a revisit of spinning disk models, part ii: linear transverse vibrations

18
A revisit of spinning disk models. Part II: linear transverse vibrations N. Baddour, J.W. Zu * Department of Mechanical Engineering and Industrial Engineering, University of Toronto, 5 King's College Road, Toronto, Ontario, Canada M5S 3G8 Received 1 November 1999; received in revised form 30 August 2000; accepted 5 October 2000 Abstract In this paper, two recently derived linear models for the transverse vibrations of a spinning plate are considered. The disk is modelled as a pure plate with no membrane eects. Furthermore, the eect of the rotary inertia of the plate is taken into account. The ®rst model is based on the assumption of linear Kirchho) strains. The second model is based on the assumption of non-linear von Karman) strains. The merits of both models are considered and their predictions are compared with those of the traditional linear model. Ó 2001 Elsevier Science Inc. All rights reserved. Keywords: Spinning disk; Linear vibrations 1. Introduction Spinning disks can be found in many engineering applications. Common industrial applica- tions include circular sawblades, turbine rotors, brake systems, fans, ¯ywheels, gears, grinding wheels, precision gyroscopes and computer storage devices. Spinning disks may experience severe vibrations which could lead to fatigue failure of the system. Thus, the dynamics of spinning disks has attracted much research interest over the years. The spinning disk has traditionally been modelled as either a spinning membrane, or as a spinning membrane with added bending stiness [1]. A dierent approach to modelling the dy- namics of spinning disks is considered in the ®rst part of this paper. The disk is modelled as a plate using the plate theories of Kirchho and von Karman. Rotary inertia is automatically included. Two possible forms are presented for the equation of motion of linear transverse vibrations. One equation is the result of using the assumption of linear strains. Let us refer to this as the linear- strain-model LSM). The second possible equation is linear in the transverse vibrations but is based on the assumption of non-linear von Karman) strains. Let us refer to this as the non- linear-strain-model NLSM). The LSM bears resemblance to the linear equation of the transverse vibrations of a plate, with an additional term that accounts for the rotation of the plate. This is to be expected since this latter equation is also based on the assumption of linear strains. In other words, the LSM is www.elsevier.nl/locate/apm Applied Mathematical Modelling 25 2001) 561±578 * Corresponding author. Tel.: +1-416-978-0961; fax: +1-416-978-7753. E-mail addresses: [email protected] N. Baddour), [email protected] J.W. Zu). 0307-904X/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Inc. All rights reserved. PII: S 0 3 0 7 - 9 0 4 X 0 0 ) 0 0 0 6 6 - 4

Upload: natalie-baddour

Post on 24-Mar-2016

216 views

Category:

Documents


2 download

DESCRIPTION

Received 1 November 1999; received in revised form 30 August 2000; accepted 5 October 2000 Keywords: Spinning disk; Linear vibrations 0307-904X/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Inc. All rights reserved. PII: S 0 3 0 7 - 9 0 4 X ( 0 0 ) 0 0 0 6 6 - 4 * Corresponding author. Tel.: +1-416-978-0961; fax: +1-416-978-7753. E-mail addresses: [email protected] (N. Baddour), [email protected] (J.W. Zu).

TRANSCRIPT

Page 1: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

� ������� � ������� ��� �� �������� ��� ������ ���������� ����������

�� �� ���� ���� �� �

���������� ��� ������ ����������� ��� ���������� ������������ ���������� ����� � ������ ������ ����

����� ������ ������ ��! "#$

�� ���� ! �������� !"""# �� ���� �� ������ ��� $% ������ &%%%# � ��� ' ( ����� &%%%

��������

�� �)�� ���� �*� �� ����+ ����� ������ �� ��� �� �)� ���������� ���������� � � ������� ���� ��� ���� ��� � ,)�

��� �� �� ���� �� � ��� ���� *��) �� �������� �-� ��� .���)������� �)� �-� � � �)� �����+ ������� � �)� ���� ��

����� ���� � ����� ,)� /��� �� �� �� ���� �� �)� ��������� � ������ 01�� ))�-2 �������� ,)� �� �� �� �� �� ����

�� �)� ��������� � ���3������ 0��� 1�����2 �������� ,)� ������ � ���) �� ��� ��� ���� ��� �� �)��� �� � �����

��� ����� *��) �)��� � �)� ��� ������� ������ �� ��� � &%%! 4������� 5 ��� � �� � ��� ���)�� ������� �

���%���& 5������ ���# 6����� ����������

� ���� ������

5������ ���� �� �� ��� �� ���+ ����������� ��� ������� 7����� �� ������� ��� �3����� �� �� � �� ���� ��*��� ��� ������� ������� ����� �+������ ���� 8+*)����� ������ ���� ���*)����� �� ����� �+��� ��� �� ������ ������� ��� ��� 5������ ���� ��+ �9����� � ���������������� *)� ) ��� ��� �� ������ ������ � �)� �+����� ,)��� �)� +���� � � ������� ����)�� ����� �� �� ) ������ ) �������� ���� �)� +�����

,)� ������� ��� )�� ��� ��������+ ���� �� ���� �� ���)�� � ������� ��������� �� �� �������� �������� *��) � � ��� ��� ���-���� :!;� � �-����� ���� ) �� �� ������ �)� +3���� � � ������� ���� �� ���� ��� �� �)� /��� ��� � �)�� ���� ,)� ��� �� �� ���� �� � ��������� �)� ���� �)������ � 1�� ))�- �� ��� 1������ �����+ ������� �� �������� ���+ �� �� � �,*� ������� ���� ��� ������� �� �)� �<������ � ������ � ������ ���������� ����������� (���<������ �� �)� ������ � ����� �)� ��������� � ������ �������� 6�� �� ���� �� �)�� �� �)� ������3������3�� �� 065=2� ,)� �� �� ������� �<������ �� ������ �� �)� ���������� ���������� ��� ������ �� �)� ��������� � ���3������ 0��� 1�����2 �������� 6�� �� ���� �� �)�� �� �)� ���3������3������3�� �� 0�65=2�

,)� 65= ����� ��������� � �� �)� ������ �<������ � �)� ���������� ���������� � � ����� *��)�� � ������� ���� �)�� � ����� �� �)� �������� � �)� ����� ,)�� �� �� �� �9� �� ��� � �)�������� �<������ �� ���� ���� �� �)� ��������� � ������ �������� �� ��)�� *�� �� �)� 65= ��

***������������>�� ���>��

���� =��)����� �� =� ������ &' 0&%%!2 '?!@'AB

�7������� ��� ���)��� ,���� C!3D!?3"AB3%"?!# �9� C!3D!?3"AB3AA'$�

�'���� ���������& �� ���E������������� � 0�� �� ���2� F�E������������� � 0���� ��2�

%$%A3"%DG>%!>H 3 ��� ���� ������ � &%%! 4������� 5 ��� � �� � ��� ���)�� ������� �

���� 5 % $ % A 3 " % D G 0 % % 2 % % % ? ? 3 D

Page 2: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

����������+ �)� ������ 0���������+2 ���� �<������ *��) � ��* ���� �)�� �� �� �� �)� �������� � �)������ ,)� �65= ����� ��������� � �� �)� 0������2 �<������ � ������ � � ������� ���� �� ����� �+ 6��� �� 5���)*��� :!;� ��� �)� � ������� ���� �)�� *�� ������ �� �)� 65=� ���� ���)� 6��� �<������ ������� �)� ���������+ ���� �<������ �� � �� ��� ���� �)� �65= ��������)� 65= �� �� �� � �� ��� ���� ,)� 65= �� �� �� ��������+ � �� ) ������ �<������ �� ������)�� �)� �65=� �� ���� ���* �)�� �� ���������+ ����� �)� ��������� � ������ ������� �� ���� ���� �� �)�� ���� *� ���� �� ����������� *)��)�� �)� ��������� � ������ ������� �� �<����+����� �� �������� ����� �� � ���3������ ������� ���� �� ��� �� ������ ��������� ��������.���)������� �)� �-� � � �)� ��* ���� ���� �)�� ������ ��� �)� �������� � �)� ���� �� ���� ��� �

� ��������� �� ������

7���� �� �)� ������ � ����� ���������� ���������� � � �)�� ������� �� ���� ����� ,)��<������� ������� �� ������ �)��� ���������� �� ����� �� �)� /��� ��� � �)� ���� ,)� �<������� ������ �)�� ������� ��� ����� �)� ��������� � ������ 01�� ))�-2 ������� 065=2 �� ����� �+

�&���&

� �&

$�&�&�

�� �&

��&�&�

�� ��&

$��!� �&��D� � %� �!�

�� ��� �)�� ��������� �)� )��3�)� ����� � �)� ����� ,)� �����+ ������� � �)� ���� ��+ �������� �+ ����� �)� ��&���&��&� ����� ���� �)�� 4<� 0!2 �� ���� ���+ �)� �<������ �� �)����������� ���������� � � ���������+ ���� *��) � ������� ����� �)�� � ���� �� �)� �����+ ��������� �)� ��� ��� ������ �� �� �)� ��������� �� �� ,)� ������ ���� �� �)� �&�&� �����

,)� ���� ��+ �� ������ �� �)� ������ ���!� 4��)�� ������� �� �� �/� ��

�&���&

� ��

����

�� !

