FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 1 FIG.1Uncondensadordeplacasparalelasconsta dedosplacasparalelas,cadaunadereaA, separadasporunadistanciad.Lasplacasllevan cargas de igual magnitud y de signo contrario. CAPACITANCIA Uncapacitorocondensadoresundispositivoincorporadoadiversoscircuitos elctricospara,porejemplo,sintonizarlafrecuenciadereceptoresderadio,eliminar chisporroteoenlossistemasdeencendidodeautomviloparaalmacenarenergade corta duracin para una descarga rpida en unidades de flash electrnico.Lafigura1muestraundiseotpicodeuncondensador.Esteaparatoconstadedos placas metlicas paralelas separadas por una distancia d. Cuando se usan en un circuito elctrico, las placas estn conectadas a las terminales positivo y negativo de una batera oaalgunaotrafuentedevoltaje.Cuandosehaceestaconexin,loselectronesson expulsados de una de las placas y dejan a sta con una carga de + Q, y son transferidos a travs de la batera a la otra placa, dejndola con una carga de - Q, como se muestra en la figura. Esta transferencia de carga se detiene cuando la diferencia de potencial entre las placas es igual a la diferencia de potencial de la batera. Por lo tanto, un condensador cargadoesundispositivoquealmacenaenergaquepuedeserrecuperadacuandose necesite para una aplicacin especfica. Lacapacitanciatienelasunidadescoulombsporvolt,llamadafarads(F)enhonorde Michael Faraday. O sea,

(9) LacapacitanciaCdeuncondensadorsedefinecomolarelacin delamagnituddelacargaQdecualquierconductor(placa)con respecto a la magnitud de la diferencia de potencial (V) entre los conductores (placas): FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 2 Ejemplo 1: Si un condensador de 3.0 F est conectado a una batera de 12 V, la magnitud de la carga en cada placa del condensador es(3.0 06)(2) 36 Ejemplo 2: Clculo de C de un condensador de placas paralelas Un condensador de placas paralelas tiene un rea de A = 2.00 cm2 = 2.00 X 10-4 m2 y una separacin de placas de d = 1.00 mm = 1.00 X 10-3 m. Encuentre su capacitancia. SolucinA partir de 0

, encontramos que:

0

8.85 012

2. 2

2.00 04 2.00 03 .77 012 .77 Elfaradesunaunidaddecapacitanciamuygrande.Enlaprctica,lamayoradelos condensadores tpicos tiene capacitancias que varan de microfarads (1 F = 1 X10.6 F) a picofarads (1 pF = 1 X 10-12 F). CONDENSADOR DE PLACAS PARALELAS Lacapacitanciadeundispositivodependedeladistribucingeomtricadelos conductores.Porejemplo,lacapacitanciadeuncondensadordeplacasparalelascuyas placas estn separadas por aire (ver fig.1) es

