1

1èreES1 Le second degré Introduction à la factorisation feuille n°1

Partie 1 : correction

1) Factoriser les expressions suivantes :

x² - 8x + 16 x² + 6x + 9 16x² - 81

( 4x – 1 )² - 9 ( 2x – 1 )² - ( x + 3 )² ( x + 5 )² - 16 ( x – 3 )²

2) Après avoir factorisé, résoudre les équations suivantes :

2x² - 28x + 98 = 0 (5x + 2)² = ( x – 3 )² 4x² = 81 9x² - 1 = ( 3x – 1 ) ( x + 2 )

Partie 2 : Vers la forme canonique

1) Compléter les égalités suivantes :

x² - 6x + ……… = (x - ……)² x² + 4x + ……… = ( x + ……… )²

x² + 8x + ……… = (…… … ………)² x² + 3x + ……… = ( ……… … ……… )²

2) En utilisant les égalités précédentes, compléter :

x² - 6x = (x - ………)² - ……… x² + 4x = (x + ………)² - ………

x² + 8x = (……… … ………)² - ……… x² + 3x = (……… … ………)² - ………

3) En remplaçant les deux premiers termes par les résultats obtenus dans 2), factoriser, quand cela

est possible, les expressions suivantes, puis résoudre les équations dans.

x² - 6x + 8 = 0……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

x² + 4x – 21 = 0…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

x² + 8x – 20 = 0……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

x² + 3x + 5 = 0………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4) En utilisant la méthode suggérée dans les questions précédentes, factoriser les expressions

suivantes quand cela est possible :

x² + 10x – 24 =0

………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

-x² - 4x + 5 = 0

………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

-x² + 3x – 5 = 0

………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

3x² + 6x – 45 = 0

………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

2

1èreES1 Le second degré Activités préparatoires feuille n°2

AP1 : Utiliser les formes d’un polynôme de degré 2 page 34 correction

Conclusion :

Un polynôme qui s’écrit ax2 + bx +c , où a est différent de zéro, est un polynôme de degré 2, de la

variable réelle x. On parle aussi de trinôme du second degré

Ce trinôme peut s’écrire sous trois formes :……………………………………….

AP2/ Découvrir le rôle du discriminant Avec le logiciel Géogébra (TP1) on a créé :

trois curseurs a, b et c variant de -5 à 5 avec un pas de 0.1

l’expression f(x) = ax2 +bx +c

Le nombre Δ = b2 – 4ac Δ s’appelle le discriminant du trinôme ax2 +bx +c

Les points d’intersection de la courbe f avec l’axe des abscisses.

En faisant varier les curseurs, conjecturer un lien entre le réel Δ et le nombre

de solutions de l’équation f(x) = 0

Que se passe-t-il si a est négatif ?

Que se passe-t-il si a = 0 ?

Que se passe-t-il si Δ est positif ? si Δ est négatif ? si Δ est nul ?

AP3 : Rechercher les solutions d’une équation du second degré

Une équation du second degré est une équation de la forme ax² + bx + c = 0 avec “a” différent de 0.

Résoudre une telle équation revient à trouver la ou les valeurs de “x” qui annulent l’expression

ax²+bx+c. En fonction des valeurs de a ; b ; c il peut y avoir 0 ; 1 ou 2 solutions.

Deux méthodes peuvent être utilisées :

La méthode graphique

Représenter la fonction f(x) = ax² + bx + c dans un repère (on peut utiliser du

papier millimétré, une calculatrice graphique ou un logiciel de mathématique…en

l’occurrence géogébra )

Déterminer l’abscisse des points d’intersection entre la parabole tracée et l’axe

des abscisses.

