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C OEF I C I E N TE D E D I L A TAC I ÓN L I N EAL

1 PLANEAMIENTO DEL EXPERIMENTO

1.1 INTRODUCCIÓN

La mayoría de los materiales se exa!de! "#a!do so! "ale!tados e! #! ra!$o de temerat#ra do!de !o o"#rre!"am%ios de &ase. La adi"i'! de "alor i!"reme!ta la amlit#d romedio de la (i%ra"i'! de los )tomos e! el material*lo "#al i!"reme!ta la seara"i'! romedio e!tre los )tomos. Co!sideremos #! o%+eto de lo!$it#d  L el "#alexerime!ta #! "am%io de temerat#ra ,T . -i ,T es rao!a%leme!te e/#e0o el "am%io e! la lo!$it#d , L* es$e!eralme!te roor"io!al a L y ,T .Matem)ti"ame!te1 ∆ L =  L2 −  L1 = α ⋅  L1 ⋅ (T 2  − T 1 ) = α ⋅  L1 ⋅ ∆T * oseaAl ser T 2 > T 1 e!to!"es L2 > L1. 3&i$#ra 14

⋅  ⋅  314

 L2 =  L1 + ∆ L =  L1 ⋅ (1 + α ⋅ 

∆T )

324

Do!de 5 es llamado el "oe&i"ie!te de exa!si'! li!eal delmaterial. E! materiales isotr'i"os 5 6178C9 !o dee!de dela dire""i'! e! la /#e se mide la exa!si'!* a#!/#e 5 #ede dee!der de la temerat#ra. Los materiales "o! los"#ales tra%a+aremos so! isotr'i"os y* e! el ra!$o detemerat#ra e! /#e se realiar)! los exerime!tos* el"oe&i"ie!te de exa!si'! r)"ti"ame!te !o (aría "o! latemerat#ra. N'tese /#e la exa!si'! del "#ero se da e!las tres dire""io!es del esa"io.E! el rese!te exerime!to se i!trod#"ir) al termistor "omo eleme!to se!sor de temerat#ra* y al relo+

"omarador "omo medidor de deslaamie!tos.

T 1

 L1 , L

T 2

 L2&i$#ra 1 rerese!ta"i'! de la dilata"i'! de los "#eros

T 2 > T 1

1.2 :UNDAMENTO TEÓRICOLa temerat#ra es el (alor medio de la e!er$ía "i!;ti"a de las artí"#las de #! "#ero.U!a (e /#e el "alor se tra!smite o roa$a a #! "#ero* la temerat#ra del mismo se i!"reme!ta y de estemodo* roiedades del "#ero tie!de! a "am%iar* e!tre ellas se #ede! me!"io!ar (aria"io!es de

• 

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termistor t#%os de r#e%a

relo+"omarador 

-oorte li%re-oorte

 L

1 2

termistor t#%o de r#e%a

m#ltímetro

, L

 R

 Relo+ "omarador 

&i$#ra 2 dilat'metro 3(istas &ísi"a y es/#em)ti"a4

Para o%te!er le"t#ras de la , L  ara "ada ,T * se re/#iere! i!str#me!tos de medida de r)ida res#esta* #es lasle"t#ras de%e! "orreso!der al mismo i!sta!te de la medi"i'!. El "ali%re tio relo+ reso!der) i!mediatame!te a los"am%ios de lo!$it#d* si! em%ar$o e! la medida de la temerat#ra existe la di&i"#ltad de e!"o!trar #! i!str#me!to deres#esta r)ida. De%emos dese"=ar la idea de emlear #! term'metro de mer"#rio* #es el tiemo de res#esta deeste i!str#me!to es m#y lar$o es de"ir* es m#y le!to. Ello se de%e a /#e el "alor de%e rimero roa$arse otra!s&erirse a tra(;s del (idrio y l#e$o a tra(;s del mer"#rio mismo* ello ermitir) s#%ir la e!er$ía "i!;ti"a de s#s)tomos =asta /#e el i!"reme!to de la temerat#ra rod#"a la dilata"i'! e! la "ol#m!a de mer"#rio. Ese ro"eso #ede tomarle a este i!str#me!to #! tiemo mayor al mi!#to* ex"esi(ame!te $ra!de ara oder "o!o"er latemerat#ra i!sta!t)!ea de #! "#ero "#yo (alor est) "am%ia!do erma!e!teme!te e! el tiemo* "omo es el "aso delexerime!to a realiarse.