��&�

��&

�� %� �&�

&� 4��)�� % �� �� �/� ��

�!� �&���

�$�����&

�� �& ��

��

�� �

���&�� �!� ��

�&�&

��&

����

�� �

�� �$�

,)� �<������ � ������ �)�� ������� ��� �)� ��������� � ���3������ 0��� 1�����2 ������� ������� �+

��!� �&��

�&���&

�� �&�&

$�&�� �&

$

�&

��&�&�

� � �&

$�D�� �&�

��& ��<

�� �

��<

�� ��

���!� ��

� ��<

�� &��<

�&

�� !

�&�&�

��&� ��<

�� ��<

��

�D�*)��� ��<��� ���� /��� �� ��� ���

&��<

�&� !

� ��<

�� ��<

�&� ��!� �&�

��&�� � ��<� � %� �'�

�� )�� ���� �)�*� �� �)� /��� ��� � �)� ���� 4<� 0D2 �� �)� ���� �� �)� 6��� �� 5���)*���:!; �� �� 0,6=2 *��) �)� �9 ����� � �)� ����� �� �� �)� �����+ ������� � �)� ��� �� �)�

'?& () *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$

Page 3: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

��� ��� ������ �� �� �)� ��������� �� �� ,)� ���� ��+ �� ������ �� �� ��� *��) 4<� 0D2 �������� �+ 4<�� 0&2 �� 0$2�

� ��������� �������� �� ��� ��������� �� ������

�� /��� ���� �� �)� ��<��� ��� � ��������� �� �� � �� �+ �)� �65= � 4<� 0D2� �� �)������� � *� *��� ����* �)� ���� ) ����� �+ 6��� �� 5���)*��� �� �)��� )������ ��� :!;� ,)����� ������ �� ����� �+ 6��� �� 5���)*��� :!; �� ����+� � 5� �/ ���+� �� �)��� ����)�+ *���� II� �)� ��������� �� �� *)� ) ������ �)� ���������� � �� ������ �+���� �� �� ��3����� ���� �*� �� ���� ����� *)� ) �-� � �)� �������� �����+ �� ��� ����+� �� � �)� ���������<��� + � ��������� �� ��� �� �)� ��������� �)�� �� ) ���� � �� �� ��� ����+ 0�)� ������������ �� )���� 2� �)�� �)� ��� � �)� �<����� � �)� ��<��� ��� �)�� ��� �� ���� �)�� �)��<���� � �)� �������� ��<��� + *)� ) �� � �� *)�� ��� �)� ����� � � �������������+JJ�

�� ���� ����� ����� �)�� �����+ ������� �� ������ � �)�� �� �� ���9������� �� /� ��� �)��9� � ��<��� +� �)� ����*��� ������ �� ����� �

�& � �&! � �&

&� �?�*)��� �! �� �)� ������� ��<��� + � ��������� � 4<� 0D2 *)�� ��� �& ����� ��� ��� �

������ �)�� �)� ��������� �<������ 0*)�� ��� �& ����� ��� ��� 2 �� � ���� �� �� �)� �<�������� � ������� �������� �� ����� � � �+ 6��� �� 5���)*��� :!; �� 5����� � :&;� ,)�� *���)�*� �� �)� /��� ��� � �)�� ���� ,)��� ��<��� ��� )��� ���� ��� �+ 6��� �� 5���)*����� �)��� )������ ��� :!;� 5������ �� �)��� ���� )� �& �� ����� �� �)� ������� ��<��� ��� �4<� 0!2 *��) �)� �����+ ������� ��� � �)+ )�� �)� �-� � � �����+ ������� ���� ������� � K ,)��)�� ���� ��� �� �)�� *� ��+ ��+ �)� ������������ ������ *)� ) ��<����� �)� ������� � �)��*� ����+����� �� �� �)� ����� L�� �� �)� �����+ �-���� � ���*��� �)�� ���� ������� �� �)�*��� � 6��� �� 5���)*��� �� �)� �� ������ � �)� �&�&� ���� �)�� ��������� �)� ��� ��������� �� �� �)� ��������� �� �� �� *�� �)�*� �� �)� /��� ��� � �)�� ��� �)�� �)�� ����� �����+ ������ ��� �)� ������ �����+ � �)� �+����� �� ���� ����� �� �� � ����<��� � � �)���������� � �)� �� � �� ���� *)� ) ���+ ��� � �� �� � ����������� L�� �� ���)���)�� � ���� �� )�� ���+ ��� � �)� ������ �����+� ��� � ����+ ���)����� �� ���� � ���*� �� ��� �������+ ���� �� *��) �)� �������� �����+ � �)� �+���� 0*��) �� �������� )���� �� ����2� ,)��*��� ����� �)� ��� � �)� ������������ ������ *)� ) ��<����� �)� �������� � �)� �*� ���3�+����� �� �� �)� �����

L�� �� �� �������F�� *� �)��� ��� 4<� 0?2 �� ����+F� �)� ��<��� + �� � ����� � �)� �65=�(�� �! �� � ���� �� �� �)� �! � 6��� �� 5���)*��� :!;� (�� �& *��� �� �)� ������� ��<��� + �4<� 0!2� �� ��������� �� 6��� �� 5���)*���� �& *��� �)� ������� ��<��� ��� � �)� ���������+ ��� �<������� �� ��)�� *�� �� �� ����� �)� ������� ��<��� + �� � ����� � �)� �65= �� �)��� � ����� � �)� ��� ������� ������ �� �� 0,6=2 � 6��� �� 5���)*���� �� ��M �� �� ������)� �*� ������ � �&� ,)��� �)� �����+ �-���� � ���*��� �)� �65= �� �)� 6��� �� 5���)*��� �� �� 0,6=2 �� �� �)� �� ������� � �&� �� �)� ,6=� �& ��� �)� ��<��� ��� � ���������� �)� ��������� ���� *)��� �� �)� �65=� �& ��� �)� ��<��� ��� � �)� ������� ���� � �)� 65=����� �� �)�� ���� � � ����� ������ � �)� ������� *��� *��� � �� �� �)� ����+��� � �)� 65=�4<� 0!2 �� ��� �������� �� �)� ���������+ ���� �<�������

,)� ������ �������� �� ����+��� � �)� 65= *��� ��* �� �� �������� �� �� �)� ���������<��� ��� � ��������� �� �)� �� �� � ��������� �)�� ��� � �������� )���� ,� /� �)� ��3<��� ��� � ���������� ������ �)�� % ����� �)� ���

���� �� �� � ���� ��� ��� �A�

() *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$ '?$

Page 4: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

,)�� ��� � % �� ���������� ���� 4<� 0!2� ,)� ��������� �<������ �� �� ����� �� �)� ������ ��� �� � � % ����� �)� ���

�D � �& � � � %� �B�*)���

� ��!� �&��

��& � �&�� �"�

� � � $��!� �&���&

�&� �!%�

���� �)�� � % �� �� %� .���)������� � �)� �����+ ������� �� ������ � ��� � ����� �� ���& � �&� ��� ���� � *��) �&� 4<� 0B2 �� �)� ������ ��� �� � � % ����������� �)� �*�� ��)� ��* ���������� � �)� ������� ,)�� �<������ �� �� ) ������ �� ����� �8����� �)�� �)��<������� ��������� ��� �)� ,6= �� �)� �65=� .���)������� �)� �� ������ � �)� �����+ ��������� � ��* ��������� �� �)� ��������� � ������� ����� L�*����� �� �� �� ���� ��� 4<� 0B2� �)��� ������ � �)� �����+ ������� ��� ��� ������ �� ) � �� � ������� ���� ����� ��� � �)� ���� �)� �<������ ������� �� )���� *)��)�� �� �� �� �� � �� ���� ,)�� ��� 9 �� ���3F��� �� �������� ���� ����� ���� � �)� �� ������ � �)� �����+ ������� � �)� �����

.�� ���������+ 0���3�������2 ������ �)� �������� � �)� �����+ ������� �����/�� �)� ��� ��)� �<������ ���� �����+ ��� � ��* � %� .�� ��*3��<��� + ����������� �)�� �� �)� ���� )��� ��������+ ����� �� ���������+ ���� �������� �� ��� �)�� �� ������� ������ �)� �����+��� ������� ���������� �� �������� �)� �����+ ������� �� ��� ������� .���)������� ��� �)�����+��� � ���������+ ������ �� �� ���*� �)�� �� )��)3��<��� + ����������� �)� �����+ ������� ���� ������ �� ������ *��)��� ����� � ��� �����/ ��� ������� .��� ������� *����� �� �� ���*��)�� ������� � ���� ������ ��� ������� ��<��� ��� � ���������� ,)�� � � ���� ���� �� ���)���� ������ �� ������� �)� �����+ ������� ���� �� �)� ������� ����+����

� �& �� ���� ��� �� �� �������� �)�� �)� ��� � 4<� 0B2 �������� � <�� ���� �� �&� ,)������������� �� �� ��� �� II� ���JJ 4<� 0B2 �� �)� ���� ������ �)�� ��� *��� � ��� � <�� ���� �,)�� �� �� � � ������� 4<� 0B2� ���� ��� ����)3�� �� �N4� �*� �� �� 3�� �� �N4� ���� ������� ������

�& � �& � %�

�& � �& � %��!!�

*)���

�& � �����������������& � D�

&�

�& � ����������������& � D�

&�

�!&�

.�� ����� ������ �� �)� ����*��� ���������)�� ���*��� � �� � ����* �� � ����<��� � � �)��� �/�������

�& � �& � ��!� �&��

��& � �&�� �!$�

�&�& � $��!� �&���&

�&� �!D�

'?D () *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$

Page 5: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

,)� ����� ��+ � �)�� ���������� �� ���� ������ �� 4<� 0!!2� .����� �)� ������ )�� ������ � � �� ������� �*� �� �� 3�� �� �<�������� *)� ) �� � �� ) ������ ���� �)�� ������� �����)3�� �� �<������� 5� �� � �)��� �� �� 3�� �� �<������� )��� �� �� L���)���F �<���������� ���� ��� ������� �)� �������� � �)��� �<������� *��� ������� �)� ��� � ������ �� ����� �� �� �/� ������ �� ������

5�������� � L���)���F �<������� ��� ��������� � ��������� �� *��� � ������ �� �)� �����3������ ���� �)�� �)� �� ���� : *��� �� �)� ��� � �)� ��������� �� �)� �*� L���)���F �<������0!!2� ,)��� : �� ����� �+

��� �� ����%

������� � �������� � �������� � ����������� ������ � �� ��������� �!'�

*)��� �������������� �� ��� ��������� �� �� �� ��� ������ �� ����� �� �� �/� �������� ���� � �)� /��� ��� � ���� �����+� *)��� �� �� �� ��� ������ �� ����� �� �� �/� �������� ����� � �)� �� �� ��� � ���� �����+�

")3) !��� ����� %�� ��� 9������

5����������� � � � ���� ��� �� ���� �)� ���� ��+ �� ������ �� ����� �+ 4<�� 0&2 �� 0$2 ��� ��� �)� ���� ��+ �� ������ �� � ��� ���� ��+ �� ����� � : ��

�&��&

� ��

���

�� !

��&

��&

�� %� �!?�

�!� �&���

��& � �&� ���

� ���

�& � �!� ���&

�&

��&

���

��

�� %� �!A�

N�/�� � �� � �� ) �)�� �)�+ �����+

�&� � �&� � %�

�&� � �&� � %� �!B�

�� ��)�� *�� ��

��� �� � ���� �� � ���� �� � ����� � ������������ �!"�

.��� �)� �/������ � �)� 6��� ��� �� ���� ��� ������� *� ��+ *����

�&��&

� �& � !

����

� !

�&�&

��&�&%�

���� �)�� ��&���&� � ��& � ,)�� ����*� ��� �)� ��������� � ��������� � �)� L���)���F�<������ �� ���� ��� ������� .���)������� � ���� �� �� ������� �� �)� �������� �� �� ������3����� � .��� �)� ����� �/������ � � �� �� �� ����*� �)�� �& � �&� ��&� ��&� � �&�� ,)� ����� � �� �� �� ������ �� �����+ ���� ��+ �� ����� 0!?2 �� �)� ��3��*��� �9�������

�&

�&�!

�� �� � �&

��� � �&

�&�!

�� �� � �&

��� � �!� ��

����

��

�� ���

��

�� �&!�

() *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$ '?'

Page 6: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

���� ��+ �� ����� 0!A2 �� �� ��������+ �����/� ��

�!� ���&

�$��� � ��� � �!� �&��

���&

�� �&� � �!� ���&

�&� �&

����

��

� �!� �&���

��&

�� �&� � �!� ���&

�&� �&

����

��� %� �&&�

")0) ;��<����� �<�����

7���� �� �)� ��� ���������� ���������� � � ������� ���� ���� *��) � ��� ����� �� ���� ,)������� �� �� �/� ������ �� ����� � �)� �� �� ��� � ������ �� ������ ��� ��� ���� � ��� � %� ,)�+ ��� �)�� �� �� � ��� �)� ������� ��������� ,)�� ��� �� � �� � % �� ��� �� .��3�)������� ����� � ������� �� ����� � ��������� *)��� � � %� !� &� � � �� ,)��� �9�������� ��������<�����+ ���������� ���� 4<�� 0&!2 �� 0&&2 �� �������� �� �)� ����� �� ��� � �)� ����� ��,)�� +��� � �*� �<������� �� �)� �������� � �� ���

��&�!� � �� � � &� ������� � �!� ����� �

������ �

� ��&�!� � �� � � & ������ � �!� ���� �����

��� � %� �&$�

�!� � ���&������ � �� & � �!� ���&���� �

������ �

� �!� � ���&����� � �� &� � �!� ���&��� �����

��� � %� �&D�

*)��� �� � ��� � � �� �� � �� �)� �� ��� � �)� ����� ���� �)�� �)� �/������� � � �� � )������� ��� �� �����+ 4<�� 0&!2 �� 0&&2�

4<�� 0&$2 �� 0&D2 �������� �*� )���������� �<������� �� ����� � �)� �*� �����*�� � �� ��� .�� ���3������� ��������� �)� ���������� �� ��<���� �� �����)� ,)�� +��� � �)� ��<��� +�<������ � �)� �+�����

� &� ������ � �!� ����� �

����� � �&�������� & ����� � �!� ���� ����� � �&������ �

� & ���

������ � �!� ���&��� �

����� � �������� &� �� ����� � �!� ���&�� ����� � ������ �&'�

���� �)�� �)� ��* �� �� )�� +��� � � ��<��� + �<������ �� ���� ��� �� �)� ������� ���������� � ���� 3��� �9������� �� �)� ������� ��� ������ *��) ��� ��� ���-���� ����� ����� ���� *�� )��)���� ����������� �� �)� ����������� �)��� �)�� �� � ���� ������ �����/ ������ *����� ����� ����������� �)� ���� ��+ � �)� ������ ������ ��������� *)� ) ��� � �� �)�� �<������� �������� �)�� �)� ����� ��<��� + �<������ )�� �)� �9� � ���� ����� �)�� �� � ���������+ �� ���� ����0���� ���� �� �)� ������ ������ ���������2� �� � �� �� ���� �)�*� �)�� �)� ��<��� + �<������ �� ����������+ �� ���� ���� �� �� ������� �� � �� ��� ��� ��� 4<� 0&'2� �� *��� �� �9� �� �

")") ��� � ����

,)� �� � �)��� �� � ���� ��� �� �� ��� ��� 4<� 0!'2� .�� ������ �� �)��� ��� �����)��� �+

�� ����

� ��

��� �

��

� �&?�

*)���

��

�� ��&�!� �� � � &

� ������� � �!� ����� ������

�&�!� �� � � & ������ � �!� ���� �����

� �&A�

��������+� �� �� � �� �)� ����� �9�������� ��� �)��� �����+��� �)� ��<��� + �<�������

'?? () *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$

Page 7: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

")=) (��� �������

��* ���� �� /� ��� �)� �� ��� � �)� �� �� �� ���� � � ���� ���� *��) � ���� ���� �� � ����������� .�� �)� �� ��� � � ���� ���� �� �� �� ��� �� ����*� �)��

��� � � ������ � � ������� � � %� �&B�.��� �)� �/������ � �� �� � �� ����� �)� ��<��� + �<������� �)� ����� �<������ �� ����*������ ��

������ �������� ��� �

�� &� ������ � �!� ����� �

����� � �&�������� & ����� � �!� ���� ����� � �&������ � �&"�

,)��� �� ���� ���� ������ � �� �� � *)� ) ������� �� � ���������� �� � � ����������4<� 0&"2 �� �� ����� �� � �� �� � �

4<� 0&"2 �� ���)�� �� ��*������ �� ��� ) �)� �9������� ����� �+ 7��*��� �� L�� + :$; �����������+ ������

������ ��� � �� &� ������ � �!� ����� �

����� � �&�������� & ������������ ����� � �!� �� ��� ����������� ���� � �&������������ ����

� � ��$%�

.����*��� �)� �������� ����� �� :$;� �)� �� �/� ������ �� ���� �� �� ���� )+������ �� ���� ���)�� �� ������ �� ����� ������ �� �� ������ ��� �+ �� ��/���+� .�� ������ � � �� ���� �)� � ���� �� � !� �� ����*� �)�� ����� � ����� ��� �� � ����� � ����� ���� ,)��� �)� ���)�3)�� �� � �4<� 0$%2 �� ���� �����)����+ ����� �� ����� � � �� ��)�� *�� �� �� )��) ��<��� ��� �� ���� �� �� ��� �� ���� �� �)� � ��� �)� �� �� �� ��� ��+ �� ���9����� �+

������ ��� � %� �$!�,)�� ��� �)� ������ � �)� �� �� �� ��� ��+ �� ���9����� ��� �)� F���� � �)� ������ �� ��������� �)�� �)� �-� �� � �����+ ������� �� � �)� ��� � ��� ����� ���� �)� ��������� �� ���� ����)���F� �� � ����� �)�� �)� ����� ���9������� �� �� )��) ��<��� ��� �� �� ����� � �

� ��� ��������� �������� ��� ��

,)� ��<��� + �<������ 0&'2 ��������� �� �<������ �� ����� � �% ���������� �� �� �� ( ������ �)��� �*� ��������� ��� ��� �� ��� ���� ��� ��� ������ �)����) 4<� 0!$2� ,)� � ������<��� +� � ��+ ����<�����+ �� ��� ��� 4<� 0!D2� �� � �� 4<� 0&'2 �� �)� ��<��� + �<�������� �� ������� �� ���� ���� ���� �� �� �� �)� ���������)� ���*��� �� �� � �)�� ����������� ����+ *)� ) ��� �� ����� ���� ��� � �� ��� ������ ���� 4<� 0&'2 ��� � �� �)� ��������� ��� �� �� *��� �� �)� �*� ��������� �� �� �� ���� �)�� �)�� �� �)� ��� ���� �� >�� �)� �����)� �����3��3 ������� ����� � ��� ���� ��� ��+ �� 4<� 0&'2� �� ����� ��� �)�� �)��� � ���� *������� *)�� �)� �������� ���������)� ���*��� �� �� � �� �������� � �)�� �������� �)���<��� + �<������ �� ��� ��+ �)����) �)�� �� �� �<������� ,)� ������������ ��� ���� ����� � ������� �� ���3������� 0���������+2 ���� *��) �� *��)��� �����+ ������� ����� ����� �����

N�/�� �)� �������� > �� ) �)��

�& � ��!� �&��&

�� �$&�

() *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$ '?A

Page 8: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

���� �)�� > ��������� �)� �-� � � �)� ���� .�� � ���������+ 0���3�������2 ����� � � % �� �)��� � % �� *���� ���� �/�� �)� ��� ��� ���-���� � �)� ���� ��

� � &��$

$�!� �&� � �$$�

*)��� �� �)� ��3�)� ����� � �)� ����� �� ��� �)�� �)� ����*��� ���������)�� )�� ���*��� ��� � �� � ����<��� � � �)��� �/������

�& � �& � � ��!� �&���& � �&��

�$D�

�&�& � �� � $��!� �&��&

��&� �$'�

4� ) ��� *��� ��* �� ���� ��� ��������+�!� !�������� ������ � ����� ��������� �)�� ���� � � % �� �����+ ������� �� ����� �� � ,)��� � % �� 4<� 0$D2 +��� �

�� � �� �$?�&� !�������� ������ ����� ������� ��������L��� � � % �� ������ ��� ��* 9 �� ���3F���� �� � �� � ���!� �&��&���� L�*����� 4<� 0$'2

�� �� ����� �� � �� ����� � �� �� �� ,)�� �� � ��� +��� � �)� ��<���� ���������)� ���*����� �� �

� ���������������������������

$� &�

$� � &� �����&

�� �$A�

���� �)�� �)� ����� � ����3�)� �����3��3 �������� ��� ��* ������ �)� ��<��� + �<������ �)����)�)�� ���������)�� 5�� � �����+ ������� �� ����� ����� ���� � ����� �)�� ����� � ���������� �������

$� !������� ������ � ����� ��������� �)�� ���� 9 �� ���F���� L�*����� � �& ��� � �����+ ������� �� ����� ����� �� � ,)�� �)�

���������)� ���*��� �� �� � �� ����� �+

� ����������������������� &� � ����&

�� �$B�

���� �)�� �� �)�� ���� �)� �������� > )�� ������ ���� �)� ��<��� + �<������� �� ��������+�������� � > ��������� �)� �-� � � �)� ���� ��� �� �)�� �� �� �� �� �9� �� �)�� �� ����� ���)� �� ������� � ������� ��<��� ����

D� !������� ������ ����� ������� ������������ �� �)� ������� � �)� ������� ����� �� *��� �� �9� �� �� �)�� ���� �)�� ���) �)�

�)� �����3��3 ������� ����� � �)� ���� �� �)� �-� � � �������� ���� �� �)� ���������)� ��3�*��� �� �� �� ,)�� �� �� �� �)� ���� 4<� 0$'2 �� �� ����� �� � �� �)� ��������� �9����������������� ���� 4<� 0$D2� ,)�� �� � ��� +��� � �)� ����*��� ���������)�

� ����������������������������$�� &

� � ����&�$� � &

� �����&�

� �$"�

,)�� �� /� �)� ������� ��<��� ��� � ��������� � � �� ���� ���� �� ��� � �)� ����� ��� ������� ��M �� �� ����� 4<� 0&'2 �� ��O�� ���� *��) ��� � 4<�� 0$?2@0$"2�

'?B () *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$

Page 9: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

(� � �)� �������� ������ � �� �� � )��� ���� ��� � �)� ��<��� + ����� ��+ �� ��� ��� 0!D2

� ���������������� &� �

& �

&���D

�� �D%�

������ ���� �)�� �)�� �� �����+ � ��������F� ������� � �)� ����� �� ���������)� ��� �� ���+��9�� �� ���������+ �� ���� ������ 5�� � �)� ����� �� ��� ������� � �� �)� ��3���� �� �����+������� ���� �� ��+ �� ������� �+ ������������ �� � � ���� �)� ����� �<�������

,)� ��<��� + 0&'2 �� �� ��*������ �� � ������ ��� ��

!!����������� � &!� ����������� � !&������� ����� � &&� �

������ ����� � %� �D!�*)���

!! � �!� ���&�� &� � � &

�� &! � �� �!

� ��&�& � ��&�!� �� � � &

�&��

!& � � �&�!

� �� � � &� �& � �!� ��&�&

��

&& � �!� ������� &� � � &

���� ��������+ �������� � �)�� �<������ ���� �� ����� �� ��O�� ���� *��) ��� � 4<�� 0$?2@0$B2�� 0$"2� .�� ������ �� ������������ �)� ������� ���� ) �� �� ���������� ��� � 4<�� 0$?2@0$B2 ��0$"2 ���� �)� ��<��� + �<������� ,)�� *��� +��� �� �<������ �� �� ���+� *)� ) �� �)�� �� ����� ������ ���+� .�� �� ) ����� � �� �)��� *��� �� �� ��/���� ������ � ���������� L�*����� �)��� ������)�� *�+ � ���*��� �)� ����� ������ *)� ) ��� � ����� �� �����)��� ������������� ������ ������������� ��� � 4<�� 0$?2@0$B2 �� 0$"2 ���� �)� ��<��� + �<������� �� �� ���� ����������� �� ���� �� �)� ������ � ������� �)� ��<��� + �<������ �� ��� � 4<�� 0$?2@0$B2 �� 0$"2 ��3�����������+�� �� �)�� ���� �)� ��<��� + �<������ �9������ � ���������)� ���*��� �� �� ��� �� �)�� � ���� �� �)� ���� ����� 5�������+� 4<�� 0$?2@0$"2 ��� ���������)�� ���*��� �� �� ��� ��� �)�� ���� ����� �� �)� ���� ����� L�� � �)� ������ � �� �� � �)�� �����+ 9� �)���<��� + �<������ �� ��� � 4<�� 0$?2@0$B2 �� 0$"2 ��� ������� ����� � �)� �*� ����� �� �)����� ����� �+ ���� )��� �)��� ������ ������ �� ����������� ��� ��� ��<���� �� ������ �����)������ �)� �-� � � ������ ��������� �� �)� ������� ��<��� ���� ���� �)�� ��� �)��� �/��������������� �� ��/�� �� �)� ��� *)��� ���) �� �� � ��� �������� ,)�� ��� ���+ �)� /��� <�� ���� ��)� ���� ���� *��� �� ���� ��� �

=)3) ���� 3& ��������� ������ � ����� �������

�� �)�� ���� *� )��� �� � �� �� �)� ���� ����� �)�� �� ������)� ���� *��) ���� ���� �������)����) �)� ������� ,)�� �� �)� ����� ������ *)��� �������� �� *��� � ������ � ,)� ����������� � �)� ��<��� + �<������ ��� ���+ �� �)� ����� � � �� �� �� ��� �� �)� ���������� :D�';��� � /��� ���9�������� 1�� ))�- )�� ����� �)� �����

�� � �&��� &��� �� � � %� !� &� � � � � �D&�

*)��� � �� �)� ������ � �� �� �� ��� �� � �� �)� ������ � �� �� �������� :$�D;� ,)�� ����� ���� ��� �� �� ������� ����� *)�� ����� � ������ �� ���)� �� ����� �)� ��<��� + �<�������

() *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$ '?"

Page 10: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

=)0) ���� 0& ��������� ������ ����� ������� ��������

,)�� ��� �� ���������� �� .��� !� *��) ��� ! �� �� � �� ��������� �� �� �� ���� ��� �)�/����� �)� ���� ���� �� ��� & ��������� � ������� ������ � ���� �)� �� �9��� .�� ����������� � ��� �� ��� )�� �)� �� � � ������)� ���� � ��� ! �9� ��+� L�*����� �� �� �� ������� �)� ���� ���� )�� �)� )���F����� ��+����� � � �

���$

����� .��� �)��� �� �� �� �� �� � �)�� ��

��* ��<��� ���� �����+ ������� ��+ �� ����+ ������ � ��� � �)��� �� ��������+ �� �-���� � ���*����)� ���� ����� �� �)� �*� �-����� ����� L�*����� �� )��) ��<��� ���� �)��� �� � ����� �-���� � ���*��� �)� �*� ���� �� �����+ ������� �)��� �� ����� ���� � ����� ,)� �)����� �)������ �)� ������� �)� �)� �����3��3 ������� ����� ��� �� �)�� �)� �*� ����� �� ��� �-����� ��)��)�� �� )��)�� ��<��� ���� .���)������� �� ��+ �� ���� �)�� ����� �� ��� !� �)� ������ �� �)�� �����+ ���) �)� ��<��� + �<������ �� �)� ���� �������� ��� �� ) �������� .��� 4<� 0D%2��� �� �� ���� �)�� �)�� �)� ��� �-� � � �)� �� ������ � �)� �����+ ������� �� �� �%�� �)� ���������<��� ��� � ����������

�+ ���)��� �)� ���� ����� �� ���� ! �� & �� �)�� ������� �)� ��<��� + �� *)� ) �����+������� ���� �� �� �� � � �� �� � � � � ,)�� � ��� *)������ �)� ���� ����� �� �)� �*� ��������� �� ������� ,)� � � �)�� �)� �����+ ������� �� �� ������ �� ��* ��<��� ��� �� �)�� ������� �)�� �)�� �� ���� ���� ���� �� �)� �)� ����� � �)� ���� �� �)� ��<��� + � ��������� �� ������� *��� ���*�� �)��� �)��� �� ������� ��� ��� ��*� �)� ���� *��) *)� ) �)�+ *��� ������� ���� � ����� ��)���F� �

=)") ���� "& ������� ������ � ����� �������

,)�� ��� �� ���������� �� .��� &� .��� �)� ��� � �)� �<������ �� ��� �)� /����� �� ��+ ������ �)�� �)� ���� �������� �� ��� $ �� � )+������� ,)� ������)� ���� ���� ������� ��� �� ���! �� �� ��+����� �� �)� ����� �� ���)������� �� � ��� .��� �)��� *� ��+ � � � �)�� �)��������� �-� �� �����+ �)� ��*�� ��<��� ��� *)��� �)� �*� ����� ��� �-������ �� )��)

.��� !� P��)� � �� �� � �� ���� ! �� &�

'A% () *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$

Page 11: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

��<��� ���� �)� ������� ��<��� ��� � � �������� ���� �� �)��� � � ���������+ ���� *��� �� ���+�������� ���)���) �)�+ *��� ��� �� �������+ ������� �� �)� ���� �� � � ���������� ,)��� �-����� �� �� ��+ ������� �� �)� ���� ��<��� ���� ,)�� �� �� ����������� ������ ��� � � �)�0)��)2 ������� ��<��� ��� ��� � �������� *��)��� ����� �� *)� ) �� � �)�+ ������ ��� �)��� � ����������+ ���� ��+ �� ��� ������ � ,)�� � � �� ����� ��� � �)��� ������ ��� ��� ��+ ��������� ���)� ���������� �� ��� ������ �� ������� �9����������+�

.���)������� �)� �-� � � �)� �������� � �)� ���� �� ��� ��+ ������� �� �)� ��* ��<��� +������ �)� ������ � �� �)�� �����+ ���) �)� ��<��� + �<������ �� �)� ���� �������� ��� )��)���)�� �� �)� /��� ���� *)��� �)� ������ � � ��+ �� ��������� ,)�� ����*� ��� � �� ����� ������ �)�� >�� .��� 4<� 0D%2� �� �� �� � � � �)�� �)� �-� � � �)� �������� ��������� �� �� ����� �)�������� ��<��� + � ���������� ,)� ��<��� + � ��������� �� ���� �� ��������+ ����� �+ ��3 ������� �� �)� ���-���� � �)� ����� �� ��)�� *�� �� �)� �������� )�� �)� ������� �-� � � ���?������)� ����� ,)�� ���-����� )�� ���� ��������+ ������� �� �)� /�� � �������� ���� ������

,)� ��<��� + �<������ ��+ �� � ����� �� ���������

������� ������

� ��� D � &�&�!� ��� &

� �&��& � !��!� ��&��������� ������ � �!� ������� &� � � &

��� D

� � &�&�!� ��� &� � �&��& � !��!� ��&� � �!� ���&�� &

� � � & ��������� ������

�D$���* ���� �� �)� ��* ��<��� ��� �� �)� ��� *)��� �)� ��� ����� �� �� ���+ ������ ,)�� �������)�� �� �� ����� �� �� � �� .��� 4<� 0D$2� � �� ��������� �)�� �)� ���)�3)�� �� � �� ���+ �������� ��)�� *�� �� �� �� � �� 4<� 0D$2 �� ����

������ � %� �DD�5�� � �� �� ������ �� �� ������ �)� ��+����� �9������� �� �� ��+ �� ���

����� ������&

��

� �� �

� ��

&� �

D

� �D'�

.��� &� P��)� � �� �� � �� ���� ! �� $�

() *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$ 'A!

