RED BLUE

×òî ìîæíî äåëàòü

ñ âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè è

è íåëüçÿ äåëàòü ñ öåëûìè

÷èñëàìè

×àñòü 1. Àëãîðèòì Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Þ.Â.Ìàòèÿñåâè÷

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîå îòäåëåíèåÌàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â. À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ

http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

×òî ìîæíî äåëàòü

ñ âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè è

è íåëüçÿ äåëàòü ñ öåëûìè

÷èñëàìè

×àñòü 1. Àëãîðèòì Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Þ.Â.Ìàòèÿñåâè÷

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîå îòäåëåíèåÌàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â. À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ

http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

Êíèãà Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Alfred Tarski (1901�1983)

A decision method for algebraand geometrySanta Monica CA, RAND Corp.,1948.

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíîé àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíûõ àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Êíèãà Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Alfred Tarski (1901�1983)

A decision method for elementaryalgebra and geometrySanta Monica CA, RAND Corp.,1948.

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíîé àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíûõ àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Êíèãà Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Alfred Tarski (1901�1983)

A decision method for elementaryalgebra and geometrySanta Monica CA, RAND Corp.,1948.

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíîé àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíûõ àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Êíèãà Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Alfred Tarski (1901�1983)

A decision method for elementaryalgebra and geometrySanta Monica CA, RAND Corp.,1948.

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíîé àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíûõ àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Êíèãà Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Alfred Tarski (1901�1983)

A decision method for elementaryalgebra and geometrySanta Monica CA, RAND Corp.,1948.

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíîé àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíûõ àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Êíèãà Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Alfred Tarski (1901�1983)

A decision method for elementaryalgebra and geometrySanta Monica CA, RAND Corp.,1948.

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíîé àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà äëÿýëåìåíòàðíûõ àëãåáðû è ãåîìåò-ðèè

Ãåîìåòðèÿ

I Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå

I Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå

I Çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî

ÃåîìåòðèÿI Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå

I Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå

I Çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî

ÃåîìåòðèÿI Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå

I Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå

I Çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî

ÃåîìåòðèÿI Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå

I Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå

I Çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Î

áúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `" , OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D" , EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `" , OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D" , EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `" , OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D" , EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `" , OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D" , EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `" , OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D" , EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `" , OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D" , EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `" , OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D" , EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `"

, OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D" , EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `"

, OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O"

, OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D" , EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `"

, OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O"

, OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D"

, EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `"

, OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O"

, OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D"

, EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `" , OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O"

, OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D"

, EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `" , OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D"

, EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè)

Îáúåêòû:

I òî÷êè

I ïðÿìûå

I îêðóæíîñòè

I . . .

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êà A ëåæèò íà ïðÿìîé `" , OnLine(A, `)

I "Òî÷êà A ëåæèò íà îêðóæíîñòè O" , OnCircle(A,O)

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D" , EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè):

Àêñèîìû:

I "Äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê A è B ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ `, íà êîòîðîéîáå ýòè òî÷êè ëåæàò":

∀A∀B∃`{OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)}

I "Åñëè òî÷êè òî÷êè A è B ðàçëè÷íû è îáå ëåæàò íà ïðÿìûõ ` èm, òî ýòè ïðÿìûå ñîâïàäàþò":

∀A∀B∀`∀m{A 6= B ∧ OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)∧∧ OnLine(A,m) ∧ OnLine(B,m)⇒ ` = m}

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè):

Àêñèîìû:

I "Äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê A è B ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ `, íà êîòîðîéîáå ýòè òî÷êè ëåæàò":

∀A∀B∃`{OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)}

I "Åñëè òî÷êè òî÷êè A è B ðàçëè÷íû è îáå ëåæàò íà ïðÿìûõ ` èm, òî ýòè ïðÿìûå ñîâïàäàþò":

∀A∀B∀`∀m{A 6= B ∧ OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)∧∧ OnLine(A,m) ∧ OnLine(B,m)⇒ ` = m}

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè):

Àêñèîìû:

I "Äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê A è B ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ `, íà êîòîðîéîáå ýòè òî÷êè ëåæàò":

∀A∀B∃`{OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)}

I "Åñëè òî÷êè òî÷êè A è B ðàçëè÷íû è îáå ëåæàò íà ïðÿìûõ ` èm, òî ýòè ïðÿìûå ñîâïàäàþò":

∀A∀B∀`∀m{A 6= B ∧ OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)∧∧ OnLine(A,m) ∧ OnLine(B,m)⇒ ` = m}

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè):

Àêñèîìû:

I "Äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê A è B ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ `, íà êîòîðîéîáå ýòè òî÷êè ëåæàò":

∀A∀B∃`{OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)}

I "Åñëè òî÷êè òî÷êè A è B ðàçëè÷íû è îáå ëåæàò íà ïðÿìûõ ` èm, òî ýòè ïðÿìûå ñîâïàäàþò":

∀A∀B∀`∀m{A 6= B ∧ OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)∧∧ OnLine(A,m) ∧ OnLine(B,m)⇒ ` = m}

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè):

Àêñèîìû:

I "Äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê A è B ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ `, íà êîòîðîéîáå ýòè òî÷êè ëåæàò":

∀A∀B∃`{OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)}

I "Åñëè òî÷êè òî÷êè A è B ðàçëè÷íû è îáå ëåæàò íà ïðÿìûõ ` èm, òî ýòè ïðÿìûå ñîâïàäàþò":

∀A∀B∀`∀m{A 6= B ∧ OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)∧∧ OnLine(A,m) ∧ OnLine(B,m)⇒ ` = m}

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (ïëàíèìåòðèè):

Àêñèîìû:

I "Äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê A è B ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ `, íà êîòîðîéîáå ýòè òî÷êè ëåæàò":

∀A∀B∃`{OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)}

I "Åñëè òî÷êè òî÷êè A è B ðàçëè÷íû è îáå ëåæàò íà ïðÿìûõ ` èm, òî ýòè ïðÿìûå ñîâïàäàþò":

∀A∀B∀`∀m{A 6= B ∧ OnLine(A, `) ∧ OnLine(B, `)∧∧ OnLine(A,m) ∧ OnLine(B,m)⇒ ` = m}

I . . .

Òåîðåìà

Êàêîâû áû íè áûëè òðè ïîïàðíî ðàçëè÷íûå òî÷êè A1, A2 è A3,ñóùåñòâóþò òî÷êè B1, B2, B3 è C è ïðÿìûå `1, `2, `3, m1, m2 è m3

òàêèå ÷òî

OnLine(A2, `1) ∧ OnLine(A3, `1) ∧ OnLine(B1, `1)∧∧ OnLine(A1, `2) ∧ OnLine(A3, `2) ∧ OnLine(B2, `2)∧∧ OnLine(A1, `3) ∧ OnLine(A2, `3) ∧ OnLine(B3, `3)∧∧ OnLine(A1,m1) ∧ OnLine(B1,m1) ∧ OnLine(C ,m1)∧∧ OnLine(A2,m2) ∧ OnLine(B2,m2) ∧ OnLine(C ,m2)∧∧ OnLine(A3,m3) ∧ OnLine(B3,m3) ∧ OnLine(C ,m3)∧

∧ EqDistance(A1,B2,B2,A3)∧∧ EqDistance(A2,B1,B1,A3)∧∧ EqDistance(A1,B3,B3,A2)

ßçûê ãåîìåòðèè (íîâàÿ âåðñèÿ):

Îáúåêòû:

I òî÷êè

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé", OnLine(A,B,C )

I "Òî÷êè A è B ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîì âòî÷êå C", OnCircle(A,B,C )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D", EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (íîâàÿ âåðñèÿ):

Îáúåêòû:

I òî÷êè

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé", OnLine(A,B,C )

I "Òî÷êè A è B ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîì âòî÷êå C", OnCircle(A,B,C )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D", EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (íîâàÿ âåðñèÿ):

Îáúåêòû:

I òî÷êè

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé", OnLine(A,B,C )

I "Òî÷êè A è B ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîì âòî÷êå C", OnCircle(A,B,C )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D", EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (íîâàÿ âåðñèÿ):

Îáúåêòû:

I òî÷êè

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé", OnLine(A,B,C )

I "Òî÷êè A è B ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîì âòî÷êå C", OnCircle(A,B,C )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D", EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (íîâàÿ âåðñèÿ):

Îáúåêòû:

I òî÷êè

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé"

, OnLine(A,B,C )

I "Òî÷êè A è B ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîì âòî÷êå C", OnCircle(A,B,C )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D", EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (íîâàÿ âåðñèÿ):

Îáúåêòû:

I òî÷êè

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé", OnLine(A,B,C )

I "Òî÷êè A è B ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîì âòî÷êå C", OnCircle(A,B,C )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D", EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (íîâàÿ âåðñèÿ):

Îáúåêòû:

I òî÷êè

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé", OnLine(A,B,C )

I "Òî÷êè A è B ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîì âòî÷êå C"

, OnCircle(A,B,C )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D", EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (íîâàÿ âåðñèÿ):

Îáúåêòû:

I òî÷êè

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé", OnLine(A,B,C )

I "Òî÷êè A è B ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîì âòî÷êå C", OnCircle(A,B,C )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D", EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (íîâàÿ âåðñèÿ):

Îáúåêòû:

I òî÷êè

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé", OnLine(A,B,C )

I "Òî÷êè A è B ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîì âòî÷êå C", OnCircle(A,B,C )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D"

, EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

ßçûê ãåîìåòðèè (íîâàÿ âåðñèÿ):

Îáúåêòû:

I òî÷êè

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé", OnLine(A,B,C )

I "Òî÷êè A è B ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîì âòî÷êå C", OnCircle(A,B,C )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäóòî÷êàìè C è D", EqDistance(A,B,C ,D)

I . . .