0

(0) dondeAeselreadeunadelasplacas,dladistanciaentrelasplacas,y0esla permitividad del vaco. Comosepuedeverapartirdeladefinicindecapacitancia,CQ/V,lacantidadde carga que un condensador puede almacenar, para una cierta diferencia de potencial entre susplacas,aumentacuandolacapacitanciatambinlohace.Porlotantoparece razonable que un condensador construido a partir de placas con reas grandes pueda ser capazdealmacenarunacargaconsiderable.Adems,silasplacascargadasconsigno opuesto estn cercanas una a la otra, la fuerza de atraccin entre ellas ser grande. De hecho, para una diferencia de potencial dada, la carga sobre las placas aumenta cuando disminuye la separacin entre ellas. FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 3 FIG.2.(a)Circuitorealy(b)sudiagrama de circuito equivalente. SMBOLOS DE CIRCUITOS Y ELEMENTOS DE CIRCUITO El smbolo que se usa comnmente para representar un condensador en un circuito es ,oalgunasveceses.Noconfundaesteconelsmbolodecircuitoutilizadoparadesignarunabatera(ocualquierotrafuentedecorrientedirecta).La terminal positiva de la batera tiene un potencial mayor y est representada por una lnea verticalmslargaenelsmbolodebatera.Otroelementodecircuitollamadoresistencia, representado por el smboloLos alambres que no tienen una resistencia apreciable en un circuito comparado con los otroselementosdelcircuitoserepresentarnporlneasrectas.Esimportantedarse cuenta que un circuito es una coleccin de objetos reales que usualmente constan de una fuentedeenergaelctrica(porejemplounabatera)conectadaaelementosque conviertenlaenergaelctricaenotrasformasdeenerga(luz,calor,sonido),oque almacenanlaenergaencamposelctricosomagnticospararecuperarla posteriormente.Uncircuitorealysudiagramaestnbosquejadosenlafigura2.El smbolo de circuito de una bombilla como la que muestra la figura2.b Si no se ha familiarizadoconlosdiagramasdecircuito,tracelatrayectoriadelcircuitorealconsu dedo para ver que es geomtricamente equivalente al diagrama esquemtico regular. COMBINACIONES DE CONDENSADORES Dos o ms condensadores se pueden combinar en los circuitos de diversas maneras. Las capacitanciasequivalentesdeciertascombinacionessecalculanconmtodosdescritos enestaseccin.Losresultadossondeusoprctico,porejemplo,sideseaconstruirun circuito que tenga una capacitancia especfica y dispone solamente de valores especficos de capacitancia. COMBINACIN EN PARALELODoscondensadoresconectadoscomomuestralafigura30.aseconocencomouna combinacin en paralelo de condensadores. La placa izquierda de cada condensador est conectada por medio de un alambre conductor a una terminal positiva de la batera, por lo cual las placas de la izquierda tienen igual potencial. Asimismo, las placas de la derecha estnconectadasalaterminalnegativadelabatera.Cuandoloscondensadoresse acabandeconectaralcircuito,loselectronessontransferidosdesdelasplacasdela (a) FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 4 V1 = V2 = V izquierdaatravsdelabateraalasplacasdeladerecha,conlocuallasplacasdela izquierdaquedancargadaspositivamenteylasplacasdeladerechacargadas negativamente. La fuente de energa de esta transferencia de carga es la energa qumica internaalmacenadaenlabatera,lacualseconvierteenenergaelctrica.Elflujode carga cesa cuando el voltaje a travs de los condensadores es igual al de la batera. Los condensadores alcanzan su carga mxima cuando el flujo de carga cesa. Llamemos a las cargas mximas de los dos condensadores Q1 y Q2. Luego, la carga total Q almacenada por los dos condensadores es:

1

2() Podemosreemplazarestosdoscondensadoresporuncondensadorequivalenteque tenga una capacitancia de Ceq . Este condensador equivalente debe tener exactamente el mismo efecto externo sobre el circuito que los dos originales. O sea, que debe almacenar Qunidadesdecarga.Tambinvemosapartirdelafigura3.bquelasdiferenciasde potencialatravsdeloscondensadoresenuncircuitoparalelosoniguales;cada uno es igual al voltajeV de la batera. A partir de la figura 3.c, vemos que el voltaje a travsdelcondensadorequivalenteestambinV.Porlotanto,lacargadecada condensador es

1 1 y 2 2 La carga sobre el condensador equivalente es

Ceq = C1 + C2 Fig.3.(a)Conexinenparalelodedos condensadores.(b)Diagramadelcircuitodela combinacinenparalelo.(c)Ladiferenciade potencial a travs de los condensadores es igualy la capacitancia equivalente es Ceq = C1 + C2 FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 5 Ejemplo 3. Cuatro condensadores conectados en paralelo Determinelacapacitanciadelcondensadorindividualqueesequivalenteala combinacindecondensadoresenparaleloqueapareceenlafigura4yencuentrela carga sobre el condensador de 12.0 F Solucin.- La capacitancia equivalente se encuentra mediante la ecuacin 13: La diferencia de potencial a travs del condensador 12.0 F (y todos los dems condensadores en este caso) es igual al voltaje de la batera, y as

(2.0 06 )(8.0 )26 06

26

1

2

3

4

3.00 6.00 2.00 24.00 45.00 Sustituyendo estas relaciones en la ecuacin 11, queda

1 2 o bien

1

2 () (2) Siextendemosestetratamientoatresomscondensadoresconectadosenparalelo,la capacitancia equivalente es

