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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 1º BAC CIENCIAS Y TECNOLOGÍA

– 1 –

Ejercicios del libro de texto (Ed Anaya)

Bloque I:

Números reales:

(Tema 1 del libro)

Página 45 y siguientes:

Ejercicios: Del 1 al 48 (Repaso de 4º de ESO)

Del 49 al 64 (Logarítmos)

Números complejos:

(Tema 6 del libro)

Página 162 y siguientes: Ejercicios: Del 1 al 37 y los ejercicios 42, 43, 45 y 48

Polinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones, inecuaciones y sistemas:

(Tema 3 del libro)

Página 92 y siguientes:

Ejercicios: Del 1 al 42 y los ejercicios 50, 51, 52, 53, 54 y 55

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2/12

– 2 –

Aritmética. Radicales

1.- Halla:

343 ; - 8000 ; 11664 ; 1296 ;- 8

125.

1

27 ; 7293 3 4 3

3

2.- ¿ Son ciertas las siguientes igualdades ? Razónese.( )

a a b a b b a b a b c d a

b c

a b c

b c

e a b a b f a b a b g h a b c a b a c

i x y x xy j a b ab k l

n nn

) ; ) . ; ) ; ).

) . ; ) . . ; ) ; )

) ; ) . ; ) ; )

/

/

,

= = + =+

+=

−

−

= = −

= + = +

= = + = + +

=

2

2

1 2

1 4 2 2

3 3 6 3 33

0 5

2 32 6

2

11

24

4 2 4 2 14

53

1

5

0 5,

3.- Efectúa y simplifica:

===

===

−

−−

−

4 6

5 32

6 5

3 2

33

6 13 23

13

3 3

3 2

3

3

6 33

xy4

yx2)f ;

x

x.x2)e;

b.b.a

b.a.b.a)d

a.ba

baba)c;

3.5

3.2.5.3)b;

5.3

3.2.5.2)a

4.- Opera y simplifica, racionalizando si es necesario:

( )( )

( )

a b c

d e f

) ; ) ; )

) ; ) ; )

3

5 2

2

5 2

3 2

4

4

5 1

1

2 3 3 2

2

7 3

3

7 3

1 2 5

25

1

2 3 5

2

1 2 3 6

4 4

4

+−

−−

+=

−=

+ −=

−

−

−

+

−+

=

+ +

=

+ −

=

5.- Escribe bajo radical único, y simplifica:

a b a a a c

d e f b b b

) ; ) ; )

) ; ) . . . ; )

3

23 6 25 1 6 5 16

25 81 2563

2

2

27

81

48 10 36

3

2 4 8

3 6 2 2

= + − = + + + =

= = + =

6.- Opera y simplifica, racionalizando si es necesario:

a)a

b.

a

b.

b

a ; b

. ; c) ( - )( - )

d) x

y-

y

x. xy ; e)

x y. x y

xy ; f)

+

- ; g)

xa- xb

a- b

h) + + - - - ; i) - + - - -

3 4

3

4

23 3 24

6 4

45

3

5

27

125

3 2 2 3 3 3 2 2

4 8

2

45 180

132 4 44

2 8014

51

1

4972

9

41

1

814

36

25

125

162916 2 1

369

625

)

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3/12

– 3 –

Aritmética. Logaritmos y Decibelios

1) Completa la tabla, rellenando los huecos que encuentres.

Datos:

Nivel sonoro en decibelios

⋅=

oI

Ilog10Db , siendo “I” la intensidad sonora del emisor

en watios/m2 y “Io” la intensidad sonora del umbral de audición, esto es Io=10-12 wat/m2.

