173820928-termodinamika

Poljoprivredni Fakultet Beograd – Zemun

Skripta za pripremanje usmenog dela ispita iz predmeta

TERMODINAMIKA

(predavao prof. dr. Franc Kosi)

smer: Prehrambena tehnologija godina: druga (II)

semestar: treći i četvrti

This watermark does not appear in the registered version - http://www.clicktoconvert.com

http://www.clicktoconvert.com

- 2 -



- 3 -

Sadržaj

Pojam i značaj termodinamike .................................................................................. 7 Termodinamički sistemi ............................................................................................... 7 Stanje, veličine stanja i spoljni uticaji .......................................................................... 9 Komponente ............................................................................................................... 10 Osnovne termičke veličine stanja ............................................................................... 10 Prvi (osnovni) postulat termodinamike ...................................................................... 11 Drugi postulat termodinamike .................................................................................... 11 Idealni gas ................................................................................................................... 13 Jednačina stanja idealnog gasa ................................................................................... 13 Klapejronova jednačina stanja ili termička jednačina stanja ...................................... 14 Osnovni zakoni idealnih gasova ................................................................................. 16 1) Šarlov zakon ........................................................................................................ 16 2) Gej – Lisakov zakon ............................................................................................ 16 3) Bojl – Mariotov zakon ........................................................................................ 16 4) Avogadrov zakon ................................................................................................ 16 Količina toplote – Toplota .......................................................................................... 16 Rad pri promeni zapremine – Zapreminski rad .......................................................... 17 Unutrašnja energija ..................................................................................................... 19 I zakon termodinamike za zatvoren sistem ................................................................ 20 Specifični toplotni kapacitet ....................................................................................... 22 Specifični toplotni kapacitet idealnih gasova ............................................................. 24 Entalpija ...................................................................................................................... 26 Stacionarni otvoren proces ......................................................................................... 27 I zakon termodinamike za otvoren sistem .................................................................. 29 Kružni procesi (kružni ciklusi) ................................................................................... 31 II zakon termodinamike .............................................................................................. 32 Statistička interpretacija entropije .............................................................................. 32 Izračunavanje entropije .............................................................................................. 37

Kvazistatičke promene stanja idealnih gasova ...................................................... 42 - politropske promene stanja ................................................................................... 42 Spoljni uticaji ............................................................................................................. 44 1) zapreminski rad ................................................................................................... 44 2) tehnički rad .......................................................................................................... 45 3) razmenjena količina toplote ................................................................................ 45 Posebni slučajevi promene stanja idealnih gasova ..................................................... 46 1) promena za koju je n = 0 ..................................................................................... 46 2) promena pri kojoj je n = .................................................................................. 47 3) promena pri kojoj je n =1 .................................................................................... 47 4) adijabatska promena stanja ................................................................................. 48

Smese idealnih gasova .............................................................................................. 49 Maseni sastav smese ................................................................................................... 50 Zapreminski sastav smese .......................................................................................... 50 Molski sastav smese ................................................................................................... 50 Molska masa smese .................................................................................................... 51 Jednačina stanja smese ............................................................................................... 51



- 4 -

Izračunavanje parcijalnih pritisaka u smesi ................................................................ 52 Preračunavanje sastava smese .................................................................................... 52 Maseni specifični toplotni kapacitet smese ................................................................ 52

Realne supstancije .................................................................................................... 53 Kriva ravnoteže (kriva napona) .................................................................................. 54 Granične krive, kritična tačka, nadkritično područje ................................................. 55 Topljenje i očvršćavanje, sublimacija i desublimacija, trojna tačka .......................... 57 Van der Valsova jednačina stanja (Van der Waals) ................................................... 58 Određivanje graničnih krivih ...................................................................................... 59 Određivanje položaja kritične tačke ........................................................................... 60 Redukovana Van der Valsova jednačina stanja .......................................................... 60 Dijagrami stanja realnih supstancija ........................................................................... 61 Osnovne promene stanja realnih supstancija .............................................................. 62 1) izobarska promena stanja p = const .................................................................... 62 2) izohorska promena stanja V = const ................................................................... 63 3) izoterma T = const ............................................................................................... 63 4) izentropska (adijabatska) promena stanja ........................................................... 63 Kružni procesi ........................................................................................................... 64 Tehnički desnokretni kružni procesi .......................................................................... 64 Kružni procesi sa idealnim gasovima ......................................................................... 64 Karnoov proces (Carnot) ............................................................................................ 65 Otov proces (Otto) ...................................................................................................... 66 Dizelov proces (Diesel) .............................................................................................. 67 Upoređenje Dizelovog i Otovog procesa ................................................................... 68 Desnokretni kružni procesi sa realnim supstancijama (sa vodenom parom) ............. 68 Karnoov desnokretni ciklus sa vodenom parom ........................................................ 69 Rankine-Clausius-ov proces ....................................................................................... 70 Mere za poboljšanje Rankine-Clausius-ovog procesa ................................................ 71

Levokretni procesi .................................................................................................... 73 Minimalna potrošnja energije za pogon levokretnog procesa .................................... 73 Tehnički levokretni procesi ........................................................................................ 76 Vazdušne rashladne mašine ........................................................................................ 76 Parne kompresorske rashladne mašine ....................................................................... 77 Levokretni Karnooov proces ...................................................................................... 78 Levokretni Rankine-Clausius-ov proces .................................................................... 79 Uticaj temperature isparavanja i kondenzacije na koeficijent hlađenja ..................... 81

Vlažan vazduh ........................................................................................................... 82 Jednačina stanja vlažnog vazduha .............................................................................. 84 Molijerov dijagram za vlažan vazduh ........................................................................ 85 Osnovni procesi sa vlažnim vazduhom ...................................................................... 87 1) zagrevanje i hlađenje vlažnog vazduha ............................................................... 87 2) mešanje dve vazdušne struje ............................................................................... 88 3) ubrizgavanje vode ili vlage (vodene pare) u vlažan vazduh ............................... 89 Suvi i vlažni termometri ............................................................................................. 91



- 5 -

Sušenje ........................................................................................................................ 92 - maseni i toplotni bilans sušenja ............................................................................. 92 1) jednostepena sušara ............................................................................................. 93 2) više stepeno sušenje ............................................................................................ 94 3) recirkulaciono sušenje ......................................................................................... 95

Prostiranje toplote .................................................................................................... 97 1) Provođenje (kondukcija) ........................................................................................ 97 Temperatursko polje ................................................................................................... 97 Gradijent temperature ................................................................................................. 98 Furijeov zakon (Fourier) ............................................................................................. 98 Furijeova jednačina .................................................................................................... 99 Početni i granični uslovi pri rešavanju Furijeove jednačine ..................................... 100 - početni uslovi ...................................................................................................... 100 - granični uslovi ..................................................................................................... 100 Stacionarno provođenje toplote ................................................................................ 101 1) beskonačan ravan zid ........................................................................................ 101 - višestruki ravan zid.............................................................................................. 102 2) beskonačni cilindrični zid ................................................................................. 103 - višestruki cilindrični zid ...................................................................................... 104 2) Konvekcija, granični sloj i prelaz toplote i Njutnov zakon .................................. 104 Prolaz toplote kroz višeslojan ravan zid ................................................................... 106 Prolaz toplote kroz višeslojan cilindrični zid ........................................................... 107 Razmena toplote pri promeni faze ............................................................................ 108 Kondenzacija ............................................................................................................ 108 Prenos toplote pri isparavanju (isparavanje) ............................................................ 109 Razmenjivači toplote ................................................................................................ 110 - rekuperativni razmenjivači .................................................................................. 111 Tok temperatura za istosmeran i suprotnosmeran razmenjivač ............................... 111 Upoređenje istosmernih i suprotnosmernih razmenjivača ....................................... 112 3) Zračenje toplote .................................................................................................... 112 Zakoni zračenja ........................................................................................................ 113 1) Kirhofov zakon .................................................................................................. 113 2) Štefan-Bolcmanov zakon .................................................................................. 113 3) Lamberov zakon ................................................................................................ 114 4) Plankov zakon ................................................................................................... 114 5) Vinov zakon (Wien) .......................................................................................... 114 Zračenje gasova ........................................................................................................ 115 Selektivnost pri zračenju gasova .............................................................................. 115 Razmena toplote zračenjem ...................................................................................... 116 1) dve paralelne površine ....................................................................................... 116 2) jedno telo okruženo drugim .............................................................................. 116



- 6 -



- 7 -

Pojam i značaj termodinamike

Naziv "termodinamika" potiče od Grčkih reči: therme – toplota dimanicos – prefiks koji se odnosi na silu 1773. Džejms Vat Farenhajt 1824. Sali Karnol 1850/51 Robert Dž. Majl P. Clausius › I zakon termodinamike – zakon održanja energije primenjen na toplotne procese W. Thompson (Kelvin) – termodinamička temperatura - formulisao univerzalnu temperaturnu skalu po kojoj je apsolutna nula 273ºC (što je i eksperimentalno potvrđeno) W. Rankine - grejanje – toplotna operacija - hlađenje - klimatizacija - uparavanje (koncentrovanje) - kristalizacija - ekstrakcija - destilacija - fermentacija Termodinamika – opšta nauka o energiji koja proučava dva zadatka: 1) pretvaranje jednih oblika energije u drugi (I zakon termodinamike) 2) uslove pri kojima te transformacije energije nastaju (II zakon termodinamike) Oba zakona imaju čvrsto uporište u prirodnim zakonima, koji ne trpe izuzetke. čitava termodinamika se bazira na dva stava, i to su postulati termodinamike, a ima samo tri zakona. Principi na kojima počiva termodinamika su toliko opšti da su primenjivi na čitavu makrofiziku. Zato je primena termodinamike neobično široka.

Termodinamički sistemi

Sistem je izdvojeni deo materijalnog sveta koji je izabran za posmatranje, dok se preostali deo zove okolina. Termodinamički sistem je od okoline izdvojen određenom zatvorenom površinom, koja se naziva granična površina ili granica.

TDS

okolina



- 8 -

Jedini uslov koji granica treba da ispuni jeste da je jasno definisana, da se zna šta ulazi u sistem, a šta je okolina. Za gas zatvoren klipom granica obuhvata samo gas u cilindru, dok su zidovi cilindra okolina. U klasičnoj termodinamici dimenzije sistema su uvek neuporedivo veće od dimenzija elementarnih čestica koje ga čine (npr. nikada se neće proučavati nekoliko molekula, već sistem koji sadrži ogroman broj molekula – 1020 molekula i više). Kako se postavljaju granice? Izbor granice sistema je u suštini proizvoljan, biraju se tako da je to u funkciji rešavanja problema. Jedino što se poštuje su jasno definisane granice. Granice sistema mogu biti stvarne (npr. zidovi cilindra) i fiktivne, tj. može im se dati forma koja najviše odgovara. U termodinamici je uobičajeno da se granice obeležavaju sa - · - (crta – tačka – crta). Granicama sistema se dodeljuju određena idealizovana svojstva, naročito u pogledu propustljivosti supstance i energije. Osobine granica u termodinamici su mnogo važnije od sastava sistema, pa se podela sistema vrši prema propustljivosti granica u odnosu na energiju i supstanciju. Postoje tri vrste sistema: 1) zatvoren sistem 2) otvoren sistem 3) izolovan sistem Primer zatvorenog sistema:

Granice sistema obuhvataju samo gas, propustljive su za za energiju, ali ne propuštaju supstanciju. Zatvoren sistem uvek ima isti broj čestica, ali njegova zapre-mina može da se menja (kretanjem klipa može da se dovodi rad ili toplota) Primer otvorenog sistema (granice ovog sistema su propustljive i za energiju i za supstanciju):

Svi tehnički sistemi su otvoreni. Granice ovog sistema mogu da budu promenljive, ali će se uvek predpostaviti da su stalne. Ako su stalne, onda se po predlogu L. Erankl-a granice tada zovu kontrolna površina, a sam sistem kontrolna zapremina. Izolovan sistem (sistem je izolovan ako njegove granice ne propuštaju ni energiju ni supstanciju). Svaki sistem se može izolovati, tj. učiniti izolovanim ako se granice po-stave dovoljno široko da u njega uđu sva tela u međusobnoj interakciji.

topla voda topla voda

anularni prostor

Q



- 9 -

Opšti model izolovanog sistema je:

Stanje, veličine stanja i spoljni uticaji

Stanje sistema se uvek može opisati sa svega nekoliko jednoznačnih makroskopskih parametara koji se mogu meriti (npr. temperatura, zapremina, količina sadržane supstance...). Ti parametri koji se mogu meriti i koji jednoznačno određuju stanje sistema, nazivaju se veličine stanja. Stanje se menja ako se menja brojčana vrednost barem jedne veličine stanja. Promena stanja nastaje isključivo usled neke forme energije koja se dovodi, odvodi ili razmenjuje kroz granice sistema. Bilo koja forma energije koja menja toplotno stanje, naziva se spoljni uticaj. U termodinamici postoje samo dva spoljna uticaja - toplota i rad. U fizici uopšte pa i u termodinamici, može da se kaže da se proučavaju promene fizičkog stanja sistema pod dejstvom spoljnih uticaja. Broj veličina stanja je u opštem slučaju vrlo veliki, pa bi proučavanje sistema u opštem slučaju bilo vrlo složeno, ako ne i nemoguće. Međutim u fizici, pri određenim promenama bitno se menja samo nekoliko veličina stanja, dok sve druge ostaju konstantne. Karakter promene određuje spoljni uticaj. Na taj način se promene u fizici mogu razdeliti u više oblasti: 1) mehanika 2) akustika 3) termodinamika 4) elektromagnetizam U termodinamici se proučavaju posebne energetske promene pod uticajem toplote i rada, pri čemu se samo nekoliko veličina menja, npr. temperatura, pritisak, zapremina. Te veličine se nazivaju toplotne veličine stanja. Veličine stanja mogu biti intenzivne i ekstenzivne. Intenzivne veličine stanja definišu sistem kao celinu i ne zavise od mase ili količine supstance u sistemu. Takve veličine su temperatura i pritisak. Gradijenti intenzivnih veličina stanja predstavljaju potencijale prenosa (tj. pogonsku silu procesa). Ekstenzivne veličine stanja su srazmerne količini supstance sistema i imaju svojstvo aditivnosti. Takve veličine su masa, zapremina i energija. Srazmerne su linearnoj količini supstance, tj. masi. Ako se ekstenzivne veličine podele sa masom javljaju se tzv. specifične veličine:

úû

ùêë

é=

kg

mv

m

V 3

- specifična zapremina

úû

ùêë

é=

kg

Jh

m

H › H – entalpija; h – specifična entalpija

Specifične veličine imaju osobinu intenzivnih veličina stanja, tj. definišu se za određenu tačku prostora.

TS

RT TI

TP

toplotni ponor

toplotni izvor

radno telo



- 10 -

Komponente

Komponenta je hemijski jednorodna supstanca koja može da se meša sa drugim supstancama u proizvoljnom odnosu. Ako se pomešaju dve komponente, ili ako se jedna komponenta nalazi u posebnim uslovima (T, p), mogu da formiraju višefazni sistem. Ako su u nekom termodinamičkom sistemu, sastav, pritisak i temperatura jednaki u svim tačkama, sistem je homogen. Ako se u sistemu makar jedna od osobina ili svojstava skokovito menja, smesa je heterogena; npr. mešavina leda i vode – smesa je jednokomponentna, ali je dvofazna. Faza je homogeni deo sistema koji je heterogen. Prema tome, sistem se sastoji od dve ili više faza. Pojmovi komponente i faze su nezavisni, tj. jedna komponenta može da gradi jednu, dve ili tri faze, a višekomponentni sistem može biti i jednofazan (dve tečnosti koje se dobro mešaju). Smese gasova su uvek homogene.

Osnovne termičke veličine stanja

- Pritisak – pritiskom se izražava mehaničko dejstvo na jedinicu površine u pravcu normale na tu površinu. Ta površina može da bude stvarna, ali može da bude i zamišljena.

Pošto se i pritisak u opštem slučaju menja u zavisnosti od položaja posmatrane tačke, onda jednačina (2) daje strogu definiciju pritiska. - Specifična zapremina

- Temperatura – U običnom životu pojam temperature se vezuje za osećaj, da li je nešto toplo ili hladno. Pošto je osećaj temperature vrlo nepouzdan, to naravno ne može da bude osnova za merenje temperature. U termodinamici, pojam temperature vezan je za pojam termodinamičke ravnoteže i dva osnovna postulata termodinamike. Osnovni postulati termodinamike su I (osnovni) i II. - Postulati – stavovi koji se usvajaju kao istiniti zato što se lako mogu proveriti i koji su sami po sebi jasni.

p

p

A

Fp u= (1) srednji pritisak na površini

A

Fp u

D

D= - dejstvo pritiska na neku malu površinu

dA

dF

A

Fp uu

A=

D

D=

®D 0lim (2)

V

∆m

dm

dV

m

Vv

m=

D

D=

®D 0lim - stroga specifična zapremina



- 11 -

Prvi (osnovni) postulat termodinamike

1)

2) 3)

Pojam ravnoteže u termodinamici se definiše na sledeći način: sistem je u termo-dinamičkoj ravnoteži ako po njegovom izolovanju ne postoje nikakve merljive promene veličine stanja. Dakle, pojam ravnoteže vezan je isključivo za pomanjakanje ili nedostatak bilo kakve promene neke od veličina stanja. Na osnovu ova tri primera i bezbroj sličnih, prvi postulat termodinamike se iskazuje na sledeći način: Svaki izolovani sistem spontano (sam po sebi) teži stanju ravnoteže i kada ravnotežu dostigne ostaje u njoj beskonačno dugo. Kaže se da postaje termodinamički mrtav. Bilo kakva promena stanja sistema u ravnoteži može da nastane samo ako se razruši izolacija i ako se dovede neki spoljni uticaj. Klasična termodinamika se u celosti zasniva na prvom postulatu, i može se primeniti tamo gde je važenje osnovnog postulata neosporno. Zakoni termodinamike se ne mogu ekstrapolirati na galaktičke razmere, jer tamo prvi postulat ne važi. U suprotnom, mora se računati s pogrešnim zaključcima.

Drugi postulat termodinamike

Izolovani sistem u kome se nalazi neki gas "dva".

Ako imamo dva različita gasa, podignemo pregradu i promena nastaje spontano, uspostavlja se svuda jednak sastav

70ºC

termometar

voda vazduh

20ºC

0pp >

0p

manometar

p

A

B

ap¢

bp¢

av¢

bv¢

Ap ¢¢ Bp ¢¢

diatermska pregrada



- 12 -

Posmatraju se dva nezavisna sistema A i B, od kojih se svaki ponaosob nalazi u ravnoteži sa pripadajućim vrednostima pritiska i specifične zapremine. Sada se dovedu u kontakt, tj. stvore se uslovi da nastane razmena energije među njima. Diatermska pregrada ima sledeća svojstva: 1) ne propušta supstancu 2) ne propušta mehaničke uticaje Prema prvom postulatu termodinamike, ovaj formirani sistem će doći u stanje

ravnoteže i u opštem slučaju ustanovilo bi se da je: Aa pp ¢¢¹¢ i Bb pp ¢¢¹¢

Promena pritiska je nastala zbog nekog spoljnog uticaja koji prolazi kroz neku diatermsku pregradu. Spoljni uticaj se razmenio zato što stanje bilo kog sistema pored pritiska karakteriše još jedna veličina stanja koja izaziva promenu stanja novog sistema. Ta veličina stanja se aksiomatski uvodi i zove se temperatura. Dakle, opisana promena stanja koja je nastala zbog razmene spoljnih uticaja kroz diatermsku pregradu nastala je zbog različitih vrednosti temperatura sistema A i B, pre dovođenja u kontakt. Dva sistema imaju jednake temperature ako su u toplotnoj ravnoteži i obrnuto, dva sistema su u ravnoteži ako imaju jednake temperature. Na ovaj način, temperatura je uvedena drugim postulatom kao veličina stanja koja definiše postojane ravnoteže između dva sistema. Takođe, poznate su i sledeće činjenice, imamo sistem A, B, C (potpuno odvojeni): sistem A je u ravnoteži sa sistemom C, i neka je sistem B u ravnoteži sa sistemom C: A| C

B| C

A|B › i sistemi A i B će biti u ravnoteži (svojstvo tranzitivnosti termodinamičke ravnoteže – nulti zakon termodinamike) Ovakav postulat omogućava da se upoređuju toplotna stanja dva odvojena stanja A i B bez dovođenja u direktan kontakt. Služićemo se i trećim sistemom C, koji se naziva termometar, i koji će se naizmenično dovoditi u kontakt sa telom A i telom B. Svojstvo tranzitivnosti omogućava da se meri tºC pomoću empirijske skale, tj. pomoću termometara (koji ne mere tºC u suštini, već neku manifestaciju toplotnog stanja). Npr. termometar sa živom pokazuje zapreminu žive u kapilari koja se menja sa promenom temperature, tj. promenom stanja. Živin termometar pokazuje zapreminu kojoj mi po svom nahođenju dodeljujemo određenu vrednost temperature. Tako nastaju tzv. empirijske skale temperature od kojih je najpoznatija Celzijusova skala.

Temperaturska skala (termodinamičke temperature) može da se formira samo na osnovu fizičkih zakona. Na osnovu drugog zakona termodinamike, Kelvin je defini-sao termodinamičku temperaturu (T), koja je u odnosu na Celzijusovu empirijsku temperaturu vezana relacijom:

T [K] = 273,15 + t[ºC]

termometar

led i voda

0ºC

p = 101325 Pa

voda ključa

100ºC

p = 101325 Pa



- 13 -

Temperatura se ne može neposredno meriti na osnovu definicije, već se mere različite manifestacije toplotnog stanja. Npr. zapremina, EMS (kod tzv. termo parova), talasna dužina zračenja (pirometri), ili se meri električni otpor (otpornički termometri). Kod svakog od tih termometara se određenom toplotnom stanju dodeljuje odgovarajuća temperatura.

Idealni gas

Idealni gas je hipotetički fluid koji se zamišlja kao vrlo veliki broj jednakih molekula koji se neuređeno (haotično) kreću u zapremini koju gas zauzima.

Uvode se hipotetički, sledeća svojstva idealnog gasa:

1) ako se saberu zapremine svih molekula: kg

mv

3

=

vb << › kovolumen – zapremina svih molekula je zanemarljivo mala u odnosu na zapreminu v koju zauzima gas 2) zanemaruju se međumolekularne sile, sem u trenutku sudara, ili dva molekula ili molekula i zida suda Realni gas – nisu idealni, ali se u tehničkoj primeni (ako pritisak i temperatura nisu previsoki) ponašaju vrlo blisko idealnim gasovima. Ukoliko je realni gas na nižem pritisku i na višoj temperaturi, utoliko je njegovo ponašanje bliže idealnom gasu.

Jednačina stanja idealnog gasa

Stanje gasa je opisano sa tri veličine. Kod jednokomponentne supstancije se po definiciji funkcionalna veza između bilo koje tri veličine stanja naziva jednačinom stanja ( Tvp ,, ).

( ) 0,, =F Tvp (1) – termička jednačina stanja

Ako su te veličine Tvp ,, , ta jednačina se naziva termička jednačina stanja.

( )( ) 0,,

0,,

2

1

=F

=F

Tpu

Tph (2) – kaloričke jednačine stanja

Jednačina stanja može da se da: 1) analitički – (1), što je moguće samo za jednostavne strukture, npr. idealne gasove 2) grafički – u obliku dijagrama (vodena para, binarne smese) 3) tabelarno – u obliku tabela ("parne tabele") u priručnicima U inženjerskoj praksi pretežno se koriste grafički i tabelarni prikazi.

V



- 14 -

Klapejronova jednačina stanja ili termička jednačina stanja

Do termičke jednačine stanja (1) može se doći na dva načina: 1) fenomenološkim putem (na osnovu eksperimenata kojima se utvrđuje ponašanje idealnih gasova) 2) sa gledišta statističke fizike ili statističke termodinamike koje se sastoji iz sledećeg: I) Prvo se usvoji (definiše) struktura odrešene supstance (npr. idealni gas), pa se na... II) ...osnovu zakona klasične mehanike uspostavljaju relacije vezane za kretanje molekula III) U sledećem koraku se uz primenu statističkih zakona (ili zakona velikih brojeva) ta mikroskopska analiza dinamike kretanja molekula iskazuje uz pomoć makroskopskih veličina stanja gasa ili supstance kao celine. Za termičku jednačinu stanja idealnog gasa koristiće se drugi način. Za određivanje jednačine stanja koristiće se zakon o promeni količine kretanja molekula. Osnovna karakteristika idealnog gasa je da su molekuli i atomi materijalne tačke između kojih ne postoje međumolekularne privlačne sile, a dejstvo između molekula je posledica njihovih međusobnih elastičnih sudara.

222

211

x

x

mWVp

mWVp

=

=

2xNN mWVp =

å=

+++==N

iNi ppppp

121 ...

