12. distribución de una variable aleatoria

Universidad de Cadiz

Departamento de Matematicas

MATEMATICAS

para estudiantes de primer curso

de facultades y escuelas tecnicas

Tema 12

Distribucion de una variable aleatoria

Elaborado por la Profesora Doctora Marıa Teresa Gonzalez Montesinos

Indice

1. Breve introduccion a la combinatoria 1

1.1. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Definiciones previas 4

2.1. Sucesos. Frecuencia absoluta y relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Sucesos equiprobables. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Nocion de variable aleatoria 7

4. Variable aleatoria discreta. Probabilidad 9

4.1. Funcion de probabilidad de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2. Funcion de distribucion de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3. Media y desviacion tıpica de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . 12

5. Variable aleatoria continua y distribucion continua 13

6. Ejercicios propuestos 15

Tema 12 1

1. Breve introduccion a la combinatoria

Creemos oportuno para el desarrollo de este tema realizar un repaso de las nociones basicas de laCombinatoria, la cual se ocupa del estudio y propiedades de los grupos distintos que pueden formarsecon los elementos de un conjunto dado, diferenciandose entre sı por:

el numero de elementos que forman cada grupo;

la clase de elementos;

el orden de colocacion.

El numero de elementos de que disponemos para las distintas agrupaciones se llama base. Las agrupa-ciones de elementos, segun el numero de ellos: 1, 2, 3, 4, 5, ..., se llaman: monarias, binarias, ternarias,cuaternarias, quinarias, etc. A este numero se le llama orden de la agrupacion.

Se estudian tres tipos distintos de agrupaciones: las variaciones, las permutaciones y las com-

binaciones.

1.1. Variaciones

Definicion 1.1 Llamaremos variaciones sin repeticion de m elementos tomados de n en n, a losdiferentes grupos que con ellos se pueden formar, de tal modo que cada grupo este formado n elementosdistintos y que un grupo se diferencie de los demas, bien en alguno de los elementos, bien en el ordende colocacion de los mismos.

Ejemplo 1.1 ¿Cuantos numeros de tres cifras se pueden formar con 1, 2, 3, 4, sin que se repita ninguna?

Los numeros que se obtienen son los siguientes:

123 124 132 134 142 143213 214 231 234 241 243312 314 321 324 341 342412 413 421 423 431 432

Observese que los 24 numeros obtenidos difieren en alguna cifra o en el orden de colocacion de lasmismas.

Las variaciones monarias con m elementos se representa por el sımbolo V 1m o Vm,1; el de las binarias,

por V 2m o Vm,2; en general, las de orden n por V n

m o Vm,n.

El numero de variaciones de m elementos, tomados de n en n, viene dado por

V nm = Vm,n =

m!

(m− n)!

Ası, en el ejemplo anterior, tenemos V 34 =

4!

(4− 3)!= 24 numeros distintos que se pueden formar con

las cifras 1, 2, 3 y 4.

Definicion 1.2 Llamamos variaciones con repeticion de m elementos, tomados de n en n, a losdiferentes grupos que con ellos se pueden formar, de tal modo que cada grupo este formado por nelementos, pudiendo repetirse alguno de ellos una o varias veces, y considerando que dos grupos sondistintos si se diferencian en algun elemento, o en el orden en que estan colocados.

2 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas

Al numero de todas las posibles variaciones con repeticion de orden n que se pueden formar con melementos se denotara por V Rn

m o bien por V Rm,n.Notese que en las variaciones sin repeticion debe cumplirse que m ≥ n; sin embargo, en este caso

esta condicion no es necesaria.

Ejemplo 1.2 Al rellenar una quiniela, utilizamos variaciones con repeticion. En cada columna debemoscolocar 14 signos, repitiendo los tres unicos signos posibles: 1, X, 2. Una columna difiere de la otra enalgun signo o por el orden en que estan colocados.

El numero de variaciones con repeticion de m elementos, tomados de n en n, viene dado por

V Rnm = V Rm,n = mn.

Ejemplo 1.3

1. ¿Cuantos numeros de 5 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3?

V R53 = 35 = 243.

2. ¿Cuantos caracteres del alfabeto Morse se podran escribir utilizando 6 signos (puntos o rayas)?

V R62 = 26 = 64.

3. ¿Cuantas columnas rellena un quinielista que juega un boleto multiple de 2 triples y 4 dobles?

V R23V R4

2 = 3224 = 144 columnas.

1.2. Permutaciones

Definicion 1.3 Dados m elementos, llamaremos permutaciones sin repeticion de m elementos alas variaciones de esos m tomados de m en m, es decir, a los diversos grupos que con ellos se puedenformar, de modo que, entrando todos ellos en cada grupo, se diferencie un grupo de otro solamente enel orden de colocacion de los elementos.

De la definicion anterior se deduce que las permutaciones sin repeticion no son sino variaciones enlas que cada grupo esta formado por todos los elementos. Ası, si designamos por Pm al numero depermutaciones que se pueden formar con m elementos, tenemos que

Pm = V mm =

m!