1

2

2 () (3) Porlotanto,vemosquelacapacitanciaequivalentedeunacombinacinde condensadoresenparaleloesmayorquecualquieradelascapacitancias individuales. COMBINACIN EN SERIE Ahora considere dos condensadores conectados en serie, como ilustra la figura 5. En una combinacin de condensadores en serie, la magnitud de la carga debe ser la misma en todas las placas. Para ver por qu esta afirmacin debe ser verdadera, consideremos elprocesodetransferenciadecargaendetalle.Empezamosconcondensadores descargados.Cuandounabateraseconectaalcircuito,loselectronessontransferidos desdelaplacadelaizquierdadeC1hacialaplacadeladerechadeC2atravsdela Fig.4Cuatrocondensadores conectados en paralelo. FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 6 batera. A medida que se acumula la carga negativa en la placa de la derecha de C2, una cantidad equivalente de carga negativa sale de la placa de la izquierda de C2, con lo cual staquedaconunexcesodecargapositiva.Lacarganegativaquesaledelaplaca izquierdadeC2seacumulasobrelaplacadeladerechadeC1,dondedenuevouna cantidad equivalente de carga negativa sale de la placa izquierda. El resultado de esto es quetodaslasplacasdeladerechaganancargasdeQytodaslasplacasdela izquierdatienencargasde+Q.(Estaesunaconsecuenciadelaconservacindela carga). Podemos encontrar un condensador equivalente que desempee la misma funcin que la combinacinenserie.Despusdequeescargadototalmente,elcondensador equivalente debe terminar con una carga de- Q en su placa derecha y una carga de + Q en su placa izquierda. Aplicando la definicin de capacitancia del circuito en la figura 5.b, tenemos

Donde V donde es la diferencia de potencial entre las terminales de la batera y Ceq es la capacitancia equivalente. A partir de la figura 5.a vemos que 12(4) Donde V1 y V2son las diferencias de potencial entre los condensadores C1 y C2(sta esunaconsecuenciadelaconservacindelaenerga.)Ladiferenciadepotenciala travs de cualquier nmero de condensadores (o de otros elementos del circuito) en serie es igual a la suma de las diferencias de potencial de los condensadores individuales. En razn de que se puede aplicar a cadacondensador, las diferencias de potencial a travs de ellos estn dadas por

1

2

Fig.5Combinacinenseriededos condensadores.Lascargassobrelos condensadoressonigualesylacapacitancia equivalentesepuedecalcularapartirdela relacin reciproca. 1

1

1

FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 7 Si sustituimos estas expresiones en la ecuacin 14, y observamos quetenemos

1

2 Cancelando Q, llegamos a la relacin

1

2() (5) Siesteanlisisseaplicaatresomscondensadoresconectadosenserie,la capacitancia equivalente es

1

2

3 () (6) Como demostraremos en el ejemplo 4, esto implica que la capacitancia equivalente de unacombinacinenserieessiempremenorquecualquiercapacitanciaindividual de la combinacin.

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Condensadores 1. Tenga cuidado al elegir las unidades. Para calcular la capacitancia de un dispositivo en farads, asegrese de que las distancias estn en metros y que usan el valor SI de 0. 2. Cuandodosomscondensadoresdiferentesestnconectadosenserie,transportanlamismacarga,pero las diferencias de potencial a travs de ellos no son iguales. Sus capacitancias se suman como recprocos y lacapacitanciaequivalentedelacombinacinessiempremenorqueladelcondensadorindividualms pequea. 3. Cuando dos o ms condensadores estn conectados en paralelo, la diferencia de potencial a travs de ellos es igual. La carga en cada condensador es proporcional a su capacitancia; por lo tanto, las capacitancias se suman directamente para dar la capacitancia equivalente de la combinacin en paralelo. 4. Uncircuitocomplicadoformadoporcondensadoresconfrecuenciapuedeserreducidoauncircuitosimple que contenga un solo condensador. Para hacer esto, examine su circuito inicial y reemplace cualquiera de los condensadoresenserieoenparaleloconloscondensadoresequivalentes,usandolasreglasen2y3. Despusdehacerestoscambios,tracesunuevocircuito.Examneloyreemplacenuevamentecualquier combinacinenserieoparalelo.Contineesteprocesohastaqueencuentreunsolocondensador equivalente. 5. Paradeterminarlacargaoladiferenciadepotencialatravsdeunodeloscondensadoresenelcircuito complejo,empiececonelcircuitofinalencontradoen4,ygradualmentetrabajesucaminoderegresoa travs de los circuitos usandoC = Q/V y la informacin de los incisos 2 y 3. FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 8

3.0

6.0

2.0

24

524

(.6 06 )(8 )29 Ejemplo 4Cuatro condensadores conectados en serie Cuatro condensadores estn conectados en serie con una batera, como muestra la figura 6. (a) Encuentre la capacitancia del condensador equivalente. Solucin La capacitancia equivalente se encuentra a partir de la ecuacin 16:

2415 .6 Observequelacapacitanciaequivalenteesmenorquelacapacitanciade cualquiera de los condensadores individuales de la combinacin.(b) Encuentre la carga sobre el condensador de 12 F. Solucin Encontramos la carga sobre el condensador equivalente: Esta es tambin la carga sobre cada uno de los condensadores remplazados. Por lo tanto, la carga sobre el condensador de 12 F en el circuito original es 29 C. Fig.6Cuatro condensadores conectados en serie FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 9 .