Òåîðåìà î ïåðåñå÷åíèè ìåäèàí

Êàêîâû áû íè áûëè òî÷êè A1, A2 è A3, ñóùåñòâóþò òî÷êè B1, B2, B3

è C òàêèå, ÷òî

A1 6= A2 ∧ A1 6= A3 ∧ A2 6= A3 ⇒⇒ OnLine(A1,A2,B3) ∧ OnLine(A2,A3,B1) ∧ OnLine(A1,A3,B2)∧∧ OnLine(A1,B1,C ) ∧ OnLine(A2,B2,C ) ∧ OnLine(A3,B3,C )∧

∧ EqDistance(A1,B2,B2,A3)∧∧ EqDistance(A2,B1,B1,A3)∧∧ EqDistance(A1,B3,B3,A2)

ßçûê (àíàëèòè÷åñêîé) ãåîìåòðèè:

Îáúåêòû:

I òî÷êè � ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë 〈ax , ay 〉Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉, 〈bx , by 〉 è 〈cx , cy 〉 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé",OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîìâ òî÷êå 〈cx , cy 〉", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ðàâíî ðàññòîÿíèþìåæäó òî÷êàìè 〈cx , cy 〉 è 〈dx , dy 〉",EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

I . . .

ßçûê (àíàëèòè÷åñêîé) ãåîìåòðèè:

Îáúåêòû:

I òî÷êè � ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë 〈ax , ay 〉Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉, 〈bx , by 〉 è 〈cx , cy 〉 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé",OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîìâ òî÷êå 〈cx , cy 〉", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ðàâíî ðàññòîÿíèþìåæäó òî÷êàìè 〈cx , cy 〉 è 〈dx , dy 〉",EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

I . . .

ßçûê (àíàëèòè÷åñêîé) ãåîìåòðèè:

Îáúåêòû:

I òî÷êè � ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë 〈ax , ay 〉

Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉, 〈bx , by 〉 è 〈cx , cy 〉 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé",OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîìâ òî÷êå 〈cx , cy 〉", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ðàâíî ðàññòîÿíèþìåæäó òî÷êàìè 〈cx , cy 〉 è 〈dx , dy 〉",EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

I . . .

ßçûê (àíàëèòè÷åñêîé) ãåîìåòðèè:

Îáúåêòû:

I òî÷êè � ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë 〈ax , ay 〉Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉, 〈bx , by 〉 è 〈cx , cy 〉 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé",OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîìâ òî÷êå 〈cx , cy 〉", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ðàâíî ðàññòîÿíèþìåæäó òî÷êàìè 〈cx , cy 〉 è 〈dx , dy 〉",EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

I . . .

ßçûê (àíàëèòè÷åñêîé) ãåîìåòðèè:

Îáúåêòû:

I òî÷êè � ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë 〈ax , ay 〉Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉, 〈bx , by 〉 è 〈cx , cy 〉 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé"

,OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîìâ òî÷êå 〈cx , cy 〉", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ðàâíî ðàññòîÿíèþìåæäó òî÷êàìè 〈cx , cy 〉 è 〈dx , dy 〉",EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

I . . .

ßçûê (àíàëèòè÷åñêîé) ãåîìåòðèè:

Îáúåêòû:

I òî÷êè � ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë 〈ax , ay 〉Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉, 〈bx , by 〉 è 〈cx , cy 〉 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé",OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîìâ òî÷êå 〈cx , cy 〉", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ðàâíî ðàññòîÿíèþìåæäó òî÷êàìè 〈cx , cy 〉 è 〈dx , dy 〉",EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

I . . .

ßçûê (àíàëèòè÷åñêîé) ãåîìåòðèè:

Îáúåêòû:

I òî÷êè � ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë 〈ax , ay 〉Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉, 〈bx , by 〉 è 〈cx , cy 〉 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé",OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîìâ òî÷êå 〈cx , cy 〉"

, OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ðàâíî ðàññòîÿíèþìåæäó òî÷êàìè 〈cx , cy 〉 è 〈dx , dy 〉",EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

I . . .

ßçûê (àíàëèòè÷åñêîé) ãåîìåòðèè:

Îáúåêòû:

I òî÷êè � ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë 〈ax , ay 〉Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉, 〈bx , by 〉 è 〈cx , cy 〉 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé",OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîìâ òî÷êå 〈cx , cy 〉", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ðàâíî ðàññòîÿíèþìåæäó òî÷êàìè 〈cx , cy 〉 è 〈dx , dy 〉",EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

I . . .

ßçûê (àíàëèòè÷åñêîé) ãåîìåòðèè:

Îáúåêòû:

I òî÷êè � ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë 〈ax , ay 〉Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉, 〈bx , by 〉 è 〈cx , cy 〉 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé",OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîìâ òî÷êå 〈cx , cy 〉", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ðàâíî ðàññòîÿíèþìåæäó òî÷êàìè 〈cx , cy 〉 è 〈dx , dy 〉"

,EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

I . . .

ßçûê (àíàëèòè÷åñêîé) ãåîìåòðèè:

Îáúåêòû:

I òî÷êè � ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë 〈ax , ay 〉Îòíîøåíèÿ:

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉, 〈bx , by 〉 è 〈cx , cy 〉 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé",OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Òî÷êè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè c öåíòðîìâ òî÷êå 〈cx , cy 〉", OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

I "Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 〈ax , ay 〉 è 〈bx , by 〉 ðàâíî ðàññòîÿíèþìåæäó òî÷êàìè 〈cx , cy 〉 è 〈dx , dy 〉",EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

I . . .

Òåîðåìà î ïåðåñå÷åíèè ìåäèàí

Êàêîâû áû íè áûëè ÷èñëà a1,x , a1,y , a2,x , a2,y , a3,x , a3,y , ñóùåñòâóþò÷èñëà b1,x , b1,y , b2,x , b2,y , b3,x , b3,y , cx è cy òàêèå, ÷òî

(a1,x 6= a2,x ∨ a1,y 6= a2,y ) ∧ (a1,x 6= a3,x ∨ a1,y 6= a3,y )∧∧ (a2,x 6= a3,x ∨ a2,y 6= a3,y )⇒

⇒ OnLine(a1,x , a1,y , a2,x , a2,y , b3,x , b3,y )∧∧ OnLine(a2,x , a2,y , a3,x , a3,y , b1,x , b1,y )∧∧ OnLine(a1,x , a1,y , a3,x , a3,y , b2,x , b2,y )∧∧ OnLine(a1,x , a1,y , b1,x , b1,y , cx , cy )∧∧ OnLine(a2,x , a2,y , b2,x , b2,y , cx , cy )∧∧ OnLine(a3,x , a3,y , b3,x , b3,y , cx , cy )∧

∧ EqDistance(a1,x , a1,y , b2,x , b2,y , b2,x , b2,y , a3,x , a3,y )∧∧ EqDistance(a2,x , a2,y , b1,x , b1,y , b1,x , b1,y , a3,x , a3,y )∧∧ EqDistance(a1,x , a1,y , b3,x , b3,y , b3,x , b3,y , a2,x , a2,y )

Íåìíîãî àëãåáðû

EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )

⇐⇒⇐⇒ (ax − bx)2 + (ay − by )2 = (cx − dx)2 + (cy − dy )2

OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

⇐⇒

⇐⇒ EqDistance(ax , ay , cx , cy , bx , by , cx , cy )

⇐⇒ (ax − cx)2 + (ay − cy )2 = (bx − cx)2 + (by − cy )2

OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )⇐⇒ axby+aycx+bxcy−axcy−aybx−bycx = 0

Íåìíîãî àëãåáðû

EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )⇐⇒⇐⇒ (ax − bx)2 + (ay − by )2 = (cx − dx)2 + (cy − dy )2

OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

⇐⇒

⇐⇒ EqDistance(ax , ay , cx , cy , bx , by , cx , cy )

⇐⇒ (ax − cx)2 + (ay − cy )2 = (bx − cx)2 + (by − cy )2

OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )⇐⇒ axby+aycx+bxcy−axcy−aybx−bycx = 0

Íåìíîãî àëãåáðû

EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )⇐⇒⇐⇒ (ax − bx)2 + (ay − by )2 = (cx − dx)2 + (cy − dy )2

OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )

⇐⇒⇐⇒ EqDistance(ax , ay , cx , cy , bx , by , cx , cy )

⇐⇒ (ax − cx)2 + (ay − cy )2 = (bx − cx)2 + (by − cy )2

OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )⇐⇒ axby+aycx+bxcy−axcy−aybx−bycx = 0

Íåìíîãî àëãåáðû

EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )⇐⇒⇐⇒ (ax − bx)2 + (ay − by )2 = (cx − dx)2 + (cy − dy )2

OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )⇐⇒⇐⇒ EqDistance(ax , ay , cx , cy , bx , by , cx , cy )

⇐⇒ (ax − cx)2 + (ay − cy )2 = (bx − cx)2 + (by − cy )2

OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )⇐⇒ axby+aycx+bxcy−axcy−aybx−bycx = 0

Íåìíîãî àëãåáðû

EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )⇐⇒⇐⇒ (ax − bx)2 + (ay − by )2 = (cx − dx)2 + (cy − dy )2

OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )⇐⇒⇐⇒ EqDistance(ax , ay , cx , cy , bx , by , cx , cy )

⇐⇒ (ax − cx)2 + (ay − cy )2 = (bx − cx)2 + (by − cy )2

OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )⇐⇒ axby+aycx+bxcy−axcy−aybx−bycx = 0

Íåìíîãî àëãåáðû

EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )⇐⇒⇐⇒ (ax − bx)2 + (ay − by )2 = (cx − dx)2 + (cy − dy )2

OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )⇐⇒⇐⇒ EqDistance(ax , ay , cx , cy , bx , by , cx , cy )

⇐⇒ (ax − cx)2 + (ay − cy )2 = (bx − cx)2 + (by − cy )2

OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )

⇐⇒ axby+aycx+bxcy−axcy−aybx−bycx = 0

Íåìíîãî àëãåáðû

EqDistance(ax , ay , bx , by , cx , cy , dx , dy )⇐⇒⇐⇒ (ax − bx)2 + (ay − by )2 = (cx − dx)2 + (cy − dy )2

OnCircle(ax , ay , bx , by , cx , cy )⇐⇒⇐⇒ EqDistance(ax , ay , cx , cy , bx , by , cx , cy )

⇐⇒ (ax − cx)2 + (ay − cy )2 = (bx − cx)2 + (by − cy )2

OnLine(ax , ay , bx , by , cx , cy )⇐⇒ axby+aycx+bxcy−axcy−aybx−bycx = 0

Òåîðåìà î ïåðåñå÷åíèè ìåäèàí

Êàêîâû áû íè áûëè ÷èñëà a1,x , a1,y , a2,x , a2,y , a3,x , a3,y , ñóùåñòâóþò÷èñëà b1,x , b1,y , b2,x , b2,y , b3,x , b3,y , cx è cy òàêèå, ÷òî

(a1,x 6= a2,x ∨ a1,y 6= a2,y ) ∧ (a1,x 6= a3,x ∨ a1,y 6= a3,y )∧∧ (a2,x 6= a3,x ∨ a2,y 6= a3,y )⇒

⇒ a1,xa2,y + a1,yb3,x + a2,xb3,y − a1,xb3,y − a1,ya2,x − a2,yb3,x = 0∧∧ a2,xa3,y + a2,yb1,x + a3,xb1,y − a2,xb1,y − a2,ya3,x − a3,yb1,x = 0∧∧ a1,xa3,y + a1,yb2,x + a3,xb2,y − a1,xb2,y − a1,ya3,x − a3,yb2,x = 0∧∧ a1,xb1,y + a1,ycx + b1,xcy − a1,xcy − a1,yb1,x − b1,ycx = 0∧∧ a2,xb2,y + a2,ycx + b2,xcy − a2,xcy − a2,yb2,x − b2,ycx = 0∧∧ a3,xb3,y + a3,ycx + b3,xcy − a3,xcy − a3,yb3,x − b3,ycx = 0∧∧ (a1,x − b2,x)2 + (a1,y − b2,y )2 = (b2,x − a3,x)2 + (b2,y − a3,y )2 ∧∧ (a2,x − b1,x)2 + (a2,y − b1,y )2 = (b1,x − a3,x)2 + (b1,y − a3,y )2 ∧∧ (a1,x − b3,x)2 + (a1,y − b3,y )2 = (b3,x − a2,x)2 + (b3,y − a2,y )2

Áîëüøàÿ Ñîâåòñêàÿ Ýíöèêëîïåäèÿ:

Àëãåáðà � îäèí èç áîëüøèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè,

ïðèíàäëåæàùèé íàðÿäó ñ àðèôìåòèêîé è ãåîìåòðèåé ê

÷èñëó ñòàðåéøèõ âåòâåé ýòîé íàóêè. Çàäà÷è, à òàêæå

ìåòîäû àëãåáðû, îòëè÷àþùèå åå îò äðóãèõ îòðàñëåé

ìàòåìàòèêè, ñîçäàâàëèñü ïîñòåïåííî, íà÷èíàÿ ñ äðåâíîñòè.

Àëãåáðà âîçíèêëà ïîä âëèÿíèåì íóæä îáùåñòâåííîé

ïðàêòèêè, è â ðåçóëüòàòå ïîèñêà îáùèõ ïðèåìîâ äëÿ

ðåøåíèÿ îäíîòèïíûõ àðèôìåòè÷åñêèõ çàäà÷. . . .

Áîëüøàÿ Ñîâåòñêàÿ Ýíöèêëîïåäèÿ:

Àëãåáðà � îäèí èç áîëüøèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè,

ïðèíàäëåæàùèé íàðÿäó ñ àðèôìåòèêîé è ãåîìåòðèåé ê

÷èñëó ñòàðåéøèõ âåòâåé ýòîé íàóêè. Çàäà÷è, à òàêæå

ìåòîäû àëãåáðû, îòëè÷àþùèå åå îò äðóãèõ îòðàñëåé

ìàòåìàòèêè, ñîçäàâàëèñü ïîñòåïåííî, íà÷èíàÿ ñ äðåâíîñòè.

Àëãåáðà âîçíèêëà ïîä âëèÿíèåì íóæä îáùåñòâåííîé

ïðàêòèêè, è â ðåçóëüòàòå ïîèñêà îáùèõ ïðèåìîâ äëÿ

ðåøåíèÿ îäíîòèïíûõ àðèôìåòè÷åñêèõ çàäà÷. . . .

Ìàòåìàòè÷åñêèé Ýíöèêëîïåäè÷åñêèé Ñëîâàðü:

ÀËÃÅÁÐÀ �

1. ÷àñòü ìàòåìàòèêè.  ýòîì ïîíèìàíèè òåðìèí

"Àëãåáðà" óïîòðåáëÿåòñÿ â òàêèõ ñî÷åòàíèÿõ, êàê

ãîìîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà, êîììóòàòèâíàÿ àëãåáðà,

ëèíåéíàÿ àëãåáðà, òîïîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà. . . .

2. Àëãåáðà íàä ïîëåì P, íàç. òàêæå ë è í å é í î é

à ë ã å á ð î é. Àëãåáðà â ýòîì ñìûñëå åñòü êîëüöî, â

êîòîðîì îïðåäåëåíî óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ íà íà

ýëåìåíòû èç P, óäîâëåòâîðÿþùåå åñòåñòâåííûì

àêñèîìàì . . .

3. Òî æå, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ àëãåáðà.

Ìàòåìàòè÷åñêèé Ýíöèêëîïåäè÷åñêèé Ñëîâàðü:

ÀËÃÅÁÐÀ �

1. ÷àñòü ìàòåìàòèêè.  ýòîì ïîíèìàíèè òåðìèí

"Àëãåáðà" óïîòðåáëÿåòñÿ â òàêèõ ñî÷åòàíèÿõ, êàê

ãîìîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà, êîììóòàòèâíàÿ àëãåáðà,

ëèíåéíàÿ àëãåáðà, òîïîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà. . . .

2. Àëãåáðà íàä ïîëåì P, íàç. òàêæå ë è í å é í î é

à ë ã å á ð î é. Àëãåáðà â ýòîì ñìûñëå åñòü êîëüöî, â

êîòîðîì îïðåäåëåíî óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ íà íà

ýëåìåíòû èç P, óäîâëåòâîðÿþùåå åñòåñòâåííûì

àêñèîìàì . . .

3. Òî æå, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ àëãåáðà.

Ìàòåìàòè÷åñêèé Ýíöèêëîïåäè÷åñêèé Ñëîâàðü:

ÀËÃÅÁÐÀ �1. ÷àñòü ìàòåìàòèêè.  ýòîì ïîíèìàíèè òåðìèí

"Àëãåáðà" óïîòðåáëÿåòñÿ â òàêèõ ñî÷åòàíèÿõ, êàê

ãîìîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà, êîììóòàòèâíàÿ àëãåáðà,

ëèíåéíàÿ àëãåáðà, òîïîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà. . . .

2. Àëãåáðà íàä ïîëåì P, íàç. òàêæå ë è í å é í î é

à ë ã å á ð î é. Àëãåáðà â ýòîì ñìûñëå åñòü êîëüöî, â

êîòîðîì îïðåäåëåíî óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ íà íà

ýëåìåíòû èç P, óäîâëåòâîðÿþùåå åñòåñòâåííûì

àêñèîìàì . . .

3. Òî æå, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ àëãåáðà.

Ìàòåìàòè÷åñêèé Ýíöèêëîïåäè÷åñêèé Ñëîâàðü:

ÀËÃÅÁÐÀ �1. ÷àñòü ìàòåìàòèêè.  ýòîì ïîíèìàíèè òåðìèí

"Àëãåáðà" óïîòðåáëÿåòñÿ â òàêèõ ñî÷åòàíèÿõ, êàê

ãîìîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà, êîììóòàòèâíàÿ àëãåáðà,

ëèíåéíàÿ àëãåáðà, òîïîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà. . . .

2. Àëãåáðà íàä ïîëåì P, íàç. òàêæå ë è í å é í î é

à ë ã å á ð î é. Àëãåáðà â ýòîì ñìûñëå åñòü êîëüöî, â

êîòîðîì îïðåäåëåíî óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ íà íà

ýëåìåíòû èç P, óäîâëåòâîðÿþùåå åñòåñòâåííûì

àêñèîìàì . . .

3. Òî æå, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ àëãåáðà.

Ìàòåìàòè÷åñêèé Ýíöèêëîïåäè÷åñêèé Ñëîâàðü:

ÀËÃÅÁÐÀ �1. ÷àñòü ìàòåìàòèêè.  ýòîì ïîíèìàíèè òåðìèí

"Àëãåáðà" óïîòðåáëÿåòñÿ â òàêèõ ñî÷åòàíèÿõ, êàê

ãîìîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà, êîììóòàòèâíàÿ àëãåáðà,

ëèíåéíàÿ àëãåáðà, òîïîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà. . . .

2. Àëãåáðà íàä ïîëåì P, íàç. òàêæå ë è í å é í î é

à ë ã å á ð î é. Àëãåáðà â ýòîì ñìûñëå åñòü êîëüöî, â

êîòîðîì îïðåäåëåíî óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ íà íà

ýëåìåíòû èç P, óäîâëåòâîðÿþùåå åñòåñòâåííûì

àêñèîìàì . . .

3. Òî æå, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ àëãåáðà.

