17. vector calculus with applications vector calculus with applications.pdf17. vector calculus with...
Post on 22-Mar-2021
65 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
17. Vector Calculus with Applications
17.1 INTRODUCTION
In vector calculus, we deal with two types of functions: Scalar Functions (or Scalar Field) and
Vector Functions (or Vector Field).
Scalar Point Function
A scalar function đč(đ„, đŠ, đ§)defined over some region R of space is a function which associates, to
each point đ(đ„, đŠ, đ§)in R, a scalar value đč đ = đč(đ„, đŠ, đ§). And the set of all scalars đč(đ)for all
values of P in R is called the scalar field over R.
Precisely, we can say that scalar function defines a scalar field in a region or on a space or a curve.
Examples are the temperature field in a body, pressure field in the air in earthâs atmosphere.
Moreover, if the position vector of the point P is đ , then we may also write the scalar field as
đč đ = đč(đ ). This notation emphasizes the fact that the scalar value đč(đ ) is associated with the
position vector đ in the region R.
E.g. 1) The distance đč đ of any point đ(đ„, đŠ, đ§) from a fixed point đâČ(đ„ âČ, đŠâČ, đ§âČ) in the space is a
scalar function whose domain of definition is the whole space and is given by
đč đ = (đ„ â đ„ âČ)2 + (đŠ â đŠ âČ)2 + (đ§ â đ§ âČ)2. Also đč đ defines a scalar field in space.
E.g. 2) The function đč đ„, đŠ, đ§ = đ„đŠ2 + đŠđ§ + đ„2 for the point (đ„, đŠ, đ§) inside the unit sphere
đ„2 + đŠ2 + đ§2 = 1 is a scalar function and also is defines a scalar field throughout the sphere.
Note: In the physical problems, the scalar function F depends on time variable t in addition to the
point P and then we write it as đč đ, đĄ = đč đ , đĄ = đč(đ„, đŠ, đ§, đĄ) . The example of such a time
dependent scalar function is the temperature distribution throughout a block of metal heated in such
a way that its temperature varies with time.
Vector Point Function
A vector functions đč đ„, đŠ, đ§ defined over some region R of space is a function which associates, to
each point đ(đ„, đŠ, đ§) in R, a vector value đč đ = đč (đ„, đŠ, đ§) and the set of all vectors đč đ for all
points P in R is called the vector field over R
Moreover, if the position vector of the point P is đ , then we may write the vector field as
đč đ = đč (đ ). This notation emphasizes the fact that the vector value đč (đ ) is associated with the
position vector đ in the region R. Also the general form (component form) of the vector function is
đč đ = đč1 đ đ + đč2 đ đ + đč3 đ đ , where the components đč1 đ , đč2 đ and đč3 đ are the scalar
functions.
E.g. 1) The function đč đ„, đŠ, đ§ = 2đ„đŠđ + sin đ„ đ + 3đ§2đ for point P( x, y, z ) inside an ellipsoid
đ„2
9+
đŠ2
16+
đ§2
4 = 1 is a vector function and defines a vector field throughout the ellipsoid.
E.g. 2) The force field given by đč đ„, đŠ, đ§ = đ„đ + 2đŠđ + đ§2đ is a vector field.
2
Note: Like the time dependent scalar field, time dependent vector field also exists. Such a field depends on
time variable t in addition to the point in the region R and may be expressed as
đč đ , đĄ = đč1 đ , đĄ đ + đč2 đ , đĄ đ + đč3 đ , đĄ đ , where đč1 , đč2 and đč3 are scalar functions. An example of time
dependent vector field is the fluid velocity vector in the unsteady flow of water around a bridge support
column, because this velocity depends on the position vector đ in the water and the time variable t and is
given as đ (đ , đĄ).
Vector Function of Single Variable
A vector function đč of single variable t is a function which assigns a vector value đč (đĄ) to each
scalar value t in interval đ †đĄ †đ . In the component form, it may be written as
đč đĄ = đč1 đĄ đ + đč2 đĄ đ + đč3 đĄ đ where đč1, đč2 and đč3 are called components and are scalar functions
of the same single variable t.
For example, the functions given byđč đĄ = đĄ đ + sin(đĄ â 2) đ + cos 3đĄ đ and đș đĄ = đĄ2đ + đđĄđ + log đĄ đ
are vector functions of a single variable t.
Limit of a Vector Function of Single Variable
A vector function đč đĄ = đč1 đĄ đ + đč2 đĄ đ + đč3(đĄ)đ of single variable t is said to have a limit
đż = đż1đ +đż2đ +đż3đ as đĄ â đĄ0 , if đč đĄ is defined in the neighborhood of t0 and LtđĄâđĄ0 đč đĄ â đż = 0
or LtđĄâđĄ0
đč1 đĄ â đż1 = LtđĄâđĄ0 đč2 đĄ â đż2 = LtđĄâđĄ0
đč3 đĄ â đż3 = 0, then we write it as LtđĄâđĄ0đč (đĄ) = đż .
Continuity of a Vector Function of Single Variable
A vector function đč đĄ = đč1 đĄ đ + đč2 đĄ đ + đč3(đĄ)đ of a single variable t is said to be continuous at
t = t0, if it is defined in some neighborhood of t0 and LtđĄâđĄ0đč đĄ = đč đĄ0 .
Moreover, đč đĄ is said to be continuous at đĄ = đĄ0 if and only if its three components F1, F2 and F3
are continuous as đĄ = đĄ0.
DIFFERENTIAL VECTOR CALCULUS
17.2 DIFFERENTIATION OF VECTORES
Differentiability of a Vector Function of Single Variable
A vector function đč đĄ = đč1 đĄ đ + đč2 đĄ đ + đč3(đĄ)đ of a single variable t defined over the interval
đ †đĄ †đ is said to be differentiable at t = t0 if the following limit exists.
LtđĄâđĄ0
đč đĄ âđč (đĄ0)
đĄâđĄ0 = đč âČ(đĄ0)
And đč âČ(đĄ0) is called the derivative of đč đĄ at t = t0.
Also đč đĄ is said to be differentiable over the interval đ †đĄ †đ, if it is differentiable at each of the
points of the interval. In component form, đč đĄ is said to be differentiable at t = t0 if and only if its
three components are differentiable at t = t0. In general, the derivative of đč (đĄ) is given by
3
đč âČ đĄ = LtđĄâđĄ0
đč đĄ+âđĄ âđč (đĄ)
âđĄ, provided the limit exists and in terms of components
đč âČ đĄ = đč1âČ đĄ đ + đč2
âČ đĄ đ + đč3âČ (đĄ)đ or
đđč
đđĄ=
đđč1
đđĄđ +
đđč2
đđĄđ +
đđč3
đđĄđ .
In the similar manner, đ2đč
đđĄ 2=
đ
đđĄ đđč
đđĄ ,
đ3đč
đđĄ 3=
đ
đđĄ
đ2đč
đđĄ 2 =đ2
đđĄ 2 đđč
đđĄ .
Rules for Differentiation of Vector Functions
If đč đĄ , đș đĄ & đ» đĄ are the vector functions and đ(đĄ) is a scalar function of single variable đĄ defined
over the interval đ †đĄ †đ, then
1. đđ¶
đđĄ = 0 , where đ is a constant vector.
2. đ đ¶ đč đĄ
đđĄ = đ¶
đđč
đđĄ, where C is a constant.
3. đ đč 𥠱đș (đĄ)
đđĄ=
đđč
đđĄÂ±
đđș
đđĄ
4. đ đ đĄ đč đĄ
đđĄ = đ đĄ
đđč
đđĄ+
đđ
đđĄ đč (đĄ)
5. đ đč đĄ â đș (đĄ)
đđĄ =
đđč
đđĄ â đș (đĄ) + đč (đĄ) â
đđș
đđĄ
6. đ đč đĄ Ăđș (đĄ)
đđĄ =
đđč
đđĄ Ă đș (đĄ) + đč (đĄ) Ă
đđș
đđĄ
7. đ
đđĄ đč đĄ , đș đĄ , đ» (đĄ) =
đđč
đđĄ, đș đĄ , đ» (đĄ) + đč đĄ ,
đđș
đđĄ, đ» (đĄ) + đč đĄ , đș đĄ ,
đđ»
đđĄ
8. đ
đđĄ đč đĄ Ă đș đĄ Ă đ» đĄ =
đđč
đđĄĂ đș đĄ Ă đ» (đĄ) + đč đĄ Ă
đđș
đđĄĂ đ» (đĄ) + đč đĄ Ă đș đĄ Ă
đđ»
đđĄ
9. If đč đĄ is differentiable function of đĄ and đĄ = đĄ(đ ) is differentiable function then
đđč
đđ =
đđč
đđĄ đđĄ
đđ .
Observations:
(i) If đč (đĄ) has a constant magnitude, then đč â đđč
đđĄ = 0. For đč đĄ â đč đĄ = đč (đĄ)
2= đđđđ đĄđđđĄ,
implying đč â đđč
đđĄ = 0 or đč â„
đđč
đđĄ .
(ii) If đč (đĄ) has a constant (fixed) direction, then đč Ă đđč
đđĄ = 0 .
Let đč đĄ = đ(đĄ)đș (đĄ), where đș (đĄ) is a unit vector in the direction of đč (đĄ).
⎠dF
dt=
đ đ đĄ đș đĄ
đđĄ = đ đĄ
đđș
đđĄ+
đđ
đđĄ đș đĄ =
đđ
đđĄ đș đĄ đ đđđđ, đș đđ đ đđđđ đĄđđđĄ, đ đ
đđș
đđĄ= 0
and đč Ă đđč
đđĄ= đ(đĄ)đș (đĄ) Ă
đđ
đđĄ đș đĄ = đ đĄ
đđ
đđĄ đș đĄ Ă đș đĄ = 0 đ đđđđ, đș Ă đș = 0
Theorem 1: Derivative of a constant vector is a zero vector. A vector is said to be constant if
both its magnitude and direction are constant (fixed).
Proof: Let đ = đ be a constant vector, then đ + đżđ = đ .
On subtraction, đżđ = 0 .Which further implies that đżđ
đżđĄ = 0 .
4
Implying,đżđĄ
đżđĄ â 0 đżđ
đżđĄ = 0 i.e.
đđ
đđĄ = 0 .
Theorem 2: The necessary and sufficient condition for the vector function đ of a single
variable t to have constant magnitude is đ â đ đ
đ đ = đ.
Proof:
Necessary condition: Suppose đč has constant magnitude, so đč đĄ â đč đĄ = đč (đĄ) 2
= đđđđ đĄđđđĄ.
=> đ
đđĄ đč â đč = 0 i.e. đč â
đđč
đđĄ +
đđč
đđĄ â đč = 0
=> 2đč â đđč
đđĄ = 0 i.e. đč â
đđč
đđĄ = 0.
Sufficient condition: Suppose đč â đđč
đđĄ = 0 => 2đč â
đđč
đđĄ = 0
=> đč â đđč
đđĄ +
đđč
đđĄ â đč = 0 =>
đ
đđĄ đč â đč = 0
=> đč â đč = đđđđ đĄđđđĄ => đč 2
= đđđđ đĄđđđĄ
Therefore đč has a constant magnitude.
Theorem 3: The necessary and sufficient condition for the vector function đ of a single
variable t to have a constant direction is đ Ă đ đ
đ đ = đ .
Proof: Suppose that đ is a unit vector in the direction of đč and đč = đč , then đ = đč
đč i.e.
đč = đčđ ⊠(1)
And đđč
đđĄ = đč
đđ
đđĄ+
đđč
đđĄ đ ⊠(2)
Thus đč Ă đđč
đđĄ = đčđ Ă (đč
đđ
đđĄ+
đđč
đđĄ đ ) (using (1) and (2))
= đč2đ Ă đđ
đđĄ +đč
đđč
đđĄ (đ Ă đ )
= đč2đ Ă đđ
đđĄ (since đ Ă đ = 0 ) ⊠(3)
Necessary condition: Suppose đč has a constant direction, then đ has a constant direction and
constant magnitude. So đđ
đđĄ = 0 . Thus from (3), đč Ă
đđč
đđĄ = 0 .
Sufficient condition : Suppose that đč Ă đđč
đđĄ = 0 .
Then by (3), đč2đ Ă đđ
đđĄ = 0 i.e. đ Ă
đđ
đđĄ = 0 ⊠(4)
Since đ has a constant magnitude, so, by theorem 2, đ â đđ
đđĄ = 0 ⊠(5)
Form (4) and (5), đđ
đđĄ = 0.
Which implies đ is a constant vector i.e. đ has a constant direction. Hence đč has a constant
direction.
Example 1: Show that if đ = đ đŹđąđ§đđ + đ đđšđŹ đđ where đ , đ and đ are constants, then
5
đ đđ
đ đđ = âđđđ and đ Ă
đ đ
đ đ = âđ(đ Ă đ) .
Solution: Given đ = đ sin đđĄ + đ cos đđĄ
Differentiating w. r. to t, đđ
đđĄ = đ đ cos đđĄ â đ đ sin đđĄ
Again differentiating w. r. to t, đ2đ
đđĄ 2 = âđ đ2 sin đđĄ â đ đ2 cos đđĄ
= â đ2 đ sin đđĄ + đ cos đđĄ = âđ2đ
Also đ Ă đđ
đđĄ = đ sin đđĄ + đ cos đđĄ Ă (đ đ cos đđĄ â đ đ sin đđĄ)
= đ Ă đ đ sin đđĄ cos đđĄ + đ Ă đ đ cos2 đđĄ â đ Ă đ đ sin2 đđĄ â đ Ă đ đ sin đđĄ cos đđĄ
= â đ Ă đ đ(cos2 đđĄ + sin2 đđĄ) (since đ Ă đ = đ Ă đ = 0 )
= â đ Ă đ đ = âđ(đ Ă đ ).
Example 2: If đ = đđđđ đ â đđđđ đ + đđđ đ and đ = đđ đ + đ đ â đđ đ , find đđ
đđđđ đ Ă đ at
(1, 0, -2).
Solution: Here đ Ă đ = đ„2đŠđ§ đ â 2đ„đ§3 đ + đ„đ§2 đ Ă 2đ§ đ + đŠ đ â đ„2 đ
= đ„2đŠ2đ§ đ + đ„4đŠđ§ đ + 4đ„đ§4 đ + 2đ„3đ§3 đ + 2đ„đ§3 đ â đ„đŠđ§2 đ
(â” đ Ă đ = đ Ă đ = đ Ă đ = 0 đđđ đ Ă đ = đ , đ Ă đ = âđ đđĄđ.)
= 2đ„3đ§3 â đ„đŠđ§2 đ + đ„4đŠđ§ + 2đ„đ§3 đ + đ„2đŠ2đ§ + 4đ„đ§4 đ
Now đ2
đđ„đđŠ đ Ă đ =
đ2
đđ„đđŠ 2đ„3đ§3 â đ„đŠđ§2 đ + đ„4đŠđ§ + 2đ„đ§3 đ + đ„2đŠ2đ§ + 4đ„đ§4 đ
= đ
đđ„
đ
đđŠ 2đ„3đ§3 â đ„đŠđ§2 đ + đ„4đŠđ§ + 2đ„đ§3 đ + đ„2đŠ2đ§ + 4đ„đ§4 đ
= đ
đđ„ âđ„đ§2 đ + đ„4đ§ đ + 2đ„2đŠđ§ đ = âđ§2 đ + 4đ„3đ§ đ + 4đ„đŠđ§ đ
At the point (1, 0, -2) đ2
đđ„đđŠ đ Ă đ = â4đ â 8đ
Example 3: If đ· = đđđđ + đđđ â đđ and đž = đ đŹđąđ§ đ đ â đđšđŹ đ đ + đđđ , then find (a) đ
đ đ đ· â đž
(b) đ
đ đ đ· Ă đž .
Solution: Consider đ = 5đĄ2đ + đĄ3đ â đĄđ and đ = 2 sin đĄ đ â cos đĄ đ + 5đĄđ
So đ đ
đ đ = 10đĄ đ + 3đĄ2đ â đ and
đ đ
đ đ = 2 cos đĄ đ + sin đĄ đ + 5đ
a) đ
đđĄ đ â đ =
đ đ
đ đ â đ + đ â
đ đ
đ đ
= 10đĄ đ + 3đĄ2đ â đ â 2 sin đĄ đ â cos đĄ đ + 5đĄđ
+ 5đĄ2đ + đĄ3đ â đĄđ â 2 cos đĄ đ + sin đĄ đ + 5đ
= 20 đĄ sin đĄ â 3đĄ2 cos đĄ â 5đĄ + 10 đĄ2 cos đĄ + đĄ3 sin đĄ â 5đĄ
= đĄ3 sin đĄ + 7đĄ2 cos đĄ + 20 đĄ sin đĄ â 10 đĄ
6
b) đ
đđĄ đ Ă đ =
đ đ
đ đ Ă đ + đ Ă
đ đ
đ đ
= 10đĄ đ + 3đĄ2đ â đ Ă 2 sin đĄ đ â cos đĄ đ + 5đĄđ
+ 5đĄ2đ + đĄ3đ â đĄđ Ă 2 cos đĄ đ + sin đĄ đ + 5đ
= đ đ đ
10 đĄ 3đĄ2 â12 sin đĄ â cos đĄ 5đĄ
+ đ đ đ
5đĄ2 đĄ3 âđĄ2 cos đĄ sin đĄ 5
= đ 15đĄ3 â cos đĄ + đ â2 sin đĄ â 50 đĄ2 + đ â10đĄ cos đĄ â 6đĄ2 sin đĄ
+ đ 5đĄ3 + đĄ sin đĄ + đ â2đĄ cos đĄ â 25 đĄ2 + đ 5đĄ2 sin đĄ â 2đĄ3 cos đĄ
= đ 20đĄ3 + đĄ sin đĄ â cos đĄ â đ 2đĄ cos đĄ + 2 sin đĄ + 75 đĄ2
âđ 2đĄ3 cos đĄ + 10đĄ cos đĄ + đĄ2 sin đĄ
Example 4: If đ đŒ
đ đ = đŸ Ă đŒ and
đ đœ
đ đ = đŸ Ă đœ , then prove that
đ
đ đ đŒ Ă đœ = đŸ Ă (đŒ Ă đœ ).
Solution: Given đđ
đđĄ = đ Ă đ and
đđ
đđĄ = đ Ă đ ⊠(1)
Consider đ
đđĄ đ Ă đ =
đđ
đđĄ Ă đ + đ Ă
đđ
đđĄ = đ Ă đ Ă đ + đ Ă đ Ă đ
= đ â đ đ â đ â đ đ + đ â đ đ â đ â đ đ = đ â đ đ â đ â đ đ
= đ Ă (đ Ă đ )
đąđ đđđ đ Ă đ Ă đ = đ â đ đ â đ â đ đ đđđ đ Ă đ Ă đ = đ â đ đ â đ â đ đ
7.3 CURVES IN SPACE
1. Tangent Vector:
Let đ đĄ = đ„ đĄ đ + đŠ đĄ đ + đ§(đĄ)đ be the position vector
of a point P. Then for different values of the scalar
parameter t, point P traces the curve in space (Fig.
17.1). For neighboring point Q with position vector
đ (đĄ + đżđĄ) , đżđ = đ đĄ + đżđĄ â đ đĄ implying đżđ
đżđĄ=
đ đĄ+đżđĄ âđ (đĄ)
đżđĄ is directed along the chord PQ.
As đżđĄ â 0, đżđ
đżđĄ becomes the tangent to the space curve
at P provided there exists a non zero limit.
Thus a vector đđ
đđĄ= đ âČ is a tangent to the space curve đ = đč (đĄ).
Let P0 be a fixed point on the space curve corresponding to t=t0, and the arc length đ0đ = đ , then
đżđ
đżđĄ=
đżđ
đżđ
đżđ
đżđĄ=
đđđ đđ
đđđđđ đđ đżđ
đżđĄ . ⊠(1)
As đ â đ along the curve QP, i.e. đżđĄ â 0, then the đđđ đđ
đđđđđ đđ â 1 and
đđ
đđĄ=
đđ
đđĄ = đ âČ(đĄ) ⊠(2)
7
If đđ
đđĄ is continuous, then đ =
đđ
đđĄ đđĄ
đĄ
đĄ0 = đ„âČ 2+ đŠâČ 2+ đ§âČ 2đđĄ
đĄ
đĄ0 ⊠(3)
Further, if we take s as the parameter in place of t, then the magnitude of the tangent vector i.e.
đđ
đđ = 1. Thus denoting the unit tangent vector by đ , we have đ =
đđ
đđ âŠ(4)
Example 5: Find the unit tangent vector at any point on the curve đ = đđ + đ, đ = đđ â đ,
đ = đđđ â đđ where t is variable. Also determine the unit tangent vector at t = 2.
Solution: Let đ be the position vector of any point đ„, đŠ, đ§ on the given curve,
then đ = đ„đ + đŠđ + đ§đ
⎠đ = đĄ2 + 2 đ + 4đĄ â 5 đ + 2đĄ2 â 6đĄ đ
The vector tangent to the curve at any point đ„, đŠ, đ§ is đđ
đđĄ = 2đĄ đ + 4 đ + 4đĄ â 6 đ
Now đđ
đđĄ = 2đĄ 2 + 4 2 + 4đĄ â 6 2 = 2 5đĄ2 â 12đĄ + 13
Therefore unit tangent vector at đ„, đŠ, đ§ =đđ
đđĄ đđ
đđĄ =
2đĄ đ + 4 đ + 4đĄâ6 đ
2 5đĄ2â12đĄ+13
And the unit tangent vector at t = 2 is đđ
đđĄ đđ
đđĄ
đĄ=2 =
2đĄ đ + 4 đ + 4đĄâ6 đ
2 5đĄ2â12đĄ+13 đĄ = 2
=2đ +2đ +đ
3.
2. Principal Normal: Since đ is a unit vector, so đđ
đđ â đ = 0 i.e. either
đđ
đđ is perpendicular to đ or
đđ
đđ = 0, in which case đ is a constant vector w.r.t. the arc length s and so has a fixed direction i.e.
the curve is a straight line. Now, if we denote the unit normal vector to the curve at P by đ , then đđ
đđ
is in the direction of đ which is known as the principal normal to the curve at P. The plane of đ
and đ is called osculating plane of the curve at P.
3. Binormal: A unit vector đ” = đ Ă đ is called the binormal at P. As đ and đ both are unit vectors,
so đ” is also a unit vector normal to both đ and đ
i.e. to the osculating plane of đ and đ .
Thus at each point P on the curve C, there are
three mutually perpendicular unit vectors đ , đ
and đ” , which form a moving trihedral such that
đ” = đ Ă đ , đ = đ” Ă đ , đ = đ Ă đ” . ⊠(1)
This moving trihedral determines three
fundamental planes at each point of the curve C.
(i) The osculating plane of đ and đ .
(ii) The normal plane of đ and đ” .
(iii) The rectifying plane of đ” and đ .
