sen

sen cos sen



definida para . Calculamos la derivada:

sen cos sen

Se sigue que el único cero de la derivada en el intervalo donde está definida es esarctg . Como sen , el signo de la derivada es igual al signo de cos

sen . Deducimos que para y para .En consecuencia, es creciente en y decreciente en . Por tanto el valormáximo absoluto de en se alcanza en . El valor de correspondiente es:

cos

Alternativamente, podemos calcular directamente, en función de , el área del segmentocircular determinado por la cuerda , que viene dado por:

d

En consecuencia, el área de la parte sombreada de la arandela viene dada por:

d

donde . Por el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada de viene dadapor

Cuyo único cero es . Se justifica fácilmente que dicho valor corresponde

al máximo absoluto de en .


Calcula para qué valor de la curva cosdivide en dos partes de igual área la región limi-tada por la curva sen y el eje de abscisascuando .Solución.

El área limitada por la función seno entrey , es igual

sen d . Por tan-to, debemos calcular por la condición de queel área de la región , en amarillo en la figurade la derecha, sea igual a . Llamando alúnico punto de corte de las gráficas sen ,

cos en el intervalo , el cual vie-ne dado por la igualdad cos sen , dicha

área es igual a:

sen

cos



sen d

cos d cos sen

Deberá verificarse que cos sen . Teniendo en cuenta que:

cos sen tg cos cos

donde hemos tenido en cuenta que como , cos . Sustituyendo ahoraen la igualdad anterior y teniendo en cuenta que debe ser , obtenemos:

cos sen cos sen cos

Ejercicio resuelto 211 Calcula el área encerrada por el bucle de la curva .

Solución. En problemas de cálculo de areas debemos hacer, siempre que no sea compli-cado, una representación gráfica para visualizar la región del plano cuya área queremoscalcular, de esta forma se evitan posibles errores. La curva de ecuación

es simétrica respecto al eje de abscisas, pues para cada valor de tenemos dos valo-res opuestos de , que vienen dados por , . Observaque esta curva está definida para . Los puntos de corte de la curva con el ejeson y . El bucle del enunciado debe estar comprendido entre ellos dos.Para la parte de arriba de la curva

es . Tenemos que .

Deducimos que es creciente para

y decreciente para . Además, la de-rivada segunda es negativa, por lo que se tratade una curva cóncava (la parte de arriba del bu-cle). Con estos datos ya podemos representar lacurva.

Teniendo en cuenta la simetría, el área pedida viene dada por:

d

Ejercicio resuelto 212 Calcula el área de una elipse de semiejes y .

Solución. Por medio de un giro y de una traslación (que son movimientos del plano queconservan el área), la ecuación de la elipse puede escribirse de la forma:



El área pedida viene dada por la integral:

d

Donde, para evaluar la integral hemos usado la tabla de primitivas inmediatas. Para el

caso en que , es decir, la elipse es un círculo de radio , obtenemos la conocidafórmula para el área de un círculo.

8.7.4. Curvas en el plano

Seguramente te imaginas una curva en el plano como una línea continua que puede dibujar-se de un trazo, sin levantar el lápiz del papel. Esa idea es esencialmente correcta. Las circunfe-rencias, las elipses, las cardioides son todas ellas curvas. Faltaría más. Ninguna de ellas puedesrepresentarla por una igualdad de la forma . Las curvas que pueden representarse poruna ecuación cartesiana del tipo son curvas muy particulares pues son gráficas de fun-ciones. No olvides que cuando dices “sea la curva dada por la ecuación ” te estás refi-riendo a la curva cuya imagen es el conjunto de puntos del planoes decir, a la gráfica de .

Si lo piensas un momento, verás que muy pocas curvas son gráficas. Para que una curvasea una gráfica es necesario que cualquier recta vertical la corte a lo más en un solo punto;ninguna curva cerrada cumple esta condición. Precisamente entre las curvas cerradas se en-

cuentran algunas de las curvas más interesantes, a ellas pertenecen los distintos tipos de óvalosy lemniscatas, las astroides, las cardioides y muchas más.

Vamos a ver ahora una forma de representar curvas planas mucho más general que lasecuaciones cartesianas del tipo que sólo sirven para representar curvas que tambiénson gráficas. Para empezar, consideremos una curva que viene dada por una ecuación cartesianade la forma donde . Nuestra curva es, por tanto, la imagen de la aplicación

definida por para todo . Intuitivamente, cuando

recorre el intervalo , el punto recorre la curva. Es fácil generalizar esta situaciónsin perder la idea intuitiva de curva. Lo esencial es que podamos describir las coordenadas delos puntos de la curva como funciones continuas de un parámetro. En la situación que estamosconsiderando se tiene que , es decir, la segunda coordenada es función continua de laprimera. La generalización consiste en que ambas coordenadas sean funciones continuas de unparámetro. Llegamos así a la definición siguiente.

8.67 Definición. Una curva en el plano es una aplicación continua .

Si , decimos que , son las ecuaciones paramétricasde la curva. El punto es el origen y el extremo de la curva. Si se diceque la curva es cerrada. Se dice que una curva es simple si no se corta a sí misma, es decir,si para con se verifica que . Una curva cerrada se llama simple sila función es inyectiva en .

8.68 Ejemplos.

La curva de ecuaciones paramétricas cos , sen donde

es una elipse cuyo centro es el punto y semiejes de longitudes y . Cuando setrata de una circunferencia.



La curva de ecuaciones paramétricas sen , cos paraes la cicloide. Es la curva que describe un punto de una circunferencia de radio que avanzagirando sin deslizar.

La curva de ecuaciones paramétricas cos cos , cos senpara se llama cardioide. Es la curva que describe un punto fijo del borde de uncírculo de radio que rueda sin deslizar sobre el exterior de otro círculo del mismo radio.

Figura 8.12. Cicloide

Figura 8.13. Cardioide

Figura 8.14. Astroide Figura 8.15. Espiral de Arquímedes

La curva de ecuaciones paramétricas cos , sen donde y, se llama hipocicloide de cuatro picos o astroide. Es la curva que describe un

punto fijo de una circunferencia de radio que rueda sin deslizar sobre el interior de otracircunferencia de radio .

La curva de ecuaciones paramétricas cos , sen donde , se

llama espiral de Arquímedes. Es la curva que describe un punto que se mueve alejándose delorigen con velocidad uniforme sobre una semirrecta que gira alrededor del origen con velocidadangular constante.

Otro ejemplo final, para que aprecies las curvas tan complicadas que pueden representar-se fácilmente por ecuaciones paramétricas. Se trata de una curva de las llamadas curvas de

Lissajoux. Sus ecuaciones son sen , cos , .



Figura 8.16. Una curva de Lissajoux

8.7.4.1. Área encerrada por una curva

Sea la región rodeada por una curva cerrada simple , , ysupongamos que las funciones tienen primera derivada continua. Se supone tambiénque si, a medida que el parámetro avanza desde hasta , andamos sobre la curva siguiendoal punto entonces la región queda a nuestra izquierda (ver figura 8.17).En estas condiciones se verifica que el área de viene dada por:

d

d

d (8.40)

Figura 8.17. Una curva cerrada

8.7.4.2. Áreas planas en coordenadas polares

Un tipo particular de ecuaciones paramétricas son las de la forma:

cos

sen(8.41)

donde es una función continua. Dichas ecuaciones se representan simbólica-mente en la forma . La curva definida por estas ecuaciones se dice que está dada en

forma polar y que es la ecuación polar de la curva. La razón de esta terminología seexplica seguidamente.

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Dado un punto , hay un único par de números , tales que y, que verifican las igualdades cos , sen . Dichos números se llaman

coordenadas polares del punto . Si consideras el número complejo , entonceses su módulo y es su argumento principal.

Por tanto, dada una curva por una ecuación polar , el punto del plano que corres-ponde a cada valor del ángulo polar es:

cos sen si Coordenadas polarescos sen si Coordenadas polares

Debes tener claro que esta forma de representar una curva no es más que un tipo particular derepresentación paramétrica.

Consideremos una curva dada por la ecuación polar donde .Queremos calcular el área de la región del plano (ver figura 8.18):

cos cos

Figura 8.18. Aproximación por sectores circulares

Para ello lo que hacemos es aproximar por medio de sectores circulares. Recuerda que

el área de un sector circular de radio y amplitud (medida en radianes) es igual a .

Consideramos para ello una partición de y forma-

mos la suma . Como el número es el área del

sector circular, representado en amarillo en la figura 8.18, de radio y amplitud igual a, es claro que la suma anterior representa una aproximación del área de . Como

es una suma de Riemann de la función , se sigue que

el área de viene dada por la integral:

d (8.42)

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Con frecuencia, las ecuaciones en coordena-das polares se usan para representar distintos ti-pos de curvas simétricas llamadas “rosas”. Porejemplo, en la figura 8.19 se ha representadouna rosa de 8 hojas o lazos, cuya ecuación encoordenadas polares es cos , .

Figura 8.19. Rosa de 8 pétalos


409. Calcula el área encerrada por la elipse cos , sen donde

.409. Calcula el área encerrada por la cardioide cos cos , sen cos

para .

410.

Calcula el área de la región del plano rodeadapor un lazo de la lemniscata de ecuación polar

cos , .

411. Calcula el área limitada por el arco de la espiral de Arquímedes , , com-prendido entre y .

412. Calcula el área encerrada por el lazo interior de la curva cos .

413. Hallar el área encerrada por una de las hojas de la rosa cos .414. Calcular el área del lóbulo del folium de Descartes de ecuación ,

. Sugerencia. Expresa la ecuación en forma polar.

415. Calcula el área de la región común a las dos elipses

Sugerencia. Representa gráficamente las elipses. Usa la simetría polar para simplificarlos cálculos y pasar a coordenadas polares.

8.7.6. Longitud de un arco de curva

Se trata de calcular la longitud de la curva plana dada por las ecuaciones paramétri-

cas , , donde suponemos que , tienen derivada prime-ra continua. Para ello aproximamos la curva por poligonales inscritas en ella. Cada partición

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induce una poligonal cuyos vértices son los puntos, .

Figura 8.20. Aproximación por poligonales

La longitud de dicha poligonal viene dada por la suma:

Donde hemos usado el teorema del valor medio y la continuidad de las derivadas. Pero esta su-ma es una suma de Riemann de la función . Deducimos que la longitudde la curva viene dada por

d (8.43)

Para el caso particular de que la curva sea la gráfica de una función , esto es, entonces su longitud viene dada por

d

Para el caso particular de que la curva venga dada por una parametrización polar de la forma(8.41), su longitud viene dada por

d

Si interpretamos que la curva es la función de trayectoria seguida por

un móvil, entonces la velocidad de dicho móvil en cada instante viene dada por el vectorderivada , y la rapidez es la norma euclídea de dicho vector, es decir. La igualdad (8.43) tiene ahora una interpretación clara: la distancia recorri-

da por un móvil se obtiene integrando la rapidez. Volveremos sobre esto más adelante.


416. Calcula la longitud del arco de catenaria cosh entre y .

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417. Calcula la longitud de un arco de la cicloide sen , cos , .

418. Calcular la longitud del arco de curva , entre y .

419. Calcula la longitud de la astroide , .

Sugerencia. Obtener las ecuaciones paramétricas de la astroide y tener en cuenta la si-

metría.

420. Calcula la longitud de la cardioide cos , .

421. Calcula la longitud de la curva donde .

422. Calcula la longitud de la curva log , donde .

8.7.8. Volúmenes de sólidos

Al igual que podemos calcular áreas de regiones planas integrando las longitudes de sussecciones por rectas paralelas a una dada, podemos también calcular volúmenes de regiones en

integrando las áreas de sus secciones por planos paralelos a uno dado. Este resultado es uncaso particular del teorema de Fubini que veremos al estudiar integrales múltiples.

8.69 Teorema (Cálculo de volúmenes por secciones planas). El volumen de una región en

es igual a la integral del área de sus secciones por planos paralelos a uno dado.

Para justificar esta afirmación, sea una región en como la de la figura 8.21.

Figura 8.21. Cálculo del volumen por secciones

Representemos por la sección de por el plano perpendicular al eje en el punto. Sea el volumen de la parte de que queda a la izquierda de dicho plano y

sea el área de la sección . Observa que la situación es totalmente análoga ala considerada en el Teorema Fundamental del Cálculo: allí teníamos la función área cuya

http://-/?-

http://-/?-

http://-/?-



derivada era la longitud de la sección. No debe sorprenderte por ello que ahora resulte quela derivada de la función volumen, , sea el área de la sección. En efecto, sea .Suponiendo, naturalmente, que la función es continua, tenemos que:

mın max

de donde se deduce quelım

Hemos obtenido así que . Deducimos que el volumen de , que es, viene dado por la integral:

d (8.44)

El razonamiento anterior se ha hecho para secciones por planos verticales al eje , es decirplanos paralelos al plano ; pero el resultado obtenido también es válido para secciones porplanos paralelos a un plano dado.

Podemos llegar también a este resultado considerando sumas de Riemann. Para ello apro-ximamos la región por cilindros de la siguiente forma. Consideremos una partición

de . La parte de comprendida entre los planos perpendiculares al eje por los puntosy puede aproximarse por un cilindro de altura y base

cuyo volumen es igual . La suma de los volúmenes de todos estos cilin-

dros, , es por tanto una aproximación del volumen de . Pero dicha

suma es una suma de Riemann de la función , por lo que el volumen de viene

dado por

d .

Vamos a estudiar algunos casos en los que es fácil calcular el área de las secciones de .

8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolución

Los cuerpos de revolución o sólidos de revolución son regiones de que se obtienengirando una región plana alrededor de una recta llamada eje de giro.

Método de los discos

Es fácil calcular el volumen de un cuerpo de revolución obtenido girando una región detipo I alrededor del eje , o una región de tipo II alrededor del eje .

Sea una función continua. Girando la región del plano comprendida entrela curva , el eje de abscisas y las rectas y , alrededor del eje obtenemos

un sólido de revolución (ver figura 8.22). Es evidente que la sección, , de por el planoperpendicular al eje en el punto , es un disco contenido en dicho plano de centro

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Figura 8.22. Método de los discos

y radio . Por tanto el área de es ; en consecuencia elvolumen de es igual a

d

El volumen del sólido de revolución, , obtenido girando alrededor del eje una región detipo I definida por dos funciones continuas tales que paratodo , se obtiene integrando las áreas de las coronas circulares o arandelas, , deradio interior y radio exterior , obtenidas al cortar por un plano perpendicular aleje en el punto .

d

Consideremos ahora un sólido de revolución obtenido girando alrededor del eje una regiónde tipo II, definida por dos funciones continuas tales que

para todo , es decir, es la región . Elvolumen del sólido de revolución resultante, , viene dado por:

d

Este procedimiento se conoce como método de los discos o de las arandelas. Dicho métodopuede aplicarse con facilidad para calcular el volumen de cuerpos de revolución obtenidosgirando regiones de tipo I alrededor de rectas horizontales, o regiones de tipo II alrededor derectas verticales.




423. Calcula el volumen de la esfera obtenida girando la circunferencia alre-dedor del eje .

424. Calcula el volumen del cono circular recto de altura y radio de la base obtenidogirando la recta entre y .

425. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje la parte de lacurva sen comprendida entre y .

426. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje la gráfica de la

función ∞ dada por .

427. Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje laregión del plano comprendida bajo la curva

428. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por la parábola

y la recta alrededor de dicha recta.429. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolas

, alrededor del eje .

430. Calcula el volumen del elipsoide .

431. Calcula el volumen limitado por el paraboloide y el plano .

Método de las láminas o de los tubos

Consideremos una función positiva y la región limitada por lagráfica de dicha función y las rectas verticales , . Observa que es una regiónde tipo I pero, en general, no es una región de tipo II. Girando dicha región alrededor del eje

obtenemos un sólido de revolución, , cuyo volumen podemos aproximar considerando

pequeños rectángulos verticales inscritos en la gráfica de y girándolos alrededor del eje(ver figura 8.23).

Cada uno de esos rectángulos engendra, al girarlo, un tubo cilíndrico de paredes delgadas.La suma de los volúmenes de dichos tubos es una aproximación del volumen de . Natural-mente, la aproximación va mejorando a medida que hacemos que los tubos tengan paredes cadavez más delgadas.

Consideremos una partición de . Al girar alrede-dor del eje un rectángulo vertical cuya base es el intervalo y altura ,

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http://-/?-



Figura 8.23. Método de las láminas o tubos

obtenemos una lámina de un cilindro circular recto, esto es, un tubo cuya base tiene áreay altura , cuyo volumen es, por tanto, igual a:

La suma de todos ellos es igual a:

Pero estas dos sumas son sumas de Riemann de la función . Deducimos que elvolumen de viene dado por:

d

Esto es lo que se conoce como método de las láminas o de las capas o de los tubos. Puedesadaptar fácilmente esta expresión para el caso de que el eje de giro sea la recta vertical .En general, si notamos por el “radio de giro” de la lámina, entonces:

d


432. Calcula el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro y radioalrededor del eje .



433.

La región plana limitada por el segmento de pa-rábola , donde , y las rectas

e , gira alrededor del eje engen-drando un sólido en forma de flan (un tronco deparaboloide de revolución). Calcula su volumen

y el volumen de la porción obtenida al cortarloverticalmente desde un punto del borde supe-rior.

434. Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolas, alrededor del eje .

435. Calcular el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro 0 y radio 3 alrededorde la recta .

436. Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolas, alrededor la recta .

8.7.11. Área de una superficie de revolución

Una superficie de revolución se obtiene girando una curva dada alrededor de una recta.Sea una función con derivada primera continua. Girando la gráfica de dichafunción alrededor del eje obtenemos una superficie de revolución, . Fíjate en la siguienterepresentación gráfica.

Figura 8.24. Superficie de revolución

Sea el área de la parte de la superficie comprendida entre los planos , y .Representemos por la longitud de la gráfica de entre y . Recuerda que

d



Sea . Teniendo en cuenta que el área lateral de un cilindro circular recto es igual a lalongitud de la base por la altura, se deduce que:

mın

max

Por tanto:

mın

max

Y tomando límite para se sigue que:

Luego el área de la superficie viene dada por:

d (8.45)


437. Calcula el área de una superficie esférica de radio .

438. Calcula el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva , ,alrededor del eje .

439. Calcula el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva ,, alrededor del eje .

440. Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al girar la elipse

alrededor del eje .

441. Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al girar la catenaria cosh ,

, alrededor del eje .

442. Al girar alrededor del eje el segmento de parábola , , engendra untronco de paraboloide de revolución cuya superficie tiene área igual a la de una esfera deradio . Se pide calcular el valor de .



443.

Se perfora, siguiendo un diámetro, una esferade radio con un agujero cilíndrico (ver figura)de modo que el anillo esférico resultante tienealtura (la altura del cilindro). Calcula el volu-men del anillo y el área de la superficie total del

anillo.

444. Comprueba que el área de la superficie de revolución (llamada horno de Gabriel) engen-drada al girar la curva , ∞, alrededor del eje es infinita (portanto sería necesaria una cantidad infinita de pintura si quisiéramos pintarla) pero el vo-lumen del sólido de revolución engendrado es finito(por tanto podemos llenarlo con unacantidad finita de pintura). Comenta a tu gusto esta aparente paradoja.

445. Calcula el área de un espejo parabólico de 3 metros de diámetro y 1 metro de fondo.

446. Calcula el volumen de una esfera de radio en la que, siguiendo un diámetro, se haperforado un agujero cilíndrico de radio . Calcula el área de la superficie totaldel solido obtenido. Calcula los valores de para los que dicha área alcanza sus valoresextremos.



Ejercicio resuelto 213 Calcular el área del lóbulo del folium de Descartes de ecuación car-tesiana , .

Sugerencia. Expresa la ecuación en forma polar.Solución. Sustituyendo cos , sen en la ecuación dada, después de sim-plificar por , se obtiene:

cos sen cos sen

Observamos que esta ecuación implica que en los puntos de dicha curva debe verificarseque cos sen . Pues si fuera cos sen , la ecuación anterior implica

que también cos sen , de donde se sigue fácilmente que cos sen , loque es imposible. En consecuencia, la ecuación polar de la curva puede escribirse en laforma:

cos sen

cos sen



Se verifica que . Además,lım lım . Por tan-

to, la recta es una asíntota de la curva.Para tenemos quey, por tanto, las coordenadas polares del pun-

to correspondiente son ; comoestos puntos están en el se-

gundo cuadrante. Para tenemos quey los puntos correspondientes a estos

valores de están en el primer cuadrante. Para

tenemos que y los puntos correspondientes a estos valores detienen ángulo polar , por lo que están en el cuarto cuadrante.

El lóbulo de la curva debe corresponder a los valores de comprendidos entre dos cerosconsecutivos de que solamente pueden ser y .

El área pedida está dada por la integral:

d

cos sen

cos send

Parece una integral bastante impresionante, pero es todo apariencia. Se trata de una fun-

ción racional par en seno y en coseno. Como ya debes saber, estas integrales se raciona-lizan con el cambio de variable tg .

tg d d

cos

sen

d

Ejercicio resuelto 214 Calcula el área de la región común a las dos elipses

Sugerencia. Representa gráficamente las elipses. Usa la simetría polar para simplificarlos cálculos y pasar a coordenadas polares.

Solución. Este ejercicio puede hacerse en coordenadas cartesianas y también pasando acoordenadas polares. Vamos a hacerlo de las dos formas.

Puedes ver las elipses en la figura 8.25. Por simetría, para calcular el área pedida es sufi-ciente calcular el área de la parte común de las elipses que queda en el primer cuadrante.En coordenadas cartesianas dicha región, que se ha representado ampliada a la derechade las elipses, es unión de dos regiones de tipo I, y , cuyas áreas ya sabes calcular.La gráficas de las partes superiores de las elipses y vienen dadas respectivamentepor:

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Los puntos de intersección de las elipses se obtienen resolviendo la ecuación

cuyas soluciones son . Pongamos . Puedes comprobar

que . Por tanto, los cuatro puntos de intersección son . Elárea pedida es igual a:

d

d

Figura 8.25. Área de una región limitada por dos elipses

Una primitiva de estas integrales se calcula fácilmente. Suponiendo que , tenemosque:

d sen

cos d

cosd

sen sen cosarcsen

arcsen

Por tanto:

d arcsen

d arcsen



Teniendo en cuenta que y que , obtenemos que:

arcsen arcsen

arc sen arcsen

arcsen

Donde en la última igualdad hemos usado que para todo se verifica quearcsen arcsen , como fácilmente puedes comprobar.

Otra forma de proceder es como sigue. Recor-

dando (ver ejercicio resuelto 212) que el área deuna elipse de semiejes y es igual a , paracalcular el área pedida es suficiente calcular elárea de la región interior a la elipse y quequeda por encima de la elipse . El área pedi-da será igual a .Tenemos que:

d arcsen arcsen

El área pedida es igual a:

arcsen arcsen

Valor que coincide con el antes obtenido.

Podemos hacer este ejercicio usando las ecua-ciones polares de las elipses. Para ello, pone-mos cos , sen y sustituimos enlas respectivas ecuaciones obteniendo:

cos sen cos sen

Por los cálculos hechos antes, sabemos que las elipses se cortan para valores de iguala y . Si no lo supiéramos deberíamos calcular dichos valores resolviendola ecuación . Podemos calcular fácilmente en coordenadas polares el áreade la región común a las dos elipses que queda en el primer cuadrante. Su valor vienedado por:

d d

http://-/?-

http://-/?-



Para evaluar estas integrales, calcularemos una primitiva apropiada.

d

cos sentg

darctg tg

Por tanto:

arctg tg arctg tg

arctg arctg arctg

Donde en la última igualdad hemos usado que arc tg arctg para todo ,como fácilmente puedes comprobar. Concluimos que el área de la región común de lasdos elipses es:

arctg

Comparando con un resultado anterior, deducimos que debe ser:

arctg arcsen

Equivalentemente, poniendo que es un número positivo cualquiera, debe verificarse

que:arctg arcsen

Igualdad que puedes comprobar muy fácilmente calculando la derivada de la funciónarctg arcsen para .

Ejercicio resuelto 215 Calcula la longitud de la astroide , .

Sugerencia. Obtener las ecuaciones paramétricas de la astroide y usar la simetría.

Solución.

Como debes saber bien, dos números , talesque , pueden escribirse en la forma

cos , sen para algún valor de ;y dicho valor es único si se eligen valores para

en un determinado intervalo semiabierto delongitud . La ecuación cartesiana de la as-

troide es de la forma donde

y . Por tanto, podemos representar

los puntos de la astroide en la formacos , sen donde .

Estas son las ecuaciones paramétricas de di-

cha curva. Observa que las coordenadas



de los puntos de la astroide de parámetro se obtienen elevando al cubo las coordenadasde los puntos de una circunferencia centrada en el origen de radio . Esto pone demanifiesto las simetrías de la astroide con respecto a los ejes coordenados y con respectoal origen. Los puntos de la astroide que están en el primer cuadrante corresponden avalores de . Teniendo en cuenta la simetría de la curva, la longitud de lamisma viene dada por:

d

cos sen sen cos d

cos sen cos sen d

cos sen d

sen d

Ejercicio resuelto 216 Calcula la longitud de la curva donde .

Solución. Lo único que hay que hacer es calcular la integral:

d

d

d

Ejercicio resuelto 217 Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitadapor la parábola y la recta alrededor de dicha recta.

Solución. Podemos emplear el método de los discos y también el de las láminas o tubos.

Por el método de los discos debemos integrarlas áreas de secciones perpendiculares al eje de

giro. Observa que debemos tomar como varia-ble de integración la variable . Los puntos decorte de la parábola con la recta son y

. Por tanto, en la región indicada, tene-mos que . La sección por una rectahorizontal es un disco cuyo radio en cada puntode la curva es la distancia de dichopunto a la recta , que es igual a .

El volumen pedido viene dado por la integral:

d



Para calcular el volumen por el método de las láminas o tubos debemos tomar comovariable . Hay que tener en cuenta que cada segmento vertical de abscisa que giratiene de longitud y su radio de giro respecto al eje es . Por tanto el volumenpedido viene dado por la integral:

d

Observa que haciendo un giro y una traslación,este ejercicio equivale a calcular el volumen delcuerpo de revolución obtenido al girar la pará-bola alrededor del eje .

Ejercicio resuelto 218 Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitadapor las parábolas , alrededor del eje .

Solución. Observa que para que para que las dos igualdades , tengansentido debe ser e . Por tanto, la igualdad, equivale, por ser ,a . Es inmediato que los puntos de corte de las parábolas son y .Podemos emplear el método de los discos y también el de las láminas o tubos.

Por el método de los discos (arandelas en este

caso) debemos integrar las áreas de seccionesperpendiculares al eje de giro. Observa que de-bemos tomar como variable de integración lavariable y que en la región indicada, tenemosque . La sección por una recta verticalde abscisa es una corona circular o arandelacuyo radio interior es y radio exte-rior . Por tanto el volumen pedidoviene dado por la integral:

d

d

Para calcular el volumen por el método de los tubos, debemos considerar los segmentoshorizontales que giran alrededor del eje . Deberemos tomar como variable a . Lalongitud del segmento horizontal de altura es y su radio de giro respecto del

eje es . Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral:

d

Ejercicio resuelto 219 Calcula el volumen del elipsoide .



Solución. La intersección del elipsoide con un plano de altura fija paralelo al planose proyecta sobre el plano en una elipse, , de ecuación:

Es una elipse de semiejes y . Sabemos que el área de dicha elipse

es igual a . Por tanto, el volumen del elipsoide podemos obtenerlo integrandoel área de las secciones para .

Dicho volumen es igual a:

d

Observa que para el caso en que , esdecir, el elipsoide es una esfera de radio , ob-tenemos la conocida fórmula para el volumende una esfera.

Ejercicio resuelto 220 Calcula el volumen limitado por el paraboloide y elplano .

La intersección del paraboloide con un planode altura fija paralelo al plano se proyec-ta sobre el plano en una elipse, , deecuación:

Es una elipse de semiejes y . Sabe-mos que el área de dicha elipse es igual a .Por tanto, el volumen del paraboloide podemosobtenerlo integrando el área de dichas seccio-

nes para . Dicho volumen esigual a:

d

Ejercicio resuelto 221 Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrede-dor del eje la región del plano comprendida bajo la curva



Solución. Se trata de calcular la integral

d . Es claro que el

trinomio no tiene raíces reales. El denominador tiene raícesimaginarias múltiples y podemos usar el método de Hermite. Para ello escribimos:

Fácilmente se obtiene que , , , , ,de donde, , , . Por tanto

d log

log arctg log

log arctg

Deducimos que

d lım

d

Ejercicio resuelto 222La región plana limitada por el segmento de pa-rábola , donde , y las rectas

e , gira alrededor del eje engen-drando un sólido en forma de flan (un tronco deparaboloide de revolución). Calcula su volumeny el volumen de la porción obtenida al cortarloverticalmente desde un punto del borde supe-rior.Solución.



Podemos calcular el volumen por el método delos discos. Para ello debemos integrar las áreasde secciones perpendiculares al eje de giro. Ob-serva que debemos tomar como variable de in-tegración la variable y que en la región indi-

cada, tenemos que . La sección poruna recta horizontal de ordenada es un dis-co cuyo radio es . Por tanto elvolumen pedido viene dado por la integral:

d

d

También podemos calcular el volumen por el método de los tubos, en cuyo caso vienedado por:

d

d

Calcularemos ahora el volumen de la porciónobtenida al cortar verticalmente el troncode paraboloide desde un punto del bordesuperior. Observa que para cada valor fijado

de la sección por el plano de abscisaparalelo a es un segmento parabólico,

, cuyo vértice es y cuyo piees el segmento de extremos y

(la cuerda que se obtiene al cortarla circunferencia de centro el origen y radiopor una recta de abscisa ). La proyección de

dicha parábola sobre el plano debe tener una ecuación de la formadonde se calcula por la condición de que para , con lo que resulta

. En consecuencia, la ecuación de dicha parábola en el plano es .El área del segmento parabólico viene dada por la integral:

d

Integrando las áreas de dichas secciones se obtiene el volumen pedido, que viene dadopor:

d

Cálculo que ya debes saber hacer.

Ejercicio resuelto 223 Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región limi-tada por las parábolas , alrededor la recta .



Solución.Observa que para que para que las dos igual-dades , tengan sentido debe ser

e . Por tanto, la igualdad,equivale, por ser , a . Es inmedia-to que los puntos de corte de las parábolas son

y . Podemos emplear el método delos discos y también el de las láminas o tubos.Por el método de los discos (arandelas en este caso) debemos integrar las áreas de sec-ciones perpendiculares al eje de giro. Observa que debemos tomar como variable de inte-gración la variable y que en la región indicada, tenemos que . La sección poruna recta horizontal de ordenada es una corona circular o arandela cuyo radio interiores la distancia del eje de giro a la parábola , dicha distancias esy cuyo radio exterior es la distancia del eje de giro a la parábola , dicha distancia

es . Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral:

d

d

Para calcular el volumen por el método de las láminas o tubos debemos tomar comovariable . Hay que tener en cuenta que cada segmento vertical que gira de abscisa

tiene de longitud y el radio de giro es . Por tanto el volumen es:

d

Ejercicio resuelto 224 Calcular el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centroy radio alrededor de la recta .

Solución.

Aplicaremos el método de las láminaso de los tubos. Para ello debemos con-siderar los segmentos paralelos al ejede giro; en nuestro caso serán los seg-mentos verticales comprendidos en elcírculo de centro y radio . La

longitud del segmento vertical de abs-cisa es igual ay su radio de giro es . El volumendel toro engendrado es:

d

También se puede calcular el volumen por el método de las arandelas. Ya debes saberhacerlo, te lo dejo para que lo hagas tú.



Ejercicio resuelto 225 Calcula el área de una superficie esférica de radio .

Solución. Una superficie esférica de radio se obtiene girando la gráfica de la funciónalrededor del eje . El área viene dada por:

d

d

Ejercicio resuelto 226 Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al girar la

elipse alrededor del eje .

Solución. Expresando como función de , tenemos que , dondesolamente consideramos la mitad de la elipse que está en el semiplano de la derecha

. Queremos calcular el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curvaalrededor del eje . Dicha área viene dada por la integral:

d

d

Para calcularla debemos considerar dos posibilidades según que o que(el caso es trivial y se vuelve a obtener el mismo resultado del ejercicio anterior).