1

2

4.0

4.0

2.0 Ejemplo 5: Capacitancia equivalente Encuentrelacapacitanciaequivalenteentreaybdelacombinacinde condensadoresquesepresentaenlafigura7.Todaslascapacitanciasestn en microfarads. FIG.7(Ejemplo5)Parahallarlacapacitanciaequivalentedelcircuitoen(a),elcircuitosereducepor etapas, como se indica en (b), (c) y (d), mediante las reglas de serie y paralelo descritas en el texto. SolucinUsandolasecuaciones13y16,reducimoslacombinacinpasoa paso como se indica en la figura. Los condensadores de 1.0 F y 3.0 F estn enparaleloycuandosecombinandeacuerdoconCeq=C1+C2.Su capacitancia equivalente es 4.0 F. De igual manera, los condensadores de 2.0 F y 6.0 F estn tambin en paralelo y tienen una capacitancia equivalente de 8.0 F. La rama superior de la figura 7.b consta ahora de dos condensadores de 4.0 F en serie, que se combinan de acuerdo conDe igual manera, la rama inferior de la figura 7.b consta de dos condensadores de 8.0 F en serie y tiene una capacitancia equivalente de 4.0F. Finalmente, los condensadores de 2.0 F y 4.0 F de la figura 7.c estn en paralelo y tienen unacapacitanciaequivalentede6.0F.Porlotanto,lacapacitancia equivalente del circuito es 6.0 F. FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 10 ENERGA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR CARGADO Casicualquierpersona que trabajeconequipoelectrnicotiene queverificaralgunavez que un condensador puede almacenar energa. Si las placas de un condensador cargado estnconectadaspormediodeunconductor,porejemplounalambre,lacargase transfieredeunaplacaaotrahastaquelasdosestndescargadas.Ladescarga frecuentementepuedeobservarsecomounachispavisible.Siaccidentalmentetocalas placasopuestasdeuncondensadorcargado,susdedosactuarancomounatrayectoria pormediodelacualelcondensadorsepuededescargar,ysufriraunadescarga elctrica.Elgradodeladescargadependerdelacapacitanciaydelvoltajeaplicadoal condensador.Cuandoestnpresentesaltosvoltajesygrandescantidadesdecarga, comoenelsuministrodeenergadeunequipodetelevisin,ladescargapuedeser mortal. Si un condensador est inicialmente descargado (ambas placas neutras), de modo que las placas tengan el mismo potencial, casi no se requiere trabajo para transferir una pequeacantidaddecargaQdeunaplacaalaotra.Sinembargo,unavezqueesta cargahasidotransferida,apareceentrelasplacasunapequeadiferenciadepotencial V = Q/C. Por consiguiente, se debe realizar un trabajo para transferir la carga adicional contraestadiferenciadepotencial.Cadamomentodebemosobservarcmocambiael voltaje. Mientras ms carga se transfiere de una placa a la otra, la diferencia de potencial aumentaenproporcinalacarga.Siladiferenciadepotencialencualquierinstante duranteelprocesodecargaesV,eltrabajorequeridoparamovermscargaQa travs de esta diferencia de potencial es VQ; o sea, W = VQ Sabemos queV = Q / C para un condensador que tiene una carga total de Q. El trabajo total realizado es:

2(7) Observequeestoestambinlaenergaalmacenadaenelcondensador,puestoqueel trabajorequeridoparacargarloesigualquelaenergaalmacenadaenelcondensador despus de que es cargado. A partir de la definicin de capacitancia, encontramos que Q = C V; por lo tanto, podemos expresar la energa almacenada como

2

22

22(8) Porejemplo,lacantidaddeenergaalmacenadaenuncondensadorde5.0Fcuando est conectada a travs de una batera de 120 V es 122

12(5.006)(20)2 3.602 FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 11 En la prctica, hay un lmite para la energa (o carga) mxima que puede ser almacenada enuncondensador,puestoqueladescargaelctricafinalmentesepresentaentrelas placas del condensador cuando el valor de V es suficientemente grande. Por esta razn, los condensadores generalmente son etiquetados con un voltaje de operacin mximo.Loscondensadoresgrandespuedenalmacenarsuficienteenergaelctricacomopara causar quemaduras graves o incluso la muerte si se descargan de manera que el flujo de carga pase a travs del corazn. CONDENSADORES CON DIELCTRICOS Un dielctrico es un material aislante, como caucho, plstico o papel encerado. Cuando un dielctrico se inserta entre las placas de un condensador, la capacitancia aumenta. Si el dielctrico llena completamente el espacio entre las placas, la capacitancia se multiplica entonces por el factor K, llamado constante dielctrica. El siguiente experimento ilustra el efecto de un dielctrico en un condensador. Considere uncondensadordeplacasparalelasdecargaQ0ycapacitanciaC0enausenciadeun dielctrico.Ladiferenciadepotencialatravsdelasplacasdelcondensadorpueden medirseyestdadaporV0=Q0 /C0.Enrazndequeelcondensadornoest conectado a un circuito externo, no hay trayectoria para que la carga salga o se sume a lasplacas.Siahoraeldielctricoseinsertaentrelasplacaselvoltajeatravsdelas placas se reduce por el factor k al valor V, donde0

