11

Analyses de SensibilitéAnalyses de Sensibilité Applications en OrdonnancementApplications en Ordonnancement

Eric SanlavilleUniversité Blaise Pascal Clermont Ferrand

Laboratoire LIMOS-UMR 6158 CNRS

22

PlanPlan

Place de l’analyse de sensibilitéPlace de l’analyse de sensibilité Les limites de l’Analyse de Sensibilité classiqueLes limites de l’Analyse de Sensibilité classique Exemples d’ A. S. en ordonnancementExemples d’ A. S. en ordonnancement

2 machines sans communication2 machines sans communication 2 machines avec communication2 machines avec communication 1 machine, minimisation du flow time1 machine, minimisation du flow time Nombre non borné de machines parallèles Nombre non borné de machines parallèles

Conclusions ??Conclusions ??

33

Optimisation / Aide à la décisionOptimisation / Aide à la décisionsous incertitudessous incertitudes

Fonction Fonction zz à minimiser sous des contraintes dépendant de paramètres numériques à minimiser sous des contraintes dépendant de paramètres numériquesII instance du problème : ensemble de valeurs pour les paramètres instance du problème : ensemble de valeurs pour les paramètres..

SS solution de I : vérifie les contraintes pour I solution de I : vérifie les contraintes pour IIncertitudes sur un paramètre : sa valeur est inconnueIncertitudes sur un paramètre : sa valeur est inconnue..

Estimée par une valeurEstimée par une valeur Restreinte sur un intervalle ou un ensemble de valeursRestreinte sur un intervalle ou un ensemble de valeurs

Définie par une variable aléatoireDéfinie par une variable aléatoire

BUT : Construire des solutions pas trop mauvaises quelles que BUT : Construire des solutions pas trop mauvaises quelles que soient l’instance réaliséesoient l’instance réalisée

Cadre : on suppose que certaines décisions, voire toutes, doivent Cadre : on suppose que certaines décisions, voire toutes, doivent être prises avant la levée de l’incertitude (cadre Proactif)être prises avant la levée de l’incertitude (cadre Proactif)..

44

Analyse de SensibilitéAnalyse de Sensibilité

Soient une instance I et une solution S fixées

QUESTION : Que devient la solution S quand I varie?

S est –elle toujours une solution ?

S reste-t’elle optimale?

Si non quelle est sa dégradation de performances?

Quelle est la nouvelle solution optimale?

Au fait, comment mesurer la dégradation de performances??

55

Objectifs de l’Analyse de Objectifs de l’Analyse de SensibilitéSensibilité

Cadre Proactif pour l’optimisation sous incertitudes.

Répondre à la question:

Etant donné une solution S calculée au moins en partie avant la levée des incertitudes (première phase), quelle sera la performance de S pour l’instance

réalisée?

66

Analyse de Sensibilité

Robustesse Ré-optimisation

Mesures de robustesse

Nouvelle solution?

77

Soit un ensemble d’instances Soit un ensemble d’instances

BUT : calculer la solution de robustesse maximum sur BUT : calculer la solution de robustesse maximum sur .. 2 Approches : 2 Approches :

Stochastique : des probas sur les instances, et une mesure Stochastique : des probas sur les instances, et une mesure probabilisteprobabiliste

Par scénarios : mesure au pire sur l’ensemble Par scénarios : mesure au pire sur l’ensemble On a un nouveau problème d’optimisation. Peut-on le On a un nouveau problème d’optimisation. Peut-on le

résoudre? Est-il possible de trouver un algorithme calculant résoudre? Est-il possible de trouver un algorithme calculant toujours la solution la plus robuste quelle que soit l’instance?toujours la solution la plus robuste quelle que soit l’instance?

RobustesseRobustesse

88

Soit une instance I, S* optimum sur ISoit une instance I, S* optimum sur I

Soit une instance I’, Soit une instance I’, ««voisinevoisine» » de Ide I

BUT : Calculer une nouvelle solution optimale pour I (à partir BUT : Calculer une nouvelle solution optimale pour I (à partir de S* ?)de S* ?)

Problème : il n’est pas toujours possible d’intervenir librement Problème : il n’est pas toujours possible d’intervenir librement après la levée des incertitudes (Ce serait plutôt le contraire !!)après la levée des incertitudes (Ce serait plutôt le contraire !!)

