第12章微分と全微分 - waseda university11 コブ・ダグラス型生産関数...

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第12章 微分と全微分

dxxfdyxfy )()( ′==

),( yxfz =

dyyzdx

xzdyfdxfdz yx ∂

∂+

∂∂

=+=

221121 ),( dxfdxfdyxxfy +==全微分

2

全微分

3

全微分と接平面

)0,0(),(),( == yxyxfz

dyfdxfdz yx )0,0()0,0( +=

は直交と )1),0,0(),0,0(( ),,( −yx ffdzdydx

)1),0,0(),0,0(( ),,(

−yx ffdzdydx

法線ベクトル

の表す平面の

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偏微分可能性と全微分可能性

|}||,min{|),( yxyxfz ==

0),0(,0)0,( == yfxf

0)0,0(,0)0,0( == yx ff

(0,0)で偏微分可能

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(0,0)で全微分不可能

|}||,min{|),(

yxyxfz

==

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連続微分可能性

f(x1,x2)の各偏導関数f1(x1,x2) , f2(x1,x2)が連続⇔ f(x1,x2)は連続微分可能（C1級)

f(x1,x2)は連続微分可能⇒ f(x1,x2)は全微分可能

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高次（n回)連続微分可能性

f(x1,x2)の各２次偏導関数f11 , f12 , f21 , f22が連続⇔ f(x1,x2)は２回連続微分可能（C2級)

f(x1,x2)は2回連続微分可能⇒ f12 =f21

f(x1,x2)のすべてのn次偏導関数が連続⇔ f(x1,x2)はn回連続微分可能（Cn級)

f(x1,x2)はn回連続微分可能⇒ n次以下の偏導関数は偏微分の順序に無関係

Youngの定理

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２変数関数の合成関数の微分

)()(),( tyytxxyxfz ===

の関数ttFtytxfz )())(),(( ==

dtdyf

dtdxf

dtdztF yx +==′ )(

dtdy

yf

dtdx

xf

∂∂

+∂∂

=チェインルール

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２要素投入生産関数

),( LKFQ =

資本投入量K生産量Q労働投入量L

LKQ ⋅= 2

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限界生産力

KLKFLKFMP KK ∂

∂==

),(),(資本の限界生産力 MPK

労働の限界生産力 MPL

LLKFLKFMP LL ∂

∂==

),(),(

のときLKQ ⋅= 2

LKMP

KLMP LK == ,

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コブ・ダグラス型生産関数

コブ・ダグラス型生産関数

βα LAKLKF =),( 0,, >βαA

資本の限界生産力βαα LAKLKFK

1),( −=労働の限界生産力

1),( −= βαβ LAKLKFL

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CES型生産関数

CES型生産関数ρθθ βα )(),( LKALKF += 0,,,, >ρθβαA

資本の限界生産力

11)(),( −−+= θρθθ βααθρ KLKALKFK

労働の限界生産力11)(),( −−+= θρθθ βαβθρ LLKALKFL

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問題演習

限界生産力逓減の法則が成り立つ条件を求めよ。

βα LAKLKF =),(コブ・ダグラス型生産関数

0,, >βαA

資本の限界生産力の資本についての偏導関数

βααα LAKLKFKK2)1(),( −−=

0)1(0),( <−⇔< ααLKFKK

10 <<⇔ α

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問題演習CES型生産関数

ρθθ βα )(),( LKALKF += 0,,,, >ρθβαA

資本の限界生産力の資本についての偏導関数

))1()1(()(

),(22 θθθρθθ θβθραβααθρ LKKLKA

LKFKK

−+−+

=−−

どのようなK,Lについても

0),( <LKFKK

)1,1( )1,1( <≤≤<⇔ θθρθθρ または

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規模に関する収穫法則

F(K,L)が規模に関して

1),(),( >∀>⇔ λλλλ LKFLKF収穫逓増

収穫一定

収穫逓減

1),(),( >∀=⇔ λλλλ LKFLKF1),(),( >∀<⇔ λλλλ LKFLKF

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同次関数

関数y=f(x1,x2)がn次同次関数),(0),(),( 212121 xxxxfxxf n ∀>∀=⇔ λλλλ

のときLKLKFQ ⋅== 2),(

),(22),( LKFLKLKLKF λλλλλλ =⋅=⋅=

１次同次関数

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規模に関する収穫法則と同次生産関数

収穫逓増⇔> 1n

Q=F(K,L)がn次同次関数であり、n>1であれば1),(),(),( >∀>= λλλλλ LKFLKFLKF n

収穫一定⇔= 1n収穫逓減⇔< 1n

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規模に関する収穫法則とコブ・ダグラス型生産関数

コブ・ダグラス型生産関数

βα LAKLKF =),( 0,, >βαA

),()()(),( LKFLKALKF βαβα λλλλλ +==

収穫逓増⇔>+ 1βα収穫一定⇔=+ 1βα収穫逓減⇔<+ 1βα

次同次)( βα +

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規模に関する収穫法則とCES型生産関数

CES型生産関数ρθθ βα )(),( LKALKF += 0,,,, >ρθβαA

ρθθ λβλαλλ ))()((),( LKALKF +=ρθθθρρθθθθ βαλβλαλ )()( LKALKA +=+=

次同次θρ

収穫逓増⇔> 1θρ収穫一定⇔= 1θρ収穫逓減⇔< 1θρ

),( LKFθρλ=

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CES生産関数の特殊例① のとき

線形の生産関数

② として のとき

コブ＝ダグラス型生産関数

1== ρθ

ρθ 1= 0→θ

LAKALKF βα +=),(

βα LAKLKF =),(

bLaK +=

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③ として のとき

レオンチェフ型生産関数

−∞→θ

},min{ ),( LKALKF =

ρθ 1=

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補論 レオンチェフ型生産関数

>=<

=

=

LKL

LKK

LKK

LK aLaKifaLaLaKifaKaLaKifaK

aL

aKQ

,min

微分可能でない

QLa

QKa

aL

aKQ LK

LK

==== ,

資本投入量を一定K0にしたときの生産関数は？

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Q

KaK0

000 K

aaL

K

L= L

24

L

Q0<Q1

aL/aK

Q=Q1

L0 Q=Q0

0 KK0

25

x2

y=f(x1,x2)

等量曲線

y0

y

x1

26

x2

y0<y1

dy=f1(x10,x2

0)dx1+f2(x10,x2

0)dx2

x10

x20

y=y1

y=y0

0 x1

27

x2

y=f(x10,x2)

x10

y

x1

28

yy=f(x1

1,x2)

0 x2

x10<x1

1

y=f(x10,x2)

29

y

x2

y=f(x1,x20)

x20

x1

30

y x20<x2

1

y=f(x1,x21)

0 x1

y=f(x1,x20)

y=f1(x10,x2

0)

x10