(m−m)!=⇒ Pm = m!.

Definicion 1.4 Dado un conjunto de m elementos de k clases distintas, cada una de las cuales esta for-mada por ni elementos, 1 ≤ i ≤ k (n1 +n2 + · · ·+nk = m), llamaremos permutaciones con repeti-

cion a las distintas formas en que se pueden ordenar esos m elementos. Una ordenacion se distinguede otra por el lugar que ocupan dos elementos distintos.

Ejemplo 1.4

1. Formar todos los numeros que se pueden escribir permutando las cifras 3, 3, 4.

334, 343, 433.

2. ¿Cuantas permutaciones distintas se pueden formar con las letras de casa?

Tema 12 3

casa, saca, acas, asac, caas, saac,acsa, asca, aacs, aasc, csaa, scaa.

Si entre los m elementos que figuran en una permutacion, vemos que un elemento aparece repetido n1

veces, otro n2 veces, ..., y el ultimo nk veces, el numero de permutaciones con repeticion vendra dadopor

Pn1,n2,...,nk

m =Pm

Pn1Pn2· · ·Pnk

=m!

n1!n2! · · ·nk!.

Como no interesa la naturaleza de los elementos repetidos, si un elemento no aparece mas que unavez, no se colocara en el exponente.

Ejemplo 1.5

1. ¿Cuantos numeros distintos se pueden escribir con las cifras 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4?

P 4,3,210 =

10!

4!3!2!= 12600.

2. ¿De cuantas formas distintas se puede organizar un tren con tres coches de segunda clase, tresde primera, dos coches cama y un vagon de correos?

P 3,3,29 =

9!

3!3!2!= 5040.

1.3. Combinaciones

A veces interesa ver los distintos grupos que se pueden formar con varios elementos, atendiendosolo a la naturaleza de los mismos y no al orden. Ası, por ejemplo, si nos preguntan cuantas sumasdistintas podemos obtener con los numeros 1, 3, 5, 7, es lo mismo considerar 1 + 3 que 3 + 1, o 3 + 5que 5+3. De este modo, en las combinaciones no influye el orden en que esten colocados los elementos.De aquı la siguiente

Definicion 1.5 Se llaman combinaciones sin repeticion de m elementos, tomados de n en n, alos distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de modo que cada grupo este formadopor n de ellos, diferenciandose un grupo de otro en uno de sus elementos.

Ejemplo 1.6 ¿Cuantas rectas determinan cuatro puntos, A, B, C y D, con tal de que no haya masde dos que esten alineados?

Como AB y BA son la misma recta, todas las posibles rectas seran AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Otra definicion de combinaciones sin repeticion serıa la siguiente:

Definicion 1.6 Dado un conjunto A de m elementos, se llaman combinaciones de orden n a todoslos subconjuntos posibles de n elementos que pueden obtener con los m elementos de A.

Como dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, se comprende que el orden no influyaen la formacion de combinaciones sin repeticion. Se consideran iguales los subconjuntos formados porlos mismos elementos, aunque esten dados en distinto orden.

La notacion empleada para representar el numero de combinaciones de m elementos, tomados den en n, es Cn

m o Cm,n, y viene dado por

Cnm = Cm,n =

(

m

n

)

.


Tambien se tiene que

Cnm =

V nm

Pn

Ejemplo 1.7 ¿Cuantos grupos de cinco se podran formar con los 30 alumnos de una clase en el supuestode que un grupo se diferencie de otro por lo menos en un alumno?

C530 =

(

30

5

)

=30!

25!5!= 120 grupos.

2. Definiciones previas

En esta seccion estudiaremos brevemente los conceptos que deben conocerse para abordar el pre-sente tema. Ası, llamaremos experimento aleatorio a todo aquel cuyos resultados no son predecibles,aunque lo repitamos en las condiciones mas uniformes posibles, como puede ser el lanzamiento de undado efectuado por una maquina. Aparece siempre una variable intrınseca que se podra suprimir,variando, por ello, los resultados en las sucesivas pruebas o repeticiones del mismo. Es decir, si nos hasalido en el ejemplo del dado un 4 en una prueba, no sabemos el numero que saldra en la siguiente.

Se entendera por variable estadıstica al conjunto de resultados o serie de valores obtenidos alrepetir un experimento aleatorio.

Considerense los experimentos siguientes:

1) Lanzar un dado anotando los resultados.

2) Anotar el sexo de un determinado numero de recien nacidos.

Supongamos que hemos obtenido las dos series estadısticas siguientes:

{1, 3, 4, 4, 2, 5, 4, 2, 1, 4}, {nino, nina, nina, nina, nino}.

La primera serie la podemos representar por la variable xi: 1, 3, 4, 4, 2, 5, 4, 2, 1, 4, que representalos diez resultados obtenidos (repetidos o no) en las diez pruebas del experimento aleatorio “lanzar undado”. Esta variable se denomina variable estadıstica cuantitativa, ya que sus resultados son numericos.

