1 2 )qchen/pspdf/sp.pdf · 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 − 2 0 2 4 6 8 10 pdf of shock position (1st fd...
TRANSCRIPT
���������� ������ �� ��� ����������� ����� �� �
���� ������ ������
��������� ���� ���� ���������� ��� ��� �� ���������
��������
�� �� ���� �� ���� ��� ���� � ����� � � �������� �� � � ��������� �������� ����� ����� ����� �� � ������ � ���������� ����� �� � ���������� ���� ��� ��
����� � ���� ����� ���� ����� �� ������� ����� �� ��� ������ � ����
� ���� ������ �� ��� �� ����� ���� ��������� � ���� ������ � ��� � ���
��������� ������� ���� ���� � � ��� � ��� ���� ������� ������ �� ���������
������ � ����� ������� ������� �� ���� � ��� ���������� � ��� ���� ������
��� ������� ���� !"# �$���� � �� ��� ��� � �� ���� ������ �
��� ������� �������� �� ������� ���� ����� ��������� �� �������� � ��� �������
�������� ��
%�� ��� ������� � ��� ������ � ��� �� ������ ��� ���������� ����� ����
�� !&'# � ��� ���� ����� �� ������ ���� ���� ��������� (��������� ���
����� ��� �� � � ��� !" �$���� � �� ��� �������� ������� �� � ��� ����������� � ��� !" �$����� ����� �� �������� � �� � ������
��������� �� ���� ����������� ����� ����������� ��� �� ����������� �� �� !� "�#�$���%&����%��'� ��($���%&����%��'� )�� *��������$�����%+�',%
�
� ����������
�� ���� � ��� �� ���� ���� ��� �� � ������ ��� ����� ���� ���� �� ��� � �� ���
����� � �� ���� ���� ��� ��� ����� �� � ��� �������� ��� ������ ��������
��������� � � ��� ���������� � ���� ��! ��������� �� ��� ����� � ���� �� �� ��������
�� �� �������� � ����� �� �������� �� �� ���� ��! ��� ������� �� �� �������
�������� "� ���� �#�$� �� ������� � ���% ���� ��� � ��� ����� �� ���� ��������
�� �� � ��� ������� �� �� ������� ���������� &��� ������� �� � �� ���� ��
������� ��������� �� ���� � ����� ���� '��� ��� �� ���� �� ���� � ������� � �����
�� ���� ����� � ���������� ������� ���������� �� ����� ���� �� ������� !� ������
�� ��� � �� ��� ��� ��(� )� �*�� +��� ���� '��� �� �� ������ � ��� ����������
��������� �� �������� ��� ��� �� ���������� �� ��� �� ������ �� ������ �� ����
��� ��������
�� �� ��� � � ��� �� �� �� ���������� �� �! ��������� "���� �� ���� ��������
�� � ��������$� +��� � ���� �� �� ���� ���� ������ � �� �� , �� �� ������ ��
�� ���������� & ����� �� ���� ����� ���� �� ��������� ��� �� "�$� - � �� � !���
�� ���� !� ������ �"�$ �� �"�$ ��� �� ��� �� ����� !� ������ �� �"�� �$�
�����!��� ��"�$ �� �� ���� �������� �� �"�� �$� ��� �� ��� � �� , �� ��� ������
�� ���
�"�� �$+����������������� ��"�$� �"�$� � � � �
.������� +��� ��� �����
��"�$+����������������� ���� ���� � � �
"�$
�� ���� � ������� ����������� �� � �������� �� � ����������� �� �� �� �"�� �$ ��� ��� �
��� �� "���� �"�� �$ ��� ��� � � ���� ���� �� �� � �"�� �$ / �"�$�"�$$� +� �� ����
�������� � ��� �� ���������� ����������� � ��� � ��� ������ ���� ��� ���
����� �� �� �����0��� �� ������� ��� �� �� �� � � -��� �� �� �� ���� �� ���
��� �� ���� ���� ������ ��� �� ��� � �� �� , �� �� ��������� �� ��"�$� �"�$� � � � ��&�� �������� ���� ������ �� ���� ��� ����� �� ��������� � �� 0������� ����
1
�� ��1� �2� )� ���� �� � ������� ����� �� �� ��� �������� �� ���� ,��� 3� �! �
�� �� ������ �������� �� �� �������� �� ���� �� ���� � ������� �� �� �� ���� �����
������ ����� ����� �� �� � ������� �� ���� ��� ��
�� ���� ��� � � ���� �� ��� ������� �� �� ���� ���� ��� �� � ������ ��� �����
���� ���� �� ��� � �� �� ��� ��� �� ����� 4� ���� ���������� ����� ����� �
������� �� ������ �� � ��������� ����� �������� "567$ �� �� ���� �������� ��
�� ���� �� �� ������� ��������� � ����� �� � �' �� ���� � ����� ",��$�
&�� 0��� ��������� � ��� �!������� � �� �� ����� 3��� 8� �� ���� �� !�����
�� ������
�� �� �� �� ��� �� � ����� �� �������� �� +�� 1� � ���� �� ����� 3���
8� �� "38$ ���� �� �� ���� ���������� ����� ������ & ���� ������ ����� �
��������� ����� �� �� ����� ������ ��� ��� ������ �� ���������� ����� 0��������
+����� # ������ ����� � �� �� 3��� 8� �� ����� - ��� �� 9����� ����������
����� ����� �� �� ��� �������� �� ���������� ����� 0������� �� ����� �� ���! �
������ �� ��������� ����� � ������������ �� �� ���� ����� 7������� � ����� ��
�� ����� �� �� ��� �� +�� 2�
#
� ���� ����� � ���� ��� � � ���� � ���������
����� � �����
�� ���� ������� � �' � ��� � !�� �� �� ����� 3��� 8� �� ���� ��*� �� �� ����
���������� ����� ����� �:� �;�� & ���� ������ �� ����� �� ����� � ��������� �� ��
������ �� ��� ����� �������� � ����� � �� �� ���������� ����� ��� �����
��� ����� ��� ��� ��
�� �� ����� 3��� 8� �� ����� �� �� ��� � ���� �� ������ �� �� ����� ��������
��� � ������ ���!� �� � �������� �������� �� ��� ����� ������ �� ������� ��
���������� �� �� �� !� ����� � �� �� ���������� <� �!����� �� 3��� 8� �� �����
�� �� ����������� ���� � ���� � �� 0��� �� �� �� �� � �������� � ����� ����
�� ����� ������� �� ��� � �!� ���� �� ��������� �� ���� �� �� ���� �� ������
�� ���� ������ = ��>� ����� �� �� �� � ������ �� ��������� ��� ��� ���
�� ����� !� ������ �� �� ������ �� ��� ������ � �� ������ � ���� ��� � � ��
��� �� �� ���� ������� ���� ���� �������� �� �� ������ ����� ��� � ��
�� ������������� ��� �! �� ����� �� � ���� � ������ <� ��� ������� �� ��� ���
��1� �*� �� � ��� �� �� �� �� ���� ������ �� �!��� ������������ �� 3��� 8� ��
������
��� ���������� ��������� �� ��� ���
4� ���� ���������� ����� ����� ��;� :� ��!��! � ���� �� � �������� �� �� ��������
��� � ����� " ���� ���������$� �� �� ������ � ���������� � ����� � 0��� ���� ������
��������� � �������� �� ���� ��� ���� �� ����������� ��� �� ������ �����
����� ��� ���� "��� $ ���� !� ����� �� 7� � ����,� ���� � ����� �� �� �������
��� ���� �� ����������� ����� � �� �� ����! ������� ���� ��� ���� � �������
���� �� 0������� � ��� ���� - ��� ����������� ����� � �� �� 4������� � ������
�� 9����� ����������� ����� � �� �� ?�� � ����� "� ��;� �� � ������ ����$�
2
4� ���� ��� ���� �� ����������� �� � � ������ � �������� ����� �� �� � ����
�� ���� !� ������ �� ����� ��� � ���� �� ,� ��
�"�� �$� �"�� �$ � /
��"�� �$�"�� �$�"�$ � / ���"�� �$�"�� �$��
�� �� ����� �������� �"�$ �� �� >���� � ��������� ����� �������� "567$ �� �� ����
!� ������ �� �� ������ � �� �� ����������� 4������� ���� !� ������ ��
�"�$ /��"1�$�
������ ��
=� �� 0����� � 4������� � ���� �"�� �$ "���� � ���� �� ������� � ��� ��� ����$ ��
0� �� ��
�"�� �$ /������
��"�$��"�"�$$�
�� �"�$ �� � !��� �� ��� 4������� ���� !� ����� ���� � � ��� �� ���� !� �����
�� �� ����� ��������� ��"�"�$$ � �� �� ����� "��������������$ - ��� �����������
��!� ��
������"���� � � � � ���$ / ����� �"��$� ��
���� � � ��������
���� ��� � � � ��� � � � � �� � ��
�� �� ������������ � �� �� ���� � ��� �0�������
�� "�� �$ /�����
��"�$����� "�"�$$� "1$
�� � / �������
�� �"�$ / "��"�$ � � � � � ��"�$$ ��� ��� �� ��� �� �
���� ���� � ����� �� �� �� �� ���������� @�� ���� �� �� ����
�� � ��� � ���������� ����� ����� �������� ��"�$ / ��
+��� ���"�$� �� � �� � ����� ��� ������ �� ���������� ����� 0������� ������� ��
�"�� �$ � ��!� ��
��"�$ / �"�� �$� ��"�$ � / ���"�� �$��"�$��
�� �� ��� �� ! ��� ���� �� ��� �� �"�� �$ �� �� � � �� ��"�$� �� �� !� ���� ��
� ��"�"�� �$$ /���
��� "��"�$$�� 3� �! � �� ��� �� �� ��� ���� �� ���������� ��
�"�� �$ �� �������� �� �� ���� �� � �� ������� �� ������ �� ���������� �� ��� �!
�������� �� �� ��������� ��� ���� � �����
:
����� ��������� �� � ����� � ��� � � � ������ ��� ����� �
= ������! ���� �� �� ����������� �� ���������� ����� ����� �� ��� ����� ��������
�� �� ������������ �� ����� � ���������� �� ���������� ����� ���� ��� �� �
����� �� �������� �� �� 0������� �������� ���� ����� ����� ���� ��� ���
�� �� �� ������ ����� ��� ��� ����� � ��������� �� �� ������ �� �� � ������
� �����
8���� �� ����� ���� ��� ����� �������
� A �"�� �� �$ �� / (� ( � � � �� � � (� "#$
�� �"�� �� �$ ��� �� � ���� !��� ��
& � ��� �� �������� �� �� "1$ �� �� �� ��� �0���� ������ �� �� "�� �� �$ /����� ��"�� �$��"�$� = ����� 4�� �� � ��� ���� � �����
�����
A
���� ��
���� ��� ��
/ (� / (� � � � � ��
��
�� � / ����� ����
�� ��� �0 �� � � ��!