Èîãàíí Êàðë Ôðèäðèõ Ãàóññ ?:

Àëãåáðà � ýòî àðèôìåòèêà äëÿ ëåíòÿåâ

Àëãåáðà � ýòî ãåîìåòðèÿ äëÿ ëåíòÿåâ

Èîãàíí Êàðë Ôðèäðèõ Ãàóññ ?:

Àëãåáðà � ýòî àðèôìåòèêà äëÿ ëåíòÿåâ

Àëãåáðà � ýòî ãåîìåòðèÿ äëÿ ëåíòÿåâ

Èîãàíí Êàðë Ôðèäðèõ Ãàóññ ?:

Àëãåáðà � ýòî àðèôìåòèêà äëÿ ëåíòÿåâ

Àëãåáðà � ýòî ãåîìåòðèÿ äëÿ ëåíòÿåâ

ßçûê A

I îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, 2,-3,5/7,-451/53,. . .

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, a, b, c, . . . , a1, b2, x6, . . .

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿìíîãî÷ëåíû

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <, ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ýëåìåíòàðíûåôîðìóëû

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <, ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ýëåìåíòàðíûåôîðìóëû:

åñëè P è Q � ìíîãî÷ëåíû, òî P = Q, P > Q, P < Q �

ýëåìåíòàðíûå ôîðìóëû

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè

∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ") , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ") , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:åñëè Φ è Ψ � ôîðìóëû, òî (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ") , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:åñëè Φ è Ψ � ôîðìóëû, òî (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè.

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ") , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:åñëè Φ è Ψ � ôîðìóëû, òî (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè.

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè (∗)?

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ") , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:åñëè Φ è Ψ � ôîðìóëû, òî (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè.

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè (∗) ïðè x = 4, y = 5?

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ") , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:åñëè Φ è Ψ � ôîðìóëû, òî (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè.

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè (∗) ïðè x = 4, y = 5?Âåðíî ëè (∗) ïðè ëþáûõ x , y?

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ") , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:åñëè Φ è Ψ � ôîðìóëû, òî (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè.

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè (∗) ïðè x = 4, y = 5?Âåðíî ëè (∗) ïðè ëþáûõ x , y?Ñóùåñòâóþò ëè x , y òàêèå, ÷òî âûïîëíåíî (∗)?

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ") , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:åñëè Φ è Ψ � ôîðìóëû, òî (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè.

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè (∗) ïðè x = 4, y = 5?Âåðíî ëè (∗) ïðè ëþáûõ x , y?Ñóùåñòâóþò ëè x , y òàêèå, ÷òî âûïîëíåíî (∗)?Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî

âûïîëíåíî (∗)?

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ") , ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:åñëè Φ è Ψ � ôîðìóëû, òî (Φ ∧ Ψ) , (Φ ∨ Ψ), ¬Φ, (Φ =⇒ Ψ)

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè.

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè (∗) ïðè x = 4, y = 5?Âåðíî ëè (∗) ïðè ëþáûõ x , y?Ñóùåñòâóþò ëè x , y òàêèå, ÷òî âûïîëíåíî (∗)?Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî

âûïîëíåíî (∗)?

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû

∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò"), ñ èõ ïîìîùüþñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:

åñëè Φ � ôîðìóëà, à α � ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò"), ñ èõ ïîìîùüþñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:

åñëè Φ � ôîðìóëà, à α � ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò"), ñ èõ ïîìîùüþñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:

åñëè Φ � ôîðìóëà, à α � ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè (∗) ïðè ëþáûõ x , y?

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò"), ñ èõ ïîìîùüþñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:

åñëè Φ � ôîðìóëà, à α � ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè (∗) ïðè ëþáûõ x , y?

∀x∀y{x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y}

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò"), ñ èõ ïîìîùüþñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:

åñëè Φ � ôîðìóëà, à α � ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Ñóùåñòâóþò ëè x , y òàêèå, ÷òî âûïîëíåíî (∗)?

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò"), ñ èõ ïîìîùüþñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:

åñëè Φ � ôîðìóëà, à α � ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Ñóùåñòâóþò ëè x , y òàêèå, ÷òî âûïîëíåíî (∗)?

∃x∃y{x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y}

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò"), ñ èõ ïîìîùüþñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:

åñëè Φ � ôîðìóëà, à α � ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî

âûïîëíåíî (∗)?

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò"), ñ èõ ïîìîùüþñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:

åñëè Φ � ôîðìóëà, à α � ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

Âåðíî ëè, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî

âûïîëíåíî (∗)?

∀x∃y{x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y}

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò"), ñ èõ ïîìîùüþñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:

åñëè Φ � ôîðìóëà, à α � ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

∀x∃y{x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y}

∀x{∃y{x2y + 4xy3 > (x − y)2} ∧ ∃y{xy = 3x + 2y}}

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò"), ñ èõ ïîìîùüþñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:

åñëè Φ � ôîðìóëà, à α � ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

∀x∃y{x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y}∀x{∃y{x2y + 4xy3 > (x − y)2} ∧ ∃y{xy = 3x + 2y}}

∀x{∃y{x2y + 4xy3 > (x − y)2} ∧ xy = 3x + 2y}

ßçûê AI îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ

I îòíîøåíèÿ =, >, <

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè . . . ,òî . . . ")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò"), ñ èõ ïîìîùüþñòðîÿòñÿ ôîðìóëû:

åñëè Φ � ôîðìóëà, à α � ïåðåìåííàÿ, òî ∀α{Φ}, ∃α{Φ}òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y (∗)

∀x∃y{x2y + 4xy3 > (x − y)2 ∧ xy = 3x + 2y}∀x{∃y{x2y + 4xy3 > (x − y)2} ∧ ∃y{xy = 3x + 2y}}

∀x{∃y{x2y + 4xy3 > (x − y)2} ∧ xy = 3x + 2y}

Òåîðåìà Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïî ëþáîé ôîðìóëå ÿçûêà A áåçñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ óçíàâàòü çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ, ÿâëÿåòñÿëè ýòà ôîðìóëà èñòèííîé.

Àëü-Õîðåçìè Àáó Àáäàëëà Ìóõàììåä áåí Ìóññà

Æèë ïðèìåðíî â 787-850

"Êèòàá àëü-ìóõòàñàð ôè õèñàá àëü-ãàáð â'àëìóêêàáàëëà"

Àëü-Õîðåçìè Àáó Àáäàëëà Ìóõàììåä áåí Ìóññà

Æèë ïðèìåðíî â 787-850

"Êèòàá àëü-ìóõòàñàð ôè õèñàá àëü-ãàáð â'àëìóêêàáàëëà"

Àëü-Õîðåçìè Àáó Àáäàëëà Ìóõàììåä áåí Ìóññà

Æèë ïðèìåðíî â 787-850

"Êèòàá àëü-ìóõòàñàð ôè õèñàá àëü-ãàáð â'àëìóêêàáàëëà"

ßçûê A

(íîâàÿ âåðñèÿ)

I îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îòíîøåíèÿ =, >, <, ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ýëåìåíòàðíûåôîðìóëû: åñëè P è Q � ìíîãî÷ëåíû, òî P = Q, P > Q, P < Q �ýëåìåíòàðíûå ôîðìóëû

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè ...,òî ...")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

ßçûê A (íîâàÿ âåðñèÿ)I îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

I ïåðåìåííûå äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I îòíîøåíèÿ =, >, <, ñ èõ ïîìîùüþ ñòðîÿòñÿ ýëåìåíòàðíûåôîðìóëû: åñëè P � ìíîãî÷ëåí, òî P = 0, P > 0, P < 0 �ýëåìåíòàðíûå ôîðìóëû

I ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ∧ ("è"), ∨ ("èëè"), ¬ ("íå"), =⇒ ("åñëè ...,òî ...")

I êâàíòîðû ∀ ("äëÿ âñåõ"), ∃ ("ñóùåñòâóåò")

Òåîðåìà Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïî ëþáîé ôîðìóëå ÿçûêà A áåçñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ óçíàâàòü çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ, ÿâëÿåòñÿëè ýòà ôîðìóëà èñòèííîé.

Òðèâèàëüíûé ñëó÷àé � áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà

Áàçà èíäóêöèè � îäíîêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà, ∃xΦ(x) èëè ∀xΦ(x)

Òåîðåìà Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïî ëþáîé ôîðìóëå ÿçûêà A áåçñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ óçíàâàòü çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ, ÿâëÿåòñÿëè ýòà ôîðìóëà èñòèííîé.

Òðèâèàëüíûé ñëó÷àé � áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà

Áàçà èíäóêöèè � îäíîêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà, ∃xΦ(x) èëè ∀xΦ(x)

Òåîðåìà Àëüôðåäà Òàðñêîãî

Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïî ëþáîé ôîðìóëå ÿçûêà A áåçñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ óçíàâàòü çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ, ÿâëÿåòñÿëè ýòà ôîðìóëà èñòèííîé.