4. Curvture: The arc rate of turning of the tangent viz. đđ
đđ is called the curvature of the curve
and is denoted by . As đđ
đđ is in the direction of the principal normal đ , therefore
đđ
đđ = đ ⊠(2)
8
5. Torsion: As the binormal đ” is a unit vector, so đđ”
đđ â đ” = 0. Also đ” â đ = 0, therefore
đđ”
đđ â đ + đ” â
đđ
đđ = 0 or
đđ”
đđ â đ + đ” â đ = 0 or
đđ”
đđ â đ = 0. Hence,
đđ”
đđ is perpendicular to both đ” and đ and
is, therefore, parallel to đ . The arc rate of turning of the binormal viz. đđ”
đđ is called torsion of the
curve and is denoted by đ. So, we can write it as
đđ”
đđ = âđđ (the negative sign indicates that for đ > 0,
đđ”
đđ has a direction of âđ ) âŠ(3)
Further, we know that đ = đ” Ă đ , which on differentiation gives ,
đđ
đđ =
đđ”
đđ Ă đ + đ” Ă
đđ
đđ = âđđ Ă đ + đ” Ă đ
đđ
đđ = đđ” â đ (using (1)) ⊠(4)
The relations in (1), (2) and (3) constitutes the well known Frenet Formulas for the curve C.
Observations:
(i) đ =1
is called the radius of curvature.
(ii) đ =1
đ is called the radius of torsion.
(iii) đ = 0 for a plane curve.
Example 6: Find đ” (đ) and đ” (đ) for the curve represented by đ đ = đđ đ + đđđđ .
Solution: For given đ đĄ , we have đ âČ đĄ = 3đ + 4đĄđ and đ âČ đĄ = 9 + 16đĄ2
Which implies that the unit tangent vector đ đĄ = đ âČ đĄ
đ âČ đĄ =
3đ +4đĄđ
9+16đĄ2 ⊠(1)
Differentiating đ đĄ w. r. to t, đ âČ đĄ = 1
9+16đĄ2 4đ â
16đĄ
9+16đĄ2 32
(3đ + 4đĄđ ) = 12(â4đĄđ +3đ )
9+16đĄ2 3/2 âŠ(2)
And đ âČ đĄ = 12 9+16đĄ2
9+16đĄ2 3=
12
9+16đĄ2 ⊠(3)
Therefore, the principal unit normal vector is đ đĄ = đ âČ(đĄ)
đ âČ(đĄ) =
â4đĄđ +3đ
9+16đĄ2 ⊠(4)
But at đĄ = 1, the principal unit normal vector is đ 1 = 1
5 (â4đ + 3đ ).
Example 7: Find the angle between the tangents to the curve đ = đđ đ + đđ đ â đđ đ at the point
t = ± 1.
Solution: Differentiating the given curve w. r. to t, we get
đđ
đđĄ = 2đĄ đ + 2 đ â 3đĄ2 đ which is the tangent vector to the curve at any point t.
Let đ1 & đ2
are the tangent vectors to the curve at t = 1 and t = -1 respectively, then
đ1 = 2 đ + 2 đ â 3 đ and đ2
= â2 đ + 2 đ â 3 đ
Let đ be the angle between the tangents đ1 & đ2
, then
đ¶đđ đ = đ1 â đ2
đ1 đ2 =
2 đ +2 đ â3 đ â â2 đ +2 đ â3 đ
2 đ +2 đ â3 đ â2 đ +2 đ â3 đ =
â4 + 4 + 9
17 17=
9
17
9
⎠đ = đđđ â1 9
17
Example 8: Find the curvature and torsion of the curve đ = đ đđđ đ, đ = đ đđđ đ, đ = đđ. (This curve is drawn on a circular cylinder cutting its generators at a constant angle and is known as a circular helix)
Solution: Equation of the given curve in vector form is
đ = đ cos đĄ đ + đ sin đĄ đ + đđĄ đ
Differentiating w. r. to t,
đđ
đđĄ = âđ sin đĄ đ + đ cos đĄ đ + đ đ
Now, the arc length of the curve from P0 (t = 0) to any
point P (t) is given by
đ = đđ
đđĄ đđĄ
đĄ
0 = đ2 + đ2 đĄ
⎠đđ
đđĄ = đ2 + đ2
Now, the unit tangent vector,
đ =đđ
đđ =
đđ đđĄ
đđ đđĄ =
âđ sin đĄ đ + đ cos đĄ đ + đ đ
đ2+đ2
So đđ
đđ =
đđ đđĄ
đđ đđĄ =
âđ cos đĄ đ â đ sin đĄ đ
đ2+đ2
⎠= đđ
đđ =
đ
đ2+đ2 is the curvature of the given curve.
Also, the unit normal vector is đ = â(cos đĄ đ + sin đĄ đ ) and đ” = đ Ă đ = (b sin đĄ đ âđ cos đĄđ +đđ )
đ2+đ2
So đđ”
đđ =
đđ” đđĄ
đđ đđĄ =
đ(cos đĄ đ +sin đĄ đ)
đ2+đ2 = âđđ = đ(cos đĄ đ + sin đĄ đ )
Hence đ = đ
đ2+đ2 .
Example 9: A circular helix is given by the equation đ = đ đđšđŹ đ đ + đ đŹđąđ§ đ đ + đ . Find the
curvature and torsion of the curve at any point and show that they are constant.
Solution: Equation of the given curve in vector form is
đ = 2 cos đĄ đ + 2 sin đĄ đ + đ
Differentiating w. r. to t, đđ
đđĄ = â2 sin đĄ đ + 2 cos đĄ đ + 0 đ
Now, the arc length of the curve from P0 (t = 0) to any point P (t) is given by
đ = đđ
đđĄ đđĄ
đĄ
0 = 2 đĄ implying
đđ
đđĄ = 2
Now, the unit tangent vector, đ =đđ
đđ =
đđ đđĄ
đđ đđĄ =
â2 sin đĄ đ + 2 cos đĄ đ + 0 đ
2
So đđ
đđ =
đđ đđĄ
đđ đđĄ =
â cos đĄ đ â sin đĄ đ
2
⎠= đđ
đđ =
1
2 is the curvature of the given curve and is a constant.
Also, the unit normal vector is đ = â(cos đĄ đ + sin đĄ đ ) and
đ” = đ Ă đ = â sin đĄ đ + cos đĄ đ Ă â cos đĄ đ â sin đĄ đ = đ
So đđ”
đđ =
đđ” đđĄ
đđ đđĄ = 0 = âđđ = đ(cos đĄ đ + sin đĄ đ )
10
Hence đ = 0 is the torsion of the given curve and is constant.
Example 10: Show that for the curve đ = đ đđ â đđ đ + đđđđ đ + đ(đđ + đđ)đ , the curvature
equals torsion.
Solution: Given curve is đ = đ 3đĄ â đĄ3 đ + 3đđĄ2 đ + đ(3đĄ + đĄ3)đ
Differentiating w. r. to t, đđ
đđĄ= đ 3 â 3đĄ2 đ + 6đđĄ đ + đ 3 + 3đĄ2 đ
Now, the arc length of the curve P0 (t = 0) to any point P (t) is given by
đ = đđ
đđĄ đđĄ
đĄ
0= đ 3 â 3đĄ2
2 + 6đđĄ 2 + đ 3 + 3đĄ2
2 đđĄ
đĄ
0
= 3đ 2 đĄ2 + 1 đđĄđĄ
0= 3đ 2
đĄ3
3+ đĄ
⎠đđ
đđĄ = 3đ 2 đĄ2 + 1
Now, the unit tangent vector,
đ = đđ
đđ =
đđ đđĄ
đđ đđĄ =
đ 3â3đĄ2 đ +6đđĄ đ +đ 3+3đĄ2 đ
3đ 2 đĄ2+1 =
1âđĄ2 đ +2đĄ đ + 1+đĄ2 đ
2 đĄ2+1
So đđ
đđ =
đđ đđĄ
đđ đđĄ =
â2đĄ đ + 1âđĄ2 đ
3đ 1+đĄ2 3
⎠= đđ
đđ =
1
3đ 1+đĄ2 2 is the curvature of the given curve.
Also, the unit normal vector is đ =â2đĄ đ + 1âđĄ2
đ
1+đĄ2
and
đ” = đ Ă đ = 1âđĄ2 đ +2đĄ đ + 1+đĄ2 đ
2 1+đĄ2
So đđ”
đđ =
đđ” đđĄ
đđ đđĄ = â
â2đĄ đ + 1âđĄ2 đ
3đ 1+đĄ2 3 = â
1
3đ 1+đĄ2 2 .
â2đĄ đ + 1âđĄ2 đ
1+đĄ2 = âđđ
⎠đ =1
3đ 1+đĄ2
2 is the torsion of the given curve.
Hence curvature equals torsion for the given curve.
ASSIGNMENT 1
1. If đ = đ„2đŠđ§ đ â 2đ„đ§3đ + đ„đ§2đ and đ = 2đ§ đ + đŠ đ â đ„2đ , find đ2
đđ„đđŠ đ Ă đ at (1, 0, -2).
2. Given đ = đĄđ đŽ + đĄđ đ” , where đŽ and đ” are constant vectors, show that, if đ and đ2đ
đđĄ2 are parallel
vectors, then đ + đ = 1, unless đ = đ.
3. Find the equation of tangent line to the curve đ„ = đ cos đ , đŠ = đ sin đ , đ§ = đđ tan đŒ at = đ
4.
11
4. Find the unit tangent vector at any point on the curve đ„ = đĄ2 + 2, đŠ = 4đĄ â 5, đ§ = 2đĄ2 â 6đĄ, where t
is any variable. Also determine the unit tangent vector at the point đĄ = 2.
5. If đ = đ cos đĄ đ + đ sin đĄ đ + đđĄ tan đŒ đ , find the value of (a) đđ
đđĄĂ
đ2đ
đđĄ2 (b)
đđ
đđĄ
đ2đ
đđĄ2
đ3đ
đđĄ3 .
Also find the unit tangent vector at any point t on the curve.
6. Find the equation of the osculating plane and binormal to the curve
(a) đ„ = đđ cos đ , đŠ = đđ sin đ , đ§ = đđ at đ = 0 (b) đ„ = 2 coshđ
2, đŠ = 2 sinh
đ
2, đ§ = 2đ at đ = 0
7. Find the curvature of the (a) ellipse đ = đ cos đĄ đ + đ sin đĄ đ (b) parabola đ = 2đĄ đ + đĄ2 đ at point
đĄ = 1.
17.4 VELOCITY AND ACCELERATION
1. Velocity: Let the position of particle P at a time t on the curve C is đ đĄ and it comes to point Q
at time đĄ + đżđĄ having position đ đĄ + đżđĄ , then đżđ = đ đĄ + đżđĄ â đ đĄ i.e. đżđ
đżđĄ is directed along PQ.
As đ â đ along C, the line PQ becomes tangent at P to the curve C.
So đŁ đĄ = đđ
đđĄ = LtđżđĄâ0
đżđ
đżđĄ is the tangent vector to C at point P which is the velocity vector đŁ (đĄ) of
the motion and its magnitude gives the speed đŁ = đđ
đđĄ, where s is the arc length of P from a fixed
point P0 (s=0) on C.
2. Acceleration: Acceleration vector đ đĄ of a particle is the derivative of the velocity vector đŁ (đĄ),
and it is given by đ đĄ = đđŁ
đđĄ=
đ2đ
đđĄ2 . It is an interesting fact that the magnitude of acceleration is not
always the rate of change of đŁ = đŁ , as đ đĄ is not always tangential to the curve C. There are two
components of acceleration, which are given as: (i) Tangential Acceleration (ii) Normal
Acceleration
Observation: The acceleration is the time rate of change of đŁ đĄ = đđ
đđĄ, if and only if the normal acceleration
is zero, for then đ = đ2đ
đđĄ2 đđ
đđ =
đ2đ
đđĄ2 .
3. Relative Velocity and Acceleration: Let two particles P and
Q moving along the curves C1 and C2 have position vectors đ1 (đĄ)
and đ2 (đĄ) at time t, so that đ đĄ = đđ = đ2 đĄ â đ1 (đĄ)
Differentiating w. r. to t, đđ
đđĄ=
đđ 2
đđĄâ
đđ 1
đđĄ ⊠(1)
This defines the relative velocity of Q w. r. t. P and states that the
velocity of Q relative to P = Velocity vector of Q â Velocity
vector of P.
Again differentiating (1) w. r. to t., we have
đ2đ
đđĄ2=
đ2đ 2
đđĄ2â
đ2đ 1
đđĄ 2
This defines the relative acceleration of Q w. r. t. and states that Acceleration of Q relative to P =
Acceleration of Q â Acceleration of P.
12
Example 11: Find the tangential and normal acceleration of a particle moving in a plane
curve in Cartesian coordinates.
Solution: Let đ be the position vector the point P, a function of a scalar t. In particular, if the scalar
variable t is taken as an arc length s along the curve C measured from some fixed point, that is,
đ„ = đ„ đ , đŠ = đŠ đ , đ§ = đ§(đ ) then đ = đ„ đ đ + đŠ đ đ + đ§(đ )đ
So that đđ
đđ =
đđ„
đđ đ +
đđŠ
đđ đ +
đđ§
đđ đ ⊠(1)
And đđ
đđ
2
= đđ„
đđ
2+
đđŠ
đđ
2+
đđ§
đđ
2 ⊠(2)
For two dimension curves we have in calculus
đđ 2 = đđ„ 2 + đđŠ 2
which when extended to the space, becomes
đđ 2 = đđ„ 2 + đđŠ 2 + đđ§ 2
Or đđ„
đđ
2+
đđŠ
đđ
2+
đđ§
đđ
2= 1
Therefore (2) gives đđ
đđ
2
= 1
That means, đđ
đđ is a unit vector along the tangent and (1) represents a unit tangent vector along the
curve C in space.
Therefore, Velocity đŁ of the particle at any point of the curve is given by
đŁ =đđ
đđĄ= đđ
đđ đđ đđĄ
= đŁ đ ⊠(3)
where đŁ =đđ
đđĄ and đ =
đđ
đđ is the unit vector along the tangent.
Thus đŁ =đđ
đđĄ is the tangential component of the velocity and the normal component of the velocity
is zero.
Next, acceleration đ =đđŁ
đđĄ= đ(đŁđ)
đđĄ= đđŁ
đđĄ đ + đŁ
đđ
đđĄ
or đ =đ2đ
đđĄ2 đ + đđ
đđĄ
đđ
đđ
đđ
đđĄ=
đđŁ
đđĄ đ + đŁ2
đđ
đđ
đđ
đđ
=đđŁ
đđĄ đ +
đŁ2
đ đđ
đđ (since radius of curvature, đ =
đđ
đđ ) ⊠(4)
From the adjoining figure, đ = đđ is along the tangent at P to the curve C and đ is the unit vector
along the normal to P.
⎠đ = cos đ đ + sin đ đ and đ = cos đ
2+ đ đ + sin
đ
2+ đ đ = âsin đ đ + cos đ đ
Now đđ
đđ = âsin đ đ + cos đ đ = đ
Therefore, equation (4) becomes đ =đđŁ
đđĄ đ +
đŁ2
đđ
Which shows that tangential and normal components of acceleration at the point P are đđŁ
đđĄ and
đŁ2
đ .
Since đđŁ
đđĄ=
đđŁ
đđ
đđ
đđĄ = v
đđŁ
đđ , so the tangential component of acceleration is also written as v
đđŁ
đđ .
13
Example 12: Find the radial and transverse acceleration of a particle moving in a plane curve
in Polar coordinates.
Solution: Let the position vector of a moving particle đ(đ, đ) be đ so that
đ = đ đ = đ (cos đ đ + sin đ đ ) at any time t.
Then the velocity of the particle is đŁ = đđ
đđĄ=
đđ
đđĄ đ + đ
đđ
đđĄ
As đ = (cos đ đ + sin đ đ ) so đđ
đđĄ= (âsinđ đ + cos đ đ )
đđ
đđĄ
Therefore, đđ
đđĄ is perpendicular to đ and
đđ
đđĄ =
đđ
đđĄ i.e. if đą
is a unit vector perpendicular to đ , then đđ
đđĄ=
đđ
đđĄ đą
And thus, đŁ = đđ
đđĄ=
đđ
đđĄ đ + đ
đđ
đđĄ đą
So the radial and transverse components of the velocity are đđ
đđĄ and
đđ
đđĄ.
Also đ = đđŁ
đđĄ=
đ2đ
đđĄ 2 đ +
đđ
đđĄ
đđ
đđĄ +
đđ
đđĄ
đđ
đđĄ đą +đ
đ2đ
đđĄ 2 đą + đ
đđ
đđĄ
đđą
đđĄ
= đ2đ
đđĄ 2â đ
đđ
đđĄ
2
đ + 2đđ
đđĄ
đđ
đđĄ+ đ
đ2đ
đđĄ2 đą
đ đđđđ đą = â sin đ đ + cos đ đ đđđŁđđ đđą
đđĄ= â
đđ
đđĄđ
Thus radial and transverse components of the acceleration are đ2đ
đđĄ 2â đ
đđ
đđĄ
2
and
2đđ
đđĄ
đđ
đđĄ+ đ
đ2đ
đđĄ 2 .
Example 13: A particle moves along the curve đ = đđ â đđ đ + đđ + đđ đ + đđđ â đđđ đ
where t denotes the time. Find the magnitudes of acceleration along the tangent and normal at
time t = 2.
Solution: The velocity of the particle is đŁ = đđ
đđĄ = 3đĄ2 â 4 đ + 2đĄ + 4 đ + 16đĄ â 9đĄ2 đ
And the acceleration is đ = đ2đ
đđĄ 2 = 6đĄ đ + 2 đ + 16 â 18đĄ đ
At t = 2, đŁ = 8 đ + 8 đ â 4 đ and đ = 12 đ + 2 đ â 20 đ
Since the velocity vector is also the tangent vector to the curve, so the magnitude of acceleration
along the tangent at t = 2 is = đ â đŁ
đŁ = 12 đ + 2 đ â 20 đ â
8 đ +8 đ â4 đ
64+64+16
= 12 8 + 2 8 + â20 (â4)
12 = 16
And, the magnitude of acceleration along the normal at t = 2 is
đ â đ¶đđđđđđđđĄ đđ đ along the tangent at đĄ = 2 = 12 đ + 2 đ â 20 đ â 16 8 đ +8 đ â4 đ
12
= 4 đ â26 đ â44 đ
3 = 2 73
Example 14: A person going east wards with a velocity of 4 km per hour, finds that the wind
appears to blow directly from the north. He doubles his speed and the wind seems to come
from north-east. Find the actual velocity of the wind.
14
Solution: Let the actual velocity of the wind is đŁ = đ„đ + đŠđ , where đ and đ represent velocities of 1
km per hour towards the east and north respectively. As the person is going eastwards with a
velocity of 4 km per hour, his actual velocity is 4đ .
Then the velocity of the wind relative to the man is đ„đ + đŠđ â 4đ , which is parallel to âđ , as it
appears to blow from the north. Hence x = 4.
When the velocity of the person becomes 8đ , the velocity of the wind relative to a man is đ„đ + đŠđ â
8đ . But this is parallel to â đ + đ .
⎠đ„â8
đŠ = 1 which gives đŠ = â4 (using (1))
Hence the actual velocity of the wind is 4đ â 4đ i.e. 4 2 km per hour towards south east.
Example 15: A particle moves along the curve đ = đđ + đ, đ = đđ, đ = đđ + đ where t is the
time. Find the components of velocity and acceleration at t = 1in the direction of the vector
đ + đ + đđ .
Solution: Let đ be the position vector of the particle at any time t,
then đ = đĄ3 + 1 đ + đĄ2 đ + 2đĄ + 3 đ
So the velocity is đŁ = đđ
đđĄ = 3đĄ2 đ + 2đĄ đ + 2 đ
And the acceleration is đ = đ2đ
đđĄ 2 = 6đĄ đ + 2 đ + 0 đ
At t =1, đŁ = 3 đ + 2 đ + 2 đ and đ = 6 đ + 2 đ + 0 đ
Also the unit vector in the direction of the given vector đ + đ + 3đ is = đ +đ +3đ
đ +đ +3đ =
đ +đ +3đ
11
Now the component of velocity at t = 1, in the direction of the vector đ + đ + 3đ =
3 đ +2 đ +2 đ â đ +đ +3đ
11=
3+2+6
11 = 11
And the component of acceleration at t = 1, in the direction of the vector đ + đ + 3đ =
6 đ +2 đ +0 đ â đ +đ +3đ
11=
6+2+0
11=
8
11
ASSIGNMENT 2
1. The particle moves along a curve đ„ = đâđĄ , đŠ = 2 cos 3đĄ , đ§ = 2 sin 3đĄ, where t is the time variable.
Determine its velocity and acceleration vectors and also the magnitudes of velocity and
acceleration at đĄ = 0.
2. A particle (with position vector đ ) is moving in a circle with constant angular velocity đ. Show
by vector methods, that the acceleration is equal to âđ2đ .
3. A particle moves on the curve đ„ = 2đĄ2 , đŠ = đĄ2 â 4đĄ, đ§ = 3đĄ â 5, where t is the time. Find the
components of velocity and acceleration at time t = 1 in the direction đ â 3đ + 2đ .
4. The position vector of a particle at time t is đ = cos(đĄ â 1) đ + sinh đĄ â 1 đ + đđĄ3đ . Find the
condition imposed on a by requiring that at time t = 1, the acceleration is normal to the position
vector.
15
5. A particle moves so that its position vector is given by đ = cos đđĄ đ + sin đđĄ đ . Show that the
velocity đŁ of the particle is perpendicular to đ and đ Ă đŁ is a constant vector.
6. A particle moves along a catenary đ = đ tan đ. The direction of acceleration at any point makes
equal angles with the tangent and normal to the path at that point. If the speed at vertex (đ = 0)
be đŁ0, show that the magnitude of velocity and acceleration at any point are given by đŁ0 đđ and
2
đđŁ0
2đ2đ cos2 đ respectively.
7. The position vector of a moving particle at a time t is đ = đĄ2 đ â đĄ3 đ + đĄ4 đ . Find the tangential
and normal components of acceleration at t = 1.
8. A vessel A is a sailing with a velocity of 11 knots per hour in the direction south-east and a
second vessel B is sailing with a velocity of 13 knots per hour in a direction 300 of north. Find
the velocity of A relative to B.
9. The velocity of a boat relative to water is represented by 3đ + 4đ and that of water relative to
earth is đ â 3đ . What is the velocity of the boat relative to earth if đ and đ represent one KM an
hour east and north respectively?
10. A person travelling towards the north-east with a velocity of 6 KM per hour finds that the wind
appears to blow from the north, but when he doubles his speed it seems to come from a
direction inclined at an angle tanâ1 2 to the north of east. Show that the actual velocity of the
wind is 3 2 KM per hour towards the east.
17.5 DEL APPLIED TO SCALAR POINT FUNCTIONS: GRADIENT [KUK 2009]
Del Operator: Del operator is a vector differential operator and is written as
đ = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§
Gradient of a Scalar Function: Let â (đ„, đŠ, đ§) be a scalar function of three variables defined over a
region R of space. Then gradient of is a vector function defined as
â = đ đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đđ§,
wherever the partial derivatives exists. It may also be denoted as đđđđ(â ). The del operator is also
called the gradient operator.
Level Surface: Let â (đ„, đŠ, đ§) be a scalar valued function and C is a constant. The surface given by
â đ„, đŠ, đ§ = đ¶ through a point đ(đ ) is such that at each point on it the function has same value, is
called the level surface of â đ„, đŠ, đ§ through P, e.g. equi-potential or isothermal surfaces.