Objectif moins ambitieux : la réparation ?Objectif moins ambitieux : la réparation ?

Ré-optimisationRé-optimisation

99

AS en PL, PLNE : étendue des changements sur UN paramètre AS en PL, PLNE : étendue des changements sur UN paramètre (coefficient de l’objectif, partie droite) sans perte de (coefficient de l’objectif, partie droite) sans perte de l’optimalité de S* ou de z*.l’optimalité de S* ou de z*.

Etude de Stabilité (rayon de stabilité)Etude de Stabilité (rayon de stabilité)

HOURRAH : Avec le simplexe, on a en même temps la HOURRAH : Avec le simplexe, on a en même temps la solution et sa stabilité, donc ON SAIT REPONDRE AUX solution et sa stabilité, donc ON SAIT REPONDRE AUX INCERTITUDES !INCERTITUDES !

Inutile de chercher plus loin et d’étudier des modèles plus Inutile de chercher plus loin et d’étudier des modèles plus élaborés, stochastiques ou autres.élaborés, stochastiques ou autres.

Marche à suivre si un paramètre varie.Marche à suivre si un paramètre varie. Soit on reste optimal.Soit on reste optimal. Soit on ré-optimise (et c’est facile avec le simplexe).Soit on ré-optimise (et c’est facile avec le simplexe).

A quoi sert l ‘ AS classique pour les A quoi sert l ‘ AS classique pour les problèmes sous incertitudes?problèmes sous incertitudes?

Vision optimisteVision optimiste

1010

Ce n’est pas aussi simple pour tous les problèmesCe n’est pas aussi simple pour tous les problèmes Ré-optimisation pas toujours possible (rarement?):Ré-optimisation pas toujours possible (rarement?):

Il faut prendre des décisions avant la levée des Il faut prendre des décisions avant la levée des incertitudesincertitudes

Exemples: affectation en ordo parallèle; Exemples: affectation en ordo parallèle; dimensionnement de réseauxdimensionnement de réseaux

La solution proposée peut être TRES sensible à certaines La solution proposée peut être TRES sensible à certaines perturbations quand on dépasse le rayon de stabilitéperturbations quand on dépasse le rayon de stabilité

Cela ne répond pas du tout à une véritable INCERTITUDE Cela ne répond pas du tout à une véritable INCERTITUDE sur les données (pas de valeur privilégiée, plusieurs sur les données (pas de valeur privilégiée, plusieurs paramètres incertains). paramètres incertains).

A quoi sert l ‘ AS classique pour les A quoi sert l ‘ AS classique pour les problèmes sous incertitudes?problèmes sous incertitudes?

Vision pessimiste : à rienVision pessimiste : à rien

1111

Les solutions optimales ont de bonnes propriétésLes solutions optimales ont de bonnes propriétés

1.1. Construisons un ensemble de solutions optimalesConstruisons un ensemble de solutions optimales 1.1. Choisir des instances parmi les possibles Choisir des instances parmi les possibles

2.2. échantillonneréchantillonner

2.2. Prenons des décisions compatibles avec ces solutions Prenons des décisions compatibles avec ces solutions (extraction d’une structure commune) (extraction d’une structure commune)

Conséquence : Conséquence :

La solution finalement construite sera robusteLa solution finalement construite sera robuste

A quoi sert l ‘ AS classique pour les A quoi sert l ‘ AS classique pour les problèmes sous incertitudes?problèmes sous incertitudes?

Vision optimisteVision optimiste

S1, S2,…,Sn

1212

(Hypothèse : ensemble (Hypothèse : ensemble d’instances possibles) d’instances possibles)

Modèle stochastique sous jacent : Modèle stochastique sous jacent : les paramètres : variables aléatoiresles paramètres : variables aléatoires Une proba pour chaque instance Une proba pour chaque instance

Minimiser un critère stochastique :Minimiser un critère stochastique :

1.1. E(z)E(z)

2.2. Déviation / optimal déterministeDéviation / optimal déterministe ex : ex : E (zE (zII(S) / z(S) / zII*)*)

Modèle par scénarios, ou par intervalles : analyse au pireModèle par scénarios, ou par intervalles : analyse au pire1.1. Max zMax zII(S) (S) (robustesse absolue )(robustesse absolue )

2.2. Déviation / optimal Déviation / optimal ex : ex : Max zMax zII(S) / z(S) / zII**

Comment mesurer la robustesse d’une Comment mesurer la robustesse d’une solutionsolution? ?