Page 12: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

,)�� *� )���

������ � �� ��

� ��&� �

D

� %� �D?�

,)� F���� � �)� ����� �� ���� ��� �)� � �������� � ��&� .���)������� �� ��� �)�� �� ���� ���� ����� �� ����� �� >� �� �)�� �� �� ������ �� �� ������ ,)�� �)� ����� �������� +��� � �� � /������9�������

�� � ��� &�� �&� ��� �DA�

*)��� � �� �)� ������ � �� �� ��������� � � %� !� &� � � � �� � � %� !� &� � � �� �)��� � �� �)������� � �� �� �������� �� �� �)� ���������+ ���� ���� � ��� ��� �� �������+ ������� ���)� ������ � �� �� �� ��� �� �� *��� �� �)� ���������+ ���� ���� ���� )�* �)�� ���9��������� � �� �� 1�� ))�-J� /��� ���9������� *)�� � � %� �� �� �)��� � .���)������� �� ������ �)�������� � �)� ������� ��<��� ��� �� �� �)� �-� � � �)� ���� �� �� ������ �)� ������������ ���-����� �-� � � �)� ��������� ,)�� �� � �� � ���9������� ��� �� ��+ �� ��� �� �� ������� ������� ������ �� ����������

=)=) ���� =& ������� ������ ����� ������� ��������

�� *��� �� �9� �� � �)� �� ��� ��� ������� � ���� & �� $ ��� ��* ���) �� ��+� ,)� ���� ����� �� .��� $ ����� ���� ! �� D *)��� �)� �<�������� ����� ��� �)�*�# ��� ! *��)��� �)��-� � � �������� �� �����+ ������� �� ��� D �� �� ��� ���)� ,)� ���� ����� ���� �� .��� D ����� �)� �<�������� ����� *��) �� *��)��� �)� �-� � � �������� ���+ ��� � ���) ����� �� �� ��)� �-� � � �����+ �������� �� ��������+ ������� � �� ����� *��) ������ �)� �����3��3 ������������� �� )��) ��<��� ���� �)� �-� � � �����+ ������� �)��� ��� �� ������� � � ���� �)�� *)���)� ��� ���� � �� )��)� �)� I��*J ��<��� ��� � ��������� ��� � �����+ )��) ����� �� �)��� � ����������+ ����� �� ��)�� *�� �� �)� �-� � � �����+ ������� �)��� �� �� �� � ���� �� ��*

.��� $� P��)� � �� �� � �� ���� ! �� D�

'A& () *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$

Page 13: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

��<��� ��� � ��������� � � ���� ������� �� � )��) ���3����� ,)�� �� ���� ���� � �)� ���� �� �)��������� �� ���������� �)� �-� � � �����+ ������� ��+ �� ����+ ������ �� ��* ��<��� ��� � ��3������� � � �)�� ���������+ ����� ��� ��� �� � �)�� ���� �)�� �� �������� ���+ ��� �+� ���� �)���)�� �� ������ ��� ��� )��� ��� ��� � �)� ����+��� � � ���������+ ����� ,)�� ������ �� ������� �)�� ���� � �)� ���9�������� �)�� ��� *���3� ��� �� ���������+ ����� ��+ ��� ������ �� ������� ����� �� �)�+ ��+ ��� �� �������+ �� �� ���� �� �)� ������� �������

� ��������� �����������

������ �� ����������� *��� ����� ��� �� ����� �)� ��<��� + �<������ �� ������� ����� .����� ����� �)� ������ � � � &� !%!! �>�� � � %�&'� � � A�B� !%$ ����$� ���� �� ��� � � %�? ���� ���� )��3�)� ����� � � %�%! � *��� ��� � ,)��� ������ ������� �9� ��+ �� �)��� ��� �+6��� �� 5���)*��� :!; �� �)��� ��������� ����

�)3) ;��<������� ��9�����

,)� /��� ��� �������� *�� �� � � %� �)�� ��� �� ���� �� �)�� ��� �� � � �� �)� ��������� ���)� ��<��� + �<������ �)��� �� �)��� �� � ���������+ ����� ,)��� ��������� ��� *� ��+ ����������� �)� ����������� �)�� ���� ��� � *�+ � ����+��� �)� � ��� + � �)� ������ �<������� �� � �� ,)� ��������� ������ � �� ��� ����� �� ,���� !�

��9�� � ���������+ ���� 0� � %2 *��) �����+ ������� *�� ���� ��� � ,)� ��������� ��������� ��� �)� ��<��� + �<������ ��� ����� �� ,���� &� ���� �)�� ������ �)� �-� � � �����+ ������� ����� ���� ������� �� ������� ������ � ��� �� � ������ �)� ��*�� ��<��� ��� � ��� �-�� �� ) ����)��� ������ *��)��� �����+ ������� ����� ���� � ����� �� �� �� )��) ��<��� ��� �)�� �)� ����� �� �����+ ������� �� ���� ������� �� ��)�� *�� �� �)� �-� � � �����+ ������� �� �)� ��<���3 ��� � ��������� � � ���������+ ��� �� �� ������ �� ��* ��<��� ���� L�*����� �� )��)

.��� D� P��)� � �� �� � �� ���� & �� D�

() *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$ 'A$

Page 14: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

��<��� ��� � ���������� �� �)��� �� ����� ���� � ����� ������ �)�� �� � *���3���*� ������ �� ������ �� ����+ �)� ���� ��+ � �)� �<������� ������ )����

��* ���� �� )��)�� ������ � �)� ������������ ��� �������� >�� *��)��� �)� �-� � � �����+�������� �� ����� �)�� ������ �� �� � ��������� � �)� ���������+ ���� ��� �� �-� .�� �9������)� ��������� ������ � �� ������� ��� �� �� � !�?' ��� ����� �� ,���� $� .�� �� � !�?'� �)�� � &� � � % �� � �� �� �-� ,)�� ��� ��� �� �� �� � �� �)�� �)�� �� � �)��� ��� �� ������� ����� �� � ������� ����� ,)� � � &� � � % �� � *��� )��� ���� �)� �� � *��) �)� ��*��� ��3<��� + � ��������� )� �� ��� ���� �� �-� ��* �)�� �)�� �� � �� �� �-� �)� �� � *��) �)���*��� ��<��� + � ��������� �� �)� � � %� � � ! �� �� L�*����� �)� � � %� � � ! �� � ����3��� � �� �� � &�'"!& �� �� � !�?'� ����� *��) �� � &�"B!? �� �� � %� �� ��)�� *�� �� �)��-� � � �)� ��� �� �� �%�� �)� ��<��� + � ��������� � � ���������� �� � ���� �)���) �)���<��� ��� � ��������� ��� ������� ��* )��)�� �� �� �)� ����� � � ���� ���� �� ���

5�� � �� ����� �� ���� �)�� >�� *� �� ��* ��� *)+ ������ �� �� ��� �� �- ��������� ��������� )��)�� ��������� ��<��� ���� �� ����� �� �)� �-� � � �)� ��� �� �� ��*�� �)� ��<��� + �

,���� &

5�������� � �)� ��<��� + �<������ �� � ���������+ ��� *��) �����+ �������� �� � %

�� �� � ���������+ ��� *��) ��� �� � %

� � � % � � ! � � & � � $ � � D � � '

% @ &�"B%" ?�!BBA "�$''? !&�'%A' !'�?'&&

! @ D�'!?! A�A&D$ !%�B"DD !D�%D"? !A�!"A%

& &�$DA$ '�"$B% "�!AB& !&�$?"$ !'�'$"% !B�?"?A

$ $�'?"$ A�&BA% !%�'A'" !$�A"?" !?�"BA! &%�!'"B

D D�A&&? B�'B?" !!�"$!" !'�!BA' !B�D%!" &!�'"&?

' '�BD$& "�B'!$ !$�&''? !?�'DB& !"�AB"% &&�"""A

? ?�"D$" !!�%BBB !D�''$& !A�BBD& &!�!'&A &D�$BD?

,���� !

5�������� � �)� ��<��� + �<������ �� � ���������+ ��� *��)��� �����+ �������� �� � %

�� �� � ���������+ ���� �� � %

� � � % � � ! � � & � � $ � � D � � '

% @ &�"B!? ?�!"!? "�$?!" !&�'!B? !'�??"D

! @ D�'!AA A�A&B? !%�"%&B !D�%?$' !A�&!AA

& &�$DA? '�"D%' "�!BD& !&�$B%! !'�'''" !B�A&!%

$ $�'?"" A�&"%? !%�'B$A !$�B!%& !A�%%A! &%�!BA"

D D�A&$? B�'"!? !!�"D!? !'�&%$D !B�D&'& &!�?&D'

' '�BDD? "�B'A& !$�&?A& !?�'??B !"�B!'A &$�%$'?

? ?�"D'" !!�%"?% !D�'??" !A�"%'? &!�!B&B &D�D&DA

,���� $

5�������� � �)� ��<��� + �<������ �� � �������� ��� *��)��� �����+ �������� �� � !�?'

�� �� � �������� ���� �� � !�?'

� � � % � � ! � � & � � $ � � D � � '

% @ &�'"!& ?�!$!" "�$$A& !&�'%'% !'�??%"

! @ D�$"'' A�?"!B !%�BBDB !D�%'&" !A�&!%?

& @ '�BAAB "�!'BB !&�$??D !'�'DA& !B�A!'%

$ $�D$"D A�&'&% !%�'?'! !$�A""& !?�"""" &%�!B&B

D D�?'"! B�'?'$ !!�"&A$ !'�!"D' !B�D!"! &!�?&%!

