algebra 6 kl. [red. teliakovskis] (1986)

8/10/2019 Algebra 6 Kl. [Red. Teliakovskis] (1986)

http://slidepdf.com/reader/full/algebra-6-kl-red-teliakovskis-1986 1/228

L G E B R



VA D O VĖ L I S V l K LA SE I

OR IG INALĄ REDAGAVO S . TEL IAKOVSK IS

Scanned by

Cloud Dancing

Kaunas Šviesa 1986



А Л Г Е Б Р А

У чебник для VI класса средней ш колы

П о д р ед акц ией С . А . Т Е Л Я К О В С К О Г О

А вто ры : Ю . H . М А К А Р Ы Ч Е В , H . Г . М И Н Д Ю К ,

К . С . М У Р А В И Н , К . И . Н Е Ш К О В , С . Б . С У В О Р О В А

М о ск в а, « П р о св ещ ен и е » , 19 85

Tai J . Makaryčevo , N. Mindiuk i r К . M u r a v i n o

vadovėl io „Algebra VI k lase i " perd i rb tas var ian tas .

Va dov ėlį perd i rbo J . M aka ryčev as , N . M indiuk ,

K. Neškovas , S . Suvorova

V e r tė J A D V Y G A B A L T U S N I K I E N E

P E N K T A S I S P E R D I R B T A S L E I D I M A S

Originalas patvirtintas TSR S švietimo ministerijos

Lietuvos TSR švietimo ministerijos priimta vartoti mokyklose

A

4 3 0 6 0 2 0 4 0 0 — 2 6 9

M 8 5 3 ( 1 0 ) - 8 6

P r o t . N r . 5 — 8 5

© И здательство «П росвещ ение» , 1985



I S K Y R I U S

RE I ŠK IN IA I I R JŲ PERTVARKYMA I

§ 1 . R E I Š K I N I A I

1. S K A I T I N I A I R E I Š K I N I A I

I š s p r ę s k i m e u ž d a v i n į: „ T u r i s t a i 2 h v a ž i a v o p l e n t u

dvi rač ia i s 16 km/h gre ič iu , po to dar ė jo 7 km mišku . Koks v iso

m a r š r u t o i l g i s ? "

P l e n t u t u r i s t a i n u v a ž i a v o 1 6 -2 k m, o mi š k u n u ė j o 7 k m. T o d ė l

v i so m ar š r u t o i l g i s ( 1 6 - 2 + 7 ) km, t . y . 39 km .

Sp rę s d a mi u ž d a v i n į , s u d a rė me

skaitinį reiškinį

1 6 - 2 + 7. S k a i -

t i n i a i r e i šk in i a i suda romi i š ska ič ių , ve iksmų ženk lų i r sk l i aus tų .

Pa t e i k i a me d a r s k a i t i n i ų r e i š k i n i ų p a v y z d ž i ų :

4 3 : 5 ; 9 , 6 - 3 - 1 , 2 ; 5 - ( 7 , 4 - 6 , 1 ) .

P a g a l v e i k s m ų t v a r k ą a t l i k u s s k a i t i n i a m e r e i š k i n y j e n u r o d y -

t u s v e i k s m u s , g a u n a m a s s k a i č i u s , k u r i s v a d i n a m a s

reiškinio

reikšme.

A pska ič iuok im e , pav yzdž iu i , r e i šk in io 96— 2 · 6

2

re ikšmę . P i r -

mi a u s i a p a k e l k i me l a i p s n i u , p o t o s u d a u g i n k i me i r g a l i a u s i a i

a t i mk i me :

1)

6

2

= 3 6; 2 ) 2 - 3 6 = 7 2 ; 3 ) 9 6 - 7 2 = 2 4.

S k a i či u s 24 — r e iš k in io 9 6 - 2 - 6

2

re ikšmė.

Sudė t i , a t imt i i r daug in t i ga l ima be t ku r iuos ska ič ius . Da ly t i

ga l ima i š k i ekv ieno ne lygaus nu l iu i ska ič i aus . Je igu re i šk iny je

y ra da lyba i š nu l io , t a i sakoma , kad š i s re i šk inys neturi prasmės.

P a v y z d ž iu i , r e iš k in y s 3 5 : ( 4 - 2 - 8 ) n e tu r i p r a s m ė s , n e s 4 - 2

—

— 8 = 0 , o da ly t i i š nu l io ne ga l im a.

1. A pska ičiuok i t e re i šk in ių re ik šm es :

a) 6 ,965 + 23,3; e) 6 ,5 -1 ,2 2 ; i ) 5 3 ,4 : 15;

b) 76 ,73 + 3 ,27; f ) 0 , 48 -2 ,5 ; k ) 16 ,9 4:2 ,8 ;

c ) 5 0 ,4 -6 ,9 8 ; g ) 3 ,725 · 3 ,2 ; 1) 7 5 :1 ,2 5 ;

d )

8 8 - 9 , 8 0 4 ; h ) 0 , 0 1 6 - 0 , 2 5 ; m ) 1 2 3 , 1 2 : 3 0 , 4 .



2 . At l ik i t e ve iksmus

a ) 4 8 1 , 9 2 : 1 2 - 2 0 , 1 6 ; c) 1 , 0 8 - 3 0 , 5 - 9 , 7 2 : 2 , 4 ;

b ) 6 , 0 5 - ( 5 3 , 8 + 5 0 , 2 ) ; d ) 4 4 ,6 9 + 0 , 5 - 2 5 , 5 : 3 , 7 5 .

3 . A pska ičiuok i t e r e i šk in ių r e ikš m es :

a ) 1 5 5 , 5 - 5 , 5 - 2 0 , 7 ; c) 3 , 6 : 0 , 0 8 + 5 , 2 - 2 , 5 ;

b ) 8 5 , 6 8 : ( 4 , 1 3 8 + 2 , 1 6 2 ) ; d ) ( 9 , 8 8 5 - 0 , 3 6 5 ) : 1 , 7 + 4 ,4 .

4 . At l ik i t e ve iksmus :

a )

2 + 1 -

5 7 '

e )

1 - 2 + 2 .

1

3

+

6 *

i )

b )

6 4 *

f )

5 — 3 - y ;

k )

c )

7 5 .

8 6 '

g )

4 3 .

9 * 8 * 1)

d )

3 4 .

10 15 '

h )

5 . 9 .

8 ' 10'

m )

J . . 1 _ L

9

1

2

_6 .

7 ·

7

I ·

0

;

U-J-

3 · 6 ·

5 . Apska ič iuok i t e :

a ) 6 1 - 8 ; d ) f ( - 5 ) s g ) - f · ( - 4 9 ) ;

b) - 2 I + 4 J ; e) ( - 6 ) ; h) - 1 6 : ( — | ) ;

c , 5 - 1 - 6 - į ; 0 - 3 - 1 - 3 ; i)

_ з | . ( - 1 -

3

)

6.

A t l i k i t e v e ik s m u s

-

a )

g i + 6 } - 3 į ; c ) 2 j . | : 2 { ;

b) 1 2 4 - 5 - ; + 7 - į ; d ) 1 ±

: 2

| - 2 6 .

7 . Ap ska ič iuok i t e r e i šk in ių r e ikš m es :

a

>

3

I - T

+ 6

?

=

2

=

c

>

2

- ' τ ·

1

+ ' - ?

=

' '

b

> f - l - i + - s ) : 4 ( 3 -

1

+

2

I H -

8 . A t l i k i t e v e ik s m u s :

a

>

3

T S

+ l

I = I -

2

T i

c

>

4

6 - i -

2

T · · ? · ·

W (

1

W ) =

3

M i d ) ( 4 - 2 ± . | ) : 3 į - - L .



9 . A psk a ič iuok i t e r e i šk in ių r e ikš m es :

a) 2 5 - c) 3 ,5 ' ; e ) ( i - )

5

; g

) ( l ± f ;

b) 123;

d ) 0 2 3

. ^ j ) * . h) ( 2 j )

3

.

10. Ar tur i pr a sm ę š ie re išk in ia i :

a ) 6 , 3 : ( 2 , 5 - 9 - 2 2 , 5 ) ; b ) ( 1 5 - 2 , 5 - 6 ) : 4 , 2 ?

11. S u da ry ki te du veik sm ų že nk lus tu r in tį re išk inį, ku r io

reikšmė lygi: a) 12; b) 0.

12 . P av ar to d a m i t r i s ka r tu s sk a i tm enį 2 , su da ryk i t e r e i šk inį,

kurio reikšmė lygi: a) 6; b) 8; c) 3; d) 1.

13. Su da ry k i t e ska i t in į r e i šk inį š i am už da v in iu i i š sp ręs t i : „ I š

dv ie jų gyvenv ieč ių , a t s tumas t a rp kur ių lygus 40 km, tuo pač iu

metu v ienas pr ieša is k i tą i šė jo du kele iv ia i . Vienas jų ė jo 4 km/h

gre ič iu , k i t as 5 km/h g re ič iu . Koks a t s tumas bus t a rp š ių ke le i -

v ių po 3 h nuo jų i šė j imo?"

14. S u d ar ę re išk inį, i šs pr ęsk i te šį už da vi nį: „V ien as da rb i -

n i n k as p e r v a l an d ą p a g a m i n a 7 d e t a l e s , k i t a s — 9 d e t a l e s . K i ek

d e t a l i ų j i e ab u p ag am i n a p e r 4 h ?"

15. P a v a r t o d a m i t e r m i n u s „ s u m a " , „ s k i r t u m a s " , „ s a n d a u g a "

i r „d a l m u o " , p e r sk a i t y k i t e š i u o s r e i šk i n i u s :

a ) 8 , 5 - 7 , 3 ; d ) 5 ,6 + 0 ,9 ; g ) 2 , 5 - ( 3 , 2 + 1 , 8) ;

b ) 4 , 7 - 1 2 , 3 ; e ) 2 - 9 , 5 + 1 4 ; h ) 6 , 1 - ( 8 , 4 : 4 ) .

c) 6 5 : 1 , 3 ; f ) ( 1 0 - 2 , 7 ) : 5 ;

1 6. P a r a š y k i t e r e i šk i n i u :

a) ska ičių 28 ir 15 su m ą; c) ska ičių 3 ir 8 ,7 sk ir t um ą;

b) ska ičių 6 ir 3 s a n d a u g ą; d) ska ičių 0,8 i r 0 ,4 d al m en į.

K a r t o j i m o

pratimai

Rask i t e 1% ska ič iaus 240 . Rask i t e to pa t i es ska ič iaus 5%,

« 5 %, 1 5 0 %.

18· R ask i te : a) 3% sk aičia us 500; b) 40% sk aičia us 15.

19. Už ke l i as kny gas sum ok ėta 5 ,2 rub . Vien os kny go s ka ina

sudaro 30%, o k i tos 45% i š l e i s tų p in igų . Kiek kape ikų p i rmoj i

k n y g a p i g e sn ė u ž an t r ą j ą ?



20. Lauko p lo ta s 80 ha . P i rm as i s t r a k to r in in ka s s ua rė 40%

šio lauko, o ant ras i s 60% l ikus io p loto . Kur is i š jų suarė dau-

g iau i r k i ek hek ta rų da ug iau ?

21. Visa i ke l ione i va i r uo to ju i bu vo s ki r ta 150 1 ben z ino . V a-

ž i uoda ma s j i s 12% j o s u i a upė . K i e k l i t r ų be nz i no s una udo j o

v a i r u o t o j a s ?

2 . R E I Š K I N I A I S U K I N T A M A I S I A I S

V až iuo da m as 60 km /h g r e ičiu , au to m obi l i s pe r 2 h nuv až i uo s

60 · 2 k m, per 3 h — 6 0 - 3 km, per 5 h — 60 · 5 km . A ps kr i ta i p,er

/ h j i s nu va ž iu os 60/ km. Tu rėda m i re i škinį 60/, ga l im e a p s k a n

čiuot i ke l ią, kurį nu va ž iu os a uto m ob i l i s per įva i r iu s la iko t a r -

pus / . Re iškinio 60/ ra idė

t

v a d i n a m a

k intamuoju,

o pa t s r e i š -

k inys 60 /

reiškiniu su kintamuoju.

Pa te ik iame da r pavyzdį . Sak> ik ime , kad s t ač iakampio k r a š t i -

nių i lgia i a cm ir b cm. Ta ig i j o p lo ta s lygus ab cm

2

· Re i šk inys

ab t u r i du k i n t a muos i u s : a ir b. Š is re i š kin ys rod o, ka ip ras t i

s t a č i a ka mpi o p l o t ą , ka i nu r ody t o s

a ir b

r e i k š mės . P a vy z dž i u i :

je ig u a = 8 ir

b

= 11, ta i

ab =

8 - 1 1 = 8 8 ;

je ig u a = 25 ir b = 4, t a i a b = 2 5 - 4 = 1 0 0 .

J e i gu r e i š k i ny j e v i e t o j k i e kv i e no k i n t a mo j o pa r a š ys i me j o

re ikšm ę, ta i ga us im e ska i t in į re i škin į. At l ikę ja m e n u ro d y tu s

ve i k s mus , ga us i me s ka i č i ų . Š i s s ka i č i u s va d i na ma s

reiškinio su

kintamais ia is re ikšme,

a t i t i n k a n č i a p a s i r i n k t a s k i n t a m ų j ų r e i k š -

mes . Ta igi ska ičius 88 yra re i škinio ab re ikšmė, ka i a== 8 ir b= 11,

sk aičiu s 100 yr a š io re išk im o reik šm ė, kai a = 25 i r b = 4 .

I š na g r i nėk i m e r e i š k inį * ( * + ) . S u k ie kv i e nu χ ga l ima ap-

ska ič iuo t i a t i t i nkamą š io r e i šk in io r e ikšmę. Tokia i s a tve ja i s sa -

koma , kad r e i šk inys tu r i p r a smę su v i somis k in tamojo r e ikš -

mėmis .

Ka i kur i e r e i šk in ia i t u r i p r a smę ne su v i somis k in tamųjų

2b

r e i k š m ėmi s . A n t a i t r up m e n a - ne t u r i p r a s m ės , ka i b = 3, n es

š i uo a t ve j u

b —

3 = 0, o i š nu l io da ly t i nega l ima . Su v i somis k i -

t o m i s k i n t a m o j o b r e ikšmėmis r e i šk inys tu r i p r a smę.

22. Ap ska ič iuok i t e r e i šk in ių r e ikšm es :

a ) 9 * ( * - 8 ) + 1 3 , k a i

л := 3; c )

k a i

^

=

b ) (p + 0,6) (p — 0 ,6 ), kai p = 1,4; d ) 5 , 5 - ( 4 m + l ) , k a i m = - .



23. A ps ka ič iavę re išk in ių 3x— 1 ir — 3x + l r e ik šm es su nu-

r o d y t o m i s

χ

r e ikšm ėm is , užp i ldyk i t e l en te lę :

X

- 2

- 1

0

1

2 4 5

3x-\

-3x+\

24. A psk a ič iuok i te re išk in ių 10 — 2y ir 10 + 2y re ik šm es i r su-

r a š y k i t e j a s a t i t i n k a m u o s e l e n t e l ė s l a n g e l i u o s e :

У

- 3 - 1

0

2 3

4

6

1 0 - 2 y

1 0 + 2 y

2 5 . K i n t a m o j o χ

r ei k šm ės ly gi os 5, 3, 0, —3 ir 10. Ra sk ite

a t i t i n k a m a s r e i š k i n i ų

(2x

—

5)x

ir

2x—

(x + 5) re ik šm es.

26 . Kokias re ikšmes įgyja suma

x

+

y

i r s a n d a u g a

xy

su šio-

m i s k i n t a m ų j ų r e i k š m ė m i s :

a) X = 1,2,

y=

- 2 , 5 ; c ) < = 0 ,1 ,

y =

0,2;

b)

л : = - 0 , 8 , г/ = 3 ; d ) χ = - 1 , 4 ,

y=

- 1 , 6 ?

27.

Apska ič iuok i t e r e i šk in io

Ъ т — Ъ п

re ikšm ę, ka i :

2 ?

a

) m=

g· , n = - j , b) m = 0,2,

n= —

1,4.

28. A psk a ič iuok i te re išk in io x—y re ikš m ę, ka i :

a )

χ = 2,4,

y = 0,8;

c) x = 4,8,

y=-

2,1;

b) χ = - 3 , 6 , y = 5; d ) χ =-4,4, y=-3.

29.

Užp i ldyk i t e r e i šk in io

a —2b

re ikšmių len te lę :

a 5

- 2

4

1

6

b - 3 3

0

- 1

4

a —2b



30. Su ka i ku r iom is k in ta m ųj ų

χ ir y

r e ikšmėmis r e i šk in io

x — i/ re ik šm ė lyg i 0 ,7 . Ko kia bus pa te ik tų re išk in ių re ik šm ė su

tom is p ač iomis k in ta m ųj ų jc ir y r e ik šm ėmis :

a )

y-x·,

b) ^ L ?

31. A pska ič iuok i te re i šk in ių r e ikš m es :

a ) (2m + 6 )n , ka i m = - 2 j , n = 3;

b )

x — 2xy,

ka i

x = 5, г/ = — 1;

c) ax — 3y , k a i a = 1 0 , X=

5, y= 1 ;

O

d )

ax + bx+c,

kai a =

x = 2, b=—

3,

c

= 5,8.

32.

Klasė je mokos i 35 mok in ia i . Kiekv ienas jų gavo nemoka-

mai matemat ikos vadovėlį , kur io ka ina 0 ,55 rub . , i r v isus k i tus

vadovė l ius , ku r ių bendra ka ina n rub . Kiek va l s tybė i š l e ido p in i -

g ų , a p r ū p i n d a m a v i su s k l a sė s m o k i n i u s v a d o v ė l i a i s ?

33. B an dy m ų lauk as pad a l y t as į du sk lyp us . P i rm as i s sk ly pas

u ž i m a

a

h a , a n t r a s i s sk l y p a s

b

ha . I š p i rmojo sk lypo k iekvieno

he kta ro pr ik u l ta 32 cn t k v iečių , o i š an t ro jo sk lypo k iekv ieno

hektaro 40 cn t . Kiek centner ių kvieč ių pr iku l ta i š ab ie jų sk lypų?

A psk aič iuok i te , ka i a = 120 ha , o

b =

80 ha .

34. S t a ty bo je d i rbo 5 b r i ga do s po a žm on ių ir 3 b r ig ad os ,

ku r ių k iekv ieno je buvo

b

žmonių . Kiek i š v iso žmonių d i rbo s ta-

ty bo je ? A ps ka ičiuo kite , kai a = 25, /; = 32.

3 5. Su d a r y k i t e r e i šk i n i u s k i e k v ie n o s 1 p a v e i k s l e p a v a i z d u o t o s

f igū ros p lo tu i apska ič iuo t i .

36 . Kubo b r iauna lyg i a m. Nuo š io kubo nup jau tas s t ač ia -

k a m p i s g r e t a s i e n i s , k u r i o a u k š t i s

h

m (2 pav . ) . Apska ič iuok i te

l ikusios kubo dal ies tūrį.

1 pav . 2 p a v .



3 7. P a v a r t o d a m i t e r m i n u s „ s u m a " , „ s k i r t u m a s " , „ s a n d a u g a "

i r „ d a l m u o " , p e r sk a i t y k i t e š i u o s r e i šk i n i u s :

a )

mx;

b )

n —a;

c) 10

+ ab;

d) (a + 5 )x ;

e )

m —8a;

f )

2x+l;

3 8. Pa r a š y k i t e r e i šk i n i u :

a) skaičių

b π c

sumą;

b) ska ič ių

α ir m

sk i r t u m ą ;

c ) ska ič iaus

χ

k v a d r a t ą ;

d) ska ič iaus y kubą;

e ) ska ič iaus

χ

ir

skaič ių

a

ir

b

s a n d a u g o s s u m ą ;

u ,

ё ) ~ ь

+с

·

h ) ab + bc;

i)

(a-b)(a + b).

f)

skaič iaus m i r ska ič ių

χ ir y

d a l m e n s sk i r t u m ą ;

g) skaičių a ir

b

sumos i r ska i -

č i a u s c s a n d a u g ą ;

h) skaičiaus a i r skaičių

χ ir y

s u m o s

s a n d a u g ą .

3 9. Su k u r i o m i s k i n t a m o j o r e i k šm ė m i s r e išk i n y s t u r i p r a sm ę :

а ) Б у + 2; b)

7 :

c

) —7 ·

d

> —

e)

JiL

· f )

JL.

e j

З + α '

l

> 1 0

- b

K a r t o j i m o p r a t i m a i

40. 3%

skaičiaus lygu 1,8. Raskite tą skaičių.

41. S um až in us k a in as 30% , l a ik ro d i s ka inu o ja 21 rub . Kiek

k a i n a v o l a i k r o d i s i k i k a i n ų su m a ž i n i m o ?

42. V i r šyd am a p laną 15%, gam yk la pe r m ėnesį pa ga m in o

230 s tak l ių . Kiek s t ak l ių tu rė jo pagamin t i gamykla paga l p laną?

3 . F O R M U L E S

Da u g e l i u i u ž d a v i n i ų sp r ę s t i su d a r o m o s b e n d r o s f o r m u l ė s , i š -

r e i šk i a n č i o s p r i k l a u so m y b ę t a r p k i n t a m ų j ų . Pa t e i k i a m e p a v y z -

džių.

1 p a v y z d y s . S a ky k im e , k a d k v a d r a t o k r a š ti n ė ly gi a cm .

Ta ig i jo p lo tas

a

2

cm

2

. Pa ž y m ė j ę k v a d r a t o p l o tą ( k v a d r a t i n i a i s

c e n t i m e t r a i s ) r a i d e S , g a u n a m e f o r m u l ę

S = a

2

.

2 p a v y z d y s . K ie kv ie na s ly g in is s ka ičiu s

m

l y g u s t a m

t i k r a m sv e i k a j a m sk a i č i u i

n,

p a d a u g i n t a m i š 2 :

m = 2n.



Kad i r koks bū tų sve ikas i s n, s ka i č i u s m , ga u t a s pa ga l f o r -

m u l ę m

—

2n, y r a l yg i n i s . S i f o r mu l ė va d i na ma l yg i n i o s ka i č i a us

f o r mu l e .

3 p a v y z d y s . K ū n as , j u d a n t is p a st ov iu v m / s g re ičiu , p er

t s n u e i n a vt m. Pažymėję kūno nue i tą ke l ią (me t r a i s ) r a ide s ,

gaus ime fo rmulę , i š r e i šk ianč ią p r ik l ausomumą t a rp ke l io , g r e ič io

ir laiko:

s = vt.

P a ga l už da v i n i o p r a s mę da ž n i a us i a i a i š ku , kok i a s r e i k š me s

ga l i t u r ė t i f o r mu l i ų k i n t a mi e j i . P a vyz dž i u i , kva d r a t o p l o t o f o r -

mulės 5 = a

2

k in tamas i s a ga l i t u rė t i be t kur ią t e ig i amą r e ikšmę,

be t ne ga l i bū t i l yg us nu l iu i ir t u rė t i ne ig iam ą r e ikšmę. Ly gin io

s k a i č i a u s f o r m u l ė s m = 2n k i n t a m a s i s n ga l i turėt i be t kur ias

sv e ik ąs ia s r e ikš m es ir ne ga l i įgy t i t r u pm en in ės r e ikšm ės .

43 . S u da r y k i t e f o r m u l ę s t a č i a ka m pi o p e r i m e t r u i a p s k a i č iuo t i .

P a ga l š i ą f o r mu l ę r a s k i t e pe r i me t r ą s t a č i a ka mpi o , ku r i o k r a š t i -

nės lygios: a) 4,2 m ir 3,5 m; b) 60 dm ir 8 dm; c) 8,6 cm ir

1,2 cm; d) 0,5 dm ir 66 cm.

44 . S u f o r m u l uo k i t e ta i s yk l ę kv a d r a t o p e r i me t r u i a p s ka i č i uo t i

i r pa r a šyk i t e ją fo rmule . Paga l š ią fo rmulę apska ič iuok i t e pe r i -

me t rą kvadra to , kur io k r a š t inė lyg i : a ) 7 ,5 cm; b ) 2 ,1 dm;

c) 0,7 m; d) 3,2 km.

45 . Ska ič ius a s u d a r o p % s k a i č i a u s b. I š r e ikšk i t e ska ič ių a

s ka i č i a i s

p

ir

b.

Su ga lvo k i t e už dav inį, kurį ga l im a i š spręs t i p a -

ga l gautą formulę, i r i šspręski te jį .

46 . Co l i a i s nu rod y tą i lgį ga l im a i š r e ikš t i c en t im e t r a i s pa ga l

f o r m u l ę y=2,54x, k u r i o s χ

—

col ių ska ičius , y — a t i t i nk a m a s c e n -

t i me t r ų s ka i č i u s . K i e k c e n t i me t r ų t u r i v i e na s c o l i s ? S uda r yk i t e

y re ik šm ių len telę, k ai x = 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40.

47. 1 cm

3

m e d ž i a g o s m a s ė l y g i ρ g . S u d a r y k i t e f o r mu l ę me -

dž i a gos , ku r i o s t ū r i s l ygus

V

cm

3

, mase i

m

a p s ka i č i uo t i g r a -

ma i s . P a ga l f o r mu l ę a ps ka i č i uok i t e : a ) 240 c m

3

ka mš č i o ma s ę ,

ku r i o

= 0,18; b) 120 cm

3

s i d a b r o

masę, kur io

Q=

10,5.

4 8 . V a ž i u o d a m a s

v

km/h g r e ič iu , au tomobi l i s pe r

t

h n u v a -

ž iuos s km. Suda ryk i t e f o rmulę au tomobi l io g r e ič iu i apska ič iuo t i .

P a ga l š i ą f o r mu l ę r a s k i t e v, kai :

a ) s = 270, / = 2 ; b) s = 240, t=3; c) s = 315 , t = 3,5.



49. Su da ry k i t e f o rm ulę ska ič i aus , ku r i s y ra :

a ) ska ič i aus 3 ka r to t i n i s ; c ) ska ič i aus 10 ka r to t i n i s .

b ) ska ič i aus 5 ka r to t i n i s ;

50. Pa ra šy k i t e ska ič i aus 7 ka r to t i n ių fo rm ulę . P a g a l š ią fo r -

mulę rask i t e du t r i ženk l ius ska ič i aus 7 ka r to t i n ius .

51 . Sudaryk i t e ne lyg in io ska ič i aus fo rmulę .


52 . Kiek procentų skaič iaus 200 sudaro skaič ius 8?

5 3. C e c h e d i rb o 9 0 d a r b i n i n k ų . M e c h a n i z a v u s r a n k ų d a r b ą ,

tą patį da rb ą ceche a t l i eka 54 žm onės . Kiek pro ce ntų su m až ėjo

darb in inkų ska ič ius ceche?

54. Apskaič iuoki te re i šk in ių re ikšmes :

a ) 3 7 , 6 - 5 , 8 4 + 3 , 9 5 - 8 , 9 ; c) 1 7 , 1 - 3 , 8 : 4 , 5 - 0 , 5 ;

b) 8 1 - 4 5 , 3 4 + 1 9 , 6 + 21,75; d ) 8 1 , 9 : 4 , 5 : 0 , 2 8 - 1 , 2 .

§ 2. R E I Š K I N I Ų P E R T V A R K Y M A S

4 . V E I K S M Ų S U S K A I Č I A I S S A V Y B Ė S

P r i m e n a m e p a g r i n d i n e s s k a i č i ų s u d ė t i e s i r d a u g y b o s s a v y b e s .

1. P e r s t a t y m o s a v y b ė : su kiekvienu skaičiumi a ir b

teisingos lygybės

a + b = b+a, ab = ba.

2. J u n g i m o s a v y b ė : su kiekvienu skaičiumi a, b ir c

teisingos lygybės

(a + b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc).

3. S k i r s t y m o s a v y b ė : su kiekvienu skaičiumi a, b ir c

teisinga lygybė

a(b + c) =ab + ac.

R e m i a n t i s s u d ė t i e s p e r s t a t y m o ir j u n g i m o s a v y b e , kiekvienos

sumos dėmenis galima kaip norint perstatyti ir bet kuriuo būdu

jungti į grupes.

P a v y z d ž i u i , s u m o s a+b+c+d (čia a, b, c ir d — bet ku r ie

ska ič ia i ) p i rmą dėme nį ga l im a j un gt i su k etv i r tu , o an t rą — su

t reč iu :

a + b + c + d= (a + d) + (b + c).



R e m i a n t i s p e r s t a t y m o ir j u n g i m o s a v y b ėm i s , kiekvienos san-

daugos dauginam uosius galima ka ip norint perstatyti ir bet ku-

riuo būdu jungti į grupes.

P a v y z d ž i u i , s a n d a u g o s abcd (čia a, b, c

it

d — bet ku r ie

ska ič ia i ) p i rmą da u g in a m ąjį ga l im a ju ng t i su t r ečiu , o an t r ą —-

su ketvi r tu :

abcd— (ac)-(bd).

Ski r s tymo savybę ga l ima ta iky t i tuo a tve ju , ka i ska ič ius dau-

g in am as iš t r i j ų ir d a u g iau d ė m en ų s u m o s . P av y zd ž iu i ,

a(b + c + d) =ab + ac + ad,

kai a ,

b, c

ir

d

yra bet kur ie skaičia i .

Ž inom e, kad a t im tį ga l im a pak e is t i sud ė t imi , p r id ed an t p r ie -

š ingą a tėmin iu i ska ič ių :

a

— b

= a+ (

—

b).

D ėl to sk ai tin į re iš ki nį

a — b ga l ima la iky t i ska ič ių a ir — b su m a, ska it in į re išk in į

a + b

—

c

—

d — ska ič ių a, b, — c ir — d suma ir 1.1.

T o k i o m s s u m o m s t a i p p a t g a l i o j a i š n a g r i n ė t o s v e i k s m ų s a -

v y b ė s . P av y zd ž iu i , p r i t a ik ę d au g y b o s s k i r s ty m o s av y b ę r e i š k i -

n iu i a(b

— c

+ d) ir a t s ižv e lg ę į ženk lų ta i syk lę , g au n am e:

a (b — c + d) = ab — ac + ad.

Ta ik an t v e ik s m ų s av y b es , k a r t a i s g a l im a ap s k a ič iu o t i p a -

p r a s č i a u . P a t e i k i a m e p a v y z d ž i ų .

1 p a v y z d y s . A p sk aičiu ok im e re iš kin io 3,27 —6,5 — 2 , 5 + 1 , 7 3

re ikšmę.

Sis re i šk iny s yra ska ičių 3 ,27, — 6,5, —2,5 ir 1,73 su m a. T ai gi :

3 , 2 7 - 6 , 5 - 2 , 5 + 1 , 7 3 = (3 ,2 7+ 1,7 3) + ( - 6 , 5 - 2 , 5 ) = 5 - 9 = - 4 .

2 p a v y z d y s . A p s k aičiu ok im e s a n d au g o s 1 , 2 5 - 4 ,3 · 8

re ikšmę.

1,25

·

4 ,3

·

8 = ( 1 , 2 5

·

8 ) · 4 , 3 = 10

·

4,3 = 43.

O

3 p a v y z d y s . A p s k aičiu ok im e r e iš k in io 5 — · 17 re ik šm ę.

5 λ . 1 7 = ( 5 + i ) . 1 7 = 5 · 1 7 + ~ 17 = 85 + 2 = 87.

5 5 . K u r io m is s a v y b ė m i s r e m i a n t i s g a l i m a n e a p s k a i č i a v u s

te ig t i , kad š ios lygybės y ra t e i s ingos :

a ) 2 4 7 + 3 5 = 3 5 + 247; c) 1 4 + ( 1 6 + 9 7 ) = ( 1 4 + 1 6 ) + 9 7 ;

b) 8 4 - 1 9 = 1 9 - 8 4 ; d ) 2 5 - ( 4 + 7 ) = 2 5 - 4 + 2 5 - 7 ?

5 6. A p s k a ič iu o k i t e r ac io n a l i a u s iu b ū d u :

a ) 3 , 1 7 + 1 0 , 2 + 0 ,8 3 + 9 ,8 ; c) 1 5 , 2 1 - 3 , 9 - 4 , 7 + 6 , 7 9 ;

b ) 4 ,1 1 + 1 5 , 5 + 0 , 8 9 + 4 ,4 ; d ) - 4 , 1 7 + 3 , 8 - 5 , 8 3 - 3 , 3 .



5 7 . A p s k a ič iu o k i t e r e i š k in ių r e ik š m es :

a ) 8 , 9 1 + 2 5 , 7 + 1 , 0 9 ; c) 7 , 1 5 - 9 , 4 2 + 1 2 , 8 5 - 0 , 5 8 ;

b ) 6 ,6 4 + 7 ,1 2 + 2 ,8 8; d ) 1 8 , 9 - 6 , 8 - 5 , 2 - 4 , 1 .

5 8 . A t l i k i t e v e ik s m u s i r p aa i š k in k i t e , k u r i a s s u d ė t i e s s av y b es

t a ik ė t e ap s k a ič iu o d am i :

a ) 5 - j + 1 3 f ; b) 1 9-f - + 1 0 | .

5 9. A p s k a ič iu o k i t e r e i š k in ių r e ik š m es :

a ) 5 { - 2 - l + l l - 4 - f ; b) 8 j - 6 - f - 2 j + 1 1 .

6 0 . A p s k a ič iu o k i t e r ac io n a l i a u s iu b ū d u :

a ) 5 0 - 1 , 3 4 - 0 , 2 ; c ) 2 5 - ( - 1 5 , 8 ) - 4 ;

b) - 7 5 , 7 - 0 , 5 - 2 0 ; d ) 0 , 4 7 - 0 , 4 - 2 5 .

6 1 . Ta ik y d am i d au g y b o s s k i r s ty m o s av y b ę , a t l i k i t e v e ik s m u s :

3 ) 3 - 1 - 5 ; b) 7 · 2 - | ; c) 2 - | - 10; d ) 6 - 4 - j | .

62 . A psk a ič iuok i te r e i šk in ių r e ik šm es :

a ) 3 , 5 - 6 , 8 + 3 , 5 - 3 , 2 ; b ) 1 2 , 4 - 1 4 , 3 - 1 2 , 4 - 4 , 3 .

63 . Apska ič iuok i te :

a ) 1 5 , 7 - 3 , 0 9 + 1 5 , 7 - 2 , 9 1 ; b) 4 , 0 3 - 2 7 , 9 - 1 7 , 9 - 4 , 0 3 .

64. Įrodykite, kad:

a ) s u m a 2 4 - 1 7 + 1 7 - 6 d a l i j a s i i š 5 ;

b ) s u m a 3 4 - 8 5 + 3 4 - 3 6 d a l i j a s i i š I L


6 5 . V a ik ų d a r že l i u i n u p i r k t a

a

r i n k in ių p i e š tu k ų i r

b

p i e š im o

s ą s i u v i n i ų . P i e š t u k ų r i n k i n y s k a i n u o j a 2 5 кар. , o p i e š im o s ą s iu -

vinis 10

кар . p ig iau . K iek ka ina vo v i s as p i rk iny s?

6 6 . A u to m o b i l i s

t

h va ž ia vo 60 km/h g re ič iu ir p h — 50 k m /h

g r e ič iu . K o k s v id u t in i s au to m o b i l i o g r e i t i s ?



5 . T A P A T Ū S R E I Š K I N I Ų P E R T V A R K Y M A I

I š n a g r i n ė k i m e r e i š k i n i u s

χ (y

+ 7) ir

xy + 7x.

A ps ka i č i uok i me

jų r e ikšmes , ka i x=9 ir y=—2:

* ( ί/ + 7 ) = 9 · ( - 2 + 7 ) = 4 5 ,

ją/ + 7x = 9 · ( — 2) +

7

· 9 = 4 5 .

M a t ome , ka d r e i š k i n i ų x{y + l) ir xy + 7x a t i t i n k a m o s r e i k š -

m ės y r a lyg ios , ka i x = 9 ir

y=—2.

I š da ug yb os sk i r s tym o ir pe r -

s t a t ymo s a vyb i ų i š p l a uk i a , ka d a t i t i nka mos š i ų r e i š k i n i ų r e i k š mės

y r a l yg i o s s u be t ku r i omi s k i n t a mų j ų r e i k š mėmi s . S a koma , ka d

tok ie r e i šk in ia i y r a tapačiai lygūs.

A p i b r ė ž i m a s . Tapačiai lyg iais vadin am i du reiškiniai ,

kurių at it inkamos reikšmės su bet kuriomis kintamųjų reikšmėmis

yra lyg ios .

S pr e ndž i a n t l yg t i s , a p s ka i č i uo j a n t r e i š k i n i ų r e i k š me s i r ka i

kur i a i s k i t a i s a tve ja i s v i en i r e i šk in ia i pake ič iami k i t a i s , j i ems

tapač ia i l yg ia i s r e i šk in ia i s . V ieno r e i šk in io pake i t imas t apač ia i

j a m l y g i u k i t u r e i š k i n i u v a d i n a m a s

tapačių

r e i š k i n i o

pertvarkymu

a r ba t i e s i og r e i š k i n i o pe r t va r kymu . R e i š k i n i a i s u k i n t a ma i s i a i s

t a pa č i a i pe r t va r komi , r e mi a n t i s ve i k s mų s u s ka i č i a i s s a vybėmi s .

J a u s u s i dū r ėme s u r e i š k i n i ų t a pa č i a i s pe r t va r kyma i s . P r i e j ų

p r i s k i r i a m a s , p a v y z d ž i u i , p a n a š i ų j ų d ė m e n ų s u t r a u k i n l a s , a t -

s k l i a u t i m a s .

1 p a v y z d y s . S u t r a u k i m e s u m o s 5x + 2x

—

3x p a n a š i u o s i u s

dėme n i s .

N or i n t s u t r a uk t i pa na š i uos i u s dėme n i s r e i k i a , ka i p ž i noma ,

s udė t i j ų koe f i c i e n t u s i r ga u t ą r e z u l t a t ą pa da ug i n t i i š be nd r os

r a id inės da l i e s :

5x + 2x

—

3x= (5 + 2 — 3)x = 4x.

P e r tv a rk yd am i šį r e i šk inį, r ėm ėm ės da ug yb os sk i r s tym o sa -

vybe.

2

p a v y z d y s . P a r a šy k i m e r e iš k in į 2a + (b — 3c) be

s k l i a u s t ų .

R e mi a mės a t s k i i a u t i mo , ka i p r i e š s k l i a u s t u s y r a „ p l i u s o"

ž e nk l a s , t a i s yk l e : j e i gu p r i e š s k l i a u s t u s y r a „ p l i u s a s " , t a i s k l i a u s -

t u s ga l i ma p r a l e i s t i , p a l i e ka n t k i e kv i e no j uos e buvus i o dėme ns

ženk lą . Ta ig i :

2 a + (b — 3c) =2a +

b

— 3c.

R e i š k i n y s p e r t v a r k y t a s , r e m i a n t i s s u d ė t i e s j u n g i m o s a v y b e .



3 p a v y z d y s . P a r aš yk im e re i š k in į a— (Ab'- c) b e s k l i a u s t ų .

R e m i a m ė s a t s k l i a u t i m o , k a i p r i e š s k l i a u s t u s y r a „ m i n u s o "

ž e n k l a s , t a i s y k l e : j e i g u p r i e š s k l i a u s t u s y r a „ mi n u s a s " , t a i s k l i a u s -

t u s g a l i ma p ra l e i s t i , p a k e i č i a n t k i e k v i e n o j u o s e b u v u s i o d ė me n s

ž e n k l ą p r i e š i n g u . G a u n a m e :

a— (4b —c) =a — 4b + c.

P e r t v a rk y d a m i r e i š k i n į, ta i p p a t r ė m ė m ė s . v e i k s m ų s u s k a i -

č ia i s sav yb ėmis . Kad būt ų a i šk iau , i š re ikš k im e šį re i š k in į su m a:

a— (4b—c) = a + ( — 1 ) - ( 4 6 - c ) .

P r i t a i k y k i m e d a u g y b o s s k i r s t y mo ir j u n g i m o s a v y b e s :

α + ( — 1 ) - ( 4 6 - c ) = a + ( - 4 6 + c) =a-4b + c.

67. Ar

t apač ia i l ygūs š i e re i šk in i a i :

a ) 2 c - 3 ir 6 c; d ) ( x - x ) a ir 0 ;

b ) 7 + ( a + 6 ) ir (7 + a ) + 6 ; e) x - y ir y - x ;

c ) — 2 α + 2 a ir 0 ; f ) ( x - y )

2

ir ( y - x )

2

}

68. Ar

t apač ia i l ygūs š i e re i šk in i a i :

a )

2x +

2>y ir 2>y

+ 2x\

c ) (a + 6 )

r

0 i r a + 6 ;

b )

2.Ϊ+14 i r

2(л:

+ 7 ) ; d)

(a + b)·

1 ir

a + b?

6 9. R e m d a m i e s i d a u g y b o s p e r s t a t y m o ir j u n g i m o s a v y b ė mi s ,

s u p ra s t i n k i t e r e i š k i n i u s :

a ) - 6 , 2 a - 5 ;

с) 0,3л: · ( - 12(/ );

b) 4 c - ( - 1 , 2 5 ) ; d) - 0 , 1 6 - ( - 2 , 3 c ) .

70 . Supra s t i nk i t e re i šk in ius :

a ) 1 , 6 - ( - 0 , 2 n ) ; b) - 6 , 4 a - ( - 5 c ) .

7 1. R e m d a m i e s i d a u g y b o s s k i r s t y m o s a v y b e , p a k e i s k i t e r e i š -

k inį ta pa čia i j am lyg iu r e i š k in iu :

a ) 7 ( j t - y ) ; c) - 2 3 - ( 2 a - 3 6 + 1 ) ;

b) (a—4b)· 3; d ) 1 , 5 - ( - 3 x + 4 y - 5 z ) .

7 2. R e m d a m i e s i d a u g y b o s s k i r s t y mo s a v y b e , p a k e i s k i t e r e i š -

k inį ta pa čia i j a m lyg iu re i š k in iu :

a) 1,2 - ( 5 — а) ; с) 2 , 5 - ( 4 д : - 6 г / - 2 ) ;

b) (m — 4 χ) · ( — 6 ) ; d ) - 0 , 1 - ( I O O a + I0b-c).

73. Duot i re i šk in i a i 2 ( b - a ) , - 2 ( a - b ) , -2a-2b, -2a + 2b.

Kur ie i š j ų t apač ia i l ygūs re i šk in iu i 2b — 2a?



7 4 . S u t r a u k i t e p a n a š i u o s i u s d ė m e n i s :

a )

5 α + 2 7α — a; c) 6 * - 1 4 -

13лг

+ 26;

b)

\2b-l7b-b;

d)

-8-y +

17-IOi/.

7 5 . S u t r a u k i t e

p a n a š i u o s i u s d ė m e n i s :

a )

\3a + 2b-2a-b)

с) - 5 , 1 а - 4 й - 4 , 9 а + й ;

b) 4 1 * - 5 8 * + 6 y - y ; d) 7,5x+y-8,5x-3,5y.


a ) 8 * - 6 г / + 7 * - 2 г/ ; c) 3 , 5 b - 2 , 4 c - 0 , 6 c - 0 , 7 & ;

b) 27 p + 14<7— I6 p — 3q; d ) 1 ,6 а + 4 л : - 2 , 8 а - 7 , 5 * .

77 . A t sk l i ausk i t e :

a ) χ + (b + c + d

—

m ); c) x+y— (b + c

—

m ) ;

b) a— (b —c —d)·, d) χ + (a-b) - (c + d).

78.

Pa ra šyk i t e be sk l i aus tų š iuos r e i šk in ius :

a )

m+ (a —k —b);

c)

x + a+(m —

2) ;

b) m—

(a —k — b);

d)

a— (b — c) + (m + n).

79 . A t sk l i ausk i t e :

a)

(x — y)—m\

c) — (m —n + 5 ) ;

b)

{a + b)-{c-d)\

d) —

(2a —b) +

(m— 1).

80 . Pa r a šyk i t e be sk l i aus tų š iuos r e i šk in ius :

a ) a+(b-(c-d))·, b) y - p + k)).

81 . Supra s t ink i t e r e i šk in ius :

a) 5— ( а — 3 ) ; c ) 6 4 - ( 1 4 + 7 * ) ;

b) 7 + ( 1 2 - 2 6 ) ; d) 3 8 + ( 1 2 / 7 - 8 ) .

82 . A t sk l i a usk i t e ir su t r au k i t e


a )

χ + (2x + 0,5 ) ; с) 4 а - ( а + 6 ) ;

b) 3*— (x — 2); d) 6b+ ( 1 0 - 4 , 5 6 ) .

8 3 . S u p r a s t i n k i t e r e i š k i n i u s :

a ) ( X - I ) + ( 1 2 - 7 , 5 * ) ; d) b- 4-2b) + 3b-1)·,

b) (2p + 1 , 9 )

—

7

—

p); e) y- y +

A

+ y-4);

c) (3 — 0,4a) — (10 — 0 ,8 a) ; f) 4 * - ( 1 - 2 * ) + ( 2 * - 7 ) .



84. Supras t ink i t e re i šk in ius i r apska ič iuoki t e

jų

r e i k šm es :

a ) ( 5 x - l ) - ( 2 - 8 x ) , ka i x = 0,75;

b) ( 6 - 2 * ) + ( 1 5 - 3 * ) , ka i л:= —0,2;

c) 12-+7Л Г— (1 - 3 x ) , kai д:= — 1,7;

d ) 37— (jc— 16) +- (1 I x - 5 3 ) , k a i x = - 0 , 0 3 .

85. [ rodyki te , kad su kiekviena a

re ikšm e re i šk in io 3 (a + 2) —

—

3a re ik šm ė lygi 6.

86 . A t sk l i aus k i t e ir su t r au k i t e p an aš i u os i us dėm e n i s :

a ) 3 ( 6 — 5 x ) + 1 7x — 10 ; d ) 2 ( 7 , 3 - 1 ,6 a) + 3 , 2 a - 9 , 6 ;

b) 8 ( 3 ^ + 4 ) - 2 9 ( / + 1 4 ; e) - 5 ( C , 3 6 + 1 , 7 ) + 1 2 , 5 - 8 , 5 6 ;

c ) 7 (2z —3) + 6 z — 12; f) - 4 ( 3 , 3 - 8 c ) + 4 , 8 c + 5,2.

87 . Su pr as t i nk i t e r e i šk i n i us ir apsk a i či uok i t e j ų r e i k šm es :

a ) 0 , 6 (p —3) + p + 2, ka i p = 0,5;

b ) 4 ( 0 , 5 ^ - 6 ) - 1 4 ^ + 21, k ai <7= y ;

c ) - 0 , 5 ( 3 a + 4) + 1 , 9 a - 1 , k a i α = - - ί ;

d ) 1 0 ( 0 , 7 - 3 6 ) + 146 + 1 3 , 6 = - 1 6 .

8 8 . S u p r a s t i n k i t e r e i šk i n i us :

a ) 3 ( 2 m + l ) + 4 m - 7 ; d ) 0 , 2 ( 3 a - 1 ) + 0 , 3 - 0 , 6 a ;

b) — 6 ( 3n + 1 ) + 12n + 9; e ) 0 , 9 ( 2 6 - 1 ) - 0 , 5 6 + 1;

c) 5(0 ,6 — l ,5 p ) + 8— 3,5p; f ) - 2 , 6 ( 5 - c ) - c + 8 .

Kartojimo pratimai

89. Apska ič iuoki t e :

a ) - Į - 2 , 4 + J - · 0 ,15; b) 2 ,0 8 : - § - 0 , 1 5 ·

90. A p ska i č i uok i t e r e i šk i n i ų r e i k šm es :

a ) 5x(/—χ

2

, kai X= — 2, ( / =1 , 6 ;

b ) a

2

—3ab,

k ai a =

- 6 = .

ι

6 .

T A P A T Y B I Ų [ R O D Y M A S

Je i g u r e i šk i nį 5 (6 — c)—3c a t sk l i au s i m e , po t o su t r au ks i m e

pa na š i u os i us dėm en i s , t a i ga us i m e t ap ač i a i lygų j am re i šk i nį



L y g y b ė

5 Ь -с ) —3c = 5b — 8c

t e i s inga su be t ku r iomis k i n t a m ų j ų r e i k š m ė m i s . T o k i o s l y g y b ė s

v a d i n a m o s tapatybėmis .

Tapatybe vadinama lygybė, kuri yra te is inga su bet kuriomis

kintamųjų re ikšmėmis .

Ta pa tyb ėmi s l a ikom os ir t e i s in go s ska i t i nės l ygybės .

P a t e i k i a m e t a p a t y b i ų p a v y z d ž i ų :

α + 6 = 6 +

α,

a bc) = ab)c, α · 1 = α , α + (

—

a ) = 0 ,

α ( - 6 ) = - α 6 , ( - α ) ( - 6 ) = α 6 .

N o r i n t įrodyt i , kad kur i nors lygybė yra tapatybė, arba , k i -

t a ip t a r i an t , no r in t į rody t i t apa tybę , r e i šk inys t apač ia i pe r tva r -

komas .

Pavyzdž iu i , į rodyk ime t apa tybę

7 (2 + 6 ) — (14 — 6) = 86. (1 )

P e r t v a r k y k i m e k a i r i ą j ą ( 1 ) l y g y b ė s p u s ę :

7( 2 + 6) — (1 4 — 6) = 14 + 76 — 14 + 6 = 86.

Tapač ia i pe r tva rkę , gavome (1 ) l ygybės deš inę pusę . Vad i -

nas i , š i l ygybė y ra t apa tybė .

[ r o d a n t t a p a t y b ę , k a r t a i s p e r t v a r k o m o s a b i j o s p u s ė s .

[ r o d y k i m e , p a v y z d ž i u i , t a p a t y b ę

d(c-a)+ab = a(b-d)+cd.

2)

Per tva rkyk ime lygybės ka i r i ą ją i r deš in ią ją puses : ,

d(c—a) +ab = cd—ad + ab,

a(b — d) +cd = ab — ad + cd = cd — ad+ab.

(2) lygybės kai r io j i i r deš in io j i pusės tapačia i lyg ios tam

pač iam re i šk in iu i . Todė l j o s t apač ia i l yg ios v i ena k i t a i . Vad i -

nas i , (2) lygybė yra tapatybė.

Ne k i ekv iena lygybė y ra t apa tybė . An ta i l ygybė x+2 = 2x n ė-

ra t apa tybė . J e igu š i l ygybė bū tų t apa tybė , t a i j i bū tų t e i s inga

s u v i s o m i s χ re ikšm ėmis . Ta čiau š i lygy bė ne te i s i ng a , ka i J t= 1.

Vad inas i , j i nė ra t apa tybė .



91 . Ar lygy bė yra ta pa ty bė:

a ) 6 ( x - y ) = 6 * - 6 i / ;

b)

25(a — a)

= 25;

c ) 3 a — 4 = ( 2 a — 4 ) + a ;

d ) a - 5 6 = 5 a 6 ?

92 . [ rod yk i te , kad lyg yb ė

α

2

= 2 a n ė r a t a p a t y b ė .

93 . A r l ygy bė y r a t ap a t yb ė :

a) * + 4 = ( 3 + * ) + l ;

94 . [ r odyk i t e t apa tybę :

a ) 7 * - 4 2 = 7 ( j c - 6 ) ;

b ) 3 ( 2 m

—

1) = 2 (3m — 1,5) ;

c ) 2 ( 2 , 5 α + 1 0 6 ) = 5 ( 4 6 + α )

;

3 p a v .

b) 5г/ — 35 = 5( i / — 7) ?

d ) 7 ( 2 6 - 3 ) + 1 8 = 1 4 6 - 3 ;

e) 12jc— 1 = 4 ( 1 5 + 3 * ) — 6 1;

f ) За = 66 + З ( а— 2 6 ) .

95 . [ r odyk i t e , kad l ygybė y r a t apa tybė :

a) 5p —45 = 5( p — 9) ;

b ) — 8 ( 3 — * ) = 8 * — 24;

c ) 1 1 ( 2 - 3 α ) + 6 α = 2 2 - 2 7 α ;

d ) 8 ( 2 * + 5 ) + 7 = 4 7 + 1 6 * .

96 . [ r odyk i t e

t a p a t y b ę :

a ) x(y — 2)

—

3i/ = / / (*— 3)

—

2*;

b ) 2 а ( 6 - 5 ) + 6 = 6 ( 2 а + 1 ) - 1 0 а .

9 7 . S u d a r y k i t e d u r e i š k i n i u s 3 p a v e i k s l e p a v a i z d u o t o s f i g ū -

r o s p lo tu i ap ska ič iuo t i , [ r odyk i t e , kad t i e r e i šk in i a i t apač ia i

lygūs .

9 8. [ r o d y k it e , k a d re i š k i n ia i 4 p ( l - < 7 ) + 5 < 7 i r < 7 ( 5 - 4 p ) + 4 p

yr a t apač ia i l ygūs .


99.

A pska ič iuok i t e :

a ) - f - 9 , 6 - 3 ;

b ) 5 , 3 6 - j - 0 , 1 6 .

JOO Ar teis ingos š ios lygybės:

a ) 5 ( ΐ | + ί · ) = 4 ; b ) 4 + 1 2 4 8 : (11 1 + 0 , 2 ) = 10 8 P



§ 3 . LYGTYS SU VI ENU KI NTAMUOJU

7 . L Y G T I S IR J O S S A K N Y S

I š s p r ę s k i m e u ž d a v i n į : „ D v i e j o s e l e n t y n o s e 4 0 k n y g ų . V i r š u t i -

n ė j e l e n t y n o j e k n y g ų y r a 3 k a r t u s d a u g i a u n e g u a p a t i n ė j e . K i ek

k n y g ų a p a t i n ė j e l e n t y n o j e ? "

A p a t i n ė j e l e n t y n o j e e s a n č i ų k n y g ų s k a i č i ų p a ž y m ė k i m e r a i -

d e

χ . T u o m e t

v i r š u t i n ė j e l e n t y n o j e k n y g ų s k a i č i u s l y g u s 3 * . I š

u ž d a v i n i o s ą l y g o s ž i n o m e , k a d a b i e j o s e l e n t y n o s e y r a 4 0 k n y g ų .

S i ą s ą l y g ą g a l i m a p a r a š y t i l y g y b e :

3 x + x = 4 0 .

K a d r a s t u m e n e ž i n o m ą k n y g ų s k a i č i ų , s u d a r ė m e l y g y b ę , t u -

r i n č i ą k i n t a m ą j į . T o k i o s l y g y b ė s v a d i n a m o s

l yg t i mi s .

L y g t i e s

k i n t a m a s i s t a i p p a t v a d i n a m a s n e ž i n o m u o j u s k a i č i u m i a r b a t i e -

s i o g

než inomuoju.

T u r i m e su ra s t i ska ič ių , k urį įra šę į lyg tį 3 x + x = 40 v ie to j χ

g a u t u m e t e i s i n g ą l y g y b ę . T o k s s k a i č i u s v a d i n a m a s l yg t i e s s pren-

diniu

a r b a

l yg t i e s š akn i mi .

L y g y b ė 3 x + x = 4 0 y r a t e i s i n g a , k a i

X = I O . S k a i č i u s 10 — l y g t i e s 3 x + x = 4 0 š a k n i s .

A p i b r ė ž i m a s . Lygt i e s š akn i mi vad i na m a k in tamo jo

re ikšmė, su kuria lygt i s v irs ta te i s inga lygybe .

L y g t i s 3 x + x = 4 0 t u r i v i e n ą š a k n į. G a l i m a p a t e i k t i l y g č i ų ,

t u r i n č i ų d v i , t r i s i r d a u g i a u š a k n ų a r b a j ų n e t u r i n č i ų .

P a v y z d ž i u i , l y g t i s ( x — 4 ) — 5) (x — 6 ) = 0 t u r i t r i s š a k n i s :

4 , 5 i r 6 . K iekv ienas š ių ska ič ių v ieną sandaugos (x

—

4) (x

—

5) X

X (x — 6 ) d a u g i n a m ą j į, v a d i n a s i , ir p a č i ą s a n d a u g ą p a v e r č i a

nu l iu . Su be t ku r i a k i t a

χ

r e i k š m e n ė v i e n a s d a u g i n a m a s i s n e -

v i r s t a n u l i u , t o d ė l n e v i r s t a n u l i u ir s a n d a u g a . L y g t i s x + 2 = x

n e t u r i š a k n ų , n e s s u k i e k v i e n a

χ

r e i k š m e k a i r ė l y g t i e s p u s ė y r a

2 v i e n e t a i s d i d e s n ė u ž d e š i n i ą j ą .

Išspręst i lyg tj — reiškia rast i v isa s jos ša kn is arba jrodyti ,

kad lygt is jų neturi .

L y g t i s x

2

= 4 tu r i dv i š ak n i s : sk a ič ius 2 i r — 2. L yg t i e s

(x-2) ( x + 2 ) = 0 š a k n y s t a i p p a t 2 ir — 2. L y g t y s , t u r i n č i o s t a s

p a č i a s š a k n i s , v a d i n a m o s ekv i va l enč i omi s l yg t i mi s . Š a k n ų n e t u -

r i n č i o s l y g t y s t a i p p a t y r a e k v i v a l e n č i o s .

L y g t i m s b ū d i n g o s š i o s s a v y b ė s :



1) prie abiejų lygties pusių pridėjus tą

р а Ц

skaičių, gaunama

lygtis, ekvivalenti pradinei;

2) abi lygties puses padau ginus iš to paties n elygaus nuliui

skaičiaus, gaunama lygtis, ekvivalenti pradinei.

I š n a g r i n ė k i m e l y g t į

x

2

-2 = 7.

Pr ie š ios lygt ies ka i rės i r de -

š inės pusės p r idė ję ska ič ių 2 , gaus im e lyg tį

X

2

= 9 . [ rod yk im e,

k a d l y g t y s

x

2

— 2 = 7

i r ^=- -9 yra ekviva lenčios .

S a k y k i m e , k a d t a m t i k r a

χ

r e i k š m ė y r a p i r m o s l y g t i e s š a k n i s ,

t . y. k ad su ta

χ

r e i k š m e l y g t i s x

2

—2

= 7 v i r s t a t e i s i n g a l y g y b e .

P r idė ję p r i e š ios lyg t i e s ab ie jų pus ių ska ič ių 2 , vė l gaunam e

te i s ingą lygybę . Vad inas i , su t a

χ

r e i k š m e a n t r o j i l y g t i s t a i p p a t

v i r s t a t e i s inga lygybe . Į rodėm e , kad k iekv iena p i rm os lyg t i e s

š a k n i s y r a a n t r o s l y g t i e s š a k n i s .

D a b a r s a k y k i m e , k a d t a m t i k r a χ r e ikšm ė y ra lyg t i e s x

2

= 9

ša kn is , t . y . ka d ji pa ve rč ia ją te i s in ga lygy be . I š š io s ly gy bės

a b i e j ų p u s i ų a t ė m ę s k a i č i ų 2 , g a u n a m e t e i s i n g ą l y g y b ę . V a d i n a s i ,

su ta

χ

r e ikšm e p i rm oj i l yg t i s t a ip pa t v i r s t a t e i s inga lygybe .

T o d ė l k i e k v i e n a a n t r o s l y g t i e s š a k n i s y r a p i r m o s i o s l y g t i e s š a k n i s .

T a i g i l y g t y s

x

2

— 2 = 7

ir

л:

2

= 9 t u r i t a s pa čia s š ak ni s , t . y . jo s

ekv iva lenč ios .

P a n a š i a i s a m p r o t a u j a n t , n u s t a t o m a , k a d a b i l y g č i ų s a v y b ė s

t e i s i n g o s b e n d r u a t v e j u .

Ga l im a t a ip pa t į rody t i , kad ,

perkėlus dėm enį iš vienos lygties

pusės į kitą kartu pakeičiant jo ženklą, gaunam a lygtis, ekviva-

lenti pradinei.

Pa vy zd ž iu i , pe rk ė lę lyg t i e s 5* = 2* + 9 dėm enį

2x

su p r i e š ing u ženk lu i š de š inės pus ės į ka i rę , g au s i m e j a i ekv i -

va lenč ią lyg tį

5x —

2 * = 9.

I š v i e no s lyg t i e s pu sės į k i tą dėm e ny s da žn a i pe r ke l i am i

s p r e n d ž i a n t l y g t i s .

101.

Ar ska ič iu s — 2 y ra ly g t i e s ša kn i s :

a ) 3 ( x + 3 ) = 2 x + 7 ; c ) ( 3 - j c ) ( 3 + x ) = 1;

b ) — 4į/ + 8 = 16

— (г/ + 2 ) ; d ) a - 2 ( a + 4 ) = - 6 ?

102. Ar y ra ly g t i es x

2

—

5* = 6 šakn i s ska ič ius : a ) 1 ; b )

—

1;

c ) 6 ; d ) - 6 ?

103. [ rodyki te , kad ska ič ius 1 ,2 i r ska ič ius —1,2 yra lygt ies

J f

2

= 1 ,44 ša kn ys .

104. K ur ie i š ska ič ių - 3 ; 0 ; 2 ; 6 yra lyg t ie s x

2

- 3 x - 1 8 = 0

š a k n y s ?



105. [ rodyk i te , kad be t ku r i s ska ič ius y ra lyg t ies š ak n is :

a ) 7 * + 1 , 5 = * + 1 , 5 + 6 * ; b ) l,2(«/ + 5 ) = 6 + l,2t/.

106. Ar tur i šak nų lyg t is :

a ) 2 * + 3 = 2* + 8; b) 2i/ = t/?

107.

Ar tur i šaknų lygt is i r k iek jų :

a ) | * | = 1; b ) | * | = 0 ; c ) M = - 5 ; d ) | * | = 1,3?

108. Ar ekviv ale nčios lyg tys :

a) 7 ( * —3) = 4 9 ir x —3 = 7; c) 2 * - 7 = 0 ir 2* = 7 ;

b )

Ц = 9 ir 2* = 27 ; d ) *

2

= 5 * - 6 ir *

2

- 5 * + 6 = 0 ?

O

K ar to j im o p r a t im a i

' 0 9 . S u p r a s t i n k i t e

r e i š k in iu s :

a ) 0 , 4 ( 7 * — 2) — 1 , 6 + 1 , 7 * ; c ) 2 , 5 ( 4 - 3 « / ) - i / + 2 ,3 ;

b ) (1 ,2 a — 4) + (4 0 — 4 ,8 a); d ) ( 1 4 - 3 , 6 6 ) - ( 1 2 + 1 0 , 4 6 ) .

110 . Apska ič iuok i te r e i šk in io r e ikšmę:

8 (3 —3,5m) — 2 0 + 2 3 m , k a i m = - 2 , 5 ; 1,2; 4 0.

8 . T I E S I N Ė L Y G T I S S U V I E N U K I N T A M U O J U

Ly g č ių 5 * := — 4 , —0 ,2 * = 0 , — * = — 6 , 5 i š r a i š k a y r a v i en o d a :

a * = 6 ; č ia a ir 6 — ska ičia i . P i r m oj e ly gt yj e

α = 5, 6 = - 4 , a n t r o je

l y g t y j e a = — 0 , 2 , 6 =

0,

t r e či o j e a =

—

1, 6 = - 6 , 5 . T o kio s l y g t y s v a -

d i n a m o s t ies inėmis lygt imis su v ienu kintamuoju.

A p i b r ė ž i m a s .

Lygt i s ax=b, kurios « — kintam asis , a ir

b — skaič ia i , va dina m a t ies ine lygt imi su v ienu kintamuoju.

S k a i č i u s a v a d i n a m a s

kintamojo koeficientu, o

ska ič ius 6 —

laisvuoju nariu.

I šn ag r in ėk im e t i es inę lyg tį a * = 6 , kur io s k i n t am oj o koef i -

c i e n t a s

a

ne lygus nu l iu i . Abi lyg t ies puses pada l i ję i š

a,

g a u -

s im e * = - j . V ad in as i , t i e s in ė l y g t i s a* = 6 , k u r io s a= £ 0 , t u r i

v ie n in te lę šakn į — .

D ab ar i šn ag r in ėk im e t i es inę lyg tį a* = 6 , kur ios k in tam ojo

k o e f i c i e n t a s

a

l y g u s n u l iu i . J e ig u a = 0 ir 6 = ^ 0 , t a i l y g t i s

ax=b



n e t u r i š a k n ų , n e s l y g y b ė

Ox= b

(čia

Ь Ф 0)

nė ra t e i s ing a su jo -

k ia

χ

re ik šm e. Je ig u a = 0 i r

b = 0

t a i k iekv iena

χ

r e ikšmė y ra

lyg t i e s šakn i s , nes lygybė Ox=O te i s inga su be t ku r ia

χ

r e i k šm e .

P er tv a r kę lyg tį da žn a i g au n am e t i e s inę lyg tį, ku r ią i š s p re nd ę

s u r a n d a m e p r a d i n ė s l y g t i e s š a k n i s .

P a v y z d y s . I š sp ręs kim e ly gtį 4 ( x + 7 ) = 3 — x .

A t s k l i a u s k i m e :

4 x + 2 8 = 3 — x.

P e r k e l k i m e d ė m e n į —

χ

į ka irę ly gt ie s pu sę, o dėm en į 28 —

į de š in ią ją , pa ke i sd am i jų žen k lus :

4 x + x = 3 — 28.

S u t r a u k i m e p a n a š i u o s i u s d ė m e n i s :

5 x = - 2 5 .

N uo sek l ia i pa ke isd am i v ien ą lyg tį ekv ivale nčia ja i k i ta lyg-

t imi , gavome t i e s inę lyg tį , ku r ios k in tamojo

χ koe f i c i en ta s ne ly -

g u s n u l i u i . A b i l y g t i e s p u se s p a d a l y k i m e

i š š io koef ic ien to :

χ = — 5 .

Sk a ič ius — 5 y ra ly g t i e s 4 ( x + 7 ) = 3 — χ š a k n i s .

G al i bū t i ta i p , kad , sp ręs da m i lyg tį, ga us im e t ies inę ly g t į

Ox = b . T o k i u a t v e j u p r a d i n ė l y g t i s a r b a n e t u r i š a k n ų , a r b a j o s

ša k n i s y r a b e t k u r i s sk a i či u s . Pa v y z d ž i u i , l y g t i s 2 x + 5 = 2 ( x + 6 )

pak e ič iam a lyg t im i 0 x = 7 , todėl j i ne tu r i šak nų . Ly g t i s 3 (x + 2 ) +

+ x = 6 + 4 x p a k e i č ia m a l y g ti m i Ox = O, todėl k iekv ien as ska ič ius

y ra jo s šakn i s .

111. Raskite lygties šaknį:

a ) 5 x = — 60; c ) 7 x = 9 ; e) - 9 x = - 3 ; g ) 0 , 7 x = 0 ;

b ) — 10x = 8 ; d ) 6 x = — 5 0; f ) 0 , 5 x = l , 2 ; h ) - l , 5 x = 6 .

112 . I š sp ręsk i t e t i e s ines lyg t i s :

a )

X =

12;

c

) - 4 x = | ;

e) \y=

b ) f l / = 9

:

d)

5 у = - { ;

0 - £ * - • £ ·


a) 12x—

1

= 35; c ) l , 3 x = 5 4 + x ; e) 0 , 1 5 ^ + 6 = 5 1 ;

b ) — x - f 4 = 4 7; d ) 7 = 6 - 0 , 2 x ; f ) - 0 , 7 x + 2 = 65 .



a ) 2 * + 9 = 1 3 —*; f ) 0 , 8 * + 1 4 = 2 - 1 , 6 * ;

z

_ λ

ζ =

b) 1 4 — y = 19—

1

ly; ,

2

c ) l , 7 - 0 , 3 m = 2 + l , 7 m ; S ) 1 5 - p =

T

p - 1 ; k) * - 4 * = 0

d) 0 , 5 a + 1 1 = 4 —3a; , . 1) *= ·

- * :

e ) l , 2 n + l = l - n ;

1

T * +

4

= T *

+ 1 ; m

)

5

У =

6

У ·

115. Išspręsk i te lygt i s :

a) 3 * - 8 = * + 6 ; f ) 0 , 8 - г / = 3 , 2 + y;

b) 7 a — 1 0 = 2 — 4a ; g ) j x = j i

c) { i / - i = 3 - | i / ; h ) 2 * — 0,7 * = 0;

d) 2,6 — 0,2 6 = 4,1 — 0,5b; i)

9y = 7y.

e

> " - 1 = 1 + 7 "

116 . Raski te lygt ies

šaknį:

a ) Q / + 4 ) — ( y — I) = 6y ; c )

6 ϋ + 2 ) - T v = 101;

B) 3p

— —

p + 3) = 1; d) 2 0 u = 19— 3 + 12 u) .

117. I š sp r ę sk i t e lyg t i s :

a ) 2 * + 5 = 2 ( * + l ) + l l ; c )

3y-(y-

19) = 2 y ;

b) 5(2t/ — 4 ) = 2 ( 5 į / — 10 ) ; d ) 6 * = 1 - ( 4 - 6 * ) .

118. Išspręskite lygt is:

a ) 1 5 ( * + 2 ) — 3 0 = 12*; c )

3y+ (y-2)

=

2 ( 2 г / - 1 ) ;

b ) 6 ( 1 + 5 * ) = 5 ( 1 + 6 * ) ; d)

6y- { у -

1) = 4 + 5 y .

119 . Raski te lygt ies

šaknį:

a ) ( 1 3 * - 1 5 ) - ( 9 + 6 * ) = - 3 * ;

b) 1 2 - ( 4 * - 1 8 ) = (36 + 4 * ) + ( 1 8 - 6 * ) ;

c ) 1 ,6*— (*— 2,8) = (0 ,2 * + 1 ,5 ) —0,7;

d ) ( 0 , 5 * + 1 , 2 ) - ( 3 , 6 - 4 , 5 * ) = ( 4 , 8 - 0 , 3 * ) + (1 0 ,5 * + 0 , 6 ) .

C120 . I š sp r ę sk i t e lyg t i s :

a) 5* + (3* — 3 ) = 6 * + 1 1 ; c ) ( * - 7 ) - ( 2 * + 9 ) = - 13;

b)

3 α - ( 1 0 + 5 α ) = 5 4 ; d) 0 , 6 + ( 0 , 5 « / - 1 ) =1/ + 0 ,5 .

121. Su kuria kintamojo re ikšme:

a) re iš kin io 6a —3 reikšm ė ly gi —39;

b) re išk in ių 2 m — 13 ir m + 3 re ikšm ės yra lyg ios;



c ) re i šk in io 3 —5с re ikš m ė 1 v i en e tu m až es nė už re i šk in io

1

—c

re ikšmę;

d ) re i šk in io 2 x + l re ik š m ė 20 v ien e tų d ide snė už re i šk in io 8x + 5

re ikšmę;

e ) k i n t a m o j o χ r e i k š mė 3 k a r t u s ma ž e s n ė u ž r e i š k i n i o 4 5 —1 0 *

re ikšmę;

f ) re i šk in io 9—y re ikšmė 2 ka r tu s d idesnė už y re ikšmę?

122. Raski te lygt ies šaknį:

a ) 5 ( 3 * + 1 , 2 ) + χ = 6,8; c) 13 — 4,5i/ = 2 (3,7 — 0,5 г/);

b )

4(x +

3,6) = 3x

—

1,4; d) 5,6 — 7/ /= —4{2i/ — 0,9) + 2 ,4 .

123.

I š sp ręsk i t e l yg t i s :

a )

0,4х +

3

= 0 ,2(3дс + 1 ) —x\ с) 0 , 8л : - (0 ,7л:+ 0,36) = 7 ,1 ;

b) 3,4 — 0 , 6л : = 2x — (0 ,4 x + 1 ) ; d ) л : - 0 , 5 = 2 ( 0 , 3 л : - 0 , 2 ) .

124. Raski te lygt ies šaknį:

a ) 6 ( x - 1 ) = 9 , 4 - 1 , 7 * ; d ) - 3 ( « / + 2 , 5 ) = 6 , 9 -4 , 2 « / ;

b) 3 , 5 - 9 a = 2 ( 0 , 5 a - 4 ) ; e ) 3 , 5 x - 7 = 4 ( 8 + x ) ;

c) 3 ( 6 - 1 , l m ) = l, 7 m - 2 ; f ) 4 ( x - 0 , 8 ) = 3 , 8 x - 5 , 8 .

125 . Išspręsk i te lyg t i s :

a ) 7 (χ— 8 , 2 ) = 3 x + 1 9 ; d ) 3(2 ,5— 2л :) = 13,5— 14л:;

b) 0 , 2 ( 5 * - 6 ) + 4 * = 3 , 8 ; e ) Ofiy-1,5 = 0 ,3 (^ — 4 ) ;

c)

-Uy +

0 ,6 ) = 3 , 6 - « / ; f ) 0 , 5 (4 — 2a ) = a

—

1,8.


126 . Su t r a uk i t e


a ) 1 2 ,5 « / - l l + 18 , l i / -6 ,9 « / + 27 ;

b) 14—0,8«/—1,4«/—

į

/;

c) 7 , 4 a - 9 , 6 a - 3 , 2 a + 0 ,3 a;

d ) 1 5 , l m -3 4 , 3 m + 4 ,2 m + 7 ,8 m.

127 . Su pra s t in k i t e re i šk in ius ir apsk a ič iuok i t e jų re ik šm es :

a) 6 ,8c— (3,6c + 2 , l ) , kai

c

= 2,5;

b) 4,4— (9,6 — l ,2 m ) , kai m = - 3 , 5 .

128. Apskaičiuoki te:

a ) 1 9 , 6 · 2 - | + ( 5 , 2 5 · 1 1 - 4 , 5 - 1 ) ;

ь) ( 4 D =

2

T -

1

f

2

·

4

·



P a g a l u ž d a v i n i o s ą l y g ą n e ž i n o m a χ r e i k šm ė n eg a l i b ū t i t r u p -

m en i n i s sk a i č i u s . Vad i n as i , n eg a l i m a p ask i r s t y t i d e t a l i ų n u r o d y t u

b ū d u .

Ί 2 9 . T r i k am p i o p e r i m e t r a s l y g u s 16 cm . D v i j o k r a š t i n ė s y r a

lyg ios i r k iekv iena jų 2 ,9 cm i lgesnė už t r eč ią ją . Koks t r ikampio

k r a š t i n i ų i l g i s ?

1 30 . T r i j u o se g am y k l o s cech u o se d i r b a 1 27 4 žm o n ė s . A n t r am e

cech e 7 0 žm o n i ų d a u g i au n eg u p i r m am e , o t r e č i am e — 8 4 žm o -

n ė m i s d au g i au n eg u an t r am e . K i ek žm o n i ų d i r b a k i ek v i en am e

ceche?

131 . M eg z t in iu i , kepu re i i r ša l ik u i su n au d o t a 555 g s iū lų .

Kepure i p r i r e ikė 320 g s iū lų maž iau negu megz t in iu i i r 5 g dau-

g i au n eg u ša l i k u i . K i ek s i ū l ų su n au d o t a k i ek v i en am m ezg i n i u i ?

132 . Ar ga l im a su dė t i 158 kn yg as t r i jo se l en tyn ose t a ip , ka d

p i r m o j e l en t y n o j e b ū t ų 8 k n y g o m i s m až i au n eg u an t r o j e i r 5 k n y -

g o m i s d a u g i a u n e g u t r e č i o j e ?

133. Ar ga l im a 59 s t i k l a i n iu s ko ns erv ų s ud ėt i į t r i s dėže s

ta ip , kad t r eč io je dėžė je bū tų 8 s t ik la in ia i s daug iau negu p i r -

m o j e , o an t r o j e d ė žė j e 4 s t i k l a i n i a i s m až i au n eg u t r eč i o j e?

1 34 . V i en a m e so d o sk ly p e au g o av i eči ų k r ū m ų 5 k a r t u s d au -

g iau negu k i t ame. Po to , ka i i š p i rmo sk lypo 22 k rūmus per so-

din o į a n t r ą jį, ab ie j uo se sk lyp uo se aviečių k rū m ų bu vo po lygia i . *

K i ek av i eč i ų k r ū m ų au g o k i ek v i en am e sk l y p e i š p r ad ž i ų ?

1 35 . V i en am e r e ze r v u a r e y r a 3 8 0 m

3

v a n d e n s , o k i t a m e —

1500 m

3

. [ p i rmą rezervuarą kas va landą p r i t eka 80 m

3

v a n d e n s ,

o i š a n t r o r e z e r v u a r o k a s v a l a n d ą i š p u m p u o j a m a 6 0 m

3:

v a n -

d e n s . P o k e l i ų v a l a n d ų a b i e j u o s e r e z e r v u a r u o s e b u s v a n d e n s p o

lyg ia i?

136. P i r š t in ės 6 rub . p i ge sn ės už po r t fe lį ir 2 rub . b ra n g e sn ės

už kepurę . Du por t f e l i a i ka inuo ja t i ek , k iek 7 kepurės . Kiek ka i -

n u o j a p i r š t i n ė s?

137 . Du au tom ob i l i a i va ž i uo ja v ien odu g re ič iu . Je ig u p i rmas

au tom ob i l i s pa d i d i ns g re i tį 10 km /h , o a n t r a s sum až in s g re i tį

10 km/h , t a i p i rmas i s pe r 2 h nuvaž iuos t i ek pa t , k i ek an t r as i s

nuvaž iuos per 3 h . Kokiu g re ič iu važ iuo ja au tomobi l i a i ?

13 8. P i r m o j e b r i g ad o j e b u v o 4 k a r t u s m až i a u žm o n i ų n e g u

an t ro je . Po to , ka i i š an t ros b r igados 6 žmonės i šė jo i r 12 žmo-



I S K Y R I A U S P A P I L D O M I P R A T I M A I

1 paragrafas

148. Apskaič iuoki te :

c) - 1 : 4 ; e) ( - 0 , 1 5 ) . I ;

b ) g - ( - 2 1 ) ; d ) - 1 - ( - 4 , 9 ) ;

f )

- 1 6 : ( - - 1 ) .

149 . Ap ska ič iuok i t e r e i šk in ių r e ikš m es :

a ) 4 2 , 5 - 1 0 + 2 5 , 5 : 1 7 ; c) 2 0 , 6 - 8 - 2 4 4 , 8 : 6 ;

b ) 1 6 , 8 : 1 0 + 7 , 4 - 0 , 8 ; d ) 2 4 0 , 8 : 3 0 1 + 3 2 - 0 , 0 6 .


a ) 12,6 + 5 ( 3 , 2 5 1 - 1 , 1 7 1 ) ; b) 7 , 6 - 8 , 4 : ( 0 , 2 7 + 0 , 1 5 ) .

151 . Apskaič iuoki te :

a

>

3

I -

1

T -

7

T =

1

I '

c

) ( ' T

+ 2

T -

3

D -

3

I h

b ) 1 4 : 4 - 1 + 1 - 8 ; d ) 1 4 - 1 5 { : 2 .

152 . A pska ič iuok i t e r e i šk in ių r e ikš m es :

Mi H)

1 )

2

T

-

T

- f

S * )

\ \ t f / \ O i 4 ' , . »

a )

ι

/

ι

к 7 \ · 1 5 \ V

( 3 - 3 . 6 - 5

7

. 2 - J :4 -3

153. Raski te

skaičių, atvi rkšt inį:

5 2 I l

a) skaič ių — ir — sum ai ; c ) skaič ių — ir jg sa n d a u g a i ;

b) s ka ičių 6,2 i r 5 ,8 sk ir tu m ui; d) ska ičių 4,9 ir 3 ,5 da lm en iu i .

154 . Rask i t e ska ič ių , p r i eš ingą :

a) skaičių 2,86 i r —4,3 sumai;

4 5

b ) sk aičių — i r s k i r tu m u i;

c) ska ičių —5,75 ir 1 ,6 sa n d a u g a i ;

d) skaič ių 46 ir —7 — da lm en iu i .

O

2

155 . Pa lyg ink i t e :

a) 3 , 4 8 - 4 , 5 2 ir - 8 , 9 3 + 9 ,1 6; b ) 6 , 4 8 - - 1

i r

6 , 4 8 : - 1

O O



156 . Ar tu r i p rasmę re i šk in ia i :

v 7

M

10,7

3 f

4 . 1 8 - 2 , 0 9 - 2 '

;

1 , 6 8 : 4 , 2 - 2 , 5 - 0 , 1 6

157 . A pska ičiuok i te r e i šk in ių r e ik šm es :

a ) ~ , ka i m = - b ) ^ , k a i

α = 3,5.

158. A pska ičiuok i te r e i šk in io ^— i i r e ikšm ę , ka i :

χ—sy

a ) * = 4 , y = 1,5; c ) x = l , 4 , «/ = 0;

b ) χ 1. d ) χ = 1,3, i / = - 2 , 6 .

159. P a r a š y k i t e r e i š k in i u :

a) ska ič ių

α ir b s a n d a u g o s ir

s k a i č i a u s

c

su m ą ;

b ) sk a i č i a u s c ir skaičių a ir b d a l m e n s s k i r t u m ą ;

c) ska ič ių

χ ir y ski rtu m o ir

j ų s u m o s s a n d a u g ą ;

d) ska ič ių a ir b sumos i r jų sk i r tumo da lmenį .

1 6 0 . Su k u r i o m i s k i n t a m o j o r e i k šm ė m i s t u r i p r a sm ę r e i šk i n y s :

„v e + 8 .4 3 . a . J \

a

+ 9 ·

3

>

" β "

; Ь )

2 ^ 7 '

C )

^ H '

1 6 1 . S u d a r y k i t e r e i šk i n i u s š i e m s u ž d a v i n i a m s i š sp r ę s t i :

a ) S t a č i a k a m p i o p e r i m e t r a s 16 c m , v i e n a j o k r a š t i n ė l y g i

m c m . Ko k s s t a č i a k a m p i o p l o t a s?

b ) S t a č i a k a m p i o p l o t a s l y g u s 2 8 m

2

, o v iena jo kraš t inė a m.

K a m l y g u s s t a č i a k a m p i o p e r i m e t r a s ?

c ) I š dv ie jų mies tų , a t s tumas t a rp ku r ių lygus s km, tuo

pač iu metu v ienas p r i e ša i s k i tą i švaž iavo du au tomobi l i a i . Vieno

a u t o m o b i l i o g r e i t i s

V

i

km/h , o k i to

V

2

k m / h . Po k el ių v a l a n d ų

j ie sus i t ik s?

d ) M o t o c i k l i n i n k a s v e j a s i d v i r a t i n i n k ą . D a b a r a t s t u m a s t a r p

jų

s

k m , d v i r a t i n i n k o g r e i t i s

U

km/h , o motoc ik l in inko g re i t i s

V

2

km/h . Po k iek l a iko motoc ik l in inkas pas ivys dv i r a t in inką?

162 . S tač iakampio ka r tono l akš to , ku r io k raš t inės lyg ios a cm

ir

b

c m , k a m p u o se i šk i r p t i k v a d r a t a i , k u r i ų k r a š t i n ė s

χ cm

( 5 p a v . ) .

I š l ikus ios da l i e s padary ta a tv i r a dėžu tė . Pa rašyk i t e

fo rmulę dėžu tės tū r iu i

V

a p sk a i č i u o t i . Pa g a l f o r m u l ę a p sk a i č i u o -

ki te d ėžu tės tū rį, ka i a = 35, 6 = 2 5, x = 5 . Ko k i a s r e i k šm e s g a l i

į g y t i k i n t a m a s i s χ su nu rody tomis a i r b r e i k šm ė m i s?



163. V al t ies gr e i t i s s tov inčia- i

m e v a n d e n y j e l y g u s v k m / h . U p ės T J

tėkmės g re i t i s y km /h . S ud ar yk i t e — 1

fo rmulę apska ič iuo t i l a iku i (va -

lan do m is ) , pe r ku rį va l t i s nu -

pl au k s s km pas ro vi ui i r tokį pa t

nu oto lį pr ie š sro vę. J —

164. J ū r m y l ė m i s i š m a t u o t a s r * ~

n u o t o l i s i š r e i šk i a m a s k i l o m e t r a i s

p ag al fo rm ul ę y = 1 ,852*; čia x —

n u o t o l i s m y l i o m i s , y — t a s p a t s

n u o t o l i s k i l o m e t r a i s . Pa g a l š i ą

f o r m u l ę i š r e i k šk i t e k i l o m e t r a i s 5 pav.

š iuo s nu o to l iu s : 10 m yl ių , 50 my-

l ių , 250 mylių.

165 . Sudaryk i t e fo rmulę ska ič iaus , ku r i s y ra :

a ) 4 ka r to t in i s ; c ) 12 ka r to t i n i s ;

b ) 9 ka r to t in i s ; d ) 60 ka r to t in i s .

166 . P a r aš yk i t e fo rm ulę na tū r in io ska ič iaus , k u rį:

a ) p a d a l i j u s i š 3 g a u n a m a l i e k a n a 1 ;

b ) p a d a l i j u s i š 3 g a u n a m a l i e k a n a 2 ;

c ) p a d a l i j u s i š 5 g a u n a m a l i e k a n a 3 ;

d ) p a d a l i j u s i š 5 g a u n a m a l i e k a n a 4 .

2 paragrafas

167 . P a r aš yk i t e lyg ybėm is š i a s ska ičių savy bes :

a ) p r i e be t ku r io ska ič iaus p r idė jus nu lį , gaunamas t a s pa t s

skaič ius ;

b ) p ad au g i nu s be t ku rį ska ič ių i š nu l io , g au na m as nu l i s ;

c ) p ad au g in u s be t ku rį ska ič ių i š 1, g au na m as t a s pa t s ska i -

čius;

d ) p ad au g in us be t ku rį ska ič ių i š —1, ga u na m as p r ie š i ng as

ska ič ius .

168 . A psk a ič iuok i te r e i šk in ių r e ik šm es :

a ) 8 , 7 -9 , 6 + 3 , 5 - 8 , 7 - 8 , 7 . 3 , 1 ;

b ) 7 , 6 - 6 , 8 - 1 , 5 - 6 , 8 + 6 , 8 · 13,9;

c) 5 , 9 - 2 , 6 + 5 , 9 - 3 , 2 + 5 , 8- 4 ,1 ;

d ) 6 , 8 . 8 , 4 - 1 , 6 . 8 , 4 + 5 , 2 . 1 ,6 ,

a

5 p a v .



169 . Aps ka i č i uok i t e :

a ) ( 1 , 2 5 - 1 , 7 - 0 , 8 - 1 , 7 ) - 3 , 4 5 ; b ) 3,94 7 : ( 3 , 6 - 2 , 6 - 4 - 0 , 2 5 ).

170 . Ar t a pa č ia i ly gū s ši e re i š k in ia i :

a ) - 3 ( a - b ) ir 3 6 - 3 a

;

b) - 5 ( y - x ) ir Ъ у -Ъ х ?

171.

P a a i š k i n k i t e , k o d ėl ši o s l y g y b ė s y r a t a p a t y b ė s :

a ) M = | - * l ; c) | α 6 | = | α | · | 6 | ;

b ) \x-y\~\y-x\; d ) | 2c | = 2 | c | .

1 72 . R e m d a m i e s i d a u g y b o s s k i r s t y m o s a v y b e , p a k e i s k i t e

r e i š -

k i nį t ap ač i a i j a m l yg i u r e i š k i n i u :

a ) 0 ,8 -( 1 I x + 1 0 t / - 2 ) ; c ) - 7 - ( 0 , 5 m - l , 2 r e + 1 ) ;

b ) (20— 1 2 a + 4 6 ) · 1,5; d ) ( - 2 , 2 - m + l , 5 n ) - ( - 6 ) .

173. Įrod yk i te , ka d re i šk iny s y r a t a pa č ia i ly gu s n u l iu i :

a )

(a + b)x+(a-b)x-2ax;

b )

8(x-y) + 8(y-x).


a ) - 3 , 6 * - 5 , 2 - 2 , 4 * - 9 ; d ) 1 , 2 * + 3 , 4 * - 5 - 5 , 3 * ;

b ) 4 , 6 a + 1 , 5 6 - 3 , 2 f t - 1 , 8 a ; e) 2 , 4 a - 0 , 8 m - 0 , 4 m - l , 5 m ;

c ) - 6 ,

7 a

+ 5 6 - 0 , 8 a - 2 , 5 6 ; f )

-3,8y + 2x+8y-4,3y.

175. Įrodyki te , kad:

a ) r e i š k i n y s x (

—

1) + * (

—

2)

+x( —

3 ) + 6 * t a p a č i a i l y g u s n u -

l iui ;

b ) r e i š k i n y s a(

—

5 ) + a · 4 + a (

—

3 ) + a · 2 t ap ač i a i l yg us —2a .

176 . A t s k l i au s k i t e :

a ) _ ( _ * ) + ( _ , , ) ; c ) * + ( - ( - « / ) ) ;

b ) - ( - * ) - ( - * / ) ; d )

x - ( - ( - y ) ) .

1 77 . A t s k l i a u s k i t e i r s u t r a u k i t e p a n a š i u o s i u s d ė m e n i s :

a ) 6 ,9 — 5 , I m + (6m — 1 ,2 ); c ) 7 , 5 ( / + ( 6 - 7 , 3 t / ) - 5 , 8 ;

b ) 8 ,4x—4,4

—

(1 ,6 + 10jc ); d ) - (3 ,7 < / -5 ,5 )

+9q-

3,9.

1 78 . A p s k a i č iu o k i t e r e i š k in i o 8 a - (4 6 + 3 a ) - ( 4 a - 3 6 ) r e ik š -

m ę, k a i : a) a = 6 , 8 , 6 = 7 ,3 ; b) a = - 8 , 9 , 6 = - 9 , 9 .

179. Įrody k i t e , ka d r e i š k i n i o r e i k š m ė ne p r i k l au s o n uo a:

a ) a + (2a— (3a — 5 ) ) ; b ) a - ( 6 a - ( 5 a - 8 ) ) .

1 8 0 . P a r a š y k i t e r e i š k i n i ų \7x-l3y + 8 ir 20 x + 6y sk i r tumą i r

s up ras t i nk i t e j į .



181 . [ rodyk i te t apa tybes :

a )

3x(7y — 4) —

6 * ( / + 1 2 * = 1 5* i/; b )

mn-p = n(m-l) - (p-n).

3 paragrafas

182. Ar yra lyg t ie s

(2 x

-3,8) (4,2 + 3* ) =

O

š ak n i s s k a ič iu s :

a ) 1,9; b ) 2 ; c ) - 1 , 4 ; d ) - 3 ?

183. Kurie iš skaičių —4, —3, —1, 3, 4 yra lygties šaknis :

a ) x

2

+ 4 * + 3 = 0 ; b ) *

2

+ x = 1 2 ?

184. Ar tur i šaknis š ios lygtys :

a ) 3* + 7 = ( 9 + * ) + 2 * ; c) *

2

= * ;

b) 5*—

1

= 4 (* + 2 )

—

(9— *) ; d ) x

+ l = * - l ?

185. I šspręski te lygt is :

a ) | * | = 5 ; b ) | « / |= 3 , 7 ; c ) | a | - 1 7 = 0 ; d ) 1 , 4 | Ь | = 0 .

186 . Sudaryk i te

lygtį , kur ios šaknis yra skaičius : a) 8 ;

b) —10; c) 0.

187 . Su kur iomis koef ic ien to

m

r e ik š m ė m is l y g t i s

mx=

5 tur i

t ik v ieną šaknį? Ar yra tokia m re ikšmė, su kur ia š i lygt is netur i

šaknų ; tu r i k iek nor in t š aknų?

188 . Su ku r iom is koe f ic ien to p r e ik šm ėmis lyg t i s p * = 10 tu r i

šak nį, lygią - 5 ; 1; 20?


a ) 3 , 8 * - ( 1 , 6 - 1 , 2 * ) = 9 , 6 + ( 3 , 7 - 5 * ) ;

b) (4,5(/ + 9) - (6 ,2 -3 ,1 1 /) = 7,2y + 2,8;

c ) 0 ,6m - 1,4 = (3 ,5m + 1 , 7 ) - (2 ,7m - 3 ,4 ) ;

d) (5,3a - 0,8) - (1,6 - 4,7 a) = 2a - (a - 0 ,3 ).

190. I šspręski te lygt is :

a ) 0 , 1 5 ( * - 4 ) = 9 , 9 — 0 , 3 ( * - 1 ) ;

b ) l , 6 ( a - 4 ) - 0 , 6 = 3 ( 0 , 4 a - 7 ) ;

c) (0,7*—2,1) — ( 0 , 5 - 2 * ) = 0 , 9 ( 3 * - 1) + 0 , 1 ;

d ) - 3 ( 2 - 0 , 4 ( / ) + 5 , 6 = 0 , 4 ( 3 ( / + 1 ) .

191 . Su kur ia k in tamojo re ikšme:

a ) r e i š k in ių 2 * + 7 i r —* + 1 2 s u m a ly g i 1 4 ;

b) re iškin ių — 5 ( /+ 1 ir 3(/ + 2 sk i r tum as lyg us —9;

c) re iškin io 5

— a

j& įJ i |m ė 20 vie ne tų d id es nė už re išk in io

6 a — J r e i k š m ę



d) reiškinio 7m —3 r e ikšmė 2 ka r tu s m aže snė už re i šk in io

1 2 m - f l r e i k š m ę ?

192 . Ra sk i t e v i sa s sv e ikąs i as a r e ik šm es , su ku r iom is l yg t i es

αχ— 6

š akn i s y ra sve ikas i s ska ič ius .

193. N es pr ęsd am i lyg t ies 7(2 *-t - 1) = 13, įrod yk i te, ka d jos

šakn i s nė ra sve ikas i s ska ič ius .

194. Fermoje yra 1000 t r iuš ių i r viš tų . Vis i j ie tur i 3150 kojų.

Kiek t r iuš ių i r k iek v i š tų yra fermoje?

195 . Du darb in inka i pe r pamainą pagamino 86 de t a l es ; p i rmas

d a r b i n i n k a s p a g a m i n o j ų 1 5 % d a u g i a u n e g u a n t r a s i s . K i e k d e -

t a l i ų p a g a m i n o k i e k v i e n a s d a r b i n i n k a s ?

1 96 . P i r m a m e sk l y p e 9 s e r b e n t ų k r ū m a i s d a u g i a u n e g u a n t r a -

me. Je ig u i š an t r o sk lypo pe rso din tum e į p i rm ąjį 3 kr ūm us , ta i

p i r m a m e s k ly p e s e r b e n t ų k r ū m ų b ū t ų 1 ,5 k a r t o d a u g i a u n e g u

a n t r a m e . K i e k s e r b e n t ų k r ū m ų y r a p i r m a m e s k l y p e ?

197. M a r iu s tur i paš to žen klų ketu r i s ka r tu s da ug ia u ne-gu

Andr ius . J e igu Mar ius a t i duo tų Andr iu i 8 ženk lus , t a i j i s t u rė tų

du kar tus daug iau paš to ženk lų . Kiek paš to ženk lų t u r i k i ekv ie -

nas be rn iukas?

198. Kad la iku grąž in tų kn yg ą b ib l io tekai , m okin ys tur i kas

d ieną perskai ty t i po 40 pus lap ių . Bet j i s kas d ieną perskai tydavo

15 pus l ap ių maž iau i r g rąž ino knygą 6 d i enomis vė l i au . Pe r k i ek

d ienų mok inys t u rė jo pe r ska i ty t i knygą?

199. Kad la iku a t l ik tų už sak ym ą, s t ik lo pū tė jų ar te lė tu rė jo

kas d i eną pagamin t i 40 d i rb in ių . Be t j i kas d i eną pagamindavo

20 d i rb in ių daug iau i r 3 d i enomis anksč iau a t l i ko užsakymą. Per

k iek la iko ar te lė turė jo a t l ik t i užsakymą?

200. J e ig u p r i e sug a lv o to sk a ič i aus p r id ė tum e 7, ga u tą sum ą

p a d a u g i n t u m e i š 3 i r i š s a n d a u g o s a t i m t u m e 4 7 , t a i g a u t u m e

suga lvo tą ska ič ių . Koks suga lvo tas ska ič ius?



F U N K I J O S

§ 4 . P R O P O R C I N G I IR A T V I R K Š Č I A I

P R O P O R C I N G I K I N T A M I E J I

t P R O P O R C I N G I K I N T M I E J I

I š n a g r i n ė k i m e v i e n o k i n t a m o j o p r i k l a u s y m o n u o k i t o

k e l e t ą p a v y z d ž i ų .

K v a d r a t o k r a š t i n ė s i l g i s a c m , j o p e r i m e t r a s p c m , p l o t a s

5 c m

2

.

K v a d r a t o p e r i m e t r a s p r i k l a u s o n u o j o k r a š t i n ė s i lg i o :

j e i g u a = 3 , t a i

p=--

4-3=12;

j e i g u a — 6 , t a i

p

— 4 - 6 — 24 ;

j e i g u

a—

9, ta i

p

—

4 - 9 = 3 6 ir 1 .1 .

P a d i d i n u s k v a d r a t o k r a š t i n ę * k e l i s k a r t u s , t i e k p a t k a r t ų p a -

d i d ė j a ir j o p e r i m e t r a s . A n t a i k v a d r a t o , k u r i o k r a š t i n ė

a,

p e r i -

m e t r a s l y g u s 4 a . K e l i s k a r t u s p a d i d i n u s t e i g i a m ą d a u g i k l į a,

t i e k p a t k a r t ų p a d i d ė j a s a n d a u g a 4 a .

K i t o k i a y r a k v a d r a t o p lo t o p r i k l a u s o m y b ė n u o j o k r a š t i n ė s

i l g i o :

j e i g u

a

— 3, ta i S = 3

2

= 9 ; j e i g u

a

— 6 , ta i

S = 6

2

— 36 .

M a t o m e , k a d , 2 k a r t u s p a d i d i n u s k v a d r a t o k r a š t i n ę , j o p l o t a s

p a d i d ė j a n e 2 , o 4 k a r t u s .

S a k y k i m e , k a d k i n t a m i e j i Jt ir y įg y j a ti k t e i g i a m a s r e i k š m e s .

K i n t a m a s i s

y

y r a p r o p o r c i n g a s k i n t a m a j a m

x,

j e i g u , k e l i s k a r t u s

p a d i d ė j u s

χ

r e i k š m ė m s , t i e k p a t k a r t ų p a d i d ė j a a t i t i n k a m o s

y r e i k š m ė s .

V a d i n a s i , j e i g u X \ i r χ2 — k i n t a m o j o χ r e i k š m ė s , y \ i r г/г — j a s

a t i t i n k a n č i o s k i n t a m o j o y r e i k š m ė s , ta i

I š n a g r i n ė t a m e p a v y z d y j e k i n t a m a s i s p y r a p r o p o r c i n g a s k i n -

t a m a j a m a , o k i n t a m a s i s 5 n e p r o p o r c i n g a s k i n t a m a j a m

a.

K i t a i p



t i e k p a t k a r t ų d a u g i a u . T a i g i d a ž ų m a sė p r o p o r c i n g a g r i n d ų

plo tu i . Todėl

15 1,2 '

Iš čia:

1 5 * = 1 , 2 - 2 5 ,

r -

' -

2

2 5

5 '

Jt

= 2.

A t s a k y m a s : 2 k g .

Už d a v i n i u i i š sp r ę s t i g a l i m a su d a r y t i k i t ą p r o p o r c i j ą :

J5

=

_U2

2 5 χ

G al im a t a ip p a t

p a r a šy t i p r o p o r c i j ą , r e m i a n t i s p r o p o r c i n g ų

k i n t a m ų j ų s a v y b e :

Ll=A

15 2 5 "

201 . Ar p ropo rc in g i y r a :

a ) už k ruopas sumokė ta suma i r masė ;

b ) sk r i tu l io p lo tas i r sp indu lys?

c) bėgio masė ir i lg is;

d ) kubo tū r i s i r b r i auna?

202. I š tu r i s t in ės ba zės j m ies tą tur is ta s n uėjo per 1 h 20 m in .

P er k iek la iko j i s nu ke l ia us 1 ,5 k ar to d ide snį nu oto lį, je i gu e is

tuo pačiu gre ič iu?

2 03 . R e z e r v u a r a s s i u r b l i u p r i p i l d o m a s p e r 2 h 30 m i n . P e r

k iek l a iko tuo pač iu s iu rb l iu ga l ima p r ip i ldy t i r eze rvuarą , ku r io

t ū r i s 5 k a r t u s m a ž e s n i s ?

2 04 . Ar p r o p o r c i n g a s l y g i a k r a šč i o t r i k a m p i o p e r i m e t r a s j o

k r a š t i n ė s i l g i u i ? Ka m l y g u s p r o p o r c i n g u m o k o e f i c i e n t a s?

205. Ar p ro po rc in ga v ien odų p ieš tu kų ka ina jų ska ič iu i? Yra

ž i n o m a , k a d 5 p i e š t u k a i k a i n u o j a 1 0 к а р . K am ly g u s p r o p o r c in -

g u m o k o e f i c i en t a s ?

206 . Per 8 h t ek in to jas nu tek ino 17 de ta l ių . Per k iek la iko j i s

n u t e k i n s 8 5 d e t a l e s , j e i g u d i r b s t u o p a č i u n a šu m u ?

207. Už 4 ,5 m au di n i o sum ok ėta 18 rub . Kiek ka i nu oj a 27 m

to pa t i e s aud in io?

208. I š 2 ,5 kg šv iež ių s lyvų gauta 750 g dž iovin tų . Kiek bus

g a u ta d ž io vin tų s lyv ų iš 12,5 kg šv iež ių s ly vų ?



209. 12 cm

3

bronzos masė 103,2 g . Kokia masė bronz inės de-

ta lės , kur ios tūr i s 25 cm

3

?

210.

V ien o je tono je ju ro s va nd en s y r a 25 kg d rusk os . K iek

d r us kos y r a s t i k l i nė j e j u r o s va nde ns ( s t i k l i nės j ū r o s va nde ns

masę la ikyki te lygia 250 g)?

211 . Pe nk ios c i s t e rn os buv o pr ip i l tos ben z ino pe r 1 h 15 min .

Ar ga l ima pe r 2 h p r ip i l t i benz ino 7 tok ia s c i s t e rnas?

212. 17 1 ži b al o m a s ė lyg i 13,6 kg. Ar t i l p s 12 kg žib alo į 16 1

ta lpos b idoną?

K a r t o j i mo p r a t i ma i

213. Ko ord inač ių p lok š tum oje pa žym ėki t e t a š ką , kur io :

a ) absc isė lygi 3 , o rd in a t ė pr i eš i ng a abs c ise i ;

b) abs c isė lygi —2, o rd in a t ė v ie ne tu d id esn ė;

c ) ab sc i sė lyg i 0 , o r d i na tė v ien e tu m aže snė ;

d) absc isė lygi 1 ,5 , ordina tė 2 kar tus d idesnė už absc isę .

214 . T rys p ion ie r ių g r an dy s m okyk los b ib l io t eka i su r in ko

65 kn yg a s . P i rm a g r a n d i s s u r i nko 10 kny gų m a ž i a u ne gu a n t r o j i ,

t r ečio j i 30% p i rmos ir an t ro s g r an d i e s su r in k tų kn yg ų ska ič iaus .

K iek knygų sur inko k iekv iena g r and i s?

215. Iš sp ręsk i te ly gt į:

a ) 1 - 1 , 7 * - ( 0 , 8 * + 2) = 3 ,4 ; b)

5 - 0 , 2 г / = 0 , 3 < / - 3 9 .

1 1 . D A L I J I M A S Į D A L I S , P R O P O R C I N G A S D U O T I E S I E M S S K A I Č I A M S

P a v y z d y s . I š v ie lo s r it ės a tk i rp t a I cm v ie lo s. A t k ir p to s

v i e l o s ma s ė l yg i m g . K i n t a ma s i s m p r opo r c i nga s k i n t a ma j a m / ,

nes , pad id in us a tk i rp tos v ie los i lgį ke l i s ka r tu s , ti ek pa t k ar tų

pa d i dė j a j o s ma s ė . L e n t e l ė j e pa r ody t o s ka i ku r i o s a t i t i nka mos

I i r m reikšmės:

. . . 3 9 _ 52 6 5 _ 7 8

S C l a

15 20

=

25 30 '

Sakoma, kad ska ičia i 39 , 52 , 65 i r 78 yra proporc ingi ska i -

čiams 15, 20, 25 ir 30.

I

15

20

25 30

m

39 52 65 78



Skaičiai y χ , у

2

, У з , ·· • proporcingi skaič iams * , , ж

2

, ж

3

, · · . ,

jeigu

j/i _ _] / _ j/з _

* , X

2

X

3

P r o p o r c i n g u m o k o e f i c i e n t a s l y g u s b e t k u r i a m š ių san tyk ių :

Į ft i)

Jc

1

x

3

Xi

I š s p rę s k i me d u u ž d a v i n i u s .

1 u ž d a v i n y s . 70 cm i lg io a t k ar p a

AB

pa da ly t a j 4 da l i s ,

p r op or c in ga s s ka ič iam s 2, 3 , 4 ir 5 . Ra ski te š ių a t ka rp os da l ių

i lgi ·

S p r e n d i m a s . S ak yk im e , k ad a tk a rp o s d al ių i lg ia i ly-

g ū s

a

cm ,

b

cm ,

c

cm ir

d

cm. Kadang i ska ič i a i

a, b, c

ir

d

p ro -

porcingi skaičiams 2, 3 , 4 , 5 , ta i

a _£_ d

T~ 3

—

4

" 5 '

Pro p o rc i n g u mo k o e f i c i e n t ą p a ž y mė j ę r a i d e 6 , g a u n a me :

a = 2k,

b = 3k, c=

46,

d = bk.

P ag a l užd av in io są lygą a t ka rp os da l ių i l g ių su m a lyg i 70 cm.

Todėl

26 + 36 + 46 + 56 = 70.

Išspręsk ime gautą lyg tį :

14fe = 70,

6 = 5.

V a d i n a s i , a = 2 6 = 1 0 ,

b =

ЗА = 15, c = 46 = 20,

d =

56 = 25.

A t s a k y m a s : 10 cm , 15 cm , 20 cm ir 2 5 cm .

Da ž n i a u s i a i t o k i ų u ž d a v i n i ų s p re n d i ma i u ž ra š o mi t ru mp i a u .

2 u ž d a v i n y s . T r ik am p io p e ri m e tr as 30 cm . J o k ra š t in ės

p ro po rc in go s ska ič i ams 5, 7 ir 8. Rask i t e t r i k am pio k ra š t in es .

S p r e n d i m a s . S ak y kim e , k ad p ro po rc in gu m o k oe fic ie nta s

lygu s 6 . T ad a t rum pia us i a t r i ka m pio k r aš t in ė lyg i 56 cm, v idu -

t inė — 76 cm, i l g i au s i a — cm. P ag a l užd av in io są lygą

56 + 76 + 86 = 30.

Iš čia:

206 = 30,

6 = 1 , 5 .

V a d i n a s i , 56 = 7 ,5 , 7 6 = 1 0 , 5 8 6 = 1 2 .

A t s a k y m a s : 7 ,5 cm , 10,5 cm ir 12 cm .



216 . V ien o ke tu rk am pio k r a š t in ės lyg ios 1 ,2 dm , 1,4 dm ,

2,6 dm i r 2 ,8 dm. Ki to ke turkampio kraš t inės lygios 3 dm, 3 ,5 dm,

6 ,5 dm i r 7 dm. Ar p roporc ingos š ių ke tu rkampių k r a š t inės?

217. Ar p ro p or ci n gi sk aičiai 0,6; 1; 1,4 sk ai čia m s 1,5; 2,5;

3,5?

218. Įro dy kite , kad sk aičiai 1,4; 1,8; 2,2 ir 2,6 pr op or ci n gi

ska ičiams 3 ,5 ; 4 ,5 ; 5 ,5 i r 6 ,5 . Koks proporc ingumo koef ic ientas?

219. Atkarpų i lg is lygus 8 ,5 dm, 15 dm i r 25 cm. Koks pro-

po r c i ngų j oms a t ka r pų i l g i s , j e i gu i l g i a us i o j i t ų a t ka r pų l yg i

20 cm?

220. V ien o t r ik am pi o k ra š t in ės lyg ios 7 cm, 8 cm i r 10 cm.

A n t r o t r i ka mp i o k r a š t i nės p r opo r c i ngos p i r mo t r i ka mp i o k r a š t i -

nėm s . A nt r o t r ik am pio v idu t inė k r a š t in ė lyg i 16,8 cm. Rask i t e

a n t r o t r i k a m p i o p e r i m e t r ą .

221. R ug ia i s , kviečia is ir m iež ia is u žsėtų lauk ų plota i pro-

po rc in gi sk a ičia m s 9 , 5 ir 3 . Yra ž ino m a, k ad k viečia i už im a

410 ha . K iek he k ta rų užs ė ta ru g i a i s ir k i ek — m iež ia i s?

222 . T r ik am pio k r a š t in ių i l g i s p r6 po rc in ga s sk a ič iam s 2 , 4 ir

5 , o jo p e r i m e t r a s ly gu s 16,5 cm. Rask i t e t r ika m pio k r a š t in ių

ilgį-

223 . Rask i t e g r e tu t in ius kampus , kur i e p roporc ing i : a ) 5 i r 4 ;

b) 14 ir 1.

224 . P ion ie r ių būrys tu r i pa sod in t i 60 mede l ių . J i e buvo i šda -

ly ti t r im s g r an d im s p rop orc ing a i s ka ič iam s 3, 4 ir 3 . K iek m e-

de l i ų t u r i pa s od i n t i k i e kv i e na g r a nd i s ?

225. La uk as , k ur io p lo tas 600 ha , susk i r s ty tas į 4 da l i s , pro-

porc ingas ska ičiams 2 , 3 , 7 i r 8 . Raski te k iekvienos da l ies p lo tą .

226 . Ly dinį su d a r o va r i s , c ink as i r n ike l i s , ku r ių m as ės p ro-

porc ingos ska ič iams 13 , 4 , 3 . Lyd iny je y r a va r io 2 ,4 kg daug iau

negu n ike l io . Kokia lyd in io masė?

227 . Sk a ič ius sp or t in ink ų , l an ka nč ių t ink l in io , k r e pš in io i r

g i mna s t i kos t r e n i r uo t e s , p r opo r c i nga s s ka i č i a ms 5 , 2 i r 4 . G i m-

na s t i ko s t r e n i r uo t e s l a nk o 17 ž mo n i ų ma ž i a u n e gu t ink l i n i o t r e -

n i ruo te s . K iek spor t in inkų l anko š ių t r i j ų spor to šakų t r en i -

r uo t e s ?


2 28 . P a ž y m ė k i te t a š k u s A (4 ; - 3 ) ir B ( - 2 ; 6 ) . N u b r ė ž k i te

t i e sę AB i r r a sk i t e koord ina te s t a škų , kur iuose š i t i e sė ke r t a χ ašį

ir y ašį.



229 . Koord inač ių p lokš tumoje pažymėki te t aškus Ai (0 ; —4) i r

Af (6 ; 2 ) i r su junk i te juos a tkarpa . Rask i te š ios a tkarpos i r

χ

a š i e s

s u s ik i r t im o t a š k o k o o r d in a t e s .

1 2 . A T V I R K Š Č I A I P R O P O R C I N G I K I N T A M I E J I

P a v y z d y s . S ak yk im e , k ad a uto m ob il i s , v a ž iu o d am a s

v km/h g re ič iu , 120 km nuvaž iuo ja per t h . La ikas t p r i k l a u s o

nuo greič io u :

j e i g u u = 20, ta i * = 120 : 2 0 = 6 ;

j e i g u

u

= 4 0, t a i < = 1 2 0 : 4 0 = 3 ;

j e i g u u = 60, ta i i = 120 : 6 0 = 2 ir 1.1.

K e l i s k a r tu s p ad id ė ju s g r e ič iu i , t i ek p a t k a r tų s u m ažė ja l a i -

kas . M at l a ikas , per kurį au tom ob i l i s v km /h g re ič iu nu va ž i uo ja

120 120

1 2 0 k m , l y g u s — h . K e l i s k a r tu s p ad id ė ju s t r u p m en o s —

v a r

'

d i k l i u i , t i ek p a t k a r tų s u m ažė ja š i t r u p m en a .

S ak y k im e , k ad k in t am ie j i χ ir y įgy ja t ik t e ig iamas re ikšmes .

Kintamasis y yra atv irkščia i proporcingas k intamajam x , je igu ,

kelis kartus padidėjus

χ

reikšmėms, t iek pat kartų sumažėja at i-

t inkamos y re ikšmės .

Vadinas i , je igu X\ i r J t

2

— ki nt am o jo Jt re ikš m ės , o y i ir y

2

—

at i t i n k an č io s j a s k in t am o jo y r e ik š m ė s , t a i

ϊι

=Mi

У г '

I š n a g r i n ė t a m e p a v y z d y j e k i n t a m a s i s t a tv i r k š č i a i p r o p o r c in -

g a s k i n t a m a j a m

v.

Ki ta ip sak an t , l a ikas , per kurį nu e i na m as ta m

t ik r a s n u o to l i s , y r a a tv i r k š č i a i p r o p o r c in g as j u d ė j im o g r e ič iu i .

P a t e i k i a m e d a r k e l i s a t v i r k š č i a i p r o p o r c i n g ų k i n t a m ų j ų p a -

v y zd ž iu s . P as to v au s p lo to s t ač i ak am p io i l g i s a tv i r k š č i a i p r o p o r -

c ingas jo p loč iu i . Tam t ik ros masės kūno tū r i s a tv i rkšč ia i p ro -

p o r c in g as j o t an k iu i .

P a t e ik t am e p a v y zd y je ap i e au to m o b i lį l a ik as

t

a tv i rkščia i

p r o p o r c i n g a s g r e i č i u i

v.

S iu o a tv e ju k i ek v ien o s p o r o s

v

ir

t

a t i -

t i n k a m ų r e i k š m i ų s a n d a u g a

vt

lygi tam pačiam skaičiui 120:

v

t = 20 • 6 = 40 · 3 = 6 0 · 2 = . . . = 120 .

A p s k r i t a i

jeigu kintam asis y atvirkščiai proporc ingas kinta-

majam χ , ta i χ ir y atitinkamų reikšmių sandaugos yra lygios.



234 . Trys t r ak to r ia i t a ryb in io ūk io lauką ga l i suar t i pe r 60 h .

P er k iek la iko su ar tų šį lau ką 12 tokių t r ak to r ių ?

235. Sm ėl iu i p ervež t i p r i r e ik ė 15 sav iva rč ių , kur ių k iekv ien o

ke l iamoj i ga l ia 4 t . K iek re ik ia 5 t ke l iamos ios ga l ios sav ivarč ių

š iam darbu i a t l ik t i ?

2 36 . A n k s č iau d a r b in in k a s p e r 10 m in p ag am in d a v o 1 d e t a lę ,

o per p am ai ną — 48 de ta le s . Pa tob u l in ęs pe i lį, dab ar j i s de ta lę

p a g a m in a p e r 8 m in . K iek d e t a l i ų pe r p a m a in ą d a b a r p ag am in a

d a r b i n i n k a s ?

237 . Vienas k rumpl ia ra t i s tu r i 54 k rumpl ius , o k i tas 45 . Kiek

ka r tų ap s i su ks an t r as i s k ru m pl ia ra t i s per tą l a iką , per kurį p ir -

m as i s ap s i s u k a 2 7 0 k a r tų ?

2 38 . S i en o a t s a r g ų š im tu i d v id eš im t k a r v ių p a k a k s 60 d i en ų .

K iek d i en ų p ak ak s š io š i en o š im tu i a š tu o n ia s d eš im t k a r v ių ?

2 39 . K o o r d in ač ių p lo k š tu m o je p ažy m ė k i t e t a š k ą / 4 ( - 2 ; —3)

ir tašką B(4; 5 ) . Rask i te a t ka rp os AB v id u r io k o o r d in a t e s .

240 . Iš 85 t cuk r in ių ru nke l ių g au n am a 18,7 t cu kr au s . K iek

cu kr au s bu s ga u ta i š 115 t runk e l ių ?

I šnagr inėk ime uždav inį : „Nuo s to t ies ik i tu r i s t inės bazės

60 km. Iš tu r i s t in ės baz ės į s to tį išv až iav o dv ira t in in ka s 12 km /h

greič iu (6 pav. ) . Kiek k i lometrų bus l ikę ik i s to t ies po

χ h?"

P e r

χ

h d v i r a t i n i n k a s

n u v a ž i u o s I2x km . V a d ina s i , po χ

h

nuo jo iki s tot ies bus 60— 12л: km. P až y m ėki m e šį nu oto lį (kilo-

m e t r a i s ) r a i d e y. T a d a y = 60—12*.

G av o m e f o r m u lę , i š r e i š -

k ian čią nu oto l io y p r ik lau - .


§ 5. FUNKCIJOS IR JŲ GRAFIKAI

13. K A S Y R A F U N K C I J A

somybę nuo judė j imo la iko x .

P a g a l u ž d a v i n i o p r a s m ę k i n -

t a m a s i s χ g a l i įgyti nenei-

g i am as r e ik š m es , n e d id es -

nes kaip 5 (po 5 h dvira t i -

n in ka s a t va ži uo s į s to tį) .

Turistin~ —-

60 km

12x km

6 p a v .



P ag a l fo rm u l ę y = 60— 12* k iekv i ena i * r e i k š me i ga l i m a r a s t i

a t i t inkančią ją

y

r e i k š mę . Pavyzdž i u i , j e i gu

x =

2, ta i t/ = 36 ;

je ig u x = 3,5, tai t/ = 18; je ig u x = 4, ta i г/

= 12, taig i po 2 h nuo -

to l i s t a rp dv i r a t i n ink o ir s t o t i e s bus 36 km, po 3 ,5 h — 1 8 km.

po 4 h — 12 km .

M a t o m e , k a d y

re ikšmės p r ik lauso nuo * re ikšmių , be to ,

k iekv ieną * re ikšmę a t i t inka v ien in te lė y re ikšmė. Tokios v ieno

k i n t a m o j o p r i k l a u s o m y b ė s n u o k i t o k i n t a m o j o v a d i n a m o s funk-

c inėmis priklausomybėmis , a r b a funkcijomis .

Kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo

χ vadinanja funk-

cija, jeigu

kiekvieną

χ

reikšmę ati t inka vienintelė y reikšmė.

K i n t a m a s i s * v a d i n a m a s

nepriklausomu kintamuoju

a r b a

ar-

gumentu ,

o k i n t a m a s i s

y

— priklausomu kintamuoju.

S a k o m a t a i p

p a t , k a d k i n t a m a s i s y y r a k i n t a m o j o * f u n k c i j a . K i n t a m o j o y

re i k š mė , a t i t i nkan t i duo t ą * r e i k š mę , vad i nama

funkcijos reikšme.

Vi s os r e i k š mės , ku r i a s įgy j a nep r i k l aus omas k i n t amas i s , s u -

d a r o funkcijos apibrėžimo sri t į . I š n a g r i n ė t a m e u ž d a v i n y j e f u n k -

ci jo s ap ibr ėžim o sr i tį su d a ro vis i skaičiai n uo 0 iki 5 , įsk ai ta n t

ska ič ius 0 ir 5 . K i ta ip s ak an t , a p ib rėž im o s r i tį su d a ro v i so s

* re ikšmės , d idesnės už 0 a rba lyg ios 0 i r mažesnės už 5 a rba

lyg ios 5 . Rašoma

S u f u n k c i n ė m i s p r i k l a u s o m y b ė m i s j a u s u s i d ū r ė m e , n a g r i n ė -

d a m i p r o p o r c i n g u s i r a t v ir k š či a i p r o p o r c i n g u s k i n t a m u o s i u s . P a -

v y z d ž i u i , f u n k c i j o s y r a k v a d r a t o p e r i m e t r o p r i k l a u s o m y b ė n u o

jo k r aš t in ės , la iko , per kurį nu e in am as t a m t ik ra s ke l i a s , p r i -

k lausomybė nuo gre ič io .

N or in t i š re ikš t i fun kc i ją , re ik ia nu rod yt i , kok iu būd u k iekv ie-

n a i a r g u m e n t o r e i k š m e i g a l i m a r a s t i a t i t i n k a m ą f u n k c i j o s r e i k š -

m ę . P a t e i k i a m e p a v y z d ž i ų .

1 p a v y z d y s . S a ky k im e , k v a d r a t o k r a št in ė ly gi a c m , o jo

p lo tas S cm

2

. K i n t a m a s i s 5 y r a k i n t a m o j o a f u n k c i j a , k u r i ą g a -

l i ma i š r e i k š t i fo rmu l e S = a

2

. S ios fu nk ci jo s ap ib rėž im o s r i tį su -

da ro v i s i t e i g i ami e j i s ka i č i a i .

2 p a v y z d y s . S a ky k im e , k ad n — s ka ičiu s p irk tų s v ie di -

n ių , k ur ių k iekv ien o ka ina lyg i 0 ,8 rub . , c — v i so p i rk in io ka ina

rub l i a i s . K i n t amas i s c ka i p k i n t amo j o n funkc i j a ga l i bū t i i š -

r e i k š t a s f o r m u l e c = 0 ,8n . S ios fu nk ci j os a p ib r ėž im o s r i tį su da ro

v i s i na tū r in ia i ska ič ia i .



J e i gu f unkc i j a i š r e i k š t a f o r mu l e i r ne nu r ody t a f unkc i j o s a p i -

b rėž im o s r i t is , t a i l a ikom a , kad ap ib rėž im o s r i tį su d a ro v i so s

ne p r i k l a us omo k i n t a mo j o r e i k š mės , s u ku r i omi s š i f o r mu l ė t u r i

p r a s m ę . P a v y z d ž i u i , f o r m u l e

y =

i š r e i k š t o s f un kc i j o s a p i -

brėž im o sr i tį su d ar o vis i ska ičia i , i šs ky rus ska ičių 2 .

241 . S t a č i a ka mpi o k r a š t i nės 9 c m i r χ cm, jo plotas S cm

2

.

I š r e ik šk i t e f o rm ule k in ta m ąjį 5 ka ip

χ

funkc i ją . Kokia S r e ikšmė

a t i t i nka x=4; 6 ,5 ; 15?

242. T r a u k i n ys , v a ž i uo j a n t i s 70 km/ h g r e i či u , per

t

h nue i na

s km. I š r e i k š k i t e f o r mu l e k i n t a mą j į

s

ka ip

i

f u n k c i j ą . P a s a k y k i t e

ne p r i k l a u s om ą k i n t a m ą j į ( a r gu m e n t ą ) ir p r i k l a u s om ą k i n t a m ą j į.

Ra ski te s re ik šm ę, a t i t in ka nčią / = 2 ,4 ; 3 ,8 . Kok ią

t

r e ikšmę a t i -

t in ka s = 105; 420?

243 . S t a č i a ka mpi o p l o t i s

χ cm, o i lg is 5 cm d idesn is

už plotį.

S t a č i a ka mpi o p l o t a s 5 c m

2

. I š r e ikš k i t e f o rm ule k i n ta m ąjį S k a ip

χ f unkc i j ą . R a s k i t e a r gume n t o i r f unkc i j o s dv i a t i t i nka mų r e i k š -

mių poras .

244. B ern iuk as nu s ipi rk o po r t fe lį už 5 ,5 rub . ir m kn yg ų, ku -

r ių k iekv ieno s ka in a 0 ,75 rub . U ž visą p i rk inį j i s su m ok ėjo c rub .

I š r e i k š k i t e f o r m u l e k i n t a m ą j į c ka ip m f u nk c i j ą . R a s k i t e a r gu -

m ento ir f un kc i jo s t r i s a t i t i nk am ų r e ikšm ių poras .

- 245. Fu nk c i j a i š r e ikš t a fo rm ule y=2x +

7.

R a s k i t e f unkc i j o s

r e ikšmę, a t i t i nkanč ią a rgumento r e ikšmę, lyg ią 12 ; —50; 43 .

L

Fu nk c i j a i š r e ikš t a fo rm ule i/ = 0 , l x + 5. R a s k i t e f unkc i j o s

r e ikšmes , kur ios a t i t i nka a rgumento r e ikšmes , l yg ia s 10 , 50 , 120 .

247. Fu nk c i j a i š r e ikš t a fo rm ule

į/ = - j . L e n t e l ė j e nu r ody t o s a r g u -

mento r e ikšmės . Apska ič iuok i t e a t i -

t i n ka m a s f u nk c i j o s r e i k š me s i r už -

pi ldyki te lente lę .

248. Fu nk c i j a i š r e ikš t a fo rm ule

y =

*

12

— 9.

Užpi ldyk i t e l en te lę :

• 249 . Fo rm ule

y=—

5x + 6 išre ik š-

t a t am t ik r a funkc i j a . Rask i t e f unk-

c i j o s r e i k š me s , a t i t i nka nč i a s a r gume n t o r e i k š me s , ku r i o s l yg i o s

— 1,2; 2,8 . Su ku r iom is a rg um en to r e ikšm ėmis fun kc i jo s r e ikš -

mės lygios 6; 8; 100?

X

- 6

- 4

- 3 2

5 6

12

У

X

- 5 - 4

- 3

0

2 3 6

У



250. Raski te formule i š re ikš tos funkci jos ap ibrėž imo sr i tį :

a ) y=x

2

+ 8-

C ) y

^ - L · ·

4, 251 . Bern iukas tu rė jo 20

кар . J i s nus ip i rko χ

p i e š tukų , ku r ių

k iekv ieno ka ina 3

кар .

L ikus ių kape ikų ska ič ių pažymėję ra ide y,

i š re ikšk i t e f o rm ule k i n t a m ąjį y ka ip χ funkc i ją . Kok ia š io s funk-

c i jo s ap ib rėž imo s r i t i s?

2 52 . V i e n a s g r e t u t i n i ų k a m p ų l y g u s x°, o k i t a s y°. Kokia kin-

t a m o j o y ka ip χ f u n k c i j o s a p i b rė ž i mo s r i t i s ? Su d a ry k i t e χ re ikš -

mių i r j as a t i t inkančių y re ikšmių len te lę , imdami χ r e i k š me s

nuo 10 iki 170 kas 20 vienetų.

253 . F un kc i j a nu sa ky ta š i t a ip : „K iekv ieną na tū r inį ska ič ių ,

m až es nį už 13, a t i t in ka l ieka na , ga u ta p ad a l i j u s tą ska ič ių iš 5" .

Kok ia š io s funkc i jo s ap ib rėž imo s r i t i s? I š re ikšk i t e š ią funkc i ją

len te le .

254. K iekv ieną n a tū ri n į ska ičių

n

a t i t i nka l i ekana

r,

g a u t a

padal i jus tą skaičių iš 4 . Koks skaičius at i t inka skaičių 13, skai

čių 120, skaičių 162, skaičių 999? Kokia kintamojo r kaip n funk-

c i jo s ap ib rėž imo s r i t i s? Kok ie ska ič i a i y ra funkc i jo s re ikšmės?

Kartojimo pratimai

255. A utom obi l i s 75 km /h gre ič iu per ta m t ik rą la iką nu va -

ž iavo 180 km. Kiek k i lom et rų a u to m ob i l i s ga l i nuv až iuo t i per tą

pa tį laik ą, 15 krn/h s u m a ž in ęs gr eit į?

256. D vi r a t i n in ka s 4 h va ž i av o 15 km /h g re ič iu . Per k iek

la iko j i s nu va žiu otų tą pa tį ke l ią , j e igu 10 km /h pa di d i n t ų

greitį?

1 4 . F U N K C i J O S G R A F I K A S

Meteoro log inė je s to ty j e v i są pa rą buvo s t eb ima o ro t empe-

ra tū ra . Len te lė j e pa t e ik t i ka i ku r i e s t ebė j imo rezu l t a t a i :

t

0

3

•

9

12

15 18 21 24

P

- 4

- 7

- 5

0

2

4

2

1 - 3

R a i d e t p a ž y mė t a s p a ro s l a i k a s (v a l a n d o mi s ) , o r a i d e p

t e m p e r a t ū r a ( C e l s i j a u s l a i p s n i a i s ) .



P

1

0

C

1

5

r—r—

— —— —

—

rl

—

rl

J

1

•2

- J

-4

•5

-6

0

2

4 6

Q /

10

12

74

Ib

18

20

22

2 4

t,

h

J

1

•2

- J

-4

•5

-6

J

1

•2

- J

-4

•5

-6

—

—

1

•2

- J

-4

•5

-6

C

-

—

—

—

—

J

1

•2

- J

-4

•5

-6

C

-

—

—

—

1

•2

- J

-4

•5

-6

—

1

•2

- J

-4

•5

-6

S

v .

r

T

7 pav .

P

1

0

C

——

—

4

—

—

4

J

I

- -

• 7

O

0

2

4 6

д / Ю

12

74

76

75

20 22\

24

t

h

- -

• 7

O

" 4 ·

3

-AL

I

5

-A

6

I

7

" 4 ·

3

-AL

I

5

-A

6

I

7

" 4 ·

3

-AL

I

5

-A

6

I

7

" 4 ·

3

-AL

I

5

-A

6

I

7

" 4 ·

3

-AL

I

5

-A

6

I

7

" 4 ·

3

-AL

I

5

-A

6

I

7

8 pav .

I š š i o s l e n t e l ė s n e g a l i m a su s i d a r y t i t e m p e r a t ū r o s p e r p a r ą

p i lno va izdo . Pavyzdž iu i , nea i šku , kok ia t empera tū ra buvo 7 h ,

12 h 30 m in i r t . t . N ep er t ra uk ia m ai per v isą pa rą te m p er a tū rą

ga lė tų žymėt i sav i r aš i s p r i e ta i sas . Kiekv ienu l a iko

t

m o m e n t u

koord inač ių p lokš tumoje j i s žymėtų t a šką , ku r iame absc i sė lyg i

t

r e ik š m e i , o o r d i n a t ė — a t i t i n k a m a i t e m p e r a t ū r o s

p

r e ikšmei

( 7 p a v . ) . Š i t a i p g a u t u m e l i n i j ą — t e m p e r a t ū r o s g r a f i k ą ( 8 p a v . ) .



Pa g a l g r a f i k ą l e n g v a su ž i n o t i , k a i p

k i t o t e m p e r a t ū r a p e r p a r ą . Pa v y z d ž i u i ,

7 h o r o t e m p e r a t ū r a b u v o — 3,5°C, nu o

3 h iki 15 h ji kilo , o n uo O h iki 3 ty

ir nuo 15 h iki 24 h kr i to , aukščiausią

te m p er a t ū ra bu vo 15 h ir 1 .1 .

T e m p e r a t ū r o s p p r i k l a u so m y b ė n u o -

la iko

t

y ra funkc i j a . 8 pave iks le pa -

v a i z d u o t a l i n i j a v a d i n a m a k i n t a m o j o p

kaip

t

funkcijos grafiku.

Funkcijos grafiku vadinama kreivė,

sudaryta iš visų taškų, kurių abscises

lygios argumento re ikšmėms, o ordi-

natės — at i t inkam om s funkcijos re ikš-

mėms.

Pa r o d o m e , k a i p g a l i m a n u b r a i ž y t i

f o r m u l e i š r e i k š t o s f u n k c i j o s g r a f i k ą .

Sa k y k i m e , k a d f u n k c i j a i š r e i k š t a

f o r m u l e

y = x(6—x),

kai —

Su d a r y k i m e k a i k u r i ų a r g u m e n t o r e i k šm i ų i r j a s a t i t i n k a n č i ų

fu nk c i j o s r e ikšm ių l en te lę :

*

- 1

0

1

2

3

4 5

У

- 7

0 5

8

9 8

5

Ko o r d i n a č i ų p l o k š t u m o j e p a ž y m ė k i m e t a šk u s , k u r i ų k o o r d i n a -

tės nu rody tos l en te lė je . Su junk ime juos g lodž ia l in i j a (9 pav . ) .

G a u s i m e g r a f i k ą f u n k c i j o s , i š r e ik š t o s f o r m u l e y = x ( b — x ) , k a i

— J u o d a u g i a u p a ž y m ės i m e g r a f i k u i p r i k l a u s a n č i ų t a š -

kų ir juo tan ki au j ie bu s i šs idėstę , tuo t iks le sn į ga lės im e nu br ėžt i

g r a f i k ą .

1 0 p a v e i k s l e p a v a i z d u o t a s t a m t i k r o s f u n k c i j o s g r a f i k a s . R e -

m i a n t i s j u o , k i e k v i e n a i a r g u m e n t o r e i k šm e i g a l i m a r a s t i j ą a t i -

t i n k a n č i ą f u n k c i j o s r e i k šm ę . R a sk i m e , p a v y z d ž i u i , f u n k c i j o s r e ik š -

mę, kai JC=3. Tam per

χ

a š ie s t a šką , ku r io absc i sė 3 , nubrėžk ime

s t a t m e n į χ a š i a i . S i s s t a t m u o k e r t a f u n k c i j o s g r a f i k ą t a š k e ( 3; 5 ) .

V a d i n a s i , k a i x = 3, funkc i jo s r e ikšmė lyg i 5 .

R e m i a n t i s g r a f i k u , p a g a l d u o t ą f u n k c i j o s r e i k šm ę ą a l i m a r a s t i

j ą a t i t i n k a n č i a s a r g u m e n t o r e i k š m e s . P a v y z d ž i u i , p a g a l 1 0 p a -



У

8

7

f.

7

f.

/

/

f.

„3·3·

L

I

0 1 J 5

7 9 11

13

X

1 0 p a v .

ve iks l e

p a v a i z d u o t ą g r a f i k ą r a s k i m e

χ

r e ik š m es , k u r i a s a t i t i n k a

y = 7 . T am per y aš ies t ašką , kur io o rd ina tė 7 , nubrėžk ime t i esę ,

l y g i ag r eč ią * a š i a i . S i t i e s ė k e r t a g r a f ik ą d v i e ju o s e t a š k u o s e :

(5 ; 7 ) i r (9 ; 7 ) . V ad in as i , fu nk c i j os r e ik šm ė lyg i 7 , ka i x = 5 ir

k a i x = 9 .

2 57 . R e m d a m i e s i o r o t e m p e r a t ū r o s g r a f i k u ( ž r . 8 p a v . ) , a t -

sak yk i te į k l au s im us : a ) k ok ia buvo o ro te m p er a t ū ra 8 h , 12 h ,

20 h ; b ) ku r iuo m etu o ro te m pe ra tū ra buv o 5 °C , —4 °C, 1° C ;

c ) k ad a t em p er a tū r a b u v o 0 ° C , k ad a j i b u v o au k š č i au 0 ° C i r

k a d a — ž e m i a u 0 ° C; d ) k u r i u o m e t u t e m p e r a t ū r a b u v o ž e m i a u -

s i a i r k u r i u o — a u k š č i a u s i a ?

2 5 8. Ež e r e p l a u k io j a j ac h t a . J o s a t s tu m as n u o b a zė s l a ik u i

b ė g a n t k i n t a . A t s t u m o s p r i k l a u s o m y b ė n u o l a i k o t p a v a i z d u o t a

g r a f ik u (1 1 p a v . ) . K o k iu a t s tu m u n u o b a zė s b u v o j ac h t a p o

20 min , po 40 m in, po 1 h 20 min , po 2 h 30 min nu o išp lau -

k im o ? K iek m in u č ių p r aė jo n u o i š p l au k im o , k a i j a ch t a b u v o

nuto lus i nuo bazės 10 km, 8 km, 2 km?

2 5 9. 12 p av e ik s l e p a v a i zd u o ta s p u š i e s au k š č io p r ik l a u s o m y -

b ė s n u o jo s am ž iau s g r a f ik a s . R em d am ies i j u o , n u s t a ty k i t e : a ) k o -

kio aukščio buvo puš is , kai turėjo 10, 40 , 90 , 120 metų; b) k iek

metų turėjo puš is , kai jos aukš t is buvo 20 m, 25 m, 30 m; c) k iek

m et r ų u ž au g o p uš i s per l a iko ta rp į nu o 20 iki 60 m etų , nu o 60 iki

100 metų .

2 6 0. 13 p av e ik s l e p a t e ik t a s g r a f i k a s v a i zd u o ja s k r i t u l i o p lo to

p r i k l a u s o m y b ę n u o j o s k e r s m e n s . R e m d a m i e s i š i u o g r a f i k u , r a s -

4 . A l g e b r a 6 k l .



s,km,

m

y·

>

f

/

й

/

/

/

/

f

>

V

j

o

/

/

/

/

0

20

40

60

80

т о

120 140

t.mtrf

U pav.

k i te : a ) p lo tą sk r i tu l io , ku r io ske r sm uo ly gu s 1,2 cm ; 2 ,5 cm ;

3 cm; 3 ,2 cm ; b) sk er sm en į skr i t u l io , kur i o p lo ta s 5 cm

2

; 7 cm

2

;

8 ,5 cm

2

.

2 6 1. R e m d am ies i ap s k r i t im o i l g io p r ik l au s o m y b ė s n u o jo

s k e r s m en s g r a f ik u ( 1 4 p av . ) , r a s k i t e :

a) i lgį ap sk r i t im o, ku r io ske rsm uo l yg us 1 ,2 cm ; 2 ,5 cm ; 4 cm ;

b) sk er sm en į ap sk r i t im o, k ur io i lg is 5 cm ; 8 cm ; 10 cm .

Pušies amžius, metais

1 2 p a v .



2 62 . M a t u o j a n t k a s m i n u t ę v a n d e n s t e m p e r a t ū r ą b a k e , s u d a -

ry ta l en te lė :

χ , m i n 0

1

2

3 4 5

6 7

8 9 10

11

12

y,

°c

14 28

41 54

66

7 6

8 5

9 3 9 8

100 100

100

100

N u b r a i ž y k i t e k i n t a m o j o y p r i k l a u s o m y b ė s n u o

χ

g r a f i k ą ( m a s -

te l i s : 1 cm χ a š y j e a t i t i nk a 1 m in , 1 cm y a š y j e a t i t i n k a 1 0 ° C ) .

P a g a l g r a f i k ą a t s a k yk i t e į š i uos k l a u s i m us :

a ) K ok i a buvo va nde ns t e mpe r a t ū r a , p r a ė j u s 4 mi n , 5 , 5 mi n ,

9 min , 10 ,7 min nuo š i ldymo pradž ios?

b ) K i e k mi nuč i ų p r a ė j o nuo š i l dymo p r a dž i o s , ka i va nde ns

t e m pe r a t ū r a buvo l yg i 41 ° C ; Ū 0° C ; 93

0

C; IOO

0

C?

263. Kre ivė

M N —

t a m t i k r o s f un kc i j o s g r a f i k a s ( 15 p a v . ) .

P a g a l j j r a s k i t e f un kc i j o s r e i k š mę , a t i t i nka nč i ą a r g um e n t o r e i k š -

m ę -2 , 1; 0; 1; 5.



266. Kreivė CD— t a m t i k ro s fu n k c i j o s g r a f i k a s (18 p a v . ) .

R em da m ies i juo , ra sk i te : y re ikšm ę, ka i x = — 3; — 2; 0 ; 2; 4;

b) χ r e i k š me s , k u r i a s a t i t i n k a t / = — 2; 0; 2; 3.

2 67 . Fu n k c i j o s g r a f i k a s y r a a t k a rp a , k u r i o s g a l a i y r a t a š k a i

( — 6; — 2) ir (3; 5) . N u br ai žy ki te g ra fi k ą i r p a g a l jį ra sk i te :

a )

y

re ikšmę, ka i

x=—5;

—3; — 1; 1; 2; b)

χ

r e i k š me s , k u r i a s

a t i t inka y— — 1; 1; 3 ; 4.

268 . Lauž te ABC — t am t ik ros fun kc i jo s g r a f ik as , be to ,

A(-3; 1) , S ( —1; - 1 ) ir C(3 ; 3 ) . Nubra ižyk i t e g ra f iką i r paga l

j j r a sk i t e : a ) f un kc i jo s re ikšm es , a t i t i n ka nč ia s

jc

=

—

2,5; — 1,5;

0 ; 1 ,5 ; 2 ; b ) a r gu m en to re ikšm es , ku r i a s a t i t i nk a

y=—

0,5; 1;

2,5.

2 69 . T a m t i k ro s fu n k c i j o s g r a f i k a s y r a l a u ž t e

MNP,

be to,

M ( - 2 ; - 1 ) , N ( 3 ; 6 ) , P (6; - 3 ) . N u b r a i ž y ki te g r a f i k ą ir, r em -

da m ies i juo , rask i te : a ) fu nk ci j os y re ik šm es , ka i x = —1,5 ; 0 ; 4 ;

5 ,5 ; b ) a rg u m e n t o r e i k š m e s , k u r i a s a t i t i n k a y=— 2,5; 0; 4,5.

270 . Ar p r ik l auso t a ška i A (4; 2 ) , B(

1;

- 4 ) ir C(

1;

4) for ,

m u l e y = 2x—6 i š r e i k š t o s fu n k c i j o s g r a f i k u i ? Pa s a k y k i t e k o o r -

d ina tes da r ku r ių no rs dv ie jų t a škų , v i enas ku r ių p r ik l auso ,

O k i t a s n e p r i k l a u s o š io s fu n k c i j o s g r a f i k u i .

271 . U žp i ldy ki te len te lę

ir n ub ra i žy k i t e fo rm ule y =

=x(x

— 3 ) i š re ikš tos funkc i -

jo s g ra f iką :

2 7 2 . Nu b ra i ž y k i t e fo rmu l e i š r e i k š t o s fu n k c i j o s g r a f i k ą :

a ) y=x + 3, kai c) y = 5 — x, ka i —

b) 1/ = 4 - *

2

, k a i - 3 s $ x s £ 3 ; d) y=x

2

+ 2x, ka i - 3 < х < 2 .

273 . Funkc i j a

i š r e i k š t a fo rm u l e

У = ~ , k u r io s S u -

d a r y k i t e s v e i k ą s i a s χ r e i k š me s a t i t i n k a n č i ų fu n k c i j o s r e i k š mi ų

l e n t e l ę . Nu b ra i ž y k i t e fu n k c i j o s g r a f i k ą . Gra f i k e p a ž y mė k i t e t a š -

ką , kur io absc isė 2 ,5 . Raski te jo ord ina tę i r pagal formulę pa t ik-

r i n k i t e r e z u l t a t ą .

Kartojimo pratimai

2 74 . S t a č i a k a m p i o , k u r i o k r a š t i n ė s χ cm i r y cm, pe r ime t ra s

l ygus 20 c m. I š re ik šk i t e fo rm ule k i n t am ąjį y ka ip * fu nk c i j ą .

Nurodyk i t e š io s funkc i jo s ap ib rėž imo s r i tį . Kok ias re ikšmes ga l i

įgy t i funkc i j a?

X

- 2

- 1 , 5

- 1

- 0 , 5

0

0,5

1

1,5

2

У



R a s k it e f u n k c i j o s r e i k šm e s , a t i t i n k a n č i a s a r g u m e n t o

χ

r e ikš -

mes, kur ios lygios 3; 2 ,5 i r 7 .

S u k u r i a a r g u m e n t o r e i k š m e a t i t i n k a m a f u n k c i j o s r e i k š m ė

lygi 3; 2,5 ir 7?

2 7 5 . S t a č i a k a m p i o k r a š t i n ė s l y g i o s

a

dm ir

b

dm, o jo plo-

tas 10 dm

2

. I š r e i k šk i t e f o r m u l e k i n t a m ą j į

b

ka ip

a

f u n k c i j ą . Nu -

rodyk i te š io s funkc i jo s ap ib rėž imo s r i tį . Kok ias r e ikšmes ga l i

įgy t i funkc i j a?

276. T r ika m pio k raš t in ių i lg ia i p rop orc in g i ska ič iam s 4, 6 ir 9 .

V i d u t i n ė t r i k a m p i o k r a š t i n ė 5 c m i l g e sn ė u ž t r u m p ą j ą . R a sk i t e

k iekv ienos k raš t inės i lgį .

15. T I E S I O G I N I O P R O P O R C I N G U M O G R A F I K A S

I š n a g r i n ė k i m e p r o p o r c i n g u s k i n t a m u o s i u s

m

ir

V\

či a

m —

g e l e ž i n i o t a še l i o m a sė g r a m a i s ,

V

— jo tū r i s kub in ia i s cen t i -

m e t r a i s . Fo r m u l e i š r e i k šk i m e k i n t a m o j o m p r i k l a u so m y b ę n u o

V.

Kadang i v ieno kub in io cen t ime t ro ge lež ies masė lyg i 7 ,8 g , todė l

m = 7,8

V.

F o r m u l e

y = kx

ga l ima i š r e ikš t i p r ik lausomybę ta rp be t ku r ių

p r o p o r c i n g ų k i n t a m ų j ų . S a k y k i m e , k i n t a m a s i s y p r o p o r c i n g a s

k i n t a m a j a m

χ ,

o sk a i č i u s

k

— p r o p o r c i n g u m o k o e f i ci e n t as . T a d a

X

Iš čia:

y = kx.

G a u t o s f o r m u l ė s k i n t a m a s i s χ įgy ja t ik t e ig iamas r e ikšmes .

V ad in as i , funk c i jo s ap ib rėž imo s r i tį su da ro t e ig iam ie j i ska ič ia i .

T o l i a u n a g r i n ė s i m e f u n k c i j ą

y = kx

su be t ku r ia ap ib rėž imo

sr i t imi . Tok ia funkc i j a , ku r ios k= /=0 , vad inama

t ies iog iniu pro-

porc ingumu a r b a proporcingumu.

A p i b r ė ž i m a s . T ies iog in iu proporc ingumu vadin am a

funkcija , kurią gal ima išreikšt i formule y = kx, kurios χ — nepri-

k lau som as k intama sis , k — nely gu s nul iu i

skaičius.

Sa k y k i m e , k a d t i e s i o g i n i s p r o p o r c i n g u m a s i š r e i k š t a s f o r m u l e

y = 0 ,5*. N ubra ižyk im e jo g ra f ik ą . T am su da ry k i m e ka i ku r ių

fun kc i jo s r e ikšm ių l en te lę :

X - 4 - 3 - 2

- 1

0 I

2

3

4

y

- 2

- 1 , 5 - 1 - 0 , 5 '

0 0,5

1

1,5

2



1 9 p a v .

2 0 p a v .

K o or d i na č ių p l okš t um o j e ( 19 pa v . ) pa ž ym ėk i me t a š k us , ku r i ų

koord ina tės su r a šy tos l en te lė je . Nesunku pas t ebė t i , kad v i s i pa -

žymėt i taška i yra v ienoje t iesėje . Nubrėžkime š ią t iesę (20 pav. ) .

N u br ėž t o j i t i e sė — f unk c i j o s y = 0,5x gra f ikas . S i t iesė e ina per

koordinačių pradž ią: je igu J t=O, ta i i r z/ = 0.

Tiesioginio propo rcingum o grafikas yra tiesė, einanti per koor-

dinačių pradžią.

Tiesę nusako du jos t a ška i . Todėl , nor in t nubra ižy t i t i e s io -

g i n i o p r opo r c i ngumo g r a f i ką , pa ka nka r a s t i dv i e j ų g r a f i ko t a š kų

koo r d i na t e s , pa ž ymėt i t uos t a š kus koo r d i na č i ų p l okš t umo j e i r

per juos nubrėž t i t i esę . Vienu i š tų taškų pa togu pas i r inkt i koor -

d inač ių p r adž ią .

N u b r a i ž y k i m e f o r m u l e y=—2x i š r e i k š to s f un kc i j o s g r a f i ką .

P a ga l š i ą f o r mu l ę r a s k i me g r a f i ko ku r i o no r s t a š ko , ne s u t a m-

pančio su koord inač ių p r adž ia koord ina te s , pavyzdž iu i , t a ško ,

kur io absc isė —3: je igu J t= — 3, tai г/ = 6. K o or d i na č i ų p l okš t u -

mo j e pa ž ymėk i me t a š ką (

—

3; 6 ) . P er šį ta šk ą ir ko or di na čių

pra dž ią nu brėžk im e t i e sę. S i t i e sė — fun kc i jos y=—2x g r a f i k a s

(21 pav. ) .

22 pa ve i k s l e nub r a i ž y t i t i e s i og i n i o p r opo r c i ngumo y=kx g r a -

f ika i ; p roporc ingumo koe f i c i en ta i sk i r t ing i . Nuo koe f i c i en to k

p r i k l a us o g r a f i ko pa dė t i s koo r d i na č i ų p l okš t umo j e .

J e i gu J t = I , i š f o r mu l ės y=kx g a u n a m e : y = k. V a d i na s i , t i e -

s iog in io p roporc ingumo gra f ikas e ina pe r t a šką (1 ; k ) .

Je ig u f t>0, ta i ta šk a s (1; k) y r a p i r m a m e k o o r d i n a t i n i a m e

ke t v i r t y j e . S i uo a t ve j u t i e s i og i n i o p r opo r c i ngumo g r a f i ka s y r a

p i r ma m e ir t r e č i a me ko o r d i na t i n i a m e ke t v i rt y j e . K o or d i na č ių p r a -

dž ia da l i ja g ra f ik ą į dvi pu s t ies es . Pu s t ie sė , es an t i p i rm am e ko-



o r d i n a t i n i a m e k e t v i r t y j e , s u χ

a š i mi s uda r o t a m t i k r ą ka mpą .

S i s kampas p r ik l auso nuo koe f i c i en to k : kuo d idesn i s k , t uo d i -

desn i s kampas ( ž r . 22 pav . ) .

J e i gu k < 0 , t a i t a š ka s (1 ; k ) y r a ke t v i r t a m e ko o r d i na t i n i a m e

ke t v i r t y j e . V a d i na s i , t i e s i og i n i o p r opo r c i ngumo g r a f i ka s y r a a n t -

r a me i r ke t v i r t a me koo r d i na t i n i a me ke t v i r t y j e . I š na g r i nėk i me

k a m p ą t a r p χ a š i e s i r pus t i e sės , e sanč ios ke tv i r t ame koord ina t i -

n i a me ke t v i r t y j e ( 23 pa v . ) . S i s ka mpa s t a i p pa t p r i k l a us o nuo

koe f i c i e n t o k: kuo d i de s n i s s ka i č i a us k modu l i s , t uo d i de s n i s

k a m p a s .

I š na g r i nė t uos e pa vyz dž i uos e l a i kėme , ka d f unkc i j o s a p i b r ė -

ž imo s r i tį su da ro v i s i ska ič ia i . J e ig u t i e s iog in io p r op or c in gu m o

ap ibrėž im o s r i tį su da ro ne v is i ska ič ia i , t a i t i e s iog in io p ro po r -

c i ngumo g r a f i ka s y r a a t i t i nka ma t i e s ė s da l i s . P a vyz dž i u i , t a s

g r a f i ka s ga l i bū t i pus t i e s ė a r ba a t ka r pa .

277. D vi r a t in in ka s to lyg ia i va ž iu o j a 12 km /h g r e ič iu . P a ra -

šyk i t e f o rm ulę , i š r e i šk ianč ią nu e i to ke l io s ( k i lo m e t r a i s ) p r ik l au-

s omybę nuo j udė j i mo l a i ko

t

( v a l a n d o m i s ) , A r š i p r i k l a u s o m y b ė

y r a t i e s i o g i n i s p r o p o r c i n g u m a s ?

278 . Pa ra šyk i t e f o rmulę , i š r e i šk ianč ią apskr i t imo i lg io p r ik l au-

somybę nuo jo sp indu l io , [ r odyk i t e , kad š i p r ik l ausomybė yra

t i e s i o g i n i s p r o p o r c i n g u m a s . K a m l y g u s p r o p o r c i n g u m o k o e f i c i e n -

tas?

279 . T i e s i og i n i s p r op o r c i ng um a s i š r e i k š t a s fo r m u l e

y— — γ x .

Rask i t e :



1 2

a ) y r e i k š me s , a t i t i nka nč i a s χ, k u r i s l y g u s — 9; 1 ; 2 - j ;

b ) χ r e i k š me s , k u r i a s a t i t i nka y r e i k š mės , l yg i o s 0 ; — ; 10.

280 . Yra ž ino m a , kad k i n tam as i s y

ka ip χ f u n k c i j a y r a t i e s i o g i n i s p r o p o r -

c i n g u m a s .

I š r e ikšk i t e f o rmule š ią funk-

c i ją i r užpi ldyki te lente lę :

281 . K i n t a m a s i s y ka i p χ f u n k c i j a —

t i e s i o g i n i s p r o p o r c i n g u m a s .

I š r e ikšk i t e

formule š ią funkc i ją i r užpi ldyki te lente lę :

282 . Duot i t a ška i A (6; - 2 ) , B(-2; - 1 0 ) , C ( l ; 1 ), d ( - j · ,

2 \

1 - j ) , £ ( 0 ; 0 ) . K u r i e iš j ų p r i k l a us o t i e s iog i n i o p r o po r c i ng um o

gr a f i ku i : a ) y=—~x; b) y = 5x7

283 . N ubr a i ž yk i t e f o r mu l e y = 3x i š r e i k š t o s f unkc i j o s g r a f i ką .

P a g a l jį ras ki te :

a ) y r e ikšmę, a t i t i nkanč ią χ reikšmę, kuri lygi 1; 1,5; 2,5; 3;

b) su kur ia

χ

re ikšme y re ikšmė lygi —3; 0; 3;

c ) su kur iomis

χ

r e i k š mėmi s k i n t a ma s i s y įgy j a t e i g i a ma s

r e i k š m e s ir s u k u r i om i s — ne i g i a m a s .

284 . N ubr a i ž yk i t e f o r mu l e г/==—0,5x i š r e i k š t o s f unkc i j o s g r a -

f iką . Remdamies i j uo , r a sk i t e :

a ) y r e ikšmę, a t i t i nkanč ią

χ

reikšmę, kuri lygi —2; 4; 1;

b) su kur ia

χ

re ikšme y re ikšmė lygi —1; 0; 2,5;

c ) su kur iomis

χ

r e i k š mėmi s k i n t a ma s i s y įgy j a t e i g i a ma s

re ikšm es ir su k ur io m is — ne ig ia m as .

Ar yra tokia

χ

r e ikšmė, su kur i a

y— —

150? Je ig u yr a , ta i ap -

ska ičiuoki te ją .

285 . N u br a i ž yk i t e t i e s iog i n i o p r op o r c i n gum o y = 2x g r a f iką .

R e mda mi e s i j uo , nus t a t yk i t e :

a ) kokią re ikšm ę įgy ja fu n kc i ja , ka i χ lygus 2; 2,5; 3; 4;

b) su kur ia χ r e ikšme funkc i jos r e ikšmė lyg i 7 ;

c ) su kur iomis χ r e i k š mėm i s f un kc i j o s r e i k š m ės y r a t e i g i a m os

i r su kur iomis — ne ig iamos .

286 . V i e no j e koo r d i na č i ų p l ok š t um o j e nub r a i ž yk i t e t i e s iog i n i o

p r o p o r c i n g u m o y = kx g r a f i kus , ka i k = 6; 0,3; — 1; — 2,4.

2 87 . S t a č i a k a m p i o p a g r i n d a s 2 ,5 m , a u k š t i s χ m . I š r e ikšk i t e

s t a č i a ka mpi o p l o t ą y ( kva d r a t i n i a i s me t r a i s ) k i n t a muo j u x . N u-

b r a i ž yk i t e y p r i k l a us omybės nuo

χ

g r a f iką .

X

1

3

4 8

17

У

51

75

X

2

4 6

8

10

12

У

- 3 0



P a g a l g r a f i k ą r a s k i t e :

a ) p l o t ą s t ač i a ka m pi o , ku r i o auk š t i s 3 ,5 m; 4 m ;

b ) au kš t į s t a č i ak am pi o , ku r i o p l o t a s 6 m

2

; 8 m

2

.

2 8 8. L y g i a k r a š č i o t r i k a m p i o k r a š t i n ė ly g i * c m . I š r e i k š k i t e

( c e n t i m e t r a i s ) š i o t r i k a m p i o p e r i m e t r ą y k i n t a m u o j u * . T r i k a m -

p i o p e r i m e t r a s l y g u s 7 ,5 c m . P a g a l g r a f i k ą r a s k i t e t r i k a m p i o

k r a š t i n ę . A t s a k y m ą p a t i k r i n k i t e a p s k a i č i u o d a m i .

2 8 9. V i e n o s d e t a l ė s m a s ė 0 , 75 k g . P a ž y m ė j ę χ d e t a l i ų m a s ę

( k i l o g r a m a i s ) k i n t a m u o j u y, i š r e i k š k i t e k i n t a m ą j į y k i n t a m u o j u x.

N u b r a i ž y k i t e y p r i k l a u s o m y b ė s n u o

χ

g r a f i k ą .

290 . T u r i s t a s i š ė jo i š m ies to i r po χ h buvo nu t o l ę s nuo j o

y km.

K i n t a m o j o y p r i k l a u s o m y b ė n u o χ p a r o d y t a l en t e l ė j e :

X

0

0,5

1

2 2,5 3

3,5 4

У

0 2.1

4,0 7,9 10,1 12.1 14 16,1

K o o r d i n a č i ų p l o k š t u m o j e p a ž y m ė k i t e a t i t i n k a m u s t a š k u s i r

l i n i uo t e pa rodyk i t e , kad j i e i š s i dės t ę beve i k t i e s e . Suda ryk i t e

fo rmu l ę , ku r i apy t i k s l i a i i š r e i š k i a y p r i k l aus omybę nuo x .

2 9 1. 2 4 p a v e i k s l e p a v a i z d u o t i p ė s či o j o ( a t k a r p a O B ) ir d v i r a -

t i n i n k o ( a t k a r p a OA) k e l i o n ė s g r a f i k a i . R e m d a m i e s i j a i s , a t s a -

kyk i t e į š i uo s k l au s i m us :

a ) K i e k l a i k o k e l i a v o p ė s č i a s i s ? d v i r a t i n i n k a s ?

b ) K i e k k i l o m e t r ų n u ė j o p ė s č i a s i s ? n u v a ž i a v o d v i r a t i n i n k a s ?

c) Ko kiu g re ič iu ė jo pėsč ia-

s i s? v a ž i a v o d v i r a t i n i n k a s ?

d ) K i ek k a r t ų d v i r a t i n i n k o

p e r 2 h n u v a ž i u o t a s k e l i a s i l g e s -

n i s už pėsč io jo ke l ią , nue i tą per

tą p a tį la ik ą?

2 92 . K u r i u o s e k o o r d i n a t i n i u o -

s e k e t v i r č i u o s e y r a t i e s i o g i n i o

p r o p o r c i n g u m o g r a f i k a s :

a ) y= 1,7* ; d ) £ / = - 2 , 3 * ;

b ) 1 / = - 3 , 1 * ; e ) y = x\

c) y = 0 ,9*; f ) у = - х - ?

"s,"Jm

I

— [-30

I

/

ч

— [-30

I

J

—

—

0

f

o

—

0

/

1П

/

J

f y

>

s

O

1 2

3

4

t,

h

I

24 pav .



2 93 . K u r i u o s e k o o r d i n a t i -

n i u o s e k e t v i r č i u o s e y r a f u n k -

c i j o s g r a f i k a s :

a )

i/

= 2 ,3 *; c )

y= -

0,1*;

b) y = — 4,5*; d)

1/

= 0 ,7*?

2 9 4. 2 5 p a v e i k s l e n u b r a i ž y t i

t i e s i o g i n i o p r o p o r c i n g u m o g r a -

f i k a i. P a r a š y k i t e k i e k v i e n ą g r a -

f i k ą a t i t i n k a n č i ą f o r mu l ę .

2 9 5. 2 6 p a v e i k s l e p a t e i k t a s

g r a f i k a s , v a i z d u o j a n t i s p l ie n i-

n ė s v i e l o s p a i l g ė j i mo

y

p r i k l a u -

s o m y b ę n u o j ė g o s F, k u r i o s v e i -

k i a ma v i e l a i š t į s t a . N u r o d y k i t e

j ė g o s F k i t i mo r i b a s , k u r i o s e

v i e l o s p a i l g ė j i m o p r i k l a u s o m y -

bė nuo jėgos F y r a t i e s i o g i n i s

p r o p o r c i n g u m a s .

26 pav.

Kartoj imo prat imai

29(3. Ra sk i t e ne ž in om ą p ro po rc i jo s na rį:

n 3 . 14 5

U 4 0

i 4 . 1

a )

ΊΓ 'T š

:

~9 '

b

> У ·

2

= T

: 4

l f ·

2 9 7 . S u p r a s t i n k i t e r e i š k i n i u s :

a ) - 2 1 ( 4 - 1 0 α ) - 5 4 a ; b ) 2 8 - 1 0 m + 4 ( m + 1 8 ) .

298. K aim o b ib l io t ek a i

š e š t ų j ų ir s e p t i n t ų j ų k l a s i ų m o k i n i a i

s u r i n k o 31 5 k n y g ų . S e p t i n t ų j ų k l a s i ų m o k i n i a i s u r i n k o k n y g ų

1 0 % d a u g i a u n e g u š e š t ų j ų k l a s i ų m o k i n i a i . K i e k k n y g ų s u r i n k o

s e p t i n t ų j ų k l a s i ų m o k i n i a i ?

η

~ г

"I

y

Tf

—

7

j

\\

/

6

f

J

6

I J

j

\

44

\11

I

-

- 4 - 2

2

6

Xj

v

I

_

-I

—

W

—i

I -

i •

_

-4

—

1

W

-

i •

(

-6

11

I -

i •

)

_

-6

I

25 pav .

Z

y

mm

ι —

Į

„

10

9

θ

7

6

5

4

ι —

Į

„

10

9

θ

7

6

5

4

ι —

Į

„

10

9

θ

7

6

5

4

ι —

Į

„

10

9

θ

7

6

5

4

—

—

—

Į

„

10

9

θ

7

6

5

4

—

—

—

Į

„

10

9

θ

7

6

5

4

ι —

Į

„

10

9

θ

7

6

5

4

ι —

Į

„

10

9

θ

7

6

5

4

*

ι —

Į

„

10

9

θ

7

6

5

4

*

—

—

ι —

Į

„

10

9

θ

7

6

5

4

*

—

—

ι —

Į

„

10

9

θ

7

6

5

4

*

0

?00

600

800

1000 F, N

_

I I

I ι ι ι



§ 6. T I E S I N Ė F U N K C I J A

1 6 . T I E S I N E S F U N K C I J O S A P I B R Ė Ž I M A S

I š n a g r i n ė k i m e d u f u n k c i j ų p a v y z d ž i u s .

1 p a v y z d y s . P r ie v ie šk el io y ra g y ve n vi et ės A ir

B,

a t -

s tu m as t a r p k u r ių 2 0 k m ( 2 7 p a v . ) . M o to c ik l i n in k as i š v až i av o

i š g y v en v ie tė s B p r i e š in g a g y v en v ie t e i A k r y p t im i . J o g r e i t i s

50 km/h . Per t h m o to c ik l i n in k as n u v až iu o s 5 0 / k m i r n u o g y -

v en v ie tė s A b u s n u to lę s 5 0 / + 2 0 k m . P až y m ė ju s r a id e s a t s t u m ą

( k i lo m e t r a i s ) t a r p m o to c ik l i n in k o i r g y v en v ie tė s A , š i o a t s tu m o

p r ik l au s o m y b ę n u o v až i av im o l a ik o g a l im a i š r e ik š t i f o r m u le

s = 5 0 / + 2 0 ; čia t ^ 0 .

2 7 p a v .

2 p a v y z d y s . M o k in y s n u sip irk o s ąs iu v in ių , k u ri ų k ie k-

v i e n a s k a i n a v o 2 кар., ir tuš inuką už 35 кар . P i rk in io ka ina p r i -

k l a u s o n u o sąs iuv in ių ska ič iaus . Nus ip i rk tų sąs iuv in ių ska ič ių

p a ž y m ė k i m e r a i d e χ , o p i rk in io k a in ą ( k ap e ik o m is ) — r a id e y.

G a u s i m e :

i/ = 2 * + 35 ; čia χ — n a tū r in i s s k a ičiu s .

A b ie ju o s e p av y zd ž iu o s e s u s i d ū r ė m e s u f u n k c i jo m is , k u r io s iš -

r e i k š t o s f o r m u l e

y = kx+b (x

— n e p r i k l a u s o m a s k i n t a m a s i s ,

k

ir

b — s k a i č i a i ) . T o k io s f u n k c i j o s v a d i n a m o s t ies inėmis funkci jomis .

A p i b r ė ž i m a s . Tiesine funkcija va din am a funk cija, kurią

gal ima išreikšti formule y=kx + b, kurios χ — ne pr ik l ausom as

kintamasis , k ir b — skaičiai .

J e i g u b = 0 , t a i fo r m ulė y = kx + b v i r s ta tok ia : y = kx. Kai

k-Φ 0, š i a f o r m u le i š r e i š k i am as t i e s io g in i s p r o p o r c in g u m as . Ta ig i

t i e s i o g i n i s p r o p o r c i n g u m a s y r a t i e s i n ė s f u n k c i j o s a t s k i r a s a t -

ve j i s .

J e i g u f o r m u l ė j e y = kx + b v i e t o j k p a r a š y t u m e 0 , t a i g a u t u m e

y = 0x+b. V ad in as i , ka i 6 = 0 , fo rm ulė y = kx + b pas ike ič ia , jos

i š r a i š k a y r a t o k i a :

y = b.

F o r m u l e

y = b

i š r e ik š t a f u n k c i j a y r a t i e -

s inė. J i su v isomis χ re ikšmėmis tur i tą pačią re ikšmę.



Kartoj imo pratimai

309. I š s p ręsk i t e lyg t i s :

a ) 3 ( 0 ,9 * — 1 ) — ( * + 0 , 6 ) = — 0,2; b ) 7 - ( 3 , 1 - 0 ,1 « / ) = 3 - 0 , 2 y .

3 10 . Su k u r i o m i s n a t ū r i n ė m i s n r e i k šm ė m i s :

j .

ι Q

a ) t a i s y k l i n g o j i t r u p m e n a ;

η

b ) — n e t a i s y k l i n g o j i t r u p m e n a ?

311 . Ar fo rmule y= —2x

2

+ 3x

i š r e i k š t o s f u n k c i j o s g r a f i k a s e i -

na pe r t a šką :

a ) / 4 ( - 1 ; - 5 ) ; b ) B(2; 2 ) ; c) C ( 3 ; - 9 ) ?

1 7. T I E S I N Ė S F U N K C I J O S G R A F I K A S

T i e s i n ė f u n k c i j a y = kx+b, k a i 6 = 0 ir 0 , y r a t ie s io g i n i s

p r o p o r c i n g u m a s . Ka i p ž i n o m a , š i u o a t v e j u f u n k c i j o s g r a f i k a s y r a

t i e sė . N ub ra iž yk i t e g ra f ik ą t i e s inės funk c i jo s , ku r i nėra t i e s io -

g i n i s p r o p o r c i n g u m a s , p a v y z d ž i u i , f u n k c i j o s / = 0 , 5 * - 2 . T a m

su d a r y k i m e l e n t e l ę :

X

- 6 - 4 - 2 0

2 4 6 8

У

- 5

- 4

- 3

- 2

- I

0

1

2

K o o r d i n a č i ų p l o k š t u m o j e ( 28 p a v . ) p a ž y m ė k i m e t a šk u s , k u r i ų

koord ina tės pa te ik tos l en te lė je . Vis i š i e t a ška i y ra v ieno je t i e sė je .

S i t ie s ė (2 9 p a v . ) — t i e s i n ė s f u n k c i j o s / = 0 ,5 * — 2 g r a f i k a s .

A p s k r i t a i

tiesinės funkcijos grafikas yra tiesė.

У

4

i.

-6

—

4

0

2

4 6

8

X

л

, P

V

1

I

1 «

i

1 «

2 8 p a v .

У

4

2

в

- 4

- 2

0

6 8 X

2

£

2

£

—

2

£

—

2

£

e

L

2 9 p a v .



N o r i n t n u b r a i ž y t i t i e s in ė s f u n k c i j o s g r a f i k ą , p a k a n k a r a s t i

dv i e j ų j o t a š kų koo r d i na t e s , pa ž ymėt i t uos t a š kus koo r d i na č i ų

p lokš tumoje i r pe r juos nubrėž t i t i e sę .

1 p a v y z d y s . N u b rėž k im e f u n kc i j os t/ = 2x + 3 g r a f ik ą.

F u nk c i j a y = 2 x + 3 y r a t i e s inė , t odė l j o s g r a f i ka s — t ie s ė. T a i -

ky da m i fo rm ulę t/ = 2x +

3,

r a s k i m e d v i e j ų t a š k ų k o o r d i n a t e s :

X — — 2, 1/ = 2 . ( - 2 ) + 3 = - 1 ;

x = l , y=2 · 1 + 3 = 5 .

P a ž y m ė k i m e t a š k u s A( — 2 ; —1) ir 5 ( 1 ; 5 ) . P e r š iuos t a šk u s

nu brėžk im e t i e sę (30 pa v . ) . T ie sė AB y r a f u n k c i j o s y=2x+3

g r a f i ka s .

2 p a v y z d y s . N u b rėž kim e t i e sin ės f un k c i jo s y = - 0 , 8 x - F 1

g r a f i ką .

B r a i ž a n t t i e s i nės f unkc i j o s g r a f i ką , v i e nu j o t a š ku pa t ogu

pa s i r in k t i g r a f i ko ir y a š i e s sus ik i r t imo t a š ką , t . y . t a š ką , ku r io

absc isė 0 .

R a s k i m e ko o r d i na t e s g r a f i ko t a š kų , a t i t i nka n č i ų x = 0 ir x = 5 :

jc = 0, y = — 0,8 - 0 + 1 = 1;

x = 5 , 1 / = - 0 , 8 - 5 + 1 = - 3 .

Pa žy m ėkim e t a š ku s Ai (0 ; 1) ir K (5 ; —3) ir nu brėžk im e pe r

juos t iesę (31 pav. ) . T iesė M K y r a t i e s i nės f unkc i j o s y=— 0 , 8 x+ l

g r a f i ka s .

3 p a v y z d y s . N ub ra iž y kim e f u n k c i j o s

y= —

4 g r a f i k ą .

S i f un kc i j a y r a t ie s i nė, ne s f o r m u l ę i / = — 4 ga l i m a pa r a š y t i

t a i p : y = 0x— 4. Kiekv ieną

χ

r e ikšmę a t i t i nka t a pa t i y r e ikšmė,

lyg i

—

4 . P a ž ymėk i me ku r i uos no r s du t a š kus , ku r i ų o r d i na t ė — 4,

pavyzdž iui , (0 ; —4) i r (2 ; —4) . Nubrėžkime per juos t iesę

( 32 pa v . ) . G a us i me t i e s i nės f unkc i j o s

y=—

4 g r a f i ką .

3 0 p a v . 3 1 p a v .

3 2 p a v .



3 1 2 . Nu b r a i ž y k i t e f u n k c i j o s g r a f i k ą :

a ) i / = - 2 x + l ; c)

y =

3 * - 4 ;

b ) y = 0 , 2 * + 5 ; d ) 1 / = - 0 , 6 * - 1 , 5 .

Kur iame ta ške š i s g ra f ikas ke r ta o rd inač ių ašį?

3 1 3 . Nu b r a i ž y k i t e f u n k c i j o s g r a f i k ą :

a )

y = Sx+ 2;

c) t/ = 0 , 3 * - 5 ;

b )

y=-3x +

2; d )

y=

—0,3*—5.

314 . To je pač io je koord inač ių s i s t emoje nubra ižyk i t e funkc i jų

g r a f i k u s :

a ) i / = l , 2 * ir y = 1,2* — 3; b)

y=—χ

ir y = — * + 3 ,5 .

315.

N u b r a i ž y k i t e t i e s i n ė s f u n k c i j o s

y= —

1,5* + 3 g ra f i k ą.

Remdamies i juo , suž inok i te : a ) kok ia y r e ikšmė a t i t inka * r e ikš -

mę, lygią —2,5; 3 ,5; b) kokią * reikšmę at i t inka y reikšmė, lygi

—

4 ,5 ; 0 ,5; c ) su k ur io m is * re i kš m ėmi s y re ik šm ės yra te i g i am os

ir su ku r iom is — ne ig iam os .

3 16 . N u b r a i ž y k i t e ti e s i n ės f u n k c i j o s t / = l , 5 * + 4 g r a f i k ą . R e m -

damiesi juo , rask i te : a ) y re ikšmę, kur i a t i t inka * re ikšmę, lyg ią

— 3 ,5; 1 ,5; b) * reik šm ę, ku rią at i t i nk a y reik šm ė, lygi —0,5;

4 ,5 . Su k u r iom is * r e ik šm ėmis y r e ikšm ės y ra t e ig iam os ir su

k u r i o m i s — n e i g i a m o s ?

3 17 . Pa s i r i n k ę m a s t e l į (* a š y j e — 1 c m l y g u s v i e n a m v i e n e -

t u i, y a š y j e — 1 c m ly g u s 10 v i e n e t ų ) , n u b r a i ž y k i t e f u n k c i j o s

y= — 10*+40 g ra f ik ą . R em da m ies i juo , r a s k i t e : a ) y r e ikšmę ,

kuri a t i t inka * reikšmę, lygią —2,5; 0 ,8; 3 ,5; b) * reikšmę, kurią

a t i t inka y re ikšmė, lyg i 70 ; —10; —30; c) su kur iomis * re ikš-

mėmis y re ikšmė lygi nu l iu i , d idesnė už nulį , mažesnė už nulį .

3 1 8 . Nu s i b r a i ž ę f u n k c i j o s

y=—

3* + 6 g ra f ik ą , n us ta ty k i t e , su

k u r i o m i s * r e i k šm ė m i s : a )

y

= 0; b)

y>

0; c)

y<0.

3 1 9. Nu b r a i ž y k i t e f u n k c i j o s

y = 2x —

4 gr af ik ą ir ra sk i te , su

k u r i o m i s * r e i k šm ė m i s : a )

y =

0; b) г/,>0; c)

y<0.

320. N u b r a i ž y k i te f u n k c i j o s

y=

2*

—5

gr af ik ą . P a g a l jį su-

ž inok i te , ka ip k in ta

y,

kai * didėja: a) nuo —4 iki 0; b) nuo 0

iki 6.

3 21 . Fu n k c i j a i š r e i k š t a f o r m u l e

y=

— 1,2* +

4.

Ka i p k i n t a

y,

k in tan t a r gu m en tu i : a ) nu o —5 ik i 1; b ) n uo 2 ik i 5? A tsak yk i te ,

r e m d a m i e s i g r a f i k u .

3 22 . V i e n o j e k o o r d i n a č i ų p l o k š t u m o j e n u b r a i ž y k i t e š i ų f u n k -

c i j ų g r a f i k u s :

y =

6 ;

y =

3,2;

y=-

1; г/= - 5 ;

y

=

0.



323. N ubra ižyk i t e š ių fun kc i jų g ra f ik us : < /= — 2; y = — 1,9;

i/= 1,6;

y = 7.

324. Į baką su p i l t a s van du o , ku r io t em pe ra tū r a 10°C, buv o

ši ldomas ik i IOO

0

C. Kiekvieną m in ut ę jo tem pe ra tū ra k i lo 1 ,5 °C.

I š r e i k š k i t e fo rmu l e v a n d e n s t e mp e ra t ū ro s y p r i k l a u s o my b ę n u o

š i ldymo l a iko x . Nubra ižyk i t e š io s p r ik l ausomybės g ra f iką . Pa -

ga l j j r a sk i t e : a ) kok ia vandens t empera tū ra buvo po 5 min , po

10 min nuo š i ldymo pradžios ; b ) per k iek la iko vanduo suš i lo

iki 85 °C .

3 2 5 . Ne n u b ra i ž ę fu n k c i j o s y = 1,2* —7 g ra f iko , nus t a tyk i t e , a r

eis j is per tašką:

a ) A (10 0; 11 3 ); b ) B ( - 1 5 ; - 2 5 ) ; c ) C ( - 1 0 ; 5 ) ; d ) £ >(3 00; 3 5 3 ) .

Ka r t o j i mo p ra t i ma i

326 . Išspręsk i te lyg t i s :

a) 3,7x —2 = — 2jc + 3,13; c) - 2 7 x = 5 - 5 4 x ;

b ) 4 , 2 * +

8

= 8

—

7*; d)

1

= 0 , 4 * - 2 , 5 .


а) -1

į + j - 6 ; b ) 7 + 2 4 2 4 : ( 1 1 ,8 + 0 , 2 ) + 2 ,3 .

328. Au tomob i l ių pa rk e i š p ra dž ių buvo sunkvež im ių 1,5 ka r to

daug iau negu l engvų jų au tomob i l ių . Po to , ka i pa rkas gavo da r

45 l eng vu os iu s au tom ob i l iu s , o 12 sunk vež im ių a t id av ė še f uo -

j a m a m k o lū k iu i , j a m e b u v o 17 l e n g v ų j ų a u t o m o b i l i ų d a u g i a u

neg u su nkv ež im ių . Kiek i š v i so au tom ob i l ių bu vo au tom ob i l ių

pa rke?

1 8 . T I E S I N I Ų F U N K C I J Ų G R A F I K Ų T A R P U S A V I O P A D Ė T I S

Dvie jų t i e s in ių funkc i jų g ra f ika i y ra t i e sės , ku r ios a rba sus i -

ke r t a , a rba y ra lyg iag reč ios . Kiekv ieną t i e s inę funkc i ją ga l ima

i š re ikš t i t ok ia fo rmule : y = kx+b. T ies in ių fun kc i jų g ra f ikų t a r -

p u s a v i o p a d ė t i s p r i k l a u s o n u o k ir b re ikšmių .

I š n a g r i n ė k i m e g r a f i k u s f o r m u l ė m i s

y = 0,9x—

1

ir

į

/

= 0 , 8

x

+ 1

išre ikš tų t ies in ių fu nk ci jų , kur ių k oef ic ien ta i k yra sk i r t ing i

(33 pav . ) . I š s i a i šk ink ime , a r sus ike r t a š i e g ra f ika i . Je igu funk-

c i jų g ra f ika i sus ike r t a , t a i j i e t u r i bendrą t a šką . S iuo a tve ju bus

tokia χ re ikšmė, kur ią a t i t inka ab ie jų funkci jų ta pa t i y re ikšmė.



3 5 p a v .

[ ro d y s i me t a i . Sa k y k i me ,

y

=

k

{

x+b

x

ir

y = k

2

x + b

2

->• dv i sk ir-

t i n g o s t i e s i n ė s fu n k c i j o s . Ka d i š s i a i š k i n t u me j ų g r a f i k ų t a rp u s a -

v i o pa dėtį, su da ry ki m e lyg tį

k\x + b\=k

2

x + b

2

.

Per tva rkyk ime š ią lyg tį :

k\X—k

2

Xt=b

2

— b\,

(k

x

— k

2

) x = b

2

— b\.

Gavome t ies inę lyg tį . Je igu k \ φ ί ι

2

, t a i lygt i s tur i v i en in te lę

šaknį . S iuo a tve ju funkc i jų g ra f ika i sus ike r t a .

Je ig u ki = k

2

ir Ь \Ф Ь

2

, t a i lygt i s ne tur i š a k n ų . S i u o a t v e j u

fu n k c i j ų g r a f i k a i y r a l y g i a g re t ū s .

Iš to , ką įrodėme, i šp laukia , kad k iekvienos t ies inės funkci jos

y = kx + b, ka i 6=7^0 , g ra f ikas y ra lyg iag re tus t i e s iog in io p ropor -

c ingumo, ku r io toks pa t s koe f i c i en tas k , g ra f iku i (35 pav . ) . I š

čia aišk u, ka d kam pa s, kurį su-

d a ro t i e s i n ė s fu n k c i j o s y=kx + b

gra f ikas i r χ aš i s , t a ip pa t p r i -

k lauso nuo koef ic ien to k . Todėl

f o r m u l ė s y = kx + b ska ič ius k

v a d i n a m a s t iesės krypties koefi -

c ien tu .

36 pave iks l e pava izduo tos t i e -

s ė s — fo rmu l ė mi s y = kx + b iš-

r e i k š t ų t i e s i n i ų fu n k c i j ų g r a f i k a i .

Jų koe f i c i en to к re ikšmė yra ta

pat i , o

b

r e i k š mė s s k i r t i n g o s .

36 pav.



Visos š io s t i e sės y ra lyg iag re -

čios.

3 7 p a v e i k s l e p a v a i z d u o t o s t i e -

s ė s — f o r m u l ė m i s

y=kx + b

iš-

r e i k š t ų t i e s i n i ų f u n k c i j ų g r a f i -

kai . Jų

b

r e ikšmė ta pa t i ,

k

r e ikš -

mės sk i r t ingos . Visos š ios t ie -

sės sus ike r ta v iename y aš ie s

ta ške .

k i to a tžv i lg iu š ių funkc i jų g ra -

d)

y = -Ax

ir

y=— Ax-

5;

e)

y = 3x+\

ir

y=—

4 x + l ;

f )

y=\2x

ir z / = - 8 x ?

330 . T ies inės fun kc i jo s i š r e ikš to s š iom is fo rm ulėm is : y =

= - I O x + 1 3 ,

y = 3,7x—

13,

y=

—8

—

10x,

y=-

3,6x-8,

y =

3,6x + 8,

y=—

3 ,6x. I šva rdy k i te fun kc i j a s , ku r ių g ra f ika i y ra v ienas k i t am

l y g i a g r e t ū s . Pa sa k y k i t e dv i f u n k c i j a s , k u r i ų g r a f i k a i su s i k e r t a .

3 31 . Fu n k c i j o s i š r e i k š t o s š i o m i s f o r m u l ė m i s :

y= —

l ,5 x + 6,

г /=1 ,5х

—6, г/

= 0,5х + 4,

J/

= 0,5 x, y = 3 + l , 5 x . I šv a r d y k i t e t a s f u n k -

c i j a s , k u r i ų g r a f i k a i :

a ) l y g i a g r e t ū s f u n k c i j o s i/ = 0 , 5 x + 1 0 g r a f i k u i ;

b ) k e r t a f u n k c i j o s

y= —

l ,5x g ra f ik ą .

332. D uo ta t i e s in ė fu nk c i j a

г/ = 2,5х + 4.

I š r e i k šk i t e f o r m u l e

kok ią no r s t i e s inę funk c i ją , ku r io s g ra f i ka s :

a ) l y g i a g r e t u s d u o t o s f u n k c i j o s g r a f i k u i ;

b ) k e r t a d u o t o s f u n k c i j o s g r a f i k ą .

3 3 3 . I š r e i k šk i t e f o r m u l ė m i s d v i t i e s i n e s f u n k c i j a s , k u r i ų g r a -

f ika i : a ) lyg i ag re t ūs ; b ) s us i ke r ta .

3 3 4. Fu n k c i j a i š r e i k š t a f o r m u l e

y = kx+

6. Su ku r ia

k

r e ikš -

m e š i o s f u n k c i j o s g r a f i k a s y r a l y g i a g r e t u s g r a f i k u i f u n k c i j o s :

a )

y

= — 3 x + 7 ; c) t/ = x + 3 , 7 ; e )

y =

8x;

b ) i / = I O O x - 1 ; d )

y=-χ +

9; f)

y=

- 5 ?

y

"у

t-

W

л

"у

f

v \

W

л

/

л

W

л

9ЧХ

V

Jį

7

2

4

X

f

• 2

/

• 2

/

i

/

37 pav.

329. Ka ip i šs idėstę .v ienas

f ikai :

a) y = Tχ — Α ir

t/

= 7x + 8;

b)

y=

10x + 8 ir

y=

— 10x + 6;

c)

y = 3x—

5 ir

y=—

6 x + l ;



335 . Su ku r iomis

k

r e i k š m ė m i s f u n k c i j o s

y = kx—

1 2 g r a f i k a s

k e r t a g r a f i k ą f u n k c i j o s :

a ) y = 4 x - 7 ; b ) i / = - 6 x + 29.

3 3 6. T i e s i n ė f u n k c i j a i š r e i k š t a f o r m u l e

y = kx —

9. Su k ur ia

k

r e i k š m e š i o s f u n k c i j o s g r a f i k a s y r a l y g i a g r e t u s f u n k c i j o s

y —

= 8 ,8x —7 gr af ik ui ir su ku r ia k r e i k š m e j j k e r t a ?

3 3 7 . F u n k c i j a i š r e i k š t a f o r m u l e y=kx + 3 . S u k u r i o m i s k r e i k š -

m ė m i s š i o s f u n k c i j o s g r a f i k a s : a ) l y g i a g r e t u s χ a š i a i ; b ) ke r t a

χ

aš j ?

3 3 8. V i e n o j e k o o r d i n a č i ų s i s t e m o j e n u b r a i ž y k i t e š ių f u n k c i j ų

g r a f i k u s :

a ) i / = - x + 6,

y=-x-

1,5,

y=-x, \j=-x-

3;

b ) i / = x + 2 ,5 ,

y=

— x + 2 , 5 ,

y =

2,5,

y =

0,5x + 2,5.

3 39 . V i e n o j e k o o r d i n a č i ų s i s t e m o j e n u b r a i ž y k i t e š i o m i s f o r -

m u l ė m i s i š r e i k š t ų f u n k c i j ų g r a f i k u s :

a )

y = 3x+b,

k a i 6 = 1 , 2 ; - 4 ; 0 ;

b )

y = kx-

2, ka i At= 1; - 1 ; 0 ,4 .

3 4 0. R a s k i t e ši ų f u n k c i j ų g r a f i k ų s u s i k i r t i m o t a š k ų k o o r d i -

n a t e s :

a )

y=

10x —8 ir

y=

— 3 x + 5 ; d )

y = 37x-S

ir t / = 2 5 x + 4 ;

b)

y=

1 4 - 2 , 5 x i r

y =

l,5x— 18; e)

y= Ux

ir i/ = x + 2 6 ;

c)

y

= 20x — 70 ir

y =

70x + 30; f)

y=-

5x+16 ir

y=-%.

3 4 1 . A r s u s i k e r t a š ių f u n k c i j ų g r a f i k a i :

a ) ( /=

—

6x + 9 ir

y—1χ

—

Ί

\ c ) t/ = 0 , 2 x - 9 ir

y=

4 x + l ;

b) I / = - 0 , 5 x + 2 ir Į

/ = 2,5

X

— 10; d)

y=x

ir y = - 3 x + 3 ,6?

R a s k i t e s u s i k e r t a n č i ų g r a f i k ų s u s i k i r t i m o t a š k o k o o r d i n a t e s .


3 4 2 . A r t e i s i n g a p r o p o r c i j a :

a ) 1 6 , 8 : 4 , 8 = 1 9 , 6 : 5 , 6 ; b) 3 , 4 : 8 , 5 = 9 , 5 : 2 2 , 8 ?

343 . I š sp ręsk i t e l yg t i s :

> K2 .«

2

ι

8

=

0 7

a

> 3 ,6 '4 ,2 ' ' 0 . 5 * '



355. S ta čiak am p io i lg is su t in ka su jo p ločiu ta ip , ka ip 7 : 2 ,

o pe r ime t r a s lygus 3 ,6 dm. Kiek dec ime t rų s t ač iakampio i lg i s

didesnis už plotį?

356 . Už r an kr aš č io pe r r a šy m ą t rys m aš in ink ės , d i rbus ios tuo

pač iu me tu , gavo 57 rub . P i rmoj i maš in inkė pe r va landą pe r r a šė

8 p u s l a p i u s , a n t r o j i 6 , o tr e či o ji — 5. K a ip j o s t u r i p a s i d a l y t i

p i n i gus ?

357 . V e r da n t a g r a s t ų uog i e nę , v i e na m k i l og r a m u i uog ų de -

da m a 1,5 kg cu kra us ir — s t ik l inės va nd en s . Se im in ink ė , v i rdam a

uogienę , suva r to jo 6 kg cukraus . K iek j i t u rė jo dė t i ag ra s tų i r

k i e k — va nde ns ?

358 . V ien as bu te l i s p r ip i l t a s ž iba lo , o k i t a s — benz ino . 2 ib a lo

m as ė lygi b en z in o m ase i . 1 1 ž iba lo m as ė lygi 800 g , o 1 1 ben -

zino m as ė 710 g. K ur is sk ys t is už im a d ide sn į tūrį ir kiek k ar tų

didesnį?

359 . Ru ošd am ies i žyg iu i , p ion ie r i a i n um a tė kas d i eną nuk e -

l iaut i 12 km. Bet oras buvo blogas , i r j i e nue idavo kas d ieną

4 km maž iau . K iek ka r tų i l g i au už t ruko p ion ie r i a i žygy je?

360 . S t a č i a ka m pi o g r e t a s i e n i o i l g is buvo pa d i d i n t a s du ka r -

tus , o p lo t i s — t r i s ka r tu s . Kaip re ik ia pak e is t i jo a uk š t in ę, kad

g r e t a s i e n i o t ū r i s ne pa s i ke i s t ų?

361. Tą pa tį a t s t um ą ke le iv in is t r a uk in y s nu va ž iu oj a per 3 h ,

o p r ek in i s t r a uk in ys — pe r 5 h . T ra uk in ia i i švyko i š dv ie jų mies -

tų tuo pačiu metu vienas pr ieša is k i tą . Kai j ie sus i t iko , ke le iv i -

n i s t r a uk in ys bu vo nu va ž ia vęs 180 km. Kiek k i lom e t rų buvo nu -

va ž i a vęs p r e k i n i s t r a uk i nys ? K oks a t s t uma s t a r p t ų m i e s t ų?

362. B r ig ad a p ag am in a 180 de ta l ių p er t iek la iko, k iek jo

sk i r i a m a pag a l p l a ną 150 de ta l ių pag am in t i . V yk dy dam a užd uo tį,

b r igada suga i šo 30 h . K iek va landų š i a i užduočia i įvykdyt i buvo

sk i r t a paga l p l aną?

363. P r i t a i kęs n au ją pe i lį, t ek in to j a s de ta l e i p ag am in t i su -

ga i š t a 1,2 ka r to maž iau l a iko . Todėl pe r pem a iną j i s p ag am in a

16 de t a l i ų da u g i a u . K ie k de t a l i ų p a g a m i nd a v o t e k i n t o j a s pe r

p a m a i n ą a n k s č i a u ?

5 paragrafas

364 . V ieno k ub in io cen t im e t ro gy vs id ab r io m asė lyg i 13 ,6 g .

V cm

3

gyvs idabr io masė lyg i m g . I š r e ikšk i t e f o rmule p r ik l auso-

mybę: a ) m nuo V\ b) V n u o m.



3 6 5 . P a d a l i j u s n a tū r in į s k a ičių n i š 5 , g a u n am as d a lm u o k

i r l i ekana 3 . I š re ikšk i te fo rmule p r ik lausomybę n nuo k .

3 6 6. N o r in t r a s t i t a m t i k r o s f u n k c i jo s r e ik š m ę , r e ik i a a r g u -

m en to r e ik š m ę s u m až in t i 3 ,7 v i en e to ir g a u t ą r ezu l t a tą p a d a u -

g in t i i š 1,2. I š r e ik š k i t e f o r m u le š ią f u n k c i j ą . P ag a l f o r m u lę r a s -

k i te fu nk c i jo s r e ikšm ę, ka i a r g um en to re ik šm ė lyg i 0 ,7 ; 1 ,2 ;

4,4; 5.

3 67 . F u n k c i j a i š r e i k š t a f o r m u l e y=— 0,5(8 — x). U žp i ld y k i t e

a t i t i n k a m ų

χ ir y

reikšmių Lentelę:

X

- 1 , 4

2,6

8.8

У

- 3 , 4

- 1 , 8

2,4

3 6 8 . P a d a l i j u s

s k a ič ių y i š s k a ič i au s x , g au n am as d a lm u o 5

ir l i ek an a 10. I š re ik šk i te fo rm ule k i n ta m ąjį y ka ip

χ

f u n k c i j ą .

K o k ia š io s f u n k c i jo s ap ib r ė ž im o s r it i s ? R as k i t e d vi p o r a s a t i t i n -

k a m ų χ

ir y

r e ik š m ių .

3 6 9 . Ta r p k am p o (mp) k r a š t i n i ų n u b r ė ž t a s s p i n d u l y s n t a ip ,

k a d Z (mn) =60°. I š r e ik š k i t e f o r m u le k i n t a m ą jį y k a ip

χ

f u n k c i j ą ,

k a i

Z (tip) =x°

ir

Z(mp)=y°.

K o k ia š io s f u n k c i jo s ap ib r ė ž im o

s r i t i s ?

3 7 0 . K o k ia ap ib r ė ž im o s r i t i s f u n k c i jo s , i š r e ik š to s f o r m u le :

а) b ) У = f

371 . T ur i s t a s

i šė jo i š tu r i s t inės bazės A ge lež inke l io s to t ies

B k r y p t im i . 3 8 p av e ik s l e p av a i zd u o ta s j o n u e i to k e l i o p r ik l au s o -

mybės nuo ke l ionės la iko g ra f ikas . Nus ta tyk i te : a ) k iek la iko

u ž t r u k o t u r i s t a s , e i d a m a s i š A į

Б ; b ) kokiu v id u t in iu

greič iu j i s

ė jo ; c ) k iek m inu č ių j i s su ga išo p i rm oje po i l s io v ie to je ir k iek —

an t r o j e ; d ) k i ek k i l o m e t r ų t u r i s t a s n u ė jo p e r p i r m ą ją v a l an d ą i r

k iek — per p ask u t in ę ; e ) per k iek la iko j i s n u ė jo p i rm uo s ius 8 km,

per k iek la iko — se ka nč iu s 8 km .

372 . 39 pav e iks le p av a iz du o t i g r a f ik a i rodo , ka ip k i to o ro

t e m p e r a t ū r a p e r t ą p a č ią p a r ą A r c h a n g e l s k e ir J a r o s l a v l y j e . K u -

r i u o l a i k u o r o t e m p e r a t ū r a : a ) b u v o v i e n o d a A r c h a n g e l s k e i r J a -

r o s l av ly j e ; b ) k i l o i r J a r o s l av ly j e , i r A r ch an g e l s k e ; c ) k r i t o i r

J a r o s l a v l y j e , i r A r c h a n g e l s k e ; d ) J a r o s l a v l y j e k i l o , o A r c h a n -

g e l s k e k r i t o ?



373. M eš ke r io t o ja s i šė jo iš na m ų ir pa t r a uk ė p r ie eže ro . C ia

j i s g au dė žuv i s po to su g r įžo į na m us . M ešk er io to jo nue i to ke l io

g r a f i k a s p a v a i z d u o t a s 4 0 p a v e i k s l e . Pa g a l g r a f i k ą su ž i n o k i t e :

a ) koks nuo to l i s nuo namų ik i eže ro ; b ) k iek va landų ė jo meš-

ke r io to jas ik i eže ro i r k iek va landų suga i šo g rįždamas ; c ) k iek

va landų j i s mešker io jo ; d ) k iek k i lomet rų j i s buvo nu to lęs nuo

n a m ų , p r a ė j u s 1 h n u o i šėj i m o ; e ) k ie k v a l a n d ų p r a ė j o n u o

i šė j imo , ka i mešker io to jas buvo nu to lęs nuo namų 6 km; f ) ko -

k iu v i du t in iu gre ič iu j i s ė jo pr ie eže ro ir kokiu — su gr įžo .

3 74 . N u s t a t a n t i n d e e sa n č i o

skysč io tū r io

V

p r i k l a u s o m y b ę

nuo jo lyg io aukšč io

h,

s u d a -

ry ta len te lė :

h, cm

3

6 9

12 15 18

V, /

1,2

3,1

5,6

9,7

14,7

21



40 pav.

41 pav .

N u b r a i ž y k i t e k i n t a m o j o

V

ka ip

Ii

fu nk c i j o s g r a f i ką . P a g a l jį

suž ino ki te : a ) k iek l i t rų skysčio buv o inde , ka i lyg io au kš t i s

siek ė 5 cm ; 10 cm ; b) ko ks b us sk ys čio l yg is in de , je ig u į jį

su pi ls im e 4 1; 10 1 sky sčio?

3 75 . N u b r a i ž y k i t e š i o m i s f o r m u l ė m i s i š r e i k š t ų f u n k c i j ų g r a -

f ikus :

a )

y=-L

( 1 0 - х ) , k ai - 2= = C x sC 1 2 ;

b) У = — (5 + x ), ka i - 1 0 < х < 4 ;

c)

y= (x—

1) ( x + 1), kai - 3 < x s S 3 ;

d ) i/ = 3x + x

2

, kai - 3 < x s į2 .

376. To je pač io je koo rd inač ių s i s t em oje nub ra iž yk i t e fun kc i jų

y = 2 —

0,5 x ir

y= —

1+0 ,5* g ra f iku s . Pa sa ky k i te kok ią no r s a r -

gu m en to r e ikšmę , su ku r ia : a ) p i rmos fun kc i jo s r e ikš m ė y ra

d ide snė už an t ro s funk c i jo s r e ikšm ę; b ) p i rmos funk c i jo s r e ikšm ė

m a ž e sn ė u ž a n t r o s f u n k c i j o s r e i k šm ę . Ar y r a to k i a a r g u m e n t o

re ikšmė , su ku r ia ab ie jų funkc i jų r e ikšmės y ra lyg ios?

377. 41 pave ik s le p lona l in i j a pav a iz du o t as p i rmos fun kc i jo s

g r a f i k a s , o s to r a l i n i j a — a n t r o s f u n k c i j o s g r a f i k a s . Su k u r i o m i s

a r g u m e n t o r e i k šm ė m i s p i rm o s f u n k c i j o s r e i k šm ė : a ) l y g i a n t r o s

fun kc i jo s r e ikšm ei ; b ) y ra d ide snė už an t ro s funk c i jo s r e ikšm ę;

c ) m a ž e sn ė u ž a n t r o s f u n k c i j o s r e i k šm ę ?

3 78 . T i e s i o g i n i s p r o p o r c i n g u m a s i š r e i k š t a s f o r m u l e

y=—

7,5x.

Rask i t e y r e ikšm es , ka i x =

—

12; 20; 44. Su ku rio m is

χ

reikšmė-,

mis y reikšmės lygios —1500; 1200?

379. Kokį a t s tu m ą y (k i lom et ra i s ) nu va ž iu os dv i r a t in i nk as

per

χ h, je ig u to ly g ia i

važ iuo s 15 km/h g re ič iu? N ub ra ižy k i t e

k i n t a m o j o y p r i k l a u s o m y b ė s n u o χ g r a f i k ą ( m a s t e l i s y a šy j e :



1 c m — 15 k m; * a š y j e : 1 c m — 1 h ) . R e m d a m i e s i g r a f i k u , a t s a -

kyk i t e į k l a us im us : a ) k i ek k i lom et rų nu važ iuo s dv i ra t in ink as

per 3 h ; per 3 h 40 min? b) per k iek la iko dvi ra t in inkas nuva-

ž iuos 50 km?

380. Pa s i r i nk ę a t i t i n ka m ą m as te lį, nubra i ž yk i t e š ių fun kc i jų

gr af ik us : a ) / /= 10 0* ; b) t/ = 0 ,02*.

381 . V ieno je koo rd inač ių p lokš tum oje schem iška i pav a izdu o-

k i t e fu n k c i j ų y = ax ir y = bx g ra f ikus , ka i :

a ) a > 0 ,

b>

0 ir

a>b\

b) a<0, b<0 i r | a | < | 6 Į .

382 . Su kur ia

a

r e i k š m e t a š k a s

A(a\

—1,4) pr ik la us o t ies io-

g i n i o p r o p o r c i n g u m o t/ = 3 ,5* g ra f iku i?

6 paragrafas

383. Ar formule i š re ikš ta funkci ja yra t ies inė :

4 * — 7

a

) У — 2 .

b)

y =

3 ( * + 8 ) ;

d) г/ = 2 (1 — 3*) + 7 (* — 3 ) ;

e) į/ = * ( 9 - * ) + *

2

;

f ) 1 / = 5 (3 + 4* ) — 4(5*— 1)?

) į / = * ( 6 — * ) ;

384 . F un kc i ja i š re ikš ta for m ule y = 0 ,2* — 4. Rask i t e funkc i jo s

re ikšmę, a t i t inkančią argumento re ikšmę, kur i lyg i —25; —12;

45 ; 60. Su k u r i a a r gu m en to re ikšm e f un kc i jo s re ikšm ė lyg i 0;

lyg i 1? Ar yra tok ia * re ikšm ė, su k ur ia : a ) fu nk ci jos re ikšm ė

l y g i a rg u m e n t o re i k š me i ; b ) f u n k c i j o s r e i k š mė p r i e š i n g a a rg u -

men to re ikšmei?

385 . Kin tamojo y p r ik l ausomybė nuo * y ra t i e s inė funkc i j a .

Užpi ldyki te len te lę :

a )

X

- 2

0

2 4

6

У

8 12

b)

X

1 0

0 10 3 0

У

1 5 5

6

15

386.

Len te lė j e pa t e ik tos ka i ku r ios a rgumen to re ikšmės i r j a s

a t i t i nkanč ios t i e s inės funkc i jo s re ikšmės .

X

1 2

3 4 5 6

7

У

Il 21

3 1

4 1

51 61

7 1

P a r i n k i t e fo rmulę , ku r i a ga l ima bū tų i š re ikš t i š ią funkc i ją .



387. Vienos v in ies masė lyg i 5 g , o tušč ios dėžės masė 400 g .

K o k i a m a s ė

m

( g r a m a i s ) d ėž ės , k u r i o j e y r a

χ

v i n i ų . Su d a r y k i t e

f o r m u l ę , i š r e i šk i a n č i ą

m

p r i k l a u s o m y b ę n u o

x.

Ar š i a fo rmule

i š r e ik š ta fu nk c i j a y ra t i e s inė?

3 8 8 . Nu b r a i ž y k i t e f o r m u l e

i/

= 0 ,5x + 3 i š r e ikš tos fun kc i jo s g r a -

f ik ą. P a g al ' jį ras ki te :

a ) y r e ikšm ę , ka i * = — 4 ; —1; 4 ;

b )

χ

r e ikšmę , ku r ią a t i t inka

y,

l y g u s — 2; — 0,5; 6;

c ) g ra f iko i r koord inač ių aš ių sus ik i r t imo ta škų koord ina tes ;

d ) lyg t i e s 0 ,5 * + 3 = 0 šak nį.

389 . Be brėžin io nu sta ty ki te , a r fo rm ule i / = 1 ,25* —5 i š r e ikš -

t o s f u n k c i j o s g r a f i k a s e i n a p e r t a šk ą :

a ) A f (1 2 ; 1 0); b) / ( ( - 2 0 ; - 3 0 ) ; c )

P(

3; 5 ) ; d ) Q ( 2 0 ; - 2 0 ) .

3 9 0. Fu n k c i j a i š r e i k š t a f o r m u l e

г / = - ^ - х + 3 , ka i — 4 < : * ίξ 8 .

Nu b r a i ž y k i t e š i o s f u n k c i j o s g r a f i k ą i r n u r o d y k i t e v i s a s sv e i k ą s i a s

re ikšmes , ku r ia s ga l i įgy t i š i funkc i j a .

391. Ba l ione da ba r y ra 1,8 kg skys to p ro pa no . D u j in ė v i ryk lė

k i e k v i e n ą v a l a n d ą j o su n a u d o j a 0 ,2 k g . Pa ž y m ė j ę r a i d e

m

m a s ę

( k i l o g r a m a i s ) p r o p a n o , k u r i s l i k s b a l i o n e p o

t

v a l a n d ų d e g i m o ,

p a r a š y k i t e m p r i k l a u s o m y b ė s n u o

t

f o r m u l ę i r n u s i b r a i ž y k i t e

g r a f i k ą . P a g a l jį n u s t a t y k i t e :

a) k iek k i logramų propano l iks ba l ione po 3 h ; po 5 h ; po

6 ,5 h degimo;

b) po ke l ių v a la n d ų ba l ion e l iks 1 ,5 kg prop an o; 1 k g pro -

pano ; 0 ,6 kg p ropano .

3 92 . G a r s o sk l i d i m o o r u g r e i t į

v,

p r i k l a u sa n t į n u o t e m p e r a -

t ū r o s

t,

g a l i m a a p y t i k s l i a i a p sk a i č i u o t i p a g a l f o r m u l ę u = 331 +

+

0,61;

čia v — g r e i t i s ( m e t r a i s p e r s e k u n d ę ) , / — t e m p e r a t ū r a

( C e l s i j a u s l a i p sn i a i s ) . R a sk i t e g r e i t į , k u r i u o sk l i n d a g a r sa s ž i e -

m ą , k a i t e m p e r a t ū r a l y g i — 3 5 ° C , ir v a sa r ą , k a i t e m p e r a t ū r a

+ 30 °C.

3 9 3. T i e s i n ė s f u n k c i j o s

y = kx+

1 g r a f i k a s l y g i a g r e t u s f u n k -

c i j o s i / = — 0 ,4 * g r a f i k u i . R a sk i t e k o e f i c i e n t o

k

r e i k šm ę i r n u s t a -

t y k i t e , a r p r i k l a u so š i a m g r a f i k u i t a šk a s Λ ί (50; — 19) .

394. I š r e i k šk i t e f o r m u l e ti e s i n ę f u n k c i j ą , k u r i o s g r a f i k a s y r a

t i e sė , e inan t i pe r t a šką

A(

2 ; 3 ) ir lyg iag re t i fu nk c i j o s

y=

1 ,5*—3

g r a f i k u i . Nu b r a i ž y k i t e j o s g r a f i k ą .



395 . T ie s inės fun kc i jos g r a f ik a s — t i e sė, ly g i ag re t i absc i s ių

aš ia i i r e inant i pe r ta šką Ai(5 ; 8) . I š re ikški te š ią funkc i ją for -

m ule .

396 . B e b rėž in io r a s k i t e t i e s in ių fu nk c i jų g r a f i kų sus ik i r t im o

t a š k o k o o r d i n a t e s :

a ) «/ = 4 x 4 9 ir y = 6 x - 5 ; c ) y= I O x - 7 i r y = 5;

b) y= 1 6 x - 7 i r y=21x4-8; d) y = 0 , lx ir y= 14.



III

S K Y R I U S

LAIPSNIS SU NATŪRIN IU RODIKL IU

§ 7 . L A I P S N I S I R J O S A V Y B Ė S

19 . L A I P S N I O S U N A T Ū R I N I U R O D I K L I U A P I B R Ė Ž I M A S

K e l i ų v i e n o d ų d a u g i n a m ų j ų s a n d a u g ą g a l i m a p a r a š y t i

l a i p s n i u . Pa v y z d ž i u i ,

5 · 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 = 5

7

.

R e i š k i n y s 5

7

s k a i t o m a s įv a i r i a i : „ P e n k i s e p t i n t u l a i p s n i u " ,

„ Sk a i č i a u s p e n k i s e p t i n t a s l a i p s n i s " , „ Sk a i č i a u s p e n k i l a i p s n i s ,

ku r io rod ik l i s sep tyn i " .

A p i b r ė ž i m a s . Sk aičiau s a laipsniu, kurio na tūr inis ro-

dikl i s n didesnis už 1 , vadinama sandauga n dauginamųjų, kurių

kiekvienas lygus a. Skaičiaus a laipsniu, kurio rodikl is 1, vadi-

namas pats skaič ius a .

S k a i č i a u s a l a ip sn i s su rod ik l iu n žymimas t a ip : a

n

. R e i š k i -

n y s α " v a d i n a m a s l a i p s n i u , s k a i či u s a — l a i p s n i o p a g r i n d u , s k a i -

č ius n — la ips n io rod ik l iu .

Pa g a l l a i p s n i o a p i b rė ž i mą :

α = α ,

α

2

= α α , α

3

= α α α ,

α

4

= α α α α .

B e n d r u a t v e j u

α

η

= αα . . .

a.

n ka r tu

L a i p s n i o r e i k š m ė s r a d i m a s v a d i n a m a s k ė l i m u l a i p s n i u . P a -

t e ik i ame kė l imo l a ipsn iu pavyzdž ių :

3

4

= 3 - 3 - 3 - 3 = 81; O

2

= O -O = O;

( - 6 ) 3 = ( - 6 ) - ( - 6 ) - ( - 6 ) = - 2 1 6 ; 9 ' = 9.

Ai šku , kad , pakė lus l a ip sn iu t e ig i amą ska ič ių , gaunamas t e i -

g i amas ska ič ius ; pakė lus l a ip sn iu nu lį , gaunamas nu l i s .



P a k ė l u s l a i p s n i u n e i g i a m ą s k a i č i ų , g a l i m a g a u t i t i e k t e i g i a -

m ą , t i e k n e i g i a m ą s k a i č i ų . P a v y z d ž i u i ,

(— 2 )

1

= — 2;

( - 2 )

2

= ( - 2 ) . ( - 2 ) = 4 ;

( - 2 ) 3 = ( - 2 ) - ( - 2 ) . ( - 2 ) = - 8 ;

(

—

2 )

4

= ( - 2 ) . ( - 2 ) . ( - 2 ) . ( - 2 ) = 16.

N e i g i a m o s k a i č i a u s l a i p s n i s s u l y g i n i u r o d i k l i u y r a t e i g i a m a s

s k a i č i u s : k a i n e i g i a m ų d a u g i n a m ų j ų s k a i č i u s y r a l y g i n i s , s a n -

d a u g a y r a t e i g i a m a . N e i g i a m o s k a i č i a u s l a i p s n i s s u n e l y g i n i u

r o d i k l i u y r a n e i g i a m a s s k a i č i u s : k a i n e i g i a m ų d a u g i n a m ų j ų s k a i -

č i u s y r a n e l y g i n i s , s a n d a u g a y r a n e i g i a m a .

K i e k v i e n o s k a i č i a u s k v a d r a t a s y r a t e i g i a m a s s k a i č i u s a r b a

n u li s , t . y . a

2

^ 0 s u b et k u r i u o

a.

A p s k a i č i u o k i m e k e l i ų r e i š k i n i ų , k u r i u o s e y r a l a i p s n i ų , r e i k š -

m e s .

1 p a v y z d y s . R as k im e r e i š k in io 4 - I O

3

r e i k š m ę :

1) IO

3

= I O - 1 0 · 1 0 = 1 0 0 0; 2 ) 4 - 1 0 00 = 4 0 00 .

V a d i n a s i , 4 - 1 0

3

= 400 0.

2 p a v y z d y s . A p sk a iči u ok im e r e i š kin io

—

2

6

+ ( — 3)

4

r e i k š -

mę:

1) 2

6

= 64; 3)

— 3)

4

= 81 ;

2 ) — 2®= — 64; 4 ) - 6 4 +

81

= 17.

V a d i n a s i, - 2

6

+ ( - 3 )

4

= 1 7 .

3 9 7. S a n d a u g ą p a r a š y k i t e l a i p s n i u :

a ) 0 , 9 - 0 , 9 - 0 , 9 ; f )

ccccccc;

b)

( - 6 ) . ( - 6 ) - ( - 6 ) . ( - 6 ) ; g ) y j r ^ j f ,

12 kartų

d

> ( - ) - ( - 4 ) - ( - 4 ) ' ( « - * > < « - * > ;

e ) 5 - 5 . . . . . 5 ;

k

)

*У)

Х

У) ху)

Х

У)

Х

У)·

25 kar tus

3 9 8. P a s a k y k i t e l a i p s n i o

pagr indą i r rodik lį :

a) 3 ,5

4

; b ) ( - 0 , 1 )

3

; c ) 8 0 4 ' ; d ) ( - 1 0 0 )

4

; e )

( - α ) · ; f )

x f .

R e m d a m i e s i l a i p s n i o

a p i b r ė ž i m u , l a i p s n į p a r a š y k i t e s a n d a u g a .



3 9 9. P a k e l k i t e l a i p s n i u :

a) 2<; c) δ*; e) ( - 7 , 8 )

2

; g ) ( | )

4

:

b) 4

2

; d ) 35; f ) ( - 1 , 5 ) 3 ;

h )

( - | )

5

.

400 .

A p s k a i č i u o k i t e l a i p s n i o r e i k š m ę :

a) 25

2

; c ) 7^; e) ( - 0 , 9 ) 3 ;

g )

( - į - )

5

;

b ) 8<; d ) 75; f ) < - 2 , 4 ) 2 ; h ) ( - | ) \

4 0 1 . U žp i ld y k i t e l en t e lę :

n

1

2 3

4

5

6 7

8

9

10

2 "

3 "

4 0 2 . I š r e ik š k i t e :

a ) k v a d ra tu sk a ič iu s 0 ,81 ; 0 ,16; 144 ; ; 1 | | ; 0 ,0004 ;

b ) k u b u s k a ič iu s 6 4 ; - 2 1 6 ; 0 , 0 0 8 ;

- щ ; 4 ^ .

403 . I š r e i k š k i t e k v a d r a t u a r b a k u b u š i u o s s k a i č i u s :

a ) 8; b ) 81; c ) 125; d ) 64; e ) 0,25; f ) 0,001; g)

з | ;

h )

4 0 4 . P a l y g i n k i t e :

a) 71

2

ir 0 ; c ) ( - 5 , 9 )

3

ir ( - 5 , 9 )

2

;

b ) ( - 2 5 )

3

ir 0 ; d ) ( - 2 , 3 )

1 2

ir ( - 8 , 6 )

1 9

.

4 0 5 . A t l i k i t e v e i k s m u s :

a ) 7 ·

5

2

;

c) ( - 0 , 4 )

3

; e ) - 3 - 2 * ;

b ) (7 - 5 )2 ; d ) - 0 . 4

3

; f ) - 6

2

- ( - 1 2 ) .

406 . A p s k a i č i u o k i t e r e i š k i n i ų r e i k š m e s :

a )

б

3

: 2; c ) ( - 0 , 1 )

4

; e ) 0 , 6 - ( - 2 )

4

;

b ) ( 6 : 2 ) 3 ;

d )

0 ,1

4

; f ) - 1 0 - ( - 0 , 2 )

3

.

407 .

A p s k a i č i u o k i t e :

a ) 9 . ( | / ; с) ( - 1 0 )

6

; е ) 4 . 5 3 ; g ) - 2 ^ - 1 5 ;

b ) ( 9 . - § · ) ' ; d ) - I O

6

; f ) - 5 - 2 * ; h ) 2 7 0 0 - ( - 0 , 1 )

3

.



408. At l ik i te ve iksmus:

a )

7^

+

33;

d ) 1 0 - 5 - 2 * ; g ) 5 - į · ( | )

4

+ 9 ;

b) 6

2

+ 8

2

; e) 2 · 3

4

— 3 · 2

4

; h ) 15 | · 0 , 4

3

+ ( - l )

e

;

c) (6 + 8 )

2

; f ) 2 ·

53

+ 5 - 2 3 ; j)

3

4 _

j . J

2

- I )

3

.

409 . Apska ič iuoki te :

a ) IO

2

— 3

2

; c ) - 6

2

- ( - l ) * ; e) 0,2 · 3

3

- 0 , 3 · 2

4

;

b ) ( 1 0 - 3 ) 2 ;

d

)

—

8

3

+ (— 3 )

3

; f) 8

·

0,5

3

+ 25 · 0 .2

2

.

410 . Ap ska ič iuok i t e r e i šk in ių r e ikšm es :

a) 8*

3

, k ai * = - 2 ; - 1 ; 0; 3; b) 7 0 - a

2

, k a i a = - 2 5 ; 1; 10.


a) 0,01

y\

ka i

y=-

2; 3; 10; b) 2c

2

+ 3, k a i c = — I I ; 0; 15.

412. Kam lygios re išk in ių re ikšmės:

a )

. χ

2

; — χ

2

; (

— JC

)

2

, k a i

J C =

9 ; — 6 ;

b )

x

3

\ - J C

A

; ( - J C

)

3

, k a i J = 4 ; - 3 ?

413. A pska ič iuok i t e r e i šk in io JC

5

+ Jc

4

+ JC

3

+ JC

+ jc re ikšm ę, ka i

J C = - 1 ; 0 ; 1 0 .

414 . Apska ič iuok i t e r e i šk in io

2x

4

— 5JC

3

+ *

2

+ 3 J C

+ 2 re ik šm ę, ka i

JC = 5; —5.

4 15 . S a n d a u g ą i š r e ik š k i t e l a ip s n i u , k u r i o p a g r i n d a s

a:

a )

a

3

a\

b)

α

4

α

2

; c) α

3

α

6

; d) α

2 0

α

1 2

.

416.

Pa a i šk ink i t e , kodė l su be t ku r iom is JC r e ikšm ėm is r e i š -

k in ių 4JC

2

ir ( A — 8 )

2

r e ikšm ės y r a nene ig iam i ska ič ia i .

417. Įrod yk ite , kad re i šk in ia i a

2

+ l ir 3 + ( 5

—

a)

2

įgyja t ik

t e i g i a m a s r e i k š m e s .

418 . Pe r ska i tyk i t e r e i šk in ius :

a ) JC +

ί/ )

2

; c )

(x-y)

2

·,

e ) ( x - i / )

3

;

b ) χ

2

+y

2

·, d) jc

2

- y

2

; f)

J C

3

+ Į /

3

.

419 . Pa ra šyk i t e :

a) skaičių

JC

ir 1 sum os k va dr a t ą ;

b) skaičių

a π b

k v a d r a t ų s u m ą ;

c ) ska ič iaus m kubo i r ska ič iaus n kvadra to sk i r tum ą;

d) skaičių

a

ir

b

k e t v i r t ų j ų l a i p s n i ų s a n d a u g ą .

C . A l g e b r a

б h i . 8 1



A p i b r ė ž i m a s . Kiekvieno skaič iau s, išskyru s nulį , nu l inis

la ipsnis lygus v ienetui .

P a v y z d ž i u i , 2 ° = 1 , ( - 3 , 5 ) ° = 1. R e i šk i n y s O

0

ne t u r i p r a s m ės .

D ab ar , ka i ap ibr ėžėm e nu l inį la ip snį, ga l im a ta ikyt i form ulę

am

a

n

=

a

m+n

i r tuo a tv e ju , ka i m = 0 a rb a

n =

0

(a Φ 0). Ta ip pa t

f o r m u l ė

a

m

: α

η

= α ™~

η

t a ik y t in a ir t a d a , ka i m = 0 a r ba

n = 0 ( a ^ = 0 ) .

424.

S a n d a u g ą i š r e ik š k i t e l a i p s n i u :

a ) X

5

X

8

;

c ) į / V ; e )

χ

9

* ; g ) 2 « · 2

4

;

b )

a

6

a

3

·,

d ) W

5

; f )

У У

и

\

h ) 7

5

· 7 .

425. S a n d a u g ą p a r a š y k i t e la i p s n i u :

a )

m

3

m

8

; c) c

7

c

12

; e )

aa

3

;

g ) 5

9

· 5

8

;

b ) x*x<; d ) P

3

P

1 1

; f ) b*b-, h ) 3

3

. 3

3

.

426. K ur i uo nor s bū du i š re ikšk i te la ip sn į dv ie jų to pa t ie s pa -

g r i n d o l a i p s n i ų s a n d a u g a :

a ) χ

1 0

; b ) у

1 5

; с) 2

1 2

; d ) 5

17

.

4 2 7. V i s a i s g a l i m a i s bū d a is i š re ik ški te re i šk inį x® dv ie jų to

p a t i e s p a g r i n d o l a i p s n i ų s a n d a u g a .

428 . I š r e i k š k i t e s a nda ugą l a i p s n i u :

a ) X

J

X

5

X

4

; C ) / T i f f l V m

s

; e ) IO

2

·

IO

3

·

IO

5

;

b ) y

3

y

2

y\ d ) P

i

P

3

PP', f )

429 . P a r a š yk i t e r e i š k i n i u s l a i p s n i u : .

a ) m

3

m

2

m

8

; c) xx*x

4

x; e) 7

8

- 7 - 7

4

;

b ) O

i

Ci

3

Ci

3

; d ) n

b

n n

3

n

6

\ f ) S - S

2

- S

3

- S

5

.

430 . I š r e ikšk i t e l a ipsn iu :

a ) 5

8

· 2 5 ; с) 6

1 5

- 36; e) 0 ,4

5

- 0 , 1 6 ;

b ) 3

1 2

· 27; d) 2«- 32; f ) 0 , 00 1- 0 ,1

4

.

431 .

I š r e i šk ę r e i šk inį l a ips n iu , pa ga l vad ov ėl io p r i e š l ap y j e pa -

t e ik tą ska ič iaus 2 l a ipsn ių l en te lę r a sk i t e jo r e ikšmę:

a ) 2

4

· 2; b) 2

e

- 4 ; c ) 8 · 2

7

; d ) 16 -3 2 .

432 . I š r e ik šk i t e r e i šk in į l a ipsn iu , kur io p ag r i n d as 3 , po to pa -

ga l vadovėl io p r i e š l apy je pa te ik tą ska ič iaus 3 l a ipsn ių l en te lę

a ps ka i č i uok i t e j o r e i k š mę :

a ) 3

a

- 3

5

; b ) 81 - 3« ; c ) 9 - 2 187; d ) 2 7 - 2 4 3 .



4 3 3. P a r a š y k i t e r e i š k i n į l a i p s n i u , k u r i o p a g r i n d a s c:

a) (c

4

)

2

; b) (c

2

)

4

.

434 . I š r e ikš k i t e da lm en į l a i ps n i u :

a ) :

χ

3

; c) a

2 1

: a ; e) c

1 2

: c

3

; g) 3

8

: 3

5

;

b )

y

10

:

Į

/

7

;

d ) 6

1 9

: b

1 8

; f) p

2 0

: p

1 0

; h ) 0 ,7

9

: 0,7«.

4 3 5 . P a d a l y k i t e :

a ) p

1 0

: p

B

; c) x

1 5

: x

4

; e) IO

1 6

: IO

12

;

b )

α

8

: a

4

; d ) y

9

: y; f) 2,3

1 β

: 2,3

7

.

4 3 6 . K u r i u o n o r s

b ū d u i š r e i k š k i t e l a i p s n į t o p a t i e s p a g r i n d o

l a i p s n i ų d a l m e n i u :

a ) c

2

; b )

χ

6

; c) 2

4

; d) 0,5

5

.

437 . A p s k a i č i u o k i t e r e i š k i n i ų r e i k š m e s :

a ) 5®: 5

4

; c ) 0 ,5

1 0

: 0,5

7

; e ) 2 , 73

1 2

: 2,73

1 2

;

b ) , 0 - , 0 - d ) ( 4 ) ' : ( , | ) · : 1) ( - 1 ) 4 ~ i f ·

4 3 8 . A p s k a i č i u o k i t e :

, . v 5 '

6

- 5

4

. . . 0 . 6

a

) 712

ι

D

) 35.36'

c

' 51« ·

a

I 0,6* 0,6

5

'


a )

X

n

X

3

-,

b )

a

3

a

m

;

c ) x x " ; d )

y

n

: y \

e ) c

9

: c

m

; f )

k

n

: k.

4 4 0 . A p s k a i č i u o k i t e :

a ) 7 ° + 3 · 2

5

; b ) ( 4 -2

1 0

)

0

; c) ( 8 ° - 2 - 3 )

3

; d ) - 4

2

- 1 2 · 6 ° .

4 41 · A p s k a i č i u o k i t e r e i š k i n i ų r e i k š m e s :

a ) 3x° , ka i x = 2 , 6 ; c ) 10a

2

b°, ka i a = - 3 , b = - 8 ;

b ) - 2 , 5 ( / ° , k a i

y=-

1|-; d ) 27 a°c

3

, k a i a = J - , c = - - j .

4 4 2 . A t l i k i t e v e i k s m u s :

a )

b

A

b°\

b )

c

5

:c

0

·,

c) a

4

a° ; d) x

3

: x°.


4 43 . N u b r a i ž y k i t e f o r m u l e </ = x —3 i š r e i k š t o s f u n k c i j o s g r a -

f iką . P a g a l jį r a sk i t e f u nk c i jo s r e ikšm es , ka i x = 4 ir x = 6 . K a ip

p a s i k e i s f u n k c i j o s r e i k š m ė , k a i χ padidės nuo 4 ik i 6?



444 . A r p r i k l aus o f o r mule y=x

3

—

3x

2

i š r e i k š t o s f u n k c i j o s g r a -

f i k u i t a š k a s A 7; 196) ; t a š kas Я ( - 5 ; - 2 0 0 ) ?

445. 40 cm

3

tū r io gran i to lu i to masė lyg i 108 g . Kokia masė

gran i to lu i to , kur io tū r i s 35 cm

3

d ides n i s ?

2 1 . S A N D A U G O S I R L A I P S N I O K Ė L I M A S L A I P S N I U

R ei š k inys (

a b

)

4

y r a d a u g i n a m ų j ų

a

ir

b

s a n d a u g o s l a i p s n is .

Šį reišk inį ga l im a iš reik š t i la ips nių

a

ir

b

s a n d a u g a :

(ab)*= (ab)-(ab)-(ab)-(ab) =ab •ab • ab · ab =

= (aaaa)-(bbbb)=a<b<.

V a d i n a s i ,

(ab)

Ą

=

a<b

Ą

.

M a t o m e , k a d s a n d a u g o s

ab

k e t v i r t a s l a i p s n i s l y g u s d a u g i n a -

m ų j ų a ir b k e t v i r t ų j ų l a i p s n i ų s a n d a u g a i .

Į rodys ime, kad su kiekviena a ir b reikšme ir su bet kuriuo

natūriniu skaičiumi n

(ab)

n

= a

n

b

n

.

P a g a l l a i p s n i o a p i b r ė ž i m ą

(ab) = (ab)-(ab) ·.. .-(ab).

n k a r tų

A t s k i r a i s u g r u p a v ę d a u g i n a m u o s i u s a i r d a u g i n a m u o s i u s b,

g a u s i m e :

(ab)-(ab)·...-(ab) = (aa ... a)-(bb ...b).

n k a r t ų n k a r t ų n k a r t ų

R e m d a m i e s i l a i p s n i o a p i b r ė ž i m u , g a u n a m e :

(aa ...a)· (b b ... b) = a

n

b

n

.

n k a r tų n k a r t ų

V a d i n a s i ,

(ab)

n

= a

n

b

n

.

L y g y b e (ab)

n

—

a

n

b

n

i š r e ik š tą s a n da u g os l a ip s n io t a i s yk lę ga -

l i m a t a i k y t i t r i j ų i r d a u g i a u d a u g i n a m ų j ų s a n d a u g o s l a i p s n i u i .

P a v y z d ž i u i ,

(2yz)

5

=2

5

ų

5

z

5

=32y^z

5

.

I š to i šp laukia t a i syk lė :

keliant sandau gą laipsniu, keliamas

tuo pačiu laipsniu kiekvienas dauginamasis ir gauti rezultatai

sudauginami.



R e i š k i n y s ( α

5

)

3

y r a l a i p sn i s , k u r i o p a t s p a g r i n d a s — l a i p sn i s .

Šį re i šk in į ga l im a i š re ikš t i l a ip sn iu , ku r io p a g r i n d a s

a:

( a

5

)

3

= a

5

a

5

a

5

™ a

5 + 5 + 5

= a

1 5

.

L ai p sn į a

5

pa kė l ę t r e č i uo j u l a i p sn i u , ga vom e t o pa t i e s pa -

gr indo l a ipsnį , kur io rod ik l i s lygus rod ik l ių 5 i r 3 sandauga i .

Į rodys ime , kad

su kiekvienu skaičiumi a ir su bet kuriais na-

tūriniais skaičiais m ir n

(a

m

)

n

=a

mn

.

P a g a l l a i p s n i o a p i b r ė ž i m ą

(a

m

)

n

= a

m

a

m

... a

m

.

n k a r t ų

P a g a l p a g r i n d i n ę l a i p s n i o s a v y b ę

n k a r t ų

QTHQm Qm

—

д т+ п Н · · . . +m

n k a r t ų

S u m ą

m + m +.. . + m

p a k e i s k i m e s a n d a u g a

mn.

G a u s i m e :

n k a r t ų

n k a r t ų

д т + т + . . . + m _

Qmn

V a d i n a s i ,

(a

m

);

n

= a'

nn

.

L ygybę (

a

m

)

n

= a

mn

n u s a k o t a i s y k l ė :

keliant laipsnį laipsniu,

laipsnio pagrindas lieka tas pats, o rodikliai sudaug inami.

F o r m u l ė m i s (

a b )

n

= a

H

b

n

ir

(a

m

)

n

= a

mn

i š r e i k š t a s l a i p sn i ų

sa vybe s ga l i m a t a i ky t i i r l a i p sn i a m s , ku r i ų rod i k l i s y r a nu l i s

( j e i g u p a g r i n d a s n e l y g u s n u l i u i ) .

446 . Pa ke l k i t e l a i p sn i u :

a ) (

x y

)« ; c ) (2x )

3

; e ) ( - 5 x « / )

3

; g ) ( - 0 , 2

x y ) \

b) (a b c )

5

; d) (3afc)

2

; f ) ( - I O a f e c )

2

; h) ( - 0 , 5 M )

3

.

447 . Pa ke l k i t e l a i p sn i u :

a) ( m n ) ' ; c) ( - 3 y ) \ e) ( IO x

i

/ )

2

;

b ) (xyz)

2

; d ) ( — 2ax)

3

; f) ( - 2 a b x ) \

448. A pska i č iuok i t e re i šk i n i ų r e i k šm e s :

a ) ( 2 - I O )

3

; b) (3 - IOO)

4

.



463. Pa ra šy k i t e r e i šk in ius l a ipsn iu ,

k u r i o p a g r i n d a s a

a) (a

2

)*; c) ( a

5

)

2

- ( a

2

)

2

; e) (a

3

a

3

)

2

;

b) a

3

· a

3

)

2

; d) a

3

)

3

· a

3

)

3

; f) aa

6

)

3

.

464 . Su pra s t in k i t e r e i šk in ius :

a ) χ

5

' ( χ

2

)

3

; c) ( χ

4

)

2

· ( *

5

)

3

;

b) (x

3

)

4

·

χ

8

; d) ( χ

2

)

3

· ( χ

3

)

5

. 42 pav.

465. A pska ič iuok i te r e i šk in ių r e ikšm es :

a

) 2 Μ 2 ψ .

M

. (2» )» . , У - 2 7

2

1 3

' ' 5

2 2

' ' 2

6

· 4 ' ( 3

4

) ' *

K ar to j im o p r a t im a i

466. Įrodyk i te , kad su k iekvienu na tū r in iu skaič ium i n t ru p-

m e n o s ' °

3

+ 2

r e ikšmė y ra na tū r in i s ska ič ius .

467 . Kok iu ska i tme n iu ga l i ba ig t i s na t ū r in io ska ič iaus k vad-

ra tas? na tū r in io ska ič iaus ke tv i r t a s i s l a ip sn i s?

468 . Funkc i jo s

y = kx + 5A

graf ikas e ina per tašką -4(3 ,7 ; —2) .

Raskite koef icientą k .

469 . 42 pave iks le pa va izd uo tas t am t ik ros funk c i jo s g ra f ikas .

P a g a l jį ras ki te :

a) y reikšmę, kai χ lygus —2; —1; 2;

b) χ

reikšmę, su kuria y lygus —0,5; 2 .

§ 8 . VI E NANAR I AI

22. VIENANARIS IR JO STANDARTINE IŠRAIŠKA

Reišk in ia i 5a

?

x,

2b

3

3)bc

2

,

— 3a

7

,

xy

2

y ra ska ič ių , k in tamųjų

i r jų la ipsn ių sandaugos . Tokie re išk in ia i , ta ip pa t ska ič ia i , k in-

t amie j i i r jų l a ip sn ia i vad inami

vienanariais .

I š n a g r i n ė k i m e v i e n a n a r į

2b

3

3)bc

2

.

P e r s t a t y k i t e d a u g i n a -

m uo siu s ir pak eisk im e skaičių 2 ir —3 sa n d a u g ą skaič ium i —6,

o l a ipsn ių

b

3

ir

b

s a n d a u g ą — l a ip s n i u

b\

G a u s i m e :

2b

3

( - 3)

b c

2

= 2 ( - 3 )

b

3

bc

2

= - 6 fe

4

c

2

.

y

-3 -

f

V

s

4 /

f

л

- 2

~ T T

. . L

I

Jr

Tx

i i Ί



V i e n a n a r j 2b

3

( — 3)bc

2

i š re i š k ėm e s a n d a u g a — 6b

Ą

c

2

, k u r i o s

p i r m a s d a u g i n a m a s i s y r a s k a i či u s , o k it i d a u g i n a m i e j i — s k i rt in -

g ų k i n t a m ų j ų l a i p s n i a i . T o k i a v i e n a n a r i o i š r a i š k a v a d i n a m a

s ta n -

dartine. P r i e s t a n d a r t i n ė s i š r a i š k o s v i e n a n a r i ų p r i s k i r i a m i i r t o -

k i e v i en an a r i a i , k a i p — 5 ,

a, — a, a

3

.

G r u p u o j a n t d a u g i n a m u o s i u s ir t a i k a n t p a g r i n d i n ę l a ip s n i o

savy bę , k iekv ien ą v i en an ar į ga l im a pe r tv ark y t i t a ip , ka ip j i s bū tų

s t a n d a r t i n ė s i š r a i š k o s .

S t a n d a r t i n ė s i š r a i š k o s v i e n a n a r i o s k a i t i n i s d a u g i n a m a s i s v a -

d i n a m a s v ienanario koef ic ientu . P a v y z d ž i u i , v i e n a n a r i o — 6

b

Ą

c

2

k o e f i c i e n t a s l y g u s — 6. V i e n a n a r i ų

a

2

ir

— ab

koef ic i en ta i y ra ly -

gū s a t i t in ka m ai 1 ir —1, ne s α

2

= 1 · α

2

, — ab = — \ · ab.

V i e n a n a r i o Iax

2

Ij

3

v i sų k i n t am ų j ų l a i p sn i ų r o d i k l i ų su m a l y -

g i 6 . S i su m a v ad i n am a v ienanar io

7ax

2

y

3

la ipsniu . V i e n a n a r i o

O

— 9

b*c

3

l a i p sn i s l y g u s 7 , v i e n a n a r i o — x

5

l a ipsn i s lygus 5 .

Vienanario la ipsniu vadinama visų jo k intamųjų la ipsnių ro-

dikl ių suma. J e i g u v i e n a n a r i s n e t u r i k i n t a m ų j ų ( j i s y r a s k a i -

č ius ) , t a i jo l a ipsn i s l a ikomas lyg iu nu l iu i .

470 . Ar v i en an ar ia i y ra š i e r e i š k in ia i :

a )

3,4x

2

y;

d )

x

2

+ x

; g )

a-b·,

k) c

10

;

b ) - 0 , 7 x y

2

; e) x

2

x; h) 2(x + y)

2

; 1) - m ;

c) a ( - 8 ) ; f ) -

А щ з п т

2

;

i) - 0 , 3

x y

2

;

m ) 0,6?

471. Ar s t a n d a r t i n ė s i š r a i š k o s y r a š i e v i e n a n a r i a i :

a ) 6

XĮ

/; c) 0,5m2n; e) -x

2

y

3

;

b) -2

a b a ;

d ) -

b c a

; f )

5p

3

p

2

?

4 7 2. P e r t v a r k y k i t e v i e n a n a r i u s , k ad j ie b ū t ų s t an d a r t i n ė s i š-

r a i škos , i r pasakyk i t e jų koef ic i en tą :

a) 8x

2

x; c)

3xy(-

1,7) y; e)

m

2

n

· 4 .5n

3

;

b ) l,2abc-5a; d ) 6 c

2

( - 0 , 8 ) c ; f ) 2 j a

2

x ( - a

3

x

2

.

4 7 3 . P e r t v a r k y k i t e v i en an a r i u s , k ad j ie b ū t ų s t a n d a r t i n ė s iš -

r a i šk o s :

a ) 9 y y

2

y ; c) -Sab(-2,5)b

2

; e ) 2m

3

n-0,4mn;

2

2 2 3 3

2




a ) — 0 ,8m

2

n · ( — 0 , 5 m

5

n

7

) ; d)

ab-(-ab

2

)· ab

3

·,

b) 0 ,3 0» · ( — ^ x V ) ; e)

x*y.(-xy).(-xy

2

);

c ) 1

\cd.

( - - f

C

9

Cf);

f )

mn(— m

s

n

s

)·(— m

3

n

8

).

485 . Ke l i a i s bū da i s i š r e ikšk i t e v i e na na rį 6

a

2

b

3

d v i e j ų s t a n -

d a r t i n i ų v i e n a n a r i ų s a n d a u g a .

486 . Dv iem bū da i s i š r e ikš k i t e v i en an ar į —12x*y

3

:

a ) d v i ej ų s t a n d a r t i n i ų v i e n a n a r i ų s a n d a u g a ;

b ) t r i j ų s t a n d a r t i n i ų v i e n a n a r i ų s a n d a u g a . ·

487 . Pake lk i t e l a ipsn iu :

a ) (3x

2

)

3

; c) ( — 2a

4

6

2

)

3

; e ) ( - a

2

b c

3

)

5

;

b ) ( 4 m )

2

; d ) ( - 3

x

2

y ) \

f ) (

- a

3

b

2

c )

2

.

4 8 8 . I š r e i k š k i t e s t a n d a r t i n i u v i e n a n a r i ų :

a ) (2m

3

)

4

; c ) ( - 0 , 6 m

3

n

2

)

3

; e )

(-xy*b

2

)*·,

b ) ( 3 a )

2

; d ) ( - 2 * r /

3

)

2

; f ) (

- x

2

y

3

m

489 . Pake lk i t e v i enanarį :

a ) 5

x

2

y

3

k v a d r a t u ; c ) - 2

m

3

n

2

k e t v i r t u o j u l a i p s n i u ;

b ) —4ax

3

k u b u ; d ) — a

2

bc

3

p e n k t u o j u l a i p s n i u .

4 9 0 . P a r a š y k i t e r e i š k in į v i e n a n a r i o k v a d r a t u :

a ) 8 I x

4

; b) 121a

6

; c) 0,09 y

1 2

; d ) b

6

.

4 9 1. P a r a š y k i t e re i š k i n į v i e n a n a r i o k u b u :

a) 64x

9

; b) 0 ,001«/'»; c) - 0 ,0 0 8 f t

6

; d ) - |

?

a

1 6

.

492 . I š re ikšk i t e k i ekv ieną v i enanarį :

a )

9b

2

c

2

;

100

m

2

n

6

v i e n a n a r i o k v a d r a t u ;

b ) — a

3

ft

6

;

—27x

6

b

9

v i e n a n a r i o k u b u .

493 . Pa rašyk i t e k i ekv ieną v i enanarį :

a) 16x

6

; 49

m

2

n*

ir m

8

v i e n a n a r i o k v a d r a t u ;

b) a

9

; — 8 m

3

ir

IOOOX

3

J/

6

v i e n a n a r i o k u b u .



494. Kokį v i en an ar į r e ik ia p ake l t i kv ad ra tu (k ub u) , kad bu tų

g a u t a s v i e . n a n a r i s :

a ) X

6

If

n

', b ) 10 00 00 0m '

8

?

4 95 . P a r a š y k i t e r e i š k in i u s s t a n d a r t i n i a i s v i e n a n a r i a i s :

a) 25a

4

- ( 3 a

3

)

s

; e ) ( - 1 0 c

2

)

4

. 0 ,0001c" ;

b ) ( - 3 b

6

)

4

- f t ; f) ( 3 b

5

)

2

· | b

3

;

c ) 8 p ' M - p )

4

; g ) ( - 2 x 3 ) 2 . ( - - L *

4

) ;

d ) ( - c

2

)

8

· 0 , 1 5 c

4

; h )

( - | ί /

4

)

3

· ( - 1 6 ί /

2

) .


a )

xy)

3

· — 3x*y

2

)

; e)

( - *

2

« / )

3

- ( - χ ψ ) ;

b) 0 ,5a

2

b

3

-( — 2b )

6

; f ) 0 , 2 a

2

b

3

- ( - 5 a

3

b )

2

;

c ) ( 0 , 2 m

2

n )

3

. 1 0 0 0 т

4

л

7

; g ) (-į-

m

2

n

)

3

· ( - 3 2

m

2

n) ;

d ) - 7 c

8

· ( - 0 , 4 c

3

)

2

; h ) ( - f - p ?

4

) ' ·

(~27p

5

q).

4 97 . I š r e i k šk i t e r e i šk i n i u s s t a n d a r t i n i a i s v i e n a n a r i a i s :

a ) (

—

0 ,2 b

6

)

3

· 5b ; e ) (2 ab )

4

. ( - 7 a

7

b ) ;

b) —0,01a

4

' ( - I O a

5

)

3

; f) - 0 , 6 * V

- ( 0 , 5 x y

2

)

2

;

c )

^

p 7

' ( -

1

T

p 4

) '

;

ε ) 1 0

P V -(0,lp<7)3;

d ) ( 3 j a

2

) ' - 8 1 a

5

; h ) ( - 3 a

7

b

2

)

4

· ^ a b .


4 9 8 . V i e n a m e

sa nd ė ly j e b uvo 185 t a ng l ių , o k i t a m e — 237 t .

P i r m a s s a n d ė l i s k as d i e n ą p a r d u o d a 15 t a n g l i ų , o a n t r a s — 1 8 t .

P o k e l i ų d i e n ų a n t r a m e s a n d ė l y j e b u s a n g l i ų p u s a n t r o k a r t o

d a u g i a u n e g u p i r m a m e ?

499. V ieno je da ržov ių s au gy k lo je buvo 210 t bu lv ių , o k i to je —

180 t . Į pirm ą sa u g y k lą ka s dien ą at v e ža m a 90 t bu lvių , į an t-

rą — 120 t . P o ke lių d ienų p i rm oje da rž ov ių sa ug yk lo j e bus bu l -

v ių 1,2 ka r to m až i au n egu an t ro je?

500. Tiesė , kur i y ra formule

y = kx + b

i š r e i k š t o s f u n k c i j o s

g r a f ' k a s , k e r t a k o o r d i n a č i ų a š i s t a šk u o se

Л (0 ; 6 ) ir B ( — 4; 0 ) .

R a sk i t e

k

ir b.

501 . Rask i te fu nk ci j ų y = - 0 , 3 x + 5 , 4 ir

i/

= 0 , 7 x - 8 , 4 g r a f i k ų

su s i k i r t i m o t a šk o k o o r d i n a t e s .



§ 9 . F U N K C I J A y = x

2

IR J O S S A V Y B E S

2 4 . F U N K C I J O S y=x* IR y = *

3

I R J Ų G R A F I K A I

P r a k t i k o j e d a ž n a i s u s i d u r i a m e s u f u n k c i j o m i s , k u r i o s iš r e ik š -

t o s f o r m u l ė m i s

y = x

2

ir

y = x

3

.

T o k i ų f u n k c i j ų p a v y z d ž i a i y r a

k v a d r a t o p l o t o p r i k l a u s o m y b ė n u o j o k r a š t i n ė s , k u b o t ū r i o p r i -

k l a u s o m y b ė n u o j o b r i a u n o s .

N u b r a i ž y k i m e f u n k c i j o s y=x

2

g r a f i k ą .

K a d įs i v a i z d u o t u m e g r a f i k ą ir j o p a d ė t į k o o r d i n a č i ų p l o k š t u -

m o j e , i š n a g r i n ė k i m e k a i k u r i a s š i o s f u n k c i j o s s a v y b e s .

J e i g u x = 0, t a i y = 0. V a d i n a s i , g r a f i k a s e i n a p er k o o r d i n a č i ų

p r a d ž i ą .

J e i g u

χ φ Ο ,

t a i

y>

O, nes k i ek v i en o

s k a i č i a u s , n e l y g a u s n u -

l i u i , k v a d r a t a s y r a t e i g i a m a s s k a i č i u s . T o d ė l f u n k c i j o s g r a f i k o

v i s i t a š k a i , i š s k y r u s t a š k u s ( 0 ; 0 ) , y r a v i r š χ aš ies .

P r i e š i n g a s χ re ikšmes a t i t inka t a pa t i y re ikšmė, nes ( — x )

2

=

=X

2

s u k i e k v i e n a χ r e i k š m e . P a v y z d ž i u i , j e i g u x= — 15, t a i // =

= ( - 1 5 ) 2 = 2 25 ; j e i g u

л : = 15 , t a i i / = 1 5

2

= 2 2 5 . V a d i n a s i , g r a f i k o

t a š k a i , k u r i ų a b s c i s e s p r i e š i n g i s k a i č i a i , y r a s i m e t r i š k i y a š i e s

a t ž v i l g i u .

A p s k a i č i u o k i m e f u n k c i j o s y = x

2

g r a f i k o t a š k ų k o o r d i n a t e s .

R e m k i m ė s t u o , k a d p r i e š i n g a s χ r e i k š m e s a t i t i n k a l y g i o s y r e i k š -

m ė s . A p s k a i č i a v i m o r e z u l t a t u s s u r a š y k i m e l e n t e l ė j e :

X

- 3

- 2 , 5

- 2

- 1 , 5

- 1

- 0 , 5

0

0,5 1 1,5

2

2,5

3

У

9

6,25

4

2,25

1

0,25 0

0,25

1

2,25

4

6,25

9

P a ž y m ė k i m e t a š k u s ( 4 3 p a v . ) , k u r i ų k o o r -

d i n a t ė s p a t e i k t o s l e n t e l ė j e . K a d t i k s l i a u g a -

l ė t u m e n u b r ė ž t i g r a f i k ą p r i e k o o r d i n a č i ų p r a -

d ž i o s , a p s k a i č i u o k i m e d a r k e l e t ą f u n k c i j o s

r e i k š m i ų :

X

0,1

0,2 0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8 0,9

У

0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0.49 0,64 0,81

I š l e n t e l ė s m a t y t i , k a d f u n k c i j o s g r a f i k a s

p r i e k o o r d i n a č i ų p r a d ž i o s b e v e i k s u t a m p a s u

χ a š i m i .

У

g

8

7

6

į

8

7

6

į

8

7

6

į

t

8

7

6

į

/į

3

2

7

t

3

2

7

«

2

7

1

*

t

I

- 3 - 2 - / 0

7 2 3 '

X

I I I

I I I

4 3 p a v .



y

100

į

10

\

\

\

?

\

':-2-10 7 2 3 "

X

I I

I M I

44 pav.

" "f

Y

l

7

6

5

I.

•f •

I

- U

Y

l

7

6

5

I.

I

Y

l

7

6

5

I.

I

Y

l

7

6

5

I.

3

2

1

I

<

I

3

2

1

I

I

3

2

1

I

3

2

1

I

I ,

h r

н

ч

,'o

2 3 >

•

-

4

I

I

45 pav .

Y

1

j

β

< I

4

3

2

t

j

3

2

t

/

3

2

t

/

4

3

2

t

J

3-2-1

fa

2 3 1

X

9

I

;;

U

6

r

U

6

r

U

S u j u n k i m e p ažy m ė t u s t a šk u s g l o d ž i a l i n i j a .

G a u s i m e f u n k c i j o s y = x

2

g ra f iką (44 pav . ) .

To k i a k r e i v ė v ad i n am a p a r ab o l e .

N u s i b r a i ž y k i m e f u n k c i j o s

y = x

3

g r a f i k ą . P i r -

m i au s i a i š s i a i šk i n k i m e k a i k u r i a s š i o s f u n k c i -

jos savybes .

Je ig u * =

O,

tai y =

0.

Ta ig i g ra f ikas e ina per

k o o r d i n ač i ų p r ad ž i ą .

J e i g u * > 0 , t a i

y>

0; j e ig u x < 0 , t a i y < 0 .

S ie t e ig in ia i i šp lauk ia i š to , kad t e ig iamo ska i -

č i au s k u b as y r a t e i g i am as sk a i č i u s , o n e i g i am o

sk a i č i au s k u b as y r a n e i g i am as sk a i č i u s . Vad i -

n a s i , f u n k c i j o s g r a f i k a s y r a p i r m am e i r t r eč i a -

m e k o o r d i n a t i n i am e k e t v i r t y j e .

P r i e š i n g a s χ r e i k šm es a t i t i n k a p r i e š i n g o s

y r e ikšmės , nes su k iekv iena χ r e i k šm e t e i s i n -

ga lygybė ( — x )

3

= — л :

3

. P a v y z d ž i u i , j e i g u x =

= —5, tai y= —125; je igu Jt = 5; tai y= 125.

Ta ig i g ra f iko t aška i , kur ių absc i ses y ra p r i e -

š ing i ska ič ia i , i š s idės tę s imet r i ška i koord inač ių

p r ad ž i o s a t žv i l g i u .

Ap sk a i č iu o k i m e f u n k c i j o s r e i k šm es , k u r i o s

a t i t i n k a l e n t e l ė j e n u r o d y t a s a r g u m e n t o r e i k š -

m es ( r em k i m ė s t u o , k ad p r i e š i n g as χ r e i k š m e s

a t i t i n k a p r i e š i n g o s y r e i k š m ė s ) . G a u t a s f u n k -

c i j o s r e i k šm es su ap v a l i n k i m e i k i š i m t ų j ų i r

u žp i l d y k i m e l en t e l ę :

X - 2

- 1 . 5 - 1

- 0 , 5 0 0 ,5 1 1 ,5

2

У

- 8

- 3 , 3 8

- 1 - 0 , 1 3

0 0,13

1

3,38

8

46 pav .

P a žy m ė k i m e t a š k u s ( 4 5 p av . ) , k u r i ų k o o r -

d i n a t ė s su r a šy t o s l en t e l ė j e .

P a ž y m ė t u s t a š k u s s u j u n k i m e g l o d ž i a l i n i j a .

G a u s i m e f u n k c i j o s y = x

3

g ra f iką (46 pav . ) .

Atkre ip iame dėmesį , kad funkc i jos g ra f ikas

p r i e k o o r d i n ač i ų p r ad ž i o s b ev e i k su t am p a su

χ

aš im i ( j e i gu x = 0 , l , t a i

«/

= 0 ,001 ; j e ig u * =

= 0,2, ta i y = 0,008; je ig u x = 0,3 ta i y = 0 ,02 7) .



502. Re m dam i es i 44 pave i k s l e pa va i z duo t u fun kc i j o s y=x

2

gra f i ku , r a s k i t e :

a ) y r e i k š mes , a t i t i nkanč i as JT=O,75; -1 ,25; 1 ,25; —2,3; 2 ,3 ;

b) χ r e i k š m e s , k u r i a s a t i t i n k a y=3; 5.

5 03 . R e m d a m i e s i f u n k c i j o s

y=JT

2

g ra f i ku ( ž r . 44 pa v . ) , r a s -

ki te :

a ) fun kc i j o s r e i k š mę , ku r i a t i t i nka a r gu m en t o r e i k š mę , l yg i ą

1 ,4 ; -2 ,6 ; 3 ,1 ;

b ) a rgumen t o r e i k š mes , s u ku r i omi s funkc i j o s r e i k š mė l yg i

4; 6.

c ) ke l i as

χ

r e i k š me s , s u ku r i o m i s fun kc i j o s r e i k š m ės m ažes -

nės už 4; d idesnės už 4 .

504. Re m dam i es i 44 pave i k s l e pav a i zd uo t u fun kc i j o s y=x

2

gra f i ku , r a s k i t e :

a ) y re ikšmę, a t i t inkančią JC=—2,4; —0,7; 0,7; 2,4;

b)

JC

r e i k š m es , ku r i a s a t i t i nka

i/

= 2; 0,9;

c) kel ias

JC

r e i k š m es , s u ku r i om i s fun kc i j o s r e i k š m ė d i des n ė

už 2; mažesnė už 2 .

505 . Kaip pas ike i s kv ad ra to p lo tas , ka i jo k r aš t in ę p ad id in -

s i m e 3 k a r t u s ; s u m a ž i n s i m e 1 0 k a r t ų ?

506 . Kaip re ik ia pake i s t i kvadra to k raš t inę , kad jo p lo tas pa-

d idė tų 4 kar tus ; 16 kar tų?

507. N ubra i ž yk i t e fun kc i j o s

y=

0,5JC

2

g r af iką . P a g a l jį ras -

ki te :

a ) y re ikšmę, a t i t inkančią JC= 1,6; — 3,4; 3,4 ;

b) JC r e i k š mes , ku r i a s a t i t i nka

y =

3; 5.

508 . Nubra i žyk i t e funkc i j o s £ / =— Jc

gra f iką . P ag a l jį rask i t e :

a) y re ikš m ę, at i t in ka nči ą x = — 1,25; 1,25; —2,3; 2,3;

b)

JC

r e i k š m e s , k u r i a s a t i t in k a

y=—

3; —6.

,509 . Nubra i žyk i t e funkc i j o s

y=—

0,5JC

2

g ra f i ką . Pa g a l j į r a s -

k i t

a )

y

r e i k š mę , a t i t i nkanč i ą JC = 2,6; — 2,4;

b)

χ

r e i k š mes , ku r i a s a t i t i nka

Į

/ = —

4 .

510. Ar p r i k l aus o fun kc i j o s y=x

2

g r a f i k u i t a š k a s :

a ) P ( —18; 324 ) ; b ) Q(1 02; 10 40 4) ; c) R{-9 9 ; - 9 8 0 1 ) ?

511. P a ga l 46 pave i k s l e pa va i z duo t ą funk c i j o s

y =

X

3

g ra f i ką

rask i t e :

a ) y r e i k š mę , a t i t i nkanč i ą JC=1,4; —1,4; —1,8; 1,8;

b)

JC

reik šm ę, ku rią at i t in ka i/ =

—

4; 4.

7. Algebra 6 kl. 9T



5 1 2. R e m d a m i e s i f u n k c i j o s y = X

3

g r a f i k u ( ž r . 4 6 p a v . ) , r a s -

k i t e :

a ) f u n k c i j o s r e i k š m ę , a t i t i n k a n č i ą a r g u m e n t o r e i k š m ę , l y g i ą

- 0 , 7 ; 1 , 3 ;

b ) a r g u m e n t o r e i k š m ę , k u r i ą a t i t i n k a f u n k c i j o s r e i k š m ė , l y g i

3; - 3 ;

c ) k e l i a s a r g u m e n t o r e i k š m e s , s u k u r i o m i s f u n k c i j o s r e i k š m ė

didesnė už —3, be t mažesnė už 3 .

5 1 3 . K a i p p a s i k e i s k u b o t ū r i s , k a i j o b r i a u n ą p a d i d i n s i m e

2 k a r t u s ; s u m a ž i n s i m e 3 k a r t u s ?

5 1 4 . K a i p r e i k i a p a k e i s t i k u b o b r i a u n ą , k a d j o t ū r i s p a d i d ė t ų

6 4 k a r t u s ?

5 1 5 . N u b r a i ž y k i t e f u n k c i j o s y=—x

3

g r a f i k ą . P a g a l j į r a s k i t e :

a ) y r e i k š mę , a t i t i nkanč i ą X=0 ,7 ; —1 ,3 ;

b ) χ r e i k š m ę , ku r i ą a t i t i n ka y = 4 .

5 1 6. A r p r i k l a u s o f u n k c i j o s y=x

3


a )

A(-

0,2; - 0 , 0 0 8 ) ; b ) fi(l|; 3 - f - ) ; c )

C

( - - į- ; į ) ?

5 1 7 . A r p r i k l a u s o t a š k a s Λ ί( 2 ; 16 ) f u n k c i j o s g r a f i k u i :

a ) y = 4 x

2

; b )

y=

2x

3

; c )

į

/ =

x

4

; d ) y = - 8 x

2

?

5 1 8 . T o j e p a č i o j e k o o r d i n a č i ų s i s t e m o j e n u b r a i ž y k i t e f u n k c i j ų

y=x

2

ir y=x

3

g r a f i k u s , k a i x ^ 0 . R e m d a m i e s i j a is , p a l y g i n k i t e :

a) 0 ,49

2

ir 0,49

3

; b) 1,5

2

ir 1,5

3

; c) 2,7

2

ir 2,7

3

.

Kartoj imo prat imai

5 1 9 . K v a d r a t i n e i p l o k š t e i n u d a ž y t i s u n a u d o t a 2 0 g d a ž ų . K i e k

r e i k ė s d a ž ų n u d a ž y t i k v a d r a t i n e i p l o k š t e i , k u r i o s k r a š t i n ė 3 k a r -

t u s d i d e s n ė ( a b i e j ų p l o k š č i ų d a ž o m a v i e n a p u s ė ) ?

5 20 . K u b o f o r m o s r e z e r v u a r ą s i u r b l y s p r i p i l d o p e r 4 5 m i n .

P e r k i e k l a i k o t a s p a t s s i u r b l y s p r i p i l d y s k u b o f o r m o s r e z e r v u a r ą ,

k u r i o b r i a u n a d u k a r t u s d i d e s n ė ?

5 2 1 . P a l y g i n k i t e r e i š k i n i ų r e i k š m e s :

a) 0 ,3

1 6

i r ( - 0 , 3 )

1 6

; c ) - 5 , 6

4

ir ( - 5 , 6 )

4

;

b ) ( - 1 , 9 )

2 1

ir 1,9

21

; d ) - 0 , 8

n

i r ( - 0 , 8 ) " .

5 2 2. R a s k i t e f u n k c i j ų t / = 8 , 5 x ir y = 0 , 5 x— 1 9 , 2 g r a f i k ų s u s i -

k i r t i m o t a š k o k o o r d i n a t e s .



2 5. K V A D R A T Ų L E N T E L Ė

S k a i č i a v i m o p r a k t i k o j e d a ž n a i n a u d o j a m a s i m a t e m a t i n ė m i s

l e n t e l ėm i s , k u r i o se su r a šy t o s įv a i r i ų f u n k c i j ų r e i k šm ė s . I š n a g r i -

n ė k i m e V . B r a d ž i o „ Ke t u r ž e n k l ė se m a t e m a t i n ė se l e n t e l ė se " p a -

t e i k t ą f u n k c i j o s

y=x

2

r e ikšm ių l en te lę be pa ta i sų s tu lpe l io

(žr . p . 205, 206) .

Pa rodys ime , ka ip paga l š ią l en te lę r a s t i kvadra tus ska ič ių

nuo 1 ik i 10, pa ra šy tų ne da ug ia u ka ip t r im is ska i tm en im is .

Len te lė je r a sk ime ska ič iaus 1 ,84 kvadra tą . Su rask ime e i lu tę ,

ku r i p ras ideda ska ič iumi 1 ,8 (p i rmie j i du ska ič iaus 1 ,84 ska i t -

m en ys) ir 4 -ą jį s tu lp e lį ( t re č ias is ska ič iau s 1 ,84 sk ai tm uo ) . T en ,

ku r j i e sus ike r ta , y ra i e škomas kvadra tas . Ta ig i 1 ,84

2

« 3 , 3 8 6 .

R a sk i m e d a b a r sk a i č i a u s 2 ,3 k v a d r a t ą . Ka d a n g i 2,3 = 2,30, ta i

i e šk o m a s k v a d r a t a s y r a t o j e v i e t o j e , k u r su s i k e r t a e i l u t ė , p r a s i -

dedan t i ska ič iumi 2 ,3 , i r nu l iu pažymėtas s tu lpe l i s . Gauname:

2,3

2

« 5 , 2 9 0 .

Je igu ska ič ius , d id esn i s už 1 ir m až esn i s už 10, pa ra šy ta s

d a u g i a u k a i p t r i m i s sk a i t m e n i m i s , t a i j i s p i r m a su a p v a l i n a m a s ,

o p o t o p a g a l l e n t e l ę su r a n d a m a s j o k v a d r a t a s .

P a v y z d ž i u i : 7 , 6 8 7

2

« 7 , 6 9

2

- 5 9 , 1 4 .

P a g a l š ią l en te lę ga l im a r as t i ir k i tų ska ič ių kv ad ra tus .

Je i gu ska ič ius d ide sn i s už 10, t a i j i s i š r e i š k iam as in te rva lo

nuo 1 iki 10 sk aič ia us i r sk a i č iau s 10 ku r io nors la ips n io sa n-

d a u g a .

Rask ime , pavyzdž iu i , l a ip sn io 34 ,6

2

re ikšmę.

T u r i m e :

34,6

2

= ( 3 , 4 6 · 10 )

2

= 3,46

2

· IO

2

.

I š l en te lės suž inome, kad 3 ,46

2

« 11 ,97 . V ad in as i ,

3 4 , 6

2

« 1 1 ,9 7 · 1 0 0 = 1 1 9 7 .

Je i gu t e i g ia m as ska ičius m až es n i s už 1, t a i j i s i š r e i š k ia m as

in tervalo nuo 1 ik i 10 skaič iaus i r t rupmenos 0 ,1 ; 0 ,01 ; 0 ,001

i r 1 .1 , sandauga .

Rask ime , pavyzdž iu i , l a ip sn io 0 ,357

2

r e ikšmę .

K a d a n g i 0 , 3 5 7

2

= (3,57 · 0 ,1 )

2

= 3,57

2

· 0 ,1

2

i r 3 , 5 7 ^ 1 2 , 7 4 , t a i

0,357

2

« 1 2 , 7 4 - 0 , 0 1 = 0 , 1 2 7 4 .

I šn a g r i n ė k i m e sk a i č i a u s k ė l i m o k v a d r a t u p a g a l l e n t e l ę su d ė -

t i n g e sn į pa vy zd į.

Rask ime la ipsn io 567 ,6

2

re ikšmę.



S u a p v a l i n ę sk a i č ių 56 7 ,6 t a i p , k a d t u r ė t ų t r i s sk a i t m e n i s , g a u -

s ime 568 . Ta ig i

5 6 7 , 6

2

« 5 6 8

2

= (5 ,68 · 100)

2

= 5,68

2

. 1 0 0 0 0 « 3 2 , 2 6 · 1 0 0 0 0 =

= 322 600.

5 2 3 . L e n t e l ė j e r a sk i t e š i ų sk a i č i ų k v a d r a t u s :

a) 2,34; 5,12; 8,37; 9,56; 3,04; 6,19;

b) 1,3; 4,7; 2,8; 5,7; 8,3; 7,2; 9,6.

5 2 4. P a g a l l e n t e l ę r a sk i t e š i ų sk a i č i ų k v a d r a t u s :

a) 5,24; 52,4; 524; 0,524; b) 1,31; 0,131; 131; 1310.

525 . Rask i t e paga l l en te lę :

a) 0 ,389

2

;

с) 93 4

2

; e) 0,58 2

2

; g) 0 ,0678

2

;

b) 0 ,716

2

; d) 61,7

2

; f) 23,4

2

; h) 98 700

2

.

526 . Rask i t e k v a d r a t ų l e n t e l ė j e :

a) 1,37

2

; 3,84

2

; 7,08

2

; 9,4

2

; 5,5

2

;

b) 39,9

2

; 465

2

; 0,766

2

; 0,039

2

; 1080

2

.

5 2 7 . Pa g a l l e n t e l ę r a sk i t e sk a i č i ų k v a d r a t u s :

a) 3 ,1238; b) 5 ,6073; c) 26,96; d) 0 ,01234.

5 2 8 . R e m d a m i e s i l e n t e l e , p a k e l k i t e k v a d r a t u š i u o s sk a i č i u s :

a) 8,2357; b) 4,1023; c) 78,19; d) 0,6137.

529 . Kvadra to kraš t inė lyg i : a ) 6 ,34 m; b) 25 ,7 dm; c) 0 ,685 km.

Pa g a l l e n t e l ę r a sk i t e j o p l o t ą .

5 3 0. Sk r i t u l i o sp i n d u l y s l y g u s 2 ,81 m . P r i t a i k ę f o r m u l ę S =

= Jtr

2

( π « 3 , 1 4 ) , r a s k i t e

š i o sk r i t u l i o p l o t ą . R e z u l t a t ą su a p v a l i n -

k i t e i k i d e š i m t ų j ų .

531 . Ku bo b r ia un a lyg i 3 ,3 dm. Ra sk i t e š io kub o pa v i r š i a us

p l o t ą . R e z u l t a t ą s u a p v a l i n k i t e i k i d e š i m t ų j ų .

5 32 . P a g a l l e n t e lę r a s k i t e f u n k c i j o s

y=2x

2

r e i k š m e s , k u r i a s

a t i t i n k a

χ

r e ikšmės nuo 6 ik i 6 ,1 , pa imtos kas 0 ,01 . Rezu l t a tus

s u a p v a l i n k i t e i k i d e š i m t ų j ų .


5 33 . Du o t i t i e s i n i ų f u n k c i j ų

y

= 3 , 7 - 1

,2x, y = l,2x,

у = - - | х + 4

ir

y= — \,2x

g r a f i k a i . K u r i e j ų y r a l y g i a g r e t ū s f u n k c i j o s

y

=

= — 1 ,2 * + 2 g r a f i k u i ?



534 . R a s k i t e f u nk c i j ų g r a f i kų s u s i k i r t i mo t a š ko ko o r d i n a t e s :

a ) y = 0,8x—10 ir y = 3 + 4 " * ; b) у = 4,7л:—1,1 ir Į/ = 4,4л: + 1 , 3 .

5 3 5 . V i e n a m e m a i še buvo 55 k g k ru op ų , k i t a m e — 63 kg . Ka i

i š a n t r o ma i š o pa ėmė k r uopų du ka r t u s da ug i a u ne gu i š p i r mo ,

an t r a m e m a i še l iko k ruo pų 5 kg m až iau n egu p i rm am e . K iek k ilo -

. g r a mų k r uopų buvo pa i mt a i š k i e kv i e no ma i š o?

2 6 . A B S O L I U C I O J I P A K L A I D A

M a t uoda mi įva i r i u s dydž i u s , ga una me j ų a py t i k s l e s r e i k š me s .

P a v y z d ž i u i , i š m a t a v ę a t k a r p ą

AB

(47 pav . ) l i n iu o te su mi l im e t -

r ine ska le , suž inome , kad jos i l g i s apy t iks l i a i l ygus 4 ,3 cm:

AB-4,3 cm.

Sk a ič ius 4 ,3 y r a než ino m o ska ič iaus , iš r e i šk ianč io m inė tos

a tkarpos i lgį , apyt iks lė re ikšmė.

A py t i k s l e s r e i k š me s ga una me t a i p pa t a pva l i nda mi s ka i č i u s .

Pavyzdž iu i , suapva l inę t r upmenas 5 ,617 ; 41 ,862 ; 0 ,45 ; 2 ,033 ik i

d e š i m t ų j ų , g a u n a m e :

5 , 6 1 7 « 5 , 6 ; 4 1 , 8 6 2 « 4 1 , 9 ; 0 , 4 5 « 0 , 5 ; 2 , 0 3 3 « 2 , 0 .

S u a py t i k s l ėmi s s ka i č i ų r e i k š mėmi s j a u s u s i dū r ėme na udo -

damies i kvadra tų l en te l e . Paga l tą pač ią l en te lę r a sk ime r e i šk i -

nio 7,35

2

r e ikšmę:

7,35

2

« 5 4 , 0 2 .

Sudauginę gaus ime t iks l ią š io r e i šk in io r e ikšmę:

7,35

2

= 7 ,3 5- 7 , 35 = 54 ,0225.

Paga l l en te lę r a s t a apy t iks lė r e i šk in io 7 ,35

2

r e ikšmė sk i r i a s i

nuo jo t i ks l ios r e ikšmės 0 ,0025 v iene to :

54 , 02 25 - 54 , 02 = 0 ,0025 .

Tokiu pa t būdu r a sk ime

re iškinio 7 ,34

2

apyt iks lę i r t iks-

l i ą r e i k š me s . P a ga l kva d r a t ų

l e n t e l ę ga una me a py t i k s l ę

r e ikšmę:

7,34

2

« 53,88. 47 pav.

| М 1 | | | Ш | ( М | | М П | | М | |

C 1 2

11Į11

3

IĮ1111J1111Į11 I N

4 5



nė ka ip 0 ,005 . Sakoma, kad 8 ,62 y ra ska ič iaus χ ap y t ik s lė r e ik š m ė

0,005 t iks lumu.

A p s k r i t a i , j e ig u ap y t ik s lė s r e ik š m ė s ab s o l iu č io j i p ak l a id a y r a

ne d idesnė už tam t ik rą ska ič ių h , t a i t a r e ikšmė vad inama apy-

t i k s l e r e ik š m e t iks lumu h.

A p y t ik s lė s r e ik š m ė s t i k s lu m as p r ik l au s o n u o d au g e l io p r i ežas -

č ių . P av y zd ž iu i , j e ig u ap y t ik s lė r e ik š m ė g au ta m a tu o jan t , t a i

t i k s l u m a s p r i k l a u s o n u o p r i e t a i s o , k u r i u o b u v o m a t u o j a m a . P a -

v y zd ž iu i , m ed ic in in io t e r m o m et r o p ad a lo s s u žy m ė to s k as 0 , 1 ° . J u o

g a l i m a i š m a t u o t i t e m p e r a t ū r ą 0 ,1 ° t i k s l u m u . K a m b a r i o t e r m o -

m e t r u , k u r io p a d a lo s s u žy m ė to s k as 1°, g a l im a i š m a tu o t i t em p e-

r a tū r ą 1° t i k s lu m u . S v a r s ty k lė m is , k u r ių s k a lė s p a d a lo s v e r tė 5 g ,

s v e r i am a 5 g t i k s lu m u .

S u a p v a l i n u s d e š i m t a i n e s t r u p m e n a s i k i d e š i m t ų j ų , š i m t ų j ų ,

tūks tan tų jų i r 1 .1 . , gaunamos 0 ,1 ; 0 ,01 ; 0 ,001 i r 1 .1 , t iks lumu

apyt iks lės r e ikšmės . Pavyzdž iu i , suapva l inę ska ič ių 2 ,513 ik i de-

š im tų jų , g au n am e 2 , 5 . S k a ič iu s 2 , 5 y r a s k a ič i au s 2 , 5 1 3 ap y t ik s lė

re ikšmė, kur ios t iks lumas ik i 0 ,1 :

| 2 , 5 1 3 - 2 , 5 | = 0 , 0 1 3 < 0 , 1 .

536. Kvadrato kraš t inė lygi : 4 ,24 cm; 5 ,87 dm i r 6 ,11 cm. Pa-

g a l k v ad r a tų l en t e lę r a s k i t e k i ek v ien o k v ad r a to p lo to ap y t ik s lę

r e ik š m ę . A p s k a ič iu o k i t e k i ek v ien o s ap y t ik s lė s r e ik š m ė s ab s o l iu -

č ią ją pak la idą .

537. Suapval inki te skaičius 17,26; 12 ,034; 8 ,654 ik i deš imtųjų

i r r ask i te k iekv ienos apy t iks lės r e ikšmės abso l iuč ią ją pak la idą .

538 . Rask i te abso l iuč ią ją pak la idą apy t iks lės r e ikšmės , gau tos

s u a p v a l i n u s : '

a ) skaičių 9 ,87 ik i v ienetų;

b) skaičių 124 iki dešimčių;

c ) ska ič ių 0 ,453 ik i deš imtų jų ;

d) skaičių 0 ,198 ik i š imtųjų .

5 3 9. R e m d am ies i ap y t ik s l e l y g y b e , r a s k i t e ap y t ik s lė s r e ik š -

mės abso l iuč ią ją pak la idą :

a ) 2 , 8 4 1 3 « 2 , 8 4 ; c ) 0 , 0 5 6 9 « 0 , 0 5 7 ;

b ) 3 1 , 1 9 2 « 3 1 , 2 ; d ) 4 87 ,8 1 « 4 8 8 .

5 40 . P a r a š y k i t e s k a iči ų d e š i m t a i n e t r u p m e n a ir s u a p v a l i n -

O

k i t e j ą i k i d e š im tų jų , i k i š im tų jų , i k i t ū k s t an tų jų . K iek v ien u a t -

v e ju r a s k i t e ap y t ik s lė s r e ik š m ė s ab s o l iu č ią ją p ak l a id ą .



541 . T r up m en a y pa ke i s t a de š im ta ine t r u pm en a 0 ,14 . K ok ia

š ios apy t ik s lės r e ik š mės abs o l iuč io j i pak l a ida?

o c

542 . K iek v iena s s um os — + т . d ė m u o i š r e i k š t a s d e š i m t a i n e

7 14

t r upmena s u v i enu ženk lu po kab l e l i o i r gau t i dėmenys s udė t i .

R as k i t e dėm en ų ir s um os apy t ik s l i ų r e ik š m ių ab s o l iuč iąs i a s pa -

k l a idas .

5 4 3 . P a g a l f u n k c i j o s y — χ

2

graf iką (ž r . 44 pav . ) r ask i te y apy-

t i k s l e s r e ik š mes , ka i л = 0 ,7 ; 1 ,8 ; 3 ,4 . A p s ka ič iuok i t e k i ekv i enos

apy t ik s lės r e ik š mės abs o l iuč ią ją pak l a idą .

5 4 4 . R e m d a m i e s i f u n k c i j o s

y= X

2

g r a f iku , r a s k i t e

y

a p y t i k s l e s

r e ikš mes , ka i χ= 0 , 9 ; 1 ,5 ; 2 ,3 . A ps k a ičiuok i t e k i ekv i enos a py t ik s -

l ė s r e ik š mės abs o l iuč ią ją pak l a idą .

545 . I š ma tuok i t e s u ma t l ank iu k i ekv i eną 49 pave iks l e pava i z -

d u o t ą k a m p ą . K o k s g a u t ų r e z u l t a t u t i k s l u m a s ?

546 . N ubr a i žyk i t e s m a i lų jį kam pą ir i š m a tuo k i t e jį m a t l a nk iu .

K o k s g a u t o r e z u l t a t o t i k s l u m a s ?

547 . S t r yp o il g i s buv o i š m a tu o t a s l in iuo t e s u m i l ime t r i nėmis

pada lomis , s l ankmač iu ( j o pada los ve r tė l yg i 0 ,1 mm) i r mik r o -

m e t r u , ku r io pa da los ve r tė 0,01 m m . G au t i t ok ie r ez u l t a t a i :

17 ,9 mm, 18 mm, 17 ,86 mm. K ur iuo p r i e t a i s u ma tuo j an t gau t a s

k i ekv i enas ma tmuo i r koks k i ekv i eno p r i e t a i s o t i k s lumas ?

548 . Sv e r i a n t s v a r s ty k lėm is s u s va r s č i a i s , nu s t a ty t a , kad a r -

būzo masė d idesnė už 5 kg i r mažesnė už 6 kg . Masės apyt iks le

r e ikš me buvo l a ikomas 5 kg i r 6 kg a r i tme t in i s v idu r k i s . K ok iu

t i k s lumu pas i r i nk t a š i apy t ik s lė r e ik š mė?

549. Įrodyki te , kad kiekvienas i š skaičių 0 ,16 i r 0 ,17 yra skai -

č iaus j r apyt iks lė re ikšmė 0 ,01 t iks lumu. Kur i jų yra ska ič iaus

apy t ik s lė r e ik š mė 0 ,005 t i k s lumu?

5 5 0. R a s k i t e d e š i m t a i n ė m i s

t r u p m e n o m i s s u v i e n u ž e n k l u

po kab l e l i o i š r e ik š t a s s ka ič i aus

3

I y apy t ik s l e s r e ik š m es 0 ,1 t ik s -

l umu .


551. Iki tu r is t in ės ba zės

t u r i s t a m s r e i k ė j o n u k e l i a u t i

252 km . D alį kel io j ie nu va -



žia vo au tob us u , o v i są k i tą nu oto lį nu ėjo pės t i . Ke l ionė au to bu su

už t ruko 2 h i l g i au negu pėsč iomis . Au tobusu važ i avo 60 km/h ,

o ė jo 6 km/h gre ič iu . Kiek la iko tur i s ta i ke l iavo pės t i?

5 5 2 . N u b r a i ž y k i t e f u n k c i j ų g r a f i k u s :

a )

y—

6,5; b)

y=7,2.


\ 6

7

· 7 ' .

h l

44

5

a

' 42

7

* ' 11

3

· 2

1 0

'

I I I S K Y R I A U S P A P I L D O M I P R A T I M A I

7 paragra fas

554. Ar te i s in ga lygyb ė:

a ) 3

2

+ 4

2

+ 5

2

= 6

2

; b) ( 1 + 2 + 3 + 4 )

2

= l

3

+ 2

3

+ 3

3

+ 4

3

?

555. I š sk a id ę ska ič ių p i rmin i a i s d au g in am ai s i a i s , i š r e ikšk i t e jį

p i r m i n i ų s k a i č i ų l a i p s n i ų s a n d a u g a :

a) 54; b) 144; c) 225; d) 500.

556. Ska ič ių i š re ikšk i t e l a ipsn iu , ku r io pa g r i n d as 2 a rb a 3 :

a) 64; b) 81; c) 512; d) 729; e) 1024.

557. I š re ikšk i t e ska ič i aus 2 l a ipsn ių s um a ska ič ių :

a) 6; b) 18; c) 42.

558 . Ska ič ių i š re ikšk i t e l a ip sn iu , ku r io rod ik l i s ne lyg us v i e -

n e t u i :

a) 121; b) —32; c) 0 ,125; d) 625; e) -0 ,216; f) 0 ,343.

559. A pska ič iuok i t e r e i šk in ių r e ikš m es :

a ) 0 ,OOI

JC

5

, k a i X = - 2 ; c ) x

2

y\ k a i X = 5 , y = 2 ;

b) I O O O I A k a i

y=

0,1; d) 3X

3

ĮR

3

, k a i x = - 2 , « / = - 5 .

560 . A psk aič iuok i te re i šk in io ( — 1) " re ikšm ę, kai n ly gu s :

a) 6; b) 11; c) 23; d) 70.


a) skaič ių 5 i r —3 kub ų su m ą;

b) skaičių 9 i r —11 sumos kubą;

c) skaič ių 12 i r 8 kvadra tų sk i r tumą;

d) sk aič ių 96 ir —4 sk i r tu m o k v a d ra tą .



562. N eap ska ičiav ę p alygin kite reiškinių reikšm es:

a ) ( - 0 , 0 3 )

8

ir 0; c ) ( - 1 , 7 5 ) » ir ( - 0 , 2 9 )

2

;

b ) 0 i r ( - 1 , 2 5 )

7

; d) 0,9 8

6

ir 1,02

6

.

563. Kuris didesnis ir kiek didesnis:

a ) 2

3

ar 3

2

; c) 2

·

3

2

ar 3» 2

3

;

b) 5

2

ar 2

5

; d ) ( 1 1 + 19 )

2

ar 112+19

2

?

564. Palyginkite reiškinių a

2

ir a

3

reikšmes, kai a lygus :

a) - 1 2 ; b) 0 ; c ) 5 .

565. Ap skaičiuokite reiškinių reikšmes , kai x = l , 5 ir x——2:

a)

χ

2

;

- χ

2

; ( - * ) * ; b )

х

3

;

(

_

х )

з .

566. Kurie iš skaičių —3, —2, —1, 1, 2, 3 yra lygties šaknys:

a ) x

4

= 8 1 ; c ) x

2

- x = 2 ; e ) x

3

- 3 x » - 4 x + 1 2 = 0 ;

b) д с ®=64; d) x

4

+ x

3

= 6 x

2

; f) x

3

+ 3 x

2

- x - 3 = 0 ?

567. {rodykite, kad š ios lygtys neturi šaknų:

a )

J C

2

+ 1 = 0 ; b )

2 χ β + 3 χ

4

+ χ

2

+ 1 = 0 .

568.

Įrodykite, kad lygtis x

4

+ 3 x

3

+ 2 x

2

+ x + 6 = 0 n e tu r i t e i g i a -

mų šaknų.

569. Ar gal i lygt is J C

6

— x

+ x * — X

3

+ X

2

— x +

1

= 0 turėti ne ig ia -

mų šaknų?

570. Suprast inkite reiškinius:

a) O

10

O

12

(

—

a

5

) ; b ) x ( - x ) (— * « ); c )

y

k

y

9

y

2

; d)

571. Parašykite reiškinius la ipsniu:

a) 2

5

· 8; b) 1 6 -6 4 ; c) 7» · 343; d) 8 1 -3 * .

572. Parašykite reiškinius sandauga dviejų dauginamųjų, ku-

rių vienas yra a®:

a) o

1 0

; b) a

6

; c) -a

4 0

.

573. Kintamąjį

JC

pakeiskite la ipsn iu, k urio pa grin da s c , kad

gauta lygybė būtų tapatybė:

a )

C

3

X=C*;

b ) X C

s

= C

8

; c) C

e

X = C

1 1

; d ) C

4

X = C

1 5

.

574. Dalmenį pakeiskite la ipsniu:

а ) 6

1 8

: b

12

; b) 7

3 9

: 7

13

; c ) α

1 1

: α ; d ) 1 2

10 0

: 1 2

м

.



575 . A psk a ič iuok i t e r e i šk in ių r e ik šm es :

a) 13

,0

° : 13

98

; c) 2

1 4

: 8*; e) 5

1 0

: 25

4

;

v \

VJL

.

a\

9 8 , 5 9

. n

3

' '

5

'

D

' 36-25»

a

' 3»-5io »

1

' 3

1 0

· 5

7

*

576 . S up r a s t i nk i t e r e i š k i n i u s :

a ) 6»+

3

: 6

n

; b) IO

n

+

1

: IO

n

"

1

.


a ) ( 2 1 7 - 4 3 , 0 7 . 4 ) 0 + 5 - 4 - ; b ) 17,83° · 6 , 4 + 2 ,8 .

O /

578 . S up r a s t i nk i t e :

a ) ( - l ) M - l ) " ; b ) ( - 1 ) * · : ( - 1 )

3

.

579 . S k r i t u l i o p l o t a s a p s ka i č i uo j a m a s pa ga l f o r m u l ę

S=nr

2

;

čia

r

— s k r i t u l i o s p i nd u l y s . K a i p p a s i ke i s s k r i t u l i o p l o t a s , j e i gu

j o s p i n du l į pa d i d i n s i m e 3 ka r t u s ; 7 ka r t u s ?

5 80 . R u t u l i o t ū r i s a p s k a i č iu o j a m a s p a g a l f o r m u l ę V--J nr

3

;

čia

r

— r u t u l i o s p i nd u l y s . K a i p pa s i ke i s r u t u l i o t ū r i s , j e i gu j o

s p i nd u l į pa d i d i n s i m e 2 ka r t u s ; 4 ka r t u s ?

581 . A ps k a i č i uok i t e re i š k i n i ų r e i k š m e s :

a ) 4

5

· 2 ,5

5

; c) 0,2

9

• 5

7

; e )

0 , 2

β

· 2 5

3

;

b

> ( τ )

Ι 3

·

3

'

3 ;

d ) 0 ,4

ΙΟ

· 2 , 5 '

2

; f ) - ( - i ) ' . 81«.

5 8 2 . P a l y g i n k i t e

r e i š k i n i ų r e i k š me s :

a), IO

7

ir 2» · 5

7

; c) 25

2 5

i r 2

5 0

· 3

5 0

;

b ) 6

1 2

ir 2

1 3

· 3

1 1

; d) 63

3 0

ir 3

6 0

· 5

3 0

.

583 . P a r a š yk i t e r e i šk in iu s , kad jų i š r a i ška bū tų 3™ a rb a — 3

n

:

а ) ( - З

3

)

2

; b ) ( - 3 2 ) з

;

с) - ( З

4

)

2

; d) - ( - З

2

)

3

.


a ) ( X

3

) M - *

3

) * ; c )

( *

7

)

5

· ( - *

2

)

β

;

b ) {-У

3

)

7

Л -У *)

5

'. d ) ( - c

9

)

4

- ( c

5

)

2

.

585 . Pake i sk i t e

r a idę p tok iu r e i šk in iu , kad gau ta lygybė bū tų

t a p a t y b ė :

a ) p

5

= *

2 0

; c) P

3

C

8

=C

2 0

;

b ) p

7

= *

2 1

; d ) y

7

-(y

2

)*=P

5

·



5 94 . S u d a u g i n k i t e v i e n a n a r i u s :

a )

— 8x

2

y

3

ir 0,2

xy*;

d) l ,25xt/

2

,

-OAyz

2

ir - 0 , 3 x

2

z ;

b) m

2

n

2

ir 0,5 m

3

n ; e ) - 2 , 5 abc , -abc ir 3,4 a

2

ft;

c ) — 2 ,4χ

3

α i r -0 ,5

x y

3

· ,

f ) 0 ,8

a

5

b x ,

- 0 , 4

a b

2

x

3

i r - 0 , 5 a f t

4

*

2

.

595.

P a r a š y k i t e re i š k in i u s s a n d a u g a d v i e j ų s t a n d a r t i n i ų v ie -

n a n a r i ų , k u r i ų v i e n a s l y g u s 2 0

x

4

y :

а) 100*

5

г/

3

; b ) -30x

4

i /

5

; c) -4

x

{ 6

y ;

d )

x

l0

y

2

.

596.

I š r e ik š k i t e v i e n a n a r į d v i e j ų s t a n d a r t i n i ų v i e n a n a r i ų s a n -

d a u g a :

a ) — 8a

5

c

3

; b ) -b

6

y

9

; с) 60х

10

г/

15

.

597 . Pake i sk i t e

r e i šk inį t ap ač ia i j am lvg iu s t an d a r t in ės i š -

r a i š k o s v i e n a n a r i ų :

a ) ( — IOaf t

1 2

)

2

; c ) ( - 3 x y

2

a

3

)

3

;

b ) ( - 0 , 2 x

4

y )

4

; d) ( — 0,5af t

2

c

3

)

4

.

5 98 . I š r e ik š k i t e v i e n a n a r i ų s a n d a u g ą v i e n a n a r i o l a i p s n i u :

a ) 27a

2

f t

5

· 3 a

l 0

f t

3

; c) 0,Olft

5

C

3

. ( - 0 , I f t c

2

) ;

b ) — 6 4 a

8

x '

1

· (— 0 ,25 a

2

x

9

) ; d ) - ^ P V

4

· | P

3

Q

i

-

599. S u p r a s t i n k i t e r e i š k i n i u s :

a ) (—0,2i / )

3

· 50г/

2

; d ) ( - 3 a

4

f t )

2

· į α '

2

6»;

b ) - 6 0 c

6

- ( - 0 , 5 c

2

) * ; e) - γ ftc

2

«ft

3

c

5

)

3

;

c ) ( — 0,6x

3

)

2

· ( — 5 x

4

); f) -OAxty

6

)

3

- -I Ο Ο Ο χ ψ

0

).

600.

P a r a š y k i t e s t a n d a r t i n ė s i š r a i š k o s v i e n a n a r i a i s :

a ) ( 2a f t )

2

· ( — 3a f t )

3

; e ) ( - 3

m n * ) * ·(-m*n)\

b ) ( -

0,2xy

3

-(- 5xy)

2

; f ) ( i * y f • (2x

3

y

2

)

c)

—

(Zxy)

2

· ( — 3x)

3

; g ) ( | a

2

f t

2

)

2

. ( - 3 a f t )

4

;

d ) — — 0 , 5 a c

2

)

2

· (— 2a

2

c )

s

; h ) ( - f - *

2

* / )

3

· ( - {

xy*) .

601. S u p r a s t i nk i t e r e i š k i n i u s :

a )

(- х

2

у

2

у .(-

х у

)

2

; d ) ( | a

2

f t )

3

- ( 9 a f t

2

)

2

;

b )

—

("|·

Х

У

3

)

2

' (

—

3 * )

3

; e ) ( - 5 f l 3 b

) a

. ( l

a

f t 3 )

3

;

c ) (— 2 x

3

y )

3

· — 2 y

2

)

3

; f ) ( - 2 a f t

4

)

2

. ( - 3 į a 3 f t )

S

.



9 paragrafas

6 02 . T a š k a s P ( - 4 ; ft) p ri -

k l a u s o f o r m u l e y

—

x

2

i š re ikš tos

f u n k c i jo s g r a f ik u i . R as k i t e b

r e ikšmę. Ar p r ik lauso š ios

f u n k c i j o s g r a f i k u i t a š k a s

Q(4-, ft)?

6 0 3 . T a š k a s C(m\ 9) pr i -

k l a u s o f o r m u l e y=x

2

i š r e ik š to s

f u n k c i jo s g r a f ik u i . A r p r ik l au -

s o š io s f u n k c i jo s g r a f ik u i t a š -

kas 9)?

604 . 50 pav e iks le pa va iz -

d u o t i f u n k c i j ų

y = x, y=x

2

y = x

3

g r a f ik a i . R em d am ies i j a i s , p a -

lyg ink i te :

a) 0,23 ir 0,23

2

;

b) 0,23 ir 0,23»;

50 pa v .

c

) ° '

2 3 2 i r 0

'

2 3 3

;

d) 1,47 ir, 1,47

2

;

e) 1,47 ir 1,47

3

;

f) 1,47

2

ir 1,47

3

.

605. P a g a l k v ad r a tų l en t e lę ap s k a ič iu o k i t e r e i š k in ių r e ik š -

m es :

a) 3*

2

, k a i x = 7 , 1 3 ;

b ) a

2

— ft

2

, ka i a = 17,3, ft= 12,5;

c ) a

2

- f - f t

2

, kai α = 2,17, ft

= l

,16 .

606.

P a g a l

k v ad r a tų l en t e lę r a s k i t e :

a) 3,26

4

; b) 5,17

4

; c) 1,39

4

; d) 2,11

4

.

607. P a g a l k v a d r a t ų l e n te l ę a p s k a i č iu o k i t e f u n k c i j o s y = X

2

r e i k š m e s s u ž e m i a u p a t e i k t o m i s χ r e i k š m ė m i s ( r e z u l t a t ą s u a p -

v a l i n k i t e i k i š i m t ų j ų ) :

*

1.21 1,22

1,23 1,24 1,25

1,26

У

Kiek p ad id ė j a f u n k c i jo s r e ik š m ė , k a i χ padidėja nuo 1 ,21 ik i

1,22?



6 08 . P a r a š y k i t e s k a iči ų y d e š i m t a i n e t r u p m e n a i r s u a p v a l i n -

k i t e j ą i k i d e š i m t ų j ų , š i m t ų j ų , t ū k s t a n t ų j ų . K i e k v i e n u a t v e j u r a s -

k i t e apy t iks lės r e ikšmės abso l iuč ią ją pak la idą , ka i :

a ) y - į - ; b> if— įV -

o

609. Ku r i sk aič ia us — ap yt ik s lė re ik šm ė t iks les nė: 0 ,18 a r

0,19?

C

610. K ur i sk aič ia us ap yt ik s lė re ik šm ė t ik s le sn ė: 0 ,55 ar

0,56?

611. Kur i i š ke tur ių skaič iaus

π = 3 , 1 4 1 5 9 . . .

apy t iks l i ų r e ikš -

m i ų ti k s l e s n ė : 3 ,1 4 1; 3 ,1 4 2; 3 - y ; 3 ^ ?

612. Įrodyki te, kad skaičius 1 ,4 yra skaičiaus 1,361 apyt ikslė

re ikšmė 0 ,1 t i k s lumu.

j

6 13 . P a r a š y k i t e s k a iči ų — d e š i m t a i n e t r u p m e n a i r s u a p v a l i n -

k i t e j ą : a ) i k i deš imtų jų ; b ) i k i š imtų jų ; c ) i k i t ūks t an tų jų . Nu-

r o d y k i t e a p v a l i n a n t g a u t o s a p y t i k s l ė s r e i k š m ė s t i k s l u m ą .



IV S K Y R I U S

D A U G I A N A R I A I

§ 10. DA UG IANA RIŲ SUM A IR SK IRTUM AS

2 7 . D A U G I A N A R I S I R J O S T A N D A R T I N E I Š R A I Š K A

R e i š k i n y s

Ax

2

y — 5xy + 3x—

1

y r a v i e n a n a r i ų 4

x

2

y , —

5

x y ,

3x ir — 1 s u m a . To k ie r e iš k in i a i v ad in a m i

daug ianar ia i s .

A p i b r ė ž i m a s . D au gia na riu v ad in am a v ien an ar ių su ma.

V i e n a n a r i a i , k u r i e s u d a r o d a u g i a n a r į , v a d i n a m i

daug ianar io

naria is .

A n t a i d a u g i a n a r i s

Ax

2

y

—

Ъ х у +З х — 1

s u d a r y t a s i š nar ių

4 x

2

y , — 5x y , 3* ir —1.

J e ig u d a u g ia n a r į s u d a r o d u n a r i a i , t a i j i s v a d in am as d v in a r iu ,

j e i g u t r y s n a r i a i — t r i n a r i u . V i e n a n a r i a i l a ik o m i d a u g i a n a r i a i s ,

k u r i u o s s u d a r o v i e n a s n a r y s .

D a u g i a n a r i o

5α

2

6 + 2 + 4 α &

2

- 3 α

2

& - 7 n a r i a i 5 a

2

b ir -3

a

2

b

y ra

p an aš ū s d ė m en y s , n e s j ų r a id in ė d a l i s y r a v i en o d a . P an aš ū s

dėmenys y ra t a ip pa t ne tu r in tys r a id inės da l ies nar ia i 2 i r —7.

D a u g i a n a r i o p a n a š ū s d ė m e n y s v a d i n a m i

daug ianar io panaš ia i -

s ia is naria is .

P a n a š i ų j ų n a r i ų s u m ą g a l i m a p a k e i s t i v i e n u n a r i u , s u d e d a n t

jų koef ic ien tus i r pa l iekan t tą pač ią ra id inę da lį . Toks tapa tus

d a u g i a n a r i o p e r t v a r k y m a s v a d i n a m a s

panaš iųjų narių sutrau-

kimu.

S u t r a u k ę d a u g i a n a r i o 5a

2

b +

2

+ Aab

2

—3a

2

b

—

7 p a n a š i u o s i u s

n a r i u s , g a u n a m e :

5a

2

b + 2 + Aab

2

- 3 a

2

b -7 = 2 a

2

b + Aab

2

- 5.

D a u g i a n a r i s 2a

2

b-\-Aab

2

—

5 n e tu r i p a n a š ių jų n a r ių , ir k i ek -

v i e n a s j o n a r y s y r a s t a n d a r t i n ė s i š r a i š k o s v i e n a n a r i s . T o k s d a u -

g i a n a r i s v a d i n a m a s s tandart inės i šraiškos daugianariu .

Kiekv ieną da u g i a n ar į ga l im a pe r tva rky t i t a ip , kad j i s bū tų

s t a n d a r t in ės i š ra i škos . Re ik ia t ik k iekv ien ą jo na rį pa ra šy t i s t a n-

d a r t i n e i š r a i š k a i r s u t r a u k t i p a n a š i u o s i u s n a r i u s .



S t a n d a r t i n ė s i š r a i š k o s d a u g i a n a r i o

8xy + 6x

2

y

3

— 9 na r i a i y r a

an t ro , penk to i r nu l in io l a ipsn io v i enanar i a i . D idž i aus i as š ių

l a i p s n i ų v a d i n a m a s

daugianar io la ipsniu .

V a d i n a s i , s t a n d a r t i n ė s

i š r a i š k o s d a u g i a n a r i s Sxy + 6x

2

y

3

— 9 y r a p e n k t o j o l a i p s n i o d a u -

g i a n a r i s .

Standa rt inės i šraiškos dau gianar io la ipsniu vad inam as di -

džiausias jj sudarančių vienanarių laipsnis . N e s t a n d a r t i n i o d a u -

g i a n a r i o l a i p s n i u v a d i n a m a s t a p a č i a i j a m l y g a u s s t a n d a r t i n i o

d a u g i a n a r i o l a i p s n i s .

P a v y z d ž i u i , k a d s u ž i n o t u m e , k o k s d a u g i a n a r i o 3 a

4

- f

8ab — 2a

4

—

— a

4

+ 56 l a ipsn i s , pe r tva rky k im e jį t a ip , kad bū tų s t a n da r t i n ės

i š ra i škos :

3a

4

+ 8ab-2a

4

-a

4

+5b = 8ab + 5b.

D a u g i a n a r i o

8ab + 5b

l a i p s n i s l y g u s d v i e m , t o d ė l i r d a u g i a n a -

r io 3a

4

+8ab — 2a

4

— a

4

l a ipsn i s l ygus dv iem.

614 . Pasakyk i t e daug ianar io k i ekv ieną na rį :

a)

—

6x

4

+y

3

—5y +11; b) 25ab+ab

2

-a

2

b + 8a-7b.

6 1 5 . S u t r a u k i t e d a u g i a n a r i o p a n a š i u o s i u s n a r i u s :

a) 3x

4

—

5.x +

7 χ

2

— 8x

4

+ 5x;

b) 2a

3

+ a

2

— 17 — 3a

2

-f a

3

— a — 80;

c) 12ab

2

- b

3

- 6ab

2

+ 3a

2

b - 5ab

2

+ 2b

3

;

d)

2a.

2

-ax

3

-a

4

-a

2

x

3

+ ax

3

+2a

4

.

6 1 6 . S u t r a u k i t e d a u g i a n a r i o

p a n a š i u o s i u s n a r i u s :

a )

-a

4

+ 2a

3

-A a

4

+ 2a

2

-3a

2

;

b) 1

+ 2y

6

— 4y

3

—6y

6

+ 4y

3

— y

5

— 9;

c ) 1 Ox

2

y — Ъ х у

2

— 2x

2

y+χ

2

y — 3xy

2

;

d)

3ab

3

+ 6a

2

b

2

— ab

3

— 2a

2

b* — 4a

2

b

2

+

7.

617. I š r e ik š k i t e s t a n d a r t i n i u d a u g i a n a r i u :

a) —

8p

4

+

1

2 p

3

+ 4 p

4

— 8p

2

+ 3p

2

;

b)

2a a

7

+ a

2

—

3a

2

+ a

3

— a;

c) 3* ·

χ

4

+ 3x • x

2

-5 x

2

x

3

-5 t

2

x;

d )

3a 4b

2

-0,8b 4b

2

-2ab 3b + b-3b

2

-\.

618.

P a r a š y k i t e d a u g i a n a r į s t a n d a r t i n e i š r a i š k a :

a ) 2 a

2

x

3

-

a x

3

- a

4

+ 3x

4

-a

2

x

3

+ ax

3

+ 2 a

4

;

b) 5x

•

2y

2

—

5x · 3xy—x

2

y + 6xy

2

.

8 . Alg eb r a 6 k l .

113



* 6 1 9. A p s k a i či u o k i t e d a u g i a n a r i o r e i k š m ę :

a) 5*

6

— 3 *

2

+ 7 — 2*

6

— 3*

6

+ 4x

2

, kai л : = - 1 0 ;

b) 4a

2

b-ab

2

-3 a

2

b + ab

2

-ab + 6, ka i a = - 3 , 6 = 2.

\ 620. A p s k a i č i u o k i t e d a u g i a n a r i o r e i k š m ę :

a )

6α

3

— α

1 0

+ 4 α

3

+ α

1 0

— δ α ^ + α , k a i α = - 3 ;

b ) 4x

6

y

3

—

3x

6

y

3

+ 2x

2

y

2

—

x

6

y

3

—

x

2

y

2

+ y, k a i л : = - 2 , y=-I.

621 . P a r a š y k i t e d a u g i a n a r i u s k a i či ų , k u r į s u d a r o :

a ) χ de š imčių i r y v i e n e t ų ;

b ) α de š imčių i r b v i e n e t ų ;

c ) α š i m t ų , b deš imčių i r c v i e n e t ų ;

d )

χ

š i m t ų ,

y

deš imčių i r

χ

v i e n e t ų .

6 2 2 . I š d ė s t y k i t e d a u g i a n a r j p a g a l m a ž ė j a n č i u s k i n t a m o j o l a i p s -

n i u s :

a) 17a

4

— 8 a

5

+ 3 a — a

3

— 1; b) 35 - c

6

+ 5c

2

- c

4

.

6 2 3. I š d ė s t y k i t e p a g a l d i d ė j a n č i u s k i n t a m o j o l a i p s n i u s :

a ) x

4

— 5— x

2

+12*; b) 2y+y

3

-y

2

+1.

6 2 4 . K o k s d a u g i a n a r i o l a i p s n i s :

a ) 4α

6

— 2α

7

+ α

—

1; d ) 4xy + xy

2

-5*

2

+ y;

b ) 5 p

3

- p - 2 ; e ) 8x

4

y + 5*

2

y

3

- 11;

c ) 1 - 3 * ; f ) xy+yz+xz-1?

Kartojimo pratimai

625. I š s p r ę s k i t e l y g t i s :

\ J L - ы °'

56

_* +

2

a

' 2,4 32 · " J 35 ~ 5 *

626. A p s k a i č i u o k i t e :

ч

5

3

· 2 5

2

, . 2

δ

· 8 . 4

5

·3»

а) — 5 b ) - J

i

- ; c ) - g T .

8 2 7. S u k u r i a a r g u m e n t o r e i k š m e f u n k c i j a y

r e i k š m ę , l y g i ą : a ) 24 0 ; b ) - 1 0 0 ?

= 0 ,01* įg y ja



2 8 . D A U G l A N A R i y S U D Ė T I S IR A T I M T I S

P a r a š y k i m e d a u g i a n a r i ų 5л

2

+ 7х— 9 ir — Здс

2

— бх + 8 s u m ą :

( 5 *

2

+ 7 * - 9 ) + — 3x

2

—6jc + 8) .

A t s k l i a u s k i m e i r s u t r a u k i m e p a n a š i u o s i u s n a r i u s . G a u s i m e :

(5*

2

+

7 л : - 9 ) + ( - 3 *

2

- 6 . * + 8) = 5 x

2

+ 7 x - 9 - 3 *

2

- 6 * + 8 =

= 2x

2

+ x-l.

D a u g i a n a r i ų

5x

2

+ 7x

— 9 ir —

Зл

2

— 6x +

8 s u m ą i š re i š k ėm e d a u -

g i a n a r i u 2x

2

+x— 1. A p s k r i t a i b e t k u r i ų d a u g i a n a r i ų s u m ą g a l i m a

i š r e i k š t i d a u g i a n a r i u .

P a r a š y k i m e d a u g i a n a r i ų

x

3

+ 5x

2

—

x + 8 ir

x

3

— Ix-

1 sk i r t umą:

(х

3

+ 5л

2

— x + 8 )

—

(x

3

—

7x

1).

A t s k l i a u t ę ir s u t r a u k ę p a n a š i u o s i u s n a r i u s , g a u s i m e :

( л

3

+ 5л

2

— л:+8)

—

(x

3

—

7x— 1) = x

3

+ 5x

2

— x + 8 — χ

3

+ 7 л : + 1 =

= 5x

2

+ 6 x + 9 .

D a u g i a n a r i ų л:

3

+ 5л

2

— x + 8 ir x

3

— 7x—

1 sk i r t umą i š re i škėme

d a u g i a n a r i u 5л:

2

+ 6л :+9 . A psk r i t a i be t k u r i ų d a u g i a n a r i ų s k i r t u -

m ą g a l i m a i š r e i k š t i d a u g i a n a r i u .

T a i g i , s u d ė j u s i r a t ė m u s d a u g i a n a r i u s , v ė l g a u n a m a s d a u g i a -

n a r i s .

K a r t a i s r e i k i a s u s k l i a u s t i k e l i s d a u g i a n a r i o n a r i u s . T u o m e t :

j e igu p r i eš sk l i aus tus y ra „p l iu sas" , t a i susk l i auč iami na r i a i

r ašomi su t a i s pač ia i s ženk la i s ;

j e i g u p r i e š s k l i a u s t u s y r a „ m i n u s a s " , t a i s u s k l i a u č i a m i n a r i a i

r a š o m i s u p r i e š i n g a i s ž e n k l a i s .

P a v y z d ž i u i ,

3x-2y+b=3x+(-2y+b),

3x—2y + b = 3x— (2y

—

b).

Sios l ygybės y ra t apa tybės . Tuo ga l ima įs i t i k in t i , a t sk l i au tus

kiekvienos lygybės deš inę pusę .

6 28 . a ) P a r a š y k i t e d a u g i a n a r i ų 4

X

3

-5

JC

—

7 ir

л :

3

- 8 х

sumą

i r i š r e i k š k i t e j ą s t a n d a r t i n i u d a u g i a n a r i u .

b ) P a r a š y k i t e d a u g i a n a r i ų 5y

2

—

9 ir 7y

2

—

y + 5 sk i r tumą i r

i š r e ik š k i t e j į s t a n d a r t i n i u d a u g i a n a r i u .



6 2 9 . Du o t i d u d au g i an a r i a i : 2 a

3

— 4 a

2

-5a + 5 i r a

3

+ 4 a

2

- 4 a —

— 2.

P a r a š y k i t e i r s u p r a s t i n k i t e :

a ) š i ų d a u g i a n a r i ų s u m ą ;

b ) p i rm o ir an t r o d a u g i a n a r i ų sk i r t u m ą ;

c ) an t r o i r p i r m o d au g i an a r i ų sk i r t u m ą .

6 30 . P a r a š y k i t e s t a n d a r t i n ė s i š r a iš k o s d a u g i a n a r i a i s :

a ) (1 + 3 a ) + (a

2

— 2 a) ; d ) ( 6

2

- 6 + 7) - (6

2

+

6

+ 8) ;

b)

(2x

2

+ 3x)

+ — x + 4 ) ; e ) ( 8 n

3

- 3 n

2

) - (7 + 8 r i

3

- 2 n

2

) ;

c)

(y

2

—

5y)

+

(by

—

2y

2

)

; f) (a

2

+ 5 a + 4 ) — (a

2

+ 5a — 4).

f 6 31 . S u p r a s t i n k i t e r e i šk i n i u s :

a )

5 , 2 α - ( 4 , 5 α + 4 ,8 a

2

) ;

b) — 0,86

2

+ 7 , 4 6 + ( 5 , 6 6 - 0 , 2 6

2

) ;

c)

8x

2

+

(4,5 — χ

2

) — (5,4л:

2

— 1) ;

d ) ( 7 , 3 i / - y

2

+ 4 ) + 0 , 5 y

2

- (8,7y — 2,Ay

2

).

» 632. P a r a š y k i t e s t a n d a r t i n ė s i šr a iš k o s d a u g i a n a r i a i s :

a) 18x

2

—

(10*

— 5

+ 18x

2

); c) (6

2

+ 6 - 1) - ( 6

2

- 6 + 1 ) ;

b)

—

12c

2

+ 5c + ( c +

1

I c

2

) ; d ) ( 1 5 - 7 0

2

) - ( y

3

- y

2

- 1 5 ) .

633. Raski te re išk in ių sumą i r sk i r tumą:

a) a +

6

ir a — 6; c) —a-b ir a — 6;

b) a-b ir a + 6; d) a-b ir b —a.

- 6 34 . S u p r a s t i n k i t e r e i šk i n i u s :

a) (a

2

— 0 , 4 5 ^ + 1,2) + ( 0 , 8 a

2

- 1 ,2a) - ( l , 6 a

2

- 2 a ) ;

b ) (y

2

— 1 , 7 5 0 - 3 , 2 ) - ( 0 , 3 0

2

+ 4) - ( 2 0 - 7 , 2 ) ;

c) 6xy-2x

2

-(3xy + 4x

2

+l)-(-xy-2x

2

-l);

d) -

(2ab

2

—

ab + b)

+ 3 a 6

2

- 4 6 - ( 5 a 6 - a 6

?

) .

" 635 . Su pra s t in k i t e r e i šk in ius :

a ) 8 α

2

6 + ( - 5 α

2

6 + 46

2

) + (α

2

6 - 5 6

2

+ 2) ;

b) (xy+x

2

+ y

2

) — (x

2

+ y

2

—

2xy) — xy.

636.

Ap ska ič iuok i t e r e i šk in io

(5,7a

2

6 - 3,1

ab + 8b

3

) -

( 6,9 α 6 - 2 , 3 α

2

6 + 86

3

)

rei kš m ę, ka i : a) a = 2 i r

6

= 5; b ) a = - 2 ir 6 = 3.



4

6 37 . A p s k a i č i u o k i t e r e i š k i n i o

5x

2

— Cixy-Ix

7

)

+ ( 5

xy- \2x

2

)

r e ik šmę , ka i : a )

X=

- 0 , 2 5 ir

y =

4 ; b ) J t = - 5 ir

y=0,1.

6 38 . M o k i n i a m s b u v o p a t e i k t a s u ž d a v i n y s : „ A p s k a i či u o k i t e

r e i š k i n i o ( 7 a

3

- 6 a

2

f t + 5

a b

2

)

+ ( 5a

3

+ 7a

2

f t + 3a ft

2

) - (1 0a

3

+ a

2

ft +

+

8

ab

2

)

r e i k š m ę , k a i a = - 0 , 2 5 ,

b=

- 0 , 3 4 7 " . V i e n a s m o k i n y s p a -

r e iš k ė, k a d u ž d a v i n y j e yr a n e m k a u i t g ų a u o m e n ų . m j .s i e ^ a s ?

639 . Į r odyk i t e , kad r e i šk in io r e ik šmė nep r ik l auso nuo jo k in -

t a m o j o r e i k š m i ų :

a) 1,7 — IOft

2

— (1

— 3b

2

)

+ ( 2 , 3 + 7 b

2

) ;

b )

1 — ft

—

(3ft

—

2 ft

2

) + (1 +

3ft —

ft

2

).

4

640 . Sa ky k im e , kad * = 5a

2

+

6af t - f t

2

, y=

- 4 a

2

+ 2aft +

3ft

2

,

2 =

= 9 a

2

+

4aft.

[ r a š y k i t e š i u o s d a u g i a n a r i u s v i e t o j x , y i r z p a t e i k -

t u o s e r e i š k i n i u o s e ir s u p r a s t i n k i t e j u o s :

a )

x+y + z;

b )

χ y z .

641. I š s p r ę s k i t e l y g t i s :

a ) ( 1 7 - 5 л ) - ( З л : - 1 1 ) = 4 ;

*b> ( 19 + 2 * ) - ( 5 * - 1 1 ) = 2 5 ;

c)

(3,2y—

1,8) — (5,2Į/ + 3,4 ) = — 5,8;

d ) 1 -

(0 ,5 л - 1 5 , 8 ) = 1 2 , 8 - 0 , 7 * ;

e) 3,8 — 1,5y + (4,5i/ — 0,8) =

2,Ay

+ 3;

f i) 4,2y + 0 ,8 = 6,2 y - (1,1 y + 0,8) + 1,2.

*

I š s p r ę s k i t e l y g t i s :

a ) 8 i / ^ 3 - ( 5 - 2 y ) = 4 , 3 ; c ) - 8 * + (4 + 3* ) = 10—д:;.

b )

0,5y— 1 —

(2

Į

/ + 4)

=y;

d ) l , 3 x - 2 - ( 3 , 3 x + 5)

=2x+

1.

6 4 3. P a r a š y k i t e r e i š k i n į k o k ių n o r s d v i n a r i ų s u m a :

а) Зле

3

— 2л

2

— л + 4 ; b ) -

5 y * + Ay

3

+ 3y

2

-2y.

'644 . K ur iu o no r s b ū d u p a r a š y k i t e r e i š k i n į v i e n a n a r i o ir t r i -

n a r i o s k i r t u m u :

а)

x

3

+ 2x

2

—

3x

— 5; b) 3a

4

+ 2 a

3

+ 5 a

2

- A .

645 . [ r odyk i t e , kad :

a )

t r i j ų i š e i l ė s e in an č ių na tū r i n i ų ska ičių sum a y r a sk a ič i a us

3 k a r t o t i n i s ;

b ) ke tu r ių i š e i l ė s e inanč ių na tū r in ių ska ič ių suma nė r a ska i -

č i a u s 4 k a r t o t i n i s .



Kartojimo pratimai

6 46 M e i s t r a s ir j o m o k i n y s p e r p a m a i n ą p ag am i n o 2 4 d e t a -

l e s . Me i s t r o p ag am i n t ų d e t a l i ų sk a i č i u s su t i n k a su m o k i n i o p ag a -

min tų de ta l ių ska ič iumi t a ip , ka ip 5 su 3 . Kiek de ta l ių pagamino

m e i s t r a s ?

6 4 7 . Dv i e j u o se sk l y p u o se b u v o p aso d i n t a 2 6 0 k r ū m ų se r b en t ų .

J i e p ad a l y t i ab i em sk l y p am s san t y k i u 8 : 5 . K iefe d a u g i au k r ū m ų

p a s o d i n t a p i r m a m e s k l y p e n e g u a n t r a m e ?

648. Įrodyki te , kad lygybė yra tapatybė:

a )

(-2x)*=8x-2x*·,

b )

( - 6 α

2

)

2

α

3

= (2α

2

)

3

· 4,5α.

§ 11. V IEN A N A R IO IR D A U G IA N A R IO S A N D A U G A

2 9 . V I E N A N A R I O D A U G I N I M A S I Š D A U G I A N A R I O

P a r a š y k i m e v i e n a n a r i o 9 n

3

i r d a u g i a n a r i o 7 n

2

— 3n +

4

s a n -

d a u g ą :

9 r a

3

( 7 n

2

- 3 n + 4 ) .

Rem d am i es i d au g y b o s sk i r s t y m o sav y b e , p e r t v a r k y k i m e š i ą

s a n d a u g ą :

9 n

3

( 7 n

2

— 3 n + 4 ) = 9 r c

3

· 7n

2

+ 9 n

3

( — 3n) + 9 л .

3

· 4 =

=

63ft

5

— 27 n

Ą

+36«

3

.

P a d a u g i n ę v i e n a n a r į i š d a u g i a n a r i o k i ek v i en o n a r i o ir su d ė j ę

g a u t u s r e z u l t a t u s , v i e n a n a r i o 9 / t

3

i r d a u g i a n a r i o 7 n

2

— 3 n + 4 s a n -

d a u g ą i š r e i š k ė m e d a u g i a n a r i u 6 3 n

5

— 2 7 n

4

+ 36n

3

.

A p s k r i t a i v i e n a n a r i o ir d a u g i a n a r i o s a n d a u g ą g a l i m a i š re i k š ti

d a u g i a n a r i u .

D a u g i n a n t v i e n a n a r į i š d a u g i a n a r i o , r e m i a m a s i š ia t a i s y k le .

Norint padau ginti vienanarį iš daugianario, reikia šį viena-

narį padau ginti iš daugianario kiekvieno nario ir sudėti gautas

sandaugas.

V i e n a n a r i o d a u g i n i m ą i š d a u g i a n a r i o g a l i m a u ž r a š y t i t r u m -

p i au . P av y zd ž i u i ,

- 3 a

J

( 4 a

3

- a + 1 ) = - 1 2 α

5

+ 3 α

3

- 3 α

2

.

V i e n a n a r i s d a u g i n a m a s i š d a u g i a n a r i o s p r e n d ž i a n t l y g t i s . P a -

t e i k i am e p av y zd ž i ų .



1 p a v y z d y s . I š s p ręs k im e ly g tį

8 —

5 * ( * — 7) =

1 —

5*

2

.

R e m d a m i e s i v i e n a n a r i o d a u g i n i m o i š d a u g i a n a r i o t a i s y k l e ,

p e r t v a r k y k i m e k a i r i ą j ą l y g t i e s p u s ę . G a u s i m e l y g t į

8 - 5 *

2

+ 3 5 * = 1 - 5 *

2

.

Iš čia

- δ * » + 3 5 * + δ *

2

= 1 - 8 ,

3 5 * = - 7 ,

* = — 0,2.

2 p a v y z d y s .

I š s p r ęs k i m e l y g tį ^ j p

=

2 .

P a d a u g i n ę a b i l y g t i e s p u s e s i š t r u p m e n ų v a r d i k l i ų b e n d r o

m a ž i a u s i o k a r t o t i n i o , t . y . i š s k a i č i a u s 18, g a u s i m e :

( « Ы _

£ ± 5 ) .

1 8

_ 2 . 1 8 .

Iš čia

1 8 - 1 8 = 3 6 ,

2 ( 2 *

—

1)

—

3 ( * + 5 ) = 3 6 ,

4 * - 2 - 3 * - 1 5 = 3 6 ,

* = 5 3 .

6 4 9 . S u d a u g i n k i t e :

a ) 2 * ( * 2 — 7 * — 3 ) ; d ) ( y » - 2 , 4 y + 6 ) · 1,5*/;

b ) - 4 6 2 ( 5 6 2 - 3 6 - 2 ) ; e) - 0 , 5 *

2

( - 2 *

2

- 3 * + 4 ) ;

c )

(3α

3

— α

2

+ a ) ( — 5 a

3

) ; f) (~3y

2

+0fiy) ( - 1,5г/

3

).

650. S a n d a u g ą iš r e ik š k i te d a u g i a n a r i u :

a ) 3 α 6 ( α

2

— 2 a 6 + 6

2

) ; d ) 2 , 5 a

2

6 ( 4 a

2

- 2 a 6 + 0 , 2 6

2

) ;

b ) - *

2

t / ( *

2

t /

2

- * 2 - Į/ 2 )

;

g ) (6 ,3 *

3

i/ — 3i/2 — 0 , 7 * ) · 1 0 *

2

«/

2

;

c ) ( - 2 a * 2 + 3 a * - a

2

) ( - a

2

* 2 ) ; f ) - 1

α

ψ ^ a y

2

- y a

2

y - | - a

3

) .

651.

I š r e ik š k i t e d a u g i a n a r i u :

a ) — 3 * 2 ( — *

3

+ * — 5 ) ; c ) - 3 α « * ( α

2

- 2 α * + *

3

- 1 ) ;

b ) (1 + 2 α — α

2

) · 5 a ; d )

(x

2

y-xy+xy

2

+y

3

)-3xy

2

.

6 5 2 . S u p r a s t i n k i t e

r e i š k i n i u s i r a p s k a i č i u o k i t e j ų r e i k š m e s :

a ) 3 ( 2 * - 1 ) + 5 ( 3 - * ) , k a i * = - l , 5 ;

b )

2 5 α - 4 ( 3 α - 1 ) + 7 ( 5 - 2 α ) , k a i a = 11;

c) 4 į / - 2 ( 1 0 į / - 1 ) + ( 8 « / - 2 ) , k a i

y=-

0,1;

d ) 1 2(2 — 3 p) + 3 5 p — 9 ( p + l ) , k ai p = 2 .



a ) 146 + 1 — 6(2 — 1 1 b) ; c) 1 4 ( 7 x - l ) - 7 ( 1 4 x + l ) ;

b) 25 (2 —3c) + 16(5c

—

1) ; d ) 36 (2

—г/)

— 6( 5— 2t / ) .

6 5 4 . S u p r a s t i n k i t e r e i š k in ius :

a )

I4y+2y 6—y)

; e) 7 f t ( 4 c - b ) + 4 c ( c - 7 6 ) ;

b ) 3y

2

—

2y 5+2y); f ) -2y x*-2y)- x*y + 4y

2

);

c) 4x x—\) —2 2x

2

— 1) ; g) 3 m

2

( m + 5 n ) - 2 n ( 8 m

2

- n ) ;

d ) 5 a

( а

2

- З а ) - 3 a ( a

2

- 5 a ) ;

h)

6m

2

n

3

-n

2

(6m

2

n+n-

1).

655. I š re i k š k it e d a u g i a n a r i u :

a ) 6 * ( x - 3 ) - x 2 - x ) ; c) ax 2x-3a)-x ax+5a

2

);

b)

- α

2

( 3 α - 5 ) + 4 α ( α

2

- α ) ; d )

-4m

2

(n

2

-m

2

)

+ 3 n

2

( m

2

- / i

2

) .

656. A p s ka ič iuok i t e r e i š k in ių r e ik š m es :

a )

-2х {х

2

-х +3)+х (2 х

2

+х -Ь ),

k ai x = 3 ; - 3 ;

b ) x(x-y)-y(y

2

-x), k a i x=4 ir y = 2 .

657. A p s ka ič iuok i t e r e i š k in ių r e ik š m es :

a )

5лг(2дс

— 6)

—

2 ,5дс(4л;—2), ka i * = - 8 ; 10;

b )

5a(a-4b)-4b(b-ba),

ka i

a=

- 0 , 6 ir 6 = - 0 , 5 .


a ) ( 3 α

2

)

2

— a

3

( l — 5a) ; c )

x(\6x-2x

3

) - (2x

2

)

2

·,

b) ( - - į -

b f - b [\-2b- j-b

2

) ; d ) ( 0 , 2 c

3

)

2

- 0 , 0 1 c * ( 4 c

2

- 1 0 0 ) .

659. R e m dam ies i 51 pav e iks lu , pa a i š k ink i t e f o r m ulės

a(b +

+ c)=ab + ac

geomet r inę p r as mę , ka i a ,

b

ir

c

r e ik š mės y r a t e i -

g iami ska ič ia i .

660. Įrodyki te , kad reiškinio

x ( 2 x + l )

— x

2

(x + 2)

+ ( *

3

-x + 3)

re ikšmė yra t a pa t i su v i somis χ r e i k š m ė m i s .

661 . Įrody ki te , ka d re i šk in ia i t a p ačia i

l ygūs nu l iu i :

0

a )

a(b — c)+b(c — a)+c(a—b);

b) a(b + c — bc)—b(c + a—ac)+c{b — a),

— 662. Įrod yk i te t a pa ty b ę:

H a) x(y—z) — y(x+z) +z(x — y) — — 2yz\

51 pav. b)

a(a

—

b) —b(b

—

a)

—

a

2

— b

2

.



a ) 5 * + 3 ( x - l ) = 6 * + l l ; e ) 6 + ( 2 - 4 x ) + 5 = 3 ( 1 -3x);

b ) 3 * — 5 ( 2 — * ) = 5 4 ; f ) 0 , 5 ( 2 y — 1 )

—

(0 ,5 — 0,2#) + 1 = 0 ;

c ) 8 ( ^ - 7 ) - 3 ( 2 1 / + 9 ) = 15; g ) 0 , 1 5 ( * - 4 ) = 9 , 9 - 0 , 3 ( * - l ) ;

d ) 0 , 6 - 0 , 5 ( y - 1 ) = 1 / + 0 , 5 ; h ) 3 ( 3 * - 1 ) + 2 = 5 (1

-2x) -

1.

6 6 4 . R a s k i t e I y g i i e s - ^ a k n j :

a ) 3 * ( 2 * — 1) — 6jc (7+ jc ) = 9 0 ;

b ) l , 5 * ( 3 + 2 * ) = 3 * ( * + 1 ) — 3 0;

c ) 5 * ( 1 2 * - 7 ) - 4 * ( 1 5 * - l l ) = 3 0 + 2 9 * ;

d )

24дг—6л:(1 3jc —

9 ) =

—13 —

13*(6*— 1) .

665 . I š s p r ę s k i t e l y g t i s :

a ) 3 ( — 2 * + 1 )

—

2 ( * + 1 3 ) = 7 * — 4 (1

—

* ) ;

b ) — 4 ( 5 — 2 a ) + 3 ( a — 4 ) = 6 ( 2 — a ) — 5 a ;

c ) 3y(4y—\) — 2y(6y — 5)=9y — 8(3 + y);

d ) 15*+б дс (2

— 3jc)

= 9 j c ( 5

— 2jc)

—36.

6 6 6. S u k u r i a k i n t a m o j o r e i k š m e :

a ) r e i š k i n i o 2 ( 3 — 5 c ) r e i k š m ė y r a 1 v i e n e t u m a ž e s n ė u ž r e i š -

k i n i o 4 ( 1 — c ) r e i k š m ę ;

b ) r e i š k i n i o

—

3 ( 2 * + 1 ) r e i k š m ė 2 0 v i e n e t ų d i d e s n ė už r e i š -

k i n i o 8 * + 5 r e i k š m ę ;

r e i š k i n i o 5 * + 7 r e i k š m ė 3 k a r t u s m a ž e s n ė u ž r e i š k i n i o

61 — 10* r e ik š m ę;

d ) r e i š k i n i o 8 — y r e i k š m ė 2 k a r t u s d i d e s n ė u ž r e i š k i n i o 7 + y

r e i k š m ę ?

6 6 7 . I š s p r ę s k i t e l y g t i s :

a ) f

+

- f = l 4

;

d ) 2

Z +

3 - f ; rtf+l-gi

, .

а а

c

„4 2c 4c - , .

5m m

1

V j - - S =

5

' ^ J - J =

7

'

h

) T 2 ' " 8

=

3- ·

C) j =y-U f ) f + - f - + 4 = 0 ;

6 6 8 . R a s k i t e l y g t i e s šaknį:

> 6 x — 5

2x-\ Ay-

11 13—7y

0

.

b) ^ + ^ = 4 ; e )

5

- ^ + | = 0 ;

c )

f )

| _ 3 ^

= 0



669. I š spręsk i te lyg t i s :

v 3 * 4 - 5 x + l . . . 6 1 / - I y 2y .

a }

5 3

- l

·

C )

Ϊ5

5

IF

, 2p p l , 12—X 2-х χ

b ) - g — = p , d ) — з -

=

б " ·

670. Raski te lygt ies

šaknį:

a ) 1 - ^ = I z i

+ 4

.

c

\ 1 Į o « 6-OT .

' 2 3

+ 4

'

C

> 4

+ d

~ 6 12 '

a+13 2a 3 - a a ,, 1 < - 1

0

дс+3

°> 10 5 - 15

+

2

; fl

> ~ 9 *6~ ~

Z

~ ~ T '

67K I š s p r ęs k i t e l yg t i s :

я

\ Ъ у ±1

+

I

z

Sg с.

± £ - 1 _ 4 . ^ _ £ ±

З .

' 2 3 '

d )

9

+

4 ~ 6 '

, s 5 a -1 2a—3 ,

ч

3/>-l 2p+ 6 ,

л

Ь

> —3 5

1 : β )

—4 36"

_ 1 = 0 ;

C

' 7 ~2~

11

4 ~ 6

+

7 ·

672 . K om plek t a s , k urį su d a ro 15 at vi ru kų , 10 vok ų i r 1 blok-

notas , ka inu oja 1 rub . 68 кар . V okas 8 ka r tu s p iges n i s už b lokno-

tą ir 2 к а р . b r a n g e s n i s už a tv i r uką . K iek ka inuo ja a tv i r ukas ,

vokas , b loknotas?

673. T r ik am pio pe r im e t r a s 44 cm. V ien a j o k r a š t i n ė 4 cm

tru m p es nė už k i tą ir 2 ka r tu s i lge snė už t r eč ią kra š t in ę . R ask i te

t r i k a m p i o k r a š t i n e s .

674 . T ur i s t as 110 km nuo to lį n u ėjo per t r i s d iena s . A nt rą

kel ionės dieną j ie nuėjo 5 km mažiau negu pi rmą dieną, o t rečią

O

dien ą — nuo to l io , nu e i to per p i rm ąs ias dv i d ien as . K iek k i lo -

me t r ų nuė jo t u r i s t a s k i ekv i eną d i eną?

6 75 . T r y s d a r b i n i n k ų b r i g a d o s p e r p a m a i n ą p a g a m i n o 104

d e t a l e s . P i r m a b r i g a d a p a g a m i n o 12 d e t a l i ų m a ž i a u n e g u a n t r o j i ,

o t r eč io j i — I to de ta l ių ska ič iaus , kurį pa g am in o p i rma ir an t ra

O

b r i g a d a . K i e k d e t a l i ų p a g a m i n o k i e k v i e n a b r i g a d a ?

676. Pr i t a ik ęs na u ją pe ilį, t ek in to jas per v a l an d ą nu tek ino

4 de t a lėmis daug iau negu r e ik i a paga l no r mą . T odė l d i enos no r -

mą j is įvykdė ne per 8 h, o per 6 h. Kiek detal ių per dieną te-

k i n t o j a s t u r i n u t e k i n t i p a g a l n o r m ą ?

677. B r ig ad a p la na vo kas d ieną n up ja u t i 50 ha p ievos , be t

nuš i enaudavo 60 ha . T odė l š i enap jū tę j i ba igė v i ena d i ena anks -

č i au negu buvo numač ius i . K oks p i evos p lo t a s ?



6 7 8 . P a d i d i n u s i g r e i t į n u o 2 5 0 m / m i n i ki 3 0 0 m / m i n , s p o r t i -

n i n k ė n u b ė g o v i s ą d i s t a n c i j ą v i e n a m i n u t e g r e i č i a u . K o k i o i l g i o

d i s t a n c i j a ?

679 . N u o s tov yk los i k i po i l s i o v i e tos p io n i e r i a i ė jo 4 ,5 km /h

gre ič iu , o gr įžo į s to vy kl ą 4 km /h g re ič iu . G rįž d a m i k e l i on ėje

u ž t r u k o 1 5 m i n d a u g i a u . K o k s n u o t o l i s n u o s t o v y k l o s ik i p o i l s i o

v i e t o s ?

6 8 0 . I š g y v e n v i e t ė s A i š v a ž i a v o d v i r a t i n i n k a s . T u o p a č i u m e t u

i š g y v e n v i e t ė s B, k u r i 2 0 k m n u t o l u s i n u o g y v e n v i e t ė s A, t a pačia

k r y p t i m i i š v y k o m o t o c i k l i n i n k a s . D v i r a t i n i n k o g r e i t i s 1 2 k m / h ,

o m o t o c i k l i n i n k o 16 k m / h . K o k i u a t s t u m u n u o g y v e n v i e t ė s A m o -

t o c i k l i n i n k a s p a s i v y s d v i r a t i n i n k ą ?

6 8 1 . I š g y v e n v i e t ė s A i š v a ž i a v o s u n k v e ž i m i s , k u r i o g r e i t i s

60 km /h . Po 2 h pa s k u i j į 90 km /h g re ič iu i š v až i av o l e n g v as i s

a u t o m o b i l i s . K o k i u a t s t u m u n u o g y v e n v i e t ė s A l e n g v a s i s a u t o -

m o b i l i s p a s i v y s s u n k v e ž i m į ?


682 . į rodyk i t e , kad l ygybė y ra t apa tybė :

a ) ( 2 a

3

6 )

2

· 3α

2

= 3 α

6

( 2 α 6 )

2

; b ) (~2x

2

y)

3

- ( - i /

2

)

2

= -x

3

y{2xy

2

)

3

.

683. N u b r a i ž y k i t e f o r m u l e y—~x — 3 i š re i k š t o s f u n k c i j o s g r a -

• f i k ą . S u k u r i o m i s χ r e i k š m ė m i s y r e i k š m ė :

a) lygi 0 ; b) mažesnė už 0 ; c ) d idesnė už 0 .

6 8 4. R a s k i t e t i e s i n i ų f u n k c i j ų g r a f i k ų s u s i k i r t i m o t a š k o k o o r -

d i n a t e s :

a ) t / = 5 * + 2 9 ir t / = -3

JC

— 11; b) 0 = 1 , 2 * ir 0 = 1 ,8* + 9 ,3 .

6 8 5 . K u r i u o s e k o o r d i n a t i n i u o s e k e t v i r č i u o s e y r a f u n k c i j o s g r a -

f ikas :

a ) 0 = - 2 8 * ; c )

W

= 0,05 *;

b) 0 =

—

28* + 4 ; d ) 0 = O ,O 5* -2 ,5 ?

6 8 6 . Į r o d y k i t e , k a d f o r m u l ė m i s

0

= 4 ( 3 - 2 * ) - 5 ir

0

= * - 9 ( * -

— 8 ) i š r e i k š t o s f u n k c i j o s y r a t i e s i n ė s , o j ų g r a f i k a i — l y g i a g r e -

čios t iesės .

6 8 7. V i e n o j e k o o r d i n a č i ų p l o k š t u m o j e n u b r a i ž y k i t e š ių f u n k -

c i j ų g r a f i k u s : a )

0 = *

2

ir

0

= 4; b) y=x

2

ir

0

= 2* . R ask i te jų

s u s i k i r t i m o t a š k ų k o o r d i n a t e s .



3 0. B E N D R O D A U G I N A M O J O K Ė L I M A S U 2 S K L I A U S T Ų

K i e k v i e n ą d a u g i a n a r i o 6 a

2

6 + 1 5 6

2

na rį ga l im a pake i s t i s an -

d a u g a d v i e j ų d a u g i n a m ų j ų , k u r i ų v i e n a s l y g u s 3 b :

6a

2

b +

1

5b

2

= 36 ·

2a

2

+ 3b · 5b.

Re m i an t i s sk i r s ty m o sav y b e , g a u t ą r e išk i n į g a l i m a p a r a š y t i

d v ie jų d a u g i n a m ų j ų s a n d a u g a . V i e n a s j ų — b e n d r a s d a u g i n a m a -

s is

3b,

a n t r a s — r e i šk i n i ų

2a

2

ir 5

b

s u m a :

3b

•

2a

2

+ 3b

• 5b

= 3b (2a

2

+

56) .

Ta i g i

6 a

2

6 + 1

5 b

2

= 36 (2a

2

+ 5b).

Dau g i an a r i o i š r e i šk i m as d v i e j ų a r b a k e l i ų d au g i an a r i ų ( i š j ų

g a l i b ū t i ir v i e n a n a r i ų ) s a n d a u g a v a d i n a m a s daugianario skai -

dymu daug inamais ia i s .

D a u g i a n a r i a i š i t a i p p e r t v a r k o m i s p r e n -

d ž i a n t l y g t i s , ap sk a i č i u o j an t d a u g i an a r i o r e ik šm ę ir k i t a i s a t v e -

j a i s .

Š i t o k s d a u g i a n a r i o s k a i d y m o d a u g i n a m a i s i a i s b ū d a s v a d i n a -

m a s

bendro dauginamojo i škėl imu už skl iaustų .

S ak y k i m e , r e i k ia i š sk a i d y t i d a u g i n a m a i s i a i s d a u g i a n a r į

— \5x

2

y

3

—

30x

3

y

2

+ 45x

4

y.

S i o d a u g i a n a r i o n a r i ų b e n d r i d a u g i n a -

m i e j i y r a n ev i en o d i : x, y, 3xy , —5x

2

ir ki t i . G er ia us ia iškel t i už

s k l i a u s t ų 1 5

x

2

y

a r b a

— \5x

2

y.

I ške ik ime už sk l i au s tų , pav yzd ž iu i ,

- 1 5 χ

2

y .

-

15

χ

2

y

3

- 30

x

3

y

2

+ 45x

4

y=-\

5

x

2

y (y

2

+ 2 xy -3x

2

).

K e l i a n t u ž sk l i au s t ų b en d r ą d au g i n am ą j į , i šk e l i am as k i ek v i e -

n as k i n t am as i s , k u r į t u r i v i s i d a u g i an a r i o n a r i a i , su m až i au s i u

rod ik l iu . Je igu v i s i d au g i an ar io koe f ic i en ta i — sve ik ie j i ska ič ia i ,

t a i b e n d r o d a u g i n a m o j o k o e f i c i e n t u l a i k o m a s v i s ų d a u g i a n a r i o

k o e f i c i en t ų m o d u l i ų b en d r a s d i d ž i au s i a s d a l i k l i s .

P a r o d o m e , k a i p i š k e l i a m a s u ž s k l i a u s t ų b e n d r a s d a u g i n a m a -

s i s sp r en d ž i an t l y g t i s .

I š sp ręsk im e , pav yzd ž iu i , l yg tį

2x

2

+ 3x = 0.

I šk e i k i m e u ž sk l i au s t ų r e i šk i n i o

2x

2

+ 3x

d a u g i n a m ą j į

x.

G a u -

s ime:



S a n d a u g a x ( 2 x + 3 ) l y gi n u l i u i t a d a ir tik t a d a , k a i n o r s v i e-

n a s d a u g i n a m a s i s l y g u s n u l i u i , t. y . k a i

* = 0 a rb a 2x + 3 = 0.

Iš sp re n d ę lyg tį 2x + 3 = 0, g a u n a m e :

2 x = — 3 ,

χ = —1,5.

V ad in as i , sa n d au g a x( 2 x + 3) lygi nul iu i , ka i x = 0 i r ka i x =

= - 1 , 5 ,

todėl lyg t i s 2x

2

+ 3x = 0 tu r i dv i ša kn is : 0 ir - 1 , 5 .

6 8 8. I š s k a i d y k i t e d a u g i n a m a i s i a i s ir p a t i k r i n k i t e :

a ) mx + my\ b ) kx—px\ c) — aft + ac ; d) — т а — na.

689. I ške lk i t e už sk l i a us tų ben drą da u g i n am ąjį:

a ) 4 a - 4 b ;

b ) 12x+48 i / ;

c ) - 1 5 a + 2 0 ft;

d ) — 6m — 9n;

e) 6x — 18;

f ) 9 + 1 2 y ,

g ) 1 2 a + 1 2 ;

h ) - 1 0 - 1 0 c ;

i ) 7 a x + 7 6 x ;

k) 3by-6b·,

1) —5m n + 5n;

m ) 3

a + 9ab.

6 9 0. I š s k a i d y k i t e d a u g i n a m a i s i a i s :

a )

5y

2

-l5y;

b) 3x + 6x

2

;

c ) α

2

+ α;

d ) c - c

2

;

e) x

3

— x

2

;

f ) α + a

4

;

g ) a

3

- a

7

;

h) c

5

+ c

2

;

i) 3m

2

+ - 9 m

3

;

k) 9p

3

— 6p;

1) 4 c

2

- 12c

4

;

m) 5x

5

— 1 5 x

3

.

691.

I š r e ik š k i te s a n d a u g a :

a )

a

2

—ab\

d )

-6ab + 9b

2

;

m ) - x y - y

2

;

c )

8mn — Am

2

·,

e) x

2

y —

X I /

2

;

f )

ab

—

a

2

b

2

\

g ) 6 m n

3

+ 8 m

2

n

2

;

h ) - A x

2

y

2

+ 16x

3

t/

3

.

692 . I ške lk i t e už sk l i a us tų be nd rą da u g i n am ąjį:

a ) \Ax-2\y

b) 1 5 a + IOft

c)

8ab — 6ac

d) 9x a +

9xb

e ) 6 a b - 3 a ;

f) 4x— 12x

2

;

g ) m

4

- m

2

;

h ) c

3

+ c

4

;

6 93 . A p s k a i ^ o k i t e r e i šk i ni o r e ik š m ę :

a )

3 ,28x—χ

2

, ka i x = 2,28; b) a

2

y-a

3

, k a i a = - 1 , 5 ir y =

i ) V x - 1 4 x

3

;

k) 16ί/

3

+ 12i/

2

;

1) \8ab

3

-9b*\

m ) Ax

3

y

2

—6x

2

y

3

.

- 8 , 5 .



694. {rodyki te , kad:

a ) r e i šk in io 48

7

— 48

6

r e ik š m ė y r a s k a ič i au s 4 7 k a r to t i n i s ;

b ) r e i šk in io 24

8

+ 24

7


e ) r e i š k in io 5

23

—5

21


d ) r e i šk in io 25

7

+ 5

1 3

r e ik š m ė y r a s k a ič i au s 3 0 k a r to t i n i s .

6 9 5 . I š s k a id y k i ' t e d au g in am a i s i a i s :

a ) x

3

- 3 x

2

+ x; d) 6 x

2

- 4 x

3

+ I O x * ;

b ) m

2

—

2m

3

—

m

Ą

; e ) 15α

3

- 9 a

2

+ 6a;

c ) 4 a

5

- 2 a

3

+ a ; f ) - 3 m

2

- 6 m

3

+ 1 2 m

8

.

696.

I š re i k š k it e s a n d a u g a :

a ) c

3

- c * + 2 c

5

; c ) 4 x

4

+ 8 x

3

- 2 x

2

;

b ) 5 m « - m

3

+ 2m

2

; d )

5 α - 5 α

2

- 1 0 α

4

.

697.

I š k e lk i t e u ž s k l i au s tų b en d r ą d au g in am ą jį:

a) 3a

3

— 15a

2

b + 5aft

2

; d ) 1 2 a

2

f t - 1 8 a 6

2

- 3 0 a 6

3

;

b ) 2 0 x

4

- 2 5 x

2

i /

2

- I O x

3

; e) 4a x

3

+ 8 a

2

x

2

- 12a

3

*;

c ) - 6 a m

2

+ 9 m

3

- 1 2 m

4

; i)

- З х

4

« /

2

- 6 х

2

« /

2

+ 9 х

2

г/

4

.

698. I š s k a i d y k i t e d a u g i n a m a i s i a i s d a u g i a n a r į :

a ) 4 c

4

- 6 x

2

c

2

+ 8c; c)

3 α χ - 6 α χ

2

- 9 α

2

χ ;

b)

1 Oa

2

X —

15a

3

—

20a

4

x; d)

8a*b

3

- 12a

2

ft

4

+ 16a

3

6

2

.

699.

Į r o d y k i t e t ap a ty b es :

a )

a(b-x) +x(a + b)

= b ( a + x ) ; c )

a(a-b)+2ab= a(a + b);

b ) c ( y - 2 ) + 2 ( y + c ) = Į/ ( c + 2 ); d )

x(\- χ ) + x ( x

2

- 1 ) = x

2

( x - 1 ) .

700.


a )

х» + 8 х = 0 ; с) 3 x

2

- l , 2 x = 0 ; e ) x - I O x

2

= O ;

b) 5x

2

— x = 0 ; d ) 6 x

2

— 0,5x = 0 ; f ) 6 x - 0 , 2 x

2

= 0 .

701. Raski te lygt ies

š a k n i s :

a ) 5 x

2

+ 3 x = 0 ; c ) 6 x

2

- 3 , 6 x = 0 ; e ) 5 x

2

- 0 , 8 x = 0 ;

b )

X

2

- I l X

= O; d ) 0,3 x

2

— 3 x = 0 ; f ) 7 x

2

- 0 , 2 8 x = 0 .


702 . {g gy ve nv ie tės A į gyv en v ie tę B dv i ra t in in ka s va ž ia vo

12 km /h gre ič iu . G rįžd a m as iš gy ve nv ie tės B į gy ve nv iet ę A, j i s

va ž ia vo 18 km /h g re ič iu ir su ga išo ke l io nė je 15 min m až ia u ne gu

v a ž i u o d a m a s i š Л į B. Kiek ki lom etr ų t a rp gy ven vie čių A ir B ?



\ 3 x - 5 , 8 x — 1 2 _

Q

2 1 - 4 * 8 * + 1 5

0

a ) — + — 7 — - У . 0) —g —

= Z.

704.

Re i šk in io

a — b

r e ikšmė su ka i ku r iomis

α ir &

r e ikšm ėmis

lygi 0 ,5 . Kam lygi k iekvieno pate ik to re i šk in io re ikšmė su tomis

p a č i o m i s

a ir b

r e ikšmėmis :

a)

b—a; c) ( a - b )

2

; e) ( a - b )

3

;

b ) J^ r

a

; d )

( f r - α )

2

; f ) ( f e - a ) 3 ?

§ 12.

D A U G I A N A R I Ų S A N D A U G A

3 1. D A U G I A N A R I O D A U G I N I M A S I S D A U G I A N A R I O

P a r a š y k i m e d a u g i a n a r i ų

a+b

ir

c + d

s a n d a u g ą :

(a + b)(c+d).

I š r e i k š k i m e š i ą s a n d a u g ą d a u g i a n a r i u . D a u g i a n a r į

a +

b p a -

ž y m ė k i m e r a i d e χ ir r e m k i m ė s v i e n a n a r i o d a u g i n i m o i š d a u g i a -

nar io t a i syk le :

(a + b) (c+d) = x(c + d) = xc+xd.

R e i š k i n y j e

xc + xd

v i e t o j k i n t a m o j o * p a r a š y k i m e d a u g i a n a r į

a+b ir vėl r em kim ės v i e na na r io da ug in im o i š da ug ian ar i o t a i -

sykle :

xc+xd= (a +b) c+ (a + b)d=ac+bc + ad+bd.

T a i g i (a + b) (c+d) =ac + bc+ad+b d.

D a u g i a n a r i ų

a + b

ir

c + d

s a n d a u g ą i š r e i š k ė m e d a u g i a n a r i u

ac + bc+ad+bd.

S i s d a u g i a n a r i s y r a s u m a v i s ų v i e n a n a r i ų , g a u -

t ų p a d a u g i n u s d a u g i a n a r i o

a +

b k iekvieną narį iš d au gi an ar io

c+d k iekvieno nar io .

Be t ku r ių dv i e jų daug ianar ių s andaugą ga l ima i š re ikš t i dau -

g i a n a r i u .

D au g in an t da ug ian ar į i š da ug ian ar io , t a ikoma š i t a i syk lė.

Norint padauginti daug ianarį iš daug ianario, reikia vieno

daugianario kiekvieną narį padauginti iš kito daug ianario kiek-

vieno nario ir gautas sandaugas sudėti.

P a d a u g i n k i m e d a u g i a n a r į

4x

2

+ 2xy—y

2

iš d a u g i a n a r i o 2

x — y:

(4 x

3

+2 xy-y

2

)

(2

χ -y) = 8*

3

+ 4x

2

y- 2xy

2

- 4x

2

y - 2xy

2

+y

3

=

= 8 *

3

- 4 xy

2

+y

3

.



7 0 5 . S u d a u g i n k i t e :

a ) (x + m ) ( Į/ + n ) ; d ) ( x + 8 )

(y-1);

b ) ( a — b ) ( x + y ) ; e ) ( b - 3 ) ( a - 2 ) ;

c ) (a — x) (b —y); f) (-a+y) ( - 1 - y ) .


52 pav.

a) (* + 6 ) ( * + 5 )

b )

( α - 4 ) ( α + 1 )

c) (2-y)(y-8)

707 . P a r a š y k i t e r e i š k i n į d a u g i a n a r įu :

a ) (

m - n ) ( x + c);

b)

(k-p)(k-n)·,

c) (α + 3 ) ( α -

d) (5 —x) (4-

2 ;

d ) ( a — 4) ( 2 a + 1 ) ;

e) ( 2 0 - 1 ) ( 3 ^ + 2 ) ;

f) (5jc —3) (4 —3jc).

e ) ( l - 2 a ) ( 3 a + l ) ;

f ) ( 6 m - 3 ) ( 2 - 5 m ) .

7 0 8 . R e m d a m i e s i 5 2 p a v e i k s l u ,

p aa i š k i nk i t e fo rm u l ės ( a + ft)X

X (c + d) =ac+bc + ad+bd g e o m e t r i n ę p r a s m ę , k a i a , b, c ir d

r e i k š mės y ra t e i g i ami s ka i č i a i .

7 0 9. P a r a š y k i t e r e i š k i n į d a u g i a n a r i u :

a )

(x

2

+y)(x+y

2

)\

b ) (m

2

—n) (m

2

+ 2n

2

)\

c ) ( 4 a

2

+ ft

2

) ( 3 a

2

- f t

2

) ;

7 1 0 . S u d a u g i n k i t e :

a ) (2x

2

— y) (x

2

+y)\

b) (Ί χ

2

+ α

2

)

(χ

2

- 3 a

2

) ;

d )

(5дг

2

— 4 ^ ) (* + 1 ) ;

e ) ( a - 2 ) ( 4 a 3 _ 3 a

2

) ;

f ) ( 7 p

2

- 2 p ) ( 8 p - 5 ) .

c) (1 ly

2

— 9) (3«/ — 2 );

d ) ( 5 a - 3 a

3

) ( 4 a - 1 ) .

711 .

L a i p s n į p a k e i s k i t e s a n d a u g a , po t o s a n d a u g ą i š r e i k š k i t e

d a u g i a n a r i u :

a ) ( * + 1 0 )

2

; b ) (1 — t / )

2

; c ) ( 3 a - l )

s

; d ) ( 5 - 6 6 )

2

.

( 71 2 , P a r a š y k i t e r e i š k i n į d a u g i a n a r i u :

e)

( α

2

- 2 α + 3 ) ( α - 4 ) ;

f )

(5x-2) (x

2

-x-\)·,

g )

(2-2x + x

2

)(x + 5)·,

h) (3y —4)

(y

2

—y+1).

a )

(x

2

+xy-y

2

)(x+y)·,

b )

(n

2

— np + p

2

) (n — p)·,

c) (a + x)(a

2

-ax-x

2

)·,

d )

(ft —

c) (ft

2

—

be —

с

2

) ;

713 . P a r a š y k i t e d a u g i a n a r i u :

a) c

2

-cd-d

2

) c+d)·,

b ) x

—

y) x

2

—

xy—y

2

);

c) (4α

2

+ α + 3 ) ( a

—

1) ;

d ) ( 3 - * ) ( 3

x

2

+

j c

- 4 ) .



a ) (4n

2

-6np + 9p

2

) (2n + 3p)\ d ) (T-2a) (4α

2

+ 4α + 3 ) ;

b) (25x

2

+ \Qxy + 4y

2

) (Ъ х — 2у )\ e ) (x

2

-x + 2) ( 3 x

2

+ x - 2 ) ;

c ) (

—

2 α

2

+ 3 a + 1) ( 3 a — 2 ) ; f ) ( 5 - 2 α + α

2

) ( 4 α

2

- 3 α - 1 ) .

715 .

P a r a š y k i t e r e iš k i nį d a u g i a n a r i u :

a ) ( x + l ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ; b ) ( α - 1) ( a - 4 ) ( a + 5 ) .


a )

(3b —2) (5 —2b) +6b

2

;

d) 5Č >

3

+

(a

2

+ 5b) (ab-b

2

);

b) (7y — 4) (2y + 3)

—

13y; e) (a-b) (a+2) - (a + b) ( a - 2 ) ;

c ) x

3

- ( x

2

- 3 x ) ( x + 3 ) ; f ) (х + г / ) ( х - г / ) + 2 ( х + 1 ) ( х + 2 ) .

717 .

P a r a š y k i t e r e iš k i n į d a u g i a n a r i u :

a ) ( 4 x + l ) ( l - 2 x ) - 7 x

2

; c ) (x + 3y) (x-y) + (2y-x) (x+y);

b)

—

6m

2

— ( m + 4) (3

—

m); d ) (α -χ ) ( χ + 4 α ) - (α + χ ) ( χ - 4 α ) .

718. A p s k a i č i u o k i t e r e i š k i n i o r e i k š m ę :

a ) ( x + 5 ) ( x— 2 )

—

(x — 3) (x + 4 ), ka i x = 2,5;

b )

(y~6)(y-

1 ) - ( / / + 3)

(y + 2),

ka i

y=

—0,5;

c)

( а - 7 ) ( а + 5) + (а + 8 ) ( а - 6 ) , k a i

a=

- 7 ;

d ) (b+ 9) (b+ 4) + (b—12) (b—I), k a i b=-5.

719 .

Įr o d y k i t e , k a d s u k i e k v i e n a k i n t a m o j o

χ r e i k š m e :

a ) r e i š k in io (x — 3) (x + 7) — (x + 5) (χ — 1)

re ikšmė lyg i —16;

b ) r e i š k i n -o

χ

4

— (x

2

—

7) (x

2

+ 7) re ikšmė lyg i 49 .

720 . I š s p rę s k i t e l yg t i s :

a ) 6 x

2

- ( 2 x - 3 ) ( 3 x + 2 ) = 2 ;

b )

1 Ox

+ 9) * =

8 —

(1

—

5 x)

(2x

+ 3 ) ;

c) 12 — x( x — 3) = (6

— χ) ( x + 2 ) ;

d) (x + 4).(x + 1) = x— (x — 2) (2 — x) .

721 . Rask i t e l yg t i e s

šaknį:

a) 5 + x

2

= ( x + l ) ( x + 6 ) ;

b ) 2 x ( x - 8 ) = ( x + l ) ( 2 x - 3 ) ;

c ) ( 3 x - 2 ) ( x + 4 ) - 3 ( x + 5 ) ( x - l ) = 0 ;

d) x

2

+ x ( 6 - 2 x ) = X - I ) ( 2 - х )

- 2 .

722 . Į rodyki te , kad :

a ) s u k i e k v i e n a n a t ū r i n e

n

r e i k š m e r e i š k i n i o n ( n + 5 )

— (n —

—

3) (n + 2) r e i k š m ė y r a s k a i č i a u s 6 k a r t o t i n i s ;



b) su k iekv iena na tū r ine n r e ikšme, ne d idesne už 2 , r e i šk in io

(n — 1) ( t + 1 ) — (n — 7) (n — 5 ) r e ik šm ė yra ska ič iaus 12 k ar to -

t in is .

723.

B u v o p as ak y t i t r y s i š e i l ė s e in an ty s n a tū r in i a i s k a ič i a i .

M a ž i a u s i o j o k v a d r a t a s 6 5 v i e n e t a i s m a ž e s n i s u ž k i tų d v i e jų s a n -

daugą . Rask i te tuos t r i s ska ič ius .

724. B u v o p as ak y t i k e tu r i iš e i l ės e in an ty s n a tū r in i a i s ka i-

(

č ia i . D v ie jų d id ž i au s ių s k a ič ių s an d au g o s i r d v i e jų m až iau s ių

s k a ič ių s an d au g o s s k i r t u m as l y g u s 5 8 . K o k ie t a i s k a ič i a i ?

725.

S t a č i ak a m p io p e r im e t r a s l y g u s 6 0 cm . S t a č i ak a m p io i l g į

p ad id in u s 10 cm, o p lo tį su m až in u s 6 cm, jo p lo tas su m až ė tų

32 cm

2

. R as k i t e s t ač i ak am p io p lo tą .

726.

K v a d r a t o k r a š t i n ė 3 c m t r u m p e s n ė u ž v i e n ą s t a č i a k a m -

p io k raš t inę i r 2 cm i lgesnė už k i tą jo k raš t inę . Kvadra to p lo tas

30 cm

2

m a ž e s n i s u ž s t a č i a k a m p i o p l o t ą . R a s k i t e k v a d r a t o k r a š -

t inę.


Kad la iku įvykdytų p lan inę užduo tį , darb in inkų b r igada

t u r i k a s d i e n ą p a g a m i n t i 5 4 d e t a l e s . P a g a m i n d a m a k a s d i e n v i r š

p l a n o 6 d e t a l e s , b r i g a d a v i e n a d i e n a a n k s č i a u n u m a t y t o t e r m i n o

ne t ik įvykdė planinę užduotį , bet 18 deta l ių pagamino virš p lano.

Kiek d ienų d i rbo b r igada?

Tr ak to r in in k ų b r ig ad a p ag a l p l an ą k as d i en ą tu r ė jo s u -

a r t i 112 ha . Suardama kasd ien v i r š p lano 8 ha , j i v iena d iena

an k s č i au n u m a ty to t e r m in o b a ig ė a r t i . K iek h ek t a r ų t u r ė jo s u a r t i

b r i g a d a ?


S u d a r y k i t e r e i š k i n i u s 5 3 p a v e i k s -

l e p av a i zd u o to s f i g ū r o s p lo tu i ap s k a ič iu o -

t i , i š p r ad ž ių p ap i ld y d am i f i g ū r ą i k i s t a -

č iakam pio , po to pa da ly da m i ją į du s ta -

č i ak am p iu s . [ r o d y k i t e , k ad g au t i r e i š k i -

n ia i t apač ia i lygūs .

7 3 1 . [ r o d y k i t e t ap a ty b ę a(b -c ) + ft(c—

—

a).=c(b

—

a).

a )

* - 2 _ 2 3 * - 2 .

5 3 6 '

U MV-



3 2 . D A U G I A N A R I O S K A I D Y M A S D A U G I N A M A I S I A I S G R U P A V I M O B Ū D U

K a r t a i s p a v y k s t a d a u g i a n a r į i š s k a id y t i d a u g i n a m a i s i a i s g r u -

p u o j a n t j o n a r i u s .

S a k y k i m e , r e i k i a i š s k a i d y t i d a u g i n a m a i s i a i s d a u g i a n a r į

ab —

—

2b + 3a

—

6.

P a b a n d y k i m e s u g r u p u o t i j o n a r i u s t a i p , k a d k i e k -

v i e n o s g r u p ė s d ė m e n y s t u r ė t ų b e n d r ą d a u g i n a m ą j į :

ab — 2b+3a — 6 = (ab-2b)

+ ( 3 a - 6 ) .

I š k e i k i m e u ž s k l i a u s t ų p i r m o s g r u p ė s d a u g i n a m ą j į

b,

o a n t r o s

g r u p ė s — d a u g i n a m ą j į 3:

(ab-2b) + (3a-6)=b(a-2)+ 3(a-2).

D a u g i a n a r į

ab

—

2b + 3a

—

6 i š r e i šk ėm e su m a

b(a

—

2) +3(a

—

2 ) ,

k u r i o s a b u d ė m e n y s t u r i b e n d r ą d a u g i n a m ą j į

a —2.

Išk ei ki m e šį

d a u g i n a m ą j į u ž sk l i a u s t ų :

b(a

—

2)+3(a

—

2) = (a

—

2)(b + 3).

T a i g i

ab —2b+ 3a— Q= (a-2) (b + 3).

B ū d a s , k u r i u o i š sk a i d ė m e d a u g i a n a r į d a u g i n a m a i s i a i s , v a d i -

n a m a s g r u p a v i m o b ū d u .

I š s k a i d y t i d a u g i a n a r į

ab

—

2b + 3a

— 6 d a u g i n a m a i s i a i s g a l i m a

k i t a i p g r u p u o j a n t j o n a r i u s :

ab — 2b+3a — 6= (ab + 3a) + (-2b-6) =

= a(b + 3)-2(b + 3) = (b + 3) (a-2).

Pa te ik iame da r v ieną pavyzdį .

I š s k a i d y k i m e d a u g i n a m a i s i a i s d a u g i a n a r į

ac+bd—bc—ad.

Su g r u p u o k i m e d a u g i a n a r i o p i rm ą n a r į su tr e či u , o a n t r ą —

su ketvir tu .

I šk e i k i m e u ž sk l i a u s t ų p i r m o s g r u p ė s d a u g i n a m ą j į c , o a n t -

r o s g r u p ė s — d a u g i n a m ą j į — d. G a u s i m e :

ac + bd—bc — ad= (ac — bc) + (bd—ad) =

= c(a-b)-d(a-b) = (a-b) (c-d).

Atkre ip iame dėmesį , kad , g rupuo jan t dėmen is , ga l ima i š ka r to

p r i e š a n t r u o s i u s sk l i a u s t u s p a r a šy t i m i n u so ž e n k l ą i r a n t r o j e

g r u p ė j e i šk e l t i u ž sk l i a u s t ų d a u g i n a m ą j į

d.

G a u n a m e :

ac + bd-bc—ad= (ac-bc\

—

(ad—bd)

=»

= c(a-b)-d(a-b) = (a-b) (c-d).



7 3 2 . P a r a š y k i t e r e i š k in į s a n d a u g a :

a )

c(x + c) + b(x + c);

e)

(a + y) -c(a+y);

b )

x

( y - l ) - 3 ( y - l ) ; f ) х Ц х -р ) + ( X - P ) ;

c) y(a + b)-(a + b); g ) ( m + 3 )

2

- m ( m + 3 ) ;

d ) (p ¢) + b (p q);

h ) x

( l

- * ) - ( l - x )

2

.

7 33 . I š s k a i d y k i t e d a u g i n a m a i s i a i s :

a )

a(c-b)+d(b-c);

e)

(x-y)-a(y-x);

b )

x

(y-5)-y(5-y);

f ) ( 2 a

- 3 b ) + c

(36-2a);

c ) 3a(2x

—

T) + 5 6 ( 7 — 2.v); g ) 3 ( a - 2 )

2

- ( 2 - a ) ;

d ) \7p(3p—q)

—

2q(q

—

3p); h ) 2 ( 3 - 6 ) + 5 ( 6 - 3 )

2

.

7 3 4 . I š s k a i d ę k a i r i ą j ą p u s ę d a u g i n a m a i s i a i s , i š s p r ę s k i t e l y g t į

a )

x(2x—

1) + (2

jc

— 1) = 0; c)

x(x-2)

- + 5 ( 2 — x ) = 0 ;

b) (6(/ +

5 ) - 2 г/ ( 6 / / + 5 ) = 0 ; d ) ( / ( 5 ( / - 2 ) - ( 2 - 5 < / ) = 0 .

735 . I š s p r ę s k i t e l y g t i s :

a ) 3 ( 3 x —4 )

—

5

jc

(3

x —

4 ) = 0 ; c ) 4 ( 3 - 2 / / )

- 3 y ( 2 y - 3 )

= 0 ;

b ) ( 6 ( / - 7 ) y - 8

( 6 г / - 7 ) = 0 ; d ) 6 x ( l + 5jc ) - ( 5 л + 1 ) = 0 .

7 3 6 .

P a r a š y k i t e r e iš k in į d a u g i a n a r i ų s a n d a u g a :

a )

x(b + c)

+ 3 6 + 3 c ; c )

p(c-d) +c-d;

b )

y (a —c)

+ 5 a - - 5 c; d )

a (p-q) +q-p.

7 37 . I š s k a i d y k i t e d a u g i a n a r į d a u g i n a m a i s i a i s :

a

mx + my + 6x + 6y;

e

ax + ay

—

x—y;

b) 9x + ay + 9y + ax; f ) 1 — bx

—

x + b;

c) Ta

—

lb + an—bn; g ) xy+2y

—

2x

—

\\

d ) a c + 6 c — 2 a — 2 6; h ) a 6 - 4 a + 3 6 - 1 2 .


a ) J t

3

+

χ

2

+ χ + 1; e) α

2

- α 6 - 8 α + 8 6 ;

b )

У

ъ

- У

ъ

- У

2

+

1 ; f ) u o — 3 6 + 6

2

— 3 a ;

c ) a

4

+ 2 a

3

- a - 2 · g ) 1 \x-xy +1 \y-x

2

;

d ) b

6

-3b*-2b

2

+ 6; h ) kn-mn-n

2

+mk.

739 .

D a u g i a n a r į i š r e i k š k it e s a n d a u g a :

a )

kp — ky + mp — m y\

d)

x

2

+7x — ax—7a;

b )

4 α -I -x 6 + 4 6 + χα ; e) 3m — mk + 3k — k

2

;

c) mn — mk + xk — xn; f) xk — xy — x

2

+yk.



7 40 . I š s k a i d y k i t e d a u g i a n a r į d a u g i n a m a i s i a i s :

a) jc

2

+ а д г — a

2

y — axy\ c ) 5 a

3

c + 1 0 a

2

- 6 f t c - 3 a f t c

2

;

b )

α

2

η + χ

2

—

α η χ — α χ ·,

d )

2\a + 8xy

3

-24y

2

-7axy.

741 .

A p s k a i č i u o k i t e r e i š k i n i o r e i k š m ę :

a ) p

2

q

2

+ pq — q

3

— p

3

, k ai p = 0 ,5 ir <7= — 0,5;

b ) Зд:

3

—

2y

3

—

6x

2

y

2

+xy,

k a i * = j ir У = y ·

7 4 2 . K a m l y g i r e i š k i n i o r e i k š m ė :

a ) 2a + a c

2

- a

2

c - 2 c , ka i a = I - L ir c = - 1 ·

a o

b)

x

2

y-y + xy

2

-x ,

k a i

x=A

ir

y =

0 ,25?

743. A p s k a i č i u o k i t e r e i š k i n i ų r e i k š m e s :

a ) 1 3,5 · 5 , 8 - 8 , 3 · 4 , 2 - 5 , 8 · 8 , 3 + 4 ,2 · 13 ,5 ;

b) 3 ,1 · 8 , 2 + 12,5 · 4 ,8 + 3,1 · 4 , 3 - 1 2 , 5 · 6 ,7 .

744. I š r e ik š k i t e s a n d a u g a :

a) ac

2

— ad + c

3

— cd — bc

2

+ bd;

b)

ax

2

+ ay

2

—

b χ

2

— by

2

+ b — a\

c) an

2

+ cn

2

— ap + ap

2

— cp + cp

2

\

d )

xy

2

-by

2

-ax + ab + y

2

-a.

745 .

I š s k a i d y k i t e d a u g i a n a r į d a u g i n a m a i s i a i s :

a ) χ

2

y

+ χ +

xy

2

+ y + 2xy

+ 2; b)

x

2

-xy + x-xy

2

+y

3

-y

2

.

S k a i či ų 3 i š r e ik š k i t e d e š i m t a i n e t r u p m e n a ir s u a p v a -

l i nk i t e j ą i k i deš i mt ų j ų . Ras k i t e gau t o s apy t i k s l ė s r e i k š mės ab<-

l i uč i ą j ą pak l a i dą .

K o l ū k io g a l v i j ų b a n d a p a d i d ė j o 6 0 k a r v i ų . S u k a u p u s

d a u g i a u ir g e r e s n i ų p a š a r ų , p a d i d ė j o ir v i d u t i n i s d i e n o s p r i m i l ž i s

i š k ie kv ien os k a rv ės nu o 12 ,8 1 ik i 15 1 p ien o . D a b a r kas d i en ą

i š v i s ų k a r v i ų k o l ū k y j e p r i m e l ž i a m a 1 34 0 1 p i e n o d a u g i a u n e g u

a n k s č i a u . K i e k k a r v i ų d a b a r y r a k o l ū k i o g a l v i j ų f e r m o j e ?

A u t o t r a u k i n y s ( s u n k v e ž i m i s s u p r i e k a b o m i s ) v i e n u r e i s u

p e r v e ž a 4, 3 t g r ū d ų d a u g i a u n e g u v i e n a s s u n k v e ž i m i s . A u t o t r a u -

k i n y s 3 r e i s a i s p e r v e ž a 10,4 t g r ū d ų d a u g i a u n e g u s u n k v e ž i m i s

4 r e i s a i s . K i e k t o n ų g r ū d ų p e r v e ž a a u t o t r a u k i n y s v i e n u r e i s u ?



I V S K Y R I A U S P A P I L D O M I P R A T I M A I

10 paragrafas

7 49 . A p s k a i či u o k i t e d a u g i a n a r i o x

2

— 3xy+^y

2

re ikš m ę , ka i :

a ) * = 3 , 0 = - 2 ; b )

x=±-

t y

= ± .

7 50 . S u t r a u k i t e . d a u g i a n a r i o p a n a š i u o s i u s n a r i u s :

a

)

6

m n -

5 m

2

n

2

-

9mn

2

-

11

mn

+ 1 O m n

2

+ 5 m

2

n

2

;

b ) 2a

3

b - ab

3

-1 \ ab

3

- a

3

b - 4 -į· a

2

b - a

2

b .

o Z Z

7 5 1. I š r e i k š k i te s t a n d a r t i n i u d a u g i a n a r i u :

a ) 1 O a b c

2

+

23a

2

bc

—

abc

2

—

1 5 a

2

b c + a b c

2

- 2 a

2

b c ;

b ) - 3fix

2

yz +1,2xy

2

z - Qfixyz

2

+ 3 x

2

y z - Axy

2

Z+xyz

2

.

7 5 2. A p s k a i či u o k i t e r e i š k i n i o - į

a

2

b- j ab

2

-a

2

b+2ab

2

- —ab

2

re ikšmę , ka i :

a ) α = 8 , b = - 0 , 5 ; b ) a = - 0 , 5 , b = 4 .

753.

I š d ė s t y k i t e d a u g i a n a r į

3ax

2

-6a

3

x+8a

2

-x

3

:

a ) p a g a l k i n t a m o j o χ d i d ė j a n č i u s l a i p s n i u s ;

b ) p a g a l k i n t a m o j o a m a ž ė j a n č i u s l a i p s n i u s .

7 5 4 . K o k s d a u g i a n a r i o l a i p s n i s :

a ) Tx?y

2

— 2x

s

+ 3xy

3

— 4x

2

y

2

+ 6;

b ) — mn

2

+ 2mn — 8 + m

6

— 3m

3

n

3

+ n

5

;

c ) 0 , 4 a

3

b + 3

a b

2

- 1 0 + 0 , 6 a

3

b - 2

a b

2

- a

3

b ;

d ) — 3,1 ax* + 2 , 5 a x + 2 a x

4

+ 1, I a j c

4

- 0 , 5 a j t - 2 a x ?

7 55 . S u d ė k i te d a u g i a n a r i u s :

a ) 2 *

3

- 4 x

2

+ 7 x + l iii - x

3

+ 2 *

2

+ 3 * - 5 ;

b ) - I O a

2

+ 6 α

3

+ 3 a in - 6 a

3

- 4 h + 8 a

2

;

c ) 2 a + b — c — d ir 4 a - 3 b - 2 c + 5 d ;

d )

x

2

— y

2

+x—6

ir

— x

2

+ 2y

2

— y — 4.

756. Rask i t e d a u g i a n a r i ų s k i r tu m ą :

a ) 6 α

3

+ 2 α

2

— 8 a — 9 ir 8 a

3

- a

2

- 6 a + l ;

b) —3x+x

3

— 2x

2

i i 4x

3

-2x

2

-4x;

c ) 4 a - 3 b + 2 c i r - 6 a + 4 b - 2 c - 2 ;

2 2 2 2



a ) ( - 2 *

2

+ * + 1) - (*

2

—* + 7) - (4 *

2

+ 2 * + 8 ) ;

b) (3α

2

— α +

2)

+ ( - 3 α

2

+ 3 α - 1 ) - (α

2

—

1);

c ) 2α — 3f t+ с— ( 4 α + 76 + с + 3 ) ;

d ) 2xy-y

2

+ (y

2

-*</)-(*' + *</).

7 5 8 . S u p r a s t i n k i t e

r e i š k i n i u s :

a ) (1 - * + 4 *

2

- 8 *

3

) + (2*

3

+

*

2

—6*

— 3) - (5*

3

— 8*

2

);

b ) ( 0 , 5 a - 0 , 6 f t + 5 , 5 ) - ( - 0 , 5 a +

0,4ft)

+ ( 1 , 3 6 - 4 , 5 ) .

759 . [ rody ki te , kad re i š k in ys A + B —C tap ač ia i ly gu s re i š -

k in iu i

C-B-A,

ka i

A =

2 x - l ,

β = 3 * + 1 ir C=5*.


a )

s u dė j u s dv i e j ų s ka i či ų s umą s u j ų s k i r t um u , ga un am as

dv i gubas p i rmas i s s ka i č i u s ;

b ) i š dv i e j ų s ka i č i ų s umos a t ėmus j ų s k i r t umą , gaunamas

dv i gubas an t r a s i s s ka i č i u s .

761 . I š spręsk i te lyg t i s :

a) (4 — 2*) + (5* — 3) = (* — 2)

—

(* + 3 ) ;

b ) 5-3y-(4-2y)=y-8-(y-l);

c) 7— 1 -i- a+ ( |

f l

-

5

l ) = 2 a + f - f - i + | a ) ;

d ) - 3 , 6 - ( 1 ,5 * + 1 ) =

—4*

—0,8— (0,4* — 2).

762 . Rask i te ke tu r i s ska ič ius , p roporc ingus ska ič iams 2 , 4 , 5

ir 6 . Ieškom ų d v ie jų pas ku t in i ų sk a ič ių sum os ir dv ie jų p i r m ųjų

s ka i č i ų s umos s k i r t umas l ygus 4 ,8 .

763. J e i g u p r i e s u ga l vo t o s ka i č i aus iš deš i n ės p r i r a š y t um e

nu lį ir g au tą re zu l ta tą a t im tu m e i š sk a ič ia us 143, t a i g au tu m e

t r i gubą s uga l vo t ą s ka i č i ų . Koks s uga l vo t a s s ka i č i u s ?

764. J e i g u p r i e duo t o s ka i č i aus iš deš i nės p r i r a š y t u m e s ka i t -

m enį 9 ir p r i e ga u t o ska ič iaus p r idė tu m e dv ig ub ą duo tą ska ič ių ,

t a i gau ta suma bū tų lyg i 633 . Rask i te duo tą ska ič ių .

765 . Je igu p r ie duo to t r i ženk l io ska ič iaus i š ka i rės p r i r aš y-

t um e s ka i t m enį 8 ir p r i e ga u t o ke t u rže nk l i o s k a i č i aus p r i d ė t um e

619 , t a i ga u tu m e su m ą, 40 ka r tų d id esn ę už du o tą t r i že nk lį ska i -

čių . Raski te duotą skaičių .



7 6 6. I š r e i k š k it e s a n d a u g ą d a u g i a n a r i u :

a )

3a

5

b

4

(a

w

—

a

7

b

3

+ b

i0

);

b ) - 2 x

8

,

5

( 3 *

2

- 5 * , + ,

2

) ;

c) (*

4

+ 7 *

2

,

2

— 5 ,

4

) · (

—

0 , 2 * ,

2

) ;

d ) ( b

7

- ft

3

c

3

- į· c

5

) · ( — 30f tc

3

) .

767 . I š sp ręsk i t e lyg t i s :

a ) 5 ( , + 1 ) - 3 = 4 ( 3 , - 1 ) ;

b) 7 ( 2 , - 2 ) - 2 ( 3 , - 3 , 5 ) = 9 ;

c) 11 ,2(5*— 1) = 3 6

—

3 ( 1 3 ,4

—

7* ) ;

d ) 1 9 , 4 ( 2 - 5 * ) = 4 0 + 5 ( 9 * — 1 1 , 6 ) ;

,

Злг + 41 x--3 9 - 2 * „

e) - 2 5 g - = 0 ;

f\ 2 * - 1 4 3 * - l X — 2 n

4

3

6 2

768 . V iename inde skysč io buvo 1 ,5 ka r to d au g i au neg u k i t a -

me. I š p i rmo indo kas sekundę iš teka 125 cm

3

skysčio , o i š an t -

ro jo — 48 cm

3

. P o 1 m in 20 s an t r a m e ind e l iko 0 ,56 1 sky sčio

d a u g i a u n e g u p i r m a m e . K i e k sk y sč i o b u v o i š p r a d ž i ų k i e k v i e n a -

me inde?

7 6 9. V i e n a m e i n d e sk y sči o b u v o 9 1 m a ž i a u n e g u a n t r a m e .

[ p i rmą indą pr ip i lama kas sekundę 240 cm

3

skysčio , o j an t rą-

jį— 108 cm

3

. P o 1 m in 40 s p i rm am e inde sk ysčio buvo 1,2 k ar to

d a u g i a u n e g u a n t r a m e . K i e k sk y sč i o b u v o i š p r a d ž i ų k i e k v i e n a m e

inde?

770. Iš s to t ie s A į sto tį B išvyk o tra uk in ys , ku r io g re i t i s

72 km /h. P o 45 m in iš s tot ies B į sto tį A 75 km /h gre ičiu išva -

ž i a v o k i t a s t r a u k i n y s . Nu o t o l i s t a r p s t o č i ų Л ir β lygus 348 km.

K o k iu a t s t u m u n u o s to t i e s B s u s i t i k s t r au k in i a i ?

771 .

I š s to t ies

Λ ί į s to tį N išvyko kele iv in is t ra uk in ys , ku r is

va ži av o 70 km /h gre ič iu . Po 30 m in pr ie ša is jį i š s to t ie s N

90 km/h g re ič iu i švyko g re i t a s i s t r auk inys . Nuo to l i s t a rp s toč ių

M n N y r a 5 1 5 k m . P o k ie k v a l a n d ų n u o i š v yk i m o iš s t o t i e s N

gr e i t a s i s t r a uk in ys sus i t ik s ke le iv inį t r a uk in į?

772 . I š mies to M į miestą N a t s t u m a s t a r p k u r i ų 6 4 k m , t u o

pač iu metu i švyko du sunkvež imia i . Vienas važ iavo 56 km/h ,

k i t a s 60 km/h g re ič iu . Po ke l ių va landų , ska ič iuo jan t nuo i švyk i -



mo , a n t r a s i s s u n k v e ž i mi s b u s d u k a r t u s a rč i a u p r i e m i e s t o N

n e g u p i rma s i s ?

773 . I š gyvenv ie tės A j gyvenv ie tę B i švyko motoc ik l in inkas .

Je igu j i s važ iu os 35 km /h gre ič iu , t a i a tv yk s į gy ven vie tę B 2 h

vė l i au neg u bu vo nu m atęs ; o j e ig u va ž iuo s 50 km /h g re ič iu , t a i

a tv yk s į gy ve nv ie tę B 1 h an ks čiau n u m a ty to la iko . Per k iek

la iko motoc ik l in inkas buvo numatęs nuvaž iuo t i i š gyvenv ie tės A

į gy ve nv iet ę B?

774 . Ka te r i s pe r 5 h upe pas rov iu i nup lauk ia t i ek k i lomet rų ,

k iek per 6 h 15 min pr ieš s rovę . Upės tėkmės gre i t i s 2 ,4 km/h .

Ras k i t e ka t e r io g re i tį s tov inč iam e va nd en y j e .

775 . I r k lu o t o ja s va l t im i per 3 h upe pa sro viu i nu pl au ki a tok į

nu oto lį, kokį j is g al i n u p la u k t i pe r 3 h 40 m in p rie š sro vę. Va l-

t i e s g re i t i s s tov inč iam e va nd en y j e 5 km /h . Koks up ės tėkm ės

gre i t i s?

776 . Ko lūk i s t u rė jo pasė t i j avus pe r 14 d i enų . Vi r šydami p l a -

ną , ko lūk iečia i pe r d i eną pas ėdav o 30 ha da ug ia u neg u bu vo

numaty ta . Todė l , l i kus 4 d i enoms ik i t e rmino , re ikė jo pasė t i t i k

20 ha j avų . Kiek hek ta rų j avų tu rė jo pasė t i ko lūk i s paga l p l aną?

777. S ta ty d am i H E , be ton uo to j a i ne t ik įvyk dė 10 d ien ų už-

duotį , be t , kas d ieną v i ršydami normą 450 m

3

, l ikus 1 dienai ik i

t e rmino , suk lo jo be tono 800 m

3,

d a u g i a u n e g u b u vo n u m a t y t a p a -

ga l p l aną . Kiek kub in ių me t rų be tono suk los HE s t a ty to j a i pe r

10 dienų?

778. Kad la iku užbaig tų sė ją , ko lūkis kas d ieną turė jo pasė t i

73 ha . Vi ršydami p laną , ko lūkieč ia i per d ieną pasėdavo 14 ha

d a u g i a u n e g u b u v o n u m a t y t a p a g a l p l a n ą , ir, l i k u s 2 d i e n o m s

ik i te rmino , j i ems re ikė jo pasė t i t ik 6 ha . Kiek hektarų tu rė jo

pasė t i ko lūkis?

779 . Apska ič iuok i t e re i šk in ių re ikšmes :

a ) Ъ с х + с

2

, kai Jt = O,17, C= 1,15;

b)

4a

2

—ab,

ka i a = 1,47,

6

= 5,78.

780. I š sp ręsk i t e l yg t i s :

a ) 1 ,2*

2

+

Jt

= O; c ) 0 , 5 j t

2

- j t = 0;

b) 1,6

jc+jc

2

= 0; d) 5 j t

2

=j t ;

7 8 1 . I š r e i k š k i t e s a n d a u g a :

a ) O

m

-I-O

m

+

1

; с) 4x

n

+

2

+ 20x

n

;

b) 5x

m

+

3

+IOJC

3

; d ) y

m

+

2

-y,

e) 1 ,6 jc

2

= 3 jc;

f )

Jt = Jt

2

.

e) a

n

b

2n

+ a

n

b

n

;

f) 15j t

2 n + 1

— 2 5 jt

n + 1

.



a ) ( 3 a + 6 )

2

; c ) (a

x

+ ay)

2

\ e) ( 5 ^ - 3 0 )

3

;

b) (12b — 4)

2

; d ) ( - 3 / J + 6 )

3

; f) ( 2 a - 8 ) < .

783. Įrodyki te , kad:

a ) 7 i o _

7

9 _

7

8 d a l i j a s i j g 4 Į

;

b) IO

9

+ I O

8

+ I O

7

da l i jas i i š 222;

c) 25

7

— 5

12

da l i jas i i š 120;

d) 81

7

— 27

9

— 9

13

da l i jas i i š 45 .

784. Įrodyki te , kad re i škinio a

2

—a re ikšm ė su kiek vien u sve i -

k u o j u α y ra ska ič iaus 2 ka r to t in i s .

785 . Je igu p r i e sve ik o jo ska ič iaus p r idė tu m e jo k v ad ra tą , t a i

gau ta suma bū tų lyg in i s ska ič ius . Į rodyki t e .

786 . Je igu p r i e dv ižen k l io ska ič iau s p r idė tum e ska ič ių , pa r a -

š y t ą t a i s pa č i a i s s ka i t me n i mi s a t v i r k š č i a t va r ka , t a i ga u t a s uma

bū tų sk a ičia us 11 ka r to t in is . Įrod yki te .

787 . Sk a ič iau s 3 dv ie jų iš e i lės e ina nč ių na tū r in i ų l a ipsn ių

su m a yra sk a ič iau s 12 ka r to t i n i s . Įrody ki t e .

1 2 p a r a g r a f a s

788 . P a r a š y k i t e r e i šk inį t r in a r iu :

a )

(x — 2) (5 + x)

; c) ( 1 0 - 2 ) ( 2 - 4 ) ; e ) ( 5 c + 2 ) ( 2 c - l ) ;

b ) (i/ + 7 ) ( i / - l l ) ; d )

(З а + 4 ) (8 — a ) ; f ) ( 3 n - 2 ) ( 1 - 4 n ) .


a ) x—2) ( x + 3 ) + x + 2) x—3);

b ) ( 0 - 1 ) ( 0 + 2) + ( 0 + 1 ) ( 0 - 2 ) ;

c ) ( а + 1 ) ( а + 2 ) + ( а + 3 ) ( а + 4 ) ;

d) (c

—

1) (c— 2) + (c —3) (c — 4) .

790 .

Įrodyki te , kad:

a ) (x + a) (x + b)=x

2

+ (a + b)x+ab;

b ) 0 — а) (y —b) =y

2

— (a + b)y + ab.

791.

P a r a š y k i t e r e iš k i n į d a u g i a n a r i u :

a ) ( x

2

- j c + 4 ) ( j c - 5 ) ; e ) ( x

2

+ * - 1 ) ( 2 x

2

-x + 4 ) ;

b ) ( 2 0 - l ) ( 0

2

+ 5 0 - 2 ) ; f )

( - 5 а

2

+ 2 а + 3 ) ( 4 а

2

- 2 а + 1 ) ;

c) (2

—

За) (— а

2

+ 4 а

—

8 ) ; g ) 0 ( 0 - 3 ) ( 0 + 2 ) ;

d) (3 — 4c) (2c

2

—c— 1) ; h ) ( c - 4 ) (c + 2) (c + 3 ) .



7 9 2 . Įr o d y k i t e , k a d k i e k v i e n a s r e i š k i n y s y r a t a p a č i a i l y g u s

d v i n a r i u i :

a ) (x+y)(x

2

-xy+y

2

); c ) ( a + 6 ) ( a

3

- a

2

6 + a 6

2

- 6

3

) ;

b) (x-y)(x

2

+xy+y

2

)· , d ) ( a - 6 ) ( a » + a

2

6 + a 6

2

+ 6

3

) .

7 9 3 . S u p r a s t i n k i t e :

a) (a

2

—7) (a + 2)

—

(2fl— I) (a — 14 );

b ) (2 —b) (1 + 2 6 ) + (1 + 6 ) (b

3

—3b);

c ) 2x

2

-(x-2y)(2x+y);

d) (m

—

3n) (m+2n) —m (m

—

n).

7 9 4 . I š s p r ę s k i t e l y g t i s :

a ) (*+1) (x+2) — ( x + 3 ) ( * + 4 ) = 6 ;

b) (3jc— 1) (2x4-7) — ( * + 1 ) ( 6 * — 5 ) = 16;

c) 24 -

(3y +

1

) (Ay

- 5) = (1 1 -

6y) (2y- 7);

d ) ( 6 . y + 2 ) ( 5 — i /) = 4 7 — (2y—3) (3t/— 1 ).

7 95 . I š r e i k š k i te d a u g i a n a r i u :

a ) d a u g i a n a r i o *

3

+ 7x

2

+ 8 ir d a u g i a n a r i ų x

2

— 6 x + 4 ir

χ— 1

s a n d a u g o s

s u m ą ;

b ) d a u g i a n a r i ų

a

2

+7a

— A ir

a

— 3 s a n d a u g o s ir d a u g i a n a r i o

a

3

+ Aa

2

- 2 9 a + 1 1 s k i r t u m ą.

7 9 6 . S u p r a s t i n k i t e r e i š k i n į ir a p s k a i č i u o k i t e j o r e i k š m ę s u n u -

r o d y t o m i s k i n t a m ų j ų r e i k š m ė m i s :

a ) \2by

3

+ (*— 5«/) (x

2

+ 25y

2

+5xy), k a i x=-3, y=-2;

b )

m

3

+ n

3

— (m

2

— 2mn — n

2

) (m —n),

k a i m = - 3 ,

n = A.

7 9 7 . Įr o d y k i t e , k a d r e i š k i n i o r e i k š m ė n e p r i k l a u s o n u o k i n t a -

m o j o r e i k š m ė s :

a) (a —3) ( a

2

- 8 a + 5) - ( a - 8 ) ( a

2

- 3 a + 5 ) ;

b )

(x

2

— 3x + 2)

( 2 * + 5 ) -

( 2 д с

2

+ 7 л : + 1 7 )

(х -А ).

798 . Į rodyk i t e , kad :

a ) p e n k i ų i š e i l ė s e i n a n č i ų n a t ū r i n i ų s k a i č i ų s u m a y r a s k a i -

č i a u s 5 k a r t o t i n i s ;

b ) k e t u r i ų i š e i l ė s e i n a n č i ų n e l y g i n i ų s k a i č i ų s u m a y r a s k a i -

č i a u s 8 k a r t o t i n i s .

7 9 9 . B u v o p a s a k y t i k e t u r i i š e i l ė s e i n a n t y s n a t ū r i n i a i s k a i -

či a i. P i r m ų j ų d v i e j ų s a n d a u g a y r a 3 8 v i e n e t a i s m a ž e s n ė u ž p a s -

k u t i n i ų d v i e j ų s k a i č i ų s a n d a u g ą . K o k i e t a i s k a i č i a i ?

8 0 0 . a ) D u o t i k e t u r i v i e n a s p o k i to e i n a n t y s s v e i k i e j i s k a i -

č i a i . Į r o d y k i t e , k a d d v i e j ų v i d u r i n i ų s k a i č i ų s a n d a u g a y r a 2 v i e -

n e t a i s d i d e s n ė u ž d v i e j ų k r a š t i n i ų s k a i č i ų s a n d a u g ą .



S U T R U M P I N T O S D A U G Y B O S F O R M U L Ė S

§ 13. K V A D R A T Ų S K I R T U M A S

3 3 . D V I E J Ų R E I Š K I N I Ų S K I R T U M O D A U G I N I M A S

I Š 1 Ų S U M O S

S k i r t u m ą a

—

b p a d a u g i n k i m e i š s u m o s a + b:

(a-b) (a + b) = a

2

+ab-ab-b

2

=a

2

-b

3

.

V a d i n a s i ,

(a-b) (a + b)= a

2

-b

2

.

1)

Dviejų reiškinių skirtumo ir jų sum os sandauga lygi šių reiš-

kinių kvadratų skirtumui.

(1 ) t a p a t y b ė y ra v i e n a

sutrumpintos daugybos formul ių .

P a g a l

š i ą fo rmu l ę g a l i ma s u t ru mp i n t a i p a d a u g i n t i r e i š k i n i ų s k i r t u mą

i š j ų s u mo s . Pa v y z d ž i u i ,

( 5 *

3

- 3 0

2

) (5*

3

+ 30

2

) = ( 5 x

3

)

2

- (3y

2

)

2

=25x*—9y*.

8 1 1 . I š r e i k š k i t e s a n d a u g ą d a u g i a n a r i u :

a ) (x-y)(x+y)\

b )

(p+q)(p-q)\

c) (b-a)(b + a)·,

d )

(p—7) (p+ 7);

e) ( x + 3 ) ( x - 3 ) ; i)

f) ( l - c ) ( l + c ) ; k )

g ) (2*— 1) (2 *4 -1 ) ; 1)

h) ( 4 + 5 i / ) ( 5 i / - 4 ) ; m )

(n —3 m) (3 m + > i ) ;

( 2 a — 3 6 ) ( 3 6 + 2 a ) ;

( 8 c + 9 d) (9d-8c);

(I0x-7y)(l0x+7y).

8 1 2 . Su d a u g i n k i t e :

a ) ( x

2

- 5 ) ( x

2

+ 5 ); g)

b) ( α

2

+ 3 ) ( a

2

— 3); h)

c ) (4

+ г /

2

) (y

2

—4);

i)

d )

(9—b

2

)

( 6

2

+ 9 ) ; k )

e ) ( - m

2

+ 8 ) ( m

2

+ 8 ) ; 1 )

f )

(n

2

+

1) —

n

2

+

1); m )

(a

3

— 6

2

) ( a

3

+ 6

2

) ;

(c

4

+d

2

) (d

2

-c

4

);

(5x

2

— 2y

2

) (5x

2

+ 2y

2

);

(10p*-3q) (3q+\0p

3

);

{I2a

4

-7x)(-l2a

4

-7x)·

(

—

у— 156

5

) (у— 156

5

) .



a ) ( 0 - 4 ) ( ( / + 4 ) ; e ) (3x

2

— 1 ) ( З х

2

+ 1 ) ;

b ) ( o + 1 ) ( 1 — a ) ; f ) ( 4 , 3 + 5 ) ( 4 ,

3

— 5 ) ;

c ) ( 7 x - 2 ) ( 7 x + 2 ) ; g ) ( 1 2 c

2

- 7 α

2

) ( 7 a

2

+ 12c

2

);

d ) (86 + 5 ) ( 5 - 8 6 ) ; h ) ( - 1 l p

4

+ 9 ) (1 lp

4

+ 9) . .

814.

S u d a u g i n k i t e :

a ) ( 0 , 7 x + ,

2

) (0 ,7x — ,

2

) ; e ) ( 0 , 8 6

2

- 1 ) ( 1 + 0 , 8 6

2

) ;

b) (1,3a

2

- 0 , 1 ) ( 1 , 3 a

2

+ 0 , 1 ) ; f ) ( 1 , 4 c + 1 , 7 , 3 ) ( 1 , 7 ,

3

- 1 , 4 c ) ;

O ' - « . ) ( , + I

e

. ) ;

g )

( j _ , « ) ( , < + j ) ;

815.

Apska ič iuok i t e :

a ) ( 1 0 0 - 1 ) ( 1 0 0 + 1 ) ; c) 74 - 6 6; e) 1 0 0 2 -9 9 8 ;

b ) (8 0 + 3 ) ( 8 0 - 3 ) ; d ) 2 0 1 - 1 9 9 ; f ) 1 , 0 5 - 0 ,9 5 .

8 1 6. A p s k a i č iu o k i t e s a n d a u g ą :

a ) 5 2 - 4 8 ; c ) 6 , 0 1 - 5 , 99 ; e ) 17 , 3 - 1 6 , 7 ;

b ) 3 7 -4 3 ; d ) 2 ,0 3-1 ,97 ; f ) 29 ,8 · 30 ,2 .

817.

I š r e ik š k i t e d a u g i a n a r i u :

a ) 2 ( x — 3 ) ( x + 3 ) ; e) ( 6 - 2 ) (6 + 2 ) ( 6

2

+ 4 ) ;

b ) , ( , + 4 ) ( , - 4 ) ; f) ( 3 - , ) ( 3 + , ) ( 9 + ,

2

) ;

c ) 5x (* + 2 ) ( x— 2) ; g )

( α

2

+ 1 ) ( α + 1 ) ( α - 1 ) ;

d ) — 3 α ( α + 5 ) ( 5 — a ) ; h ) ( c

4

+ 1 ) ( c

2

+ 1 ) ( c

2

- 1 ) .

-i 818.

S u p r a s t i n k i t e


a ) 2x

2

— ( x + 1 ) (χ— 1 ) ; c ) ( 3 α 6 - 1 ) ( 3 α 6 + 1 ) - 8 α

2

6

2

;

b)

5 6

2

+ (3 — 26 ) ( 3 + 2 6 ) ; d ) ( 0 , 8 x + , ) ( 0 , 8 x - , ) + 0 , 3 6 x

2

.

819. Į rodyki t e , kad k iekv ieno sve iko jo ska ič iaus kvadra ta s y r a

vi en e tu d i de sn is už es an čio pr ie š jį ir e in an čio po jo sv e i kų jų

s k a i č i ų s a n d a u g ą .

820 . S up r a s t i nk i t e :

a ) ( x - , ) ( * + , ) ( *

2

+ ,

2

) ; c ) ( 3 m - 2 ) ( 3 m + 2 ) + 4 ;

b )

(2 α + 6 ) ( 4 α

2

+ 6

2

) ( 2 α - 6 ) ; d ) 2 5 n

4

+ ( 7 + 5n

2

) ( 7 - 5 n

2

) .

t 821. S u p r a s t i n k i t e r e i š k i n i u s :

a ) (x —2) (x + 2) — x(x + 5 ) ; c) ( 4 χ - α ) ( 4 x + a ) + 2 x ( x - a ) ;

b ) m(m — 4) + ( 3 — m ) ( 3 + m ) ; d ) 2 α ( α + 6 ) - ( 2α + 6 ) ( 2 α - 6 ) .



a ) (3m — a)

3m+a) — 2a + m)

(3 a

—

m);

b )

x—4y) x+2y) + x—3y)

(3t/ + x ) ;

c ) ( 5 a - 3 c ) ( 5 a + 3 c ) - ( 7 c

- a

) ( 7 c

+ a ;

d ) (4 + 10c) (1 0c — 4 6 ) + ( - 5 c + 2 f e ) ( 5 c + 2 f t ) .

< 8 2 3 . S u p r a s t i n k i t e r e i š k i n i u s :

a ) 5 α ( α — 8 ) — 3 ( α + 2 ) (α — 2) ;

b ) ( l - 4 6 ) ( 4 f t + l ) + 6 f r ( f e - 2 ) ;

c ) (8p- i7 ) (< 7 + 8 p ) - ( p + fl)(p -<7);

d ) ( 3 6 c - l ) ( c + 7 ) - ( 6 c - l ) ( l + 6 c ) .

824 .

I š sp r ę sk i t e l y g t i s :

i a ) 8 m ( l + 2 m ) - ( 4 m + 3 ) ( 4 m - 3 ) = 2 m ;

b ) * - 3 * ( l - 1 2 * ) = l l - ( 5 - 6 x ) ( 6 x + 5 ) .

® 825. Ra ski te ly g l i es ša k nį:

a ) (6 *— 5 ) ( 6 x + 5 ) — 4 x ( 9 x + 2 ) = — 1;

b )

(8—9p)p=

— 4 0 + (6 — 3 p) ( 6 + 3 p ) .


8 2 6 . P a r a š y k i t e :

a) ska ič ių 19 i r 9 sk i r tu m o ir jų su m os s a n d a u g ą ;

b) ska ič ių 15 ir 25 k va d ra tų su m ą;

c ) k i n t a m ų j ų

b

ir

c

s u m o s k v a d r a t ą ;

d ) k i n t a m ų j ų α ir

b

s k i r t u m o k u b ą .

8 2 7 . Pe r sk a i t y k i t e r e i šk i n i u s :

a ) 2 ( * + « / ) ; c )

(b+y)

2

\

e ) x

2

- a

2

;

b ) 2

x y \

d )

(a-b)

2

·,

f )

a

3

+ b

3

.

8 28 . P a r a š y k i t e r e i šk i n į v i e n a n a r i o k v a d r a t u :

a) 4x

4

; c) 36 m

6

; e) 9a

4

fe

2

;

b ) 0 ,25a

4

; d ) a

2

f t

4

; f )

0 ,1 6 л :V ·

8 29 . A t s t u m a s t a r p

stočių

Л ir β yr a 1020 km .

Iš jų tuo pačiu

m e t u v i e n a s p r i e ša i s k i t ą i šv y k o d u t r a u k i n i a i .

Vieno traukinio

gre i t i s 10 km/h d idesn is už k i to gre i tį . Po 5 h ats tumas tarp

t r a u k i n i ų , d a r j i e m s n e su s i t i k u s , b u v o 170 k m . Raskite kiekvieno

t r auk in io g re i tį .



3 4 . K V A D R A T Ų S K I R T U M O S K A I D Y M A S D A U G I N A M A I S I A I S

S u k e i s k i m e v i e t o m i s t a p a t y b ė s (a — b) (a + b) = a

2

— b

2

d e š i n i ą j ą

i r k a i r i ą j ą p u s e s . G a u s i m e :

a

2

— b

2

= (a — b) (a +b).

S i t a p a t y b ė v a d i n a m a k v a d r a t ų s k i r t u m o f o r m u l e .

Dviejų reiškinių kvadratų skirtumas lygus tų reiškinių skir-

tumo ir jų sumos sandauga i.

. K v a d r a t ų s k i r t u m o f o r m u l ė t a i k o m a s k a i d a n t d a u g i n a m a i s i a i s

b e t k u r i ų d v i e j ų r e i š k i n i ų k v a d r a t ų s k i r t u m ą .

P a v y z d ž i u i , i š s k a i d y k i m e d a u g i n a m a i s i a i s d v i n a r į

49л:

2

—16y

6

.

I š r e i š kę šį dv i na r į k v a d r a t ų s k i r t u m u i r p r i t a i kę f o r m u l ę a

2

— b

2

=

— (a — b) (a + b),

g a u s i m e :

4 9 л :

2

- 16y

6

= ( 7 л : )

2

- ( 4

y

3

)

2

= (7x-4y

3

) (7x+4y

3

).

a) χ

2

-y

2

; d) m

2

-U

g )

p

2

-400; k)

b

2

- -± ;

b ) c

2

—

2

2

; e )

16

— b

2

; h) t /

2

- 0 , 0 9 ;

^ - ¾ - "

2

;

OK

c) a

2

— 25 ; f ) 100 —JC

2

; i) 1 , 4 4 - a

2

; m ) G - p

2

.


\ a ) 25x

2

-y

2

; e ) 9 m

2

- 1 6 n

2

; i) 9 - b

2

c

2

;

b) —m

2

+ 16n

2

; f ) 64 p

2

- 8 1 < ?

2

;

к ) 4 a

2

b

2

- l ;

c ) 3 6 a

2

- 4 9 ; g ) - 4 9 a

2

+ 1 6 b

2

; 1) p

2

- a

2

b

2

;

d ) 6 4 - 2 5 л :

2

; h ) 0 , 0 1 n

2

- 4 m

2

; m ) 16 c

2

c f

2

- 9 a

2

.

832 . I š re i k šk i te s a n d a u g a :

a )

χ

2

— 6 4; d ) - 8 1 + 2 5 < /

2

; g ) х

2

г/

2

- 0 , 2 5 ;

b ) 0 , 1 6 - c

2

; e ) 1 4 4 b

2

- c

2

; h ) c

2

d

2

-a

2

·,

c ) 1 2 1 - m

2

; f) 1 6λ :

2

-4 9 ι /

2

; i)

a

2

x

2

-4y

2

.

833 . A p s k a i č i u o k i t e :

a) 47

2

— 37

2

; c ) 1 2 6

2

- 7 4

2

; e) 0,849

2

- 0 ,151

2

;

b ) 5 3

2

- 6 3

2

; d) 21,3

2

— 21,2

2

; f )

(б | )

2

- ( 4 i - )

2

.

834 . A p s k a i či u o k i t e t r u p m e n ų r e i k š m e s :

- 36 , 79

2

- 6 5

2

. 53

г

— 27

2

„ 5 3

2

- 3 2

2

а

> Ι3

2

- 1 1 - '

:

' 420 '

C

' 7 9

2

- 5 1

2

' ' 6 l

2

- 4 4

2

"



8 3 5. A p s k a i č iu o k i t e r e i š k i n i ų r e i k š m e s :

a ) 4 1

2

— 3 1

2

; c) 256

2

—

156

2

;

e )

2 6 » - 1 2 « .

{ )

6 3 ' - 2 7 »

b ) 7 6

2

- 2 4

2

; d) 0,7832 - 0,2 17

2

; 54*-16*' 832-79*'


a ) x

4

- 9 ; d )

y

2

-p \

g ) 6

4

- ^

0

; k) c

8

- d

8

;

b) 25

—

n

6

; e) c

6

- d

6

; h) m

8

- r a

6

; 1) a

4

- 1 6 ;

c ) m

8

— a

2

; f) x

6

- a

4

; i) a

4

- 6

4

; m ) 81 -b*.

• 837 . I š s p r ęsk i t e lyg t i s :

, а ) д с

2

— 1 6 = 0 ; / b ) у

2

- 8 1 = 0 ; с ) χ

2

-

į- = 0 ; d ) a

2

- 0 , 2 5 = 0 .

8 3 8. I š r e i k š k i t e s a n d a u g a :

a ) c

6

—

9x

4

; d ) a

4

6

2

- 1; g )

\6m*y

3

-9n*·,

b )

100г/

2

— a

8

; e ) 0 , 36 -х

4

г/

4

; h) 9 x

8

f /

4

- I O O z

2

;

c) 4*

4

—256

2

; f) 4a

2

— 6

6

c

2

; i) 0 , 8 I p V - 0 , 0 I x

i

.

839. I š s k a i d y k i t e · d a u g i n a m a i s i a i s :

a) 64—

į

/

4

; d) 25 m

6

—ra

2

;

g ) 6 4 - a

4

6

4

;

b ) X

2

- C

6

; e ) 1 — 4 9 p

1 0

; h ) 1 6 6

2

c

I 2

- 0 , 2 5 ;

c ) a

4

— 6

8

; f )

4 ί/

6

— 9a

4

; i ) 8 Ix

6

I /

2

- 0 , 3 6 a

2

.

840 .


а) 4x

2

— 9 = 0 ; b) 2 5 x

2

-16 = 0 .

841 .


a ) m

2

— 25 = 0; b) x

2

- 3 6 = 0 ; c ) 9 x

2

- 4 = 0 ; d ) 1 6 x

2

- 4 9 = 0 .

8 4 2. P a r a š y k i t e re i š k in į s a n d a u g a :

a ) ( x + 3 )

2

—

1; c) ( 4 a - 3 )

2

- 1 6 ; e) ( 5 « / - 6 )

2

- 8 1 ;

b ) 6 4 - ( 6 + 1 )

2

; d) 25— (a + 7 )

2

; f ) l - ( 2 x - l )

2

.

ч 843.

I š s k a i d y k i t e d a u g i n a m a i s i a i s :

a )

9y

2

—

(1 + 2 į / )

2

; c)

4 9 x

2

- ( у + 8 х )

2

; e ) ( - 2 a

2

+ 3 6 )

2

- 4 a

4

;

b) (3c — 5)

2

— 16c

2

; d ) ( 5 a - 3 6 )

2

- 2 5 a

2

; f ) b

6

- ( x - 4 6

3

)

2

.

% 844 .

I š re i k š k it e s a n d a u g a :

a) (26 — 5 )2 — 36; c) ( 4 - l l m )

2

- l ; e) ( 5 c - 3 d )

2

- 9 d

2

;

b) 9— (7 + 3 a )

2

; d) p

2

- ( 2 p + l )

2

; f )

α

4

- ( 9 6 + α

2

)

2

.

845 . {rpdyki te , kad su k iekviena

n a t ū r i n e ra r e i k š m e : a ) r e i š -

k in io ra + 7 )

2

- n

2

re ik šm ė d a l i j a s i i š 7 ; b) re i šk in i o (4ra + 5)

2

— 9

re ikšm ė da l i j a s i i š 4 .

10. Alg eb ra 6 kl . 1 4 5




8 4 6 . P a r a š y k i t e :

a )

5лг ir 3 sumos k v a d r a t ą ; c ) m ir 2 n s k i r t u m o k v a d r a t ą ;

b ) 1 ir 4a kv ad ra t ų s u m ą ; d ) 3* ir 7y kv ad ra t ų s k i r t um ą .

847 . A t s t umas t a rp s t oč i ų M i r N y ra 380 km. I š j ų t uo pač i u

met u v i enas p r i e š a i s k i t ą i š vyko du t r auk i n i a i . I š s t o t i e s N i š -

v y k u s i o t r a u k i n i o g r e i t i s b u v o 5 k m / h d i d e s n i s u ž k i t o t r a u k i n i o

g r e i t į . P r a ė j u s 2 h n u o i š v y k i m o , a t s t u m a s t a r p t r a u k i n i ų b u v o

30 km. Ras k i t e k i ekv i eno t r auk i n i o g re i t į .

§ 14. S U M O S K V A D R A T A S IR S K I R T U M O K V A D R A T A S

3 5. D V I E J Ų R E I Š K I N I Ų S U M O S I R S K I R T U M O K Ė L I M A S K V A D R A T U

I š n a g r i n ė k i m e d a r d v i s u t r u m p i n t o s d a u g y b o s f o r m u l e s .

P a k e l k i m e k v a d r a t u s u m ą a + b. T a m r e i š k i n į (a+b)

2

i š r e i k š -

k i m e s a n d a u g a (a + b) (a + b) i r s u d a u g i n k i m e :

(a + b)

2

= α +ft) a+b) = a

2

+ ab+ab + b

2

=a

2

+2ab + b

V a d i n a s i ,

a + b)

2

=a

2

+ 2ab + b\ 1)

Dviejų reiškinių sum os kvadratas lygus pirmojo reiškinio

kvadratui plius dvigubai pirmo ir antro reiškinio sandaugai,

plius antro reiškinio kvadratui.

( 1 ) t a p a t y b ė v a d i n a m a s u m o s k v a d r a t o f o r m u l e . R e m i a n t i s

š i a f o r m u l e , p a p r a s č i a u y r a d v i e j ų r e i š k i n i ų s u m ą p a k e l t i k v a d -

r a t u . P a v y z d ž i u i ,

(8* + 3 у )

2

= ( 8 л : )

2

+ 2 ·

8

JC · 3 y + 3y )

2

=64x

2

+ 4 8x y + 9 y * .

I š n a g r i n ė k i m e d a b a r s k i r t u m o a— b k v a d r a t ą . K a d a n g i s k i r -

t u m ą a — b g a l i m a i šr e ik š ti s u m a a + ( — ft), t a i p ag a l s u m o s

k v a d r a t o f o r m u l ę

(a-b)

2

= (a+(-b))

2

= a

2

+2a (-b) + (-b)

2

= a*-2ab + b*.

V a d i n a s i ,

(a—b)

2

=a

2

—2ab+b

2

, 2 )



Dviejų reiškinių skirtum o kvadratas lygus pirmojo reiškinio

kvadratui minus dvigubai pirmo ir antro reiškinio sandaugai,

plius antro reiškinio kvadratu i.

( 2 ) t a p a t y b ė v a d i n a m a s k i r t u m o k v a d r a t o f o r m u l e . R e m i a n t i s

š i a fo rmu le , pa p r as č iau y ra pak e i t i kv ad ra tu be t ku rį dv ie jų

r e i šk i n i ų sk i r t u m ą . Pa v y z d ž i u i ,

( 1 0a — 7 6

2

)

2

= ( 1 0 a )

2

—2 · IOa .

7b

2

+ {7b

2

)

2

=

= IOOa

2

-HOab

2

+49b*.

( 2 ) t a p a t y b ę t a i p p a t g a l i m a g a u t i p a g a l d a u g i a n a r i o d a u ^

g i n i m o i š d a u g i a n a r i o t a i s y k l ę :

a — b

p a d a u g i n u s i š

a — b.

8 48 . I š r e i k šk i t e d a u g i a n a r i u :

a) (x + , )

2

; c)

(b +

3 )

2

; e)

(y-

9)

2

; g ) ( a + 1 2 )

2

; i) ( 6 - I 1 )

2

.

b )

(p-q)

2

;

d ) ( 1 0 - c )

2

; f ) (9 — ,)

2

; h ) ( 1 5 - x )

2

;

8 4 9 . I š r e i k šk i t e d a u g i a n a r i u :

a )

(m + n)

2

;

b)

(c-d)

2

;

c ) ( a - 2 5 )

2

;

d) (40 + 6)

2

;

e) ( 0 , 2 - х )

2

;

f )

(k + 0,5)

2

.

850. Rem dam ies i 54 pav e iks lu ,

p a a i š k i n k i t e f o r m u l ė s

(a + b)

2

=

= a

2

+2ab + b

2

g e o m e t r i n ę p r a sm ę , k a i

a

i t

b

r e ikšmės y ra t e i -

g iami skaič ia i .

851 . [ rodyk i te t apa tybę :

a ) ( x - , )

2

= ( , - x )

2

; b )

(-a-b)

2

= (a + b)

2

.

8 5 2. I š r e i k šk i t e d a u g i a n a r i u :

a ) ( - x + 5 )

2

; b) ( - 2 - 2 )

2

; c) ( - n + 4 )

2

; d ) ( - m - 1 0 )

2

.

853. I š r e ikšk i t e dv in a r io kv ad ra t ą

d a u g i a n a r i u :

a) (2x + 3)

2

;

b ) (5x — 2, )

2

;

c ) ( 7 , - 6 )

2

;

g ) ( 5 , - 3 2 )

2

;

h ) (1 lx — 7 , )

2

;

i ) ( 0 , 1 a - 2 0 )

2

;

d )

— 9 a + 4 6 )

2

; k ) ( - 1 i -

p + 6qf

e ) (— 15 — 2c)

2

;

f )

v

( 8 £ + 1 0 j

2

;

1) ( — 0 ,8x — 0,56)

2

;

m ) ( 0 , 0 8 a - 5 0 )

2

.

54 pav.



8 5 4 . I š r e i k š k i te d v i n a r i o k v a d r a t ą d a u g i a n a r i u :

a ) 11 x - y )

2

; d ) ( 8 * - 3 y )

2

· , g ) ( 0 , 2 p - I O

9

)

2

;

b ) (3 a + IOfe)

2

; e) \ \ p + 4 q f ' h ) (За + 2 ,5 6)

2

;

c) (6/tt + n )

2

; f ) ( 5 a + ^ f e )

2

; i) ( 0 , 8 * - 0 , 1 1 / )

2

.

8 5 5 . R e m d a m i e s i s u m o s k v a d r a t o a r b a s k i r t u m o k v a d r a t o f o r -

m u l e ,

a p s k a i č i u o k i t e :

a ) ( 1 0 0 + 1 )

2

; с) 61

2

; e) 999

2

; g ) 9,9

2

;

b ) ( 1 0 0 - 1 )

2

; d) 199

2

; f) 70 2

2

; h) 10,2

2

.

856 .

S u a p v a l i n ę re iš k in io ( l + x )

2

r e i k š m e s i k i š i m t ų j ų , u ž -

p i ldyk i t e l en te lę :

X

0,02 0,05

- 0 , 0 6

0,08

( I + * )

2

1

+ 2*

...

8 5 7. A p s k a i č i u o j a n t a r t i m ų v i e n e t u i s k a i či ų k v a d r a t u s , v i e t o j

f o r m u l ė s (1 + a )

2

= 1 + 2 a + a

2

t a i k o m a a p y t i k s l ė f o r m u l ė ( 1 + a )

2

= =

~ l + 2 a . K o k ia p a g a l š ią f o r m u l ę r a s t o s a p y t i k s l ės r e i k š m ė s ab -

s o l i u č i o j p a k l a i d a ? S u k u r i o m i s

α

r e i k š mėmi s pa ga l š i ą f o r mu l ę

g a u n a m o s a p y t i k s l ė s r e i k š m ė s 0 , 0 1 t i k s l u m u ?

8 58 . R e m d a m i e s i f o r m u l e

( 1 + α )

2

~ 1 + 2 α , r a s k i t e

r e i š k i n i ų

a p y t i k s l e s r e i k š m e s :

a ) ( 1 + 0 , 0 1 )

2

; c) 1,05

2

; e) 0,9 7

2

;

b ) ( 1 - 0 , 0 2 )

2

; d) 1,005

2

; f) 0,99 9

2

.

A p s k a i č i u o k i t e a p y t i k s l i ų r e i k š m i ų a b s o l i u č i ą s i a s p a k l a i d a s .

8 5 9. I š r e i k š k i te d a u g i a n a r i u :

a ) ( x

2

- 5 )

2

; d ) ( α

2

— 3 a )

2

; ^ g ) (4г/

3

- 0 , 5 « /

2

)

2

;

b ) ( 3 p- < /» )» ; e ) ( j *

3

+ 6 x f ; h ) ( l j

a*

+ 8 a

2

;

c) (5y

3

— 2 x

2

)

2

; f ) ( c

2

- 0 , 7 c

3

)

2

; i) ( 0 , 6 6 - 6 0 6

2

)

2

.

860 .

I š re i k š k i te d a u g i a n a r i u :

a) (a

2

- 2 6 )

s

; c ) ( 7 a

6

+ 2 a )

2

; e ) 3y + 8y

5

)·;

b) ( j c

3

+ 3 0

4

)

2

; d ) ( 1 5 * - χ

3

)

2

; f ) ( 4 a

3

- I l a

2

)

2

.



8 7 1. P a r a š y k i t e r e i š k i n į d a u g i a n a r i u :

a ) ( p _ 3 )

2

( p + 3 )

2

; c )

( α - 5 )

2

( 5 + α )

2

;

b ) ( i / + 4 )

2

( i / - 4 ) d ) ( * + 4 )

2

( 4 - * )

2

.

8 7 2 . [ r o d y k i t e

t a p a t y b ę :

a ) a

2

+ b

2

=(a + b)

2

-2ab\ c ) (a + b)

2

+ (a-b)

2

=2(a

2

+b

2

);

b ) (a + b)

2

-4ab=(a-b)

2

·, d ) (a + b)

2

-2b(a+b)=a

2

-b

2

.

8 7 3. R e m d a m i e s i t a p a t y b e (

a + b)

2

= a

2

+ 2ab + b

2

i r d a u g i a n a -

r i ų d a u g i n i m o t a i s y k l e , i š v e s k i t e s u m o s k u b o f o r m u l ę

(a + b)

3

=a

3

+ 3a

2

b + 3ab

2

+ b

3

.

R e m d a m i e s i į r o d y t a t a p a t y b e , i š r e i k š k i t e d a u g i a n a r i u r e i š k i n į :

a )

(2x+y)

3

\

b )

(a + 3b)

3

.

8 7 4 . I š v e s k i t e s k i r t u m o k u b o f o r m u l ę :

(a-b)

3

= a

3

-3a

2

b + 3ab

2

- b

3

.

875 . Su ku r i a χ r e i k š m e :

a ) d v i n a r i o * + l k v a d r a t a s y r a 120 d i d e s n i s u ž d v i n a r i o x — 3

k v a d r a t ą ;

b ) d v i n a r i ų

x+2

ir

x—

2 d v i g u b a s a n d a u g a 1 6 v i e n e t ų m a -

ž e s n ė u ž j ų k v a d r a t ų s u m ą ?


8 7 f i

· A r p r i k l a u s o f o r m u l e y =0,02*

2

i š r e i k š to s f u n k c i j o s g r a -

f ik u i t a š k a i . 4( 1 5; 4 ,5 ) , S ( - 2 , 0 5 ; - 0 , 1 2 ) , C ( 5 0 ; 5 0 ) ?

8 7 7

· N e n u s i b r a i ž ę r a s k i t e f u n k c i j o s y = 0 , 2 4 * + 6 g r a f i k o i r k o -

o r d i n a č i ų a š i ų s u s i k i r t i m o t a š k ų k o o r d i n a t e s .

8 7 8. V i e n o j e k o o r d i n a č i ų p l o k š t u m o j e n u b r a i ž y k i t e f u n k c i j ų

i/ = *

2

ir y=— * + 6 g r a f i k u s i r r a s k i t e š i ų g r a f i k ų s u s i k i r t i m o t a š k ų

k o o r d i n a t e s .

8 7

9 · I š s p r ę s k i t e l y g t i s :

.

0

χ

— 2

χ f . .v , , x+\

„ 3 * + l

a) 2*

г

= з " - 6 ; b ) 1 + — =x ·

R a s k i t e l y g t i e s

šaknį:

3 ) 6 = - ^ - 2 , 4 ; b ) 0 , 6 9 = ^ - 1 3 , 8 .



3 6 . S K A I D Y M A S D A U G I N A M A I S I A I S , R E M I A N T I S S U M O S K V A D R A T O

IR S K I R T U M O K V A D R A T O F O R M U L Ė M I S

R e m i a n t i s s u m o s k v a d r a t o i r s k i r t u m o k v a d r a t o f o r m u l ė m i s ,

ga l ima ne t ik gre ič iau sumą i r sk i r tumą pake l t i kvadra tu , be t I r

s k a i d y t i d a u g i n a m a i s i a i s t o k i u s r e i š k i n i u s , k a i p

a

2

+2ab + b

2

ir

a

2

- 2 a b + b

2

.

Suke i tę v ie tom is š ių fo rm ul ių ka i r ią ją i r de š in ią ją puse s , gau -

n a m e :

a

2

+ 2 a b + b

2

= ( a + b )

2

;

a

2

- 2 a b + b

2

= ( a - b )

2

.

I š n a g r i n ė k i m e d u p a v y z d ž i u s .

1 p a v y z d y s . I š s k a id yk im e t r i n a r į

9 *

2

+ 3 0 л : + 2 5 d a u g i n a -

ma i s i a i s .

P i r m a s

d ėm u o y ra r e i šk in io 3x kv ad ra t a s , t r eč ia s — ska ič iaus 5

k v a d r a t a s . K a d a n g i a n t r a s d ė m u o l y g u s re i š k i n i ų 3 * ir 5 d v i g u b a i

sa n d au g a i , ta i šį t r i na rį ga l im a i š re ikš t i

Здс ir 5 su m os k v a d ra tu :

9*

2

+ 3 0x + 25 = (3 x)

2

+ 2 - 3 * · 5 + 5

2

= (3x + 5 )

2

.

2 p a v y z d y s .

I š s k a id y k i m e d a u g i n a m a i s i a i s d a u g i a n a r į

a

2

—20ab

2

+ IOOb

4

:

a

2

— 20ab

2

+

1 OOb

4

=

a

2

— 2 ·

a

. IOb

2

+

(10b

2

)

2

= ( a - IO b

2

)

2

.

881. I š r e ikšk i t e t r in a rį dv ina r io kv ad ra tu :

a )

x

2

+ 2xy+y

2

;

d ) 6 4 + 1 6 b + b

2

;

b )

p

2

—2pq + q

2

;

e ) 1 - 2

z + z

2

;

c) a

2

+ 12 a+ 36 ; f )

ri

2

+ 4n + 4.


a ) 9x

2

-24xy+l6y

2

; e ) 4 9 + 9 α

2

- 4 2 α ; ,л.

b ) 2 5 b

2

+ 1 0 b + 1; f ) 0 ,25x

2

+ 1 Oxy +1 OOy

2

;

c ) 121α

2

— 4 4 α χ+ 4 *

2

; g ) 4 c d + 2 5 c

2

+ 0 ,16d

z

;

d ) γ m

2

+ 2mn + 4n

2

; h) 9 p

2

~ p q + ^ q

2

.

883. Vie to j

žva igž du tės pa r a š yk i t e tokį v ie na na rį, kad ga u t ą

r e i šk inį bū tų ga l im a i š r e ikš t i dv ina r io k va dr a tu :

a ) b

2

+ 2 0 b + *; c) 16*

2

+ 24*(/ + *;

b) * + 14(/ + 49; d)

*

-

42pq + 49q

2

.



884 . I š r e i k š k i t e t r i n a r į dv i na r i o kv a d r a t u :

a) 81a

2

— 18a6 +

6

2

;

d ) 100х

2

+ г/

2

+20хг/;

b ) l+ y

2

— 2y\ e) 6

2

+ 4 a

2

- 4 a f t ;

c) 8aft + ft

2

+ 16a

2

; f ) 28 xi /+ 49x

2

+ 4г/

2

.

JK.885.

Apska ič iuok i t e r e i šk in io r e ikšmę:

a ) y

2

— 2y+l, ka i г/= 101;

b ) 4 x

2

- 2 0 x + 25 , ka i X = 12,5 ;

c ) 2 5 a

2

+ 4 9 + 7 0 a, k a i a = 4 , 4 ;

d) 606 +

IOOft

2

+ 9,

k a i 6 = 1 , 7 .

8 8 6. J e i g u g a l i m a ,

pa r a š y k i t e r e iš k i nį dv i na r i o k v a d r a t u :

a ) 4x

2

+ 12x + 9; d) 1006

2

+ 9 c

2

- 6 0 6 c ;

b) 2 5 α

2

- 3 0 α 6 + 9 6

2

; e) 49x

2

+ 12xy - 64г/

2

;

c ) p

2

— 2p + 4; f) 8ly

2

— 16z

2

—72*/z.

887. P a r a š yk i t e r e iš k i nį dv i na r i o kv a d r a t u :

a )

χ

4

— 8x

2

y

+16г/

2

; d ) г/

8

+ j i /

4

+ | I

b ) - 1 α

2

+ 2α 6

2

+ 4 6

4

; e) α

2

χ

2

- 2 α 6 χ + 6

2

;

c) ft

6

+ f t

3

+ į - ; f ) 91/

2

+

c

2

d.

2

+ Gcdy.

888 . Pa ra š yk i t e r e i šk inį dv ina r io k v ad ra tu :

a ) 4 a

6

- 4 a

3

f t

2

+ ft

4

; c ) 0 , 0 1

X

4

+

Į

/

2

- 0 , 2

X

2

Į / ;

b) ft

8

-a

2

ft

4

+ja

4

; d ) 9X

8

+ 4 Į /

2

- 1 2 X

4

I / .


889 , Įrodyk i t e , kad fo rm ulėm is y = 4 (3 — 2x)— 5 ir i /= x —8(x—

— 8 ) i š r e i k š t o s f un kc i j o s y r a t i e s i nės , o j ų g r a f i ka i — s us i ke r t a n -

č ios t i e sės . Kokios š ių t i e s ių sus ik i r t imo t a ško koord ina tės?

890 , P a r a š y k i t e r e i šk inį v ie na n a r io ku bu :

a) 27a

3

;

b ) — 8m

3

;

c) 8ft

6

;

d )

—

64p

6

;

891 . P a r a š yk i t e :

a )

χ i r 5 sumos

kubą;

b) 7 i r m ski r tumo kubą;

e) — 27a

3

x

6

;

f ) 64a

6

jt

9

.

c ) 2a ir 1 ku bų su m ą;

d) 3x i r 2y kubų ski r tumą.



§ 15. K U B Ų S U M A IR S K I R T U M A S

3 7 . S U T R U M P I N T O S D A U G Y B O S F O R M U L Ė S , P A G A L K U R I A S G A U N A M A

K U B Ų S U M A I R S K I R T U M A S

P a d a u g i n k i m e s u m ą

a + b

i š re i šk in io

a

2

—

ab + b

2

:

(a+b) (a

2

-ab + b

2

) = a

3

-a

2

b+ab

2

+a

2

b-ab

2

+b

3

= a*+b

3

.

G a v o m e t a p a t y h ę

(a+b) (a

2

—ab + b

2

) = a

3

+ b

3

.

R e i š k i n y s

a

2

—ab + b

2

p r i m e n a t r i n a r į

a

2

—

2ab + b

2

,

kur i s ly -

g u s α i r f t sk i r t umo kvad ra tu i . T a č i a u š i a m e r e i š k i n y j e v i e t o j

k i n t a m ų j ų

α i r f t dv igubos s andaugos y ra

j ų s a n d a u g a . R e i š k i n y s

a

2

—ab + b

2

v a d i n a m a s

α ir ft

nepilnu oju skirtum o kv adratu.

G a u t a t ap a t y bė y ra dv i e j ų r e i š k i n i ų s um os ir j ų s k i rt um o ne -

p i l n o j o k v a d r a t o s u t r u m p i n t o s d a u g y b o s f o r m u l ė .

Dviejų reiškinių sumos ir jų skirtumo nepilnojo kvadrato san-

dauga lygi tų reiškinių kubų suma i.

1 p a v y z d y s . I š r e ik š k im e s a n d a u g ą (m + 3n) (m

2

—

3mn +

+ 9n

2

) d a u g i a n a r i u .

K a d a n g i p i r m a s d a u g i n a m a s i s y r a r e i šk i n i ų m ir 3 n s u m a ,

o a n t r a s — j ų s k i r t u m o n e p i l n a s i s k v a d r a t a s , t a i š i s a n d a u g a

lyg i š i tų re i šk in ių kubų sumai :

(m + 3n) (m

2

-3mn + 9n

2

) = m

3

+27n

3

.

R e i š k i n y s

a

2

+ ab + b

2

v a d i n a m a s

α ir ft nepi lnuoju sumos kvad-

ratu.

I š r e i k š k i m e d a u g i a n a r i u s k i r t u m o a — b i r re iškinio a

2

- f a f t +

+ f t

2

s a n d a u g ą :

(a-b) (a

2

+ab + b

2

) =a

3

+ a°b + ab

2

-a

2

b-ab

2

-b

3

= a

3

-b

3

.

(a

—

b) (a

2

+ ab + b

2

) =a

3

— b

3

.

Si t ap a t y bė y ra dv i e j ų r e i š k i n i ų s k i r t um o ir j ų s um os nep i l -

n o j o k v a d r a t o s u t r u m p i n t o s d a u g y b o s f o r m u l ė .

Dviejų reiškinių skirtumo ir jų sumos nepilnojo kvadrato san-

dauga lygi tų reiškinių kubų skirtumui.

2 p a v y z d y s . I š re ik šk im e d a u g i an a r iu r ei š kin į

(х -Ъ у )(х

2

+Ъ х у + 2Ъ у

2

).

S is r e i š k i nys y ra dv i e j ų v i e na na r i ų s k i r t um o ir j ų s um os ne -

p i l n o j o k v a d r a t o s a n d a u g a . T o d ė l

(x—Sy) (х

2

+Ъ х у + 2Ъ у

2

) =дс

3

— 125ί/

3

.



8 92 . I š r e i k š k i t e s a n d a u g ą ( χ + 1 0 ) ( χ

2

- I O x + 100) d a u g i a n a -

r i u : a ) r e m d a m i e s i d a u g i a n a r i o d a u g i n i m o

i š d a u g i a n a r i o t a i -

s y k l e ; b ) p a g a l s u t r u m p i n t o s d a u g y b o s f o r m u l ę .

8 93 . P a r a š y k i t e s a n d a u g ą d a u g i a n a r i u :

a )

(m + n)

( m

2

- m n + n

2

) ; e ) ( * - 1 ) (x

2

+ x + 1 ) ;

b )

(c-d)(c

2

+cd+d

2

)\

f )

( α + 1 ) ( a

2

- a + l ) ;

c )

( p + 5 ) ( p

2

— 5 p

+ 25 ) ; g ) (4 + c) ( c

2

- 4 c + 1 6 ) ;

d )

0 / - 2 ) ( < /

2

+

2</

+ 4 ) ; h ) (3-b) (b

2

+ 3b + 9).

894 . I š r e ik š k i t e d a u g i a n a r i u :

a ) l + z ) l - z + z

2

) ; c) ( 3 - m ) (9 + 3 m + m

2

) ;

b) ( £ - 7 ) ( 4 9 + 7 * + *

2

) ; d)

4 + k)

( £ 2 - 4 6 + 1 6 ) .

895 . S u p r a s t i n k i t e r e i š k i n i u s :

a ) ( a + 5 f t ) ( a

2

- 5 a f r + 2 5 b

2

) ; d)

2b-

1)

4b

2

+2b +

1);

b)

2y—x) 4y

2

+2xy+x

2

)\

e ) ( 3 + 2 x ) ( 9 - 6 x + 4 x

2

) ;

c) (m

2

— 4m n

+ 1 6 n

2

) (m + 4 n ) ; f )

( 2 5 + 1 5 α + 9 a

2

) ( 5 - 3 a ) .

896 . P a r a š y k i t e d a u g i a n a r i u :

A) (x—3y) (X

2

+

3

XJ

/

+ 9Į/

2

) ; С) (4y + I ) (\6y

2

—4y + 1);

b ) (2b + a)

(4ft

2

—2aft + a

2

) ; d ) ( 3 - 2 c ) ( 9 + 6c + 4 c

2

) .

8 9 7 . S u p r a s t i n k i t e


a) * +

«/ x

2

-xy+y

2

) +

(x

y) (* '+χί/ + ί/

2

) ;

b)

(m-n)

( m

2

+ m n + n

2

) - (m + n)

(m'-mn + n

2

).

898 .

A p s k a i č i u o k i t e r e i š k i n i o r e i k š m ę :

a) (x + 4) ( x

2

— 4 x + 1 6 ) — 64, k ai x = - 0 , 5 ;

b ) 1 3 — ( x — 3 ) ( x

2

+ 3x + 9) , kai

χ = —1;

c ) (x + 2) (x

2

—2x + 4) — (x

2

+ 8 ), ka i x = 0 , l ;

d) χ

3

— (χ — 1) (x

2

+ x + 1) + 5x, kai x = 0,6.

899 .

A p s k a i č iu o k i t e r e i š k i n i ų r e i k š m e s :

a ) 10— (i/ + 2) (y

2

—2«/ + 4 ) , ka i y=—2;

b) (m

2

+ 4 m + 1 6 ) ( m - 4 ) - ( m

3

+ 3 m ) , k a i An = 0,8.

K a n o j i m o p r a t i m a i

T u r i s t as a ps ka ič iav o : j e igu j i s e is į ge lež in ke l io s to tį

4 km /h g re ič iu , t a i pa vė lu os į t ra uk in į pu sę va la nd o s , o j e ig u



eis 5 km /h gre ičiu , ta i a tv yk s į s to tį 6 m in ik i t r au k in io i šėj im o.

Kokį nu oto lį tu r i nue i t i t u r i s t a s?

901 . Ar e i na funkc i j o s y = x

Ą

+ x

3

—

x

2

+x

—

1 g ra f i kas pe r t a š ką :

a)

J4(— 2 ; 2 ) ;

b)

5 ( - 1 ; - 3 ) ; c ) C ( 3; 101 ) ;

d)

D ( - 3 ; 4 1) ?

3 8 . K U B Ų S U M O S I R S K I R T U M O S K A I D Y M A S D A U G I N A M A I S I A I S

S u k e i s k i m e v i e t o m i s t a p a t y b ė s (a + b) (a

2

—

ab + b

2

) = a

3

+b

3

ka i r i ą j ą i r deš i n i ą j ą pus es . Gaus i me :

a

3

+ b

3

=(a + b)(a

2

-ab + b

2

).

S i t a p a t y b ė v a d i n a m a

kubų sumos formule.

Dviejų reiškinių kubų suma lygi tų reiškinių sumos ir jų skir-

tumo nepilnojo kvadrato sandauga i.

K u b ų s u m o s f o r m u l ė t a i k o m a s k a i d a n t d a u g i n a m a i s i a i s b e t

ku r i ų dv i e j ų r e i š k i n i ų kubų s umą .

1 p a v y z d y s . I šs ka id yk im e d a u g in a m a i s i a is d a u g i a n a rį

2 7

x

3

+ y

3

.

Sį d a u g ia n ar į ga l im a i š re ikš t i dv ie jų re i šk in ių kubų

s u m a :

27x

3

+ y

3

=(3x)

3

+y

3

.

P r i t a i k ę k u b ų s u m o s f o r m u l ę , g a u s i m e :

(3x)

3

+y

3

= (3x+y) (9x

2

-3xy + y

2

).

Tai g i

27X

3

+y

3

= (3x + ų) (9x

2

—3xy + y

2

).

P a n a š i a i g a l i m a i š v e s t i

kubų skirtumo formulę.

Sukei tę v ie -

t o m i s f o r m u l ė s

(a—b) (a

2

+ ab + b

2

) = a

3

— b

3

ka i r ią ją i r deš in ią ją

p u s e s , g a u s i m e :

a

3

— b

3

= (a —b) (a

2

+ab + b

2

).

Dviejų reiškinių kubų skirtumas lygus tų reiškinių skirtumo

ir jų sumos nepilnojo kvadrato sandauga i.

2 p a v y z d y s . I š sk aid yk im e d a u g i na m a i s ia i s d a u g i a n a rį

m

6

— n

3

.

I š re i škę šį d a u g ia n a rį dv ie jų re i šk in ių kub ų sk i r tu m u i r p r i -

t a i k ę f o r m u l ę , g a u n a m e :

m

e

— л

3

= (m

2

)

3

— n

3

= (m

2

-n) (m

4

+m

2

n + n

2

).



9 02 . I š s k a i d y k i te d a u g i a n a r į d a u g i n a m a i s i a i s :

a )

χ

3

+ //

3

; c) 8 + a

3

; e) *® +l;

b) m

3

- r a

3

; d) 27— y

3

; f) 1 - е

3

.

903 . P r i t a ikyk i t e

kubų s umos f o r mu l ę a r ba kubų s k i r t umo

f o r mu l ę :

a ) c

3

— d

3

; c) x

3

— 64; e) y

3

— 1;

b) p

3

+ 9

3

; d ) 125 + a

3

; f ) 1 + f t

3

.

904. P a ra šy k i t e r e i šk inį kubų su m a a rb a sk i r tum u ir i š ska i -

dyk i t e j į da ug i na m a i s i a i s :

a) Sx

3

—

1; c)

8-ja

3

;

e) 1 2 5 a

3

- 6 4 6

3

;

b ) 1 + 2 7 y

3

; d ) 6 4 / n

3

+ 1 0 0 0 ; f) 2 7 x

3

+ 125//

3

.

9 05 . I š s k a i d y k i te d a u g i n a m a i s i a i s :

a ) 8 — m

3

; c ) 6 4 x

3

+ l ; e )

m

3

-21n

3

;

b) c

3

+

27;

d)

1 —

8 p

3

; f) ^a

3

+ b

3

.

906 . P a r a š yk i t e r e i šk i nį s a n d a u g a :

a ) x

3

- / /

6

; c)

m

9

— n

3

;

e) a

6

+ b

9

;

b )

a

6

+ b

3

;

d) p

3

+ ft

9

; f)

x

9

-y

9

.


a ) c

3

+ b

6

; b) a

9

— b

6

; c) *

6

- 8 ; d ) 27+y

9

.

908. I š r e i k š k i t e s a n d a u g a :

a ) — χ

3

+ //

3

; c) - a

6

+ j ; e) c < 41 ;

b ) — 8 — p

3

; d )

- į j - b

6

; f) x

6

+ //

6

.

909. P a r a š yk i t e r e i š k i nį s a n d a u g a :

a ) a

3

b

3

— 1; c) 8 — a

3

c

3

; e) x

6

//

3

+ c

3

;

b ) 1 +χ

3

y

3

;

d )

m

3

n

3

+

27; f)

a

3

~m

3

n

9

.

910.

įrodyki te , kad:

a ) r e i šk in io 327

3

+ 1 7 3

3

re ikšmė da l i jas i i š 500;

b) r e i šk in io 731

3

—631

3

re ikšmė da l i jas i i š 100.

911 . Ar da l i j a s i :

a ) re i škinio 38

3

+ 37

3

re ikšmė iš 75;

b) re i škinio 99

3

— 74

3

re ikšmė iš 25?



K a r t o j 'n o ρ · .·»· . .

912. I š ka im o j s to tį d v i ra t in in ka s va ž ia vo 15 km /h g re ič iu ,

o g rįžo 10 km /h g re ič iu . G rįžd am as j i s ke l io nė je už t ru ko 1 h

d au g ia u ne gu va ž iu o d am a s į s to tį. Koks nu o to l i s nu o ka im o ik i

s t o t i e s ?

913. I š gy ve nv ie tės A į gy ve nv ie tę B ry š in ink as nu ė jo per

30 m in . G rįžd am as j i s 1 km /h sum až in o g re i tį ir ke ly je u ž t r uk o

36 min . Kokiu g re ič iu ė jo ry š in ink as i š gyve nv ie tės A į gyven-

v i e t ę B?

3 9 . [ V A I R I Ų S K A I D Y M O D A U G I N A M A I S I A I S B O D Ų T A I K Y M A S

T a m p a č i a m d a u g i a n a r i u i i š s k a i d y t i d a ž n a i t a i k o m i k e l i

būda i .

1 p a v y z d y s . I š s ka id y ki m e d a u g in a m a i s ia i s da u g i an a r į

I8x

3

+\2x

2

+2x.

V i s i d a u g i a n a r i o n a r i a i t u r i b e n d r ą d a u g i n a m ą j į 2x. I š ke i k i me

š į d au g i na m ąj į už s k l i au s t ų :

18x

3

+ 12x

2

+ 2x = 2x (9x

2

+ 6x +1).

T r i n a r į

9jc

2

+ 6 j c +1 ga l i m a i š r e i k š ti

3x

ir 1 s um os kv ad ra t u .

Todėl

2x (9x

2

+ 6 * + 1 ) =

2x

(3 * -f 1)

2

.

Ta i g i

18*з +12x

2

+ 2x = 2x (3x+1)

2

.

2 p a v y z d y s .

I š s k a id y k i m e d a u g i n a m a i s i a i s d a u g i a n a r į

ab

3

-3b

3

+ab

2

y~3b

2

y.

P i r m i a u s i a i š k e i k i m e u ž s k l i a u s t ų b e n d r ą d a u g i n a m ą j į

b

2

:

ab

3

- 3 b

3

+ ab

2

y -

3

b

2

y = b

2

(ab-3b + ay-3y).

P a m ė g i n k i m e d a b a r iš s k a id y t i d a u g i n a m a i s i a i s d a u g i a n a r į

ab

—

3b + ay

—

3y.

S u g ru p a v ę p i rmą na rį su a n t ru , o t rečią — su ke tv i r tu , ga u-

s i me :

ab-3b + ay-3y=b(a-3) +y(a-3) = (a -3) (b+y).

G a l i a u s i a i g a u s i m e :

ab

3

-3b

3

+ ab

2

y-3b

2

y = b

2

(a-3) (b+y).



3 p a v y z d y s . I šs ka id yk fm e d a u g in a m a i s ia i s d a u g i a n ar į

a

2

- 4 a x - 9 + 4x

2

.

S u g r u p a v ę d a u g i a n a r i o p i rm ą , a n t r ą ir k e t v i rt ą n a r į, g a u s i m e

t r i na rį, ku rį ga l im a i š r e ikš t i sk i r tum o k v ad ra tu :

a

2-Ąax-9 + 4x

2

=

( α

2

- 4 α χ + 4 *

2

) - 9 =

(a-2x)

2

-9.

G a u t ą r e i šk i n į g a l i m a i š sk a i d y t i d a u g i n a m a i s i a i s p a g a l k v a d -

r a t ų sk i r t u m o f o r m u l ę :

(а — 2л:)

2

—9

= ( a - 2 * )

2

- 3

2

= (a-2x-3) ( a - 2 * + 3 ) .

V a d i n a s i ,

α

2

- 4 α χ - 9 + 4 *

2

= ( а - 2 л - 3 ) ( α - 2 * + 3 ) .

914.

I š s k a i d y k i t e d a u g i a n a r į d a u g i n a m a i s i a i s :

a )

5л:

2

—5

y

2

; c)

7ft

2

— 63; e) a

3

-a;

b ) am

2

-a n

2

; d)' — 9 +

9jt?

2

;

f ) 2JC-2JC

3

.

915.

I š r e i k š k i te d a u g i a n a r į s a n d a u g a :

a )

X

2

— χ *;

c)

8lx-x

3

;

e)

p*-

16;

b )

y

3

-y

5

;

d)

— y

5

+4y

3

;

f )

a*-b\

916.


a )

mx

2

—

my

2

; c )

4b

3

— b;

e ) X

4

- I ;

b) 6a

2

—24; d)

a*-b

2

;

f) 8 1 - a

4

.


a )

3x

2

+6xy + 3y

2

;

d )

6p

2

+ 24q

2

+ 24pq;

b) — m

2

+ 2m — 1; e) 45 +

30α + 5α

2

;

c ) - 4 л : + 4 + л

2

; f) - 24x + 18*

2

+ 8.

918.

I š r e i k š k it e d a u g i a n a r į s a n d a u g a :

a ) 4x

3

— 4y

3

; d) *·— 1; g ) x

5

- *

2

;

b ) 7a

3

+ 7 6

3

; e ) l + a

e

; h) y

3

+ y

6

· ,

c ) am

3

-a n

3

; f ) y*-x

e

; i ) 2 7 m

2

- m * .


a) 2m

2

—4m + 2; b) 3 6 + 2 4 л + 4л:

2

; c) 8a

3

-8b

3

; d) 9x

3

+ 9 { /

3

.

920.

Iš s k a id y k i t e d a u g i n a m a i s i a i s :

a )

4xy+ \2y—4x—

12; c)

-abc-5ac-4ab-20a;

b ) 6 0 + б а б - 3 0 6 - 1 2 a ; d ) а

3

+ а

2

6 + а

2

+ а 6 .



a) 456 + 6a

—

Ъ а Ь 90; с) а с

4

- с

4

+ а с ® - с

8

;

b ) - 4 0 , - 1 5 * - 1 2 0 ; d ) x

3

- x

2

y+x

2

- xy.

922 . I š s k a i d y k i te d a u g i n a m a i s i a i s :

a )

x

2

-y

2

-x-y\

d )

k

2

-k-p

2

-p\

b ) a*-b

2

-a+b; e ) c-d

2

+c

2

-d\

c ) m + rt+m

2

— n

2

; f) 4m

2

- 2m +

n - n*.

9 2 3 . P a r a š y k i t e r e i š k i n į s a n d a u g a :

a ) x

2

— y

2

+x+y; c ) p+p

2

-q-q\

b ) a — b+ a

2

— b

2

; d ) c

2

+ d-(P+c.


a )

x

2

-2xc+c

2

-d

2

\

d ) c

2

+ 2 c + l - a

2

;

b ) m

2

+2xy-x

2

-y

?

; e ) p

2

-x

2

+6x-9;

c) a

2

+b

2

— c

2

+2ab; f ) X

2

-O

2

- 1 0 a - 2 5 .


a ) χ

2

+2xy+y

2

-m

2

; c ) ft

2

-c

J

-8ft + 16 ;

b )

p

2

— a

2

—2ab — b

2

;

d ) 9 - с

2

+ а

2

- 6 а .

926.

P a r a š y k i t e re i š k in į s a n d a u g a :

a )

ab

2

-a-b

3

+ b;

c )

x

3

+x

2

y-4y-4x\

b )

bx

2

+2b

2

-b

3

-2x

2

\

d )

x

3

-3y

2

+3x

2

-xy*.


a ) а з + а

2

— а б

2

— b

2

; b ) 9n + m

3

-m

2

n-9m.

928 .


a ) χ

3

+ ЗА:

2

—4дс —12 = 0; c) y

3

-6 y

2

=6-y;

b ) 2 m

3

- m

2

- 1 8 m + 9 = 0 ; d ) 2 а

3

+ 3 а

2

=2а + 3 .

929 . I š s p ręs k i t e l y g t i s :

a ) x

3

— 2x

2

—x + 2 = 0; c) 2y

3

-y

2

-32y+16=0;

b ) 0

3

— y

2

= 1 6 , — 1 6 ; d ) 4дс

3

—Здс

2

= 4лс—3.

930 .

Į r o d y k i t e , k a d d a u g i a n a r i o

χ

3

— χ

r e ikš mės s u s ve ikos io -

m i s χ r e i k š m ė m i s y r a s k a i č i a u s 6 k a r t o t i n i a i .

931 . Į rodyk i t e t apa tybę

а

8

— 1 = (α — 1) ( α + 1 ) ( α

2

+ 1 ) ( a

4

+ l ) .



Kartojimo pratimai

932 . Su pr as t in k i t e r e i šk inį ir aps ka ič iuo k i t e jo r e ik šm ę su

n u r o d y t a k i n t a m o j o r e i k š m e :

a ) (6* — 1) ( 6 * + 1 )

—

( 12 * — 5 ) ( 3* + 1 ) , k a i * = 0 , 2 ;

b ) ( 5 + 2 * )

2

—

( 5 + 3 * ) ( 5— 3 * ), k ai * = - 3 .

933. Ar yra lygt ies *

4

+ 5 *

2

- 6 = 5 * ( *

2

- 1 ) š ak n i s sk a i č i u s : 0 ;

- 1 ; 1; 2 ; 3 ; - 2 ?

934 . Parodyk i t e , ka ip apy t iks l i a i i š s idės tę koord inač ių p lokš-

t u m o j e š i ų f u n k c i j ų g r a f i k a i :

a) y = — 0,9* + 4 ; b ) y=2,3*; c) Į / = ^ ; d ) « / = - 9 .

V S K Y R I A U S P A P I L D O M I P R A T I M A I

13 paragrafas

9 3 5 . I š r e i k š k i t e d a u g i a n a r i u :

a ) ( *

2

- l 1 ) ( 1 1 + *

2

) ; d) (6

7

+ 3) ( - 6

7

+ 3) ;

b )

(y

2

+

1 0 ) ( - 1 0 + į /

2

) ; e ) ( - c

6

- 8 ) ( c

6

- 8 ) ;

c) (a

5

— 1) ( a

5

+ 1 ) ; f ) ( d

9

- 5 ) ( - 5 - d

9

) .


a ) 1 0 0 5 - 9 9 5 ; c ) 0 , 9 4 - 1 , 0 6 ; e ) Ι 0 γ · 9 γ ;

b ) 10 8- 92 ; d ) 1 ,09 -0 ,9 1 ; f ) 99 y

·

100 | - .

937.

I š re i k š k i te d a u g i a n a r i u :

a) 5i/(t/

2

—3) (i/

2

+ 3 ) ; c)

( α < - 3 ) ( a

4

+ 3 ) ( a » + 9 ) ;

b)

—

8 * ( 4 * — *

3

) ( 4* + *

3

) ; d) (1 - 6

3

) (1 + 6

3

) (1 + 6«).


a ) (α + 2 ) ( α - 2 ) - α ( α - 5 ) ; c ) ( 6 - 4 ) ( 6 + 4 ) - ( 6 - 3 ) (6 + 5 ) ;

b ) ( α - 3 ) ( α + 3 ) + α ( 7 - α ) ; d ) (6 + 8 ) ( 6 - 6 ) - ( 6 - 7 ) ( 6 + 7 ) ;

e) (c — 1) ( c + 1 ) + ( c— 9 ) ( c + 9 ) ;

f ) ( c + 5 ) ( c—5) — (c — 1 0) ( c + 1 0 ) .

939. [ rodyki te , kad r e i šk i n i o r e i k šm » n ep r i k l au so n u o k i n t a -

m o j o r e i k šm ė s :

a) (*— 8) (* + 8) — (* — 1 2 ) ( * + 1 2 ) ;

и ( f - i ) I ? + - t ) + ( - < ) ( + « ) • •

2 2 2 2 2




a ) 1 - a

2

b

2

; d ) 0 ,0 9*

6

- 0 , 4 9 0

2

; g) 1 { *

2

- ^ y

2

;

b ) 4 * V - 9 ; e ) 1 ,2 I a

2

- 0 , 3 6 b

6

; h ) 0 , 0 1 a

2

b

4

- l ;

c)

—

0 , 6 4 + *

4

; f ) 2 - į - b

2

- c

2

; i ) - 9 m

2

+ l , 4 4 n ® .

941. Ap s ka i č iuok i t e t rupm en ų r e i k š m es :

. 3 8 ' - 17

2

. 39 ,5

2

- 3 , 5

2

. . 17 ,5

2

- 9 , 5

2

3

J 792— 1A2 ·

0

J

. И И _ Ц в ·

C

)

2 2 - 1 6

2

' ' 57 ,6

2

- 1 4 . 5

J

' ' 131.5

2

—3.5

a

'

942. I š r e i k š k i te s a n d a u g a :

a ) *

, 0

— l ; d ) 3 6 - b V ; g )

0 , 0 1 *

1 β

- 0 , 1 6 ;

b) t/

12

— 16; e) 2 5 p V - l ; h) 1 ,6 9 0

1 4

- 1 , 2 1 .

c) a

2

*® — 81; f ) - 9 + 1 2 1 m

8

n

8

;

943. I š s k a i d y k i t e d a u g i n a m a i s i a i s :

a ) (* — 5)

2

— 16; g ) ( 7 * - 4 )

2

- ( 2 * + l )

2

;

b) (b + 7)

2

—9; h ) (n— 2)

2

— ( 3 n + 1 )

2

;

c ) 2 5 - ( 3 - * )

2

; i) 9 ( a + l )

2

- l ;

d) 81

—

(a + 7)

2

; k) 4 - 2 5 ( * - 3 )

2

;

e ) ( 5 * - 1 2 )

2

- *

2

; 1) 9 ( * + 5 )

2

- ( * - 7 )

2

;

f) 36p

2

— ( 5 p — 3 )

2

; m ) 4 9 ( t / - 4 )

2

- 9 ( t / + 2 )

2

;

944. Į rodyki te , kad su k iekv ienu na tū r in iu

n:

a ) r e i š k i n i o ( n + 1 )

2

—

(n-

I)

2

reik šm ė da l i ja s i i š 4 ;

b) re išk inio (2n + 3)

2

— (2n— I)

2

re ikšmė da l i j as i i š 8 ;

c ) r e i š k i n i o ( 3 r t + 1 )

2

- ( 3 n - 1 )

2

re ikšmė da l i j as i i š 12 ;

d) re i šk in io (5n + 1 )

2

—

(2n—

I )

2

re ikšmė da l i j as i i š 7 .

14 paragrafas

945. I š r e i k š k i t e d a u g i a n a r i u :

a )

( l ,

+ 9 f ;

d ) (—3*— ~ y )

2

;

b)(±у -з )

2

;

e) ( 5 * 0 - 0 , S

i

/

2

)

2

; k ) ( 2 + * V )

2

;

f , . . f ) ( 0 , 4 a + I O a b )

2

; 1) ( *

6

- 3 * 0

2

)

2

;

c ) ( - 2 a + y b ) ; g ) ( 3 a

2

- 5 a b )

2

; m ) ( 0

8

- 2 *

4

0 )

2

.

946. P e r t v a r k y k i t e

re i šk inį t a ip , kad j is bū tų d au g i an ar i s :

a ) ( 0 , 7 * 3 0 - 2 * 0 3 )

2

;

c )

(0,2p

3

<7 + 0,3p<7

3

)

2

;

b ) ( | a

3

b - | f l b

3

)

2

; d) ( . į b c

4

+ j b V )

2

.

11. Algebra 6 kl.



9 4 7 . I š r e i k š k i te d a u g i a n a r i u :

a ) ( 2 m

3

n + 0 ,3 m n

4

)

2

; c )

(0 ,1α

6

6 + 0 , 2 α 6

6

)

2

;

d ) ( I x V - I ^

6

)

2

.

9 4 8 . P e r t v a r k y k i t e

r e i šk i n į , k a d j i s b ū t ų d a u g i a n a r i s :

a ) ( x — 5 )

2

+ 2 x ( x — 3 ) ; e ) ( 2 α - 5 )

2

- ( 5 a - 2 )

2

;

b ) (г/ + 8 )

2

- 4 , ( , - 2 ) ; f ) ( 3 6 - 1 )

2

+ ( 1 - 3 b )

2

;

c ) ( α - 4 ) ( α + 4 ) + ( 2 α - 1 )

2

; g ) ( 2 x + l )

2

—

( x + 7 ) (x — 3 ) ;

d) (6

—

3) (6 + 3 ) - ( 6 + 2)

2

; h )

(3į/ — 2 )

2

— (y —9) ( y— 3) .

9 49 . I š r e i k š k i t e d a u g i a n a r i u :

a ) ( x + , + l ) ( x + , - l ) ; d ) ( c - d + 8)

(c-d-8);

b ) (m + n - 3 ) ( m + n + 3 ) ; e )

(p + 2q-3) (p-2q-3);

c ) ( a — 6 — 5) ( a — 6 + 5 ) ; f ) ( a - 3 x + 6 ) ( a + 3 x + 6 ) .

950 . Į rodyk i te t apa tybę

(a + 6 + c)

2

= a

2

+ 6

2

+ c

2

+ 2 a6 + 2 ac + 26c.

9 51 . I š r e i k š k i te d a u g i a n a r i u :

a ) ( ( a + 6 )

2

)

2

; b ) ( a - 6 ) < .

952 . Įrody k i te , kad r e i š k in io r e ikš m ė ne pr ik lau so nu o χ:

a ) ( x + 7 )

2

—

(x — 5 ) ( x + 1 9 ) ; b ) ( х - 9 )

2

+ ( 8 - х ) (x + 2 6 ) .

953 .

A p s k a i č i u o k i t e r e i š k i n i ų r e i k š m e s :

a ) ( 2 , — c )

2

+

(y+ 2c)

2

,

k ai c = l , 2 ir , = - 1 , 4 ;

b )

(3a — 2b)

2

—

2cT—

b)

2

,

k a i а = 1,35 ir 6 = - 0 , 6 5 .

954 .

I š sp r ę sk i t e l y g t i s : .

a ) ( x - 7 )

2

+ 3 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) ;

b ) (x + 6 )

2

- ( x - 5 ) ( x + 5 ) = 7 9 ;

c ) ( 2 x - 3 )

2

- ( 7 - 2 x )

2

= 2;

d ) ( 5 x - l )

2

- ( l - 3 x )

2

= 1 6 x ( x - 3 ) .

9 55 . Įr o d y k it e , k a d f o r m u l e , = ( 2 x - 5 ) ( 3 + 8 x) - (1 - 4 x )

2

iš -

r e i k š t a f u n k c i j a y r a t i e s i n ė . Ar p r i k l a u so š i o s f u n k c i j o s g r a f i k u i

t a š k a s / 4 ( - 1 ; 1 0) ; t a š k a s £ ( 0 ; 1 6) ?


a ) 6

2

+ 1 0 6 + 2 5; d ) 4 c

2

+12c + 9 ;

b ) c

2

— 8 c + 1 6 ; e )

x<+2x

2

y+y

2

;

c) 16x

2

— 8 x + 1; f ) α

β

— 6 a

3

6

2

+ 9 6

4

.



957. I š r e ikšk i t e dv in a r io kv ad ra tu a rba r e i šk in iu , p r i e š in gu

d v i n a r i o k v a d r a t u i :

a ) a

4

- 8 a

2

+ 1 6 ; d ) c*d

2

+l-2c

2

d; g ) y-y

2

-0,25;

b)

—4 —4b —ft

2

;

e) a

6

b

2

+ 1 2 a

3

b + 3 6 ; h) 9 - m + ^ m

2

;

o b

c) 10*

— χ

2

— 2 5 ; f ) * + 1 +

į- *

2

; i) - 2 5 - 2 « - 0 , 0 4 n

2

.

958 . I š re ikšk i t e da ug ia na rį dv ie jų r e i šk in ių kva dr a tų su m a:

a ) x

2

—2xy+y

2

+ a

2

; e) x

2

+ 2x + 2;

b ) 4*

2

+ z

2

— 4 * + 1 ; f ) a

2

+ 2ab + 2b

2

+ 2 b + l ;

c) a

2

+ b

2

+ l + 2 a

;

g )

x

2-4xy+y2+x

2

y2+\·,

d) 9b

2

— 6b + 4c

2

+ 1; h)

*

2

+ į

/

2

+ 2* + 6 į / + 1 0 .


959 . I š re ikšk i t e daug ianar iu :

a) (3p + 5) (9p

2

— 1 5 p + 2 5 ) ; c ) ( 1 0 * + 3 i / ) ( I O O x

2

- 3 0 ju /+ 9 į /

2

) ;

b ) ( 4 b

2

+ 2 b + I ) (2 b — 1); d) (16 a

2

+ 2 0ab + 25b

2

) ( 4 a - 5 b ) .

960. Pe r tva rky k i t e r e i šk inį, kad j i s bū tų da ug ia na r i s :

a ) (З а

3

—

1) (9a

6

+ 3 a

3

+ 1 ) ; d ) ( 2 b - c

2

) (4b

2

+ 2 b c

2

+ c

4

) ;

b ) ( 7 x

2

+2) (49x

4

— 14

2

+ 4) ; e ) ( a

5

- 3 b

6

) ( a>°+3a

5

b

6

+ 9 b

1 2

) ;

c ) (b

2

+ 5) (2 5 + b

4

— 5b

2

); f) (b

3

+ c

10

) (b

6

+ c

2 0

- b

3

c

1 0

) .

9 6 1 . S u p r a s t i n k i t e

r e i šk in ius :

a ) ( * + 4 ) x

2

-Ax+ 16) + ( * - 4 ) x

2

+Ax+16);

b) ( α - 1 ) ( α

2

+ α + 1 ) - ( α + 1 ) ( α

2

- α + 1 ) ;

c) (y + 2) (y

2

— 2y + A) - (y-5) (y

2

+ 5y + 25);

d) (2p

—3)

(4p

2

+ 6p + 9) + (p + 3) ( p

2

- 3 p + 9 ) .

962.

į rodyk i t e t apa tybes :

a)

(a

2

+b

2

)

(a

4

— a

2

b

2

+ b

4

) - ( a

3

- b

3

) ( a

3

+ b

3

) = 2 b

6

;

b ) ( a - b ) ( a + b ) ( a

2

— ab + b

2

)

(a

2

+ ab + b

2

) =a«-b

6

.

963 . Supras t i nk i t e r e i šk in ius :

a )

( 2 х - y ) (Ax

2

+2xy+y

2

) - ( х + Ъ у ) (х

2

-Ъ х у +2Ъ у

2

)\

b) (З а — b) (9a

2

+ 3ab + b

2

) - (a + 2b) ( a

2

- 2 a b + 4 b

2

) .


a )

(у + Ъ )(у

2

-Ъ у + 2Ъ )-у (у

2

+3), kai y=-2;

b) α

2

(α + 4 ) - ( α + 2 ) ( α

2

- 2 α + 4 ) , k ai a = 3;

c ) x ( x + 3 )

2

— (x— 1) (л:

2

+ * + 1 ) , kai x = - 4 ;

d) (2p— 1) (4p

2

+ 2 p + 1 ) — p ( p

—

1) (p + 1), ka i p = l,5 .




a) 0,027*

3

+ 1 ; c) d

3

+ 0,008c

3

;

b ) y

6

— 0, 001*

3

; d ) 1 2 5 - 0 , 0 6 4 p

3

.

966. I š r e ik š k i t e s a n d a u g a :

a ) g -У

12

',

b) - * · * + 1 ; c) 3 - f a ' s + b

1 2

; d )

1

g

x +y\


a )

r e i š k i n i o 4 1 ^ + 1 9

3

r e ikšmė da l i j as i i š 60 ;

b ) r e i šk in io 79

3

- 29

3


c ) r e i š k in io 6 6

3

+ 3 4

3


d) r e i šk in io 54

3

— 24

3

re ikšmė dal i jas i i š 1080.

968 . I š kubų sumos fo rmulės i švesk i te kubų sk i r tumo fo rmulę .

9 69 . P a r a š y k i t e r e i š k i n į s a n d a u g a :

a ) ( * + 1 )

3

+ *

3

; c ) ( a - 6 )

3

+ 6

3

; e )

2 7

a

3

- ( a - b )

3

;

b) (i/ — 2)

3

—

27 ; d ) 8 *

3

+ ( * - y )

3

; f ) 1 0 0 0 + ( 6 - 8 )

3

.

970 . I š ska idy k i te r e i šk inį

a

6

- b

6

d a u g i n a m a i s i a i s , p r i e š t a i

išreiškę jį:

a ) dv ie jų r e i šk in ių kubų sk i r tumu;

b ) d v i e jų r e i š k in ių k v ad r a tų s k i r t u m u .


a) 2 ,1a

2

— 2 , 1 6

2

; d) 7 a

3

+ 76

3

; g ) 2 , 5 a

6

- 2 , 5 6

6

;

b ) 1 , 7 a

2

+ 1,76

2

; e ) 2 a « - 2 6 < ; h ) 1 , 2 a

6

+ 1 , 2 6

6

;

c ) 1 , 1 a

3

- 1 , 1 6

3

; f ) 5a< + 56<; i ) 3 a

8

- 3 6

8

.

9 7 2 . P a r a š y k i t e r e i š k in į s a n d au g a :

a ) 9 c

1 5

- c

1 3

; b ) *

2 2

- ^ *

2 0

; c)

α

5

- 0 , 6 4 a

2

; d )

y

7

-

1

į y

5

.


a ) 2*

8

— 1 2 * * + 1 8 ; c )

α<6

+ 6 α

2

6

3

+ 9 6

5

;

b )

—

2α

6

— 8a

3

6 —86

2

; d ) 4 * + 4 * ,

6

+ * ,

1 2

.

974. I š s k ai d y k i te d a u g i n a m a i s i a i s :

a ) 70a

—

846 + 20a 6

—

246

2

; c) 1 2 y - 9 *

2

+ 3 6 - 3 *

2

, ;

b ) 2 1 6 c

2

- 6 c - 3 c

3

+ 4 2 6 ; d ) 3 0 a

3

- 1 8 a

2

6 - 7 2 6 + 1 2 0 a .



9 7 5. P a r a š y k i t e re i š k in į s a n d a u g a :

a) 3a

3

—

3ab

2

+a

2

b

—

b

3

\ c ) 3 p - 2 c

3

- 3 c

3

p + 2;

b ) 2x—a

2

y — 2a

2

x+y; d ) a* - 24 + 8a- 3a

3

.

9 7 6 . I š s k a i d y k i t e d a u g i n a m a i s i a i s :

a )

x

2

—y

2

— \,5(x—y)\

d)

p

2

—

16c

2

—p—4c;

b) jt

2

— a

2

+ 0 , 5 ( * + a ) ; e) a

2

+ 6a + 6 f t - f c

2

;

c )

4a

2

—ft

2

— 2a+£>; f) x

2

-7x+7y-y

2

.


a ) x

2

(x+2y) — x — 2y\ c) α

3

- 5 α

2

- 4 α + 2 0 ;

b) y

2

(2 y — 5)—8y + 20\ d ) д * > - 4 *

2

-9 * + 36 .

978.

I š s k a i d y k i te d a u g i n a m a i s i a i s :

a )

a

2

—ft

2

+ 2 ( a + ft)

2

; c) 2(x-y)

2

+3x

2

-3 y

2

;

b) b

2

—c

2

— 10(f t — c)

2

; d ) 5 a

2

- 5 - 4 ( a + l )

2

.

979. Pa ra š yk i t e r e i š k inį s a n d au g a :

a ) x

2

+y

2

+ 2xy—\; e)

1 - 2 5

J C

2

+ I0xy-y

2

;

b) a

2

+ ft

a

— 2aft — 25; f) ft

2

-a

2

- 1 2 a - 3 6 ;

c) 36

—ft

2

—c

2

+

2ftc;

g ) 81a

2

+

6ftc—9ft

2

—c

2

;

d ) 4 9 - 2 α * - A

2

- J C

2

; h ) Ь *с

2

-4Ь с -Ь

2

- с ? +1.

980.

I šs k a i d y k it e d a u g i n a m a i s i a i s :

a ) x

3

+y

3

+2xy x+y)\ d ) p

3

- 2 p

2

+ 2 p - l ;

b ) x

3

—y

3

— 5x x

2

+xy+y

2

)· , e )

8ft

3

+6ft

2

+3ft

+ 1 ;

c)

a

3

— b

3

+

5a

2

ft

— 5aft

2

;

I)

α

3

- 4 α

2

+ 2 0 a - 1 2 5 .

981. I š r e i k š k i te s a n d a u g a :

a ) x

3

+y

3

+2x

2

-2xy+2y

2

\ c) a

4

+ a f t

3

- a

3

f t - f t

4

;

b) a

3

— b

3

+ 3a

2

+3aft+3ft

2

; d )

x*

+ x

3

y-xy

3

-y*.



V I S K Y R I U S

TIES INIŲ LYGČIŲ S ISTEMOS

§ 16 . LYGTYS SU DVIEM KINTAMAISIAIS

IR JŲ SIST EM OS

4 0. L Y G T I S S U D V I E M K I N T A M A I S I A I S IR J O S G R A F I K A S

Sakykime , kad r e ik i a r a s t i du ska ič ius , kur ių sk i r tumas

lygus 5 . P i rmą ska ič ių pažymėję r a ide χ , o a n t r ą — r a i de y, jų

sąryšį ga l i m e pa ra š y t i l ygyb e x—y = b .

L y g y b ė x — y = 5 tu r i du k in ta m uo s ius . Tok ios lygyb ės v ad i -

n a m o s

lygt imis su dv iem kintamais ia is

a rba lyg t imis su dv iem

ne ž i noma i s i a i s .

K ai x=8, y = 3, ly gt is x

—1/

= 5 pav i r s t a t e i s ing a lygy be 8

—

3 =

=

5.

S a k om a , ka d k i n t a m ų j ų r e i k š m i ų po r a x =

8,

г/ = 3 yra

š ios

lyg t i e s sp r en d in ys . Po ra x = 3 , y = 8 nep ave rč ia lyg t i e s x—y = 5

te i s inga lygybe , t odė l nėra jos sp r end inys .

A p i b r ė ž i m a s . Lyg ties su dviem kin tam aisiais sprend iniu

vadinama kintamųjų reikšmių pora, paverčianti tą lygt į te isinga

lygybe.

Po rą x = 8 , i/ = 3 , kur i y r a lyg t i e s x—y = 5 s p r e n d i n y s , g a l i m a

pa rašy t i š i t a ip : ( 8 ; 3 ) . Ta ip už ra šan t , r e ik i a ž ino t i , kur io k in ta -

m ojo r e ikšm ė yra p i rm oje v i e to j e , ku r io — an t ro je . Lyg čių su

k i n t a m a i s i a i s χ i r y pirmoje vietoje r a š o m a χ r e ikšmė, o a n t ro je —

y r e i k š mė . P a vyz dž i u i , l yg t i e s x

—

y = 5 s p r e nd i n i a i y r a t ok i o s

po r os : ( 12 ; 7 ) , (5 ,2 ; 0 , 2 ) , ( - 2 ; - 7 ) , ( 3,8 ;

- 1

, 2 ) .

L yg t y s s u dv i e m k i n t a ma i s i a i s , t u r i nč i o s t uos pa č i u s s p r e n -

d i n i u s , v a d i n a m o s

ekviva lenčiomis .

L yg t ys s u dv i e m k i n t a ma i s i a i s t u r i t a s pa č i a s s a vybe s ka i p

i r l yg tys su v ienu k in tamuoju . Lyg t i e s dėmeni s ga l ima k i lno t i

i š v ie no s jos pu sės į k i tą , pa ke ičiant d ėm en ų ž en klu s pr ie š in-

ga i s ; ab i l yg t i e s puses ga l ima daug in t i a rba da ly t i i š t o pa t i e s

s ka i č i a us , ne l yga us nu l i u i . G a una ma l yg t i s , e kv i va l e n t i p r a d i ne i

lygčiai .



Norin t ras t i lyg t ies

3 * + 2 , = 8 ( 1 )

sp r e n d i n i u s , g a l i m a j o j e v i e t o j χ

p a r a š y t i

be t ku rį ska ičių , pa vy zd ž iu i , 3 . G au s im e

lyg tį su v ienu k i n t am uo ju , : 3 - 3 + 2 , = 8 .

I š s p r e n d ę j ą, s u ž in o s i m e , ka d , = - 0 , 5 .

P o r a (3 ; - 0 , 5 ) y r a l y g ti e s 3 * + 2 , = 8

s p r e n d i n y s .

I e š ka n t ( 1) l yg t i e s s p r e nd i n i ų , pa t og u

vieną k in ta m ąjį i š r e ikš t i k i tu k in tam uo ju .

Pa vy zd ž iu i , k in t a m ąjį , i š r e ikšk im e k i n t am uo ju x . Dėl to pe r -

ke lk im e dėm enį 3* į de š in ę lyg t ies pu sę, pa ke isd am i jo žen klą

p r i e š i n g u :

2 , = — Здс + 8. (2)

Pada l i ję ab i š ios lyg t i e s puses i š 2 , gauname:

, =

— 1,5л:+ 4. (3)

(3) lyg t i s y ra ekv iva len t i (2 )

l y g či a i, o (2 ) l y g t i s — ( 1 ) l yg -

čiai . Tod ėl (3) lyg t is ek vi va len t i (1) l yg čiai .

P a g a l f o r m u l ę , = — 1, 5 *+ 4 ga l i m a r a s t i k i ek no r i n t l yg t i e s

3 * + 2 , = 8 s p r e n d i n ių . P a v y z d ž i u i, j e ig u * = 2 , t a i , = - 1 , 5 - 2 +

+ 4 = 1 ; j e ig u * = - 0 , 4 , ta i , = - 1 , 5 - ( - 0 , 4 ) + 4 = 4 ,6. V a d i n as i,

( 1 ) l yg t i s t u r i be ga l o da ug s p r e nd i n i ų .

K i e kv i e ną l yg t i e s s u dv i e m k i n t a ma i s i a i s s p r e nd i nį

( χ; , )

g a l i m a p a v a i z d u o t i

koo r d i na č i ų p l okš t umo j e t a š ku , ku r i o koo r d i -

n a t ė s χ

i r , . Visi tokie

t a š ka i s uda r o l yg t i e s g r a f i ką . 55 pa ve i k s l e

p a r o d y t a s l y g t i e s x

2

— y = 0 g r a f ika s . S i s g r a f ik as — pa ra bo lė . Ju k

]

y

9

8

7

6

5

J

2

k

9

8

7

6

5

J

2

k

\

9

8

7

6

5

J

2

k

/

\

9

8

7

6

5

J

2

k

/

\

9

8

7

6

5

J

2

k

/

9

8

7

6

5

J

2

k

9

8

7

6

5

J

2

k

\

9

8

7

6

5

J

2

k

9

8

7

6

5

J

2

k

9

8

7

6

5

J

2

k

/

-г

-JO

1 2 J W

X

5 5 p a v .



57 pa v .

l yg t i s X

1

-Ij = O ek viv a len t i lygčia i y=χ

2

, o

f o r m u l e

y = x

2

iš -

r e i š k i a m a f un kc i j a , ku r i o s g r a f i ka s y r a pa r a bo l ė.

Lygčių graf ika i laba i įva i rūs . 56 i r 57 pave iks le pava izduot i

lygčių x

2

+1/

2

= 1, (x

2

+y

2

)

2

— 2(x

2

— y

2

), < / = x * + x

2

, x

3

+y

3

-3xy = 0

g r a f i ka i .

982. Ar ska ičių po ra

x=\ ~

s p r e nd i nys . P a t e i k i t e da r du š i o s

983. Len te lė je su r a šy to s k in -

t a m ų j ų χ ir y r e ikšmių poros .

Kur ios jų y r a lyg t i e s sp r en-

dinia i :

a ) *

2

+

į

/

2

= 2 5 ; b )

x

2

-y

2

=

7?

984 . Du otos ska ičių po ros ( - 2 ; - 1 0 ) , ( 0; 10) , ( 2 ; 4 ) ir

(3 ; 2 , 5 ) . K u r i o s iš j ų y r a l y g ti e s x y + y = l 0 s p r e n d i n i a i ?

985. Su da ryk i t e lyg tį su dv iem k in tam a i s i a i s , kur io s s p r en -

d inys bū tų ska ič ių pora :

a )

χ = 2, y = 4,5; b ) x = - l , y = 2.

986 . Rask i t e lyg t i e s t r i s sp rend in ius :

a )

uv = 6\

b)

2p—Zq = b.

987.

I š r e ikšk i t e lyg t i e s 2« + u = 4:

a ) k i n t a m ą j į υ

k i n t a m u o j u

u;

b )

k i n t a m ą j į u k i n t a m u o j u v.

ir

У =

4

y y ra lyg t i e s x + y = 6

lyg t i e s sp rend in ius .

X

- 5

- 4

- 3

- 1

0

3 4 5

У

0

3 4

i - 5

4

- 3

0



Apska ič iuok i t e r e i šk in ių r e ikšmes :

a ) 2c (c — 4)

2

— c

2

(2ci—10), kai c = 0,2;

b ) ( a — 4 b) (4 b + a ) , k a i a = 1,2, b = - 0 , 6 .


a ) 1 + α - α

2

- α

3

; b ) 8 - b

3

+ 4 b - 2 b

2

.

4 1. T I E S I N E S L Y G T Y S S U D V I E M K I N T A M A I S I A I S

Lygčių su dv iem k in tamais ia i s 5x + 2

į

/ = 1 0 , — 3

x

+ 7

į

/ = 5, A x -

— y= 1 i š r a i šk a y ra v ienod a : ax + by = c\ čia a, b ir c — sk aičia i .

To k i o s l y g t y s v ad i n am o s

t ies inėmis lygtimis su dviem kintamai-

siais.

A p i b r ė ž i m a s . T ie sin e ly gtim i su dviem k in ta m aisia is

vadinama lygt is ax + by=c, kurios χ ir y yra kintamieji, a, ft ir

c — skaičiai.

Skaičia i α i r b vad inami

kintamųjų koeficientais ,

ska ič ius c —

laisvuoju nariu.

I šs ia išk inkime, koks yra t ies inės lygt ies graf ikas .

Je igu t i e s inės lyg t i es k in tamojo

y

k o e f i c i en t a s n e l y g u s n u -

l iu i , ta i tos lygt ies k in ta m ąjį y gal im a i šre ik š t i k in ta m uo ju x .

I šnagr inėk ime, pavyzdž iu i , l yg tį

3X

+ 2

Į

/ =

6.

Perkėlę 3x į dešinę

lyg t i es pusę , gauname:

2 г / = - З х +

6, y=-

l ,5x + 3;

F o r m u l e y =

— 1,5*

+ 3 i š r e i šk iam a t i es inė funk c i j a , ku r ios g ra -

f ikas yra t iesė. Ta pat i t iesė yra i r lygt ies Зх +

2г/

= 6 g ra f ikas ,

n e s š i lygt i s yra ekvivalent i lygčia i

y= —

l,5x + 3.

Je igu t i e s inės lyg t i es k in tamojo

y

koef ic i en tas lygus nu l iu i ,

o k i n t a m o j o χ koef ic ientas nelygus nul iu i , ta i tokios lygt ies gra-

f ikas ta i p pat yra t iesė. I šn ag r inėk im e, pav yzd žiui , lygtį x + Qy =

= 6. Jo s sp ren din ia i yra v isos skaičių poros (JC; y), kur ių

= 6,

o

y

— be t kur i s ska ičius . Pav a iz da vę t as po ras t aška i s , ga un am e

t iesę , lygiagrečią ordinačių aš ia i (59 pav. ) .

Tiesinės lygties su dviem kintamaisiais, kurios bent vienas

kintamųjų koeficientas nelygus nu liui, grafikas yra tiesė.

L y g t i e s ax+by = c, k u r i o s a--= 0 ir b = 0, i š ra iška yra tokia :

Ox+ 0 y —c. Kai c=0, k iekviena skaič ių pora yra š ios lygt ies



59 pav.

60 pav. et pav

s p r e n d i n y s , o j o s g r a f i k a s — v i s a k o o r d i n a č i ų p l o k š t u m a . K a i

с Ф

0 , lyg t i s

0 x + 0 į/ = c n e t u r i s p r e n d i n i ų , o j o s g r a f i k a s n e t u r i n ė

v i e n o t a š k o .

P a t e i k i a m e t i e s i n i ų l y g č i ų g r a f i k ų b r a i ž y m o p a v y z d ž i ų .

1 p a v y z d y s . N u b r a iž y k i m e ly g ti es 3x— 4i/ = 12 g r a f i k ą.

T i e s i n ė s l y g t i e s З х — 4 г / = 1 2 k i n t a m ų j ų k o e f i c i e n t a i n e l y g ū s

n u l i u i . T o d ė l j o s g r a f i k a s y r a t i e s ė . T i e s ė n u s a k o m a d v i e m t a š -

k a i s . R a s k i m e k u r i u o s n o r s d u t i e s ė s t a š k u s :

j e i g u X==O

1

t a i < / = - 3 ; j e i g u x = 2 , t a i

y= —

1,5.

P a ž y m ė k i m e t a š k u s ( 0 ; - 3 ) ir ( 2 ; — 1 ,5 ) ir n u b r ė ž k i m e p e r

j u o s t ie s ę ( 60 p a v . ) . S i t i e s ė — l y g t i e s 3 x - 4 i / = 1 2 g r a f i k a s .

2 p a v y z d y s . N u b rėž k i m e ly g ti e s

x=—3

g r a f i k ą .

S ią lyg tį ga l im a pa r a šy t i t a i p : x+0y=—3. J o s g r a f i k a s y r a

t i e sė , l yg i ag r e t i y a š i a i ( 61 pav . ) .

1000 . A r š io s l yg ty s su dv ie m k in t a m ai s i a i s y r a t i e s inės :

a )

3x—y=

17; b)

х

2

- 2 г / = 5 ; c ) 1 3 x + 6 i / = 0 ; d ) xy+2x=9?

1001.

I š r e ik š k i te t i e s in ė s l y g t i e s 4 x - 3 i / = 1 2 :

a ) k i n t a m ą j į

y

k i n t a m u o j u x ; b ) k i n t a m ą j į

χ

k i n t a m u o j u

y.

1002. Iš r e ik š k i te : a ) ' l y g t i e s 6 x — « / = 1 2 k i n t a m ą j į y k i n t a m u o -

ju x ; b ) lyg t ie s 10x + 7 t/ = 0 k in ta m ąjį χ k i n t a m u o j u

y.

1003 . Ra sk i t e po pe nk i s š i ų l y g č i ų s p r e n d i n i u s :

a )

s—3t=

18; b) u + ū = 0,6.

1 0 0 4 . L y g t i e s 2 1 x — 4 5 t / = 1 0 0 s p r e n d i n y s y r a s k a i č i ų p o r a , k u -

r i o s χ = 5 . R a s k i t e a t i t i n k a m ą y r e i k š m ę .



1005. Ly gt i e s 12u — 5u =1 32 sp ren d in ys y r a ska ičių p ora , ku-

r i o s v = 0. Rask i t e a t i t i nkamą u r e ikšmę.

1006. N ubr a i ž yk i t e l ygč i ų g r a f i kus :

а) 2 * - ( / = 6 ; b ) 1 ,5дс+2(/ = 3 ; c ) 2* = 7 ; d ) - 5 ( / = 2 1 .

1007.

N ubr a i ž yk i t e l ygč i ų g r a f i kus :

a ) x + ( / = 5 ; b) y-4x=0; c ) 1 , 2 * = - 4 , 8 ; d ) 1 ,5^ = 6 .

1008.

N ubr a i ž yk i t e l ygč i ų g r a f i kus :

a) x—y— 1 = 0 ; c) 2 ( х - ( / ) + 3 ( / = 4;

b) 3x = (/ + 4; d)

(x+y)-(x~y)=

4.


1009. Apska ič iuok i t e :

1

4

'

2

T

c)

1

16

3

5

9 : 2

2

5

12

4

5

- i

4

-

4

U

4 '

c)

1

ί · κ - 4 :

) ·

3 '

4

28

4

5

- i

. 2

• 3

d)

8

6 „ 4 1

T '

2

T

+ 1 2

"з

>fl·

4

t

d)

8

2 2

-3 -7+36 - j : 15

1010. Apska ič iuok i t e r e i šk in ių r e ikšmes :

я

\ ym-or-mym-wt

, ·

, J_ ,

a )

(m—5) (m+ 5) — m (m +5 )'

K a l m 1

4 '

a(a —4) — (q + 4)

a

. .

fl

__,_L

4 2 .

L Y G Č I Ų S U D V I E M K I N T A M A I S I A I S S I S T E M O S

U ž d a v i n y s . D v ie ju o se k re p ši uo s e y ra 12 k g o bu olių . P ir -

ma me k r e pš y j e obuo l i ų 2 kg da ug i a u ne gu a n t r a me . K i e k obuo l i ų

y r a k i e kv i e na me k r e pš y j e ?

S a kyk i me , ka d p i r ma me k r e pš y j e y r a

χ kg , o an t r ame y kg

obuol ių . I š uždav in io są lygos ž inome , kad dv ie juose k r epš iuose

12 kg obuol ių . Ta igi

x + y = 1 2 .

K a d a n g i p i r m a m e k r e p š y j e y r a obuo l i ų 2 kg da ug i a u ne gu

a n t r a me , t a i

x - y = 2.



Su da rėm e dv i lyg t i s su dv iem k in ta m a i s i a i s . Kad ga lė tum e a t -

s a ky t i j u ž da v i n i o k l a us i mą , t u r i me r a s t i t ok i a s k i n t a mų j ų r e i k š -

mių poras , ku r ios k iekvien ą s i s te m os lygtį pa ve rs t ų te i s i ng a ly-

gybe , t . y . bū tų ir p i rmo s , ir an t ro s ly gt ies sp ren din ia i . To kia is

a tve ja i s sakoma , kad r e ik i a i š sp ręs t i

lygč ių s i s temą.

Lygčių s i s -

t emą pr i imta r a šy t i su r i e s t in i a i s sk l i aus t a i s . Suda ry tą lygč ių

s i s t e mą ga l i ma pa r a š y t i t a i p :

fx+y=

12,

[x-y=2.

K i n t a m ų j ų r e i k š m i ų p o r a

χ = 7 , y = 5 y ra s i s t em os k iekv ieno s

l y g t i e s s p r e n d i n y s , n e s a b i

l ygybės 7 + 5 = 1 2 ir 7 — 5 = 2 y r a t ei -

s i ngos . T ok i a po r a va d i na ma

s i s temos sprendiniu .

S i s i s tema ki tų

s p r e nd i n i ų ne t u r i .

D a ba r ga l i m e a t s a ky t i į už da v i n i o k l a us i m ą : p i r ma m e k r e p -

šy je y r a 7 kg obuol ių , an t r ame 5 kg .

A p i b r ė ž i m a s .

Lygč ių su dviem kintam ais ia is s i s tem os

sprendiniu vadinama kintamųjų reikšmių pora, paverčianti kiek-

vieną s i s temos lygtj te i s inga lygybe .

Išspręsti lygčių s istem ą — reiškia rasti visu s jos spren dinius

arba įrodyti , kad ji neturi sprendinių.

Sakykime, re ik ia i šspręs t i lygčių s i s temą

(y-x

2

=O,

\y

—

2x

—

3 = 0.

P i r m i a us i a t o j e pa č i o j e koo r d i na č i ų p l ok š t um o j e nub r a i ž yk i m e s i s -

t emos Jygč ių g r a f ikus . P i rmos lyg t i e s g r a f ikas y r a pa r abo lė , an t -

r o s — t i e s ė ( 6 2 p a v . ) .

P a r a bo l ė s k i e kv i e no t a š ko koo r d i na t ė s

yra lyg t i e s y — X

= O sp re nd iny s , o t i e sės

k i e kv ie no t a š k o ko o r d i na t ė s — l yg t i e s y —

— 2x — 3 = 0 sp ren d in ys . G ra f ik ų sus ik i r t i-

mo k i e kv i e no t a š ko koo r d i na t ė s t e nk i na

ir pirmą, i r antrą lygtį, todėl yra s is temos

s p r e nd i n i a i .

Lygčių g r a f ika i sus ike r t a dv ie juose

t a š k u o s e : A ( — 1; 1) ir B (3 ; 9 ) . Ta ig i sis-

t e ma t u r i du s p r e nd i n i u s : ( — ; 1) ir

(3; 9) .

У

f

/

Ю

f

Ю

δ

b

У

f \

4

i

r

f

i

I2 f

f

- 4

O

i

U

X

t

I

62 pav .



Būdas, kuriuo sprendėme lygčių siste-

mą, vadinamas graf iniu.

Atkreipsime dėmesį j ta i , kad graf iniu

lygčių s i s temos sprendimo būdu rast i

sprendiniai yra apytiksliai.

Grafiškai išspręskime t iesinių lygčių

sistemą:

\2x + 3y = b,

\3x—y= —9.

Sistemos kiekvienos lygt ies graf ikas

yra t iesė . Vienoje koordinačių plokštu-

moje nubrėžę šias t ieses (63 pav.) , pa-

matysime, kad jos susikerta taške

C

(—2; 3) . Va dinasi , s i s tem a

turi vienintelį sprendinį (—2;. 3) .

Išnagrinėtame pavyzdyje t iesės , kurios yra t ies inių lygč ių

grafikai , susikerta, ir s istema turi v ienintel į sprendinį . Jeigu

dviejų t iesinių lygčių graf ikai yra lygiagrečios t iesės, ta i s istema

neturi sprendinių. Jeigu t iesės sutampa, tai s istema turi be galo

daug sprendinių.

1011.

Ar skaičių pora yra s istem os

f^x—y—l

s

r e n

^ i n y s :

a)

X

1,

y

1; c)

y=-

2;

b ) x = 3 ,

y= į

; d ) x = 0 ,

y=-l?

1012.

Po ros (3; — 1) pirmoje vieto je kin tam ojo u reikšm ė,

o antroje — kintam ojo v reikšmė. Ar ši pora yra siste m os spren-

dinys:

a ) | 3 u + u = 8 b)

(2u + v = 5,

l 7 u —2u = 23; U

2

+ u

2

= 1 0 ?

1013. Du otos skaičių poros' {-3; 4 ) / ( - 2 ; - 6 ) , ( - 4 ; 3 ).

Kurios iš jų yra lygčių sistemos sprendiniai:

a) (χ

2

+y

2

= 25; Ъ )(3х -у = 0,

Xxy= - 1 2 ; 1 Ъ х —у = —4?

1014.

Sudarykite lygč ių· s i s temą , kurios sprend inys yra kin-

tamųjų reikšmių pora:

a) x=2, y = b\ b) д с =0, y = 3 .

У /

'б

I

'б

c)

'.2.2

'i i

0

y

6 X.

22

-4

83 pav.



1015. 64 pa ve iks le nubra ižyt i lyg č ių

x * + y 2 = 2 5 ir 3 x — 4 y = 0 g r a fik a i. Re m da -

mies i ja i s , i š spręski te lygč ių s i s temą.

χ

2

+ y

2

= 25,

x * + y * = 2b,

l 3 x - 4 < / = 0.

1016. Rem dam ies i 65 p aveiks lu , gra-

f i škai i š spręski te lygč ių s i s temą

<x*+y

2

= 9,

i (x —3)

2

-f (y — 3)

2

=9.

1017. G rafišk ai i šsp ręsk ite š ia s lyg -

č ių s i s temas:

a ) U - J

У

P

S

P

л

S

P

?

1

•

1

/

i

Ix

i

r

6 4 p a v .

( у — х — 0 ,

I y = X

3

;

b) (2x-y = 3,

\x+y=3.

1018. Gr af i škai i š spręski te lygč ių s i s -

t emą

I= y2

į У = X

2

,

\y=2x+4.

- ι I I

J )

2

= 9

X

2

+y

2

Ji

4

N

r

У

- V

1019. G rafiška i i šspręsk ite š i a s t ies i -

n ių lygč ių s i s temas:

6 5 p a v .

a ) i х —г/ = 1,

l x + 3 / / = 9 ;

b ) (x+2y = 4,

{-

c ) [x y = 0 ,

1 - 3 X + 4 Į / = 1 4 ;

d) f 3x— 2(/ = 6,

1 3 x + I O y = - 1 2 .

х +

5г /

= 10 ;

1020.

Graf i škai i š spręski te š ias lygč ių s i s tem as:

a) f 2 y = 6 ,

I З л : + 2 г /

==

— 6 ;

b ) i x - ( / = 0 ,

1 2 х + З г / = - 5 .

a ) J 4 ( / - χ = 1 2 , с )

\ 3ί/Η -Λ Γ = — 3;

b ) { < / - 3 x = 0 , d )

\ 3 ι/ — x = 6 ;

f l ,5x — / = 1,

I —3xH-2i /= —2;

j χ - f 2(/ = 3,

I y = - 0 , 5 * ;

1021. Ar turi š ios lygčių s is temos sprendinius ir kiek jų:

e ) t 2 * = 1 1 - 3 y .2 * = 1 1 - 3 y ,

{6(/ = 2 2 - 4 x ;

f) (~x+2y=8,

U + 4 į / = 1 0 .




1022 . I š r e ikšk i t e daug ianar iu :

a) (5c

2

—c

+ 8) (2c

—3) —

16; b ) 1 8 m

3

- ( 3 m - 4 ) ( 6 m

2

+ m - 2 ) .

j 0 2 3. I š s k a i d y k i t e d a u g i n a m a i s i a i s :

a )

a*+a

2

-χ *α -χ *·,

b)

b

3

+ b

2

c-9b-9c.

1024. Ar yra lygt ies x

2

—

x y + y

2

= 1 9 sp r e n d i n y s

skaič ių pora :

a ) (2 ; 5 ) ; b) ( - 2 ; - 5 ) ?

§ 1 7 . T I E S I N I Ų L Y G Č I Ų S I S T E M Ų S P R E N D I M A S

4 3. K E I T I M O B O D A S

I š sp ręsk ime lygč ių s i s t emą

•3x+y=7,

1 )

-bx+2y = 3.

Pi rm os lyg t i e s k i n t am ąjį y i š r e ikšk im e k in tam uo ju x :

y

= 7—3x.

Į a n tr ą ly gt į v ie to j

y

įrašę reiškinį

7

—

3x,

gaus ime lygč ių

s i s t emą

(3x+y = 7,

\ - 5 x + 2 ( 7 - 3 x ) = 3 .

y

'

Į rodysime, kad (1) i r (2) s i s temos tur i tuos pačius spren-

d in ius .

Sakyk ime , kad t am t ik ra χ ir y r e ikšm ių po ra y ra (1 ) s i s t em os

sp r e n d i n y s . Su t o m i s χ ir y r e i k šm ė m i s l y g t i s — 5x + 2y = 3 p a-

v i r s ta te is inga lygybe. Jos y re ikšmę pakei tę ja i lyg ia re išk in io

7 —

3x

r e ikšme , vė l gaus ime t e i s ingą lygybę . Vad inas i , k iekv ie -

n a s ( 1 ) s i s t e m o s sp r e n d i n y s y r a ( 2 ) s i s t e m o s sp r e n d i n y s .

Ana log i ška i į rodoma, kad k iekv ienas (2 ) s i s t emos sp rend inys

y ra (1 ) s i s t emos sp rend inys .

Taig i (1) i r (2) s i s temos tur i tuos pačius sprendin ius . Tokios

s i s t e m o s v a d i n a m o s

ekviva lenčiomis .

(2) s i s temos an t ro j i lyg t is tu r i t ik v ieną k in tamąjį . I šspręs-

kime šią lygtį:

— 5 x + 2 ( 7 — 3 x ) = 3 ,

— 5 * + 1 4 — 6 x = 3 ,

- I l x = - I l ,

χ= 1.



A t i t i n k a m ą y r e i k š m ę g a l i m a r a s t i ,

( 1 ) s i s t e m o s p i r m o j e l y g t y j e v i e t o j χ pa-

r a š i u s s k a i č i ų 1. T a č i a u p a t o g i a u p r i t a i -

k y t i f o r m u l ę

y = 7

—

3x:

y = 7 - 3 - 1 ,

У =

4.

P o r a ( 1 ; 4 ) y r a ( 1 ) s i s t em os sp r en -

d inys .

B ū d a s , k u r i u o i š s p r e n d ė m e ( 1 ) l y g č ių

s i s t e m ą , v a d i n a m a s ke i t imo būdu. S p r e n -

d ž i a n t š i u o b ū d u , p i r m i a u s i a k u r i o s n o r s

l y g t i e s v i e n a s k i n t a m a s i s i š r e i š k i a m a s

k i t u k i n t a m u o j u . G a u t a s r e i š k i n y s į r a š o -

m as į k i tą l yg tį, š i t a ip ga u n a m a lyg t i s su v i e nu k i n t am u o j u . J i

i š s p r e n d ž i a m a . P o t o r a n d a m a a n t r o k i n t a m o j o a t i t i n k a m a

r e i k š m ė .

6 6 p a v e i k s l e n u b r a i ž y t i l y g č i ų

3x+y = 7

ir

—

5x + 2į/ = 3 g r a -

f ika i . J i e su s ik e r t a t a šk e ( 1 ; 4 ) . P e r šį t a šk ą e ina ir l yg t i e s

—

5x + 2 (7

— 3x)

= 3 g r a f i k a s , t . y . t i e s ė x = l . M a t o m e , k a d ( 1) ir

(2 ) s i s te m os tu r i tą pa tį sp re nd in į.

D a r v i e n u p a v y z d ž i u p a r o d o m e , k a i p t a i k o m a s k e i t i m o b ū d a s .

I š s p r ę s k i m e l y g č i ų s i s t e m ą

i 7 * + 6(/ = 6,

l 3 x + 4 ( / = 9 .

A n t r o s l y g t i e s k i n t a m ą j į

χ i š r e i k š k i m e k i n t a m u o j u y:

3x = 9 - 4 y,

r - t ^ l

3

P i r m o j e l y g t y j e v i e t o j

χ p a r a š y k i m e r e i š k i n į

7

. ^ + 6 , / = 6 .

I š s p r ę s k i m e g a u t ą ly g t į s u v i e n u k i n t a m u o j u y;

7(9 —A y) + 3-6(/ = 3-6,

6 3 - 2 8 ( / + 1 8 ( / = 1 8 ,

- 1 0 ( / = - 4 5 ,

i/ = 4,5 .

66 pav.

12. Algebra 6 k l .

177



9—

Au

L y g t y j e * = — j p v i e t o j y p a r a š y k i m e 4 ,5 :

9 -4-4 ,5

3 ·

X = - 3 .

A t s a k y m a s : * = — 3, y = 4 , 5 .

1025. I š s p r ę s k i t e l y g č i ų s i s t e m a s :

a ) ( į/— 2 * = 1, c )

ix+y=

6, e ) r « / - * = 2 0 ,

l 7 x — į/ = 9 ; \ 3 * - 5 i / = 2 ; \ 2 x — 1 5 ^ = — 1;

b ) ( 7 * — 3 ( / = 1 3 , d )

Į

4* — ( /= 11, f )

f

2 5 - * =

-Ay,

\ * - 2 ( / = 5 ; j

6x—2y =

13; l 3 * - 2 y = 3 0 .

1026.

Rask i t e l ygč ių s i s t emos sp r end inį :

a ) i 2 * + y = 12, c ) | 8 Į / - * = 4,

l 7 * - 2 ( / = 3 I ; I 2 * — 2 1 ( /= 2 ;

b ) f« / — 2 * = 4 , d ) ( 2 * = y + 0 ,5 ,

l 7 * - y

= l ;

\ 3 * - 5 y = 1 3 .


a )

(2u + 5v-0,

c ) i

A u + 3v =

14,

1

—

8 u +

15w

= 7; \

5ы —3i»

= 25;

b) f5/7— 3^ = 0 , d) Г 10p + 7< /= - 2 ,

I 3 p + 4v = 2 9; l 2 p - 2 2 = 5<7.


a ) r 3 * + 4 t / = 0 , c ) f 5 * + 6 i / = - 2 0 ,

\ 2* + 3y = 1; 19į/ + 2 * = 2 5 ;

b )

(7x+2y = 0,

d ) Г 3 * + 1 = 8 « / ,

1 4 y + 9 * = 10; l l l ( / - 3 * = - l l .

1029. N e b r a i ž y d a m i r a s k i t e ly g č ių g r a f i k ų s u s i k i r t i m o t a š k ų

k o o r d i n a t e s :

a ) 7* + 4(/ = 23 ir 8 * - I O i / = 19;

b) 11* —6(/ = 2 ir - 8 * + 5 « / = 3 .

1030. N e b r a i ž y d a m i r a s k i t e l y g či ų g r a f i k ų s u s i k i r t i m o t a š k ų

k o o r d i n a t e s :

a ) 5 * - 4 f / = 1 6 i r

x—2y =

6 ; b ) 2 0 * - 1 5 « / = 1 00 ir 3 * - t / = 6 .

178



1031. Raski te lygčių s is temos sprendinį:

а) Γ 3 (* — 5) — 1 = 6

—

2*, b) | 6 ( * + į/ ) — « /= — 1 ,

1 3 ( * —i/) -Ty= — 4 ; 17(1/ + 4 ) - ( 1 / + 2 ) = 0 .

1032 . I š sp ręsk i te lygč ių s i s temas :

a) f 2 (3 * —2(/) +

1

= 7*, c) j 5 ( * + 2 y ) - 3 = 3 * + 5,

1 12 ( * + /) — 1 5 = 7 * + 12(/; \ 4 ( * - 3 t / ) - 5 0 = - 3 3 i / ;

b) l 3 ( * + i / ) - 7 = 1 2 * +

i/,

d ) I 4* + 1 = 5 (*

— 3y) —

6,

i 6 ( ( / - 2 * ) -

1

= - 4 5 * ;

1

3 x

+ 6y)

+ 4 = 9 ( / + 1 9 .

1033 . I š sp ręsk i te lygč ių s i s temas :

a ) (5</ + 8 ( * - 3 i / ) = 7 * - 1 2 , b) j

—

2 ( a —b) + 1 6 = 3 (6 + 7 ) ,

1

9 x + 3 ( x - 9 y )

= 11(/ + 46 ;

1

6 a - ( a - 5 ) = - 8 -

( b +

1).

C)

c

I

·

5 3

m 7 n _

ίο 6

d) ( 7 * - 2 f f -

5

i

k f -

1034. Raskite lygč ių s i s temos sp rend inį :

a ) i J L _ J — — A

3 2

2

+

4

М

£ - 2

Ь = 6 ,

d

>

i Tx-

¥ = - 4 ,

D

- 3 a + j = - 3 7 ;

1035.

I š sp ręsk i te lygč ių s i s temas :

a) v * _

f i

b ) _ o o

~4 5 ~ I 5 15 ~~ ' *

15 12

—

I 10 3

1 , Z

·

Kartojimo pratimai

1 0 3 6 . S u p ra s t in k i t e r e i šk in iu s :

a ) ( 2 * - 3 ( / )

2

+ ( 2 * + 3 (/)2 ; b ) (2 * + 3 ( / )

2

-

(2x-3y)

2

.

1 0 3 7

· I š s k a i d y k i t e d a u g i n a m a i s i a i s :

a )

*

5

+ 4 α

2

*

3

- 4 α *

4

; b ) 4 a

6

- 12a

5

ft + 9a

4

fc

2

.

1038

' Gra f i šk a i i š sp rę sk i t e l y g č ių s i s t emas :

a H i / = *

2

, b) / ( / = *

2

,

3* + (/ =

4;

1(/ = 5.



4 4. S U D E T I E S B G D A S

I šn ag r in ės im e d a r v ieną lygč ių s i s t em ų sp ren d im o būdą —

s u d ė t i e s

būdą.

Spręsdami š iuo būdu, ka ip i r ke i t imo būdu, pe re i -

nam e nuo v ienos s i s t em os p r i e k i to s , ekv iva lenč ios j a i s i s t em os ,

kur ios v iena lygt i s tur i t ik v ieną k in tamąjį .

1 p a v y z d y s . I š sp ręs kim e ly gčių s is te m ą:

2x + 3 ( / = - 5 ,

л: — Зг/ — 38.

1)

S i o s s i s t e m o s

lygč ių k in tam ojo y koe f i c i en ta i y r a p r i e š ing i

ska ič ia i . Pana r iu i sudė ję ka i r ią s i a s i r de š in iąs i a s lygč ių puse s ,

ga us im e lyg tį su v ienu k in tam uo ju :

3 x = 3 3 .

Pake i sk im e (1 ) s i s t em os v ieną lyg tį , pavyzdž iu i p i rm ąją , lyg -

t i m i 3 x = 3 3 . G a u s i m e s i s t e m ą

' 3 x = 3 3 ,

χ —3(/ = 38.

(2)

I šs pręsk im e (2) lygčių s i s t em ą. I š sp re nd ę ly gtį 3x = 33 , su-

ž inom e , kad

χ = U .

Įrašę šią

χ

re ikš m ę į ly gt į

х

— Зг/

= 38 , ga u-

n a m e

lyg tį su k i n t am uo ju y .

1 1 -3 ( / = 38 .

I šspręskime š ią lygtį :

-3 ( / = 27 ,

i / = - 9 .

Y

1

S

1

Χ0

1 11

Χ

1

Л

»->.

IL

><

»->.

IL

><

S ?

»->.

IL

><

S ?

»->.

IL

><

•99

Л ft

Į

,-i)

I +I I +

6 7 p a v .

Skaičių pora (11; —9) yra

(2 ) s i s t em os sp r end inys . J i

t a ip pa t ( 1 ) s i s t em os sp r end i -

nys , nes (1) i r (2) s i s temos

yra ekv iva lenč ios . Tuo ga l im a

į s i t i k i n t i s a m p r o t a u j a n t t a i p ,

k a i p s a m p r o t a v o m e , s p r ę s d a m i

lygč ių s i s t em as ke i t im o būdu .

67 pave iks le pava izduo t i

lygčių 2x + 3 ( / = — 5 ir

χ — 3(/=

= 38 gr a f i ka i . Ly gt ie s 3x = 33



gr af i ka s , t . y . t iesė X = 11, e ina per jų su s iki r t im o ta šk ą. P a -

veiks le m aty t i , ka d (2) s is tem a tur i tą pa tį sp re nd in į, kaip i r

(1) s i s t ema.

2 p a v y z d y s . I š s p ręs k im e s i s te m ą

f 5x + 11 (/ = 8,

I IOx-7( / = 74 .

Pana r iu i s udė ję s i s t emos l yg t i s , nepana iK iname v i eno i š k in -

t amųjų . T ač i au , padaug inus p i r mos l yg t i e s v i s us na r iu s i š — 2,

o an t r os l yg t i e s nepake i tu s , gau tų l ygč ių k in t amojo χ koef ic ientai

b u s pr ieš ing i ska ič ia i :

i - 1 0 x - 2 2 ( / = - 1 6 ,

I I O x -

I y =

74.

D aba r , pa na r iu i s ud ė ję, g au n am e lyg tį s u v i enu k in t a m uo ju

- 2 9 ( / = 58 . I š jos r a nd am e, kad ( /= — 2 . [ ra šę į an t rą lyg tį v ie -

to j y ska ič ių —2, r andame χ r e ikšmę:

I O x - 7 ( - 2 ) = 7 4 ,

10* = 60,

χ = 6.

A t s a k y m a s : x = 6, (/= — 2 .

3 p a v y z d y s . I š sp ręsk im e lygčių s i s tem ą

f 9x + 7(/ = 7,

1 2 x — 3 ( / =

—

85.

P a r i n k i m e l y g t i m s t o k i u s d a u g i n a m u o s i u s , k a d k i n t a m o j o y

koe f ic ien ta i bū tų pr ieš in g i ska ič ia i . P i rm os lyg t ies k iekvieną n ar į

pa da ug ink im e i š 3, o an t r o s — i š 7. G au s im e lygčių s i s t emą

| 2 7 x + 2 1 ( / = 2 1,

1 1 4 x - 2 1 ( / = - 5 9 5 .

P a n a r i u i s u d ė j ę l y g t i s , g a u n a m e :

41x= — 574 .

Iš čia

χ = - 1 4 .

Įraš ę į lyg tį 2x — 3 ( / = - 8 5 š ią χ r e i k š m ę , r a n d a m e , k a d y= 19.

A t s a k y m a s : x = — 14, ( /= 1 9 .



a ) f 2 x + I l i / = 15, c ) f 4

x

- 7

į

/ = 30,

I I O x -

1

1

į

/ = 9 ; l 4 x - 5 ( / = 90;

b) i 9x—

1 7 Į / =

—4, d) f1 3 x —8(/ = 28,

l - 9 x + 1 5 ( / = 1 2 ; I llx — 8 (/ = 24.

1040.

Raski te lygčių s is temos sprendinį:

a ) (χ — 6(/= 17, c) r3 x + 2(/ = 5,

I 5

X

+ 6

Į

/ = 13; 1 — 5x + 2( /= 45;

b) f 4 x - 7 ( / = - 1 2 , d) Γ 9 χ — 4 ( /= — 13,

1 — 4x + 3 (/ = 12; 1 9x—2(/= —20.

1041.


a ) I 4 0x +3 </ = 10, d ) i l 3 x - 1 2 y = 1 4 ,

12 0x —7(/ =

5; 1

I l x - 18(/ = 4 ;

b) j 5x — 2i/= 1, e) M O x -9 (/ = 8,

115x

—

3(/ =

— 3;

1 15x + 21</ = 0,5;

c) I 3 3 a + 4 2 b = 10, f ) (

9 /

+ 8 г = - 2 ,

1 9 a + 14b = 4; l4 i/ + 5 z = - l l .

1042.


a) j 12x

—7 /

= 2, c ) | 6 x - 2 5 ( / = l ,

i 4x

—5 /

= 6; l 5 x - 1 6 ( / = - 4 ;

b)

Į7 U

+

2 K = 1 ,

d)

I

7 a +

4b

= 90,

i 17u + 6 y = —9; I 5a —6b = 20.

1043.

Raski te lygčių s is temos sprendinį:

a ) i 0 ,7 5 x + 20 (/= 95, c) j IOx = 4,6 + 3(/,

I 0,32x - 25y = 7; 14y + 3,2 = 6x;

b) f0 ,5 u —0,6y =

0,

d) i - 3 b + I O a - O

1

I = O ,

10,4ы + 1,7^ = 10,9; 115a + 4 b - 2 , 7 = 0 .

1044. S u d a r y k i t e lygtį, kurios išraiška butų

y = kx+b

i r gr a-

f ikas e i tų per taškus:

a )

M

(5; 5) ir J V ( - 1 0 ; - 1 9 ) ; с) Л ( 8 ; - 1 ) ir

B{-

4; 17);

b)

P(

4; 1) ir Q ( 3 ; - 5 ) ; d ) C ( - 1 9 ; 31) ir D ( l ; - 9 ) .

1045. Tiesė

y=kx +

b e in a p e r t a šk u s / 4 ( - 1 ; 3 ) ir

B(

2;

- 1 ) .

Parašyki te š ios t iesės lygtį .




1053. Ar pr ik lauso lygt ies x— y

2

)

2

= x+y)

2


A 4; - 1 ) ; 5 ( 1 ; - 1 ) ; C 2; 2)?

1 54


a) 15a

2

— 15b

2

; c) IO a

3

+ I O b

1

; e ) 4 7 a

e

- 4 7 b

6

;

b ) 2 9 a

2

+ 29b

2

; d ) IS i r

t

- I S b

3

; f) 51 a

6

+ 5 lb

6

.

1055. Su pr as t in k i t e r e i šk in ius :

a ) 2x(8x — 1) — (4дг + 1 )

2

; b) 4 ( 3 « / - 1 )

2

- 1 8 ( / ( 2 ( / - 1 ) .

1056. Ar t imų v iene tu i ska ič ių kuba i apska ič iuo jami paga l apy-

t iks lę fo rmulę ( 1 + α )

3

« 1 + 3 a . P a g a l š ią fo rmulę apska ič iuok i t e

apy t iks l e s r e i šk in ių r e ikšmes : a ) 1 ,1

3

; b) 0,9

3

. Kokia apyt iks lės

r e ikšmės abso l iuč io j i pak la ida?

4 5 . U Ž D A V I N I Ų S P R E N D I M A S S U D A R A N T L Y G Č IŲ S I S T E M A S

K a i už da v i nys s p r e ndž i a ma s s uda r a n t l ygč i ų s i s t e mą , p i r -

mi a us i a r a i dėmi s pa ž ymi mi ne ž i nomi s ka i č i a i . P o t o s uda r oma

l ygč i ų s i s t e ma , j i i š s p r e ndž i a ma i r pa a i š k i na ma s ga u t a s r e z u l t a -

t a s a t s i ž v e l g i a n t j u ž d a v i n i o s ą l ygą .

1 u ž d a v i n y s . U ž 55 ru b. k lu bu i n up irk ta 5 k om p le kta i

š a c hm a t ų ir 8 kom pl e k t a i š a š k i ų . U ž 3 kom pl e k t u s š a c hm a t ų

sumokėta 2 rub . 20

к ар . b r a n g i a u n e g u

už 4 komplek tus ša šk ių .

Kiek ka inu o ja v i enas ko m plek ta s ša ch m atų ir k iek — v ie na s komp -

lek ta s ša šk ių?

S p r e n d i m a s . S ak yk im e , kad v ie na s k om p le kta s š ac hm a tų

k a i n u o j a

χ

rub l ių , o v i enas komplek ta s ša šk ių y rub l ių . Ta ig i

5 kom pl e k t a i š a c hm a t ų ir 8 kom pl e k t a i š a š k i ų ka i nu o j a

5х + 8г/

rub l ių . K ad an g i už v isą p i rk inį su m ok ėta 55 rub. , t a i

5x + 8y = 55 .

I š užd av in io są ly go s ž inome , kad 3 kom plek ta i šach m atų ka i -

nuoja 2 rub. 20 к а р . b r a n g i a u už 4 kompl e k t u s š a š k i ų . R e mda -

mies i tuo , sudarome ant rą lygtį:

3x -4( / = 2 ,2 .

No r in t a t sa ky t i į užd av in io k lau s im ą, r e ik i a r a s t i χ ir y r e ikš -

m es, ku r io s ten ki na ir pirm ą, ir a n tr ą lyg tį, t . y . lyg čių s is tem ą

5 x + 8y = 55,

3x —4 / = 2,2.



I š s p r ę s k i me š i ą s i s t e mą . A b i a n t r o s l yg t i e s pus e s pa da ug i n -

kime iš 2:

i 5 x + 8 0 = 5 5 ,

1

6x —8i/ = 4,4 .

P a na r i u i s udėk i me a b i l yg t i s :

11

χ = 59,4,

χ = 5,4.

L yg ty j e 5x + 80 = 55 v ie to j χ

pa ra šyk ime ska ič ių 5 ,4 :

5 . 5,4 + 80 = 55,

8i/ = 28,

0 = 3,5.

P o r a χ

= 5,4, 0 = 3,5 y ra

l ygč i ų s i s t e mos s p r e nd i nys .

A t s a k y m a s : k om p le kta s š ac hm a tų k a i n uo ja 5 ru b. 40

кар.,

o k o m p l e k t a s ša š k ių — 3 rub . 50 кар.

2 u ž d a v i n y s . Į d vi d ėž es re ik ia s u dėt i 163 s v ie d in i u s

t a ip , kad v ieno je jų sv ied in ių bū tų 2 ka r tus daug iau negu k i to j e .

Kiek sv ied ini ų re ik ia p ad ėt i į kiek vien ą dėžę?

S p r e

11

d i m a s . Sa ky kim e, kad į vie ną dėžę p ad ėjo m e

χ sv ied in ių , o į kitą y s v i e d i n i ų . T uome t pa ga l už da v i n i o s ą l ygą

x + 0 = 1 6 3 ir x = 20. G a vom e s i s t e mą

( χ + 0 = 1 6 3 ,

Ix = 20.

I š sp r e n d ę j ą, su ž in o m e , ka d x = 1 0 8 - | - , y = 5 4 ,

P a g a l u ž d a v i n i o p r a s m ę

χ ir 0

r e ikšmės tu r i bū t i na tū r in i a i

s ka i č i a i , o ga vome t r upme n i n i u s .

A t s a k y m a s : š i to kiu b ūd u n e ga li m a su dėt i sv ie din ių .

1057. D vie jų ska ičių su m a lygi 13, o jų sk i r tu m as 2 . Kokie

ta i skaičiai?

1058. S t ač iak am pi o p e r i m e t r a s lyg us 30 m, jo i l g i s 1 m d i -

desn i s už p lo tį . Kam lyg ios s t ač iakampio k r a š t inės?

1059. Kolūkis numatė užsėt i 700 ha gr ik ia i s i r avižomis . Avi -

žoms buvo nu ta r t a sk i r t i 60 ha daug iau negu g r ik i ams . K iek

he k ta rų ko lūk i s nu m a tė užsė ti av ižo m is i r k i ek — gr ik ia i s?

1060. R a j o no a g r o p r a m on i n i s s u s i v i e n i j i m a s ga v o 187 t r a k -

t o r i u s ir kom ba i nu s . K om ba i nų buvo 23 m a ž i a u ne gu t r a k t o r i ų .



Ki ek t r ak t o r i ų i r k i ek k o m b a i n ų g av o r a j o n o ag r o p r am o n i n i s su -

s i v i en i j i m as?

1061.

Ly g i a šo n i o t r i k am p i o p e r i m e t r a s 1 1 7 m . Š o n i n ė k r a š t i -

nė 13 ,2 m i lgesnė už pagr indą . Rask i t e š io t r ikampio pagr indą .

1062.

Už 600 g sa lda in ių i r

1

, 5 k g sau sa i n i ų su m o k ė t a

4

rub .

62

к а р . K i l o g r a m a s

s au sa i n i ų k a i n u o j a 1 r u b . 4 0

кар. p ig iau

n e g u k i l o g r a m a s s a l d a i n i ų . K i ek k a i n u o j a k i l o g r am as sau sa i n i ų ?

1063.

Va i k ų n am am s n u p i r k t a 15 k o m p l ek t ų l o v o s sk a l b i n i ų

(k iekv ieną komplek tą sudaro an tk lodės užva lka las i r pak lodė)

ir da r 20 pa klo dž ių. U ž visą pirkinį su m ok ėta 310 r t ib. V ien as

an t k l o d ė s u žv a l k a l a s 4 r u b . b r an g esn i s u ž p ak l o d ę . K i ek k a i n u o j a

v i en as k o m p l ek t a s l o v o s sk a l b i n i ų ?

1064.

P i rm am e darž ov ių k ioske buvo 120 kg obu o l ių da ug ia u

n eg u an t r am e . Ka i p i r m as i s k i o sk as p a r d a v ė 2 0 0 k g , o an t r a s i s —

130 kg , an t r ame k ioske l iko obuo l ių 2 kar tus maž iau negu p i r -

mame. Kiek k i logramų obuo l ių buvo ab ie juose k ioskuose i š p ra -

dž ių?

1065.

4 h va ž iu od am i au tom obi l iu ir 7 h — t r au k in iu , tu r i s t a i

nuke l i avo 640 km. Trauk in io g re i t i s 5 km/h d idesn i s už au tomo-

bi l io gre i tį . Kokiu gre ič iu važiavo t raukinys?

1066. Už 3 poras s l idžių i r 4 poras pačiūžų sumokėta 47 rub.

Dvi poros pač iūžų 1 rub . b r an ge sn ės už v ieną porą s l idž ių . Kiek

ka inu o ja pora s l idž ių ir k iek — pora pač iūžų ?

1067.

Penk i v ienod i tuš inuka i y ra 2 rub . 55 к а р . b r a n g es n i

už dv i dėžu te s spa lvo tų p ieš tuk ų , o du tuš i nu ka i 1 rub . 50

кар.

p i g e s n i už penk ias dėžu tes spa lvo tų p ieš tukų . Kiek ka inuo ja

v ien as tuš inu ka s ir kiek — v iena dėžu tė spa lvo tų p ieš tuk ų?

1068.

I š gyvenviečių

A

ir

B,

a t s t u m as t a r p k u r i ų 2 8 0 k m , t u o

pač iu metu i švaž iuo ja du au tomobi l i a i . Je igu j i e važ iuos v ienas

pr ieša is k i tą , ta i po 2 h susi t iks . Je igu j ie važiuos v iena кгур

л

t imi , t a i au tomobi l i s , kur i s išvyko iš gyvenvietės A, po 14 h pa-

s ivy s i švy kus į i š gy ve nv ie tės B au tom ob i lį. Kokiu g re ič iu v ažiu o-

ja k iekv ienas au tomobi l i s?

1069.

I š dv ie jų mies tų , a t s tumas t a rp kur ių 38 km, tuo pač iu

metu i švyko du tu r i s t a i . J i e sus i t iko po 4 h . P i rmas tu r i s t as ik i

sus i t ik im o nu ė jo 2 km d au g i au ne gu a n t r a s i s . Kokiu g re ičiu ėjo

k i ek v i en as t u r i s t a s?

1070.

M oto r inė va l t i s i š v ien os p r iep lau ko s į k i tą pa sro viu i

nu pl au ki a per 4 h , o g rįžta per 5 h . P as ro vi ui 70 km j i n up la uk ia

per 3 ,5 h . Koks va l t i e s g re i t i s s tov inč iame vandeny je?



1071. Pe r 3 h pasro viu i ir per 4 h pr ieš s rov ę m ot o r la iv is

nu p la uk ia 380 km. Per 1 h pa s rov iu i i r per 30 min p r ieš s rov ę

j i s nu p la uk ia 85 km. Ra sk i te m otor la iv io g re i tį s tov inč iam e va n-

denyje ir upės tėkmės grei tį.

1072 . Į baką vanduo teka dv iem vamzdžia i s . Je igu vanduo i š

p i rmo vam zdž i o tekės 20 mi n , o i š a n t r o j o — 1 0 m i n , t a i b ake

bus 120 m

3

va nd en s . J e i gu p i rmu vam zdž i u t ekės 15 mi n , o an t -

ru o ju — 7 min , tai į ba ką pr i te kės 88,5 m

3

vandens . K i ek kub i n i ų

m et rų va nd en s p r i t eka į baką per m inu tę k iekv ienu va m zd žiu ?

1073. Aš sug al vo ja u du ska ič ius . Je ig u p r ie p irmo ska ič iaus

pr idė tume an t ro ska ič iaus pusę , t a i gau tume 65 ; o j e igu i š an t ro

ska ič iaus a t imtume p i rmojo t reč ią ją da lį , t a i gau tume p i rmą ska i -

č ių . Kokius ska ič ius aš suga lvo jau?

. 1074. Du be rn iuk ai tur i 16 r ie šu tų . Jeig u vie na s at id uo tų ki

t am 6 r i e š u t u s , t a i j am l i k t ų r i e š u t ų t r i s ka r t u s maž i au negu

turė tų k i t as bern iukas . Kiek r i ešu tų tu r i k iekv ienas bern iukas?

1075 . I š dv ie jų rūš ių dž iov in tų va i s ių , kur ių v ieno k i logramo

ka ina 1 rub . 20 кар. ir 1 ru b. 50 кар. , reikia g au ti 36 kg miš in io .

M iš in io v ieno k i log ram o ka ina 1 rub . 30 кар. Kiek k i l o g r a m ų

kiekv ienos rūš ies dž iov in tų va i s ių tu r i bū t i miš iny je?

1076. Bu vo su m aišy t i dv ie jų rūš ių m i l t a i , ku r ių v ieno k i lo -

g r a m o k a i n a 2 6 кар. ir 41 кар. G au ta 50 k g jų miš inio , kur io

v i enas k i l og ramas ka i nuo j a 35 кар . Kiek k iekv ienos rūš ies mi l tų

y ra mi š i ny j e?

1077 . Kolūkyje ž iemkenčia i s buvo užsė ta 480 ha daug iau ne-

gu va s a ro j au s . N uėm us nuo l aukų 80% ž i emkenč ių ir 25% va s a -

ro j aus , nenuk i r s t ų ž i emkenč i ų p l o t a s buvo 300 ha mažes n i s negu

va s a ro j a us . K i ek h ek t a r ų va s a ro j a u s ir k iek — ž i emkenč i ų buvo

pas ė t a ko l ūky j e?

1078. Dvi da rb in in kų br ig ad os per mėnesį pa ga l p lan ą tu r ė jo

pa ga m in t i 680 de ta l ių . P i rmoj i b r ig ad a mėnes io užd uotį v i r š i jo

2 0 % , a n t r o j i — 1 5 % . A b i b r i g a d o s v i r š p l a n o p a g a m i n o 1 1 8 d e -

ta l ių . Kiek de ta l ių pe r m ėnesį pa ga l p la ną tu rė jo pa ga m in t i k iek-

v i e n a b r i g a d a ?


1 0 7 9

s u

P

r a s t i n k i t e


a ) ( a — 2 }

( α

2

+ α — 1,)

—

α

2

( α

—

1 ) ;

b ) ( 3 - p ) ( 9 + 3p + p

2

) - ( l - p

3

) .



1 08 0. I š s k a id y k i t e d a u g in a m a i s i a i s :

a) 0,064 m

3

+ 1 ; b) 0 ,027 *

3

- į r ; c ) p

6

+ 8 ; d) 2 7 - m

6

.

1081. Ku r iuos e k oo rd in a t in iuo se ke tv i rčiuose bus š ių lygč ių

grafikai . ;

a ) 2 x + 5 ( / = 1 2; b ) 3

J C

- 4 ( / = 1 0 ?

1082. Įrodyki te tapatybę

(χ

3

—ί/

3

)

2

+ 2χ ψ = (χ

2

+(/

2

) ( χ

4

+ y * - X

2

U

2

) •

V l S K Y R I A U S P A P I L D O M I P R A T I M A I


1083. Ar yra lyg t ies

- J

2

—2(/ = 7 sp re nd in ys

k i n t a m ų j ų

JC

ir y

re ikšmių pora (JC;

y):

a ) (5; 8 ) ; b) ( - 4 ; - 1 1 , 5 ) ; c) ( - 1 ; - 3 ) ; d ) (1,2; - 2 , 7 8 ) ?

1084. Su da ryk i te lyg tį su dv iem k in tam ais ia i s u ir v, k u r io s

sprend inys bū tų ska ič ių pora (u; v):

a ) (1 0; 3 ) ; b ) (0 ; - 7 ) ; c) (0 ,6 ; - 0 , 8 ) ; d ) ( - 1 , 4 ; - 3 , 6 ) .

1085 . Rask i te ke l i s lyg t ies sp rend in ius :

a ) 5 ( / - 1 = 3 JC ; b ) x i / - 4 = 0 ; c ) y + 2 x

2

- 0 ; d ) x

3

-1 0 ( / = 0 .

1086. Ar tur i lygt is sprendinių , je i tur i , ta i k iek:

a ) p

2

+ q

2

=-4; c) |p | + |

7

| = 0 ;

b)

pq + 2 =

pq·, d )

p

2

+ (q+

1)

2

= 0?

1087. Yra ž inoma, kad:

a ) k in t am ų jų r e ik š m ių p o r a x = 5, y = 7 y ra lyg t ies α χ — 2 ( / = 1

s p r en d in y s . R as k i t e koef ic ientą a ;

b ) k in t am ų jų r e ik š m ių p o r a

JC

=—3, y = 8 y r a l y g t i e s 5 * +

+ by= 17 sp rend inys . Rask i te koef ic ien tą b.

1088. Rask i te v i s as n a t ū r in ių ska ič ių p ora s , kur ios y ra š ių

lygč ių sp rend in ia i :

a ) JC+ / = 1 1 ; b )

JC

( / = 1 8 .

1089. Raski te v isas p i rminių skaičių poras , kur ios yra lygt ies

a + b = 4 2 s p r en d in i a i .

1090. In te rna t in e i mok ykla i nu p i rk tos ke l ios poros pač iūž ų

po 3 rub. ir kelios poros s l idžių po 2 rub. 40 кар . V isas p i rk inys

ka inavo 30 rub . K iek porų pač iūžų buvo nup i rk ta?



1091. Seimininkė nusipirko gi l ių i r negi l ių lėkščių. Gi l i lėkštė

k a i n a v o 8 0

кар. , o ne gi l i — 60 кар.

U ž vis ą pirkinį j i su m ok ėjo

7 rub . Kiek negi l ių lėkščių nus ip i rko še imininkė?

1092. G ru pė m okin ių i švyk o į m uz ie jų ; da l i s mokin ių va žia vo

t ro l e ibu su , o v i s i k i ti — au tob usu . T ro l e ib uso b i l ie t as ka inuo ja

4

кар ., o au tob us o — 5 кар .

Už v i sus b i l i e tus buvo sumokė ta

1 rub. 69

кар. Kiek

m o k i n i ų v a ž i a v o a u t o b u s u ?

1093. Ar pr ik la us o lygt ies x

3

— y — 2 = 0 g ra f iku i t a š ka s :

a ) M ( - l ; - 3 ) ; b ) K ( - 1 ; 1 ) ; c) fl(l; - 1 ) ?

1094. Lygt ies x—xy = 46 g ra f iku i p r ik l auso t a škas , ku r io o r -

dinatė lygi —1,3. Raski te š io taško abscisę.

1095. Lygt ies 8x — 5 y = 1 4 g ra f ika s e ina pe r t a šk ą , ku r io ab sc i -

se 1 ,2 . Raski te š io taško ord inatę .

1096. Par inki te lyg t ies

y=ax

2

—

4 tokį ko ef ici en tą

a,

kad jos

graf ikas e i tų per t ašką P( l ; —3) . Ar k i rs š i s graf ikas y ašį?

1097. N en us ib ra iž ę įrod yk i te, k ad lygčių xy = 12, 2x+y=\0

ir Ax

2

+y

2

= 52 graf ikai e ina i r per t ašką A(3; 4 ), i r pe r taš k ą

B ( 2 ; 6 ) .

1098. K ur iuo se t a šku ose ke r t a k oord ina č ių aš i s l yg t i e s g ra -

f ikas:

a) 2x+ 3«/ = 4; b) xy+y-x = 7?

1099 . Nubra i žyk i t e l ygč ių g ra f ikus :

a ) x+y=0; b) x-y = 0; c) y-3x

2

= 0 ; d ) y + x

2

= 0.

1100. Nubraižyki te lygčių graf ikus :

a ) 3 ( x — 2 y ) — 2 ( x — 4 y ) = 4 ;

b) 2 ( 0 , 5 x - l , 2 y ) - ( 0 , 6 y + x ) = 6 ;

c ) 3(0,4«/ — 0 ,2* ) - 4 ( 0 , 3 y - 0 , 6 x ) = 0 , 6 .

1101. Pa r in ki te t i es inės lyg t ies ax— y = 4 tokį koe f ic ien tą a,

kad jos g ra f ikas e i t ų pe r t a šką Λ ί(3 ; 5 ) . Nubra i žyk i t e š io s l yg -

t i e s g ra f iką .

1102. Lygt ies y — 2,5x=c gr af ik as yra t i esė, e in an t i per t aš ką

K(2; —3). Nubrėžki te š ią t iesę.

1103. Ar yra lygčių s is temos

ta

2

+b

2

= 16,

i a

2

+ 8a + b

2

— 8 6 + 1 6 = 0

sp re nd in ys skaič ių po ra : a) d = 0 , b = 4; b) a = 0, b= — 4; c) a =

= - 4 , b = 0?



1 1 04 . G r a f i š k a i i š s p r ę s k i t e l y g či ų s i s t e m a s :

&).<2x+y=0,

b )

(y=χ

2

,

c )

(y=x

3

,

d )

(y = x\

\x+y=-3; ' [y-6 — X=O; \y +1=0; \y = x

3

.

1105.

Į rodyk i t e , kad t i e sės

x+y=5, 2x-y=l6

ir

x+2y = 3

s u -

s i k e r t a v i e n a m e t a š k e . K o k i o s t o t a š k o k o o r d i n a t ė s ?

1 10 6. V i e n o j e k o o r d i n a č i ų p l o k š t u m o j e n u b r ė ž k i t e t i e s i n i ų

lygč ių

y

—

2x=0

ir

x

+

y

= 6 g r a f i k u s ir r a s k i t e j ų s u s i k i r t i m o t a š -

k o k o o r d i n a t e s . A r e i n a p e r š j t a š k ą l y g t i e s

2x

3

— xy = 8

g r a f i -

kas?

1107 . Kok ia y ra α r e ikšmė , ka i t i e sės 5x

—

2y=3 ir x+y=a

s u s i k e r t a t a š k e , p r i k l a u s a n č i a m e y a š i a i ?

1108. Kokia yra

b

r e ikšmė , ka i t i e sės

bx

+

3y=l0

ir

x~2y=A

s u s i k e r t a t a š k e , p r i k l a u s a n č i a m e

χ

a š i a i ?

1109. Kokia yra k r e ikšmė , ka i t i e sė y = kx — 4 e ina pe r t i e s ių

y = 2x—

5 ir

y=—x+\

s u s i k i r t i m o t a š k ą ?

1 11 0. G r a f i š k a i i š s p r ę s k i t e l y g či ų s i s t e m a s :

a )

y + 3x=0,

b) i * + {/= 1,

x - y = 4 , I y — x = 3 ,

x + y = — 2 ; ( 2 x + i/ = 0 .

1111. Ar t u r i s i s t e m a sp re nd in ių , je i t u r i , t a i k i ek :

a ) I 2 x + 5 / / = 1 7 ,

с) Г 0 , 2 x - 5 y = 11,

1 4 x — 10«y = 45 ; 1 -x + 25y = - 5 5 ;

Ъ >

' 7 - 4 - · · l . ' i j : + y = 10 ,

\ 6 x — 2г/ = 3 5; 1 9 х - 2 у = 1 ?

1112 . Nurodyk i t e k r e i k š m ę , s u k u r i a l y g č i ų s i s t e m a

(2x+y = 7,

(y-kx = 3

t u r i t i k v i e n ą s p r e n d i n į . A t s a k y m ą p a t i k r i n k i t e g r a f i š k a i .

1113 . Su ku r i a c r e ikšme lygč ių s i s t ema

i 3x — i/= 10,

\ 9 х — 3 y = c

t u r i b e g a l o d a u g

s p r e n d i n i ų ?

1114 . Su ku r i a c r e ikšme lygč ių s i s t ema

U x + \ y = 2,

{5x+2y = c

n e t u r i s p r e n d i n i ų ?



1115 . I š sp ręsk i t e lygč ių s i s t em as :

a ) ( 2 5 * - 1 8 ( / = 7 5, c ) i

8 ( / - 5 г = 23, e ) f 7 * + 4 ( / = 7 4 ,

' 1 3 5 * - 2 8 ( / = 35; ' l 3 i / - 2 z = 6 ; ' l 3 x + 2 ( / = 3 2 ;

b ) i 3 5 * = 3 ( / + 5, d ) I 1 3 * - 1 5 ( / = - 4 8 , f ) ( 1 1

Ы

+ 1 5

У

= 1 , 9 ,

l 4 9 * = 4 ( / + 9; 1 2 * + (/ = 29 ; I - 3 u +

5ū= 1 ,3 .

1116 . R ask i t e lygč ių s i s t em os sp r end in ius :

a ) i 6 (* + ( / ) = 8 + 2*

—

3(/,

i

5(y — x)

= 5 + 3* + 2( /;

b ) f - 2 ( 2 * + 1 ) + 1 , 5 = 3 ( ( / - 2 ) - 6 * ,

I 1 1 , 5 - 4 ( 3 - * ) = 2 ( / - ( 5 - * ) ;

c) i 4 (2 * —į/ + 3) — 3( * —2(/ + 3) = 4 8 ,

1 3 ( 3 * —4(/ + 3) + 4 ( 4 * — 2 ( / - 9 ) = 4 8 ;

d ) ( 8 4 + 3 ( * - 3 ( / ) = 3 6 * — 4 ( ( / + 1 7),

l l O ( * - ( / ) = 3 ( / + 4 ( 1 - * ) .

1117 . I š sp ręsk i t e lygč ių s i s t em as :

a ) c) f

4 x — 3 y = 1,

I

5 15

' { 2x -h 1 9—5jy .

( 2 * — 5 ( / = 0 ; I ~ 1 8 *

b )

(З п г + 5 п = 1 , d ) (3q = 4p-7,

If

+

T-

1

= I

1 - 3

q

4 - 2

g

4 3 '

1118 . Rask i te

lygč ių s i s t em os sp r end inį :

a ) ( ( * - l )

2

- ( * + 2 )

2

=

9</,

b) i (7 + u )

2

- ( 5 + u )

2

= 6w,

1

( у - 3 )

2

- ((/ + 2 )

2

= 5*; 1 ( 2 - й )

2

- ( 6 - y )

2

= 4u.

1119.

I š s p r ę s k i t e l y g č i ų s i s t e m a s :

a ) / 8 * + 5 ( / = 2 0, c) ( - l , 8 * + 2 , 4 ( / = 1 ,

11 , 6* + 2 ( / = 0 ; i 3* — 4Į/ = 5;

b ) f J L ^ L

ν = =

ι d) L

u =

1 .

{ 7 1 3 » ' · 3 S

y

2

a )

13*—7(/ = 5 ; I - 1 6 * + 3 ( /= 12 .

1120. Ar tur i

s p r e n d i n i ų š i o s l y g č i ų s i s t e m o s :

5*

— 4(/= 1, b)

3 * + l = 1 3 ,

7 *

—

5(/ = 1;

i

1 *

+ 3(/ =

—

1,

2*

+ (/ = 3,

5*

+ 2(/ = 4?



1121. Ar eina t ie sės

2jc

+ 3į/ = 20,

З х - 5 г / = 1 1 ir x+y=9 per

tą pa tį ta šk ą?

1122. Ar yr a t ie sėje 7х + 8г /=13 5 ta škas , kur io : a ) absc isė

ly g i o rd in a t e i ; b ) ab sc i sė p r i e š in g a o r d in a t e i ; c ) o rd in a tė ly g i

d v ig u b a i ab se i s e i ?

1123 . I š re ikšk i te fo rmule t i e s inę funkc i ją , kur ios g ra f ikas e ina

p e r t a šk u s : a ) A( 1; 2) ir B(-2; 3 ); b) Af( — 5; 0 ) ir K(2 ; - 1 ) .

1124. Pa ra šy k i te lyg tį, kur io s i š ra i ška

y = kx + b

i r g r a f ik a s

e i n a p e r t a š k u s : a ) M ( - l ; 1) ir P ( 4 ; 4 ) ; b ) / 4 ( - 3 ; 3 ) ir

β ( 3 ; - 3 ) .

1125. 10 v o k ų ir 5 a tv i ru k ų k o m p lek ta s k a in u o ja 8 5 кар. Du

voka i 3 кар . p igesn i

už t r i s a tv i rukus . Kiek ka inuo ja v ienas vo-

kas?

1126 . Už 3 s to rus sąs iuv in ius i r 5 b lokno tus sumokėta 2 rub .

4 5 кар. Du sąs iuv in ia i 5 ikap . b r an ge sn i už t r i s b lok no tu s . K iek

ka in uo ja v iena s s to ras sąs iu v in is ir k iek — b lok no ta s?

1127. Į daržovių k ioską a tvežė bulv ių i r kopūstų . P irmą dieną

buv o p ar du ot a p us ė bu lv ių i r -L kop ūs tų , i š v iso 15 t š ių da rž o-

O

vių . A nt r ą d ieną pa rd uo ta y l ikus ių bu lv ių ir -L l ikus ių ko pū s tų ,

iš vis o 10 t . Kiek bu lvių ir kiek ko p ūs tų bu vo a tv ež ta į ki os ką?

1128. T ar yb in is ūk is nuv ežė į m ies tą ob uo l ių i r kr ia u š i ų . P ir -

m ą die ną buv o nu ve žt a v is ų ob uo l ių ir -į- v isų kr ia uš ių , i š

o Δ

viso 2 t .

A ntr ą d ien ą nuv ež ė L l iku s ių ob uo l ių ir -

Į

- l ikus ių

kr ia uš ių , i š v iso 1 t 250 kg. Kiek ob uo l ių i r k iek kr i au š ių ta ry -

bi n is ū kis nuv ežė į m ies tą?

1129. Dvi p ion ie r ių g ra n dy s kasė bu lves . P i rm ą d ieną v ien a

g r an d i s d i rb o 2 h , o a n t r o j i — 3 h . Ab i g r a n d y s p r ik a sė 2 3 cn t

bu lv ių . An t rą d ieną p i rm oj i g r an d i s pe r 3 h p r ik asė bu lv ių 2 cn t

d a u g iau n eg u an t ro j i p e r 2 h . K iek cen tn e r ių b u lv ių p r i k a sė

k iekv iena g ra nd is pe r 1 h?

1130. 30% sk a ič iau s a y ra 10 v ie ne tų d au g i au ne gu 20 %

s k a i č i a u s

b,

o 3 0 % sk a ič i au s

b

y r a 3 5 v i en e ta i s d a u g iau n e g u

2 0 % s k a i č i a u s

a.

Rask i te ska ič ius

a

ir

b.

1 13 1. Tek in to j a s ir j o m o k in y s tu rė jo p e r p am a in ą p a g a m in t i



20% , abu j i e pagamino 74 de t a l e s . K iek de t a l i ų paga l p l aną pe r

pa m a in ą t u rė jo p ag am in t i t ek in to j a s i r k i ek — jo m okin ys ?

1132. Už ke tu r i s t r an z i s t o r i n iu s i r š e š i s l em pin iu s r ad i j o im -

t u v u s s u m o k ė t a 5 2 0 r u b . T r a n z i s t o r i n i a m s i m t u v a m s s u m a ž i n u s -

ka iną 15% , o l em pin iam s — 20 % , už v ieną t ra nz i s to r in į ir du

l em pin iu s r a d i j o imtuv us s um ok ė ta 130 rub . K iek ka ina vo v i e -

n a s t r a n z i s t o r i n i s r a d i j o i m t u v a s i k i k a i n ų s u m a ž i n i m o ?

1133. V ienas f re zu ot o ja s d i rbo 5 d ie na s , o k i t as — 8. P er tą

l a ik ą j i e p a g a m i n o 2 8 0 d e t a l i ų . P a d i d i n ę d a r b o n a š u m ą — p i r -

m a s i s 6 2 , 5 % , a n t r a s i s 5 0 % , — j ie , d ir b d a m i k a r t u , p e r 4 d i e n a s

pagamino 276 de t a l e s . K iek de t a l i ų pe r d i eną pagamina k i ekv i e -

n a s f r e z u o t o j a s , p a d i d i n ę s d a r b o n a š u m ą ?

13 . Algebra 6 k l .



S U N K E S N I U Ž D A V I N I A I

1134. M okyklos m atem at ikų o l im piad oje da lyv avo 9 šeš tak la-

s ia i . Už kiekvieną išsp ręs tą už da vin į m okiny s gav o 2 taš ku s ,

o už kiekvieną ne išsp ręs tą u žd avin į ja m n ub rau kė 1 taš ką. Bu vo

pa teik ta i š v iso 10 už da vin ių . Įrodyk i te , kad b ent du ol im pia do s

dalyviai sur inko vienodą taškų skaičių . (Mokinys , sur inkęs bau-

do s tašk ų d au gi au negu įska i t in ių , tur i nulį tašk ų.)

1135. Dviem tur is ta m s, tu r in t iem s vieną dv iratį, per p us an t-

ros val an do s re ikia nu ke l iau t i 12 km. Yra žinom a, kad kiekviena s

jų per valandą dviračiu gal i nuvažiuot i ne daugiau kaip 20 km,

ir nu eiti — 5 km. Ar g a lės tu ris ta i įve ikti šį nu oto lį n u m a ty tu

lai j^ i i · (Tuo pačiu metu du žmonės važiuot i dvi račiu negal i . )

Ш З ^ ) Pr ie š p laukim o va ržy ba s ke tur i spor t in in ka i — A, B ,

C i r D — davė in te rv iu . A spor t in ink as pasa kė: „Aš būs iu p ir-

mas" , B pasakė: „Aš nebūs iu paskut in i s " , C pasakė: „Aš nebūs iu

ne i p i rmas , ne i paskut in i s " , D pasakė: „Aš būs iu paskut in i s " .

Po varžybų paaiškėjo, kad t ik vienas plaukikas klaidingai nu- ,

matė savo rezu l ta tą . Kur i s spor t in inkas suk lydo?

1137. [rodykite, kad bet kokią sumą, didesnę už 7 kapeikas,

ga l im a sum okėt i tr i jų kap eikų ir pen kių kape ikų mo neto m is be

grąžos .

1138. Dėžėje sudėti įvair ių spalvų rutul iukai: 5 bal t i , 12 rau-

donų ir 20 juodų. Kiek mažiausia rutul iukų reikia iš imti iš dėžės,

ne pa žv elg ian t į jos vidų , kad iš paim tų rutu l iuk ų bū tų: a) no rs

po vieną visų spalv ų ru tul iu ką? b) 10 vien os spa lvo s ru tul iu kų ?

1139. Aš su g a lv o ja u ska ičių, ne did esn į už 1000. Ka ip, p atei-

ku s ne da ug iau kaip 10 kla us im ų, į ku r iuo s a tsaky s iu t ik „ ta ip "

ar ba „ ne" , gal im a suž inot i , kokį skaičių aš sug al vo ja u?

1140. Po 5 metų brol io i r sesers amžius sut iks ta ip , kaip 7:5 .

Pr ieš metus brol is buvo du kar tus vyresnis už seserį. Kiek metų

dabar tu r i k iekvienas?

1141. Tr i jo se dėžėse sup i l t i r iešu tai . A nt ro je d ėžėje r iešu tų

10% d au gi au n eg u pi rmoje ir 30% d au gi au neg u t rečioje . Yra



ž i n o m a , k a d p i r m o j e d ė ž ė j e 8 0 r i e šu t ų d a u g i a u n e g u t r e č i o j e .

Kiek r i e šu tų y ra k iekv ieno je dėžė je?

1142.

Sk a i č i u s

a

s u d a r o 8 0 % s k a i č i a u s

b,

o ska ič ius

c

s u -

da ro 140% ska ič iaus b. Yr a ž i n o m a , k a d sk a i č i u s c y r a 72 v ie -

ne ta i s d idesn i s už ska ič ių

a.

Rask i t e ska ič ius

a, b

ir

c.

1143.

Sk a i č i u s

a

s u d a r o 7 5 % s k a i č i a u s

b

i r 40% ska ič iaus

c.

Sk a i č i u s

c

y ra 42 v ie ne ta i s d id esn i s už ska ič ių

b.

R a sk i t e sk a i -

č ius

a

ir

b.

1144.

P a d a l i j u s n a t ū r i n į sk a i či ų

a

i š n a t ū r i n i o sk a i č i a u s

b,

g a u t a s d a l m u o

c

i r l iekana

d.

Ar ga l i bū t i v is i ska ič ia i

a, b, c

ir

d

n e l y g i n i a i ?

1145. Rask i t e dv iženk l ius ska ič ius , ku r ių k ie kv iena s 4 k a r t u s

d i d e sn i s u ž j o sk a i t m e n ų su m ą .

1146.

A r d a l i j a s i s k a i či u s 1 1 1 . .

Л

iš 81?

81 kar tą

1147.

įrod yk i te , ka d , p i rmin į ska ič ių pa d a l i ju s i š 30 , g a u ta

l i ekana y ra p i rmin i s ska ič ius a rba v iene tas .

1148.

D v ižen k l io ska ič iaus ka i rė je ir de š in ė je pu sė je b e rn iu -

kas pa ra šė po v ie ne tą . G av o ska ič ių , 23 ka r tu s d ide sn į už pr ad in į

dv ižen klį sk aičių . R ask ite tą dviž en klį ska ičių.

— 1149.

B e r n i u k a s n u b r a u k ė d v i ž e n k l i o sk a i č i a u s v i e n ą sk a i t m e -

nį i r ga vo sk aič ių , 31 k ar tą m až es nį už pr ad in į. Ku r ių dv iže nk l ių

ska ič ių ku rį ska i tm enį nu br au kė be rn i uk as ?

1150. Ke tu rženk l io ska ič iaus p i rmas i s i š ka i rės ska i tmuo y ra 7 .

Je ig u šį sk ai t m en į pe rke l tum e į pa sk ut in ę v ie tą , ta i ska ič iu s su -

m až ėtų 864 v ie ne ta is . Ra ski te pr ad in į ke turž en klį ska ič ių .

1151. Še š i a ž e n k l i o sk a i č i a u s p i r m a s i s i š k a i r ė s sk a i t m u o y r a 1.

Je ig u šį sk ai tm en į pe rke l tu m e į pa sk ut in ę v ie tą , ta i ska ič iu s p a-

did ėtų 3 k a r t u s . Ra sk ite tokį še šia že nk lį sk aičių.

1152.

J e i g u t a r p d v i ž en k l io s k a i č ia u s s k a i t m e n ų p a r a š y t u m e

jį pa tį, ta i g au tu m e ke tur že nk lį skaič ių , 77 k a r t u s d id esn į už

pradinį. Raskite tą skaičių.

1153. Ra ski te t r iženk lį skaič ių , ku r is lyg us dviž enk l io ska i -

č i a u s k v a d r a t u i ir v i e n a ž e n k l i o s k a i č i a u s k u b u i .

— 1154.

Įrodyki te , kad re išk in io 11

6

+ 1 4

6

—

13

3

r e ikšm ė y ra ska i -

č iaus 10 ka r to t in i s .

- — 1 1 5 5 .

Nu b r a i ž y k i t e š i ų f u n k c i j ų g r a f i k u s :

a )

y=

| * | - 3 ; b )

y =

4 - j * | .



м (а ) M (а )

69 pav.

156. K o or d inač ių ti e s ė j e ( 69 pav . ) pa žy m ėtas t a š k as Α ί( α ) .

T o j e pač io je koord inačių t i esė je parodyki te , kur apyt iks l i a i bus

t a š k a i А ( а

2

) , C(a

3

), D ( 1 ) .

1157. N a tū r in i s s ka ičius , p ad au g in t a s iš 2 , y r a na tū r in io s ka i -

č i a u s k v a d r a t a s , o p a d a u g i n t a s iš 3 — k u b a s . R a s k it e m a ž i a u s i ą

tok į sk ai čių .

1158. A n t ra s i š dv ie jų t r ižen kl ių ska ičių pa ra šy ta s t a i s p a-

č ia i s ska i tmenimis ka ip i r p i rmas i s , t ik a tv i rkšč ia tvarka . Ar ga l i

bū t i t ų t r i ženk l ių s ka ič ių s k i r t umas na tū r in io s ka ič i aus kvadr a -

tas?

1159. Įrodyki te , kad reiškinio 3"+

2

- 2 " +

2

+ 3

n

- 2 " re i k š m ė su

k i ekv i ena na tū r ine n r e ik š me y r a s ka ič i aus 10 ka r to t i n i s .

Π 6 0 . K uri d id es n ė: £ ± Į a r ?

1 16 1. P a d a u g i n u s d a u g i a n a r į 2 x

3

— 5x

2

— 7x — 8 iš d a u g i a n a r i o

ax* + bx+11, g a u t a s d a u g i a n a r i s , n e t u r i n t i s n e i x

4

, nei χ

3

. Ras-

k i t e koe f i c i en tus

a

ir

b

ir s u ž i n o k it e , k o k s d a u g i a n a r i s y r a g a u t a

s a n d a u g a .

1162. M ok iny s pa s ak ė s avo d r a ug u i : „A š s u ga lv o j au dv i ženk-

lį ska ičių , a tėm ia u iš jo ta is pačiais sk ai t m en im is , bet a tv i rkš čia

tva r ka pa r aš y tą s ka ičių ir ga va u l yg in io s ka ič i aus k va d r a tą" .

D r a ug as p ag a lv o jęs pa r e i š kė , kad ga u t a s s k i r t um as y r a 36 . A r

j i s t e i sus? Rask i te v i sus dv iženkl ius ska ič ius , tu r inč ius mokin io

pas tebėtą savybę.

- — 1 1 6 3 . R as k i t e du na tū r in iu s s ka ič ius , ku r ių s um a lygi 168 ,

o j ų bendr as d idž i aus i a s da l i k l i s 24 .

J ~ 1 16 4. I š s k a i d y k i t e d a u g i a n a r į d a u g i n a m a i s i a i s :

a ) X

s

- I - X

4

- 2 ; c ) n

4

+ 4;

b j

α

5

— α

2

— α — 1; d ) n

4

+ n

2

+ l .

Γ 1165. Įrodykite, kad p

2

— 1, ka i p — pi r m in i s s ka ič ius , d ide s n i s

už 3 , y ra ska ič iaus 24 kar to t in i s .

1166. Kiek detal ių tur i skaičius IO

10

?

1167. Raąki te visus pi rminius skaičius p i r

q,

su kur ia i s p

2

—

- 2 ^ = 1 .



1168. a ) Ar ga l i bū t i penkių i š e i lės e inančių na tūr in ių ska i -

č ių sum a p i rm in i s ska ič ius?

b) Ar ga l i bū t i penkių i š e i lės e in ančių n a t ū r in ių ska ič ių

k v a d r a t ų s u m a p i r m i n i s s k a i č i u s ?

1169. Su pr a s t in k i t e r e i šk inį

' ""1170 . {rodyki te , kad lygt i s x

2

-y

2

— 30 ne tu r i sp r en d in ių , i š-

re ik š tų sv e ik a is i a is sk a ič ia is (x i r y — abu sve ik ie j i sk a ič ia i ) .

1171. { rodyki te , kad nėra tokių s ve ikų jų koef ic ie n tų

a, b, c

ir d, s u k u r i a i s d a u g i a n a r i o а х

л

+

bx

2

+ cx + d reikšmė lygi 1, kai

X = 19, ir ly gi 2, ka i x = 62.

— 1172. J e i g u y y r a k i n t a m ų j ų

χ ir г a r i tme t in i s v idurk i s , t a i

χ

4

+ 2x

3

z — 2xz

3

— z* — 4x

2

y

2

+Ay

2

Z

2

lyg u nu l iui , {rodyk ite .

— 1173.

{rodykite , kad

na tū r in io ska ič iaus , ku r i s nė ra t r i jų ka r -

totinis ,

k v a d r a t o i r s k a i č i a u s

1

sk i r tum as y r a t r i jų ka r to t in i s .

— 1174. N u b r a i ž y k i t e l y g č i ų g r a f i k u s :

a ) ( x - 2 ) 0 / + 3 ) = 0 ; b)

х

2

+ хг/ = 0.

-— 1175.

N u b r a i ž y k i t e l y g č i ų g r a f i k u s :

a) y+\y\~xi b) Ij=X- |i/ |.

— 1176. I š s p r ę s k i t e

1178. S u k u r i o m i s n a t ū r i n ė m i s χ ir y r e i k š m ė m i s t e i s i n g a ly -

gybė 3 x + 7 i / = 23?

1179.

3 km ke l io nuo g yv en vie tės A ik i gy ve nv ie tės B e ina

į k al n ą, 6 km — į p a k al n ę ir 12 km — ly g u m a. Sį nu ot ol į mo to-

c ik l in ink as nu va ž i av o per 1 h 7 m in , o grįžd am as k e l ion ėje už-

t ru ko 1 h 16 m in . L yg um a j i s važ iav o 18 km /h g re ič iu . Kokiu

gre ič iu m oto c ik l in ink as va ž ia vo į ka ln ą ir kokiu — į pa ka ln ę?

1180. M okin ys tu rė j o p in igų 15

кар . ir 20 кар. m on e to m is .

Monetų

po 20

к а р . b u v o d a u g i a u n e g u

mone tų po 15

к а р . P e n k -

tąją dalį

v i s ų p i n i g ų m o k i n y s i š l e i d o , a t i d u o d a m a s

į

kasą dvi

monetas už bilietą į k iną . Pu sę l ikus ių p in igų , ku r iuo s su da rė

trys monetos , j i s sumokėjo už p ie tus . Kiek mone tų po 15

кар.

ir

kiek — po

20

к а р .

tu rė jo m ok inys i š p r adž ių?

( 2 + 1 ) (2

2

+ 1 ) ( 2

4

+ 1 ) (2

8

+ 1 ) ( 2

1 6

+ 1 ) ( 2

3 2

+ 1 ) .

lygčių

s i s t e m ą :

1177.

I š s p r ę s k i t e

tx+y=~3,

lygčių

У + 2 = 6,

s i s te m ą : [ z + x = l .



1181 . J e ig u sug a lv o t ą dv ižen k lį ska ič ių pa da ly tu m e i š jo ska i t -

m enų sum os , t a i g a u t u m e d a lm en į 4 ir l i ek aną 3 . O je igu i š su -

g a l v o t o s k a i č i a u s a t i m t u m e j o s k a i t m e n ų d v i g u b ą s u m ą , g a u t u m e

2 5 . K o k s s u g a lv o t a s s k a ič iu s ?

1182. D vie juo se in du os e, k ur i ų ta lp a 144 1 ir 100 1, yra v an -

d en s . J e ig u i š m až es n io i n d o į d id es n į p e r p i l t u m e ti ek v an d e n s ,

k ad d id es n y s i s b ū tų p i l n a s , t a i m ažes n i am e in d e l i k tų i - j am e

bu vu s io va nd en s . O je ig u i š d id esn io ind o į m až esn į pe rp i l tu m e

t i ek v an d en s , k ad p as t a r a s i s b ū tų p i l n a s , t a i d id es n i am e in d e

l ik tų J ^ j am e b u v u s io v an d en s . K iek l i t r ų v an d en s y r a k i ek v ie -

n a m e i n d e ?

1183 . V ien am e inde y ra 49 1 va nd en s , o k i tam e — 56 1. J e ig u

i š an t r o i n d o p r ip i l t u m e p i ln ą p i r m ą jį , t a i an t r am e in d e v an d en s

bū tų ik i pu sės . O je ig u an t r ą indą p r ip i l tu m e p i lną v a n de n s i š

p i rmojo , t a i bū tų p r ip i ldy tas t ik t r ečda l i s p i rmo indo . Kokia k iek-

v i en o in d o t a lp a?

1 18 4. A u to b u s as ir m ar š r u t i n i s t ak s i , k u r i e i š v y k s t a p a g a l

tv ar k ar aš tį 8 h 40 m in v i en as p r ieš a i s k i tą i š Λ ί- i r N, p a p r a s t a i

sus i t inka 8 h 52 min .

V ien ą k a r tą m ar š r u t i n i s t ak s i 8 m in p av ė -

lav o išvyk t i . Todėl su au tob usu sus i t iko 8 h 57 m in . N uo to l i s

ta rp M i r N ly gu s 24 km . Rask i te a ut ob us o grei tį i r taks i ' gre i tį.

1185. I š gyvenvietės A į gy ve nv ietę B, t a r p k u r ių n u o to l i s

37 km, v ienodu greič iu išvyko du autobusai : p inmas 7 h 18 min,

an t ras 7 h 48 min . Dvi ra t in inkas , 7 h 28 min i švaž iavęs i š gy-

v e n v i e t ė s B į gy ve nv iet ę A, sus i t iko p i rmą autobusą 7 h 58 min,

0 a n tr ą jį — 8 h 19 m in. R aski te dv ira t in in ko gre i tį ir au to bu sų

greitį.

1186. A ts tu m as t ar p m ies tų M i r K yr a 70 km . Iš jų tuo pačiu

m e tu v i en as p r i e š a i s k i t ą i š v y k o au to b u s as i r d v i r a t i n in k as , k u r i e

sus i t iko po 1 h 24 min . To l iau va ž i uo da m as tok iu pač iu g re ič iu ,

au to b us as a tvy ko į m ies tą K ir, pa s to vė jęs 20 min , i šva ž ia vo tu o

p ač iu r e i s u a tg a l . G r į žd am as j i s p r a l en k ė d v i r a t i n in k ą , p r aė ju s

2 h 41 m in nu o jų p i rmo sus i t ik im o. R ask i te au to bu so gre i tį ir dvi-

ra t in inko grei tį .

1187. I š tu r is t in ės ba zės A į gy ve nv iet ę B išėjo tu r i s t a s . P o

1 h 20 min i š tu r i s t inės bazės A ta pač ia k ryp t imi i švaž iavo dv i -

ra t in in ka s , kur i s po 30 m in ap le nk ė tu r i s tą . A tv ykęs į gyve nv ie -

tę B, d v i r a t i n i n k a s n e s u s t o d a m a s p a s u k o a t g a l . K a i g r į ž d a m a s

s u s i t i k o t u r i s t ą , b u v o p r aė ję p u s an t r o s v a l an d o s n u o jų p i r m o jo



sus i t ik imo . Ats tumas nuo tu r i s t inės bazės A ik i gyvenv ie tės B

lyg us 24 km. Koks tu r i s to g re i t i s ir koks — dv i r a t in ink o?

1188. Tik ką i škas tose anglyse yra 2% vandens , n dv i savai -

t e s pabuvus ios o re jo s tu r i 12% vandens . Kiek k i log ramų pad i -

dė jo masė tonos i škas tų ang l ių , dv i sava i t e s pabuvus ių o re?

1189. Du bro l ia i d ra u g e e ina i š m oky klos į n a m u s v ien od u

gre ič iu . K ai ią p i ra t as bro l i* , pa ėjė ja s 15 m in , pas i le ido į mo-

kyklą i r , a tbėgęs ik i jos , tuo j pa t p radėjo vyt is an t rą jį . Tuo metu

antras bro l i s , du kar tus sumažinęs gre i tį , ė jo to l iau . Kai p i rmas

bro l is pas iv i jo an t rą jį , j ie ė jo prad in iu v ienodu gre ič iu i r g rįžo

į na m u s 6 min vėl iau n egu v is ad a . Kiek ka r tų gre ič iau bėgo

pirmas bro l i s negu ė jo abudu bro l ia i?

1190 . Dv ie jose s t a t inėse buvo po lyg ia i vandens . P i rmoje s t a -

t inė je i š p radž ių sumažė jo vandens 10%, po to pad idė jo 10%.

Ant ro je s t a t inė je i š p radž ių pad idė jo vandens 10%, po to su -

m a ž ė j o 1 0 % - Ku r i o j e s t a t i n ė j e d a b a r y r a d a u g i a u v a n d e n s?

1191. Kiek proc en tų p ad id ės s ta č iak am pi o p lo tas , je ig u jo ilgį

pa di d in s im e 20% , o p lo tį 10% ?

1192. T ra u ki n ys iš A į B va ži av o 60 km /h gre ičiu, o iš β į Л

20 km/h lėč iau . Koks t r auk in io v idu t in i s g re i t i s?

1193. D vie jų ska ičių , kur ie n es id a l i j a v ie na s iš k i to , b en dr as

m a ž i a u s i a s k a r t o t i n i s l y g u s 9 0 , o j ų b e n d r a s d i d ž i a u s i a s d a l i k l i s

yra 6 . Raskite tuos du skaičius.

— 1194. P a ra šy k i t e r e i šk inį

2x

2

+ 2y

2

d v i e j ų d a u g i a n a r i ų k v a d -

r a t ų su m a .

— 1195. P a ra šy k i t e r e i šk inį 24x // dv ie jų d au g i an ar ių kv ad ra t ų

sk i r tumu .

— 1196 . Pa rašyk i t e r e i šk inį

2a (a

2

+ 3b

2

)

d v i e j ų d a u g i a n a r i ų k u b ų

su m a .

— 1197. P a r aš yk i t e r e i šk inį

2b(3a

2

+ b

2

)

d v i e j ų d a u g i a n a r i ų k u -

bų sk i r tumu.

_ 1198. Lygybė

2χ« + χ 3 - 4 1 χ

2

+ 8 3 χ - 4 5 =

(ax

2

+ bx+c)

(x

2

+ 4 x - 9 )

y ra

t a p a t y b ė . R a sk i t e d a u g i a n a r i o

ax

2

+ bx + c

k o e f i c i e n t u s

a, b

ir

c.

—- 1199. S ud ary ki t e še š to jo la ipsn io d au g ia n ar į su k in ta m uo ju x ,

a t s i ž v e l g d a m i

1

į ta i, kad su k iek vie na χ r e i k š m e d a u g i a n a r i o

re ikšmė: a ) t e ig iama; b ) ne ig iama .

:

1200 . Rask i t e v i sa s na t ū r i n ių ska ič ių po ras , t en k in an č ias lyg tį

l i x + 8 y = 1 0 4 .



I V - V K L A S E S M A T E M A T I K O S K U R S O

Ž I N I O S

Skaič ių da lumas

1. Sakykime, kad a ir b — na tūr in i a i ska ič ia i ir, pa da -

l i j u s a iš b, g a u n a m a s d a l m u o q i r l iekana r . Tada a=bq + r·,

čia q ir r — na tūr in ia i ska ičia i a rb a nu l i s , be to , r<b. Pavyz-.

džiui ,

127 |_35

105 3 127 = 3 5 - 3 + 22.

22

2 . Je igu na tū r in i s ska ič ius a da l i j a s i i š na tū r in io ska ič i aus b,

t a i ska ič ius a v a d i n a ma s s k a i č i a u s b k a r t o t i n i u , o b — s k a i či a u s a

dal ikl iu . Tai reiškia , kad

a = bq\

čia

q

— na tū r in i s ska ičius . Pa -

vyzdž iu i , 62 yra ska ič iaus 31 ka r to t in i s , 31 — ska ič iaus 62 da-

liklis, ne s 62 = 31 - 2.

3 . Pi rm in iu ska ič ium i v ad ina m as toks -na tū r in is ska ič ius , ku-

ris t ur i t ik du da lik liu s — vie ne tą ir pa tį tą sk aičių.

Sudė t in iu ska ič iumi vad inamas toks na tū r in i s ska ič ius , ku r i s

tur i daugiau ka ip du da l ik l ius .

Pavyzdžiui, skaičiai 2, 3, 5, 7, 43, 109 yra pirminiai , o skai-

čiai 4, 12, 35 — sud ėtini ai .

K iekvieną su dėt inį skaičių ga l im a išsk aid yt i p i rm iniais da u-

g inamai s i a i s , be to , v i en in te l iu būdu . Pavyzd iu i , 630=2 · 3

2

· 5 · 7.

4 . N orin t ras t i kel ių skaičių be nd rą ma žia us ią ka rto t in į, re i -

k ia i šska idyt i tuos ska ič ius p i rmin ia i s dauginamais ia i s i r ras t i

v i s ų g a u t ų p i rmi n i ų d a u g i n a mų j ų s a n d a u g ą , i ma n t k i e k v i e n ą

d a u g in am ąjį su d id ž iau s iu rod ik l iu . Pav yzd žiu i , 72 =

2

3

- 3

2

;

180

=

= 2

2

· 3

2

· 5 ir 600 = 2

3

· 3 · 5

2

. Skaičių 72, 180 i r 600 bendras ma-

ž i a u s i a s k a r t o t i n i s l y g u s 2 ^ - 3 ^ - 5 ^ = 1 8 0 0 .

Norint rast i kel ių skaičių bendrą didžiausią dal iklį , re ikia

i š ska idy t i t uos ska ič ius p i rmin ia i s daug inamai s i a i s i r r a s t i bendrų



p i rm i n i ų d a u g i n a m ų j ų s a n d a u g ą , i m a n t k i ek v i en ą d a u g i n a m ą j į

su maž iaus iu rod ik l iu . Pavyzdž iu i , ska ič ių 72 , 180 i r 600 bendras

d i dž i a us i a s da l i k l i s l ygus 2

2

- 3 , t . y. sk aičiu i 12.

5. Je i gu ska ič iaus p ask u t in i s sk a i tm uo yra 0 a rb a 5 , t a i j i s

da l i j a s i i š 5 . J e i gu ska ič ius ba ig ia s i be t ku r iuo k itu sk a i tm en iu ,

ta i j i s nes ida l i ja i š 5 .

Je igu ska ič iaus pasku t in i s ska i tmuo yra lyg in i s , t a i j i s da l i -

j a s i i š 2 . J e i gu ska ič ius b a ig ia s i ne ly g in iu ska i tm eniu , t a i j i s

nes ida l i ja i š 2 .

Je igu ska ič iaus ska i tmenų suma da l i j a s i i š 3 , t a i i r ska ič ius

da l i j a s i i š 3 . J e i gu ska ič iaus sk a i tm enų sum a n es id a l i j a i š 3 ,

ta i i r ska ičius nes ida l i ja i š 3 .

Je igu ska ič iaus ska i tmenų suma da l i j a s i i š 9 , t a i i r ska ič ius

da l i j a s i iš 9 . J e ig u ska ič iaus sk a i tm en ų su m a n es i da l i j a i š 9 , t a i

i r ska ičius nes ida l i ja i š 9 .

P a p r a s t o s i o s t r u p m e n o s

6 . T a i s y k l i n g ą j a v a d i n a m a t r u p m e n a , k u r i o s s k a it ik l is m a -

žesnis už vardiklį .

N e t a i s y k l i n g ą j a v a d i n a m a t r u p m e n a , k u r i o s s k a i t i k l i s d i d e s -

nis už va rdi klį a rb a ja m lyg us .

7 . P a g r i n d i nė t r u pm e no s s a v ybė : t r up m e n os s ka i ti k l į ir va r -

d ik lį pa da ug i n us a r ba p a d a l i j u s iš t o pa t i e s na t ū r i n i o s ka i č i a us ,

ga un a m a t r u pm e n a , Iygil du o t a j a i .

8 . No r in t r a s t i t r up m en ų be nd rą m až ia us ią va rd ik lį, r e ik i a

r a s t i t r upme nų va r d i k l i ų be nd r ą ma ž i a us i ą ka r t o t i nį ; pa da l i j u s

ben drą m až ia us ią ka r to t inį i š k i ekv ieno va rd ik l io , a psk a ič iuo t i

pap i ldo m us d au g ik l ius ; k i ekv ienos t r up m en os ska i t ik lį ir va rd ik lį

pa da ug i n t i i š a t i t i nka mo pa p i l domo da ug i k l i o . P a vyz dž i u i , i š -

1 7 5

r e ik š k im e t r u p m e n a s — , — , — t r u p m e n o m i s su b e n d r u m a ž i a u s i u

o 12 Io

va r d i k l i u . B e nd r a s ma ž i a us i a s va r d i k l i s l ygus 36 :

L - M j = A - 7 _ 7 -3 21 . 5 ^ 5 - 2 _ 10

6 6 - 6 3 6 ' 12 1 2 - 3 3 6 * 1 8 ^ 1 8 - 2 3 6 '

9. S u de da n t t r u pm e n a s s u v i e nod a i s va r d i k l i a i s , p r ie p ir mob

t r upme nos s ka i t i k l i o p r i de da ma s a n t r o s t r upme nos s ka i t i k l i s ,

o va r d i k l i s pa l i e ka ma s t a s pa t s . A t i ma n t t r upme na s s u v i e noda i s



v a r d ik l i a i s , i š p i r m o s t r u p m en o s s k a i t i k l i o a t im am as an t r o s t r u p

rnenos ska i t ik l i s , o vard ik l i s pa l iekamas tas pa t s . Pavyzdž iu i :

7

i

~ 7 ' 7 ' 5 5 5

S u d ed an t a r b a a t im an t t r u p m en as s u s k i r t i n g a i s v a r d ik l i a i s ,

p r i e š t a i r e ik i a j a s s u b en d r av a r d ik l i n t i .

10. No r in t s ud au g in t i dv i t ru pm en as , r e ik ia a t sk i ra i sudau^

g in t i jų ska i t ik l ius ir va rd ik l ius ; p i rmoj i s a n da u ga b us g au to s

t ru pm en os ska i t ik l i s , o an t ro j i — va rd ik l i s . Pav yzd ž iu i , ~ .

J D

- JL

15 *

N orin t pa da lyt i v ieną t ru pm en ą iš k i tos , re ik ia dal in į pa da u-

g in t i iš t rup m en os , a tv i rkš t in ės da l ik l iu i . Pa vy zd ž iu i , y : —

= - 3 . 5

_

J5

7 ' 4 28 '

D e š i m t a i n ė s t r u p m e n o s

11 . A pv al in an t d eš im ta in ę t ru pm en ą ik i kur io no rs skyr iaus ,

v i s i po to skyr iaus e inan tys ska i tmenys pake ič iami nu l ia i s . J e igu

t ie nu l ia i y ra po kab le l io , j i e nubrauk iami . J e igu po to skyr iaus

pir m as is s ka i tm uo yra 5 , 6 , 7 , 8 arb a 9 , ta i pa sk ut in is pa l iek a-

m as s k a i tm u o p ad id in am as v i en e tu . J e ig u p o t o s k y r i au s p i r m a-

s is sk ai t m uo yra 0 , 1, 2 , 3 arba 4 , ta i pa sku t in is pa l ie ka m as

s k a i tm u o n ek e ič i am as . P av y zd ž iu i , 2 , 8 1 9 5 ^ 2 , 8 ; 4 , 3 5 6

—

4,4.

12. D e š im ta in ė s t r u p m en o s s u d e d am o s ir a t im am o s p as k y r iu i

i r rašomos viena po ki ta ta ip , kad kable l is būtų po kable l iu . Pa-

v y zd ž iu i :

. 3,4691 68,3

+ 48.63 5,275

52,0991 63,025

13 . Nor in t padaug in t i v ieną deš imta inę t rupmeną i š k i tos , r e i -

k ia sud au g in t i j a s , nekre ip ian t dėme s io į kab le l ius , po to gau to je



s an d au g o je a t s k i r t i k ab l e l i u i š d e š in ė s t i ek s k a i tm en ų , k i ek j ų

y r a p o k a b l e l i o a b i e j u o s e d a u g i n a m u o s i u o s e . P a v y z d ž i u i :

4 . 3 , 0 6

x

2,4

, 1224

612

7,344

Nor in t pada ly t i v ieną deš imta inę t rupmeną i š k i tos , r e ik ia

da l in yj e ir d al ik ly je perk el t i kab le lį į de š in ę per t iek sk ai tm en ų,

k iek jų y ra po kab le l io da l ik ly je , po to pada ly t i i š na tū r in io

s k a ič i au s . P av y zd ž iu i :

1 2 , 0 9 6 : 2 , 2 4 = 1 2 0 9 , 6 : 2 2 4 ,

224

209,6

"1120

896

"896

5,4

14. N or in t pa da ug in t i de š im ta in ę t ru pm en ą i š 10", r e ik ia to s

t ru pm en os ka b le lį perke l t i pe r n ska i tm en ų į deš in ę . N or in t p a-

da ly t i de š im ta in ę t ru pm en ą i š 10", r e ik ia tos t ru pm en os kab le lį

perke l t i pe r n ska i tm enų į ka i rę . P av yz dž iu i :

8 ,3 72 -1 00 = 837 ,2 ;

3,4 : 1 00 0 = 0,003 4.

Teig iam ieji ir neig iam ieji skaičiai

15. Te ig i am o jo s k a ič iau s ir n u l io m o d u l iu v a d in am as p a t s

t a s s k a ič iu s . N e ig i am o jo s k a ič i au s m o d u l iu v ad in am as j am p r i e -

š in g as t e ig i am as s k a ič iu s . S k a ič i au s a m o d u l i s žy m im as t a ip :

\a\. P a v y z d ži u i, | 3 , 6 | = 3 , 6 , | 0 | = 0 , | - 2 , 8 | = 2,8. S k a i či a u s m o -

d u l i s t a ip p a t v ad in am as s k a ič i au s ab s o l iu č iu o ju d id u m u .

16. N or in t sudė t i du ne ig iam uo s iu s ska ič ius , r e ik ia sud ė t i jų

m o d u l iu s i r g au tą r ezu l t a tą p a r a š y t i s u m in u s o žen k lu .

Nor .n t sudėt i du skaičius , kur ių nevienodi ženklai , re ik ia iš

d ide sn io m odu l io a t im t i m až esn į ir ga u t ą rez u l ta t ą pa ra šy t i su

ženk lu to dėmens , kur io d idesn is modul i s .

D v ie jų p r i e š in g ų jų s k a ič ių s u m a ly g i n u l iu i .



P av yz d žiu i, - 3 , 4 + ( - 1 , 8 ) = - 5 , 2 ; 2 , 5 + ( - 4 , 1 ) = - 1 , 6 ; - 3 , 6 +

+ 3,6 = 0.

17 Nor int a t imt i i š v ieno ska ičiaus k i tą , r e ik ia pr ie tur in io

p r i dėt i s ka ičių , p r ie š in g ą at ėm i n iu i . P a v y zd ž iu i , - 5 - 1 , 9 = - 5 +

+ ( - 1 , 9 ) = - 6 , 9 .

18. No r in t sud au g i n t i du ne ig iam uo s iu s ska ič ius , re ik i a su -

da ug i n t i j ų modu l i u s .

Nor in t sudaug in t i du ska ič ius , kur ių nev tepod i ženk la i , r e ik i a

s u da ug i n t i j ų m odu l i u s ir ga u t ą r e z u l t a t ą pa r a š y t i s u m i nus o

ženk lu .

P av yz d žiu i, - 1 , 2 - ( - 8 ) = 9 ,6 ; - 3 - 1 , 2 = - 3 , 6 .

19. No r int p ad a ly t i n e i g ia m ąjį ska ičių i š ne igia m ojo , re ik ia

da l in io m od ulį pa da lyt i i š da l ik l io m od ul io .

Nor in t pada ly t i du ska ič ius su nev ienoda i s ženk la i s , r e ik i a

da l in io m odu lį pa da lyt i i š da l ik l io m od ul io ir g au tą rez ul ta tą

pa ra šy t i su minuso ženk lu .

P av yz d žiu i, - 4 , 8 : ( - 2 , 4 ) = 2 ; 5 , 5 : ( - 5 ) = - 1 , 1 .

20 . Ke l ių ska ič ių a r i tme t in iu v idurk iu vad inamas da lmuo , gau-

t a s pada l i jus tų ska ič ių sumą i š dėmenų ska ič iaus .

N or int ra st i ke l ių sk aičių ar i tm et in į vid ur kį, re ikia tų sk aičių

sumą pada ly t i i š dėmenų ska ič iaus .

21. D v i e j ų s a n t yk i ų l ygybė va d i na m a p r opo r c i j a . P a vyz dž i u i ,

lygybė 2,5 : 5 = 3 ,5 : 7 yra pro po rc i ja . Sk a ičia i 2 ,5 i r 7 — k raš t in ia i

p ro po rc i jos na r i a i . Ska ič ia i 5 ir 3 ,5 — v id ur in ia i p ro po rc i jo s na -

r i a i . T e i s i ngos p r opo r c i j o s k r a š t i n i ų na r i ų s a nda uga l yg i v i du r i -

n i ų na r i ų s a nda uga i . G a l i ma s uke i s t i v i e t omi s p r opo r c i j o s k r a š t i -

n i u s a r ba v i du r i n i u s na r i u s .

Ve iksmų savybės

22.

Sudėties perstatymo savybė.

S u ke i t u s dėme n i s v i e t omi s ,

sumos r e ikšmė nepas ike ič ia .

Sudėties jungimo savybė.

N or in t pr id ėt i pr ie dv ie jų ska ičių

•sumos t rečią ska ičių , ga l ima pr ie p i rmo ska ičiaus pr idėt i ant ro

ir t rečio skaičių sumą.

Daugybos perstatymo savybė. S u k e i t u s d a u g i n a m u o s i u s v i et o-

mi s , s a nda ugos r e i k š mė ne pa s i ke i č i a .



Daugybos skirstymo savybė.

N o r i n t p a d a u g i n t i sk a i či ų i š su -

sa n d au g ą i š t r eč i o sk a i č i au s , g a l i m a p i r m ą sk a iči ų p ad au g i n t i i š

an t r o i r t r eč i o sk a i č i ų s an d au g o s .

Daugybos jungimo savybė.

No r i n t p ad au g i n t i d v i e j ų sk a i č i ų

mos , ga l ima sudaug in t i tą ska ič ių su k iekv ienu dėmeniu i r gau tus

rezu l t a tus sudė t i . .

23 . Je igu r e i šk inys ne tu r i sk l i aus tų , t a i apska ič iuo jan t jo r e ikš -

m ę

p i r m i a u s i a k e l i a m a l a i p s n i u , t a d a d a u g i n a m a i r d a l i j a m a ,

p o

t o su d e d a m a i r a t i m am a . S u d e d a m a ir a t i m am a , k a i p ir d au -

g i n a m a

b e i d a l i j am a , t o k i u n u o sek l u m u , k o k i u p a r a šy t i š i e v e i k s -

mai.

Je i g u r e i šk i n y s su sk l i au s t a i s , t a i p i r m i au s i a a t l i ek am i v e i k s -

m a i s k l i a u s t u o s e .



KVADRATŲ LENTELE

N

0 1

2 3 4

5 6

7

8

9

1.0

1,000

1,020

1,040 1,061 1,082 1,103 1,124

1,145

1,166 1,188

1,1

1,210

1,232

1,254

1,277

1.300

1,323

1,346

1,369

1,392

1.416

1 ,2

1,440 1,464

1,488 1,513 1,538

1,563

1,588 1,613

1,638

1,664

1

,3 1,690 1,716 1,742 1,769 1,796 1,823 1,850 1,877 1,904 1,932

1,4

1,960 1,988

2,016

2,045 2,074

2,103

2,132 2,161

2,190 2.220

1,5

2,250

2,280

2,310 2,341

2,372

2,403

2,434 2,465

2,496

2,528

1,6

2,560

2,592

2,624

2,657

2,690

2,723

2,756

2,789

2,822

2,856

1,7

2,890

2,924

2,958 2,993 3,028

3,063

3,098 3,133

3,168

3,204

1,8

3,240

3,276

3,312 3,349

3,386

3.423

3,460

3,497

3,534

3,572

1,9

3,610

3,648 3.686 3,725

3,764

3,803 3,842

3,881

3,920

3,960

2 , 0

4,000 4,040 4.080 4,121 4,162

4,203 4,244 4,285

4,326

4,368

2,1

4,410 4,452

4,494 4,537

4,580

4,623

4,666

4,709

4,752

4,796

2 ,2

4,840 4,884

4,928 4,973

5,018 5,063

5,108

5,153

5,198

5,244

2,3

5,290 5,336 5,382 5,429 5,476 5,523 5,570

5,617

5,664

5,712

2 ,4

5,760 5,808

5,856 5,905

5,954 6,003

6,052

6,101

6,150

6,200

2,5

6,250

6.300 6,350

6,401 6,452 6,503

6,554

6,605

6,656

6,708

2 ,6

6,760

6,812

6,864

6,917 6,970

7,023

7,076

7,129

7,182

7,236

2,7

7,290 7,344 7,398 7,453 7,508 7,563

7,618

7,673

7,728

7,784

2,8

7,840

7,896 7,952

8,009 8,066

8,123 8,180

8,237

8,294

8,352

2 ,9

8,410

8,468 8,526

8,585 8,644

8,703 8,762

8,821

8,880

8,940

3 ,0

9,000 9,060 9,120

9,181 9,242 9,303 9,364 9,425

9,486

9,548

3 ,1

9,610

9,672

9,734

9,797 9,860

9,923

9,986 10,05

10,11

10,18

3,2

10,24

10,30

10,37

10,43 10.50

10,56 10,63 10,69 10,76

10,82

3,3 10,89 10,96 11,02 11,09 11,16 11,22 11,29 11,36 11,42 11.49

3,4

11,56

11,63

11,70 11,76 11,83

11,90 11,97 12,04

12,11

12,18

3,5

12,25

12,32

12,39 12,46

12,53

12,60

12,67

12,74

12,82

12,89

3,6

12,96

13,03

13,10 13,18

13,25

13,32 13,40 13,47

13.54

13,62

3,7 13,69

13.76

13,84

13,91 13,99

14,06 14,14 14,21

14,29

14,36

3,8

14,44 14.52

14,59 14.67

14,75

14,82

14,90

14,98 15,05

15,13

3,9

15,21 15,29

15,37

15,44 15,52

15,60

15,68

15,76

15,84

15,92

4 , 0 16,00

16,08

16,16 16,24

16,32

16,40

16,48

16,56

16,65

16,73

4,1

16,81

16,89

16,97 17,06 17,14

17,22 17,31 17,39

17,47

17,56

4 ,2

17,64 17.72 17,81 17,89 17,98 18,06 18,15 18,23

18,32

18,40

4

,3

18,49

18.58

18,66 18,75 18,84 18,92 19,01 19,10 19.18 19,27

4 ,4 19,36

19,45

19,54

19.62 19,71

19,80

19,89 19,98

20,07

20,16

4 ,5

20,25 20,34 20.43

20,52 20,61

20,70

20,79

20.88

20,98

21,07

4,6

21,16 21,25

21,34

21,44

21,53

21,62 21,72 21,81

21,90

22,00

4,7 22,09

22,18 22.28

22,37

22,47 22,56

22,66 22,75

22,85

22,94

4,8 23,04

23,14 23,23

23,33 23,43

23,52

23,62 23,72

23.81

23,91

4 ,9

24,01 24,11

24,21

24,30 24,40 24,50

24,60

24,70

24,80

24,90

5,0

25,00

25,10

25,20

25.30 25,40

25,50 25,60

25,70 25,81

25,91

5,1

26,01 26,11

26,21

26,32 26,42

26,52

26,63

26,73

26.83

26,94

5,2

27,04

27,14

27,25 27,35 27,46 27,56 27,67 27,77 27,88 27,98

5,3

28,09 28,20 28,30

28,41 28,52

28,62

28,73

28,84

28,94

29,05

5,4

29,16

29,27

29.38

29.48 29,59 29.70

29,81

29,92 30,03

30,14

N

0

I

2

3

4

5

6 7

8

9



S

0 1

2

3

4 5

6 7

8 9

5,5

30,25

30,36 30,47

30,58

30,69

30,80

30 ,91

3 1 , 0 2

3 1 , 1 4

3 1 , 2 5

5,6

3 1 , 3 6

3 1 , 4 7 3 1 , 5 8

31 ,70 31 ,81

3 1 , 9 2

32,04

3 2 , 1 5

32,26 32.38

5,7

32,49

32,60 32,72

32,83

32,95 33.06

3 3 , 1 8

33,29

33 ,41

33,52

5,8

33,64

33,76 33,87

33.99 34,11

34,22

34,34

34,46

34,57 34,69

5,9

3 4 , 8 1

34,93 35,05

3 5 , 1 6 35,28

35,40

35,52

35,64

35,76 35,88

6,0

36,00

3 6 , 1 2

36,24

36,36

36,48

36,60

36,72

36,84

36,97

37,09

6,1 37 ,21

37,33 37,45

37,58 37,70

37,82

37,95

38,07

3 8 , 1 9

38,32

6,2

38,44

38,56

38,69

38 ,81

38,94

39,06

39 ,19 39 ,31

39,44

39,56

6,3

39,69

39,82

39,94

40,07 40,20 40,32

40,45 40,58

40,70

40,83

6,4

40,96

4 1 , 0 9

4 1 , 2 2

41 ,34 41 ,47

41 ,60

4 1 , 7 3

41 ,86

4 1 , 9 9

4 2 , 1 2

6,5

42,25

42,38

42,51

42,64 42,77 42,90

43,03

43 .16

43,30

43,43

6,6

43,56

43,69

43,82

43,96 44,09

44,22

44,36

44,49 44,62 44.76

6,7

44,89 45,02 4 5 , 1 6 45,29 45,43 45,56 45,70 45,83 45,97 4 6 , 1 0

6,8

46,24

46,38

46 ,51

46.65

46,79

46,92

47,06

47,20

47,33

47,47

6,9

47 ,61

47,75

47,89

48,02

48 ,16

48,30

48,44 48,58

48,72

48.86

7,0

49,00

49 ,14

49,28

49,42 49,56

49,70

49.84

49,98

5 0 , 1 3

50,27

7,1

50 ,41

50,55 50,69

50,84

50,98

5 1 , 1 2

5 1 , 2 7

51,41

5 1 , 5 5 5 1 . 7 0

7,2

51 ,84

5 1 , 9 8

5 2 , 1 3

52,27

52,42

52,56

52 ,71

52,85

53,00

53 ,14

7,3

53,29

53,44

53,58

53,73 53,88

54,02

5 4 , 1 7

54,32

54.46

54 .61

7,4

54,76

54 ,91 55,06

55.20

55,35

55,50

55,65

55.80

55.95

56 ,10

7,5

56,25

56,40 56,55

56,70

56,85

57,00

5 7 , 1 5

57,30

57,46

57,61

7,6

57,76

57 ,91

58,06

58,22

58,37

58,52

58,68 58,83

58,98

59 .14

7,7

59,29 59,44 59,60 59,75 59 ,91 60,06 60.22 60,37 60,53 60,68

7,8

60,84

6 1 , 0 0 6 1 , 1 5

61 ,31

6 1 , 4 7 6 1 , 6 2

6 1 , 7 8

61 ,94

62,09

62,25

7,9

62 ,41

62,57

62,73

62,88 63,04

63,20 63,36 63,52

63,68

63,84

8,0

64,00

6 4 , 1 6 64,32

64,48

64,64

64,80

64,96

6 5 , 1 2

65,29

65,45

8,1

65,61

65,77 65,93

6 6 . 1 0 66,26

66,42

66.59

66,75

66 ,91

67,08

8,2

67,24

67,40 67,57 67,73

67,90 68.06 68. 23

68,39

68.56

68,72

8,3

68,89

69,06

69,22 69,39 69,56

69,72 69.89 70,06

70.22

70,39

8,4

70,56

70,73 70,90 7 1 , 0 6 7 1 , 2 3

7 1 , 4 0

71 ,57

71 ,74

71,91

72,08

8,5

72,25 72,42

72,59

72,76

72,93

7 3 , 1 0 73,27 73,44

73,62

73,79

8,6

73,96

7 4 , 1 3

74,30

74,48

74,65

74,82

75.00

7 5 , 1 7

75,34

75,52

8,7

75,69 75,86 76,04 76.21 76,39 76,56 76.74 76,91 77.09 77,26

8,8

77,44 77,62

77,79

77,97

78 ,15

78,32 78,50 78,68

78,85

79,03

8,9

79 ,21 79,39

79,57 79,74 79,92

8 0 , 1 0 80.28

80.46

80,64

80,82

9,0

8 1 , 0 0 8 1 , 1 8

8 1 , 3 6

81 .54

8 1 , 7 2

8 1 , 9 0 82,08 82,26

82.45

82,63

9,1

82 ,81

82,99

8 3 , 1 7

83.36

83,54 83,72 83,91

84,09 84.27

84,46

9,2

84.64

84,82

8 5 , 0 1 8 5 , 1 9

85,38 85,56 85.7 5 85.9 3

8 6 , 1 2

86,30

9,3

86,49

86,68

86,86 87.05

87,24

87.42

87,61 87,80 87,98

88 ,17

9,4

88,36 88,55

88,74

88,92

89,11

89,30

89.49 89,68

89.87

90,06

9,5

90,25

90,44 90,63

90,82

91 ,01

9 1 , 2 0

9 1 , 3 9

9 1 , 5 8

9 1 , 7 8

9 1 , 9 7

9,6

9 2 , 1 6

92,35

92,54

92,74 92,93 9 3 , 1 2 93.32

93 ,51

93,70

93.90

9,7

94,09 94,28

94,48

94,67

94,87

95,06 95,26

95,45

95,65

95.84

9,8

96,04 96,24

96,43

96.63 96,83 97,02

97,22

97,42 97 ,61

97,81

9,9

98 ,01

98 ,21 98 ,41

98,60

98,80

99,00 99,20

99,40

99,60 99.80*

N

0 1

2 3

4

5 6

7 8

9



D Y D Ž I Ų V I E N E T A I

I l g i o v i e n e t a i

I k i lo m etras (km) = 1000 m etr ų (m)

1 m e t r a s ( m ) = 10 de c im e t r ų ( dm ) = 100 c e n t im e t r ų ( c m )

1 de c im e t r a s ( dm ) = 10 c e n t im e t r ų ( c m )

1 c e n t im e t r a s ( c m ) = 10 m i l im e t r ų ( m m )

P l o t o v i e n e t a i

1 k v a d r a t i n i s k i l o m e t r a s ( k m

2

) = 1 0 0 0 0 0 0 k v a d r a t i n i ų m e t r ų ( m

2

)

I k v a d r a t i n i s m e t r a s ( m

2

) = 100 kv a d r a t in ių de c im e t r ų ( dm

2

) = 10 000 kv a d r a t i -

n ių c e n t im e t r ų ( c m

2

)

1 he k t a r a s ( ha ) = 100 a r ų ( a ) = 10 000 kv a d r a t i n ių m e t r ų ( m

2

)

1 a r a s ( a ) = 100 kv a dr a t in ių m e t r ų ( m

2

)

M a s ė s v i e n e t a i

1 tona ( t ) = 1000 ki lo gr am ų (k g)

1 c e n tne r i s ( c n t ) = 100 k i l og r a m ų ( kg )

1 k i lo g r a m a s ( kg) = 1000 g r a m ų ( g )

1 g r a m a s ( g ) = 1000 m i l ig r a m ų ( m g)

T ū r i o v i e n e t a i

i kub in i s m e t r a s ( m

3

) = 1000 ku bin ių dec ime trų (dm

3

) = 1 0 0 0 0 0 0 k u b i n i ų c e n -

t im e t r ų ( c m

3

)

1 k u b i n i s d e c i m e t r a s ( d m

3

) = 1000 kub inių cen t im etrų (cm*)

1 l itr as (1) = 1 k u b i n i a m d e c i m e t r u i ( d m

3

)

1 hek to li tr as (hl) = 100 l i t r ų (1)

L a i k o v i e n e t a i

1 m e t a i « 3 6 5 p a r o m s

1 p a r a = 2 4 v a l a n d o m s ( h )

1 y a l a n d a ( h ) = 6 0 m i n u č i ų ( m i n )

1 m i n u t ė ( m i n ) = 6 0 s e k u n d ž i ų ( s )



D A L Y K I N Ė R O D Y K L E

Absol iučioj i pakla ida 102

Apyt iks lės r e ikšm ės t ik s lum a s 103

Atv i r kšč ia i p r opor c ing i k in ta m ie j i 41

B e n d r o d a u g i n a m o j o i š k ė l i m a s U z

l

skl iaus tų 124

B u d a s

g r a f i n i s l y g č i ų s i s t e m ų s p r e n d i -

mo — 174

g r u p a v i m o — 1 3 1

ke i t imo — 177

sudė t i e s — 180

D a u g i a n a r i o d a u g i n i m a s i š d a u g i a -

nar io 127

D a u g i a n a r i o n a r y s 1 1 2

D a u g i a n a r i ų a t i m t i s 1 1 5

D a u g i a n a r i ų s u d ė t i s 1 1 5

D a u g i a n a r i s 1 1 2

s t a n d a r t i n ė s i š r a i š k o s — 1 1 2

Ekviva le nč ios ios lygč ių s i s t e m os 176

Formulė (ės)

k u b ų s k i r t u m o — 1 5 5

kubų sum os — 155

k v a d r a t ų s k i r t u m o — 1 4 4

s k i r t u m o k v a d r a t o — 1 4 7

s u m o s k v a d r a t o — 1 4 6

s u t r u m p i n t o s d a u g y b o s f o r m u l ė s 1 4 1

Funkc i j a 44

tiesinė — 60

Funkc i jos a p ib r ėž im o s r i t i s 44

G r a f i k a s

f u n k c i j o s — 4 8

lyg t i e s su dv ie m k in ta m a i s i a i s— 167

t i e s inės lyg t i e s su dv ie m k in ta m a i -

s i a i s — 1 7 0

t i e s inės f un kc i jo s — 62

t i e s i o g i n i o p r o p o r c i n g u m o — 5 5

Kėl im a s l a ipsn iu 78

la ipsn io 87

s a n d a u g o s - 8 6

v i e n a n a r i o 9 2

K i n t a m a s i s 6

K o e f i c i e n t a s

p r o p o r c i n g u m o — 3 6

t iesės krypt ies — 67

v i e n a n a r i o — 9 0

L a i p s n i o p a g r i n d a s 7 8

La ipsn io r od ik l i s 78

L a i p s n i s

d a u g i a n a r i o — 1 13

v i e n a n a r i o — 9 0

La ipsn i s su na tū r in iu r od ik l iu 78

La ipsn i s su nu l in iu r od ik l iu 84

La ipsn ių da lyba 83

L a i p s n i ų d a u g y b a 8 3

Lygčių s is tema 173

L y g č i ų s i s t e m o s s p r e n d i n y s 1 7 3

L y g t i e s s u d v i e m k i n t a m a i s i a i s s p r e n -

dinys 166

L y g t i e s š a k n i s 2 0

L y g t y s 2 0

e kv iva le nč ios ios — 20

Lyg t i s su dv ie m k in ta m a i s i a i s 166

N e p r i k l au s o m a s k i n t a m a s i s ( a r g u -

m e n t a s ) 4 4

P a n a š i e j i d a u g i a n a r i o n a r i a i 1 1 2

P a n a š i ų j ų n a r i ų s u t r a u k i m a s 1 1 2

P a r a b o l ė 9 6

P r i k l a u s o m a s k i n t a m a s i s 4 4

P r o p o r c i n g i k i n t a m i e j i 3 5

Reiškin io re ikšmė 3 ,6

R e i š k i n y s s u k i n t a m a i s i a i s 6

14. Algebra 6 k l .



J

A T S A K Y M A I

I s k y r i u s

2. a) 20; b) 629 ,2; c) 28,8 9; d) 4 8,09. 3. a) 4 1,6 5; b) 13,6; c) 58;

5 ι 1 9 7

a) 10. 6 . a ) 11; b ) 14 y ; c ) — ; d ) 14 . 7 . a ) 4 ^ ; b ) 0 ; c ) 3 ; d ) 16 yg ·

2 . 5 5

8. a) 5 j g ; b) ' ] ; c) 3 y ; d) - y . 19. 78 к а р . 2 0 . P i r m a s i s 3 , 2 h a d a u g i a u .

I

21. 132 i. 22. a) - 1 2 2 ; b) 1 ,6; с) З у ; d) 2 ,5 . 27. a) - 4 ; b ) 5 ,2 . 28. a) 0 ,4;

h ) - 6 . 8 ; c ) 4 .5 ; d ) 0 ,8 . 31 . a ) 3 ; b ) 15 ; c ) - 4 9 ; d ) 0 ,8 . 40 . 60 . 41 . 30 ru b .

42. 200

s takl ių . 52 . 4%. 53. 40%. 54. a ) 26 ,81; b) 77 ,01; c ) 7 ,22; d) 78 .

56. a) 24; b) 2 4,9; c) 13,4; d) - 9 , 5 . 57. a) 35,7 ; b) 16,64; c) 10; d) 2,8.

59. a) 0; b)

1

-į . 60 . a ) 13,4 ; b ) - 7 5 7 ; c ) - 1 5 8 0 ; d ) 4 ,7 . 63 . a ) 9 4 ,2 ;

b) 40,3. 82. a) 3x + 0,5; b) 2.V + 2 ; c ) 3 a - 6 ; d ) 1 ,5 6 + 1 0 . 8 3 . a ) 1 1 - 6 , 5 * ;

b) 3p —5,1; c ) 0 ,4 a

—

7; d ) 6 6 - 5 ; e ) y - 8 ; f )

8 д - - 8 . 8 4 . а ) 6 ,7 5 ; b ) 2 2 ; c ) - 6 ;

d ) - 0 . 3 . 8 6 . а) 8 + 2л-; b ) 4 6 - 5 ( / ; c ) 2 0 z - 3 3 ; d ) 5 ; e ) 4 - 1 0 6 ; f ) 3 6 , 8 c - 8 .

8 7 . а ) 1; b ) - 7 ; c ) - 3 , 1 ; d ) 2 7 6. 8 8 . a ) 1 0 m - 4 ; b ) - 6 n + 3 ; c ) 11 — 1 l p ;

d ) 0 ,1; e ) 1 . 36 +0 .1 ; f ) l , 6 c - 5 . 89 . а ) 1 ; b ) 3 . 90 . а ) — 20; Ъ ) у . 99 . а ) 3 ,4 ;

b ) 5 ,24. 109 . а) 4,5л:-

й ,

4; b ) 3 6 - 3 , 6 a ; с) 1 2 , 3 - 8 , 5

у ;

d ) 2 - 1 4 6 . 1 1 0. 1 6, 5;

1 .

- 2 ; - 1 9 6 . 1 13 . а ) 3 ; b ) - 4 3 ; с) 1 8 0; d ) - 5 ; e) 3 0 0 ; f ) - 9 0 . 1 14 . а ) 1 " J ·

b ) 0 ,5 ; с) - 0 , 1 5 ; d ) - 2 ; e ) 0 ; f ) - 5 ; g ) 1 2; h ) - 3 ; i) 0 ; k ) 0 ; 1) 0 ;

m) 0. 115. а) 7; b)

1

~ ; c) 5 j ; d) 5; e)

1

γ ; f ) - 1 , 2 ; g ) 1 - | . 116. а) ~ ;

b) 2 ,5; c) —89; d) 0 ,5 . 117. a) Neturi š a k n ų ; b ) k i e k v i e n a s s k a i č i u s y r a l y g t i e s

š a k n i s ; c ) n e t u r i š a k n ų ; d ) n e t u r i š a k n ų . 1 18 . a ) 0 ; b ) n e t u r i š a k n ų ; c ) k i e k -

v i e n a s s k a i č i u s y r a l y g t i e s š a k n i s ; d ) n e t u r i š a k n ų . 1 1 9 . a ) 2 , 4; b ) — 1 2 ;

c ) - 5 ; d ) - 1 , 5 . 1 20 . a ) 7 ; b ) - 3 2 ; c ) - 3 ; d ) - 1 , 8 . 1 2 1. a ) — 6 ; b ) 1 6 ;

3 6

c) — ; d) - 4 ; e ) 3 ^ ; i ) 3 . 122. a ) 0 ,05 ; b) - 1 5 , 8 ; c ) 1 ,6 ; d) 0 ,4 .

123. a ) - 3 , 5 ; b) 2 ; c ) 74 ,6 ; d) 0 ,25 . 124. a ) 2 ; b) 1 ,15; c ) 4 ; d) 12; e ) - 7 8 ;

f ) - 1 3 . 125. a ) 19 ,1 ; b) 1; c ) - 0 , 7 ; d) 0 ,75; e ) 1 ; i ) 1 ,9. 126. a ) 2 3 , 7 i / + 1 6;

b ) 1 4 - 3 , 2 / ; c ) - 5 , 1 a ; d ) - 7 , 2 m . 1 27 . а ) 5 ,9 ; b ) - 9 , 4 . 1 28 . а ) 4 5,8 2 ; b ) - 2 , 5 .

129. 6 ,3; 6 ,3; 3 ,4 cm. 130. 350; 420 i r 504 žmonės . 131. 400; 80 i r 75 g . 134. 55



ir

11

k r ū m ų .

135.

Po 8 h .

136.

5 .2 rub.

137.

5 0 k m/ h .

138.

10 žmonių .

13».

5.

1 4 0 . 1,5 kg. 141 . 2 kg; 4 kg ir 10 kg. 1 4 2 . 20 m. 1 4 3 . 20 kg ir 40 kg.

144. 2 0 k m/ h . 149. a) 426,5; b) 7,6; c) 124; d) 2,72. 150, a ) 2 3; b ) -1 2 ,4 .

151. a) - 2 ; b) 4; c)

1

γ ; d) 6 . 152.' a) jį ; b) 16. 153. a) - f ; b) 2,5;

5 5 I

c) 240; d) — . 154. a) 1,44; b) 1 Jg ; c) 9,2; d) 6. 157. a) ; b) - 1 6 .

5

158 , a) - 1 9 ; b) -g ; c) 2; d) 0 . 168 . a) 87; b) 136; c) 58; d) 52. 169. a) 0;

b) 3 ,947. 177. a) 5 ,7 + 0,9m ; b) - l , 6 * - 6 ; c) 0 ,2(/ + 0 ,2; d) 5 ,3 (/+ 1.6 . 178, a)

- 0 , 5 ; b) 1. 189. a) 1 ,49; b) 0; c) - 3 2 , 5 ; d) 0 ,3 . 190. a) 24; b) - 3 5 ; c) ne-

tu r i š ak nų ; d ) ne tu r i šakn ų . 191 . a ) - 5 ; b ) 1; c ) - 2 ; d ) 3 ,5 . 194 . 575 t r iu -

š iai , 425 viš tos . 195. 46 i r 40 detal ių . 197. 48 i r 12 pašto ženklų. 198. Per 10

dienų. 199. Per 9 dienas. 200. 13.

I l s k y r i u s

206. 40 h. 207. 108 rub. 208. 3,75 kg. 209. 215 g. 210. 6,25 g. 211. Taip. 212.

Ta ip. 214. 20, 30, 15 kn yg ų. 215. a) - 1 , 7 6 ; b) 88. 216. Ta ip. 217. Ta ip. 219,

6,8 cm; 12 cm; 20 cm. 220. 52,5 cm. 221. 738 ha ir 246 ha. 222. 3 cm; 6 cm ir

7,5 cm . 223. a) 100° ir 80°; b) 168° ir 12°. 224. 18; 24; 18 m ed el ių . 225. 60 h a,

90 ha, 210 ha i r 240 ha.

22Θ . 4,8 kg . 227. 187

žmonės. 230. 3 h . 231. 2 h 20 min.

232, 1 ,5 ka rto . 233. Al i um ini nis 3 ka rtu s . 234. Per 15 h. 235. 12. 236. 60.

237. 324. 238. 40 die nų . 240. 25,3 t . 245. 31; - 9 3 ; 9 3. 246. 6; 10; 17. 249. 12;

- 8 ; 0 ; - 0 . 4 ; - 1 8 ,8 . 250 . a ) V is i ska ič ia i ; b ) v is i ska ič ia i , i š sk yru s ska ič ių 7 ;

c) vis i skaičiai , Išskyrus skaičių —3; d) vis i skaičiai . 251. Vis l sveikiej i skai-

čiai nu o 1 iki 6 im tin ai , 252. Vi sl ska ičiai n u o 0 iki 180, iš sk y ru s 0 Ir 180.

253 . Vis i na tū rin ia i ska ičiai nu o 1 Ikl 12. 254. I , 0, 2 , 3 ; vis i na tū rin ia i sk aičia i ;

0, 1, 2, 3. 255. 144 km. 256, 2,4 h. 270. Priklauso A ir B. 276. 10 cm; 15 cm;

22,5 cm. 277. Taip. 278.

2 π. 279 . a ) 3; - γ ; -

f;

b ) 0 ; 1 ; - 3 0 . 282 .

a)

Taškai A i r £; b) taškai B i r E. 287. a) 8 ,8 m

2

; 10 m

2

; b) 2,4 m; 3,2 m.

292 . a ) P i rm am e Ir t reč iam e; b ) an t ra m e i r ke tv i r t a m e; c ) p i rm am e ir t reč ia-

me ; d ) an t r ame i r k e t v i r t ame ; e ) p i rmame I r t r eč i ame ; f ) an t r ame i r k e t v l r t a -

1 8

m e . 296. a) 2 — ; b ) y

5

. 297. a ) 1 5 6 a - 8 4 ; b ) - 6 m + 1 0 0 . 2 98 . 165 k n y g a s .

300. T a i p . 301. T a i p . 304. a) Taip ; b ) t a ip . 305. T a i p . 308. At—1,6. 309. a) 2;

b ) — 3. 310 . a ) r t s£ 10; b ) n ^ 5 . 311. E ina per t a šk us A i r C. 325 . E in a per

5 1

t a š k u s A, B ir D. 328. a) 0,9; b) 0; c) J j ; d) - 2 , 5 . 327. a) — ; b) 211,3.

3 2 8 . 200. 3 3 5 . a) Ь Ч ; b )

3 3 7 .

a) K a i A: = 0; b) k ai k+0.

3 4 0 .

a) (1;

2) ; b) (8;

- 6 ) ; c ) ( - 2 ; - 1 1 0 ) ; d ) ( 1; 2 9 ) ; e ) (2 ; 2 8 ) ; f ) (4 ,4 ; - 6 ) .

341.

a ) (2 ; - 3 ) ;

b )

(4 ;

0 ); c) (0 ,9; 0 ,9 ) .

342.

a ) Ta ip ; b ) ne .

343.

a) 1,4; b) 0,12 5.



344. 800 t . 345. P ad id ės 12 ka r tų . 346. P ad id ės 1 ,76 ka r to . 347. Pa ka ks . 348.

280 cm

3

. 349. Apie 7,7 kg. 350. Apie 1667 t; 2250 t. 352. 75 cm. 353. 30 km.

355. 1 dm . 356. 24 rub .; 18 rub .; 15 rub . 3 57. 4 kg ir 3 stikl inės . 358. Be nz in as

apie 1 ,1 kar to . 359. 1 ,5 kar to . 360. Sumažinti 6 kar tus. 361. 108 km ir 288 km.

362. 36 h . 363. 80. 3H6. - 3 , 6 ; - 3 ; 0 ,84; 1 ,56. 368. Visi na tū r in ia i sk aičiai , d i-

desni už 10. 382. a · = - 0 , 4 . 389. a) Ta ip; b) ta ip ; c) ne; d) ne. 390. 2 , 3 , 4

ir 5 . 393 . k*= —0,4 ; p r ik lauso . 394. y - \ , b x . 395. y - 8 . 396 . a ) (7 ; 37) ; b) ( - 3 ;

- 5 5 ) ; c) (1 ,2; 5) ; d) (140; 14) .

I l l s k y r i u s

400. b) 40D6; d) 16 807. 403. d) 8

s

; 4

s

; g) 1,5

3

; h) 1,2

s

. 405. e) - 9 6 ; f ) 432.

406. e) 9,6; f) 0,08. 408. e) 114; f) 290; g) 10; h) 2; 1) 78,5. 409. c) - 3 7 ; d)

-539; e) 0,6; f) 2. 411. a) 0,16; 0,81; 100; b) 245; 3; 453. 414. 667; 1887.

420. 2400, 2400 ir 3600. 423. a) P rik la us o; b) pr ikl au so . 428. c) m

1 1

; d)

p'\

e) ΙΟ "'; f) 310. 429. c) d) n " ; e) 713; f) 511. 43 0.

C

) 617; d) 2

14

; e) 0,4?.

434. c) a

2 0

; h) 0,7». 435. c) *·'; d) y* . 4 37 . b ) » 00 0; d ) l { ; f ) - J j r . 4 38 .

a) 49; b) 81; c) 25; d) 0,216. 439. a) x

n

+

s

; c) d) į /" -

4

. 440. a) 97; b) 1;

c) -1 2 5 ; d) - 2 8 . 441. a) 3; b) -2 ,5 ; c) 90; d) - 1 . 445. 202,5 g. 482. d) (-ab)

1

·,

g

e) (2α)

β

; f ) (0 ,3m)

3

. 453. c) 1; d) 1; e) y ; f) 50 000 000. 455. e) *· ; f) X

й

.

457. c) a '

n 4 S

; d )

a

lm

.

460. b) 8

20

; d) 32'*. 462. c) o

14

; d) *

2

°; e) m». 463. c) a

1 4

;

d) a

1 8

; e) a

1 2

; f) a " . 464. c) X

is

\ d) χ" . 465 . а) 16; b) 5; c) 4 ; d) . 466. N u r o -

d y m a s . { ro dy k it e, k ad k i ek v ie no ska ič iaus 10

n

+ 2 ska i tm enų sum a da l i jas i i š 3.

468. A= —2. 473. b) 0, 6/ ?V ; c) 2 0aft

3

; d ) - 1 2 a ' b ' ; e) 0,8m«/i

2

; f ) -x*y*\ 474. b)

3

- 2 ; c) 0 ,18; d) 1. 475. a) 0 ,592; b) - 0 ,1 0 8 ; c) 0 ,012; d) ·

4 7 β

·

5 m > c m

* ·

447. 8a

3

cm

3

. 478. a) Vienuoliktas; b) trečia s; f) nuli nis . 480. a) j g ; b) 0,5.

482. а) - 3 , 3 * У ; b ) - a « 6 « c ; c) 4x

3

y* \ d ) - 0 , 3 6 a W x

e

. 483. c) 64a

8

6

7

; d)

- 2 8a « ft « ; e) - 6 * У ; f) 1 0 8a '6

3

. 484. a ) 0 , 4 m V ; b ) - 0 , 1 * V ; c) - c ' « d

s

;

d) — α

3

6

β

; e) x

4

y

4

; f) m

9

/i

12

. 487. c) -8a

1 2

f t « ; d ) 8 1 * V , e ) - O

1

W c " ; f ) a«6<c

3

.

488 . c ) -0 ,21 6m

8

/ i

6

; d ) 4*У >; e) x<//

l8

6

8

; f) -X

1 0

I /

1 5

m

8

. 490. a) (9*

2

)

2

. 491. c)

( - 0 , 2 f t

2

)

3

. 494. b) 1 OOOm

9

; IOOm

e

. 495. a) 225a'°; b) 816

28

; c) 8p

19

; d ) - 0 ,1 5 c

1 0

;

e) c

19

; f) 2ft

13

; g) - *

1 0

; h) 2y

1

*. 496. a) - 3 χ ψ · , b ) 3 2a 'f t" ; c) 8mi0/iiū; d)

— 1,12c

14

; e) *'°(/

8

; f) 5a

8

6

8

; g) -0 ,5m

8

/ t< ; h ) - 1 2 p V>. 4 9 7 . а) - 0 , 0 4 6 " ; b )

IO a

19

; c) p

18

; d ) З О О О а П ;

e

) - 1 1 2 0 4 6

5

; f ) -0 ,15*

9

( / П ; g ) O

1

OlpY; h ) 3a»6» .

498. Po 9

dienų. 499. Po 6 dienų. 500.

A

= 1,5, 6 =

6.

50 1. JC= 13,8, (/•= 1,26.

505 . Pad idės 9 kar tus ; sumažės 100 kar tų . 510 . a ) Pr ik lauso ; b ) p r ik lauso ;

c) nepr ik lauso . 613 . Pad idės 8 kar tus ; sumažės 27 kar tus . 516 . a ) Pr ik lauso ;

b) pr iklauso; c) nepriklauso. 519. 180 g. 820. Per 6 h . 522. χ - - 2 , 4 , ^ = - 2 0 , 4 .



2 2 3 3

b ) 6; - 6 ; c ) "g ; - у - ; d ) 1 - j ; - 1 — 8 43 . a ) ( ( / - 1 ) ( 5 ( / + 1 ); b ) ( c + 5 ) ( 5 -

- 7 c ) ; c) - ( * + ( / ) (15x+y); d)

—

30 ( IOa

—

3 6 ) ; e) 3 6 ( 3 6 - 4 a

2

) ; f ) ( 5 6

3

- * ) ( * -

- 3 6

3

) . 8 44 . a) ( 2 6 - 1 1 ) ( 2 6 + 1 ) ; b ) - ( 4 + 3 a ) (1 0 + 3 α ) ; c) ( 3 - 1 1 m ) ( 5 - 1 l m ) ;

d) - ( / 7 + 1 ) ( 3 / 7 + 1 ) ; e) 5 c ( 5 c - 6 d ) ; f) - 9 6 ( 2 a

2

+96) . 847. 85 km/h i r 90 km/h;

100 km /h i r 105 km/h. 861. a) 1 44 a

2

- 2 4 a ; b ) — 4 a

2

- 3 6 6

2

; c ) 19 8* -81 *

2

;

d ) — 14a6 —49. 862. a ) a

2

+ 8 1 ; b) - 1 0 * + 1 ; c) 12x-9; d) a

2

-4a6 . 863 . a ) 2*

2

+

+ 3* +

9;

b) 4a

2

; c) 146; d) 18(2

2

; e) 2*

2

+ 8 * + 1 2 ; f ) - 4 . 8 64 . a ) 2 a

2

+ 1 8 ;

b) 8*

2

+ 5 0 ; c) 3 8 * + 2 5; d ) - 2 1 6 - 4 . 86 5. а) 89,6; 0; b) 10; 94. 866 . а) 3;

b) 0. 867 . а) 1,7; b) i c) 3; d) 3,125. 868 . а) 2,2; b) 1; c) ^ ; d) 1.

870. a) 45а

2

+ 2 10 а + 2 4 5 ; b ) - 9 6 + 4 8 6 - 6 6

2

; с) x

2

y+4xy

2

+4y

3

; d) - p

:

+

+ \0p

2

q

—

25pq

2

\ e) *

: i

- 2 *

s

' - 7 * — 4 . 8 7 1 . a ) p

4

- 1 8 p

2

+ 8 l ; b ) ( / " - 32 ( /4 - 25 6 ;

c) a

4

- 5 0 a

2

+ 6 2 5 ; d ) *

4

— 32 *

2

+256. 875. а) 16; b) su visomis χ

re ikšmėmis .

876. Pr ik lauso taška i .4 i r C , nepr ik lauso taškas B. 877 . (0 ; 6 ) ; ( -25 ; 0 ) .

879. a) - 6 ; b) 5. 880. a) 2; b ) 2,3. 885. a) 0 000 ; b) 400; c) 841; d) 400.

898. a) -0 ,1 2 5 ; b) 41; c) -0 ,0 0 9 ; d) 4. 899. a) 10; b) - 6 6 ,4 . 900. 12 km. .

901. Eina per taškus B, C ir D, neina per tašką A. 911. a) Taip; b) taip.

912. 30 km . 913. 6 km /h. 917. a) 3 (* + (/)

2

; b) - ( m - l )

2

; c ) ( * - 2 )

2

; d )

6{ p

+

+ 2(?)

2

; e ) 5 ( a + 3 )

2

; f) 2 ( З л т - 2 )

2

. 919. а) 2 ( ш - I )

2

; b) 4( 3 + *)

2

; c) 8 ( a - 6 ) ( a

2

+

+ a6 + 6

2

) ; d ) 9 ( * + / / ) ( *

2

- * / / + / /

2

) . 9 20. a) 4 ( * + 3 ) ( y - 1 ); b ) 6 ( 2 - 6 ) ( 5 - ( / ) ;

с) - a ( ( + 4 ) ( 6 + 5 ) ; d ) o ( a + I) (a + 6 ) . 9 2 1. a ) 3 ( 6 - 2 ) ( 1 5 - a ) ; b ) - 5 ( / / + 3 ) ( * +

+ 8 ) ; с) с ' ( а - 1 ) ( с + 1 ) ; d) * ( * - ; / ) ( * + 1 ) . 922. a) ( * + / / ) ( * - / / - 1); b) ( а - 6 ) ( а +

+ 6 - 1 ) ; c) im + n)(\+m-n); (1) (k + p)(k-p-1); e) ( c - d j (1 + c + d ) ;

f ) (2m —») (2ш + /г— I) . S23. a) ( * + y ) ( * - ( / + 1 ) ; b) ( a - 6 ) ( 1 + a + 6 ); c) ( p -

— (/) (1 + p + ę) ; d) ( c + d ) ( c - d + 1 ) . 9 2 5 . a) ( * + / / - m ) ( * + / / + m ) ; b) ( p + a + 6 ) X

X i p - а - 6 ) ; с) ( 6 - C - 4 ) ( 6 + C - 4 ) ; d) ( 3 - a — c ) (3 — a + c ). 9 27. а) ( a + l ) ( a -

- 6 ) ( а + 6 ); b ) (m-n) ( m - 3 ) ( / / ( + 3 ) . 9 28 . a ) - 3 ; 2 ; - 2 ; b ) 0 ,5 ; 3 ; - 3 ; c ) 6 ; d )

- 1 , 5 ; 1; - I . 929 . a ) 2 ; 1;

—

1; b) J ; 4 ; - 4 ; c) 0 ,5 ; 4 ; - 4 ; d) 0 ,75; 1; - 1 . 9 3 2 . a) 4 .6;

b) 57. 93 8. a ) 5 e - 4 ; b) 7 a - 9 ; c ) - 2 6 - 1 ; d ) 2 6 + 1 , e) 2 c

2

-82; f ) 75 .

9 41 . a ) ~ b ) ~ ; c ) - . 9 43 . g ) 1 5 ( * - 1 ) ( 3 * - 1 ) ; h) ( 2 /1 + 3 ) (1 — 4« ) ;

i) (3 a + 2) ( 3a + 4 ) ; k ) ( - 5 * + 1 7 ) ( 5 * - 1 3 ) ; 1) 8 ( * + 2 ) ( * + 1 1 ) ; m ) 4 ( 5 ( / - 1 1 ) X

X (2 . ( / -1 7) . 948. a) 3 *

2

- 1 6 * + 25; b) —3(/

2

+ 24(/ + 64; с) 5 а

2

- 4 а - 1 5 ; d ) - 4 6

—

- 1 3 ; c )

— 2 fl

2

+ 2 l ; f ) 1 8 6

2

- l 2 6 +

2;

g) 3*

2

+

22;

h) 8( /

2

- 2 3 . 953. a) 17; b) 17.4.

954. a) 4; b) 1.5; c) 2.625; d) 0. 961. a) 2*

3

; b) - 2 ; c) 133; d) 9p

3

.

963. a) 7*"—126(/

3

; b ) 2605-96

3

. 964. a) 131; b) 28; c) 61; d) 24,125 .

969. a) ( 2 * + ] ) ( *

2

+ * + l ) ; b ) (y-5) (if-y+7); с) а ( а

2

- 3 а 6 + 3 6

2

) ; d ) ( 3 * -

—

Į

/)

( 3 *

2

+ / /

2

); e) (2а + 6) ( 1 3 а

2

- 5 а 6 + 6

2

); f) (6 +

2)

(6

2

- 266 + 244). 974. a) 2 ( 7 +

+ 2 6 ) ( 5 a - 6 6 ) ; b ) 3 ( 76 — c) ( c

2

+ 2 ) ; c ) 3 (( / + 3 ) (2 -л : ) (2 + * ) ; d ) 6 ( 5 а - 3 6 ) (а

2

+

+ 4 ) . 9 7 5. a ) ( а - 6 ) ( а + 6 ) ( 3 а + 6 ) ; b ) (1 - а ) (1 + а ) (2x + y)· c) ( l - c ) ( l + c +



1). 1049. a ) * =

3,

у = 4 ; b ) m = 10, « = 1 2 ; с) x =

6,

</=20; d) « = 1 2 , u = 15.

1050. а) (9 ; 8) ; b) ( - 0 , 8 ; - 0 , 8 ) ; с) (3; 4) ; d) ( - 1 ; 0) . 1051. a) * = 1 5 , у = 12;

b) u - - 8 , f = 6; c) χ —12, ( / = - 1 2 ; d ) a = 15, 6 = 1 0 . 1052. a ) Lygčių s is tema

net ur i spr en din ių ; b) lygčių s is tema, tur i be g alo da u g spre nd in ių . 1054. e) 47 (a —

- 6 ) (a+b) ( a

2

+ a 6 + 6

2

) (a^-ab+b

1

)· . f) 51 ( a

2

+ 6

2

) ( a < - a

2

6

2

+ 6<). 1055. а) - 10 x ~

- 1; b) - 6 ( / + 4. 105 7. 7,5 ir 5,5. 105 8. 8 m ir 7 m. 10 59. 380 ha ir 320 ha . 1060. IO

r

.

tr a kt or iu s ir 82 ko m ba in us . 1061. 30,2 m. 1062. 1,8 rub . 1063. 14 rub . 1064. 300 k g

ir 180 k g. 1065. 60 km /h . 1066. 9 ru b. ir 5 ru b. 1067. 75 кар . ir 60 к ар,

1068. 80 km/ h ir 60 km/h . 1069. 5 km /h ir 4,5 km /h. 1070. 18 k m /h . 1071. 55 k m /h

ir 5 k m /h . 1072. 4,5 m

3

ir 3 m

3

. 1073. 39 ir 52. 1074. 10 r iešu tų i r 6 r iešu tus .

1075. 24 kg ir 12 kg. 1076. 20 kg po 26 кар . ir 30 k g po 41 кар . 1077. 720 ha

ir 1200 ha. 1078. 320

de tali ų ir 360 deta lių. 1079. a) - 3 a + 2; b) 26. 1080. c) (p

2

+

+ 2) (p

4

— 2 / ^ + 4 ) ; d ) ( 3 - m

2

) (9 + 3 m

2

+ m

4

) . 1087. a) 3; b) 4. 1088. b) (1; 18 );

(2; 9) ; (3; 6) ; (6; 3) ; ( 9 ; ' 2 ) ; (18; 1). 1089. (5; 37 ); (11; 31) ; (13; 29 ); (19;

23 ); (23; 19); (29; 13) ; (31; 1 1); (37;, 5) . 1090. 6 ar ba 2 po ro s pa čiūž ų.

1091. 1, 5 ar ba 9 ne gi lia s lėkšt es . 1096. a=\. 1107. a - - 1 , 5 . 1108. 6 = 2,5.

1109. k— 1,5. 1111. a) tur i vien ą sp ren di nį; b) n etu ri spr en din ių; c) tur i be

galo daug sprendin ių ; d) tur i v ieną sprendinį . 1115. a) *=21, / = 25; b) x=\,

/

= 10; c) ( /= 16 ,

2

=

21;

d) x =

9,

( /=11 ; e ) JC=IO

1

( / = 1 ; f ) « = - 0 , 1 , f = 0 ,2 .

1116. a) ( - 7 ; ι ) ; b) ( - 0 , 5 ; 1 ,5) ; c) (7; 5) ; d) (4 ; 4) . 1117. a) x = 4 γ

7

,

13 1

( / = 1 Y

1

; b) m = —8, n = 5 ; c) * = 1 , ( /= 1 , d) p = 2 , q = y . 1118. a ) x=-5,

(/ = 3; b) u = 0 , v = A. 1119. a) (5; — 4); b) ne tu ri sp rend in ių ; c ) ne tu r i sp rend i -

nių; d) netu ri spre nd ini ų. 1120. a) N etu ri ; b) tu r i . 1125. 6 кар. 1126. 40 кар.

ir 25 кар . 1127. 20 t ir 15 t. 1128. 3 t ir 2 t. 1129. 4 cnt ir 5 cn t. И ЗО . α = 200,

6 =

250.

1131. 40

detalių ir 25 detales. 1132. 40 rub. 1133. 39 detales ir 30

deta l ių .

Sunkesn i uždav in ia i

1134. M okinys , i š sp ren dęs 10 užda v in ių , ga un a 20 t a škų , i š sp ren dęs 9 užda v i -

n iu s — 1 7 taškų ir t. t . M o k inys , i š sp ren dęs 3 a rba ma ž iau užda v in ių , ga un a

0 taš kų . Surin ktų t aš kų ga lim ų va ria nt ų skaičius (20; 17; 14; U ; 8; 5; 2; 0)

lygus 8 . Vadinas i , i š 9 mokinių bent 2 gavo v ienodą taškų skaič ių . 1135. Galės ,

je igu pusę nuoto l io k iekvienas nuvažiuos dviračiu , o k i tą pusę nukel iaus pės-

č iomis . 1136. Suklydo spor t in inkas A. P i rmas buvo spor t in inkas B. 1138. a) 33

rut u l i uk us ; b) 24 ru tu l iuk us . 1139. Skaič ius , ne d id esn is už 1000, yra tar p

skaičių 2° ir 2

10

, t . y . ta rp 1 ir 1024. K lau sim us reikia pa teik ti taip , k ad p o

k iekv ieno a t s a ky m o in te rv a las t a rp ska ič ių sum ažė tų 2 ka r tus . Pav yzd ž iu i ,

p i rmas k laus imas : „Ar sugalvotas skaič ius d idesnis už skaič ių 512?" (nes

512 = 2

9

). 1140. Broliui 9 metai, seseriai 5 metai. 1141. 520, 572 ir 440 -riešutų.



1142. 96, 120 ir 168. 1143. 36 ir 48. 1145. 12; 24; 36; 48. 1146. Dalijasi. 1148. 77.

1150. 7681. 1151. 142 857. 1152. 15. 1153. 729. 1157. 72. 1158. N eg al i. 1160. P ir -

m oj i t ru pm en a did es nė už an t r ąją . 1161. a = 4 , 6 = 1 0 . 1162. 51; 62; 73; 84; 95.

1163. 24 ir 144 arba 48 ir 120, arba 72 ir 96. 1166. 121. 1167. p=3, q=2.

1168. a ) Negal i ; b) negal i . 1169. 2

e 4

- l . 1 17 7. x = - 4 , < /= 1 , 2 = 5 . 1178 . x = 3 ,

y = 2.

1179. 12 km/h i r 30 km/h. 1180. 6 monetas po 20

кар . i r 2 mone ta s po

15 кар . 1181. 47. 1182. 96 1 ir 60 1. 1183. 63 1 ir 84 1. 1184. 45 km /h ir 75 k m /h .

1185. 18 km /h ir 42 km /h. 1186. 35 km /h ir 15 km /h. 1187. 4,5 k m /h ir 16,5 km / h .

1188. M a ž d a u g 114 kg . 1189. 3 ka r tu s . 1191. 32 % . 1192. 48 km /h. 1193. 30 i r

18. 1200. (8; 2*



TURINYS

I s k y r i u s . R E I Š K I N I A I IR J Ų P ER T VA R K YM A I

§ 1. Reiškiniai

1. Sk ait in iai reišk inia i 3

2 . Reišk in ia i su k in tam ais ia is 6

3 . Fo rm ulės 9

§ 2 . Re i šk in ių p e r tv a rk y mas

4. V eiks m ų su ska ičiais sa vy bės 11

5 . Ta p a tū s r e i šk in ių p e r tv a rk y ma i 14

6 . Ta paty b ių įro dy m as . 17

§ 3 . Lygtys su v ienu k in tamuoju

7 . Ly gt is ir jos šak ny s 20

8 . T ies inė lyg t i s su v ienu k in tam uo ju 22

9 . Užd av in ių sp r e n d im as su d a ra n t l y g t i s 2 6

I skyriaus papildomi pratimai 29

И s k y r i u s . F U N K C I J O S

§ 4 . Proporc ing i i r a tv i rk šč ia i p ro p o rc in g i k in t amie j i

10. Pr op orc ing i k in ta m ie j i · 35

11. D al i j im as į da l i s , p ro po rc in ga s duo t ies iem s ska ič iams 38

12. Atv i rkšč ia i p rop orc in g i k in ta m ie j i 41

§ 5 . Funkcijos ir jų graf ikai \

13. Kas y ra fun kc i ja 43

14. Fu n k c i jo s g r a f ik as 4 6

15. T ie s io g in io p ro p o rc in g u m o g ra f ik a s 5 4

§ 6 . T ies inė funkci ja

16. T ies in ės fun kc i jo s ap i brėž im as 60

17. T ies inės fun kc i jo s g r af ik as 62

18. T ie s in ių fu n k c i jų g r a f ik ų t a rp u sa v io p ad ė t i s 6 5

Il skyriaus papildomi pratimai 70

III s k y r i u s , L A I P S N I S SU N A T Ū R IN IU R O D I K L IU

§ 7. Laipsnis i r jo savybės

19. La ipsn io su na tūr i n iu rod ik l iu ap ib rėž ima s 78

20 . Laip sn ių da ug yb a ir da l yba 82

21 . S an da ug os i r la ipsn io kė l imas la ipsn iu 86



§ 1 7. T i e s i n i ų l y g č i ų s i s t e m ų s p r e n d i m a s

4 3 . K e i t i m o b ū d a s ' 1 7 6

4 4 . S u d ė t i e s b ū d a s 1 8 0

4 5 . U ž d a v i n i ų s p r e n d i m a s s u d a r a n t l y g č i ų s i s t e m a s 1 8 4

VI skyriaus papildomi pratimai

1 8 8

S u n k e s n i u ž d a v i n i a i 1 9 4

I V — V k l a s ė s m a t e m a t i k o s k u r s o ž i n i o s 2 0 0

K v a d r a t ų l e n t e l ė 2 0 6

D y d ž i ų v i e n e t a i

2 0 8

D a l y k i n ė r o d y k l ė 2 0 9

A t s a k y m a i 2 1 1



Jurijus Niko .ajevičius Makaryčevas. Nora Grigorjevna Mindiuk,

Konstantinas Solomonoviiius M urauinas, Konstantinas Ivanoviiius

Meškovas, Svetlana Borisovna Suvorova

A L G E B R A

V a d o v ė l i s V I k l a s e i

R e d a k t o r ė N. Ramana uskienė

V i r š e l i s

O. Pempės.

M e n . r e d a k t o r ė

1. Šatienė

T e c h n . r e d a k t o r ė N. Balanoškienė. K o r e k t o r ė R. Rainienė

Юрий Николаевич Макарычев, Нора Григорьевна Миндюк,

Константин Соломонович Муравин,

Константин Иванович Нешков, Светлана Борисовна Суворова

А Л Г Е Б Р А

У ч е б н и к д л я V I к л а с с а

О р и г и н а л п о д р е д .

С. А. Теляковского

П е р е в е л а с р у с с к о г о

Ядвига Балтушникене

И з д а н и е п я т о е, п е р е р а б о т а н н о е

Оригинал утверждён Министерством просвещения СССР

М и н и с те р ст во м п р о с ве щ е н и я Л и т о в ск о й C C P п р и н я т о

к п о л ь зо в ан и ю в с р е д н и » ш к о л а х

Н а л и т о в с к о м я з ы к е

Л и т о в с к а я С С Р , 2 330 00 , К а у н а с , п р . Л е н и н а , 2 5, и з д а т е л ь с т в о

« Ш в и ес а »

И Б № 6106

D u o t a r i n k t i 8 6 . 0 1 . 0 6 . P a s i r a š y t a s p a u s d i n t i 8 6 .0 4. 18 . F o r m a t a s

60 x 90 '/i6, p o p i e r i u s o f s e t i n i s N r . I. L i t e r a t ū r i n ė g a r n i t p r a , 10

p u n k t ų . O f s e t i n ė s p a u d a . 1 4 + 0 , 2 5 p r i e i l . s ą l . s p . I . , 2 8 , 7 5 s ą l .

b p a l v . a t s p . . 1 0 , 8 + 0 . 4 5 p r i e š t . a p s k . l e i d . 1. T i r a ž a s 5 6 0 0 0 e g z .

U ž s a k y m o N r . 3 6 4 9 . L e i d . N r . 1 0 5 7 1 . K a i n a 2 5 k p

L e i d y k l a „ Š v i e s a " , 2 33 00 0 K a u n a s , L e n i n o p r . 2 5

S p a u s d i n o V . K a p s u k o - M I c k e v i č i a n s s p a u s t u v ė , 2 33 00 ) K a u n a s ,

L e n i n o p r . 2 3



TIESINĖS FUNKCIJOS yskx + b

GRAFIKAS

Е в в в я ю й в в в

Ш Ш Ш Ш Ш

6 8

т ж т ш м т ц

IJjJ p ^IlH Л IIIH • S ID

Ι Ι Ε Ι Ι Ι Ι Β Ι

2P9H



NATURINiU SKAIČIŲ NUO IKI 10

KVADRATAI IR KUBAI

I

H

3

iiH

6

И

m

m m m

n

B

n

16

26

36

И

m

64

EH

n

a

J

7

04

125 216

343 512

729

1000

SKAIČ IŲ 2 IR 3 LAIPSNIAI

n

m m м и

QOU

H B I I I S

5

6

B

8

9 IO

2

n

m m м и

QOU

H B I I I S BH

64

128

256 512

IHfl

3*h 9 27 81243729 21876561 1968359049

( a - b ) ( a + b )

= a -

b

( a + b ) =a +

2 a b

+ b

( a - b )

=

a a b + b

( a + b ) ( a - a b +

b ) = + b

1

( a - b ) ( a + a b + b

3

)

=

- b

3



1 2

171

144

441

m

W

j

1024

1681

1764

2801

27 4

3721

1

..1

\ ·

3S44

5184

6561

8 7 »

324 361

5 7 6 S t t 8 7 m 7 8 4 8 4 1

№ m 1 3 * m 1 4 4 4 1 52 1

1938

2026

P H

г * : ' :

4225

4 3 »

I

5778

FT



TIESĖS KRYPTIES KOEFIC IENTAS

algebra 6 kl. [red. teliakovskis] (1986)

Documents