Pongamos . Entonces, si es , y si es .Por lo que:

d

d

d

Donde hemos puesto . Podemos evaluar directamente estas integrales porquetienen primitivas inmediatas que deberías saber de memoria (repasa la tabla de primitivas

inmediatas). Pero también podemos calcularlas muy fácilmente.

d

senhargsenh

cosh d

e ed

e ed

cosh d senh

senh senh cosh

argsenh

Simplificando, obtenemos que para el caso en que , el área pedida es igual a:

argsenh



Es un buen ejercicio de cálculo que compruebes estos resultados paso a paso. Te garan-tizo que el resultado final obtenido es correcto. Un resultado parecido se obtiene para elcaso en que . Lo dejo para que lo hagas tú.

8.8. Evolución de la idea de integral

8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas

5 Los problemas de cuadraturas son problemas geométricos que consisten en lo siguiente:dada una figura, construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada. Esta construccióndebía hacerse con regla no graduada y compás, siguiendo unas normas precisas. Según lo esta-

blecido en los Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) la construcción debe constar de un númerofinito de pasos, cada uno de ellos consistente en:

Trazar una recta que una dos puntos.

Trazar una circunferencia de centro y radio arbitrarios.

Intersecar dos de las figuras anteriores.

Son famosos los problemas de la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la dupli-cación del cubo y la inscripción de polígonos regulares en una circunferencia. En la antiguaGrecia se sabía cuadrar cualquier polígono.

Figura 8.26. Cuadratura de un rectángulo

Para cuadrar el rectángulo de la figura 8.26 se procede de la forma siguiente:

1) Se prolonga el lado y se determina sobre él un punto tal que .

5Para escribir estas notas históricas he seguido de cerca los trabajos de Kirsti Andersen [1], Israel Kleiner [10],

González Urbaneja [7] y H.J.M. Bos [2].

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2) Se traza con centro en el punto medio de una semicircunferencia de radio .

3) Se traza por una perpendicular a y se determina su punto de corte con la semicir-cunferencia.

4) El segmento es el lado de un cuadrado cuya área es igual a la del rectángulo . Estoes consecuencia de que la altura de un triángulo rectángulo es media proporcional

entre las dos partes en que divide a la hipotenusa, es decir, , por lo que.

A partir de aquí es fácil obtener la cuadratura de un triángulo, lo que permite obtener lacuadratura de cualquier polígono descomponiéndolo en triángulos. Los matemáticos griegosinventaron un procedimiento, que se conoce con el nombre de “exhausción”, por el cual podíanlograr la cuadratura de algunas regiones delimitadas por curvas. Se atribuye a Eudoxo de Cnido(c. 400 - 347 a.C.) la invención de este método, que fue perfeccionado posteriormente porArquímedes (c. 287 - 212 a.C.). El siguiente es un notable ejemplo de su aplicación.

8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parábola por Arquímedes

8.70 Teorema. El área del segmento parabólico es igual a cuatro tercios el área del

triángulo inscrito .

Demostración. Esta demostración aparece en una carta que escribe Arquímedes a su amigo

Dositheus, obra que se conoce con el nombre de Sobre la Cuadratura de la Parábola. Lademostración consiste en hacer una descomposición exhaustiva del segmento parabólico pormedio de triángulos de una forma muy ingeniosa. Empezaremos explicando la construccióngeométrica de la figura 8.27.

Una cuerda de una parábola es un segmento que une dos de sus puntos. La región planaacotada, cuya frontera está formada por la cuerda y el arco de la parábola comprendidoentre los puntos y se llama un segmento parabólico. El vértice de un segmento parabólico

es el punto de la parábola en el cual la tangente es paralela a la cuerda que define el segmento.Se verifica que el vértice de un segmento parabólico es el punto intersección con la

parábola de la recta paralela al eje de la parábola que pasa por el punto medio

del segmento .

El triángulo cuya base es el segmento y cuyo otro vértice es el vértice delsegmento parabólico le llamaremos el triángulo inscrito.

En la figura 8.27 se han representado también los triángulos y inscritos,respectivamente, en los segmentos parabólicos determinados por las cuerdas y .

La primera parte de la demostración consiste en calcular el área de los dos triángulosy . Arquímedes demuestra que

Por tanto

(8.46)

http://-/?-

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Figura 8.27. Cuadratura de un segmento de parábola

Llamando al área del triángulo , el área de los dos nuevos triángulos es . Natural-

mente, este proceso se puede repetir ahora con cada uno de los cuatro segmentos parabólicosdeterminados por las cuerdas , , y inscribiendo en ellos los respectivos trián-

gulos, la suma de cuyas áreas será igual a . Y puede repetirse indefinidamente.

Nosotros ahora acabaríamos calculando el área del segmento parabólico por

Pero Arquímedes, que no sabe de convergencia de series ni falta que le hace, razona de formamuy elegante por medio de la doble reducción al absurdo usual en la matemática griega.

Para ello hace uso de la llamada propiedad arquimediana o axioma de Arquímedes. Esteaxioma aparece en el libro de Arquímedes La Esfera y el Cilindro así como en Sobre la Cua-

dratura de la Parábola y en Espirales. Al parecer, dicho axioma fue ya formulado por Eudoxo.Como sabemos, la propiedad arquimediana establece que:

Dadas magnitudes cualesquiera y , siempre es posible, por pequeña

que sea y grande que sea , conseguir que un múltiplo conveniente de exceda

a , es decir para algún número natural .

Partiendo de la propiedad arquimediana se deduce fácilmente el siguiente resultado, llamado

principio de convergencia de Eudoxo, en el que se basa el llamado método de exhauscióngriego:



Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del

resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos

repitiendo este procesos de sustracción, terminaremos por obtener como resto una

magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano.

Arquímedes razona como sigue. Sea el área del segmento parabólico .

(I) Supongamos que ; es decir, que .

Como el área del triángulo inscrito en un segmento parabólico es la mitad del áreadel paralelogramo circunscrito , la cual, a su vez, es mayor que el área del segmento,se sigue que el área del triángulo inscrito en un segmento parabólico es mayor que la mitad delárea de dicho segmento, lo que permite aplicar el principio de convergencia de Eudoxo.

Por tanto, en la sucesión de áreas

cada una es menor que la mitad de la que le precede y, por tanto, en virtud del citado principio,podemos concluir que en alguna etapa se tendrá que

Esto implica que

lo que es contradictorio con la igualdad, conocida por Arquímedes, que dice que:

(8.47)

la cual implica que . Por tanto, no puede ser .

(II) Supongamos que ; es decir, que .

Como cada una de las áreas es menor que la mitad de la que leprecede y, por tanto, en virtud del principio de convergencia de Eudoxo, podemos concluir queen alguna etapa se tendrá que . Entonces

Lo que implicaría que

Que es absurdo pues la suma de la derecha es el área de un polígono inscrito en el segmento

parabólico. Por tanto, no puede ser .

La única posibilidad es .



Y, como también es , y por construcción es , obtenemos que

Si ahora trasladamos al punto un segmento de longitud igual a y lo ponemos como en la

figura el segmento de modo que su centro de gravedad sea el punto , la igualdad anteriornos dice que el segmento queda equilibrado por el segmento , pues el productode dichos segmentos por la longitud correspondiente del brazo de palanca con fulcro en esla misma. Obsérvese que es el centro de gravedad del segmento . Deducimos que esel centro de gravedad de los segmentos y .

Análogamente puede razonarse con cualquier paralela al eje de la parábola , todas ellasestarán en equilibrio con los segmentos determinados sobre ellas por el segmento parabólico

trasladados al punto , de manera que el centro de gravedad de cada par de segmentos será elpunto .

Ahora bien, los segmentos paralelos a “componen” el triángulo y los corres-pondientes segmentos dentro del segmento parabólico “componen” dicho segmento parabóli-co. Por tanto el triángulo “permaneciendo en su lugar”, estará en equilibrio respectodel punto con el segmento parabólico trasladado hasta tener su centro de gravedad en , demanera que el centro de gravedad del conjunto de ambos será el punto .

Dividimos ahora por el punto de forma que sea el triple de , el punto seráel centro de gravedad del triángulo ,y puesto que el triángulo , “permaneciendo ensu lugar” está en equilibrio, respecto del punto , con el segmento parabólico , trasladadocon centro de gravedad en , y que es el centro de gravedad del triángulo , se verifica,por consiguiente, que la razón del triángulo al segmento parabólico colocadoalrededor del centro es igual a la razón de a . Ahora bien, siendo triple de ,el triángulo será triple del segmento parabólico . Además, el triángulo escuádruple del triángulo inscrito , ya que es igual que y es doble de al

ser igual que . Concluimos que el segmento parabólico equivale a cuatro terciosdel triángulo inscrito .