' '�B%'$ "�B$B& !$�&''" !?�''"D !"�B!%' &$�%$!A

? ?�"!"! !!�%B!? !D�''AB !A�B""$ &!�!AB$ &D�D&!&

'AD () *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$

Page 15: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

��������� � � ���� ���� �� � ����� �� �� ���� ������*� �� �� ���� ��*�+� �� ������� �)�� ���<��� �� >�� ,)�� ����� �� �)� �9����� � � ���� �� ��� � � ��������� �� ���� ���� ���� ����� ��)� ��� ���� �� ���� �� �� ��+ ���� �� �9���� ������ ���� �)�� ����� �)� ������ �- � �������� �� �� �)� ��*����� � �)� ��<��� ��� � ����)������� �� ��� �)� )��)�� �� �� � ���������0�)��� ��� ���� �)� ���- ����2 ��� )�� �+ �-� �� �+ �)� �-� � � ���� ,)�� ��/��� �)� ��3 � ����� �� � �+ ������������� �)� �)��� � �)� ���� ������ .�� ������ � �� �� ) ������ �)��>�� �)� ���� ����� �� � ������� ���� ���� ) ��+����� ���+ �)��� � � ���������+ ����� ,)��� � ���� �)�� �)� �� �� �� ��<��� ��� � ��������� � � ���������+ ���� �� �� ��� �� �� � ��)��� � � ������� ���� �� �)� �� �� �� �� )�� �)�� ���� ����/� ������ ���+�

,)� ���� ���� �� ������� �� )��)�� ������ � ������������ ��� �������� >�� .�� )��)�������� � >� �� ) �� �� � $� ���� ���� �� �� ��� �� �-� ,)� ��<��� ��� � �� �� � O� ��� �� �)� ���- �� �� ��� ��*�� ����� �� �)� ������� ��� ������ �� � ���������+ ����� *)��� �)��� ��� �� �� ��� �)� ���- �� �� ��� �� � ����� )�� �+ �-����� 0���)���) ����� ��*��2 ��� �)� ������� ��� ������ �� � ���������+ ����� ,)� ��������� ������ � �� �� �� ��� �� ,���� D�

��* ���� �� �)� �-� � � 9� �����+ ������� �� �)� ��� � �)� ���� ,)� ��������� �� �)���<��� + �<������ �� �� �� � $ *��) �)� �-� � � �)� �����+ ������� �� �� � ��� ����� �� ,���� '�.��� �)� ������ �� �� ���+ �� � � � �)�� �)� ����� � � �����+ ������� �-� �� � ������� ���� �)����� *�+ �� �� �-� �� � ���������+ ����� �� ��)�� *�� �� �����+ ������� ��� � �� ��*�� �)� ��3<��� ��� � ��������� �� �����+ �-� �� �)� )��)�� ��<��� ��� � ����������

,)� ��9� ��� �������� *�� ��� �� *)� ) � � !%%�� *��)��� �)� �-� � � �����+ ������� ��������� � ����� ,)�� �� �)� ���� ����� ��� �+ 6��� �� 5���)*��� :!; �� ������� � ���� � %�%$?� ,)� ��������� ������ � �� �� �� ��� �� ,���� ?� ���� �)�� �)� �������� ���3F�������� � �� �)�� �� � �������� �� �)� ��<��� + �<������ �� � ���������+ ���� �� �� � &�$DA?� 5�� ���� � �� >� ��� ������������ <���������� �)� ����� ����� � >� �� �)�� ��� ��� � �� �� �9� ��)�� �)� ��� *��� ��� )��� �� ) �-� � �� �)� ��������� ��������� �� �)� ��<��� + �<������� ,)�� ���� �� �)� ���� �� �� �� ���� ��� ,���� ?� (��+ �)� ������� ������ � �� ��� �-� �� � �� ������ ���+ �� �)� ����) � ���� �� �� ,)� )��)�� ��<��� ��� � ��� ���� �� �� �-� �� �� ��� �+�)� ��� � �)� ����� ,)� ����� � >� �� ��� ����� �����) �� �� �- ��+ � �)� ���������+ ������ ��� �� � �� %���� � � � ���� ���� ���� 9� @��9 ��� !�� %���� � � ������ �& ��������� 9�� � @!� ��� � � �@� ��� ������ ����������

�)0) 9��������� �� ����������

�)0)3) !�� ��������� ����� ���� ��� ��� ?���� �������� ���+ ���� ����������� *��) ������� ������ � �)� ��� ��������� � �������

���� ������ �� �� ��� ������� �� �� �)� ���������)� ���*��� �)� ����� � ������������ ����������� >� �� ������������ ������� ��<��� ��� �� � �)� ��������� ���� �)�� ��������� �)�

,���� D

5�������� � �)� ��<��� + �<������ �� � �������� ��� *��)��� �����+ �������� �� � $�%

�� �� � �������� ���� �� � $�%

� � � % � � ! � � & � � $ � � D � � '

% @ @ '�"?AB "�&A?$ !&�DA&A !'�?D%A

! @ $�"$DB A�'"A& !%�BD!D !D�%&A? !A�!"D!

& @ '�?"D" "�%"'B !&�$$$D !'�'&?B !B�A%!!

$ @ A�!D"% !%�'!"? !$�AA$$ !?�"B$% &%�!A%"

D D�DD%! B�D"B$ !!�B"&" !'�!A$D !B�D%D" &!�?%"B

' '�?"!" "�A"%" !$�&&B" !?�'D&% !"�A"B$ &$�%&&A

? ?�BDAD !!�%D?D !D�'$?% !A�BBDA &!�!?AB &D�D!$$

() *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$ 'A'

Page 16: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

������� �� �)� �������� ����� � �)� ������������ ��<��� + �� � � ���� ���� ���������+ ������ � �� ���� �)�� >�� �)�� �)�� �� � *��� �� ������ �� �)� �������� ����� � �)� ���������+ ��������� � �� �� ������ �)�� >� ��� ���� �� ����� �� >�� �)�� �� � ��+ �� ��+ ��� �9��� �� �)��������� ����� �� ��� �)�� �)� ��� *��� ��*�� �)� ��<��� ��� � � ���� ���� �� � �� �)�� �� ����� ���� � � ���� ���� ��<��� + *��� �� ��*��� �� ���� �)�� >� �� ���� .�����+� � �)� ���������+���� ����� � �� �� �� ) ������� �)�� >�� �)�� �)� ��<��� + �� �� � �)�� � �)�� ���� ������ � ��� )�� �+ �-� �� �+ �)� �������� � �)� �����

�)0)0) !�������� ����� ���� ��� 9� ���� � �� �� ����.�� ������ � �� ������� �)�� ��� ���� �� >�� � ������ ������ � ��� ���� �� ������ �� � �� ��

�� �)��� �� �� �)�� *��� )��� �)� ��*��� ��<��� ��� � ��������� �� ��� �)�� � �)� �������� �� ���� ,)��� �� �� *��� ���� �� �)� ���� �-����� ��� �)��� ���������+ ���� ������� .�� ������� �� ��� ��� ���� �� >�� �)� ���������+ ���� ������ � �� ��+ �� ��� �� �������� ����� �� �)������� �� �������� � �)� �������� ���� ������� �� � �� �)� ���������+ ���� ������ ��+ ���� ����� �� �� ���9������� �� �)� �������� ���� ������ �� �� � �� ��� � �� �� ���*� �)�� �)�+ ���� �-�� �� )�

�)0)") ����� �������,)� <������� � *)��)�� �� ��� �)� �����+ ������� ���� �� �� �� � �� ���� �� � ����� �� �

������� ��)���� .��� �)� ���������+ ���� ������� �� �� ���*� �)�� �� �)�� ����� �����+ �������*��� ��� �� � ����� �)� ������ � �� �)�� �����+ �)� ��<��� + �<������� .���)������� �� �� ���*��)�� �)� �-� � � �����+ ������� ���+ �-� �� �)� )��)�� ������ � ��� ,)��� �� � ����� ����� �� ��������+ ���*� )�* ����� �� )�� �� �� ����� �)� �����+ ������� � �)� ���� ��+� � ���� �� �)� �� ������� � �)� ������� ��<��� ���� 5�� ��� �� ����� �)�� �� �� � �

� �)� �����+ ������� ������ �� �� � �� ���� ��+ �� ����� �)� ��<��� +� ,)�� ���� �� ����� � �� �� ����� ��� ���� �� �)�

,���� '

5�������� � �)� ��<��� + �<������ �� � �������� ��� *��) �����+ �������� �� � $�%

�� �� � �������� ��� *��) ��� �� � $�%

� � � % � � ! � � & � � $ � � D � � '

% @ @ '�"?'& "�&A%! !&�D?!? !'�?&$'

! @ $�"$$" A�'"$% !%�B$$% !D�%!$A !A�!A$D

& @ '�?"&' "�%B"" !&�$&&A !'�'%"" !B�?A?"

