a universal upper bound on density of tube packings

14

Upload: lephuc

Post on 28-Jan-2017

217 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

� ��������� ��� ���� �� ����� � �� ��

������� �� �������� ����

������ ��������

��������� � ��� ��������� ��������� �� ���� ��� ����� ������� ���������� ������ ! "� ������� � ������ �� ����� ����� �� ��� ��� ��# �$� ���%��� �$ ���� �� �

� &

�� ������������

�� �� � �� �� ���� ������� � �� �� ������� �� �� ��� ��������� ����������� ������� ��������� �� �� � ��� �� ������ �� �� ���� �� ����������� �� ������ ������ �� ������� �� � � � �� ������ ������� �� �������� �� ���� ��������� �� ���� �� ��� �� ���� ! "� ���#��� �����

�������� �� �� $������� ����� �� ��� �������%�� ������ ����� �� ������ ��� �� ������� ���"��� �� ����&

"���� ���� ���� "� �� ������ �� ��� ����� � ��#��� �� �����"��� ���� !�'��� ��� �� � � � ���� �� �� ��������� ���� �� ��� ���� ����� "���������������� �� � "��� �"������� ���� �� ���� ���� �� ��� � �������&�� ����"���#���� �� �� ���"����

%�� ������ �� ����"�� �� �� (������� �")���� ����� � �������� �*�� &���� ���������� ���� ��� ���� �� ����"���� ����� "����� ����*�� &����� + (������� ���� ������� �������� �� "� ����� � ����� �� ��� �� �������� ����� ���� ������� �� ���� ����� �� � �� ����� �� �� ����� �������������������� ����� ���� ����� �� ����� ��������� ����������� ����������� �� �� ���� ������ ������ �� �� ���� ��������� "�� �� ��������������� ����� �� "� ���� ������� ���� �� ���� ��� ��,����� ����� ������� ����� �� �� ��� �� ������ ����� ���� ������� �� ���� ����� �� �� ������� ����� *�������� "��� ��"� ��������

�� ������� �� ������� �� �")���� �� ������ �� ���� ����� �������� ��(������� ����� �� �� ��� ������ ��� ������ �� ����� �� ������� �� ������� "�� �� ����"���� ����� ��� �� "� ������� � �� ��� ���� ��������� � � ��- .!� �� ��� ���� ���������� �� ���� ����� ������ � ���������� �� ������

��������� ���� � �� � ���� � � � ������� ��� � �� � ������� ����������� � ���� � �� ��� �� �� � � ��� � � �� ��� � �� �� �������� �

��� � ����� ����� ������������ �� ��� �� ��� �� � ������ �� � ���� ���� ��� ���� ������� ��� ����� �� ��� ��������� ���� ���� ��� ���������������� ������ ����� ��� ��� ��� � � ��� �� ����� ������� �� �����

Page 2: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

� ������ ��������

����� �� ��� ����� �� � ���� �� � ����� ����� �� ��� ����� �� ��������� ���� ��� ������� � �� ��� ����� �� � ��� � �� ��� ����� ������� ��� ����� �� � ���� � !�� ��� ������ ������ ���� ��� �������"�

+ ������ ������ ������� �� �� ���� (������� ���� �� "� ������"�������� ����"���� ���� �� ���� ���� ����"���� ������� ���� ������������ �� �� ����� �� �� ��"��� /� ���� �� ���� � ����� "���� ��������� ��� ���� ������ �� �� ��"� ������ ���� �� ����� ������������ �00 � 1�# 2! �� ��� ������ ���� ����� ������� ���� �� "� ������������ ���� ��"� ���� �� ��������� ������� ��� ���� ��"� ����� ��� �������� �������#���� �� (������� ������� ���� ���� "��� ��� ���� ��"� ������� ����� ������� ��� ���������� ��� ����� �� ��� ��� ��� ��������� "���� �� ��������

3���� ����� ������� �� �� �� ������ (������� ������� �� ����������� ��� ����"���� ���� �� ������ �� ������ ������� �� ��� �� ������ ������� ��� � ������ ������� �� �� �������� �� ������ �� �� �������� ����� �� � � ��- .!� ��4� �����"�� �� �� ��� ������� �� � ������������ �� *���� ����������� /� �� ��� ������ �� ��������� ���� ������ ���� �� � ������ ������� ��� �� �� ������ �� ������� � ������������ ��� �� �������� ������ �� �� �������� �� ���� �� �� ���� ������ ��� ������ �� ���� �� ���� ��4� ��� � �� ����� ����� ������� ��������� #��� � �� ��"� ����� ������� #���� %�� ������ ������ �� ��(������� ��� �� ��� ������� �� ��

��� �� ��� �� �����"�� ��� �� ����

������ ��� ���� ��"� ����� 5���������� �� ������ ������� ������� �� � ������� ��"� ����� �� ��� �� ��"������ ����� ������

�� ��� ������ �� �� ��� � ��6

������ �� � ��� ����� �� � ������ �� ���� �� ���� � � � � �����

��� � ����� �� ���� �

����� ��� ���

+� ������ �����*������ ��� ���� ��� ���� ����� "���� �� ���������� ������� �� ��� ��� ���������� �� ����"���� ���������

7� ���� �� ���������� ���

�� ���� !� ��� �� �� ��� ����� �� �� ����� �� �� � ���� ����� �" �������������� �� ��"���� �� �� ����"���#���� �� �� ���"��� 8�� ��������9��� ���� ���"��� ������ ���������� ��� �� ������� ��� �� �� ����"��������� %�� ���� ����� �� ��������� �� ������������� ��� � �� ��� �������� �� �� ���� ����������� ����� ��� ������ ��� ��� +� �� ����� ������ ����"���� ���� ��� �� �� ����� ������ ����"���

�� ���� ! ��"��� ���� "� ����������� �� ��� � �� ���� ���� ����� �*�������� ���� ���� ����� 8�� �� ����9 �� ���� ���� 8�����"�� ��� ���� ����9� /� �� ����� �� �� ���� �� ����� �� ���)����� 8+��������� �*�������� ��� � ����� ��� "� ����8�9 �� ���� ������ ����� "�� �� ����

Page 3: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

� ��� ���� ����� ����� �� ������ �� ���� ������ �� ���������� ���� �

������ ��� ��� �� ������9� /� ���� ���� �� ������� �� ������� ��� ��� ����"���� ����� ������ � ����� �� ����"���� ����������� ������������� ���� �����������

/� ���� ���� �� �� ����� ��&���� ����� � � � � �� ��� ����� ������ ������ �� ��������� ������� � �� ���� �� ������ :�� �� 8����&"����9 ���� "� �� 8(�������9 �������� �� ����� � �������� � 8 � 9�:�� �� ����� "� 8 � �9 �� ��� �� ���� � ��������� 8�� 9 �� 8�� 9� ������ �� ��� �� �������#�� ��� �

8�; �

7;

�� �

7��� �� ��� �

7� ��� �9 ��� � � 8 � 9

/� ���� �� ��4� ��� �����"�� ��� 8����"����9 ���� �� "� ������ 8(�&������9 ���� ��� ���� ��� �������� �� � � � �� '��� ��� ��� ��� ���� "������ ��� "� ���� ��������������

1����� �� �� ���� ��� �� � ������� � ���� 8 � �9 �� �� �� ����8��� �� �� ��� �9� �� ��� ����� �� �� �� �*�������� ��� �� ��� ��������� �� �� ���� ���� ��� "� �� '����� ���� ���� "� ������ ��� ������� �� ���� ��� �� � ������� � ���� 8��� �� �� ��� �9� ���� �� ����� ��������� ����� ���� �� ������ ��� ��� �� � � 8 � 9 ��� ���

��� � < � ;���� ; ���

� ��� �� ��� �� ��� ; 8����� � ��� �� ��� �9�

7����� � ��� � ��� �+���� ���� ������������ ��� "������

��� �� <���� � ��� �� ��� ; ����� �� ; ���� �

��� �;

7-��8��� � ��� �� �9 ������ ! ��� �

��� �

��� �� � �*����� �� �� ���� ��� �; � ��� � < � ��� � ���� %�� ������� ���� �� ��� � �*����� � ������ ��� �������� �� 8 � 9 �� ������ �� � < �� ; ���

3�"��������� �� ���� ��� � �� �� �� �� ��� ��

������; �

7� ��� �� �

�����

;

������ �

7

�����

; ���� �

��

<

�7-�

���; �

7� ��� �� �

�=�� =�

7

���

; ��� ���

+���� ������ ����������� ��� "������

��� ��� < 8��� ��� �� ��� ; ���� �98�� � ��� �� ��� ; ���� �9

< 8���� ; �� 7 �� �-�������!98���� ; �� 7 �� �-�������!9

>� ����� ���� ��4 � "��� ����� �� ���� ���������� 8�� �9 �� �� ����&"���� ����� +� ��� ������ �� "������ ��� ������ �� ���� �� 8�� �9 ����� < �� � ��� � �� � < �� � ��� �� ���� �� ������� ���������� ��� ��

Page 4: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

� ������ ��������

����� ����� �� �� ����"���� ����� >���� ���� ����������� �� �������� < �� ; ���� � < �� ; ���� �� �

8���� ; �� 7���� 7���98���� ; �� 7���� 7���9 < ��� ������ ��� �� ������ ���� �� ����"�� ������ �� ���� ������ ���� ����� �� ��� ������ %�� �� ������ ���� �� � �� ������ ����� �� �������"��� �� ���� ���� �� �� �*����� �� ���� �� �� ���� ����� +� ������� 8 � 9� �� �� ���� �� ����� ������ �=� < �� ��� ����� ����� ������������ "��� �� ���� �� ����� "���� ���)����� ��� ������� �� 8 � 9�� �� �� ��� �� ���� �� �� ����"��� �� ��� ����� ��� �� �� �� ����������� "�� ����� ����� �� ����"���� ���� �� ��� ����� �� �� ����� �������� ��� �� �� ��� ����� �� �� ��� ���� �� �� ����"���� �����

.� ���������� ���

+� ����� "���� �� ������� �� ������ � �� $������� ����� ��� �� ����"� �� ������� ?�������� ���� ! �� ����� ������� ����� ��� ��"� �� ����� ������� �� �� $������� ����� "� ���� ������������ �� ����� �� �� ��"�� �� ������ �� �� $������� ����� ����� �� �� ����� ������� �� �� ��� �� �� ��"�� %��� �� ��������� ����������� �� ���� ���������� ��� ����� � �� �������

?��� ��� ��� �� ���� ����� �� �� �� �� �� ������� ������ �� ��"���� ����� ��

?����� �� �� ���� ���������� "������ �� ����� �� � ����� "���� ��������� ��� �� �������

��!�"����� ��� � � �� �� �

������ �� ����� ����� �� ������ ����� �

��� � �� ��� ����� ��� ��� � ��� ������ �� ��� ������ �� �������

#����� /� ���� ��� ���������� ���������� 8�� �� �9 �� � � � 3��������������� ��&���� � �� ��� ��� ���� �� @� �� ����� � � � � � ��� ��

"� �� �������� ���)������ �� � ���� �� :�� � "� �� ������� ���� � �� ���� "� �� ���� "������ �� ������� ��� �� � 8��� ���� ����"�� ��������� ��� ������9� �� ��� � "� �� ������ ������� ���� �� �� ���� �����"������� �� �� �� ?�� ��� ��������� �� ���� ����������� �� �� � "� ����� �� ��"� � �� �� �������

+� ����� "���� �� ������� �� ��� ������ � �� ���"�� � ���� �

�����

��� ��� ��

A��8� � �8�� �� �9 6 ��� � ��9A��8� � �8�� �� �9 6 ��� � ��9

:�� �� "� �� ����� �� �� $������� ����� � � ���� �� ��� �� �����"���� �� "� ��������� �

�����

��� ��� ��

7� ���� �� � ���

��������� 7� ���� �

����

7���

������

Page 5: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

� ��� ���� ����� ����� �� ������ �� ���� ������ �� ���������� ���� �

�� ��� � ����� "���� �� �������� �� ���� "� ������� �� ��� �����"���� ��

��

������� ������ ������� �� �� �� ������

��!�"����� �#� ��� ������� ����� ��� ������� �� ��� ��� $�������� ��������� �� ��� ���� ������� � ��� ��� �� ������ ��� ��� ��� ���

#����� + ����� �� �� �� "������ �� �� ����� �� �� �� �*�������� ���� �������� �� �� ��� �� ���� ���� ��"�� ��� �� "������ �������� �� ������"��� ������"�� ������� �� ��� �� ����"��� ���������� ������ /�� ���� ������ �� �� ������ �� �� �� ��� �� ���� �� ���� ��� ��� �

�� ������ � ��� ���� ����� ��� �� ��������� ���� "� ����� ��������� �� ������ ��� �� ����� �������� �� ����� �� �� $������� ������

��!�"����� � � ��� ������ ���� ��� ����� �� ��� ������ �� ��� ��� �� ���� ����� � � � ��

��

#����� �� ������� �� �����! �� "� ������ ��������� ��"���� ������� ����������� ���� "� ���� ����"�������� �� ��� �� �� ����� ���� ���������� ���� ���)���� ��"�� �� ����� �� ��� �� ����� �� �� �����

�� � ���� ����� � � � ���

� �� 3���� �� ������� �� �*�������� ���� � ����

���� ��"��� �� ��� �� �� ����� ���� "� � ���� ����� � � � ���

�� ����

�� ��� �� �� ��"��� �

:���� �� ���� ��� ��� ������ �� ������� �� ������ ��������� � ��������� �� ����� ���� �� ������ �� ����� � � � ��

�� '��� ��� �� ��� ���� ��

���� �� �� ������� �� "� ���� �� �����

��!�"����� ��� ����� ��� ���� �� ��� �� �� ��� �������� �� ������ ���� ��� �� � ������ �� ����� � � � ��

����� ��� ������ ��� �� � ��

����� ������� ����� %� ��� ���� ��� ��������� �� � ���� ���� ��� ��������������� !���� �� ��� ������" ������� ��� ���� �� ��� 7 ����� �

� ���� � �%� ��� ���� ��� ��������� �� � ���������� ��� ������� �������� �� ���

7 ������

���� ��

�� � �� ������� ��

��

#����� ��4� ��� �� ����� �� �� ������� � ��� �*�� ����� �� ���������� � � � ��

��� �� ������� � ����� � ���� � ��� �� ���� 8"������

�� ��� �*�� ����� �����9 �� � ���� 7 ����� �� ���� � �

�� �� ��� �� ����"��� �� � ���� ���� �� ��� :�� �� ��"� ����$������� ����� ��4�� ����� "� ��� �� ����"�� ����� ������������ ���*�������� ���� �� ��� �� �� �� �� ��� �� ���� ���� ��"� ��� B��������� ���� ��� ������� �� ��� �� �� �� �� ������������ �� �� ������������������ "������ �� ��� �� �� �� ��� �� ������ �� �� �� �� � ������� �� ����� � � � ��

����� �� ��� �� �� �� �� ����� ��� ������� �� ��

Page 6: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

� ������ ��������

����� ��� �� �� ������ ��� �� ��������� ��������6 ���� ������� ��

�� ������� ������ �� ��� ���� ���� �������� �� �� ��� �������������� �������������� 8�� �� �� ��� ���� �� ��9 ���� �� ����� �� ���� � ���� 7�� �� ����� �� ��� �� ����� � � � ��

�� �� �� ����� �� ��� ��

� ���� ����� � � � ���

� �� ������� �� )���� �� ������ � �� �� ����� ��

�� ����������� ����� �� ������� �� ���� ����� �� ����� �� �� ������� �������� ������� �� �� � �� �� ����� /� ��� �� ���� �� ��������� �� "� 8�� ��� ���"�� �� ������9� �� :�� �� B������ ����������� �� ������ < ����� ������� ����� ������ ��������

�� �������� < ����� ��������������� �� � ����

� �� :� �� 3���� ������ �����

�� �� �������� < �������� < � ����� ����

� 3��� ������������ ���"�

��� ������ �������� <� �� �������� ����

����� � ���� %�� �� ������ ���� ��

��� ���������� �� ��������� �� �� �� ��������� �� ���� ��� ��������

�� ������#�� ��� �� � ����� 7� �� ��� � ����� ����� � � � ���

�������� �� ������� ������� �

/� �� ����� �� ��� �� $������� ����� ����� ���� ������� ��� �������&��� � �� ������� ����"� "������ �� �� ���� ����� ������ "������ "� ������� �������� �� ����� ���� �� ����"��� /�4�� ����� �� ���� ������� ����� �� �� ������ %� ������� �� �� ��� ���� �������� �� ��������������� ���� �� ���� ��� ���� )������ ���� ���������� '��� ��� �� ������ ���� �������� ����� "� )����� "� ��� ��,����� ����"���� ��� ������ ���� �� ��� �� ����"�� ��� ������#�� �� ������� �� �� ���������

��!�"����� �$� &�� �� ��� �� �� ��� ���� ���� ��� �� � ������ ������� � � � ��

����� ��� ������� ��� ��� ��� �� ��� �������� �� ��� ���� '��(

��� ������� ���� ��� ����� ������� �� ��� �� ������� ���� 7 ����� �� ���� �

��� �� ��� 7 ������

���� ��

�� � �� ������� ��

�� ���� ����� ��� ��������� �� ���

���� ����� ������ ���� )�� ���� ���� ���� ����� �� ���� � ������� ������� ��� ��� ���� ���*� ��� ������� ���� �� ��� ����� ������ ���� ������� �� ����� �� ���� � �� ��� ���� ������� ������� ��

��� ���

#����� �� ��� �� ��� ��� �� �� ������ �� ������� ����� �� ����"����� �� ����� ������ + ������ ����"�� ����� ������ � �*����� �� ������ �� ; ��� ; ��� ; �� ; �� ; � < ���� �� � 2 � � � +������������ ����� �� ����� ���� �� � � �������� �������� ����� �� ������ ���&����� ����&������� ����� �� ����"��� 8�� ��� ������� ��������9���� �� ��� ����� �� � ��������� ����"���� -��� �� ������ ������� ����� ��� ����&������� ������ �� ���� "���C� ����� �� ���� ���� �����"�� ����"���� �� �������� ���� �� �� ������������

?����� �� ��� ��� �� �� �� � ����"�� ����"�� ������� �� �&�������� ���� �� ����"�� ��� �� ��������� "��� �� �&���� ����

Page 7: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

� ��� ���� ����� ����� �� ������ �� ���� ������ �� ���������� ���� �

����� �� �� �� ������� �� "����� �� ���� ������� �� �� �� ����&���� '��� ��� ��� ����"�� ���� �� ������ ��� "� ����"��� ����������� ��� ����"�� ��� �� ���� ������ �� "� ����"��� ���� ����� ���� �� ������� �� ��������� "��� �� �&���� �� ���� ��� ������� ���������� '��� ��� �� �� ��� ���������� �" ���� �� ��� ����"�� ���� ������ ��� ����� �� �� ������� /� ��� ����� �� ���� ��� ����"���� ����� ��� ����� ����� 8�� �� 9 "����� �� ���� ������� �� �� ��������� �� �� ������ � 8�� �� 9 �� �� ��� ����"�� �� ����"��� �������� �������� �� ����� �� �� �������

/� ���� ��� � ����"�� ����"�� ��;���;���;��;��;� < � ��&��� ����"�� ���� �� ���� �� ���� ����� �� ��� �������� ��� ��� ��� ������

< 2����

� < 28���� ; ����9

� < 2����

� < �78��8��� ; ��� ; �9 ; ��8��� ; ��� ; �99

� < �78��8��� ; ��� ; �9 ; ��8��� ; ��� ; �99

� < 8��� ; ��� ; �98��� ; ��� ; �9� 8�� � ��9� � 8�� � ��9

5��� �� ��� ������ ��� 2 � �� �� �� ��� 2 � < ��� �� ��� ��� ��� ����"��� "�� ���� ������ +���� ���� �� 8���2��9�8���2 �9 <28��8�

�� ; ���� �9 ; ��8�� ��� � ���99

� �� ��� �� ��� 2�� ��� 2 ��/������ �� �� ����� ����� ���� �� �� ����� �� ��������� ������

�� � �� � �� ��� �� �� ������ �� �� �� "� ��������� "��� �� �&���� �� � ������ � �&����������� :�� �� ��� ������ "� 8�����9 ������ � �� ���;��� < ��� ����� � � � ��

�� ���� �� �� ��������� �� ��

������ ����� �� �� � �� �� ' ��� �� ����"�� ��� ����� ��������� ��� �� ��������� "��� �� �&��� ���� ��� ���������� ��� ������"�� ��������� "��� �� �&��� 8��� � < � < 9� '��� ��� �� ������"�� �� ��� ��������� "��� �� �&���� ��� �� < � �

��� � �< � ��

�� ������� �� �� ������������ 8�� �9� 8�� � ; ����� 9� �� ���� ��� ��

����"��

8�� � 2 �9�� � 2���� ; 87��� 2��9�; 8�� � 2��9 <

5��� �� ��� ������������ ���� ��� ���� �� 8�����9 ������� "�&����� ��� ������ ��� �� ��� �&���������� ��� �� ������ ������ ���� ����"�� � �� �� �&��������� ���� "� ������ ��� �� ���� ��� "��������� "��� � < � 3���� �� ������� �� ������� �� �� ����� ������� ������ < ��

������� �� ��

������������ < �� ������������ � ��� ������ �� ��

��������� ��������� ����"�� "����� ���� ������� 8����"����9 �� ���� ������� ����"��� ��4� ��� ���� �� �� ������� ����"�� ���� ������� �� ���� �� ������ �� �� ��4� ����"��� "�� ��� ����"�� ��

Page 8: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

� ������ ��������

���� � ����������� ����� %�� ��� ����"�� ���� "� ���� �� ����������������

%�� ��� ��� �� �� �������� ��������� ��� "� ���� ������ ���������������� ��� ?����� �� ��� ���� ����� ����"������ ���� �� �������� �� � ����"�� ����"�� �� "� ��������� "��� �� �&���� "������� �� ���� ���� ��� �� ��� ����"��� �� ���� ����� ��� ����� ������&����� ���� �������� "� �� < �� %�� �� ������ ���� �� ����������������� ��� ��� �� ��� �� �� �������� �*�� �� �� ������� �����-�*������� �� �������� �� �� � �������� ��� "� ��� ����� �� #��� ���������� ������� ���������� '��� ��� �� ���4� "���� ��� ��� ���������������� ���� �� ����"��� ��4�� "� ��������� �� �����"�� ��� ����&"��� "�� ��� �� ������ �� "���� ����"�� �� �� ��� ���� ����"�����

:�� �� ����� �� �� ����"�� "� 8��� 9� B������� �� ����� �� ���&������ ����"��� ��� ��� ����� �� ������ 8�����9 �� 8��� 9� ����� ��� ������� �����

�� � 8�� � ��98�� ����9

�����

�� � ��� ; �

���; � <

��� � � ��� � ����� %�� �� ������ ���� �� ��������� � ������� �� ����"�� ��� "����� ����� ���� -���� �� ��� � ����"�� ����"���

� < �� 3���� ��� ������� ��� �� � �� ������������ � � ���� �� ���������

����"�� �� ��������� ������ �� "� ������� "� ��������� ����"����� ����� ����� �� ������ 8�����9 �� 8��� 9� ����� ����������������� ��� ����"������ �� "����� �� ���� ������� �� �� "������+���� �� �� ��� ���������� �" ���� �� ��� ��� ����"�� ���� ��� ������ ����� �� �� �������

+� ��� ������ �� �� ������ ��� ����"��� �� �� ����

�� � 8�� � ��98� � ����9

�����

�� � ��� ; �

���; � <

5��� �� �� �� � � �� �� �� �&��������� �� �� ����� �� �� �����������"�� ��� �� �� �� ���� �� 8�� �� 9� 5��� ������� �� ����������� ������� �� ����"�� ��� "����� ������ ��� �� ��� ����� ������� ���� �� ������ ����������� ���� �� ���� � ���� ����� �� �� < �� ���� ��� ���� �� �� ��� �� ���� �� �� ����"�� �� ����"��� +�� ����� ������ �� �� ����� �� �� ��� �� �� ����� �� ��� ����"�� �� ������� ��� �� ������� �� �� ������� ?�� ����"��� �� �� ����� ������#��������� ������ ��� �� ������#�� ������� ���"���� %�� �� ����� ������ �� ����� ������#�� ������� ������ �� ���8� � ���9 � 7��8�� � ��98� �����9 � � ���� �� ���� �� �� �� ��� ; ��� ������ �� ������ "�� ����� �� �� ����� ��� ���������� � *������ �� ��� �� ���������� ��� �� ����� � �� �� ���������� ���� "� ������#�� � ��� �� �� �������

Page 9: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

� ��� ���� ����� ����� �� ������ �� ���� ������ �� ���������� ���� �

���� ��� ��� /� ���� ��

7 ��� ��. ; 2 ���� �

��� ��. ; 2 ���� � � �

��� 7�� �� � ��

%�� �� ������ ���� �� �� ���������� �� ������ � � ����� �� ���� ��������

2� ���������� ��� ��������� ����� ����

-���� �� �� $������� ����� ����� �� ��� �� ������ ��� �� �����&������ �� �� ����� ����� �� "������ "� ����� �� ����"���� �� ��������� ��� ������ ��� �� �� ������� �� ������ �� 8�����9 ����� � � � ��

�� � �� �� :��

��� ��� �� "� �� ������ � ��� �� ����� �� �� ����� ��������� ��� ���&���� �� ���� ��� �� ���� �� �� ����� ��� ��� ������� �� �� ������� �� ������� ������� �� ������� �� �� �� ������ 1��� �� �� ��������� "����������� "� ���� /� �� ��������� ��� ������� �� ���� ��� �� ��� �������� ��� ��� ����� )������ ���� �������� ������ �������� ������� ����� ��� �� �� ������� �� ������� "� � ���� �� � ���� 7 ����� �

� ���� � ���"� ���� ��� �� ������ �� �� �� ���� �� �� ���� )������ ���� ������� ������ ��� ������� �� ������� ��� :����� �� ��� �� �� ������� �� ���&

���� "� � ���� "������ 7 ����� �� ���� � �� 7 �����

����� �

��� � �� ������� ��

��

��� ��� �� )����� "� ����"��� /� �� ������ ��� ����"�� ��� ������"�� ����"�� ��� ����� ����� ���� ��� ������� �� �� �������� �� ������ �� ����� �� � � ����� ���� �� "������ �� ��������

+� ������ �� ��� �������� �� ��� �� �� $������� ����� ����� ���������#�� ������� �� �� ����� �� ��������� �������� �� ���� �����

� � � ���� � �� �

�� �� ������� ����� �� ����"���� �������� �� ������� ��

�� �� ��� ������ �� ���������� ���������� "� �� ���� �� ��"����� � ���������

��!�"����� ���� %� ��� ����� �� ����� ������� ��� !$���" ��

������ � � � ���� � �� �

��� ����� ����� � � 7 ����� �� ���� � � ���� ��� �������

����

��8�9 <7 ��� � ��� �

� ����� � � �

�� � ���

. ; 2 ���� �� ���

� �

Page 10: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

�� ������ ��������

#����� >���� ���� ���������� 8 � !9 �� �� ����� ������ �� ������� ���� �� ������� D ��

������ < 7

��

� ���� � �� ��

������ ����� �

8�� �9�� �!

<

��

�� � � �� � ���� ��

���� ���� � �� ��

� � �!

<2 ���� � ���� �

. ; 2 ���� �

��

���� !� � � �� � ���� ��

�� � �� �

�!

<��

�� � �� �� � �� � ���� �

� �

������ �

���� � �� �

� � �� � ���� ��

� �

<7 ��� � ��� �

� ����� � � �

�� � ���

. ; 2 ���� � ���� ��

�� �� ������ �� "������ "� ����"��� �� � ����� ���� � �

7 ����� �� ���� � ��� �� ������� �� ��

��8�9 < 7

��

������

8�� �9�� �!

���� < �8�� !9 ������"�� �� ����"�� �� ���� ���������� 8 � !9 �� ������� ������

5��� �� �� �� �� �� ������ ��������� �� "�� � �� �� "�� �� ������������� �� � �����������

��!�"����� ��#� +��� �� ��� �� ��� ����� � ����� ��� ��� ������� � ����� �� � ����� �� ����� ����� � � ��� �� ���� ���� �� �����

����*�� �� � < 7 ����� �� ���� � �� � < 7 �����

����� �

��� � �� ������� ��

��

#����� �� ���� �� �� �� ���� � ����� �� ���� �� �� �� "� ������� �

��8�9 <"

"�

� ������

�7 ��� �

� ��� ��.

�����

��� ��8�9 <���8#�8�99 ��� ���� �������� #8�9� �� ����8�9 < E#�#�� ; 7##����

3��� ������ ���������� ������ �� # � � #� � � #�� � � �� #��� � ��� �� �� ���� � ���� � �������� �� ��

Page 11: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

� ��� ���� ����� ����� �� ������ �� ���� ������ �� ���������� ���� ��

B������ �� �� �� ���� � ���� �� ���� ����������� ?����� �� ���&���� �� ���������� �� �� �� �������� ��� �����������

��8�9 < 7

��� �

��

8�� �9��! � ;

7

� ���� ���� ����� �

��� �

��

������

8�� �9��! �

���� ! < $8�� 9 ������"�� �� ����"�� �� ���� ������������� ���� ���� �� ����� �� � �� ���� ��� ,��� ���� ���� �� ������ ����

���� "� ���� � ���� �� $8�� 9 �� "� ���� �� "� ���� � �� � �������� ���� +����� �� ��*����� ��� ����� �� ����������� ��� �� ��� �����������������

�� ������� ������� �� ������ �� ������ �� ��� �� ���� ������� ����

"� � � �� �����

���� � ����� "� � �� 7� ��������� �� �� ��#� �� �� +� �� ��

���� � ����� �� �� ��� �� ���� �� �� ������� �� �����#�� � ��� ���� ��������� �� �� �� �������� � < �� ��� �� ������� �

%�� �� ���� �� �� ����� �� ����� ������� �� ��� �� ��� � <7 ����� �

� ���� � �� ��� �� �

������ �� � ��� ����� �� � ������ �� ���� �� ���� � � �� ��

������ � ����� �

� ���� �

����� ��� ���

/� ���� �� ��� ����� ������ ����� � ��� ������ �������� /� ����� ����� ������� ������� �� $������� ����� ������ ����� �� ���� ��� �� ���� ���������� 3�� $������� ����� ����� ����� � �� "� �������� ��

������� �� ����� ���� 7 ����� �� ���� � � ����� ���� 7 �����

����� �

��� � �� ������� ��

��

�� � ���� ��� ������ �� ���� ���� ����� ����� ���� �� ��� ����������� ��� ���� ��� ���� ���� �� ��������� �� ������� �������� '��&� ��� �� ����� ����� �� ��� ���� �� ����������� ���������� �� ����&���� �� �� ������� ��� �� �� ��� ������ ��� ������ �� ������

����%%&�' ���� ��� ����� �� � ������� ������ �� ���� � ������������� �� ��� ���

#����� �� �� ��"� ����� �� � ���� �7 ��� �� ������� "���� �� )����� ������ ���� "� � ���� ��� �� �� ��"� ����� �� �7 �� ����� ��� ��������� "���� �� �1�# 2! �� � ���� ��� �

%� ������� ��� ����� ��� ������� ������� ��������� ����� ���� ���&������� ������ "� ������������ �� ���� ������� ����� "����� �� �������6��� ��� ��� � � �7� ��� ������ ������ �1�# 2! ��� �7 � � � F�� �� 0������ 0����4� �00 ! ��� � F�� /� ��� 8�9 ������ �� ����� "���� ��������� ��� �� �� ��� ������

Page 12: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

�� ������ ��������

G� ����������

�� ������ ��������� �� ������ ��� � ���� �� �� �� ����� �� ����&"���� .&��������� ��������� ��� ����� �� ����� �������� �� �� ���������� �� �� ����� ��"� "��� ��� �������� � ������ �����"�� ����&������� ��� � ����� "���� �� ��"� ������ �� ��� �� ������ �� ��� ������������� "��� �� ��"� �� ������� ����� "���� �� �� ��"� �������� ���� ����� "���� �� �� ������� ������ %�� ����� "���� �� ��"�������� ���� ���� �������� ����� "����� �� ������� ������

?����� �� ���� ���� �������������

������ $��� �@0� .! ��� ��������� ��������� ,(������� �� �����

����� �� � ���� �� ���� �� ���� ��� �� ����� � ������ �������

������ $�#� �+�� 7! &�� % �� � ��������� ,(������� ��� ��� & �� ������� ��� � % ��� �� �������� ���� ������� ����������� � �� ������ &�� %� ������ % � & � � �������� ��������� ������ ����

A��8%�9 � 8��� � ��� 7�9�

� 8A��8%9 ; 8��� �

��� 7�� �9A��8� 99

/� �� ����� � +���4� ������ �+�� 7! "� ������������ ���������� "�����"� ��������

����%%&�' $� � &�� % �� � ��������� ,(������� ��� ��� & �� � ��������� � % ��� �� �������� ���� ������� ����������� � �� ���� �� &��%� ������ % � & � � �������� ��������� ������ ����

A��8%�9 � 8��� � ��� 7�9�

�A��8%98� ; 8�98��� �

��� 7�� �99

#����� %�� ������ ������� �� A��8� 9 � 8�9A��8%9� �

/� ���� �� � 8�9 �� � ���� ��� ��� ����� �������� �� �������� "�� "� �������� 8�9 ��� ��� '��� ��� ��� ����� ����� �� ����������������� ��� � �� ����� ��� ���� �� ��� �����

��� �������� �� ��� "� ���� �� ����� � �� ������� ����� "���� ���� ����� �� ����"���� .&���������

��!�"����� $��� �� ��������� ��������� ,(������� �� � ����� �� ���� ..72

#����� �� �� ����� �B0 �! �� �� ������ ����� ��������� ������"������"���� .&������� � ����� 7 7�H� +� ����� ������� �� ������ ����� ������"�� ����"���� .&������� � ��"� �� ����� � ���� ��� �

�"��� ���� ��������� ��������� ���� ��� ��������� ���� B������� G�.�������� �� ������� ����� "����� �

?������ �� ������� ��� ��� ���� �� ������� �� ������ �� ��� ��������� ������� ������� ��� ����� >���� %�� �� @�����4� ������ ����

�@��!� �� �������� �� ���� �� �� ����� ��"�� "��� ��������� �� ��������� �� . �� �� ���� 8������9 �2 �������� �� �� /���� ������ �/��!8

Page 13: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

� ��� ���� ����� ����� �� ������ �� ���� ������ �� ���������� ���� ��

��� �������� �� ��������� ����� ����"�� ��� ���� �� ���� �������9� ����������� �� �� �������� �� ?����� ��

������ �

/� �,�� ��� �������� �� ��� ������������ ?����� �� ������� �����"����� �� ������� �� � ���� HG� ��������� �� ������ ��������� ������4� ����� ���� �� �� ��� ���������� ��� ���� ��"� ����� 3�������� ��� ����� "� ������ �� � ���������� �� ���� �� ����� "���� ���������� ��� �� ��������� -���� ���� �� ����� ����� "����� �� ��"� ����� �@00 �� 00 .!� B��"���� ��� ��� ����� ���� ����� ��� ���� ����� ��������� ��� ���� � �������� ����� "���� �� �������� ?������ ���� ��� ��"�� �� ��� ���� ����� �� "����� �� ����� ��� ��� ��������� ��"� �� � ������ ���� �� ��� ���� ������ �� ����� ��� "� ��� ����� �� ������ ��� ���� ��������� �� ����� ���� �� .� �� � ��� �� �������"�� �� ��� ��� ��� �� ������� ���������� "��� ��������� �� ��� ���� ����� ��"���

���������

'���()* ��� ����& +��� � ������ ����� ��������& ����� ������! ,-.(/0.1, 2����������3!)(()&

'4.(* �& 4�5��% ��� �& ��������& 6�7� � ��� ��# ���� ���%��� "��� ����������������� �#������ �$ ��8���� ������& ����� ! 9:213-:;0<(! 1..(&

'4.1* �& 4�5��% ��� �& ��������& ������� ��� ����� ����� �� ��� ��� �$ ��#������ ���%���& ����� ���! ;,2)3-;:0/1! 1..1&

'4�(9* =�"� 4�"�� ��� >����� �����& ��� � � ���%��� �$ ����� ����� �� �#�������� ����& ������� ������ �����! ).213-)909.! )((9&

'>6(1* >��� >�� ��� ?& ������ 6�#����@& A�� ���������� �� ��� �#�������� 9� ���$��� �$ ��� � ���� �& ������ ���! 1;,293-;/10;:<! )((1&

Page 14: A UNIVERSAL UPPER BOUND ON DENSITY OF TUBE PACKINGS

�� ������ ��������

'?66(1* ����� ?����! ?& ������ 6�#����@! ��� ����� 6����#& +��� � �$ ���� ���#�������� 9� ���$��� & �� ��������� �����! /:213-)90;,! )((1&

'?6A(9* �& ?����! �& 6�#����@! ��� �& A��� ���& B� ����# �#�������� 9� ���$��� ��� �#��������& ���� �� ��� ���! 1/:2)3-99/0;91! )((9&

'?��* ������ ?��� ��& ����& ����-CC"""& &��� ���&���&��CD ���C&'66((* A& 6�� ���� ��� ?& 6�����& >#������ ��� �������� ���%��� �� �#�������� ����!

)(((& �� ������ �� ���& ����& ��& E���&'66(9* A& 6�� ���� ��� ?& 6�����& +��� � �$ �#�������� 9� ���$��� & ��������

����� ����! :-9;0;<! )((9&'��5(;* �����" ��5�"�� %�& ��� ��# �$ ���� ���%��� �� �#�������� ����& ��!� ��

���! )1;213-1):01;;! )((;&'���* F�@��# �& ���% & >�� � �$ ��� �� ���������� �#�������� ���$��� &

����-CC"""&��� ���#�� � &���C������C����7&�� �&

��� �� ���������� �������� ���� ���������� ���������� �� �����

�"��� ##����- ������������� ������$%&- ������������� ����������������