Òðèâèàëüíûé ñëó÷àé � áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà

Áàçà èíäóêöèè � îäíîêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà, ∃xΦ(x) èëè ∀xΦ(x)

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 = 0

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 = 0

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 = 0

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 = 0

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 = 0

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 > 0

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 > 0

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 > 0

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 > 0

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 < 0

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 < 0

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 < 0

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Îñíîâíàÿ èäåÿ

1

2+

11

20x − 11

20x2 − 13

20x3 +

1

20x4 +

1

10x5 < 0

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (1-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1(x), . . . ,Pk(x); íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòèìû ñ÷èòàåì, ÷òî

x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn

3. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà M = {y0, . . . , ym} ⊃ Nòàêîãî, ÷òî

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 < i ≤ n, ñóùåñòâóåò j , òàêîå ÷òî

0 < i ≤ n è xi−1 < yj < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, y0 < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, xi < ym

4. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∧ . . . ∧ Φ(ym)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (1-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1(x), . . . ,Pk(x); íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòèìû ñ÷èòàåì, ÷òî

x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn

3. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà M = {y0, . . . , ym} ⊃ Nòàêîãî, ÷òî

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 < i ≤ n, ñóùåñòâóåò j , òàêîå ÷òî

0 < i ≤ n è xi−1 < yj < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, y0 < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, xi < ym

4. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∧ . . . ∧ Φ(ym)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (1-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1(x), . . . ,Pk(x);

íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòèìû ñ÷èòàåì, ÷òî

x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn

3. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà M = {y0, . . . , ym} ⊃ Nòàêîãî, ÷òî

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 < i ≤ n, ñóùåñòâóåò j , òàêîå ÷òî

0 < i ≤ n è xi−1 < yj < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, y0 < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, xi < ym

4. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∧ . . . ∧ Φ(ym)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (1-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1(x), . . . ,Pk(x); íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòèìû ñ÷èòàåì, ÷òî

x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn

3. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà M = {y0, . . . , ym} ⊃ Nòàêîãî, ÷òî

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 < i ≤ n, ñóùåñòâóåò j , òàêîå ÷òî

0 < i ≤ n è xi−1 < yj < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, y0 < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, xi < ym

4. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∧ . . . ∧ Φ(ym)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (1-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1(x), . . . ,Pk(x); íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòèìû ñ÷èòàåì, ÷òî

x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn

3. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà M = {y0, . . . , ym} ⊃ Nòàêîãî, ÷òî

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 < i ≤ n, ñóùåñòâóåò j , òàêîå ÷òî

0 < i ≤ n è xi−1 < yj < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, y0 < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, xi < ym

4. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∧ . . . ∧ Φ(ym)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (1-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1(x), . . . ,Pk(x); íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòèìû ñ÷èòàåì, ÷òî

x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn

3. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà M = {y0, . . . , ym} ⊃ Nòàêîãî, ÷òî

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 < i ≤ n, ñóùåñòâóåò j , òàêîå ÷òî

0 < i ≤ n è xi−1 < yj < xi

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, y0 < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, xi < ym

4. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∧ . . . ∧ Φ(ym)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (1-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1(x), . . . ,Pk(x); íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòèìû ñ÷èòàåì, ÷òî

x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn

3. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà M = {y0, . . . , ym} ⊃ Nòàêîãî, ÷òî

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 < i ≤ n, ñóùåñòâóåò j , òàêîå ÷òî

0 < i ≤ n è xi−1 < yj < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, y0 < xi

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, xi < ym

4. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∧ . . . ∧ Φ(ym)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (1-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1(x), . . . ,Pk(x); íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòèìû ñ÷èòàåì, ÷òî

x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn

3. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà M = {y0, . . . , ym} ⊃ Nòàêîãî, ÷òî

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 < i ≤ n, ñóùåñòâóåò j , òàêîå ÷òî

0 < i ≤ n è xi−1 < yj < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, y0 < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, xi < ym

4. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∧ . . . ∧ Φ(ym)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (1-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1(x), . . . ,Pk(x); íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòèìû ñ÷èòàåì, ÷òî

x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn

3. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà M = {y0, . . . , ym} ⊃ Nòàêîãî, ÷òî

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 < i ≤ n, ñóùåñòâóåò j , òàêîå ÷òî

0 < i ≤ n è xi−1 < yj < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, y0 < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, xi < ym

4. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∧ . . . ∧ Φ(ym)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (1-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P1(x), . . . ,Pk(x); íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòèìû ñ÷èòàåì, ÷òî

x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn

3. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâà M = {y0, . . . , ym} ⊃ Nòàêîãî, ÷òî

I äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 < i ≤ n, ñóùåñòâóåò j , òàêîå ÷òî

0 < i ≤ n è xi−1 < yj < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, y0 < xiI äëÿ ëþáîãî i , òàêîãî ÷òî 0 ≤ i ≤ n, xi < ym

4. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∨ · · · ∨ Φ(ym)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(y0) ∧ . . . ∧ Φ(ym)

Íóëè ïðîèçâîäíîé

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâàM = {x−∞, x0, x1, . . . , xn, x+∞}, ãäå x−∞ è x+∞ � òàêèå ÷èñëà,÷òî x−∞ < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn < x+∞

5. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∨ Φ(x0) ∨ · · · ∨ Φ(xn) ∨ Φ(x+∞)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∧ Φ(x0) ∧ . . . ∧ Φ(xn) ∧ Φ(x+∞)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâàM = {x−∞, x0, x1, . . . , xn, x+∞}, ãäå x−∞ è x+∞ � òàêèå ÷èñëà,÷òî x−∞ < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn < x+∞

5. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∨ Φ(x0) ∨ · · · ∨ Φ(xn) ∨ Φ(x+∞)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∧ Φ(x0) ∧ . . . ∧ Φ(xn) ∧ Φ(x+∞)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâàM = {x−∞, x0, x1, . . . , xn, x+∞}, ãäå x−∞ è x+∞ � òàêèå ÷èñëà,÷òî x−∞ < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn < x+∞

5. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∨ Φ(x0) ∨ · · · ∨ Φ(xn) ∨ Φ(x+∞)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∧ Φ(x0) ∧ . . . ∧ Φ(xn) ∧ Φ(x+∞)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâàM = {x−∞, x0, x1, . . . , xn, x+∞}, ãäå x−∞ è x+∞ � òàêèå ÷èñëà,÷òî x−∞ < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn < x+∞

5. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∨ Φ(x0) ∨ · · · ∨ Φ(xn) ∨ Φ(x+∞)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∧ Φ(x0) ∧ . . . ∧ Φ(xn) ∧ Φ(x+∞)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâàM = {x−∞, x0, x1, . . . , xn, x+∞}, ãäå x−∞ è x+∞ � òàêèå ÷èñëà,÷òî x−∞ < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn < x+∞

5. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∨ Φ(x0) ∨ · · · ∨ Φ(xn) ∨ Φ(x+∞)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∧ Φ(x0) ∧ . . . ∧ Φ(xn) ∧ Φ(x+∞)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâàM = {x−∞, x0, x1, . . . , xn, x+∞}, ãäå x−∞ è x+∞ � òàêèå ÷èñëà,÷òî x−∞ < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn < x+∞

5. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∨ Φ(x0) ∨ · · · ∨ Φ(xn) ∨ Φ(x+∞)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∧ Φ(x0) ∧ . . . ∧ Φ(xn) ∧ Φ(x+∞)

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ) äëÿ QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Íàéòè ìíîæåñòâî N = {x0, . . . , xn}, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðíåéâñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî N äî ìíîæåñòâàM = {x−∞, x0, x1, . . . , xn, x+∞}, ãäå x−∞ è x+∞ � òàêèå ÷èñëà,÷òî x−∞ < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn < x+∞

5. I Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∨ Φ(x0) ∨ · · · ∨ Φ(xn) ∨ Φ(x+∞)

I Ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè

Φ(x−∞) ∧ Φ(x0) ∧ . . . ∧ Φ(xn) ∧ Φ(x+∞)

Òàáëèöà Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x) T0(x−∞) T0(x0)

. . .

T0(xj)

. . .

T0(xn) T0(x+∞)

...

......

. . ....

. . ....

...

Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0)

. . .

Ti (xj)

. . .

Ti (xn) Ti (x+∞)

...

......

. . ....

. . ....

...

Tk(x) Tk(x−∞) Tk(x0)

. . .

Tk(xj)

. . .

Tk(xn) Tk(x+∞)

x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞

∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (xj) = 0)}}

∀i∀x{(Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (x) = 0)⇒ ∃j{0 ≤ j ≤ n ∧ x = xj}}

Òàáëèöà Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x)

T0(x−∞) T0(x0)

. . .

T0(xj)

. . .

T0(xn) T0(x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Ti (x)

Ti (x−∞) Ti (x0)

. . .

Ti (xj)

. . .

Ti (xn) Ti (x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Tk(x)

Tk(x−∞) Tk(x0)

. . .

Tk(xj)

. . .

Tk(xn) Tk(x+∞)

x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞

∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (xj) = 0)}}

∀i∀x{(Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (x) = 0)⇒ ∃j{0 ≤ j ≤ n ∧ x = xj}}

Òàáëèöà Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x)

T0(x−∞) T0(x0)

. . .

T0(xj)

. . .

T0(xn) T0(x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Ti (x)

Ti (x−∞) Ti (x0)

. . .

Ti (xj)

. . .

Ti (xn) Ti (x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Tk(x)

Tk(x−∞) Tk(x0)

. . .

Tk(xj)

. . .

Tk(xn) Tk(x+∞)

x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞

∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (xj) = 0)}}

∀i∀x{(Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (x) = 0)⇒ ∃j{0 ≤ j ≤ n ∧ x = xj}}

Òàáëèöà Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x)

T0(x−∞) T0(x0)

. . .

T0(xj)

. . .

T0(xn) T0(x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Ti (x)

Ti (x−∞) Ti (x0)

. . . Ti (xj) . . .

Ti (xn) Ti (x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Tk(x)

Tk(x−∞) Tk(x0)

. . .

Tk(xj)

. . .

Tk(xn) Tk(x+∞)

x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞

∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (xj) = 0)}}

∀i∀x{(Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (x) = 0)⇒ ∃j{0 ≤ j ≤ n ∧ x = xj}}

Òàáëèöà Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x)

T0(x−∞) T0(x0)

. . . T0(xj) . . .

T0(xn) T0(x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Ti (x)

Ti (x−∞) Ti (x0)

. . . Ti (xj) . . .

Ti (xn) Ti (x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Tk(x)

Tk(x−∞) Tk(x0)

. . . Tk(xj) . . .

Tk(xn) Tk(x+∞)

x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞

∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (xj) = 0)}}

∀i∀x{(Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (x) = 0)⇒ ∃j{0 ≤ j ≤ n ∧ x = xj}}

Òàáëèöà Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x)

T0(x−∞) T0(x0)

. . . T0(xj) . . .