1313

Exemple 1 (Wallace 00)Exemple 1 (Wallace 00)3 produits A, B, C. production =1

demandes pour A et B : a et b inconnues ,mais leur somme vaut 1. demande pour z : 1

Max Z = 3A + 2B + CA aB 1-aA+B+C 1

a connue après la décision

Solution optimale pour a fixée : (a,1-a,0)

Infaisable!

Les solutions optimales ont une structure indésirable : A,B >0, C =0

Solution robuste

(pour espérance( : )0,0,1)

1414

Exemple 2 (Mahjoub 04)Exemple 2 (Mahjoub 04)1 / /Uj : Ordonnancement sur une machine, minimiser le nombre de

tâches en retard. Indisponibilité possible de la machine au démarrage

Cas de deux scénarios : pas d’indispo, ou une indispo sur [0,3]

1 2 3 4 5 6 7

d1 = 3 d4 =6 d7=9

4

1 2 3 5 6 7

5 6 7

S1

S2

S3

OK [0,3] Max (z - z*)

0 7 4

3 3 3

1 4 1

1515

L’objectif de stabilité est insuffisant pour obtenir des L’objectif de stabilité est insuffisant pour obtenir des solutions robustessolutions robustes

Il faut utiliser des mesures plus complètes.Il faut utiliser des mesures plus complètes. Les solutions robustes : pas forcément issues des solutions Les solutions robustes : pas forcément issues des solutions

optimales en déterministe.optimales en déterministe. L’AS classique ne permet pas une réelle prise en compte de L’AS classique ne permet pas une réelle prise en compte de

l’incertitude. Elle est adaptée pour des problèmes l’incertitude. Elle est adaptée pour des problèmes intrinsèquement déterministes, avec perturbations (aléas) intrinsèquement déterministes, avec perturbations (aléas) mineures.mineures.

Le choix : analyse au pire ou modèle stochastique?Le choix : analyse au pire ou modèle stochastique?

Quelles conclusionsQuelles conclusions?? ??

1616

1.1. Déterminer les instants de décision. Modèle proactif Déterminer les instants de décision. Modèle proactif imposé ou pas? (Flexibilité a priori du problème)imposé ou pas? (Flexibilité a priori du problème)

2.2. Modèle stochastique ou non?Modèle stochastique ou non?

3.3. Déterminer l’ensemble d’instances pour l’étude Déterminer l’ensemble d’instances pour l’étude ..

4.4. Choisir une mesure de la robustesse.Choisir une mesure de la robustesse.

Méthodologie (proposition !)Méthodologie (proposition !)

1717

Méthodologie IIMéthodologie II

HYP :on dispose d’une méthode de calcul A

Effectuer une AS de A pour et R

Resultats satisfaisants?

OUI

STOP

NON

1 /Améliorer la robustesse de A : A’

2 /Optimiser la robustesse A*

Exemples d’Analyse de Exemples d’Analyse de sensibilité au pire en sensibilité au pire en

OrdonnancementOrdonnancementCompromis entre AS et Maximisation Compromis entre AS et Maximisation

de la Robustessede la Robustesse

1919

n tâches, de durées pn tâches, de durées pj. Perturbations sur les durées.. Perturbations sur les durées. Soit S* un ordonnancement optimal. On suppose que la Soit S* un ordonnancement optimal. On suppose que la

tâche Tn peut augmenter sa durée. Tn est placée en tâche Tn peut augmenter sa durée. Tn est placée en dernier sur la machine Mdernier sur la machine M22 (supposée sans oisiveté). (supposée sans oisiveté).

22 / / / / Cmax (Hall Posner 2000)Cmax (Hall Posner 2000)Analyse de stabilitéAnalyse de stabilité

1

3

2

4

M1

M2

3

7

6

S*P4 = 2 +

Pour conserver une solution optimale, il faut faireun échange de tâches entre les machines dès que > 1

5

M1

M2S’

1 4

3 2

2020

22 / / / / Cmax Cmax Analyse de sensibilitéAnalyse de sensibilité

3 4

2

6

M1

M2

3

7 +

6

S*

P6 = 1 +

3 4

2 6

M1

M2S’

7

Ici le rayon de stabilité de S* est nul

HP : heuristique qui teste certains de ces échanges. Cette heuristiquedonne également une borne supérieure sur / S* reste optimal : u

TH : si u, z(S*)/z* 8/7

u = 1, la borne est atteinte

2121

22 / / / / Cmax Cmax RobustationRobustation

Si on utilise leur heuristique d’échange, on peut perdre l’optimalité mais gagner en robustesse

TH (HP simplifié) :

si u’, z(S’)/z* 8/7

avec u u’ 10/3 u’

La garantie 8/7 est conservée plus longtemps pour S .’