Ejemplo:

Para el umbral de audición corresponde un nivel sonoro de: Db010

10log10Db

12

12

=

⋅=

−

−

Intensidad aproximada de algunossonidos

Watios/m2 Db

Umbral de audición 10-12

0

Conversación fácil, sonido del bosque 10-12

0

Susurro a un metro de distancia 30

Sala de estar 10-7

50

Ruido de la calle 10-5

Motocicleta 10-3

90

Discopub, discoteca 100

Camión de la basura 0,01

Umbral del dolor 1

Bocina del coche 1 120

Martillo neumático 10

Despegue de un avión (25 m.) 140

2) ¿Qué nivel sonoro en Db corresponde a un “walkman” sonando a un volumen tal que

los auriculares emiten sonido a una potencia de 70 mw (miliwatios) a través de una

superficie circular cuyo diámetro es de 28 mm (milímetros)? ¿Puede decirse que resulta

peligroso a ese volumen?

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– 4 –

Números Complejos I

1. Expresa en forma polar:

i1;i248;i355;i388;i333;i3

i1;i344;i33;i33;i33;i33

−+−−−+−−

++−−−+−−+

2. Calcula a para que el complejoai+2

i-a= z

a) Sea imaginario puro.

b) Sea real.

c) El afijo esté en la dirección de la bisectriz del 1er. y 3er. cuadrante.

d) Lo mismo que c pero en el 2do. y 4to. cuadrante.

3. Lo mismo que el ejercicio 2 con el complejo3i-2a

3ai-2= z

4. Expresa en forma binómica y cartesiana los complejos:

( )

ooooo

0oo

oo

240210rad 43

12030rad 2450

60810135

rad 4

90rad 6

60

2;3;2;8;2;3;8

2;1;2;2

3;1;8;2

π π

π

π

−

−−

5. Calcula las siguientes expresiones:

)i-3(;)i35-(5;)i-(1;)i3-3(;)i32+(-2;)i+(123486 20

6. Calcula el valor de2i

i-i-7 7

y los afijos de sus raíces cuartas.

7. Sea el número complejoi+1

)i3 +(1+)3 -(1 = z .

a) Calcula su parte real y su parte imaginaria.

b) Halla sus raíces cúbicas y represéntalas gráficamente.

c) Si giramos el afijo del complejo z un ángulo de 60o, ¿qué nuevo complejo se obtiene?

d) Halla sus coordenadas polares y cartesianas.

Números Complejos II

8. Resuelve las siguientes ecuaciones en :

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5/12

– 5 –

0=1+2x- x2;0=i)+(1- x;0=i)38-(-8- x

0=1+ x;0=)(81- x;0=32+ x;0=4+ x12- x

244

6

180

452

°

9. Calcula:

3

6 ;i22+2-;27 -;36 -;

i+3

i-1 ;i+1;2i-

rad 3

120433

43

π

°

10. La suma de dos complejos es 4+2i, la parte real de uno de ellos es 3 y el cociente de éste por el segundo es

imaginario puro. Calcula los dos números complejos.

11. Halla dos complejos conjugados sabiendo que el triángulo que determinan sus afijos y el origen de

coordenadas es equilátero y de área 32 .

12. De un cuadrado ABCD centrado en el origen, se sabe que A(3,2). Halla los otros vértices y el área del

cuadrado.

13. De un hexágono regular ABCDEF centrado en el origen, se conoce A(1,-1). Halla los demás vértices y el

perímetro del hexágono.

14. Del rectángulo OABC se conocen O(0,0); A(2,0) y C(0,3). Calcula:

a) El vértice B;

b) Los vértices del rectángulo transformado por un giro de centro O y amplitud 30o .

15. La suma de dos complejos dividida por su diferencia es imaginario puro:

Prueba que los dos números han de tener igual módulo.

16. Al punto A(3,4) se le aplica un giro de 90o, alrededor del origen de coordenadas O, obteniéndose así un punto

B. Calcula las coordenadas de B, el perímetro y el área del triángulo AOB. Haz los dibujos.

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6/12

– 6 –

Ecuaciones I

Resuelve las siguientes ecuaciones:

3+9

1-x

2

5

-1=6

1-2x

-3

2-x

)12;0=6+35x-x62+x35-x6 )11

0=1-

3

2-

2

33

x-

2

x

+3

2-x-

2

3-x

5

6 )10;

20

13x+11-

15

x-23=

19

3-x-

5

3x-4 )9

0=x4

5-

5

43

1-2x

-12

1-

4

32

1-x

)8;0=x+3

5)+4(x-

2

4+x+

6

x-4 )7

4

1-

18

2)+2(x=

8

1-3x-2x-2x)6;0=)21-x400)(-x9-x()5

0=80

7+

4

9+4x+

20

2x-3+

16

5-12x-

10

7-

8

3x )4;6=

15

1+2x-

4

2

1+2x-3

)3

1)-3x(3x=x)-1).(1+(5x-)3-(2x)2;x-7-=2x-16-x-1)1

234

2224

2

Soluciones: 1) x = -1 ; 2) x = 8/13 ; 3) x = -653/46 ; 4) x = -4 ;

5) x = 5, x =-5, x = 21, x = -21 ; 6) x = 7/19 ; 7) sin solución ;

8) x = 4 ; 9) x = 29/73 ; 10) x = 5 ; 11) x = 3, x = 2, x = 1/2, x= 1/3 ;

12) x = 22

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7/12

– 7 –

Ecuaciones II


1 9 18 1 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13

) ) )

) ) )

) ) )

) ) )

)

x x ; 2 x+1

x-1=2 ;

2+ 4x

4- x=

4+ x

x

2 x-1+ x+1=2 ;6- x

x- x=

1

4; 2 x-1+ x+2 =4

x-1+ x+2 =3 ; x+1

x-1=2 ; x+3+ 2x+4 =1

x+ x+1 = x+5 ; x+2

x+1=

x+1

x; 1+

2x+4

x+3=

1

x+3

9

x+1-

2

− − − =

1

x-1=

8

x+2;

x+1

x-2=

x-2

x-4;

x+1

x-3+

x+2

x+3=

2 x +3

x -9

1

x+3-

1

x-1=

1

x; x +x-1 =2- x ;

2

3 x- 1-

x-2

3+1=x

2

2

2

14 15

16 17 18

) )

) ) )

Soluciones: 1) x = 34 ; 2) x = 5/3 ; 3) x = 4 ; 4) x =9

10835 − ; 5) x = ; 6) x = 2 ; 7) x = 2

8) x = 5/3 ; 9) x = -2 ; 10) x = 24 ; 11) x =2

51 ±− ; 12) x = -2 ; 13) x = 2

14) x = 8 ; 15) x = 2 ; 16) x = 323 ±− ; 17) x = 1 ; 18) x = -1

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8/12

– 8 –

Ecuaciones y Sistemas Exponenciales y Logarítmicas


1.- 13 x2x2

=−

; 2.- 393331xx1x

=++ −+

; 3.- 2500552x1x2

=− ++

4.- 1033x2x

=+ −

; 5.- 96421x1x

=+ −+

; 6.- 0813691xx

=+⋅− +

7.- 1222 x2x4 =− ; 8.- 0320243x1x

=−+ ++

; 9.-3

4

1x

1x22

255−

−=

10.- 162104 xx −=⋅− ; 11.- 12824 2x1x =− +− ; 12.- ( ) 033283 x1x2 =+⋅−+

13.- 2552...2221 x32 =+++++ ; 14.-8

1272....21

2

1

4

1

8

1 x=++++++

15.- 19822222 4x23x22x21x2x2 =++++ −−−− ; 16.- ( )( )( )42x2 a1a1a1a...aa1 +++=++++


17.- 25log5

x

log 77 =+

; 18.- logx 100 – logx 25=2 ; 19.- log(x+1) – log x=1

20.- ( ) x2log3xlog2log =−+ ; 21.- log(3x+5) – log(2x+1) =1 – log 5

22.- log(4x – 1) – log(3x – 2) = log 2 ; 23.- ( ) 0x5logx5log1xlog =−−+−−

24.- log(2x–3) – log(x+1) = log(2x–5) – log(1-x) ; 25.- 2·log x = 1 – log(x+6)