In other words, locus of the point đ(đ ) satisfying â đ = đ¶ form a surface through P. This surface is
called the level surface through P.
Gradient as Normal or Geometrical Interpretation of Gradient
16
Let â đ = â đ„, đŠ, đ§ is a scalar function where đ = đ„đ + đŠđ + đ§đ . And â đ„, đŠ, đ§ = đ¶ is the level
surface of â through đ(đ ). Let đ(đ + đżđ ) be a point on neighboring level surface â + đżâ , then
đâ â ÎŽr = đ đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đđ§ â đżđ„đ + đżđŠđ + đżđ§đ
= đâ
đđ„ đżđ„ +
đâ
đđŠ đżđŠ +
đâ
đđ§ đżđ§ = đżâ ⊠(1)
Now if P and Q lie on same level surface i.e. â & â + đżâ are
same, then đżâ = 0.
Implies đâ â ÎŽr = 0 (using (1))
Therefore, đâ is perpendicular (normal) to every ÎŽr lying on
this surface.
Hence, đâ is normal to the surface â đ„, đŠ, đ§ = đ¶ and we can write đâ = đâ n , where đ is unit
normal vector to the surface.
See the Fig. 17.7, if the perpendicular distance PM between the surfaces through P and Q be đżđ, then
rate of change of â along the normal to the surface through P is
đâ
đđ= đżđĄđżđâ0
đżâ
đżđ = đżđĄđżđâ0
đâ âÎŽr
đżđ (using (1))
= Ltđżđâ0 đâ n âÎŽr
đżđ = đâ Ltđżđâ0
n âÎŽr
đżđ ⊠(2)
= đâ Ltđżđâ0ÎŽn
đżđ = đâ (đŽđ đ â đżđ = đżđ cos đ = đżđ)
Hence the magnitude of đâ i.e. đâ = đâ
đđ ⊠(3)
Thus đđđđ â is normal vector to the level surface â đ„, đŠ, đ§ = đ¶ and its magnitude represents the rate
of change of â along this normal.
Directional Derivative: If đżđ denotes the length PQ and đ be the unit vector in the direction of PQ,
the limiting value of đżđ
đżđ as đżđ â 0 (i.e.
đđ
đđ) is known as the directional derivative of f along the
direction PQ.
Since đżđ =đżđ
cos đŒ=
đżđ
đ âđą , therefore
đđ
đđ= Ltđżđâ0 đ â đą
đżđ
đżđ = đą â
đżđ
đżđ đ = đą â đđ
Thus the directional derivative of f in the direction of đą is the resolved part of đđ in the direction of đą .
Since đđ â đą = đđ cos đŒ †đđ
It follows that đđ gives the maximum rate of change of f.
Properties of Gradient Operator: Let â (đ„, đŠ, đ§) & Ï(đ„, đŠ, đ§) are two differentiable scalar functions
defined over some region R. then the gradient operator has following properties:
17
(i) Gradient of a constant multiple of scalar function â
đđđđ đ¶â = đ¶ đđđđ(â ) or â đ¶â = đ¶ ââ
Proof: Consider đđđđ đ¶â = â đ¶â
= đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ đ¶â
= đ đ
đđ„(đ¶â ) + đ
đ
đđŠ(đ¶â ) + đ
đ
đđ§(đ¶â )
= đ¶ đ đâ
đđ„+ đ¶ đ
đâ
đđŠ+ đ¶ đ
đâ
đđ§
= đ¶ đ đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đđ§
= đ¶ đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ â
= đ¶ ââ = đ¶ đđđđ â
Hence đđđđ đ¶â = đ¶ đđđđ(â ).
(ii) Gradient of sum or difference of two scalar functions
đđđđ â ± đ = đđđđ â ± đđđđ(đ) or â â ± đ = ââ ± âđ
Proof: Consider đđđđ â ± đ = â â ± đ
= đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ â ± đ
= đ đ
đđ„ â ± đ + đ
đ
đđŠ â ± đ + đ
đ
đđ§ â ± đ
= đ đâ
đđ„±
đđ
đđ„ + đ
đâ
đđŠÂ±
đđ
đđŠ + đ
đâ
đđ§Â±
đđ
đđ§
= đ đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đ𧠱 đ
đđ
đđ„+ đ
đđ
đđŠ+ đ
đđ
đđ§
= đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ â ± đ
đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ đ
= ââ ± âđ = đđđđ â ± đđđđ(đ).
Hence đđđđ â ± đ = đđđđ â ± đđđđ(đ).
(iii) Gradient of product of two scalar functions
đđđđ â đ = â đđđđ đ + đ đđđđ(â ) or â â đ = â âđ + đ ââ
Proof: Consider đđđđ â đ = â â đ
= đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ â đ
= đ đ
đđ„ â đ + đ
đ
đđŠ â đ + đ
đ
đđ§ â đ
18
= đ â đđ
đđ„+ đ
đâ
đđ„ + đ â
đđ
đđŠ+ đ
đâ
đđŠ + đ â
đđ
đđ§+ đ
đâ
đđ§
= â đ đđ
đđ„+ đ
đđ
đđŠ+ đ
đđ
đđ§ + đ đ
đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đđ§
= â âđ + đ ââ = â đđđđ đ ± đ đđđđ(â )
Hence đđđđ â đ = â đđđđ đ ± đ đđđđ(â ).
(iv) Gradient of quotient of two scalar functions
đđđđ â
đ =
đ đđđđ â ââ đđđđ (đ)
đ 2 or â
â
đ =
đ â â ââ â(đ)
đ 2, provided đ â 0.
Proof: Consider đđđđ â
đ = â
â
đ
= đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§
â
đ
= đ đ
đđ„
â
đ + đ
đ
đđŠ
â
đ + đ
đ
đđ§
â
đ
= đ đ
đâ
đđ„ â â
đđ
đđ„
đ2 + đ đ
đâ
đđŠ â â
đđ
đđŠ
đ2 + đ đ
đâ
đđ§ â â
đđ
đđ§
đ2
=1
đ2 đ đ
đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đđ§ â â đ
đđ
đđ„+ đ
đđ
đđŠ+ đ
đđ
đđ§
=1
đ2 đ đđđđ(â ) â â đđđđ(đ) =
đ đđđđ â ââ đđđđ (đ)
đ 2
=đ â â ââ â(đ)
đ 2
Hence đđđđ â
đ =
đ đđđđ â ââ đđđđ (đ)
đ 2 .
Example 16: If â = đđđđ â đđđđ , then find đđđđ â at (1, -2, -1).
Solution: đđđđ â = â 3đ„2đŠ â đŠ3đ§2
= đ đ
đđ„ 3đ„2đŠ â đŠ3đ§2 + đ
đ
đđŠ 3đ„2đŠ â đŠ3đ§2 + đ
đ
đđ§ 3đ„2đŠ â đŠ3đ§2
= đ 6đ„đŠ + đ 3đ„2 â 3đŠ2đ§2 + đ â2đŠ3đ§
At (1, -2, -1), đđđđ â = đ 6 1 â2 + đ 3 1 2 â 3 â2 2 â1 2 + đ â2 â2 3 â1
= â12đ â 9đ â 16đ
Example 17: Prove that đ đđ = đ đđâđ đ , where đ = đđ + đđ + đđ .
Solution: Here đ = đ„đ + đŠđ + đ§đ and đ2 = đ„2 + đŠ2 + đ§2
So differentiating partially w. r. t. x, đđ
đđ„=
đ„
đ, Similarly,
đđ
đđŠ=
đŠ
đ and
đđ
đđ§=
đ§
đ ⊠(1)
19
Consider â đđ = đ đ
đđ„ đđ + đ
đ
đđŠ đđ + đ
đ
đđ§ đđ
= đ đ đđâ1 đđ
đđ„ + đ đ đđâ1 đđ
đđŠ + đ đ đđâ1 đđ
đđ§
= đ đ đđâ1 đ„
đ + đ đ đđâ1 đŠ
đ + đ đ đđâ1 đ§
đ
= đ đ đđâ2 đ„ + đ đ đđâ2 đŠ + đ đ đđâ2 đ§
= đ đđâ2 đ„đ + đŠđ + đ§đ = đ đđâ2 đ
Hence â đđ = đ đđâ2 đ
Example 18: Find the unit vector normal to the surface đđ + đđ + đđđđ = đ at
(i) the point (1, 2, -1) * (ii) the point (1, 3, -1)** [KUK *2006, **2011]
Solution: We know that a vector normal to a surface is given by its gradient, so if đ is the vector
normal to the given surface then
đ = â đ„3 + đŠ3 + 3đ„đŠđ§ â 3 = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ đ„3 + đŠ3 + 3đ„đŠđ§ â 3
= 3đ„2 + 3đŠđ§ đ + 3đŠ2 + 3đ„đ§ đ + 3đ„đŠ đ
(i) At point (1, 2, -1), đ = 3 1 2 + 3 2 â1 đ + 3 2 2 + 3 1 â1 đ + 3 1 2 đ
= âđđ + 9đ + 6đ
Also đ = â3 2 + 9 2 + 6 2 = 126
Therefore the unit normal vector to the given surface at a point (1, 2, -1) is
đ =1
126 âđđ + 9đ + 6đ .
(ii) At point (1, 3, -1), đ = 3 1 2 + 3 3 â1 đ + 3 3 2 + 3 1 â1 đ + 3 1 3 đ
= â6đ + 24đ + 9đ
Also đ = â6 2 + 24 2 + 9 2 = 693
Therefore the unit normal vector to the given surface at a point (1, 3, -1) is
đ =1
693 â 6 đ + 24 đ + 9 đ .
Example 19: Show that đđđđ đ(đđ+đđ+đđ) = đđđđ, đ°đĄđđ«đ đđ = đ đ = đđ + đđ + đđ.
Solution: Here đ2 = đ„2 + đŠ2 + đ§2
So differentiating w. r. t. x, đđ
đđ„=
đ„
đ, Similarly,
đđ
đđŠ=
đŠ
đ and
đđ
đđ§=
đ§
đ.
Now đđđđ đ đ„2+đŠ2+đ§2 = â đđ2= đ
đ
đđ„ đđ2
+ đ đ
đđŠ đđ2
+ đ đ
đđ§ đđ2
= đ đđ2 2đ
đđ
đđ„ + đ đđ2
2đđđ
đđŠ + đ đđ2
2đđđ
đđ§
20
= đđ2 2đ đ
đđ
đđ„+ đ
đđ
đđŠ+ đ
đđ
đđ§ = đđ2
2đ đ đ„
đ+ đ
đŠ
đ+ đ
đ§
đ
= 2đđ2đ
Example 20: If đ = đ + đ + đ, đ = đđ + đđ + đđ đđ§đ đ = đđ + đđ + đđ , then show that
đđđđ đ, đđđđ đ đđ§đ đđđđ đ are coplanar.
Solution: Consider đđđđ đą = đ đđą
đđ„+ đ
đđą
đđŠ+ đ
đđą
đđ§ = đ 1 + đ 1 + đ 1 = đ + đ + đ
đđđđ đŁ = đ đđŁ
đđ„+ đ
đđŁ
đđŠ+ đ
đđŁ
đđ§= đ 2đ„ + đ 2đŠ + đ 2đ§ = 2đ„ đ + 2đŠ đ + 2đ§ đ
đđđđ đ€ = đ đđ€
đđ„+ đ
đđ€
đđŠ+ đ
đđ€
đđ§= đŠ + đ§ đ + đ§ + đ„ đ + đ„ + đŠ đ
We know that three vectors đ , đ đđđ đ are coplanar if their scalar triple product is zero i.e.
đ đ đ = 0
Consider đđđđ đą đđđđ đŁ đđđđ đ€ = 1 1 1
2đ„ 2đŠ 2đ§đŠ + đ§ đ§ + đ„ đ„ + đŠ
= 2 1 1 1đ„ đŠ đ§
đŠ + đ§ đ§ + đ„ đ„ + đŠ (taking common 2 from R2)
= 2 1 1 1
đ„ + đŠ + đ§ đ„ + đŠ + đ§ đ„ + đŠ + đ§đŠ + đ§ đ§ + đ„ đ„ + đŠ
(adding R2 and R3)
= 2(đ„ + đŠ + đ§) 1 1 11 1 1
đŠ + đ§ đ§ + đ„ đ„ + đŠ
(taking common (x + y + z) from R2)
= 2 đ„ + đŠ + đ§ 0 = 0
Hence đđđđ đą, đđđđ đŁ and đđđđ đ€ are coplanar.
Example 21: Show that đđđđ đ đ Ă đ = đ .
Solution: Here đđđđ đ đ = â đ(đ) = đ đ
đđ„ đ(đ) + đ
đ
đđŠ đ(đ) + đ
đ
đđ§ đ(đ)
= đ đ âČ(đ) đđ
đđ„ + đ đ âČ(đ)
đđ
đđŠ + đ đ âČ(đ)
đđ
đđ§
= đ âČ(đ) đ đđ
đđ„+ đ
đđ
đđŠ+ đ
đđ
đđ§ = đ âČ(đ) đ
đ„
đ+ đ
đŠ
đ+ đ
đ§
đ
= đ âČ(đ) đ
đ
21
Now đđđđ đ đ Ă đ = đ âČ(đ) đ
đĂ đ = đ âČ(đ)
1
đ đ Ă đ = 0
đ đđđđ đ Ă đ = 0
Example 22: Find the directional derivative of đ đ, đ, đ = đđđđđđ at the point (1, 1, -1) in the
direction of the tangent to the curve đ = đđ, đ = đ đđđ đ + đ, đ = đ â đđđ đ at t = 0.
Solution: Consider â đ đ„, đŠ, đ§ = â đ„2đŠ2đ§2 = 2đ„đŠ2đ§2 đ + 2đŠđ„2đ§2 đ + 2đ§đ„2đŠ2 đ
At (1, 1, -1), â đ đ„, đŠ, đ§ = 2 đ + 2 đ â 2 đ
Now đ = đ„đ + đŠđ + đ§đ = đđĄ đ + 2 sin đĄ + 1 đ + (đĄ â cos đĄ)đ
So tangent to the curve is đđ
đđĄ = đđĄ đ + 2 cos đĄ đ + (1 + sin đĄ)đ
At t = 0, đđ
đđĄ = đ + 2đ + đ
And the unit tangent vector is đđ
đđĄ/
đđ
đđĄ =
đ +2đ +đ
6
So the required directional derivative in the direction of the tangent is âđ đ„, đŠ, đ§ â đđ
đđĄ/
đđ
đđĄ
= 2 đ + 2 đ â 2 đ â đ + 2đ + đ / 6 =4
6=
2 3
3
Example 23: If the directional derivative â = đ đđđ + đ đđđ + đ đđđ at the point (1, 1, 1) has
maximum magnitude 15 in the direction parallel to the line đâđ
đ=
đâđ
âđ=
đ
đ , find the values of
a, b and c. [Madrass 2004]
Solution: Consider â â = â (đ đ„2đŠ + đ đŠ2đ§ + đ đ§2đ„)
= 2đ đ„đŠ + đ đ§2 đ + đ đ„2 + 2đ đŠđ§ đ + (đ đŠ2 + 2đ đ§đ„)đ
At (1, 1, 1), â â = 2đ + đ đ + đ + 2đ đ + (đ + 2đ)đ
We know that directional derivative of â is maximum in the direction of its normal vector â â , but it
is given to be maximum in the direction of the line đ„â1
2=
đŠâ3
â2=
đ§
1 .
Therefore, the line and normal vector are parallel to each other, which results as:
2đ+đ
2=
đ+2đ
â2=
đ+2đ
1 ⊠(1)
Taking first two members of (1), 3đ + 2đ + đ = 0
and by last two members of (1), đ + 4đ + 4đ = 0
Solving the two obtained equations, đ
4=
đ
â11=
đ
10 = đ đżđđĄ
=> đ = 4đ, đ = â11đ đđđ đ = 10đ ⊠(2)
Also given that maximum magnitude of directional derivative is 15 units i.e. ââ = 15
So , 2đ + đ 2 + đ + 2đ 2 + đ + 2đ 2 = 15 2 âŠ(3)
Putting the values of a, b and c from (2),
22
8đ + 10đ 2 + 4đ â 22đ 2 + â11đ + 20đ 2 = 15 2 => đ = ± 5
9
Hence đ = ± 20
9 , đ = â
55
9 , đ = ±
50
9.
Example 24: In what direction from (3, 1, -2) is the directional derivative of â = đđđđđđ
maximum? Find also the magnitude of this maximum. [KUK 2010, 2007, 2006]
Solution: The vector normal to the given surface is
đ = â â = â đ„2đŠ2đ§4 = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ đ„2đŠ2đ§4
= 2đ„đŠ2đ§4 đ + 2đ„2đŠđ§4 đ + 4đ„2đŠ2đ§3 đ
At point (3, 1, -2) đ = 2 3 1 2 â2 4 đ + 2 3 2 1 â2 4 đ + 4 3 2 1 2 â2 3 đ
= 96 đ + 288 đ â 288 đ
Also đ = 96 2 + 288 2 + â288 2 = 96 19
So the directional derivative of given surface will be maximum in the direction of
96 đ + 288 đ â 288 đ and the magnitude of this maximum is 96 19.
Example 25: Find the angle between the surfaces đđ + đđ + đđ = đ and đ = đđ + đđ â đ at
(2, -1, 2). [KUK 2008]
Solution: Given surfaces are
â 1 = đ„2 + đŠ2 + đ§2 â 9 = 0 ⊠(1)
and â 2 = đ„2 + đŠ2 â đ§ â 3 = 0 ⊠(2)
We know that gradient of a surface gives the vector normal to the surface. Let đ 1 and đ 2 are the
vectors normal to the surfaces (1) and (2) respectively.
Now ââ 1 = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ â đ„2 + đŠ2 + đ§2 = 9 = 2đ„ đ + 2đŠ đ + 2đ§ đ ⊠(3)
ââ 2 = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ â đ„2 + đŠ2 â đ§ â 3 = 2đ„ đ + 2đŠ đ â đ ⊠(4)
So, đ 1 = ââ 1 at (2,â1,2) = 4 đ â 2 đ + 4 đ and đ 2 = ââ 2 at (2,â1,2) = 4 đ â 2 đ â đ
Let đ be the angle between the given surfaces at point (2, -1, 2), then đ will also be an angle between
their normals đ 1 and đ 2.
Therefore, cos đ = đ 1âđ 2
đ 1 đ 2 =
4 đ â2 đ +4 đ â 4 đ â2 đ â đ
4 đ â2 đ +4 đ 4 đ â2 đ â đ =
16+4â4
36 21=
8
3 21.
Example 26: Find the constants a and b so that the surface đđđ â đđđ = đ + đ đ is orthogonal
to the surface đđđđ + đđ = đ at the point (1, -1, 2).
Solution: Given surfaces are
đ = đđ„2 â đđŠđ§ â đ + 2 đ„ = 0 ⊠(1)
and đ = 4đ„2đŠ + đ§3 â 4 = 0 âŠ(2)
23
Let đ1 and đ2 are the vectors normal to the surfaces (1) and (2) at (1, -1, 2), respectively.
Consider âđ = đ đđ
đđ„+ đ
đđ
đđŠ+ đ
đđ
đđ§ = đ 2đđ„ â đ + 2 + đ (âđđ§) + đ (âđđŠ) ⊠(3)
And âđ = đ đđ
đđ„+ đ
đđ
đđŠ+ đ
đđ
đđ§ = đ 8đ„đŠ + đ (4đ„2) + đ (3đ§2) ⊠(4)
So, đ1 = âđ (1, â1, 2) = đ đ â 2 + đ â2đ + đ đ = đ â 2 đ â 2đđ + đđ
đ2 = âđ (1, â1, 2) = đ â8 + đ 4 + đ 12 = â8đ + 4đ + 12đ
Given that surfaces (1) and (2) cut orthogonally at (1, -1, 2), so their normal vectors i.e. đ1 and đ2
should also be orthogonal to each other.
Therefore, đ1 . đ2 = 0
=> đ â 2 đ â 2đđ + đđ . â8đ + 4đ + 12đ = 0
=> â8 đ â 2 â 8đ + 12đ = 0
=> 2đ â đ = 4 ⊠(5)
Also the point (1, -2, 1) lies on the surface (1), so we have
đ + 2đ â đ + 2 = 0 đđ 2đ â 2 = 0 đđ đ = đ
Putting value of b in (3), we get 2đ â 1 = 4 đđ đ =đ
đ
Example 27: Show that the components of a vector đ along and normal (perpendicular) to a
vector đ , in the plane of đ and đ , are đ âđ
đ đ đ and
đ Ă đ Ăđ
đ đ.
Solution: Let đđŽ = đ and đđ” = đ and đđ be the projection
of đ on đ (Fig. 17.8)
⎠Component of đ along đ = OM (unit vector along đ )
= đ â đ đ = đ âđ
đ
đ
đ =
đ âđ
đ 2 đ
Also the component of đ normal to đ = đđ” = đđ” â đđ
= đ â đ âđ
đ 2 đ =
đ âđ đ â đ âđ đ
đ 2=
a Ă đ Ăđ
đ 2
Example 28: If f and đ are point functions, prove that the components of the latter normal and
tangential to the surface f = 0 are đ âđđ đđ
đđ đ and
đđĂ đ Ăđđ
đđ đ.
Solution: We know that for the given surface f = 0, the vector normal to the surface is given by the
gradient i.e. âđ.
Now the component of đč normal to the given surface is = đč â âđ
âđ
âđ
âđ =
đč ââđ âđ
âđ 2=
đč ââđ âđ
âđ 2
And the component of đč tangential to the given surface is = đč â đĄđđ đđđđđđ đđđđđđđđđĄ đđ đč
24
= đč â đč ââđ âđ
âđ 2=
đč âđ 2â đč ââđ âđ
âđ 2=
đč âđââđ â đč ââđ âđ
âđ 2=
âđĂ đč Ăâđ
âđ 2
ASSIGNMENT 3
1. Find ââ , if â = log đ„2 + đŠ2 + đ§2 .
2. Show that 1
đ= â
đ
đ3.
3. What is the directional derivative of â = đ„đŠ2 + đŠđ§3 at the point (2, -1, 1) in the direction of the
normal to the surface đ„ log đ§ â đŠ2 = â4 at (-1, 2, 1)? [JNTU 2005; VTU 2004]
4. What is the directional derivative of â = đ„2đŠđ§ + 4đ„đ§2at the point (1, -2, 1) in the direction of the
vector 2đ â đ â 2đ . [VTU 2007; UP Tech, JNTU 2006]
5. The temperature of points in a space is given by đ đ„, đŠ, đ§ = đ„2 + đŠ2 â đ§. A mosquito located at
(1, 1, 2) desires to fly in such a direction that it will get warm as soon as possible. In what
direction should it move?
6. What is the greatest rate of increase of đą = đ„2 + đŠđ§2 at the point (1, -1, 3)?
7. Find the angle between the tangent planes to the surfaces đ„ log đ§ = đŠ2 â 1 and đ„2đŠ = 2 â đ§ at the
point (1, 1, 1). [JNTU 2003]
8. Calculate the angle between the normals to the surface đ„đŠ = đ§2 at the points (4, 1, 2) and
(3, 3, -3).