å=

=N

iximWpV

1

2

2222ziyixii WWWW ++=

22 3 xii WW ×= - proizilazi iz eksperimenta u kom je pokazano da se molekuli kreću

slobodno u svim pravcima, pa su komponentne brzine jednake

z

x

y

m N

a

a

a

( ) xxx mWmWmWp 2=--=D

xW

aWa

22 =DÞD= tt

a

mW

W

a

mWpF x

x

x2

2

2==

D

D=

t

3

2

a

mW

A

Fp x==

2xmWpV =



- 15 -

å=

=N

iimWpV

1

2

3

1

2

1

2i

N

ii WNmmW =å

=

2

3

1iWNmpV =

23

2 2iNmW

pV = - osnovna jednačina molekulsko – kinetičke teorije gasova

Pošto su molekuli materijalne tačke sa tri stepena slobode kretanja, ukupna energija za svaki stepen slobode kretanja jednoatomnog molekula na osnovu molekularno –

kinetičke teorije gasova iznosi kTu2

1= , što odgovara kinetičkoj energiji koju

molekul poseduje.

kTWm

kTu l

2

3

22

1 2

=== › l - broj stepeni slobode kretanja

NkTpV = (Klapejronova jednačina) - osnovni oblik jednačine stanja idealnog gasa

k – Bolcmanova konstanta › k = 1,38 ˙ 10-23 J/s Ako se umesto N molekula uzme broj molekula koji odgovara jednom kilomolu nekog gasa (Avogadrov broj), jednačina dobija oblik:

RTpVm =

kmolK

kJkNR A 314,8== , KTN 273= , barpN 1=

N

Nm

p

RTV =

nRTpV = / n

RTpvm =

TmRpV g= m

Vv =

M

RRg =

gR - gasna konstanta nekog idealnog gasa, dobija se kada se R podeli molarnom

masom tog gasa

( )( ) 0,,

0,,

===

===

TupfTRpv

TvpfTRvp

g

g

RT

p

v



- 16 -

Osnovni zakoni idealnih gasova

1) Šarlov zakon constv =

22

11

TRvp

TRvp

g

g

=

=

1

2

1

2

T

T

p

p=

2) Gej – Lisakov zakon constp =

22

11

TRpv

TRpv

g

g

=

=

1

2

1

2

T

T

v

v=

3) Bojl – Mariotov zakon constT =

TRvp

TRvp

g

g

=

=

22

11

2

1

1

2

v

v

p

p=

4) Avogadrov zakon – uvek važi samo u zatvorenom sistemu NkTpV =

2222

1111

kTNVp

kTNVp

=

=

Dva gasa će imati isti broj molekula samo kada su im pritisci, zapremine i temperature jednake constN = 21 NN = - ako se upoređuju dva gasa

1

2

1

2

1

2

r

r==

M

M

V

V

Količina toplote – Toplota

Prema ranijoj materijalnoj teoriji toplote, smatralo se da je toplota neka sveprodorna materija (supstanca) koja pri toplotnim promenama prelazi sa tela na telo. Merenjem težine hladnog i zagrejanog tela brzo se ustanovilo da toplota "nema težinu" što je bilo teško prihvatljivo. Daljim opažanjem morala su se tako definisanoj toploti pripisivati nova svojstva da bi se objasnile pojave. Oko 1850. se odustalo od materijalne pojave toplote, odnosno toplota je kao forma razmene energije uključena u opšti koncept razmene i transformacije energije. Do takve spoznaje došli su Džul i Majer.



- 17 -

Prema današnjem shvatanju, toplota je forma razmene energije između dva tela koja se nalaze u toplotnom kontaktu (nije bitno šta je između) – mogu da razmenjuju energiju i supstancu. Jedno je na jednoj temperaturi ( 1T ), a drugo na drugoj ( 2T ). Ako

je 21 TT > , onda će telo 1 da preda deo svoje energije drugom telu (2), kao posledicu

razlike temperatura.

Prema toj definiciji, toplota kao izolovani oblik energije ne postoji. Telo nema toplotu, već telo razmenjuje toplotu sa drugim telom, jer su njihove temperature različite. Toplota kao pojam ne postoji ako nemamo bar dva tela na različitim temperaturama.

U praktičnom proračunu razmenjenu toplotu obično vezujemo za radno telo, tj. razmenjenu toplotu izražavamo pomoću veličina stanja radnog tela (T, p); nema razmene toplote ako u sistemu nema bar jedno telo na različitoj temperaturi. U termodinamici se smatra da je dovedena toplota telu pozitivna, a toplota odvedena od tela negativna. Razmenjena količina toplote zavisi prvenstveno od načina razmene, tj. zavisi od načina promene stanja posmatranog tela. Toplota nije veličina stanja kao npr. vTp ,, , već je ona spoljni uticaj. Toplota je spoljni uticaj koji uzrokuje promenu

stanja. Da bi se u matematičkom smislu istakla razlika toplote (i drugih spoljnih uticaja) i veličina stanja, sa dvdpdt ,, se izražava diferencijalna promena stanja, a sa

qd se izražava diferencijalno mala količina toplote.

Rad pri promeni zapremine – Zapreminski rad

Posmatrajmo cilindar sa pokretnim klipom u kom je određena količin gasa:

opšta forma termodinamičkog sistema RT TI

TP

21 TT >

1T

2T

Q

1 2

dx x

1kg p

p'

V

v - na početku

spF na klip deluje sila spF , ako je

ovakva, gas potiskuje klip

p – pritisak gasa p' – pritisak na telo klipa



- 18 -

Potrebno je da se odredi rad spoljašnje sile spF . Pritisak p ne mora biti jednak u

svim tačkama zapremine V (striktno govoreći, on i nije jednak). U klasičnoj termodi-namici na kojoj počiva kompletna termotehnika, smatra se da je u svim tačkama zapremine V pritisak jednak u posmatranom trenutku vremena (u posmatranom položaju klipa). Takođe, smatraće se da je pp =' . Takvo stanje u kom je

constpp ==' pri datom položaju klipa, odnosno pri zapremini v , naziva se kvazista-

tičko stanje, ako se u svakom položaju klipa uvek uspostavlja mehanička ravnoteža (kvazistatičko stanje), onda je takva promena stanja kvazistatička promena stanja. Prema tome, kvazistatička promena stanja se sastoji od beskonačno mnogo kvazistatičkih stanja. U termodinamici, kad postoji kvazistatičko stanje, kaže se da je sistem u mehaničkoj ravnoteži. Teorijski gledano, kvazistatička promena stanja može postojati samo ako se klip kreće beskonačno sporo, tj. ako ima dovoljno vremena da se uspostavi stanje ravnoteže. Zato u klasičnoj termodinamici vreme nije parametar. U realnim procesima, promene stanja su konačne brzine, npr. klipovi motora SUS rade sa 3K - 6K obr / min; kod takvih promena u najvećem delu zapremine postoji kavazistatička ravnoteža, dok neravnoteža postoji samo na granicama sistema (u ovom slučaju npr. uz čelo klipa). Nekvazistatičnost kod realnih sistema je relativno vrlo mala, tako da rezultati analize dobijene za kvazistatičke promene stanja, za tehničke potrebe, u dovoljnoj meri se poklapaju sa stvarnošću. S druge strane, proučavanje kvazistatičkih stanja daje mogućnost da se odrede granične (teorijske) vrednosti veličina stanja i spoljnih uticaja. Ako se klip pomeri na desno za dx, rad spoljne sile je (važiće samo ako je promena kvazistatička):

pdvdxApdxFdxFl klklsp =××=×=×=d

Ako umesto 1kg ima m kilograma, biće: pdVmpdvL ==d

Ako je promena kvazistatička, ukupni rad biće:

òò ==2

1

2

1

2,1 pdVmpdVL

1 - stanje sistema u početnom položaju klipa 2 - stanje sistema u krajnjem položaju klipa Piše se L1,2 da bi se naglasilo da je to rad pri nekoj promeni stanja od početnog stanja 1 do krajnjeg stanja 2. Ako se klip kreće na desno 0>dv , pristisak je uvek veći od nule, dobiće se da je 0>dl . U tom slučaju rad se odvodi od gasa (sistema), tj. odvedeni rad je pozitivan. Ako je 0<dv , ako se klip kreće na levo, odnosno 0<dl , rad se dovodi, tj. dovedeni rad je negativan. Kada v raste, to je ekspanzija, a kada se v smanjuje, to je sabijanje (kompresija). Ako nema promene v , rad je nula. Rad ld grafički može da se predstavi u vp - dijagramu:

1

2

p

v 2v 1v

p1

p2

dv

( )vp ( ) ldvvp d=×

a b

U svakom položaju klipa (u svakom stanju) može da se ucrta odgovarajući par vrednosti p i v , ali samo ako je promena kvazistatička

( ) ldvvp d=× - elementarni

zapreminski rad u tom momentu

(kriva 1-2 je kriva promene stanja)



- 19 -

U nizu slučajeva (a za gasove uvek) ta kriva se može matematički izraziti nekom analitičkom funkcijom ( )vp . Funkcionalna veza između bilo koje dve veličine stanja

pri nekoj promeni stanja naziva se zakon promene stanja; i linija 1-2 je zakon promene stanja, ali izražen u grafičkom obliku, ako se pri nekoj vrednosti v , klip pomera za dv . Ako se saberu sve elementarne trake, dobija se čitava površina ispod promene stanja 1-2. Matematički ta se površina izražava određenim integralom:

( ) ( ) 2,1

2

1

2

1

ldvvpdvvpv

v

== òò - ovaj integral predstavlja rad između stanja 1 i 2

Na taj način, površina ispod krive stanja 1-2-a-b predstavlja zapreminski rad u vp - sistemu koordinata, zato se vp - dijagram naziva i radni dijagram.

Rad duž promena a, b i c je različit jer su različite površine, i kako je početno i krajnje stanje isto, to znači da rad zavisi od načina promene stanja, odnosno vrste promene stanja, što znači da je rad takođe spoljni uticaj kao i toplota. Zato se elementarni rad izražava sa d , a ne sa d. Za razliku od spoljnih uticaja, promena veličina stanja ne zavisi od načina promene stanja, već samo od početnog i krajnjeg stanja.

Unutrašnja energija

Pri bilo kakvoj promeni stanja, u svakom stanju (tački) u gasu (u opštem slučaju u svakoj supstanci) se nalazi određena energija koja je jednaka zbiru energija njegovih čestica. Dakle, unutrašnja energija susptancije je ukupna energija koju ona sadrži nezavisno od oblika u kom se ta energija nalazi. Da bi se pojasnio pojam unutrašnje energije, posmatraće se idealni gas (predpostavlja se da je jednoatomni idealni gas):

Pošto su zanemarene međumolekulske sile kod idealnog gasa, jedina energija koju jedan molekul sadrži je Ek translatornog kretanja. Unutrašnja energija takvog gasa je jednaka zbiru Ek translatornog kretanja pojedinačnih molekula. Ako imamo dvoatomni gas:

z

v1v 2v

p

1

2 a

b c

∆p



- 20 -

Pri kretanju dvoatomnog gasa, pored Ek translatornog kretanja, molekul sadrži i Ek rotacije oko osa x, y, z. Kod višeatomnih gasova (tro- i više), unutrašnja energija obuhvata i energiju oscilovanja (oscilatornog kretanja) atoma u okviru molekula. Ako su molekuli različiti, npr. H2 i O2, postoji mogućnost hemijske reakcije, toplota koja bi se mogla dobiti od te reakcije takođe bi ulazila u unutrašnju energiju. U unutrašnju energiju treba ubrajati i nuklearnu energiju (energija koja je u jezgru). U termo-dinamici, sem u slučaju sagorevanja, smatra se da nema hemijskih i nuklearnih reakcija, pa se u toplotnim procesima smatra da nema oslobađanja nuklearne ni hemijske energije. U – unutrašnja energija

úû

ùêë

é=

kg

Ju

m

U - specifična unutrašnja energija, meri se po kilogramu

Unutrašnja energija je karakteristika stanja, odnosno određuje kao p, T i v stanje posmatranog sistema.

u

T

p

du

dT

dp

u

T

p

D

D

D

I zakon termodinamike za zatvoren sistem

Zatvoren sistem razmenjuje samo energiju sa okolinom, ne i supstanciju. Kroz granice sistema može da se razmenjuje rad i toplota. I zakon termodinamike izražava opšti zakon o održanju energije primenjen na toplotne procese. 1) Predpostavimo da se zapremina gasa ne menja (V = const). Ako se dovodi toplota prema zakonu o održanju energije, dovedena toplota mora da se pretvori u unutrašnju energiju tela:

UUUQ D=-= 122,1

Pri ovom dovođenju toplote, unutrašnja energija će se promeniti od početne vrednosti U1 do U2 ( 21 UU ® ):

UUU D=- 12

2) Predpostavimo da nema dovođenja toplote, ako nema dovođenja ili odvođenja toplote, jedina forma energije koja može da se razmeni je rad. Takve promene stanja kod kojih je rad jedina forma razmene energije, naziva se adijabatska promena stanja. Ako se jedino rad razmenjuje, to znači da pri adijabatskoj promeni stanja nema razmene toplote. Dovođenjem rada klip će da se pomera, tj. menjaće mu se stanje od početnog stanja 1 do stanja 2. Dovedeni rad će povećati unutrašnju energiju sistema:

122,1 UUL -=- - rad koji je doveden pri promeni stanja od 1 do 2

Znak – (minus) mora da stoji zato što je dovedeni rad po definiciji negativan

Q, L



- 21 -

Uz rad i toplotu stoje indeksi 1, 2 jer rad i toplota nisu veličine stanja, to su spoljni uticaji, čija vrednost zavisi od načina promene stanja, odnosno razmenjeni rad i toplota strogo su vezani za konkretnu promenu stanja, od stanja 1 do stanja 2. Pošto se rad i toplota razmenjuju između dva tela, indeksi 1 i 2 se povezuju sa posmatranim telom, čija se promena stanja razmatra, indeksi 1 i 2 se odnose na promenu stanja radnog tela:

3) Promena stanja pri kojoj se ne menja unutrašnja energija. Ako se dovodi toplota, ona će se u celosti trošiti na odvođenje rada, ako se pri tom stanje posmatranog tela promeni od 1 do 2, imaćemo:

2,12,1 LQ =

4) U najopštijem slučaju, neka se dovode i odvode toplota i rad, i neka se menja unutrašnja energija: 2,1122,1 LUUQ +-= (1)

Ovaj izraz (1) označava zakon održanja energije, a pošto se odnosi na toplotne procese, izraz (1) se naziva I zakon termodinamike za zatvoreni sistem. Važi za svaku promenu stanja, i za svaku supstanciju. Pri izvođenju jednačine (1) nije se uvelo nikakvo ograničenje vezano za vrstu procesa (da li je kvazistatičko ili nije, niti za vrstu supstancije). Ovaj izraz predstavlja opšti oblik I zakona termodinamike koji se primenjuje na sve promene stanja i za sve supstancije. Ako se jednačina (1) podeli sa m, dobija se:

úûù

êëé+-=

kgJluuq 2,1122,1 (2')

2,12,1 luq +D= (2")

Ove jednačine važe za 1kg supstancije. Ako se posmatra diferencijalno mala masa: lduq dd += (3) – prvi zakon termodinamike u diferencijalnom obliku

Ako je promena kvazistatička, može da se piše:

ò=

=2

1

2,1 pdvl

pdvld

TI Q1,2

1› 2



- 22 -

Specifični toplotni kapacitet

Ako imamo telo mase m, i dovedemo mu količinu toplote 2,1Q , pri čemu se promeni

temperatura od T1 do T2 : m 2,1Q › T1 do T2 › 12 TTT -=D

1

22,1

T

Tc

Tm

Q=

D (1)

c - srednji specifični toplotni kapacitet u intervalu temperatura od T1 do T2 Ako se promena temperatura svede na dT, onda će razmenjena toplota biti:

( )TccdT

Q

Tm

Q===

D

dd (2)

c – pravi specifični toplotni kapacitet, u tački T (pri temperaturi T) Iz jednačine (2) neposredno sledi:

( )dTTcQ =d

( )ò=2

1

2,1

T

T

dTTcq (3)

Ako se zna c(T), može se odrediti razmenjena količina toplote za posmatranu promenu stanja:

Razmenjena toplota se može predstaviti grafički u sledećem dijagramu:

Specifični toplotni kapacitet se u q-T dijagramu grafički predstavlja kao tangens ugla koji pravac 1-2 zaklapa sa T – osom. Ako se tačka 2 približava tački 1, ∆T opada, i u graničnom slučaju će biti dTT ®D , tada će biti:

cdT

Q

T

q

T==

D®D

d2,1

0lim

T1

2

1

q

∆T

q1,2 1

22,1

T

Tc

T

qtg =

D=a

α

T2 T

dT

2

1

c(T)

T q1,2

q = c·dT



- 23 -

U ovom slučaju specijalni toplotni kapacitet definiše se tangensom ugla koji tangenta na zakon promene stanja q(T) zaklapa sa T – osom.

1) Ako se povuče tangenta, tgα je c za ovu promenu > c = tgα

2) ±¥==dT

qc

d, dT › 0

3) c = 0 – adijabatska promena stanja, Q = 0 Prema tome, jedna ista supstanca zavisno od promene stanja može za c da ima bilo koju vrednost, u rasponu od – do + , što praktično znači da je specifični toplotni kapacitet prvenstveno karakteristika promene stanja, kada za određenu promenu stanja zavisi od vrste susptancije. Od beskonačno mnogo promena stanja, neke su u tehnici ključno važne: 1) p = const – izobarska promena stanja (cp) 2) V = const – izohorska promena stanja (cv) 3) T = const – izotermska promena stanja ( ±¥=c ) 4) 0=qd - adijabatska promena stanja (c = 0)

Ako je adijabata kvazistatička, onda se naziva izentropska promena stanja s = const (s – entropija). Za izobarsku promenu stanja imamo cp, za izohorsku cv, za adijabatsku c = 0, i za izotermsku ±¥=c .

Za gasove je vp cc >

pdvduq +=d

A

q

α

T

1 2

3

A

q

cT

qtg ==

da

α

T

Imamo cilindar sa klipom, ako izvršimo izohorsku promenu

stanja imamo: vcv,

za izobarsku: pcp,



- 24 -

Ako je promena izohorska, constv = , onda je:

( ) ( )vv duq -d / dT (4) – ako se podeli sa dT

Ako je promena izobarska p = const, onda je: ( ) ( ) pdvdhq pp +=d / dT (5) – ako se podeli sa dT

vv dT

du

dT

q÷ø

öçè

æ=÷

ø

öçè

æ d (4')

ppp dT

RdT

dT

du

dT

q÷ø

öçè

æ+÷

ø

öçè

æ=÷

ø

öçè

æ d (5')

Malo kasnije će se dokazati da je:

v

pv

cdT

du

dT

du=÷

ø

öçè

æ=÷

ø

öçè

æ (6)

Rcc vp += (7) – Majerova jednačina

Ako se (7) pomnoži sa úû

ùêë

é

kmol

kgM (molska masa):

uvp RCC += (8) – Majerova jednačina

kmolK

J

molK

JRRu 8314314,8 === - sve se odnosi na kmol supstance

Specifični toplotni kapacitet idealnih gasova

Na osnovu kinetičke teorije gasova može da se izračuna specifični toplotni kapacitet idealnih gasova. Da bi se to pokazalo, poći ćemo od osnovne jednačine kinetičke teorije gasova:

23

2 2MW

V

Np

¢= (1)

N ¢ - broj molekula u 1kg supstance M – masa molekula W2 – srednja brzina translatornog kretanja molekula

2

2MW - Ek translatornog kretanja molekula

Posmatramo jednoatomni gas. Njegova energija se sastoji samo od Ek translatornog

kretanja: uMW

N =¢2

2

(samo za jednoatomne gasove)

pvu3

2= (2)

TRu g2

3= (3) › ú

û

ùêë

é

kgK

JRq - gasna konstanta gasa, odnosi se na 1kg

Iz I zakona termodinamike, zna se da je pri izohorskoj promeni stanja: ( ) ( )vv duq =d (4)

dudTcv = (5)



- 25 -

Iz jednačine (5) se vidi da unutrašnja energija gasova zavisi samo od temperature i

vc . Iz jednačine (3), diferenciranjem se dobija:

dTRdu g2

3= (6)

Iz jednačina (5) i (6), se dobija:

dTRdTc gv2

3=

gv Rc2

3= (7) › ako se pomnoži sa M:

uv RC2

3= (8)

Iz jednačina (7) i (8) sledi da je za određeni gas vc konstanta.

gvp Rcc += (9) › sledi da je i pc za određeni idealni gas konstanta

Prema tome, unutrašnja energija idealnih gasova zavisi samo od temperature, a ne zavisi od pritiska i zapremine, pa je:

0=÷ø

öçè

æ

¶

¶=÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶

TTv

u

p

u

Pošto je molK

JRu 314,8» , onda se iz jednačina (8) i (9) dobija:

kmolK

kJC

kmolK

kJC

p

v

8,20

5,12

=

=

- važi samo za jednoatomne gasove

Za dvo- i troatomne gasove postoji hipoteza Maksvela i Bolcmana po kojoj se dovedena toplota pri izohorskoj promeni stanja ravnomerno raspoređuje na svaki stepen slobode kretanja molekula. Stepen slobode kretanja je broj nezavisnih parametara koji jednoznačno određuju položaj tela u koordinatnom sistemu. Kad imamo tačku, položaj tačke u Dekartovom sistemu koordinata je određen sa tri koordinate, pa tačka ima tri stepena slobode kretanja. Dvoatomni molekul prema Maksvelu i Bolcmanu ima pet stepeni slobode kretanja.

Tro- i višeatomni gasovi imaju sedam stepeni slobode kretanja. Sedmi stepen je oscilatorno kretanje, odnosi se na oscilatorno kretanje atoma u okviru molekula. Iz jednačine (8), pošto jednoatomni gas ima tri stepena slobode kretanja, svakom stepenu

slobode kretanja, pri izohorskim uslovima pripada uR2

1.

Ako gas ima pet stepeni slobode, biće:

kmolK

kJC

kmolK

kJRC

p

uv

1,293,88,20

8,202

5

=+=

==

z



- 26 -

Za tro- i višeatomne gasove biće:

kmolK

kJC

kmolK

kJRC

p

uv

4,373,81,29

1,292

7

=+=

==

McC ×=

Entalpija

Matematička kombinacija dve ili više veličina stanja je opet veličina stanja, jer predstavlja karakteristiku stanja. Entalpija je jedna od takvih veličina stanja koja se veoma mnogo koristi u termotehnici. Pojam entalpije se uvodi na primeru izobarskog dovođenja toplote:

Ovakvi izobarski procesi u praksi su veoma česti; ili - svaka razmena toplote u termotehnici je izobarski proces. Ukupna energija gasa sastoji se od unutrašnje energije, i potencijalne energije tega: 1ZGUE T ×+= (1)

pVUZApUE kl +=××+=

Ukupna energija gasa se izražava kao zbir unutrašnje energije i proizvoda pV. [ ]JHpVU =+ - entalpija

Entalpija je zbir jednog čistog termičkog potencijala (U) i mehaničkog potencijala (pV). Ako se izvede količina toplote U1,2, onda će teg da se spusti, prema zakonu o održanju energije: ( ) ( ) 1211222,1 HHpVUpVUQ -=+-+=

Razmenjena količina toplote pri izobarskoj promeni stanja se izražava kao promena entalpija. [ ]JpVUH += (1)

úû

ùêë

é+=

kg

Jpvuh (2) – specifična entalpija, jer se odnosi na 1kg

Za jednokomponentnu supstanciju entalpija se uvek može prikazati kao funkcija od bilo koje dve veličine stanja: ( )Tphh ,= (3) – kalorička jednačina stanja, zato što obuhvata entalpiju kao jednu

od veličina stanja

dpp

hdT

T

hdh

Tp÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+÷

ø

öçè

æ

¶

¶= (4)

2,1Q p

teg služi da bi se obezbedilo p = const

z1 - visina

nulti nivo



- 27 -

pdvduq +=d

vdpvdppdvduq -++=d

( ) vdppvdduq -+=d

( ) vdppvudq -+=d

vdpdhq -=d (5) – I zakon termodinamike za zatvoren sistem, napisan uz pomoć

(preko) entalpije

( ) ÷÷ø

öççè

æ-+-= ò

2

1

122,1 vdphhq (6) – za 1kg fluida úû

ùêë

é

kg

J

Ako se posmatra izobarska promena stanja (p = const), iz jednačine (5) se dobija:

( ) ( ) ( )ppp vdpdhq -=d › ( ) 0=pvdp

( ) ( )ppp dhdTc =

p

p

cT

h=÷

ø

öçè

æ

¶

¶ (7)

Ako se (7) unese u (4), dobija se:

dpp

hdTcdh

T

p ÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+= (8) – važi za svaku supstanciju

Za idealne gasove se zna da unutrašnja energija ne zavisi od pritiska već samo od temperature: dTcdu v=

0=÷ø

öçè

æ

¶

¶=÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶

TTv

u

p

u (9)

Sa jednačinom (9), dobija se:

( ) { } 0=¶

¶+÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶=+

¶

¶=÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶T

T

T

T

RTpp

upvu

pp

h

Prema tome, za idealne gasove se dobija.

Tcu

Tch

dTcdh

v

p

p

=

=

=

Stacionarni otvoren proces

U termotehnici (termici) vrlo retko se srećemo sa zatvorenim procesima. Tehnički procesi se odvijaju tako što kroz granice sistema praktično uvek prolazi susptancija.

