5to sec ii olimpiada recreativa 2013

II Olimpiada Recreativa de Matemática 1

II OLIMPIADA RECREATIVA DE MATEMÁTICA

JUEGOS Y PROBLEMAS 2013

QUINTO DE SECUNDARIATiempo: 80 minutos

Problema 1. Dada la progresión aritmética de números enteros positivosa1, a2, a3, a4, ... .

Si21 10 y 100aa a . Calcule

3aaa .

Notación: an denota el término de lugar n de la progresión aritmética.

(A) 820 (B) 816 (C) 136 (D) 85 (E) 22

Problema 2. Considere el conjunto 0 0S {( , ) : 18}a b a b . La suma de

todos los números de la forma 18! , ( , ) ,! !

a b Sa b

es:

(A) 86 (B) 9! (C) 96 (D) 126 (E) 12!

Problema 3. Sabiendo que x, y y z son números reales que satisfacen que:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 532 67

2 2 89

x y x yy z y z

z x z xDetermine el valor de (xyz)2

(A) 225 (B) 144 (C)140 (D)64 (E) 20

Problema 4. Si:

cos12 cos24 cos 48 cos96 ab

donde a y b son números enteros positivos primos entre sí. ¿Cuál es el valor de a+b?

(A) 3 (B) 8 (C) 17 (D) 20 (E) 24

Quinto de Secundaria .


Problema 5. Dada la sucesión:

1 2

1 2

2, 5 y( 3)n n n

T TT T T n

Por ejemplo, 3 2 1 4 3 25 2 10, 10 5 50.T T T T T TEncuentre el valor de k tal que kT termina en exactamente 987 ceros.

(A) 20 (B) 18 (C) 17 (D) 16 (E) 15

Problema 6. Dado un hexágono regular de lado 1 cm, calcule el promedio de lasáreas de los 20 triángulos cuyos vértices son vértices del hexágono.

(A) 9 320

(B) 7 310

(C) 7 320

(D) 9 310

(E) 19 320

Problema 7. Dada la función : ®f que satisface:

( ) ( 1) ( ) ( ) 2+ + - = +f m n f mn f m f n

para todo , Îm n . Calcular el valor de f(2014) + f(2012), siendo f(2013)=k

(A) k – 1 (B) k + 1 (C) 2k – 1 (D) 2k + 2 (E) 2k+1

Problema 8. Sobre una circunferencia de radio unitario se colocan en sentidohorario n ( 2n ³ ) puntos distintos consecutivos 1 2, , ... , nA A A , de tal manera que las

longitudes de los arcos 1 2 2 3 1, , ..., n nAA A A A A- , forman una progresión geométrica. Si el

primer término de dicha progresión es p y la razón es 12

, encuentre la suma de los

valores que puede tomar n para que la longitud del arco 1nA A sea mayor que256p .

Aclaración: Para todo arco k lA A la longitud del arco se mide entre el punto kA y elpunto lA en sentido horario.

(A) 41 (B) 42 (C) 43 (D) 44 (E) 45



Problema 9. Sabiendo que la ecuación

3 2 ; , 0, 1, ,mx px q p q q mtiene 3 raíces reales a, b y c, el valor de:

2 2 2log [ ( ) ]a b cq abc a b c

es:

(A) 2 logqm p p (B) 2 logqm p p (C) logqm p p

(D) logqm p p (E) 2 logqm p p

Problema 10. En el triángulo ABC los ladosAB, BC y AC miden 5 cm, 6 cm y 7 cmrespectivamente. Si PA + AQ es igual a la mitaddel perímetro del triángulo ABC, y el área deltriángulo APQ es la mitad del área del triánguloABC, entonces la longitud del segmento PB es:

(A) 9 112

(B) 1 112

(C) 7 112

(D) 2 (E) 3

Problema 11. Determine cuántos pares de enteros positivos (m; n) existen talesque:

2 2( 1)! ( 1)!+ + + =m n m n

Recuerde: ! 1 2 3 ...= ´ ´ ´ ´k k

(A) Ninguna (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 5

Problema 12. Calcule el valor de:1 1 1...

cos cos2 cos2 cos3 cos2013 cos2014x x x x x x

Para2013

x

(A) 0 (B) - 1 (C) 12

(D) 22

(E) 2



Problema 13. En un triángulo ABC obtuso en B, se traza la altura BH (H enAC), si AC = 8,5. Cuál es el mayor valor entero que puede tomar BH.

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 7 (E) 8

Problema 14. Dado un cuadrado ABCD con lados de longitud 1cm. Se ubica unpunto X en BC a una distancia d de C, y un punto Y en CD a una distancia d de C.Las prolongaciones de: AB y DX se cortan en P,

AD y BY se cortan en Q,AX y DC se cortan en R, yAY y BC se cortan en S.

Si los puntos P, Q, R y S son colineales, encuentre el valor de d.

(A) 3 52

- (B) 3 52

+ (C) 32

(D) 53

(E) 12

Problema 15. Dentro del tablero de ajedrez de 8×8, formado por 64 cuadraditosde lado 1 cm, se desea dibujar circunferencias de modo que ninguna pase por algúnpunto interior de un cuadradito negro, con diámetro de al menos 1 cm. ¿Cuál es lamáxima cantidad de circunferencias que se pueden dibujar?

(A) 80 (B) 79 (C) 63 (D) 58 (E) 50

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