9. Find the angle between the surfaces đ„2 + đŠ2 + đ§2 = 9 and đ§ = đ„2 + đŠ2 â 3 at (2, -1, 2).
10. Find the values of đ and đ so that the surface đđ„2đŠ + đđ§3 = 4 may cut the surface
5đ„2 = 2đŠđ§ + 9đ„ orthogonally at (1, -1, 2)
17.6 DEL APPLIED TO VECTOR POINT FUNCTIONS (Divergence & Curl)
1. Divergence: Let đ (đ„, đŠ, đ§) = đ1(đ„, đŠ, đ§)đ + đ2(đ„, đŠ, đ§)đ + đ3(đ„, đŠ, đ§)đ be a continuously differentiable
vector point function. Divergence đ (đ„, đŠ, đ§) of is a scalar which is denoted by â â đ and is defined as
â â đ = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ â đ1 đ + đ2 đ + đ3đ =
đđ1
đđ„+
đđ2
đđŠ+
đđ3
đđ§.
t is also denoted by đđđŁ đ .
Physical interpretation of Divergence
Consider the case of fluid flow.
Let đŁ = đŁđ„ đ + đŁđŠ đ + đŁđ§đ be the velocity of the fluid at a
point đ(đ„, đŠ, đ§) . Consider a small parallelopiped with
edges đżđ„, đżđŠ and đżđ§ parallel to the x, y and z axis
25
respectively in the mass of fluid, with one of its corner at point đ.
So, the mass of fluid flowing in through the face đđđ đ per unit time = đŁđŠ đżđ§ đżđ„
and the mass of fluid flowing out of the face đâČđâČđ âČđâČ per unit time
= đŁđŠ+đżđŠ đżđ§ đżđ„ = đŁđŠ +đđŁđŠ
đđŠ đżđŠ đżđ§ đżđ„
⎠The net decrease in fluid mass in the parallelopiped corresponding to flow along y-axis
= đŁđŠ +đđŁđŠ
đđŠ đżđŠ đżđ§ đżđ„ â đŁđŠ đżđ§ đżđ„ =
đđŁđŠ
đđŠ đżđ„ đżđŠ đżđ§
Similarly, the net decrease in fluid mass in the parallelopiped corresponding to the flow along x-axis
and z-axis is đđŁđ„
đđ„ đżđ„ đżđŠ đżđ§ and
đđŁđ§
đđ§ đżđ„ đżđŠ đżđ§ respectively.
So, total decrease in mass of fluid mass in the parallelopiped per unit time
= đđŁđ„
đđ„+
đđŁđŠ
đđŠ+
đđŁđ§
đđ§ đżđ„ đżđŠ đżđ§
Thus, the rate of loss of fluid per unit volume =đđŁđ„
đđ„+
đđŁđŠ
đđŠ+
đđŁđ§
đđ§
= đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ â đŁđ„ đ + đŁđŠ đ + đŁđ§đ
= â â đŁ = đđđŁ đŁ
Hence, đđđŁ đŁ gives the rate at which fluid is originating or diminishing at a point per unit volume.
If the fluid is incompressible, there can be no loss or gain in the volume element i.e. đđđŁ đŁ = 0.
Observations:
(i) if đŁ represent the electric flux, then đđđŁ đŁ is the amount of flux which diverges per unit volume in unit
time.
(ii) if đŁ represent the heat flux, then đđđŁ đŁ is the rate at which the heat is issuing from a point per unit
volume.
(iii) If the flux entering any element of space is the same as that leaving it i.e.đđđŁ đŁ = 0 everywhere, then
such a vector point function is called Solenoidal.
Example 29: If đ = đđ + đđ + đđ then show that đ đđ đ = đ.
Solution: đđđŁ đ = â â đ = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ â đ„đ + đŠđ + đ§đ
=đ
đđ„ đ„ +
đ
đđŠ đŠ +
đ
đđ§ đ§ = 1 + 1 + 1 = 3
Example 30: Evaluate đ đđ đ where đ = đđđđ đ â đđđđ đ + đđđđ đ at (1, 1, 1).
Solution: đđđŁ đ = đ đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đđ§ â 2đ„2đ§ đ â đ„đŠ2đ§ đ + 3đŠ2đ„ đ
26
=đ
đđ„ 2đ„2đ§ +
đ
đđŠ âđ„đŠ2đ§ +
đ
đđ§ 3đŠ2đ„
= 4đ„đ§ â 2đ„đŠđ§ + 0
At (1, 1, 1), đđđŁ đ = 4 1 1 â 2 1 1 1 = 2
Example 31: Determine the constant a so that the vector đ = đ + đđ đ + đ â đđ đ + (đ + đđ) đ
is solenoidal.
Solution: Given that the vector đ is solenoidal, so đđđŁ đ = 0
đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ â đ„ + 3đŠ đ + đŠ â 2đ§ đ + (đ„ + đđ§) đ = 0
đ
đđ„ đ„ + 3đŠ +
đ
đđŠ đŠ â 2đ§ +
đ
đđ§ đ„ + đđ§ = 0
1 + 1 + đ = 0 => đ = â2
2. Curl: Let đ (đ„, đŠ, đ§) = đ1(đ„, đŠ, đ§)đ + đ2(đ„, đŠ, đ§)đ + đ3(đ„, đŠ, đ§)đ be a continuously differentiable vector
point function. Curl of đ (đ„, đŠ, đ§) of is a vector which is denoted by â Ă đ and is defined as
â Ă đ = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ Ă đ = đ Ă
đđ
đđ„ +đ Ă
đđ
đđŠ +đ Ă
đđ
đđ§
Also in component form, curl of đ (đ„, đŠ, đ§) is
â Ă đ = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ Ă đ1 đ + đ2 đ + đ3đ
=
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đ1 đ2 đ3
= đ đđ3
đđŠâ
đđ2
đđ§ + đ
đđ1
đđ§â
đđ3
đđ„ + đ
đđ2
đđ„â
đđ1
đđŠ
Physical Interpretation of Curl
Consider the motion of a rigid body rotating with
angular velocity đ about an axis OA, where O is a
fixed point in the body. Let đ be the position vector of
any point P of the body. The point P describing a circle
whose center is M and radius is PM = đ sin đ where đ is
the angle between đ and đ , then the velocity of P is
đđ sin đ. This velocity is normal to the plane POM i.e.
normal to the plane of đ and đ .
So, if đŁ is the linear velocity of P, then đŁ =
đ đ sin đ đ = đ Ă đ
27
(đ đđđđđ đđđđđđ đĄđ đ đđđ đ )
Now, if đ = đ1 đ + đ2 đ + đ3đ and đ = đ„ đ + đŠ đ + đ§ đ , then
đ¶đąđđ đŁ = đ Ă đ = đ đ đ
đ1 đ2 đ3
đ„ đŠ đ§ = đ đ2đ§ â đ3đŠ + đ đ3đ„ â đ1đ§ + đ đ1đŠ â đ2đ„
And
đ¶đąđđ đŁ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đ2đ§ â đ3đŠ đ3đ„ â đ1đ§ đ1đŠ â đ2đ„
= đ đ1 + đ1 + đ đ2 + đ2 + đ đ3 + đ3
= 2đ1 đ + 2đ2 đ + 2đ3 đ = 2 đ
Hence đ =1
2đ¶đąđđ đŁ
Thus the angular velocity of rotation at any point is equal to half the curl of the velocity vector.
Observations:
(i) The curl of a vector point function gives the measure of the angular velocity at a point.
(ii) If the curl of a vector point function becomes zero i.e. â Ă đ = 0, then đ is called an irrotational
vector.
Example 32: If đ = đđ + đđ + đđ then show that đđđđ đ = đ .
Solution: đđąđđ đ = â Ă đ =
đ đ đ đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đ„ đŠ đ§
= đ đđ§
đđŠâ
đđŠ
đđ§ + đ
đđ„
đđ§â
đđ§
đđ„ + đ
đđŠ
đđ„â
đđ„
đđŠ
= đ 0 â 0 + đ 0 â 0 + đ 0 â 0 = 0 .
Example 33: Find a so that the vector đ = đđđ â đđ đ + đ â đ đđ đ + đ â đ đđđ đ is
irrotational.
Solution: Given that đ is irrotational, therefore đđąđđ đ = 0 ⊠(1)
But đđąđđ đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đđ„đŠ â đ§3 đ â 2 đ„2 1 â đ đ„đ§2
= đ 0 â 0 + đ â3đ§2 â 1 â đ đ§2 + đ đ â 2 2đ„ â đđ„
= 0 đ + â4 + đ đ§2 đ + â4 + đ đ„ đ
28
Using (1), 0 đ + â4 + đ đ§2 đ + â4 + đ đ„ đ = 0 đ + 0 đ + 0 đ
Comparing the corresponding components both sides,
â4 + đ = 0 => đ = 4.
Example 34: If đ = đđđ đ + đđđđđ đ â đđđđ đ , find the đđđđ đ at the point (1, -1, 1).
Solution: đđąđđ đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đ„đŠ2 2đ„2đŠđ§ â3đŠđ§2
= đ â3đ§2 â 2đ„2đŠ + đ 0 â 0 + đ 4đ„đŠđ§ â 2đ„đŠ
At (1, -1, 1),
đđąđđ đ = đ â3(1)2 â 2 1 2(â1) + đ 0 â 0 + đ 4 1 â1 (1) â 2(1)(â1)
= âđ â 2 đ .
17.7 DEL APPLIED TO THE PRODUCT OF POINT FUNCTIONS
Let đ, đ are two scalar point functions and đ , đ are two vector point functions, then
1. â Ï Ï = Ï âÏ + Ï âÏ
2. â â Ï đ = âÏ â đ + Ï â â đ
3. â Ă Ï đ = âÏ Ă đ + Ï â Ă đ
4. â đ â đ = đ â â đ + đ â â đ + đ Ă â Ă đ + đ Ă â Ă đ [KUK 2007]
5. â â đ Ă đ = đ â â Ă đ â đ â â Ă đ
6. â Ă đ Ă đ = đ â â đ â đ â â đ + đ â â đ â đ â â đ [KUK 2011]
Proof 1: Consider â Ï Ï = đ đ
đđ„ Ï Ï = đ Ï
đÏ
đđ„+ Ï
đÏ
đđ„ = đ Ï
đÏ
đđ„ + đ Ï
đÏ
đđ„
= Ï đ đÏ
đđ„ + Ï đ
đÏ
đđ„ = Ï âÏ + Ï âÏ
Proof 2: Consider â â Ï đ = đ â đ
đđ„ Ï đ = đ â
đÏ
đđ„đ + Ï
đđ
đđ„ = đ â
đÏ
đđ„đ + đ â Ï
đđ
đđ„
= đ đÏ
đđ„ â đ + Ï đ â
đđ
đđ„ = âÏ â đ + Ï â â đ
Proof 3: Consider â Ă Ï đ = đ Ă đ
đđ„ Ï đ = đ Ă
đÏ
đđ„đ + Ï
đđ
đđ„ = đ Ă
đÏ
đđ„đ + đ Ă Ï
đđ
đđ„
= đ đÏ
đđ„ Ă đ + Ï đ Ă
đđ
đđ„ = âÏ Ă đ + Ï â Ă đ
Proof 4: Consider â đ â đ = đ đ
đđ„ đ â đ = đ
đđ
đđ„â đ + đ â
đđ
đđ„ = đ
đđ
đđ„ â đ + đ đ â
đđ
đđ„
⊠(1)
29
But, đ Ă đ Ăđđ
đđ„ = đ â
đđ
đđ„ đ â đ â đ
đđ
đđ„
or đ âđđ
đđ„ đ = đ Ă đ Ă
đđ
đđ„ + đ â đ
đđ
đđ„
So, đ âđđ
đđ„ đ = đ Ă đ Ă
đđ
đđ„ + đ â đ
đđ
đđ„= đ Ă â Ă đ + đ â â đ ⊠(2)
Interchanging đ and đ in (2)
đ âđđ
đđ„ đ = đ Ă đ Ă
đđ
đđ„ + đ â đ
đđ
đđ„= đ Ă â Ă đ + đ â â đ ⊠(3)
Using (2) and (3) in (1), we get
â đ â đ = đ â â đ + đ â â đ + đ Ă â Ă đ + đ Ă â Ă đ
Proof 5: Consider â â đ Ă đ = đ â đ
đđ„ đ Ă đ = đ â
đđ
đđ„Ă đ + đ Ă
đđ
đđ„
= đ â đđ
đđ„Ă đ + đ â đ Ă
đđ
đđ„ = đ â đ Ă
đđ
đđ„ â đ â đ Ă
đđ
đđ„
= đ â â Ă đ â đ â â Ă đ
[using đ â đ Ă đ = đ â đ Ă đ = âđ â đ Ă đ ]
Proof 6: Consider â Ă đ Ă đ = đ Ă đ
đđ„ đ Ă đ = đ Ă
đđ
đđ„Ă đ + đ Ă
đđ
đđ„
= đ Ă đđ
đđ„Ă đ + đ Ă đ Ă
đđ
đđ„
= đ â đ đđ
đđ„â đ â
đđ
đđ„ đ + đ â
đđ
đđ„ đ â đ â đ
đđ
đđ„
[using đ Ă đ Ă đ = đ â đ đ â đ â đ đ ]
= đ â đ đđ
đđ„â đ đ â
đđ
đđ„ + đ đ â
đđ
đđ„ â đ â đ
đđ
đđ„
= đ â â đ â đ â â đ + đ â â đ â đ â â đ
= đ â â đ â đ â â đ + đ â â đ â đ â â đ
17.8 DEL APPLIED TWICE TO POINT FUNCTIONS
Let â be a scalar point function and đ be a vector point function, then ââ and â Ă đ being the vector
point functions, we can find their divergence and curl; whereas â â đ being the scalar point function,
we can find its gradient only. Thus we have following formulae:
1. đđđŁ đđđđ â = â â ââ = â2â =đ2â
đđ„2 +đ2â
đđŠ2 +đ2â
đđ§2
2. đđąđđ đđđđ â = â Ă ââ = 0
3. đđđŁ đđąđđ đ = â â â Ă đ = 0
4. đđąđđ đđąđđ đ = â Ă â Ă đ = â â â đ â â2đ = đđđđ đđđŁ đ â â2đ [KUK 2006]
5. đđđđ đđđŁ đ = â â â đ = đđąđđ đđąđđ đ + â2đ = â Ă â Ă đ + â2đ
30
Proof 1: â2â = â â ââ = â â đ đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đđ§
=đ
đđ„ đâ
đđ„ +
đ
đđŠ
đâ
đđŠ +
đ
đđ§
đâ
đđ§ =
đ2â
đđ„2+
đ2â
đđŠ2+
đ2â
đđ§2
Here â2 is called the Laplacian Operator and â2â = 0 is called the Laplaceâs Equation.
Proof 2: đđąđđ đđđđ â = â Ă ââ = â Ă đ đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đđ§
=
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đâ
đđ„
đâ
đđŠ
đâ
đđ§
= đ
đ2â
đđŠđđ§â
đ2â
đđ§đđŠ = 0
Proof 3: đđđŁ đđąđđ đ = â â â Ă đ = đ đ
đđ„ â đ Ă
đđ
đđ„+ đ Ă
đđ
đđŠ+ đ Ă
đđ
đđ§
= đ â đ Ăđ2đ
đđ„2+ đ Ă
đ2đ
đđ„đđŠ+ đ Ă
đ2đ
đđ„đđ§
= đ Ă đ âđ2đ
đđ„2 + đ Ă đ âđ2đ
đđ„đđŠ+ đ Ă đ â
đ2đ
đđ„đđ§
= đ âđ2đ
đđ„đđŠâ đ â
đ2đ
đđ„đđ§ = 0
Proof 4: đđąđđ đđąđđ đ = â Ă â Ă đ = đ đ
đđ„ Ă đ Ă
đđ
đđ„+ đ Ă
đđ
đđŠ+ đ Ă
đđ
đđ§
= đ Ă đ Ăđ2đ
đđ„2 + đ Ăđ2đ
đđ„đđŠ+ đ Ă
đ2đ
đđ„đđ§
= đ Ă đ Ăđ2đ
đđ„2 + đ Ă đ Ăđ2đ
đđ„đđŠ + đ Ă đ Ă
đ2đ
đđ„đđ§
= đ âđ2đ
đđ„2 đ â đ â đ đ2đ
đđ„2 + đ âđ2đ
đđ„đđŠ đ â đ â đ
đ2đ
đđ„đđŠ + đ â
đ2đ
đđ„đđ§ đ â đ â đ
đ2đ
đđ„đđ§
= đ âđ2đ
đđ„2 đ + đ âđ2đ
đđ„đđŠ đ + đ â
đ2đ
đđ„đđ§ đ â
đ2đ
đđ„2
= đ đ
đđ„ đ â
đđ
đđ„+ đ â
đđ
đđŠ+ đ â
đđ
đđ§ â
đ2đ
đđ„2 = â â â đ â â2đ
Proof 5: To get this formula we are to re-arrange the terms in last proof.
Example 35: Show that đđ đđ = đ(đ + đ)đđâđ.
Solution: We know that đ2 = đ„2 + đŠ2 + đ§2
On differentiation w. r. t. x, đđ
đđ„=
đ„
đ
Similarly đđ
đđŠ=
đŠ
đ and
đđ
đđ§=
đ§
đ
Now â2 đđ = đ2
đđ„2+
đ2
đđŠ2+
đ2
đđ§2 đđ =
đ
đđ„
đđđ
đđ„ +
đ
đđŠ
đđđ
đđŠ +
đ
đđ§
đđđ
đđ§ ⊠(1)
And đ
đđ„
đđđ
đđ„ =
đ
đđ„ đ đđâ1 đđ
đđ„ =
đ
đđ„ đ đđâ1 đ„
đ = đ
đ
đđ„ đđâ2đ„
31
= đ đđâ2 + đ„ (đ â 2)đđâ3 đđ
đđ„ = đ đđâ2 + đ„2(đ â 2)đđâ4
Similarly đ
đđŠ đđđ
đđŠ = đ đđâ2 + đŠ2(đ â 2)đđâ4
đ
đđ§
đđđ
đđ§ = đ đđâ2 + đ§2(đ â 2)đđâ4
Using all these values in (1),
â2 đđ = đ đđâ2 + đ„2(đ â 2)đđâ4 ) + đ đđâ2 + (đ â 2)đđâ4 + đ đđâ2 + đ§2(đ â 2)đđâ4
= 3đ đđâ2 + đ đ â 2 đđâ4 đ„2 + đŠ2 + đ§2
= 3đ đđâ2 + đ đ â 2 đđâ2 = đ đ + 1 đđâ2
Example 36: Show that *(i) đđđ đ = đ âČâČ đ +đ
đ đ âČ (đ) (ii) đ â đ đđ â đ đđ = đ đđđ â đ đđđ
*[KUK 2008]
Solution: (i) â2đ đ = đ2
đđ„2 +đ2
đđŠ2 +đ2
đđ§2 đ đ =đ
đđ„
đ
đđ„đ đ +
đ
đđŠ
đ
đđŠđ đ +
đ
đđ§
đ
đđ§đ đ âŠ(1)
And đ
đđ„
đ
đđ„đ đ =
đ
đđ„ đ âČ(đ)
đđ
đđ„ =
đ
đđ„ đ âČ(đ)
đ„
đ = đ âČ (đ)
đ
đđ„ đ„
đ +
đ„
đ đ âČâČ(đ)
đđ
đđ„
= đ âČ (đ) 1
đâ
đ„
đ2
đđ
đđ„ +
đ„
đ đ âČâČ(đ)
đđ
đđ„
= đ âČ đ
đâ đ„2 đ âČ đ
đ3+ đ„2 đ âČâČ (đ)
đ2
Similarly đ
đđŠ
đ
đđŠđ đ =
đ âČ đ
đâ đŠ2 đ âČ đ
đ3+ đŠ2 đ âČâČ (đ)
đ2
đ
đđ§
đ
đđ§đ đ =
đ âČ đ
đâ đ§2 đ âČ đ
đ3+ đ§2 đ âČâČ (đ)
đ2
Using all these values in (1)
â2đ đ = đ âČ đ
đâ đ„2 đ âČ đ
đ3+ đ„2 đ âČâČ
đ
đ2 +
đ âČ đ
đâ đŠ2 đ âČ đ
đ3+ đŠ2 đ âČâČ
đ
đ2
+ đ âČ đ
đâ đ§2 đ âČ đ
đ3+ đ§2 đ âČâČ (đ)
đ2
=3 đ âČ đ
đâ đ„2 + đŠ2 + đ§2
đ âČ đ
đ3+
đ âČâČ đ
đ2 đ„2 + đŠ2 + đ§2
=3 đ âČ (đ)
đâ
đ âČ (đ)
đ+ đ âČâČ (đ)
=2 đ âČ (đ)
đ+ đ âČâČ (đ)
Hence â2đ đ = đ âČâČ đ +2
đ đ âČ (đ) .
(ii) Consider â â đ âđ â đ âđ = â â đ âđ â â â đ âđ
= âđ â âđ + đ â â âđ â âđ â âđ + đ â â âđ
= âđ â âđ + đ â2đ â âđ â âđ â đ â2đ
= đ â2đ â đ â2đ
32
Hence â â đ âđ â đ âđ = đ â2đ â đ â2đ.
Example 37: Find the value of n for which the vector đđ đ is solenoidal, where
đ = đđ + đđ + đđ .
Solution: Consider đđđŁ đđ đ = â â đđ đ = âđđ â đ + đđ â â đ ⊠(1)
But âđđ = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ đđ = đ đđâ1 đ
đđ
đđ„+ đ
đđ
đđŠ+ đ
đđ
đđ§
= đ đđâ1 đ„
đđ +
đŠ
đđ +
đ§
đđ = đ đđâ2 đ ⊠(2)
And â â đ = 3 ⊠(3)
Therefore, đđđŁ đđ đ = đ đđâ2 đ â đ + 3 đđ = đ đđâ2 đ â đ + 3đđ
= đ đđâ2 đ2 + 3đđ = (đ + 3)đđ ⊠(4)
As given the vector đđ đ is solenoidal, so đđđŁ đđ đ = 0
So using (4), đ + 3 đđ = 0 implies that đ = â3 (since đ â 0)
Example 38: If đ and đ are irrotational, prove that đ Ă đ is solenoidal.
Solution: Given đ and đ are irrotational, so â Ă đ = 0 = â Ă đ ⊠(1)
Consider đ·đđŁ đ Ă đ = đ â â Ă đ â đ â â Ă đ = đ â 0 â đ â 0 = 0 [using (1)]
Thus đ Ă đ is solenoidal.
Example 39: Show that the vector field đ = đđ + đđ + đđ đ + đđ + đđ + đ đ + (đ + đđđ)đ is
irrotational but not solenoidal. Also obtain a scalar function â such that đâ = đ .
Solution: Consider đ¶đąđđ đ = â Ă đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đ§2 + 2đ„ + 3đŠ 3đ„ + 2đŠ + đ§ đŠ + 2đ§đ„
= đ 1 â 1 â đ 2đ§ â 2đ§ + đ 3 â 3 = 0
So đ is irrotational vector field.
Also consider đđđŁ đ = â â đ = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ â đ = 2 + 2 + 2đ„ = 2(đ„ + 2) â 0
So đ is not solenoidal vector field.