∆τ

∆m1

∆m2

1

1

2

2



- 28 -

U vremenskom intervalu ∆τ ulazi masa ∆m1, kroz presek 1-1 i istovremeno izlazi masa ∆m2 kroz presek 2-2. Ove mase ne moraju biti iste: 21 mm D¹D

Ako se usvoji da je proces stacionaran (znači da se tokom vremena veličine stanja u pojedinim tačkama ne menjaju), onda će biti: constmmm =D=D=D 21 - uslov stacionarnosti

Ovakav stacionarni sistem sadrži u sebi uvek konstantnu količinu supstancije:

úû

ùêë

é=

D

D

s

kgm

m&

t - maseni protok (konstantan za stacionarno stanje sistema)

constm

=D

D

t › const

m=

t

Pri kretanju fluidnog delića kroz ovakav sistem, njegove veličine stanja se menjaju od preseka 1-1 do preseka 2-2. Međutim, u bilo kom preseku (s-s), fluidni delići pri stacionarnom strujanju uvek zadobijaju jednake vrednosti veličina. Prema tome, stanje fluida se menja pri prolasku 1-2, ali je u svakom preseku stanje stalno (nepromenjlivo tokom vremena). U posmatranom preseku smatra se da se uspostavilo stanje termo-dinamičke ravnoteže, u svakoj tački preseka svaka od veličina ima konstantnu vrednost. Na taj način, posmatrani proces je kvazistatički, pa se promena njegovih veličina stanja može predstaviti u odgovarajućem dijagramu:

U opštem slučaju kroz granice sistema mogu da se razmenjuju toplota i rad sa drugim telima. Kroz granice sistema (izuzimajući preseke 1-1 i 2-2) osim toplote Q12 može da se dovodi i odvodi rad, npr. pomoću radnog kola pumpe ili da se rad odvodi pomoću lopatica turbine. Ovaj rad se zove tehnički rad – svaka forma mehaničkog rada koja se razmenjuje kroz granice sistema (izuzev preseka 1-1 i 2-2) naziva se tehnički rad. Uslov da se dobije tehnički rad je da postoji razlika pritisaka u presecima 1-1 i 2-2. Ako je 21 pp > , tehnički rad se dovodi.

1212 tt lmL ×D= / ∆τ (1)

1212

tt l

mL×

D

D=

D tt [ ]Wlmp t12×= & - snaga

∆τ

1

1

2

2

∆m1

∆m2

1

2

( )vp

p

v 1v 2v

p2

p1

zakon promene stanja kod otvorenog sistema



- 29 -

I zakon termodinamike za otvoren sistem

Posmatra se stacionarno proticanje fluida između dva preseka neke mašine, posmatraćemo stacionarni tok fluida kroz otvoren termodinamički sistem:

Ako spojimo težišta svih poprečnih preseka struje, dobija se tzv. glavna linija strujanja. W1 i W2 su srednje brzine po preseku:

ò= WdAA

W1

U vremenskom intervalu ∆τ kroz presek 1-1 ućiće neka zapremina fluida. Može se zamisliti da tu zapreminu potiskuje zamišljeni klip čije će se čelo pomeriti iz preseka 1-1 u presek 1'-1'. A1 i A2 – površine poprečnih preseka U istom vremenskom intervalu ∆τ kroz presek 2-2 proćiće ista masa fluida a presek se pomera za veličinu 2xD u položaju 2'-2'. U presecima 1-1 i 2-2 na visinama z1 i z2

fluid ima neku potencijalnu energiju koja sigurno ima neki uticaj na proces strujanja. Na kraju predpostavićemo da se kroz granice sistema dovodi ili odvodi tehnički rad, tj. toplota. Primeniće se zakon održanja energije za posmatrani sistem, i dobiće se:

( ) ( )å ®+-= 211212 LEEQ (1)

Razmenjena toplota troši se delom na promenu svih formi energije ( 12 EE - ) i

drugim delom na vršenje svih formi radova ( ( )å ®21L )

mgzmW

UE D+D

+=2

2

(2) – ukupna energija koju telo sadrži

Za utiskivanje fluida između preseka 1-1 i 1'-1' mora se spolja utrošiti neki rad utiskivanjem: 111111111 VpxApxFL D-=D-=D-=¢- (3) › znak – (minus) stoji jer je rad doveden

Na isti način kroz presek 2-2 odvodi se rad (u termodinamici je predznak +): 222222222 VpxApxFL D=D=D=¢- (4)

Ako se jednačine (2), (3) i (4) unesu u (1), i doda tehnički rad, dobija se:

( ) ( ) 11221212

21

22

12122

VpVpLzzmgWW

mUUQ t -++-D+-

D+-= (5)

Jednačina (5) predstavlja zakon održanja energije za posmatrani termodinamički proces, pa je ona I zakon termodinamike za otvoren sistem. Važi za proizvoljnu masu ∆m.

1xD

2xD 1

1

2

2

1'

C1

C2

A1

1'

2'

2'

A2 1212 , tLQ

z1

z2

nulti nivo

W



- 30 -

Ako se jednačina (5) podeli sa ∆m, dobija se:

( ) ( ) úû

ùêë

é-++-+

-+-=

kg

Jvpvplzzg

WWuuq t 11221212

21

22

12122

(6)

Ako se jednačina (6) diferencira:

( )pvdlgdzWdWduq t ++++= dd (7)

Onda je jednačina (7) I zakon termodinamike za otvoren sistem napisan u diferenci-jalnom obliku. tlgdzWdWdpvduq dd ++++= › dhdpvdu =+

tlgdzWdWdhq dd +++= (8)

vdpdhq -=d (9)

Ako se jednačina (9) ubaci u (8), dobija se: tlgdzWdWhdvdphd d+++/=-/

tlgdzWdWvdp d++=- (10)

Iz jednačine (10) sledi da se promena kinetičke energije (WdW), promena potencijalne energije i tehnički rad vrše na račun promene pritiska. Razlika pritisaka je pogonska sila procesa strujanja. Jednačina (10) može da se reši po tld :

gdzWdWvdplt ---=d (11) – najopštiji izraz za izražavanje tehničkog rada

U termodinamici i termotehnici je dW = 0 i dz = 0, onda iz (11) sledi da je:

vdplt -=d (12) – koristi se ovaj izraz za proračun tehničkog rada

Sada se (12) stavi u (9): tldhq dd += (13)

2,12,1 tlhq +D= (14)

2,112 tLHQ +D= (15)

Izraz (12) važi samo za kvazistatičke promene stanja. Tehnički rad može da se predstavi u vp - dijagramu:

Prema tome, šrafirana površina, tj. 1-2-a-b-1, u vp - sistemu predstavlja tehnički

rad, ali samo za kvazistatičku promenu stanja.

1

2

p

pa

pb

v

cp tlvdp d-=



- 31 -

Kružni procesi (kružni ciklusi)

Do sad su se proučavali procesi koji se odvijaju od početnog do krajnjeg stanja. Stanja 1 i 2 su različita. Takav proces je otvoreni. Otvoreni procesi u tehnici su vrlo retki, mnogo su važniji kružni procesi kod kojih se supstancija posle određene promene vraća u prvobitno stanje – to su kružni procesi:

Proces se uvek u tehničkoj praksi vrši na taj način da se supstancija ne vraća u početno stanje istim putem. Ako je proces u smeru kazaljke na satu (negativni matematički smer) proces je desnokretni. Ako je proces u smeru suprotnom od kazaljke na satu, onda je proces levokretni. Desnokretni procesi služe za dobijanje rada, a levokretni su rashladni procesi. Ukupni rad koji se dobija u procesu, koji je jednak razlici odvedenog i dovedenog rada je koristan rad koji se dobio u tom procesu. To znači da se u svakom desnokret-nom procesu dobija rad. Rad se dobija (prema I zakonu termodinamike) samo na osnovu razmenjene toplote koja mora da se dovede od odgovarajućih izvora toplote. - dovedena toplota je Qd Prema II zakonu termodinamike (prema jednoj od formulacija) u svakom kružnom procesu se od Qd jedan deo mora odvesti u okolinu, ne pretvoren u rad. Uvek jedan deo od Qd mora da se odvede u okolinu. - odvedena toplota je Qod Iz I zakona termodinamike za kružni proces 1-2 biće:

( ) ( )dododd LLUQQ -+D=-

odd QQ - - ukupna razmenjena toplota

dod LL - - razmenjeni rad (koristan rad)

UD - promena unutrašnje energije kao i svake druge veličine stanja nakon dovođenja radne materije u početno stanje 1 jednaka je nuli ( 0=DU ): ( ) LUQQ odd +/D=-

LQQ odd =-

Koristan rad koji se dobija u kružnom procesu jednak je razlici dovedene i odvedene toplote. Qod – odvedena toplota i piše se znak – (minus). U desnokretnom procesu cilj je dobijanje rada, prema tome najvažnija karakteri-

stika procesa je odnos dobijenog rada i dovedene toplote. Ta veličina se obeležava th ,

i ona je termodinamički stepen korisnosti (koliki deo dovedene toplote se u datom procesu pretvara u rad):

11 <-=-

==d

od

d

odd

d

tQ

Q

Q

QQ

Q

Lh

1<th - uvek! pošto prema II zakonu termodinamike uvek mora biti 0>odQ

1 2

p

v

I II

dovedeni rad

odvedeni rad



- 32 -

th je mnogo manji od jedinice i za uobičajene temperature izvora i ponora

(0,25 – 0,40). U praksi kada se gubici uzmu u obzir, tehnički veoma doterano parno postrojenje sa turbinom, ima stepen korisnosti oko 0,25. Ako se proces odvija u suprotnom smeru, mora se utrošiti više rada nego što se dobija, ali će toplota koja se odaje od radne materije biti veća od dovedene toplote. Takvi procesi imaju za cilj prebacivanje toplote sa niže na višu temperaturu, i takvi procesi su rashladni. Kod rashladnih procesa je važna toplota koja je dovedena radnoj materiji od hlađene sredine. Qo – odvedena toplota (dovedena radnoj materiji, a odvedena od hlađene materije) Lkom – utrošeni rad levokretnog procesa (kompenzacijski rad) Tada se definiše koeficijent hlađenja ε:

kom

o

L

Q=e

II zakon termodinamike

Prvi zakon termodinamike izražava opšti zakon o održanju energije. Na osnovu njega može se uspostaviti bilans energije u sistemu, ali se ne može definisati smer u kome proces teče. II zakon termodinamike uvodi jednu novu veličinu stanja koja se zove entropija (veličina transformacije čija promena pokazuje u kom smeru proces teče). Neke ranije formulacije II zakona termodinamike: 1) Clausius: toplota ne može sama po sebi ni poredno ni neposredno prelaziti sa tela nižeg na telo više temperature 2) Maksvel i Plank (Kelvin): ne može se napraviti mašina periodičnog dejstva, koja bi stalno hladila jedan izvor toplote i podizala teret. Suština ove formulacije je da je za kontinualno dobijanje rada, neophodno da u sistemu pored toplijeg izvora postoji i još jedno telo (toplotni ponor) kome se mora predati deo toplote, ili za kontinualno dobijanje rada mora da postoje najmanje dva tela na različitim temperaturama. Ako ne bi bila neophodna temperaturska razlika u sistemu, onda bi npr. brod mogao da koristi neiscrpnu energiju okeana za svoje kretanje. To bi bilo ekvivalentno perpetuum mobile II vrste. 3) Ostvald: nemoguće je napraviti perpetuum mobile II vrste

Statistička interpretacija entropije

I primer: Ako kocku sa šest polja bacimo jedanput, svaki od šest brojeva ima jednaku verovatnoću da će se pojaviti, ako je bacimo šest puta onda se neće svaki broj pojaviti po jedanput. Ako kocku bacimo 6000 puta onda će se, po našem iskustvu i eksperimentu, svaki broj pojaviti približno po 1000 puta. Za još veći broj bacanja, verovatnoća podjednakog pojavljivanja brojeva je još veća. II primer: Bacamo dve kocke i utvrđujemo pojavu pojedinih zbirova. Najmanji zbir je 2, a najveći je 12.



- 33 -

2 1 + 1 (1) 3 1 + 2 2 + 1 (2) 4 1 + 3 2 + 2 3 + 1 (3) 5 1 + 4 2 + 3 3 + 2 4 + 1 (4) 6 1 + 5 2 + 3 3 + 3 4 + 2 5 + 1 (5) 7 1 + 6 2 + 5 3 + 4 4 + 3 5 + 2 6 + 1 (6) 8 2 + 6 3 + 5 4 + 4 5 + 3 6 + 2 (5) 9 3 + 6 4 + 5 5 + 4 6 + 3 (4) 10 4 + 6 5 + 5 6 + 4 (3) 11 5 + 6 6 + 5 (2) 12 6 + 6 (1) Ovi zbirovi pojavljuju se mnogo češće od drugih. Zbir 7 može da se dobije sa 6 kombinacija, za razliku od 2 i 12 koji mogu da se pojave na samo jedan na način. Zaključujemo da je verovatnoća pojave zbira 7 tri puta verovatnija nego pojava zbira 2 ili 12. III primer: Posmatramo idealni gas sa šest molekula za koje znamo da se neuredno kreću. Bilo koji položaj molekula u datom trenutku je moguć, odnosno ima jednaku verovatnoću pojavljivanja.

Radi jednostavnosti, podelićemo zamišljeno zapreminu na dva jednaka dela i posmatrati u kom delu (polovini) se nalaze molekuli. Ovo je jedna od mogućih kombinacija. Svaki mogući raspored molekula naziva se jedno mikro – stanje.

Ako npr. 1 i 6 zamene mesta, to će biti novo mikro – stanje u smislu definicije. Jedno isto mikro – stanje (pritisak, tempertura, ...) koji karakterišu sistem kao celinu može da bude rezultat većeg broja mikro – stanja pri čemu je svako mikro – stanje jednako verovatno. Broj mikro – stanja koji daju jedno isto makro – stanje naziva se statistička teorija ili termodinamička verovatnoća (W). Odredićemo termodinamičku verovatnoću W za moguće rasporede (raspodele) molekula:

6 5

4 3

2 1

6 5

4

3 2 1

6 5

4

3

2 1

W0/6 = 1 W1/5 = 6 15!4!2

!64/2 =

×=W

6 5 4

3 2 1

6 5 4

3 2 1



- 34 -

Verovatnoća W je broj rasporeda kombinacija druge klase bez ponavljanja od 6 elemenata.

Raspodela 3/3 se zove ravnomerna (ravnotežna) raspodela jer podrazumeva podjednak broj molekula u obe polovine. Ova podela je 20 puta veća nego verovatnoća neravnomerne raspodele. Realni tehnički sistemi sadrže mnogo veći broj molekula reda veličine 1026, u tom slučaju za W se dobijaju vrlo veliki brojevi. Ako se ovo predstavi na dijagramu, dobija se sledeće:

Ako broj N raste, Gausova kriva je sve uža i za vrlo veliki broj molekula imala bi veoma malu širinu, za veliki broj molekula verovatnoća ravnomerne raspodele je toliko velika da se neravnomerna raspodela koja se može makroskopski detektovati (registrovati) praktično nemoguća. Stvarni prostor se ne deli na dva dela, nego se može podeliti na mnogo veći broj delova. Ako bi se prostor mogao beskonačno deliti, W bi imala beskonačnu vrednost, međutim prostor se može deliti "samo" do elementarne kocke, stranice ε koja je veoma mali broj. Na taj način verovatnoća W postaje konačan broj. Ako se uspostavi geometrijska ravnomerna raspodela (položaj molekula u prostoru), to ne znači da će sistem biti u termodinamičkoj ravnoteži i pri geometrijskoj ravnotežnoj raspodeli, pošto molekuli mogu imati različite brzine, prema tome biće različite temperature u pojedinim tačkama sistema (prostora). Prema tome, paralelno sa raspodelom u geometrijskom prostoru, može se posmatrati i raspodela po tzv. impulsnom prostoru (na sličan način), pa definisati raspodela po impulsnom prostoru. Pošto se ni energija ne može beskonačno deliti, verovatnoća raspodele impulsa će biti konačan (takođe izvanredno veliki) broj: Wg – verovatnoća raspodele u geometrijskom prostoru Wi – verovatnoća raspodele u impulsnom prostoru ig WWW ×= - ukupna verovatnoća raspodele › biće takođe veliki broj

6 5

4 3 2 1

20!3!3

!63/3 =

×=W

N = 10000

N = 500 rW

W

N

N1 0,5

Gausova kriva

rW - ravnomerna raspodela



- 35 -

Prema Ludvigu Bolcmanu, umesto W se usvaja veličina s: Wks ln= - Bolcmanova jednačina za termodinamičku verovatnoću

L

u

N

Rk = - Bolcmanova konstanta

úû

ùêë

é=

kmolK

kJRu 314,8

2610023,6 ×=LN - Lošmitov broj

Ako posmatramo sistem sa šest molekula i postavimo sledeće pitanje: Ako su svi molekuli u jednoj polovini odvojeni pregradom, posle uklanjanja pregrade molekuli će se spontano rasporediti na čitavu zapreminu u dovoljnom vremenskom intervalu. Na sličan način: Ako je raspodela molekula ravnomerna, ako su molekuli u desnoj polovini na višoj temperaturi, nakon uklanjanja pregrade u vremenskom intervalu će se temperature u čitavom prostoru izjednačiti. Ravnomerna raspodela se karakteriše velikom (najvećom) verovatnoćom, odnosno entropijom. Prema tome, svaka pojava u termodinamici (pa i šire) teče u smeru u kome termodinamička verovatnoća tj. entropija, raste. Ovo je suština II zakona termodinamike. Kada se dostigne ravnotežno stanje verovatnoće, entropija zadobija najveću (maksimalnu) vrednost. Takav sistem je termodinamički mrtav, tj. nema mogućnosti za bilo kakvu promenu stanja sistema, bez dovođenja energije spolja. Prema tome, svi procesi u prirodi teže stanju maksimalne entropije. Kad je razmena toplote jednaka nuli, proces je adijabatski, odnosno kroz granice sistema se ne razmenjuje toplota. Ako se izvrši promena stanja, npr. ekspanzija (širenje) od 1 do 2:

Ako je promena kvazistatička, povećanje entropije gasa zbog povećanja zapremine i smanjenje entropije zbog smanjenja impulsnog prostora biće međusobno kompenzira-na (poništena). Prema tome, ako je promena kvazistatička, ukupna entropija izolova-nog sistema jednaka je nuli. Ako bi se izvršila kvazistatička kompresija, rezultat će biti isti (entropija gasa će se povećati zbog dovođenja rada, ali bi se za istu vrednost smanjila zbog smanjenja geometrijskog prostora). Dakle, dolazi se do veoma važnog zaključka – ako je promena kvazistatička ukupna promena entropije sistema jednaka je nuli. Predpostavićemo da su promene nekvazistatičke. Pri ekspanziji, pritisak gasa mora biti veći od p' (p > p'), pa će promena zapremine da bude veća nego što bi bila kada bi promena bila kvazistatička. U krajnjem rezultatu to znači da će povećanje entropije usled povećanja geometrijskog prostora biti veće nego što je smanjenje entropije usled smanjenja impulsnog prostora. Odnosno, ukupna promena entropije biće veća od nule. Do istog rezultata dolazi se i u slučaju nekvazistatičke kompresije (promena entropije sistema biće veća od nule). Ako se svi ovi zaključci svedu na jedan zaključak, može se reći – ako je promena stanja kvazistatička, ukupna promena entropije sistema je nula ( 0=D sS ), a ako je promena nekvazistatička onda je 0>D sS .

p'

p 2112

120

UUUl

lU

-=D-=

+D=



- 36 -

Pri bilo kakvoj promeni stanja, entropija izolovanog sistema (ukupna entropija) ne može da opada, tj. uvek ili veća ili jednaka nuli, nikad ne može biti negativna

0³D sS . Ako pri promeni stanja posmatrani sistem nije adijabatski izolovan (ako se

razmenjuje toplota), kakva će biti promena entropije sistema?

Pošto sistem nije adijabatski, u sistemu postoji, u opštem slučaju, toplotni izvor od koga se toplota dovodi gasu i toplotni ponor kome se toplota odvodi od gasa. Granice sistema mogu da se prošire tako da obuhvate i TI i TP. Ovakav proširen sistem je sada izolovan od svoje okoline. Prema tome, ovakva promena u datom sistemu (novom) u odnosu na njegovu okolinu je adijabatska. Za tako izolovani sistem važiće isti zaključak kao i u predhodnom slučaju, odnosno, promena entropije izolovanog sistema ne može opadati, ona može biti jednaka nuli ili veća od nule.

0

0

=D

³D

s

s

S

S - ako je promena kvazistatička

0>DS - ako je promena nekvazistatička Ovo predstavlja opštu formulaciju II zakona termodinamike koji važi za svaku promenu stanja i za svaku susptanciju. Analogno pojmu kvazistatičke ravnoteže, uvodi se pojam termičke ravnoteže:

Ako se ∆T smanjuje, ali tako da je T1 uvek veće od T2, u graničnom slučaju temperaturska razlika postaće diferencijalno mala ( dTT ®D ) ali još uvek će postojati razmena toplote. Takva razmena toplote, pri dT će biti beskonačno spora. Takav granični slučaj razmene toplote se zove razmena toplote pri termičkoj ravnoteži. Ako je ∆T konačna, proces je pri termičkoj neravnoteži, kaže se da se promena izvodi pri spoljašnoj nepovratnosti.

21 TT >

1T

2T

Q

21 TTT -=D

(uzrok da bi nastala razmena toplote)

TP

TI

Q

Q



- 37 -

Pored temperature i pritiska, treća intenzivna veličina stanja koja izaziva promenu, jeste razlika u sastavu (razlika koncentracija) između dva dela jednog tela ili između dva tela u sistemu. I sa ovog gledišta može se govoriti o ravnotežnoj i neravnotežnoj promeni stanja. U termodinamičkom sistemu promena može da nastane zbog razlike pritisaka, temperatura i razlike koncentracija. Ako se u svakom stanju sistema pri njegovoj promeni uspostavlja mehanička, termička i koncentracijska ravnoteža, sistem se nalazi u termodinamičkoj ravnoteži. Promena stanja koja se sastoji od beskonačno mnogo termodinamičkih beskonačnih promena stanja naziva se povratna promena stanja. Pojam povratnosti (rezervisanosti) znači da se sistem načelno može kroz dva međustanja vratiti u početno stanje. Povratnost znači principijelnu (načelnu) mogućnost da se sistem kroz ista međustanja vrati u početno međustanje, što znači da će glavna promena stanja da se izvede. Prema tome, termodinamička ravnoteža podrazumeva istovremeno postojanje sve tri forme ravnoteže: mehaničku (jednakost pritisaka u sistemu), termičku (jednakost temperatura), i koncentracijsku (jednakost sastava u svim delovima sistema). Ako makar jedna ravnoteža izostane, proces nije povratan, odnosno ne teče u termodinamičkoj ravnoteži. Svaka neravnoteža u sistemu je neposredno vezana za gubitak radne sposobnosti. Pošto se u opštem slučaju, termodinamički sistem sastoji od radne materije, TI i TP, promena entropije će iznositi: TPTIRMs SSSS D+D+D=D

00,0,0 ³DÞ>D<D»D sTPTIRM SSSS

U izolovanom sistemu, promena entropije nekog od sudeonika (RM, TI, TP) može biti negativna, ali je ukupna promena entropije izolovanog sistema uvek veća ili jednaka nuli, tj. ne može biti manja od nule.

Izračunavanje entropije

Bolcmanov izraz Wks ln= , koji dobro odslikava prirodu entropije, nije pogodan za izračunavanje entropije tela zato što je veoma teško odrediti verovatnoću W. Međutim do izraza za entropiju može da se dođe fenomenološkim putem, odnosno matematičkim definisanjem entropije kao makroskopske veličine stanja. pdVq =d (1)

std dq = (2)

ò=2

1

12 stdq (3)

Po analogiji sa izrazom (1) razmenjena toplota pri kvazistatičkoj (povratnoj) promeni stanja može da se potraži u formi (2) gde su τ i dτ dve za sada nepoznate veličine stanja, pri čemu τ mora biti intenzivna, a σ ekstenzivna veličina stanja. Ako

takve veličine postoje, biće t

ds

q= (4), što znači da veličina τ treba da bude integra-

cijski faktor količine toplote. To znači da ako se q (što nije diferencijal) podeli sa veličinom τ, dobija se diferencijal dσ, odnosno σ treba da bude neka veličina stanja.



- 38 -

Ako izraz (2) treba da ima opšti karakter, veličine τ i σ mogu da se odrede za bilo koji slučaj. Uzeće se sledeći slučaj:

Uz pomoć jednačine (2), jednačina (5) postaje: 2211 ststst ddd +=× (6)

Predpostavi se da je promena kvazistatička (povratna): TTT == 21

22

11 s

t

ts

t

ts ddd += (7)

Za fukcije τ i σ se predpostavi sledeće: ( )111 ,stt T= (8a)

( )222 ,stt T= (8b)

( )333 ,stt T= (8c)

( )21 ,, ssss T= (8d)

Iz (8d) se dobija:

2

2

1

1

ss

ss

s

sss dddT

Td

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶= (9)

Jednačine (7) i (9) definišu dσ. Izrazi (7) i (9) mogu biti jednaki samo ako je

0=¶

¶dT

T

s, što znači da veličina σ ne zavisi od temperature, što znači 0=sd , iz

čega sledi ( ) 0=¶

¶sd

T (10).