La segunda variable la representaremos por x′

i: a, b, b, b, a, donde a denota “nino” y b denota “nina”.Esta variable se llama cualitativa o atributiva pues los resultados del experimento son cualidades oatributos.

2.1. Sucesos. Frecuencia absoluta y relativa

Por resultado de un experimento se entiende la obtencion de uno de los sucesos elementales.Al lanzar un dado, los resultados posibles son los seis conocidos: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Cada uno de estosresultados es un suceso elemental y el conjunto de todos ellos constituye el espacio muestral, el cualse denotara por E.

Un suceso es cualquier subconjunto de un espacio muestral E, A ⊂ E; el suceso contrario deA, que se denota por A, es el subconjunto complementario, esto es, A = E −A. El suceso A “obtenerun numero impar” al lanzar un dado, esta formado por tres resultados, esto es, A = {1, 3, 5}, el cuales un subconjunto del espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Entonces A = {2, 4, 6}.

Decimos que dos sucesos son compatibles cuando pueden darse los dos a la vez, mientras que sila realizacion de un suceso A excluye al suceso B, diremos que A y B son incompatibles.

Cuando un suceso se da siempre, se llama suceso seguro. Un suceso seguro esta formado portodos los resultados posibles de una prueba. Ası, por ejemplo, al tirar una moneda al aire, es sucesoseguro que salga cara o cruz.

Tema 12 5

Si se trata de extraer dos bolas, una tras otra, de una bolsa que contiene cinco blancas y tresnegras, podemos realizar las extracciones de dos formas distintas:

a) Con reemplazamiento, es decir, hecha la extraccion y anotado el resultado, se vuelve a introducirla bola extraıda en la bolsa.

b) Sin reemplazamiento, esto es, extraıda la primera bola, se hace la segunda extraccion sin introducirla primera en la bolsa.

En el primer caso, el hecho de haber realizado la primera extraccion no influye en la segunda, yaque no se alteran las condiciones: los dos sucesos son independientes. En el segundo caso, la pri-mera extraccion modifica las condiciones en las que se va a realizar la segunda: los dos sucesos sondependientes.

Los posibles sucesos de un espacio muestral E coincidiran con todas las partes de E: P(E). Si elespacio muestral E esta formado por n resultados de un experimento, el numero de sucesos de E es2n.

La frecuencia absoluta de un suceso A, fa(A), es el numero de veces que se repite dicho sucesoen un determinado numero de pruebas. La frecuencia relativa de un suceso A, fr(A), es el cocienteentre la frecuencia absoluta y el numero de pruebas. Si el numero de pruebas realizadas es N y n elnumero de veces que se ha repetido un suceso A, tendremos

fa(A) = n, fr(A) =n

N.

Las frecuencias absoluta y relativa tienen las siguientes propiedades:

1) La frecuencia absoluta es siempre un numero entero n, y si el numero de pruebas es N , se tieneque 0 ≤ n ≤ N .

2) Siempre es 0 ≤ fr ≤ 1.

3) Cuando dos sucesos A y B son contrarios, en cada prueba se verificara el suceso A o el B, y lassuma de sus frecuencias absolutas sera igual a N , mientras que la suma de sus frecuencias relativassera igual a 1.

4) Si n1 y n2 son las frecuencias de dos sucesos incompatibles A1 y A2, y n es la frecuencia absolutadel suceso A1 ∪A2, entonces

fa(A1 ∪A2) = fa(A1) + fa(A2)n = n1 + n2

.

Si N es el numero total de pruebas realizadas, tendremos que

n

N=

n1

N+

n2

Nfr(A1 ∪A2) = fr(A1) + fr(A2)

.

2.2. Sucesos equiprobables. Probabilidad

La importancia que posee la frecuencia relativa se deduce de la siguiente ley del azar:

Al aumentar el numero de experiencias, la frecuencia relativa de un determinado sucesotiende a estabilizarse alrededor de un numero al que llamaremos probabilidad de dichosuceso.


Al arrojar una moneda al aire, {salir cara} o {salir cruz} son igualmente posibles y, segun la ley delazar, los dos sucesos tienen la misma probabilidad: diremos que son equiprobables.

Cuando un espacio E esta compuesto por n sucesos elementales, todos equiprobables, diremos que

el espacio es uniforme y la probabilidad de cada suceso elemental es igual a1

n.

Ejemplo 2.1 ¿Cual sera la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan A ={dos caras},B ={una cara y una cruz}?

El espacio E = {cc, cx, xc, xx} esta formado por cuatro sucesos elementales y es uniforme. Cada

suceso tiene la misma probabilidad,1

4.

P (A) =1

4, P (B) = P (cx, xc) =

1

4+

1

4=

1

2.

En un espacio uniforme, al numero de todos sus elementos se le llama casos posibles, y al numerode elementos que integran un suceso parcial se le llama casos favorables. Con esta nomenclatura,podemos dar la definicion de Laplace:

Definicion 2.1 La probabilidad de un suceso A viene dada por

P (A) =casos favorables

casos posibles.