Utilisation de la calculatrice

On définit les fonctions suivantes sur IR :

f1(x) = -0.5x2+ x + 1.5 f2(x) = 2x

2+ 2 x -4

f3(x) = x2- 2x + 1 f4(x) = - x

2- x -1

f5(x) = -0.5x2- x - 0.5 f6(x) = 2x

2- 2x + 1

Pour chaque fonction, compléter le tableau ci-dessous en suivant le modèle indiqué pour la

fonction f1

3

Coefficients Calculatrice

Solutions de

l’équation f(x) = 0 Δ = b2 – 4ac

a b c

f1

f2

f3

f4

f5

F6

Utilisation de Géogébra (TP2)

4

A l’aide de la fenêtre géogébra ci-dessous, résoudre les

équations suivantes :

Les solutions (si ils y en a) sont les abscisses des points A et B.

2 x² + x -10 = 0

0,5 x² - 3x - 8 = 0

-x² + 2x + 8 = 0

2x² + 4x + 2 = 0

x² + 2x +5 = 0

-2x² - 7x - 3 = 0

La méthode algébrique

Déterminer la valeur de chacun des coefficients a, b et c.

Calculer le discriminant,

En déduire les éventuelles solutions de l’équation.

2 x² + x -10 = 0

Δ =………………………………… x1 =………………………………x2 =…………………………S =………………………………

0,5 x² - 3x - 8 = 0

Δ =………………………………… x1 =………………………………x2 =…………………………S =………………………………

-x² + 2x + 8 = 0

Δ =………………………………… x1 =………………………………x2 =…………………………S =………………………………

2x² + 4x + 2 = 0

Δ =………………………………… x1 =………………………………x2 =…………………………S =………………………………

x² + 2x +5 = 0

Δ =………………………………… x1 =………………………………x2 =…………………………S =………………………………

-2x² - 7x - 3 = 0

Δ =………………………………… x1 =………………………………x2 =…………………………S =………………………………

A l’aide d’un programme ( ALGO) page 35

AP4 : Déterminer le signe du polynôme du second degré Pour chaque fonction f1 à f6 de l’AP3,

compléter le tableau ci-dessous, en suivant le modèle indiqué pour la fonction f1 et en s’aidant

de la calculatrice :

5

a Δ Signe de

a

Signe de

Δ Allure de la parabole Tableau de signes

f1 -0.5 4 négatif positif

x

f1(x)

f2 2 36 positif positif

x

f2(x)

f3 1 0 positif Nul

x

f3(x)

f4 -1 -3 négatif négatif

x

f4(x)

f5 -0.5 0 négatif nul

x

f5(x)

f6 2 -4 positif négatif

x

f6(x)

AP4 : Résoudre une équation à l’aide d’un programme page 35

AP5 : Etudier la position de deux courbes page 35

6

1ère- ES1 Le second degré Fiche d’exercices feuille n°3

1) Forme canonique correction

Exercice 1 : Mettre sous forme canonique les polynômes suivants.

P1 (x) = x2

– 4x + 5 P2(x) = x2 – 10x + 25 P3(x) = 2x

2 + 8x + 6

2) Résolution d’équations Exercice 2 : Résoudre dans IR les équations suivantes (n’utiliser le discriminant que lorsque cela

est nécessaire).

1) 5x² + 14x – 3 = 0 11) –x2+ 36x – 323 = 0 21) 7x

2 + 8x = 0

2) –2x² + 3x – 7 = 0 12) –2x2 + x – 4 = 0 22) x

2 = 5

3) x² + x + 1 = 0 13) 5x2 – 7x – 6 = 0 23) –25x

2 + 30x – 9 = 0

4) 4x² – 4x + 1 = 0 14) x2 + 13x – 4 = 0 24) –25x

2 – 49 = 0

5) –x² + 7x – 1 = 0 15) 7x² + 9 = 9 25) –12x² + 3x = 0

6) 2x2 – 7x + 3 = 0 16) x

2 – 5x – 3 = 0 26) x² – 12 = 0

7) 13x2 – 3x + 7 = 0 17) –5x² + 3 = 0 27) x² + 12 = 5x

8) 49x2 – 28x + 4 = 0 18) 5x² – 11x = 4 28) 2x ² – 2x – 50 = 4 + 10x

9) 8x2 + 3x – 20 = 0 19) 3x² + 20x +50 = – 4x +5 29) 16x

2 + 6x = 1

10 x² –45 x +1625 = 0 20) x² –16 x –16 = 0 30) 13 x² – 6x + 27 = 0

Exercice 3 : Résoudre dans IR les équations suivantes :

