FLEXIN

Esfuerzo ltimo: Anlisis GeneralClculo del factor de resistencia a flexin R.Distribucin rectangular equivalente de esfuerzos - enfoque de Whitney

POR: ING. CIVIL JONATHAN LAO

Flexin Simple.Introduccin.

Si las cargas aplicadas sobre las vigas, hacen de que esta norebase los esfuerzos de trabajo de los materiales que lacomponen (hormign y acero), tal que, fc0.45fc y fs0.5fy, laviga se la puede analizar utilizando el mtodo de la seccintransformada agrietada y no agrietada.

Si los esfuerzos en los materiales rebasan los esfuerzos detrabajo entonces hay que aplicar mtodos que toman en cuentael comportamiento no lineal del hormign y el acero.

Existen varios mtodos para evaluar la flexin mediante eseenfoque, en este curso vamos a estudiar 2 mtodos, uno deellos es el MTODO GENERAL y el ultimo es el mtodo delBLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE DE ESFUERZOS (mtodode C. Withney).

Resistencia a la rotura.Anlisis General

Es importante en la prctica estructural calcular tensiones ydeformaciones que se producen en una estructura bajo cargasde servicio, como tambin es importante, si no ms, que elingeniero proyectista pueda predecir con precisin satisfactoriala resistencia a la rotura de esta estructura o elementoestructural.

Como se estableci anteriormente, se han desarrollado mtodosms realistas basados en el comportamiento inelstico de losmateriales, como resultado de pruebas exhaustivas delaboratorio, permite establecer lo siguiente:

- Los diagramas esfuerzo vs deformacin no son lineales comolos que se presenta la Fig.1(c) y (e), ni tampoco obedecen aalguna forma geomtrica definida (parablica, trapezoidal, etc).

Fig.1 Comportamiento de una viga dehormign armado a carga creciente.

- La viga de hormign se romperdebido a: 1) Por fluencia entraccin del acero (fs=fy), 2) Poraplastamiento del hormign en lafibra exterior de compresin(frfc).

- No se conoce un criterio exactopara determinar la falla porrotura en el hormign, pero quepara vigas rectangulares se hanmedido deformaciones de 0.003a 0.004 inmediatamenteantes de la rotura.

Si se conocen dos criterios, (la fluencia del acero para una tensinfy y aplastamiento del hormign para una deformacin unitaria de0.003). No es necesario conocer la distribucin de tensiones decompresin en el hormign como se muestra en la Fig.2, Lo quees necesario saber para una distancia dada, c, del eje neutro,es:1) la fuerza total de compresin de la resultante C en elhormign y 2) su emplazamiento vertical, esto es, su distancia ala fibra exterior de compresin.

Fig.2 Distribucin de tensionesa la carga de rotura.

En una viga rectangular la superficie que est en compresin esbc y la fuerza total de compresin sobre esta superficie puedeexpresarse como:

= (1)

f = tensin de compresin media, que puede producirse antesde que la rotura tenga lugar, es tanto mayor cuanto mayor es laresistencia del hormign.

=

(2)

Por consiguiente,

= (3)

Para una distancia dada, c, a la fibra neutra, el emplazamiento deC, puede definirse como una fraccin dada, , de esta superficie,solamente es necesario conocer y para definir completamenteel efecto de las tensiones de compresin en el hormign.

= 0.72 para hormigones con fc 280Kg/cm2, disminuye 0.04por cada 70 Kg/cm2 de aumento sobre 280 Kg/ cm2. = 0.425 para hormigones con fc 280Kg/cm2, disminuye 0.025por cada 70 Kg/cm2 de aumento sobre 280 Kg/ cm2.

Si se acepta esta informacin experimental, puede calcularse laresistencia a la rotura por las leyes de equilibrio como sigue:

Fig.3 Valores de y con laresistencia del concreto fc.

= = (4)

Por lo tanto, el momento flector al par de fuerzas C y T puedeescribirse como:

= = (5)

= = (6)

En la rotura de traccin por fluencia del acero, es decir, fs=fy,se tiene la distancia a la fibra neutra.

=

(7)

Frecuentemente es conveniente expresar la superficie de acero entrminos adimensionales, lo que conocemos como cuanta de laarmadura.

=

(8)

Utilizando esta cantidad puede escribirse tambin:

=

(9)

Conocido el valor de c y fs=fy; esto es

= 1

(10)

Reemplazando =0.72 y = 0.425

= 1 0.59

(11)

Reemplazando As en Ec (11) se tiene que:

= 2 1 0.59

12

Factor de reduccin de resistencia (R)

= 1 0.59

(13)

=

= 2 (14)

Por otro lado, para la rotura a compresin el criterio es que c= 0.003. Como se indic fs no ha alcanzado su punto de fluenciapor lo tanto, tensiones y deformaciones son proporcionales segnla ley de Hooke.

