3996373 mesure et integration lectures notes 2005

8/21/2019 3996373 Mesure Et Integration Lectures Notes 2005

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MESURE et INTEGRATION

Thierry Gallouet Raphaele Herbin

July 26, 2004


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Contents

1 Motivation et objectifs 51.1 Integrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Insuffisance de lintegrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Les probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Ob jectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Tribus et mesures 162.1 Introduction... par les probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Cas dun probleme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Exemple continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Mesure, probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 mesure signee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boreliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Independance et probabilite conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6.1 Probabilites sur (IR , B(IR )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7.3 Probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Fonctions mesurables, variables aleatoires 453.1 Introduction, topologie sur IR +. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Fonctions etagees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Fonctions mesurables et variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4 Convergence p.p. et convergence en mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Fonctions integrables 634.1 Integrale dune fonction etagee positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Integrale dune fonction mesurable positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Theoreme de convergence monotone et lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4 Mesures et probabilites de densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.2 Exemples de probabilites de densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1


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4.5 LespaceL1 des fonctions integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.6 LespaceL

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.7 Theoremes de convergence dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.7.1 Convergence presque partout et convergence dansL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.7.2 Convergence dune serie absolument convergente et consequences . . . . . . . . . . 79

4.8 Continuite et derivabilite sous le signe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.9 Esperance et moments des variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.10 Espace L1Cl (E , T , m) et espace L

1RN

(E , T , m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.11.1 Integrale des fonctions mesurables positives et espaceL1 . . . . . . . . . . . . . . . 854.11.2 LespaceL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.11.3 Esperance et moments des variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5 Mesures sur la tribu des boreliens 95

5.1 Lintegrale de Lebesgue et lintegrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2 Mesures abstraites et mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3 Changement de variables, densite et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4 Integrales impropres des fonctions de IR dans IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6 Les espacesLp 1106.1 Definitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.1.1 Les espaces Lp, avec 1 p


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7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.7.1 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.7.2 Fubini-Tonelli et Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.7.3 Mesure de Lebesgue surB(IR N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.7.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.7.5 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8 Densite, separabilite, et compacite dans les espacesLp() 1868.1 Theoremes de densite pour les espaces Lp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.1.1 Densite des fonctionsCc(, IR ) dans Lp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.1.2 Regularisation par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878.1.3 Densite deCc (, IR ) dans L

p() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.2 Separabilite deLp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.3 Compacite dans les espacesLp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.4 Propriete de compacite faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9 Vecteurs aleatoires, variables aleatoires independantes 1939.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939.2 Independance, loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959.3 Somme de variables aleatoires independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.3.1 Convolution des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.3.2 Loi de la somme de variables aleatoires independantes . . . . . . . . . . . . . . . . 197

9.4 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

10 Transformation de Fourier, fonction caracteristique 201

10.1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20110.2 Transformation de Fourier dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

10.2.1 Definitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20110.2.2 Theoreme dinversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20210.2.3 Regularite et comportement a linfini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.3 Transformation de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20410.3.1 Equation differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20510.3.2 Equation aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

10.4 Fonction caracteristique dune variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20610.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

11 Corriges dexercices 208

11.1 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20811.2 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22111.2.1 Exercices sur les tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22111.2.2 Exercices sur les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

11.3 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24511.3.1 Exercices sur les fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

11.4 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25611.4.1 Integrale surM+ et surL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25611.4.2 EspaceL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

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11.5 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

11.6 Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29211.6.1 EspacesLp, 1 p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29211.6.2 Espaces de Hilberts, espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29611.6.3 Dualite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31111.6.4 Convergence faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

11.7 Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32611.7.1 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32611.7.2 Fubini-Tonelli et Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33111.7.3 Mesure de Lebesgue surB(IR N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33511.7.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34311.7.5 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

11.8 Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

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Chapter 1

Motivation et objectifs

Nous commencons par donner ici un apercu des motivations de la theorie de lintegration, en montrantdabord les limitations de lintegrale des fonctions continues (sur un intervalle compact de IR). Lintegralede Riemann, possede essentiellement les memes limitations.

1.1 Integrale des fonctions continues

Nous presentons ici quelques rappels sur lintegrale des fonctions continues sur un intervalle compact deIR. Nous montrons pourquoi cette theorie de lintegrale des fonctions continues semble insuffisante.

Nous nous limitons a letude des fonctions definies sur lintervalle [0, 1] a valeurs dans IR. Nous allons en

fait definir lintegrale des fonctions reglees (on appelle fonction reglee une fonction qui est limite uniformedune suite de fonctions en escalier). Ceci nous donnera lintegrale des fonctions continues car toutefonction continue est reglee (voir lexercice 1.2). La definition de lintegrale des fonctions reglees (commecelle de lintegrale de Riemann, qui sera rappelee dans lexercice 5.3, et celle de lintegrale de Lebesgue)peut etre vue en 3 etapes, qui, ici, secrivent :

1. Mesurer les intervalles de [0, 1]. Pour 0 1, on pose m(], [) = .2. Integrer les fonctions en escalier. Soit f : [0, 1]IR, une fonction en escalier. Ceci signifie quil

existe p IN, une famille (i)i{0,...,p}, avec : 0 = 0, i < i+1, pour tout i {0, . . . , p 1},p = 1, et une famille (ai)i{0,...,p1} IR tels que :

f(x) =ai, x ]i, i+1[, i {0, . . . , p 1}. (1.1)On pose alors : 1

0

f(x)dx=

p1i=0

aim(]i, i+1[). (1.2)

On montre que la definition precedente est bien coherente, cest-a-dire que lintegrale defne dependque du choix defet non du choix des i (voir lexercice 1.2).

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3. Passer a la limite. Soitf : [0, 1] IR, une fonction reglee, il existe une suite (fn)nINde fonctionsen escalier convergeant uniformement versf. On pose :

In =

10

fn(x)dx. (1.3)

On peut montrer que la suite (In)nIN est de Cauchy (dans IR). On pose : 10

f(x)dx= limn In. (1.4)

On montre que cette definition est coherente car limn In ne depend que de f et non du choixde la suite (fn)n (voir lexercice 1.2).

1.2 Insuffisance de lintegrale des fonctions continues

On note E lensemble des fonctions continues de [0, 1] dans IR. On a ainsi defini10

f(x)dx pour toutf E (car lensemble des fonctions continues est contenu dans lensemble des fonctions reglees).

1. Theoremes de convergence. Un inconvenient important de la theorie de lintegration exposee ci-dessus est que les theoremes naturels de convergence pour cette theorie sont peu efficaces. A vraidire, le seul theoreme simple est le theoreme suivant : Soient (fn)nIN Eetf E. On a alors :

fn funiformement quand n 10

fn(x)dx 10

f(x)dx quand n . (1.5)

On rappelle que (fn)nIN converge simplement vers f si : >0, x [0, 1], N(, x); n N(, x) |fn(x) f(x)|

et que (fn)nIN converge uniformement vers f si :

>0, N(); n N(), x [0, 1] |fn(x) f(x)| .Ce theoreme est assez faible. Une consequence de la theorie de lintegrale de Lebesgue est letheoreme suivant (beaucoup plus fort que le precedent) : Soient (fn)nIN E, et f E. O n aalors :

fn

f simplement quand n

,|

fn

(x)|

1,

x

[0, 1],

n

IN

10

fn(x)dx 10 f(x)dx quand n . (1.6)Ce resultat est une consequence immediate du theoreme de convergence dominee, il peut etredemontre sans utiliser la theorie de lintegrale de Lebesgue, mais cela est difficile : cest lobjet delexercice 1.11. (Noter aussi quil est facile de voir que lon peut remplacer, dans (1.6),|fn(x)| 1par|fn(x)| Mpourvu queM soit independant denet x.)

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2. Espaces non complets. Pour f Eon pose (en remarquant que|f| Eetf2 E) :

N1(f) = 10

|f(x)|dx, (1.7)

N2(f) = 1

0

(f(x))2dx 12 , (1.8)

Les applicationsN1etN2 sont des normes surE(voir lexercice 1.6). Malheureusement lespace E,muni de la normeN1(ou de la normeN2), nest pas vraiment interessant en pratique, en particulierparce que cet espace nest pas complet (cest-a-dire quune suite de Cauchy nest pas necessairementconvergente). Ce nest pas un espace de Banach (un espace de Banach est un espace vectoriel normecomplet). La norme N2 sur E est induite par un produit scalaire mais, muni de cette norme, Enest pas un espace de Hilbert (un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme estinduite par un produit scalair, pour tous ces resultats, voir lexercice 1.6). En fait Lespace desfonctions continues de [0, 1] dans IR est interessant lorsquil est muni de la norme de la convergenceuniforme, cest-a-dire fu = supx[0,1] |f(x)|, avec laquelle il est complet, cest donc alors un espacede Banach.

Si lon travaille avec lensemble des fonctions reglees plutot que lensemble des fonctions continues, onnechappe pas vraiment aux inconvenients cites precedemment (N1 et N2 sont dailleurs alors des semi-normes). On peut aussi generaliser la definition de lintegrale ci-dessus en ameliorant un peu letape 3(passage a la limite), cette generalisation se fait en introduisant les sommes de Darboux (alors quelintegrale des fonctions continues peut etre definie en utilisant seulement les sommes de Riemann). Onobtient ainsi la definition de lintegrale des fonctions dites Riemann-integrables (voir lexercice 5.3). Enfait cette generalisation est assez peu interessante, et les inconvenients sont les memes que pour lintegraledes fonctions continues (ou des fonctions reglees).

1.3 Les probabilites

La theorie des probabilites sest developpee dans le but de modeliser les phenomenes aleatoires, cest adire de developper un formalisme mathematique pour exprimer les problemes poses par ces phenomenes.En particulier, lun des problemes est de mesurer la chance dun certain evenement de se realiser. Unepartie importante de ces phenomenes est de nature discrete, cest a dire quil existe une injection delensemble des cas possibles dans IN. Lorsque de plus lensemble des cas possibles ou des eventualitesest fini, le calcul des probabilites se ramene a des problemes de denombrement. Par contre, lorsquelensemble des eventualites est de nature infinie non-denombrable, on aura besoin, pour definir uneprobabilite, de la theorie de la mesure. Les liens qui existent entre la theorie des probabilites et latheorie de la mesure et de lintegration sont nombreux, mais malheureusement, le vocabulaire est souvent

different. Nous essaierons ici de montrer clairement les liens entre les deux theories et de donner undictionnaire probabilites-integration.