a) (2x + 1)2

= –2x + 5 b) (2x + 3)(x – 1) = (3x – 2)(2x – 6) c) (x + 2)(x2 – 3) = (2x + 3)(x2 + x – 2)

d) = 2 e) f) g)

3) Factorisation d’un trinôme

Exercice 4 : Factoriser en produit de facteurs du premier degré, si possible, les trinômes suivants :

1) 3x2 + 8x – 11 4) 20x

2 + x – 12 7) –9x

2 + 6x – 1

2) x2 – 3x – 10 5) x

2 + 4x – 21 8) 6x

2 – x – 2

3) x2 + x + 1 6) 2x

2 + 9x – 5 9) 30x

2 – 5x – 10

4) Résolution d’inéquations

Exercice 5 : Etablir le tableau de signes des fonctions suivantes :

f1(x) = –15x² – x + 2 f2(x) = 2x² + 3x + 12 f3(x) = –3x² + 42x – 147

f4(x) = f5(x) = (x – 5)(–2x² + 15x – 7)

7

Exercice 6 : Résoudre dans IR les inéquations suivantes :

1) 4x2 – 15x + 16 < 0 8) –3x2 + 2x – 5 < 0 15) 0

2) 3x2 + 5x – 2 0 9) –2x

2 – x + 6 0

3) x2 – 6x + 9 > 0 10) –5x2 + x + 3 < 0

4) 2x² + x – 3 0 11) 10x ² – 20x 3x² + x + 70

5) 4x² – 25 0 12) 7x ² – 21x – 70 > 0

6) x² + 3 0 13) (x2 – 16)(–x2 + x – 1) 0

7) –x² + 4x – 4 > 0 14) (–6x² – x + 1)(–2x² + 7x – 3) > 0

5) Trinôme et représentation graphique

Exercice 7 : En calculant les discriminants, associer chaque fonction à sa représentation graphique :

1) f (x) =–x2

– 3x – 1 g (x) = x2

– 5x + 3 h(x) =x2 – 3x + 5 I (x) = x

2 – 5x – 7

2)

f (x)=x2 – 15x + 36 g(x) =–x

2 + 6x + 16 h(x ) = x

2+ 3x + 10 k(x) = –x

2 + x – 8

8

1ère – ES1 Le second degré Introduction à la factorisation

Partie 1 :

1) Factoriser les expressions suivantes :

x² - 8x + 16 x² + 6x + 9 16x² - 81

= (x-4)² = (x+3)² = (4x-9)(4x+9)

( 4x – 1 )² - 9 ( 2x – 1 )² - ( x + 3 )² ( x + 5 )² - 16 ( x – 3 )²

= (4x-3)(4x+2) = (3x+2)(x-4) = (5x-9)(-3x+15)

2) Après avoir factorisé, résoudre les équations suivantes :

2x² - 28x + 98 = 0 ( 5x + 2 )² = ( x – 3 )² 4x² = 81 9x² - 1 = ( 3x – 1 ) ( x + 2 )

