MHF4U             NAME:  ________________________  DATE:  ______________    

7.2  –  7.4  CLASS  NOTES  COMPOUND  &  DOUBLE  ANGLE  FORMULAS  PROVING  TRIGONOMETRIC  IDENTITIES  

 7.2  –  COMPOUND  ANGLE  FORMULAS    A  compound  angle  is  made  by  __________________or  ___________________  two  or  more  angles.      There  are  special  formulas  called  compound  angle  formulas  that  help  us  determine  the  EXACT  values  of  sums  or  differences  of  angles.  Let’s  prove  some  of  these  formulas!    PRACTICE  EXAMPLE  1:    Prove  𝐜𝐨𝐬 𝒂− 𝒃 = 𝐜𝐨𝐬𝒂 𝐜𝐨𝐬𝒃+ 𝐬𝐢𝐧𝒂 𝐬𝐢𝐧𝒃    1)  Recall:  Cosine  Law:    

                 2)  Recall:  Distance  Formula:    

                                     

 3)  Set  equations  equal  to  each  other:                  PRACTICE  EXAMPLE  2:  Prove  𝒄𝒐𝒔 𝒂+ 𝒃 = 𝒄𝒐𝒔  𝒂  𝒄𝒐𝒔  𝒃− 𝒔𝒊𝒏  𝒂  𝒔𝒊𝒏  𝒃                          PRACTICE  EXAMPLE  3:  Given  𝒔𝒊𝒏 𝒂+ 𝒃 = 𝒄𝒐𝒔  𝒂  𝒔𝒊𝒏  𝒃+ 𝒔𝒊𝒏  𝒂  𝒄𝒐𝒔  𝒃,  use  the  quotient  identity,  𝒕𝒂𝒏𝜽 = 𝒔𝒊𝒏𝜽

𝒄𝒐𝒔𝜽  ,  to  determine  a  compound  angle  formula  for  𝒕𝒂𝒏 𝒂+ 𝒃 .    

                               

SUMMARY:  COMPOUND  (ADDITION/SUBTRACTION)  FORMULAS:    

 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒚 =                𝒔𝒊𝒏 𝒙 − 𝒚 =      𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒚 =                𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒚 =        𝒕𝒂𝒏 𝒙 + 𝒚 =                𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝒚 =      

   PRACTICE  EXAMPLE  4:  Write  the  following  as  single  trig  ratios.    a)       b)                        PRACTICE  EXAMPLE  5:  Write  the  following  as  single  trig  ratios  and  then  evaluate.      a)       b)                            

PRACTICE  EXAMPLE  6:  Determine  the  EXACT  value  of:    a)                                                  b)                                          

7.2  HOMEWORK:  Pg.  400  #  1,  2,  3ace,  4ace,  5ace,  6ace,  9abcd,  11,  12a    

 7.3  –  DOUBLE  ANGLE  FORMULAS  Explore:  Using  the  compound  angle  formulas,  develop  formulas  for  sin 2𝜃  (𝑖𝑛  𝑡𝑒𝑟𝑚𝑠  𝑜𝑓 sin𝑎𝑛𝑑  cos  ),  cos 2𝜃  (in  terms  of  sin  and  cos,  in  terms  of  cos,  and  in  terms  of  sin),  tan 2𝜃  (in  terms  of  tan).  using  the  compound  angle  formulas  from  7.2.  (Recall  the  Pythagorean  identity:  sin! 𝜃 + cos! 𝜃 = 1.  Also,  use  𝜃  for  both  A  &  B).                                  SUMMARY:  DOUBLE  ANGLE  FORMULAS:    

𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽            

𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽   𝐭𝐚𝐧𝟐𝜽  

 PRACTICE  EXAMPLE  1:  Express  as  a  single  trig  function.      a)       b)                

 c)                   d)                                                                            PRACTICE  EXAMPLE  2:  If  𝒕𝒂𝒏  𝒙 = 𝟐

𝟓,𝝅 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝝅,  find  the  exact  value  of:  

                 a)   cos 2𝑥               b)   sin 2𝑥                        c)          tan 2𝑥                            

 Explore:  Develop  a  formulae  for  cos !

!.    (Hint:  use  𝑥 = !

!  𝑖𝑛 cos 2𝑥 = 2 cos! 𝑥 − 1  )    

                               

7.3  HOMEWORK:  Pg.  407  #  1,  2a-­‐d,  3abc,  4,  6,  7,  8,  11a        7.4  –  PROVING  TRIG  IDENTITIES    What  is  an  “identity?”    It  is  a  mathematical  statement  that  is  true  for  all  values  of  the  given  variable.      For  example,     3𝑥 + 2 + 5𝑥 = 2 4𝑥 + 1          “Proving”  Identities:    

• Identities  are  considered  to  be  “proven”  if  we  can  show  that  the  _________________  and  __________________  of  the  identity  simplify  to  the  same  expression.      

• How  you  PRESENT  your  proof  is  VERY  IMPORTANT!  Anyone  reading  your  proof  must  be  able  to  follow  what  you  are  doing  and  agree  that  your  work  is  valid.  Overall,    

 __________________________________________!!!  

 

 How  to  Prove  a  Trigonometric  Identity:    1)  Choose  the  more  “complex  looking”  side  to  simplify  first.  Keep  working  on  this  side              until  it  is  fully  simplified  or  until  you  get  stuck  à  ONLY  THEN  start  working  on  the              other  side.      2)  Try  to  write  all  expressions  in  terms  of  SIN  and  COS,  unless  better  method  obvious.      3)  Use  known  simple  trig  identities  (below)  to  simplify  the  expressions.      4)  Apply  algebraic  manipulation  when  possible.  

• Multiply  top  and  bottom  by  a  common  denominator.    • Factor  numerators  and  denominators,  and  cancel  out  factors  (Reduce!).    • You  may  have  to  deal  with  “fractions  divided  by  fractions”.    • Multiplying  by  the  conjugate  expression  may  help.    

 5)  When  the  left  side  equals  the  right,  write              𝐿𝑆 = 𝑅𝑆,    ∴ 𝑄𝐸𝐷  as  your  statement.        Some  very  useful  Trig  Identities:  You  will  be  referring  to  these  “simple”  identities  while  proving  more  complex  ones.  You  already  know  most  of  these!  The  more  identities  you  attempt  to  solve,  the  better  you  will  be  at  it!  Therefore,  ________________________!!!    

         

   

 

PRACTICE  EXAMPLE  1:  Prove:      a)       b)            

               

      d)  !"#! !!!"#! !!"#! !!!"#! !  

= 1  c)                                          7.4  HOMEWORK:  1)  Proving  Trig  Identities  WS  (Attached)                                                                  2)  Pg.  417  #9abc,  10abcd,  11abdik        MHF4U         NAME:  _____________________  DATE:  _______________    

PROVING  TRIGONOMETRIC  IDENTITIES    

Prove  the  following  trig  identities.  Have  the  simple  trig  formulas  available  on  your  desk  to  refer  to.  Solutions  can  be  found  on  the  course  website.