Eric Thul

COMP 560 ­ Graph AlgorithmsMonday, November 21, 2006

Modeling Music: Graph Construction and Application

Part I: Graph­Topological Construction for Melody● Peusner (2002)

Part II: Graph Construction with Application● Gueret, Monmarche, and Slimane (2004)

Part III: Conclusions

Brief Outline

Part I: Graph­Topological Construction for Melody

What is a graph­topological construction for melody?

● Define a directed graph  = ( , )G V E  and M to be a sequence of music notes

● Let V be the collection of vertices where each vertex represents a musical note or rest. 

● Let E be the collection of edges where a directed edge uv in E represents a transition from note or rest u to note or rest v in the melody sequence M.

● We have a graph­topological model, so distance is not measured

● We only care about whether two points are connected or not

● Geometry on a rubber sheet!

What is the construction algorithm?

● Construction Algorithm

1) Define  =( , )G V E  and let  ,s t be in V such that s is the starting vertex and t is the end vertex. Also define the melody sequence M.

2) Add a vertex v to V for each note or rest in M, labeling each v with the note's pitch or r for rest.

3) Add a directed edge to E for each transition from note/rest u to note/rest v.

4) Collapse vertices with the same label.

5) Collapse edges with the same transition maintaining order with labels.

Construction Algorithm

1) Define  =( , )G V E  and let  ,s t be in V such that s is the starting vertex and t is the end vertex. Also define the melody sequence M.

 

 

Melody Sequence  =(M Eb, , , D D Eb, , , D D Eb, , , D D Bb)

Graph  = ( , )G V E

Construction Algorithm

1) Define  =( , )G V E  and let  ,s t be in V such that s is the starting vertex and t is the end vertex. Also define the melody sequence M.

2) Add a vertex v to V for each note or rest in M, labeling each v with the note's pitch or r for rest.

 

 

Melody Sequence  =(M Eb, , , D D Eb, , , D D Eb, , , D D Bb)

Graph  = ( , )G V E

Construction Algorithm

1) Define  =( , )G V E  and let  ,s t be in V such that s is the starting vertex and t is the end vertex. Also define the melody sequence M.

2) Add a vertex v to V for each note or rest in M, labeling each v with the note's pitch or r for rest.

3) Add a directed edge to E for each transition from note/rest u to note/rest v.

 

 

Melody Sequence  =(M Eb, , , D D Eb, , , D D Eb, , , D D Bb)

Graph  = ( , )G V E

Construction Algorithm

1) Define  =( , )G V E  and let  ,s t be in V such that s is the starting vertex and t is the end vertex. Also define the melody sequence M.

2) Add a vertex v to V for each note or rest in M, labeling each v with the note's pitch or r for rest.

3) Add a directed edge to E for each transition from note/rest u to note/rest v.

4) Collapse vertices with the same label.

5) Collapse edges with the same transition maintaining order with labels.

 

 

Graph  = ( , )G V E

Why did we just do this construction?

● For each topological face (cycle) we can see a theme or pattern in the melody.● Also, with larger patterns we see larger cycles.● Counting vertices, edges, and faces can be used as measures for melodies.● The same graph can be used to represent different melodies by changing the note 

values on each vertex.

Examples to follow...

Henry Mancini – Moon River

The Rolling Stone – Lady Jane

Isaac Albeniz ­ Asturias

What else can these graphs be used for?

● Graph Decomposition Procedure

1) Let H be the subgraph of G 

2) Pick a vertex v

3) Let the neighborhood  ( )N v  be those vertices connected by out­edges from v 

4) Let  { }v  ∪  ( )N v  be the vertices of H

5) Let edges connecting v to elements of  ( )N v  be the edges of H

6) Repeat for every vertex in V

● The result is a collection of disjoint subgraphs of G. 

● There is a subgraph for each vertex of G.

Why decompose the graph?

● Operations of Graph Decompositions

● INTERSECT

● Given two subgraphs  , P Q. 

● Define  P INTERSECT Q to return a graph which contains the common vertices and common edges between P and Q.