=

; =

+ (15)

=0.003

+ 0.003

(16)

Cuanta balanceada: es la porcin de armadura necesaria paraque las vigas se rompan por aplastamiento del hormign para lacarga que produce la fluencia del acero. Igualando la ec(9) yec(16)

= 0.003

+ 0.003

(17)

Reemplazando el valor del mdulo de elasticidad del acero en Ec(16) y (13).

Falla balanceada

=6000

6000 + (18)

cuanta balanceada

= 6000

6000 +

(19)

1. Si la cuanta de la viga es menor que la cuanta balanceada sepresentar en el elemento una Falla a Tensin (ppb),

Los elementos que presenta Falla dctil se les llama elemento sub-reforzados y los elementos que presentan Falla Frgil se les llamasobre-reforzados.

Calculando fs de la ecuacin de la ec (16) y sustituyendo en la ec(5) se tiene:

= 0.003

1 (20)

Reemplazando Es en (20)

= 6000

1 (21)

Reemplazo fs en Ec (5)

= 6000

1 (22)

Determino c, igualando la Ec (22) con la Ec (6)

6000

1 =

6000

1 =

6000 6000 = 2

2 + 6000 = 6000 (23)

Una vez determinado el valor de c, de la ecuacin cuadrtica Ec(23) este se reemplaza en cualesquiera de las ecuaciones (5) y (6)respectivamente, obteniendo as el momento de rotura de unaviga tan reforzada que la rotura se produce por aplastamiento delhormign.

Nota: En un elemento bien proyectado la cuanta de la armadura, se mantiene muy por debajo del valor equilibrado b.

Falla por Tensin (Falla Dctil).

=

8

=

(9)

= 1

10

= 6000

6000 +

(19)

Vigas a flexin Mtodo General :Resumen de frmulas.

Falla por Compresin (Falla Frgil).

=

8

= 6000

6000 +

(19)

2 + 6000 = 6000 (23)

= = 5

= = 6

= 2 (14)

Problema de aplicacin.

Determinar el momento de ruptura Mn de una viga cuyaseccin es de 25x63 cm y tiene un peralte de 58 cm, estaarmada con 328 mm y se ha utilizado un hormign confc=280 kg/cm2 y fy=4200 kg/cm2.

Resistencia a la rotura:Distribucin Rectangular Equivalente De Esfuerzos o Mtodo de C. S. Whitney.

Fig.4 Distribucin real y rectangular de esfuerzospara carga ultima.

Este mtodo consiste en reemplazar la distribucin de tensionespor compresin de la viga por una distribucin uniforme detensiones con forma geomtrica definida, siempre que esta dlugar a la misma fuerza total de compresin C, aplicada en elmismo punto que en el elemento estructural real cuando estprximo a romperse. Histricamente se han realizado numerosasinvestigaciones al respecto, la que ms generalmente se aceptaes la de C. S. Whitney.

Para hormigones con una resistencia cilndrica a la compresinmenores a fc= 280 kg/cm2, se tiene una distribucin detenciones igual a la Fig.4 (b).

En una viga rectangular de anchura b, la distribucin detensiones del bloque equivalente de compresin es fc=0.85 fc,acta sobre la superficie ab, por lo tanto la resultante de lastensiones de compresin C es

= 0.85 (24)

La tensin por traccin en el acero es

= (25)

Calculo la altura del bloque de compresiones igualando el par defuerza C = T, e igualando los esfuerzos elsticos a los esfuerzosde fluencia (fs=fy), se tiene

=

0.85(26)

Si la altura del bloque de compresiones lo dejamos en trminosde la distancia a la fibra neutra (c), se tiene que a = 1c, yreemplazando en la ec (24) se obtiene la resultante C, de ladistribucin real de esfuerzos en la Fig.4 (a) para = 0.72.Adems el centro de gravedad de un rectngulo est en la mitadde su altura, es decir, C esta evidentemente aplicado en a/2.Expresando de nuevo (a) en funcin de (c), se tiene que0.5(0.85c)=0.425c=c

- Calcular la fuerza total a tensin (fs=fy).

=

- Equilibrando el par de fuerzas C=T, e igualando los esfuerzoselsticos a los esfuerzos de fluencia (fs=fy), se tiene

= 0.85 =

=

0.8526

- Calcule la distancia entre los centros de gravedad T y C. (Parauna viga rectangular la seccin transversal es igual a d-a/2).