T0(xn) T0(x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Tk(x)

Tk(x−∞) Tk(x0)

. . . Tk(xj) . . .

Tk(xn) Tk(x+∞)

x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞

∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (xj) = 0)}}

∀i∀x{(Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (x) = 0)⇒ ∃j{0 ≤ j ≤ n ∧ x = xj}}

Òàáëèöà Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x) T0(x−∞) T0(x0) . . . T0(xj) . . . T0(xn) T0(x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Tk(x) Tk(x−∞) Tk(x0) . . . Tk(xj) . . . Tk(xn) Tk(x+∞)

x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞

∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (xj) = 0)}}

∀i∀x{(Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (x) = 0)⇒ ∃j{0 ≤ j ≤ n ∧ x = xj}}

Òàáëèöà Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x) T0(x−∞) T0(x0) . . . T0(xj) . . . T0(xn) T0(x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Tk(x) Tk(x−∞) Tk(x0) . . . Tk(xj) . . . Tk(xn) Tk(x+∞)

x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞

∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (xj) = 0)}}

∀i∀x{(Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (x) = 0)⇒ ∃j{0 ≤ j ≤ n ∧ x = xj}}

Òàáëèöà Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x) T0(x−∞) T0(x0) . . . T0(xj) . . . T0(xn) T0(x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Tk(x) Tk(x−∞) Tk(x0) . . . Tk(xj) . . . Tk(xn) Tk(x+∞)

x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞

∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (xj) = 0)}}

∀i∀x{(Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (x) = 0)⇒ ∃j{0 ≤ j ≤ n ∧ x = xj}}

Òàáëèöà Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x) T0(x−∞) T0(x0) . . . T0(xj) . . . T0(xn) T0(x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)

......

.... . .

.... . .

......

Tk(x) Tk(x−∞) Tk(x0) . . . Tk(xj) . . . Tk(xn) Tk(x+∞)

x−∞ < x0 < · · · < xj < · · · < xn < x+∞

∀j {0 ≤ j ≤ n =⇒ ∃i{Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (xj) = 0)}}

∀i∀x{(Ti (x) 6≡ 0 ∧ Ti (x) = 0)⇒ ∃j{0 ≤ j ≤ n ∧ x = xj}}

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(xj) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞P0(x) P0(x−∞) P0(x0) . . . P0(xj) . . . P0(xn) P0(x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) Pi (x−∞) Pi (x0) . . . Pi (xj) . . . Pi (xn) Pi (x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) Pk(x−∞) Pk(x0) . . . Pk(xj) . . . Pk(xn) Pk(x+∞)Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(xj) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞P0(x) P0(x−∞) P0(x0) . . . P0(xj) . . . P0(xn) P0(x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) Pi (x−∞) Pi (x0) . . . Pi (xj) . . . Pi (xn) Pi (x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) Pk(x−∞) Pk(x0) . . . Pk(xj) . . . Pk(xn) Pk(x+∞)Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(xj) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞P0(x) P0(x−∞) P0(x0) . . . P0(xj) . . . P0(xn) P0(x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) Pi (x−∞) Pi (x0) . . . Pi (xj) . . . Pi (xn) Pi (x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) Pk(x−∞) Pk(x0) . . . Pk(xj) . . . Pk(xn) Pk(x+∞)Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(xj) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞P0(x) P0(x−∞) P0(x0) . . . P0(xj) . . . P0(xn) P0(x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) Pi (x−∞) Pi (x0) . . . Pi (xj) . . . Pi (xn) Pi (x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) Pk(x−∞) Pk(x0) . . . Pk(xj) . . . Pk(xn) Pk(x+∞)Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(xj) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞P0(x) P0(x−∞) P0(x0) . . . P0(xj) . . . P0(xn) P0(x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) Pi (x−∞) Pi (x0) . . . Pi (xj) . . . Pi (xn) Pi (x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) Pk(x−∞) Pk(x0) . . . Pk(xj) . . . Pk(xn) Pk(x+∞)Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ áåñêâàíòîðíóþ ôîðìóëó Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãîíóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(xj) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

x−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞P0(x) P0(x−∞) P0(x0) . . . P0(xj) . . . P0(xn) P0(x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) Pi (x−∞) Pi (x0) . . . Pi (xj) . . . Pi (xn) Pi (x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) Pk(x−∞) Pk(x0) . . . Pk(xj) . . . Pk(xn) Pk(x+∞)Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

Ñîêðàùåííàÿ

òàáëèöà Òàðñêîãîx−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x) T0(x−∞) T0(x0) . . . T0(xj) . . . T0(xn) T0(x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Ti (x) Ti (x−∞) Ti (x0) . . . Ti (xj) . . . Ti (xn) Ti (x+∞)...

......

. . ....

. . ....

...Tk(x) Tk(x−∞) Tk(x0) . . . Tk(xj) . . . Tk(xn) Tk(x+∞)Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

Ëåììà. Çíàêè − è + íå ìîãóò ñòîÿòü â äâóõ ñîñåäíèõ ïîãîðèçîíòàëè êëåòêàõ.

Ñîêðàùåííàÿ òàáëèöà Òàðñêîãîx−∞ x0 . . . xj . . . xn x+∞

T0(x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+...

......

. . ....

. . ....

...Ti (x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk(x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

Ëåììà. Çíàêè − è + íå ìîãóò ñòîÿòü â äâóõ ñîñåäíèõ ïîãîðèçîíòàëè êëåòêàõ.

Ñîêðàùåííàÿ òàáëèöà Òàðñêîãî−∞

x0 . . . xj . . . xn

+∞T0(x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+...

......

. . ....

. . ....

...Ti (x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk(x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

Ëåììà. Çíàêè − è + íå ìîãóò ñòîÿòü â äâóõ ñîñåäíèõ ïîãîðèçîíòàëè êëåòêàõ.

Ñîêðàùåííàÿ òàáëèöà Òàðñêîãî−∞

x0 . . . xj . . . xn

+∞T0(x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+...

......

. . ....

. . ....

...Ti (x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk(x) − |0|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ − |0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

Ëåììà. Çíàêè − è + íå ìîãóò ñòîÿòü â äâóõ ñîñåäíèõ ïîãîðèçîíòàëè êëåòêàõ.

Ëåììà.

Çíàêè − è + íå ìîãóò ñòîÿòü â äâóõ ñîñåäíèõ ïî ãîðèçîíòàëè

êëåòêàõ.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (ìîäèôèöèðîâàííàÿ 2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü ñîêðàùåííóþ òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü òîëüêî ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

−∞ +∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (ìîäèôèöèðîâàííàÿ 2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü ñîêðàùåííóþ òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü òîëüêî ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

−∞ +∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (ìîäèôèöèðîâàííàÿ 2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü ñîêðàùåííóþ òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü òîëüêî ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

−∞ +∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (ìîäèôèöèðîâàííàÿ 2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü ñîêðàùåííóþ òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü òîëüêî ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

−∞ +∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (ìîäèôèöèðîâàííàÿ 2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü ñîêðàùåííóþ òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü òîëüêî ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

−∞ +∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

"Àëãîðèòì" Òàðñêîãî (ìîäèôèöèðîâàííàÿ 2-ÿ âåðñèÿ)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′.

3. Ïîñòðîèòü ñîêðàùåííóþ òàáëèöó Òàðñêîãî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâP0(x),P1(x), . . . ,Pk(x).

4. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàòàáëèöû, ïîëüçóÿñü òîëüêî ñîäåðæèìûì òàáëèöû:

−∞ +∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pi (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

5. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû.

Ñîêðàùåííàÿ òàáëèöà Òàðñêîãî

−∞ +∞T0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Ti (x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+

Ïîëóíàñûùåííûå ñèñòåìû

Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ïîëóíàñûùåííîé,åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ôóíêöèåé îíà ñîäåðæèò è åå ïðîèçâîäíóþ.

Ëåììà. Êàæäóþ êîíå÷íóþ ñèñòåìó ìíîãî÷ëåíîâ ìîæíîðàñøèðèòü äî êîíå÷íîé ïîëóíàñûùåííîé ñèñòåìû.

Ïîëóíàñûùåííûå ñèñòåìû

Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ïîëóíàñûùåííîé,åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ôóíêöèåé îíà ñîäåðæèò è åå ïðîèçâîäíóþ.

Ëåììà. Êàæäóþ êîíå÷íóþ ñèñòåìó ìíîãî÷ëåíîâ ìîæíîðàñøèðèòü äî êîíå÷íîé ïîëóíàñûùåííîé ñèñòåìû.

Òàáëèöà Òàðñêîãî

−∞ xi xi+1 +∞T0(x) −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|0|+ . . . 0 0 . . . −|0|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+

Ëåììà. Åñëè ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)ïîëóíàñûùåííà è Ti (x) 6≡ 0, òî â i-îé ñòðîêå ñèìâîë 0 íå ìîæåòñòîÿòü â äâóõ ñîñåäíèõ êëåòêàõ.

Òàáëèöà Òàðñêîãî

−∞ xi xi+1 +∞T0(x) −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|0|+ . . . 0 0 . . . −|0|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+

Ëåììà. Åñëè ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)ïîëóíàñûùåííà è Ti (x) 6≡ 0, òî â i-îé ñòðîêå ñèìâîë 0 íå ìîæåòñòîÿòü â äâóõ ñîñåäíèõ êëåòêàõ.

Íàñûùåííûå ñèñòåìû

Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ïîëóíàñûùåííîé,åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ôóíêöèåé îíà ñîäåðæèò è åå ïðîèçâîäíóþ.

Îïðåäåëåíèå. Ïîëóíàñûùåííàÿ ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâT0(x), . . . ,Tn(x) íàçûâàåòñÿ íàñûùåííîé, åñëè âìåñòå ñ êàæäûìèäâóìÿ ìíîãî÷ëåíàìè Tk(x) è Tm(x) òàêèìè, ÷òî0 < degree(Tm(x)) ≤ degree(Tk(x)), îíà ñîäåðæèò è îñòàòîê R(x) îòäåëåíèÿ Tk(x) íà Tm(x).