8.8.1.3. Área de una espiral

El siguiente ejemplo de cuadratura sigue un procedimiento que, traducido a las notacionesactuales, es prácticamente el mismo de la integral de Riemann.

La espiral de Arquímedes es la curva que describe un punto material que se mueve convelocidad uniforme a lo largo de una semirrecta que gira con velocidad angular uniforme alre-dedor de su extremo. Es un ejemplo de las llamadas curvas mecánicas. La ecuación polar deuna espiral de Arquímedes es de la forma , donde es una constante.

8.71 Teorema. El área del primer ciclo de una espiral es igual a una tercera parte del área

del círculo circunscrito.

Demostración. Consideremos una espiral de Arquímedes de ecuación polar y calcu-lemos el área cuando el ángulo polar varía desde a , es decir, de la primera vuelta de la



espiral. El radio del círculo circunscrito es . Para ello dividimos este círculo en sectores deamplitud , desde a para . En cadasector examinamos el arco de espiral que queda dentro del mismo y acotamos el área corres-pondiente a dicho arco de espiral entre las áreas de dos sectores circulares. Teniendo en cuentaque el área de un sector circular de radio y amplitud radianes es , resulta que el área desector circular más grande inscrito en cada arco de espiral es , y el área de

sector circular más pequeño circunscrito a cada arco de espiral es .Deducimos que el área, , de la espiral verifica que:

Figura 8.29. Cuadratura de una espiral

Arquímedes conocía que . Usando este resultado podemos

escribir la desigualdad anterior en la forma:

Pongamos que es una tercera parte del área del círculo circunscrito. Restandoen la desigualdad anterior y haciendo operaciones sencillas, obtenemos que:

y como , obtenemos que . Usando ahora el axioma deArquímedes se concluye que .



8.8.2. La integración antes del Cálculo

8.8.2.1. Los indivisibles de Cavalieri

El método de integración geométrica que se consideraba ideal durante la primera mitad delsiglo XVII era el método de exhausción que había sido inventado por Eudoxo y perfeccionado

por Arquímedes. El nombre es desafortunado porque la idea central del método es la de evitarel infinito y por lo tanto este método no lleva a un “agotamiento” de la figura a determinar.

Entre los matemáticos del siglo XVII era general el deseo de encontrar un método paraobtener resultados y que, a diferencia del método de exhausción, fuera directo. Y mejor quemejor si el nuevo método, aparte de dar resultados, pudiera ser utilizado para demostrarlos.

El camino que siguieron fue el que se deriva de una concepción intuitiva inmediata de lasmagnitudes geométricas. Se imaginaron un área como formada, por ejemplo, por un número

infinito de líneas paralelas. Kepler ya había hecho uso de métodos infinitesimales en sus obras;el interés que se tomó en el cálculo de volúmenes de toneles de vino dio como resultado unlibro Nova stereometria doliurum vinariorum (1615). En él consideraba sólidos de revolucióncomo si estuvieran compuestos de diversas maneras por una cantidad infinita de partes sólidas.Por ejemplo, consideraba una esfera como formada por un número infinito de conos con vérticecomún en el centro y base en la superficie de la esfera. Esto le conducía al resultado de que laesfera es igual en volumen al cono que tiene como altura el radio de la esfera y como base uncírculo igual al área de la esfera, es decir un círculo con el diámetro de la esfera como radio.

Galileo tenía la intención de escribir un libro sobre indivisibles, pero este libro nunca sepublicó.

Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647), discípulo de Galileo y profesor en la Universidadde Bolonia, publicó en 1635 un tratado Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova quadam

Ratione Promota en el que, siguiendo ideas de Kepler y Galileo, desarrolló una técnica geo-métrica para calcular cuadraturas, llamada método de los indivisibles. En este método, un áreade una región plana se considera formada por un número infinito de segmentos paralelos, cada

uno de ellos se interpreta como un rectángulo infinitamente estrecho; un volumen se consideracompuesto por un número infinito de áreas planas paralelas. A estos elementos los llama losindivisibles de área y volumen respectivamente. En líneas generales los “indivisibilistas” man-tenían, como expresa Cavalieri en sus Exercitationes Geometricae Sex (1647), que una línea

está hecha de puntos como una sarta de cuentas; el plano está hecho de líneas, como un tejido

de hebras y un sólido de áreas planas como un libro de hojas .

La forma en que se aplicaba el método o principio de Cavalieri puede ilustrarse como sigue.



Para demostrar que el paralelogramo tiene área doble que cualquiera de los triánguloso , hace notar que cuando , se tiene que . Por tanto los

triángulos y están constituidos por igual número de líneas iguales, tales comoy , y por tanto sus áreas deben ser iguales.

8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval

En 1630, Mersenne, propuso a sus amigos matemáticos hacer la cuadratura de la cicloide.Esta fue llevada a cabo por Gilles Personne de Roberval en 1634, utilizando esencialmente elmétodo de los indivisibles de Cavalieri. Recuerda que la cicloide es la curva que describe unpunto de una circunferencia que rueda sin deslizar.

Figura 8.30. Cuadratura de la cicloide

En la figura 8.30, sea la mitad de un arco de la cicloide generada por el círculo de radiocentrado en . El área del rectángulo es el doble del área del círculo. Construimos

segmentos de línea infinitesimales horizontales, , con longitud determinada por la distancia

horizontal entre el diámetro y la circunferencia. Cada punto de la cicloide lo sometemosa una traslación horizontal hasta el punto , según el correspondiente segmento , yasí obtenemos la curva , llamada compañera de la cicloide. Por la construcción realizada,las secciones horizontales del semicírculo y de la región comprendida entre la cicloide y sucurva compañera son segmentos de igual longitud, por lo que dicha región tiene área igual a lamitad del circulo. Por otra parte, la curva compañera de la cicloide divide en dos partes igualesal rectángulo , pues, como Roberval demostró, las secciones horizontales de alturay dan en cada una de las partes en que dicha curva divide al rectángulo, segmentosiguales y . Deducimos así que el área encerrada por la mitad de un arco de cicloide es

. Por tanto, concluimos que el área encerrada por un arco de la cicloidees tres veces el área del círculo que la genera.

Los matemáticos no se mostraban de acuerdo acerca del valor que había que dar a unademostración por el método de los indivisibles. La mayoría de los que se preocupaban de lacuestión consideraban el método de los indivisibles sólo como un método heurístico y creíanque era aún necesaria una demostración por exhausción.

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8.8.2.3. Parábolas e hipérbolas de Fermat

La cuadratura de las curvas definidas por donde es un número natural o bien unentero negativo , había sido realizada para por Cavalieri, aunque podemosremontarnos hasta Arquímedes que había resuelto geométricamente los casos correspondientesa . Fermat, con una ingeniosa idea, logró obtener la cuadratura de áreas limitadas por

arcos de hipérbolas generalizadas ( ).Fermat seguía un método clásico de exhausción, pero con una idea feliz que consistió en

considerar rectángulos infinitesimales inscritos en la figura a cuadrar cuyas bases estaban enprogresión geométrica. Fermat considera al principio las hipérbolas y manifiesta:

Digo que todas estas infinitas hipérbolas, excepto la de Apolonio, que es la prime-

ra, pueden ser cuadradas por el método de la progresión geométrica, de acuerdo

a un procedimiento uniforme general.

Vamos a hacernos una idea de cómo calculaba Fermat la cuadratura de la hipérbola generalizadapara . Usaremos notación y terminología actuales.

Figura 8.31. Cuadratura de la hipérbola de Fermat

Elegimos un número y consideremos los puntos de abscisas . Losrectángulos inscritos (ver figura 8.31) tienen área

El área de los rectángulos circunscritos viene dada por

Por tanto, llamando al área bajo la curva, tenemos que

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Como esta desigualdad es válida para todo , concluimos que . Observa que dicho

valor es precisamente el área del rectángulo .

El razonamiento de Fermat tiene detalles muy interesantes que se pierden usando la termi-nología y símbolos actuales. Vamos a reproducir parte de su razonamiento. Fermat se apoyaen una propiedad de las progresiones geométricas de razón menor que la unidad, que enuncia

como sigue:

Dada una progresión geométrica cuyos términos decrecen indefinidamente, la di-

ferencia entre dos términos consecutivos es al más pequeño de ellos, como el ma-

yor es a la suma de los términos restantes.