Los "#eros osee! la roiedad resisti(idad > ρ?*

;sta se re&iere a la oosi"i'! o &re!o /#e o&re"e!al aso de "orrie!te el;"tri"a* or e+emlo losmetales "omo la lata* el "o%re y al#mi!io so! %#e!os "o!d#"tores de "orrie!te el;"tri"a*"o!se"#e!teme!te tie!e! #!a %a+a resisti(idad.Esta roiedad (aría "o! la temerat#ra.

Adem)s de la resisti(idad > ρ? /#e es #!a roiedad roia de "ada material* las"ara"terísti"as $eom;tri"as del "#ero so!imorta!tes tam%i;! ara determi!ar laresiste!"ia total > R ?* se$@! la exresi'!

 R = ρ  L

* 34 do!de A

 R Resiste!"ia e! 6B9 ρ Resisti(idad e!6B m9 L Dista!"ia e!tre los #!tos de medida e! 6m9 A La se""i'! tra!s(ersal del "#ero e! 6m29

 R [Ω]

termistor PTC

termistor NTC

RTD

&i$#ra "#r(as "ara"terísti"as T[ºC]

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COE:ICIENTE DE RE-I-TENCIA DE TEMPERATURA* $e!eralme!te llamado "oe&i"ie!te de temerat#ra es lara'! de "am%io de resiste!"ia al "am%io de temerat#ra. U! "oe&i"ie!te ositi(o si$!i&i"a /#e la resiste!"iaa#me!ta a medida /#e a#me!ta la temerat#ra. -i el "oe&i"ie!te es "o!sta!te* si$!i&i"a /#e el &a"tor de roor"io!alidad e!tre la resiste!"ia y la temerat#ra es "o!sta!te y /#e la resiste!"ia y la temerat#ra se$ra&i"ar)! e! #!a lí!ea re"ta.

C#a!do se #sa #! alam%re de metal #ro ara la medi"i'! de temerat#ra* se le re&iere "omo dete"tor resisti(o de

temerat#ra* termorresiste!"ia o RTD 3or las si$las e! i!$les de Resisti(e Temerat#re Dete"tor4. Los metales #ros tie!e! #! "oe&i"ie!te de resiste!"ia de temerat#ra ositi(o %asta!te "o!sta!te "omo se (e e! la &i$#ra .

C#a!do se #sa! 'xidos met)li"os 3emleados e! eleme!tos ele"tr'!i"os4 ara la medi"i'! de temerat#ra* elmaterial de oxido met)li"os "o!&ormado e! &orma /#e se aseme+a! a e/#e0os %#l%os o e/#e0os "aa"itores. Eldisositi(o &ormado así se llama Termistor . Los termistores NTC tie!e! "oe&i"ie!tes de temerat#ra !e$ati(os$ra!des /#e !o so! "o!sta!tes "omo se (e e! la &i$#ra . E! otras ala%ras* el "am%io de resiste!"ia or #!idad de"am%io de temerat#ra es m#"=o mayor /#e ara el metal #ro* ero el "am%io es e! la otra dire""i'! la resiste!"iadismi!#ye a medida /#e se a#me!ta la temerat#ra. El =e"=o de /#e el "oe&i"ie!te !o sea "o!sta!te si$!i&i"a /#e el"am%io e! la resiste!"ia or #!idad de "am%io de temerat#ra es di&ere!te a di&ere!tes temerat#ras. E! "am%io lostermistores PTC tie!e! "oe&i"ie!tes de temerat#ra ositi(os /#e (aría! dr)sti"ame!te e! !"i'! a la temerat#ra"omo se (e e! la &i$#ra .

Como re$la $e!eral* los termistores so! re&eri%les "#a!do la %a!da de temerat#ras eserada es a!$osta* mie!tras/#e los RTD so! re&eri%les "#a!do la %a!da de temerat#ra eserada es amlia. Adem)s de ello el tiemo deres#esta de los termistores es %a+o* "o!di"io!es imorta!tes ara el rese!te exerime!to.

Co!se"#e!teme!te se emlear) e! el rese!te exerime!to #! termistor ara la medida de la temerat#ra del t#%o*"o!e"t)!dolo al mismo "o! #!a t#er"a y midie!do "o! el o=mi'metro del m#ltímetro el (alor de s# resiste!"ia* tal"omo se m#estra e! la &i$#ra 2 3soli"itar ay#da del do"e!te ara el #so del m#ltímetro o tester del i!$l;s4. NOTA La ta%la 1 m#estra la rela"i'! e!treT y R del termistor a emlearse e! el exerime!to.

1. :ORMULACIÓN DE LA IPÓTE-I-

De %e (alidarse la e"#a"i'! ∆ L = α ⋅  L1 ⋅ ∆T 

34* si =a"emos  K = α ⋅  L1 34* te!emos ∆ L =  K ⋅ 

∆T 

3F4*

La e"#a"i'! 3F4 rerese!ta a #!a re"ta de la &orma  y = a + b ⋅  x

"o! "orte e! la orde!ada “a” i$#al a "ero y

 e!die!te “b” i$#al a K, de do!de #ede dese+arse el (alor de 5 .

ERROR DE LA E-TIMACIÓN DE LO- PARGMETRO- RE:ERENCIALE-

>a? (de la regresi! li!eal"

i'tesis !#la o

i'tesis alter!ati(a 1 a = Ha ≠ H

ilateral o de dos "olas

“b”(de la regresi! li!eal".  K = α ⋅  L1 3 L1 es la lo!$it#d i!i"ial4

T#%o de =ierro $al(a!iado 5J1*1Fx1HK 8CK1 3re&ere!"ial4

i'tesis !#la o

i'tesis alter!ati(a 1 b =  K = 1*1F×1H

b =  K ≠ 1*1F×1H

−°C

−1

−°C

−1

⋅  L1⋅  L1

ilateral o de dos "olas

T#%o de al#mi!io 5J2*Fx1HK 8CK1 3re&ere!"ial4 − −1

i'tesis !#la o

i'tesis alter!ati(a 1

b =  K = 2*F ×1H

b =  K ≠ 2*F ×1H

°C  −°C

−1

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⋅  L1 ⋅  L1 ilateral o de dos "olas

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T#%o de "o%re 5J1*FFx1HK 8CK1 3re&ere!"ial4− −1

i'tesis !#la o

i'tesis alter!ati(a 1

b =  K = 1*FF×1H

b =  K ≠ 1*FF×1H

°C 

−°C

−1

⋅  L1⋅  L1

ilateral o de dos "olas

1. OETI

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E!to!"es odr) are"iar /#e el t#%o se dilata y el relo+ "omarador de%e re$istrar #! , L, si !o se re$istrara tal* es osi%le /#e el rodillo del relo+ "omarador !o est; =a"ie!do %#e! "o!ta"to "o! el toe 3soorte li%re4 del t#%o o;ste ya !o se #eda deslaar or =a%er lle$ado =asta el extremo de s# re"orrido.

L#e$o de (eri&i"ar la "orre"ta oera"i'! del relo+ "omarador* des"o!e"te la ma!$#era del t#%o ara ermitir almismo e!&riarse.

E! ese mismo i!sta!te re$istre e! sim#lta!eidad L1 Co! #!a re$la $rad#ada* la dista!"ia e!tre el extremo &i+o del soorte y el li%re del toe "omo

se m#estra e! la &i$#ra 2. R1 Co! el m#ltímetro* la resiste!"ia del termistor., L Posi"io!ar e! "ero el relo+ "omarador.

1.. OTENCIÓN DE MEDIDA- DE LA-

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IERRO AL

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2.1 CGLCULO-

•  Determi!e el (alor de las temerat#ras e! el t#%o a artir de los (alores de resiste!"ia el;"tri"a o%te!idas"o! el m#ltímetro. Para ello de%e =a"er #so de la ta%la 1 roor"io!ada or los &a%ri"a!tes del termistor.

•  I!terola"i'! Para =allar (alores de temerat#ra i!termedios a los /#e aare"e! e! la ta%la a!terior %asta

s#o!er /#e la "#r(a se "omorta de ma!era li!eal e! i!ter(alos e/#e0os. Así* or e+emlo* si o%te!emosel (alor  R  ara la resiste!"ia* la temerat#ra T i estar) e!tre las temerat#ras T i#1 y T i$1* aso"iadas a los(alores de resiste!"ia "o!se"#ti(os Ri#1 y  Ri$1 de la ta%la tales /#e Ri$1 W  Ri W  Ri#1. -#o!ie!do li!ealidad ara i!ter(alos e/#e0os* se o%tie!e la si$#ie!te exresi'! /#e !os re"#erda a la e"#a"i'! de la re"ta "o!dos #!tos "o!o"idos de la $eometría a!alíti"a