Ejemplo 2.2

1. ¿Cual es la probabilidad del suceso A ={numero par} en el lanzamiento de un dado?

El espacio es uniforme y esta compuesto por seis elementos: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; el suceso A

tiene tres elementos: A = {2, 4, 6}. La probabilidad es entonces P (A) =3

6=

1

2.

2. ¿Cual es la probabilidad de que en un lanzamiento de dos dados la suma sea 8?

El espacio tiene V R26 = 36 elementos equiprobales:

E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), . . . , (6, 5), (6, 6)}.

Los casos posibles son cinco:

A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)},

con lo que P (A) =5

36.

Las propiedades fundamentales de las probabilidades son las siguientes:

Valores de la probabilidad.– Si A es un suceso, siempre se tendra que 0 ≤ P (A) ≤ 1. La probabilidaddel suceso imposible es nula mientras que la del suceso seguro es igual a 1: P (∅) = 0, P (E) = 1.

Probabilidad de la union de sucesos incompatibles: probabilidad total.– Si A y B son dos sucesosincompatibles entonces P (A ∪B) = P (A) + P (B). Esta probabilidad recibe el nombre de pro-

babilidad total.

Ejemplo 2.3 La probabilidad de que al lanzar un dado salga A ={multiplo de 2} o B ={multiplode 5} es

P (A ∪B) = P (A) + P (B) =1

2+

1

6=

2

3.

Tema 12 7

Probabilidad de sucesos contrarios.– P (A) = 1−P (A), ya que E = A∪ A y P (E) = P (A)+P (A) =1.

Probabilidad compuesta de sucesos independientes.– Cuando dos sucesos A y B son independien-tes, se llama probabilidad compuesta al producto de las probabilidades de los dos sucesos. Dichaprobabilidad se corresponde con la de que se produzcan los sucesos A y B a la vez.

Ejemplo 2.4 Veamos cual es la probabilidad de sacar cara y 3 en lanzamiento simultaneo deuna moneda y un dado.

La probabilidad de sacar cara es P (c) =1

2mientras que la de sacar un 3 es P (3) =

1

6, con lo que

P (c, 3) =1

2

1

6=

1

12. Efectivamente; el espacio E es el producto cartesiano {c, x}×{1, 2, 3, 4, 5, 6},

que tiene doce elementos, todos ellos equiprobables, luego P (c, 3) =1

12.

3. Nocion de variable aleatoria

Recuerdese que en el caso del dado de la seccion anterior, los resultados son numericos, mientrasque en el ejemplo del sexo, no lo son. Nos interesa pues expresar los resultados de un experimentoaleatorio de forma numerica para que ası puedan aplicarse las propiedades de operaciones del algebra;es decir, queremos asociar a cada resultado de un experimento un numero real.

Para ello tendremos que definir una funcion cuyo dominio sea el conjunto de resultados posiblesde un experimento aleatorio y cuyo recorrido sea el conjunto de los numeros reales, R. A tal funcionla denominaremos variable aleatoria1 y la designaremos con la letra X. Antes de dar una definicionprecisa de variable aleatoria, veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 3.1

1. En el caso del sexo de los recien nacidos, el espacio muestral de resultados posibles esta consti-tuido por E ={nino, nina}= {a, b}. Una variable aleatoria asociada a E serıa una funcion X queasigna el valor 1 al resultado “ser nino” y el valor 0 al resultado “ser nina”: X(a) = 1, X(b) = 0.

2. En el caso del dado, el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Al ser numericos estos resultados,parece natural que la variable aleatoria sea la funcion identidad: X(k) = k, 1 ≤ k ≤ 6. Noobstante, podrıamos asociar otra variable aleatoria Y al experimento anterior, consistente enhacer corresponder a cada numero obtenido su cuadrado: Y (k) = k2, 1 ≤ k ≤ 6, aunque lohabitual en este caso sera considerar la primera variable aleatoria. Podemos enunciar, pues, unimportante resultado:

Se pueden asociar distintas variables aleatorias a un mismo experimento.

3. Supongamos que lanzamos tres monedas y anotamos los resultados. Sea C el suceso “obtenercara” y F “obtener cruz”. El espacio muestral esta formado por los siguientes resultados o sucesoselementales:

E = {(C,C,C), (C,C,F ), (C,F,C), (F,C,C), (C, F, F ), (F,C, F ), (F,F,C), (F,F, F )}.

Mas que estos 8 resultados nos interesa una cantidad numerica que exprese dichos resultados.Bastara, por ejemplo, asignar los numeros 3, 2, 1, 0, a cada uno de los resultados en que aparezcan

1Aquı se esta realizando un abuso del lenguaje, pues serıa mas conveniente hablar de funcion aleatoria que de variable

aleatoria.


3, 2, 1, 0 caras, respectivamente. Hemos establecido de esta forma una aplicacion o funcion deE en R, que denominamos variable aleatoria X y que expresamos por X : E −→ R de maneraque

X(CCC) = 3,

X(CCF ) = X(CFC) = X(FCC) = 2,

X(CFF ) = X(FCF ) = X(FFC) = 1,X(FFF ) = 0.

4. Considerese el experimento aleatorio “lanzar dos dados”. Si los resultados de los dados son m yn, definimos la variable aleatoria X como X(m,n) = m + n. El dominio de la variable aleatoriaX o espacio muestral es el siguiente:

E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (6, 5), (6, 6)},

que esta formado por 36 elementos. El recorrido de la variable aleatoria X esta constituido por{2, 3, 4, 5, . . . , 12}.

Definicion 3.1 Una variable aleatoria X, asociada a un espacio muestral E, es una funcion de Een R. Si E = {e1, e2, . . . , en}, entonces a cada resultado ek ∈ E le corresponde un unico numero realxk:

ek 7−→ X(ek) = xk, ∀ ek ∈ E;

es decir, transforma sucesos elementales en puntos de la recta real.

En el ejemplo anterior de lanzar tres monedas y definir la variable aleatoria X “asignar a cada re-sultado el numero de caras obtenidas”, podemos representar los resultados posibles, ek, la medida deprobabilidad, P (ek) y la variable aleatoria, X(ek) mediante la siguiente tabla:

ek CCC CCF CFC FCC CFF FCF FFC FFF

P (ek) 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

X(ek) 3 2 2 2 1 1 1 0

Si decimos que “X toma el valor 3”, esta expresion describe el suceso {CCC}. La expresion “X tomael valor 1” (por brevedad escribiremos X = 1) corresponde al suceso {CFF,FCF,FFC}. El suceso2 ≤ X ≤ 3 es {CCF,CFC,FCC,CCC}. Observese que X = 4 representa al suceso imposible: {∅}.

En general, la expresion “X toma el valor x” (X = x) representa un suceso compuesto por todoslos resultados ek tales que X(ek) = x.

De cuanto hemos dicho se deduce inmediatamente que la probabilidad de que X tome un valor x,que designaremos por P (X) = x, es igual a la suma de las probabilidades de todos los resultados ek

tales que X(ek) = x.

En nuestro ejemplo,

P (X = 2) = P ({CCF}) + P ({CFC}) + P ({FCC}) =1

8+

1

8+

1

8=

3

8.

Definicion 3.2 La distribucion de una variable aleatoria X es una tabla formada por sus valores consus correspondientes probabilidades.

En el ejemplo anterior:X 0 1 2 3

P (X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Tema 12 9

4. Variable aleatoria discreta. Probabilidad

Hasta ahora hemos tratado espacios muestrales que constaban de un numero finito de resultadoso puntos. Vamos a suponer en lo que sigue que el conjunto de puntos de un espacio muestral E esinfinito numerable2.

Supongamos una urna con dos bolas negras y una blanca. Realicemos el experimento consistente enextraer una bola devolviendola a la urna hasta que salga blanca. El espacio muestral E estara formadopor todos los resultados posibles:

E = {B,NB,NNB,NNNB, . . .},

que constituyen un conjunto infinito numerable de resultados o puntos: B es el resultado que indicaque la bola blanca aparece en la primera extraccion; NB es el resultado que indica que la bola blancaaparece en la segunda; etc.

Como P (B) = 1/3 y P (N) = 2/3 son las probabilidades de obtener en una extraccion bolablanca o negra, respectivamente, y los sucesos son independientes (por realizarse las extracciones conreemplazamiento), es facil obtener una tabla analoga a la primera de la pagina 12:

ek B NB NNB · · · NN(i−1)· · · NB · · ·

P (ek) 1/3 2/3 · 1/3 (2/3)2 · 1/3 · · · (2/3)(i−1) · 1/3 · · ·X(ek) 1 2 3 · · · i · · ·

Definicion 4.1 Cualquier espacio muestral E que consta de numero finito o infinito numerable depuntos es un espacio muestral discreto.

Cualquier variable aleatoria definida en un espacio muestral discreto es una variable aleatoria

discreta X que puede tener, por tanto, un numero finito o infinito numerable de valores distintos.

4.1. Funcion de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Lanzando 48 veces un dado, hemos obtenido los resultados que se observan en la siguientes tablas:

Tabla de frecuencias Tabla de probabilidades

Var. estad.xk

Fr. abs.nk

Fr. rel.fk

1 6 6/482 9 9/483 10 10/484 2 2/485 9 9/486 12 12/48

Var. aleat.X

Fr. abs.teorica

ProbabilidadPk

1 8 8/48=1/62 8 1/63 8 1/64 8 1/65 8 1/66 8 1/6

La tabla de la izquierda responde a un experimento real. En la tabla de la derecha hemos representadolo que sucederıa (es un caso teorico) al lanzar el dado infinitas veces. El dado lo suponemos perfecto,es decir, no sesgado. Senalemos la correspondencia entre ambas tablas:

Experimento ←→ teorıa Frecuencia fk ←→ probabilidad Pk

Muestra ←→ universo Var. estadıstica xk ←→ var. aleatoria X

2Un conjunto se dice que es infinito numerable si puede establecerse una biyeccion entre dicho conjunto y el de los

numeros naturales, N. Por ejemplo, el conjunto de los multiplos de 3 es infinito numerable pues puede establecerse una

aplicacion biyectiva con los numeros naturales de la manera siguiente: 1 7→ 1 · 3 = 3, 2 7→ 2 · 3 = 6, ..., n 7→ n · 3 = 3n.


En las figuras 1 y 2 hacemos una representacion grafica del diagrama de barras de las distribucionesde frecuencias y probabilidades, llamandose esta ultima grafica de la funcion de probabilidad.

10

48

fk

xk1 2 3 4 5 6

xk

f(xk)

1

6

1 2 3 4 5 6

Figura 1 Figura 2

Definicion 4.2 Una funcion de probabilidad f(xk) de una variable aleatoria discreta X es una funcionreal de variable real definida por

f(xk) = P (X = xk) = P{ek : X(ek) = xk}.

f(xk) indica la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor xk, verificandose las condi-ciones:

a) 0 ≤ f(xk) ≤ 1;

b)

n∑

k=1

f(xk) = 1.

El conjunto de valores

{[xk, f(xk) = P (X = xk)] = [xk, P (xk)]} :

(x1, P (x1)) , (x2, P (x2)) , . . . , (xn, P (xn)) , . . .

se denomina distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X, y es una sucesion de pro-babilidades correspondientes a los sucesos de un espacio muestral. Se acostumbra a representar estadistribucion mediante la siguiente tabla:

X x1 x2 · · · xn

f(xk) f(x1) = P (X = x1) f(x2) = P (X = x2) · · · f(xn) = P (X = xn)

Ejemplo 4.1 Consideremos de nuevo el lanzamiento de tres monedas. Sea la variable aleatoria X lafuncion que hace corresponder a cada resultado del experimento el numero de caras obtenidas. Setiene, segun sabemos:

Espacio muestral:

E = {(CCC), (CCF ), (CFC), (FCC), (CFF ), (FCF ), (FFC), (FFF )}.

Recorrido de X: X = {3, 2, 1, 0}.

Tema 12 11

La funcion de probabilidad viene definida por f : X −→ R de modo que f(3) = P (X = 3) = 1/8;f(2) = P (X = 2) = 3/8; f(1) = P (X = 1) = 3/8; f(0) = P (X = 0) = 1/8; todo ello suponiendoque los sucesos elementales sean equiprobables.

Fijemonos en un valor cualquiera de la funcion de probabilidad; por ejemplo, f(2) = P (X = 2)expresa la probabilidad de que el numero de caras sea 2. Al escribir P (X = 2), probabilidad deque la variable aleatoria X tome el valor 2, nos estamos refiriendo a la probabilidad del sucesoP{(CCF ), (CFC), (FCC)} que, por brevedad, escribiremos P (X = 2).

El ejemplo anterior es una funcion de probabilidad de una variable aleatoria discreta (o bien de unafuncion de probabilidad discreta), porque E es un espacio muestral discreto. Se verifican:

a) 0 ≤ f(xk) ≤ 1;

b)∑

f(xk) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.

A continuacion exponemos la tabla de probabilidad de f(xk) y su grafica o el diagrama de probabilidad:

X 0 1 2 3

f(x) = P (X = xk) 1/8 3/8 3/8 1/8

x

fk

3

8

1

8

1 2 30

4.2. Funcion de distribucion de una variable aleatoria discreta

Siguiendo con el ejemplo del dado, representamos en lo que sigue las tablas de frecuencias acumu-lativas y de probabilidades acumulativas:

Tabla de frecuencias acumulativas Tabla de probabilidades acumulativas

xk nk fk Nk Fk

1 6 6/48 6 6/48

2 9 9/48 15 15/48

3 10 10/48 25 25/48

4 2 2/48 27 27/48

5 9 9/48 36 36/48

6 12 12/48 48 48/48=1

X Pk F (xk)

1 1/6 1/6

2 1/6 2/6

3 1/6 3/6

4 1/6 4/6

5 1/6 5/6

6 1/6 6/6=1


En las tablas anteriores tenemos que:

Nk representa las frecuencias absolutas acumulativas:

N1 = n1, N2 = n1 + n2, N3 = n1 + n2 + n3, . . .

Fk representa las frecuencias relativas acumulativas:

F1 = f1, F2 = f1 + f2, F3 = f1 + f2 + f3, . . .

F (xk) representa las probabilidades acumulativas:

F (x1) = f(x1), F (x2) = f(x1) + f(x2), F (x3) = f(x1) + f(x2) + f(x3), . . .

Definicion 4.3 Llamamos funcion de distribucion de una variable aleatoria discreta X a la si-guiente expresion:

F (xk) = P (X ≤ xk) =f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(xk)

=P (X = x1) + P (X = x2) + · · ·+ P (X = xk).

F (xk) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual que xk.

Ası, en el caso del dado, tenemos por ejemplo que F (2) = 2/6 = 1/3 y F (4) = 4/6 = 2/3.

4.3. Media y desviacion tıpica de una variable aleatoria discreta

Si una variable o serie estadıstica esta formada por los valores x1, x2, . . . , xn (no repetidos), nk es

el numero de repeticiones o frecuencia absoluta de cada valor xk y fk =nk

Nes la frecuencia relativa

de cada valor xk, se definen la

media aritmetica: x =n

∑

k=1

xkfk =n

∑

k=1

xknk

N,

varianza: σ2 =

n∑

k=1

(xk − x)2fk,

desviacion tıpica: σ =

√

√

√

√

n∑

k=1

(xk − x)2fk.

Ahora bien, dada una variable aleatoria X con funcion de probabilidad f(x) = P (X = x), se definenla

media o esperanza matematica:

µ = X = E(X) =∑

xkf(xk) =∑

xkpk,

es decir, la suma de los productos de los valores xk que toma la variable aleatoria X por susprobabilidades respectivas.

varianza:

σ2 = E(X − X)2 =∑

(xk − µ)2f(xk) =∑

(xk − µ)2pk,

esto es, la suma de los productos de las desviaciones al cuadrado de los valores xk que toma Xrespecto a la media µ por las probabilidades respectivas.

Tema 12 13

desviacion tıpica: σ =√

∑

(xk − µ)2pk.

La media µ y la desviacion tıpica σ se denominan parametros de una funcion de distribucion F (x).

Ejemplo 4.2

1. Calculense los parametros de la distribucion de la variable aleatoria X dada por la tabla

X 0 1 2 3 4 5 6 7

f(xk) = pk 0’2 0’1 0 0’4 0’1 0 0’2 0

Aplicando las formulas anteriores tenemos que

µ =∑

xkpk = 0 · 0′2 + 1 · 0′1 + 2 · 0 + 3 · 0′4 + 4 · 0′1 + 5 · 0 + 6 · 0′2 + 7 · 0 = 2′9,

σ =√

∑

(xk − µ)2pk =√

8′41 · 0′2 + 3′61 · 0′1 + · · ·+ 9′61 · 0′2 = 2′02.

2. Hallar la esperanza matematica y la desviacion tıpica en el experimento de lanzar tres monedasy anotar las caras obtenidas.

Recuerdese que

P (X = 0) =1

8, P (X = 1) =

3

8, P (X = 2) =

3

8, P (X = 3) =

1

8,

por lo tanto,

µ =∑

xkpk = 0 · 18

+ 1 · 38

+ 2 · 38

+ 3 · 18

= 1′5,

σ =√

∑

(xk − µ)2pk =

√

2′25 · 18

+ 0′25 · 38

+ 0′25 · 38

+ 2′25 · 18

= 0′86.

5. Variable aleatoria continua y distribucion continua

Si una variable aleatoria X puede tomar cualquier valor x de un cierto intervalo (a, b), X sedenomina continua.

Ejemplo 5.1

1. La estatura de una persona durante su vida.

2. El peso y la edad de una persona durante el transcurso de su existencia.

Supongamos que al medir la estatura de cien personas, obtenemos la distribucion de frecuencias,agrupadas en intervalos de clase, segun muestra la tabla adjunta:

Intervalo en cm Marcas de clase xk Repeticiones nk Repet. acum. Nk

130–140 135 3 3140–150 145 10 13150–160 155 26 39160–170 165 34 73170–180 175 17 90180–190 185 8 98190–200 195 2 100


En este caso, la representacion grafica se hace mediante el histograma de frecuencias simple (figura 3)o acumulativo (figura 4):

10

nk

135 145 155 165 175 185 195 cm 135 145 155 165 175 185 195 cm

Nk

Figura 3 Figura 4

Uniendo los puntos medios de las bases superiores de los rectangulos se obtienen los polıgonos corres-pondientes de frecuencia simple y acumulativa. Si aumentamos indefinidamente el numero de medidasy hacemos tender a cero las amplitudes de los intervalos, el polıgono de la figura 3 tiende a una lıneadenominada curva de probabilidad, que es la representacion de la funcion f(x) llamada funcion

de densidad de probabilidad o, simplemente, funcion de densidad. El polıgono acumulativo(figura 4) tiende a la curva de probabilidad acumulativa, que es la representacion de la funcion

de distribucion F (x) (son los modelos teoricos de la distribucion anterior: figuras 5 y 6).

y = f(x)

b c

∫ x

−∞

f(t)dt = P (X ≤ x) = F (x)

P (b < X ≤ c) =

∫ c

b

f(x)dx

x x

f(x)

Figura 5

Tema 12 15

∫ x

−∞

f(t)dt = P (X ≤ x) = F (x)

xx

F (x)

Figura 6

Si en la figura 4 la base de cada rectangulo (amplitud de cada intervalo) es la unidad y su alturaes la frecuencia relativa, el area de cada rectangulo coincide con la frecuencia de su respectiva clase:area=fk ·1 = fk. El area del histograma sera

∑

fk ·1 = 1. En el caso teorico (figura 5) tambien ocurreque el area limitada por la curva de probabilidad (correspondiente a la funcion de densidad f(x)) y eleje de abscisas es 1:

∫ +∞

−∞

f(x)dx = 1.