!" A � !"� / (� "2$
�� !" / "��"�� �$� � � � � �� "�� �$$ �� �� ��� �0 � / "��� $ ��� �����
��� /�����
���� �� ( � �� # � ��
����� �� ����� ������� "#$ �� �� ���� �������� �"�� �� �$ �� � ����� � �� �� �����
"2$ �� �! �� � �������� �� �����% ���"�� �$� � � � � �� "�� �$�� & ��� � ��� �� ����
�� �� �����%
��� ��� � �� �� "2$ � � ���� ��������� � ������� �� �� "�� �� �$ � "�$ ( ���
��� � �� � ����� "�� �$� ��� �� ����� � � ������ �������� ������ �� ��� ������
B
�� �� �� ����� � �� �� ��� �0 � ������� � ���� � �� �� ,������ �� "�� �$�
4�!� ��� �� !��� $ / "$�� � � � � $� $�
$ � $ /��
�� ��
$��� $ /��
�� ��
$�$
�����
���� � /�����
��
���� ��
$�$ �� �
/�����
��
���� ��
$�$ ����� ���
/ �
�����
����
� �����
$���
� �� ��
$ �
��
/ ���� "�� �� �$%"�� �� �$���
�� %"�� �� �$ /��
��� $���� 7 �� �� ���� 0� ������ �� ��� � ��������
@�� ���� �� ��� � ������ ���� �� ����� � ��������� �� �� �! ����� "2$
� ��������� ���� �� ����� � �������� �� �� ��� �0������� �� �� � ������ ������� "#$�
�� � ����,�� �� ��� � ������ ���� ��� �� �� � �������� �� ����� � ������ "�
�����$ �� �� ����� � �� �� � �>����� �� �� � ������ ���������� �� ���� �� ������ "�
�����$ �� ���� ����������� �� �� ��� ����� �� ���� �� ������������ ���������
� ��!��! � �� �� ���������� ����� ������
��� ��������� �� ����� ���
�� ���� ��� � ���� �� ���� � ��� �� �;�� �� ��! ��� � C������C 567 �� ���
���� !� ���� ��� �� � �� ������� =���� ���� �"�$ �� �� 567 �� � ���� !� ����
�� �� �� ���� � � � � ��� � & 3����8� �� ������� D0� �� �"�$ �� � � �� �� .��
����������� ���"�$�%�"�$ /
�����
����"�$�
��
�� /�
���� �
���"�$��"�$�
8����� �� ���! ���� ����� ���� �� 3��� 8� �� ����� ����� �
���"�$��"�$ �
&
�����
��"��$�
)
��� � ������ � ��������� ����� �������� �� ������ ��
�"�$ �
&
�����
�����
�
�����"��$��"�$
/' A �
1&
�����
����"�$��"��$� ��"�$����"��$
�� ���
����� �� 8� ����'��6� ���0 �� ���� ��:�� �� ���"�$� � �� .�� ������������
<� ����� ��� ���� �� ���� ���� �� >��� � ������ � �������� � �� ������� �
!�� �� �*��
*
� �� ��� ���� ����� ���� �� ������� ��� ����
��
&�� �� ���� ���� ��� �� ��� �� � ������ ��� ����� ���� ���� �� ��� � ��� �� ����
��� ��� ��� � ��� �� ��� ������ � ��������� � ������� � ���� ��! ��������� ��
��� ����� � ���� �� �� �������� � ����� ����� �� ��� ������� ����� �� �� ���� ���
�� ���� ��������� �� ���� � ��� �� �� ������� �����
�� ���� �� ��������� ������, ��� ��� ������%
��
��A
�
��
��
1
�/
�
��
���� �
1
�� ( � � � �� � � (� ":$
���� �� ������� ��������
�"�� ($ / % ��� ��
�� ����� � ���������
�"(� �$ / �"�� �$ / (�
�� 0��� ���� ���� �������� �� D�� ":$ ��
��"�� %$ / ������
�"�� %� �$ /
��� / ����� ( � � ��
�� / � ����� �� � �� "B$
�� ���� �������� �� �� � �������� �� �� �� ��� % �� �� ������� ��������%
�� /
��������
���� %�
� �(1� �� % � (
� � �������
�� %��� �(1� ( % �
� ")$
&�� �%� � �� ��"�� %$ �� ������ "/ ����"%$ ����$�
��� ������ �������� �� ��� ���������� !������ ��
8���� D�� ":$ ���� �� ������� ��������
�"�� %� � / ($ / % ����� "*$
�� % �� � ����� ������� ,� ��
% /
���������
��� �� ) �/ (
(� �� ) / (� ) /
%
�� %�� ";$
;
- ) �� � 4������� ���� !� ���� ���� �� ��� � �� ����� !� ������ �� ����
) &"�� �$� �� ���� ������ 0���� �� �� ���� ���� �������� ����� % "��� �$�7 �� ")$� �� ,�� ���� % / � ���"��$� ����
) /� ���"��$
"�����$�� "�($
�� � ��������� ����� �������� �� �� ���� �������� �� ��� �� �� � ������ � ����
��
��1��
��������
��� ) / �"��$ �� �� �"��$ /��1��
��������
��� )
%
%
���
�� �"��$ ���� �� 567 �� �� ���� �������� ���� �� ��� ���� ����
�"��$ /��1��
��������
��� � � A %�
"�� %�$����"��$� ( �� �� "��$
�� ���� % / � ���"��$ �� ) �� ��!� �� "�($�
����� ������ � �� ���� ��� � ���
+��� % �� � �������� �� � ����� 4������� ���� !� ����� )� � ������������ - ��� �����
������ ����� ��� �0������� "� / �$ ���� �� � ��� �� ���� �������� ��"�� %"�$$�
���� � ����� �� 0�������
��"�� %"�$$ /�����
*�"�$��"�$� "�1$
?� �� ��� ���� � �� � 4������� ���� !� ���� ���� � � ��� �� ���� !� ����� ��
�� �0� ��� � � ���� �������� ���� ���� 0������� ���! ��� +� � �������� ��������
��"�� �$ �� ��� ������ �� �� ������� !� ���� �� ��� �� ������� *�"�$ � �������
��� ��� � �� ������ �� ��"�� %"�$$ � ���� �� ���� �� � � � �� ��� �����
������� !��� "�� �� ��� ��� ������� ��� %"�$ � ���� �� �#�� ��� �� �������
�$%� ������ ��� �� ������ *�"�$ �� �����
�� �� 7 �� �� ������� ���� )� �� % �� �� ���� �������� ��� �� ,��
� /�
�
� �����
"�����$�� �
�� "�#$
�(
���� ������ ���� �� �� �� ��� ����� �������� �� � �� !�� ! ��� ��� ( �� ��
.� �� � �� !��� �� � ����� �� ����� �� �� �������� ���� ���� �������� �� "(� �$�
7� � ,0 ��� �� ���� ���� �������� �� ":$ �� ��!� ��
��"��� �$ /
�� ���"��"��$$� �� � � ��
���"��"��$$� ��� ���� "�2$
����� �� ���� �������� �� �� ��� ����� �������� �� �� �� �� �
��1�
� ��
��"��"��"��$� �$$���
��
� � / "�����"��$$� A��
�� ���� �� 0������� "�1$ ���! �� "� �2�$�
�� 0������� ������� � ��!� ��
*�"��$ /��1�
� ��
����"��"��$� �$ ��"�$�
� ��
� �
/��1�
� ������
��A
� ��
������
���"��"��$� �$ ��"�$�
� ��
� ��
5������� "�2$ ���� �� ���! ������� ����
*�"��$ /��1�
� ��
��"� �����"��$$��"�$�
� ��
� � A
� ��
��
��� ��"��$ ��"�$�� ��
� �
�
/��� ��"��$�
1�
� ��
������
�� ������
��
���"�$�
� ��
� �
/��� ��"��$�
1�
� � 1
� ������
����"�$�
� ��
� �
�� "�:$
��
� /
� ��
����"�$�
� ��
� � / ���
�� ������ �� ��� 6��� �� ���� �� �� "�:$ �� �"��$� E���� �� ����� ��� �� ���
! ��� ����
��"�$
��/
��
���
��������
� ��"�$ ����
� �
� �� ����� �� ��� � ���� �"�$ �� � ������ ��������� �� ����� �� �� !��� ����� � �� �
������ �������� �� �� ���� �������� �� �� "(� �$ "� "�#$$� +� � ��! � �!� ���� *�"�$
�� � ������ �������� �� � �� ��� �
��
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Exact Hermite PC Modes, α = N(0, 0.1)
0−th Mode1st Mode2nd Mode3rd Mode4−th Mode
7��� �% �� , �� ,! - ��� ���������� ����� ��� �� �� ���� ���� �������� �� D��":$ ��� ) &"(� (��$�
�� 7��� �� � ���� �� , �� ,! - ��� ���������� ����� ��� �� �� ���� ����
�������� �� D�� ":$ ��� ) &"(� (��$� 7��� 1 ����� �� ������� !���� �� �� , �� 1�
- ��� ���������� ����� ��� �� �� ������ ��:)(* �� ��#;:;� �� ���� ��� �� �
�� �� ������������ �� �� �������� �� �� ���� ����� �� ������������ �� �� ����
���� ��� �� �� � �� � �� D�� "�2$� �� ������� ���� ������ � �� � ����� "7���
#$ �� �� ���� ���� �������� ! ��� � �� %� ��� �� ������� �� ��� �� ��������� �� %�
�� ��� ������ ���! �� ������� ":$ � � � �������� �� �� �� �
��"�� %� �$ /
�����
*�"�� �$��"�$� "�B$
7�������� �� � ��� ������ �� +�� 1�1�� � ������
�*���
A
���� ��
�� �
�*�* 1
��/ ��� "��� � ��� �$ � / (� �� � � � � �� "�)$
�� ��� �� �� F ��� ��� ���������
7� ���� ��� � ����� � ���� �� ������ �� ���������� �� �� ���� �������� ����� ��
� �! �������� �� �� ��������� �� ���� �������� �� ��� ��! �� ���������� �� ����
�1
100
101
102
10−2
10−1
100
Exact Hermite PC Modes at 1.5708. α = N(0, 0.1)
N
|uN
(1.5
70
8)|
1/N1/2
1/N
100
101
102
10−3
10−2
10−1
100
Exact Hermite PC Modes at 1.3959. α = N(0, 0.1)
N
|uN
(1.3
95
9)|
1/N1/2
1/N
7��� 1% 6��� �� �� �� ������� !���� "�� �$ �� �� , �� 1� - ��� ���������� �������� �� �� ���� ���� �������� �� D�� ":$ ��� ) &"(� (��$� .��% �� �� ������ / ��:)(*G H����% �� �� ����� � / ��#;:;
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
−1
−0.5
0
0.5
1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
xβ
u∞
7��� #% �� ���� ���� �������� �� D�� ":$� 0�������� ������������� �� �� ��������!� ���� � �� ��� �� �� ���� !� ���� %�
�#
�� �� ��� �������� �� ��� �� "D�� ")$$ �� �� ���! ������ ������� ��������� 7� �� ��
����� � ��� �� �� ��� �� � �� �� � �� ������ �� ���������� �� �� ���� ���������
�� ���������� ����� ������ �� ��� � ����! �� ����� � 3��� 8� �� ���� �� ��
������ �������� "�B$� 3� � ������ � , �� �� �� � ���� �� ������ �� �� ��
������ �� ���������� �� �� �������� �� �� 0�������� �� ���� �������� ��� ��� �
0� ��� � �� ��� ���������� 7������� � ��� ������ �� ���������� �� �� ���� ����������
!����" � �� ���� ����� � � ��� ��� ��� ���� �� �� ��� ����� � ������� ��
�� � ���� ��� ����"������
#�������� !�����
?�� ���!��� D�� "�)$� � ��� ��� ���� ���� �� - ��� ���������� ����� � �
�������� ��� �0����� �� ������� ��������� �� � � �� ) / &"(� (��$ �� &"(� (�#$ �
����� �� 7��� 2�
& ��! ����� ��� ����� �� ���! D�� "�)$ % � , �� � ���� !���! ,��� �' ��
"76$ ���� ���� � ����� .�0�7 � ��� ��0 "..7$ ��B� �� � 8�����! ����������� ����
�B� ���� 0�������� ,�� ��� ��)� �� ����� = ��� �� �I6 H��� F���� ���� ��#� ���
�� �� �� �� ��� ��� �������� ���! 8�����! ����������� ���� �� �� �� ��
������� ��� ��������� <�� ���� �� , ���� �� �� D�� ���� �� ���
�� �� ��������� ,�� �� �� C0��� 567C �� �� � ��������� ����� �������� � �� ��
���������� �� ���� D�� "��$G �� C0��� 567 � �� <+83C �� �� 567 ������ �� ��
���� ��!� �� +��1�# ���� � �� � ���� "1(((( ����� ��� ��� ��!�$ �� ������� ��
���� ���� � , �� �� �� ������ �� %� ������ �� ���� ��������� � �� �� ����������
�� ����� �� ��� ������ �� � ��������� ����� �������� �� �� ���� �� �� ��
+��1�# � �� ���� ���� ���������� �� C���� � 58C � ���� �� � ��������� �����
�������� ������ ���� �� ��� ���� �� ���� ���������� ���� ���� ���! � �� ����
��������� � ������ � �� �� � �� 0������� �� �� ��� �� �� �� ���!�
�2
−15 −10 −5 0 5 10 1510
−18
10−16
10−14
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
102
Use PC to approximate β = (−1 + [1+4 α2]1/2 )/(2 α), where α =N(0,0.1)
Err
or
α
Order =3Order =5Order =7Order =9
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 210
−20
10−18
10−16
10−14
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
Use PC to approximate β = (−1 + [1+4 α2]1/2 )/(2 α), where α =N(0,0.1)
Err
or*
pd
f
α
Order =3Order =5Order =7Order =9
−15 −10 −5 0 5 10 1510
−20
10−15
10−10
10−5
100
105
Use PC to approximate β = (−1 + [1+4 α2]1/2 )/(2 α), where α =N(0,0.3)
Err
or
α
Order =3Order =5Order =7Order =9
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 510
−20
10−18
10−16
10−14
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
Use PC to approximate β = (−1 + [1+4 α2]1/2 )/(2 α), where α =N(0,0.3)
Err
or*
pd
f
α
Order =3Order =5Order =7Order =9
7��� 2% =�� �0���� % / ��������
������ - ��� ����������� ����� 0�������� E��
��� ����� �% ) / &"(� (��$G .�� ��� ����� �% ) / &"(� (�#$G .�� ��� % �� ����� ��� � G H���� ��� % �� � ���� �� �� ����� ��� � �� �� 567�
�:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−2
0
2
4
6
8
10PDF of shock position (1st FD with LLF flux, α = N(0, 0.1)
exact PDFexact PDF from OSCM7−th order PC9−th order PC
7��� :% 567 �� ���� ��������� � �� - ��� ���������� ����� ������ ) / &"(� (��$�= , �� � ���� !���! ���� ���� ����� .�0�7 � ��� ��0 �� �� �� �� ������� ���� ��������� �((( � � ������ �� �� ����� �(� ��� 87. / (�;�
7��� : � ���� �� ����� ������ �� �� ,��� �' �� ����� �� ���� ���
�� �� � ��������� ����� �������� �� ���� �� � ���� ���� ������ ����� �� 8�����!
����������� ���� "7��� B$� �� ���� ���� �� �� �� � ���������� �� �� ���� �� ����
�� ����� .�0�7 � ��� ��0 ����� ��� �� �� ���!���� �� �� ��0�9������� �� ��
������ ��� ����� �� ���� �� �� - ��� ���������� ����� � �� �� �� ��� ����
�������� �� D�� "�)$� ��� ��� �� ��� �� �� ����� �� �� ���� �� ���� "�� ����� ��
���� �$� �� ����� �� �������� ����������� "@�� ���� �� �� ��� ������� ���!���� ��
���� � � ��� ������ �������$ ����� �� 8�����! ����������� ���� ���� & / �1*
�� �� �� �� ������� ��� �������� �� �� ������� ��� ���� ���� �� �� ��� � =� �
��0�� � 0�������� ,�� �� �� �� ���� �� �� �� ��� ����, ��� ����
�� � � �� �� �� �� ��� �� � ����� �� �� ���� �������� � ���� ������ ��
�� ���������� ����� ���� ���� 8�����! ����������� ���� �� �� ������� ��� �����
���� "� 7��� )$� &�� ) &"(� (��$� �� � � � ! � ����� �� �� ,��� � ����
�B
���� �% .� ��� ������� ���!��� "+$ �� �� ��0�9������� ��� �0 �� D�� "�)$� ) /&"(� (��$� �((( � � ������ �� �� �� �� ������� � ������
58 < # : ) ; ��+ #�2� B�;: �;�(2 1;�() 21�12
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5PDF of shock position (CGLC, α = N(0, 0.1), Filter Order = 6 )
exact PDFexact PDF from OSCM3−th order PC5−th order PC
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8PDF of shock position (CGLC, α = N(0, 0.3), Filter Order = 6 )
exact PDFexact PDF from OSCM7−th order PC11−th order PC
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5PDF of shock position (CGLC, α = N(0, 0.6), Filter Order = 6 )
exact PDFexact PDF from OSCM7−th order PC11−th order PC
7��� B% 567 �� ���� ��������� � �� - ��� ���������� ����� ������ = 8�����!����������� ���� ���� & / �1* �� �� �� �� ������� ��� ��������� J� / �
��&��� �� �
�� �� � �� �� ���������� ������ D0�������� ,�� � �� B� E�� .��% ) / &"(� (��$��((((( ������ � �� �� ������ �� 567G E�� ����% ) / &"(� (�#$� �((((( ������� �� �� ������ �� 567G .�� % ) / &"(� (�B$� 1((((( ������ � �� �� �������� 567�
�)
3 4 5 6 7 8 9 10 1110
−5
10−4
10−3
10−2
PCorder
Error of Mean
α = N(0,0.1)α = N(0,0.3)α = N(0,0.6)
3 4 5 6 7 8 9 10 1110
−5
10−4
10−3
10−2
10−1
PCorder
Error of Variance
α = N(0,0.1)α = N(0,0.3)α = N(0,0.6)
3 4 5 6 7 8 9 10 1110
−6
10−5
10−4
10−3
PCorder
Error of 3rd Moment
α = N(0,0.1)α = N(0,0.3)α = N(0,0.6)
3 4 5 6 7 8 9 10 1110
−5
10−4
10−3
10−2
10−1
PCorder
Error of 4th Moment
α = N(0,0.1)α = N(0,0.3)α = N(0,0.6)
7��� )% D � � �� �� �� �� ��� �� ����� �� �� ���� �������� ���� 567 �� ����� ��7��� B� E�� ���% ���G E�� ����% !� ����G .�� ���% # ����� "� ����$G .�� ����% 2�� ����� " � �����$� C�ÆC% ) &"(� (��$G C�0C% ) &"(� (�#$G C��C% ) &"(� (�B$�
� ���������� ����� ������ �� �� ��������� ���� �� 567 ���� �� 7��� B� 7�
) &"(� (�#$ � &"(� (�B$� ���� ���! ��� �� ��� ! �� ���� � ������� �� ����
���� �� ��� ��� �������� � � ������ ��� �� � � � ������ ���� �� ��� ��
��� �!��� ��� ��� ����� �� ���������� ����� � ��
��� ������ �������� ��� ��� ���������� "#�$� ��
�� ���� ������ � ����� �� ������� �������� "*$ ���� % ���� � ?�� ���� !� ����
"% ?��",� -$$ �! �� ����� ���� ��� 7� ���� ������� ���� � ����� 9����� �����������
� �� ���� �� ����� �� �� ���������� ����� ����� ��������� ��;��
�*
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5
0
0.5
1Exact Jacobi PC Modes, β = Beta(1,1)
0−th Mode1st Mode2nd Mode3rd Mode4−th Mode
7��� *% �� , �� ,! 9����� ���������� ����� ���� ���� ���� .�� ����� �������� , / - / �� % ?��",� -$ �� ���� ���
�� � ��������� ����� �������� �� �� ���� ��������� �� ��
�"��$ /"� A %$���"�� %$���
1�����.",� -$������ ( �� ��
�� % / � ���"��$� .",� -$ / ��������������
�� �� ?�� ��������� �� K",$ �� �� 4���� ���������
+����� �� �� - ��� ����������� ����� ���� �� �� ����� �� �� � ������������
9����� ����� 0�������� �� �������� ��� �������� �� 4�� �� � ��� ��! �� ���
�� � "�)$� ��� ���� �� ��� �0 � ���� ������ � �� �� 9����� ����������� ����� �� ��
- ��� ������������
=� ��� � ��� ����
��� ��� � �� ������ �� ������ �� �� &����� ������ ��� ���� ������� �� ��
���� ��� �� ���� �� �����
�� �� �� � ��� �� ����� �� �� ������� �� ��� ���� �� ��� � 1�
�� 7��� *���� � ���� �� , �� ,! 9����� ���������� ����� ��� �� �� ��� �� ��
�� , �� 1� 9����� ���������� ����� ��� �� ��� ������ �� , / - / � �� , / - / �(�
�;
100
101
102
10−2
10−1
100
Exact Jacobi PC Modes at 1.5708. β = Beta(1,1)
N
|uN
(1.5
70
8)|
1/N
100
101
102
10−3
10−2
10−1
100
Exact Jacobi PC Modes at 1.3959. β = Beta(1,1)
N
|uN
(1.3
95
9)|
1/N1/2
1/N
7��� ;% 6��� �� �� �� ������� !���� "�� �$ �� �� , �� 1� 9����� ���������� ��������� % ?��"�� �$ �� ���� ��� .��% �� �� ����� � / ��:)(*G H����% �� �� ������ / ��#;:;
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Exact Jacobi PC Modes, β = Beta(10,10)
0−th Mode1st Mode2nd Mode3rd Mode4−th Mode
7��� �(% �� , �� ,! 9����� ���������� ����� ���� , / - / �(� % ?��",� -$ ������ ���
1(
100
101
102
10−2
10−1
100
Exact Jacobi PC Modes at 1.5708. β = Beta(10,10)
N
|uN
(1.5
70
8)|
1/N1/2
1/N
100
101
102
10−3
10−2
10−1
100
Exact Jacobi PC Modes at 1.3959. β = Beta(10,10)
N
|uN
(1.3
95
9)|
1/N1/2
1/N
7��� ��% 6��� �� �� �� ������� !���� "�� �$ �� �� , �� 1� 9����� ���������� ��������� , / - / �(� % ?��",� -$ �� ���� ��� .��% �� �� ����� � / ��:)(*G H����% �� ������� � / ��#;:;
#�������� !�����
+��� % �� ?�� ��� ����� �� �� �� � ��� ��� ��� 0������ �� ������� ��������
���� �� 9����� ���������� ����� ����� ���������� & ��� �� �' �� ������� ���������%
% ?��"�� �$�?��":� :$� �� ?��"�(� �($� �� ����� � �� �� 8�����! �����������
���� � ����� �� 7��� �1� &�� % ?��"�(� �($� �� � ��������� ����� �������� ��
������ ���� ���� ���� ���� =� �� !� ���� �� % ��� ���� ���� �� 9����� ����������
����� � �� "���� ���� � ���������� ����� �����$ � � �� � ��� �������
������ ���� �� ����� �� �������� �� ������������ �� �� ���� ���� �� % �� ��
������� �� �� � ,� "@�� ���� % ��� 567 "�� %�$� ��� , / -$
��� ������ �������� ���� %&� ���������� !������ ��
�� ���� ������ � ����� ���� ��� ������� ��������� �� �� �� �
�"�� %� � / ($ / �"�+���"�$%� A
�+���"�$%�$� "�*$
�� %� �� %� � ��������� �� ��� ������ ��������� ��� ���� 4������� ����
!� ����� )� �� )� �����!��� �� ������� ���� )� �� %� � ��!� �� ";$� &
1�
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8PDF of Shock Positions. Jacobi Chaos. u(x,0) = β sin x, with β ~ B(1,1)
exact PDFexact PDF from OSCM9−th order PC13−th order PC
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6PDF of Shock Positions. Jacobi Chaos. u(x,0) = β sin x, with β ~ B(5,5)
exact PDFexact PDF from OSCM7−th order PC9−th order PC
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8PDF of Shock Positions. Jacobi Chaos. u(x,0) = β sin x, with β ~ B(10,10)
exact PDFexact PDF from OSCM7−th order PC9−th order PC
7��� �1% 567 �� ���� ��������� � �� 9����� ���������� ����� ������ �((((( ������� �� �� ������ �� 567� <�� �� ��� � � �� ��� �� �� �� 7��� B� E�� ���%% / ?��"�� �$ G E�� ����% % / ?��":� :$G .�� % % / ?��"�(� �($�
11
����� ���� �+�� �� ���"�$� �� �� �� �
+� /1$
� A $����
� � / �� 1� � � �
��
��"�$ /
�����
���������������
��������
� �� � �� �
���������������� �������
�
� �� � �� !��
�� � / �(1� $ / �(� �� �� ��� ����� ����� ���� �����,����� �� ���"���$ / (� �� � �� �
�� A�����"���$ / (� �� � �� !�
�
!����" � �� ������� ��������� "�*$ �!��� � / �� ���� � ���� � ��� ���� �� �� �����
'��� ��(��)� ������� ��� �� ��������� ���������� *%+, /"��� ��$ / ������������ -�
��� ��� �� *., ��� �� ����� ��� � �� ������������� �� �� '��� ��(��)� ������� ��
������� ����� �� ��� � ����� �����
7��� � �# �� �2 ���� �� 567 �� �� ���� ��������� �� )�� )� &"(� (��$ ��
&"(� (�#$ ��� � / (�2�
��' ������ �������� �(� %&� ���������� "#�$� ��
=� �� +�� #�#� �� ������� �������� �� � �� �� � "�*$� ?�� ������ � ����� %� ��
%� ��! ?�� ��� �������� @�� ���� ����� �� %�� %� ?��":� :$ �� ?��"�(� �($ �
����� �� 7��� �: �� �B� <� ��� � ���� �� 567 � �� �� ���������� ����� �����
�� ���� �� ���! � �� �� 0��� 567� �������� �� �� ����� ��� ! � ���� �� �� ��
������� 9����� ������
1#
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8PDF of Shock positions from MC & PC
x
m=1000m=8000m=200002−D 4−th order PC
7��� �#% 567 � �� 38 ���� �(((� *(((� 1(((( ������ �� 16 2�� � - ��� ���������� J� / &���� �� 38 ������ J� / �
�����
&���� �� �� - ��� ���������� �����
������ 1(((( ������ � �� �� ������ �� 567 �� �� - ��� ���������� ���������� ���� �� ���� �� �� �� �� +�� 1�#� � / (�2� )�� )� &"(� (��$�
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3PDF of Shock positions from MC
x
m=1000m=8000m=20000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5PDF of Shock positions from MC & PC
x
MC: m=200002−D 4−th order PC2−D 6−th order PC2−D 8−th order PC
7��� �2% 567 �� ���� ���������� )�� )� &"(� (�#$� =�� ��� �� ��� � � �� ��� ���� �� 7��� �#� .��% 3��� 8� �� ���� ���� �(((� *(((� 1(((( ������G H����% 2�B�*���� - ��� ������
12
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5PDF of Shock positions from MC. ~ Beta(5,5)
x
m=1000m=8000m=20000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3PDF of Shock positions from MC & PC, Beta(5,5)
x
MC: m=200002−D 4−th order PC2−D 6−th order PC2−D 8−th order PC
7��� �:% 567 �� ���� ���������� %�� %� ?��":� :$� =�� ��� �� ��� � � �� ����� �� 7����#� .��% 3��� 8� �� ���� ���� �(((� *(((� 1(((( ������G H����% 2� B�*���� 9����� ������
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5PDF of Shock positions from MC. ~ Beta(10, 10)
x
m=400m=4000m=20000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5PDF of Shock positions from MC & PC, Beta(10, 10)
x
MC: m=200002−D 4−th order PC2−D 6−th order PC2−D 8−th order PC
7��� �B% 567 �� ���� ���������� %�� %� ?��"�(� �($� =�� ��� �� ��� � � �� ����� �� �� 7����#� .��% 3��� 8� �� ���� ���� 2((� 2(((� 1(((( ������G H����% 2� B�*���� 9����� ������
1:
! �������
& ��! ���� �� '�� �� ���� ������� ��������� �� �� �� ���� �� �� ���� ����
���� ���� ��� �� � ������ ��� ����� ���� ���� �� ��� � ��� 4� ���� ���������� �����
����� � ������� �� ������ �� ��� ������ �� �� ���� �������� �� �' ��
���������� ������� ���������� <� ���� ����������� � %
�� ���������� ����� 0������� ��� � ������ ��������� �� �� ������� !� ���� ��
�������� �� ���!���� �������� ���������� � ������������ �� �� ������� !� ����
��
�� �������� �� ������������ �� �� ���� !� ���� ���� �� � ,0 ����� �� 7��� ���
�� ����� � �� �� ��������� �� �� ����� �� �� ���� ���������� ����� �����
� ���� �� � ��������� �� �� ���� � ������
&�� �� !� ���� �� �� ������� �������� �� ������ �� � ��������� ����� �������� ��
�� ���� �������� �� ������ ���� ���� ���� ���� <�� ���� ���� ���������� �����
0������� � �� � � �� � ��� ������� ������ =� , �� ��� �� 8�� ��
�1�� ���� �� � �� �� ���� ���! ��� �� �� ���������� ����� 0���������
�� �� ��� ������� ���!��� �� �� ��0�9������� ��� �0 �� �� ����� ��� ���
���� �� ���� ���� �� �� ���� �� �� ���������� ����� � �� �� �� �� 0��������
���� ����� ���� �� � ���������� �� ��� ��� ���� ������ �� ��� ����� ��� ��
�� ������ ��� ����� �� ���������� ����� � ��� ���� ���� � � �������� ��
�� ����� �� ���! �� ����� ���� � ���� � ��� ���� ���� ����� ��� ��� �����
������������ ���� ���� � D@< � &D@< ������
$�" %���&�� �� ����� � ���� 5 ��� 8�� �� "E8 ? ��$ �� ��� ���� !����
��� ������� �� - ��� ����� ������ & ���� ���� �� �� ���� 5 ��� 8���!�
"E��!� ?���� 5������ 7 ���$ �� ��� ����� ����������� �� �� �� �� ���� �����
��� ����� � �� =7<+H � ��� 72;B1(�(1���(��# �� 6<D � ��� 6D�74(1�;*DH1:#2B�
1B
�� �� �� �� ���� ����� ��� �� ��� ����� � �� �� @+7 8� =�� ���� ��� 63+�
(�#1;B)� =7<+H �� ���� ��� 7=;::(�(2���(()1 �� �� �� =�� 5� +���� 7��������
�� ���� � +���� H�� �� 7���������
1)
" # � � �
��� H� =� � �� 9� &������ �� /��� 0����� ���� 1����� ��� ���� ������" &�(
���� 1����� ��� �� ��� �� �� 2 ����� ���� ������ ������� 3$#�� =� ����
3���������� +������ 5 �!���� H�� �;*:�
�1� =� 9� 8�� ��� 4������� ,�� �� ���� ���� &� ���� �� 4� �� �������� B#%1�L#1�
�;)2�
�#� 8� 3� 6�� ���� � � �� ���� ���� �� � ���� !����� ��� ���� ������� ������������
5 ������ �� 2����� ���� ����� M.I"1$%#�#L#�;� 9��� �;*)�
�2� 6� 7��� �� 1����� ��� 2������ ����� �� 6�7������ 89 ������ +� ��� �I ���� @�
N� � �;;1� .��� @��� �� 5�������
�:� H� 4� 4���� �� 5� 6� +������ ��������� 4���� 8� ��: 2 ������� 2��������
+� ��� �I ���� @� N� � �;;��
�B� 6� 4������ �� +� =� < ����� ; ����� 2����� �� ������� �����: ����� ���
2����������� +�=3� 5���������� 5=� �;))� 8?3+�@+7 H������ 8��� �� + ��
�� =���� 3����������
�)� .� -��� �� H� &� &��� �� H���� ,� ��������� �������� ����� � ��������
��� ������ �� �� ��������� �� ���� �� � �C �������� H�� � 8H�1((��1��1#;�
�8=+D� 1((��
�*� =� 9� ������� H��� !������� �� ����� ��� �� ����� ���������� &� ���� ��
�� 2 ����� ���������� 2��������� *B"2�#$%1(:L112� 3� �� �;;��
�;� H� 3� 9� >�� � 9� 9� 5����� �� 3� 6� 4 ����� = ���� �� ��������� ����������
�� ������ �����0 ����� &� ���� �� ;��(;!������ 4� �� �������� �(*%�1#L�21�
1((1�
1*
��(� &� .� <� ����� 9� 8� -����� �� F� +���� 3���������� � �������� �� ��� �
������� �� 2<22 ;��(6�� ������ 2������� 4�� � +����� &=� =� �� 1((�� 5��
@�� 1((���B2:�
���� 3� 6� +����� +� =�� ����� �� 6� 4������� 3������ ���� ����� �� ��� ��� �����
������� !��� � ������ 2����� ; ����� ���� ����� 1%�;#L1�(� �;*B�
��1� 4� �� +���O�� "D��� $� = ������������ � �� � �� ������������� ���������� ������
���� 1����������� 8�������� �������� �1"2$%�;)L#1�� �;;)� �=++=H �� ��
��#� 8��&� +��� = �� !� �� �� ��� ��������� � � !��� ���� � ��� ��� ���������� ��
6� D��� �� +� ��!� � ��� �� =������ ��� � �� �� 1�������� �� ���������
��� 6�����"������ ���� :�LB:� +�=3� 1((1�
��2� ?� +� � �� =� 6� F�� ������ +��������� ,��� ���� ����� �� ���������% =
������������ � �� �� H�� � E8?P+D33�1(((P(*� 6�� ���� �� 8�!�� Q D�!� ���
����� D���� ���� E��! ���� �� 8����� ���� ? ��� @�!�� 1(((�
��:� 4� +��O�� -��������� 1����� ���� =� ���� 3���������� +������ 5 �!���� H��
2�� ������ �;):�
��B� D� 7� �� �� >� ��� ����� ��� ; ����� ����� ��� 4� �� 6��� ��: � 1��������
<����� ������ +� ��� �I ���� @� N� � 2�� ������ �;;)�
��)� -� I��!�� 7����� �� ���� �� ,�� � �� ������������ � ������ &� ���� �� ��������
=� � ����� B"1$%�:;L�;1� �;;��
��*� H� &� &��� � �� .� -���� E�� ������ �������� �� ��� �������� ���� �������������
H�� � 8H�1((1�1��22;� �8=+D� 1((1�
��;� 6� M�� �� 4� D� F� ���� ��� 3����� ��� ������ �� ��� ����������� !�� �� ����
���������� ������ &� ���� �� =� � �������� 1����� �*)%�#)L�B)� 1((#�
1;
�1(� =� 3� N������ 2� <����� ����� �� �� ����� �� ���������� >���� 4 �������
5 �����-���� @9� �;;(�
#(