1.4 Objectifs

Lobjectif est de construire une theorie de lintegration donnant des theoremes de convergence efficaces etde bons espaces fonctionnels, comme, par exemple, lespace L2IR(E , T , m) qui est un espace de Hilbert.La demarche pour construire cette theorie va etre tres voisine de celle que lon a utilisee pour lintegrale

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des fonctions reglees (ou pour lintegrale de Riemann, cf. Exercice 5.3). Elle va suivre 3 etapes, que nous

pouvons (dans le cas, par exemple, des fonctions de IR dans IR ) decrire ainsi :1. Mesurer toutes les parties de IR (et pas seulement les intervalles).

2. Definir lintegrale des fonctions etagees, cest-a-dire des fonctions de IR dans IR ne prenant quunnombre fini de valeurs (et pas seulement des fonctions en escalier).

3. Par un passage a la limite, definir lintegrale des fonctions limites (en un sens convenable) defonctions etagees.

Pour etre plus precis, dans letape 1 ci-dessus, on cherche une application :P(IR) IR+, ouP(IR)designe lensemble des parties de IR, telle que :

(], [) = , pour tout , IR, . (1.9)(nINAn) =

nIN(An), pour toute famille (An)nIN P(IR) t.q. An Am = si n =m. (1.10)

Une telle application surP(IR) nexiste pas, mais elle existe si on se limite a une partie convenable deP(IR), par exemple, la tribu de Borel definie dans la suite.Pour letape 2, on integrera les fonctions prenant un nombre fini de valeurs et pour lesquelles chaqueetage est dans la tribu de Borel. De telles fonctions seront dites etagees.

Enfin, a letape 3, lidee principale est de definir lintegrale des fonctions positives qui sont limite crois-sante dune suite de fonctions etagees (on remplace donc la convergence uniforme utilisee pour la defini-tion de lintegrale des fonctions reglees par une convergence simple, en croissant).

La theorie de lintegration que nous allons ainsi obtenir contient (pour les fonctions dun intervalle compactde IR dans IR) la theorie de lintegrale de Riemann (cf. Exercice 5.3) qui contient elle-meme la theoriede lintegrale des fonctions reglees (et la donc la theorie de lintegrale des fonctions continues).

Ce cours est divise en 10 chapitres :

Le chapitre 2 est une introduction a la theorie de la mesure ; on y definit en particulier lapplication necessaire pour mesurer les parties de IR. On y introduit aussi les premieres notions de probabilites.

Dans le chapitre 3, on introduit le concept de fonction mesurable, et son synonyme probabiliste,i.e. le concept de variable aleatoire, qui est une notion fondamentale pour le calcul des probabilites.On y definit les notions de convergence presque partout et son synonyme probabiliste presquesure, et de convergence en mesure et son synonyme probabiliste convergence stochastique.

On definit au chapitre 4 lintegrale sur un espace mesure (suivant les etapes 1 a 3 definies plushauts), et lesperance des variables aleatoires en theorie des probabilites. On definit egalement dansce chapitre la notion de convergence en moyenne.

On sinteresse au chapitre 5 aux mesures definies sur les boreliens de IR et aux proprietes particu-lieres de lintegrale definies sur IR. On y etudie les lois probabilites de densite.

On etudie au chapitre 6 les espaces Lp, ensembles des (classes de) fonctions mesurables de puis-sance p-ieme integrable, et plus particulierement lespace L2, qui est un espace de Hilbert. Ondonne des resultats de dualite et on introduit les notions de convergence faible et de convergenceetroite (pour les probabilites).

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Le chapitre 7 est consacre au produits despaces mesures, a lintegration de fonctions de plusieursvariables, au produit de convolution

Dans le chapitre 8, on revient sur letude des espaces Lp dans le cas particulier de la mesure deLebesgue sur les boreliens dun ouvert de IRN. On donne des resultats de densite, de separabiliteet de compacite.

Le chapitre 9 est consacre a la theorie de probabilites. On etudie, par exemple, les lois de sommesde variables aleatoires.

Le chapitre 10 est consacre a letude de la transformee de Fourier des fonctions de L1 (classesde fonctions mesurables integrables au sens de Lebesgue sur IRN) et de L2 (classes de fonctionsmesurables de carre integrable au sens de Lebesgue sur IRN) et des mesures. On introduit lafonction caracteristique de la theorie des probabilites.

Le chapitre 11 contient des corrigees dexercices.

1.5 Exercices

Exercice 1.1 (Convergences simple et uniforme) Corrige 1 page 208

Construire une suite (fn)nINC([0, 1], IR) etfC([0, 1], IR) t.q. fnf simplement, quand n ,etfn f uniformement, quand n .Exercice 1.2 (Integrale dune fonction continue)Corrige 2 page 208

Une fonction g : [0, 1]IR est dite en escalier sil existe n1 etx0, . . . , xn t.q. 0 =x0< x1< ... 1; limn

10

|n(x)

(x)|p

dx= 0.9. On suppose quil existeC >0 tel que 1

0

|n(x)|2dx C, n IN, (1.12)

et que la suite (n)nIN converge uniformement sur [, 1], pour tout >0. Montrer que

limn

10

|n(x) (x)|dx= 0.

10


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10. Construire un exemple de suite (n)nIN qui satisfasse aux hypotheses de la question precedente et

qui ne soit pas bornee (donc qui ne satisfasse pas aux hypotheses de la question 5).

11. Peut-on remplacer lhypothese (1.12) par : il existe p >1 et C >0 t.q.

10

|n(x)|pdxC, pourtoutn IN ?

12. Peut-on remplacer lhypothese (1.12) par : il existe C > 0 t.q.

10

|n(x)|dx C, pour toutn IN ?

Exercice 1.4 (Discontinuites dune fonction croissante)

Soitfune fonction croissante de IR dans IR.

1. Montrer quefa une limite a droite et une limite a gauche en tout point. On note f(x+) etf(x)ces limites aux pointx.

2. Montrer que lensemble des points de discontinuite de f est au plus denombrable. [On pourraconsiderer, pour n IN, les ensembles An = {x [0, 1], f(x+) f(x) (f(1+) f(0))/n}.]

Exercice 1.5 (Fonctions reglees)

Une fonction reelle definie sur [a, b] ( < a < b < +) est dite reglee si elle est la limite uniformedune suite de fonctions en escalier sur [a, b].

1. Montrer que lensemble des points de discontinuite dune fonction reglee est au plus denombrable.

2. Montrer quune fonctionf : [a, b] IR est reglee sur [a, b] si et seulement si elle admet des limitesa droite et a gauche en tout point de ]a, b[, a droite en a, a gauche en b.

Exercice 1.6 (Normes definies par lintegrale) Corrige 4 page 214

Soit E =C([1, 1], IR) lespace des fonctions continues de [1, +1] dans IR. Pour E, on pose1=

+11|(t)| dt et2=

+11|(t)|2 dt

12

.

1. Montrer que (E, 1) est un espace norme.2. Pourn IN, on definitn Epar

n(x) =

0 si 1 x 0

nx si 0 x 1n1 si 1n x 1

(a) Montrer que si (n)nIN converge vers dans (E, 1), alors (x) = 0 si x 0.

(b) En deduire que (E, 1) nest pas complet.3. Montrer que (E, 2) est un espace prehilbertien (cest-a-dire que sa norme est induite par un

produit scalaire) mais nest pas complet (ce nest donc pas un espace de Hilbert).

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Exercice 1.7 (Rappels sur la convergence des suites reelles) Corrige 5 page 216

1. Soitu = (un)nINune suite a valeurs dans IR. On rappelle que lim supn un = limnsuppn up.Montrer que lim supn un est la plus grande valeur dadherence de u.

2. Si u = (un)nIN est une suite a valeurs dans IR, on sait (consequence du resultat de la questionprecedente) quil existe une suite extraite deuqui converge vers lim supn un. Donner un exempledune suite de fonctions (fn)nIN de IR dans IR t.q. aucune sous suite ne converge simplement verslimsupn fn (qui est definie par (lim supn fn)(x) = limsupn(fn(x)) pour tout x IR).

3. Trouver lensemble des valeurs dadherence dune suite (un)nIN telle que lim infn un = 0,limsupn un = 1 et limn |un+1 un| = 0. Donner un exemple dune telle suite.

Exercice 1.8 (Fonctions caracteristiques densembles) Corrige 6 page 217

SoitEun ensemble. Lorsque A est une partie de E, on definit 1A : E IR par :1A(x) = 1, si x A,1A(x) = 0, si x A. (1.13)

1A est appelee fonction caracteristique de A (elle est souvent aussi notee A).

1. Montrer que siA et B sont deux sous-ensembles disjoints de E, alors1AB =1A+ 1B. En deduireque si (An)nIN est une suite de sous-ensembles de E deux a deux disjoints, on a

nIN 1An =

1nINAn (on precisera aussi le sens donne a nIN 1An ).

2. Montrer que siB A E, on a 1A\B =1A 1B.3. Montrer que, pour A etB sous-ensembles deE, on a 1AB =1A1B.

4. Soit f : E IR une fonction ne prenant quun nombre fini de valeurs. Montrer que f secritcomme combinaison lineaire de fonctions caracteristiques.

Exercice 1.9 (Integrale impropre de fonctions continues)

Soitf C(IR, IR+) (fonction continue de IR dans IR+). On suppose que lima+a0

f(x) dxexiste dans

IR (on a utilise lintegrale des fonctions continues sur [0, a] pour definira0

f(x) dx).

1. A-t-on limx+ f(x) = 0 ?

2. Montrer que sifadmet une limite en +, alors limx+ f(x) = 0.3. Montrer que sifest uniformement continue, alors fadmet une limite en +et donc que :

limx+ f(x) = 0.

4. Donner un exemple de fonction f t.q. f(x) 0 qand x (et qui verifie les hypotheses delexercice !).

5. On suppose, dans cette question, que f C1(IR, IR) et que lima+a0

f(t) dt existe dans IR.Montrer que limx+ f(x) = 0.

6. Montrer que pour touth >0, limx+x+hx

f(t) dt= 0.