2(x-7)²= 0 (4x+5)(6x-1) = 0 (2x-9)(2x+9) = 0 (3x-1)(2x-1) = 0

Partie 2 : Vers la forme canonique

1) Compléter les égalités suivantes :

x² - 6x + 9 = ( x - 3 )² x² + 4x + 4 = ( x + 2 )²

x² + 8x + 16 = ( x + 4 )² x² + 3x + 9/4 = ( x + 3/2 )²

2) En utilisant les égalités précédentes, compléter :

x² - 6x = ( x - 3 )² - 9 x² + 4x = ( x + 2 )² - 4

x² + 8x = ( x + 4 )² - 16 x² + 3x = ( x + 3/2)² - 9/4

3) En remplaçant les deux premiers termes par les résultats obtenus dans 2), factoriser, quand cela

est possible, les expressions suivantes, puis résoudre les équations dans IR.

x² - 6x + 8 = 0

( x - 3 )² - 9 +8=0

( x - 3 )² - 1 =0

(x-3-1)(x-3+1)=0

( x – 4 ) ( x – 2 ) = 0

X – 4 = 0 ou x -2 = 0

X=4 ou x = 2

S= 2 ; 4

x² + 4x – 21 = 0

( x + 2 )² - 4 – 21 = 0

( x + 2 )² - 25 = 0

( x + 2 )² - 52 = 0

(x+2+5)(x+2-5) = 0

( x + 7 ) ( x – 3 ) = 0

X + 7 = 0 ou x-3 = 0

X = -7 ou x = 3

S= -7 ; 3

x² + 8x – 20 = 0

( x + 4 )² - 16 – 20 = 0

( x + 4 )² - 36 =0

(x +4 +6)(x +4 -6 ) =0

( x + 10 ) ( x – 2 ) = 0

X+10 = 0 ou x – 2 = 0

X = -10 ou x = 2

S= -10 ; 2

x² + 3x + 5 = 0

( x + 3/2)² - 9/4 +5 = 0

( x + 3/2)² + 11/4 = 0

(x + 3/2 )² +11/4 = 0

S =

9

4) En utilisant la méthode suggérée dans les questions précédentes, factoriser les expressions

suivantes quand cela est possible :

x² + 10x – 24=0

(x+5)2-25-24 =0

(x+5)2 – 49 = 0

(x+5 +7)(x+5-7) = 0

( x + 12 ) ( x – 2 )=0

X+12 = 0 ou x-2 = 0

X = -12 ou x = 2

S= -12 ; 2

-x² - 4x + 5=0

- (x² + 4x) + 5 = 0

-( (x +2)2 -4) + 5 = 0

- ((x +2)2 -4-5) = 0

-((x +2)2 -9) = 0

-(x+2+3)(x+2-3) = 0

- ( x + 5 ) ( x – 1 )=0

X + 5 = 0 ou x – 1 = 0

X =-5 ou x = 1

S=

-x² + 3x – 5=0

-((x + 3/2)2 -9/4 -5 =

0

- ( ( x – 3 )² + 1 )=0

S=

3x² + 6x – 45=0

3 ( x – 3 ) ( x + 5 )=0

S=

10

Ap1 : Utiliser les formes d’un polynôme de degré 2 :

1- a. f(1) = 0.5(12) -1 -1.5 = 0.5 - 2.5 = -2

0,5 (x – 1)2 – 2 = 0,5 (x

2 – 2 x + 1) – 2

= 0,5 x2 – x + 0,5 – 2 = f (x).

x – ∞ 1 + ∞

f(x)

-2

b. 0,5 (x + 1) (x – 3) = 0,5 (x2 – 3 x + x – 3) = 0,5 x

2 – x – 1,5 = f (x)

f (x) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ou x – 3 = 0 ⇔ x = – 1 ou x = 3 Donc S = {–1 ; 3}.

2- a.

11

Les coordonnées du sommet de la parabole sont (3 ; -1) avec = 3 et = -1

b. – 0,5 (x – 3)2 – 1 = – 0,5 (x

2 – 6 x + 9) – 1

= – 0,5 x2 + 3 x – 4,5 – 1 = g (x).

c. a = – 0,5 négatif, la parabole Cg est tournée vers le bas d’où le tableau de variations :

x – ∞ 3 + ∞

g(x)

-1

Le maximum de la fonction g est – 1.