Llamemos a las áreas de los sucesivos rectángulos y a la suma de todasellas. Como se trata de una progresión geométrica decreciente, se tiene que:

Simplificando, resulta

Dice Fermat:

[ . . . ] si ahora añadimos [a ambos miembros de esta igualdad] el rectángulo

que a causa de las infinitas subdivisiones, se desvanece y queda reducido a na-

da, alcanzamos la conclusión, que podría ser fácilmente confirmada por una más

prolija prueba llevada a cabo a la manera de Arquímedes. . . No es difícil extender

esta idea a todas las hipérbolas definidas anteriormente excepto la que ha sido

indicada [la hipérbola de Apolonio].

Vemos cómo en las cuadraturas de Fermat de hipérbolas y parábolas generalizadas, subya-cen los aspectos esenciales de la integral definida:

La división del área bajo la curva en elementos de área infinitamente pequeños.

Aproximación de la suma de esos elementos de área por medio de rectángulos infinitesi-males de altura dada por la ecuación analítica de la curva.

Un intento de expresar algo parecido a un límite de dicha suma cuando el número de

elementos crece indefinidamente mientras se hacen infinitamente pequeños.

8.8.2.4. La integración aritmética de Wallis

Jhon Wallis (1616 - 1703) publicó en 1655 un tratado Arithmetica infinitorum (“La Arit-mética de los infinitos”) en el que aritmetizaba el método de los indivisibles de Cavalieri. Parailustrar el método de Wallis consideremos el problema de calcular el área bajo la curva

( ) y sobre el segmento (ver figura (8.32)). Siguiendo a Cavalieri, Wallis con-sidera la región formada por un número infinito de líneas verticales paralelas, cada una

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de ellas con longitud igual a . Por tanto, si dividimos el segmento en partesde longitud , donde es infinito, entonces la suma de estas infinitas líneas es del tipo

(8.48)

Análogamente, el área del rectángulo es

(8.49)

La razón entre el área de la región y el rectángulo es

Área

Área(8.50)

Figura 8.32. Comparando indivisibles

Esto lleva a Wallis a estudiar el valor de la expresión (8.50) para 6. Después de

estudiar varios casos para valores de haciendo, en cada caso, sumas para distintosvalores de , Wallis observa ciertas regularidades en las mismas y, con tan débilbase, acaba afirmando que para y para todo , se verifica que:

(8.51)

Naturalmente, de aquí deduce el valor del área de la región :

Área

Área

ÁreaÁrea (8.52)

Este resultado ya era conocido anteriormente, pero Wallis no se paraba aquí y extendía la vali-dez de la igualdad (8.51) a todos los exponentes racionales positivos. Su peculiar razonamientotiene interés pues en él se basó Newton para obtener la serie binomial. Lo esencial del mismopuede resumirse, en términos actuales, como sigue.

6

Fue precisamente Wallis quien introdujo en 1655 en la obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del “lazo delamor”, , con el significado de “infinito”.

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Definamos el índice, , de una función mediante la igualdad

lım (8.53)

suponiendo que dicho límite tenga sentido. Por ejemplo, (8.51) nos dice que el índice de lafunción es para .

Wallis observó que, dada una progresión geométrica de potencias de como, por ejemplo, la correspondiente sucesión de índices forman una progresión

aritmética. Como , esta observación es trivial, pero le permite dar un atrevido saltoadelante, de manera que mediante una audaz interpolación establece (sin demostración) queuna conclusión análoga puede deducirse para la progresión geométrica

de manera que la sucesión de sus índices debe formar una progresión aritmética, de donde sesigue que debe ser para . De esta forma obtiene que

lım

Wallis estaba convencido de la validez de su método, conocido posteriormente como interpo-

lación de Wallis, que tuvo importancia en el siglo XVIII. Puede considerarse como un intentode resolver el siguiente problema:

Dada una sucesión , definida para valores enteros de , encontrar el significado

de cuando no es un número entero.

Además, Wallis deduce que necesariamente debe ser . Será Newton, poco mástarde, quien siguiendo los pasos de Wallis, introducirá el uso de potencias fraccionarias y ne-gativas.

Wallis, incluso llega a afirmar que la igualdad

d (8.54)

no es válida solamente para exponentes racionales, sino también para otros comopero, naturalmente, no puede dar ninguna justificación.

Obtenida, a su manera, la cuadratura fundamental (8.54), Wallis intenta calcular la integral

d

Dicha integral representa el área bajo la semicircunferencia de centro y radio ,su valor es, por tanto, . Wallis quería obtener dicho resultado evaluando directamente laintegral. No tuvo éxito en este empeño que Newton habría de resolver posteriormente, pero susresultados le llevaron a obtener la llamada fórmula de Wallis

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8.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow

Barrow estuvo muy cerca de descubrir la relación inversa entre problemas de tangentes yde cuadraturas, pero su conservadora adhesión a los métodos geométricos le impidió hacer usoefectivo de esta relación. Veamos cómo aparece esa relación tal como se expone en la LecciónX, Proposición 11 de las Lectiones Geometricae.

En la figura (8.33) se han representado dos curva e . El segmentorepresenta el eje de abscisas donde toma valores . La cantidad representa el valor delárea bajo la gráfica de comprendida entre el punto y . Dado un punto de abscisa , setrata de probar que la pendiente de la tangente a en el punto , es decir en el punto

, es igual a . La demostración de Barrow es geométrica.

Figura 8.33. Teorema Fundamental

Tracemos una línea recta por que corta en a la recta y tal que

Queremos probar que es la tangente a en el punto . Para ello vamos a ver quela distancia horizontal, , de cualquier punto de la recta a la recta es menor quela distancia, , de dicho punto a la curva . Esto probará que la recta quedasiempre por debajo de .

Tenemos que:

Por otra parte:

área

área

área

Ya que área rectángulo (8.55)

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Se sigue que

y por tanto

Deducimos que el punto queda debajo de la curva y por tanto la recta queda

a un lado de la curva. Para completar la demostración es necesario repetir el razonamientotomando puntos a la derecha de . Esto prueba que es tangente a en y supendiente es . En términos actuales, lo que Barrow ha probado es que:

d

d

d

8.8.3. La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes8.8.3.1. El Teorema Fundamental del Cálculo según Newton

Newton desarrolló tres versiones de su cálculo. En la obra De Analysi per aequationes

numero terminorum infinitas, que Newton entregó a su maestro Barrow en 1669, y que puedeconsiderarse el escrito fundacional del Cálculo, Newton usa conceptos infinitesimales de mane-ra similar a como hacía el propio Barrow. Este trabajo, además de contener el teorema binomial

y los descubrimientos de Newton relativos a series infinitas, contiene también un claro recono-cimiento de la relación inversa entre problemas de cuadraturas y de tangentes. La exposiciónque hace Newton de esta relación fundamental es como sigue. Supone una curva y llama alárea bajo la curva hasta el punto de abscisa (ver figura 8.34). Se supone conocida la relaciónentre y . Aunque Newton explica su método con un ejemplo, queda perfectamente claro sucarácter general. El ejemplo que Newton considera es

Figura 8.34. área

(8.56)

Pongamos, por comodidad . Newton se imagina que el punto se muevea lo largo de la curva y razona como sigue. Incrementemos la abscisa a donde es

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una cantidad infinitesimal o momento. Tomemos de forma que áreaárea . El incremento del área viene dado por:

(8.57)

Desarrollando en potencias

(8.58)De (8.57) y (8.58) deducimos, después de dividir por , que:

Si en esta igualdad suponemos que va disminuyendo hasta llegar a ser nada, en cuyo casocoincidirá con , después de eliminar los términos que contienen que desaparecen, resultaque:

(8.59)

Este es, por tanto, el valor de la ordenada de la curva en . El proceso puede invertirsey, de hecho, ya se sabía que la cuadratura de (8.59) viene dada por (8.56).

Observemos que Newton no ha usado el significado tradicional de la integral al estilo de

sus predecesores, es decir, no ha interpretado la integral como un límite de sumas de áreasinfinitesimales, sino que ha probado que la expresión que proporciona la cuadratura es correctaestudiando la variación momentánea de dicha expresión. De hecho, lo que Newton ha probadoes que la razón de cambio del área bajo la curva, esto es, el cociente

se hace igual a la ordenada de la curva cuando “se hace nada”. En términos actuales, la

derivada de es la función . La relación simétrica entre cuadraturas y derivadasqueda así puesta claramente de manifiesto. Para calcular cuadraturas, basta con calcular unaantiderivada, lo que llamamos una primitiva de la función .