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Exercice 1.10 (Limite uniforme dans IR) Corrige 7 page 218

Soit (fn)nIN C(IR+, IR+). On suppose que (fn)nIN converge uniformement vers f (de sorte quef C(IR+, IR+)).

1. On suppose que, pour n IN, lima+a0

fn(x) dx existe dans IR. on note+0

fn(x) dx cettelimite.

Montrer, en donnant un exemple, que lima+a0

f(x) dx peut ne pas exister dans IR.

2. On suppose de plus que limn+0

fn(x) dx existe dans IR et que lima+a0

f(x) dx existe

dans IR. On note alors+0

f(x) dx cette derniere limite. A-t-on

limn

+

0

fn(x) dx=

+

0

f(x) dx ?

Exercice 1.11 (Convergence dominee et integrale des fonctions continues)

(Cet exercice est extrait de lexamen danalyse du concours dentree a lENSL, 1993)On note E=C([0, 1], IR) lensemble des fonctions continues sur [0, 1] a valeurs reelles. Pour f E, onposef= supx[0,1] |f(x)|. Noter que lapplication f f est bien une norme.Pour f : [0, 1] IR, on definit f+ par f+(x) = max(f(x), 0) (pour tout x [0, 1]), et f = (f)+(de sorte que f(x) =f+(x) f(x) et|f(x)| = f+(x) +f(x)). Soient f et g deux applications de IRdans IR (ou dans IR {+}), On dit que f g si f(x)g (x) pour tout x[0, 1]. On designe par 0la fonction (definie sur IR) identiquement nulle. On pose E+ ={f E, f 0}. SoitT : E IR uneapplication lineaire. On dit que Test positive si :

f

E, f

0

T(f)

0.

SoitT :E IR une application lineaire positive.1. Montrer queT est continue de (E, .) dans IR. [Indication : On pourra remarquer que, pour

toutf E, T(f) T(1)f, ou 1designe la fonction constante et egale a 1 sur [0, 1].]2. Soient (fn)nIN Eetf E telles que fn+1 fn, pour toutn IN, et lim

n+fn(x) =f(x), pour

toutx [0, 1]. Montrer que fn tend vers f uniformement sur IR.[Indication : Soit >0, on pourra introduire, pour n IN, On ={x[0, 1] ; f(x) fn(x)< } etutiliser la compacite de [0, 1].]

En deduire que T(fn) T(f), quand n +.

3. Soient (fn)nIN E et g E telles que fn+1 fn, pour tout n IN, et g(x) limn+ fn(x)( IR {+}), pour tout x [0, 1].Montrer que T(g) lim

n+T(fn).

4. Soit f : IR IR {+}, on dit que f A+ si il existe (fn)nIN Etelle que fn+1 fn, pourtoutn IN, lim

n+fn(x) = f(x), pour tout x [0, 1] et lim

n+T(fn)< +.

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5. Soit f A+, montrer que supg

E, g

f

(T(g))< +.

On definitT surA+ parT(f) = supgE, gf

(T(g)) (noter que ceci est compatible avec la definition de

T sur E.) Noter aussi que sif, g A+, alors : f g T(f) T(g)).6. (Convergence croissante.) Soient (fn)nIN A+ etf : IR IR {+} telles quefn+1 fn, pour

toutn IN, limn+

fn(x) =f(x), pour tout x[0, 1] et limn+

T(fn)< +. Montrer que f A+etT(f) = lim

n+T(fn).

[Indication : Considerer gp = sup0np

(fp,n), avec, pour tout n IN, (fp,n)pIN Etelle quefp+1,nfp,n, pour toutp IN, lim

p+fp,n(x) = fn(x), pour tout x [0, 1].]

7. (Convergence decroissante.) Soient (fn)nIN

A+ et f

E telles que fn+1

fn, pour tout

n IN, et limn+ fn(x) = f(x), pour tout x [0, 1]. Montrer que T(f) = limn+T(fn).[Indication : On pourra montrer que, pour tout >0 et pour tout n IN, il existe hnA+ telleque hn fn fn+1 et T(hn)T(fn) T(fn+1) + 2n . Puis, en remarquant que

nINhn(x)

f0(x)f(x), pour toutx [0, 1], et en utilisant la question III 4, montrer queT(f) limn+

T(fn).]

8. (Convergence dominee.) Soient (gn)nIN E etg Etelles que :1. gn(x) g(x), quand n +, pour tout x [0, 1].2.|gn(x)| 1, pour tout x [0, 1] et pour tout n IN.Montrer que T(g) = lim

n+T(gn).

[Indication : On pourra utiliser la question III 5 avec fn = sup

pngp

infpn

gp et remarquer que

g gn fn etgn g fn.]9. (Exemple.) En choisissant convenablementT, montrer le resultat suivant :

Soient (fn)nIN E etf Etelles que :1. fn(x) f(x), quand n +, pour tout x [0, 1].2.|fn(x)| 1, pour tout x [0, 1] et pour tout n IN.

alors

10

fn(x)dx 10

f(x)dx, quand n +.Donner un contre exemple a ce resultat si la deuxieme hypothese nest pas verifiee.

Exercice 1.12 (Theoreme de Bernstein)

On veut demontrer ici le theoreme suivant :

Theoreme 1.1 (Bernstein) Soient E etFdes ensembles quelconques, alors il existe une bijection deEdansFsi et seulement si il existe une injection deEdansFet une injection deF dansE.

Le sens (i) (ii) est evident, on va donc supposer quil existe une injection f de E dans F et uneinjectiong de F dans E, et on veut construire une bijection de E dans F. Soit xEdonne. On posex0= x, et on construit par recurrence une suite Cx = (xk)k=k(x),+ E F, aveck(x) IR {}dela maniere suivante :

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pour k 0, on pose x2k+1 = f(x2k), et x2k+2 = f(x2k+1) ; s i xk na pas dantecedant par g oupar f (selon que xk E ou F, on pose k(x) = k, sinon, on pose xk1 = g

1

(xk) si xk E etxk1= f1(xk) sixk F.On definit ainsi Cx ={xk, k = k(x), +}. On definit lapplication de Edans Fpar : (x) =f(x) sik(x) est pair et(x) =g1(x) sik(x) est impair. Montrer que ainsi definie est une bijection deEdansF.

Exercice 1.13 (Limites sup et inf densembles) Corrige 8 page 219

Soit (An)nIN une suite de parties dun ensemble E. On note

liminfn An =

nIN

pn

Ap et lim supn

An =nIN

pn

Ap.

1. On suppose la suite (An)nIN monotone, cest-a-dire que An

An+1, pour tout n

IN, ou que

An+1 An, pour tout n IN. Que sont lim infn An et limsupn An ?2. Meme question que precedemment si la suite est definie par : A2p = A et A2p+1= B , pIN, A et

B etant deux parties donnees de E.

3. Montrer que:1limsupnAn = lim sup

n1An ,

liminfn An limsupn An ,

liminfn

An =

{x

E;

+

n=0 1Acn (x)< },limsupn

An = {x E;+n=0

1An (x) = } .

Exercice 1.14 (Caracterisation des ouverts de IR) ()

On va montrer ici que tout ouvert de IR est une union au plus denombrable (cest-a-dire finie ou denom-brable) dintervalles ouverts disjoints deux a deux (la demonstration de ce resultat est est donnee dans lademonstration du lemme 2.4 page 30). SoitO un ouvert de IR . On definit, pour x et y IR, la relation:x y si{tx+ (1 t)y, t [0, 1]} O. Verifier que est une relation dequivalence. Pour xO, onpose: A(x) = {y O; x y}.

1. Montrer que siA(x) A(y) = , alors A(x) = A(y).2. Montrer que, pour toutx O, A(x) est un intervalle ouvert.3. Montrer quil existe I O denombrable tel que O = xIA(x), avec A(x) A(y) =si x, yI

etx =y.

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Chapter 2

Tribus et mesures

2.1 Introduction... par les probabilites

2.1.1 Cas dun probleme discret

Pour introduire la serie de definitions qui suivent, commencons par quelques exemples, tires du calculdes probabilites. Le calcul des probabilites sinteresse a mesurer la chance qu un certain evenement,resultat dune experience, a de se produire. Considerons par exemple lexperience qui consiste a lancerun de. On appelle eventualite associee a cette experience un des resultats possibles de cette experience,et univers des possibles lensembleEde ces eventualites. Dans notre exemple, les eventualites peuventetre 1, 2, 3, 4, 5 ou 6; on pourrait choisir aussi comme eventualites les resultats correspondant au decasse. On peut donc tout de suite remarquer que lensemble E des univers du possible depend de lamodelisation, cest a dire de la formalisation mathematique que lon fait du probleme. Notons quil estparfois difficile de definir lensembleE, et que les probabilistes se ramenent alors, grace a une jolie ruse(que nous verrons plus loin) a mesurer les parties de IR: dou le lien avec la theorie de la mesure que nousabordons ici.A partir des eventualites, qui sont, par definition, les elements de lunivers des possibles E, on definitles evenements, qui sont les parties de E. Dans lexemple du de, un evenement peut etre: le resultatdu lancer est pair. Cet evenement est la partie{2, 4, 6} de E. On appelle evenement elementaire unsingleton, par exemple 6, evenement certain lensemble E tout entier, et levenement vide lensemblevide(qui a donc une chance nulle de se realiser). Pour mesurer la chance qua un evenement de serealiser, on va definir une application p de lensembleP(E) des parties de E dans [0, 1] avec certainesproprietes (de compatibilite)... La chance (ou probabilite) pour un evenementA Ede se realiser seradoncp(A) [0, 1].Le probleme que nous venons de considerer est un probleme discret fini, au sens ou lensemble E est

fini. On peut aussi envisager des problemes discrets infinis, lensemble E est alors infini denombrable(on rappelle quun ensemble I est denombrable sil existe une bijection de I dans IN, il est au plusdenombrable sil existe une injection de I dans IN), ou des problemes continus ou E est infini nondenombrable.