Donc l’équation g (x) = 0 n’a pas de solution.

3- En développant les formes canoniques, on obtient :

• h (x) a pour forme canonique 3 (x – 1)2 – 1 et pour tableau de variations C.

• k (x) a pour forme canonique – (x + 2)2 + 3 et pour tableau de variations B.

• m (x) a pour forme canonique (x – 2)2 + 2 et pour tableau de variations A.

12

Le second degré : correction de la fiche d’exercices

1) Forme canonique

Exercice 1 : P1(x) = x

2 – 4x + 5 = (x – 2)

2 – 4 + 5 = (x – 2)

2 + 1.

P2(x) = x2 – 10x + 25 = (x – 5)

2 – 25 + 25 = (x – 5)

2.

P3(x) = 2x2 + 8x + 6 = 2(x

2 + 4x + 3) = 2[(x + 2)

2 – 4 + 3] = 2[(x + 2)

2 – 1]

2) Résolution d’équations

Exercice 2 :

1) 5x² + 14x – 3 = 0 : = 256 et les solutions sont –3 et

2) –2x² + 3x – 7 = 0 : = – 47, cette équation n’a donc pas de solution.

3) x² + x + 1 = 0 : = –3, cette équation n’a donc pas de solution.

4) 4x² – 4x + 1 = 0 : = 0, cette équation a pour unique solution

5) –x² + 7x – 1 = 0 : = 45 et les solutions sont

6) 2x2 – 7x + 3 = 0 : = 25 et les solutions sont et 3.

7) 13x2 – 3x + 7 = 0 : = –355, cette équation n’a donc pas de solution.

8) 49x2 – 28x + 4 = 0 : = 0, cette équation a pour unique solution

9) 8x2 + 3x – 20 = 0 : = 649 et les solutions sont

10) x² –45 x +1625 = 0 : = 0, cette équation a pour solutions 130 et 50

11) –x2 + 36x – 323 = 0 : = 4 et les solutions sont 17 et 19.

12) –2x2 + x – 4 = 0 : = –31, cette équation n’a donc pas de solution. S=

13) 5x2– 7x – 6 = 0 : = 169 = 13

2 et les solutions sont – et 2.

14) x2 + 13x – 4 = 0 : = 185 et les solutions sont

15) 7x² + 9 = 9 x2 = 0 , donc cette équation a pour unique solution 0.

16) x² – 5x – = 0 : = 37 et les solutions sont

17) –5x² + 3 = 0 x2 = donc cette équation a pour solutions –

18) 5x² – 11x = 4 5x2 – 11x – 4 = 0 : = 201 et les solutions sont et

19) 3x² + 20x +50 = – 4x +5 3x2 + 24x + 45 = 0 : = 36 et les solutions sont –5 et –3.

20) x² – x –16 = 0 : = et les solutions sont –

21) 7x2 + 8x = 0 x (7x + 8) = 0 : les solutions sont donc 0 et –

22) x2 = 5 : les solutions sont – 5 et 5 .

23) –25x2 + 30x – 9 = 0 : = 0, cette équation a pour unique solution

24) –25x2 – 49 = 0 x

2 = – donc cette équation n’a pas de solution. S =

25) –12x2 + 3x = 0 3x(– 4x + 1) = 0, les solutions sont donc 0 et

26) x2 – 12 = 0 x

2 = 12 et donc les solutions sont –2 et + 2

27) x2 + 12 = 5x x

2 – 5x + 12 = 0 : = 2 et les solutions sont

28) 2x2 – 2x – 50 = 4 + 10x 2x

2– 12x – 54 = 0 : = 576 = 24 et les solutions sont –3 et 9.

29) 16x2 + 6x = 1 16x

2+ 6x – 1 = 0 : = 100 et les solutions sont –

30) x² – 6x + 27 = 0 : = 0 et donc cette équation a pour unique solution 9.

13