$ @ A�!D'D !%�'!!" !$�A?%% !?�"?$% &%�!D&"

D D�D$"& B�D"$' !!�BB$& !'�!'A' !B�$B!? &!�'AA"

' '�?"%D "�ABDB !$�&!A! !?�'&$$ !"�AA!? &&�"B?B

? ?�BD'$ !!�%$B" !D�'&&! !A�B?$& &!�!$A' &D�$A$&

,���� ?

5�������� � �)� ��<��� + �<������ �� � �������� ��� *��)��� �����+ �������� �� � %�%$?

�� �� � �������� ���� �� � %�%$?�

� � � % � � ! � � & � � $ � � D � � '

% @ &�"B!' ?�!"!' "�$?!" !&�'!B? !'�??"D

! @ D�'!A? A�A&B? !%�"%&B !D�%?$' !A�&!AA

& &�$DA' '�"D%' "�!BD& !&�$B%! !'�'''" !B�A&!%

$ $�'?"" A�&"%? !%�'B$A !$�B!%& !A�%%A! &%�!BA"

D D�A&$' B�'"!? !!�"D!? !'�&%$D !B�D&'& &!�?&D'

' '�BDD? "�B'A& !$�&?A& !?�'??B !"�B!'A &$�%$'?

? ?�"D'" !!�%"?% !D�'??" !A�"%'? &!�!B&B &D�D&DA

'A? () *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$

Page 17: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

�������� ���� .���)������� � �� � � � � �)�� �)� �-� � � �����+ ������� ���� �� ����� ���� � ����

���� �� �)� ��*��� ��<��� ��� � �)� �������� ����� ���� �)�� �)�� *��� ������� �� )��) ���������� � � �)� ��� �� �)� ��������� � ����� ��3���� ���� ������ ��)����� �� �)� �� �� ��+ ���� �� �� ���� �

� ���������

��* �)�� �)� ��<��� + �� � ����� � �)� 65= )��� ���� �)�����)�+ ����+F� � *� ��+ �������� ����� �)� 65=� �65=� ,6= �� �� ������ �)� ���� ��+ � �)� ������ ������ ���������� ���� ��* ������� �)�� �)� ������ ������ ��������� �� �������� ����� �� �(, � ��� ����������.����� *� ���� �)�� �� �)� ��� ���� ����� �+ 6��� �� 5���)*���� �& �� �)� ���������+ ���� �� �)� �������� ���� � �)� 65= ��� � ���� ��� � �)� 65= �� �� ���� �� ��� �� �� � � ��<��� +�

*� *��� )��� � � �&� L�*����� �� �)� ,6= � 6��� �� 5���)*���� � � ����������������&! � �&

&

�� Q����� �! ��

�������/ ���� �)� 65= *��� �� ���� � � �)� ��<��� +� .���)������� *� ���� �)�� �)� �� � ������ �)� �65= *��� ��� ) �)��� � �)� ,6= ��� � �)� �-� � � �! �� �� �� � �� �)�� �� ���

���� �� �)� �������� ����+��� � �)� 65=� �)� ��<��� ��� �� � �� �+ �)� �65= *��� ��������� �� ��� ����)��+ ������� �)�� �)� �� � ����� � �)� ,6=� .�� �)� ������� ���� ��+ ��� �+6��� �� 5���)*���� �)� �*� �� ��� ��� �� ������ ���������� �� )��)�� ������� ���� ������ �)���� ��� ������ �� �� �)� ��������� �� � *��� �� ��� ���� ������ �� �)� �65= �� ,6= *��� ����� �� �-�� �� �)� �� � ����� � �)� ��<��� ��� � �)� ��*�� �� �� � ����������5�� � �� *�� ������� ��� �)� ����������� �)�� �)� ���������+ ���� ��<��� ��� �� �� ��� ���)� )��)�� ��<��� ��� � �)� 65=� �� )��) ��<��� ��� �)� �65= �� ,6= *��� �� � ����� ������,)� ���� �� ����� ��+3�3��� � �)� 65= ���� �� � �� �# �� �� ��� ����+ ��� ���� �� ����������� ����� ����� �����) �� ��� �� �)� ��������� � ������ ������� ��� �<����� ,)� 65= �� ����� �� � ������+ ��8� � �)� +���� � � � �������� ���� ���+ �� ������� ���� ����� ����� �����)�� ���� �! �����������

! "����������

,*� ������ �� ��� � ������� ���� *��� ���� ��� � ��� ������� ��� �)� ��� � ������ ��������� �)� ��)�� ��� �)� ��� � ��� 1����� �������� ,)� ������ �<������ � ������ �� ��������������� ���������� � � ������� ��� �� ���� �� � ������� ���� *��) ������ ������� )�� ��������� �� ����+F� �� �)� ������� ��<��� ��� � ��������� *��� ������� � �� ������� *��) �)���� ������� �� �� � � ������� ���� �)� ��<��� + �<������ *�� ��� �� ���� ���� ,)����<��� + �<������ �� � ���������)� �� �% ���������� ,)� ��� ���� � ���������+ �� ������������ *��) �� *��)��� �����+ ������� )��� �)� ���� ��<��� + �<������� ,)� ���� ���� ��� ����� ���� ��� ��� � �� �)� �������� ���*��� �)� �*� ��������� �� �)� ��<��� + �<������� ,)���/� ��� �)� ������� ��<��� ��� � ��������� ������� �� ������� �*� �<������� �� �*� ���������� ������� ��� �)�� �)� �������� � �)� ���������+ �� �������� ���� ������� ��� <���� ������� �� �)�*���3���*� ������� �� �)� ���������+ ���� �� �� ��� �� � �������� ���� �� �)� �������� ���������� ,)�� ��* �� �� �� � �� �)�� ������ �� �� ������� ��� �� �)� ���������+ ���� *��� �� �� �- � �)� ���� ������� �� ���� ���� ������� ��� �� ,)� ��� �-� � � )����� ���� � �)� ��*���� �� �� �- �� �)� ������� � �)� ��*��� ��<��� ��� � ���������� L�*����� �������� *��)�9������ *��� ����� �� ��� ��� �)�� �)�� �<������ ����� � ������+ �������� �)� ������� ��� ��������� ���� ����� �)�� ��� ��� �9������+ ������ .�� ������� ���� ����� �)�� ��� �+� �� � ������� ����� �)� �� �� �<������ ���� �� ��������� ������� ���� �� ��� � ,)�� �� �� �<������ �� �����

() *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$ 'AA

Page 18: A Revisit of Spinning Disk Models, Part II: Linear Transverse Vibrations

�� ��� �� �)� ��� ������� �� ��� +�� �� ������� � �* ����� ����� �� �� �)� ��� ������� �� ��� ��*�� �)�*� �)�� �)�� �� �� �<������ �� �� ��������� *��) �)� ��� ������� �� �� �� �)� ����������� ����� ��� � �� )��)�� ������� ���� ������ �)� ��� ��� ������ �� �� �)� ��������� �� ��)��� �� ����� ���� ���� ������� �� �)�� �)� �65= �� ,6= ��+ ����� �� �-�� ��� ����+�� �)��� �� � ����� � �)� ��*�� �� ��� ,)� ���� ������ �� ������ �� �)�� ����� � ��� �� ����� ���������+ ������ �)� ��������� � ������ ������� <�� ��+ �� ���� ��� �<���� �� �)� ����� �������� �� ����

��#��$�� %������

,)�� ������ ) *�� /��� ����+ ������ �+ �)� �������� 5 ��� � �� 4���������� ������ )7��� �� � 7��� ��

&���������

:!; L� 6���� ��R� 5���)*���� ,)� ���������� � � ������� ���� ��� � �� 5� � 6�� �� 5��� � "" 0!"&!2 &A&@&B%�

:&; ��P� 5����� �� ,)� ���������� ���������� � � 8�� ������� ��������� �� ��������� 5 �� &" 0!"?&2 !?@!B�

:$; ��7� 7��*���� L�7� L�� +� ,)� ��<��� ��� �� �� �� �+����� � �� ���� ������ �)����� =���� 5��� A &D 0!?'2 0!"$A2

!%D!@!%''�

:D; �� 6������ R��������� � ������� ��5� 5�3!?%� ���)������� N7� !"?"�

:'; 6� ������)� ,)���+ � 5��� � =� ������� 6�� ��� !"$A�

'AB () *������ +),) -� . /���) ��� ) �������� 0� 102234 �536�7$