26.- xlog24

81log

3

xlog4 ⋅=+⋅ ; 27.- (x2 – 4x +7)log 5 + log 16 = 4

28.- (x2 –5x +9)log 2 = 3 – log 125 ; 29.-5log5

4

xlogxlog4

2=

−−⋅

Resuelve los siguientes sistemas:

30.-

−=−

=+

++ 132

7321y1x

yx

; 31.-

=

=+

+ 1082

2422yx

yx

; 32.-( )

=

=+

+ 3242

8522yx2

y2x2

33.-

=

=+

− 42

1022yx

yx

; 34.-

=+

=+

− 372

872y1x

yx

; 35.-

=−

=−

2ylogxlog3

5ylog3xlog2

36.-

=−

=−

1ylogxlog

11yx 22

; 37.-

=

=+

5yx

1ylogxlog

; 38.-

=−

=−

2yx

1ylogxlog

39.-

=⋅

=⋅

−

−

522

8223y2x3

1y3x2

; 40.-

( )

( )

=+

=−

2

13xlog

2)3ylog

y

x

; 41.-( )

( )

=+

=−

24xlog2

1y4log

y

x

42.-

( ) ( )

=

=−++

y

11x

e

ee

33logyxlogyxlog

; 43.-

⋅=⋅−⋅

⋅=⋅+⋅

64log2

18logy24logx

125logx25logy5log2

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9/12

– 9 –

Fracciones Algebraicas I

1.- Opera y simplifica:

a)3a

a - 2+

2a

a + 2: 1+

4

a - 4 b)

2a

a - 4-

a - 1

a - 2+ 1 : 1+

a - 2

a + 22 2

;

2.- Simplifica:

a x

x xb

ax a x

a xc

x x

x xd

x x

x x

e x x

x x f

x y

xy zg

x x y

xy yh

a bx

a xi

a ab

a a b

jm mn n

m nk

x y x

)+

; )+

; )( + ) .( + )

( - ).( - ) ; )

- +

- -

)- +

- + ; ) ; )

( - )

- ; ) ; )

+

-

)- +

- ; )

-

2

2

2 2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

3 2

2 3

3 2

2

4 2 2

2 2

2 2

4 2 2 4

3

3 27

9

2 1

1 4

2 7 3

2 5 3

3 15 12

9 20

4

6

5

5 5

24

16

2 15 20 y

x yl

x x x x

x x x x10

2 16 3 18

2 11 14 9 1862

4 3 2

4 3 2 ; )

+ - + +

- + + -

3.- Opera y simplifica:

a x x x

x

x x

xb

x x x

x

x

c x x

x

x

x

xd

x

x x

x

x

x

x

e x x x x x x x x

f x

x x x x

g

) ; )

) ; )

) ; )

2 3 4

2 2 2

2

2

2 2 2

3 2

3 2 2 2 2

3 2 1

1

2 4

2

121

3

3

2

1

1

2

1 1 1

2

2 1 1

2 1

1

2 13 3 1

12 1

11

14 2

32

− + −

−−

+ −

− +− +

−

−+

+−

++

−

+

− +−

−−

−

+

+ −

+ + ++

+ ++

+ −−

++

−

) ; )

) ; )

) : ; )

x

x x x

x

x xh

x

x

x

x x

i x

x x

x

x

x x

x x j

x

x a

x a

ab

a

x a

k

x x x

x

x x

x x l x

x

x

x

+

−−

+−

+

−

+

−−

−

+−

−

+ +⋅

−

+⋅

+ +

− +⋅

−⋅

−

− + +

−

+ +

+ −

−

++

2

2

1

2

6 4

4

2 3

2 2

3 2

3 3

5

6 6

3

4 4

4

1

3 2

2

3

5

10

5 3 9

1

2 1

2 3

2

22

1

2 3 2

2

2

2 2

2

2 2 3

3 2

2

2

2

2

2

11

11

11

2

4

1

2

+

+

+

+

+

−

−−

−

x

m

x

n x

x x

x

x) ; )