Iz (7) i (10) se dobija.

022

11 =÷

ø

öçè

æ+

¶

¶s

t

ts

t

tdd

T

Pošto funkcije σ ne zavise od temperature, dobija se:

( ) ( ) 022

22

11

11 =÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶+÷

ø

öçè

æ

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶s

t

ts

t

ts

t

ts

t

td

Td

Td

Td

T

Ovo važi ako je istovremeno 01 =÷ø

öçè

æ

¶

¶

t

t

T i 02 =÷

ø

öçè

æ

¶

¶

t

t

T. Pošto je 0>t , sledi:

za prvi izraz › 02

11

=¶

¶-

¶

¶

t

tt

t

tt

T

za drugi izraz › 02

22

=¶

¶-

¶

¶

t

tt

t

tt

T

1T 2T

2qd 1qd

qd

21 qqq ddd += (5)

TTT == 21



- 39 -

TT

TT

¶

¶=

¶

¶

¶

¶=

¶

¶

t

t

t

t

t

t

t

t

11

11

2

2

1

1 TTT ¶

¶=

¶

¶=

¶

¶ t

t

t

t

t

t

111 2

2

1

1

(12)

Dakle, funkcije τ koje izrazom (2) treba da daju razmenjenu količinu toplote, treba da budu takve da zadovoljavaju jednačine (12). Od svih formulacija τ koje zadovolja-vaju jednačinu (12), a njih ima beskonačno mnogo, mora se izdvojiti samo ona fukcija za τ koja će zadovoljiti jednačine I zakona termodinamike, odnono jednačinu stanja idealnog gasa, ako se primeni za idealni gas. Funkcije τ potražićemo u sledećem obliku:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )21

222

11111

,

,

ssjt

sjt

stsjt

×=

×=

=×=

Tf

Tf

TTf

(13)

( )TfT

11 1 =¶

¶t

t

Ako veličine τ imaju oblik (13) očigledno zadovoljavaju jednačine (12). Funkcija

( )Tf se zove Karnoova temperaturska funkcija, jer zavisi samo od temperature tela, a

ne od vrste tela. ( )Tf je čista funkcija temperature tela i ima isti oblik za svaku

supstanciju. Nasuprot tome, funkcije ( )sj zavise od ovih osobina posmatranog tela.

Iz praktičnih razloga za funkcije ( )sj može se usvojiti najjednostavnija funkcija

pošto ona nema uticaja na zadovoljavanje jednačine (12). Usvaja se da je:

( )

121

21

===

===

jjj

ttt Tf (14)

Kada se (14) ubaci u (2), dobija se: ( ) sd dTfq ×= (15)

Vidi se prva velika prednost ovako uvedene funkcije ( ( ) s,Tf ). U tom dijagramu,

razmenjena toplota se vidi kao šrafirana površina (12ab).

0,0

0,0

0,0

<<

>>

==

qd

qd

qd

ds

ds

ds

(16)

( )Tf

s

1

2

b a

s ds

( ) qdTf ds =

( )ò =2

1

12qdTf s

( )Tf



- 40 -

Veličina σ je očigledno parametar adijabate, jer kada je 0=sd , nema razmene toplote ( 0=qd ). Osim toga, veličina σ se principijelno ponaša kao i entropija, kada se

dovodi toplota 0>qd raste i entropija, a raste i veličina σ; kada se toplota odvodi, i

entropija i σ opadaju. Prema tome, može veličina σ da se identiše sa entropijom pod uslovom da u izrazu Wks ln= , konstantu k odredimo tako da se brojčane vrednosti entropija poklapaju. Sa tim se dobija da je:

( )dsTfq =d (17)

s=s Veličina ( )Tf može da se odredi za bilo koju supstanciju jer je to univerzalna

temperaturna funkcija. Ovde će se odrediti za idealni gas. ds je naprotiv ( )Tf

(funkcija koja je univerzalna za svaku supstanciju) strogo vezana za vrstu supstancije. Određivanje ( )Tf za idealni gas:

RTpv =

TRvp lnlnlnln +=+ (18)

T

dT

v

dv

p

dp=+

÷÷ø

öççè

æ+=

v

dv

p

dpTdT (19)

Za I zakon termodinamike za idealan gas i za kvazistatičku promenu stanja važi: pdvdTcq v +=d (20)

RTpv =

v

RTp =

Jednačina (20) se smenjuje u (19):

dvv

RTdTcq v +=d (21)

Ako se (18) stavi u (21):

v

dvRTc

v

dv

p

dpTq v +÷÷

ø

öççè

æ+=d

÷÷ø

öççè

æ++=

v

dvR

v

dvc

p

dpcTq vvd

÷÷ø

öççè

æ+=

v

dvc

p

dpcTq pvd (22)

Iz (16) i (22) neposredno sledi:

( ) TTf = (23)

v

dvc

p

dpcds pv +=



- 41 -

Prema tome, konačno se dobija da je: Tdsq =d (25) – važi samo za kvazistatičke promene stanja

T

qds

d=

òò =2

1

2

1T

qds

d

ò=-2

1

12T

qss

d (26) – Klauzijusov integral (omogućava izračunavanje entropije)

Pri izračunavanju integrala (26) moguće su dve situacije (slučaja):

1) T

qq

TssconstT 12

2

1

12

1==-Þ= òd (27)

2) Þ¹ constT za svaku promenu stanja može se qd izraziti pomoću srednjeg

specifičnog toplotnog kapaciteta

dTcdTT

Tcq 12

1

2 ==d

ò ò ===-1

212

2

1

1212

12 lnT

Tc

T

dTc

T

dTcss (28)



- 42 -

Kvazistatičke promene stanja idealnih gasova

- politropske promene stanja

Zakon o promeni stanja je funkcionalna veza između bilo koje dve veličine stanja

( )vpp = , ( )pTT =

Zakon o promeni stanja može se definisati: a) analitički ( )vpp = ili ( )pTT =

b) grafički (pomoću odgovarajućih dijagrama) c) tablično sa parovima vrednosti Jedna od osnovnih karakteristika idealnih gasova je specifični toplotni kapacitet, i on je konstantan za određenu promenu stanja (u svakoj tački te promene). constcc n ==12

pdvduq +=d

pdvdTcdvc vn += (1)

RTpv = (2)

Iz jednačina (1) i (2) se eliminiše jedna od veličina stanja, a to je npr. temperatura: RdTvdppdv =+

vp cc

vdppdvdT

-

+= (3)

Izraz (3) se unosi u izraz (1):

( ) 0=-- pdvdTcc vn

( ) 0=--

+- pdv

cc

vdppdvcc

vp

vn

( )( ) ( ) 0=--+- pdvccvdppdvcc vpvn

( ) ( ) 0=-+/+-/- vnvpvn ccvdpccccpdv / ( )vn ccpv -

0=×-

-+

v

dv

cc

cc

p

dp

vn

pn (4)

constncc

cc

vn

pn==

-

- (5)

0=+v

dvn

p

dp

p

V

( )vpp =



- 43 -

constvnp =+ lnln

constpv n =ln

constpv n = (6)

Izraz (6) predstavlja zakon promene stanja gasova u vp - sistemu promene. U

matematici se krive oblika (6) nazivaju politrope, pa se zato kvazistatičke promene stanja nazivaju politropske promene stanja. Veličina n naziva se eksponent politrope. U praksi obično je eksponent politrope poznat ili se relativno lako može odrediti, a cn se po pravilu teško određuje. Zato je pogodno da se jednačina (6) reši po cn : ( )vnpn ccncc -=-

vnpn ncnccc -=-

pvnn cncncc +-=-

( ) vpn nccnc -=-1

n

nccc

vp

n-

-=

1

v

p

c

c=g (7) γ – eksponent izentrope

( )

n

nc

n

nccc vvv

n-

-=

-

-×=

11

gg (8)

Iz jednačine (8) može da se odredi cn kada je na neki način poznata vrednost eksponenta n:

constpv n = (6)

RTpv =

v

RTp = (9)

Jednačina (9) se unosi u jednačinu (6):

constvv

RT n =

constTv n =-1 - jednačina politrope u vT - sistemu

constpv n = (6)

RTpv =

p

RTv = (11)

Jednačina (11) se ubaci u jednačinu (6):

constp

RTp

n

=÷÷ø

öççè

æ

constpT nn =-1 (12) › u T - p sistemu koordinata

TdsdTcq n -=d (13)



- 44 -

T

dTcds n=

1

212

T

Tlcss nn=-

1

21212

T

Tlcss n=- (14)

1

1 lnh

hchhTch np =-Þ= (15)

Spoljni uticaji

1) zapreminski rad pdvl =d - elementarni zapreminski rad

ò=2

1

12 pdvl (16)

nn pvvp =11

( )vpvvpv

vpp nn

n

n

=== -11

11 (17)

( )nnn

v

v

nn vvn

vpdvvvpl --- --

== ò11

12111112

1

12

1

( )úú

û

ù

êê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ--

-=

-

-

n

nn

v

vv

nvpl

1

1

2111112 11

1

1

úú

û

ù

êê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ-

-=

-n

v

v

nvpl

1

1

21112 11

1 (18a)

nn vpvp 2211 =

nn

p

p

p

p

v

v1

1

2

1

2

1

1

2

-

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ-

-=

-

n

n

p

p

nvpl

1

1

21112 1

1

1 (18b)

nnnn pTpT -- = 122

111

1

2

1

1

2

T

T

p

p n

n

=÷÷ø

öççè

æ-

(20)

÷÷ø

öççè

æ-

-=

1

21112 1

1

1

T

T

nvpl (18c)



- 45 -

2) tehnički rad

ò-=2

1

12 vdplt (21)

nn pvvp =11

vpvp nn

1

1

1

=

( )pvpvpv nn ==-

1

1

1

1 (22)

1

2

1

1

1

1

1

1

1

112 11

12

1p

pp

n

vpdppvpl nn

p

p

nnt

÷ø

öçè

æ--

-

-=×-= ò

úû

ùêë

é-

--=

--nnn

t ppn

nvpl

11

1

11

21

1

1121

( )úúú

û

ù

êêê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ--

--=

-

- n

n

nnt

p

pp

n

nvpl

1

1

2

11

1

1

112 111

úúú

û

ù

êêê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ-

-=

-

n

n

tp

p

n

nvpl

1

1

21112 1

1 (22a)

Upoređenjem izraza (18b) i (22a), vidi se:

1212 nllt = (23)

úú

û

ù

êê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ-

-=

-n

tv

v

n

nvpl

1

1

21112 1

1 (22b)

÷÷ø

öççè

æ-

-=

1

21112 1

1 T

T

n

nvplt (22c)

3) razmenjena količina toplote

( )1

121212-

-=-=

n

ncTTcq v

g (24)

nl

lt =12

12

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) nnc

c

nc

cc

TTnc

T

TTRT

TTn

nc

T

T

nRT

q

l

v

v

v

vp

vv

-

-=

-/

-/=

-

-=

---

-

=

--

-

÷÷ø

öççè

æ-

-=

g

g

g

g

ggg

11

1

1

11

1

21

1

211

12

1

21

12

12 (25)

Uslovi su da je 1¹n i 21 TT ¹ , a ako je 1=n onda je 21 TT = , što znači da gornji

izrazi ne važe za izotermsku promenu stanja.

TdsdTcq n ==d



- 46 -

x – u geometriji je subtangenta

nAA cdt

q

dT

dsTtgTx ====

da (26)

Ili dužina x ili subtangenta u Ts sistemu koordinata predstavlja specifični toplotni kapacitet u toj tački promene stanja. Pošto je za idealne gasove cn = const, subtangenta za bilo koju promenu stanja ima istu vrednost.

Posebni slučajevi promene stanja idealnih gasova

Sve jednačine su dobijene bez ograničenja u odnosu na eksponent n. Vrednost n može biti { }+¥¥-= ,n . Od tih promena stanja u tehnici su važne četiri.

1) promena za koju je n = 0

constpconstpv =Þ=0

To je izobarska promena stanja koja je veoma važna u tehnici zato što se razmena toplote uvek vrši pri izobarskim uslovima.

pvn cn

ncc =

-

-=

1

g

12l - zapreminski rad , 12q - razmenjena toplota

1

1 lnT

Tcss p=-

( )ò -== 1212 vvppdvl ( )1212 TTcq p -=

ò =-= 012 vdplt 1212 ql =

T

s

12q 1

2

TA

x

α

A T

s

p

v

12tl

12l

1 2

T2

T1



- 47 -

2) promena pri kojoj je n =

constvconstvpconstpv n =Þ=Þ= ¥

1

To je izohorska promena stanja, vcc =

vvvn ccn

ncc =

¥-

¥-

=-

-=

11

11

1

g

1

1 lnT

Tcss v=-

( )1212 TTcq v -=

pv cc < › izohora će, u odnosu na izobaru biti strmija

012 =l

( )ò -=-= 2112 ppvvdplt › u ovom slučaju rad je negativan, jer se dovodi

3) promena pri kojoj je n =1 constTconstRTpvconstpv =Þ==Þ= - izotermska promena stanja

±¥==dT

qcn

d

x

y1

= - ravnostrana kriva podjednako je udaljena i od x i od y ose

T

s

12q

1 2

p

v

12tl

12l

1

2

T

s

12q 1

2

p

v

12tl

012 =l

1

2



- 48 -

nl

lt =12

12

11

12

12 =-

-=

nq

l

g

g

121212 qll t ==

Rad 12l za izotermu se izračunava direktno:

pvvp =11

v

vpv

vpp

111

11 ==

1

2111112 ln

2

1v

vvp

v

dvvpl

v

v

== ò ili:

2

1

1

2121212 lnln

p

pRT

v

vRTqll t ====

4) adijabatska promena stanja Pri adijabatskoj promeni stanja, razmenjena količina toplote je jednaka nuli 0=qd ,

a specifični toplotni kapacitet je 0=nc .

1-

-=

n

ncc vn

g

1>==v

p

c

cn g

0ln1

1 ==-T

Tcss n consts =

Kvazistatička adijabatska promena stanja je okarakterisana i sa s = const, pa se zove i izentropska promena stanja.

Rad i tehnički rad se izračunavaju iz jednačina (15) i (22), stavljajući g-n , sledi

da je 1212 llt ×= g

1

11112

-=

gvpl

T

s 012 =q

1

2

p

v

12tl

12l

1

2

izoterma

izentropa

constpv =g



- 49 -

Smese idealnih gasova

Kada je u pitanju raspodela molekula u smesi, danas se smatra jedino ispravna hipoteza Daltona koja se izražava na sledeći način: - Svaki gas u smesi zauzima položaj u sudu kao da se jedini nalazi u smesi - Svi gasovi su podjednako raspoređeni u smesi. Sastav smese je jednak u svim tačkama zapremine koju smesa zauzima Stanje smese definiše se najčešće pomoću p, T, v (specifična zapremina), i pomoću sastava. Sastav se definiše na tri načina: maseno, zapreminski i molarno (molski). Pre nego što se definiše sastav smese, uvodi se pojam parcijalnog pritiska neke komponente. Parcijalni pritisak (pi) neke komponente (i–te komponente) je pritisak na kome bi se ta komponenta nalazila kada bi bila sama u smesi (u zapremini V) na temperaturi T. Temperatura smese je u svakoj tački smese jednaka. Ako je p – ukupan pritisak smese, onda opet prema Daltonu važi da je pritisak smese jednak p. Ukupni pritisak smese jednak je zbiru parcijalnih pritisaka komponenata:

å=

=+++=n

iin ppppp

121 ... (1)

Jednačina (1) je Daltonov zakon, i on se može dokazati na osnovu kinetičke teorije gasova.

T

s

0,, == cns g

vcnv ,, ¥= pcnp ,0, =

¥== cnT ,1,

p

v izohora

izobara

izentropa

izoterma

V

T

pi



- 50 -

Maseni sastav smese

Ako imamo m1 komponente (1) i m2 komponente (2) nmmmm +++= ...21 - masa smese je jednaka zbiru masa komponenata smese

Ako se ova jednačina podeli sa m:

iin g

m

m

m

m

m

m

m

m=Þ=+++ 1...21

gi – maseni udeo, pokazuje koliko se kg i–te komponente nalazi u jednom kg smese

Zapreminski sastav smese

Uvodi se pojam parcijalne zapremine. Parcijalna zapremina je zapremina (i-te komponente) koju bi ta komponenta zauzimala na pritisku p i temperaturi T smese. Iz jednačine stanja idealnog gasa za i-tu komponentu, dobija se:

TRmVp iii = (4a)

TRmpV iii = (4b)

ii pVVp = › ni ,...,3,2,1=

Ako se saberu leve i desne strane jednačina:

å å= ii VppV (å = ppi )

å=

=+++=n

iin VVVVV

121 ... (5) – ukupna zapremina smese jednaka je zbiru

parcijalnih zapremina komponenata Ako se jednačina podeli sa V:

V

V

V

V

V

V n+++= ...1 21

ii r

V

V= (6) – relativni zapreminski udeo i- te komponente

Za vazduh, zapreminski udeo je rO2 = 0,21, a gi = 0,23

Molski sastav smese

[ ]kmolnnnn sn =+++ ...21 / sn (7)

1...21 =+++s

n

ss n

n

n

n

n

n

i

s

i

n

nj= (8) – molski udeo i- te komponente u smesi

1...1

21 ==+++ å=

n

iii jjjj



- 51 -

Molska masa smese

a) poznat je maseni sastav smese nig i ,...,2,1, = :

ms nnnn +++= ...21

n

n

s

s

M

n

M

n

M

n

M

n+++= ...

2

2

1

1 › M – molske mase komponenata úû

ùêë

é

kmol

kgM

Ms – prividna molska masa, ima računsku vrednost

m

m

M

m

m

m

M

m

m

m

M

m

M

m

n

n

s

/++

/+

/=

/...

2

2

1

1

n

n

s M

g

M

g

M

g

M+++= ...

1

2

2

1

1

å=

=

+++

=n

i i

i

n

ns

M

g

M

g

M

g

M

gM

12

2

1

1

1

...

1 (10)

b) poznati su ri: Gustina i-te komponente na ukupnom pritisku p i na temperaturi T smese: nns grgrgr +++= ...2211r

Prema Avogadrovom zakonu, ove zapremine su jednake, pa se mogu skratiti:

å=

=+++=n

iiinns MrMrMrMrM

12211 ... (11)

Jednačina stanja smese

TRmVp 111 = TRmVp 222 = ... TRmVp nnn =

Ako se saberu svi članovi na levoj i desnoj strani, dobija se: ( ) ( )TRmRmRmVppp nnn ...... 221121 ++=+++

( )nppp ...21 ++ - ukupni pritisak p

( )TRgRgRgmpV nn+++= ...2211

TmRpV s= (12)

å=

=+++=n

iiinns RgRgRgRgR

12211 ... (13) sR - gasna konstanta smese



- 52 -

Izračunavanje parcijalnih pritisaka u smesi

a) gi poznato:

TmRpV

TRmVp

s

iii

=

= izrazi se podele:

s

iii

R

R

m

m

p

p=

i

si

s

iii

M

Mpg

R

Rpgp == (14)

b) ri poznato: ii pVVp =

prpV

Vp i

ii == (15)

Preračunavanje sastava smese

Upoređenjem jednačina (14) i (15), dobija se:

prR

Rgp i

s

ii /=/

i

si

s

iii

M

Mg

R

Rgr == (16)

i

si

i

sii

M

Mr

R

Rrg == (17)

i

i

si

s

i

i

ii r

M

M

m

m

M

m

M

m

n

n====j ( i

i gm

m= )

ii r=j (18)

Molarni i zapreminski sastav se brojčano slažu.

Maseni specifični toplotni kapacitet smese

úû

ùêë

é=+++= å

= kgK

JcgcgcgcgC

n

iiinns

12211 ...

úû

ùêë

é=+++= å

= kmolK

JcrcrcrcrC

n

iiinns

12211 ...



- 53 -

Realne supstancije

Za razliku od idealnih gasova, realne supstancije nemaju sledeća dva svojstva karakteristična za idealne gasove:

1) Međumolekularne sile se zanemaruju, sem u trenutku sudara 2) Kovolumen (zapremina molekula) se ne može zanemariti u odnosu na

zapreminu koju zauzima supstancija Kao posledica toga, osobine realnih supstancija su bitno različite od idealnih gasova. Za početak, posmatraćemo jednokomponentne realne supstance. Ponašanje smeše dve ili više realnih supstancija se razlikuje od ponašanja samo jedne. Za tehniku je najvažniji prelaz iz parnog u tečno stanje, i obrnuto. Posmatraćemo cilindar sa klipom u kome se nalazi jednokomponentna supstancija:

Posmatraćemo izobarsko dovođenje toplote tečnosti, dok ona ne pređe u stanje pare (isparavanje). Pri dovođenju toplote, zapremina tečnosti malo raste, i u jednom momentu pri temperaturi tS koja je veća od početne tT , pojaviće se na grejnoj površini prvi parni mehurići. Stanje (b) u trenutku pojave prvog mehurića pare naziva se ključala ili vrela tečnost, i karakteristična je za svaku supstanciju.

temperatua tS = tS (p) › jednoznačna funkcija od pritiska (p) U stanju (c) još uvek imamo jedan deo tečnosti, a iznad je jedan sloj pare. Sastav parne faze je isti kao i sastav tečne faze, nalaze se na istom pritisku, a takođe se nalaze i na istoj temperaturi tS. Faza (c) je heterogena smesa (parne i tečne faze) i naziva se vlažna para – homogena je, ali je u termodinamičkoj ravnoteži, pa se zato pritisak p i temperatura tS nazivaju ravnotežni pritisak i ravnotežna temperatura.

(a) (b) (c) (d) (e)

Q Q Q Q Q

tT

p = const

p = const tS = const

tS > tT



- 54 -

U stanju (d) ispario je i poslednji delić tečnosti. Stanje (d) se naziva suvo zasićena para - "suva para". Temperatura suvo zasićene pare je takođe tS. U stanju (e) tečnosti više nema, postoji samo para koja se širi pri dovođenju toplote principijelno kao i svaki gas. Stanje (e) se zove pregrejana para. Proces koji smo posmatrali zove se isparavanje, a proces u suprotnom smeru je kondenzacija. Tečna faza u vlažnoj pari je ključala tečnost, a parna faza je suvo zasićena para. Prema tome, vlažna para je heterogena smesa ključale tečnosti i suvo zasićene pare.

1kg vlažne pare = x kg suvo zasićene pare + (1 - x) kg ključale tečnosti

mvp

mszpx = › stepen suvoće pare, koji pokazuje koliko se

suvozasićene pare nalazi u 1kg vlažne pare

mvp

mktx =-1 › stepen vlažnosti

1 = x + (1 - x) Vlažna para je mešavina ključale tečnosti i suvo zasićene pare. Opisana stanja su karakteristika za svaku jednokomponentnu supstanciju.

Kriva ravnoteže (kriva napona)

Proces isparavanja (i kondenzacije) na datom pritisku, ima jednoznačno određenu temperaturu isparavanja. Ova zavisnost pritiska i temperature isparavanja definiše krivu ravnoteže (liniju napona)

Svaki par vrednosti (pS, tS) jednoznačno definiše pritisak i temperaturu tečne i parne faze, koje se nalaze u mehaničkoj i termičkoj ravnoteži (i tečna i parna faza su na istom pritisku i na istim temperaturama). Svakom pritisku odgovara samo jedna temperatura isparavanja (klučanja) i obrnuto. Odgovarajući par (pS, tS) koj i odgovaraju stanju vlažne pare su ravnotežni pritisak i ravnotežna temperatura. npr. za vodu (H2O): 1 bar – 100 ºC , 4 bar – 143 ºC, 0,4 bar – 40 ºC › ključanje

pS

pS1

pS2

tS1 tS2 tS

pS = pS (tS)



- 55 -

p

p0

∆h

ρM

6

1

2

3

5

4

Granične krive, kritična tačka, nadkritično područje Posmatrajmo sledeću instalaciju:

pa

v a' v a" v

p

a' a"

b'

c' c"

b"

A

TA

TB >TA

TC >TB

Tk

T >Tk

k



- 56 -

Stakleni graduisani sud (1) nalazi se u termostatskom kupatilu (2), čija se temperatura kontroliše termometrom (3). Kretanjem klipa (4) pri otvorenom ventilu (5) npr. naniže, pomeramo nivo tečnosti (npr. žive) naviše u sudu (1). Na taj način se pregrejana para koja je iznad žive u sudu (1), sabija. Zapreminu pare čitamo na sudu, a pomoću U-cevi (6) i visinske razlike ∆h, određujemo pritisak pare:

p = p0 + ρM·g·∆h Ako je pomeranje klipa vrlo sporo, i bireta u termostatskom kupatilu (2), promena stanja pregrejane pare u sudu (1) biće izotermska promena stanja, promenu crtamo u

vp - dijagramu.

Stanje A – početno stanje, pregrejana para Promena stanja A pare pri sabijanju ličiće na ravnostranu hiperbolu, zato što je izoterma idealnog gasa ravnostrana hiperbola. U tački a", kada pritisak pare dostigne vrednost pa, zamagliće se zidovi staklenog suda (1), što znači da je u tački a" počela kondenzacija, tj. tačka a" odgovara stanju suvo zasićene pare. Daljim pomeranjem klipa smanjivaće se zapremine, ali pritisak ostaje konstantan, pošto je i temperatura konstantna. U tački a' završiće se kondenzacija, dobićemo stanje ključale tečnosti. Dalje smanjenje zapremine može nastati samo uz veliko povećanje pritiska, jer tečnost pruža veliki otpor promeni zapremine. Ponovićemo eksperiment sa drugom, višom temperaturom (tB): Izoterma TB ima isti karakter kao izoterma TA, ali je razlika zapremina suvo zasićene pare i ključale tečnosti smanjena (horizontalni deo izoterme se smanjio). Pri nekoj tempereturi Tk, izoterma Tk neće imati horizontalni pravilinijski deo. U tački k postojaće prevojna tačka. Tačka k je svojstvena svakoj supstanciji, i naziva se kritična tačka. U kritičnoj tački ne postoji razlika gustine (specifične zapremine) ključale tečnosti i suvo zasićene pare, pa je prelaz iz tečne u gasnu fazu kontinualan (nema dvofaznog područja od tečne i gasne faze). Svaka izoterma viša od kritične tačke monotono raste (opada), pa prelaz faza i ne postoji. Oblast iznad kritične izoterme je kritična oblast, i u njoj se ne može pojaviti tečna faza. Ako spojimo tačke sa ' i " dobijamo dve krive koje se sustiču u kritičnoj tački. Kriva sa tačkama označenim sa ' je donja granična kriva i stanja na njoj odgovaraju klučaloj tečnosti. Sve tačke na krivoj koja prolazi kroz tačke a", b", c", odgovaraju stanju suvo zasićene pare, i to je gornja granična kriva.

k

3 2

1

4

x = 0 x = const

x = 1

p

v



- 57 -

mktmsp

mspx

+= x › stepen suvoće pare, mkt › masa ključale tečnosti

msp + mkt = masa vlažne pare Na donjoj graničnoj krivoj, sve tačke imaju stepen suvoće pare x = 0, zato što u ključaloj tečnosti nema suvo zasićene pare. Na gornjoj graničnoj krivoj x = 1, jer nema ključale tečnosti. Svakoj izotermi (izobari) u području vlažne pare možemo da ucrtamo odgovarajuću vrednost stepena suvoće pare. Ako spojimo tačke sa istom vrednošću x dobijamo krive x = const i svaka tačka na toj krivoj ima isto x. Graničnom krivinom i kritičnom izotermom, područje dijagrama je podeljeno u četiri oblasti: 1) stanje tečnosti (prostor tečnosti) 2) između graničnih krivih je podučje vlažne pare 3) desno od gornje granične krive, ispod kritične izoterme je oblast pregrejane pare 4) iznad kritične izoterme je nadkritično područje (supstance koje u običnom životu nazivamo gasovi, su pare u nadkritičnom području, daleko iznad kritične tačke)

Topljenje i očvršćavanje, sublimacija i desublimacija, trojna tačka

Kriva ravnoteže se sa gornje strane završava u kritičnoj tački. Pitamo se šta je sa donje strane krive? Ako se nacrtaju krive ravnoteže i za druge fazne transformacije (tečno – čvrsto, i obrnuto; čvrsto – parno, i obrnuto) dobijamo dijagram:

Kriva I predstavlja ravnotežu parne i tečne faze. Kriva II je ravnoteža tečne i čvrste faze, na njoj nastaje očvršćavanje na levo, a topljenje na desno. Kriva III je ravnoteža pri prelazu iz čvrstog u parno stanje, direktno. Takav proces je sublimacija, a proces u suprotnom smeru je resublimacija (desublimacija).

k

tS

pS

TZ 1

Z

3Z

2Z I

III

II

pT

tT

za vodu › za ostale supst.

k

tS

pS



- 58 -

1 – pregrejana para 2 – područje tečnosti 3 – područje čvrste faze Sve tri krive se susreću u tački T u kojoj sve tri faze moraju istovremeno da budu u ravnoteži, pa je tačka T – trojna tačka, svojstvena svakoj supstanciji, za vodu su vrednosti tT = 0,01 ºC, pT = 622 Pa.

Pošto je trojna tačka vode jedinstvena i lako se može reprodukovati u laboratoriji, u novije vreme se trojna tačka vode usvaja kao fundamentalna tačka temperature. Kelvinova skala se formira na sledeći način: 1. razmak između stepena je isti kao na Celzijusovoj skali; 2. usvaja se da je temperatura trojne tačke vode na 273,16 K.

Van der Valsova jednačina stanja (Van der Waals)

Ona opisuje realne supstancije u području tečnosti i pare, a ne obuhvata čvrsto stanje. Dobija se modifikacijom Klapejronove jednačine stanja idealnih gasova:

RTpv = (1) ( )bv - (2) kpp + (3) 2v

apk = (4)

Za idealni gas važe sledeća svojstva: 1) ako je b kovolumen (zapremina svih molekula jedne supstancije) za idealni gas je

b = 0, a prema Van der Valsu, umesto V treba staviti ( )bv - , jer je to zapremina suda

koja ostaje na raspolaganju za kretanje molekula. 2) stvarni pritisak p prema Van der Valsu je uvećan u odnosu na pritisak p iz (1), tj. umesto p iz (1) treba pisati kpp + ; p k – kohezioni pritisak, koji se određuje

2v

apk =

a – konstanta, koja karakteriše svaku pojedinačnu supstancu

2v - je zato što je kohezioni pritisak dva puta obrnuto srazmeran zapremini (iz dva razloga): 1. ukoliko je veća zapremina, manje su međumolekulske sile; 2. ako je zapremina veća, ređi su sudari molekula, a pritisak je mehanička sila u gasu usled sudara molekula. Ako se (2) i (4) smene u (1), dobija se:

( ) RTbvv

ap =-×÷

ø

öçè

æ+

2 (5) › jednačina (5) je Van der Valsova jednačina stanja

Ako se jednačina (5) reši po p, dobija se:

2v

a

bv

RTp -

-= (6)

nema dodira sa vazduhom



- 59 -

Vidi se da je pritisak funkcija trećeg reda u odnosu na zapreminu V , što znači da jednoj vrednosti pritiska odgovaraju tri vrednosti (u matematičkom smislu) zapremine. To znači da ako se jednačina (6) nacrta u p-V dijagramu, imaćemo krive trećeg reda čiji će oblik da zavisi od prirode korenova (rešenja) jednačine (6).

U zavisnosti od temperature T, mogu da se pojave 3 vrste rešenja: 1) T < TK › jednačina (6) ima tri realna i različita rešenja, što znači da svaku izobaru izoterma seče tri puta 2) T = TK › iz jednačine (6) bismo dobili izotermu TK, koja se veoma dobro poklapa sa eksperimentalnom izotermom TK

3) T > TK › iz jednačine (6) se dobija jedno realno i dva konjugovano-kompleksna rešenja, što znači da sa odgovarajućim izobarama, izoterma T > TK se seče samo jedanput, a to znači da iznad kritične tačke Van der Valsova jednačina veoma dobro opisuje ponašanje realnih supstancija. Ako je T < TK (podkritični) deo izoterme T levo od tačke "a", poklapa se sa izotermom realne tečnosti. Izoterma T desno od tačke "e" takođe se dobro poklapa sa realnom (i kvalitativno i kvantitativno) izotermom pregrejane pare. Neslaganje realne i Van der Valsove izoterme postoji između tačaka "a" i "e". Stanje izotermi od "a" do "b" je eksperimentalno dokazano u laboratoriji, i ta stanja se nazivaju pregrejana tečnost. Na isti način, stanja na delu od "d" do "e" su takođe eksperimentalno dokazana u laboratoriji, i to je prehlađena para. Stanja od "a" do "b", i od "d" do "e" su metastabilna stanja, pojavljuju se samo u laboratorijskim uslovima i pri najmanjem poremećaju se raspadaju u dve faze – "a" i "e". To znači da Van der Valsova jednačina važi i u područjima a-b i d-e. Jedino stanja na delu b-c-d nisu eksperimentalno dokazana i to se smatra jedinom slabom stranom Van der Valsove jednačine.

Određivanje graničnih krivih

Položaj granične krivine odredićemo na osnovu pravila Maksvela i Kelvina, primenjujući I zakon termodinamike za izotermske promene stanja a-b-c-d-e i a-c-e:

( ) ( ) aceaeac luussT +-=- (7)

( ) ( ) abcdeaeac luussT +-=- (8)

Iz (7) i (8) sledi da je abcdeace ll =

p

v

a

a

a

b

c

d

e

TK

T < TK



- 60 -

Ako su ti radovi jednaki, dva krivolinijska trougla su jednaka, to znači da tačke "a" i "e" treba postaviti tako da su šrafirane površine jednake – pravilo Maksvela i Kelvina. Ako se ovo pravilo primeni za temperature T < Tk, spajanjem tačaka "a" (donja ) i "e" (gornja) dobijamo donju i gornju graničnu krivu. Ovako dobijene granične krive se veoma dobro poklapaju sa graničnim krivama realnih supstancija.

Određivanje položaja kritične tačke

Položaj kritične tačke određujemo iz uslova da kritična izoterma ima dva prva izvoda jednaka u tački k. Iz jednačine (6) dobija se prva jednačina u kritičnoj tački:

2kk

kk

v

a

bv

pTp -

-= (9)

( ) ( )

022

3242=+

---

-

-=÷

ø

öçè

æ

¶

¶

kk

k

T v

a

bv

RT

v

av

bv

RT

v

p (10)

( ) 6

2

4

2 32)(2

v

va

bv

bvRT

v

p k

T

--

-+=÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶

( )

062

43=-

- kk

k

v

a

bv

RT (11)

Rešavanjem jednačina (9), (10), (11) dobija se: bvk 3= (12)

b

aRTk

27

8= (13)

227

1

b

apk = (14)

Ako se smene vrednosti (izračunaju se) k

kk

RT

vp, dobija se:

18

3

27

8

324

12

¹==

b

a

bb

a

RT

vp

k

kk

U blizini kritične tačke realan gas nikako ne sme da se aproksimira idealnom gasu, jer bi greška bila velika.

Redukovana Van der Valsova jednačina stanja

Uvode se sledeće oznake:

227

1

b

ap

k

pp

pp =®= (15)

b

aRT

RT

RT

k 27

8tt =®= (16)

bvv

v

k

3×=®= ww (17)



- 61 -

π, τ, ω su redukovane (bezdimenzione) vrednosti veličine stanja. U jednačinu (6) se unose jednačine (15), (16), (17):

222 93

27

8

27

1

b

a

bbb

a

b

a

/-

/-//

/

=/

/

ww

tp

2

3

13

8

ww

tp -

-= (18)

Jednačina (18) je redukovana Van der Valsova jednačina stanja, ne zavisi od vrste supstancije jer je bezdimenziona, a važi za sve supstancije. Odavde sledi da sve supstancije imaju istu Van der Valsovu jednačinu stanja ako imaju najmanje dve jednake redukovane veličine stanja. Inače stanja koja imaju jednake vrednosti redukovanih veličina su korespodentna (srodna) stanja.

Dijagrami stanja realnih supstancija

vp - dijagrami

sT - dijagram za vodenu paru

k Tk - izoterma

x = 0 x = 1 x=const

izoterma

izentropa

t

s

p

p

izobara tečnosti je vrlo blizu

donje granične

krive

k

x = 0 x = const

x = 1

p

v v - izohora

s = const (izentropa) Tk - kritična

izoterma

p - izobara

donja granična krivina

gornja granična krivina



- 62 -

sh - Molijerov dijagram

Prema predlogu Molijera, stanje realne supstancije može da se predstavi i u h-s dijagramu, a dve tehnički najvažnije promene stanja su: 1) adijabatska promena - dovođenje i odvođenje tehničkog rada je uvek po adijabati (izentropi) 2) izobarska promena – razmena toplote u termotehnici uvek ide kao izobarska promena stanja 1) za adijabatsku promenu stanja nema razmene toplote

dhlq

ldhq

q

t

t

-=Þ=

+=

=

dd

dd

d

0

0

2112 hhlt -= › na dijagramu se rad vidi kao razlika dužina

2) izobara › p = const

1212

0

hhq

dhq

lt

-=

=

=

d

d

Zbog ova dva razloga, h-s dijagram je veoma pogodan za tehničku primenu.

Osnovne promene stanja realnih supstancija

1) izobarska promena stanja p = const

k

h

s

x1

1

2 q

k

t

s

x1

1

2

k

x = 0

x = 1

x = const

h

s

p - izobara

t,p

p

t - izoterma

v - izohora

Tk - kritična izoterma (tangenta u k)

k

p

v

x1

1

2

( )1212 vvpl -=

012 =tl

1212 hhq -=



- 63 -

2) izohorska promena stanja v = const

1212 uuq -=

pvhu -=

3) izoterma T = const

( )121212 uuql --= ( )1212 ssTq -=

121212 hhqlt -==

4) izentropska (adijabatska) promena stanja

1212 uul -= 012 =q 2112 hhlt -=

k

h

s

x1

1

2

21 hh -

k

t

s

x1

1

2

k

p

v

x1

1

2

12tl

k

h

s

x1

2

1

k

t

s

x1

2

1

q12

k

p

v

x1

12tl

1

2

12l

k

h

s

x1

1

2

k

t

s

x1

1 2

k

p

v

x1

1

2

( )2112 ppvlt -=

ne može da se prikaže ni rad ni toplota

012 =l



- 64 -

Kružni procesi

Svi procesi u tehnici odvijaju se tako da se radna materija posle određenih promena stanja vraća u početno stanje (ali ne istim putem, tj. kroz ista stanja). Takvi procesi se nazivaju kružni procesi ili termodinamički ciklusi. Ako želimo da kontinualno dobijamo rad, ili ako želimo stalno da hladimo neku prostoriju (da toplotu prebacujemo sa tela niže na telo više temperature), neophodno je da izvodimo kružne procese. Promena unutrašnje energije, kao i svake druge veličine u kružnom procesu jednaka je nuli. Nulta promena svake veličine stanja u kružnom procesu je uslov da bi proces bio kružan: Qd - Qo = L Pošto Qo nije nula (uvek je veće), ni u jednom kružnom procesu ne može se sva dovedena toplota pretvoriti u rad. Uobičajeno se kao osnovna energetska karakteristi-ka procesa usvaja:

11 <-=-

==d

o

d

Od

d

tQ

Q

Q

QQ

Q

Lh

ηt – termodinamički stepen korisnosti i pokazuje koji se deo dovedene toplote pretvara u rad Vrednost ηt je mnogo manja od 1, npr. kod automotora jedva 35% toplote može da se pretvori u rad, sve ostalo se izduvnim gasovima odvodi u atmosferu, nepretvoreno u rad. Kod tehnički usavršenih parnih postrojenja ukupni stepen korisnosti prelazi jedva 0,25. Kod levokretnih procesa se za prebacivanje toplote sa niže na višu temperaturu troši rad. Cilj levokretnih procesa je hlađenje i zato se mora trošiti rad. U hlađenju se umesto ηt uvodi:

L

Qo=e , ε > koeficijent hlađenja, L – utrošeni rad, Qo – toplota hlađenja

Tehnički desnokretni kružni procesi

Oni se sastoje od četiri do pet pojedinačnih promena stanja uključenih u zajednički ciklus. Uobičajeno se u Termodinamici ciklusi dele prema vrsti radne materije koja izvodi kružni proces: 1) desnokretni ciklusi sa idealnim gasovima (karakteristični za motore SUS) 2) kružni procesi sa realnim supstancijama (voda, ...)

Kružni procesi sa idealnim gasovima

Ima ih mnogo, na desetine, ali oni koji će se proučavati ovde su sledeća tri: 1) Carnot-ov proces 2) Otto-ov proces 3) Diesel-ov proces Svi ovi procesi su u stvari idealizovana slika zbivanja u stvarnim motorima.



- 65 -

Karnoov proces (Carnot)

Ovo je termodinamički proces koji se sastoji od četiri promene stanja, a to su dve izoterme i dve izentrope. Principijelna šema procesa izgleda ovako:

Idealni gas stanja 1 sabija se izentropski do stanja 2, zatim se dovodi toplota po izotermi t = const, nakon toga se u sistematskoj mašini vrši odvođenje rada po izentropskoj promeni s = const, i konačno po izotermi To = const odvodi toplota u okolinu.

Toplota se radnoj materiji u promeni 2-3 dovodi od toplotnog izvora koji je na temperaturi Ti, koja je viša od temperature T, i u graničnom slučaju Ti može da bude jednako T, i tada je ova promena povratna. Na sličan način toplota se od radne materije pri promeni stanja od 4-1 odvodi u okolinu čija je temperatura niža od To. U graničnom (teorijskom) slučaju To i temperatura okoline su jednake, i u tom slučaju je promena povratna, kvazistatička. Ako je Ti = T i To = Tokoline, proces je povratan u svim pravcima, tj. imamo povratan Karnoov proces:

( )2323 ssTqqd -==

( )1441 ssTqq oo -==

( ) ( )( )23 ssTTsToTqqll oodkor --=D-=-==

( )

T

TT

sT

sTT

q

l oo

d

kortc

-=

D

D-==h

To

1

p

v

2 3

4

T

s

s

Ti

s

T

s

1 To

2 3

4

s

Lkor

∆s

2

4 1

3

kompresor

ekspanziona

mašina

Qo

Qd

To = const

T = const

s s izentropski procesi

qd



- 66 -

ηtc ne zavisi od radne materije jer je proces povratan, i nema ni jednog parametra radne materije (cp, cv). ηtc zavisi samo od izotermi To i T ili tačnije, od izotermi izvora i ponora Pošto je Karnoov proces povratan ima najveći ηtc koji se može ostvariti između datih temperatura izvora i ponora, tj. u Karnoovom procesu će najveći deo dovedene toplote da se pretvori u rad.

Otov proces (Otto)

Kod Otovog procesa, izoterme dovođene i odvođene toplote su zamenjene izohorama (V = const).

Površine zaokružene konturama procesa u vp - i sT - dijagramu su uvek jednake.

2

1

v

v=e › stepen kompresije – konstruktivna karakterisktika motora

( )2323 TTcqq vd -==

( )1441 TTcqq vo -==

1

1

1)(

)(11

2

3

1

4

2

1

23

14

-

-

-=-/

-/-=-=

T

T

T

T

T

T

TTc

TTc

q

q

v

v

d

otoh (3)

Za promenu 1-2, biće: Za promenu 3-4, biće:

122

111

-- = gg vTvT (4) 133

144

-- = gg vTvT (5)

Iz (4) se dobija:

1

1

1

2

2

1 1-

-

=÷÷ø

öççè

æ=

g

g

ev

v

T

T (6)

Ako se podeli (4) sa (5):

1

2

3

2

3

1

1

4

1

4

--

÷÷ø

öççè

æ

/

/=÷÷

ø

öççè

æ

/

/gg

v

v

T

T

v

v

T

T ›

2

3

1

4

T

T

T

T= (7)

Ako se stavi (7) u (3), dobija se:

1

11

--=

geh to

qd

1

p

v

2

3

4

s

s V

qd s

T

s

1 qo

2

3

4

s

V

V



- 67 -

Dizelov proces (Diesel)

U termodinamičkom smislu Dizelov i Otov proces se razlikuju samo po tome što se toplota kod Dizelovog procesa dovodi po izobari.

2

1

v

v=e (1)

Toplota se dovodi od 2-3, a odvodi od 4-1.

2

3

2

3

T

T

v

v==j

φ > stepen predekspanzije (jer od 2-3 počinje ekspanzija, pre prave ekspanzije koja je od 3-4) ( )2323 TTcqq pd -== (3)

( )1441 TTcqq vo -== (4)

( )( )

1

1

111

2

3

1

4

2

1

23

14

-

-

-=-

--=-=

T

T

T

T

T

T

c

c

TTc

TTc

q

q

p

v

p

v

d

otdh (5)

g

1=

p

v

c

c (6)

Za izentropu 1-2:

122

111

-- = gg vTvT (7) 133

144

-- = gg vTvT (8)

Iz (7) dobija se kao i za Otov proces na isti način:

1

2

1 1-

=geT

T (9)

Ako podelimo (8) sa (7), dobijamo:

1

2

3

2

3

1

1

4

1

4

--

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ

/

/gg

v

v

T

T

v

v

T

T

gg jjj =×= -1

1

4

T

T (10)

Ako unesemo (6), (9), i (10) u (5), dobijamo: 1

1111

1 -

-××-=

- j

j

egh

g

gtd

qd

s

T

s

1 qo

2

3

4 s

V

V

1

p

v

2 3

4

s

s V qo

qd



- 68 -

Upoređenje Dizelovog i Otovog procesa Od ova dva ciklusa (procesa) termodinamički je bolji onaj koji od dovedene toplote daje veći rad. Da bi se našla termodinamičku razliku između njih ›

( ) ( )oodDod qqqq -=-

To je ekvivalntno sa sledećim: ako oba ciklusa daju isti rad, termodinamički je bolji onaj kod koga će se dovesti manja količina toplote.

(1) (2) Pored osnovnog, uvodimo i dodatne kriterijume: 1) da su stepeni kompresije u oba procesa ε (εd = ε o). Pri datim uslovima kod Dizelovog procesa moramo da dovodimo više toplote i više toplote da odvodimo. To znači da je pod tim uslovima Otov proces bolji. 2) da je najviši pritisak jednak, važi uslov ( ) ( )

OodDod qqqq -=- . Situacija je

obrnuta, Otov proces troši više toplote, pa je Dizelov proces povoljniji. U praksi je stepen kompresije Otovog ciklusa ograničen na 8,5, dok je kod Dizelovog i preko 20, i u tim ukolnostima Dizelov proces je bolji jer troši manje toplote za isti rad.

Desnokretni kružni procesi sa realnim supstancijama (sa vodenom parom)

Kod realnih supstancija je pogodna činjenica da se proces (ciklus) može smestiti u područje vlažne pare, i time se dobijaju dve glavne prednosti: 1) izobarska razmena toplote može da se izvede kao izotermska promena stanja što je termodinamički najpovoljnije 2) u području vlažne pare, razmena toplote je neuporedivo bolja nego u pregrejanom području, pa su dimenzije razmenjivača manje, a i temperaturske razlike su takođe manje.

s

T

s

1

2o

3o

4d s

2d 3d

4o

pmax

s

T

s

1

2

3o

4d

s

3d

4o



- 69 -

Karnoov desnokretni ciklus sa vodenom parom

Iz parnog kotla izlazi suvo zasićena para, koja u turbini izentropski ekspandira do stanja 2, nako čega se u kondenzatoru vrši kondenzacija vodene pare do stanja 3, a zatim se u kompresoru vrši izentropska kompresija do stanja 4 na ulazu u kotao.

ulovi - (1a) Ti T (1b) Tp To

u graničnom slučaju - (1a) T = Ti (1b) To = Tp Kompresija počinje u tački 3, i završava se u tački 4 (na taj način vodimo proces). Proces se sastoji od dve izoterme, tj. dve izobare i dve izentrope, takav proces se naziva Carnot-ov proces. Ako su uslovi (1a) i (1b) ispunjeni, Karnoov proces je povratan i u tom slučaju će se od ukupno dovedene toplote najveći deo pretvoriti u rad (više nego bilo koji drugi nepovratni proces). ( )412141 ssTrhhqqd -==-== › r – toplota isparavanja na temperaturi T

( ) ( )323203223 sstxxrhhqq oo -=-=-== › 32 , xx – stepeni suvoće pare

( ) sTTqql oodkor D-=-= › korl – koristan rad

2112 hhll tdob -== › dobl – dobijeni rad

3434 hhll tutr -== › utrl – utrošeni rad

( ) ( )3421 hhhhl kor ---= › korl – koristan rad

T

TT

q

l o

dov

kortc

-==h

k

h

s

lutr

ldob 4

3

2

1

To

po

p T

k

t

s

Ti

Tp

T To

4

2

1

3

po

k

p

v

p po

1

4

2

3

1

2 3

1

Kp

Qo

T s

p = const

Qd

Kd p = const

4

s

pk

Kd - kondenzator

T - turbina

pk - parni kotao

Kp - kompresor



- 70 -

Rankine-Clausius-ov proces

Karnoov proces ima najmanje dva nedostatka: 1) kompresija teče u području vlažne pare, kompresor je krajnje složene konstrukci-

je, skup je, glomazan i stvarno troši mnogo više rada nego što je 34 hh -

2) ekspanzija 2-3 teče kompletno u području vlažne pare, što je izrazito nepovoljno za rad turbine, a osim toga, dobijeni rad je mali. Zato se prema predlogu Rankina i Klauzijusa, Karnoov proces modifikuje na sledeći način:

Suvo zasićena para stanja 1 iz kotla se izobarski pregreje u pregrejaču pare i ide u turbinu sa stanjem 2. Nakon ekspanzije po izentropi (s = const) do stanja 3, para se kondenzuje do stanja 4. Stanje 4 je sada ključala tečnost, a kondenzacija se vodi do donje granične krive. Tečnost stanja 4 se izentropski sabija u pumpi do stanja 5, pritiska p. U turbini pritisak pada na po i konstantan je do ulaska u pumpu, gde se menja do p.

U ovoj šemi, voda sa stanjem 5 ulazi u kotao gde se prvo zagreva do stanja 5', a zatim isparava do stanja 1. U praksi se zagrevanje vode od 5 do 5' po izobari vrši u posebnom zagrejaču vode, gde se voda zagreva do ključale tečnosti, pa tek onda ubacuje u kotao. Od stanja 1 do stanja 2 para se pregreva u pregrejaču pp i ulazi u turbinu.

k

h

s

3

4

5

1

5'

p

T

qo

s

k

t

s

Tp

p

p, T po, To

s

Ti

1

2

3

4

5' 5

k

p

V

2

3

1

5

5'

4

p po

po, To

1

3

4

2

cp Qo

T

p

Kd

po

5

pk

Kd - kondenzator

T - turbina

pk - parni kotao

pp – pregrejač pare

Qd pp

cp – cirkulaciona pumpa

po

p

2



- 71 -

121'5'5552 qqqqqd ++==

zqq ='55 › toplota zagrevanja vode

isqrq ==1'5 › toplota isparavanja vode

ppqq =12 › toplota pregrevanja pare

5'5 hhq z -=

rhhqis =-= '51

12 hhq pp -=

4334 hhqqo -== › toplota se odnosi samo od 3 do 4

odkor qql -=

tc

d

kortrc

q

lhh <= ,ηtrc › termodinamički stepen Rankine-Klauzijusovog ciklusa

Ako bi između istih temperatura izvora i ponora Ti i Tp izveli Karnoov proces, dobili bi veće η, tj ηtc > η trc međutim, tehnički problemi pri izvođenju Rankine-Klauzijusovog procesa su mnogo manji, a dobijeni rad po kg dobijene pare je veći, pa se u praksi proces najčešće izvodi kao Rankine-Klauzijusov proces sa vodenom parom. U prehrambenoj tehnologiji vrlo često imamo kotlove koji proizvode suvo zasićenu paru koja se pretežno koristi za grejanje u tehnološkim procesima. U svim procesima para se kondenzuje do donje granične krive, do stanja ključale tečnosti, pa se pumpom vraća u proces.

Mere za poboljšanje Rankine-Clausius-ovog procesa

1) povećanje temperature, pregrevanjem pare 2) povećanje pritiska p 3) snižavanje pritiska kondenzacije 4) dvostepena ekspanzija 5) regenerativno pregrevanje pare 1) Povišenje temperature ima dva pozitivna efekta: 1 - povećava se rad ekspanzije po kg pare; 2 - stepen suvoće pare pri izlasku iz turbine je veći, što je veoma povoljno

k

h

s

po

1

2

3 t2

t3

t1

3'

2'

1'

p



- 72 -

2) Sa povećanjem pritiska, rad ekspanzije raste (manje nego pri povećanju temperature), međutim loše je što stepen suvoće pare opada.

3) Što god je niži pritisak (temperatura) to će i rad biti veći, ali istovremeno stepen suvoće opada.

4) Dvostepena ekspanzija

( ) ( ) 24321 korlhhhh =-+-

( ) 1'21 korlhh =-

12 korkor ll >

k

h

s

po

1

2

3

t

4 2'

p

k

h

s

po1

1,2,3

t

1' 2' 3'

po2 po3

k

h

s

po

1

2

3

t

1'

2'

3'



- 73 -

Levokretni procesi

Zadatak levokretnih procesa je "prebacivanje" količine toplote sa niže na višu temperaturu. To nije moguće samo po sebi na osnovu II zakona termodinamike (Clausius-ova formulacija). Da bi se ovaj proces izveo mora se nominovno utrošiti rad. Mi ćemo prvo da odgovorimo na pitanje, koliki minimalni rad se mora utrošiti da bi se ostvario zadati rashladni učinak. Toplota odvedena od radnog tela (hlađenog tela) naziva se toplota hlađenja Qo. Toplota hlađena u jedinici vremena Φo naziva se rashladni učinak. Qo se meri u J, kJ, ili u kWh, a Φo se meri u W, kW. Načelno se razlikuje ohlađivanje od hlađenja. Ohlađivanje podrazumeva odvođenje toplote od hlađenog tela pri snižavanju njegove temperature, a hlađenje je odvođenje toplote pri konstantnoj temperaturi. Npr. mleko se posle muže ohlađuje sa 37°C na +4°C, a ako ga stavimo u frižider na +4°C, onda je to hlađenje. Pošto se ohlađivanje može svesti na hlađenje, u nastavku ćemo se baviti isklučivo hlađenjem.

Minimalna potrošnja energije za pogon levokretnog procesa

U T-s dijagramu ćemo prikazati proces hlađenja, odnosno prebacivanje toplote sa temperature Th na temperaturu Tok.

Odgovor na pitanje – da li je proces moguć? – daje II zakon termodinamike: entropija izolovanog sistema ne može opadati, ona može biti jednaka nuli (proces je povratan), ili veća od nule (proces je nepovratan). Oba procesa nacrtaćemo jedan preko drugog:

2

t

s ∆sok

1

3

4 Tok

Th

∆ss

∆sh < 0

∆sok > 0 ∆ss < 0

2

s

Qo

1

3

4

Qo

Tok - temperatura sredine kojoj predajemo toplotu

Th - temperatura hlađene sredine

t



- 74 -

Ako bi trebao da se izvede ovakav proces, promena entropije sistema bi bila manja od nule, a prema II zakonu termodinamike to nije moguće. Da bi ovaj proces bio moguć, mora se uvesti dodatni kompenzacijski proces kojim će se promena entropije sistema makar dovesti na nulu. Dodatni proces mora da bude takav da obezbedi povećanje entropije sistema makar za vrednost ∆ss. Principijelno, dodatni proces može biti: 1) Trajna promena fizičke ili hemijske strukture neke supstancije – npr. topljenje leda zahteva dovođenje toplote od hlađene sredine, pri tome entropija leda raste i nastaje trajna promena stanja leda. Kod ovih procesa dodata materija se troši, pa se takvi procesi nazivaju potrošni, a u termodinamičkom smislu to su otvoreni procesi. 2) Toplota se trajno može prebaciti sa niže na višu temperaturu, kad dodatni proces izvede se neki levokretni kružni proces za koji se neizostavno mora utrošiti rad. ∆ss – To = Lmin › minimalni rad koji se mora utrošiti u levokretnom procesu da bi se promena entropije sistema svela na 0 (nulu). Ovakvi rashladni ciklusi u kojima se kompenzacijski proces vrši direktnim dovođenjem rada nazivaju se kompresorski rashladni uređaji, pošto se rad dovodi sabijanjem rashladnog fluida u kompresoru. Većina rashladnih uređaja su kompresori. druga vrsta kompenzacionih procesa može da se ostvari dovođenjem toplote koja je mnogo veća nego što je minimalni rad, i to su tzv. absorpcioni rashladni uređaji kao i ejektorski rashladni uređaji. Treća grupa su rashladni uređaji u kojima se kompenzacijski proces ostvaruje utroškom električne struje (Peltier-ov efekat, suprotan procesu u termoparu). Nadalje će se proučavati kompresorske rashladne mašine, jer se one najviše primenjuju.

Sa slike se vidi da je površina 1-2-a-b-c jednaka površini 3-4-b-a-2-3. Odavde neposredno sledi da je površina 4-5-1-c-b-4 jednaka površini 1-2-3-4-5-1. Pošto je površina 4-5-1-c-b-4 potreban rad koji moramo dovesti za izvođenje procesa hlađenja, a ona je jednaka površini 1-2-3-4-5-1, sledi da potreban rad za izvođenje levokretnog procesa možemo kontinualno dovoditi tako da duž konture 1-2-3-4-5-1 izvedemo levokretni kružni proces (Karnoov proces) za čije izvođenje moramo utrošiti tačno 2 min rada.

2

t

s

Qo

1

3

4 To

k

Th

5

c

b

a



- 75 -

Ovaj Karnoov proces će na delu od IV - I da primi toplotu Qo od hlađene prostorije i da je zajedno sa radom L duž promene stanja II - III preda okolini. Ovakav Karnoov proces će biti povratan, zahtevaće za svoje vođenje najmanju vrednost rada. εh – koeficijent hlađenja, predstavlja globalnu karakteristiku procesa hlađenja i pokazuje koliko rada moramo utrošiti da bi toplotu qo prebacili sa niže na višu temperaturu

o

o

kom

oh

qq

q

l

q

-==e (1)

Specijalno za Karnoov proces dobija se: qo – toplota koju dovodimo rashladnom fluidu od hlađene prostorije qc – toplota koju od rashladnog fluida predajemo okolini

Kroz razmenjivač toplote prolazi rashladni fluid koji prima toplotu Qo od rashladne prostorije. Proces I-II je izentropsko sabijanje, od II-III izotermsko odvođenje toplote od rashladnog fluida po izotermi Tc, od III-IV je izentropska ekspanzija koja je praćena snižavanjem temperature od Tc na To, od IV-I rashladnom fluidu se dovodi toplota Qo od hlađene sredine.

( )IVIoo ssTq -= (2)

( )IIIIVcIIIIIc sstqq -== , (3)

Iz jednačina (1), (2) i (3) se dobija: ( ) oc

o

oc

ohc

TT

T

sTT

sT

-=

D-

D=e

kp

Qo

L

Th

Tc

+5°C

Tok=35°C

45°C

To

To

-5°C -5°C

IV

t

s

Qo

I

III To

k

Th

II

Tc = Tok

To = Th



- 76 -

To = 273 K Tc = 283 K

( )

3,27273283

273=

/-

/=

K

Khce

Ako je sada To = 268 K, a Tc = 288 K, onda je:

( )

4,13268288

268=

/-

/=

K

Khce

Za malo povećanje temperature Tc, malo sniženje temperature To (i jedno i drugo za po 5 K), koeficijent hlađenja je opao više nego dvostruko. Iz toga proizilazi osnovno pravilo rashladne tehnike: nikada ne treba hladiti na temperature niže od onih koje su bezuslovno potrebne.

Tehnički levokretni procesi

Prema rashladnom fluidu, procesi mogu biti: 1) sa idealnim gasovima – vazdušne rashladne mašine 2) parne kompresorske rashladne mašine, kod kojih se rashladni proces najvećim delom odvija u području vlažne pare

Vazdušne rashladne mašine

Rashladni fluid je vazduh, a proces se sastoji od dve izobare i dve izentrope (levo-kretni Džulov proces, Brajtonov proces) Principijelna šema instalacije izgleda:

kp

Qo

Th

rtc

s

po po = const

em

s

pc

Qc

1 4

3

2 kp – kompresor, u kome se po

izentropskoj promeni stanja dovodi rad

rtc – razmenjivač toplote, u kome se okolini pri izobarskoj promeni stanja predaje toplota em – ekspanziona mašina, u kojoj se odvodi rad pri izentropskoj promeni stanja, do stanja 4



- 77 -

( )4141 TTcqq po -== (1)

( )3223 TTcqq pc -== (2)

mashineeekspanzionkompresorakomoc lllqq _-==-

U oba dijagrama površina zaokružena ciklusom predstavlja kompenzacijski rad, a on je jednak razlici utrošenog rada u kompresoru i rada dobijenog u ekspanzionoj mašini. Ako se jednačine (1) i (2) stave u izraz za εhj, dobija se jednačinu (3)

h

o

coc

ohj

p

pqq

qee

g

g<

-÷÷ø

öççè

æ

=-

=-

1

11

(3)

Na delovima 4-1 i 2-3 razmena toplote je pri konačnim temperaturskim razlikama, pa je proces nepovratan, to znači εhj je sigurno manje od εhc iste temperature izvora i ponora (Th i Tok).

Parne kompresorske rashladne mašine

Kod ovih mašina najveći deo procesa teče u području vlažne pare, što je pogodno iz najmanje dva razloga: 1) Izobare se poklapaju sa izotermama, pa se procesi razmene toplote obavljaju pri manjim temperaturnim razlikama (proces je manje nepovratan, utrošak rada je manji) 2) Razmena toplote pri promeni faze (isparavanje i kondenzacija) je mnogo efikasnija nego pri razmeni toplote sa gasovitim rashladnim fluidom (vazduh), pa su razmenjivači toplote mnogo manji. U istoriji rashladne tehnike kao rashladni fluidi su korišćene mnoge supstance, a danas se one mogu podeliti u dve kategorije: - prirodni rashladni fluidi (lako se razlažu u prirodi): NH3, H2O, mada se voda mnogo više koristi kao sekundarni rashladni fluid (voda se hladi u instalaciji sa NH3, pa se hladna voda koristi za hlađenje u određene svrhe) - razna organska jedinjenja: freoni (halogeni supstitucioni derivati nižih alkana, prvenstveno CH4, C2H6)

4

t

s

1

3

To

Th

2

po

lkom

qo

4

p

s

1

3

2

po

pc

Tok

Th

lkom lkp

pc



- 78 -

Levokretni Karnooov proces

Sastoji se od dve izoterme i dve izentrope, obično se Karnoov proces odvija u području vlažne pare (pa se izoterme poklapaju sa izobarama).

Vlažna para stanja (1) se u kompresoru izentropski sabija do stanja (2). Proces se tako podesi da stanje (2) bude na gornjoj graničnoj krivoj. Od stanja (2) do stanja (3) vrši se kondenzacija pare na pritisku pc = const, a to odgovara Tc = const, pri čemu se odvodi toplota Qc. P o što se toplota odvodi pri kondenzaciji rashladnih fluida, razmenjivač toplote se naziva kondenzator (kd). Od stanja (3) do stanja (4) se vrši izentropska ekspanzija u ekspanzionoj mašini (em). Od stanja (4) do stanja (1) rashladnom fluidu se dovodi toplota Qo iz hlađene prostorije, pri čemu rashladni fluid isparava, i zato se ovaj razmenjivač toplote (is) naziva isparivač, a u funkcionalnom smislu to je hladnjak (jer hladi neku sredinu).

Th > To, Tc > Tok › u graničnom slučaju je - Th = To, Tc = Tok Po 1kg rashladnog fluida se od hlađene prostorije dovodi rashladnom fluidu:

( ) ( )úûù

êëé-=-=-==

kgJxxrssThhqq ooo 41414141 (1)

ro – toplota isparavanja na To qo – specifična masena rashladna sposobnost

k

s

1

2

3

4

qc

lem

qo

lcompr

h

k

t

s

Tc

2

4

1

3

To

qc

qo

qc – cela površina

qo – ispod promene stanja

s s

kp

Qo

is

kd

s

To

em

s

pc = const Qc

1 4

3

2

Th › hlađena prostorija

Tc = const



- 79 -

Toplota predata okolini u kondenzatoru:

( )323223 ssTrhhqq cc -==-== (2)

r – toplota isparavanja na pritisku pc i temperaturi Tc Kompenzacijski rad iznosi: ockom qql -= (3)

Ukupni rad koji se utrošio je površina okružena konturom 12341. Ovaj isti kompenzacijski rad može da se dobije kao razliku tehničkog rada utrošenog u kompresoru i dobijenog tehničkog rada u ekspanzionoj mašini:

1212 hhll tcompr -== (4)

4334 hhll tem -== (5)

emcomprkom lll -=

Koeficijent hlađenja za Karnoov proces:

( )

max=-

=D-

D=

oc

o

oc

o

TT

T

sTT

sTe

U termodinamičkom smislu Karnoov proces je najbolji, jer će sa jedinicom utrošenog rada iz hlađene prostorije da se odvede najveća toplota hlađenja. Svaki drugi nepovratni proces će sa istim radom odvesti manje toplote, ili drugim rečima – za zadati rashladni učinak će realni proces (ne - Karnoov) utrošiti više rada.

Levokretni Rankine-Clausius-ov proces U tehničkom smislu Karnoov proces ima bitne nedostatke: 1) vlažna para stanja (1) koja ulazi u kompresor treba da se sabije do gornje granične krive. Regulacija kapaciteta isparivača je u tom slučaju izuzetno teška. Ako bi isparavanje išlo do gornje granične krive, mogli bi da po 1kg rashladnog fluida odvedemo više toplote (i da utrošimo više rada), i u tom slučaju u kompresor ulazi suvozasićena, a ne vlažna para (to se zove "suvo usisavanje"). Za rad kompresora "suvo usisavanje" je neuporedivo bolji režim. Kod "suvog usisavanja" kompresija u celosti teče u području pregrejane pare. 2) Rad ekspanzione mašine je vrlo mali, i tako mali rad se zbog trenja praktično gubi. Sama ekspanziona mašina je vrlo skupa, i složene konstrukcije. Iz tih razloga se ekspanziona mašina izostavlja, a umesto nje se uvodi prigušni ventil, u kome se vrši adijabatsko prigušivanje. Prigušni ventil vrlo liči na običan ventil, samo je finije urađen, zbog toga je krajnje jednostavan, a i cena mu je neznatna. Ako se uvede "suvo usisavanje" i adijabatsko prigušivanje rashladna mašina se tehnički pojednostavljuje, ali je i dalje veoma skupa. Iz tih razloga sve rashladne mašine rade na ovaj način: 1) kompresor usisava suvu paru; 2) za spuštanje rashladnog fluida se umesto adijabatske ekspanzije vrši adijabatsko prigušivanje, i na ovaj način proces je termodinamički lošiji, manja je vrednost εh nego za Karnoov proces. Ovakav proces se zove uporedni rashladni ciklus a naziva se i levokretni Rankine-Clausius-ov proces.



- 80 -

U ovom procesu odvođenje toplote od rashladnog fluida je po izobarskoj promeni stnja pc = const. Od 2-3, u h-s dijagramu je izobarsko hlađenje pregrejane pare, od 3-4 je kondenzacija. ∆qo je gubitak rashladne sposobnosti ( ) ( )51515151 ssTxxrhhqq ooo -=-=-== (1)

54 hh =

'54'55 hhqhh o -=D=- (2)

Površine 6-5'-4-6 i 5'-5-b-a-5' su jednake

12 hhll comprkom -== (3)

Sa t-s dijagrama se vidi › za istu vrednost izgubljenog (rashladnog) efekta ∆qo se poveća rad kompresora ( )'54 hh - . Da bi loš uticaj prigušivanja bio manji, tačka 5

treba da leži što više levo, treba da ima što manji stepen suvoće pare, tj. x5 mora da bude što manje. Količina toplote utrošene za isparavanje dobijena prigušivanjem, iznosi orx -5 (ro - izgubljeni rashladni efekat). Ova toplota može da se izrazi kao:

( )ocTo TTcrx -=-5 (4)

cT – specifični toplotni kapacitet tečnosti na donjoj graničnoj krivoj

( )oc

o

T TTr

cx -=5 (5)

k

s

pc

4

3

2

1

5

pc, Tc

po, To

h

6

5'

∆qo

jednake površine

h4-h5'

a

b

t

k

h

s

pc

3

4

5

1

2

pc

Tc

kp

Qo

is

kd

po

s

pc

1 4

3

2

To

h = const pc,Tc

po

pv



- 81 -

Na Tc i To ne može da se utiče, jer je To određeno uslovima hlađenja, a Tc je određeno uslovima okoline kojoj se predaje toplota (njenom temperaturom). Iz jednačine (5) sledi da će x5 biti manje ako je odnos cT / ro manji. Kod nekih rashladnih fluida (NH3) to je vrlo povoljno, jer je odnos cT / ro manji za dato ∆T (tj. oc TT - ), a za

CO2 je taj odnos loš.

hc

kom

oh

l

qee <=

Uticaj temperature isparavanja i kondenzacije na koeficijent hlađenja

Daćemo kvalitativnu ocenu uticaja: 1) snižavanje temperature isparavanja 2) povišenje temperature kondenzacije

1) Pretpostavimo da se temperatura To spustila na To': - smanjiće se toplota hlađenja - rad kompresora će se povećati - temperatura na kraju kompresije biće viša (može biti odlučujuće loše za proces) 2) Pretpostavimo da se temperatura Tc kondenzacije povećala na Tc': - rad kompresora će biti veći - temperatura na kraju sabijanja je veća

- toplota hlađenja biće manja, a ∆qo je gubitak rashladne sposobnosti, zbog povi- šenja temperature kondenzacije Zaključak: snižavanje temperature isparavanja, i povišenje temperature kondenza-cije je vrlo štetno za proces!

k

t

s

pc

3

2

2'

1

pc, Tc

po, To

4

po', To'

4'

qo

3'

pc', Tc'

k

s

pc

3

2

2'

1

1'

pc, Tc

po, To

4

po', To'

To

Tc'

4'

qo

t



- 82 -

Vlažan vazduh

Vlažan vazduh je mešavina jednog idealnog gasa i jedne realne supstancije, najčešće je idealni gas suvi vazduh (mešavina O2 i N2), a realna supstancija je vlaga – H2O u svim vidovima. Suv vazduh je mešavina dve komponente (ima 21% vol. O2 i 79% vol. N2). Molekuli O2 i N2 su tako dobro pomešani da sam vazduh možemo smatrati jednom komponentom, čija je molarna masa ML = 29 KJ/kmolK. Ako imamo – G = L + W (1) G – vlažan vazduh (u kg) L – masa suvog vazduha (u kg) W – vlaga u vlažnom vazduhu (vlaga u bilo kom obliku – para, led... – u kg) Sastav vlažnog vazduha definišemo : jednačinu (1) delimo sa L –

xL

W

L

G+=+= 11

úû

ùêë

é=

kg

kg

L

Wx (2) x › apsolutna vlažnost vazduha, pokazuje koliko se vlage

nalazi u 1kg suvog vazduha – npr. x = 0,007 › 7g vlage u 1kg suvog vazduha U opštem slučaju: W = Wd + Wf + Ws (3) Wd – masa vlage u parnom stanju Wf – masa vlage u tečnom stanju Ws – masa vlage u čvrstom stanju

L

W

L

W

L

Wx sfd ++=

x = xd + xf + xs xd – apsolutna vlažnost u parnom stanju xf – apsolutna vlažnost u tečnom stanju xs – apsolutna vlažnost u čvrstom stanju Sva tri oblika vlage istovremeno mogu da se pojave samo ako je temperatura 0°C (podrazumeva se da je pritisak atmosferski). Najčešće je količina vlage u vlažnom vazduhu toliko mala da postoji samo parna faza, npr. u 1kg vazduha biće najčešće samo nekoliko grama vlage i sva će biti u stanju pare; u vlažnom vazduhu uvek postoji parna faza, tečna i čvrsta su samo pod određenim uslovima. Posmatraćemo za sada tehnički najvažniji slučaj, kad je količina vlage mala, i sva u parnom stanju To znači › x = xd, xf = xs = 0 U tom slučaju para je na vrlo niskom pritisku od nekoliko mbar-a › p = p L + pd (5) U tom slučaju para se ponaša kao idealni gas, pa je vlažan vazduh mešavina dva idealna gasa, za koje važi Daltonov zakon (5): p – ukupan pritisak vlažnog vazduha (npr. 1 bar) pL – parcijalni pritisak suvog vazduha pd – parcijalni pristisak vodene pare



- 83 -

Za smesu idealnih gasova važi:nL

nW=g

nW – broj kmol-ova vodene pare; nL – broj kmol-ova suvog vazduha

d

W

dL

L

W

d

dd x

L

W

LM

WM

M

L

M

W

nL

nW61,1

18

29==

×

×===g (6)

MW – molska masa vlage ML – molska masa vazduha γ – molska apsolutna vlažnost xd = 0,622 γd (7) Iz teorije o mešavini idealnih gasova, imaćemo:

d

d

L

d

pp

p

p

px

-== 622,0622,0 (8)

p – ukupni pritisak vlažnog vazduha Jednačina (8) pokazuje da između xd i pd postoji jednoznačna veza, kad raste xd raste i pd i obrnuto – ili ako u vlažan vazduh dodajemo vlagu-paru, parcijalni pritisak će da raste. Proces dodavanja pare u vazduh možemo pokazati na p-V dijagramu za vodenu paru; predpostavljajući da je t = const.

Ako je količina pare u vlažnom vazduhu mala, ona je u stanju pregrejane pare (na dijagramu stanje 1). Ako dodajemo paru na temperaturi T u vlažnom vazduhu, povećava se xd, a takođe raste i pd – parcijalni pritisak pare, i pri dodavanju dovoljne količine pare, para u vlažnom vazduhu će doći u stanje A (para će postati suvo zasićena para). Parcijalni pritisak vodene pare koji odgovara stanju A je pd'. Vlažan vazduh u kome se vodena para nalazi u pregrejanom području je nezasićen vlažan vazduh. Vlažan vazduh u kome je para suvo zasićena (njeno stanje je A) je zasićen vlažan vazduh. Ako bi i dalje dodavali paru u vlažan vazduh, dodata vlaga ne bi ostala u parnom stanju – ona će se kondenzovati ako je temperatura t > 0°C, a zalediće se ako je t < 0°C. Ako je t = 0°C onda će deo viška vlage biti u tečnom, a drugi deo u čvrstom stanju, ali će parno stanje ostati (deo pare će ostati u vazduhu).

k

p

v

x=1

A

1

T

x=0

pd'

pd



- 84 -

¢

-¢

¢=

¢®

¢

d

ddd

pp

pxp 622,0

xd' – apsolutna vlažnost u zasićenom vlažnom vazduhu (najveća količina vlažne pare koju vlažni vazduh može da primi na datoj temperaturi, a sve preko toga prelazi u čvrsto ili tečno stanje)

y=¢

d

d

x

x - stepen zasićenja

j=¢

d

d

p

p - relativna vlažnost vlažnog vazduha

φ – je odnos parcijalnog pritiska vodene pare u posmatranom vlažnom vazduhu i u zasićenom vlažnom vazduhu iste temperature Na niskim temperaturama je φ ψ φ = ψ kada je φ = ψ = 0 ili φ = ψ = 1 ako je φ = 0 – nema pare, u pitanju je suv vazduh ako je φ = 1 – on sadrži u sebi maksimalnu količinu pare, tj. on je zasićen

Jednačina stanja vlažnog vazduha

( )xtphh ,,= - ovakve jednačine se često zovu jednačine za entalpiju

a) nezasićen vlažan vazduh x = xd + xf + xs – opšti slučaj x = xd – nezasićen vazduh › xf = xs = 0 ddL hxhh ×+×= 1 (1) (1kg vlažnog vazduha)

hl – entalpija suvog vazduha úû

ùêë

é

kg

kJ

hd – entalpija pare úû

ùêë

é

kg

kJ

ttch pLL ×=×= 006,1 (2) (cp vazduha › L – luft)

k

h

s

t1

t = 0

r0 – toplota isparavanja vode na 0°C

cpd (t – t0) = 1,86•t

nije kriva



- 85 -

Izoterma u pregrejanom području je horizontalna prava (poklapa se sa izentropom, tj. ponaša se kao idealni gas).

kg

kJr 25010 =

( ) úû

ùêë

é×++×=

kgsv

kJtxth d 86,12501006,1 › s v – suvog vazduha (3)

Entalpija je svedena na 1kg suvog vazduha, što je pogodno, jer se količina suvog vazduha u tehničkim procesima ne menja, menja se samo količina vlage. Jednačina (3) je jednačina za entalpiju nezasićenog vlažnog vazduha, i važi za bilo koju temperaturu. b) zasićen vlažan vazduh x = xd' xd' – maksimalna količina vlage koju na toj temperaturi vlažan vazduh može da sadrži u parnom stanju Ako se u (3) stavi x = xd' dobija se:

( )txth d ×+¢

+×= 86,12501006,1 úû

ùêë

é

kgL

kJ (4)

c) zamagljen vlažan vazduh x > xd' t > 0 x = xd' + xf (5)

( ) 187,486,12501006,1 ×+×+¢

+×= fd xtxth › 4 ,187 – cpf – cp tečnosti (6)

d) x > xd' t < 0

( ) ( )tcxxtxth pssd ×++×+¢

+×= 086,12501006,1

cps › specifična toplota leda = 2,10 kg

kJ; x0 › toplota smrzavanja vode = -334

kg

kJ

( ) ( )txtxth sd ×+-+×+¢

+×= 10,233486,12501006,1 (8)

e) t = 0 x = xd + xf + xs

( ) ( )txtxtxth sfd ×+-+××+×+¢

+×= 10,2334187,486,12501006,1 úû

ùêë

é

kgL

kJ

Molijerov dijagram za vlažan vazduh

Ovaj dijagram predstavlja grafičku interpretaciju za vlažan vazduh. Pošto entalpija zavisi od tri veličine, takav dijagram sa tri nezavisno promenljive i četvrtom zavisnom (entalpijom) ne može da se nacrta. Prema predlogu Molijera, pritisak se usvaja kao parametar koji se ne menja, pa se uzima da je p = const. Obično se uzima da je pu = 1bar › atmosferski pritisak (p u – ukupan pritisak). U prehrambenoj tehnologiji to nije nikakvo ograničenje, pošto su svi procesi izobarski. U dijagram za vlažan vazduh se ucrtavaju izoterme, odnosno ucrtavaju zavisnosti entalpije h(x) za određenu fiksiranu temperaturu; na taj način u dijagram se ucrtava mreža izotermi vlažnog vazduha.



- 86 -

Nedostatak ovakvog dijagrama je što je područje nezasićenog vlažnog vazduha, koje je za praksu najvažnije, "sabijeno" u vrlo mali deo dijagrama, uz h-osu; dijagram je nepraktičan jer bi najvažniji procesi bili nepregledno prikazani. Prema Molijeru, dijagram se transformiše tako da se svaka tačka u dijagramu svuče naniže za vrednost 2501•x. Tako se dobija tzv. kosougli h-x dijagram, ili Molijerov dijagram, u kome nezasićeno područje zauzima dovoljno veliku površinu.

t = 0

t > 0

nezasićena oblast

φ = 1

h = const

zasićena oblast

h

x

p = const

t < 0

t > 0

t < 0

φ = 0,8

φ = 1

h = const

t = 0

xf

h = const

xf = 0

xs

t = 0

xf, xs

φ = 0,6

xs = 0

ako se spusti h ( odvodimo toplotu, a temperatura ostaje 0)

ovo je nulta izoterma, ali višak vlage preko xd' je u tečnom stanju, tj. on je xf, a xs = 0

t = 0

t > 0

imaju manji nagib kad se ucrtavaju stvarni položaji izotermi

nezasićena oblast

φ = 1

φ = 1

h = const

zamagljen

vazduh

h

x

p = const (obično 1bar)



- 87 -

Izentalpe h = const neće biti horizontalne, već će imati nagib -2501. Šrafirana površina je izotermska površina i odgovara temperatura od 0 °C – zato se naziva nulta izoterma. Svaka izoterma u ovoj trouglastoj površini predstavlja četvorofazno područje (suv vazduh uvek postoji), ima suvo zasićenu paru (xd'), ima tečnost xf i čvrstu fazu xs. U ovakav dijagram još se ucrtavaju i krive konstantne vlažnosti φ (φ = 0,8, φ = 0,6).

Osnovni procesi sa vlažnim vazduhom

1) zagrevanje i hlađenje vlažnog vazduha

Proces ima dve karakterisktike: 1) on je izobarski (zato teg) 2) proces se odvija pri x = const (x - stepen suvoće pare)

Pretpostavimo da se vazduh hladi, tj. da mu se odvodi toplota (entalpija mu se smanjuje): R tačka – tačka rose, jer je vlažan vazduh postao zasićen, tj. počinje izdvajanje vlage tR - temperatura rose – ne sme da se dozvoli da se pojavi Pri daljem odvođenju toplote, vlažan vazduh dolazi u stanje 2 (na temperaturi t2) Na temperaturi t2 u parnom stanju može da bude samo x2' [kg / kg vlage] xf će se izvoditi u obliku tečnih kapi

h

x

h1

1

2 3

4

R

φ1

xf

x2'

x1

tR

t1

vazduh zatvoren na: p = 1bar



- 88 -

Ako se xf odstrani mehanički, npr. odlije se, stanje vlažnog vazduha postaje 3. Sada može da se zagreje vazduh stanja 3 do početne temperature t1, tj. do stanja 4. Vlažan vazduh u stanju 4 ima mnogo manju relativnu vlažnost nego u stanju 1, ali je na istoj temperaturi (t1). Ako se vazduh stanja 1 ohladi do stanja 2, odvede izdvojena vlaga, pa od stanja 3 do stanja 4 zagreje na početnu temperaturu, vazduh se ustvari osušio (jer je izgubio deo vlage). Ovakav proces sušenja vazduha se primenjuje u industriji šećera, jer se suvim vazduhom produvava šećer u skladištima. 2) mešanje dve vazdušne struje

Za početak se razmatra slučaj kad nema razmene toplote, posmatra se adijabatsko mešanje: - potrebno je naći stanje vazduha na izlazu Postavljaju se tri jednačine bilansa – mLLL =+ 21 (1) jednačina bilansa suvog vazduha

mm xLxLxL =+ 2211 (2) bilans vlage

mmhLhLhL =+ 2211 (3) bilans entalpije

Jednačine (1) i (2) se podele sa Lm

(1) ... lll =+ 21 (4) mL

Ll 11 = i

2

22

L

Ll =

(2) ... mlxxlxl =+ 2211 (5)

Ako se l1 i l2 usvoje kao nepoznate, iz jednačina (4) i (5) se dobija:

12

21

xx

xxl m

-

-= (6)

12

12

xx

xxl m

-

-= (7)

Jednačine (6) i (7) se stavljaju u jednačihu (3), pa se rešavaju po hm :

( )1

12

121 xx

xx

hhhh mm -

-

-+= (8)

Jednačina (8) predstavlja jednačinu prave kroz dve tačke, što znači da stanje mešavine m leži na pravoj koja spaja stanja 1 i 2.

Q

L1, x1, h1, t1

L2, x2, h2, t2

Lm, xm, hm, tm

granice sistema ne interesuje šta se dešava unutra

dovode se dve vazdušne struje

izlazi mešavina

komora za mešanje



- 89 -

- pravilo mešanja dve struje: 1) tačka M stanja mešavine leži na duži 1-2, koja spaja stanja ulaznih struja 2) tačka M deli spojnu duž 1-2 u obrnutom odnosu količina suvog vazduha stanja 1 i 2

- neadijabatsko mešanje dve struje: 1) ako stanje mešavine padne u oblast MN, mešanje će biti u zamagljenom području › to znači da mešanjem dva nezasićena vazduha možemo dobiti zamagljen vazduh 2) ako je dobijena mešavina u stanju P, mešavina se može razmagliti bez zagrevanja, tako što će se povećati količine vazduha stanja 1 ili stanja 2. Kada tačka P dođe u tačku M ili u tačku N, mešavina će se razmagliti. 3) ubrizgavanje vode ili vlage (vodene pare) u vlažan vazduh Ovo je čest slučaj u praksi, naročito u klimatizaciji, gde je često potrebno vlažiti vazduh. Ovaj problem možemo da shvatimo kao mešanje dve vazdušne struje, pri čemu druga struja formalno može da se posmatra kao vlažan vazduh sa x = . Međutim u h-x dijagramu ne može se predstaviti takvo stanje:

M

h

x

1

2 N

P

M

h

x

l2 l1

1

2



- 90 -

Pravac promene stanja vazduha može se odrediti na osnovu bilansa vlage i bilansa entalpija. Ako se ubaci D kg vlage, a imali smo L kg vlažnog vazduha u stanju 1: ( ) DxxL =- 12 (1) bilans vlage

( ) DDhhhL =- 12 (2) bilans entalpije

hD [kJ/kg] – specifična entalpija ubačene ili uvedene pare, uglavnom je konstantna Ako se podeli (2) sa (1), dobija se:

consthxx

hhD ==

-

-

12

12 (3)

12

12

xx

hh

-

- › koeficijent pravca promene stanja vlažnog vazduha

Ako je koeficijent konstantan, onda je promena stanja prava linija koja uvek ide u smeru povećanja x, jer se para odaje.

Iz jednačine (1) dobija se vlažnost x2 › L

Dxx += 12

Ako se umesto pare ubacuje voda, načelno je sve isto, samo će se dobiti da je koefi-

cijent pravca › Whxx

hh=

-

-

12

12 (hW – entalpija vode)

Razlika je samo u tome da zbog velike entalpije pare temperatura vazduha raste, a pri dodavanju vlage (vode) obično opada. Za konstruisanje pravca promene stanja služi skala smernica, koja se ucrtava na ivicama dijagrama.

t1

h

x

1

2

(a)

3

t2

t3

0

hW = 3200

hW = 0

hW

(a')

hW = 2500

(a')| ( a )

t1

h

x

1

2

x1

x2



- 91 -

I korak – na skali smernici se nađe tačka koja odgovara entalpiji dodate vode, npr. hW = 3200 kJ/kg II korak – spoji se nađeni hW sa koordinatnim početkom III korak – iz tačke 1 se povlači paralela sa konstruisanom pravom. Ako se ubacije voda, procedura je ista, tačka se spoji sa koordinatnim početkom Kada stanje vazduha dođe u tačku 3, vlažan vazduh će se zamagliti, i više neće biti u stanju da prima vlagu. Ako se ubacuje para (pregrejana para), vlažan vazduh će se pregrejati (t2 > t1), a ako se dodaje hladna voda, vlažan vazduh se hladi (t3 < t1). Moguće je vlažan vazduh ohladiti vodom iste temperature.

Suvi i vlažni termometri

Suvi termometar je običan termometar kojim se meri temperatura. Vlažan vazduh će menjati stanje usled isparavanja vode iz mokre tkanine. Njegova promena stanja je ista kao da se u vlažan vazduh ubrizgava para (ili – pravac promene stanja vazduha uz vlažan termometar biće određen entalpijom vode koja isparava iz tkanine).

W – stanje vlažnog vazduha uz vlažni termometar Procedura za utvrđuvanje stanja 1: I korak – ucrtaju se izoterme t i tW II korak – iz tačke W se produži izoterma tW zamagljenog područja, do preseka sa izotermom t III korak – tačka 1 je stanje zamagljenog vazduha

h

x

1

W

t

tW

tW

tW

t

tW t



- 92 -

Sušenje

Sušenje je vrlo složen proces udaljavanja vlage iz vlažnog materijala. Najčešće se izvodi tako što preko površine vlažnog materijala struji nezasićen vlažan vazduh, tako da sa površine vlažnog materijala vlaga isparava i prelazi u vlažan vazduh. Proces sušenja se sastoji od dva međusobno spregnuta i uslovljena procesa. Prvi proces je transport vlage iz unutrašnjosti vlažnog materijala ka njegovoj površini. Drugi je isparavanje vlage sa površine vlažnog materijala u okolni vlažan vazduh za sušenje. Posmatraće se samo isparavanje sa površine vlažnog materijala, posmatraće se maseni i toplotni bilans vlažnog vazduha u kome se vrši sušenje. - maseni i toplotni bilans sušenja

Q – toplota koja se dovodi tokom procesa sušenja Ws – količina vlage koju treba odstraniti u toku sušenja Bilans vlage vlažnog vazduha:

( ) sWxxL =- 12 (1)

Bilans toplote: Iz I zakona termodinamike sledi da je razmenjena količina toplote kod sušenja uvek jednaka razlici entalpija na ulazu i na izlazu iz sušnice. Ako se pravi bilans na osnovu zakona održanja energije, onda je sva energija koja ulazi u sušnicu ista onoj energiji koja izlazi iz sušnice.

( ) '''''' 21 tcGLhQtcWGLh pspss +=+++ (2)

Iz jednačine (1) sledi :

úúû

ù

êêë

é

-==

)(_

)(

12

1

Wvlageizdvojene

Lvazduha

s

skg

kg

xxW

LV (3)

Vs – specifična potrošnja vazduha, i predstavlja maseni protok suvog vazduha koja je potrebna da bi se odveo 1kg vlage iz vlažnog materijala

Gs+Ws, t', cp'

Gs+Ws = GW

L (kg) suvog

mterijala

Q

vlažan materijal

osušeni materijal

L, x2, t2, h2

L, x1, t1, h1

Gs, t", cp"

Lt12 = 0

sušnica



- 93 -

( ) ( ) ''''''12 tcWGtcGhhLQ pssps +-+-= / sW

s

pss

s

ps

ss W

tcWG

W

tcGhh

W

L

W

Q ¢+-

¢¢+-=

')('')( 12 qp 0 (4)

Za tehničke potrebe može se uvek sa dovoljnom tačnošću uzeti da je qp = 0 Ako se (3) ubaci u (4):

12

12

xx

hh

W

Q

s -

-=

sW

Q

x

h

xx

hh=

D

D=

-

-

12

12 (5)

x

h

D

D - rezultujući pravac promene stanja vlažnog vazduha pri sušenju

Stanje 2 – stanje vazduha na izlazu iz sušnice Između stanja 1 i 2, promena stanja može biti proizvoljna

sW

Q

x

htg =

D=a

Pravac promene stanja vlažnog vazduha pri sušenju (za dato Ws) zavisi od količine toplote Q koja se dovodi u proces. Ugao α će biti veći ako se dovodi više toplote i obrnuto. Ako se sušenje vrši bez dovođenja toplote, Q = 0, pa se iz jednačine (6) dobija ∆h = 0 (h = const). U tom slučaju vlaga odvedena po kg suvog vazduha je vrlo mala, pa je potrebna ogromna količina vazduha. 1) jednostepena sušara Pri industrijskom sušenju, obično se vazduh prethodno zagreva pre nego što uđe u komoru za sušenje.

h

x

1

3

2

∆x

α



- 94 -

Sa 1kg vlage može se odvesti samo 1323 xxxx -=- (kg vlage)

13 xx

WL s

-= › potrebna količina vazduha za sušenje

( )LhhQ 12 -=

2) više stepeno sušenje Ako je temperatua t2 na ulasku u sušaru niska, tada će biti potrebna velika količina vazduha za sušenje. U tom slučaju se vazduh više puta vraća u proces sušenja pre nego što se konačno odbaci.

h

x

1

3

2

t2

t1

x1 x3

h = const

(nema razmene

toplote)

φ3 < 1

ZV-zagrejač vazduha

L, x2 = x1, t2, h2

L, x1, t1, h1 Q

L, x3, t3, h3 = h2

komora za sušenje

ZV

1

2

3



- 95 -

3) recirkulaciono sušenje Deo vazduha na izlazu iz sušare može da se vrati u proces sušenja. Time se dobijaju dve prednosti: 1) smanjuje se potrebna toplota za grejanje vazduha 2) laka je regulacija kapaciteta zagrejača vazduha koji i leti izimi treba da vazduh greje na zadatu temperaturu. Nedostaci: 1) veći je protok vazduha kroz komoru za sušenje 2) ovo se ne može primeniti ako iz sušare izlazi kontaminirani vazuh

ZV

2 1

2

3

4

2 Ls

LR

Lo

L

mešačke komore

h

x

1

6 2

tmax

5

4

3

7

α

sW

QQQ

x

h 321 ++=

D

D

ZV3 ZV1 ZV2 Q1 Q2 Q3

1 3 2

2

1

4

3

3

5 7

6

5



- 96 -

Od ukupne količine vazduha koja prolazi kroz sušaru, Lo se odbacuje u atmosferu, a zadržava se LR. Odbačena količina Lo se nadoknađuje istom tolikom količinom Ls (sveži vazduh). Dobijena mešavina stanja 3 se zagreva do stanja 4 i uvodi u komoru.

Da nema recirkulacije, trošila bi se mnogo veća količina toplote ( )1'4 hh - . Sa

recirkulacijom se troši: 34 hh - . Sa druge strane sa 1kg suvog vazduha moglo bi da se

odvede više vlage (količina vazduha u cirkulaciji bi bila manja). Iz razloga navedenih na početku, bolja varijanta sušare je sa recirkulacijom, pod uslovom da se odpadni vazduh sme vratiti u sušaru.

úû

ùêë

é

h

kgWs - ukupna količina vlage koju treba odvesti od proizvoda

32 xx

WL s

-= › jer su se mešanjem vazduha smanjili potencijali

RS LLL +=

Na osnovu pravila mešanja imamo:

12

32

xx

xxLs

-

-=

12

13

xx

xxLR

-

-=

( )34 hhLQz -= › zQ – toplota zagrejača

h

x

1

3

2

h = const

4'

4



- 97 -

Prostiranje toplote

Kad god postoji temperaturna razlika između dva tela, ili dva dela jednog tela, nastaće razmena toplote koja prema II zakonu termodinamike uvek teče od tela više ka telu niže temperature. Postoje tri mehanizma razmene toplote: 1) Provođenje (kondukcija) 2) Prelaz (konvekcija) 3) Zračenje (radijacija) U praksi često nastaju dva ili sva tri mehanizma istovremeno. Kondukcija nastaje dodirom (sudarom) molekula (zato se naziva molekularni prenos). Pri tom molekuli više energije predaju deo energije molekulima niže energije (slično se prenosi električna struja kroz provodnik). Kod čvrtsih tela, kondukcija je jedini način prostiranja toplote. Konvekcija nastaje pri strujanju fluida. Fluidni delići se kreću iz jednog u drugi deo prostora noseći sa sobom svoju unutrašnju energiju. Konvekcija je mnogo intenzivnija od kondukcije. Između molekula fluida koji se kreće postoji razmena toplote kondukcijom, ali je ona zanemarljivo mala u odnosu na toplotu prenesenu konvekcijom. Zračenje je prenos toplote elektromagnetnim talasima koji su pretežno talasne dužine od 0,8 – 400 µ (IC deo spektra). Za zračenje nije potreban posrednik, zračenje prolazi i kroz vakuum (npr. toplota koja se od Sunca prenosi na Zemlju).

1) Provođenje (kondukcija)

Temperatursko polje

T = T(x, y, z, τ) (1) – temperatursko polje, gde je T - temperatura, a - x, y, z, τ koordinate posmatrane tačke Ako je dato temperatursko polje (1), poznata je temperatura u svim tačkama tela, u svakom trenutku vremena. Ako polje zavisi i od τ, onda je ono nestacionarno, a ako ne zavisi od vremena, tj. ako T = T(x, y, z) (2) , temperatursko polje je ustaljeno (stacionarno). Sve tačke na površini koje se u datom trenutku nalaze na jednakoj temperaturi, čine izotermsku površinu.

Izotermske površine se ne seku (ne dodiruju), jer jedna tačka ne može da ima dve temperature istovremeno.

T1

T2



- 98 -

Gradijent temperature

Gradijent temperature je vektor, i definisan je na sledeći način:

kz

Tj

y

Ti

x

TgradT

rrr

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶= (3)

Ima dva važna svojstva:

2m

Wq - toplotni fluks

qA=F [W] – toplotni protok

tt qAQ =F= [J] – razmenjena količina toplote

Furijeov zakon (Fourier)

Furijeov zakon definiše toplotni fluks koji se prostire kondukcijom. Prema zakonu, vektor toplotnog fluksa je jednak: gradTq l-=

r

qr

- vektor toplotnog fluksa

úû

ùêë

é

mK

Wl - koeficijent provođenja toplote, pokazuje koliki je toplotni fluks

provođenja kroz telo debljine 1m, poprečnog preseka 1m2 pri razlici temperatura od 1K

Znak – (minus) je zbog toga što toplotni fluks q

r ima suprotan smer od gradijenta T

Tela sa velikim λ su dobri provodnici. Primeri:

Ag - mK

W360=l ; Cu -

mK

W300=l ; Fe -

mK

W6050 -=l › provodnici

nerđajući čelik - mK

W20=l ; cigla -

mK

W9,07,0 -=l ; voda -

mK

W65,0=l

stiropor - mK

W035,0=l ; miran vazduh -

mK

W027,0=l › izolatori

gradT

T

1) uvek ima smer normale na izotermsku površinu 2) uvek ima smer u kome skalar raste

1m2

1m

1K razlika između ove dve površine



- 99 -

Furijeova jednačina

Furijeova jednačina opisuje polje u čvrstom stanju. Posmatraće se paralelopiped elementarnih dimenzija dx, dy, dt:

U pravcima x, y, z ulazi i izlazi toplota provođenjem. Razlika toplote koja je ušla u kocku i koja je izašla iz nje sabrana sa qv (toplotni izvor) troši se na promenu temperature (entalpije) posmatranog paralelopipeda. Kad se sve izrazi formalno matematički, dobija se:

vp qz

T

y

T

x

TTC +÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶=

¶

¶2

2

2

2

2

2

lt

r (1)

Tz

T

y

T

x

TD=

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶2

2

2

2

2

2

› Laplasov operator

Svi članovi imaju dimenziju 3m

W. Jednačina (1) je Furijeova jednačina i opisuje

temperatursko polje u čvrstom telu (u kom nema strujanja fluidnih delića). Ako je

qv = 0, onda je: TT

C p D=¶

¶l

tr (2)

Jednačina (1) je parcijalna, nehomogena (zbog slobodnog člana qv) i drugog je reda (ima drugi izvod). Obično su termofizički parametri (λ, Cp, ρ) konstantni, pa je:

TC

T

p

D=¶

¶

r

l

t › ú

û

ùêë

é=

s

ma

C p

2

r

l - koeficijent temperaturske provodljivosti

TaT

D=¶

¶

t (3)

Ako je 0=¶

¶

t

T (nestacionarno provođenje), dobija se:

02

2

2

2

2

2

=¶

¶+

¶

¶+

¶

¶=D

z

T

y

T

x

TT (4) – Laplasova jednačina

qx

qy

qz

x

z

y

qv

qz+dt

qy+dx

qx+dy

qv - izvor izdašnosti u telu



- 100 -

Ako je 0=¶

¶=

¶

¶

z

T

y

T (dimenzija x mnogo manja od y i z), dobija se:

02

2

=dx

Td (5) – ova jednačina se rešava u problemima

Jednačine (1) – (5) su Furijeove jednačine različitog stepena složenosti. Najviše se primenjuje jednačina (5), i ona će se primenjivati ovde u daljem radu.

Početni i granični uslovi pri rešavanju Furijeove jednačine

Kad se posmatra temperatursko polje tela, ključno je kolika je bila temperatura u trenutku početka posmatranja temperaturskog polja (npr. ako se posmatraju hlađene kugle u vazduhu temperature 20ºC, nije svejedno da li je početna temperatura kugle 100ºC ili 500ºC). Važno je i kakvi su uslovi razmene toplote sa drugim telima tokom procesa (npr. ako se posmatraju hladene kugle od 500ºC, važno je da li se kugla hladi u vodi ili u vazduhu, i kakva je temperatura vode, odnosno vazduha). Uslovi pri kojima nastaje razmena toplote kondukcijom nazivaju se početni i granični uslovi. - početni uslovi U trenutku τ = 0 (kada počne da se posmatra pojava, poznat je raspored temperatura), tp = tp(x, y, z) (početna temperatura). Najčešće je temperatura u svim tačkama konstantna tp = const. - granični uslovi Razlikuju se tri vrste graničnih uslova: 1) granični uslovi prve vrste Njima se daje raspored temperature na graničnim površinama. Za svako τ > 0 poznata je temperatura ts = t s(xs, y s, z s, τ). Najčešće je ts = const › τ > 0, ts = ts(xs, ys, zs, τ). 2) granični uslovi druge vrste Zadata je vrednost toplotnog fluksa na graničnim površinama. Za svako τ > 0, qs = qs(xs, ys, zs, τ). Najčešće je qs = const, a vrlo često je qs = 0. To znači da je ta površina adijabatski izolovana (nema razmene toplote). 3) granični uslovi treće vrste Njima se definišu uslovi razmene toplote na graničnoj površini.

čvrsto telo

t

u

tf

tz

promena temperature tela

pravac normale u nekoj tački

fluid



- 101 -

Toplota koja iz unutrašnjosti tela dospe na njegovu površinu predaje se spoljnom fluidu mehanizmom konvekcije: ( )fzs ttIgradT -=×- al

sIgradT ×- l – toplota koja iz unutrašnjosti dospe na površinu

( )fz tt -a – ovako se toplota predaje fluidu

Km

W2

a - koeficijent prelaza toplote, predstavlja složen parametar koji zavisi od

mnogo parametara, nije osobina materije

Stacionarno provođenje toplote

Posmatraće se najjednostavnije geometrijske strukture: 1) beskonačan ravan zid (granična pregrada neke prostorije) 2) beskonačan cilindar 1) beskonačan ravan zid (debljina zida mala u odnosu na ostale dve dimenzije)

Početni uslov nepotreban, jer je problem stacionaran, a od graničnih uslova, usvaja se prva vrsta (zadata temperatura na graničnim površinama – dve granične površine). Granični uslovi: x = 0, t = t1 x = δ, t = t2

Integracijom izraza 02

2

=dx

td, dobija se:

1Cdx

dt= › dxCdt 1= , daljom integracijom izraza dobija se:

21 CxCt += (3) - opšte rešenje, jer ima dve konstante

Zameni se prvi granični uslov: x = 0, 211 0 CCt +×= › 21 Ct = (4)

Jednačina (4) se ubaci u jednačinu (3), i dobija se: 11 txCt +=

Sada se zamenjuje drugi granični uslov:

x = δ, 112 tCt += d › xtt

Cd

121

-= (6) jednačina prave (kx + n)

Temperatursko polje je prava linija koja prolazi kroz tačke t1 i t2.

t1

t2

δ

λ x

t - u ovom slučaju toplota se prostire samo poprečno na zid, tj. u pravcu x-ose

02

2

=dx

td - uprošćena Laplasova jednačina,

zato što se y i z zanemaruju, jer se po njima toplota ne provodi

(2)



- 102 -

l

ddllll 2121 tttt

dx

dt

x

tgradtq

-=÷

ø

öçè

æ ---=-=

¶

¶-=-= (7)

gradt - se piše da se ne bi iznad q pisao vektor

21 tt - - razlika potencijala

l

d - otpor (podseća na Omov zakon)

l

d- - termički otpor provođenju toplote kroz zid

- višestruki ravan zid

- svi zidovi različite debljine, od različitih materijala - λ veliko, nagib je mali; x malo, nagib je veliki

1

1

21

l

d

ttq

-= (1)

2

2

32

l

d

ttq

-= (2)

3

3

43

l

d

ttq

-= (3)

Iz ovih jednačina će se eliminisati t2 i t3, jer su te temperature obično nepoznate (teško se mere).

21

1

1 ttq -=÷÷ø

öççè

æ

l

d (1') 32

2

2 ttq -=÷÷ø

öççè

æ

l

d (2') 43

3

3 ttq -=÷÷ø

öççè

æ

l

d (3')

Sabiranjem levih i desnih strana se dobija:

41

3

3

2

2

1

1 ttq -=÷÷ø

öççè

æ++

l

d

l

d

l

d

3

3

2

2

1

1

41

l

d

l

d

l

d++

-=

ttq

U opštem slučaju ako zid ima n slojeva, biće:

å=

+-=

n

i i

i

nttq

1

11

l

d

t2

t1

t3

t4

λ3 λ1 λ2

δ1 δ2 δ3

1 2

3



- 103 -

2) beskonačni cilindrični zid - crta se četvrtina poprečnog preseka

Φc – fluks úû

ùêë

é

m

W

Pošto je r promenljivo (od r1 do r2), posmatraće se provođenje ne po m2 površine, već po dužnom metru cevi. Za simetričan problem koji se posmatra, toplota se prostire samo u pravcu poluprečnika, pa je temperatursko polje funkcija samo jedne koordina-te poluprečnika. Za dobijanje jednačine direktno se primenjuje Furijeov zakon:

12 ××-=F pl rdr

dtc (dužina cevi je 1m)

dtr

drc -=F

pl2

( )12

1

2ln2

ttr

rc --=F

pl

1

221 ln

2 d

dtt c

pl

F=- (1)

úû

ùêë

é-=F

m

W

d

d

ttc

1

2

21

ln2

1

pl

t2 t1

dr r2

r1

r t2

t1

raspodela temperatura kroz zid nije prava, već logaritamska funkcija

t2 t1

dr r2

r1

t1 > t2



- 104 -

- višestruki cilindrični zid (cev koja je izolovana)

- λ veliko, malo ∆t U stacionarnom stanju važi:

1

2

21

ln2

1

d

d

ttc

pl

-=F

2

3

32

ln2

1

d

d

ttc

pl

-=F

3

4

43

ln2

1

d

d

ttc

pl

-=F (2)

Ako se na isti način eliminišu temperature t2 i t3, dobija se:

úû

ùêë

é

úû

ùêë

é++

-=F

m

W

d

d

d

d

d

d

ttc

3

4

32

3

21

2

1

41

ln1

ln1

ln1

2

1

lllp

(5)

U opštem slučaju, za n slojeva, biće: úû

ùêë

é

÷÷ø

öççè

æ

-=F

å=

+

+

m

W

d

d

ttn

i i

i

nc

1

1

1

11

ln1

2

1

lp

2) Konvekcija, granični sloj i prelaz toplote i Njutnov zakon Konvektivno prostiranje toplote obuhvata proces razmene toplote pri kretanju fluida. Nastaje usled molarnog kretanja fluida iz jedne sredine sa jednom temperaturom u drugu sredinu sa drugom temperaturom, i moguće je samo ako postoji

kretanje fluida. Svaki fluid ima ρ, Wr

, h – koja je posledica temperaturske razlike.

hWqkn

rr& r=

Ako u jednačini vremena kroz jediničnu kontrolnu površinu prolazi masa fluida

Wr

r , tada ta masa prenosi i toplotni fluks konvekcijom.

Ukupan termički fluks pri prenosu toplote je:

hWtqqq kvkd

rr&

r&

r& rl +Ñ-=+=

t2

r2 r1

t1

r3 r4

t3

t4 λ1 λ2 λ3



- 105 -

Da bi se fluid kretao, na njega mora da deluje uvek neka sila. Ako na fluid deluju zapreminske sile, tad je kretanje fluida slobodno (prirodno). Prinudno kretanje fluida nastaje kao posledica površinskih sila na graničnim površinama (pumpe, kompresori, ventilatori, ...). Jedna od najvažnijih fizičkih osobina fluida je viskoznost. Usled viskoznosti u blizini čvrstih površina kod fluida brzina kretanja se naglo menja od 0 do brzine neporemećene struje. Sloj u kome se menja brzina fluida naziva se granični sloj.

y

W

¶

¶= ms - Njutnov izraz za napon smicanja (važi samo u domenu xkr)

σ – napon smicanja, µ – dinamička viskoznost

U tankom sloju fluida formira se granični sloj debljine δ. U tom sloju pri laminar-nom kretanju fluida sile smicanja su velike, a brzina se naglo menja. Sa povećanjem dužine opstrujavanja ravne ploče, povećava se i debljina graničnog sloja. U turbulent-nom graničnom sloju napon smicanja se određuje kao srednja vrednost fluktuacija komponenata sredine u xkr i y – pravcu.

¢¢

-= xyT WWG

u

lW ×=Re › l – karakteristična dužina u kontaktu sa fluidom

Sa druge strane, pored brzine kretanja fluida, viskoznosti i karakteristične dužine, na formiranje profila kretanja utiče i zaobljenost ivica i hrapavost površina. Za xkr, imamo Rekr = 2320 Re < Rekr – laminarno strujanje Rekr < Re < 105 – prelazni režim Re > 105 – puno razvijeno turbulentno strujanje

( ) AttQ zf ×-= a& (1) – Njutnova jednačina

A – površina u kontaktu sa fluidom

Q& - toplotni fluks koji se prenosi sa fluidom koji se kreće

AAu

tQ ××÷

ø

öçè

æ

¶

¶-= l& (2) – Furijeova jednačina

Iz jednačina (1) i (2) se dobija:

zf tt

Au

t

-

×÷ø

öçè

æ

¶

¶

±=

l

a

strujnice se mešaju

x kritično xkr

W

y

W - brzina neporemećene struje

xkr – kritična dužina strujanja



- 106 -

Prolaz toplote kroz višeslojan ravan zid

Prolaz toplote predstavlja prostiranje toplote između dva fluida koji nisu u direkt-nom kontaktu. Prolaz toplote ostvaruje se kombinovanim prostiranjem toplote kondukcijom i konvekcijom.

Prelaz toplote sa fluida temperature tfI na ravan zid definisan je koeficijentom prelaza toplote αI. Usled temperaturske razlike spoljašnje površine zida i fluida temperature tfI dolazi do prelaza toplote sa fluida na zid. Jedinični termički fluks koji se prenese konvekcijom sa fluida na zid, jednak je jediničnom termičkom fluksu koji se provede kondukcijom kroz svaki sloj zida. ( )1zfIIkvI ttq -= a&

1

1

21

l

dzz

kdI

ttq

-=&

2

2

32

l

dzz

kdII

ttq

-=&

3

3

43

l

dzz

kdIII

ttq

-=&

( )fIIzIIkvII ttq -= 4a&

( ) úû

ùêë

é-=

++++

-=

Km

Wttk

ttq fIIfI

III

fIIfI

PT 2

3

3

2

2

1

1 11

al

d

l

d

l

d

a

& › k – otpor prelazu toplote

III

k

al

d

l

d

l

d

a

11

1

3

3

2

2

1

1 ++++

=

II

n

i i

i

I

uk

al

d

a

11

1

1

++

=

å=

tz2 tz1

tz3

tz4

λ3 λ1 λ2

δ1 δ2 δ3

αI

αII

tfI

tfII



- 107 -

Prolaz toplote kroz višeslojan cilindrični zid

Toplotni fluks pri prolazu toplote računa se od toplijeg fluida ka hladnijem.

( )111 zfIkvI ttdq -= pa&

1

2

1

21

ln2

1

d

d

ttq zz

kdI

pl

-=&

2

3

2

32

ln2

1

d

d

ttq zz

kdII

pl

-=&

( )fIIzIIkvII ttdq -= 33pa&

( )fIIfI

III

fIIfI

PT ttk

dd

d

d

d

d

ttq -=

+++

-=

paplplpa 32

3

21

2

11

1ln

2

1ln

2

11&

III dd

d

d

d

d

k

paplplpa 32

3

21

2

11

1ln

2

1ln

2

11

1

+++

=

IIn

n

i i

i

iI

u

dd

d

d

k

paplpa 11

1

1

1ln

2

11

1

+=

+ ++

=

å

tz2

r2 r1

tz1

r3

tz3

tfI

αI

αII

tfI

tfII



- 108 -

Razmena toplote pri promeni faze

Pri promeni faze (ključanje i kondenzacija) koeficijenti prelaza toplote su vrlo veliki, što uslovljava da većina toplotnih mašina obavlja ciklus u području vlažne pare.

Kondenzacija

Prema mehanizmu nastajanja, kondenzacija može biti: a) filmska b) kapljičasta a) Pri filmskoj kondenzaciji nastali kondenzat se sliva u vidu vrlo tankog sloja – filma b) Kapljičasta kondenzacija nastaje normalno na pojedinim mestima površine; formiraju se kapi koje se slivaju, međusobno spajaju i klize naniže Kod filmske kondenzacije, koeficijenti prelaza toplote su vrlo veliki, ali manji nego kod kapljičaste. Kod filmske α je od 1000 W/m2K do preko 20000 W/m2K. Kod kapljičaste α je od nekoliko hiljada do nekoliko desetina hiljada, čak do 120000 W/m2K. U praksi kapljičasta kondenzacija retko nastaje, tako da se uvek računa sa filmskom. Teoriju filmske kondenzacije postavio je Nuselt (Nusselt).

Stvoreni kondenzat sliva se u obliku filma čija debljina stalno raste. Na dužini L strujanje će biti laminarno, a posle toga prelazi u turbulentni režim. Za posmatrani presek (δ), važi:

( )

k

x

zszsx

tttt

l

da

-=-

Kroz sloj tečnosti toplota može da prođe samo kondenzacijom, pa je toplotni fluks kao za kondukciju kroz zid (desni deo jednačine):

( )xfx

kx ==

d

la › xa - lokalna vrednost

ò==L

xsr dxL

0

1aaa

tz δx

x

L

ts, ps – para pri temperaturi ts Uslov za nastanak kondenzacije je: tz < ts δx – debljina sloja tečnosti



- 109 -

Nuselt je dobio sledeći izraz koji se može primeniti i za sve druge geometrije:

( )

( )4

32

zskk

kdk

ttL

ghc

-

-D×=

m

lrra

c – (0,6 – 1,15) koeficijent koji zavisi od geometrije površine (zid, cev ili sl.)

hhh d¢-=D - entalpija pare

dk rr , - gustina kondenzata i gustina pare

λ – koeficijent provođenja toplote kondenzata km - koeficijent dinamičke viskoznosti

Lk – karakteristična dužina (za zid – visina zida, ako je kondenzacija na površini cevi – onda je to spoljašnji prečnik cevi)

Prenos toplote pri isparavanju (isparavanje)

Postoje sledeći mehanizmi: 1) isparavanje – ključanje u velikoj zapremini 2) isparavanje u velikoj zapremini na snopu cevi 3) mehurasto isparavanje (grejanje odozdo, mehuri se kreću na gore) 4) isparavanje sa slobodne površine tečnosti u prisustvu nekondezujućeg gasa – iskapljivanje, vetrenje gde se iznad tečnosti nalazi gas Posmatraće se mehanizam isparavanja u velikoj zapremini kada čista tečnost ispara-va u sudu sa zatvorenim klipom:

Na grejnoj površini nastaju mehurovi koji se povećavaju i penju naviše – zato se mehanizam zove mehurasto isparavanje. Isparavanje nastaje na graničnoj površini između tečne i parne faze na parnom mehuru. Međutim pri proučavanju isparavanja obično se vezuje za temperaturu zida parne površine pa se može nacrtati dijagram za koeficijent prelaza toplote pri isparavanju:

tz Q

parni mehur



- 110 -

Oblast 0-A još uvek nema parnih mehurova jer je ∆t malo, i to je oblast prirodne konvekcije. Na delu A-B nastaju parni mehurovi, razlika temperatura je još uvek mala pa je broj parnih mehurova relativno mali i prirodna konvekcija i strujanje usled mehurova su podjednakog uticaja na prelaz toplote. Na delu B-D α vrlo brzo raste jer je broj mehurova vrlo veliki i vrlo brzo se kreću prema površini. U tački C broj mehurova je toliki da u oblasti od C do D α još uvek raste, ali sporije. U tački D dostiže se lokalni ekstrem fluksa. Oblast B-D je oblast razvijenog mehurastog ključanja. U oblasti D-L parni mehurovi se međusobno spajaju, pa α počinje da pada. U tački l se dostiže minimalna vrednost: tada je sloj tečnosti odvojen od grejne površine, pa se toplota prenosi vrlo loše (Lajden – Frostov fenomen). Na dalje se α ne menja. Desno od tačke L razmena toplote zračenjem počinje da poboljšava ukupnu razmenu toplote. U tački H imamo često α kao D, ali pri mnogo većoj razlici tempera-tura. Za određivanje α služi obrazac.

nkq=a

k, n – koeficijenti koji zavise od vrste fluida, karakteristika geometrijske površine, od mikrokapavosti površine

Razmenjivači toplote

Razmenjivači toplote su aparati u kojima se toplota predaje najčešće s jednog fluida na drugi. Fluid koji predaje toplotu u terrmici se naziva topliji fluid, a onaj koji prima toplotu je hladniji fluid. Prema načinu rada i konstrukciji postoje: 1) rekuperativni razmenjivači 2) regenerativni razmenjivači 3) razmenjivači toplote sa mešanjem (konstantni) Kod regenerativnih razmenjivača preko iste površine struji, prvo topliji fluid, usled čega se zidovi razmenjivača zagrevaju. U drugom periodu rada kroz razmenjivač struji hladniji fluid koji prima toplotu akumuliranu u zidovima razmenjivača. Kod ovih razmenjivača rad je izrazito nestacionaran. Kod razmenjivača sa mešanjem razmena toplote se vrši direktnim kontaktom između fluida (mešanjem) (npr. ubrizgavanje pare u tečnost).

∆t = tz - ts

Km

W2

α

0

A

B

C D

L

H

α* - obuhvata i uticaj zračenja

α



- 111 -

- rekuperativni razmenjivači

Oba fluida istovremeno struje sa obe strane površine i proces je praktično stacionaran. Tip (a) i tip (b) su razmenjivači sa paralelnim tokom, a tip (c) je sa unakrsnim tokom. U slučaju (a) smerovi strujanja su suprotni, pa je razmenjivač suprotnosmeran. Tip (b) je tip istosmernog razmenjivača.

Tok temperatura za istosmeran i suprotnosmeran razmenjivač

t1 – topliji fluid, t2 – hladniji fluid Za oba razmenjivača važe sledeće formule: a) ravan:

Atk mD=F úû

ùêë

é

Km

Wk

2 Φ – fluks koji se razmenjuje

t1

t2

t1"

t2" t2'

t1'

∆tII ∆tI

A(L)

suprotnosmerni razmenjivači

E

t1

t2

(a)

Imamo dve cevi smeštene jedna u drugu. U jednu cev je fluid, a kroz anularni prostor je drugi fluid.

(b) t1

t2

Može biti i ravna površina, pa sa jedne strane je jedan fluid a sa druge dugi.

(c)

Kroz cevi se pušta voda, a popreko cevi ide gas.

t1

t2

t1"

t2"

t2'

t1' ∆tII ∆tI

A(L)

istosmerni razmenjivači



- 112 -

b) cev u cev

Ltk mcD=F úû

ùêë

é

Km

Wkc 2

kc – koeficijent prolaza toplote kroz cev

∆tm – srednja temperaturska razlika koja se za slučaj da svojstva ne zavise od temperature i za slučaj da su svi koeficijenti α konstantni, svodi na srednju logaritamsku razliku temperatura

II

I

IIIm

t

t

ttt

D

D

D-D=D

ln

Upoređenje istosmernih i suprotnosmernih razmenjivača

Načelno, suprotnosmerni razmenjivači su efikasniji, ali ako jedan od fluida menja fazu (slučaj isparavanja ili kondenzacije), onda oba razmenjivača rade podjednako efikasno.

3) Zračenje toplote

Zračenje toplote je prostiranje toplote EM (elektromagnetnim) talasima, talasne dužine 0,8 – 400 µ. Osnovna i nepromenljiva karakteristika zračenja je frekvencija, ali pošto je brzina svetlosti constc @×= ul , onda se umesto frekvencije, kao karakteristika zračenja uzima λ – talasna dužina. Postoje različite vrste zračenja, ali će se posmatrati samo temperatursko zračenje, čije su funkcije samo temperature tela koja zrači. Telo zrači toplotu sa vrlo tankog sloja, pa zato se često govori o površinama koje zrače.

EEEEE dra&&&&& +++= / E& (1)

E& - ukupna zračena energija na neko telo

aE& - apsorbovani deo

rE& - reflektovani deo

dE& - propušteni (dijatermalni) deo

1 = a + r + d (1) a – koeficijent apsorpcije r – koeficijent reflekcije d – koeficijent transparencije Ako je a = 1, onda je r = d = 0 › telo apsorbuje svu dozračenu energiju, pa je takvo telo apsolutno crno telo Ako je r = 1, onda je a = d = 0 › telo reflektuje svu dozračenu energiju, pa je takvo telo apsolutno belo telo Stvarna tela su siva, kod njih su i a i r manji od 1.



- 113 -

Svako telo na temperaturi t, emituje energiju zračenja koja je posledica isključivo temperature, takvo zračenje se zove sopstveno zračenje.

cE& - zračenje koje emituje crno telo

Energija zračenja za sivo telo se računa:

cEE && ×= e

ε – koeficijent emisivnosti sivog tela (za crno telo ε = 1, za sivo telo ε 1) Prema Kirhofovom zakonu u temperaturskoj ravnoteži je ε = a, tj. tela koja brzo zrače dobro apsorbuju toplotu. Strogo uzevši, Kirhofov zakon važi samo za tela u ravnoteži (kad su oba tela na istoj temperaturi), ali se primenjuje sa dovoljnom tačnošću i kad tela nisu u ravnoteži.

Zakoni zračenja

1) Kirhofov zakon 2) Štefan-Bolcmanov zakon

úû

ùêë

é×=

2

4

m

WTEc s&

42

81067,5Km

W-×=s - Štefan-Bolcmanova konstanta

cE& - ukupna energija koje crno telo emituje u poluloptu prostora

Ovu jednačinu su dokazali Štefan eksperimentalno, a Bolcman teorijski. Energija koju emituje apsolutno crno telo srazmerna je četvrtom stepenu temperature.

s810=cC - konstanta zračenja crnog tela

4

100÷ø

öçè

æ=

TCE cc

& - uobičajeni oblik Štefan-Bolcmanovog zakona

Za sivo telo je:

4

100÷ø

öçè

æ×=

TCE ce&

crno telo, apsorbuje svu dozračenu energiju

površina od 1m2 tela koje emituje zračenje u poluloptu prostora

1m



- 114 -

3) Lamberov zakon

jj cos×= cuc EE && - Lamberov kosinusni zakon

Na osnovu Lamberovg zakona, može da se pokaže:

cuc EE && ×= p

4) Plankov zakon Na osnovu svoje teorije kvanta, Maks Plank je odredio raspodelu intenziteta zračenja crnog tela u pravcu normale u funkciji od talasne dužine λ :

( )5, l

ll f

ET

constT

cuCT =÷

ø

öçè

æ

¶

¶=

=

Postoji za svaku temperaturu talasna dužina pri kojoj je intenzivitet zračenja maksimalan. 5) Vinov zakon (Wien) Ispitivao maksimum intenziteta zračenja u odnosu na talasnu dužinu λ.

1m2

φ

jcE&

cuE& - intenzitet zračenja u

pravcu normale crnog tela

ICT,λ

λ

T = const



- 115 -

Sa slike se vidi da se talasna dužina koja odgovara maksimumu intenziteta zračenja pomera ka manjim talasnim dužinama ukoliko temperatura tela koje zrači raste. Iz uslova ekstrema funkcije ICT,λ, dobija se sledeća relacija:

( )T

ICT

2900max_, =ll

Izmereno je da je λ zračenja sa Sunca ml 5,0@ , odatle sledi da je temperatura na

površini Sunca KTps 6000@ .

Zračenje gasova

U odnosu na tela razlikuje se u dvema osobinama: 1) gasovi zrače i apsorbuju zračenje selektivno 2) zračenje gasova i apsorpcija je po čitavoj dubini, i ako je sloj gasa dovoljno debeo, on će potpuno apsorbovati zračenje, tj. ponašaće se kao apsolutno crno telo

Selektivnost pri zračenju gasova

Važne su dve osobine: 1) dvoatomni gasovi (potpuno dijatermalni) niti emituju niti apsorbuju zračenje (zrače i apsorbuju tro- i više atomni gasovi) 2)

Čak i tro- i više atomni gasovi imaju pojaseve ili oblasti talasnih dužina u kojim zrače.

ICT,λ

λ

T = const

ICT,λ

λ



- 116 -

Razmena toplote zračenjem

1) dve paralelne površine

Iz toplotnog bilansa sledi:

úû

ùêë

é

úúû

ù

êêë

é÷ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ×=

2

4

2

4

12,1

1

100100 m

VTTCq

T

C1,2 – konstanta zračenja između tela 1 i 2

Pretpostavlja se da rastojanje l nije veliko:

111

21

2,1

-+

=

ee

cCC 21 ,ee - koeficijenti emisivnosti tela 1 i 2

2) jedno telo okruženo drugim

úúû

ù

êêë

é÷ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ×=F

4

2

4

12,112,1

100100

TTCA

÷÷ø

öççè

æ-+

=

111

22

1

1

2,1

ee A

A

CC c

T1

l

T2

T1 > T2 Svako od tela emituje sopstveno zračenje srazmerno temperaturi, i reflektovani deo primljenog zračenja sa naspramne površine

T1 T2 A1

A2 T1 > T2



173820928-termodinamika

Documents