be n

8/17/2019 BE n

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TRAN DORIS Master ProMécanique 2006/2007

BE n°3 :schéma décentré d’un problème de convection-diffusion

Enoncé :Soit une quantité φ transportée par convection et diffusion à travers le domaine 1D de

longueur 1m :Données : x=0 et x=L ; 0φ =1 et Lφ =0 ; ρ =1.0 g!m" ; Γ =0.1 g!m!s

équation discrétiser :

Γ =

dx

d

dx

d

dx

ud φ φ ρ #$ et sa solution anal%tique :

#!exp$#!exp$

#$#$ 00 Γ

Γ −+=

uL

ux x L

ρ ρ

φ φ φ φ ;

&pplication du sc'éma décentré du pro(l)me convection*diffusion :u=0.1 m!s+ u=*0.1 m!s;u=,.- m!s+ u=*,.- m!s

réponse:n utilise un sc'éma décentré pour discrétiser notre équation et en comparant au solution

anal%tique+ on o(tient les résultats suivants pour - volumes de contr/le:

rap'e 1 rap'e ,

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

X

P h i

phi pour 5 vol umes d e co ntrôle

solution discrétisée pour u=2.5 m /ssolution discrétisée pour u=-2.5 m /ssolution discrétisée pour u=0.1 m /ssolution discrétisée pour u=-0.1 m /s

10-3

10-2

10-1

10-4

10-3

10-2

10-1

100

h=L/N

e r r e u r

Variation loga rithmique de Err(h)

Erreur pour u=2.5m/s ou u =-2.5m/sErreur pour u=0.1m/s ou u =-0.1m/s

Pour le graphe 1 + nous o(tenons des cour(es parfaitement s%métriques entre le flux positif etle flux négatif. ous constatons pour une vitesse u=,.- m!s ou u=*,.-m!s+ nous o(tenons unemeilleure sta(ilité et une meilleure consistance par rapport au sc'éma centré. Le sc'éma

décentré converge mieux à la solution anal%tique et donc n2appara3t aucun 4iggles. Donc lesc'éma décentré est (eaucoup plus proc'e de la p'%sique.

Pour le graphe +en tra5ant l2évolution de l2erreur en fonction de delta x+ nous trouvonscomme ordre de précision pour c'acun des vitesses : α 6.0≈ . D2o7 un ordre de précision de1.Donc pour c'aque itération+ l2erreur diminue de facteur 10 *1.

!onclusion :Le sc'éma décentré apporte une meilleure convergence à notre solution discrétisée avec unfai(le volume de contr/le et (eaucoup plus proc'e de la p'%sique.