 T   i

− T   i − 1

= T   i + 1

− T   i − 1 

es de"ir  Ti +1

− T  i −1

i ⋅ ( R

i−  R

i −1) + T i −1

 Ri −  Ri −1  Ri +1 −  Ri −1

  Ri +1−  Ri −1

O"io!alme!te #ede realiar #! a+#ste or re$resi'! de los #!tos de la ta%la 1 ara o%te!er #!a e"#a"i'!exo!e!"ial y emlearla ara e!"o!trar los (alores de T i media!te el #so de la e"#a"i'! o%te!ida.

ALUMINIO

T 1=

  75−76

12.932−12.479(12.78−12.479 )+76

T 1=¿  Q.

T 2=

  71−72

14.945−14.410(14.61−14.410 )+72

T 2=¿  Q1.F2F

T 3=

  67−68

17.321−16.689(16.9−16.689 )+68

T 3=¿  FQ.FFF

T 4=

  62−63

20.919−20.136(20.34−20.136 )+63

T 4=¿  F2.Q

T 5=   60−6122.590−21.736

(21.91−21.736 )+61

T 5=¿  FH.QF

T 6=

  57−58

25.390−24.415(24.46−24.415 )+58

T 6=¿  Q.

T 7=

  54−55

28.590−27.475(28.42−27.475 )+55

T =

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T 7=¿  .12

T 8=

  52−53

30.976−29.756(30.34−29.756 )+53

T 8=¿  2.21

T 9=

  50−51

33.591−32.253(33.08−32.253 )+51

T 9=¿  H.2

T 10=

  47−48

37.995−36.458(36.82−36.458 )+48

T 10=¿  Q.QF

IERRO AL

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11/25

T 7=

  72−73

14.410−13.897(14.25−13.897 )+73

T 7=¿  Q2.12

T 8=

  71−72

14.945−14.410(14.79−14.410 )+72

T 8=¿  Q1.2H

T 9=

  70−71

15.502−14.945(15.32−14.945 )+71

T 9=¿  QH.2Q

T 10=

  69−70

16.083−15.502(15.66−15.502 )+70

T 10=¿  F.Q2

T 11=

  69−70

16.083−15.502(15.92−15.502 )+70

T 11=¿  F.2H

T 12=

  68−69

16.689−16.083 (16.39−16.083 )+69

T 12=¿  F.2

CORE

T 1=

  77−78

12.043−11.625(12.02−11.625 )+78

T 1=¿  QQ.H

T 2=  73−74

13.897−13.405 (13.51−13.405 )+74

T 2=¿  Q.QF

T 3=

  70−71

15.502−14.945(15.15−14.945 )+71

T 3=¿  QH.F2

T 4=

  66−67

17.980−17.321(17.33−17.321 )+67

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12/25

T 4=¿  FF.F

T 5=

  63−64

20.136−19.386(19.71−19.386 )+64

T 5=¿  F.F

T 6=

  59−60

23.483−22.590 (23.24−22.590

)+60

T 6=¿  .2Q2

T 7=

  56−57

26.409−25.390(26.18−25.390 )+57

T 7=¿  F.H1

T 8=

  52−53

30.976−29.756(30.92−29.756 )+53

T 8=¿  2.HF

T 9=

  47−48

37.995−36.458(36.58−36.458 )+48

T 9=¿  Q.21

T 10=

  42−43

46.863−44.917(45.19−44.917 )+43

T 10=¿  2.FH

LO- RE-ULTADO- -ON

ALUMINO

n T (˚C) Ri (KΩ) ΔLi (m)

1 75,335 12,78 0,0001

2 71,626 14,61 0,0002

3 67,666 16,9 0,0003

4 62.739 20,34 0,0004

5 60.796 21,91 0,00045

6 57.954 24,46 0,0005

7 54.152 30,34 0,00055

8 52.521 29,12 0,0006

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13/25

9 50.382 33,08 0,00065

10 47.764 36,82 0,0007

IERRO AL

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14/25

∑ ∆T i ∑∆ L

i−∑ 

∆T i ∑ ∆ Li∆T i

+

!∑ ∆T i∆ Li −∑ ∆T i∑ ∆ Li × ∆T  3Q4

! T 2 Y 

(T

)2

! T 2 Y 

(T

)2

∑  i ∑  i ∑  i ∑  i

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15/25

ALUMINIO

D'!de

De la e"#a"i'! 3Q4

a J H.HHH11HF J 1.1HFx1HK

S J H.HHHH2H1Q J 2.H1Q x1HK

r J H.1H2Q J H.

 IERRO AL

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16/25

y el $ra&i"o es

0 2 4 6 8 10 120

0

0

0

0

0

00

0

ALUMINIO ΔL (m) vs ΔT (˚C)

IERRO AL

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17/25

0 2 4 6 8 10 12 140

0

0

0

0

0

0

0

HIERRO GALVANIZADOΔL (m) vs ΔT (˚C)

CORE

ΔT(˚C) ΔLi (m)0.502 0,00005

3.771 0,0001

6.925 0,00015

10.571 0,0002

13.989 0,00025

18.285 0,0003

21.538 0,00035

25.511 0,0004

29.636 0,00045

34.697 0,0005

el $ra&i"o es

0 2 4 6 8 10 120

0

0

0

0

0

0

COBREΔL (m) vs ΔT (˚C)

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18/25

•  De la e"#a"i'! ∆ L = a + b ⋅ ∆T * do!de a de%e ser "ero se emlea ara (alidar la e"#a"i'! de dilata"i'!li!eal y b%K ara determi!ar el (alor de5.

ALUMINIO

&' a % )   K = α ⋅  L1

E!to!"es

α ⋅  L1= 2.H1Q x1HK

 Dese+a!do α ; 

α= 2. x1HK 8CK1

IERRO AL

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19/25

ta%la 1Cara"terísti"a T (s R del termistor a emlearse e! la%oratorio 3el #!to rerese!ta seara"i'! de"imal4

2.2

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20/25

  ∑ T 2

 [(a Z  [ % [ T

) 

  Y  [ L

]2

e2

do!de  s =  s × i  s = 

∑ i i= 

∑  ia ∆ L

∆T  !∑ ∆T2

− (∑ ∆T )2  ∆ L

∆T 

! − 2 ! − 2

i i

Como el a!)lisis es de dos "olas* se %#s"a e! ta%las * de *ablas * α

Para !o re"=aar o* de%e "#mlirse * +al+-lad / * de *ablas.

2 *! − 2

De lo "o!trario se re"=aa o* es de"ir la e"#a"i'! de dilata"i'! li!eal !o =a sido (alidada or/#e el ro"edimie!to

 rese!t' error sistem)ti"o. -e s#$iere emlear #!a si$!i&i"a!"iaα72 J H*HH 3* α 02 dos "olas4.

 K De la re$resi'! li!eal se o%tie!e b* ero b =  K = α ⋅  L1 * es de"ir α = L1

 K  ex  −  K *e.

-e emlear) el estadísti"o de -t#de!t * +a l+. =

 sb

 K *e es

* do!de

•  b =  K = 1*1F×1H

−°C

−1⋅  L1 =ierro $al(a!iado

•  b =  K = 2*F ×1H−°C

−1 ⋅  L1 al#mi!io

•  b =  K = 1*FF×1H

−°C

−1⋅  L1 "o%re

  sL

  e2 

∑[(a Z  [ % [ T

)

  Y  [ L

]2

 s =  ∆T  *  s∆ L =  ∑ i J i

i

!

∑ ∆T2

− 1

(∑ ∆T)2 ∆T − 2 ! − 2i

!i

Como el a!)lisis es de dos "olas* se %#s"a e! ta%las * de *ablas * α

Para !o re"=aar o* de%e "#mlirse * +al+-lad / * de *ablas.

2 *! − 2

De lo "o!trario se re"=aa o* es de"ir la e"#a"i'! de dilata"i'! li!eal !o =a sido (alidada or/#e el ro"edimie!to

 rese!t' error sistem)ti"o. -e s#$iere emlear #!a si$!i&i"a!"iaα72 J H*HH 3* α 02 dos "olas4.

 No se #do (alidar la =iotesis !#la ya /#e

ALUMINIO

a ) b % K 1*1Fx1HK 8CK1 ⋅  L1

IERRO AL

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  a ) b % K 1*1Fx1HK 8CK1 ⋅  L1

CONCLUCIONE-

EN E-TE EXPERIMENTO -E PUDO

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UN AUMENTO DE TEMPERATURA ALARA UN METAL MA- UE EL OTRO* PRO

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