2.1.2 Exemple continu

Considerons maintenant lexperience qui consiste a lancer une balle de ping-pong sur une table de ping-pong. SoitElensemble des points de la table de ping-pong, on peut voir Ecomme un sous-ensemble de

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IR2, un evenement elementaire serait donc un point (x, y)E, et un evenement une partie A P(E).On suppose quon a effectue le lancer sans viser, cest a dire en supposant que nimporte quel pointde la table a une chance egale detre atteint (les evenements elementaires sont equiprobables), et quela balle tombe forcement sur la table (on est tres optimiste...) on se rend compte facilement que laprobabilite pour chacun des points de E detre atteint doit etre nulle, puisque le nombre des points estinfini. On peut aussi facilement intuiter que la probabilite pour une partie A detre atteinte (dansle modele equiprobable) est le rapport entre la surface de A et la surface de E. La notion intuitivede surface correspond en fait a la notion mathematique de mesure que nous allons definir dans leprochain paragraphe. Malheureusement, comme on la dit dans le chapitre introductif, il ne nous serapas mathematiquement possible de definir une application convenable, i.e. qui verifie les proprietes (1.9)-(1.10) et qui mesure toutes les parties de IR, ou IR2, ou meme du sous-ensemble E de IR2 (voir a cesujet lexercice 2.21). On va donc definir un sous-ensemble deP(E) (quon appelle tribu) sur lequel onpourra definir une telle application. Dans le cas dun ensemble fini, la tribu sera, en general,P(E) toutentier.

2.2 Tribu

Definition 2.1 (Tribu) Soient Eun ensemble, Tune famille de parties de E (i.e. T P(E)). LafamilleTest une tribu surE siT verifie :

1. T, E T,2. T est stable par union denombrable, cest-a-dire que :

Pour toute famil le denombrable(An)nIN T, on anINAn T.3. T est stable par intersection denombrable, cest-a-dire que :

Pour toute famil le denombrable(An)nIN T, on anINAn T.4. T est stable par passage au complementaire, cest-a-dire que pour tout A T, on a Ac T (On

rappelle queAc =E\ A).

Il est clair que, pour montrer quune partieT deP(E) est une tribu, il est inutile de verifier les proprietes1-4 de la proposition precedente. Il suffit de verifier par exemple T (ouE T), 2 (ou 3) et 4.Exemples de tribus sur E :

T = {, E}, P(E).

Definition 2.2 (Langage probabiliste) Soient E un ensemble quelconque (lunivers des possibles)etT une tribu ; on appelle eventualite les elements deEet evenements les elements deT. On appelleevenement elementaire un singleton deT.On dit que deux evenementsA, B T sont incompatibles siA B= .Proposition 2.1 (Stabilite par intersection des tribus) Soient E etI deux ensembles. Pour touti I, on se donne une tribu, Ti, sur E. Alors, la famille (de parties de E)iITi ={A E;A Ti, i I} est encore une tribu surE.

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Demonstration : La demonstration de cette proposition fait lobjet de la premiere question de lexer-

cice 2.2.Cette proposition nous permet de definir ci-apres la notion de tribu engendree.

Definition 2.3 (Tribu engendree) Soient E un ensemble etC P(E). On appelle tribu engendreeparC la plus petite tribu contenantC, cest-a-dire la tribu T(C) intersection de toutes les tribus sur EcontenantC (cette intersection est non vide carP(E) est une tribu contenantC).Comme cela a deja ete dit, T(C) est bien une tribu (voir lexercice 2.2). Il est important de remarquerque, contrairement a ce que lon pourrait etre tente de croire, les elements de la tribu engendree parCnesont pas tous obtenus, a partir des elements deC, en utilisant les operations : intersection denombrable,union denombrable et passage au complementaire. Plus precisement, soient E un ensemble etC P(E) ; on note T(C) la tribu engendree parC, et on pose :

R1(C) = {A Et.q. A= nIN

An, An C ou Acn C},

R2(C) = {A Et.q. A=nIN

An, An C ou Acn C},

R(C) = R1(C) R2(C).PrenonsE= IR etClensemble des ouverts de IR (donc T(C) est la tribu borelienne de IR, voir definitionci-apres). Il est facile de voir queR(C) T(C), mais que, par contre (et cela est moins facile a voir),R(C) nest pas une tribu. En posant :S0= C, etSn = R(Sn1), pourn 1, on peut aussi montrer queS=

nIN

Sn nest pas une tribu (et queS T(C)).

Remarque 2.1

1. Une tribu est aussi appelee -algebre,

2. SoitEun ensemble et C1 C2 P(E). Il est alors facile de voir que T(C1) T(C2) (cf. Exercice2.2).Definition 2.4 (Tribu borelienne) SoitEun ensemble muni dune topologie (un espace metrique, parexemple). On appelle tribu borelienne (ou tribu de Borel) la tribu engendree par lensemble des ouvertsdeE, cette tribu sera noteeB(E). Dans le casE= IR, cette tribu est donc noteeB(IR).Proposition 2.2 On noteC1 lensemble des ouverts de IR,C2 ={]a, b[, a, b IR, a < b} etC3 ={]a, [, aIR}. AlorsT(C1) =T(C2) =T(C3) =B(IR). (Noter que dautres caracterisations deB(IR),semblables, sont possibles.)

Demonstration : On a, par definition deB(IR),T(C1) = B(IR). On va demontrer ci-apres que T(C1) =T(C2) (le fait que T(C2) = T(C3) est laisse au lecteur).CommeC2 C1, on a T(C2) T(C1). Il suffit donc de demontrer linclusion inverse.Soit O un ouvert de IR. On suppose O= (on sait deja que T(C2)). Le lemme 2.1 (plus simpleque le lemme 2.4 page 30) ci-apres nous donne lexistence dune famille (In)nA dintervalles ouverts t.q.A IN et O =nAIn. Noter quon a aussi O =nINIn en posant In = si n IN\ A. CommeIn C2T(C2) pour tout nA et T(C2), on en deduit, par stabilite denombrable dune tribu, queO T(C2). Donc,C1 T(C2) et doncT(C1) T(C2). on a bien montre queT(C1) = T(C2).

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Lemme 2.1 Tout ouvert non vide deIR est reunion au plus denombrable dintervalles ouverts bornes.

Demonstration : Soit O un ouvert de IR, O=. On pose A={(, )Ql 2 ; < , ], [0}. On adonc(,)A], [ O. On va montrer que O (,)A], [ (et donc queO = (,)A], [).Soitx O, il existex > 0 t.q. ]xx, x + x[ O. En prenantx Ql ]xx, x[ etx]x, x + x[ (detelsx et x existent) on a donc x]x, x[O et donc (x, x)A. Dou x]x, x[ (,)A], [.On a bien montre que O (,)A], [ et donc que O =(,)A], [. Comme Ql 2 est denombrable,A est au plus denombrable et le lemme est demontre.

Definition 2.5 (Espace mesurable ou probabilisable, partie mesurable ou probabilisable)Soient E un ensemble, et T une tribu sur E. Le couple (E, T) est appele espace mesurable ou (enlangage probabiliste !) espace probabilisable. Les parties deE qui sont (resp. ne sont pas) des elementsdeT sont dites mesurables ou probabilisables (resp. non mesurables, non probabilisables).

Remarque 2.2

1. Lobjectif de la section 2.5 est de construire une application : B(IR) IR+ t.q. :(a) (], [) = ,pour tout , IR < ,(b) (nINAn) =

nIN(An), pour toute suite (An)nIN B(IR) t.q. An Bn =si n=m.

(Noter quenINAn B(IR) grace a la stabilite dune tribu par union denombrable.)2. On peut se demander siB(IR) =P(IR). La reponse est non (voir les exercices 2.21 et 2.22). On

peut meme demontrer que card(B(IR)) = card(IR) (alors que card(P(IR))> card(IR)). On donneci-apres un rappel rapide sur les cardinaux (sans entrer dans les aspects difficiles de la theorie desensembles, et donc de maniere peut-etre un peu imprecise).

3. Rappel sur les cardinaux. SoitA et B deux ensembles.

(a) On dit que card(A) = card(B) si il existe une application : A B, bijective.

Pour montrer que 2 ensembles ont meme cardinaux, il est souvent tres utile dutiliser letheoreme de Bernstein (voir lexercice 1.1) qui montre que si il existe une injection deA dansBet une injection deB dansA, alors il existe : A B, bijective (et donc card(A) = card(B)).Le theoreme de Bernstein motive egalement la definition suivante.

(b) On dit que card(A) card(B) si il existe : A B, injective.(c) Un autre theoreme interessant, du a Cantor, donne que, pour tout ensembleX, on a card(X) card(IR). La demonstration du theoreme de Cantor est tres simple.Soit : X P(X). On va montrer que ne peut pas etre surjective. On pose A = {x X;x (x)} (A peut etre lensemble vide). Supposons que A Im(). Soit alors a X t.q.A= (a).

Si a A= (a), alors a A par definition de A. . . ,Si a A= (a), alors a A par definition de A. . . ,on a donc montre que A ne peut pas avoir dantecedent (par ) et donc nest pas surjective.

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2.3 Mesure, probabilite

Definition 2.6 (Mesure) Soit(E, T)un espace mesurable. On appelle mesure une applicationm : TIR+ (avecIR+ = IR+ (+)) verifiant :

1. m() = 02. mest-additive, cest-a-dire que pour toute famille(An)nINTde parties disjointes deux a deux,

(i.e. telle queAn Am =, sin= m), on a :

m(nIN

An) =nIN

m(An). (2.1)

Remarque 2.3

1. Dans la definition precedente on a etendu a IR+laddition dans IR+. On a simplement posex + =, pour toutx IR+. Noter egalement que la somme de la serie dans la definition precedente est aprendre dans IR+ et que, bien sur,a =

nINan signifie simplement que

np=0 ap a (dans IR+)

quandn .2. Soientx, y,z IR+. Remarquer que x + y= x + z implique y = z si x = .3. Dans la definition precedente, la condition 1. peut etre remplacee par la condition : A T, m(A) n dans (2.1).

Lemme 2.2 Soit(an)nIN IR+ et soit : IN IN bijective. Alors

nINan =nINa(n).

Demonstration :

On pose A =

nINan(= limn

np=0 ap)IR+ et B = nIN

a(n)(= limnnp=0 a(p)) IR+.

On veut montrer que A = B .On montre dabord que B A. Soitn IN. On pose N = max{(0), . . . , (n)}. commeaq 0 pourtoutq IN on a np=0 a(p)Np=0 ap A. On en deduit, faisant tendre n versque B A.En raisonnant avec linverse de on a aussi A B et finalement A = B .

