คู่มือประกอบสื่อการสอน...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

จ านวนจรง (เนอหาตอนท 9) กราฟคาสมบรณ

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามดกรหนง - สมการพหนามดกรสอง - สมการพหนามดกรสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

- อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เรอง จ านวนจรง (กราฟคาสมบรณ) หมวด เนอหา ตอนท 9 (9/9) หวขอยอย กราฟคาสมบรณ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจและสามารถเขยนกราฟคาสมบรณได 2. เขาใจและสามารถเขยนกราฟอสมการคาสมบรณพนฐานได

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ

1. อธบายวธการเขยนและเขยนกราฟคาสมบรณได 2. อธบายวธการเขยนและเขยนกราฟอสมการคาสมบรณได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

3 2

2

xf x

เมอ 2x เมอ 2x

3 2

2

1

x

f x

x

เมอ 2x เมอ 3 2x เมอ 3x

ในสอตอนน เราจะศกษาการเขยนกราฟคาสมบรณในแบบตาง ๆ

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ วธท า

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ

y

x 2

2

8

3 2y x

2y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

วธท า

y

x 2

2

8

3

2

3 2y x

1y x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

ตวอยาง จงเขยนกราฟตอไปน

1. 3y x 2. 2y x 3. 3y x 4. 3 1y x

วธท า

1. 3y x

y

x

3

y x

3y x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

2. 2y x

3. 3y x

4. 3 1y x

y

x

2

y x

2y x

y

x

3y x

y x

y

x

1

3 1y x

y x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

ตวอยาง จงเขยนกราฟตอไปน

1. 1x y 2. 2 3x y

วธท า

1. 1x y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

2. 2 3x y

y

x 1

x y

1x y

y

x 3

x y

2x y

2 3x y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

2

22

xx

x

เมอ 0x เมอ 0x

y

yy

เมอ 0y เมอ 0y

2

22

xx

x

เมอ 0x เมอ 0x

y

yy

เมอ 0y เมอ 0y

ตวอยาง จงเขยนกราฟ

1. 2 2x y 2. 2 2x y

วธท า

1. 2 2x y เนองจาก และ

2. 2 2x y เนองจาก และ

y

x 1

2 2x y 2

1

2

2 2x y

2 2x y 2 2x y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

y

x 1

2 2x y

1

2 2x y

2 2x y 2 2x y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

3 13 1

3 1

yy

y

เมอ 1y เมอ 1y

2 12 1

2 1

xx

x

เมอ 1x เมอ 1x

3 13 1

3 1

yy

y

เมอ 1y เมอ 1y

2 12 1

2 1

xx

x

เมอ 1x เมอ 1x

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ 1. 2 1 3 1 6x y 2. 2 1 3 1 6x y

วธท า

1. 2 1 3 1 6x y

เนองจาก และ

2. 2 1 3 1 6x y

เนองจาก และ

y

x 4

2 3 1x y

1

2 3 5x y

1

3

2

2 3 7x y 2 3 11x y

1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

y

x

1

2 3 11x y

1 2

2 3 1x y

4

2 3 5x y

2 3 7x y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

แบบฝกหดเพมเตม 1-10 จงเขยนกราฟตอไปน

1. 2 3x y 2. 3y x 3. 2 3x y 4. 2x y x 5. 3 2 1x y 6. 1 3 6x y 7. 2 3 12x y 8. 1 2 1 4x y 9. x y x y 10. 2 3 1 6x y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

ภาคผนวกท 1 การเขยนกราฟอสมการคาสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

การเขยนกราฟอสมการคาสมบรณ

เราจะเรมตนโดยการเขยนกราฟอสมการของกราฟเสนตรงกอน ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง จงเขยนกราฟของอาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการตอไปน

2 3 6x y 2 4x y และ 0, 0x y วธท า เขยนกราฟเสนตรงของสมการ 2 3 6x y และ 2 4x y ไดดงน

โดยการแทนคา 0x และ 0y จะพบวา 2 3 6x y ดงนน อาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการ 2 3 6x y คออาณาบรเวณทงหมด

ทอยดานลางของเสนตรง 2 3 6x y

y

x

2 4x y

2 3 6x y

0

y

x

2 3 6x y

0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

โดยการแทนคา 0x และ 0y จะพบวา 2 4x y ดงนน อาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการ 2 4x y คออาณาบรเวณทงหมด ทอยดานบนของเสนตรง 2 4x y

สรปไดวา อาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการทงสอง และ 0, 0x y คอ อาณาบรเวณ ภายในรปสามเหลยม OAB ทแรเงาไวรวมทงเสนรอบรปดวย