● This operation when performed pairwise on all vertices returns the original vertices of G (the notes in the melody)

● UNION

● Given two subgraphs  , P Q. ● Define  P UNION Q to return a graph where each vertex and edge is in P or Q.

● Applying this operation between subgraphs returns larger patterns in the melody.

● Applying this operation to all subgraphs returns the original graph.

Part II: Graph Construction with Application

What music applications use graph models?

● Applications within the field of Artificial Intelligence

● Consider melody composition.

● Graph models can be used in AI to generate melody.

● The following method uses this idea to compose music.

What is the following method?

What music applications use graph models?

● Applications within the field of Artificial Intelligence

● Consider melody composition.

● Graph models can be used in AI to generate melody.

● The following method uses this idea to compose music.

What is the following method?

● ANTS!

● Specifically, the AntMusic Project

● The collective behavior of artificial ants is used to produce a melody

How does the AntMusic project work?

● First, a graph model

● Define  =( , )G V E  to be a weighted digraph. Let G be fully connected.

● Each vertex v in V has the following properties

1) Pitch, simply a note

2) Duration, how long the note is played for

● Each edge e in E has the following properties

1) Positive weight value

Graph Model

How does the AntMusic project work?

● Second, an algorithm

● Initialization

1)  Randomly choose a vertex for each ant.

2)  Set the weights to a constant.

3)  Set Time to zero.

● While Time < some max time

● For each ant

1)  Choose the outgoing edge e of highest probability 

a)  Function to be defined* 

2)  Update the weight of the edge e 

a)   = + Weight Weight constant

3)  Move to the vertex incident to e and play the note

4)   = + Time Time 1 

Algorithm – Initialization Stage

How does the AntMusic project work?

● Probability function ­ each edge has a probability it will be taken by an ant

● Consider vertex i and j

● Let  ( , )e i j  be the edge from vertex i to j

● Let  ( , )w i j  be the weight on edge  ( , )e i j

● Let  ( , ) = / ( ( ), ( ))n i j 1 d label i label j , where  ( , )d x y  is how many semitones note x is from y.  #C  is one semitone away from C.

● Let B be a parameter which influences whether we listen more to  ( , )w i j  or  ( , )n i j

● Let  ( )N i  be the neighbors of i

p i , j= w i , j∗n i , jB ∑k∈N i

w i ,k ∗n i ,k B

Algorithm – Walk

Algorithm – Walk

Algorithm – Walk

Are these guys any good?

● Let's give a listen...

Part III: Conclusions

Can the conclusions please be brief? ...Surely

● Part I

● Graphs can be used for discovering patterns in music

● Graphs provide a visual way to generalize a melodic sequence

● The methods proposed can perhaps be used for similarity or education

● Part II● Graphs can be used in fields such as AI● They can provide the underlying structure for music generation● Still much work to be done!

Questions/Comments/Suggestions

Feedback

[1] Christelle Gueret, Nicolas Monmarche, and Mohamed Slimane. Ants can play music. In ANTS Workshop , pages 310–317, 2004.

[2] Leonardo Peusner. A graph topological representation of melody scores. Leonardo Music Journal, 12:33–40, 2002.

[3] Marco Dorigo and Thomas Stutzle. Ant Colony Optimization. MIT Press, 2004.

[4] Jeffrey Johnson. Graph Theoretical Models of Abstract Musical Transformation. Greenwood Press, 1997.

[5] Isaac Albeniz. John Williams: The Seville Concert from the Royal Alcazar Palace [Extra Tracks] [Original Recording Remastered] ­ “Asturias”. Sony, 2004. Sound Recording.

[6] Henry Mancini. In the Pink ­ “Moon River”. RCA Red Seal, 1984. Sound Recording.

[7] The Rolling Stones. Singles Collection: The London Years [disc 2] ­ “Lady Jane”. ABKCO Records, 1989. Sound Recording.

[8] Jimi Hendrix. Are You Experienced [Original Recording Remastered] ­ “Purple Haze”. Experience Hendrix, 1997. Sound Recording.

References