Now đâ =đâ
đđ„ đđ„ +
đâ
đđŠ đđŠ +
đâ
đđ§ đđ§ = đ
đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đđ§ â đđ„ đ + đđŠ đ + đđ§ đ
= đđđđ â â đđ = đ â đđ (as đ = đđđđ â )
= đ§2 + 2đ„ + 3đŠ đ + 3đ„ + 2đŠ + đ§ đ + (đŠ + 2đ§đ„)đ â đđ„ đ + đđŠ đ + đđ§ đ
= đ§2 + 2đ„ + 3đŠ đđ„ + 3đ„ + 2đŠ + đ§ đđŠ + (đŠ + 2đ§đ„)đđ§
= đ§2đđ„ + 2đ§đ„ đđ§ + 3đŠ đđ„ + 3đ„ đđŠ + đ§ đđŠ + đŠ đđ§ + 2đ„ đđ„ + 2đŠ đđŠ
= đ đ„đ§2 + 3đ đ„đŠ + đ đŠđ§ + đ đ„2 + đ(đŠ2)
Integrating both sides, we get
33
â = đ„đ§2 + 3đ„đŠ + đŠđ§ + đ„2 + đŠ2 + đ
Example 40: If đœ đ đđ§đ đœ đ be the vectors joining the fixed points đđ, đđ, đđ and đđ, đđ, đđ
respectively to a variable point (đ, đ, đ), prove that *[KUK 2010]
(i) đ đđ đœ đ Ă đœ đ = đ *(ii) đđđđ đœ đ Ă đœ đ = đ(đœ đ â đœ đ) (iii) đđđđ đœ đ â đœ đ = đœ đ + đœ đ.
Solution: Here, đ 1 = đ„ â đ„1 đ + đŠ â đŠ1 đ + đ§ â đ§1 đ and đ 2 = đ„ â đ„2 đ + đŠ â đŠ2 đ + đ§ â đ§2 đ
(i) đ 1 Ă đ 2 = đ đ đ
đ„ â đ„1 đŠ â đŠ1 đ§ â đ§1
đ„ â đ„2 đŠ â đŠ2 đ§ â đ§2
= đŠ â đŠ1 đ§ â đ§2 â đŠ â đŠ2 đ§ â đ§1 đ + đ„ â đ„2 đ§ â đ§1 â đ„ â đ„1 đ§ â đ§2 đ
+ đ„ â đ„1 đŠ â đŠ2 â đ„ â đ„2 đŠ â đŠ1 đ
So đđđŁ đ 1 Ă đ 2 =đ
đđ„ đŠ â đŠ1 đ§ â đ§2 â đŠ â đŠ2 đ§ â đ§1
+đ
đđŠ đ„ â đ„2 đ§ â đ§1 â đ„ â đ„1 đ§ â đ§2
+đ
đđ§ đ„ â đ„1 đŠ â đŠ2 â đ„ â đ„2 đŠ â đŠ1 = 0
(ii) đđąđđ đ 1 Ă đ 2 =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đŠ â đŠ1 đ§ â đ§2 â đŠ â đŠ2 đ§ â đ§1 đ„ â đ„2 đ§ â đ§1 â đ„ â đ„1 đ§ â đ§2 đ„ â đ„1 đŠ â đŠ2 â đ„ â đ„2 đŠ â đŠ1
= đ„ â đ„1 â đ„ â đ„2 â đ„ â đ„2 + đ„ â đ„1 đ
+[ đŠ â đŠ1 â đŠ â đŠ2 â đŠ â đŠ2 + đŠ â đŠ1 ]đ
+[ đ§ â đ§1 â đ§ â đ§2 â đ§ â đ§2 + đ§ â đ§1 ]đ
= 2 đ„ â đ„1 đ + (đŠ â đŠ1)đ + đ§ â đ§1 đ â 2[ đ„ â đ„2 đ + đŠ â đŠ2 đ + đ§ â đ§2 đ ]
= 2(đ 1 â đ 2)
(iii) đ 1 â đ 2 = đ„ â đ„1 đ„ â đ„2 + đŠ â đŠ1 đŠ â đŠ2 + đ§ â đ§1 đ§ â đ§2
So đđđđ đ 1 â đ 2 = đ đ
đđ„ đ„ â đ„1 đ„ â đ„2 + đ
đ
đđŠ đŠ â đŠ1 đŠ â đŠ2 + đ
đ
đđ§ đ§ â đ§1 đ§ â đ§2
= đ đ„ â đ„1 + đ„ â đ„2 + đ đŠ â đŠ1 + đŠ â đŠ2 + đ đ§ â đ§1 + đ§ â đ§2
= đ„ â đ„1 đ + đŠ â đŠ1 đ + đ§ â đ§1 đ + đ„ â đ„2 đ + đŠ â đŠ2 đ + đ§ â đ§2 đ
= đ 1 + đ 2
34
Example 41: If đ is a constant vector and đ = đ đ + đ đ + đ đ , prove that [KUK 2009]
(i) đđđđ đ â đ = đ (ii) đ đđ đ Ă đ = đ (iii) ) đđđđ đ Ă đ = đđ (iv) đđđđ đ â đ đ = đ Ă đ
Solution: Let đ = đ1đ + đ2đ + đ3 đ is the constant vector.
(i) đ â đ = đ1đ + đ2 đ + đ3 đ â đ„ đ + đŠ đ + đ§ đ = đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§
So đđđđ đ â đ = đ đ
đđ„ đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§ + đ
đ
đđŠ đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§ + đ
đ
đđ§ đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§
= đ1đ + đ2 đ + đ3 đ = đ
(ii) đ Ă đ = đ đ đ
đ1 đ2 đ3
đ„ đŠ đ§ = đ đ2đ§ â đ3đŠ + đ đ3đ„ â đ1đ§ + đ đ1đŠ â đ2đ„
đđđŁ đ Ă đ =đ
đđ„ đ2đ§ â đ3đŠ +
đ
đđŠ đ3đ„ â đ1đ§ +
đ
đđ§ đ1đŠ â đ2đ„ = 0
(iii) đđąđđ đ Ă đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đ2đ§ â đ3đŠ đ3đ„ â đ1đ§ đ1đŠ â đ2đ„
= đ đ1 + đ1 + đ đ2 + đ2 + đ đ3 + đ3 = 2 đ1đ + đ2đ + đ3 đ = 2đ
(iv) đ â đ đ = đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§ đ„đ + đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§ đŠđ + đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§ đ§ đ
đ¶đąđđ đ â đ đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§ đ„ đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§ đŠ đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§ đ§
= đ đ2đ§ â đ3đŠ + đ đ3đ„ â đ1đ§ + đ đ1đŠ â đ2đ„ = đ Ă đ [using part (ii)]
Example 42: Find đ Ă đ Ă đ at the point (1, -1, 2),
if đ = đđđ đ + đđ đ â đđđ đ , đ = đđđ đ + đđđ đ â đđ đ .
Solution: â Ă đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
3đ„đ§ 2đŠđ§ âđ§2
= đ 0 â 2đŠ + đ 3đ„ â 0 + đ 0 â 0 = â2đŠ đ + 3đ„ đ + 0 đ
Now đ Ă â Ă đ = đ đ đ
đ„đ§2 2đŠ â3đ„đ§â2đŠ 3đ„ 0
= 9đ„2đ§ đ + 6đ„đŠđ§ đ + 3đ„2đ§2 + 4đŠ2 đ
At (1, -1, 2), đ Ă â Ă đ = 9 1 2(2) đ + 6 1 â1 (2) đ + 3(1)2(2)2 + 4(â1)2 đ
= 18 đ â 12 đ + 16 đ
Example 43: If đ = đđđ đ â đđđđ đ + đđđđ đ , đ = đđ đ + đđ đ â đđ đ and â = đđđ; find
(i) đ Ă đâ (ii) đ Ă đ â (iii) đ Ă đ Ă đ (iv) đ â đ Ă đ
Solution: ââ = đ đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đđ§ = đŠđ§ đ + đ§đ„ đ + đ„đŠ đ
35
(i) đ Ă ââ = đ đ đ
đŠđ§2 â3đ„đ§2 2đ„đŠđ§đŠđ§ đ„đ§ đ„đŠ
= â5đ„2đŠđ§2 đ + đ„đŠ2đ§2 đ + 4đ„đŠđ§3 đ
(ii) đ Ă â=
đ đ đ
đŠđ§2 â3đ„đ§2 2đ„đŠđ§đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
= đ â3đ„đ§2 đ
đđ§â 2đ„đŠđ§
đ
đđŠ + đ 2đ„đŠđ§
đ
đđ„â đŠđ§2 đ
đđ§ + đ đŠđ§2 đ
đđŠ+ 3đ„đ§2 đ
đđ„
Now đ Ă â â = đ â3đ„đ§2 đâ
đđ§â 2đ„đŠđ§
đâ
đđŠ + đ 2đ„đŠđ§
đâ
đđ„â đŠđ§2 đâ
đđ§ + đ đŠđ§2 đâ
đđŠ+ 3đ„đ§2 đâ
đđ„
= đ â3đ„đ§2 đŠđ„ â 2đ„đŠđ§ đ„đ§ + đ 2đ„đŠđ§ đŠđ§ â đŠđ§2 đ„đŠ + đ đŠđ§2 đ„đ§ + 3đ„đ§2 đŠđ§
= â5đ„2đŠđ§2 đ + đ„đŠ2đ§2đ + 4đ„đŠđ§3 đ
(iii) â Ă đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đŠđ§2 â3đ„đ§2 2đ„đŠđ§
= 2đ„đ§ + 6đ„đ§ đ + 2đŠđ§ â 2đŠđ§ đ + (â3đ§2 â đ§2) đ
= 8đ„đ§ đ + 0 đ â 4đ§2 đ
Now â Ă đ Ă g = đ đ đ
8đ„đ§ 0 â4đ§2
3đ„ 4đ§ âđ„đŠ
= 0 + 16đ§3 đ + â12đ„đ§2 + 8đ„2đŠđ§ đ + (32đ„đ§2 â 0) đ
= 16đ§3 đ + â12đ„đ§2 + 8đ„2đŠđ§ đ + 32đ„đ§2 đ
g â â Ă đ = 3đ„ đ + 4đ§ đ â đ„đŠ đ â 8đ„đ§ đ + 0 đ â 4đ§2 đ = 24đ„2đ§ + 4đ„đŠđ§2
Example 44: Find the directional derivative of đ â đâ at the point (1, -2, 1) in the direction of
the normal to the surface đđđđ = đđ + đđ where â = đđđđđđđ. [Raipur 2005]
Solution: Given â = 2đ„3đŠ2đ§4
So ââ = đ đâ
đđ„+ đ
đâ
đđŠ+ đ
đâ
đđ§ = đ 6đ„2đŠ2đ§4 + đ (4đ„3đŠđ§4) + đ (8đ„3đŠ2đ§3)
And đ = â â ââ = đ
đđ„ 6đ„2đŠ2đ§4 +
đ
đđŠ(4đ„3đŠđ§4) +
đ
đđ§(8đ„3đŠ2đ§3)
= 12đ„đŠ2đ§4 + 4đ„3đ§4 + 24 đ„3đŠ2đ§2
Consider đđđđ đ = âđ = đ đđ
đđ„+ đ
đđ
đđŠ+ đ
đđ
đđ§
= đ 12đŠ2đ§4 + 12đ„2đ§4 + 72đ„3đŠ2đ§2 + đ 24đ„đŠđ§4 + 48đ„3đŠđ§2
+ đ (48đ„đŠ2đ§3 + 16đ„3đ§3 + 48đ„3đŠ2đ§)
At point (1, -2, 1)
đđđđ đ = đ (48 + 12 + 288) + đ â48 â 96 + đ 192 + 16 + 192
= 348 đ â 144 đ + 400 đ
Now consider the surface đ = đ„đŠ2đ§ â 3đ„ â đ§2 = 0
36
So, âđ = đ đđ
đđ„+ đ
đđ
đđŠ+ đ
đđ
đđ§ = đ đŠ2đ§ â 3 + đ 2đ„đŠđ§ + đ đ„đŠ2 â 2đ§
The vector normal to the surface (1) at point (1, -2, 1) is given by
đ = đ â 4đ + 2đ
And đ = 1 + 16 + 4 = 21
So the direction derivative of đ = â â ââ at the point (1, -2, 1) in the direction of the normal to the
surface (1) is đđđđ đ .đ
đ
= 348 đ â 144 đ + 400 đ .1
21 đ â 4đ + 2đ
=1
21 348 + 576 + 800
= đđđđ/ đđ
Example 45: If r is the distance of a point (x, y, z) from the origin, prove that
đđđđ đ Ă đđđđ đ
đ + đđđđ đ â đđđđ
đ
đ = đ where đ is the unit vector in the direction of OZ.
Solution: Here đ = đ„ đ + đŠ đ + đ§ đ so that đ = đ„2 + đŠ2 + đ§2
Now đđđđ 1
đ= đ
đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§
1
đ= đ
đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ đ„2 + đŠ2 + đ§2 â
1
2
= â1
2 đ„2 + đŠ2 + đ§2 â
3
2(2đ„ đ + 2đŠ đ + 2đ§ đ ) = â1
đ3 đ
đđđđ đ â đđđđ 1
đ = đđđđ â
1
đ3 đ§ = âđđđđ đ§
đ„2+đŠ2+đ§2 3/2
=3đ§đ„
đ„2+đŠ2+đ§2 5/2đ +
3đ§đŠ
đ„2+đŠ2+đ§2 5/2đ +
đ„2+đŠ2â2đ§2
đ„2+đŠ2+đ§2 5/2đ ⊠(1)
And đđąđđ đ Ă đđđđ 1
đ = đđąđđ đ Ă â
1
đ3 đ = đđąđđ 1
đ3 đŠ đ â đ„ đ
= â3đ§đ„
đ„2+đŠ2+đ§2 5/2đ â
3đ§đŠ
đ„2+đŠ2+đ§2 5/2đ â
đ„2+đŠ2â2đ§2
đ„2+đŠ2+đ§2 5/2đ ⊠(2)
Adding (1) and (2), đđąđđ đ Ă đđđđ 1
đ + đđđđ đ â đđđđ
1
đ = 0 .
Example 46: Prove that đ â đ đ â đđ
đ =
đ(đ âđ )(đ âđ )
đđâ
đ âđ
đđ, where đ and đ are constant vectors.
Solution: From example 45, â1
đ= â
1
đ3 đ = â đ„2 + đŠ2 + đ§2 â3
2(đ„ đ + đŠ đ + đ§ đ )
Let the constant vectors are đ = đ1 đ + đ2 đ + đ3 đ and đ = đ1 đ + đ2 đ + đ3 đ
So â đ â â1
đ = â â đ„2 + đŠ2 + đ§2 â
3
2 đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§
= â đ„2 + đŠ2 + đ§2 â3
2 â đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§ â đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§ â đ„2 + đŠ2 + đ§2 â3
2
= â đ„2 + đŠ2 + đ§2 â3
2 đ1 đ + đ2 đ + đ3 đ +3 đ1đ„ + đ2đŠ + đ3đ§ đ„2 + đŠ2 + đ§2 â5
2(đ„ đ + đŠ đ + đ§ đ )
= âđ
đ3+
3 đ âđ đ
đ5
37
Now đ â â đ â â1
đ = đ â â
đ
đ3 +3 đ âđ đ
đ5 =3(đ âđ )(đ âđ )
đ5 âđ âđ
đ3
Hence Proved.
ASSIGNMENT 4
1. If đ = đ„ + đŠ + 1 đ + đ â (đ„ + đŠ)đ , show that đ â đđąđđ đ = 0.
2. Evaluate (a) đđđŁ 3đ„2đ + 5đ„đŠ2đ + đ„đŠđ§3đ at the point (1, 2, 3).
(b) đđąđđ [đđ„đŠđ§ đ + đ + đ ].
3. Find the value of âaâ if the vector đđ„2đŠ + đŠđ§ đ + đ„đŠ2 â đ„đ§2 đ + 2đ„đŠđ§ â 2đ„2đŠ2 đ has zero
divergence. Find the curl of above vector which has zero divergence .
4. If đŁ = đ / đ„2 + đŠ2 + đ§2, show that â â đŁ = 2/ đ„2 + đŠ2 + đ§2 and â Ă đŁ = 0 .
5. If đą = đ„2 + đŠ2 + đ§2 and đŁ = đ„đ + đŠđ + đ§đ , show that đđđŁ đą đŁ = 5đą.
6. Show that each of following vectors are solenoidal:
(a) đ„ + 3đŠ đ + đŠ â 3đ§ đ + đ„ â 2đ§ đ (b) 3đŠ4đ§2đ + 4đ„3đ§2đ + 3đ„2đŠ2đ (c) âu Ă âđŁ
7. If đ = đ„đ + đŠđ + đ§đ and đ = đ â 0, show that
(a) â 1/đ2 = â2đ /đ4; â â đ /đ2 = 1/đ2 (b) â â đđđ = (đ + 3)đđ ; â Ă đđđ = 0 .
(c) â â âđ
đ = â
2
đ3 đ
8. Prove that (a) âđ 2 = 2 đ â â đ + 2đ Ă â Ă đ , where đ is the constant vector.
(b) â Ă đ Ă đą = đ â â u â 2đą â đ â â đą .
9. (a) If â = đ„2 + đŠ2 + đ§2 âđ , find the đđđŁ đđđđ â and determine n if đđđŁ đđđđ â = 0.
(b) Show that đđđđ đđ = đ(đ + 1)đđâ2 , where đ2 = đ„2 + đŠ2 + đ§2.
10. In electromagnetic theory, we have â â đ· = đ, â â đ» = 0, â Ă đ· = â1
đ
đđ»
đđĄ, â Ă đ» =
1
đ đđ +
đđ·
đđĄ .
Prove that â2đ» â1
đ2
đ2đ»
đđĄ 2 = â1
đâ Ă đđ and â2đ· â
1
đ2
đ2đ·
đđĄ 2 = âđ +1
đ2
đ
đđĄ đđ .
11. If đą = đ„2đŠđ§, đŁ = đ„đŠ â 3đ§2 , find (i) â âđą â âđŁ (ii) â â âđą Ă âđŁ .
12. For a solenoidal vector đ , show that đđąđđ đđąđđ đđąđđ đđąđđ đ = â4đ .
13. Calculate (i) đđąđđ đđđđ đ , given đ đ„, đŠ, đ§ = đ„2 + đŠ2 â đ§ [BPTU 2006]
(ii) đđąđđ(đđąđđ đ ), given đ = đ„2đŠ đ + đŠ2đ§ đ + đ§2đŠ đ
14. Show that each of the following vectors are solenoidal:
(i) âđ„2 + đŠđ§ đ + 4đŠ â đ§2đ„ đ + (2đ„đ§ â 4đ§) đ
(ii) 3đŠ4đ§2 đ + 4đ„3đ§2 đ + 3đ„2đŠ2 đ
(iii) âđ Ă âđ
INTEGRAL VECTOR CALCULUS
38
17.9 INTEGRATION OF VECTORS
If two vector functions đ (đĄ) and đ (đĄ) be such that đ
đđĄ đ (đĄ) = đ (đĄ), then đ (đĄ) is called an integral
of đ (đĄ) with respect to a scalar variable t and we can write đ (đĄ)đđĄ = đ (đĄ).
Indefinite Integral
If đ be an arbitrary constant vector and đ đĄ =đ
đđĄ đ (đĄ) =
đ
đđĄ đ đĄ + đ , then đ (đĄ)đđĄ = đ đĄ + đ .
This is called the indefinite integral of đ (đĄ).
Definite Integral
If đ
đđĄ đ (đĄ) = đ đĄ for all values of đĄ in the interval đ, đ , then the definite integral of đ đĄ between
đ and đ is defined and denoted by đ đĄ đđĄđ
đ= đ (đĄ) đ
đ = đ đ â đ đ .
Example 47: If đ đđ
đ đđ= đđ đ â đđđđ đ + đ đđšđŹ đ đ , find đ , given that
đ đ
đ đ= â đ â đ đ and
đ = đ đ + đ at đ = đ.
Solution: Given that đ2đ
đđĄ2= 6đĄ đ â 12đĄ2 đ + 4 cos đĄ đ ⊠(1)
Integrating (1) with respect to t,
đ2đ
đđĄ2 đđĄ = 6đĄ đ â 12đĄ2 đ + 4 cos đĄ đ đđĄ
Implying đđ
đđĄ = 3đĄ2 đ â 4đĄ3 đ + 4 sin đĄ đ + đ 1 ⊠(2)
Now, integrating (2) with respect to t,
đđ
đđĄđđĄ = 3đĄ2 đ â 4đĄ3 đ + 4 sin đĄ đ + đ 1 đđĄ
Implying đ = đĄ3 đ â đĄ4 đ â 4 cos đĄ đ + đ 1đĄ + đ 2 ⊠(3)
Also we are given that at đĄ = 0, đđ
đđĄ= â đ â 3 đ ⊠(4)
đ = 2 đ + đ ⊠(5)
Using (2) and (4), đ 1 = â đ â 3 đ
Using (3) and (5), â4 đ + đ 2 = 2 đ + đ => đ 2 = 2 đ + đ + 4 đ
Putting the values of the constant vectors đ 1 & đ 2 in (3), we get
đ = đĄ3 đ â đĄ4 đ â 4 cos đĄ đ + â đ â 3 đ đĄ + 2 đ + đ + 4 đ
= đĄ3 â đĄ + 2 đ + 1 â đĄ4 đ â 4 cos đĄ + 3 đĄ + 4 đ
ASSIGNMENT 5
1. For given đ đĄ = 5đĄ2 â 3đĄ đ + 6đĄ3 đ â 7đĄ đ , evaluate đ đĄ đđĄ4
2.
2. Given đ đĄ = 3đĄ2 đ + đĄ đ â đĄ3 đ , evaluate đ Ăđ2đ
đđĄ 2 đđĄ1
0.
39
X O
Y
Z
3. If đ đĄ = 2 đ â đ + 2 đ , đ€đđđ đĄ = 1
3 đ â 2đ + 4 đ , đ€đđđ đĄ = 2 , show that đ â
đđ
đđĄ đđĄ = 10
2
1.
4. The acceleration of a particle at any time đĄ â„ 0 is given by 12 cos 2đĄ đ â 8 sin 2đĄ đ + 16đĄ đ , the
displacement and velocity are initially zero. Find the velocity and displacement at any time.
17.10 LINE INTEGRAL
Let kuzjuyiuxur
)()()()( defines a curve C joining points P1 and P2 where )(ur
is the
position vector of ),,( zyx and the value of u at P1 and P2 is u1 and u2, respectively.
Now if kAjAiAzyxA
321),,( be vector function of defined position and continuous along C,
then the integral of the tangential component of A along C from P1 to P2 written as 2
1
.P
PrdA
is
known as the line integral. Also in terms of Cartesian components, we have
2
1
2
1
)(.)(. 321
P
P
P
PkdzjdyidxkAjAiArdA
)()( 321321
2
1
C
P
PdzAdyAdxAdzAdyAdxA
If A
(vector function of the position) represents the force F
on a particle moving along C, then the
line integral represents the work done by the force F
. If C is a simple closed curve, then the integral
around C is generally written as
1P 2P
C
Fig 17.11
)(. 321 dzAdyAdxArdA
In Fluid Mechanics and Aerodynamics, the above integral is called circulation of A
about C, where
A
represents the velocity of the fluid.
Let gradA , then we have
Q
P
Q
PrdrdA
.)(.
Q
Pdzkdyjdxi
zk
yj
xi )(.
40
Q
Pdz
zdy
ydx
x
PQ
Q
P
Q
Pd ][ ⊠(1)
We see that the integral Q
PrdA
. depends on the value of at the end P and Q and not on the
particular path. In case is single valued and the integral is taken round a closed curve, the terminal
points P and Q coincide and PB .
[Because function is uniform]
The integration along a closed curve is denoted by the sign of circle in the mid of the integral sign
i.e. for a uniform function, we have
C
rd 0.)(
⊠(2)
The converse of the above result is also true i.e. if there exists a vector A
and its integral round
every closed curve in the region under consideration vanishes, then there exist a point function
such that gradA
.
To prove this consider any closed curve ABCD such that the integral round it is zero, so integral along
ABC must be equal to that along ADC. Similarly, the integral along ABC must be equal to that along
any curve joining A to C, i.e. independent of the path from A to C with A be a fixed point and C a
variable point. Then due to the fact that line integral is independent of the path chosen, the value of
the line integral from A to C must be a scalar point function, say i.e. C
ArdA
.
Now if d is the increment in due to a small displacement đđ of đ , then we have rdAd
.
But we already know that rdd
. , so ,.)(. rdrdA
,0.)( rdA
which is true for all rd
and hence A
.
The vector A
is called a potential vector (or gradient vector), and in cartesian component; the
condition that dzAdyAdxArdA 321.
be a perfect differential can be thrown easily into the
form
0,0,0 211332
x
A
y
A
z
A
x
A
y
A
z
A ⊠(3)
Circulation: If A
represents the velocity of a fluid particle, then the line integral CrdA
. is called
the circulation of A
along C.
The vector point function A
, is said to be irrotational in a region, if its circulation along every
closed curve in the region is zero i.e. 0. CrdA
41
Theorem: The necessary and sufficient condition for a vector point function A
to be irrotaional in a
simply connected region is the 0Acurl
at every point of the region.
Work: If A
represents the force acting on a particle moving along an arc PQ then the work done
during the small displacement rd
is equal to rdA
. . Therefore, the total work done by A
during the
displacement from P to Q is given by the line integral Q
PrdA
. .
Example 48: Evaluate the line integral (đđ + đđ)đ đ + (đđ + đđ)đ đ , where đȘ is the square
formed by the lines đ = ±đ and đ = ±đ.
Solution: Curve đ¶ is square in the đ„đŠ plane where đ§ = 0
⎠đ = đ„đ + đŠđ in đ„đŠ plane
đđ = đđ„đ + đđŠđ ⊠(1)
Now đč. đđ đ¶
= đ„2 + đ„đŠ đđ„ + đ„2 + đŠ2 đđŠ
Path of the integration is shown in figure 17.12, it consists of lines
AB, BC, CD and DA. As curve C is a square, then
On AB, đŠ = â1 â đđŠ = 0 and đ„ varies from â1 to 1
On BC, đ„ = 1 â đđ„ = 0 and đŠ varies from â1 to 1
On CD, đŠ = 1 â đđŠ = 0 and đ„ varies from 1 to â1
On DA, đ„ = â1 â đđ„ = 0 and đŠ varies from 1 to â1
đč . đđ đ¶
= đ„2 â đ„ đđ„đŽđ”
+ 1 + đŠ2 đđŠđ”đ¶
+ đ„2 + đ„ đđ„đ¶đ·
+ 1 + đŠ2 đđŠđ·đŽ
= đ„2 â đ„ đđ„1
â1+ 1 + đŠ2 đđŠ
1
â1+ đ„2 + đ„ đđ„
â1
1+ 1 + đŠ2 đđŠ
â1
1
= đ„3
3â
đ„2
2 â1
1
+ 1 + đŠ2 đđŠ1
â1+
đ„3
3+
đ„2
2
1
â1
â 1 + đŠ2 đđŠ1
â1
= 1
3â
1
2+
1
3+
1
2 + â
1
3+
1
2â
1
3â
1
2 = 0
Example 49: If đ = đđđ đ â đđđ , evaluate đ . đ đ đȘ
where đȘ is the arc of the parabola đ = đđđ
from (đ, đ) to (đ, đ).
Solution: Because the integration is performed in the đ„đŠ-plane (đ§ = 0), we take
đ = đ„đ + đŠđ so that đđ = đđ„ đ + đđŠ đ
⎠đč . đđ = 3đ„đŠ đ â đŠ2đ . đđ„ đ + đđŠ đ = 3đ„đŠ đđ„ â đŠ2đđŠ
On the curve C: đŠ = 2đ„2 from (0, 0) to (1, 2)
42
đč . đđ = 3đ„ 2đ„2 đđ„ â 2đ„2 24đ„ đđ„ = (6đ„3 â 16đ„5)đđ„
Also x varies from 0 to 1.
đč . đđ đ¶
= (6đ„3 â 16đ„5)đđ„1
0=
6đ„4
4â
16đ„6
6
0
1
=3
2â
8
3= â
7
6
Note: If the curve is traversed in the opposite direction, that is from (1, 2) to (0, 0), the value of the integral
would be 7
6.
Example 50: A vector field is given by đ = đŹđąđ§đ đ + đ(đ + đđšđŹ đ)đ . Evaluate the line integral
over the circular path given by đđ + đđ = đđ, đ = đ. [PTU 2003]
Solution: The parametric equations of the circular path are đ„ = đ cos đĄ , đŠ = đ sin đĄ , đ§ = 0 where đĄ
varies from 0 to 2đ. Since the particle moves in the đ„đŠ-plane (đ§ = 0), we can take đ = đ„ đ + đŠ đ .
đč . đđ đ¶
= sin đŠ đ + đ„(1 + cos đŠ)đ đ¶
. đđ„ đ + đđŠ đ
= sin đŠ đđ„ + đ„ 1 + cos đŠ đđŠ đ¶
= sin đŠ đđ„ + đ„ cos đŠ đđŠ + đ„ đđŠ đ¶
= đ(đ„ sin đŠ)đ¶
+ đ„ đđŠđ¶
= đ a cos đĄ sin a sin đĄ đđĄ + a cos đĄ . a cos đĄ đđĄ2đ
0
2đ
0
= a cos đĄ sin(a sin đĄ) 02đ + đ2 cos2 đĄ đđĄ
2đ
0
=đ2
2 (1 + cos 2đĄ)đđĄ
2đ
0=
đ2
2 đĄ +
sin 2đĄ
2
0
2đ
=đ2
2 2đ = đđ2
Example 51: Compute the line integral (đđđ đ â đđđ đ)đȘ
about the triangle whose vertices are
(đ, đ), (0, 1) and (âđ, đ). [NIT Uttrakhand 2011]
Solution: Here the closed curve C is a triangle ABC.
On AB: Equation of line AB is
đŠ â 0 =1â0
0â1(đ„ â 1) â đŠ = 1 â đ„
⎠đđŠ = âđđ„ and đ„ varies from 1 to 0.
On BC: Equation of line BC is
đŠ â 1 =0â1
â1â0(đ„ â 0) â đŠ = 1 + đ„
⎠đđŠ = đđ„ and đ„ varies from 0 to -1.
On CA: đŠ = 0. Therefore, đđŠ = 0 and đ„ varies from -1 to 1.
đŠ2đđ„ â đ„2đđŠ = đŠ2đđ„ â đ„2đđŠ đŽđ”đ¶
+ đŠ2đđ„ â đ„2đđŠ đ”đ¶
+ đŠ2đđ„ â đ„2đđŠ đ¶đŽ
= (1 â đ„)2đđ„ â đ„2(âđđ„) 0
1+ (1 + đ„)2đđ„ â đ„2đđ„ + 0 đđ„
1
â1
â1
0
43
= 2đ„2 â 2đ„ + 1 đđ„0
1+ 2đ„ + 1 đđ„
â1
0+ 0
= 2đ„3
3â
2đ„2
2+ đ„
1
0
+ 2đ„2
2+ đ„
0
â1
= â2
3+ 1 â 1 + 1 â 1 = â
2
3
Example 52: If đ = đđđ + đđ đ â đđđđđ + đđđđđđ , evaluate đ . đ đ đȘ
where
(i) đȘ is the line joining the point (đ, đ, đ) to (đ, đ, đ)
(ii) đȘ is given by đ = đ, đ = đđ, đ = đđ from the point (đ, đ, đ) to (đ, đ, đ).
Solution: (i) Equation of line joining (0,0,0) to (1,1,1) is
đ„â0
1â0=
đŠâ0
1â0=
đ§â0
1â0= đĄ (say)
⎠Parametric equations of the line C are đ„ = đĄ, đŠ = đĄ, đ§ = đĄ; 0 †đĄ †1
⎠đ = đ„đ + đŠđ + đ§đ = đĄđ + đĄđ + đĄđ
â đ đ
đ đ= đ + đ + đ
Now đč = 3đ„2 + 6đŠ đ â 14đŠđ§đ + 20đ„đ§2đ = 3đĄ2 + 6đĄ đ â 14đĄ2đ + 20đĄ3đ
đč . đđ đ¶
= đč .đđ
đđĄ đđĄ
đ¶
= 3đĄ2 + 6đĄ đ â 14đĄ2đ + 20đĄ3đ . đ + đ + đ đđĄđ¶
= 3đĄ2 + 6đĄ â 14đĄ2 + 20đĄ3 đđĄ1
0
= 3đĄ3
3+
6đĄ2
2â
14đĄ3
3+
20đĄ4
4
0
1
= 1 + 3 â14
3+ 5 =
13
3
(ii) Here the curve C is given by đ„ = đĄ, đŠ = đĄ2 , đ§ = đĄ3 from the point (0,0,0) to (1,1,1)
⎠đ = đ„đ + đŠđ + đ§đ = đĄđ + đĄ2đ + đĄ3đ
â đ đ
đ đ= đ + 2đĄ đ + 3đĄ2 đ
Now đč = 3đ„2 + 6đŠ đ â 14đŠđ§đ + 20đ„đ§2đ = 9đĄ2đ â 14đĄ5đ + 20đĄ7đ
đč . đđ đ¶
= đč .đđ
đđĄ đđĄ
đ¶
= 9đĄ2đ â 14đĄ5đ + 20đĄ7đ . đ + 2đĄ đ + 3đĄ2 đ đđĄđ¶
= 9đĄ2 â 28đĄ6 + 60đĄ9 đđĄ1
0
= 9đĄ3
3â
28đĄ7
7+
60đĄ10
10
0
1
= 3 â 4 + 6 = 5
Example 53: Find the circulation of đ around the curve đȘ where đ = đđ + đđ + đđ and đȘ is the
circle đđ + đđ = đ, đ = đ.
44
Solution: Circulation of đč along the curve đ¶ is đč . đđ đ¶
Equation of circle is đ„2 + đŠ2 = 1, đ§ = 0
Its parameteric equations are đ„ = cos Ξ , đŠ = sin Ξ , đ§ = 0
Now đ = đ„đ + đŠđ + đ§đ = cos Ξ đ + sin Ξ đ + 0đ so that
đđ = â sin Ξ đ + cos Ξ đ + 0đ đΞ
Also đč = đŠđ + đ§đ + đ„đ = sin Ξ đ + 0đ + cos Ξđ
⎠đč . đđ đ¶
= sin Ξ đ + 0đ + cos Ξđ .đ¶
â sin Ξ đ + cos Ξ đ + 0đ đΞ
= â sin2 Ξ2đ
0 đđ (since along the circle, đ varies from 0 to 2đ)
= â 1âcos 2Ξ
2
2đ
0đΞ = â
Ξ
2â
sin 2Ξ
4
0
2Ï
= â 2Ï
2â 0 â (0 â 0) = âÏ
Example 54: Find the work done in moving a particle once round a circle đȘ in the đđ plane, if
the circle has its centre at the origin and radius 2 units and the force field is given as
đ = đđ â đ + đđ đ + đ + đ â đ đ + (đđ â đđ â đđ)đ .
Solution: Equation of a circle having centre (0, 0) with radius 2 in đ„đŠ plane is đ„2 + đŠ2 = 4 .
Parametric equations of this circle are đ„ = 2 cos đĄ , đŠ = 2 sin đĄ , đ§ = 0.
Since integration is to be performed around a circle in đ„đŠ plane,
⎠đ = đ„đ + đŠđ = 2 cos đĄ đ + 2 sin đĄ đ â đđ
đđĄ= â2 sin đĄ đ + 2 cos đĄ đ
Work done, đč .đđ
đđĄ đđĄ
đ¶
= 2đ„ â đŠ + 2đ§ đ + đ„ + đŠ â đ§ đ + (3đ„ â 2đŠ â 5đ§)đ . â2 sin đĄ đ + 2 cos đĄ đ đđĄ
= 4 cos đĄ â 2 sin đĄ đ + 2 cos đĄ + 2 sin đĄ đ + (6 cos đĄ â 4 sin đĄ)đ . â2 sin đĄ đ + 2 cos đĄ đ đđĄ
In moving round the circle, đĄ varies from 0 to 2đ
⎠Work done = 4 cos đĄ â 2 sin đĄ (â2 sin đĄ) + 2 cos đĄ + 2 sin đĄ (2 cos đĄ) 2đ
0đđĄ
= â8 cos đĄ sin đĄ + 4 sin2 đĄ + 4 cos2 đĄ + 4 sin đĄ cos đĄ 2đ
0đđĄ
= 4 â 4 sin đĄ cos đĄ 2đ
0đđĄ = 4đĄ â 4
sin 2 đĄ
2
0
2đ
= 8đ â 2 sin2 2đ â (0 â 0) = 8đ
ASSIGNMENT 6
45
1. Using the line integral, compute the work done by the force đč = 2đŠ + 3 đ + đ„đ§ đ + (đŠđ§ â đ„)đ ,
when it moves a particle from (0,0,0) to (2,1,1) along the curve đ„ = 2đĄ2 , đŠ = đĄ, đ§ = đĄ3.
2. Find the work done in moving a particle in the force field đč = 3đ„2đ + 2đ„đ§ â đŠ đ + đ§đ , along
(a) the straight line from (0,0,0) to (2,1,3).
(b) the curve defined by đ„2 = 4đŠ, 3đ„3 = 8đ§ from đ„ = 0 to đ„ = 2.
3. If C is a simple closed curve in the đ„đŠ plane not enclosing the origin, show that đč . đđ đ¶
= 0,
where đč =đŠđ âđ„đ
đ„2+đŠ2.
4. If đ = 5đ„đŠ â 6đ„2 đ + 2đŠ â 4đ„ đ , evaluate đ . đđ đ¶
along the curve C in xy-plane, đŠ = đ„3
from the point 1, 1 to (2, 8).
5. Evaluate (đ„đŠ + đ§2)đđ đ¶
where C is the arc of the helix đ„ = cos đĄ , đŠ = sin đĄ , đ§ = đĄ which joins
the points 1, 0, 0 đđđ (â1, 0, đ).
6. If đč = 2đŠđ â đ§đ + đ„đ , evaluate đč đ¶
Ă đđ along the curve đ„ = cos đĄ, đŠ = sin đĄ, đ§ = 2 cos đĄ from
đĄ = 0 to đĄ =đ
2.
17.11 SURFACE INTEGRALS AND FLUX
An integral which is to be evaluated over a surface is called a surface integral. Suppose đ is a surface
of finite area. Divide the area đ into n sub-areas đżđ1, đżđ2, âŠâŠ , đżđđ .
In each area đżđđ , choose an arbitrary point đđ đ„đ , đŠđ , đ§đ . Let đ define
a scalar point function over the area đ.
Now from the sum đ đđ đżđđđđ=1 , where đ đđ = đ đ„đ , đŠđ , đ§đ
Now let us take the limit of the sum as đ â â, each sub-area đżđđ
reduces to a point and the limit if it exists is called the surface
integral of đ over đ and is denoted by đđđ
.
Note: If đ is piecewise smooth then the function đ đ„, đŠ, đ§ is continuous over đ and then the limit exists and is
independent of sub-divisions and choice of the point đđ .
Flux: Suppose đ is a piecewise smooth surface so that the vector function đč defined over đ is
continuous over đ. Let đ be any point of the surface đ and suppose đ is a unit vector at đ in the
direction of outward drawn normal to the surface đ at đ. Then the component of đč along đ is đč . đ and
the integral of đč . đ over đ is called the surface integral of đč over đ and is denoted by đč . đ đđđ
. It is
also called flux of đč over đ.
Different Forms of Surface Integral
(i) Flux of đč over đ = đč . đ đđđ
⊠(1)
46
Now let đđ denote a vector (called vector area) whose magnitude is that of differential of
surface area i.e., đđ and whose direction is that of đ . Then clearly
đđ = đ đđ
From (1), flux of đč over đ = đč . đđ đ
âŠ. (2)
(ii) Suppose outward drawn normal to the surface đ at đ makes angles đŒ, đœ, đŸ with the
positive direction of axes and if đ, đ, đ denote the direction cosines of this outward drawn
normal, then
đ = cos đŒ , đ = cos đœ , đ = cos đŸ
Therefore, đ = cos đŒ đ + cos đœ đ + cos đŸ đ
If đč = đč1đ + đč2đ + đč3đ then đč . đ = đč1 cos đŒ + đč2 cos đœ + đč3 cos đŸ
⎠From (1), flux of đč over đ = đč1 cos đŒ + đč2 cos đœ + đč3 cos đŸ đđđ
⊠(3)
Now đđ cos đŒ is the projection of area đđ on the đŠđ§ plane, therefore đđ cos đŒ = đđŠđđ§.
Similarly đđ cos đœ and đđ cos đŸ are the projections of the area đđ on the đ§đ„ and đ„đŠ plane
respectively and therefore đđ cos đœ = đđ§đđ„, đđ cos đŸ = đđ„đđŠ.
⎠From (3), đč . đ đđđ
= đč 1đđŠđđ§ + đč 2đđ§đđ„ + đč 3đđ„đđŠđ
⊠(4)
Note: In order to evaluate surface integral it is convenient to express them as double integrals by
taking the projection of surface đ on one of the coordinate planes. This will happen only if any line
perpendicular to co-ordinate plane chosen meets the surface in one point and not more than one
point. Surface S is divided into sub surfaces, if above requirement is not met, so that sub surfaces
may satisfy the above requirement.
(iii) Suppose surface đ is such that any line
perpendicular to đ„đŠ plane does not meet đ in more
than one point. Let the equation of surface đ be
đ = đ(đ„, đŠ).
Let đ 1 denotes the orthogonal projection of đ on the
đ„đŠ plane. Then projection of đđ on the đ„đŠ plane
= đđ cos đŸ , where đŸ is the acute angle which the
normal to the surface đ makes with positive
direction of Z-axis.
⎠đđ cos đŸ = đđ„đđŠ ⊠(5)
But cos đŸ = đ .đ
đ = đ . đ
Therefore from (5), đđ =đđ„ đđŠ
đ .đ ⊠(6)
Thus đč . đ đđđ
= đč . đ đ 1
đđ„ đđŠ
đ .đ ⊠(7)
Similarly we have, đč . đ đđđ
= đč . đ đ 2
đđŠ đđ§
đ .đ ⊠(8)
đč . đ đđđ
= đč . đ đ 3
đđ§ đđ„
đ .đ ⊠(9)
where đ 2, đ 3 are the projections of đ on đ§đ„ and đ„đŠ planes, respectively.
47
Example 55: Evaluate đ . đ đ đșđș
where đ = đ đ + đ đ + đđđđ đ and S is the surface of the
cylinder đđ + đđ = đđ included in the first octant between đ = đ and đ = đ.
Solution: A vector normal to the surface đ is given by
đ = â đ„2 + đŠ2 = 2đ„ đ + 2đŠ đ ⊠(1)
⎠đ = unit vector normal to surface đ at any point đ„, đŠ, đ§ =2đ„đ +2đŠđ
4đ„2+4đŠ2 ⊠(2)
â” đ„2 + đŠ2 = 16, therefore đ =2đ„đ +2đŠđ
4(đ„2+đŠ2)=
2đ„đ +2đŠđ
8=
đ„
4đ +
đŠ
4đ ⊠(3)
Now đč . đ đđđ
= đč . đ đđ„ đđ§
đ .đ đ
(projection on đ„đŠ plane canât be taken as the surface đ is peerpendicular to đ„đŠ plane)
= đ„đ§
4+
đ„đŠ
4
đđ„ đđ§đŠ
4đ
= đ„đ§
đŠ+ đ„ đđ„ đđ§
đ , since from 3 , đ . đ =
đŠ
4
= đ„đ§
16âđ„2+ đ„ đđ„ đđ§
4
đ„=0
5
đ§=0=
âđ§
2(â2đ„)
16âđ„2+ đ„ đđ„ đđ§
4
đ„=0
5
đ§=0
= âđ§
2
16âđ„2
1 2 +
đ„2
2 đ„=0
4
đđ§5
đ§=0= (4đ§ + 8)đđ§
5
đ§=0=
4đ§2
2+ 8đ§
đ§=0
5
= 90
Example 56: Evaluate đ . đ đ đșđș
where đ = đđ đ â đ đ + đ đ and S is the portion of the plane
đđ + đđ + đđ = đđ in the first octant.
Solution: Vector normal to surface đ is given by
â 2đ„ + 3đŠ + 6đ§ = 2đ + 3đ + 6đ
⎠đ = unit vector normal to surface đ at any point (đ„, đŠ, đ§) =2đ +3đ +6đ
4+9+36=
2
7đ +
3
7đ +
6
7đ
Now đč . đ = 6đ§ đ â 4 đ + đŠ đ . 2
7đ +
3
7đ +
6
7đ =
12
7đ§ â
12
7+
6
7đŠ
Taking projection on đ„đŠ plane
đč . đ đđđ
= đč . đ đđ„ đđŠ
đ .đ đ = đč . đ
đđ„ đđŠ
6 7 đ ⊠(1)
where đ is the region of projection of đ on đ„đŠ plane. đ is bounded by x-axis, y-axis and the line
2đ„ + 3đŠ = 12, đ§ = 0. In order to evaluate double integral in (1), y varies from 0 to 4 and x varies
from 0 to 12â3đŠ
2. Therefore from (1)
đč . đ đđđ
= 2đ§ â 2 + đŠ đđ„ đđŠ,12â3đŠ
2đ„=0
4
đŠ=0 Find đ§ from 2đ„ + 3đŠ + 6đ§ = 12
= 2 2 âđ„
3â
đŠ
2 â 2 + đŠ đđ„ đđŠ
12â3đŠ
2đ„=0
4
đŠ=0
48
= 2 â2đ„
3 đđ„ đđŠ
12â3đŠ
2đ„=0
4
đŠ=0= 2đ„ â
đ„2
3 đ„=0
12â3đŠ
2đđŠ
4
0
= 2 Ă12â3đŠ
2â
1
3
12â3đŠ
2
2
đđŠ4
0
= 12â3đŠ 2
â6+
12â3đŠ 3
108 đŠ=0
4
=144
6â
1728
108= 24 â 16 = 8
Example 57: đđș
đ đ đș where đ =đ
đđđđ and đș is the surface of cylinder đđ + đđ = đđ
included in the first octant between đ = đ to đ = đ.