Mais les bornes sur dépendentDe S* et de l’instance !!

2222

Les tâches exécutées sur des machines différentes communiquent si elles sont liées par une contrainte de précédence (info

parallèle, atelier et temps de transport) : : Délais de communication cDélais de communication c

Version déterministe : le problème est polynômial si :Version déterministe : le problème est polynômial si :1.1. 2 machines2 machines2.2. Communications unitaires, durées des tâches unitairesCommunications unitaires, durées des tâches unitaires3.3. Graphe : arbreGraphe : arbre

On a alors 4 algorithmes différents pour le résoudre!On a alors 4 algorithmes différents pour le résoudre! IncertitudesIncertitudes : sur les durées des communications : sur les durées des communications

22/ / com, tree/ Cmax com, tree/ Cmax (Moukrim Sanlaville Guinand 03)(Moukrim Sanlaville Guinand 03)

2323

a cb

e 3

x2 y

d

R

z1

e x 2 b c d R

3 y a z 1

M1

M2

S1

7

3 x y 2 z 1 R

e a b c d

M1

M2

S2

7

Processeurordonné

2424

Les délais de communication ne sont pas tous égaux à 1!!

Supposons que les délais valent 2 entre : e et 2, 3 et 2, 2 et 1, 1 et R, d et R (1 ailleurs)

e x . 2 b c d . . R

3 y a z . 1 S1

10

S2

3 x y 2 z 1 . R

e a b c d

8

S2

3 x y 2 1 d R

e a b c z S3

7

2525

22/ / com, tree/ Cmax com, tree/ Cmax Analyses de sensibilitéAnalyses de sensibilité

S* quelconque : z(S*) / z* (C+1)/2La borne est atteinte pour 3 des 4 algos

S* P-O : z(S*) – z* C – c (car : ils sont stables)

C : valeur maximum des délais de com c : valeur minimum

Déviationrelative

Déviation absolue

Quand les algorithmes P-O sont-ils dominants? OUI : délais nuls; délais 1.

NON : c [0,1]; c1; m >2

2626

Problème déterministe : SPT (Shortest Processing Time) est Problème déterministe : SPT (Shortest Processing Time) est optimal. Incertitudes sur les durées.optimal. Incertitudes sur les durées.

1.1. (PRT) Analyse de Sensibilité de SPT: borne sur la (PRT) Analyse de Sensibilité de SPT: borne sur la déviation relative z/z* en fonction de l’amplitude de la déviation relative z/z* en fonction de l’amplitude de la perturbation perturbation

2.2. (DK) Robustesse dans le cas d’un ensemble discrèt de (DK) Robustesse dans le cas d’un ensemble discrèt de scénariosscénarios

3.3. (AL) Robustesse dans le cas d’intervalles continus(AL) Robustesse dans le cas d’intervalles continus

11 / / / / Cj (Penz et al 2001, Daniels et Cj (Penz et al 2001, Daniels et Kouvelis 95, Averbakh et Lebedev 03)Kouvelis 95, Averbakh et Lebedev 03)

2727

Durées réelles : Durées réelles : ppj = (1+ = (1+j)q)qj ou q ou qj durées estiméesdurées estimées

Amplitude de la perturbation Amplitude de la perturbation : :

1+e = (1+1+e = (1+++) / (1-) / (1---) , ) , ++ = max = max((j); ); - - = max= max(-(-j))

TH 1(PRT) : sous des conditions très générales et pour Cmax et TH 1(PRT) : sous des conditions très générales et pour Cmax et Cj ,Cj ,La déviation relative au pire est bornée :La déviation relative au pire est bornée :

z / z* z / z* (1+ (1+

TH 2 (PRT) : Pour SPT et 1// TH 2 (PRT) : Pour SPT et 1// Cj , Cj , z(S) / z* z(S) / z* (1+ (1+