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + R(x), degree(R(x)) < degree(Tm(x))

Íàñûùåííûå ñèñòåìû

Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ïîëóíàñûùåííîé,åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ôóíêöèåé îíà ñîäåðæèò è åå ïðîèçâîäíóþ.

Îïðåäåëåíèå. Ïîëóíàñûùåííàÿ ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâT0(x), . . . ,Tn(x) íàçûâàåòñÿ íàñûùåííîé, åñëè âìåñòå ñ êàæäûìèäâóìÿ ìíîãî÷ëåíàìè Tk(x) è Tm(x) òàêèìè, ÷òî0 < degree(Tm(x)) ≤ degree(Tk(x)), îíà ñîäåðæèò è îñòàòîê R(x) îòäåëåíèÿ Tk(x) íà Tm(x).

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + R(x), degree(R(x)) < degree(Tm(x))

Íàñûùåííûå ñèñòåìû

Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ïîëóíàñûùåííîé,åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ôóíêöèåé îíà ñîäåðæèò è åå ïðîèçâîäíóþ.

Îïðåäåëåíèå. Ïîëóíàñûùåííàÿ ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâT0(x), . . . ,Tn(x) íàçûâàåòñÿ íàñûùåííîé, åñëè âìåñòå ñ êàæäûìèäâóìÿ ìíîãî÷ëåíàìè Tk(x) è Tm(x) òàêèìè, ÷òî0 < degree(Tm(x)) ≤ degree(Tk(x)), îíà ñîäåðæèò è îñòàòîê R(x) îòäåëåíèÿ Tk(x) íà Tm(x).

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + R(x), degree(R(x)) < degree(Tm(x))

Íàñûùåííûå ñèñòåìû

Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ïîëóíàñûùåííîé,åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ôóíêöèåé îíà ñîäåðæèò è åå ïðîèçâîäíóþ.

Îïðåäåëåíèå. Ïîëóíàñûùåííàÿ ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâT0(x), . . . ,Tn(x) íàçûâàåòñÿ íàñûùåííîé, åñëè âìåñòå ñ êàæäûìèäâóìÿ ìíîãî÷ëåíàìè Tk(x) è Tm(x) òàêèìè, ÷òî0 < degree(Tm(x)) ≤ degree(Tk(x)), îíà ñîäåðæèò è îñòàòîê R(x) îòäåëåíèÿ Tk(x) íà Tm(x).

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + R(x), degree(R(x)) < degree(Tm(x))

Íàñûùåííûå ñèñòåìû

Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ïîëóíàñûùåííîé,åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ôóíêöèåé îíà ñîäåðæèò è åå ïðîèçâîäíóþ.

Îïðåäåëåíèå. Ïîëóíàñûùåííàÿ ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâT0(x), . . . ,Tn(x) íàçûâàåòñÿ íàñûùåííîé, åñëè âìåñòå ñ êàæäûìèäâóìÿ ìíîãî÷ëåíàìè Tk(x) è Tm(x) òàêèìè, ÷òî0 < degree(Tm(x)) ≤ degree(Tk(x)), îíà ñîäåðæèò è îñòàòîê R(x) îòäåëåíèÿ Tk(x) íà Tm(x).

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + R(x), degree(R(x)) < degree(Tm(x))

Ëåììà. Êàæäóþ êîíå÷íóþ ñèñòåìó ìíîãî÷ëåíîâ ìîæíîðàñøèðèòü äî êîíå÷íîé íàñûùåííîé ñèñòåìû.

Íàñûùåííûå ñèñòåìû

Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ïîëóíàñûùåííîé,åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ôóíêöèåé îíà ñîäåðæèò è åå ïðîèçâîäíóþ.

Îïðåäåëåíèå. Ïîëóíàñûùåííàÿ ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâT0(x), . . . ,Tn(x) íàçûâàåòñÿ íàñûùåííîé, åñëè âìåñòå ñ êàæäûìèäâóìÿ ìíîãî÷ëåíàìè Tk(x) è Tm(x) òàêèìè, ÷òî0 < degree(Tm(x)) ≤ degree(Tk(x)), îíà ñîäåðæèò è îñòàòîê R(x) îòäåëåíèÿ Tk(x) íà Tm(x).

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + R(x), degree(R(x)) < degree(Tm(x))

Ëåììà. Åñëè T0(x), . . . ,Tk−1(x),Tk(x) � íàñûùåííàÿ ñèñòåìàìíîãî÷ëåíîâ, è

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Tk−1(x)) ≤ degree(Tk(x)),

òî ñèñòåìà T0(x), . . . ,Tk−1(x) òàêæå ÿâëÿåòñÿ íàñûùåííîé.

Ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Tk−1(x)) ≤ degree(Tk(x))

Ñëó÷àé k = 0: ñèñòåìà èç îäíîãî ìíîãî÷ëåíà T0(x) ≡ 0

−∞ +∞T0(x) 0 0

Ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Tk−1(x)) ≤ degree(Tk(x))

Ñëó÷àé k = 0: ñèñòåìà èç îäíîãî ìíîãî÷ëåíà T0(x) ≡ 0

−∞ +∞T0(x) 0 0

Ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Tk−1(x)) ≤ degree(Tk(x))

Ñëó÷àé k = 0: ñèñòåìà èç îäíîãî ìíîãî÷ëåíà T0(x)

≡ 0

−∞ +∞T0(x) 0 0

Ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Tk−1(x)) ≤ degree(Tk(x))

Ñëó÷àé k = 0: ñèñòåìà èç îäíîãî ìíîãî÷ëåíà T0(x) ≡ 0

−∞ +∞T0(x) 0 0

Ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Tk−1(x)) ≤ degree(Tk(x))

Ñëó÷àé k = 0: ñèñòåìà èç îäíîãî ìíîãî÷ëåíà T0(x) ≡ 0

−∞ +∞T0(x) 0 0

Ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

Ñëó÷àé degree(T1(x)) = · · · = degree(Tk(x)) = 0

−∞ +∞T0(x) 0 0T1(x)

− |+ − |+

......

...Tk(x)

− |+ − |+

Ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

Ñëó÷àé degree(T1(x)) = · · · = degree(Tk(x)) = 0

−∞ +∞T0(x) 0 0T1(x)

− |+ − |+

......

...Tk(x)

− |+ − |+

Ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

Ñëó÷àé degree(T1(x)) = · · · = degree(Tk(x)) = 0

−∞ +∞T0(x) 0 0T1(x)

− |+ − |+

......

...Tk(x)

− |+ − |+

Ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

Ñëó÷àé degree(T1(x)) = · · · = degree(Tk(x)) = 0

−∞ +∞T0(x) 0 0T1(x) − |+ − |+...

......

Tk(x) − |+ − |+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) . . . . . ....

......

. . ....

. . ....

...Tk(x) . . . . . .

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x)

Tk(x) = pnxn + pn−1x

n−1 + · · ·+ p0

= pnxn(1 +

pn−1

x+ · · ·+ p0

xn

)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) ?

Tk(x)

= pnxn + pn−1x

n−1 + · · ·+ p0

= pnxn(1 +

pn−1

x+ · · ·+ p0

xn

)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) ?

Tk(x) = pnxn + pn−1x

n−1 + · · ·+ p0

= pnxn(1 +

pn−1

x+ · · ·+ p0

xn

)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) − |+

Tk(x) = pnxn + pn−1x

n−1 + · · ·+ p0

= pnxn(1 +

pn−1

x+ · · ·+ p0

xn

)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) ? − |+

Tk(x) = pnxn + pn−1x

n−1 + · · ·+ p0

= pnxn(1 +

pn−1

x+ · · ·+ p0

xn

)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) − |+ − |+

Tk(x) = pnxn + pn−1x

n−1 + · · ·+ p0

= pnxn(1 +

pn−1

x+ · · ·+ p0

xn

)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) − |+ ? − |+

Tk(x) = pnxn + pn−1x

n−1 + · · ·+ p0

= pnxn(1 +

pn−1

x+ · · ·+ p0

xn

)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ xj +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) − |+ ? − |+

Tk(x) = pnxn + pn−1x

n−1 + · · ·+ p0

= pnxn(1 +

pn−1

x+ · · ·+ p0

xn

)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ xj +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+

......

.... . .

.... . .

......

Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) −|+ ? −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ xj +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+

......

.... . .

.... . .

......

Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) −|+

− |0|+ . . .

?

. . . − |0|+

−|+

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ xj +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+

......

.... . .

.... . .

......

Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) −|+

− |0|+ . . .

?

. . . − |0|+

−|+

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ xj +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+

......

.... . .

.... . .

......

Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) −|+

− |0|+ . . .

?

. . . − |0|+

−|+

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)

Tk(xj) = Q(xj)Tm(xj) + Tn(xj)

= Tn(xj)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ xj +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+

......

.... . .

.... . .

......

Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) −|+

− |0|+ . . .

?

. . . − |0|+

−|+

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)

Tk(xj) = Q(xj)Tm(xj) + Tn(xj) = Tn(xj)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ xj +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+

......

.... . .

.... . .

......

Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) −|+

− |0|+ . . .

− |0|+

. . . − |0|+

−|+

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)

Tk(xj) = Q(xj)Tm(xj) + Tn(xj) = Tn(xj)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ xj +∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+

......

.... . .

.... . .

......

Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) −|+

− |0|+ . . .

− |0|+

. . . − |0|+

−|+

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)

Tk(xj) = Q(xj)Tm(xj) + Tn(xj) = Tn(xj)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞

xj

+∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+

......

.... . .

.... . .

......

Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) −|+

− |0|+ . . .

− |0|+

. . . − |0|+

−|+

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)

Tk(xj) = Q(xj)Tm(xj) + Tn(xj) = Tn(xj)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞

xj

+∞T0(x) 0 0 . . . 0 . . . 0 0...