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10/12

– 10 –

Inecuaciones

Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) 5x21x3 +>+ ; 2) 3x1x2 +≤+ ; 3) 09x3

8x2>

+

−

4)3

1x5

2

1x3 +≥

+ ; 5) 2x

7

1x

2

x−<

−+ ; 6) 2

1x

3x<

+

+

Soluciones:

1 4 2 2 3 3 4

4 1 526

56 1 1

) ( , ) ; ) ( , ] ; ) ( , ) ( , )

) ( , ] ; ) , ; ) ( , ) ( , )

+∞ −∞ −∞ − ∪ +∞

−∞ +∞

−∞ − ∪ +∞

Resuelve las siguientes inecuaciones:

7) ( ) 4x4x23xx +>−+⋅ ; 8) 22

14x

4

8x

3

2x5−

+>

−−

−

9) ( ) ( ) ( )2x21x33x2 +⋅>−⋅++⋅ ; 10) x34

x

2

8x4

5

3x3−<

+−

−

11) ( ) ( ) 1x7x32x1x 222 +−≤++−−

Soluciones:

−

∞−

+∞+∞+∞∪−−∞ 1,

3

4)11;

27

92,)10;,

3

1)9;),4()8;),4()1,()7

12) Una fábrica de Gijón paga a sus viajantes 15 € por artículo vendido más una cantidad fija de

720 €. Otra fábrica de la competencia paga 25 € por artículo y 550 € fijos. ¿Cuántos artículos

debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?

13) Un padre y su hija se llevan 22 años. Determina en qué periodo de sus vidas la edad del padre

excede en más de 6 años al doble de la edad de la hija.

14) ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20 ?15) Halla la condición que tienen que verificar los coeficientes de la ecuación de segundo grado para

que tenga las raíces reales, siendo la ecuación: 8x2– (m-1)x + m – 7 = 0 .

16) Halla la condición que tienen que verificar los coeficientes de la ecuación de segundo grado para

que no tenga soluciones, siendo la ecuación mx2– 2(m+2)x – (m-10) = 0.

17) ¿Qué números verifican la inecuación 0.x < 0 ? ,¿y la inecuación 0.x > -2 ? Razona las respuestas.

18) La existencia de x2 1− , ¿a qué inecuación da lugar? Razona la respuesta y, si sabes,

resuélvela.

19) Resuelve los sistemas de inecuaciones:

;02-x)a

2

;

0>2

x+x-

04-x

)b2

2

≤

≥

3+)1-2(x3-2x

01-x

09-x)e

2

2

≤

≥

≤

1+)2

1+4(x1)-2(x

06+7x-x

)f

2

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– 11 –

Método de Gauss

1. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss:

a)

=−

=+

−=+

1y2x

5yx3

3yx

b)

=−−

=+−

=+−

2zy2x

1zy

3zyx3

c)

−=+−

=++

=++

3z2y2x

3zy2x2

4z3y2x5

Sol.: S. Incompatible Sol.: S. comp..Deter. Sol.: S. comp..Deter.

(2/3, -7/9, 2/9) (1,1,-1)

d)

=−−

=−−

=−−

8z5y3x3

7z4yx2

3z3y2x

e)

=++

=−+

=+−

5z2yx2

2zy2x

3z3yx

f)

−=++

=+

=++

=−−

1z5y2x

3zy3

1z3yx2

2z2yx

Sol.: S. comp..Deter.. Sol.: S. Comp.. Indeterm Sol.: S. comp..Deter..

(2,1,-1)

+−−z,

3

z41,

3

z58 (4/3, 4/3,-1)

2. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss:

a)

=+

=+

=+

8y4x2

8y2x3

4y2x

b)

=+

=+

=++

5zy

4zx

6zyx

c)

=++

−=−−

=−+

=+−

18z6y4x4

6z5y3x

4z3y3x2

8z4y2x3

Sol.: (2,1) Sol.: (1,2,3) Sol.: (2,1,1)

d)

=+−

=+−

=+−

1z2y5x5

4zy3x2

5zy2x3

e)

−=+−

=−−

=−+

=++

2zyx

1zyx3

8z3y2x

2zyx

f)

=+−

=+−−

=−+

0z3y

0zyx

0zyx

Sol.: S. Incompatible Sol.: S. Incompatible Sol.: (-2z, 3z, z)

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Problemas de Planteamiento . Método de Gauss

1. La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas es igual a la suma

de la de las decenas más el doble de la de las unidades. Si se invierte el orden de las

cifras el número disminuye en 297 unidades. ¿De qué número se trata? Sol.: 421.

2. Una madre y sus dos hijos tienen en total 60 años; el hijo mayor tiene tres veces la edad

del menor, y la madre tiene el doble de la suma de las edades de sus hijos. ¿Cuántos

años tiene cada uno? Sol.: 40, 15 y 5 años. Sol. del problema 4 : Oro 5632 g. Plata1833 g.

3. Hierón, rey de Siracusa, dio a un platero 7465 g de oro para hacer una corona que quería

ofrecer a Júpiter. Para conocer si el orfebre había reemplazado oro por plata, le pidió a

Arquímedes que lo averiguara, sin dañar la corona. Arquímedes metió la corona en agua

y perdió 467 g de su peso. Se sabe que el oro pierde en el agua 52 milésimas de su peso

y que la plata pierde 95 milésimas. Halla los gramos de oro y plata de la corona real.

4. Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.

El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un

nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre. Sol.: 45, 48 y 54 g respec.

5. Tres jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese

momento tengan los otros dos. Todos pierden una partida y cada jugador se retira con

200 euros. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego? Sol.: 325, 175 y 100.

6. La suma de las edades, en el momento actual, de un padre y sus dos hijos es de 73 años.

Dentro de 10 años la edad del padre será el duplo de la edad del hijo menor. Hace 12

años la edad del hijo mayor era doble de la edad de su hermano. Halla la edad de cadauno. Sol.: 40, 18 y 15 años.

7. Un señor acertó cinco números en la lotería primitiva, dos de los cuales eran el 23 y el

30. Propuso a sus hijos que si averiguaban los otros tres, se podrían quedar con el

premio. La suma del primero con el segundo excedía en dos unidades al tercero; el

doble del primero menos el segundo era doce unidades menor que el tercero, y la suma

de los tres era 24. ¿Cuáles son los tres números que faltan? Sol.: 4, 9 y 11.

8. En las fiestas de un determinado lugar había tres espectáculos A, B y C, cada uno de

ellos con un precio distinto. Un chico fue dos veces a A, una vez a B y otra a C y se

gastó 7,75 €; una amiga asistió tres veces a A y una vez a B y se gastó 10,75 €, y un

tercer amigo entró una vez a cada espectáculo, lo que le costó 4,75 €. ¿Cuánto valía laentrada a cada uno de ellos? Sol.: 3€, 1,75 € y 0 €.

9. En una tienda de alimentación se ha hecho una oferta de botes de tomate, yogures y

paquetes de sal. Una persona compró 2 botes de tomate, 4 yogures y un paquete de sal,

gastándose 2,58 €; otra persona compró un bote de tomate y 2 yogures por 0,99 € y una

tercera persona compró 3 yogures y un paquete de sal , gastó 1,26 €. ¿En qué consistió

la oferta? Sol.: Botes de tomate 0,55 €., Yogures 0,22 €. y Sal a 0,60 €.

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