# ตวอยาง จงเขยนกราฟของอาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการตอไปน

2 4x y 2 4 4x y และ 0, 0x y วธท า เขยนกราฟเสนตรงของสมการ 2 4x y และ 2 4 4x y ไดดงน

y

x

2 4x y

2 3 6x y

0

A

B

y

x

2 4x y

0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

โดยการลองแทนคา ,x y ใด ๆ เชน 0,0 จะพบวาอาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการ ทก าหนดใหคอ บรเวณทแรเงาไวดงรป

ซงจะเปนอาณาบรเวณทเปดยาวออกไปไมมทสนสด แตจะอยระหวางเสนตรง 2 4x y กบ

2 4 4x y รวมเสนตรงทงสองดวยเฉพาะทอยในจตภาคท 1 # ตอไปจะเปนการเขยนกราฟของอสมการคาสมบรณ

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ 3x y วธท า ขนตอนท 1 เขยนกราฟ 3x y

y

x

2 4 4x y

2 4x y 0

y

x

2 4 4x y

2 4x y 0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

แทนคา 0x และ 0y จะพบวา 3x y ดงนนอาณาบรเวณทสอดคลองกบสมการ

3x y คอ อาณาบรเวณภายในรปสเหลยม

จากรปท 1 และรปท 2 ท าใหอาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการ 3x y คอบรเวณดง รปตอไปน

y

x

3x y

3

3

3

3

y

x

3x y

3

3

3

3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ 3x y

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ 2 2x y

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ y x

y

x

3x y

3

3

3

3

y

x 3 3

y

x 1

2

2

1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ 2x y

หมายเหต ในการเขยนกราฟของอสมการนน มรายละเอยดอยในสอเรอง ก าหนดการเชงเสน (ตอนท 1)

y

x

y

x 2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

ภาคผนวกท 2 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

2

xy

x

เมอ 1 1x

เมอ 1x หรอ 1x

แบบฝกหดระคน

1. กราฟดงรปมลกษณะตรงกบสมการในขอใด

1. 1 2 2x y 2. 1 2 2x y

3. 1 2 2x y 4. 1 2 2x y 2. อาณาบรเวณ , | 3 2 2x y x y มพนทกตารางหนวย

1. 4 2. 6 3. 8 4. 16 3. คาสงสดของ y ในขอใดมคามากทสด

1. 3y x 2. 3y x 3. 3 2y x 4. 3 1 2y x

4. ขอใดตอไปนถกตอง ก. กราฟของสมการ x y x y เปนกราฟเสนตรง 2 เสนทตงฉากกน ข. มจด ,a b ซง 0a และ 0b อยบนกราฟ x y x y 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

5. อาณาบรเวณ , |1 2x y x y มพนทกตารางหนวย 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

6. ให , | 1A x y x y และ , | 1B x y x y จงหาจ านวนสมาชกของ A B 1. 0 2. 1 3. 2 4. 4

7. ขอใดคอลกษณะกราฟของสมการ

y

x 1,2 3,2

1 5 3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

1.

2.

3.

y

x 1

1

3

1

1

x 1 1

1

2

y

x 1 1

1

2

y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

4.

8. ขอใดคอสมการของกราฟตอไปน

1. 2 2x y 2. 2 4x y 3. 2 2x y 4. 2 2 4x y

9. ขอใดตอไปนถกตอง ก. อาณาบรเวณ , | 2 1x y x y มพนทเทากบอาณาบรเวณ , | 2 1x y x y ข. จด ,a b ทอยในกราฟ , | 2x y x y ตองมสมบตวา 0a และ 0b เสมอ 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

10. โดเมนและเรนจของความสมพนธ , | 1 1r x y x y คอขอใด 1. rD และ , 1 1,rR 2. rD และ , 2 0,rR 3. , 1 1,rD และ rR 4. , 2 0,rD และ rR

y

x 2

1

1

2

y

x 1 1

1

2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

ภาคผนวกท 3 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม

1. 2 3x y

2. 3y x

y

x 3

3

2

3

2

y

x 3

3

3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

3. 2 3x y

4. 2x y x

y

x 3

3

2

3

2

3

y

x

1

1

y x

0y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

5. 3 2 1x y

6. 1 3 6x y

y

x 1

3

1

2

1

2

1

3

y

x 5

2

7 1

2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

7. 2 3 12x y

8. 1 2 1 4x y

9. x y x y

y

x

0x

0y

y

x 6 6

y

x 5 7

1

1 3 5 7

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

35

10. 2 3 1 6x y

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 2 2. 3 3. 1 4. 2 5. 3 6. 3 7. 1 8. 1 9. 2 10. 4

y

x 3

1

9

2

9

2

3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

36

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

37

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

38

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

39

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได