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II Olimpiada Recreativa de Matemática 1
II OLIMPIADA RECREATIVA DE MATEMÁTICA
JUEGOS Y PROBLEMAS 2013
QUINTO DE SECUNDARIATiempo: 80 minutos
Problema 1. Dada la progresión aritmética de números enteros positivosa1, a2, a3, a4, ... .
Si21 10 y 100aa a . Calcule
3aaa .
Notación: an denota el término de lugar n de la progresión aritmética.
(A) 820 (B) 816 (C) 136 (D) 85 (E) 22
Problema 2. Considere el conjunto 0 0S {( , ) : 18}a b a b . La suma de
todos los números de la forma 18! , ( , ) ,! !
a b Sa b
es:
(A) 86 (B) 9! (C) 96 (D) 126 (E) 12!
Problema 3. Sabiendo que x, y y z son números reales que satisfacen que:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 532 67
2 2 89
x y x yy z y z
z x z xDetermine el valor de (xyz)2
(A) 225 (B) 144 (C)140 (D)64 (E) 20
Problema 4. Si:
cos12 cos24 cos 48 cos96 ab
donde a y b son números enteros positivos primos entre sí. ¿Cuál es el valor de a+b?
(A) 3 (B) 8 (C) 17 (D) 20 (E) 24
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Quinto de Secundaria .
II Olimpiada Recreativa de Matemática 2
Problema 5. Dada la sucesión:
1 2
1 2
2, 5 y( 3)n n n
T TT T T n
Por ejemplo, 3 2 1 4 3 25 2 10, 10 5 50.T T T T T TEncuentre el valor de k tal que kT termina en exactamente 987 ceros.
(A) 20 (B) 18 (C) 17 (D) 16 (E) 15
Problema 6. Dado un hexágono regular de lado 1 cm, calcule el promedio de lasáreas de los 20 triángulos cuyos vértices son vértices del hexágono.
(A) 9 320
(B) 7 310
(C) 7 320
(D) 9 310
(E) 19 320
Problema 7. Dada la función : ®f que satisface:
( ) ( 1) ( ) ( ) 2+ + - = +f m n f mn f m f n
para todo , Îm n . Calcular el valor de f(2014) + f(2012), siendo f(2013)=k
(A) k – 1 (B) k + 1 (C) 2k – 1 (D) 2k + 2 (E) 2k+1
Problema 8. Sobre una circunferencia de radio unitario se colocan en sentidohorario n ( 2n ³ ) puntos distintos consecutivos 1 2, , ... , nA A A , de tal manera que las
longitudes de los arcos 1 2 2 3 1, , ..., n nAA A A A A- , forman una progresión geométrica. Si el
primer término de dicha progresión es p y la razón es 12
, encuentre la suma de los
valores que puede tomar n para que la longitud del arco 1nA A sea mayor que256p .
Aclaración: Para todo arco k lA A la longitud del arco se mide entre el punto kA y elpunto lA en sentido horario.
(A) 41 (B) 42 (C) 43 (D) 44 (E) 45
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Quinto de Secundaria .
II Olimpiada Recreativa de Matemática 3
Problema 9. Sabiendo que la ecuación
3 2 ; , 0, 1, ,mx px q p q q mtiene 3 raíces reales a, b y c, el valor de:
2 2 2log [ ( ) ]a b cq abc a b c
es:
(A) 2 logqm p p (B) 2 logqm p p (C) logqm p p
(D) logqm p p (E) 2 logqm p p
Problema 10. En el triángulo ABC los ladosAB, BC y AC miden 5 cm, 6 cm y 7 cmrespectivamente. Si PA + AQ es igual a la mitaddel perímetro del triángulo ABC, y el área deltriángulo APQ es la mitad del área del triánguloABC, entonces la longitud del segmento PB es:
(A) 9 112
(B) 1 112
(C) 7 112
(D) 2 (E) 3
Problema 11. Determine cuántos pares de enteros positivos (m; n) existen talesque:
2 2( 1)! ( 1)!+ + + =m n m n
Recuerde: ! 1 2 3 ...= ´ ´ ´ ´k k
(A) Ninguna (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 5
Problema 12. Calcule el valor de:1 1 1...
cos cos2 cos2 cos3 cos2013 cos2014x x x x x x
Para2013
x
(A) 0 (B) - 1 (C) 12
(D) 22
(E) 2
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Quinto de Secundaria .
II Olimpiada Recreativa de Matemática 4
Problema 13. En un triángulo ABC obtuso en B, se traza la altura BH (H enAC), si AC = 8,5. Cuál es el mayor valor entero que puede tomar BH.
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 7 (E) 8
Problema 14. Dado un cuadrado ABCD con lados de longitud 1cm. Se ubica unpunto X en BC a una distancia d de C, y un punto Y en CD a una distancia d de C.Las prolongaciones de: AB y DX se cortan en P,
AD y BY se cortan en Q,AX y DC se cortan en R, yAY y BC se cortan en S.
Si los puntos P, Q, R y S son colineales, encuentre el valor de d.
(A) 3 52
- (B) 3 52
+ (C) 32
(D) 53
(E) 12
Problema 15. Dentro del tablero de ajedrez de 8×8, formado por 64 cuadraditosde lado 1 cm, se desea dibujar circunferencias de modo que ninguna pase por algúnpunto interior de un cuadradito negro, con diámetro de al menos 1 cm. ¿Cuál es lamáxima cantidad de circunferencias que se pueden dibujar?
(A) 80 (B) 79 (C) 63 (D) 58 (E) 50