8.8.3.2. La invención del calculus summatorius por Leibniz

Ya hemos comentado en el capítulo 6 (ver pg. 321) las principales ideas que guiaron aLeibniz en la invención del Cálculo:

La creación de un simbolismo matemático que automatizara los cálculos y permitieraformular fácilmente procesos algorítmicos.

La apreciación de que las sucesiones de diferencias pueden sumarse fácilmente, y queel proceso de formar la sucesión de diferencias y después sumarla recupera la sucesióninicial, es decir, que se trata de operaciones inversas una de la otra.

La consideración de las curvas como polígonos de infinitos lados de longitudes infinite-

simales y de las variables como sucesiones que toman valores consecutivos infinitamentepróximos.

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Se conservan en el archivo Leibniz en Hannover los manuscritos que contienen las investiga-ciones de Leibniz sobre los problemas de cuadraturas. En dichos documentos, fechados del 25de octubre al 11 de noviembre de 1675, Leibniz investiga la posibilidad de formular simbóli-camente los problemas de cuadraturas e introduce los símbolos que actualmente usamos parala integral y la diferencial. Los progresos de Leibniz se exponen de forma concisa y clara en eltrabajo de H.J.M. Bos [2] que sigo muy de cerca. Algunos de los resultados de Leibniz en estos

manuscritos son casos particulares de la regla de integración por partes, como, por ejemplo, lasiguiente igualdad (se supone ):

d

d

d

d d (8.60)

Por supuesto, Leibniz no la escribe así. Recuerda que la notación que usamos para la derivadase debe a J.L. Lagrange y es bastante tardía, de finales del siglo XVIII. Además, la notación que

usamos para indicar los límites de integración fue introducida por J. Fourier en el primer terciodel siglo XIX. Incluso el término “integral” no se debe a Newton ni a Leibniz. Leibniz llamócalculus differentialis, esto es “cálculo de diferencias”, a la parte de su cálculo que se ocupadel estudio de tangentes, y calculus summatorius, o sea “cálculo de sumas”, a la que se ocupade problemas de cuadraturas. Para Leibniz una integral es una suma de infinitos rectángulosinfinitesimales, el símbolo que ideó para representarlas, “

” tiene forma de una “s” alargada

como las que en aquel tiempo se usaban en la imprenta; además, es la primera letra de lapalabra latina summa, o sea, “suma”. Fue Johann Bernoulli quien, en 1690, sugirió llamarcalculus integralis al cálculo de cuadraturas, de donde deriva el término “integral” que usamosactualmente.

De hecho, Leibniz obtuvo la fórmula (8.60) antes de inventar su notación para las inte-grales y las diferenciales. Es interesante mostrar cómo lo hizo. Para ello vamos a seguir elcamino opuesto al seguido por Leibniz, modificando la notación de dicha fórmula hasta llegara escribirla como lo hizo él.

Podemos interpretar gráficamente la igualdad (8.60) sin más que observar la figura 8.35.

Figura 8.35. Áreas complementarias

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El número es el área del rectángulo , la integral

d es el área de laparte de dicho rectángulo que queda bajo la curva . Deducimos de (8.60) quela integral

d es el área de la parte de dicho rectángulo que queda por enci-

na de la curva . Esta área es la suma de las áreas de rectángulos horizontales comolos representados en la figura 8.35. Estos rectángulos horizontales tienen como base el valorde la abscisa correspondiente, , y como altura la diferencia infinitamente pequeña entre dos

ordenadas sucesivas, que Leibniz representa por . Esta diferencia es lo que posteriormente sellamará diferencial de . Podemos, pues, interpretar que d d . Por su parte, elárea de la región es considerada por Leibniz como la suma de las ordenadas . Finalmen-te, podemos eliminar porque para Leibniz el valor de una variable puede obtenerse sumandosus diferencias consecutivas, por eso, puede verse como la suma de las . Esto equivale,en nuestra notación, a sustituir por

d (o, al estilo de Leibniz, por

d ), lo

que también hemos hecho en la igualdad (8.60). La forma exacta en que Leibniz escribió laigualdad 8.60, según se lee en [2], es:

omn. ult. omn. omn. omn. (8.61)

Aquí es el símbolo para la igualdad, “ult. ” significa el ultimus , el último de los , esdecir, . El símbolo “omn.” es la abreviatura de omnes lineae, “todas las líneas”, símboloque había sido usado por Cavalieri y que Leibniz usa con el significado de “una suma”. Se usantambién líneas por encima de los términos y comas donde ahora pondríamos paréntesis.

En un manuscrito posterior en algunos días, Leibniz vuelve a escribir la igualdad 8.61 en

la forma:omn. omn. omn. omn. (8.62)

y observa que omn. antepuesto a una magnitud lineal como da un área; omn. antepuesto a unárea como da un volumen y así sucesivamente.

[2] Estas consideraciones de homogeneidad dimensional parecen haber sido las quesugirieron a Leibniz el usar una única letra en vez del símbolo “omn.”, porque escribe acontinuación: “Sería conveniente escribir “ ” en lugar de “omn.”, de tal manera que represente omn. , es decir, la suma de todas las ”. Así fue como se introdujo el signo“

” [. . . ] E inmediatamente a continuación escribe Leibniz la fórmula (8.62) utilizando elnuevo formalismo:

(8.63)

haciendo notar que: y

y subrayando que estas reglas se aplican a “las series en las que la razón de las diferenciasde los términos a los términos mismos es menor que cualquier cantidad dada”, es decir, alas series cuyas diferencias son infinitamente pequeñas.

Una líneas más adelante nos encontramos también con la introducción del símbolo “ ”para la diferenciación. Aparece en el contexto de un brillante razonamiento que puederesumirse de la forma siguiente: el problema de las cuadraturas es un problema de suma desucesiones, para lo cual hemos introducido el símbolo “

” y para el que queremos elaborar

un cálculo, es decir, un conjunto de algoritmos eficaces. Ahora bien, sumar sucesiones, esdecir hallar una expresión general para

dada la , no es posible normalmente, pero

siempre lo es encontrar una expresión para las diferencias de una sucesión dada. Así pues,el cálculo de diferencias es la operación recíproca del cálculo de sumas, y por lo tanto

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podemos esperar dominar el cálculo de sumas desarrollando su recíproco, el cálculo dediferencias. Para citar las mismas palabras de Leibniz:

Dada y su relación con , hallar

. Esto se puede obtener mediante elcálculo inverso, es decir, supongamos que

y sea ; entonces

de la misma manera que la

aumenta las dimensiones, las disminuirá. Perola

representa una suma y una diferencia, y de la dada podemos encontrar

siempre o , es decir, la diferencia de las .

Así se introduce el símbolo “ ” (o más bien el símbolo “ ”). [ ] De hecho, prontose da cuenta de que ésta es una desventaja notacional que no viene compensada por laventaja de la interpretación dimensional de la

y de , y pasa a escribir “ ” en vez de

“ ”, y de ahí en adelante son interpretadas la y la

como símbolos adimensionales[ ].

En el resto del manuscrito Leibniz se dedica a explorar este nuevo simbolismo, al quetraduce viejos resultados, y a investigar las reglas operacionales que rigen la y la .

Esta larga cita, extraída del trabajo de H.J.M. Bos Newton, Leibniz y la tradición leibniziana

([2]), nos da una idea de cómo llegó Leibniz a la invención del cálculo. No fueron los caminosdel razonamiento lógico deductivo los seguidos por Leibniz sino los de la intuición, la conjetu-ra, el estudio de casos particulares y su generalización Los mismos caminos que hoy siguenlos matemáticos activos en sus trabajos de investigación. Pese a que los conceptos que manejaLeibniz son oscuros e imprecisos fue capaz de desarrollar algoritmos de cálculo eficaces y de

gran poder heurístico. Como ya hemos indicado en el capítulo 6, el cálculo de Leibniz triunfóen el continente europeo gracias a los trabajos de los hermanos Bernouilli y al libro de textodel Marqués de L’Hôpital que divulgó las técnicas del cálculo leibniziano por toda Europa.

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0a3cap 8 integral de riemann

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