......

. . ....

. . ....

...Tn(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+

......

.... . .

.... . .

......

Tm(x) −|+ −|0|+ . . . 0 . . . −|0|+ −|+...

......

. . ....

. . ....

...Tk−1(x) −|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|+Tk(x) −|+ − |0|+ . . . − |0|+ . . . − |0|+ −|+

Tk(x) = Q(x)Tm(x) + Tn(x)

Tk(xj) = Q(xj)Tm(xj) + Tn(xj) = Tn(xj)

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . −|0|+ −|0|+ . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . − |0|+ − |0|+ . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . − |0|+ ? − |0|+ . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . + ? − |0|+ . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . + + − |0|+ . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . − ? − |0|+ . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . − − − |0|+ . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . 0 ? − |0|+ . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . 0 ? + . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . 0 + + . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . 0 ? − . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . 0 − − . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Ïîñòðåíèå ñîêðàùåííîé òàáëèöû Òàðñêîãîäëÿ íàñûùåííîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ T0(x), . . . ,Tk(x)

−∞ +∞T0(x) 0 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

Ti (x) −|+ . . . 0 ? 0 . . . −|+...

.... . .

......

. . ....

Tk(x) −|+ . . . − 0 + . . . −|+

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′

3. Ðàñøèðèòü ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìû T0(x), . . . ,T`(x) c

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T`−1(x)) ≤ degree(T`(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ T0(x),T1(x), . . . ,Tm(x), m = 0, 1, 2, . . . , `

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞T0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...T`(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′

3. Ðàñøèðèòü ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìû T0(x), . . . ,T`(x) c

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T`−1(x)) ≤ degree(T`(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ T0(x),T1(x), . . . ,Tm(x), m = 0, 1, 2, . . . , `

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞T0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...T`(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′

3. Ðàñøèðèòü ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìû T0(x), . . . ,T`(x) c

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T`−1(x)) ≤ degree(T`(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ T0(x),T1(x), . . . ,Tm(x), m = 0, 1, 2, . . . , `

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞T0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...T`(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′

3. Ðàñøèðèòü ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìû T0(x), . . . ,T`(x) c

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T`−1(x)) ≤ degree(T`(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ T0(x),T1(x), . . . ,Tm(x), m = 0, 1, 2, . . . , `

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞T0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...T`(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′

3. Ðàñøèðèòü ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìû T0(x), . . . ,T`(x) c

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T`−1(x)) ≤ degree(T`(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ T0(x),T1(x), . . . ,Tm(x), m = 0, 1, 2, . . . , `

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞T0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...T`(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′

3. Ðàñøèðèòü ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìû T0(x), . . . ,T`(x) c

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T`−1(x)) ≤ degree(T`(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ T0(x),T1(x), . . . ,Tm(x), m = 0, 1, 2, . . . , `

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞T0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...T`(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê P1(x), . . . ,Pk(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí P0(x) = (P1(x) . . .Pk(x))′

3. Ðàñøèðèòü ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìû T0(x), . . . ,T`(x) c

degree(T0(x)) ≤ · · · ≤ degree(T`−1(x)) ≤ degree(T`(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ T0(x),T1(x), . . . ,Tm(x), m = 0, 1, 2, . . . , `

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞T0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...T`(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Ïåðåìåííûõ ìíîãî, íî êâàíòîðîâ ìàëî

∃x{ax + b = 0}

⇐⇒ a 6= 0 ∨ b = 0

∃x{ax2 + bx + c = 0} ⇐⇒⇐⇒ ((a 6= 0 ∧ b2 − 4ac ≥ 0) ∨ (a = 0 ∧ (b 6= 0 ∨ c = 0)))

Òåîðåìà Òàðñêîãî. Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû ÿçûêà A ñóùåñòâóåòýêâèâàëåíòíàÿ åé áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà ýòîãî æå ÿçûêà.

Ïåðåìåííûõ ìíîãî, íî êâàíòîðîâ ìàëî

∃x{ax + b = 0} ⇐⇒ a 6= 0 ∨ b = 0

∃x{ax2 + bx + c = 0} ⇐⇒⇐⇒ ((a 6= 0 ∧ b2 − 4ac ≥ 0) ∨ (a = 0 ∧ (b 6= 0 ∨ c = 0)))

Òåîðåìà Òàðñêîãî. Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû ÿçûêà A ñóùåñòâóåòýêâèâàëåíòíàÿ åé áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà ýòîãî æå ÿçûêà.

Ïåðåìåííûõ ìíîãî, íî êâàíòîðîâ ìàëî

∃x{ax + b = 0} ⇐⇒ a 6= 0 ∨ b = 0

∃x{ax2 + bx + c = 0} ⇐⇒⇐⇒ ((a 6= 0 ∧ b2 − 4ac ≥ 0) ∨ (a = 0 ∧ (b 6= 0 ∨ c = 0)))

Òåîðåìà Òàðñêîãî. Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû ÿçûêà A ñóùåñòâóåòýêâèâàëåíòíàÿ åé áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà ýòîãî æå ÿçûêà.

Ïåðåìåííûõ ìíîãî, íî êâàíòîðîâ ìàëî

∃x{ax + b = 0} ⇐⇒ a 6= 0 ∨ b = 0

∃x{ax2 + bx + c = 0} ⇐⇒⇐⇒ ((a 6= 0 ∧ b2 − 4ac ≥ 0) ∨ (a = 0 ∧ (b 6= 0 ∨ c = 0)))

Òåîðåìà Òàðñêîãî. Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû ÿçûêà A ñóùåñòâóåòýêâèâàëåíòíàÿ åé áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà ýòîãî æå ÿçûêà.

Ïåðåìåííûõ ìíîãî, íî êâàíòîðîâ ìàëî

∃x{ax + b = 0} ⇐⇒ a 6= 0 ∨ b = 0

∃x{ax2 + bx + c = 0} ⇐⇒⇐⇒ ((a 6= 0 ∧ b2 − 4ac ≥ 0) ∨ (a = 0 ∧ (b 6= 0 ∨ c = 0)))

Òåîðåìà Òàðñêîãî. Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû ÿçûêà A ñóùåñòâóåòýêâèâàëåíòíàÿ åé áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà ýòîãî æå ÿçûêà.

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê Q1(x), . . . ,Ql(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí Q0(x) = (Q1(x) . . .Ql(x))′

3. Ðàñøèðèòü ýòîò ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìûP0(x), . . . ,Pk(x) c

degree(P0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Pk−1(x)) ≤ degree(Pk(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pm(x), m = 0, 1, 2, . . . , k

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê Q1(x), . . . ,Ql(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí Q0(x) = (Q1(x) . . .Ql(x))′

3. Ðàñøèðèòü ýòîò ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìûP0(x), . . . ,Pk(x) c

degree(P0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Pk−1(x)) ≤ degree(Pk(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pm(x), m = 0, 1, 2, . . . , k

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê Q1(x), . . . ,Ql(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí Q0(x) = (Q1(x) . . .Ql(x))′

3. Ðàñøèðèòü ýòîò ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìûP0(x), . . . ,Pk(x) c

degree(P0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Pk−1(x)) ≤ degree(Pk(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pm(x), m = 0, 1, 2, . . . , k

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê Q1(x), . . . ,Ql(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí Q0(x) = (Q1(x) . . .Ql(x))′

3. Ðàñøèðèòü ýòîò ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìûP0(x), . . . ,Pk(x) c

degree(P0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Pk−1(x)) ≤ degree(Pk(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pm(x), m = 0, 1, 2, . . . , k

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê Q1(x), . . . ,Ql(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí Q0(x) = (Q1(x) . . .Ql(x))′

3. Ðàñøèðèòü ýòîò ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìûP0(x), . . . ,Pk(x) c

degree(P0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Pk−1(x)) ≤ degree(Pk(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pm(x), m = 0, 1, 2, . . . , k

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê Q1(x), . . . ,Ql(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí Q0(x) = (Q1(x) . . .Ql(x))′

3. Ðàñøèðèòü ýòîò ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìûP0(x), . . . ,Pk(x) c

degree(P0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Pk−1(x)) ≤ degree(Pk(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pm(x), m = 0, 1, 2, . . . , k

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû

Àëãîðèòì Òàðñêîãî äëÿ ôîðìóëû QxΦ(x)

1. Ñîñòàâèòü ñïèñîê Q1(x), . . . ,Ql(x) âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõâ Φ(x) è îòëè÷íûõ îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ.

2. Äîáàâèòü ìíîãî÷ëåí Q0(x) = (Q1(x) . . .Ql(x))′

3. Ðàñøèðèòü ýòîò ñïèñîê äî íàñûùåííîé ñèñòåìûP0(x), . . . ,Pk(x) c

degree(P0(x)) ≤ · · · ≤ degree(Pk−1(x)) ≤ degree(Pk(x))

4. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîñòðîèòü ñîêðàùåííûå òàáëèöû Òàðñêîãî äëÿìíîãî÷ëåíîâ P0(x),P1(x), . . . ,Pm(x), m = 0, 1, 2, . . . , k

5. Âû÷èñëèòü ëîãè÷åñêèå çíà÷åíèå Φ(x) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöàïîñëåäíåé òàáëèöû:

−∞P0(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+...

......

. . ....

. . ....

...Pk(x) −|0|+ −|0|+ . . . −|0|+ . . . −|0|+ −|0|+Φ(x) è/ë è/ë . . . è/ë . . . è/ë è/ë

6. Ôîðìóëà ∃xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêî åñëè õîòÿ áû îäíî èçýòèõ çíà÷åíèé èñòèííî; ôîðìóëà ∀xΦ(x) èñòèííà, åñëè è òîëüêîåñëè âñå ýòè çíà÷åíèÿ èñòèííû