Solution: A vector normal to the surface đ is given by
đ = â đ„2 + đŠ2 = 2đ„đ + 2đŠđ
⎠đ = unit vector normal to surface đ at any point (đ„, đŠ, đ§) =2đ„đ +2đŠđ
4đ„2+4đŠ2
đ =2đ„đ +2đŠđ
4(đ„2+đŠ2)=
2đ„đ +2đŠđ
8=
đ„
4đ +
đŠ
4đ â” đ„2 + đŠ2 = 16
Now đ đ đđđ
= 3
8đ„đŠđ§
đ„
4đ +
đŠ
4đ
đđ„ đđ§
đ .đ đ âŠ(1)
where đ is the region of projection of đ on đ§đ„ plane. Therefore, from (1)
đ đ đđđ
= 3
32đ„2đŠđ§ đ +
3
32đ„đŠ2đ§ đ
4
đ„=0
5
đ§=0
đđ„ đđ§
đŠ 4 , where đŠ2 = 16 â đ„2
= 3
8đ„2đ§ đ +
3
8đ„đ§ 16 â đ„2 đ
4
đ„=0
5
đ§=0đđ„ đđ§
=3
8
đ„3đ§
3 đ â
đ§
2
16âđ„2 3 2
3 2 đ
đ„=0
45
đ§=0đđ
=3
8
64
3đ§ đ +
64
3đ§ đ
5
đ§=0đđ§ = 8
đ§2
2đ +
đ§2
2đ
đ§=0
5
= 100 đ + 100 đ
Example 58: Evaluate đ . đ đșđș
where đ = đđ â đđ â đđ đ â đđđ and đș is the triangular
surface with vertices đ, đ, đ , (đ, đ, đ) and (đ, đ, đ).
Solution:The triangular surface đ with vertices 2,0,0 , (0,2,0), and (0,0,4) is given by the equation
đ„
2+
đŠ
2+
đ§
4= 1 â 2đ„ + 2đŠ + đ§ = 4 ⊠(1)
Vector normal to surface đ is given by â 2đ„ + 2đŠ + đ§ = 2đ + 2đ + đ
⎠đ = unit vector normal to surface đ at any point (đ„, đŠ, đ§) =2đ +2đ +đ
4+4+1=
2
3đ +
2
3đ +
1
3đ
Now đč . đ = đ„đ â đ§2 â đ§đ„ đ â đ„đŠđ . 2
3đ +
2
3đ +
1
3đ =
2
3đ„ â
2
3 đ§2 â đ§đ„ â
1
3đ„đŠ
Taking projection on đ„đŠ plane
49
đč . đ đđđ
= đč . đ đđ„ đđŠ
đ .đ đ = đč . đ
đđ„ đđŠ
1 3 đ ⊠(2)
where đ is the region of projection of đ on đ„đŠ plane. đ is bounded by x-axis, y-axis and the line
2đ„ + 2đŠ = 4 i.e., đ„ + đŠ = 2, đ§ = 0. In order to integrate double integral in (2), y varies from 0 to 2
and x varies from 0 to 2 â đŠ. Therefore from (2)
đč . đ đđđ
= 2
3đ„ â
2
3 đ§2 â đ§đ„ â
1
3đ„đŠ đđ„ đđŠ
2âđŠ
đ„=0
2
đŠ=0 Find đ§ from 2đ„ + 2đŠ + đ§ = 4
= 2
3đ„ â
2
3 4 â 2đ„ â 2đŠ 2 â 4 â 2đ„ â 2đŠ đ„ â
1
3đ„đŠ đđ„ đđŠ
2âđŠ
đ„=0
2
đŠ=0
=1
3 2đ„ â 2 16 + 4đ„2 + 4đŠ2 â 16đ„ + 8đ„đŠ â 16đŠ â 4đ„ + 2đ„2 + 2đ„đŠ â đ„đŠ đđ„ đđŠ
2âđŠ
đ„=0
2
đŠ=0
=1
3 â12đ„2 â 8đŠ2 + 42đ„ + 32đŠ â 21đ„đŠ â 32 đđ„ đđŠ
2âđŠ
đ„=0
2
đŠ=0
=1
3 â4đ„3 â 8đ„đŠ2 + 21đ„2 + 32đ„đŠ â 21
đ„2đŠ
2â 32đ„
đ„=0
2âđŠ
đđŠ2
đŠ=0
=1
3 â4 2 â đŠ 3 â 8 2 â đŠ đŠ2 + 21 2 â đŠ 2 + 32 2 â đŠ đŠ â 21
2âđŠ 2đŠ
2 â 32 2 â đŠ đđŠ
2
đŠ=0
=1
3
3
2đŠ3 + 9đŠ2 + 18đŠ â 12 đđŠ
2
đŠ=0= 38
Example 59: Evalutate đ â đ đș
đ đ where đ = đđđđ đ â đđ đ + đđđđ đ and S is closed surface of
the region in the first octant bounded by the cylinder đđ + đđ = đ and the planes đ = đ, đ = đ,
đ = đ đđ§đ đ = đ.
Solution: The given closed surface S is piecewise smooth and is
comprised of S1 âthe rectangular face OAEB in xy-plane; S2 âthe
rectangular face OADC in xz-plane; S3 â the circular quadrant ABC
in yz-plane; S4 â the circular quadrant AED and S5 â the curved
surface BCDE of the cylinder in the first octant (see Fig. 17.16).
⎠đ â đ đ
đđ = đ â đ đ1
đđ + đ â đ đ2
đđ + đ â đ đ3
đđ
+ đ â đ đ4
đđ + đ â đ đ5
đđ ⊠(1)
Now đ â đ đ1
đđ = 2đ„2đŠ đ â đŠ2 đ + 4đ„đ§2 đ â âđ đ1
đđ = â4 đ„đ§2đ1
đđ = 0
(đđ đ§ = 0 đđ đ„đŠ â đđđđđ)
Similarly, đ â đ đ2
đđ = 0 and đ â đ đ3
đđ
đ â đ đ4
đđ = 2đ„2đŠ đ â đŠ2 đ + 4đ„đ§2 đ â đ đ4
đđ = 2đ„2đŠđ4
đđ
= 8đŠ đđŠđđ§ 9âđ§2
0
3
0= 4 (9 â đ§2)đđ§
3
0= 72
To find đ in S5 , we note that â đŠ2 + đ§2 â 9 = 2đŠ đ + 2đ§đ ,
Implying đ =2đŠ đ +2đ§đ
4 đŠ2+đ§2 =
đŠ đ +đ§đ
3 and đ â đ =
đ§
3 so that đđ = đđ„đđŠ/(đ§/3) (đđ đŠ2 + đ§2 = 9)
50
đ â đ đ5
đđ = âđŠ3+4đ„đ§3
3 đđ„đđŠ/(đ§/3)
3
0
2
0=
âđŠ3
đ§+ 4đ„đ§2 đđ„đđŠ
3
0
2
0
Now putting đŠ = 3 sin đ , đ§ = 3 cos đ ⎠đđŠ = 3 cos đ đđ
â27 sin 3 đ
3 cos đ+ 4đ„ (9 cos2 đ) 3 cos đ đđđđ„
đ
20
2
0
ASSIGNMENT 7
1. If velocity vector is đč = đŠ đ + 2 đ + đ„đ§ đ m/sec., show that the flux of water through the
parabolic cylinder đŠ = đ„2, 0 †đ„ †3, 0 †đ§ †2 is 69 đ3/đ đđ.
2. Evaluate đč . đ đđđ
where đč = đ„ + đŠ2 đ â 2đ„ đ + 2đŠđ§ đ and S is the surface of the plane
2đ„ + đŠ + 2đ§ = 6 in the first octant.
3. If đč = 4đ„đ§ đ â đŠ2 đ + đŠđ§ đ ; evaluate đč . đ đđđ
, where S is the surface of the cube bounded by
đ„ = 0, đ„ = 1, đŠ = 0, đŠ = 1, đ§ = 0, đ§ = 1.
4. If đč = 2đŠ đ â 3 đ + đ„2 đ and S is the surface of the parabolic cylinder đŠ2 = 8đ„ in the first
octant bounded by the planes đŠ = 4 and đ§ = 6, show that đč â đ đ
đđ = 132.
5. Evaluate đč â đ đ
đđ where đč = 6đ§ đ â 4 đ + đŠ đ and S is the portion of the plane
2đ„ + 3đŠ + 6đ§ = 12 in the first octant.
17.12 VOLUME INTEGRALS
Suppose đ is the volume bounded by a surface đ. Divide the volume đ into sub-volumes đżđ1, đżđ2,
âŠ, đżđđ . In each đżđđ , choose an arbitrary point đđ whose coordinates are (đ„đ , đŠđ , đ§đ). Let đ be a single
valued function defined over đ. Form the sum đ đđ đżđđ , where đ đđ = đ đ„đ , đŠđ , đ§đ .
Now let us take the limit of the sum as đ â â, then the limit, if exists, is called the volume integral
of đ over đ and is denoted as đđ
đđ.
Likewise if đč is a vector point function defined in the given region of volume đ then vector volume
integral of đč over đ is đč đ
đđ.
Note: Above volume integral becomes đđ
đđ„ đđŠ đđ§ if we subdivide the volume đ into small
cuboids by drawing lines parallel to three co-ordinate axes because in that case đđ = đđ„đđŠđđ§.
Example 60: If đ = đđđ â đđ đ â đđđđ â đđđ , evualuate đ Ă đ đ đœđœ
where đœ is the region
bounded by the co-ordinate planes and the plane đđ + đđ + đ = đ.
Solution: Consider
51
â Ă đč =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
2đ„2 â 3đ§ â2đ„đŠ â4đ„
= 0 đ + đ â 2đŠ đ
Region bounded by 2đ„ + 2đŠ + đ§ = 4 and coordinate planes such that
2đ„ †4, 2đ„ + 2đŠ †4, 2đ„ + 2đŠ + 𧠆4
i.e. đ„ †2, đŠ †2 â đ„, 𧠆4 â 2đ„ â 2đŠ
⎠â Ă đč đđđ
= đ â 2đŠ đ đđ§ đđŠ đđ„4â2đ„â2đŠ
đ§=0
2âđ„
đŠ=0
2
đ„=0
= đ§ đ â 2đŠđ§ đ đ§=0
đ§=4â2đ„â2đŠ đđŠ đđ„
2âđ„
đŠ=0
2
đ„=0
= (4 â 2đ„ â 2đŠ) đ â 2đŠ(4 â 2đ„ â 2đŠ) đ đđŠ đđ„2âđ„
đŠ=0
2
đ„=0
= 4đŠ â 2đ„đŠ â đŠ2 đ â 4đŠ2 â 2đ„đŠ2 â4
3đŠ3 đ
đŠ=0
đŠ=2âđ„2
đ„=0đđ„
= 8 â 4đ„ â 2đ„ 2 â đ„ â 2 â đ„ 2 đ â
4(2 â đ„)2 â 2đ„(2 â đ„)2 â4
3(2 â đ„)3 đ
2
đ„=0đđ„
= 4 â 4đ„ + đ„2 đ â â2
3đ„3 + 4đ„2 â 8đ„ +
16
3 đ
2
đ„=0đđ„
= 4đ„ â 2đ„2 +đ„3
3 đ„=0
đ„=2
đ â â1
6đ„4 +
4
3đ„3 â 4đ„2 +
16
3đ„
đ„=0
đ„=2
đ
=8
3đ â
8
3đ =
8
3(đ â đ )
ASSIGNMENT 8
1. Evaluate Ï đđđ
where đ = 45đ„2đŠ and đ is the region bounded by the planes 4đ„ + 2đŠ + đ§ =
8, đ„ = 0, đŠ = 0, đ§ = 0.
2. If đč = 2đ„đ§ đ â đ„ đ + đŠ2 đ ; evaluate F đđđ
where đ is the region bounded by the planes
đ„ = 0, đŠ = 0, đ„ = 2, đŠ = 6, đ§ = đ„2 , đ§ = 4.
17.13 STOKEâS THEOREM (Relation between Line and Surface Integral)
Statement: Let S be a piecewise smooth open surface bounded by a piecewise smooth simple curve
đ¶ . If đ (đ„, đŠ, đ§) be a continuous vector function which has continuous first partial derivative in a
region of space which contains đ , then đ . đđ đ¶
= đđąđđ đ . đ đ¶
đđ , where đ is the unit normal
vector at any point of đ and đ¶ is trasversed in positive direction.
Direction of đ¶ is positive if an observer walking on the boundary of đ in this direction with its head
pointing in the direction of outward normal đ to đ has the surface on the left.
We may put the statement of Stokeâs theorem in words as under:
52
The line integral of the tangential component of a vector đ taken around a simple closed curve đ¶ is
equal to the surface integral of normal component of curl of đ taken over đ having đ¶ as its boundary.
Stokeâs Theorem in Cartesian Form:
a) Cartesian Form of Stokeâs Theorem in Plane (or Greenâs Theorem in Plane)
Choose system of coordinate axes such that the plane of the surface is in đ„đŠ plane and normal to the
surface đ lies along the z-axis. Normal vector is constant in this case.
Suppose đ = đ1 đ + đ2 đ + đ3 đ
⎠đ . đđ đ¶
= đ .đđ
đđ đđ
đ¶= đ . đĄ đđ
đ¶ where đĄ =
đđ
đđ is unit vector tangent to đ¶.
⎠đ . đđ đ¶
= đ1 đ + đ2 đ + đ3 đ . đ đđ„
đđ + đ
đđŠ
đđ + đ
đđ§
đđ đđ
đ¶
= đ1 đđ„
đđ + đ2
đđŠ
đđ + đ3
đđ§
đđ đđ
đ¶
But tangent at any point lies in the đ„đŠ plane, so đđ§
đđ = 0
⎠đ . đđ đ¶
= đ1 đđ„
đđ + đ2
đđŠ
đđ đđ
đ¶ ⊠(1)
Now đđąđđ đ . đ đ
đđ = đđąđđ đ . đ đ
đđ (Here normal is along Z-axis)
= đđ2
đđ„â
đđ1
đđŠ
đđđ„đđŠ ⊠(2)
Using (1) and (2), Stokeâs theorem is
đ1đđ„ + đ2đđŠ đ¶
= đđ2
đđ„â
đđ1
đđŠ
đđđ„đđŠ
b) Cartesian Form of Stokeâs Theorem in Space
Suppose đ = đ1 đ + đ2 đ + đ3đ and đ is an outward drawn normal unit vector of đ making angles đŒ,
đœ, đŸ with positive direction of axes.
⎠đ = cos đŒ đ + cos đœ đ + cos đŸ đ
Now, â Ă đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đ1 đ2 đ3
đ. đ. đđąđđ đ = đđ3
đđŠâ
đđ2
đđ§ đ +
đđ1
đđ§â
đđ3
đđ„ đ +
đđ2
đđ„â
đđ1
đđŠ đ
⎠đđąđđ đ . đ = đđ3
đđŠâ
đđ2
đđ§ cos đŒ +
đđ1
đđ§â
đđ3
đđ„ cos đœ +
đđ2
đđ„â
đđ1
đđŠ cos đŸ ⊠(1)
Also đ . đđ = đ1 đ + đ2 đ + đ3đ . đđ„ đ + đđŠ đ + đđ§ đ
53
or đ . đđ = đ1 đđ„ + đ2 đđŠ + đ3 đđ§
Then Stokeâs theorem is
đ1 đđ„ + đ2 đđŠ + đ3 đđ§ đ¶
= đđ3
đđŠâ
đđ2
đđ§ cos đŒ +
đđ1
đđ§â
đđ3
đđ„ cos đœ +
đđ2
đđ„â
đđ1
đđŠ cos đŸ
đđđ
Example 61: Verify Stokeâs theorem for đ = đđ â đ đ â đđđđ â đđđđ when đș is the upper half
of the surface of the sphere đđ + đđ + đđ = đ and đȘ is its boundary.
Solution: The boundary đ¶ of the upper half of the sphere đ is circle in the đ„đŠ plane. Therefore,
parametric equations of đ¶ are đ„ = cos đĄ , đŠ = sin đĄ , đ§ = 0 when 0 †t †2Ï
Now, đ . đđ đ¶
= đ1 đđ„ + đ2 đđŠ + đ3 đđ§ đ¶
= 2đ„ â đŠ đđ„ â đŠđ§2đđŠ â đŠ2đ§ đđ§đ¶
= 2 cos đĄ â sin đĄ (â sin đĄ) đđĄđ¶
â” đ„ = cos đĄ , ⎠đđ„ = â sin đĄ đđĄ and other terms of integrand become zero as đ§ = 0
= 2 cos đĄ â sin đĄ + sin2 đĄ đđĄ2đ
đĄ=0= 2
cos 2 đĄ
2 đĄ=0
2đ
+ sin2 đĄ đđĄ2đ
đĄ=0
= 1 â 1 + 4 sin2 đĄ đđĄđ 2
đĄ=0 (Property of definite integral)
= 0 + 4.1
2.đ
2= đ ⊠(1)
Now, đđąđđ đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
2đ„ â đŠ âđŠđ§2 âđŠ2đ§
= â2đŠđ§ + 2đŠđ§ đ + 0 â 0 đ + 0 + 1 đ = đ
Now, đđąđđ đ . đ đđ = đ đ
. đ đđ
= đ đ
. đ đđ„ đđŠ
đ .đ [where đ is the projection of S on đ„đŠ â plane]
= đđ„ đđŠđ
Now projection of đ on đ„đŠ plane is circle đ„2 + đŠ2 = 1.
= đđ„ 1âđ„2
đŠ=â 1âđ„2 đđŠ1
đ„=â1= 4 đđ„
1âđ„2
đŠ=0đđŠ
1
đ„=0 [By definite integral]
= 4 1 â đ„21
đ„=0đđ„ = 4
đ„ 1âđ„2
2+
1
2sinâ1 đ„
đ„=0
1
= 4 1
2sinâ1 1 = 4 Ă
đ
4 = đ ⊠(2)
From (1) and (2), Stokeâs theorem is verified.
Example 62: Verify Stokeâs theorem for the function đ = đđ + đđ đ â đđđ đ taken round the
rectangle bounded by đ = ±đ, đ = đ, đ = đ. [KUK 2006]
54
O B A
D C
đŠ = 0
đŠ = đ
đ„ = đ đ„ = âđ
X
Y
Solution: Given đ = đ„2 + đŠ2 đ â 2đ„đŠ đ
Therefore, đ . đđ = đ„2 + đŠ2 đ â 2đ„đŠ đ . đđ„ đ + đđŠ đ = đ„2 + đŠ2 đđ„ â 2đ„đŠ đđŠ
Fig. 17.17
⎠đ . đđ đ¶
= đ„2 + đŠ2 đđ„ â 2đ„đŠ đđŠđ¶
= đ„2 + đŠ2 đđ„ â 2đ„đŠ đđŠđ·đŽ
+ đ„2 + đŠ2 đđ„ â 2đ„đŠ đđŠđŽđ”
+ đ„2 + đŠ2 đđ„ â 2đ„đŠ đđŠđ”đ¶
+ đ„2 + đŠ2 đđ„ â 2đ„đŠ đđŠđ¶đ·
⊠(1)
On DA: đ„ = âđ, ⎠đđ„ = 0
⎠đ„2 + đŠ2 đđ„ â 2đ„đŠ đđŠđ·đŽ
= â2 âđ đŠ đđŠđ·đŽ
= 2đđŠ đđŠ0
đŠ=đ= đđŠ2 đ
0 = âđđ2
On AB: đŠ = 0, ⎠đđŠ = 0
⎠đ„2 + đŠ2 đđ„ â 2đ„đŠ đđŠđŽđ”
= đ„2 đđ„đŽđ”
= đ„2đ
âđđđ„ =
2
3đ3
On BC: đ„ = đ, ⎠đđ„ = 0
⎠đ„2 + đŠ2 đđ„ â 2đ„đŠ đđŠđ”đ¶
= â2đđŠ đđŠđ”đ¶
= â2đđŠ đđŠđ
đŠ=0= âđđ2
On CD: đŠ = đ, ⎠đđŠ = 0
⎠đ„2 + đŠ2 đđ„ â 2đ„đŠ đđŠđ¶đ·
= đ„2 + đ2 đđ„đ¶đ·
= đ„2 + đ2 đđ„âđ
đ„=đ
= đ„3
3+ đ2đ„
đ„=đ
âđ
= â2 đ3
3+ đ2đ
Substituting these values in (1), we get
đ . đđ đ¶
= âđđ2 +2
3đ3 â đđ2 â 2
đ3
3+ đ2đ = â4đđ2 ⊠(2)
Now, đđąđđ đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đ„2 + đŠ2 â2đ„đŠ 0
= 0 đ + 0 đ + â2đŠ â 2đŠ đ = â4đŠ đ
Since Surface lies in xy-plane, therefore đ = đ .
55
X
Y
B (1,1,0)
O (0,0,0) X
⎠đđąđđ đ đ
. đ đđ = â4đŠ đ . đ đ
đđ = â4đŠđ
đ„=âđđđŠ
đ
đŠ=0đđ„ = â4đđ2 ⊠(3)
Hence from (2) and (3), theorem is verified.
Example 63: Evaluate by Stokeâs theorem đđ đ đ + đđ đ đ + đđđ đ đȘ
, where đȘ is the curve
đđ + đđ = đ, đ = đđ.
Solution: đŠđ§ đđ„ + đ„đ§ đđŠ + đ„đŠđđ§ đ¶
= đŠđ§ đ + đ„đ§ đ + đ„đŠ đ đ¶
. đđ„ đ + đđŠ đ + đđ§ đ
= đ đ¶
. đđ , where đ = đŠđ§ đ + đ„đ§ đ + đ„đŠ đ
Now, đđąđđ đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đŠđ§ đ§đ„ đ„đŠ
= đ„ â đ„ đ + (đŠ â đŠ) đ + đ§ â đ§ đ = 0
⎠đ đ¶
. đđ = đđąđđ đ . đ đ
đđ = 0 â” đđąđđ đ = 0
Example 64: Evaluate đ đȘ
. đ đ by Stokeâs theorem, where đ = đđ đ + đđ đ â đ + đ đ and đȘ is
the boundary of triangle with vertices at (đ, đ, đ), (đ, đ, đ), (đ, đ, đ).
Solution: Here,
đđąđđ đ =
đ đ đ
đ
đđ„
đ
đđŠ
đ
đđ§
đŠ2 đ„2 â(đ„ + đ§)
= 0 đ + đ + 2 đ„ â đŠ đ
Fig. 17.18
Here triangle is in the xy plane as z co-ordinate of each vertex of the triangle is zero.
⎠đ = đ
⎠đđąđđ đ . đ = 0 đ + đ + 2 đ„ â đŠ đ . đ = 2 đ„ â đŠ
By Stokeâs theorem, đ đ¶
. đđ = đđąđđ đ . đ đ
đđ
= 2 đ„ â đŠ đ
đđŠ đđ„
Note here the equation of OB is đŠ = đ„, thus for đ, x varies from 0 to 1 and đŠ from 0 to đ„.
A (1,0,0)
56
⎠đ đ¶
. đđ = 2(đ„ â đŠ)đ„
đŠ=0đđŠ
1
đ„=0đđ„ = 2 đ„đŠ â
đŠ2
2 đŠ=0
đ„
đđ„1
đ„=0
= 2 đ„2 âđ„2
2 đđ„
1
đ„=0= đ„2đđ„
1
đ„=0=
1
3
Note: Greenâs Theorem in plane is special case of Stokeâs Theorem: If R is the region in xy plane
bounded by a closed curve đ¶ then this is a special case of Stokeâs theorem. In this case đ = đ and it
is called vector form of Greenâs theorem in plane. Vector form of Greenâs theorem can be written as
â Ă đ đ
. đ đđ = đ đ¶
. đđ
Example 65: Evaluate đ â đŹđąđ§ đ đ đ + đđšđŹ đđ đ đȘ
, where đȘ is the triangle having vertices
đ, đ , đ
đ, đ and
đ
đ, đ (i) directly (ii) by using Greenâs theorem in plane [KUK 2011]
Solution:
(i) Here đŠ â sin đ„ đđ„ + cos đ„ đđŠ đ¶
= đŠ â sin đ„ đ + cos đ„ đ . (đđ„ đ + đđŠ đ đ¶
)
= đ đ¶
. đđ
where đ = đŠ â sin đ„ đ + cos đ„ đ and đđ = đđ„ đ + đđŠ đ and
C is triangle OAB
Now đ đ¶
. đđ = đŠ â sin đ„ đđ„ + cos đ„ đđŠ đ¶
= đŠ â sin đ„ đđ„ + cos đ„ đđŠ đđŽ
+ đŠ â sin đ„ đđ„ + cos đ„ đđŠ đŽđ”
+ đŠ â sin đ„ đđ„ + cos đ„ đđŠ đ”đ
⊠(1)
On OA: đŠ = 0, ⎠đđŠ = 0
⎠đŠ â sin đ„ đđ„ + cos đ„ đđŠ đđŽ
= â sin đ„ đđ„ đđŽ
= â sin đ„ đđ„đ 2
đ„=0= â1
On AB: đ„ =đ
2, ⎠đđ„ = 0
⎠đŠ â sin đ„ đđ„ + cos đ„ đđŠ đŽđ”
= 0
On BO: đŠ =2
đđ„, ⎠đđŠ =
2
đđđ„
⎠đŠ â sin đ„ đđ„ + cos đ„ đđŠ đ”đ
= 2
đđ„ â sin đ„ đđ„ + cos đ„
2
đđđ„
0
đ„=đ 2
= 2
đ
đ„2
2+ cos đ„ +
2
đsin đ„
đ„=đ 2
0
= 1 â đ
4+
2
đ
57
Substituting these values in (1), we get
đ đ¶
. đđ = â1 + 0 + 1 âđ
4â
2
đ= â
đ
4+
2
đ
(ii) By Greenâs Theorem
đ1đđ„ + đ2đđŠ đ¶
= đđ2
đđ„â
đđ1
đđŠ
đđđ„đđŠ
= â sin đ„ â 1 đđŠ2đ„ đ
đŠ=0đđ„
đ 2
đ„=0= â sin đ„ â 1 đŠ đŠ=0
2đ„ đ đđ„
đ 2
đ„=0
= â2
đđ„ sin đ„ + 1 đđ„
đ 2
đ„=0= â
2
đ đ„ sin đ„ + đ„ đđ„
đ 2
đ„=0
= â2
đ đ„ â cos đ„ + sin đ„ +
đ„2
2 đ„=0
đ 2
= â2
đ â0 + 1 +
đ2
8 â (0 + 0 + 0)
= â 2
đ+
đ
4
Example 66: Verify Greenâs theorem in the plane for đđ + đđ đ đ + đđđ đđȘ
, where đȘ is the
closed curve of the region bounded by đ = đ and đ = đđ.
Solution:
đ„đŠ + đŠ2 đđ„ + đ„2đđŠđ¶
= đ„đŠ + đŠ2 đđ„ + đ„2đđŠ đđ”đŽ
+ đ„đŠ + đŠ2 đđ„ + đ„2đđŠ đđŽ
⊠(1)
Along curve OBA: đŠ = đ„2 ⎠đđŠ = 2đ„ đđ„
⎠đ„đŠ + đŠ2 đđ„ + đ„2đđŠ đđ”đŽ
= đ„3 + đ„4 đđ„ + 2đ„3đđ„ 1
đ„=0=
19
20
Along curve AO: đŠ = đ„ ⎠đđŠ = đđ„
⎠đ„đŠ + đŠ2 đđ„ + đ„2đđŠ đŽđ
= đ„2 + đ„2 đđ„ + đ„2đđ„ đŽđ
= 3đ„2 đđ„0
đ„=1= â1
⎠from (1), đ„đŠ + đŠ2 đđ„ + đ„2đđŠđ¶
=19
20â 1 = â
1
20 ⊠(2)
Here đ1 = đ„đŠ + đŠ2, đ2 = đ„2
â đđ1
đđŠ= đ„ + 2đŠ,
đđ2
đđ„= 2đ„
By Greenâs theorem,
đ1 đđ„ + đ2 đđŠ đ¶
= đđ2
đđ„â
đđ1
đđŠ
đđđŠ đđ„
= 2đ„ â đ„ â 2đŠ đ
đđŠ đđ„
= đ„ â 2đŠ đđŠđŠ=đ„
đŠ=đ„2 đđ„1
đ„=0 = đ„đŠ â đŠ2
đŠ=đ„2đŠ=đ„
đđ„1
đ„=0
= đ„4 â đ„3 đđ„1
đ„=0=
x5
5â
x4
4
x=0
x=1
=1
5â
1
4= â
1
20 ⊠(3)
Equation (2) and (3) verify the result.
58
ASSIGNMENT 9
1. Verify Greenâs theorem for 3đ„ â 8đŠ2 đđ„ + 4đŠ â 6đ„đŠ đđŠ đ¶
where C is the boundary of the
region bounded by 0,0 yx and 1 yx . [KUK 2007]
2. Verify Greenâs theorem in plane for 3đ„2 â 8đŠ2 đđ„ + 4đŠ â 6đ„đŠ đđŠ đ¶
, where C is the
boundary of the region defined by xy and 2xy . [KUK 2008]
3. Apply Greenâs theorem to evaluate 2đ„2 â đŠ2 đđ„ + đ„2 + đŠ2 đđŠ đ¶
, where C is the boundary
of the area enclosed by x-axis and the upper half of the circle 122 yx . [KUK 2010]
4. Evaluate the surface integral SdSnFcurl Ë.
by transforming it into a line integral, S being that
part of the surface of the paraboloid đ§ = (1 â đ„2 â đŠ2) for which 0z and kxjziyF ËËË
.
[KUK 2008]
5. Using Stokeâs theorem, evaluate đ„ + đŠ đđ„ + 2đ„ â đ§ đđŠ + đŠ + đ§ đđ§ đ¶
, where C is the
boundary of the triangle with vertices )0,0,2( , )0,3,0( and )6,0,0( . [KUK 2009]
6. Verify Stokeâs theorem for a vector field defined by đ = âđŠ3 đ + đ„3 đ , in the region
đ„2 + đŠ2 †1, đ§ = 0.
17.14 GAUSSâS DIVERGENCE THEOREM (Relation between Volume and Surface Integral)
Statement: Suppose đ is the volume bounded by a closed piecewise smooth surface S. Suppose
đ (đ„, đŠ, đ§) is a vector function which is continuous and has continuous first partial derivatives in
đ.Then
â. đ đ
đđ = đ . đ đđ
where đ is the outward unit normal to the surface đ.
In other words: The surface integral of the normal component of a vector đ taken over a closed
surface is equal to the integral of the divergence of đ over the volume enclosed by the surface.
Divergence Theorem in Cartesian Coordinates
If đ = đ1đ + đ2đ + đ3đ then đđđŁ đ = â. đ =đđ1
đđ„+
đđ2
đđŠ+
đđ3
đđ§ . Suppose đŒ, đœ, đŸ are the angles made by
the outward drawn unit normal with the positive direction of axes, then
đ = cos đŒ đ + cos đœ đ + cos đŸ đ
Now, đ . đ = đ1 cos đŒ + đ2 cos đœ + đ3 cos đŸ
Then divergence theorem is
đđ1
đđ„+
đđ2
đđŠ+
đđ3
đđ§ đđ„ đđŠ đđ§
đ= đ1 cos đŒ + đ2 cos đœ + đ3 cos đŸ đđ
đ
= đ1đđŠđđ§ + đ2 đđ§đđ„ + đ3đđ„đđŠ đ
â” cos đŒ đđ = đđŠđđ§ đđĄđ.
59
Proof: Let đ = đ1đ + đ2đ + đ3đ where đ1, đ2 and đ3 and their derivatives in any direction are finite
and continuouos.
Suppose đ is a closed surface such that it is possible to
choose rectangular cartesian co-ordinate system such that
any line drawn parallel to coordinate axes does not cut đ
in more than two points.
Let đ be the orthogonal projection of đ on the xy-plane.
Any line parallel to z-axis through a point of đ meets the
boundary of S in two points. Let đ1 and đ2 be the lower
and upper portions of đ . Let the equations of these
portions be
đ§ = đ·1(đ„, đŠ) and đ§ = đ·2(đ„, đŠ)
where đ·1(đ„, đŠ) â„ đ·2(đ„, đŠ)
Consider the volume integral
đđ3
đđ§ đđ =
đ
đđ3
đđ§ đđ„ đđŠ đđ§ =
đđ3
đđ§đđ§
đ§=đ·1(đ„ ,đŠ)
đ§=đ·2(đ„ ,đŠ) đđ„ đđŠ
đđ3
đđ§ đđ =
đ đ3(đ„, đŠ, đ§) đ·2(đ„ ,đŠ)
đ·1(đ„ ,đŠ)đđ„ đđŠ = đ3 đ„, đŠ, đ·1 â đ3 đ„, đŠ, đ·2 đđ„ đđŠ âŠ(1)
Let đ 1 be the unit outward drawn vector making an acute angle đŸ1 with đ for the upper position đ1 as
shown in the figure.
Now projection đđ„ đđŠ of đđ1 on the đ„đŠ plane is given as đđ„đđŠ = đđ1 cos đŸ = đđ1 đ . đ 1 = đ . đ 1đđ1
Now đ3 đ„, đŠ, đ·1 đ đđ„đđŠ = đ3 đ . đ 1đđ1đ1
⊠(2)
Similarly if đ 2 be the unit outward drawn normal to the lower surface đ2 making an angle đŸ2 with đ .
Obviously đŸ2 is an obtuse angle
⎠đđ„đđŠ = đđ2 cos đ â đŸ2 = âđđ2 cos đŸ2 = âđ . đ 2 đđ2
⎠đ3 đ„, đŠ, đ·2 đ đđ„ đđŠ = â đ3 đ . đ 2đđ2đ2
⊠(3)
From (1), (2) and (3), we have
đđ3
đđ§ đđ
đ= đ3 đ . đ 1đđ1đ1
+ đ3 đ . đ 2đđ2đ2= đ3 đ . đ đđ
đ ⊠(4)
Similarly by projecting đ on the other coordinate planes
đđ2
đđŠ đđ
đ= đ2 đ . đ đđ
đ ⊠(5)
And đđ1
đđ„ đđ
đ= đ1 đ . đ đđ
đ ⊠(6)
60
Adding (4), (5) and (6), we get
đđ1
đđ„+
đđ2
đđŠ+
đđ3
đđ§ đđ
đ= đ1 đ + đ2 đ + đ3 đ . đ đđ
đ = đ . đ đđ
đ
Note: With the help of this theorem we can express volume integral as surface integral or vice versa.
17.15 GREENâS THEOREM (For Harmonic Functions)
Statement: If đ· and đ are two scalar point functions having continuous second order derivatives in a
region đ bounded by a closed surface đ, then
đ·â2đ â đâ2đ· đ
đđ = đ· âđ â đ âđ· . đ đđđ
Proof: By Gaussâs divergence theorem,
â. đ đđđ
= đ . đ đ
đđ ⊠(1)
Take đ = đ· âđ so that â. đ = â. đ· âđ
= đ· â. âđ + âđ·. âđ
= đ·â2đ â âđ·. âđ ⊠(2)
Now đ . đ = đ· âđ . đ . Using this and (2) in (1), we get
đ· â2đ â âđ·. âđ đđđ
= đ· âđ . đ đ
đđ ⊠(3)
Again starting as above by interchanging đ· and đ, we obtain as in (3)
đ â2đ· â âđ. âđ· đđđ
= đ âđ· . đ đ
đđ ⊠(4)
Subtracting (4) from (3), we get
đ·â2đ â đâ2đ· đ
đđ = đ· âđ â đ âđ· . đ đđđ
⊠(5)
Another Form of Greenâs Theorem:
đđ·
đđ and
đđ
đđ denote the direction of derivative of đ· and đ along the outward drawn normal at any point
of đ.
âđ· =đđ·
đđđ and âđ =
đđ
đđđ
⎠đ· âđ â đ âđ· = đ·đđ
đđ đ â đ
đđ·
đđ đ
or đ· âđ â đ âđ· . đ = đ·đđ
đđđ â đ
đđ·
đđđ . đ = đ·
đđ
đđâ đ
đđ·
đđ
⎠Equation (5) becomes
đ·â2đ â đâ2đ· đ
đđ = đ·đđ
đđâ đ
đđ·
đđ
đđđ
61
Example 67: Evaluate đ . đ đ đșđș
where đ = đđđ đ + đđ đ â đđ đ and đș is the surface of the
cube bounded by the planes đ = đ, đ = đ, đ = đ, đ = đ, đ = đ, đ = đ.
Solution: Here đ = 4đ„đŠ đ + đŠđ§ đ â đ§đ„ đ . By Gaussâs divergence theorem
đ . đ đđđ
= â. đ đđđ
= đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§
đ. 4đ„đŠ đ + đŠđ§ đ â đ§đ„ đ đđ
= 4đŠ + đ§ â đ„ đđđ
= 4đŠ + đ§ â đ„ đđ§ đđŠ đđ„2
đ§=0
2
đŠ=0
2
đ„=0
= 4đŠđ§ +đ§2
2â đ„đ§
đ§=0
đ§=22
đŠ=0
2
đ„=0 đđŠ đđ„
= 8đŠ + 2 â 2đ„ 2
đŠ=0đđŠ
2
đ„=0đđ„
= 4đŠ2 + 2đŠ â 2đ„đŠ đŠ=0đŠ=2
đđ„2
đ„=0= 20 â 4đ„ đđ„
2
đ„=0
= 20đ„ â 2đ„2 đ„=0đ„=2 = 32
Example 68: Use Gauss theorem to show that đđ â đđ đ â đđđđ đ + đđ . đ đ đșđș
=đđ
đ
where S denotes the surface of the cube bounded by the planes, đ = đ, đ = đ, đ = đ, đ = đ,
đ = đ, đ = đ .
Solution: By Gaussâs divergence theorem
đ„3 â đŠđ§ đ â 2đ„2đŠ đ + 2đ . đ đđđ
= â.đ
đ„3 â đŠđ§ đ â 2đ„2đŠ đ + 2đ đđ
= 3đ„2 â 2đ„2 đđ„đ
0đđŠ
đ
0đđ§
đ
0
= đ„2đđ„đ
0 đđŠ
đ
0đđ§
đ
0=
đ„3
3
0
đ
đđŠđ
0đđ§
đ
0
= đ3
3 đđŠ
đ
0đđ§
đ
0=
đ3
3đŠ
0
đ
đđ§đ
0=
đ4
3đđ§
đ
0=
đ4
3 đ§ 0
đ =đ5
3
Example 69: Evaluate đ . đ đș
đ đș with the help of Gauss theorem for đ = đđ đ + đđ + đ đ â
đ đ taken over the region đș bounded by the surface of the cylinder đđ + đđ = đ included
between đ = đ, đ = đ, đ = đ and đ = đ.
Solution: đ = 6đ§ đ + 2đ„ + đŠ đ â đ„ đ
â. đ = đ đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§ . 6đ§ đ + 2đ„ + đŠ đ â đ„ đ = 1
By Gaussâs divergence theorem,
đ . đ đ
đđ = 1 đđ„ đđŠ đđ§đ
62
= đđ§ 9âđ„2
đ§=0đđŠ
8
đŠ=0đđ„
3
đ„=0= đ§ đ§=0
đ§= 9âđ„2đđŠ
8
đŠ=0đđ„
3
đ„=0
= 9 â đ„2 đđŠ8
đŠ=0đđ„
3
đ„=0
= 9 â đ„2 đŠ đŠ=0
8đđ„
3
đ„=0= 8 9 â đ„2 đđ„
3
đ„=0
= 8 đ„ 9âđ„2
2+
9
2sinâ1 đ„
3 đ„=0
3
= 18 đ
Example 70: Evaluate (đđ đđ đ + đđ đđ đ + đđ đđ đ)đș
where đș is the surface of the sphere
đđ + đđ + đđ = đđ. [KUK 2011, 2009]
Solution: By Gaussâs divergence theorem
(đ„đđŠđđ§ + đŠđđ§đđ„ + đ§đđ„đđŠ)đ
= đđ„
đđ„+
đđŠ
đđŠ+
đđ§
đđ§ đđ„ đđŠ đđ§ =
đ 3 đđ„ đđŠ đđ§
đ
= 3 đđ„ đđŠ đđ§đ
= 3 Ă volume of the sphere x2 + y2 + z2 = a2
= 3 Ă4
3Ïa3 = 4Ïa3
Example 71: Show that đ đș
đ đș = đ for any closed surface đș.
Solution: Let đ¶ be any closed vector.
⎠đ¶ đ đ
đđ = đ¶.đ
đ đđ = đđđŁ đ¶đ
đđ
⎠đ¶ đ đ
đđ = 0 â” đ¶ is constant, therfore đđđŁ đ¶ = 0
â đ đ
đđ = 0
Example 72: Prove that đ
đđđ đœ
đœ=
đ .đ
đđđ đș
đș, where đ = đ đ + đ đ + đ đ and đ = đ.
Solution: đ .đ
đ2 đđđ
= đ
đ2 . đ đđđ
= â.đ
đ2 đđđ ⊠(1)
Now, â. đ
đ2 =1
đ2 â. đ + đ . â
1
đ2 ⊠(2)
Also, đ = đ„ đ + đŠ đ + đ§ đ â đ2 = đ„2 + đŠ2 + đ§2
⎠2đđđ
đđ„= 2đ„; 2đ
đđ
đđŠ= 2đŠ; 2đ
đđ
đđ§= 2đ§
â đđ
đđ„=
đ„
đ;
đđ
đđŠ=
đŠ
đ;
đđ
đđ§=
đ§
đ ⊠(3)
Now, â 1
đ2 = đ
đ
đđ„+ đ
đ
đđŠ+ đ
đ
đđ§
1
đ2 =
â2
đ3 đ
đđ
đđ„+ đ
đđ
đđŠ+ đ
đđ
đđ§ using (3)
=â2
đ4 đ„ đ + đŠ đ + đ§ đ =
â2
đ4đ
63
Also, â. đ = 1 + 1 + 1 = 3
Substituting these values in (2), we have
â. đ
đ2 =1
đ2 . 3 + đ . â2
đ4 đ =3
đ2 â2
đ4 đ2 =1
đ2 â” đ . đ = đ2
⎠From 1 , đ .đ
đ2đđ
đ=
1
đ2đđ
đ
ASSIGNMENT 10
1. Find SdSnF Ë.
where kzyjyxzizxF Ë)2(Ë)(Ë)2( 2
and S is the surface of the sphere
having centre )2,1,3( and radius 3 units. [KUK 2006]
2. Use Divergence theorem to evaluate SSdF
. where kzjyixF ËËË 333
and S is the outer
surface of the sphere 1222 zyx . [KUK 2007]
3. Verify Divergence theorem for kxyzjzxyiyzxF Ë)(Ë)(Ë)( 222
taken over rectangular
parallelopiped ,0 ax ,0 by .0 cz [KUK 2010]
ANSWERS
ASSIGNMENT 1
1. â4(đ + 2đ ) 3. đ„ â đ/ 2 = đŠ â đ/ 2 = đ§ âđđ
4tan đŒ / 2 đĄđđ đŒ
4. đĄ đ + 2đ â 2đĄ â 3 đ / (5đĄ2 â 12đĄ + 13) ; 1
3(2 đ + 2đ + đ )
5. (a) đą đ2 sec đŒ (b) đ3 tan đŒ; (â cos đŒ sin đĄ đ + cos đŒ cos đĄ đ + sin đŒ đ )
6. (a) đ đ + đ + 2đ đ + đ + đ đ ; 1
6 âđ â đ + 2 đ (b) đ + đ đ + đ đ + 2đ đ ;
1
5 2đ â đ
17. (a) đđ/ đ2 sin2 đĄ + đ2 cos2 đĄ 3/2 (b) 1/4 2
ASSIGNMENT 2
1. đŁ = 37 and đ = 325 at đĄ = 0 3. 8
7 14 ;
1
7 14 4. đ = ±
1
6 7.
70
29;
436
29
8. 21.29 knots/hr. in the direction 740 47â South of East 9. 17 meter per hour in the direction
tanâ1 0.25 North of East
ASSIGNMENT 3
1. (a) 2(đ„ đ + đŠ đ + đ§ đ )/ (đ„2 + đŠ2 + đ§2) 3. 15
17 4.
37
3 5.
1
3(2 đ + 2 đ â đ ) 6. 11
7. cosâ1 â1
30 8. cosâ1 1/ 22 9. cosâ1
8
3 21 10. đ = 4 đđđ đ = 1
64
ASSIGNMENT 4
2. (a) 80 (b) đđ„đŠđ§ đ„ đ§ â đŠ đ + đŠ đ„ â đ§ đ + đ§ đŠ â đ„ đ
3. đ = â2; 4đ„ đ§ â đ„đŠ đ + đŠ 1 â 2đ§ + 4đ„đŠ đ + (2đ„2 + đŠ2 â đ§2 â đ§)đ
9. (a) 2đ 2đâ1
đ„2+đŠ2+đ§2 đ+1; đ =
1
2
11. (i) 2 đŠ3 + 3đ„2đŠ â 6đ„đŠ2 đ§ đ + 2 3đ„đŠ2 + đ„3 â 6đ„2đŠ đ§ đ + 2 đ„đŠ2 + đ„3 â 3đ„2đŠ đŠ đ (ii) Zero
13. (i) 0 (ii) 2 đ„ + đ§ đ + 2đŠ đ
ASSIGNMENT 5
1. 226
3 đ + 360 đ â 42 đ 2. â2 đ + 3 đ â 3 đ
4. đŁ = 6 sin 2đĄ đ + 4(cos 2đĄ â 1) đ + 8đĄ2 đ and đ = 3 1 â cos 2đĄ đ + 2 sin 2đĄ đ +8đĄ3
3 đ
ASSIGNMENT 6
1. 88
35 2. 16, 16 4. 35 5.
đ3 2
3
6. 2 âđ
4 đ â đ â
1
2 đ
ASSIGNMENT 7
2. 81 3. 3/2 5. 8
ASSIGNMENT 8
1. 128 2. 128đ â 24đ + 384đ
ASSIGNMENT 9
3. 4/3 5. 21
ASSIGNMENT 10
1. 108Ï 2. 56Ïa2/9
top related