De este modo podemos decir que:

La probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome un valor menor o igualque x sera

P (X ≤ x) =

∫ x

−∞

f(t)dt = F (x),

funcion de distribucion que coincide con el area de la region rayada de la figura 5.De forma analoga se define

P (b < X ≤ c) =

∫ c

b

f(x)dx,

el area bajo la curva de probabilidad en el intervalo (b, c) coincide con la probabilidad delsuceso b < X ≤ c. Si F es derivable, se tiene F ′(x) = f(x) y, por tanto,

∫ c

b

f(x)dx = F (x)|cb = F (c) − F (b).

Observe el alumno que el valor del area rayada de la figura 5 coincide con la ordenada correspondientea X = x en la figura 6.

6. Ejercicios propuestos

(1) ¿Cuantos numeros naturales se pueden obtener con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, sin repetir ninguna?

(2) ¿Cuantos numeros de tres cifras se pueden formar con las cifras pares 2, 4, 6, 8, sin que se repitaninguna? ¿Cuantos de esos numeros comienzan por 2? ¿Cuantos terminaran en 64? ¿Cuantoshabra que sean mayores que 500?


(3) Resuelve el ejercicio anterior, suponiendo que es posible repetir las cifras.

(4) En una rifa colegial se han hecho 1000 papeletas, numeradas del 000 al 999. ¿Cuantos capicuashabra?

(5) ¿De cuantas formas podran colocarse en fila 10 alumnos, si suponemos que dos ocupan siempre elmismo puesto, uno el primero y otro el ultimo?

(6) Una lınea de ferrocarril tiene 25 estaciones. ¿Cuantos billetes diferentes habra que imprimir, sicada billete lleva impresas las estaciones de origen y destino?

(7) ¿Cuantos numeros hay entre 5000 y 6000 que tengan todas sus cifras diferentes?

(8) En un banco hay sentadas 6 personas. Variando el orden de los puestos, ¿de cuantas maneraspueden colocarse?

(9) ¿Cuantos grupos de letras se formaran con las de la palabra Isabel, con tal que no vayan ni dosvocales ni dos consonantes juntas? ¿Cuantos de esos grupos comenzaran por vocal?

(10) Con las cifras 5, 6, 7, 8, 9, ¿cuantos numeros de cinco cifras puedes formar, con la condicion deque no haya dos cifras impares juntas?

(11) Con las cifras 1, 1, 2, 2, 3, ¿cuantos numeros de cinco cifras se pueden formar? Si se ordenan enorden creciente, ¿que lugar ocupara el numero capicua 21312?

(12) ¿Cuantas letras de 5 signos se pueden formar en el alfabeto Morse con 3 rayas y 2 puntos?

(13) ¿De cuantos modos distintos podran presentarse 10 cartas de una baraja, sabiendo que son 4 ases,3 reyes, 2 caballos y una sota?

(14) ¿Cuantos grupos de dos, de tres, de cuatro, es posible formar con 90 personas?

(15) ¿De cuantas formas pueden combinarse los sietes colores del arco iris, tomados de cinco en cinco?

(16) Se dispone de ocho objetos. ¿Que es mayor, el numero de combinaciones tomandolos de tres en tres,o el numero de combinaciones de los mismos elementos de cinco en cinco? Razona la respuesta.

(17) En una urna se tienen tres bolas blancas, dos bolas negras y una bola roja. Sea la variable X queasigna 2 al resultado de extraer una bola blanca, 2’5 si es negra y 4 si es roja. Se pide:

a) el dominio y el recorrido de X;

b) tablas de las funciones de probabilidad y de distribucion de X y su representacion grafica.

(18) Sea un dado con tres caras negras y tres blancas. Consideremos un segundo dado con cuatro carasnegras y dos blancas. Se lanzan los dos dados. Sea X la variable aleatoria que asigna el numerode caras blancas obtenidas en cada lanzamiento. Se pide la distribucion de probabilidades X y sufuncion de distribucion.

(19) Halla la media o esperanza matematica y la desviacion tıpica de los dos ejercicios anteriores.

(20) Se tienen las siguientes distribuciones:

a)xk -1 2 3’5

f(xk) 1/2 1/4 1/4

b)xk 1 3 4 5 7

f(xk) 0’2 0’3 0’1 0’2 0’2

Tema 12 17

Se pide:

hallar las tablas correspondientes a la funcion de distribucion;

graficas de las mismas;

hallar µ y σ en los dos casos.

12. distribución de una variable aleatoria

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