La borne est atteinte dans le cas où toutes les estimations sont égalesLa borne est atteinte dans le cas où toutes les estimations sont égales

11//// Cj : Analyse de Sensibilité Cj : Analyse de Sensibilité

2828

Mesure de robustesse : Mesure de robustesse :

Déviation absolue au pire z – z*Déviation absolue au pire z – z* (DK) Dans le cas de 2 scénarios, trouver (DK) Dans le cas de 2 scénarios, trouver

l’ordonnancement qui minimise (z –z*) est NP-difficilel’ordonnancement qui minimise (z –z*) est NP-difficile (AL) Dans le cas d’intervalles continus pour les durées, (AL) Dans le cas d’intervalles continus pour les durées,

aussi.aussi. Le problème est polynômial pour des intervalles centrés Le problème est polynômial pour des intervalles centrés

et n pair : l’algorithme place en milieu de séquence les et n pair : l’algorithme place en milieu de séquence les tâches de plus grand intervalle.tâches de plus grand intervalle.

11//// Cj : Maximisation de la Cj : Maximisation de la robustesserobustesse

2929

D’un côté, on a un algorithme SPT peu sensible aux D’un côté, on a un algorithme SPT peu sensible aux perturbations, avec un bon comportement pour la mesure perturbations, avec un bon comportement pour la mesure de la déviation relative.de la déviation relative.

De l’autre, un résultat négatif sur la maximisation de la De l’autre, un résultat négatif sur la maximisation de la robustesse pour une deuxième mesure, la déviation robustesse pour une deuxième mesure, la déviation absolue.absolue.

QUESTION 1: SPT minimise la déviation relative?QUESTION 1: SPT minimise la déviation relative?

QUESTION 2 : la déviation absolue est-elle un bon critère QUESTION 2 : la déviation absolue est-elle un bon critère pour un critère additif?pour un critère additif?

11//// Cj : Quelles conclusions Cj : Quelles conclusions? ?

3030

1.1. 1(indispo)//1(indispo)// Uj : une solution robuste ne doit pas Uj : une solution robuste ne doit pas forcément être cherchée parmi les solutions optimales en forcément être cherchée parmi les solutions optimales en déterministe.déterministe.

2.2. 2//Cmax : une analyse de sensibilité classique 2//Cmax : une analyse de sensibilité classique (paramétrique) sur une solution optimale quelconque, (paramétrique) sur une solution optimale quelconque, avec une tentative pour rendre l’ordonnancement plus avec une tentative pour rendre l’ordonnancement plus robuste. robuste.

3.3. 2/com,tree/Cmax :une analyse de sensibilité au pire 2/com,tree/Cmax :une analyse de sensibilité au pire comparée pour différents algorithmes optimaux en comparée pour différents algorithmes optimaux en déterministe.déterministe.

4.4. 1//1//Cj : une analyse de sensibilité au pire, une Cj : une analyse de sensibilité au pire, une maximisation de robustesse maximisation de robustesse

Retour sur les exemplesRetour sur les exemples

3131

Pas de jugement péremptoire.Pas de jugement péremptoire. Je me suis placé dans un cadre proactif. L’hypothèse Je me suis placé dans un cadre proactif. L’hypothèse

implicite : l’incertitude peut être complètement décrite. implicite : l’incertitude peut être complètement décrite. Si ce n’est pas le cas, ou si l’AS ou la maximisation de la Si ce n’est pas le cas, ou si l’AS ou la maximisation de la

robustesse n’apportent pas de réponses probantes:robustesse n’apportent pas de réponses probantes:Approche proactive/prédictive.Approche proactive/prédictive.

Importance du choix de la mesure de robustesseImportance du choix de la mesure de robustesse

privilégier les mesures au pire (déviations) privilégier les mesures au pire (déviations) ??

Modèle stochastique ?Modèle stochastique ?

ConclusionsConclusions??? ???

3232

REFERENCESREFERENCES

Daniels Kouvelis. Management Science 1995

Guinand Moukrim Sanlaville. Parallel Computing 2003

Hall Posner. www-iwse.eng.ohio-state.edu/ISECourses/ise824

Lebedev Averbakh. Discr. Appl Math, à paraître 2003.

Mahjoub A. These GILCO Grenoble 2004

Penz Rapine Trystram. EJOR 2001

Wallace S. Operations research 2000