- Determine Mn, que es igual a T o C veces la distancia entresus centros de gravedad.

Para una viga rectangular se tiene:

=

227 ; =

228

Procedimiento de anlisis.

Determinar el momento nominal de la viga que se muestra en lafigura, utilice un hormign con una resistencia fc=210 kg/cm2 yun acero con esfuerzo de fluencia fy= 4200 kg/cm2.

Problema de aplicacin.

Vigas Sub-reforzadas (falla dctil).

Para una viga rectangular se tiene que la altura del bloque decompresin viene dada por la ec(26), es decir,

=

0.85(26)

Dejando en trminos de cuanta de armadura

=

0.85 (29)

Sustituyendo el valor de a de la ecuacin(29) en (28)

= 1 0.59

(30)

Pues como ya se menciono, A =

Anlisis por Resistencia ltima en Vigas.

= 2 1 0.59

(31)

En el apartado anterior se vio que R es el factor de resistencia ala flexin y es igual

= 1 0.59

(32)

= 2 (33)

NOTA: para el diseo de elementos a flexin = 0.9 (Revisar NEC-15).

Vigas Sobre-reforzadas (falla frgil).Pues como ya se dijo el concreto a agotado toda su resistencia acompresin (c = 0.003), mientras que el acero de refuerzo atraccin no alcanza su esfuerzo de fluencia (fs

Como se menciono antes, la profundidad a del bloquerectangular de tensiones se puede expresar en funcin de ladistancia c a la fibra neutra supuesta, esto es, = 1

= 1 = 0.85, para hormigones con fc 280Kg/cm2, disminuye

0.05 por cada 70 Kg/cm2 de aumento sobre 280 Kg/ cm2.

Del diagrama de deformacin se obtiene

=

; =

( )

Reemplazando = 1

= 0.0031

(34)

Realizando equilibrio esttico C=T, y sustituyendo fs

0.85

0.0032 + 1

2 = 0 (35)

= 2 1 0.59

(31)

En el apartado anterior se vio que R es el factor de resistencia ala flexin y es igual

= 1 0.59

(32)

= 2 (33)

Falla Balanceada.- Las deformaciones de falla en los materiales(hormign y acero), ya sea por el aplastamiento de hormign y lafluencia del acero tienen que actuar simultneamente.

=

+ 34 ;

= 0.003, = 0.00207

Si C=T

0.85 = 0.851

+

Obtengo la cuanta balanceada sustituyendo como sigue:

=

=

=0.851

+

=0.851

+ (35)

Aspectos prcticos para el diseo de vigas: Eleccin de barras y separacin de las mismas

Como se vio en los primeros captulos los tamaos de barras deacero comerciales van desde el nmero 8 al 32, correspondiendo elnmero de la barra a su dimetro en milmetros. Los tamaosmayores se utilizan fundamentalmente para armadura de pilares.Frecuentemente es deseable mezclar el tamao de las barras deforma que cumplan ms exactamente las exigencias en cuanto asecciones de armadura. En general, las barras utilizadas deben serde tamaos comparables al menos con una diferencia de 2dimetros, por ejemplo (2 16 mm + 2 14 mm).Normalmente, es necesario mantener cierta distancia mnima entrelas barras adyacentes para asegurar la adecuada colacin delhormign alrededor de ellas. Deben evitarse las bolsas de aire bajolas armaduras, y es deseable un completo contacto superficial entrebarras y el hormign para obtener el mximo valor posible de latensin de adherencia.

El cdigo ACI especifica que la mnima distancia libre entre lasbarras adyacentes no sea inferior al dimetro nominal de las barraso 2.5cm. Cuando la armadura se coloca en dos o ms capas, ladistancia libre entre capas no debe ser inferior a 25mm y las barrasde la capa superior deben estar coladas sobre las de la capainferior.Para dar al acero una proteccin adecuada contra el fuego y lacorrosin, el proyectista debe mantener cierto recubrimientomnimo de hormign sobre las armaduras ms prximas a lasuperficie. El espesor necesario variar segn el tipo de elementoconstructivo y las condiciones reinantes. Segn el cdigo ACI laproteccin del hormign en superficies no expuestas directamente ala accin del terreno o de los elementos atmosfricos no debe serinferior a 2cm para losas y muros y 4cm para vigas y viguetas. Si lasuperficie de hormign est expuesta a elementos atmosfricos oen contacto con el terreno es necesario un recubrimiento de 5cmpor lo menos salvo si se vierte hormign en contacto directo con elterreno, sin utilizacin de encofrados, ser necesario unrecubrimiento de 7.5 cm