Debido a que k > 1, V menor que V0 . En vista de que la carga Q0 en el condensador no cambia,concluimosquelacapacitanciaCenpresenciadeldielctricodebecambiaral valor

0

00

00 O bien

0(19) Deacuerdoconesteresultado,lacapacitanciasemultiplicaporelfactorkcuandoel dielctricollenacompletamentelareginentrelasdosplacas.Parauncondensadorde placasparalelas,dondelacapacitanciaenausenciadeundielctricoesC0=0A/d, podemos expresar la capacitancia en presencia de un dielctrico como

0

(20) FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 12 Apartirdeesteresultadoparecequelacapacitanciapodrasermuygrandesise disminuye d, la separacin de las placas. En la prctica, el mnimo valor de d est limitado porladescargaelctricaquepuedepresentarseatravsdelmaterialdielctricoque separalasplacas.Paraunaseparacindelasplacasdada,hayuncampoelctrico mximo que puede producirse en el dielctrico antes de que ste se descargue y empiece a conducir. Este campo elctrico mximo se llamaintensidad dielctrica,y para el aire suvaloresaproximadamentede3X106V/m.Lamayoradelosmaterialesaislantes tienen intensidades dielctricas mayores que las del aire, como lo indican los valores de la tabla 1. Tabla N 1 Constantes dielctricas e Intensidades dielctricas de diversos materiales a temperatura ambiente MaterialConstante dielctrica, kIntensidad dielctrica (V/m) Vacuna1.000 00-------- Aire1.000 593 x 106 Baquelita4.90000024 x 106 Cuarzo fundido3.7800008 x 106 Vidrio pyrex5.60000014 x 106 Poliestireno igual2.56000024 x 106 Tefln2.10000060 x 106 Hule de neupreno6.70000012 x 106 Nylon3.40000014 x 106 Papel3.70000016 x 106 Titanato de estroncio2330000000008 x 106 Agua8000000000 _______ Aceite de silicona2.50000015 x 106 Confrecuencia,loscondensadorescomercialesestnhechosdelminametlica intercalada con hojas delgadas de papel o mylar impregnadas de parafina, que sirve como material dielctrico. Estas capas alternadas de lmina metlica y dielctrico se enrollan en formadeunpequeocilindro.Porlogeneral,uncondensadordealtovoltajeconstade ciertonmerodelminasmetlicasentretejidassumergidasenaceitedesilicona.Los pequeoscondensadoresseconstruyenconfrecuenciaapartirdematerialesde cermica. Los condensadores variables (normalmente 10 - 500 pF) constan generalmente dedosjuegosdelminasmetlicasentretejidas,unafijaylaotramvil,conairecomo dielctrico.Loscondensadoreselectrolticossonempleadosfrecuentementepara almacenar grandes cantidades de carga a voltajes relativamente bajos. Constante de una hoja de metal en contacto con un electrolito solucin que conduce la carga en virtud del movimientodelosionesquecontiene.Cuandoseaplicaunvoltajeentrelahojayel electrolito,seformaunadelgadacapadexidometlico(aislante)sobrelahojayesta FISICA IIUniversidad San Pedro _______________________________________________________________________________ ELHPgina 13 capa sirve como dielctrico. Se pueden lograr enormes capacitancias puesto que la capa de dielctrico es muy delgada. Cuandoloscondensadoreselectrolticosseusanencircuitos,sedebeobservarla polaridad(lossignosmsymenossobreeldispositivo).Silapolaridaddelvoltaje aplicado es opuesta al que se pretende, la capa de xido se eliminar y el condensador conducirenlugardealmacenarlacarga.Msan,revertirlapolaridadpuededarpor resultadounacorrientegrandeyelcondensadorpuedequemarseoproducirvapory explotar. Referencia Bibliogrfica SerwayRaymondAJewettJohn;ELECTRICIDADYMAGNETISMO;Edit CENGAGE LEARNING; Sptima Edic.; Mxico, 2008.