Definition 2.7 (Mesure finie) Soient Eun ensemble et T une tribu sur E. On appelle mesure finieune mesure m surT telle quem(E)< .

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Definition 2.8 (Probabilite) SoientEun ensemble etTune tribu surE. On appelle probabilite une

mesurep surT telle quep(E) = 1.Definition 2.9 (Espace mesure, espace probabilise) Soient Eun ensemble, T une tribu sur E etmune mesure (resp. une probabilite) surT. Le triplet(E , T , m)est appele espace mesure (resp. espaceprobabilise).

Definition 2.10 (Mesure -finie) Soit (E , T , m) un espace mesure, on dit que m est-finie (ou que(E , T , m) est-fini) si :

(An)nIN T, m(An)< , n IN, et E=nIN

An. (2.2)

Remarque 2.4 (Langage probabiliste) En langage probabiliste, la propriete de -additivite (2.1) quelon requiert dans la definition dune mesure (et donc dune probabilite) est souvent appele axiome

complet des probabilites totales.

Exemple 2.1 (Mesure de Dirac) Soient Eun ensemble, Tune tribu sur E etaE. On definit surT la mesure a par (pour A T) :

a(A) = 0, si a / A, (2.3)a(A) = 1, si a A. (2.4)

On peut remarquer que la mesure de Dirac est une probabilite.

Remarque 2.5 (Comment choisir la probabilite) Soient (E, T) un espace probabilisable, on peutevidemment definir plusieurs probabilites sur T. Cest tout lart de la modelisation que de choisir une

probabilite qui rende compte du phenomene aleatoire que lon veut observer. On se base pour cela souventsur la notion de frequence, qui est une notion experimentale a lorigine. Soit ATun evenement, donton cherche a evaluer la probabilite p(A). On effectue pour cela N fois lexperience dont lunivers despossibles estE, et on note NA le nombre de fois ou levenement A est realise. A N fixe, on definit alorsla frequencefA(N) de levenementA par :

fA(N) = NA

N .

Experimentalement, il savere que fN(A) admet une limite lorsque N +. Cest ce quon appelle laloi empirique des grands nombres. On peut donc definir experimentalementp(A) = limN+ fN(A).Cependant, on na pas ainsi demontre que p est une probabilite: il ne sagit pour linstant que duneapproche intuitive. On demontrera plus loin la loi forte des grands nombres, qui permettra de justifiermathematiquement la loi empirique. On peut remarquer quefN(E) =

N

N

= 1.. .

Exemple 2.2 (Le cas equiprobable) Soit (E , T , p) un espace probabilise, ou les evenements ele-mentaires sont equiprobables. On suppose que tous les singletons de Eappartiennent a la tribu. On aalors: p({x}) = 1

cardE,x E.

Definition 2.11 (mesure atomique) Soit (E , T , m) un espace mesure tel que :{x} T pour toutxdeE. On dit quem est portee parST sim(Sc) = 0. SoitxE, on dit quex est un atome ponctueldem si m({x})= 0. On dit que m est purement atomique si elle est portee par la partie deE formeepar lensemble de ses atomes ponctuels.

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Definition 2.12 (Mesure diffuse) Soient(E, T)un espace mesurable etm une mesure surT . On dit

quem est diffuse si{x} T etm({x}) = 0pour toutxE. (Cette definition est aussi valable pour unemesure signee surT, definie dans la section 2.4.)Definition 2.13 (Partie negligeable) Soient (E , T , m) un espace mesure, A E. On dit queA estnegligeable sil existe un ensembleB T tel queA B etm(B) = 0.

Definition 2.14 (Mesure complete) Soient (E , T , m) un espace mesure, on dit que m est complete(ou que(E , T , m)est complet) si toutes les parties negligeables sont mesurables, cest-a-dire appartiennentaT.

La proposition suivante donne les principales proprietes dune mesure.

Proposition 2.3 (Proprietes des mesures) Soit (E , T , m) un espace mesure. La mesure m verifieles quatre proprietes suivantes :

1. Monotonie : SoientA, B T, A B, alors

m(A) m(B) (2.5)

2. -sous-additivite : Soit(An)nIN T, alors

m(nIN

An) nIN

m(An). (2.6)

3. Continuite croissante : Soit(An)nIN T, telle queAn An+1, pour toutn IN, alors

m( nIN A

n) = limn(m(An)) = supnIN(m(An)) (2.7)

4. Continuite decroissante : Soit(An)nIN T, telle queAn+1An, pour toutnIN, et telle quilexisten0 IN, m(An0)< , alors

m(nIN

An) = limn(m(An)) = infnIN

(m(An)) (2.8)

Demonstration :

La demonstration de ces proprietes est facile: elles decoulent toutes du caractere positif et du caractere-additif de la mesure. Attention: ces proprietes ne sont pas verifiees par les mesures signees que nousverrons a la section 2.4.

1. Monotonie. Soit A, BT, AB . On a B =A (B\ A) et A (B\ A) =. CommeAT etB\A= BAc T, ladditivite dem(voir la remarque 2.3) donnem(B) = m(A)+m(B\A) m(A),carm prend ses valeurs dans IR+.

Noter aussi que m(B\ A) =m(B) m(A) si 0m(A)m(B)


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2. sous additivite. Soit (An)nIN T. On veut montrer que m(nINAn)n

INm(An). On

pose B0 = A0 et, par recurrence sur n, Bn = An\ (n

1

i=0Bi) pour n 1. Par recurrence sur non montre que Bn T pour tout n en remarquant que, pour n > 1, Bn = An (n1i=0Bci ). Laconstruction des Bn assure que BnBm = si n= m etnINAn =nINBn. Pour verifiercette derniere propriete, on remarque que BnAn doncnINBn nINAn. Puis, si xAn etx n1i=0Bi, on a alors xAn (n1i=0Bci ) = Bn. Ceci prouve quenINAn nINBn et donc,finalement,nINAn = nINBn.On utilise maintenant la additivite de m et la montonie de m (car Bn An) pour ecrirem(nINAn) = m(nINBn) =

nINm(Bn)

nINm(An).

3. Continuite croissante. Soit (An)nIN T, telle que AnAn+1, pour toutnIN. Par monotoniedem, on a m(An+1)m(An), pour tout n IN, et donc limn m(An) = supnINm(An)IR+.On a aussi, par monotonie, m(A) m(An), pour tout n IN, avec A =nINAn. Pour montrerquem(A) = limn

(m(An)), on va distinguer 2 cas.

Cas 1. On suppose quil existep IN t.q. m(Ap) = . On a alorsm(A) = = limn(m(An)).Cas 2. On suppose que m(Ap)


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Theoreme 2.1 (Mesure completee) Soit (E , T , m) un espace mesure, on noteNm lensemble desparties negligeables. On pose T ={A N, A T, N Nm}. Alors T est une tribu, et il existe uneet une seule mesure, notee m, sur T, egale a m sur T. De plus, une partie de E est negligeable pour(E , T , m) si et seulement si elle est negligeable pour (E , T , m). la mesure m est complete et lespacemesure (E , T , m) sappelle le complete de (E , T , m). La mesure m sappel le la mesure completee de lamesurem.

Demonstration : Cette demonstration est lobjet de lexercice 2.26.

Definition 2.15 (Mesure absolument continue, mesure etrangere)Soient(E, T) un espace mesurable, etm et des mesures (positives) surT.

1. On dit que la mesure est absolument continue par rapport a la mesurem (et on note


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Proposition 2.5 (Decomposition dune mesure signee) Soient (E, T) un espace mesurable et m

une mesure signee surT. Alors, il existe deux mesures (positives), noteesm

+

etm, t.q. :1. m(A) = m+(A) m(A), pour toutA T.2. Les mesures m+ et m sont etrangeres, cest-a-dire quil existe C T tel que m+(C) = 0, et

m(E\ C) = 0.Une consequence des proprietes ci-dessus est quem(A) = m(A C)etm+(A) = m(A Cc)pour toutA T.Demonstration :

La demonstration de cette proposition fait lob jet de lexercice 2.27.

Remarque 2.6 Une consequence de la proposition 2.5 est que la serie nINm(An) apparaissant dans(2.10) est absolument convergente car (pour toute famille (An)nIN T t.q. An Am =, si n= m)on a

np=0 |m(Ap)|

np=0 m

+(Ap) +np=0 m

(Ap) m+(E) + m(E)< .En fait, la definition 2.16 donne directement que la serie

nINm(An) apparaissant dans (2.10) est

commutativement convergente (cest-a-dire quelle est convergente, dans IR, quel que soit lordre danslequel on prend les termes de la serie et la somme de la serie ne depend pas de lordre dans lequel lestermes ont ete pris). Elle donc absolument convergente (voir lexercice 2.28). Nous verrons plus loin quecette equivalence entre les series absolument convergentes et les series commutativement convergentes estfausse pour des series a valeurs dans un espace de Banach de dimension infinie.

2.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boreliens

Rappelons que lun de nos objectifs est de construire une application de

P(IR) dans IR+ telle que

limage par dun intervalle de IR soit la longueur de cet intervalle, et qui verifie les proprietes (1.9) et(1.10). On peut montrer (voir exercice 2.22) quune telle application nexiste pas surP(IR) (voir aussiexercice 2.21). Le theoreme suivant donne lexistence dune telle application sur la tribu des boreliens deIR, noteeB(IR) (lexercice 2.22 donne alors queB(IR) = P(IR)). Cette application sappelle la mesure deLebesgue.

Theoreme 2.2 (Caratheodory)Il existe une et une seule mesure surB(IR), notee et appelee mesurede Lebesgue sur les boreliens, telle que(], [) = , pour tout(, ) IR2 t.q. < < < +.Il y a plusieurs demonstrations possibles de ce theoreme. Nous donnons dans cette section une demons-tration due a Caratheodory. Soit A IR. On definit (A) = inf(Ai)iINEA

ni=1 l(Ai), ou EA est

lensemble des familles denombrables dintervalles ouverts dont lunion contient A, etl(Ai) represente lalongueur de lintervalle Ai. On peut montrer (voir lexercice 2.21) que lapplication

ainsi definie de

P(IR) dans IR+ nest pas - additive (ce nest donc pas une mesure, cest une mesure exterieure).On montre par contre dans cette section que la restriction de aB(IR) est une mesure, quon note ,mesure de Lebesgue. Lexistence de la mesure de Lebesgue peut aussi etre demontree en utilisant untheoreme plus general (de F. Riesz) que nous verrons dans un chapitre ulterieur.

Apres la definition de et la demonstration de proprietes de , on donne la demonstration de lapartie existence du theoreme de Caratheodory (voir page 28). Puis, la partie unicite du theoreme deCaratheodory (voir page 31) decoulera du theoreme de regularite sur les mesures surB(IR) (Theoreme2.3) et dun lemme classique sur les ouverts de IR (lemme 2.4).

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Definition 2.17 (Definition de) Soit A P(IR). On pose (A) = inf{n

INl(In); (In)nINEA}, avecEA= {(In)nIN; In =]an, bn[, < an bn < ,n IN, A nINIn}.Proposition 2.6 (Proprietes de) Lapplication :P(IR) IR+(definie dans la definition 2.17)verifie les proprietes suivantes :

1. () = 0,2. (Monotonie)(A) (B), pour toutA, B P(IR), A B,3. (sous additivite) Soit(An)nIN P(IR)etA= nINAn, alors(A)

nIN

(An),

4. (]a, b[) = b a pour tout(, ) IR2 t.q. < < < +.

Demonstration :

La demonstration des 2 premieres proprietes est facile. Pour la troisieme, soit (An)n IN P(IR) etA =nINAn. Il suffit de considerer le cas ou

(An)< pour toutn IN (sinon, linegalite est immediate).Soit > 0. Pour tout n IN, il existe (In,m)mIN) EAn t.q.mINl(In,m) (An) + /(2n). Onremarque alors que (In,m)(n,m)IN2 est un recouvrement de A par des intervalles ouverts et donc que(A) (n,m)IN2l(In,m). Noter que (n,m)IN2l(In,m) = nINl(I(n)), ou est une bijection de INdans IN2 (cette somme ne depend pas de la bijection choisie, voir le lemme 2.2 page 20). Avec le lemme2.3 ci dessous, on en deduit (A) nIN(mINl(In,m)) nIN(An) + 2. ce qui donne bien,quand 0, (A) nIN(An).Pour montrer la quatrieme propriete. on commence par montrer

([a, b]) = b a,a, b IR, a < b. (2.11)Soit donca, b IR, a < b. Comme [a, b] ]a, b + [, pour tout >0, on a([a, b]) ba + 2. On endeduit([a, b])

b

a. Pour demontrer linegalite inverse, soit (In)n

IN

E[a,b]. Par compacite de [a, b],

il existe n IN t.q. [a, b] np=0Ip. On peut alors construire (par recurrence) i0, i1, . . . , iq 0, . . . , nt.q. ai0 < a, aip+1 < bip pour tout p0, . . . , q 1, b < biq . On en deduit que b a 0. Par la definition de (A), il existe (In

)nIN

EA

t.q. (A)nINl(In) . CommeA E (nIN(In E)) etA Ec (nIN(In Ec)), la sous additivite de donne

(A E) nIN

(In E) et (A Ec) nIN

(In Ec).

Comme In E et In Ec sont des intervalles, la fin de la demonstration de la proposition 2.6 donne(InE) = l(InE) et(InEc) =l(InEc). On en deduit(AE)+(AEc)

nIN(l(InE)+

l(InEc)) =nINl(In) (carl(InE) + l(InEc) = l(In)) et donc(AE) + (AEc) (A) + .

Quand 0 on trouve linegalite recherchee. On a bien montre que E L.

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On va maintenant demontrer un theoreme important qui donnera, en particulier, la partie unicite du

theoreme 2.2.Theoreme 2.3 (Regularite dune mesure surB(IR), finie sur les compacts)Soitm une mesure surB(IR). On suppose quem est finie sur les compacts, cest a dire quem(K)0, il existe un ouvertO et un fermeF t.q. F A O etm(O \F) . En particulier,on a donc, pour tout A B(IR), m(A) = inf{m(O), O ouvert contenant A} et m(A) = sup{m(K), Kcompact inclus dansA}.Demonstration :

On appelle T lensemble des A B(IR) t.q. pour tout > 0, il existe O ouvert et F ferme verifiantF A Oet m(O\F) . On va montrer queTest une tribu contenant C = {]a, b[, < a < b < .CommeC engendreB(IR), ceci donnera T = B(IR).Le fait queC Test facile. En effet, soit < a < b < et A =]a, b[. On a, pour tout n t.q. (2/n)0. Pour tout n IN, il existeOn ouvert etFn fermet.q. Fn

An

On etm(On

\Fn)

(/2n). On pose O =

n

INOn et F =

n

INFn. On a F

A

O,

m(O \ F) 2, car (O \ F) nIN(On \ Fn), etO ouvert mais F nest pas necessairement ferme. . .Cependant, puisquem(A)< , on a aussim(F)< . Par continuite croissante demon a m(np=0Fn) m(F), quand n , dou (puisquem(F)0. Il existe O ouvert etF ferme t.q. F An O etm(O \ F) . Pour k IN, on a donc :

Fk = F

[p, p + 1

1

k]

An

[p, p + 1[

Ok = O

]p

1

k, p + 1[.

On a Fk ferme, Ok ouvert et (Ok\ Fk) (O \ F)]p 1k , p[]p + 1 1k , p + 1[. On en deduit :

m(Ok\ Fk) + m(]p 1k

, p[]p + 1 1k

, p + 1[).

Or, la continuite decroissante de m donne que m((]p 1k , p[]p + 1 1k , p + 1[)0 quand k (on utilise ici le fait que m([p 1, p+ 1])


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2. Comme m(A[p, p+ 1[) 0. Pour toutpZZ, il existe un ouvert Op et un ferme Fpt.q. Fp A [p, p+ 1[Op et m(Op\ Fp)/(2|p|). On prendO =pZZOp et F =pZZFp.On obtientF A O, m(O \ F) 3 et O est ouvert. Il reste a montrer que F est ferme.Soit (xn)nIN F t.q. xn x (dans IR) quand n . On veut montrer quex F. Il existep ZZ t.q. x ]p 1, p +1[. Il existe donc n0 IN t.q. xn]p 1, p + 1[ pour toutn n0. Commexn qZZFq et que Fq [q, q+ 1[ pour tout p, on a donc xn Fp Fp1 pour tout n n0.CommeFp Fp1 est ferme, on en deduit que x Fp Fp1 Fet donc que F est ferme.Ceci montre bien que A Tet termine la demonstration du fait que Test une tribu. Comme celaa deja ete dit, on en deduit queT = B(IR).

On montre maintenant quem(A) = inf{

m(O), Oouvert contenantA}

pour toutA B

(IR). Ceci est uneconsequence facile de la premiere partie du theoreme de regularite. En effet, soitA B(IR). On remarquedabord que la montonie dune mesure donnem(A) inf{m(O), Oouvert contenantA}. Puis, linegaliteinverse est immediate sim(A) = . Enfin, sim(A)< , pour tout >0 la premiere partie du theoremedonne quil existe un ouvert 0 contenant A t.q. m(0) m(A)m(0). Comme est arbitraire, onen deduit que inf{m(O), O ouvert contenant A} m(A) et finalement que m(A) = inf{m(O), O ouvertcontenant A}De maniere semblable, on montre aussi que m(A) = sup{m(K), Kcompact inclus dans A} pour toutA B(IR). En effet, soitA B(IR). Ici aussi, on commence par remarquer que la montonie dune mesuredonne m(A) sup{m(K), Kcompact inclus dans A}. On montre maintenant linegalite inverse. Soit > 0. Il existeF ferme t.q. FA et m(A \ F) . Si m(A) =, on en deduit que m(F) = etdonc que m(Kn)) quand n (par continuite croissante de m) avec Kn =F [n, n]. CommeKn est compact pour tout n IN, on a donc sup{m(K), Kcompact inclus dans A} = = m(A). Sim(A)< , on am(A) m(F) m(A)et donc, pourn assez grand,m(Kn) m(F) m(A)2(toujours par continuite croissante de m) avec Kn = F [n, n]. Comme Kn est compact pour toutn IN et que est arbitarie, on en deduit que sup{m(K), Kcompact inclus dans A} m(A) et donc,finalement, m(A) = sup{m(K), K compact inclus dansA}.

Pour demontrer la partie unicite du theoreme 2.2 on aura aussi besoin du petit lemme suivant.

Lemme 2.4 (Ouverts de IR) SoitO un ouvert deIR, alorsO est une union denombrable dintervallesouverts disjoints 2 a 2, cest a dire quil existe (In)nIN t.q. In est un intervalle ouvert de IR pour toutn IN, In Im= sin =m etO= nINIn.Demonstration :

Pour x O on pose Ox ={y O; I(x, y) O}, avec I(x, y) ={tx+ (1 t)y, t [0, 1]} (on a doncI(x, y) = [x, y] ou [y, x]). On remarque queO =xOOx et que Ox est, pour tout xO, un intervalleouvert (cest lintervalle ] infOx, sup Ox[, avec inf 0x, sup Ox IR). Il est aussi facile de voir que, pourtout x, y O, OxOy= implique que Ox = Oy. On peut trouver A O t.q. O =xAOx etOx y = si x, y A,x =y. CommeOx= pour tout x A, on peut donc construire un applicationde A dans Ql en choisissant pour chaquex A un rationnel de Ox (ce qui est possible car tout ouvertnon vide de IR contient un rationnel). Cette application est injective car Ox Oy = si x, y A,x =y.lensembleA est donc au plus denombrable, ce qui termine la demonstration du lemme.

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Remarque 2.9 Dans la demonstration du lemme 2.4, Ox est la composante connexe de x. Le lemme

2.4 consiste donc a remarquer quun ouvert est reunion de ses composantes connexes, que celles ci sontdisjointes deux a deux et sont des ouverts connexes et donc des intervalles ouverts (car un connexe dansIR est necessairement un intervalle).

Demonstration de la partie unicite du theoreme 2.2 :

On a construit une mesure, notee , surB(IR) t.q. (]a, b[) pour touta, b IR, a < b. Supposons que msoit aussi une mesure surB(IR) t.q. m(]a, b[) pour tout a, bIR, a < b. En utilisant le lemme 2.4 et lesproprietes deadditivite de et dem, on en deduit que (O) = m(O) pour tout ouvert O de IR. Puis,en utilisant la derniere assertion du theoreme de regularite (qui sapplique pourm et pour, carm et sont des mesures surB(IR), finies sur les compacts), on obtient (A) =m(A) pour tout A B(IR), i.e.m= .

Remarque 2.10 Nous avons donc, dans cette section, construit une application, notee , deP(IR)dans IR+. Cette application nest pas une mesure mais nous avons montre que la restriction de

a latribu de Lebesgue, noteeL, etait une mesure. Puis, nous avons demontre queB(IR) L et obtenu ainsi,en prenant la restriction de aB(IR) la mesure que nous cherchions. On peut se demander toutefoisquelle est la difference entreLetB(IR). Du point de vue des cardinaux, cette difference est considerablecar card(L) = card(P(IR)) alors que card(B(IR)) = card(IR) mais du point de vue de lintegration, ladifference est derisoire, comme nous le pourrons le voir avec lexercice 4.17 (plus complet que lexercice2.26) car lespace mesure (IR, L, |L) est simplement le complete de (IR, B(IR), |B(IR)).

On donne maintenant une propriete, specifique a la mesure de Lebesgue, qui est a la base de toutes lesformules de changement de variables pour lintegrale de Lebesgue.

Proposition 2.8 (Invariance par translation generalisee) Soit IR et IR. Pour AP(IR), on noteA + = {x + , x A}. On a alors :

1. A B(IR) impliqueA + B(IR),2. (A + ) = ||(A) pour toutA B(IR).

Pour= 1, cette propriete sappelleinvariance par translation de .

Demonstration :

Pour la premiere partie de la proposition, on pose T ={A B(IR); A+ B(IR)}. On montrefacilement queT est une tribu contenant les intervalles ouverts, on en deduit que T = B(IR).

Pour la deuxieme partie, on pose, pour toutA B(IR),m1(A) =(A+ ) etm2(A) =||(A). Il estfacile de voir que m1 et m2 sont des mesures surB(IR), finies sur les bornes, et quelles sont egales surlensemble des intervalles ouverts. On raisonne alors comme dans la demonstration de la partie unicitedu theoreme 2.2 : En utilisant le lemme 2.4 et les proprietes deadditivite de m1et dem2, on en deduitque m1(O) = m2(O) pour tout ouvert O de IR. Puis, en utilisant la derniere assertion du theoreme deregularite (qui sapplique pour m1 et pour m2), on obtient m1(A) =m2(A) pour tout A B(IR). On adonc(A + ) = ||(A) pour toutA B(IR).

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Remarque 2.11 La mesure de Lebesgue est diffuse (c. a.d. que (x) = 0 pour tout xIR). Donc si Dest une partie denombrable de IR, (D) = 0. Ainsi,(IN) =(ZZ) =(Ql ) = 0. La reciproque est fausse.On construit par exemple un ensemble (dit ensemble de Cantor, K, qui est une partie compacte nondenombrable de [0,1], verifiant (K) = 0, voir exercice 2.25).

Definition 2.19 (Mesure de Lebesgue sur un borelien de IR) SoitIun intervalle deIR (ou, plusgeneralement, I B(IR)) etT ={B B(IR);BI} (on peut montrer queT =B(I), ouI est muni dela topologie induite par celle de IR, voir lexercice 2.3 page 35). Il est facile de voir queT est une tribusur I et que la restriction de (definie dans le theoreme 2.2) a T est une mesure surT, donc sur lesboreliens deI(voir 2.14 page 38). On note toujours par cette mesure.

2.6 Independance et probabilite conditionnelle

Commencons par expliquer la notion de probabilite conditionnelle sur lexemple du lancer de de. On seplace dans le modele equiprobable: soient E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, T =P(E) etp la probabilite definie parp({x}) = 16 ,x E. La probabilite de levenement A obtenir 6 est 16 . Supposons maintenant quelon veuille evaluer la chance dobtenir un 6, alors que lon sait deja que le resultat est pair (evenementB= {2, 4, 6}). Intuitivement, on a envie de dire que la chance dobtenir un 6 est alors 1cardB = 13 .Definition 2.20 (Probabilite conditionnelle) Soient (E , T , p) un espace probabilise et A, B T,p(B)= 0. La probabilite conditionnelle de A par rapport a B (on dit aussi probabilite de A sachantB), noteep(A|B) est definie par : p(A|B) = p(AB)p(B) .

De cette definition on deduit la formule de Bayes: soient (E , T , p) un espace probabilise et A, B T,alors:

p(B)p(A

|B) = p(A

B) (2.14)

Remarque 2.12 Soient (E , T , p) un espace probabilise et A un evenement tel que p(A)= 0. AlorslapplicationpA : T [0, 1] definie par:

pA(B) = p(B|A) = p(A B)p(A)

, B T (2.15)

est une probabilite sur T. On dit que la masse de pA est concentree en A : on a en effet : pA(B) = 0,pour toutB t.q. A B= . On a aussi pA(A) = 1.Definition 2.21 Soit (E , T , p) un espace probabilise, on appelle systeme de constituants une famille(Cn)nIN Tdensembles disjoints deux a deux telle quenINCn = E.

On a comme corollaire immediat de la relation 2.14:Proposition 2.9 Soient (E , T , p) un espace probabilise, (Cn)nIN T un systeme de constituants deprobabilites non nulles etA T, alors:

p(A) =nIN

p(Cn)p(A|Cn). (2.16)

Dans le cas ou p(B) = p(B|A), on a envie de dire que A ninflue en rien sur B ; on a dans ce cas:p(A)p(B) = p(A B).

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Definition 2.22 (Independance de deux evenements) Soient(E , T , p)on dit que deux evenements

A etB sont (stochastiquement) independants sip(A)p(B) = p(A B).Remarque 2.13 Attention: il est clair que, lors de la modelisation dun phenomene aleatoire, si on a desevenements independants a priori, i.e. tels que la realisation de lun na aucune influence sur la realisa-tion de lautre, on choisira, pour le modele probabiliste, une probabilite qui respecte lindependance: on ditque lindependance a priori implique lindependance stochastique. Cependant, la notion dindependanceest liee a la notion de probabilite; ainsi, pour une probabilite p donnee, deux evenements peuvent etreindependants alors quils ne paraissent pas intuitivement independants.

Exemple 2.3 Prenons comme exemple le lancer simultane de deux des: a priori, il parait raisonnablede supposer que les resultats obtenus pour chacun des deux des ninfluent pas lun sur lautre, et onva donc chercher une probabilite qui respecte cette independance. Lunivers des possibles est ici E ={(i, j), 1i6, 1j6}. Les resultats de chaque lancer simultane des deux des etant equiprobables,on a donc envie de definir, pour A P(E), p(A) =

cardA36 . Voyons maintenant si deux evenements a

priori independants sont independants pour cette probabilite. Considerons par exemple levenement A:obtenir un double 6; on peut ecrire: A = B C, ou B est levenement obtenir un 6 sur le premierde et C levenement obtenir un 6 sur le deuxieme de. On doit donc verifier que: p(A) = p(B)p(C).Or B ={(6, j), 1 j 6} et C ={(i, 6), 1 i 6}. On a donc p(B) = p(C) = 1

6, et on a bien

p(A) = p(B)p(C)(= 136).

Pour generaliser lindependance des evenements a plusieurs evenements, on passe par les tribus:

Definition 2.23 (Independance des tribus) Soient (E , T , p) un espace probabilise et (Tk)kIN unefamille de tribus incluses dans T ; on dit que les N tribus Tk k = 1, . . . , N sont independantes sipour toute famille (A1, . . . , AN) devenements tels que Ak Tk pour k = 1, . . . , N on a: p(Nk=1Ak) =p(A1)p(A2) . . . p(AN).

On peut facilement remarquer que si A et B sont deux evenements dun espace probabilise (E , T , p)sont independants (au sens de la definition 2.22) si et seulement si les tribus TA ={, E , A , Ac} etTB = {, E , B , Bc}sont independantes. On en deduit la generalisation de la definition dindependance aplusieurs evenements:

Definition 2.24 (Evenements independants) Soient(E , T , p)un espace probabilise et(Ak)k=1,Ndesevenements, on dit que les N evenements (Ak)k=1,N sont independants si les N tribus definies par:Tk = {Ak, Ack, E, } pourk= 1, N sont independantes.

2.6.1 Probabilites sur (IR, B(IR))Une probabilite est definie sur un espace probabilisable quelconque. Tres souvent, on ne connait du

probleme aleatoire que lon cherche a modeliser ni lensemble E(univers des possibles) ni la probabilitep. Par contre, on connait une image de la probabilite p par une application (dite mesurable, voirchapitre suivant) de Edans IR. On travaille alors avec lespace beaucoup plus sympathique (car mieuxdefini...) (IR, B(IR),p), ou p est une probabilite surB(IR), que les probabilistes appellent souvent loi deprobabilite.Nous donnons maintenant quelques notions propres aux lois de probabilites (ou probabilites definies sur(IR, B(IR))), ainsi que quelques exemples concrets utilises dans la representation de phenomenes aleatoires.

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Definition 2.25 (Fonction de repartition) Soitp une probabilite sur(IR, B(IR)). On appelle fonctionde repartition de la probabilitep la fonction F, definie de IR dans [0, 1] par: F(t) = p(] , t]). Cettefonction est croissante et continue a droite.Demonstration: Utiliser les proprietes de monotonie et de continuite croissante de la mesure.

Theoreme 2.4 Soit F une fonction croissante et continue a droite telle que limtF(t) = 0 etlimt+ F(t) = 1. Alors il existe une unique probabilite p surB(IR) telle que F soit la fonction derepartition dep.

Plus generalement, on a le theoreme suivant pour les mesures:

Theoreme 2.5 (Leb esgue-Stieljes)

1. Pour toute mesure m surB(IR), finie sur les compacts (on dit localement finie), et pour touta IR, la fonctionFdefinie surIR par : F(t) = m(]a, t]) sit a etF(t) = m(]t, a]) sit a estcontinue a droite et croissante.

2. Reciproquement, pour toute fonctionF deIR dansIR, croissante et continue a droite, il existe uneunique mesurem surB(IR) telle que pour tousa, bIR, t.q. ab, on aitm(]a, b] =F(b) F(a).Cette mesure sappelle la mesure de Lebesgue-Stieljes associee aF.

Pour demontrer ce theoreme, on introduit p, application definie de lensemble des intervalles de IR de laforme ]a, b] dans IR par: p(]a, b]) = F(b) F(a). La demonstration du fait quil existe un prolongementunique de cette application en une mesure surB(IR) est tres voisine a celle du theoreme de Caratheodory(theoreme 2.2).

Donnons, pour clore ce chapitre, quelques exemples de lois de probabilites et leurs fonctions de repartitionassociees.

Definition 2.26 (Loi discrete) Soitp une probabilite sur(IR, B(IR)). On dit quep est discrete si elleest purement atomique (lensemble de ses atomesA est denombrable, voir exercice 2.11). La probabilitep secrit alorsp=

aAp({a})a, oua designe la mesure de Dirac ena. La fonction de repartition de

la probabilitep est definie par: F(t) =aA,atp({a})

Exemple 2.4 (Exemples de lois discretes) Donnons quelques exemples de probabilites discretes, p,surB(IR) et deA lensemble (denombrable) de leurs atomes.

La loi uniformeA = {a1, . . . , aN}, p({ai}) = 1N La loi binomialeA = {1, . . . , N }, P]0, 1[, p({k}) =CkNPk(1 P)Nk

La loi de PascalA = IN, P]0, 1[ p({k}) = P(1 P)k1

La loi de Poisson a parametre A = IN, >0, p({k}) = e kk!.Definition 2.27 (Loi discrete) Soitp une probabilite sur (IR, B(IR)). On dit quep est continue si safonction de repartition est continue.

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Exemple 2.5 (Exemple de loi continue) La plupart des exemples de probabilites continues provient

de ce quon appelle les mesures de densite par rapport a la mesure de Lebesgue, pour lesquelles on abesoin de la notion dintegrale de Lebesgue quon na pas encore introduite. On peut toutefois deja citerlexemple de la loi uniforme sur un intervalle [a, b] de IR: Soient < a < b < +; pourA B(IR), onpose p(A) = (A[a,b])ba . On verifie facilement quep est une probabilite appelee probabilite uniforme sur[a, b].

2.7 Exercices

2.7.1 Tribus

Exercice 2.1 (Caracterisation dune tribu) Corrige 9 page 221

SoitEun ensemble.

1. SoitTune partie deP(E) stable par union denombrable, stable par passage au complementaire ett.q. T. Montrer que Test une tribu, cest-a-dire quelle verifie aussi E Tet quelle est stablepar intersection denombrable.

2. Lensemble des parties finies deEest-il une tribu ?

Exercice 2.2 (Tribu engendree) Corrige 10 page 221

SoitEun ensemble.

1. Montrer quune intersection quelconque de tribus surEest une tribu sur E.

2. SoitA P(E). On note TA lintersection de toutes les tribus sur E contenantA (une partiede Eappartient donc a T

A si et seulement si elle appartient a toutes les tribus contenant

A, on

remarquera quil y a toujours au moins une tribu contenantA, cest la tribuP(E)). Montrer queTA est la plus petite des tribus contenantA(cest la tribu engendree parA).

3. SoientA etB P(E) et TA, TB les tribus engendrees parA etB. Montrer que siA B alorsTA TB.

Exercice 2.3 (Exemples de Tribus) Corrige 11 page 222

1. Tribu trace

(a) SoitT une tribu sur un ensemble E et FE. Montrer queTF ={A F; A T }est unetribu sur F (tribu trace deT sur F).

(b) Si E est un espace topologique etT =B(E) (B(E) est la tribu borelienne de E), montrerque la tribu trace sur F, notee TF, est la tribu engendree par la topologie trace sur F (tribuborelienne de F, noteeB(F)). [Montrer queB(F) TF. Pour montrer que TF B(F),considererC={A P(E); A F B(F)} et montrer queC est une tribu (sur E) contenantles ouverts de E.] Si F est un borelien de E, montrer que TF est egale a lensemble desboreliens de Econtenus dans F.

2. SoitEun ensemble infini etS= {{x}, x E}. Determiner la tribu engendree par S(distinguer lescasEdenombrable et non denombrable).

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3. Soit Eun ensemble etfune application de Edans lui-meme. Montrer que lensemble des parties

Ade Et.q. f1

(f(A)) = A est une tribu sur E.4. Soit Eun ensemble et A un sous-ensemble de E. Trouver la tribu engendree parC ={B E|

A B}. A quelle condition obtient-onP(E) ou la tribu grossiere ?5. SoitEun ensemble etfune bijection deE. Montrer que lensemble des parties A de E t.q. (x A

f(x) A et f1(x) A) est une tribu sur E.6. Dans IR2, soitClensemble des parties de IR2 contenues dans une reunion denombrable de droites.

Decrire la tribu engendree parC. Est-ce une sous-tribu deB(IR2) ?Exercice 2.4 (Tribus images) Corrige 12 page 224

Soient E et F des ensembles. PourA P(E) (resp. P(F)) on note T(A) la tribu de E (resp. F)engendree par

A.

Soitf :E F une application.1. Montrer que siT est une tribu sur F, alors f1(T) ={f1(B); B T} est une tribu sur E

(tribu image reciproque).

2. Montrer que siTest une tribu sur E, alorsT= {B F; f1(B) T }est une tribu sur F (tribuimage directe).

3. Montrer que pour tout ensembleC de parties de F on a : T(f1(C)) = f1(T(C)). [Montrer queT(f1(C))f1(T(C)). Puis, pour montrer quef1(T(C))T(f1(C)), montrer queT ={GF; f1(G) T(f1(C))} est une tribu contenantC.]

Exercice 2.5 (Tribu borelienne de IR2) Corrige 13 page 225

On noteT la tribu (sur IR2) engendree par{A B; A, B B(IR)}. On va montrer ici que T = B(IR2).1. Montrer que tout ouvert de IR2 est reunion au plus denombrable de produits dintervalles ouverts

de IR. [Sinspirer dune demonstration analogue faite pour IR au lieu de IR2.] En deduire queB(IR2) T.

2. Soit A un ouvert de IR et T1 ={B B(IR);A B B(IR2)}. Montrer que T1 est une tribu (surIR) contenant les ouverts (de IR). En deduire que T1= B(IR).

3. Soit B B(IR) et T2= {A B(IR); A B B(IR2)}. Montrer que T2= B(IR).4. Montrer que T B(IR2) (et donc que T = B(IR2)).

Exercice 2.6 (Tribu borelienne sur IRN) Corrige 14 page 226

1. Montrer que la tribu borelienne de IRN est egale a celle engendree par lensemble de toutes les boulesouvertes de IRN. [On pourra montrer dabord que tout ouvert de IRN est reunion denombrable deboules ouvertes de IRN.]

2. Montrer que la tribu borelienne de IRN est egale a celle engendree par lensemble des produitsdintervalles ouverts a extremites rationnelles.

3. Montrer que la tribu borelienne de IR est engendree par les intervalles ]a, b] ou a, b IR, a < b.

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4. Soit Sun sous ensemble dense de IR. Montrer queB(IRN) est engendree par la classe des boulesouvertes (ou bien fermees) telles que les coordonnees du centre et le rayon appartiennent S.

Exercice 2.7 (Une tribu infinie est non denombrable) ()

Montrer que toute tribu infinieTsur un ensemble (infini)Eest non denombrable. [Si Test denombrable,on pourra introduire, pour tout element xE, lensemble A(x) intersection de tous les elements de Tcontenant x. Puis, montrer a laide de ces ensembles quil existe une injection deP(IN) dans T.]Exercice 2.8 (Algebre)

Soit E un ensemble. Une algebre est une classe de parties de E contenant, stable par passage aucomplementaire et stable par reunion finie. Toute tribu est une algebre et une algebre finie est une tribu.

1. Montrer que pour toute classeC il existe une plus petite algebre la contenant.

2. Soit (An)nIN une suite croissante de tribus de E. Montrer queA = nINAn est une algebre, maisnest pas une tribu en general. Donner une suite dalgebres finies de parties de [0, 1] dont la reunionengendreB([0, 1]).

Exercice 2.9 (Tribu engendree par une partition)

SoitEun ensemble.

1. Soit (Ai)iIune partition denombrable deE. Decrire la tribu engendree par cette partition, cest adire par le sous ensemble deP(E) dont les elements sont lesAi. Cette tribu est-elle denombrable?

2. Montrer que toute tribu finie de parties de Eest la tribu engendree par une partition finie de E.Quel est le cardinal dune telle tribu?

3. () Montrer que si Eest denombrable, toute tribu sur Eest engendree par une partition.

Exercice 2.10 Corrige 15 page 228

SoientEun ensemble et A P(E). On dit que A est une algebre (sur E) si A verifie les quatre proprietessuivantes :

, E A, Aest stable par union finie, cest-a-dire : A1, . . . , An A np=0Ap A, Aest stable par intersection finie, cest-a-dire : A1, . . . , An A np=0Ap A, Aest stable par passage au complementaire.

1. Montrer queAest une algebre si et seulement siAverifie les deux proprietes suivantes :

(a) E A,(b) A, B A A \ B A.

2. Soit (Ai)iIune famille dalgebres (sur E). Montrer queiIAi ={A P(E); A Ai pour touti I} est encore une algebre.

SiC P(E), la deuxieme question permet donc de definir lalgebre engendree parCcomme lintersectionde toutes les algebres sur E contenantC.Exercice 2.11 Corrige 16 page 228

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Soit Eun ensemble etC un ensemble de parties de E. On suppose que, E C, queC est stable parintersection finie et que le complementaire de tout element deCest une union disjointe de deux elementsdeC, cest-a-dire :

C C il existe C1, C2 C t.q. Cc =C1 C2 etC1 C2= .1. Montrer que lalgebre engendree par Cest egale a lensemble des reunions finies disjointes delements

deCcest-a-dire que, pour toutA P(E),A appartient a lalgebre engendree parCsi et seulementsi il existe (Ap)p=1,...,n C t.q. Ap Aq = si p =qetA = np=1Ap.

2. Montrer que le resultat de la question precedente reste vrai si on remplace lhypothese le comple-mentaire de tout element de Cest une union disjointe de deux elements de C par le complementairede tout element deC est une union finie disjointe delements deC

Exercice 2.12 Corrige 17 page 229

Soit E un e

3996373 mesure et integration lectures notes 2005

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